türk bina deprem yönetmeliği kapsamında performansa dayalı ... · yapı dinamiği ve deprem...
Post on 13-Jan-2020
19 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Türk Bina Deprem Yönetmeliği Kapsamında Performansa Dayalı Tasarım, Sismik Taban Yalıtımı ve PERFORM-3D ile
Mühendislik Uygulamaları
Gebze Teknik Üniversitesi, 2016
Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş:
Çok Serbestlik Dereceli Sistemler
Dr. Barış Erkuş (İTÜ)
Yapı Dinamiği ve Deprem Yönetmeliğine Giriş
•Tek Serbestlik Dereceli Sistemler
•Analitik ve matematiksel modelleme
•Serbest titreşim
•Harmonik yük altındaki davranış
•Zaman tanım alanı analizi
•Deprem spektrumu
•Çok Serbestlik Dereceli Sistemler
•Analitik ve matematiksel modelleme
•Kütle, rijitlik ve sönüm matrisleri
•Modal analiz – mod şekilleri ve periyotları
•Mod birleştirme yöntemiyle dinamik analiz – tepki spektrumu analizi
•Mod birleştirme yöntemiyle dinamik analiz – modal zaman tanım alanı analizi
•Taslak TBDY Kapsamında Deprem Analizi ile İlgili Genel Kurallar
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 2
Çok Serbestlik Dereceli Sistemler: İçerik
•Temel Matematik Bilgileri
•Lineer Denklem Sistemleri (Ö)
•Matrisler ve Temel Matris Operasyonları (Ö)
•Özdeğer Problemi (Ö)
•Matrislerin Bölünmesi (Ö)
•Yapıların Matematiksel Modellemesi
•Sürekli Kütleli Sistemler
•Toplu Kütleli Sistemler
•Mekanik ve Yapısal Sistemler
•Serbestlik Dereceleri ve Sistem Matrisleri
•Yapı Serbestlik Dereceleri
•Toplu ve Sürekli Kütle Matrisleri (Ö)
•Rijitlik Matrisi (Ö)
•Statik Yoğunlaştırma, Rijit Diyafram Kabulü
•Modal Analiz: Mod Şekilleri ve Periyotları
•Genelleştirilmiş Serbestlik Dereceleri
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 3
•Özdeğerler, Özvektörler ve Özmatris (Ö)
•Rayleigh-Ritz Yöntemi
•Yüklemeye Bağlı Rayleigh-Ritz Yöntemi
•Sönüm matrisi
•İçsel Enerji Sönümleme
•Klasik Sönümleme Matrisi
•Sabit Sönümleme Matrisi (Ö)
•Rayleigh Sönümleme Matrisi (Ö)
•Klasik Olmayan Sönümleme (Ö)
•Modal Analiz: Modal Denklemler (Ö)
•Mod Birleştirme Yöntemi ile Dinamik Analiz
•Modal Zaman-Tanım Alanı Analizi (Ö)
•Tasarım Spektrumu Analizi (Ö)
•Doğrudan Zaman-Tanım Alanı Analizi
•Newmark-b Yöntemi (Ö)
•Özel Konular (Ö): Örnekler
Temel Matematik Bilgileri: Lineer Denklem Sistemleri
•n adet denklem
•n adet bilinmeyen: x1, x2, …, xn
•n × n adet katsayı: a11, a12, …, ann
•n adet sabit: b1, b2, …, bn
•aij
•i: denklem sayısı (satır)
•j: bilinmeyen numarası xj (sütun)
•bi , i: denklem sayısı (satır)
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 4
11 1 12 2 1 1 1
21 1 22 2 2 2 2
1. Denklem
2. Denklem
j j n n
j j n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a
1 1 2 2
1 1 2 2
. Denklem
. Denklem
i i ij j in n i
n n nj j nn n n
x a x a x a x b i
a x a x a x a x b n
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 4 2 7 1. Denklem
2 6 4 3 2. Denklem
3 5 8 4 3. Denklem
x x x
x x x
x x x
•Çözüm Yöntemleri•Gauss-Eleme Yöntemi
Örnek:
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 5
Temel Matematik Bilgileri: Lineer Denklem Sistemleri
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
1
2
i
n
b
b
b
b
1
2
i
n
x
x
x
x
A-grubu x-grubu b-grubu
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 6
Temel Matematik Bilgileri: Matrisler
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
j n
j n
i i ij in
n n nj nn n n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
1
2
1
i
n n
b
b
b
b
b
1
2
1
i
n n
x
x
x
x
x
(1-Boyutlu ise “Vektör” de denir)
Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Gösterimi•Herhangi bir n×m matrisin gösterimi
• A : koyu, düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF
•[A] : köşeli parantez ile , düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF
• : harf altında “tilde” işareti ile, düz (“italic” olmayan) ve BÜYÜK HARF
•Herhangi bir n×1 veya 1×m vektörünün gösterimi
• x : koyu, düz (“italic” olmayan) ve küçük harf
•{x} : süslü parantez ile düz (“italic” olmayan) ve küçük harf
• : harf altında “tilde” işareti ile, düz (“italic” olmayan) ve küçük harf
•Skalar gösterimi:
• x, y : eğik (“italic”) ve küçük harf
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 7
•Örnekler:
•a : skalar
•M : matris
• : skalar
• : vektör
• : vektör
• : matris
• : skalar
• : matris
A
x
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 8
Excel: Matrislerin Tanıtılması
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 9
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
11 1 12 2 1 1 1 1. Denklemj j n na x a x a x a x b
+
+
+
×
×
×
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 10
21 1 22 2 2 2 2 2. Denklemj j n na x a x a x a x b
+
+
+
×
×
×
1
. denklemn
i ij j
j
b a x i
bAx
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 11
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
1 1 2 2 . Denklemi i i ij j in nb a x a x a x a x i
çarpimi, ilk satir
n m n k
m k
AB
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 12
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
×
×
×
×
×
+
+
+
+
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 13
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, ikinci satir
n m n k
m k
AB
×
×
×
×
×
+
+
+
+
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 14
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, üçüncü satir
n m n k
m k
AB
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 15
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, birinci satir-ikinci sütun
n m n k
m k
AB
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 16
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
çarpimi, ikinci satir-ikinci sütun
n m n k
m k
AB
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 17
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
n m m k n k
n m n k
m k
A B C
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 18
Temel Matematik Bilgileri: Matris Çarpımı
AB BA
Excel
•Matrislerin Çarpımı
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 19
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 20
Temel Matematik Bilgileri: İç Çarpımının Matris Çarpım Olarak İfadesi
a
b
x y zˆ ˆ ˆa a a a i j k
x y zˆ ˆ ˆb b b b i j k
x x y z z za b a b a b a b
x
y
z
a
a
a
a
x
y
z
b
b
b
b
T
T
x
x y z y
z
b
a b a a a b
b
a b
a b
b a
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 21
Temel Matematik Bilgileri: Matris Skalar Çarpım
n m
n m n m
a
a a a a a
a a a a a a
a a a a a
a a
A
A A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 22
Temel Matematik Bilgileri: Matris Toplama ve Çıkarma
n m n m n m
n m n m n m
A B C
A B B A
+
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 23
Temel Matematik Bilgileri: Matris Devriği (Transpozu)
T
T
n m m n
n m
m n
A C
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 24
Temel Matematik Bilgileri: Matris Devriği (Transpozu)
T
T
n m m n
n m
m n
A C
Excel
•Toplama
•Skalar Çarpım
•Transpose
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 25
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 26
Temel Matematik Bilgileri: Matris Satır ve Sütunları
n m
n m
A
Satır
Sütun
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 27
Temel Matematik Bilgileri: Matris Satır Vektörleri Gösterimi
1
2
3
n m
n m
A
a
a
a
Satır Vektörü
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 28
Temel Matematik Bilgileri: Matris Sütun Vektörleri Gösterimi
1 2 3 4 5
| | | | |
| | | | |
n m
n m
A
a a a a a
Sütun Vektörü
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 29
Temel Matematik Bilgileri: Kare Matris
n n
n n
A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 30
Temel Matematik Bilgileri: Matris Diyagonalı
n n
n n
A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 31
Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris
0 0
0 0
0 0
n n
n n
A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 32
Temel Matematik Bilgileri: Birim Matris
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n n
n n
I
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 33
Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris - Kolaylıklar
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 34
Temel Matematik Bilgileri: Diyagonal Matris - Kolaylıklar
11 1 1
22 2 2
1 1
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
ii i i
nn n nn n n n
a x b
a x b
a x b
a x b
Ax b ii
i
bx
a
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 35
Temel Matematik Bilgileri: Birim Matris - Kolaylıklar
1 1
2 2
1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
i i
n nn n n n
x b
x b
x b
x b
Ix b
1
ii i
bx b
Ix b x b
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 36
Temel Matematik Bilgileri: Simetrik Matris
T
T
n n n n
n n n n
A A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 37
Temel Matematik Bilgileri: Simetrik Matris
T
T
n n n m m n
m m m n n m
B A A
C A A
B ve C matrisleri simetriktir.
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 38
Temel Matematik Bilgileri: Matris Tersi
1
1
1
A
A A I
A A I
1
1 1
1 1
1
1
her iki tarafı soldan ile çarparsak
A
A Ax A b
A A x A b
Ix A b
x
b
A
Ax
b
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 39
Temel Matematik Bilgileri: Matris Determinantı (Büyüklük)
A
Excel
•Matris Tersi
•Sistem Çözümü
•Diyagonal Matris ile Çözüm
•Determinant
•Transpose ile Simetrik Matris Oluşturma
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 40
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 41
Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Bölünmesi
11 12 1 1 1 1
21 22 2 2 2 2
1 2
1 2 1 1
j n
j n
i i ij in i i
n n nj nn n nn nn n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
Ax b
a11
a12
a21
a22 x2
x1 b1
b2
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 42
Temel Matematik Bilgileri: Matrislerin Bölünmesi
11 11 1 1
21 21 2 21 1n n n n
Ax b
a a x b
a a x b
21 1 22 2
22 2 21 1
1
2 22 21 1
11 1 12 2 1
1
11 1 12 22 21 1 1
1
11 12 22 21 1 1
1
11 12 22 21
1 1
1
1 1
2.Satır:
1.Satır:
ˆ
ˆ
ˆ
a x a x 0
a x a x
x a a x
a x a x b
a x a a a x b
a a a a x b
a a a a a
ax b
x a b
2
11 12 1 1
21 22 2 11
: 0
nn n n
Örnek
b
a a x b
a a x 0
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 43
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri (Baz Vektörleri) – Genel
a a a
x
y
v
v
Büyüklük
Baz Vekt
:
Büyüklük
ör :
:
leri
v v
v v
aa v
aa v
a
a
a
aa v
x
y
v
v
aa v
a a a
vv
a
7 5 2 57 5
32 5
. , ..
a.
a v
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 44
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Birim Vektörler
a a a
x
y
v
v
Büyüklük:
Baz Vek
1
Büyüklük
törleri
1
:
:
v v
v v
aa v
aa v
a
a
a
aa v
x
y
v
vaa v
a a ava 7 5 1 7 5a, .. a v
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 45
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik
x
y
v
v
x
y
v
v
90
|v| = 1
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 46
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik
x
y
v
v
x
y
v
v
90
Vektörler dik değilse, birbirlerine bağlıdırlar. Vektörler dikse, birbirlerine bağlı değillerdir.
v v 0 v v = 0 v v = 1 v v = 1
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 47
Temel Matematik Bilgileri: Taban Vektörleri – Diklik
1
2 1 1 2 2 3 3
3
1
2 1 1 2 2 3 3
3
T T T T
1 1 1 1 1 2 2 1 2 3
T T
1 1 1 1 , eğer baz vektörl
x | | |
x a a a
x | | |
x | | |
x a a a
x | | |
a a a
a
x v v v
x v v v
v x v v v v v v
v x v v
T
1 1 1
eri dik ise
(1) = , eğer baz vektörleri birim vektörler isea av x
Excel
•Örnek Baz Vektörleri
•Normalizasyon
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 48
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 49
Genel Tartışma
1 2 3
1 T
T
, iki türlü çarpım karşımıza çıkmaktadır.
1. Tür: ,
2 Tür: ,
| | |
| | |
.
V v v v
V V V V
V AV V AV
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 50
Temel Matematik Bilgileri: Dik Olmayan Baz Vektörleri
1 2 3
1
T
2 1 2 3
3
1
1
2 1 2 3
3
, baz vektörlerinin olusturduğu matris
1
dik olmayan
0 0
0
| | |
| | |
| | | a b c
e b f
| | | g h i
| | |
| | |
V v v v
v
V V v v v v
v
v
V V v v v v
v
1 0
0 0 1
I
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 51
Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri
1 2 3
1
T
2 1 2 3
3
1
1
2 1 2 3
3
, dik baz vektörlerinin olusturduğu matris
0 0
0 0
0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
| | |
| | |
| | | a
b
| | | c
| | |
| | |
V v v v
v
V V v v v v
v
v
V V v v v v
v
I
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 52
Temel Matematik Bilgileri: Brim-Dik Baz Vektörleri
1 2 3
1
T
2 1 2 3
3
1
1
2 1 2 3
3
, -dik baz vektörlerinin olusturduğu matris
1 0 0
0 1 0
0 0 1
birim
1 0 0
0
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
| | |
V v v v
v
V V v v v v I
v
v
V V v v v v
v
1 0
0 0 1
I
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 54
Temel Matematik Bilgileri: Dik Olmayan Baz Vektörleri
1 2 3
T
, baz vektörleri icin:
Genel kare bir matrisi için,
S
dik olm
imetrik bir matrisi için,
n
aya
| | |
| | |
a b c
e b f
g h i
a b c
e b f
g h i
V v v v
A V AV
A V AV
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 55
Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri
1 2 3
Verilen bir matrisi icin dik baz ,
vektörlerini öyle bir seçilebiliriz ki
0 0
Genel kare bir matrisi için, 0 0
0 0
Simetrik bir matrisi için,
| | |
| | |
a
b
c
AV v v v
A V AV
AT
0 0
0 0
0 0
a
b
c
V AV V AV
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 56
Temel Matematik Bilgileri: Dik Baz Vektörleri – Özdeğer Problemi
1 2 3 , Verilen bir matrisi için:
0 0
Baz vektörlerinin 0 0 durumunu saglaması için
0 0
ile matrisleri arasında özel bir bağlantının sağlanması gereki
Ö
r
zd
.
| | |
| | |
a
b
c
V v v v A
V AV
V A
eger Problemi
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 57
Temel Matematik Bilgileri: Özdeğer Problemi – Normalleştirme
1 2 3
T
, bazen dik baz vektörlerinin büyüklüğü
1 0 0
Simetrik bir mat
normall
risi için, 0 1 0 olacak şekilde seçilir.
0 0 1
Bu seçim işlemine (birim yapma) denireştirme
| | |
| | |
V v v v
M V MV
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 58
Temel Matematik Bilgileri: Özdeğer Problemleri
1
1
2
: baz vektörleri, özvektö
: baz vektör
: genel veya simetrik bir matris + PD
matrisinin
matrisinin
matrisini
: baz matrisi, özvek
k
tö
at
r
n
m
rler
atrisi
sa
n n
n
n
n
n
| | |
| | |
A
A
A
A
Φ
1
2
0 0
0 0 : özdeger matrisi
0 0
yilari, ö
m
zdegerle
atr
r
isininn n
n
AΛ
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 59
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi
1
1
1 2 2
1
-adet baz vektörleri ve katsayıl
: genel bir ma
arı
0 0
,
tris +
0 0
0
P
0
Dn nn n
n
n n
n
n
| | |
| | |
Φ Φ AΦ Λ
A A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 60
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi
T T T
1 1 1 2 2 2
1
T
1 2
1
2
1
-adet baz vektörleri ve
: simetrik matris
katsayıları
, , ... ,
0 0
,
+
0 0
0
d k
PD
0
i
n n
n n n
n
n n n
n
n
n
| | |
| | |
A A A
Φ
A A
Φ AΦ Λ
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 61
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi – Özet
1
1 2 2
1 1
: genel bir matris + PD
0 0
, 0 0
0 0
n
n
| | |
| | |
Φ Λ
Φ AΦ Λ A ΦΛΦ
ΦAΦA AΛ
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 62
Temel Matematik Bilgileri: Standart Özdeğer Problemi – Özet
1
1 2 2
T T
T
T
0 0
, 0 0
0 0
Ayrıca vektörler ise: , : diyag
: simet. bir ma
.
Ayrıca vek
genel
b törler ise:
tris + PD
ir
im
n
n
| | |
| | |
Φ Λ
Φ AΦ Λ A ΦΛΦ
Φ Φ D D
Φ
Φ
A
Φ
ΦA AΛ
I
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 63
Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi
1 1
1 1
1 1
-adet dik baz vektörleri ve katsayıla
,
rı
Standard Özdeğer Proble i: m
n nn n
n
A
Φ ΦA Β Β
Β Β
A
Β
Β Β A
Λ
A
A
A
A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 64
Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi
1 1
1
T T
, simetrik olmayabilir (genel matris)
Ancak şu diklik koşulları sağlan
, : simetr
ır:
,
ve : diyagonal matri
ik mat
sler
ris
di
is
r
eler;
n n
A B
A B
Β ΒΦ Φ Λ
D D
A A
A Β
Β A
Φ
A
Φ Φ Φ
D
A Β
D
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 65
Temel Matematik Bilgileri: Genel Özdeğer Problemi
1 1
T
T
matrisi olacak sekilde seçilebilir
Bu duru
, : simetrik
mda
matris isele
olur
r;
n n
I
Φ Φ
Φ Φ Φ
Φ Φ
A A
A
Λ
Λ
Β Β
Β
Β
A
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 66
Temel Matematik Bilgileri: Özvektörlerin Kullanımı
2
2
1
2
, ,
, : sabit matrisler
, 1 zamana bagli vektör
n
dt t t t
dt
n n
x t
x tt n
x t
A x Bx 0 Ax Bx 0 Ax Bx 0
A B
x
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 67
Temel Matematik Bilgileri: Özvektörlerin Kullanımı
T T
T T
T T
: Özvektörler : Özdeğerler
,
ve diyagonal matrislerdir
t t
A Β Φ Λ
x Φq
Bx Ax 0 BΦq AΦq 0
Φ BΦq AΦq Φ 0
Φ BΦq Φ AΦq 0
Φ AΦ A Φ BΦ B
A B
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 68
Özdeğer ve Özvektörlerin Bulunması
2
n n n
2
n n
2
n
2
n n
2
n
,
0
0 değeri bulunabilir
vektörü bulunabilir
t sin t t sin t
sin t
Mx Kx 0
x x
K M
KX M
K M
K M 0
Excel
•Genel Matris için Özdeğer Problemi
•Simetrik Matris için Özdeğer Problemi
22.10.2016 Çok Serbestlik Dereceli Sistemler – Barış Erkuş (İTÜ) Sayfa: 69
top related