Çukurova Ünİversİtesİ fen bİlİmlerİ enstİtÜsÜ yÜksek ... · analizlerde ince plak...
Post on 08-Feb-2020
9 Views
Preview:
TRANSCRIPT
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ Emel YAĞCI
TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ
İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 2007
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Emel YAĞCI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
Bu tez 04/12/2007 Tarihinde Aşağıdaki Jüri üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza:.......................... İmza:..................................... İmza:................... Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yrd.Doç.Dr. A.Hamza TANRIKULU Doç.Dr. Galip SEÇKİN DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü
Bu çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:MMF.2005.YL.331 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE
DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ
I
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Emel YAĞCI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI
Danışman: Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yıl: 2007, Sayfa:193
Jüri :Doç. Dr. H. Murat ARSLAN Yrd. Doç. Dr. A. Hamza TANRIKULU Yrd. Doç. Dr. Galip SEÇKİN
Bu çalışmada, tabakalı plakların düşey yükler altında statik analizleri
yapılmıştır. Analizlerde simetrik ve antisimetrik tabakalanma durumlarındaki plağın
davranışları incelenmiştir. Plak malzemesi izotrop ve ortotrop olarak kabul
edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumları için plak eğilime rijitlikleri, plağın farklı
tabakalanma durumları için ise farklı tabakalanma açıları, farklı elastisite modülleri
ve plağın kenar uzunluklarının birbirine oranına göre plak davranışı incelenmiştir.
Analizlerde ince plak kabulleri ile ele edilen diferansiyel denklemler, değişkenlerine
ayırma yöntemleriyle çözülmüştür. MATHEMATİCA adlı bilgisayar programı
yardımıyla, çözüm için bir bilgisayar programı hazırlanıp, sonuçlar sonlu elemanlar
yöntemine dayalı çözüm yapan ANSYS paket programı ile elde edilen sonuçlarla
karşılaşılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Statik analiz, Tabakalı plaklar, İnce plak teorisi, Simetrik ve Antisimetrik tabakalanma, Değişkenlerine ayırma yöntemi.
TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE
DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ
II
ABSTRACT
MSc THESIS
Emel YAĞCI
DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSTY OF CUKUROVA
Supervisor : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Year : 2007, Pages :193 Jury :Assoc. Dr. H. Murat ARSLAN Asist. Prof. Dr. A. Hamza TANRIKULU Assoc.Prof. Dr. Galip SEÇKİN
In this study, the static analysis of laminated plates under vertical loads, is
studied. In the analysis, the behaviour of the plate in the cases of symmetric and
antisymetric lamination, is investigated. The material of the plate is considered to be
isotropic and orthotropic. For symmetric lamination cases, plate bending stiffnesses,
behaviour of the plate with different lamination angles and different plate
arrangements are investigated while for antisymmetric lamination cases, the plate
behaviour is investigated according to the lamination angles, different elasticity
moduli ratios and different aspect ratios of the plate. In the analysis the differential
equations which are optained employing thin plate assumptions, are solved by the
help of the method of separation of variables. Preparing a computer program for the
solution by the help of a computer algebra system called MATHEMATICA, the
results are compared with the results which are obtained using the commercial
computer program ANSYS which carries out solutions based on the finite element
method.
Key Words: Static analysis, Laminated Plates, Thin Plate Theory, Symmetric and Antisymmetric Lamination, Separation of Variables Method.
BENDING ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE
THIN PLATES UNDER THE EFFECTS OF THE TRANSVERSE LOADING
III
TEŞEKKÜR
Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren ve
yöneten Danışman Hocam Doç.Dr. H.Murat ARSLAN ’ a teşekkür ederim.
Ayrıca, bu çalışmanın her adımında zamanını ve yardımlarını esirgemeyen
Araştırma Görevlisi Sayın Ali DOĞAN’a, sabır ve desteklerinden dolayı sevgili
aileme ve arkadaşlarıma en içten teşekkürlerimi sunarım.
IV
İÇİNDEKİLER SAYFA
ÖZ ........................................................................................................................ I
ABSTRACT ....................................................................................................... II
TEŞEKKÜR ...................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER .................................................................................................. IV
ÇİZELGELER DİZİNİ ..................................................................................... VII
ŞEKİLLER DİZİNİ ........................................................................................... IX
SEMBOLLER DİZİNİ ................................................................................... XIV
1.GİRİŞ ............................................................................................................... 1
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR ................................................................................. 3
3.MATERYAL VE METOD ............................................................................... 5
3.1.Kompozit Malzemeler ................................................................................ 5
3.2.Kompozit Malzemelerin Kullanımı ............................................................ 7
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ .......................................... 9
4.1.Giriş .......................................................................................................... 9
4.2. Tanımlamaların İncelenmesi .................................................................. 14
4.2.1.Gerilme ......................................................................................... 14
4.2.2. Şekil Değiştirme ........................................................................... 17
4.2.3. Malzeme Modülleri ...................................................................... 22
4.2.4. Şekil Değiştirme Enerjisi .............................................................. 24
4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hook Kanunları ........................................... 25
4.3.1. Anizotropik Malzeme ................................................................... 27
4.3.2. Monoklinik Malzeme ................................................................... 28
4.3.3. Ortotropik Malzeme ..................................................................... 28
4.3.4. Transversely (Enine) İzotropik Malzeme ...................................... 29
4.3.5. İzotropik Malzeme ....................................................................... 30
4.4. Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların
Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi ........................................................... 31
4.5. Klasik Tabaka Teorisi(CLT) .................................................................. 37
4.6. Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi ...................... 38
V
4.7. İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hook Kanunları .................................. 39
4.8. Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri . 44
4.9. Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerine Bağlı Olarak Oluşan
Kuvvetler ve Momentler ....................................................................... 48
4.10. Bazı Özel Tabakalanma Tipleri ........................................................... 53
4.10.1.Simetrik Tabakalanma ............................................................... 53
4.10.1.1. İzotropik Simetrik Tabakalanma .................................. 53
4.10.1.2. Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma ....................... 54
4.10.1.3. Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma ..................... 55
4.10.2. Antisimetrik Tabakalanma ........................................................ 55
4.10.2.1. Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma ...................... 56
4.10.2.2. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma ......................... 56
5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ ........................ 57
5.1. Giriş ...................................................................................................... 57
5.2. Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri .................. 57
5.3. Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi .................... 62
5.3.1. Özel Ortotropik Tabakalanma ...................................................... 64
5.3.2. Simetrik Açılı-Katlı Tabakalanma ............................................... 65
5.3.3. Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma ...................................... 66
5.3.4. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma ......................................... 67
6. SAYISAL UYGULAMALAR ....................................................................... 69
6.1. Giriş ...................................................................................................... 69
6.2.Sayısal Örnekler ..................................................................................... 70
6.2.1. Simetrik Tabakalanma ................................................................. 70
Örnek 1 ........................................................................................ 70
Örnek 2 ........................................................................................ 74
Örnek 3 ........................................................................................ 82
Örnek 4 ...................................................................................... 107
6.2.2. Antisimetrik Tabakalanma ......................................................... 131
Örnek 5 ...................................................................................... 131
Örnek 6 ...................................................................................... 155
VI
7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER ..................................................................... 180
KAYNAKLAR ................................................................................................ 183
ÖZGEÇMİŞ .................................................................................................... 186
EKLER ............................................................................................................ 187
EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı .................... 189
VII
ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA
Çizelge 6.1. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması .............................. 71
Çizelge 6.2. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması .............. 71
Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması .............. 71
Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması ........................... 75
Çizelge 6.5. Plak moment değerleri........................................................................ 75
Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 76
Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 77
Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-1) .... 83
Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1).... 84
Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı
iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) .......... 85
Çizelge 6.10. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-2) .. 95
Çizelge 6.11. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı
iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ............. 96
Çizelge 6.12. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı
iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ............. 97
Çizelge 6.13. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar
için plak eğilme rijitlikleri ............................................................... 108
Çizelge 6.14. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı
açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta
noktasındaki çökme değerleri .......................................................... 109
Çizelge 6.15.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı
açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle
moment değerlerinin karşılaştırılması .............................................. 110
Çizelge 6.16. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak
problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak
orta noktasındaki çökme değerleri ................................................... 132
VIII
Çizelge 6.17. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri ..................... 133
Çizelge 6.18. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri ........................... 134
Çizelge 6.19. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerleri ....................... 143
Çizelge 6.20.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................ 144
Çizelge 6.20.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
orta noktasındaki çökme değerleri................................................ 145
Çizelge 6.20.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
orta noktasındaki çökme değerleri................................................ 146
Çizelge 6.21.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak moment değerleri ................................................................. 146
Çizelge 6.21.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak moment değerleri ................................................................. 147
Çizelge 6.21.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak moment değerleri ................................................................. 148
Çizelge 6.22.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre
plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................... 156
Çizelge 6.23.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre
plak moment değerleri ..................................................................... 157
IX
Çizelge 6.24. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri ...... 158
Çizelge 6.25. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B26 değerleri ...... 159
Çizelge 6.26. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri .......... 168
Çizelge 6.27.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri ........................................................................... 169
Çizelge 6.27.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri ........................................................................... 170
Çizelge 6.27.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri ........................................................................... 171
Çizelge 6.28.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
moment değerleri ......................................................................... 171
Çizelge 6.28.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
moment değerleri ......................................................................... 172
Çizelge 6.28.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
moment değerleri ......................................................................... 173
VII
ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA
Çizelge 6.1. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması .............................. 71
Çizelge 6.2. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması .............. 71
Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması .............. 71
Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması ........................... 75
Çizelge 6.5. Plak moment değerleri........................................................................ 75
Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 76
Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri ................. 77
Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-1) .... 83
Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1).... 84
Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı
iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) .......... 85
Çizelge 6.10. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-2) .. 95
Çizelge 6.11. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı
iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ............. 96
Çizelge 6.12. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı
iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ............. 97
Çizelge 6.13. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar
için plak eğilme rijitlikleri ............................................................... 108
Çizelge 6.14. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı
açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta
noktasındaki çökme değerleri .......................................................... 109
Çizelge 6.15.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı
açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle
moment değerlerinin karşılaştırılması .............................................. 110
Çizelge 6.16. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak
problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak
orta noktasındaki çökme değerleri ................................................... 132
IX
Çizelge 6.17. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri ..................... 133
Çizelge 6.18. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri ........................... 134
Çizelge 6.19. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerleri ....................... 143
Çizelge 6.20.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................ 144
Çizelge 6.20.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
orta noktasındaki çökme değerleri................................................ 145
Çizelge 6.20.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
orta noktasındaki çökme değerleri................................................ 146
Çizelge 6.21.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak moment değerleri ................................................................. 146
Çizelge 6.21.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak moment değerleri ................................................................. 147
Çizelge 6.21.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre
plak moment değerleri ................................................................. 148
Çizelge 6.22.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre
plak orta noktasındaki çökme değerleri ........................................... 156
Çizelge 6.23.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre
plak moment değerleri ..................................................................... 157
IX
Çizelge 6.24. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri ...... 158
Çizelge 6.25. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B26 değerleri ...... 159
Çizelge 6.26. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri .......... 168
Çizelge 6.27.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri ........................................................................... 169
Çizelge 6.27.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri ........................................................................... 170
Çizelge 6.27.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri ........................................................................... 171
Çizelge 6.28.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
moment değerleri ......................................................................... 171
Çizelge 6.28.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
moment değerleri ......................................................................... 172
Çizelge 6.28.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak
moment değerleri ......................................................................... 173
X
ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA
Şekil 4.1. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü .... 9
Şekil 4.2. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu .............. 10
Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip
tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu ........................................................ 12
Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere
sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu .............................. 13
Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler ...................... 15
Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler ................................. 16
Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler .......................................... 17
Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve
kayma şekil değiştirmeleri .................................................................... 18
Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi ........................... 23
Şekil 4.10. Temel malzeme koordinat sistemi ...................................................... 31
Şekil 4.11. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler ................. 32
Şekil 4.12. σ1 gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu .............................. 33
Şekil 4.13. τ12 kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu ............... 34
Şekil 4.14. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi ............................................ 37
Şekil 4.15. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar .............................................. 40
Şekil 4.16. x-z düzleminde deformasyon .............................................................. 44
Şekil 4.17. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler ..................... 47
Şekil 4.18. Bir tabakalı elemandaki katmanların koordinat yerleşimi ................... 48
Şekil 4.19. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma .......................... 54
Şekil 4.20. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma ............................... 54
Şekil 4.21. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma ....................................... 55
Şekil 4.22. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma .............................. 56
Şekil 4.23. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma .................................. 56
Şekil 5.1. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler ................................ 58
Şekil 5.2.a. Plak kuvvetleri .................................................................................. 59
Şekil 5.2.b. Plak momentleri ................................................................................ 59
Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak ..................... 63
XI
Şekil 6.1. Üniform yüklü kare plak ...................................................................... 70
Şekil 6.2. 20x20 SE ağıyla çözülen, a/h=50 olan çelik plak
problemi için düşey deplasman dağılımı ............................................... 72
Şekil 6.3. 20x20 SE ağıyla çözülen, a/h=50 olan çelik
plak problemi için σx gerilme dağılımı ................................................. 73
Şekil 6.4. 20x20 SE ağıyla çözülen, a/h=50 olan çelik
plak problemi için Mx moment dağılımı .............................................. 73
Şekil 6.5. Örnek 2 deki altı farklı tabakalanma durumu ........................................ 74
Şekil 6.6. Durum-1 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına
bağlı olarak değişimi ............................................................................ 79
Şekil 6.7. Durum-2 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına
bağlı olarak değişimi ............................................................................ 79
Şekil 6.8. Durum-3 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına
bağlı olarak değişimi ............................................................................ 80
Şekil 6.9. Durum-4 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına
bağlı olarak değişimi ............................................................................ 80
Şekil 6.10. Durum-5 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına
bağlı olarak değişimi ......................................................................... 81
Şekil 6.11. Durum-6 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına
bağlı olarak değişimi ......................................................................... 81
Şekil 6.12. Örnek 3 için plak yerleşimi ................................................................ 82
Şekil 6.13. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın
eğilme rijitlikleri (Durum-1) .............................................................. 83
Şekil 6.14. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
(a/2, b/2) noktasında plak çökme değerleri (Durum-1) ........................ 84
Şekil 6.15. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) ....................................... 87
Şekil 6.16. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1) ....................................... 87
Şekil 6.17. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .................... 88
XII
Şekil 6.18. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 88
Şekil 6.19. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
30o /90o /90o /30o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 89
Şekil 6.20. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
45o /90o /90o /45o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 89
Şekil 6.21. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
60o /90o /90o /60o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 90
Şekil 6.22. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
75o /90o /90o /75o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 90
Şekil 6.23. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri ................ 91
Şekil 6.24. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .................... 91
Şekil 6.25. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 92
Şekil 6.26. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
30o /90o /90o /30o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 92
Şekil 6.27. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
45o /90o /90o /45o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 93
Şekil 6.28. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
60o /90o /90o /60o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 93
Şekil 6.29. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
75o /90o /90o /75o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 94
Şekil 6.30. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri ................ 94
Şekil 6.31. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın
eğilme rijitlikleri (Durum-2) ............................................................... 95
Şekil 6.32. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
(a/2,b/2)noktasında ,çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) . 96
Şekil 6.33. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ....................................... 99
XIII
Şekil 6.34. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için
My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2) ....................................... 99
Şekil 6.35. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .................. 100
Şekil 6.36. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /15o /15o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 100
Şekil 6.37. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /30o /30o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 101
Şekil 6.38. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /45o /45o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 101
Şekil 6.39. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /60o /60o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 102
Şekil 6.40. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /75o /75o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 102
Şekil 6.41. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri .............. 103
Şekil 6.42. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .................. 103
Şekil 6.43. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /15o /15o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 104
Şekil 6.44. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /30o /30o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 104
Şekil 6.45. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /45o /45o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 105
Şekil 6.46. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /60o /60o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 105
Şekil 6.47. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /75o /75o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 106
Şekil 6.48.Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri .............. 106
Şekil 6.49. Örnek 4 için tabaka dizilimi ............................................................. 107
XIV
Şekil 6.50. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme
değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı 0.120m ) ..................... 113
Şekil 6.51. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme
değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı 0.240m ) ..................... 113
Şekil 6.52. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme
değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı 0.360m ) ..................... 114
Şekil 6.53. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme
değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı 0.480m ) ..................... 114
Şekil 6.54. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120m ) .................... 115
Şekil 6.55. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120m ) .................... 115
Şekil 6.56. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240m ) .................... 116
Şekil 6.57. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240m ) .................... 116
Şekil 6.58. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360m ) .................... 117
Şekil 6.59. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360m ) .................... 117
Şekil 6.60. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480m ) .................... 118
Şekil 6.61. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My
değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480m ) .................... 118
Şekil 6.62. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.120m)(ANSYS) ................... 119
Şekil 6.63. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.120m )(D.A.Y.) ..................... 120
Şekil 6.64. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t.k. 0.120m )(ANSYS-D.A.Y.) ........ 121
Şekil 6.65. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.240m ) (ANSYS) .................. 122
XV
Şekil 6.66. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.240m ) (D.A.Y.) .................... 123
Şekil 6.67. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.240m ) (ANSYS-D.A.Y.) ...... 124
Şekil 6.68. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.360m ) (ANSYS) .................. 125
Şekil 6.69. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.360m ) (D.A.Y.) .................... 126
Şekil 6.70. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.360m ) (ANSYS-D.A.Y.) ..... 127
Şekil 6.71. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.480m ) (ANSYS) .................. 128
Şekil 6.72. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.480m )(D.A.Y.) ..................... 129
Şekil 6.73. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx
gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k. 0.480m ) (ANSYS-D.A.Y.) ..... 130
Şekil 6.74. Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli ..................... 131
Şekil 6.75. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri ............................. 134
Şekil 6.76. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (D.A.Y) .................................................................. 136
Şekil 6.77. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS) ................................................................ 137
Şekil 6.78. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) ................................................... 138
Şekil 6.79. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) ................ 139
Şekil 6.80. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS) .............. 140
XVI
Şekil 6.81. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y) . 141
Şekil 6.82. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerleri ....................... 143
Şekil 6.83. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (D.A.Y) ................................................................. 149
Şekil 6.84. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS) ............................................................... 150
Şekil 6.85. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) ................................................... 151
Şekil 6.86. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) ........... 152
Şekil 6.87. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS) ......... 153
Şekil 6.88. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)154
Şekil 6.89. Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli ..................... 155
Şekil 6.90. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre B16 değerleri ....................... 158
Şekil 6.91. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre B26 değerleri ....................... 159
Şekil 6.92. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (D.A.Y) ................................................................. 161
Şekil 6.93. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS) ............................................................... 162
XVII
Şekil 6.94. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (D.A.Y-ANSYS) ................................................... 163
Şekil 6.95. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y) .......... 164
Şekil 6.96. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (ANSYS) ........ 165
Şekil 6.97. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y-ANSYS)166
Şekil 6.98. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16-B26 değerleri ............... 168
Şekil 6.99. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (D.A.Y) ................................................................. 174
Şekil 6.100. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS) ............................................................... 175
Şekil 6.101. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) ................................................... 176
Şekil 6.102. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) .......... 177
Şekil 6.103. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS) ........ 178
Şekil 6.104. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde
tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)179
XVII
SEMBOLLER DİZİNİ
δ1 : 1 doğrultusundaki normal deformasyon miktarı.
δ2 : 2 doğrultusundaki normal deformasyon miktarı.
σx : x doğrultusundaki normal gerilme.
σy : y doğrultusundaki normal gerilme.
σz : z doğrultusundaki normal gerilme.
τyx,τyz,τzx : Eleman yüzeylerindeki kayma gerilmeleri.
εx : x doğrultusundaki normal şekil değiştirme.
εy : y doğrultusundaki normal şekil değiştirme.
εz : z doğrultusundaki normal şekil değiştirme.
u : x doğrultusundaki deplasman
v : y doğrultusundaki deplasman
z : z doğrultusundaki deplasman
γxy,γyz,γzx : Kayma şekil değiştirmeleri
E : Elastisite sabiti
υ : Poisson oranı
G : Kayma modülü
W : Her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerisi
[C] : Rijitlik (stiffness) matris
Cij : Rijitlik (stiffness) matrisinin elemanları
[S] : Esneklik (compliance) matris
Sij : Esneklik (compliance) matrisinin elemanları
Qij : İndirgenmiş rijitlik katsayıları
[T] : Transformasyon matrisi
[R] : Reuter matris
[ ]ijQ : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi
[ ]ijS : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi
uc : C noktasının x doğrultusunda yaptığı deplasman
uo : Orta düzlemin,x doğrultusunda yaptığı deplasman
XVIII
vo : Orta düzlemin, y doğrultusunda yaptığı deplasman
wo : Orta düzlemin, z doğrultusunda yaptığı deplasman
zc : Orta düzlemin C noktasına olan uzaklığı
β : x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi
εxo : Orta düzlemde x doğrultusundaki normal şekil değiştirme
εyo : Orta düzlemde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme
γxyo : Orta düzlemdeki x-y kayma şekil değiştirmesi
Kx,Ky,Kxy : Orta düzlemdeki eğrilikler
a,b : Plak elemanının x ve y doğrultusundaki boyutları
t : Her bir tabakanın kalınlığı
h : Tabakalı plağın toplam kalınlığı
t : Her bir tabakanın kalınlığı
h0 : Birinci tabakanın üst yüzeyi
h1 : Birinci tabakanın alt yüzeyi
hn : n. tabakanın alt yüzeyi
hn-1 : n. tabakanın üst yüzeyi
hk-1 : k. tabakanın üst yüzeyi
hk : k. tabakanın alt yüzeyi
Nx,Ny : Birim uzunluktaki normal kuvvet
Nxy : Birim uzunluktaki kesme kuvveti
Mx,My : Birim uzunluktaki eğilme momentleri
Mxy : Birim uzunluktaki burkulma momentleri
Aij : Uzama rijitlik matrisi
Bij : Eğilme uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi
Dij : Eğilme rijitlik matrisi
zyx F,F,F : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetler
P0 : Birim yük
Amn : x doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı
Bmn : y doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı
Cmn : z doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı
1.GİRİŞ Emel YAĞCI
1
1.GİRİŞ
Plaklar, kalınlıkları diğer iki boyutuna oranla, çok küçük olan taşıyıcı
elemanlardır. Düşey ve yatay yükleri aktararak taşıyıcı sistem elemanları arasındaki
sürekliliği sağlamalarından dolayı, önemli bir taşıyıcı sistem elemanı olarak
görülmektedirler. İkametgah tipi yapılar genellikle, dikdörtgen veya düzgün
geometriye sahip olmaları ve çoğunlukla düzgün yayılı yük etkisi altında
kalmalarından dolayı, bu tip yapılarda plakların analizi daha da kolaylaşmaktadır.
Belirtilen özelliklere sahip plakların analizi için, literatürde ve yönetmeliklerde
problemlerin çözümü için yeterli olabilecek yaklaşık yöntemler verilmiştir.
Kalınlığının açıklığına oranı yaklaşık olarak 1/20 den küçük olan plaklara
ince plaklar denilmektedir. İnce plaklar Kirchoff hipotezinde belirtildiği gibi, plak
kalınlığı boyunca kayma deformasyonları ihmal edilerek çözülebilmektedirler. Plak
kalınlığının büyük olduğu kalın plak durumunda, Reissner-Mindlin hipotezi veya
yüksek dereceden kayma deformasyonları dağılımı teorileri yardımıyla çözüm
yapılabilmektedir. Bunlara ek olarak, literatürde kayma deformasyonlarını dikkate
alan çok sayıda teori de bulunmaktadır.
Bazı özel durumlarda plakların bazı özelliklerinin iyileştirilmesi istenir. Bu
iyileştirmeler ile istenilen özelliklere sahip plakların elde edilmesi sağlanır. Örneğin
tabakalı kompozit plaklarda olduğu gibi zayıf ve güçlü malzemelerin belirli ölçülerde
biraraya getirilmesi ile veya tabaka açılarının değişimi ile bu iyileştirmeler
sağlanabilir.
Tabakalı kompozit plaklar çok çeşitli tabaka dizilimlerine sahip
olabilmektedirler ve bu tabaka dizilimlerine bağlı olarak farklı tabaka rijitlikleri
gösterirler. Bu tabaka rijitliklerinin iyi anlaşılması ile, istenilen amaca en uygun
tabakalanma çeşidine ulaşmak mümkün olur.
Plakların analizinde analitik karmaşıklıklardan dolayı bazı sınırlandırmalar ve
varsayımlar yapılarak yaklaşık yöntemler uygulanabilmektedir. Tabakalandırılmış
plak teorisinin temellendirildiği bazı sınırlamalar ve varsayımlar da bulunmaktadır.
Sınırlamalar, dayandığı teorinin kullanımı üzerindeki sınırlamalardır ki bunlar
giderilebilir veya giderilemez. Örneğin kare plaklar için kullanılan bir teori dairesel
1.GİRİŞ Emel YAĞCI
2
plaklara uymaz. Varsayımlar ise, belirsizlik türündeki teoriler üzerindeki
sınırlamalardır. Örneğin, bir plağın yüzeyine dik olan gerilmelerin genel olarak sıfır
olarak kabul edilebilmesi için boyutunun yeterince küçük olduğu varsayılır veya
değerinin sıfır olduğu farzedilir. Yinede daha doğru bir teoriye başvurmadıkça, kesin
olarak gerilmelerin ne kadar küçük olduğu bilinemez. Özetle sınırlamalar ve
varsayımlar arasındaki fark şudur ki, sınırlamalar bilineni varsayımlar bilinmeyenleri
içerirler (Jones, 1975).
Plaklar her zaman geometri ve yükleme açısından elverişli özelliklere sahip
olmayabilirler ve bu tip özelliklere sahip plakların analizi için yaklaşık yöntemler
yeterli olamayabilir. Bundan dolayı, geniş işlem hacmine sahip olan ancak bilgisayar
desteğiyle bu sorunu aşan Sonlu Farklar, Sınır Eleman ve Sonlu Elemanlar Yöntemi
gibi bazı sayısal yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden Sonlu Elemanlar
Yöntemi, sistematik olması, her türlü yapıya kolaylıkla uygulanabilmesi ve
programlamaya elverişli olmasından dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonlu
elemanlar yönteminde, analizi yapılan plağın geometrisine ve istenilen hassasiyetine
göre plağa sonlu eleman ağı uygulanmaktadır.
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Emel YAĞCI
3
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR
Plak analizi ile ilgili çalışmalar ilk olarak 1800’lü yıllarda yapılmıştır. Bu
çalışmalar sonucunda Kirchoff Hipotezi’ne dayalı klasik plak teorisi geliştirilmiş
olup çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi Galerkin ile başlamıştır. Kirchoff Hipotezi
ince plak üzerine yapılan çalışmalara temel teşkil etmiştir. Bu hipoteze göre plak orta
düzleminin şekil değiştirmediği ve herhangi bir noktanın düşey deplasmanının plak
kalınlığı yanında çok küçük olduğu kabul edilmektedir. Ayrıca Kirchoff Hipotezi’ne
göre orta düzleme dik olan normal gerilme σz, diğer gerilme bileşenleri yanında
ihmal edilmekte ve orta düzleme dik düzlemler şekil değiştirmeden sonra yine orta
düzleme dik kalmaktadır.
Sonraki yıllarda Galerkin (1915) ve Timeshenko (1940) bu teoriye dayalı
olarak plaklar için sayısal ve analitik çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. Ayrıca Ritz
Navier ve Levy (1981) gibi araştırmacılarda seriler yardımıyla basit kabuller yaparak
çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir.
Daha sonraki çalışmalarda Reissner (1975) kayma deformasyonlarını göz
önüne alan bir model geliştirmiştir. Reissner birinci mertebe teorisi olarak
adlandırılan teoride, kayma deformasyonlarını ilk olarak statik analizle göz önüne
almış ve kayma deformasyonlarının plak kesiti boyunca lineer dağıldığını kabul
ederek bir basitleştirmede bulunmuştur. Ayrıca Mindlin (1951) izotropik ve elastik
plakların gerilme dağılımını inceleyen araştırmalar yapmıştır. Reissner-Mindlin
Hipotezi olarak bilinen bu teoride kayma deformasyonları lineer olarak kabul
edilmektedir.
Diğer bir kalın plak teorisi de yüksek dereceli kayma deformasyonu teorisidir.
Bu teoride esas olarak kayma deformasyonlarının nonlineer olarak değiştiği kabul
edilmektedir. Reddy (1984) kayma deformasyonunun parabolik dağılımını göz önüne
alarak daha gerçekçi yüksek dereceli bir model kullanılmıştır. Phan (1985),
Lo (1977) gibi araştırmacılar da yüksek dereceli kayma deformasyonunu dikkate
alan çeşitli modeller geliştirmişlerdir. Ayrıca Subramanian (1993) izotropik
plakaların eğilmesi üzerine çalışmalarda bulunmuşlardır. Hassis (1998) ise tek bir
tabakadan oluşan plaklar için yüksek dereceli bir model önermiştir.
2.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Emel YAĞCI
4
Plakların tabakalandırılması son üzerinde sıkça durulan bir konudur. Farklı
tipte malzemelerle yüksek mukavemetli, hafif ve bir çok amaca yönelik tabakaların
oluşturulması için yapılan bu model üzerinde Suresh ve arkadaşları (1979) her bir
düğümde beş serbestlik derecesine sahip süperparametrik kuadratik tabakalı plak
elemanı üzerinde gerilme-şekil değiştirme ilişkisini araştırmışlardır. Hou ve
Jerominidis (2000) ise tabakalar arası kopma dayanımlarını inceleyen bir araştırma
yapmışlardır. Ayrıca Reddy (1989) tabakalı kompozit plakların sınır şartları,
burulma yükleri ve tabakalar arasındaki frekans etkileşimleri konusunda çalışmalarda
bulunmuştur. Lucking ve arkadaşları (1984) ise kompozit plakların boşluklu olması
halini dikkate almış ve bu yönde çalışmalarda bulunmuşlardır.
İnce plakların eğilmesi, bükülmesi ve titreşimi konusunda da birçok çalışma
yapılmıştır. Bunlardan Jones (1999) tabakalı plakları değişkenlerine ayırma
yöntemiyle ele almış ve çeşitli tabaka sayılarına, elastisite modülüne ve tabaka
açılarına göre tabaka rijitliklerini incelemiştir.
Bütün bu çalışmaların çoğu çeşitli sayısal çözüm yöntemleri kullanılarak
yapılmıştır. Bunlar sonlu farklar yöntemi, sınır elemanlar yöntemi ve sonlu elemanlar
yöntemidir. Sonlu elemanlar yöntemini kullanan çok amaçlı bir paket program olan
ANSYS, ince plakları, kalın plakları ve tabakalı plakları çeşitli tipte elemanlar
kullanarak çözmektedir.
3.MATERYAL VE METOD Emel YAĞCI
5
3.MATERYAL VE METOD
3.1. Kompozit Malzemeler
Kompozit malzeme, istenen amaç için tek başlarına uygun olmayan farklı iki
veya daha fazla malzemenin istenen özellikleri sağlayacak şekilde belirli şartlar ve
oranlarda fiziksel olarak bir araya getirilmesiyle elde edilen malzeme grubudur. Üç
boyutlu bu bir araya getirmede amaç, bileşenlerin hiçbirinde tek başına mevcut
olmayan bir özelliğin elde edilmesidir. Diğer bir deyişle, amaçlanan doğrultuda
bileşenlerinden daha üstün özelliklere sahip bir malzeme üretilmesi
hedeflenmektedir. Kompozit malzemeye, “Çok Bileşenli Malzeme”, “Çok Fazlı
Malzeme”, “Donatılı Malzeme” ve “Pekiştirilmiş Malzeme” gibi adlar da
verilmektedir. (Ersoy,2001)
Kompozit malzemelerde çekirdek olarak kullanılan bir fiber malzeme ve bu
malzemenin çevresinde hacimsel olarak çoğunluğu oluşturan bir matris malzeme
bulunmaktadır. Bu iki malzeme grubundan fiber malzeme kompozit malzemenin
mukavemet ve yük taşıma özelliğini sağlar, matris malzeme ise fiber malzemeleri
yük altında bir arada tutar ve yükü lifler arasında homojen olarak dağıtır.
Kompozitlerin özgül ağırlıklarının düşük olması, yüksek mukavemet
göstermeleri, kolay şekillendirilebilmeleri, daha az deformasyona uğramaları ve daha
fazla yük taşıyabilmeleri kullanım alanları için büyük bir avantaj sağlamaktadır.
Bunun yanında, kompozit malzemelerin üretiminde şu özelliklerin geliştirilmesi
hedeflenir. Mekanik dayanım, korozyona karşı direnç, rijitlik, ağırlık, yüksek
sıcaklığa dayanım göstermek, ısı iletkenliği, kırılma tokluğu, ses tutuculuğu ve
görünüm. Bu özelliklerin birisi veya birkaçı geliştirilirken, kompozit malzemenin
zayıf yönleri iyileştirilir. Bu iyileştirme kompoziti oluşturan matris ve fiber
elemanların analizi ile mümkündür
Kompozit malzemelerin tanımından da anlaşıldığı üzere, kompozit
malzemelerde genellikle şu dört koşul aranmaktadır :
1) İnsan yapısı olması, dolayısıyla doğal bir malzeme olmaması.
2) Farklı malzemelerin üç boyutlu olarak biraraya getirilmiş olması.
3.MATERYAL VE METOD Emel YAĞCI
6
3) Bileşenlerinin hiçbirinin tek başına sahip olmadığı özellikleri taşıması,
dolayısıyla bu amaçla üretilmiş olması.
4) Kompozit malzemeleri oluşturan fiber ve matris malzemelerin bir bütün
olarak davranması.
Kompozitler aşağıdaki şekilde gruplandırılabilir.
1) Tanelerle Donatılı Kompozit Malzeme: Kompoziti oluşturan matris
malzeme içerisinde milimetrik düzeydeki tanelerin yer almasıyla meydana
gelen kompozit türüdür. Bu türe beton örnek olarak gösterilebilir.
2) Liflerle Donatılı Kompozit Malzeme: Çekme ve eğilme dayanımları istenen
düzeyde olmayan zayıf malzemelerin zayıf olan yönlerinin iyileştirilmesi
amacıyla liflerle donatılması ile elde edilen bir kompozit türüdür.
3) Tabakalı Kompozit Malzeme: En az iki adet farklı fazın, tabakalı bir
şekilde kompozitin yapısında yer almasıyla meydana gelir. Bu fazlardan birisi
kompozite özelliğini kazandıran sürekli faz, diğeri ise tabakaları bir arada
tutan bağlayıcı fazdır.
3.MATERYAL VE METOD Emel YAĞCI
7
3.2. Kompozit Malzemelerin Kullanımı
Kompozit malzemenin bilinen en eski ve en geniş kullanılan alanı inşaat
sektörüdür. Saman ile liflendirilmiş çamurdan yapılan duvarlar ilk kompozit
malzeme örneklerindendir. Bugün taş, kum, kireç, demir ve çimento ile oluşturulan
kompozit malzeme evlerimizi oluşturmaktadır.
Günümüzde kompozit malzemelerin kullanım alanı çok geniş boyutlara
ulaşmıştır. Başlıca kullanım alanları şu şekilde sıralanabilir:
Şehircilik : Bu alanda kompozitler toplu konut yapımında, çevre
güzelleştirme çalışmalarında (heykel, banklar, elektrik direkleri v.s.)
kullanılmaktadır.
Ev Aletleri : Masa, sandalye, televizyon kabinleri, saç kurutma makinesi gibi
çok kullanılan ev aletlerinde ve dekoratif ev eşyalarında kompozit malzemeler
kullanılmaktadır.
Elektrik ve Elektronik Sanayi : Kompozitler başta elektriksel izolasyon
olmak üzere her tür elektrik ve elektronik malzemenin yapımında kullanılmaktadır.
Otomotiv Sanayi : Bu alanda kompozitlerden oluşan başlıca ürünler;
otomobil kaportası parçaları, iç donanımı, bazı motor parçaları, tamponlar ve oto
lastikleridir.
Havacılık Sanayi : Havacılık sanayisinde kompozitler, gün geçtikçe daha
geniş bir uygulama alanına sahip olmaktadır. Planör gövdesi, uçak modelleri, uçak
gövde ve iç dekorasyonu, helikopter parçaları ve uzay araçlarında başarıyla
kullanılmaktadır.
İş Makinaları : İş makinaları kapakları ve çalışma kabinleri yapımında da
kompozit malzeme kullanılmaktadır.
İnşaat Sektörü : Cephe korumaları, tatil evleri, büfeler, otobüs durakları,
soğuk hava depoları, inşaat kalıpları birer kompozit malzeme uygulamalarıdır.
3.MATERYAL VE METOD Emel YAĞCI
8
Bu çalışmada , tabakalı kompozit plakların farklı tabakalaşma şekillerine göre
tabaka rijitliklerinde ve tabaka iç kuvvetlerinde meydana gelen değişim
incelenmiştir. Bu değişimin bilinmesi, tabakalanma davranışının anlaşılması için
gereklidir.
Bu öncelikle farklı tipteki malzemeler için tabakalı kompozitlerin rijitlik ve
esneklik matrisleri Hooke denklemleri yardımıyla elde edilmiş, daha sonra ortotropik
malzemeler için genel denklemler matris formunda yazılmıştır. Tek tabakalı plaklar
için oluşturulan rijitlik ve esneklik matrisleri önce açılı tek tabakalı plaklara
uygulanmış ve daha sonra çok tabakalı plaklar için geliştirilmiştir. Plaklar için denge
denklemleri yazılarak, çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar (Kirchoff) ile tabakalı
plaklar için dördüncü dereceden diferansiyel denge denklemleri elde edilmiştir.
Bu çalışmada kullanılan yöntem, değişkenlerine ayırma yöntemidir. Bu
yöntemde plak koordinatı x ve y değişkenlerine ayrılmaktadır. Ayrıca yük ve
deplasman fonksiyonları da x ve y değişkenlerine bağlı olarak yazılabilmektedir.
Plak için düzgün yayılı yükleme tipi seçilmiş ve Navier (1824) çözümü ile
değişkenlerine ayrılan yük fonksiyonu çözüm için basit bir hale dönüştürülmüştür.
Elde edilen diferansiyel denklemler basit mesnetli durum için sınır şartlarına maruz
bırakılmış ve sınır şartlarını sağlayan u, v ve w deplasman fonksiyonları
değişkenlerine ayırma yöntemiyle elde edilmiştir. Bu deplasman fonksiyonları
diferansiyel denklemde yerine konularak çözüme ulaşılmıştır.
Bu çalışmada, mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan
ANSYS paket programı ile sonlu elemanlar yöntemini kullanıp çeşitli modellerin
analizi yapılmaktadır. Ayrıca, tabakalanma teorisi yardımıyla çeşitli sınırlandırmalar
ve varsayımlar ile basite indirgenen problemlerin çözümü için denge denklemleri
kullanılarak Matematica adlı paket programın yardımıyla, bir bilgisayar programı
hazırlanmıştır.
Çalışma sonunda, Matematica adlı paket programın yardımıyla hazırlanan
bilgisayar programı ve literatürde mevcut olan ANSYS paket programı ile çözülen
örneklerin sonuçları tablo ve grafiklerle sunulmuş ve karşılaştırmalar yapılmıştır.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
9
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ
4.1. Giriş
Yapılar genellikle tek tabakalı bloklardan meydana gelir, bundan dolayı, bu
tek tabakalı yapıların mekanik analizini anlamak, çok tabakalılardan önce gelir. Tek
bir kompozit tabaka bile homojen ve izotrop değildir. Çünkü tabaka, homojen-
izotrop fiber elemanlarla homojen-izotrop matris elemanların birleşmesiyle meydana
gelmesine rağmen, tabaka rijitlikleri, noktanın fiberlerde, matris de veya fiber-matris
arasındaki bir bölgede olup olmamasına göre noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu
durum çok karışık mekanik tabaka modellerinin oluşmasına neden olur. Bu sebeple
tabakaların makromekanik analizinde tabakaların homojen olduğu kabul edilerek,
ortalama malzeme özellikleri temel alınır. (Şekil. 4.1)
Şekil 4.1. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü
Matris malzeme
Fiber malzeme
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
10
İnce tabakaların homojenleştirilmesiyle bile, tabakaların mekanik davranışı
hala izotop homojen malzemelerinkinden farklıdır. Örneğin; eni ve boyu “w” ve
kalınlığı “t” olan küçük bir parçayı göz önüne alalım. Bu parçayı Durum-A ve
Durum-B olarak inceleyelim.
Şekil 4.2. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu (Kaw, 1997)
P W+ δ1B
Deformasyona uğramış hal
w
2
1 t
Deformasyona uğramamış hal
w
w
Durum-A
Deformasyona uğramış hal
W+ δ2A
W+ δ1A
P
Deformasyona uğramamış hal
w
w
Durum-B
W+ δ2B
P
P
t
w
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
11
Durum-A
Kare plağı 1 doğrultusunda normal tekil “P” yüküne maruz bırakalım. 1 ve 2
doğrultusundaki normal deformasyon miktarları, sırasıyla δ1A ve δ2A dır.
Durum-B
Durum-A daki gibi benzer normal “P” yükünü tatbik edelim, fakat şimdi
doğrultusu 2 yönünde olsun. 1 ve 2 doğrultusundaki normal deformasyon miktarları
sırasıyla, δ1B ve δ2B dır. Bu iki durumdan;
2BA1 δδ = (4.1.a)
1B2A δδ = (4.1.b)
sonucuna ulaşırız. Bununla birlikte şekil 4.3’ de, kalınlığı t olan kompozit bir
tabakayı göz önüne alalım. Burada da tabaka içerisinde (w, w, t) ölçülerine sahip tek
doğrultudaki bir kare plağı inceleyelim. Bu durumda
2B1A δδ ≠ (4.2.a)
1B2A δδ ≠ (4.2.b)
Bunun nedeni, tek doğrultulu tabakalarda, fiberlerin doğrultusundaki
rijitliklerin daha büyük olmasıdır. Sonuç olarak, tek doğrultulu tabakanın mekanik
karakteri, izotropik tabaka için ihtiyaç duyulan parametrelerden daha fazla parametre
gerektirir.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
12
Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek
doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu (Kaw, 1997)
P W+ δ1B
w
2
1 t
Deformasyona uğramış hal
Deformasyona uğramamış hal
w
w
Durum-A
Deformasyona uğramış hal
W+ δ2A
W+ δ1A
P
Deformasyona uğramamış hal
w
w
Durum-B
W+ δ2B
P
P
t
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
13
Şekil 4.4’de görüldüğü gibi, plak farklı açılarda fiberlere sahip olabilir. Bu
durumda farklı açılar için, farklı deformasyonlar meydana gelecektir. Gerçekte kare
plak, normal doğrultuda deformasyonlara sahip olduğu gibi farklı doğrultuda
deformasyonlara da sahiptir ve şekli bozulmuştur. Tüm bu sebeplerden dolayı, açılı
tabakaların mekanik karakteri çok daha karmaşıktır.
Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu plağın deformasyonu (Kaw, 1997)
w
w
Deformasyona uğramamış hal
Deformasyona uğramış hal
P
P
t
2
1
w
t
Fiberler
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
14
4.2. Tanımlamaların incelenmesi 4.2.1. Gerilme
Gerilme, birim alana düşen yükün yoğunluğu olarak tanımlanır. Mekanik
yapılar, kütlesel kuvvetler ve yüzey kuvvetleri gibi kütle üzerinde hareket halinde
bulunan dış kuvvetleri alırlar. Bu kuvvetler, kütle içinde iç kuvvetlere dönüşür. Kütle
içinde bulunan tüm noktalardaki iç kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Çünkü bu
kuvvetlerin değeri, yapıda kullanılan malzemelerin mukavemetlerinden daha düşük
olmak zorundadır.
Şekil 4.5’de çeşitli yükler altında dengede bulunan kütle görülmektedir. Bu
kütlenin herhangi bir kesitinde, ΔA alanı üzerinde bulunan bir ΔP kuvveti düşünelim
bu kuvvet vektörü yüzeye normal, ΔPn ve yüzeye paralel ΔPs elemanlarına sahip
olsun. Gerilmenin tanımından;
AP
limσ0A
n ∆∆
=→∆
(4.3.a)
AP
limτ n
0As ∆
∆=
→∆ (4.3.b)
değerleri elde edilir.
Bu elemanın yüzeyine normal doğrultuda etkiyen gerilmeye σn normal
gerilme ve yüzeye paralel olarak etkiyen gerilmeye τs kayma gerilmesi denir. Aynı
noktadan farklı bir kesit alırsak, gerilmeler değişmeden kalır, fakat gerilmenin iki
bileşeni değişir. Bununla birlikte gerilmeyi tam olarak tanımlayabilmek için herhangi
bir noktada üç boyutlu kartezyen koordinat sistemine ihtiyaç duyulur.
Sağ el kuralı ile üç boyutlu x-y-z koordinat sistemi oluşturularak Şekil 4.6’da
görülen eleman üzerinde y-z düzlemine paralel bir kesit alınır. Kuvvet vektörü ΔP,
ΔA üzerinde bulunmaktadır. Kesitte görüldüğü gibi ΔPx bileşeni yüzeye normal
doğrultudadır. Kuvvet vektörü ΔPs ise yüzeye paraleldir. Ayrıca ΔPs, y ve z aksları
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
15
boyunca ΔPy ve ΔPz elemanlarına ayrılırsa, gerilmenin tanımından aşağıdaki ifadeler
elde edilir.
AP
limσ x
0Ax ∆
∆=
→∆ (4.4.a)
AP
limτ y
0Axy ∆
∆=
→∆ (4.4.b)
AP
limτ z
0Axz ∆
∆=
→∆ (4.4.c)
Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler (Kaw, 1997)
Benzer şekilde x-z ve x-y düzlemine paralel kesitler içinde gerilmeler
tanımlanabilir. Tüm bu gerilmelerin tanımlanabilmesi için genellikle, sağ el kuralına
Rastgele düzlem
∆Ps
∆P
∆Pn
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
16
Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler (Kaw, 1997)
göre oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman alınır. Bu
kübik elemanın herhangi bir yüzündeki gerilmeler bulunarak, bir noktadaki
gerilmeler tanımlanır.
Şekil 4.7’de görüldüğü gibi eleman üzerindeki herhangi bir noktada dokuz
farklı gerilme davranışı bulunmaktadır. Bu gerilmelerin altı tanesi kayma
gerilmesidir ve kayma gerilmeleri arasında şu şekilde bir ilişki bulunmaktadır.
yxxy ττ = (4.5.a)
zyyz ττ = (4.5.b)
xzzx ττ = (4.5.c)
Yukarıdaki üç ifade sonsuz küçük kübik elemandaki momentlerin
dengesinden bulunur. Dolayısıyla geriye altı gerilme kalır. Bunlar kübik yüzeye
y
x
z
∆Py ∆P
∆Px
∆Pz
∆A
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
17
normal doğrultudaki xxσ , yyσ , zzσ ve kübik yüzeyler boyunca bulunan xyτ , yzτ ,
zxτ dir.
Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler. (Kaw, 1997)
Normal çekme gerilmesi pozitif ve normal basınç gerilmesi negatiftir. Kayma
gerilmesiyle beraber dış normalin yönünün negatif olması veya her ikisinin pozitif
olması durumunda kayma gerilmesi pozitif aksi halde kayma gerilmesi negatiftir.
4.2.2 Şekil Değiştirme
Dış kuvvetler sebebiyle eleman içerisinde oluşan deformasyonun bilinmesi de
bizim için çok önemlidir. Şekil değiştirme açısından deformasyon kütlenin şekil ve
boyutunda meydana gelen göreceli değişim olarak tarif edilebilir. Şekil değiştirme
genellikle sağ el kuralı ile oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik
eleman üzerinde tanımlanır.Çeşitli yükler altında, sonsuz küçük kübik elemanın
kenar uzunluğu değişir, kübün yüzeyinin şeklinde bozulur. Boydaki değişim, kayma
şekil değiştirmelerindeki biçim bozulmasına ve normal şekil değiştirmesine tekabül
eder. Şekil 4.8’ de kübik elemanın ABCD yüzündeki şekil değiştirmeler
görülmektedir. Her bir şekil değiştirme ve deplasmanın birbiriyle ilişkisi vardır.
Şekildeki AB ve AD kenarları şekil değiştirdikten sonra A`D` ve A’B’ halini alır.
σzz τzy
τzx
τxz τxy
σxx
σyy
τyx
τyz
z
y
x
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
18
Buradaki deplasmanlar (x,y,z) koordinat sisteminde tanımlanırsa (x,y,z) koordinat
sistemindeki bir nokta için;
u = u(x,y,z) x doğrultusundaki deplasman
v = v(x,y,z) y doğrultusundaki deplasman
w = w(x,y,z) z doğrultusundaki deplasman
olarak ifade edilir.
Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal kayma şekil değiştirmeleri (Kaw, 1997)
X doğrultusundaki normal şekil değiştirme єxx, AB uzunluğundaki değişimin
AB uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.
ABABBA
limε''
0Axx
−=
→∆ (4.6)
∆x
∆y
(x,y)
C
D′ Q′
C′
B′
P′
B A
D
θ2
θ1 A′
y
x
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
19
2''2'''' )PB()PA(BA +=
[ ] [ ]22'' y)v(x,-y)x,v(x)y,x(u)y,xx(uxBA ∆++−∆++∆= (4.7.a)
xAB ∆= (4.7.b)
Denklem (4.7.a) ve (4.7.b) denklem (4.6) da yerine yazılırsa;
1x
)y,x(v)y,xx(vx
)y,x(u)y,xx(u1limε2/122
0xx −
∆−∆+
+
∆−∆+
+=→∆
ve kısmi türevin tanımını kullanarak
1xv
xu1ε
2/122
x −
∂∂
+
∂∂
+=
1xu1ε
2/12
x −
∂∂
+=
xuε x ∂
∂= (4.8)
elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, 1xu
<<∂∂ ve 1
xv
<<∂∂ dir.
Benzer şekilde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme, εyy AD
uzunluğundaki değişimin AD uzunluğuna oranı olarak tanımlanır.
ADAD'D'A
limε0AD
yy−
=→
(4.9)
( ) ( )22 'D'QQ'A'D'A' +=
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
20
[ ] [ ]22 )y,x(u)yy,x(u)y,x(v)yy,x(vy'D'A −∆++−∆++∆= (4.10.a)
yAD ∆= (4.10.b)
Denklem (4.10) denklem (4.9) da yerine yazılırsa;
1y
)y,x(u)yy,x(uy
)y,x(v)yy,x(v1limε2/122
0yy −
∆
−∆++
∆
−∆++=
→∆
ve kısmi türevin tanımını kullanarak
1yu
yv1ε
2/122
y −
∂∂
+
∂∂
+=
1yv1ε
2/12
y −
∂∂
+=
yvε y ∂
∂= (4.11)
elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, 1yu
<<∂∂ ve 1
yv
<<∂∂ dir. Elemanın
uzunluğu artarsa, şekil değiştirme pozitif, azalırsa negatiftir.
AB ve AD kenarları arasındaki 90 derecelik açının değişimi kayma şekil
değiştirmesi γxy olarak adlandırılır. AB ve AD kenarlarının eğilmesiyle, açısal
değişim meydana gelir. Bu kayma şekil değiştirmesi şu şekilde tanımlanır.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
21
21xy θθγ += (4.12)
Burada
'P'A'B'P
lim0AB
1→
=θ (4.13.a)
)y,x(v)y,xx(v'B'P −∆+= (4.13.b)
)y,x(ux)y,xx(u'P'A −∆+∆+= (4.13.c)
'Q'A'D'Q
lim0AD
2→
=θ (4.14.a)
)y,x(u)yy,x(u'D'Q −∆+= (4.14.b)
)y,x(vy)yy,x(v'Q'A −∆+∆+= (4.14.c)
Denklem (4.13) ve (4.14) denklem (4.12) de yerine yazılırsa;
y)y,x(vy)yy,x(v
y)y,x(u)yy,x(u
x)y,x(ux)y,xx(u
x)y,x(v)y,xx(v
lim0x0y
xy
∆−∆+∆+
∆−∆+
+
∆−∆+∆+
∆−∆+
=→∆→∆
γ
yu
xv
xy ∂∂
+∂∂
=γ (4.15)
Burada da çok küçük deplasmanlar için, 1yu
<<∂∂ ve 1
xv
<<∂∂ dir.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
22
AB ve AD kenarları arasındaki açı azaldığı zaman kayma şekil değiştirmesi
pozitiftir, aksi takdirde kayma şekil değiştirmesi negatiftir.
Normal ve kayma şekil değiştirmelerinin tanımından Şekil4.7’deki sonsuz
küçük kübik elemanın şekil ve boy değişimi şu şekilde bulunabilir.
yw
zv
yz ∂∂
+∂∂
=γ (4.16.a)
zu
xw
zx ∂∂
+∂∂
=γ (4.16.b)
zw
zz ∂∂
=ε (4.16.c)
4.2.3 Malzeme Modülleri
Elemanın bir noktasındaki altı adet gerilmenin tümünün tanımlanması için
Bölüm 4.2.2’de anlatılan üç denge denklemi yetersiz kalmaktadır. Eleman lineer
elastik özellik göstermektedir ve çok küçük deformasyonlara sahiptir. Herhangi bir
noktadaki gerilme ve şekil değiştirmeler Hook kanunları olarak adlandırılan altı adet
eş zamanlı lineer denklem kuralına bağlıdır. Bir noktada onbeş adet bilinmeyen
parametre bulunmaktadır, bunların altısı gerilme, altısı şekil değiştirme ve üçü de
deplasmandır.
Hook kanunlarındaki altı adet eş zamanlı lineer denklem takımının
kombinasyonu, denklem (4.8), (4.11), (4.15), (4.16) tarafından verilen altı adet
deplasman şekil değiştirme ilişkisi ve üç adet denge denklemi ile onbeş bilinmeyen
için onbeş adet denklem elde edilir. Deplasman şekil değiştirme ve denge
denklemleri, çözümün tamamlanması için bilinen sınır şartlarına maruz bırakılır.
Üç boyutlu gerilme durumunda, lineer izotropik bir malzeme için, Şekil 4.9’da
x-y-z ortognal sistemindeki bir noktada, Hook kanunlarıyla elde edilen gerilme- şekil
değiştirme ilişkisi matris formunda aşağıdaki gibidir.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
23
=
xy
zx
yz
z
y
x
τττσσσ
100000
010000
001000
000E1
E-
E-
000E
-E1
E-
000E
-E
-1
G
G
G
E
xy
zx
yz
z
y
x
νν
νν
νν
γγγεεε
(4.17)
Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi (Kaw, 1997)
Denklem (4.17) deki 6x6 boyutundaki matris izotropik malzemenin esneklik
(compliance) matrisi [S] olarak adlandırılır. Denklem (4.18) deki 6x6 boyutundaki
matris esneklik matrisinin tersidir. Bu matrise ise rijitik (stiffness) matrisi denir.
y
x
z
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
24
( )( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
+−−
+−+−
+−+−−
+−
+−+−+−−
=
xy
zx
yz
z
y
x
xy
zx
yz
z
y
x
γγγεεε
000000000000000
000ν1ν21
ν1ν1ν21
νν1ν21
ν
000ν1ν21
νν1ν21
ν1ν1ν21
ν
000ν1ν21
νν1ν21
νν1ν21
ν1
τττσσσ
GG
G
EEE
EEE
EEE
(4.18)
Burada υ Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve υ nün bir
fonksiyonudur.
υ)1(2EG+
= (4.19)
4.2.4. Şekil Değiştirme Enerjisi
Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanabilir. Çeşitli yükler altında
deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil
değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan
şekil değiştirme enerjisi
( )zxzxyzyzxyxyzzyyxx τττσσσ21W γγγεεε +++++= (4.20)
olarak tanımlanır.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
25
4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları
Lineer olarak elastik ve izotropik olmayan genel bir malzeme için gerilme-
şekil değiştirme ilişkisi denklem (4.17) ve (4.18) den daha karmaşıktır. Bir kompozit
için elastik davrandığı varsayımı genellikle kabul edilebilir, fakat kompozit bir
malzemeyi izotrop olarak kabul edemeyiz. Bundan dolayı, bu malzemelerin gerilme
ve şekil değiştirme ilişkisi Hook kanununa uyar, fakat gerilme ve şekil değiştirmeye
bağlı sabitler sayıca denklem (4.17) ve denklem (4.18) de görüldüğünden daha
fazladır. Üç boyutlu bir kütle için, 1-2-3 ortognal koordinat sistemindeki en genel
gerilme- şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibidir.
=
12
31
23
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
12
31
23
3
2
1
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
τττσσσ
γγγεεε
(4.21)
Yukarıdaki denklemde 36 adet sabite sahip olan 6x6 boyutundaki [C] matrisi
rijitlik (stiffness) matrisi olarak adlandırılır.
Deklem (4.21) in tersi alınarak, 1-2-3 ortognal kartezyen koordinat
sisteminde üç boyutlu bir eleman için genel haldeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi
aşağıdaki şekilde elde edilir.
=
12
31
23
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
12
31
23
3
2
1
τττσσσ
SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS
γγγεεε
(4.22)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
26
Malzemenin izotropik olması durumunda yukarıda verilen gerilme-şekil
değiştirme ilişkisi denklem (4.17) deki gibidir. Denklem (4.22) de verilen esneklik
(compliance) matrisinin mühendislik sabitleri,
332211 SSE1S ===
323123211312 SSSSSEνS =====−=
665544 SSG1S === (4.23)
şeklindedir. Ayrıca diger tüm ijS ler sıfırdır.
Rijitlik matrisinin [C] simetrik olmasından dolayı denklem (4.22) de görülen
otuzaltı adet sabit , yirmibir sabite iner.
∑==
6
1jjiji Cσ ε i=1,........,6 (4.24)
Burada
126315234126315234 γ;γ;γ;τσ;τσ;τσ ====== εεε (4.25)
olarak değişken dönüşümü yapılmaktadır.
Elemanın her bir birim hacmindeki şekil değiştirme enerjisi denklem (4.20) de
açıklanmıştı. Yeni notasyona göre denklem (4.20) tekrar yazılırsa ;
ii
W ε∑=
=6
1iσ
21 (4.26)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
27
halini alır. Denklem (4.24), (4.26) da yerine yazılırsa
ij
6
1i
6
1jijC
21W εε∑ ∑=
= = (4.27)
olur. Yukarıdaki ifadenin kısmi diferansiyeli alınarak
ijji
CW=
∂∂∂
εε (4.28)
ve
jiji
CW=
∂∂∂
εε (4.29)
ifadeleri elde edilir. Denklem (4.28) ve (4.29) dan
jiij CC = (4.30)
olur.
Sonuçta denklem (4.21) deki genel rijitlik matrisinde, yirmibir adet bağımsız
elastik sabit bulunmaktadır. Bu sonuca göre , denklem (4.22) da görülen esneklik
matrisinde de bağımsız elastik sabit olduğu görülür.
4.3.1.Anizotropik Malzeme
Bir noktada yirmibir adet bağımsız elastik sabite sahip olan malzemeye
anizotropik malzeme denir. Bu sabitler bir kez özel bir nokta için bulunduğu zaman
gerilme-şekil değiştirme ilişkisi o noktada geliştirilebilir. Şurası önemlidir ki eğer
malzeme homojen değilse, bu sabitler noktadan noktaya değişiklik gösterebilirler.
Malzeme homojen olsa bile (veya öyle oluğu farzedilsin) analitik olarak veya
deneysel olarak, bu yirmibir elastik sabiti bulmak gerekir. Birçok doğal ve sentetik
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
28
malzeme, malzeme simetrisine sahiptir, yani elastik nitelikler simetri doğrultularında
özdeştir. Bu simetri özelliği 6x6 rijitlik [C] ve 6x6 esneklik [S] matrislerindeki
sabitlerin bazılarını ya sıfırlayarak yada birbirleriyle ilşkilendirerek bağımsız elastik
sabitlerin sayısını düşürür. Bu durum, elastik simetrinin değişik türleri için Hooke
kanunundaki ilişkileri basitleştirir.
4.3.2.Monoklinik Malzeme
Eğer malzemenin, bir tane malzeme simetri düzlemi varsa bu tip malzemelere
monoklinik malzeme denir. Simetri düzlemine dik olan doğrultu, ”temel doğrultu”
olarak adlandırılır. Bu tip malzemeler 13 adet bağımsız elastik sabite sahiptir.
Monoklinik malzemede rijitlik matrisi (4.31) ve esneklik matrisi (4.32) ya indirgenir.
=
66362616
5545
4544
36332313
26232212
16131211
C00CCC0CC0000CC000
C00CCCC00CCCC00CCC
C (4.31)
=
66362616
5545
4544
36332313
26232212
16131211
0000000000
000000
SSSSSSSS
SSSSSSSSSSSS
S (4.32)
4.3.3. Ortotropik Malzeme
Eğer malzeme, karşılıklı olarak birbirine dik üç adet malzeme simetri
düzlemine sahipse bu tip malzemelere ortotropik malzemeler denir. Bu tip
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
29
malzemeler 9 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Ortotropik malzemeler için rijitlik
ve esneklik matrisleri aşagıdaki gibidir.
=
66
55
44
332313
232212
131211
C000000C000000C000000CCC000CCC000CCC
C (4.33)
=
66
55
44
332313
332212
131211
S000000S000000S000000SSS000SSS000SSS
S (4.34)
4.3.4.Transversely (Enine) İzotropik Malzeme
Ortotropik elemanın düzlemlerinin birinde, bir malzeme izotropi düzlemi
varsa bu tip malzemelere transversely (enine) izotropik malzemeler denir. Bu tip
malzemeler beş adet bağımsız elastik sabite sahip olup rijitlik ve esneklik matrisleri
aşağıdaki şekildedir.
−=
55
55
2322
222312
232212
121211
C000000C0000002)CC(000000CCC000CCC000CCC
C (4.35)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
30
−=
55
55
2322
222312
232212
121211
S000000S000000)SS(2000000SSS000SSS000SSS
S (4.36)
4.3.5. İzotropik Malzeme
Eğer ortotropik bir elemanda bütün yüzeyler özdeşse, bu tip malzemelere
izotropik malzemeler denir. İzotropik malzemeler iki adet bağımsız elastik sabite
sahiptir. İzotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki gibidir.
−−
−=
2)CC(0000002)CC(0000002)CC(000000CCC000CCC000CCC
C
1211
1211
1211
111212
121112
121211
(4.37)
−−
−=
)SS(2000000)SS(2000000)SS(2000000SSS000SSS000SSS
S
1211
1211
1211
111212
121112
121211
(4.38)
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
31
4.4. Ortotropik Malzemelerde, Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi
İle Olan İlişkisi
Şekil 4.10’ da 1-2-3 ortogonal koordinat sisteminde tanımlı kompozit bir
eleman görülmektedir. Bu elemanın fiberlere paralel olan 1 doğrultusuna “fiber
doğrultusu”, fiberlere dik olan 2 ve 3 doğrultularına “matris doğrultusu” denir. Bu
kompozit elemandan, sonsuz küçük kübik bir parça ele alalım. Şekil 4.11’ de sonsuz
küçük kübik elemandaki gerilmeler görülmektedir. Kübik eleman, üzerinde bulunan
bu gerilmelerden dolayı çeşitli deformasyonlara maruz kalmaktadır. Bu
deformasyonları tanımlayabilmek için eleman üzerindeki gerilmeleri ayrı ayrı ele
almak gerekmektedir.
Şekil 4.10. Temel malzeme koordinat sistemi (Hyer, 1998)
Küçük eleman
3 Matris doğrultusu
2 Matris doğrultusu
1 Fiber doğrultusu
Tabakalı malzeme
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
32
Şekil 4.11. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler (Hyer, 1998)
Şekil 4.12.a’ da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman 1 doğrultusunda
σ1 gerilmesi etkisindedir. Bu durumda denklem (4.22) ve (4.34) den
1111 S σ=ε 023 =γ
1122 S σ=ε 031 =γ
1133 S σ=ε 012 =γ
olduğu görülür. 1 doğrultusundaki deformasyon
1
11 E
σ=ε (4.39)
111
11 S
1E =εσ
= (4.40)
Genel olarak Poisson oranı υij, i doğrultusunda sadece normal yük
uygulandığı zaman, j doğrultusundaki normal şekil değiştirmenin, i doğrultusundaki
normal şekil değiştirmeye oranının negatifi olarak tanımlanır. Yani kısaca enine
daralmanın boyuna uzamaya oranının negatifidir.
τ13
τ12
σ1 σ2
σ3
τ23 τ13
τ23
τ12
1
2
3
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
33
Şekil 4.12. σ1 gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 1998)
1
2
3
σ1
σ1
(a) Genel görünüş
σ1 σ1
2
1
(b) 1-2 Düzlemi
σ1 σ1
3
1
(c) 1-3 Düzlemi
3
2
(d) 2-3 Düzlemi
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
34
Poisson oranının tanımından
11
12
1
212 S
S−=
εε
−=ν (4.41)
1
1121122 E
σν−=εν−=ε (4.42)
11
13
1
313 S
S−=
εε
−=ν (4.43)
ifadeleri elde edilir. Aynı işlemler 2 ve 3 doğrultuları için de uygulanır.
Ayrıca, sonsuz küçük kübik eleman Şekil 4.13’ de görüldüğü gibi kayma
gerilmelerininde etkisi altındadır.
Şekil 4.13. τ12 kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 1998)
3
2
(d) 2-3 Düzlemi
3
1
(c) 1-3 Düzlemi
122γ
π−
2
1
(b) 1-2 Düzlemi
1
2
3
τ12
(a) Genel görünüş
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
35
Şekil 4.13.a’ da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman τ12 kayma
gerilmesinin etkisi altındadır. Bu durumda denklem(4.22) ve (4.34) den
01 =ε 023 =γ
02 =ε 031 =γ
03 =ε 126612 S τ=γ
olduğu görülür.
12
1212 G
τ=γ (4.44)
6612
1212 S
1G =γτ
= (4.45)
Aynı işlemler diğer yüzeyler için de uygulanır.
Burada her malzeme düzleminde bir tane olmak üzere E1, E2, E3, elastisite
modülleri, her düzlemde iki tane olmak üzere altı adet poisson oranı (υ12, υ13, υ21, υ23,
υ31, υ32) ve her düzlemde üç adet G23, G31, G12 kayma modülü bulunmaktadır.
Bunun yanı sıra altı adet poisson oranı Betti-Maxwell teoremine göre
birbirinden bağımsız değildir.
2
21
1
12
EEυ
=υ (4.46)
3
31
1
13
EEυ
=υ (4.47)
3
12
2
23
EEυ
=υ
(4.48)
Bu ilişkiler bağımsız mühendislik sabitlerini toplam dokuza indirir. Esneklik
ve rijitlik matrislerinde bu sayı aynıdır.
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
36
Mühendislik sabitleri açısından esneklik matrisini tekrar yazarsak;
[ ]
υ−
υ−
υ−υ−
υ−
υ−
=
12
31
23
33
32
3
31
2
23
22
21
1
13
1
12
1
G100000
0G
10000
00G
1000
000E1
EE
000EE
1E
000EEE
1
S (4.49)
elde edilir. Yukarıdaki matris diyagonalin sağına ve soluna göre simetriktir.
1
11 E1S = (4.50.a)
1
1212 E
Sυ
−= (4.50.b)
2
221
ES = (4.50.c)
12
661
GS = (4.50.d)
1
1313 E
Sυ
−= (4.50.e)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
37
4.5.Klasik Tabaka Teorisi (CLT)
İnce plaklar kalınlığının açıklığına oranı 1/20 den küçük olan plaklar olarak
tanımlanır. Plak malzemesinin homojen, izotropik(veya burada ortotrop) ve elastik
olduğu kabul edilmektedir. Plaklara etkiyen dış yükler, plak yüzeyine dik doğrultuda
etkiyen tekil veya yayılı yüklerdir.
İnce plaklarda klasik tabaka teorisi olarak bilinen Kirchoff Hipotezi’nin temel
kabulleri aşağıda verilmektedir.
a) Orta düzlemdeki çökme plak kalınlığı yanında çok küçüktür (w<<t)
b) Eğilmeden sonrada orta düzlem şekil değiştirmez.
c) Başlangıçta orta düzleme dik olan düzlemler eğilmeden sonrada orta
düzleme dik kalırlar.
Şekil 4.14. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi
Buna göre γxz ve γyz kayma deformasyonları ihmal edilir.( γxz =0, γyz=0)
d)ε z=0 dır.
e) Orta düzleme dik olan normal gerilme σ z diğer gerilme bileşenleri yanında
çok küçüktür ve ihmal edilebilir.
m
m
m’
m’
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
38
4.6. Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi
Kirchoff hipotezi ile ince tabakalar için düşey doğrultudaki deplasmanın sıfır
olduğu ve düşey gerilmenin diğer gerilmeler yanında ihmal edilecek kadar küçük
olduğu kabul edilir. Bu durumun bir sonucu olarak, 6x6 boyutundaki rijitlik ve
esneklik matrisleri 3x3 boyutuna iner.
=
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
τσσ
S000SS0SS
γεε
(4.51)
Denklem (4.51) in tersi, gerilme-şekil değiştirme ilişkisini aşağıdaki şekilde
verir.
=
12
2
1
66
2212
1211
12
2
1
γQ000QQ0QQ
τσσ
εε
(4.52)
Yukarıdaki denklemde Qij terimleri indirgenmiş rijitlik katsayıları olarak
tanımlanır. İndirgenmiş rijitlik katsayıları ile esneklik kat sayıları arasındaki bağlantı
aşağıdaki gibidir.
122
2211
2211
SSSSQ
−= (4.53.a)
122
2211
1212
SSSSQ
−= (4.53.b)
122
2211
1122
SSSSQ
−= (4.53.c)
6666 S
1Q = (4.53.d)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
39
Denklem (4.50), denklem (4.53) de yerine yazılırsa,
1221
111 1
EQ
υυ−= (4.54.a)
1221
21212 1
EQ
υυυ−
= (4.54.b)
1221
222 1
EQ
υυ−= (4.54.c)
1266 GQ = (4.54.d)
denklemleri elde edilir.
4.7. İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hooke Kanunları
Tek doğrultulu tabakalarda, enine doğrultudaki düşük mukavemet özellikleri
ve düşük rijitlikler sebebiyle, tabakalanma genellikle sadece tek doğrultulu
tabakalardan meydana gelmez. Bundan dolayı bazı tabakalar belirli açılarla
tabakalanma içerisinde yer alır. Bu durumun bir sonucu olarak açılı tabakalarda
gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin geliştirilmesi gerekmektedir.
Açılı tabakalar için verilen koordinat sistemi Şekil 4.15’de görülmektedir.1-2
koordinat sistemindeki aks, lokal aks veya malzeme aksı olarak adlandırılır. 1
doğrultusu fiberlere paraleldir ve 2 doğrultusu fiberlere diktir. Bazı kaynaklarda 1
doğrultusu longitudinal (boylamasına) doğrultu (L) ve 2 doğrultusu transverse
(enlemesine) doğrultu (T) olarak tanımlanır. x-y koordinat sistemi global aks olarak
isimlendirilir. İki koordinat sistemi arasında θ açısı bulunmaktadır ve açılı
tabakalardaki global ve lokal gerilmeler bu θ tabaka açısına bağlıdır.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
40
Şekil 4.15. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar (Kaw,1997)
[ ]
=
−
12
2
11
xy
y
x
τσσ
Tτσσ
(4.55)
Burada [T] transformasyon matrisi olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde
tanımlanır.
[ ]
−−−=
22
22
22
scscscsc2cs
sc2scT (4.56)
Burada
c = cos(θ) (4.57.a)
s = sin(θ) (4.57.b)
Transformasyon matrisinin tersi,
y 1
x
2
θ
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
41
[ ]
−−
−=−
22
22
22
1 22
scscscsccsscsc
T (4.58)
şeklindedir.
Denklemden (4.52)’de lokal akslardaki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi
kullanılarak, denklem (4.55) şu şekilde yazılabilir.
[ ] [ ]
=
−
12
2
11
xy
y
x
γQT
τσσ
εε
(4.59)
Global ve lokal şekil değiştirmeler, birbirlerine transformasyon matrisiyle
bağlanır.
[ ]
=
2T
2 xy
y
x
12
2
1
γεε
γεε
(4.60)
Yukarıdaki denklemi şu şekilde yazabiliriz.
[ ][ ][ ]
=
−
xy
y
x
RTRγεε
γεε
1
12
2
1
(4.61)
Burada [R], Reuter matristir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.
[ ]
=
200010001
R (4.62)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
42
Denklem (4.61) (4.59) de yerine koyulursa
[ ] [ ][ ][ ][ ]
=
−−
xy
y
x11
xy
y
x
γRTRQT
τσσ
εε
(4.63)
elde edilir. Denklem (4.63) açık şekilde yazılırsa,
=
xy
y
x
662616
262212
161211
xy
y
x
γQQQQQQQQQ
τσσ
εε
(4.64)
olur. Burada [ ]ijQ transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi
olarak adlandırılır. [ ]Q matrisinin açık şekli aşağıda görülmektedir.
22
66124
224
1111 cs)Q2Q(2sQcQQ +++= (4.65.a)
)sc(Qcs)Q4QQ(Q 4412
2266221112 ++−+= (4.65.b)
22
66124
224
1122 cs)Q2Q(2cQsQQ +++= (4.65.c)
cs)Q2QQ(sc)Q2QQ(Q 3661222
366121116 −−−−−= (4.65.d)
sc)Q2QQ(cs)Q2QQ(Q 3
6612223
66121126 −−−−−= (4.65.e)
( ) ( )4466
226612221166 csQcsQ2Q2QQQ ++−−+= (4.65.f)
Denklem (4.64)’ ün tersi alınarak, transformasyona uğramış indirgenmiş
esneklik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir.
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
43
=
xy
y
x
662616
262212
161211
xy
y
x
τσσ
SSSSSSSSS
γεε
(4.66)
Yukarıdaki [ ijS ] matrisinin açık şekli şu şekildedir.
22
66124
224
1111 cs)SS2(sScSS +++= (4.67.a)
)sc(Scs)SSS(S 4412
2266221112 ++−+= (4.67.b)
22
66124
224
1122 cs)SS2(cSsSS +++= (4.67.c)
cs)SS2S2(sc)SS2S2(S 3661222
366121116 −−−−−= (4.67.d)
sc)SS2S2(cs)SS2S2(S 3661222
366121126 −−−−−= (4.67.e)
)cs(Scs)SS4S2S(2S 4466
226612221166 ++−−+= (4.67.f)
Tek doğrultulu tabakalar için, denklem (4.51) ve (4.52) de görüldüğü gibi
normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı yoktur.
Fakat, açılı tabakalarda, denklem (4.64) ile (4.66) da görüldüğü gibi normal ve
kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı mevcuttur. Açılı
tabakalarda, sadece normal gerilmelerin etkimesi durumunda, kayma şekil
değiştirmeleri sıfır değildir ve sadece kayma gerilmeleri etkidiğinde normal şekil
değiştirmeleri sıfır değildir. Bu nedenle denklem (4.64) ve (4.66) daki, şekil
değiştirme denklemleri ortotropik tabakalar için genel denklemler olarak
adlandırılır.(Kaw,1997)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
44
4.8. Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri
Bir tabakadaki, herhangi bir noktanın şekil değiştirmesine, Şekil 4.16’da
görülen kesitin, deforme olan ve deforme olmayan geometrisine göre karar verilir.
Şekil 4.16’daki B noktası orta düzlem üzerindedir ve x doğrultusundaki uo’ın B
noktasındaki yaptığı deplasmanla, şekli deforme olmamış halden deforme olmuş hale
dönüşür. Kirchoff hipotezindeki kabullerden dolayı ABCD şekli tabakanın
deformasyonu altında doğrusal olarak kalır. Keyfi olarak seçilen bir C noktasındaki
deplasman
uc=uo-zcβ (4.68)
olarak ifade edilir.
Şekil 4.16. x-z düzleminde deformasyon (Jones,1999)
Kirchoff hipotezinin temelinde, deformasyon altında, ABCD düzlemi orta
düzleme dik olarak kalır. Bu nedenle, β, yani x doğrultusunda orta düzlemdeki
tabaka eğimi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir.
A
y,v
z,w
x,u
x
z
A
B
C D
zc
uo
zcβ
A
B C
D β
β
wo D
Deforme olmamış hal
Deforme olmuş hal
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
45
xw
β o
∂∂
= (4.69)
Tabaka kalınlığı boyunca herhangi bir z noktasındaki u deplasmanı
xw
zuu oo ∂
∂−= (4.70)
olarak yazılır. Benzer şekilde aynı işlemler y doğrultusundaki v deplasmanı için
yapılır.
yw
zvv oo ∂
∂−= (4.71)
Kirchoff hipotezine göre εz=γxz=γyz=0 dır.εx ,εy ve γxy i ise sıfırdan farklıdır.
Şekil değiştirmeler açısından deplasmanlar aşağıdaki şekilde yazılabilir.
xu
x ∂∂
=ε (4.72.a)
yv
y ∂∂
=ε (4.72.b)
yu
xvγ xy ∂
∂+
∂∂
= (4.72.c)
Denklem (4.70), ve (4.71), denklem (4.72),(4.73) ve (4.74) ‘de uygulanırsa
aşağıdaki ifadeler elde edilir.
2o
2o
x xw
zx
uε
∂
∂−
∂∂
= (4.73.a)
2o
2o
y yw
zy
vε
∂∂
−∂
∂= (4.73.b)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
46
yxw
2zx
vy
uγ o
2oo
xy ∂∂∂
−∂∂
+∂
∂= (4.73.c)
Birim deformasyonlar matris formunda,
(4.74)
şeklinde yazılır. Burada orta düzlemdeki şekil değiştirmeler ve eğrilikler
∂∂
+∂
∂∂∂∂
∂
=
xv
yu
yvx
u
oo
o
o
o
oy
ox
xyγεε
(4.75)
∂∂∂∂∂∂
∂
=
yxw
yw
xw
KKK
o
o
xy
y
x
2
2
2
2
2
2
(4.76)
olarak yazılabilir
Denklem (4.74), denklem (4.64) de yerine konursa, k ıncı tabakadaki
gerilmeler, orta düzlemdeki şekil değiştirmeler, tabaka eğilmeleri ve z koordinatı
açısından aşağıdaki şekilde belirtilebilir.
+
=
xy
y
x
oxy
oy
ox
xy
y
x
KKK
zγεε
γεε
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
47
+
=
xy
y
x
k662616
262212
161211
oxy
oy
ox
k662616
262212
161211
kxy
y
x
KKK
QQQQQQQQQ
zγεε
QQQQQQQQQ
τσσ
(4.77)
Tabaka kalınlığı boyunca, şekil değiştirmeler lineer olmasına rağmen
gerilmeler lineer olmak zorunda değildir. Çünkü, transformasyona uğramış
indirgenmiş rijitlik matrisi, [ ]Q , tabakalanma içerisinde, her bir tabaka için farklı
olabilir. Bu durum şekil (4.17)’de görülmektedir.
Şekil 4.17. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler (Kaw,1997)
z
Orta düzlem
Tabakalı Şekil değiştirme Gerilme
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
48
4.9.Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerin Bağlı Olarak Oluşan Kuvvetler
ve Momentler
Denklem (4.74) deki orta yüzey şekil değiştirmeleri ve eğilmeleri, tabakadaki
gerilme ve şekil değiştirmeleri bulmak için gerekli olan bilinmeyenlerdir. Fakat
denklem (4.77) bu bilinmeyenlerin ışığında, her bir tabakadaki gerilmeleri verir.
Herbir tabakadaki gerilmeler, tabaka kalınlığı sayesinde, kuvvetleri ve momentleri
elde etmek için kullanılır. Bu sayede, bir tabakadaki kuvvetler ve momentler bilinirse
orta yüzey eğilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunabilir.
Şekil (4.18) ‘de gösterilen ‘n’ adet tabakaya sahip bir plağı göz önüne alalım.
Burada her bir tabaka ‘t’ kalınlığına sahiptir. Tabakalı elamanın kalınlığı ise ‘h’ dır
ve orta yüzey, tabakalının alt veya üst yüzeyinden h/2 mesafesindedir.
∑==
n
1kkth (4.78)
Şekil 4.18. Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi
Orta düzlem
h1
h0
h2 h3
hk-1
hk
hn-1
hn
n
k+1
k
k-1
3
1 2 h/2
h/2
z
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
49
Şekil (4.18) den görüldüğü gibi
2hh0 −= (1. tabakanın üst yüzeyi)
11 t2hh +−= (1. tabakanın alt yüzeyi)
2hh n = (n.tabakanın alt yüzeyi)
n1n t2hh −=− (n. tabakanın üst yüzeyi) (4.79)
∑+−=−
=−
1k
1LL1k t
2hh (k. tabakanın üst yüzeyi)
∑+−==
k
1LLk t
2hh (k. tabakanın alt yüzeyi)
Tabaka kalınlığı boyunca bulunan gerilmelerin integrasyonunun sonucunda
tabaka üzerindeki kuvvetler ve momentler elde edilir.
∫=−
2h
2hxx dzσN (4.80.a)
∫=−
2h
2hyy dzσN (4.80.b)
∫=−
2h
2hxyxy dzτN (4.80.c)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
50
∫=−
2h
2hxx zdzσM (4.81.a)
∫=−
2h
2hyy zdzσM (4.81.b)
∫=−
2h
2hxyxy zdzτM (4.81.c)
Yukarıdaki denklemlerde
Nx, Ny : Birim uzunluktaki normal kuvvetler.
Nxy : Birim uzunluktaki kesme kuvveti .
Mx, My : Birim uzunluktaki eğilme momentleri.
Mxy : Birim uzunluktaki burulma momentleri.
Denklem (4.80) ve (4.81) deki kuvvet ve moment denklemleri matris
formunda şu şekilde yazılabilir.
dzdzNNN
k
n
k
h
h
h
hxy
y
x k
k
∑ ∫∫=− −
=
=
1xy
y
x2
2xy
y
x
1 τσσ
τσσ
(4.82)
zdzzdzMMM
k
h
h
n
k
h
hxy
y
x k
k
∫ ∑ ∫− =
−
=
=
2
2 1xy
y
x
xy
y
x
1 τσσ
τσσ
(4.83)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
51
Denklem (4.77) denklem (4.82) ve (4.83) de yerine yazılırsa, orta düzlemdeki
eğilme ve şekil değiştirmeler açısından kuvvetler ve momentler aşağıdaki şekilde
yazılabilir.
k
∑ ∫ ∫=
+
=
− −
n
1k
h
h
h
hxy
y
x
oxy
oy
ox
k662616
262212
161211
xy
y
x k
1k
k
1k
zdzKKK
dzγεε
QQQQQQQQQ
NNN
(4.84)
∑ ∫ ∫=
+
=
− −
n
1k
h
h
h
h
2
xy
y
x
oxy
oy
ox
k662616
262212
161211
xy
y
x k
1k
k
1k
dzzKKK
zdzγεε
QQQQQQQQQ
MMM
(4.85)
Bilindiği gibi
( )∫−
−−=k
k
h
hkk hhdz
1
1
( )∫−
−−=k
k
h
hkk hhzdz
1
21
2
21
( )∫−
−−=k
kh
h
kk hhdzz1
31
32
31
Denklem (4.84) ve (4.85) de bulunan integraller alınarak, kuvvet ve
momentler aşağıdaki şekilde yazılabilir.
+
=
xy
y
x
o
oy
ox
xy
y
x
KKK
BBBBBBBBB
AAAAAAAAA
NNN
662616
262212
161211
xy662616
262212
161211
γεε
(4.86)
4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
52
+
=
xy
y
x
o
oy
ox
xy
y
x
KKK
DDDDDDDDD
BBBBBBBBB
MMM
662616
262212
161211
xy662616
262212
161211
γεε
(4.87)
Burada
( ) ( )∑=
−−=n
1k1kkkijij hhQA (4.88.a)
( ) ( )∑=
−−=n
1k
21k
2kkijij hhQ
21B (4.88.b)
( ) ( )∑=
−−=n
1k
31k
3kkijij hhQ
31D (4.88.c)
Yukarıdaki ifadelerde [A], uzama rijitlik matrisi, [B] eğilme-uzama
arasındaki bağlanma rijitlik matrisi, [D] eğilme rijitlik matrisidir. [B] matrisinin
varlığı, eğilme ve uzama arasında bir girişim bulunduğunu göstermektedir, bu
yüzden [B] matrisinde yer alan Bij terimleri tabaka üzerinde çekme etkisi yaparak,
tabakanın eğilme ve burulmasına neden olur. A16 ve A26 terimleri, bir tabakadaki
kayma şekil değiştirmesi ile normal gerilme arasında ve normal şekil değiştirme ile
kayma gerilmesi arasında varolan bağı gösterir. D16 ve D26 ise bir tabakadaki eğilme
ile burulma arasındaki bağı göstermektedir. [A] , [B] ve [D] matrisleri kompozitlerin
çeşitli şartlar altında davranışını anlamamızda bize yardımcı olmaktadırlar.
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
53
4.10. Bazı Özel Tabakalanma Tipleri
Simetrik veya antisimetrik tabakalanmanın temelinde açı, malzeme ve tabaka
kalınlığındaki farklılık yer alır. Buna bağlı olarak [A], [B] ve [D] matrislerinden biri
veya birkaçı sıfır olabilir. Bu durum, eğilme momentlerinin, normal ve kesme
kuvvetlerinin, eğilme-burulma momentlerinin ve kuvvet çiftlerinin sıfır veya sıfıra
çok yakın olması ile sonuçlanabilir. Bu durum, kompozitlerin mekanik analizini
basitleştirir.
4.10.1. Simetrik Tabakalanma
Hem malzeme özelliği hem de geometrik özellikleri ile orta düzleme göre
simetrik olan tabakalanmaya “simetrik tabakalanma” denilmektedir.(Jones,1975)
Özellikle kij )Q( ’ nın ve tabaka kalınlığının simetrik olması sebebiyle tüm bağlanma
rijitlikleri olan Bij’lerin sıfır olduğu görülebilir.
Simetrik tabakalarda [B] matrisinin sıfır olmasından dolayı uzama-eğrilik çifti
girişimsizdir yani simetrik tabakalarda girişim etkisi yoktur. Bu durum, simetrik
tabakaların analizini daha kolay hale getirir. Ayrıca simetrik tabakalar, iyileştirme
sürecine müteakip soğutma esnasında, kasılma ve büzülmelere neden olan
kaçınılmaz ısı etkisinden dolayı bir bükülme eğilimi göstermezler. Sonuç olarak, özel
bir durum nedeniyle antisimetrik tabakaların kullanılması gerekmediği müddetçe,
simetrik tabakalar kullanılır.
4.10.1.1. İzotropik Simetrik Tabakalanma
Çeşitli kalınlıklardaki izotropik tabakalar, hem malzeme özellikleri açısından
hemde geometrik açıdan orta düzleme göre simetrik bir şekilde yerleştirilirse,
izotropik simetrik tabakalar elde edilir. Tabakalanma uzama-eğrilik arasında bir
girişim sergilemez. Simetrik izotropik tabakalanmaya örnek olarak, üç tabakadan
oluşan tabakalanma şekli Şekil 4.19’da görülmektedir.
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
54
Şekil 4.19. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma (Jones, 1975)
4.10.1.2. Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma
Analitik karmaşıklıklar içermesi sebebiyle denklemlerde bulunan A16, A26,
D16 ve D26 rijitliklerinin olmaması arzu edilir. Tabakalanma, tabaka aksı ile fiber
malzeme doğrultusu aynı hizaya gelecek şekilde ortotropik tabakalarla
oluşturulabilir. Özel ortotropik tabakalanma, ya özel ortotropik malzemenin tek bir
katmanında ya da tabakalı orta yüzey çevresinde simetrik olarak düzenlenmiş özel
ortotropik katmanlardan meydana gelmiştir. Tabakaların kalınlıkları, konumu ve
malzeme özellikleri, tabakanın orta düzlemine göre simetrikse, uzama ve eğrilik
arasında bir girişim mevcut değildir. Üç tabakalı özel ortotropik tabakalanmaya Şekil
4.20 örnek olarak verilebilir.
k16 )Q( ve k26 )Q( ’ nın sıfır olması sebebiyle A16, A26, D16 ve D26
rijitliklerinin etkisi kaybolur. Ayrıca simetriklikten dolayı Bij’ler de sıfırdır.
Şekil 4.20. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma
E1, ν1, t
y
x
E2, ν2, t
E1, ν1, t
x
y
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
55
4.10.1.3. Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma
Genel ortotropik simetrik tabakalanma, orta yüzey çevresinde simetrik olarak
yerleştirilmiş genel ortotropik katmanlardan meydana gelmiştir. Bu tabakalı eleman,
eğilme ve uzama arasında bir ilişki sergilemez, yani Bij’ler sıfırdır. Fakat, normal
kuvvetler ve kayma şekil değiştirmesi kesme kuvvetleri ve normal şekil
değiştirmeler, normal momentler ve burulmalar, burulma momentleri ve eğrilikler
arasında bir ilişki bulunduğu için Aij ve Dij’ye gereksinim duyulur. Bu simetrik
tabakalanmanın özel bir alt sınıfı olan düzenli simetrik açılı-katlı tabakalanmada, her
bir tabaka eşit kalınlıktadır ve birbirine bitişik bu ince tabakalar birbirlerine göre zıt
işaretlere sahiptir.(Şekil 4.21)
Şekil 4.21. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma
4.10.2. Antisimetrik Tabakalanma
Orta düzleme göre simetrik olan tabakalarda, uzama-eğrilik arasındaki
ilişkiden kaçınılmak istenir. Bunun yanısıra, tabakalı kompozitlerin birçok fiziksel
uygulaması, dizayn gereksinimlerini karşılamak için nonsimetrik tabakalanma
gerektirir. (Jones,1975). Bu durumdan dolayı antisimetrik tabakalanmaya gereksinim
duyulur.
Eğer tabakalanmadaki, malzemeler ve tabaka kalınlıkları, orta düzlemin
aşağısına ve yukarısına göre aynı özelliklere sahip, fakat orta düzlemin aşağısı ve
yukarısına göre eşit mesafedeki tabakaların yönlenimi (oryantasyonu), birbirine zıtsa
bu tip tabakalanmaya “antisimetrik tabakalanma” denir.
+ α
x
y - α
+ α
4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Emel YAĞCI
56
4.10.2.1. Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma
Antisimetrik çapraz-katlı bir tabakalanma Şekil 4.22’de görüldüğü gibi 0o ve
900 de değişen temel malzeme doğrultusunda uzanan, üst üste konulmuş çift sayıda
ortotropik ince tabakalardan meydana gelir. Bu tür tabakalar A16,A26,D16 ve D26’ya
sahip değildir, fakat eğilme ile uzama arasında girişim etkisi mevcuttur.
Şekil 4.22. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma
4.10.2.2. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma
Antisimetrik açılı-katlı bir tabakalanma, orta yüzeyin bir tarafındaki
tabakalanmanın koordinat eksenleriyle +α derecesinde açı yönlenimi yapması ve
diğer tarafındaki tabakalanmanın koordinat eksenleriyle – α derecesinde yönlenim
yapmasıyla meydana gelen özdeş eşit kalınlıktaki ince tabakalardan oluşur.
(Şekil .4.23)
Şekil 4.23. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma
x
y
+ α
x
y
- α
5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
57
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ
5.1. Giriş
Tabakalandırılmış plaklar, kompozit tabakalıların, en basit ve en yaygın
pratik uygulamalarından biridir. Bu tabakalı plaklar eğilme, bükülme ve titreşim
durumlarında farklı rijitlik özellikleri gösterirler. Bu etkilerin incelenmesi, fiberlerle
takviyeli kompozit malzemelerin davranışının anlaşılmasında bize yardımcı
olmaktadır.
Bu bölüm, tabakalandırılmış plak teorisi çalışmasını tam olarak içermemektedir,
onun yerine tabakalandırılmış plak teorisinin bazı sonuçları incelenmekte ve böylece
rijitliklerin fiziksel önemleri değerlendirilmektedir. Ayrıca sadece tabakalandırılmış
plakların düşey yükler altında eğilmesi incelenmiştir. Plaklar değişkenlere ayırma
yöntemiyle çeşitli sınır şartları altında incelenmiş ve bu sınır şartları, çözüm için
gerekli olan diferansiyel denklemlere uygulanmıştır
5.2. Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri
Boyutları dx, dy ve dZ olan sonsuz küçük kübük bir elemanda, kuvvet ve
momentlerin dengesi hesaba katılarak, bir ‘O’ noktası için denge denklemleri elde
edilir. (Şekil .5.1)
Denge denklemleri yazılırken, her bir tabakanın ortotropik olduğu, plağın
kalınlığının uzunluğu ve genişliğine göre çok küçük olduğu, hiçbir kütlesel kuvvetin
mevcut olmadığı, deplasmanların (u, v ve w )plak kalınlığı yanında çok küçük
olduğu ve Kirchoff Hipotezi’nin geçerli olduğu varsayılmıştır.
Şekil.5.1’den yararlanarak x, y, ve z doğrultularında denge denklemleri
yazılabilir.
5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
58
dzz
zxzx ∂
∂+
ττ dz
z
zz ∂
∂+
σσ dz
z
zyzy ∂
∂+
ττ
dxx
xzxz ∂
∂+
ττ dyτ
y
yzyz ∂
∂+
τ
dxx
xx ∂
∂+
σσ dy
y
yy ∂
∂+
σσ
dxx
xyxy ∂
∂+
ττ dy
y
yxyx ∂
∂+
ττ
Şekil.5.1. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler
x doğrultusunda denge yazılarak
(5.1)
denklemi elde edilir. Aynı işlemler y ve z doğrultuları için de yapılır.Denklemler
dx.dy.dz’ye bölünerek gerilmeler cinsinden aşağıdaki ifadeler elde edilir.
(5.2.a)
0dxdydzFdxdyτdzz
τ
dxdzτdyy
ττdydzσdx
xσσ
xzxzx
zx
yxyx
yxxx
x
=+
−
∂∂
+
+
−
∂
∂++
−
∂∂
+
τ
0Fz
τy
τxσ
xzxyxx =+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
y σz
τxz
τxy
τzx
τzy
σx σy
τyz
τyx
z
x dy
dx
dz
5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
59
0Fx
τz
τyσ
yxyzyy =+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ (5.2.b)
0Fx
τy
τzσ
zxzyzz =+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
(5.2.c)
Şekil 5.2.a. Plak kuvvetleri
Şekil 5.2.b. Plak momentleri
x
y
Nxy
Nx
Qx
Qy
Nyx
Ny
P(x,y)
z
x
y
Qx Myx My
P(x,y)
Mxy Mx
z
5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
60
Daha önceki bölümlerde tabakalı plaklar için yapılan sınırlandırmalar ve
varsayımlar ışığında, yukarıdaki denklemler tüm tabakalar için integre edilir ve
gerekli denge denklemleri yazılır.
Denklem (5.2.a) nın z-doğrultusundaki integrasyonuyla
( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = = =− − − −
=+
∂∂
+
∂
∂+
∂
∂n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
hkx
kkk
k
k
k
k
k
k
k
k
dzFdzdzdz1 1 1 1
zxyx
1 1 1 1
0z
τy
τxxσ
0Fy
Nx
Nx
xyx =+∂
+∂
∂ (5.3)
Denklem (5.2.b) nin z-dogrultusundaki integrasyonuyla
( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = = =
− − − −
=+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
hky
kkk
k
k
k
k
k
k
k
k
dzFdzdzdz1 1 1 1
xyzyy
1 1 1 1
0x
τz
τyσ
0Fx
Ny
Ny
xyy =+∂
+∂
∂ (5.4)
Denklem (5.2.c) nin z-doğrultusundaki integrasyonuyla
( )∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = = =
− − − −
=+
∂∂
+
∂
∂+
∂∂n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
hkz
kkk
k
k
k
k
k
k
k
k
dzFdzdzdz1 1 1 1
xzyzz
1 1 1 1
0x
τy
τzσ
0Fpy
Qx
Qz
yx =++∂
∂+
∂∂
(5.5)
İntegrasyonlar momentler cinsinden yazılarak, Şekil 5.2.a ve Şekil 5.2.b yardımıyla x
ekseni ile y ekseni etrafında denge şartı yazılırsa,
5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
61
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = =
− − −
=
∂∂
+
∂
∂+
∂∂n
k
h
h
n
k
h
h
n
k
h
h kkk
k
k
k
k
k
k
zdzzdzzdz1 1 1
zxyxx
1 1 1
0z
τy
τxσ
0Qy
My
Mx
yxx =−∂
∂+
∂∂
(5.6)
∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫= = =
− − −
=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂n
k
h
h
n
k h
n
k
h
h kkk
k
k
kh
k
k
k
zdzzdzzdz1 1 1
xyzyy
1 1 1
0x
τz
τyσ
0Qx
My
My
xyy =−∂
∂+
∂
∂ (5.7)
denklemleri elde edilir. Denklem (5.6) ve (5.7) denklem (5.5) de yerine yazılırsa,
0Fpy
Myx
M2
xM
z2y
2xy
2
2x
2
=++∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂ (5.8)
denklemi elde edilir. Bu ifade plakların momentler cinsinden eğilmesini ifade eden
diferansiyel denklemdir.
xF , yF ve zF : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetlerdir. Fakat hiçbir
kütlesel kuvvetin mevcut olmadığı kabulünden dolayı, bu kuvvetler ihmal edilir.
Denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir.
0NN y,xyx,x =+ (5.9)
0NN y,yx,xy =+ (5.10)
pMM2M yy,yxy,xyxx,x −=++ (5.11)
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
62
Yukarıdaki denklemler açık şekilde yazılırsa;
( )
( ) 0,,2,3,ν,ν,ν,,,2,
26661216
11yy26xy6612xx16661611
=−+−−
−++++++
yyyxyyxxy
xxxyyxyxx
wBwBBwBwBAAAAuAuAuA
(5.12)
( )
( ) 0,,3,2BB-w,-Bν,Aν,2Aν,,,,
22266612
xxx16yy22xy26xx6626661216
=−−+
++−+++
yyyxyyxxy
yyxyxx
wBwBwAuAuAAuA
(5.13)
( )
( )( ) ( )yx,pν,-Bν,-3Bν,2BB-
ν,,,2,3,
,,4,22,4,
yyy22xyy26xxy6612
xxx162666121611
222666121611
=+
−−+−−−
+++++
BuBuBBuBuBwDwDwDDwDwD
yyyxyyxxyxxx
yyyyxyyyxxyyxxxyxxxx
(5.14)
ifadeleri elde edilir.
Elde edilen denklemler yardımıyla, birçok yöntemi kullanarak (sonlu
elemanlar, sonlu farklar gibi sayısal yöntemler ve Rayleigh-Ritz, Galerkin gibi
değişik enerji metodları) tabakalı kompozit plakların çözümüne ulaşabiliriz. Bu
yöntemlere ek olarak, diğer yöntemlere yardımcı bir yöntem olan değişkenlere
ayırma yöntemi ile de çözüme ulaşılabilir.
5.3.Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi
Basit mesnetli dikdörtgen ince plaklara Navier(1823) çözümü
uygulanabilmektedir. Şekil.5.3 ’de x=0, x=a, y=0 ve y=b kenarları boyunca basit
mesnetli lateral yüklü bir plak görülmektedir.
Plak üzerindeki lateral yük çift Fourier serisi ile aşağıdaki şekilde ifade
edilebilir.
( ) ∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
πyaπx,
m nmn
nSinmSinpyxp (5.15)
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
63
Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak (Jones, 1975)
Denklem (5.7)’ nin her iki tarafı bylSin
axkSin ππ ile çarpılıp, 0 <x<a ve
0<y<b sınırları arasında integre edilirse
( )∫ ∫= =
b
y x
dxdylSinkSinyxp0
a
0 bπy
aπx,
∑∑ ∫∫∞
=
∞
=
=
1 1 0 0 bπy
aπx
bπy
aπx
m n
b a
mn dxdylSinkSinnSinmSinp (5.16)
Hatırlatma,
=
≠=∫ kma
kmdxkSinmSin
a
2
0
aπx
aπx
0
(5.17)
∫
=
≠=
b
lnbln
dylSinnSin0 2
0
bπy
bπy
mnP çift Fourier açılım katsayısı için,
x
y
P(x,y)
z
a
b
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
64
( )∫ ∫= =
=b
y
a
xmn dxdyynSinxmSinyxP
abP
0 0 bπ
aπ,4 (5.18)
denklemi elde edilir. Denklemdeki P(x,y) verilirse Pmn bulunur.
Denklem (5.18) birçok farklı yükleme tipleri için kolaylıkla kullanılabilir. Bu
yükleme tiplerinden birisi olan düzgün yayılı yükleme tipi için denklem (5.18)
integre edildikten sonra
P(x,y) = P0 = Sabit
( )( ) ( )[ ] ( )[ ]nmmn mn
PCosmCosmnPP 1111
π4
nπ 1π 1π4
20
20 −−−−=−−=
0=mnP (m veya n çift sayı ise)
mnPPmn 2
0
π16
= (m veya n tek sayı ise) (5.19)
denklemleri elde edilir.
Yöntem, farklı tabakalanma türleri için sınır şartları yazılarak, her
tabakalanma çeşidi için ayrı ayrı ele alınacaktır.
5.3.1.Özel Ortotropik Tabakalanma
Özel ortotropik tabakalanmada, tabaka rijitlikleri sadece A11, A12, A22, A66,
D11, D12, D22 ve D66’yı içerir. Bu yüzden plak denge denklemleri, tek bir diferansiyel
denklemle açıklanabilir.
( ) ( )yxpwDwDDwD yyyyxxyyxxxx ,,,22, 22661211 =+++ (5.20)
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
65
Basit mesnetli plak için sınır koşulları aşağıdaki şekilde yazılabilir.
0,,0,0 1211 =−−=== yyxxx wDwDMwax
0,,0,0 2212 =−−=== yyxxy wDwDMwby (5.21)
Plak içerisinde oluşan u, v, ve w deplasmanlarından u ve v deplasmanları
dördüncü derece diferansiyel denklemde bulunmadığından dolayı çözüm daha da
kolaylaşır. Bu durumda sadece w deplasmanı için deplasman fonksiyonu yazmamız
yeterlidir.
∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
ππm n
mnynSin
axmSinCw (5.22)
5.3.2. Simetrik Açılı – Katlı Tabakalanma
Bu tabakalanma çeşidinde, özel ortotropik tabakalanmaya ek olarak D16 ve
D26 rijitlikleri bulunmaktadır.
( )
( )yxpwD
wDwDDwDwD
yyyy
xyyyxxyyxxxyxxxx
,,
,4,22,4,
22
2666121611
=+
++++
(5.23)
Basit mesnetli plak için sınır koşullarıda şöyle yazılabilir.
0,2,,0,0 161211 =−−−=== xyyyxxx wDwDwDMwax
0,2,,0,0 262212 =−−−=== xyyyxxy wDwDwDMwby (5.24)
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
66
5.3.3.Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma
Bu tip tabakalanma, A11, A12, A22=A11 ve A66 uzama rijitliklerine,
111211, BBB −= uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine ve D11, D12,
D22=D11 ve D66 eğilme rijitliklerine sahiptir.
( ) 0w,-Bν,,, xxx11xy66126611 =+++ AAuAuA yyxx (5.25.a)
( ) 0w,Bν,Aν,, yyy11yy11xx666612 =++++ AuAA xy (5.25.b)
( ) ( ) ( ) ( )yxpuBwDDwwD xxxxxyyyyyyxxxx ,ν,,,22,, yyy11661211 =−−+++ (5.25.c)
Basit mesnetli durum için sınır şartları aşağıdaki şekildedir.
0,,,0,0 121111 =−−=== yyxxxx wDwDuBMwax
0w,-Bν,,0 xx11y1211 =+== AuANv xx (5.26.a)
0w,-Dw,-Dν,0,0 yy11xx12y11 =−=== BMwby y
0w,Bν,,0 yy11y1112 =++== AuANu xy (5.26.b)
Yukarıdaki sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları aşağıda verilmektedir.
∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
πyaπ
m nmn
nSinxmCosAu
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
67
∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
πyaπ
m nmn
nCosxmSinBv (5.27)
∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
πaπ
m nmn
ynSinxmSinCw
5.3.4. Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma
Antisimetrik açılı-katlı tabakalanma, ,A11 2212 A,A ve 66A uzama
rijitliklerine 16B ve 26B uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine ve
221211 D,D,D ve 66D eğilme rijitliklerine sahiptir. Bu yüzden, bu tip tabakalanma,
antisimetrik çapraz-katlı tabakaların yaptığından farklı bir tür uzama-eğrilik ilişkisi
sergiler. Diferansiyel denge denklemleri aşağıdaki gibidir.
( ) 0w,-Bw,-3Bν,,, yyy26xxy16xy66126611 =+++ AAuAuA yyxx (5.28.a)
( ) 0w,-3Bw,-Bν,Aν,, xyy26xxx16yy22xx666612 =+++ AuAA xy (5.28.b)
( ) ( )
( ) ( )yxpuB
uBwDwDDwD
yyy
xxyyyyyxxyyxxxx
,ν,3,
ν,,3,,22,
xyy26
xxx1622661211
=+−
+−+++
(5.28.c)
Basit mesnetlenmiş durumlarda sınır şartları şöyledir.
( ) 0,,ν,,0,0 1211x16 =−−+=== yyxxyx wDwDuBMwax
( ) 0,,ν,,0 2616x66 =−−+== yyxxyxy wBwBuANu (5.29.a)
5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Emel YAĞCI
68
( ) 0,,ν,,0,0 2212x26 =−−+=== yyxxyy wDwDuBMwby
( ) 0,,ν,,0 2616x66 =−−+== yyxxyxy wBwBuANv (5.29.b)
Yukarıdaki sınır şartlarına uyan deplasman fonksiyonları aşağıdaki gibidir.
∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
ππm n
mnynCos
axmSinAu
∑∑∞
=
∞
=
=1 1
πaπ
m nmn b
ynSinxmCosBv (5.30)
∑∑∞
=
∞
=
=1 1 b
πaπ
m nmn
ynSinxmSinCw
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
69
6.SAYISAL UYGULAMALAR
6.1.Giriş
Tabakalı kompozit plakların analizinden sonra, elde edilen denklemlerle
Mathematica adlı paket programın yardımıyla bir bilgisayar programı hazırlanmıştır.
Program genel ortotropik plakların, düşey yükler altında çökmesini, her bir tabakanın
üst ve alt liflerindeki gerilmeleri ve tabakalarda meydana gelen momentleri
bulabilmektedir. Sonlu elemanlar yöntemine dayalı olarak çalışan ANSYS adlı analiz
programı yardımıyla örnekler tekrar çözülmektedir. ANSYS programı yardımıyla
yapılan analizlerde, ince plak teorisi için dört düğümlü lineer eleman, tabakalı plak
teorisi için sekiz düğümlü quadratik eleman tipleri kullanılmıştır. Analizlerde plak
eleman 20x20 SE ağı kullanılarak analiz edilmiştir.
Bu çalışmada farklı tabakalanma durumlarına göre altı adet örnek incelenmiştir.
Bu örneklerden dördü simetrik tabakalanma ile ilgili olup diğer ikisi antisimetrik
tabakalanma ile ilgilidir. İncelenen örnekler, Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsünde 2004 yılında Araştırma Görevlisi Ali DOĞAN tarafından hazırlanmış
olan “Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak Düzlemine Dik
Yükleme Etkisindeki Davranışı Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü” adlı
yüksek lisans tezinde yer alan örneklerin farklı açılardan ve daha geniş kapsamlı
olarak incelenmesiyle elde edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumunda farklı
elastisite modülleri, farklı tabakalanma açısı ve farklı tabakalanma çeşitlerine bağlı
olarak çökme değerleri, moment değerleri, gerilmeler ve eğilme rijitliklerinin
denklem içerisindeki etkisi bulunmuştur. Antisimetrik plak durumunda ise çökme
değerleri, moment değerleri ve uzama eğrilik arasındaki girişim etkisini gösteren
bağlanma rijitlikleri bulunmuştur. Bulunan bu değerlerle plağın davranışı
incelenmiştir.
Hazırlanan programın ve analizlerin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla elde
edilen sonuçlar, ANSYS programıyla elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. İki
programın sonuçları arasında bazı durumlarda hemen hemen aynı değerler elde
edilmiş, bazı durumlarda ise beklendiği gibi bazı farklılıklar görülmüştür. Oluşan bu
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
70
farklar her iki yöntemdeki kabullerin ve sınırlandırmaların farklılığından
kaynaklanmaktadır.
6.2.Sayısal Örnekler
6.2.1.Simetrik Tabakalanma
Örnek 1:
Bu örnekte üniform yayılı yük etkisinde kalan, kenarlarından basit mesnetlenmiş
izotropik kare plak göz önüne alınmıştır (Şekil6.1 ). Plak malzemesi olarak çelik ve
aliminyum seçilmiş olup malzeme özellikleri Eç= 2.1x108 kN / m2,
Ea = 0.724x108 kN / m2, νç=0.26, νa=0.3 tür. Plak bu ilk örnekte tek tabakalı olarak
ele alınacaktır. Analizler, plak kenarı a ile plak kalınlığı h arasındaki oran, a/h=100
ve a/h=50 olarak iki kez yapılacaktır. Problem önce değişkenlerine ayırma yöntemi
(D.A.Y) ile elde edilen formülasyonla Matematica programı yardımıyla sonra,
ANSYS paket programıyla çözülecektir. Analizlerde 20x20 SE ağı kullanılmıştır.
Şekil 6.1.Üniform yüklü kare plak
a
h
a
y z
P(x,y) = po=100 kN/m2
x
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
71
Çizelge 6.1.Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması (mm)
Çizelge 6.2. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması (kN/m2)
a/h Malzeme
Çeşidi
Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki gerilmeler Y doğrultusundaki gerilmeler
σx D.A.Y.
σx ANSYS
Fark (%)
σy D.A.Y.
σy ANSYS
Fark (%)
50 Tek tabakalı
çelik 69552 70771 1.72 69552 70771 1.72
Tek tabakalı aliminyum
71760 72962 1.65 71760 72962 1.65
100 Tek tabakalı
çelik 278210 281172 1.05 278210 281172 1.05
Tek tabakalı aliminyum
278042 289987 1.02 278042 289987 1.02
Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması (kN.m)
a/h Malzeme
Çeşidi
Plak elemandaki moment değerleri (M) x-x momentleri y-y momentleri
Mx D.A.Y.
Mx ANSYS
Fark (%)
Mx D.A.Y.
Mx ANSYS
Fark (%)
50 Tek tabakalı
çelik 6.677 6.737 0.89 6.677 6.737 0.89
Tek tabakalı aliminyum
6.889 6.946 0.82 6.889 6.946 0.82
a/h Malzeme çeşidi Plak ortası deplasman değerleri(w)
D.A.Y. ANSYS Fark(%)
50 Tek tabakalı çelik 3.247 3.312 1.98
Tek tabakalı aliminyum 9.191 9.368 1.89
100 Tek tabakalı çelik 25.973 26.222 0.95
Tek tabakalı aliminyum 73.526 74.194 0.90
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
72
100 Tek tabakalı
çelik 6.677 6.691 0.21 6..677 6.691 0.21
Tek tabakalı aliminyum
6.889 6.901 0.17 6.889 6.901 0.17
Analitik çözüm ile ANSYS çözümü birbirine yakın sonuçlar vermiştir. Düşey
deplasman sonuçları arasında yaklaşık olarak % 1-2 arasında bir fark mevcuttur. Bu
farkın en önemli nedeni iki yöntemde farklı çözüm yollarının kullanılması, farklı
sınırlandırmalar ve varsayımların yapılmasıdır. Ayrıca plak kenarının plak
kalınlığına oranı da sonucu etkilemektedir. Beklendiği üzere plak inceldikçe sonuçlar
birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi değişkenlere ayırma yönteminde ince plaklar
için geçerli olan bazı kabullerin yapılmış olmasıdır. Doğal olarak plak kalınlaştıkça
bu kabullerin geçerliliği gitgide azalacak ve sonuçlar gerçek sonuçlardan
uzaklaşacaktır. Çizelge 6.1’ de görüldüğü gibi a/h = 50 iken % 2 mertebesinde olan
fark a/h =100 iken % 0.9 mertebesine düşmüştür, yani plak inceldikçe ANSYS
sonuçları ile analitik çözüm sonuçları birbirine yaklaşmaktadır.
Her iki yöntemde de farklı malzemelerin kullanılması, çökme miktarını aşırı
bir şekilde etkilemiş gerilme ve moment değerlerine ise çok küçük değişikliklere
neden olmuştur.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
73
Şekil 6.2. 20x20 SE ağıyla çözülen a/h= 50 olan çelik plak problemi için düşey
deplasman dağılımı (ANSYS)
Şekil 6.3. 20x20 SE ağıyla çözülen a/h= 50 olan çelik plak problemi için σx
gerilme dağılımı (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
74
Şekil 6.4. 20x20 SE ağıyla çözülen a/h= 50 olan çelik plak problemi için Mx
moment dağılımı (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
74
Çelik
Durum-1
Durum-5 Durum-6
Örnek 2:
Bu örnekte q =100 kN/m2 değerinde üniform yayılı yük etkisinde kalan,
kenarlarından basit mesnetlenmiş tabakalı kare plak göz önüne alınmıştır. Her bir
tabaka kendi içinde izotrop olup plak malzemesi olarak çelik ve aliminyum
seçilmiştir. Malzeme özellikleri Eç= 2.1x108 kN/m2, Ea=0.724x108 kN/m2, υç=0.26,
υa=0.3 tür. Plak Durum-1 de en dıştaki tabakalar çelik aradaki tabaka aliminyum
olacak şekilde üç tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-2 de en dıştaki tabakalar çelik
içteki üç tabaka aliminyum olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-3 te
en dıştaki tabakalar çelik içteki sekiz tabaka aliminyum olacak şekilde on tabaka
olarak (Şekil 6.5). Durum-4 te en dıştaki tabakalar aliminyum içteki üç tabaka çelik
olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-5 te en dıştaki ve ortadaki
tabakalar alüminyum diğer iki tabaka çelik olacak şekilde beş tabaka olarak
(Şekil 6.5) ve son olarak Durum-6 da ilk tabaka çelik sonraki 2 tabakalar alüminyum
olacak şekilde on tabaka olarak ele alınmıştır. Analizler plak kenarı a ile plak
kalınlığı h arasındaki oran a/h = 100 olacak şekilde yapılmıştır. Her bir tabakanın
kalınlığı eşit ve toplam tabaka kalınlığı sabittir. ANSYS paket programıyla yapılan
analizlerde SHELL91 adı ile tanımlanan sekiz düğümlü altı serbestlik dereceli
elemanlar kullanılmıştır.
Şekil 6.5.Örnek 2 deki altı farklı tabakalanma durumu
Aliminyum
h
Durum-2 Durum-3
Durum-4
a
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
75
Çizelge 6.4.Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması (mm)
Çizelge 6.5. Plak moment değerleri (kN.m)
Malzeme çeşidi
Plak elemandaki moment değerleri(M)
x-x momentleri y-y momentleri
Mx
D.A.Y.
Mx
ANSYS
Fark
%
My
D.A.Y.
My
ANSYS
Fark
% 3 tabakalı plak
(Durum-1) 6.680 6.700 0.29 6.680 6.700 0.29
5 tabakalı plak (Durum-2)
6.696 6.719 0.34 6.696 6.719 0.34
10 tabakalı plak (Durum-3)
6.734 6.757 0.33 6.734 6.757 0.33
5 tabakalı plak (Durum-4)
6.796 6.801 0.06 6.796 6.801 0.06
5 tabakalı plak (Durum-5)
6.799 6.807 0.12 6.799 6.807 0.12
10 tabakalı plak (Durum-6)
6.725 6.743 0.26 6.725 6.743 0.26
Malzeme çeşidi Plak ortası deplasman değerleri(w)
D.A.Y. ANSYS Fark(%)
3 tabakalı plak (Durum-1) 26.610 26.897 1.07
5 tabakalı plak (Durum-2) 30.190 30.537 1.13
10 tabakalı plak (Durum-3) 38.831 39.271 1.12
5 tabakalı plak (Durum-4) 52.689 53.080 0.74
5 tabakalı plak (Durum-5) 53.248 53.684 0.81
10 tabakalı plak (Durum-6) 36.837 37.213 1.01
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
76
Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri (kN/m2)
Malzeme çeşidi
Tabaka
kalınlığı
(m)
Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki
gerilmeler
Y doğrultusundaki
gerilmeler σx D.A.Y.
σx ANSYS
S
Fark (%)
σy D.A.Y.
σy ANSYS
Fark (%)
3 tabakalı plak
(Durum-1)
0.006 288.300 285.038 1.13 288.300 285.038 1.13 0.002 96.100 95.013 1.13 96.100 95.013 1.13 0.002 35.025 34.629 1.13 35.025 34.629 1.13 -0.002 -35.025 -34.629 1.13 -35.025 -34.629 1.13 -0.002 -96.100 -95.013 1.13 -96.100 -95.013 1.13 -0.006 -288.300 -285.038 1.13 -288.300 -285.038 1.13
5 tabakalı plak
(Durum-2)
0.006 323.387 327.242 1.18 323.387 327.242 1.18 0.0036 194.032 196.345 1.18 194.032 196.345 1.18 0.0036 70.717 71.560 1.18 70.717 71.560 1.18 0.0012 23.573 23.853 1.17 23.573 23.853 1.17 0.0012 23.573 23.853 1.17 23.573 23.853 1.17 -0.0012 -23.573 -23.853 1.17 -23.573 -23.853 1.17 -0.0012 -23.573 -23.853 1.17 -23.573 -23.853 1.17 -0.0036 -70.717 -71.560 1.18 -70.717 -71.560 1.18 -0.0036 -194.032 -196.345 1.18 -194.032 -196.345 1.18 -0.006 -323.387 -327.242 1.18 -323.387 -327.242 1.18
10 tabakalı plak
(Durum-3)
0.006 415.945 420.852 1.17 415.945 420.852 1.17 0.0048 332.756 336.681 1.17 332.756 336.681 1.17 0.0048 121.277 122.708 1.17 121.277 122.708 1.17 0.0036 90.958 92.031 1.17 90.958 92.031 1.17 0.0036 90.958 92.031 1.17 90.958 92.031 1.17 0.0024 60.639 61.354 1.17 60.639 61.354 1.17 0.0024 60.639 61.354 1.17 60.639 61.354 1.17 0.0012 30.319 30.677 1.17 30.319 30.677 1.17 0.0012 30.319 30.677 1.17 30.319 30.677 1.17
0 0 0 1.17 0 0 1.17 0 0 0 1.17 0 0 1.17
-0.0012 -30.319 -30.677 1.17 -30.319 -30.677 1.17 -0.0012 -30.319 -30.677 1.17 -30.319 -30.677 1.17 -0.0024 -60.639 -61.354 1.17 -60.639 -61.354 1.17 -0.0024 -60.639 -61.354 1.17 -60.639 -61.354 1.17 -0.0036 -90.958 -92.031 1.17 -90.958 -92.031 1.17 -0.0036 -90.958 -92.031 1.17 -90.958 -92.031 1.17 -0.0048 -121.277 -122.708 1.17 -121.277 -122.708 1.17 -0.0048 -332.756 -336.681 1.17 -332.756 -336.681 1.17 -0.006 -415.945 -420.852 1.17 -415.945 -420.852 1.17
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
77
Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri (kN/m2)
Malzeme çeşidi
Tabaka
kalınlığı
(m)
Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki
gerilmeler
Y doğrultusundaki
gerilmeler σx D.A.Y.
σx ANSYS
Fark (%)
σy D.A.Y.
σy ANSYS
Fark (%)
5 tabakalı plak
(Durum-4)
0.006 205.696 207.577 0.91 205.696 207.577 0.91 0.0036 123.418 124.546 0.91 123.418 124.546 0.91 0.0036 338.629 341.725 0.91 338.629 341.725 0.91 0.0012 112.876 113.908 0.91 112.876 113.908 0.91 0.0012 112.876 113.908 0.91 112.876 113.908 0.91 -0.0012 -112.876 -113.908 0.91 -112.876 -113.908 0.91 -0.0012 -112.876 -113.908 0.91 -112.876 -113.908 0.91 -0.0036 -338.629 -341.725 0.91 -338.629 -341.725 0.91 -0.0036 -123.418 -124.546 0.91 -123.418 -124.546 0.91 -0.006 -205.696 -207.577 0.91 -205.696 -207.577 0.91
5 tabakalı plak
(Durum-5)
0.006 207.878 209.888 0.96 207.878 209.888 0.96 0.0036 124.727 125.933 0.96 124.727 125.933 0.96 0.0036 342.221 345.530 0.96 342.221 345.530 0.96 0.0012 114.074 115.177 0.96 114.074 115.177 0.96 0.0012 41.576 41.978 0.96 41.576 41.978 0.96 -0.0012 -41.576 -41.978 0.96 -41.576 -41.978 0.96 -0.0012 -114.074 -115.177 0.96 -114.074 -115.177 0.96 -0.0036 -342.221 -345.530 0.96 -342.221 -345.530 0.96 -0.0036 -124.727 -125.933 0.96 -124.727 -125.933 0.96 -0.006 -207.878 -209.888 0.96 -207.878 -209.888 0.96
10tabakalı plak
(Durum-6)
0.006 394.579 398.946 1.09 394.579 398.946 1.09 0.0048 315.663 319.156 1.09 315.663 319.156 1.09 0.0048 115.047 116.321 1.10 115.047 116.321 1.10 0.0036 86.286 87.240 1.09 86.286 87.240 1.09 0.0036 86.286 87.240 1.09 86.286 87.240 1.09 0.0024 57.524 58.160 1.09 57.524 58.160 1.09 0.0024 157.831 159.578 1.09 157.831 159.578 1.09 0.0012 78.916 79.789 1.09 78.916 79.789 1.09 0.0012 28.762 29.080 1.09 28.762 29.080 1.09
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
-0.0012 -28.762 -29.080 1.09 -28.762 -29.080 1.09 -0.0012 -78.916 -79.789 1.09 -78.916 -79.789 1.09 -0.0024 -157.831 -159.578 1.09 -157.831 -159.578 1.09 -0.0024 -57.524 -58.160 1.09 -57.524 -58.160 1.09 -0.0036 -86.286 -87.240 1.09 -86.286 -87.240 1.09 -0.0036 -86.286 -87.240 1.09 -86.286 -87.240 1.09 -0.0048 -115.047 -116.321 1.10 -115.047 -116.321 1.10 -0.0048 -315.663 -319.156 1.09 -315.663 -319.156 1.09 -0.006 -394.579 -398.944 1.09 -394.579 -398.944 1.09
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
78
Bu örnekteki analizlerde tabaka sayısı arttırılmış ve Şekil 6.5’de görüldüğü gibi
plak malzemesi olarak çelik ve alüminyum kullanılarak farklı tabakalanma
dizilimleri elde edilmiştir. Sonuçlar bu artan tabaka sayısına ve farklı tabakalanma
durumlarına göre irdelenmiştir.
Tabaka sayısı arttıkça plağın toplam kalınlığı değişmediği halde her bir
tabakanın kalınlığı azalmaktadır. Durum-1 her bir tabakanın en kalın olduğu
durumdur. Durum-1 den Durum-2 ye geçirilirken her bir tabakanın kalınlığı % 40
oranında azaldığı halde, çökme miktarı % 12 civarında artmaktadır. Durum-1 den
Durum-3 e geçirilirken her bir tabakanın kalınlığı yaklaşık % 70 oranında azaldığı
halde, çökme miktarı % 30 civarında artmaktadır. Durum-2, Durum-5 ve Durum-
6’da güçlü tabaka olan çelik eşit miktarda kullanıldığı halde en iyi sonuç çeliğin en
dışta olduğu Durum-2’de görülmektedir. Bu sonuçlar göstermektedir ki, güçlü
tabakaların orta düzleme göre en dış kenarda tutulması şartıyla, tabaka sayısının
arttırılıp tabaka kalınlığının inceltilmesi ile daha ekonomik tabakalanma çeşitleri elde
edilebilir (örneğin; sandiviç tipi tabakalanma). Ancak güçlü tabakaların orta düzleme
yakın tutulması bizi tam aksi bir sonuca götürür. Şöyle ki, Durum-2, Durum-4 ve
Durum-5 te plak 5 tabakaya ayrılmıştır. Durum-4 de Durum-2’ye göre güçlü eleman
olan çelik daha fazla kullanılmasına rağmen yaklaşık olarak iki kat daha fazla çökme
meydana gelmiştir.(Çizelge 6.4). Durum-2 ve Durum-5 te çelik eleman eşit
kullanılmasına rağmen Durum-5’te çökme miktarı % 43 civarında artmaktadır.
Şekil 6.6’da görüldüğü gibi ANSYS ve D.A.Y. sonuçları birbiriyle
örtüşmüştür. Gerilme değerleri arasında yaklaşık % 1-2 arasında bir fark mevcuttur.
Şekillerde de görüldüğü gibi tabaka sayısı artıkça plaktaki maksimum gerilme
değerinde de bir artış meydana gelmektedir. Örneğin Şekil 6.6’ da görülen Durum-1
deki maksimum gerilme değeri ile Şekil 6.8.’ de görülen Durum-3 deki maksimum
gerilme değeri arasında yaklaşık % 50 oranında bir fark bulunmaktadır. Durum-1-2-3
ve 6 da dıştaki rijit tabakalarda gerilme değerinde artış meydana gelmiştir. Şekil 6.9,
Şekil 6.10’da görülen Durum-4 ve Durum-5 te daha rijit kısmın iç tabakalarda
bulunmasından dolayı maksimum gerilme iç tabakalarda oluşmuştur. Tüm
durumlarda tabakalanmanın orta düzleminde σx gerilmeleri sıfırdır.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
79
Şekil 6.6. Durum-1 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi
Şekil 6.7. Durum-2 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişim
Durum-2
-0,006
-0,0036
-0,0012
0,0012
0,0036
0,006
-400 -200 0 200 400
D.A.Y.
ANSYS
Gerilme (103 kN /m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Durum-1
-0,006
-0,002
0,002
0,006
-400 -200 0 200 400
D.A.Y. ANSYS
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme (103 kN /m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
80
Şekil 6.8. Durum-3 deki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi
Şekil 6.9. Durum-4 teki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi
-0,006
-0,0036
-0,0012
0,0012
0,0036
0,006
-400 -200 0 200 400
D.A.Y. ANSYS
Durum-4
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme (103 kN /m2)
Durum-3
-0,006 -0,0048
-0,0036
-0,0024
-0,0012
0,0012
0,0024
0,0036
0,0048
0,006
-600 -400 -200 0 200 400 600
D.A.Y.
ANSYS
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme (103 kN /m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
81
Şekil 6.10. Durum-5 teki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi
Şekil 6.11. Durum 6-daki σx gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi
-0,006
-0,0036
-0,0012
0,0012
0,0036
0,006
-400 -200 0 200 400
D.A.Y. ANSYS
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Durum-5
Gerilme (103 kN /m2)
-0,006
-0,0048
-0,0036
-0,0024
-0,0012
0,0012
0,0024
0,0036
0,0048
0,006
-600 -400 -200 0 200 400 600
D.A.Y.
ANSYS
Gerilme (103 kN /m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Durum-6
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
82
Örnek 3:
Örnekte, dört tabakalı, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı
yüküne maruz, tabakalı kare plak göz önüne alınmıştır. Analizler plak kenarı a ile
plak kalınlığı h arasındaki oran a/h = 100 olacak şekilde yapılmıştır. Her bir tabaka
ortotrop olup plak malzemesi olarak Graphite /epoxy seçilmiştir. Malzeme özellikleri
E1=181 GPa., E2=10.3 GPa., G12=7.17 GPa. ve υ12 =0.28 ’dir. Bu örnek iki durum
için ayrı ayrı ele alınacaktır. Durum-1 de en dıştaki tabakalarda açı değişimi
yapılacak, Durum-2 de ise en içteki tabakalarda açı değişimi yapılacak ve açı
değişimi sebebiyle tabaka eğilme rijitliklerinde meydana gelen değişime dikkat
edilerek simetrik plaklar için D16 ve D26 rijitliklerinin etkisi incelenecektir. Değerler
(a/b , b/2) noktası için elde edilmiştir. Ayrıca belli açı aralıklarında plaktaki her
tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri de incelenmiştir.
Şekil.6.12. Örnek 3 için plak yerleşimi
θ
θ
θ
Durum-1 θ / 90 / 90 / θ
Durum-2 90 / θ / θ / 90
θ
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
83
Çizelge 6.7.Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-1)
Açı Plak eğilme rijitlikleri
D11 D12 D22 D26 D16 D66
0 0.023094 0.000417 0.004576 0 0 0.001032 5 0.022781 0.000567 0.004591 0.000088 0.001787 0.001182
10 0.021862 0.000998 0.004647 0.000251 0.003444 0.001614
15 0.020405 0.001659 0.004782 0.000550 0.004851 0.002274 20 0.018515 0.002469 0.005051 0.001026 0.005918 0.003085 25 0.016321 0.003332 0.005520 0.001692 0.006583 0.003947 30 0.013968 0.004142 0.006252 0.002527 0.006828 0.004758 35 0.011601 0.004803 0.007298 0.003479 0.006672 0.005418 40 0.009351 0.005234 0.008685 0.004470 0.006169 0.005850
45 0.007325 0.005384 0.010411 0.005401 0.005401 0.005999 50 0.005599 0.005234 0.012437 0.006168 0.004469 0.005849 55 0.004212 0.004803 0.014687 0.006672 0.003479 0.005418 60 0.003166 0.004142 0.017054 0.006828 0.002527 0.004758 65 0.002434 0.003332 0.019407 0.006583 0.001692 0.003947 70 0.001965 0.002469 0.021601 0.005918 0.001026 0.003085
75 0.001695 0.001659 0.023491 0.004851 0.000550 0.002274 80 0.001560 0.000998 0.024948 0.003444 0.000251 0.001613 85 0.001504 0.000567 0.025867 0.001787 0.000088 0.001182 90 0.001490 0.000417 0.026181 0 0 0.001032
Şekil 6.13. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-1)
Plak Eğilme Rijitlikleri
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 15 30 45 60 75 90 Açı (derece)
D11 D12 D22 D26 D16 D66
Değ
erle
r
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
84
Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)
Şekil6.14. Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için (a/2, b/2) noktasında plak
çökme değerleri (Durum-1)
Açı Plak orta noktasındaki çökme değerleri ( wx10-9 m )
ANSYS D.A.Y. Fark(%)
0 10338 10286 0.50 5 10334 10100 2.26
10 10317 9599 6.96 15 10276 8923 13.18 20 10200 8212 19.50 25 10083 7571 24.92 30 9941 7053 29.07 35 9802 6679 31.87 40 9699 6453 33.48 45 9656 6374 34.00 50 9680 6439 33.49 55 9761 6648 31.89 60 9873 7001 29.10 65 9980 7491 24.95 70 10051 8093 19.49 75 10077 8752 13.16 80 10068 9371 6.94 85 10049 9822 2.28 90 10040 9988 0.54
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Açı (derece)
ANSYS
D.A.Y.
Çök
me
(wx1
0-9 m
)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
85
Çizelge 6.9.Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)
Açı Plak moment değerleri (M)
Mx
ANSYS
Mx
D.A.Y.
Fark
%
My
ANSYS
My
D.A.Y.
Fark
% 0 15.951 16.001 0.31 2.995 2.992 0.10
5 15.722 15.586 0.87 3.135 3.048 2.78
10 15.044 14.423 4.13 3.531 3.207 9.18
15 13.962 12.825 8.14 4.115 3.447 16.23
20 12.571 11.100 11.70 4.792 3.747 21.81
25 11.028 9.465 14.17 5.473 4.095 25.18
30 9.515 8.024 15.67 6.119 4.495 26.54
35 8.167 6.805 16.68 6.757 4.962 26.57
40 7.033 5.793 17.63 7.456 5.520 25.97
45 6.089 4.956 18.61 8.279 6.199 25.12
50 5.281 4.251 19.50 9.272 7.034 24.14
55 4.562 3.645 20.10 10.454 8.062 22.88
60 3.885 3.104 20.10 11.81 9.315 21.13
65 3.216 2.603 19.06 13.264 10.806 18.53
70 2.548 2.128 16.48 14.675 12.503 14.80
75 1.919 1.682 12.35 15.891 14.291 10.07
80 1.396 1.295 7.23 16.800 15.945 5.09
85 1.048 1.02 2.67 17.352 17.148 1.18
90 0.927 0.919 0.86 17.536 17.592 0.32
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
86
Simetrik açılı-katlı tabakalanmada özel-ortotropik tabakalanmada bulunan
A11, A12, A22 ,A66, D11, D12, D22 ve D66 rijitliklerine ek olarak D16 ve D26 rijitlikleri de
bulunmaktadır. Ancak deplasman fonksiyonu simetrik açılı-katlı tabakalanmada
tabaka rijitliklerini doğru bir şekilde ifade edememekte ve plak ortasına doğru
gidildikçe D16 ve D26 rijitliklerinin plak eğilmesine olan katkısı giderek azalmaktadır.
Plak ortasında ise D16 ve D26 rijitliklerinin plak eğilmesine katkısı sıfır olmaktadır.
Özel ortotropik tabakalanmada ise deplasman fonksiyonu plak eğilmesini doğru bir
şekilde ifade edebilmektedir. Çizelge 6.8 çökme değerleri ile Çizelge 6.9 moment
değerleri özel ortotropik durum olan 0o/90o/90o/0o durumunda iki ayrı yöntem için
yaklaşık olarak aynı sonuçları vermiştir. Ancak Durum-1’de açı değişimi yapılan
tabakalar en dışta olduğundan D16 ve D26 rijitliklerinin plak eğilmesine olan katkısı
giderek artmaktadır. Şekil 6.14, Şekil 6.15 ve Şekil 6.16 da görüldüğü gibi açı değeri
yükseldiğinde, yani tabakalanma simetrik açılı katlı tabakalanmaya dönüştüğünde
D16 ve D26 eğilme rijitliklerinin ifade edilememesiyle sonuçlar beklendiği gibi
kötüleşmektedir. Açı değişimi 0o den 90o ye yaklaştıkça en dıştaki tabakaların fiber
dizilimi giderek içteki tabakaların dizilimiyle aynı yönlenime sahip olmaktadır. Ve
bu yüzden Mx değerleri azalmakta, My değerleri artmaktadır. Aynı durum gerilmeler
içinde geçerlidir. Şekil 6.17.’de görülen σx gerilme değerleri ile Şekil 6.24’te görülen
σy gerilme değerlerinin, özel ortotropik olan 0o/90o/90o/0o durumunda ANSYS ve
D.A.Y. sonuçları birbirleriyle örtüşmektedir. Şekillerde de görüldüğü gibi 45o ye
kadar açı değeri arttıkça sonuçlar birbirinden uzaklaşmaktadır, 45o den 90o ye doğru
olan açı artışında da tam tersine sonuçlar giderek birbirine yaklaşmaktadır. Bunun
sebebi yukarıda da belirtildiği gibi açının artmasıyla fiber aksları ile içteki tabaka
aksları aynı hizaya gelmekte ve böylece sonuçlar iyileşmektedir. Şekil 6.23. ve Şekil
6.30. de görüldüğü üzere 90o/90o/90o/90o durumunda sonuçlar hemen hemen aynı
çıkmıştır. Ayrıca açının artmasıyla plaktaki maksimum gerilme değeri azalmıştır.
Tüm durumlarda tabakalanmanın orta düzleminde σx ve σy gerilmeleri sıfırdır.
Tabakalanma açısının 0 derece olduğu durumda gerilme en büyük değerini, 90
derece olduğu durumlarda en küçük değerini almıştır.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
87
Şekil.6.15.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)
Şekil.6.16.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-1)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Açı (Derece)
ANSYS
D.A.Y.M
omen
t (G
pa.m
)
024
68
10
1214
1618
20
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Açı (Derece)
ANSYS
D.A.Y.
Mom
ent (
Gpa
.m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
88
Şekil 6.17. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.18. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
Gerilme ( 103 kN/m2)
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Gerilme ( 103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
89
Şekil 6.19. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 30o /90o /90o /30o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.20. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45o /90o /90o /45o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Gerilme ( 103 kN/m2)
Gerilme ( 103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
90
Şekil 6.21. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 60o /90o /90o /60o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.22. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75o /90o /90o /75o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
91
Şekil 6.23. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.24. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
0o /90o /90o /0o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
92
Şekil 6.25. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 15o /90o /90o /15o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
Gerilme ( 103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
ANSYS
DAY
Şekil 6.26. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 30o /90o /90o /30o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
93
Şekil 6.27. Durum-1deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45o /90o /90o /45o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
Şekil 6.28. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 60o /90o /90o /60o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
94
Şekil 6.29. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75o /90o /90o /75o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
Şekil 6.30. Durum-1 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
D.A.Y.
Gerilme ( 103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
95
Çizelge 6.10.Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-2)
Açı Plak eğilme rijitlikleri
D11 D12 D22 D26 D16 D66
0 0.004576 0.000417 0.023094 0 0 0.001032 5 0.004531 0.000439 0.023097 0.000013 0.000255 0.001054
10 0.0044 0.0005 0.023105 0.000036 0.000492 0.001115 15 0.004192 0.000595 0.023124 0.000079 0.000693 0.00121 20 0.003922 0.00071 0.023162 0.000147 0.000845 0.001326 25 0.003609 0.000833 0.023229 0.000242 0.00094 0.001449 30 0.003272 0.000949 0.023334 0.000361 0.000975 0.001565 35 0.002934 0.001044 0.023483 0.000497 0.000953 0.001659 40 0.002613 0.001105 0.023682 0.000639 0.000881 0.001721 45 0.002323 0.001127 0.023928 0.000772 0.000772 0.001742 50 0.002077 0.001105 0.024217 0.000881 0.000639 0.001721 55 0.001879 0.001044 0.024539 0.000953 0.000497 0.001659 60 0.001729 0.000949 0.024877 0.000975 0.000361 0.001565 65 0.001625 0.000834 0.025213 0.00094 0.000242 0.001449 70 0.001558 0.00071 0.025527 0.000845 0.000147 0.001326 75 0.001519 0.000595 0.025797 0.000693 0.000079 0.00121 80 0.0015 0.0005 0.026005 0.000492 0.000036 0.001115 85 0.001492 0.000439 0.026136 0.000255 0.000013 0.001054 90 0.00149 0.000417 0.026181 0 0 0.001032
Plak Eğilme Rijitlikleri
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0 15 30 45 60 75 90Açı (derece)
Değ
erle
r
D11 D12 D22 D26 D16 D66
Şekil 6.31.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri(Durum-2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
96
Çizelge 6.11. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Açı (derece)
Çök
me
(wx1
0-9 m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil 6.32. Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için (a/2, b/2) noktasında plak çökme değerleri (Durum-2)
Açı Plak orta noktasındaki çökme değerleri ( wx10-9 m )
ANSYS D.A.Y. Fark(%)
0 10338 10286 0.50 5 10315 10257 0.56
10 10248 10175 0.71 15 10146 10049 0.96 20 10020 9898 1.22 25 9885 9739 1.48 30 9755 9590 1.69 35 9643 9465 1.85 40 9559 9376 1.91 45 9510 9329 1.90 50 9500 9327 1.82 55 9529 9368 1.69 60 9591 9447 1.50 65 9679 9553 1.30 70 9779 9674 1.07 75 9879 9794 0.86 80 9963 9896 0.67 85 10020 9964 0.56 90 10040 9988 0.52
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
97
Çizelge 6.12.Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)
Açı Plak moment değerleri(M)
Mx
ANSYS
Mx
D.A.Y.
Fark
%
My
ANSYS
My
D.A.Y.
Fark
% 0
2.995 2.992 0.10 15.951 16.016 0.41 5
2.968 2.967 0.03 15.927 15.983 0.35 10
2.889 2.896 0.24 15.858 15.890 0.20 15
2.768 2.784 0.57 15.755 15.753 0.01 20
2.617 2.643 0.98 15.636 15.595 0.26 25
2.448 2.481 1.33 15.519 15.442 0.50 30
2.274 2.309 1.52 15.426 15.320 0.69 35
2.101 2.134 1.55 15.377 15.249 0.84 40
1.934 1.963 1.48 15.386 15.247 0.91 45
1.777 1.799 1.22 15.463 15.324 0.91 50
1.630 1.645 0.91 15.614 15.482 0.85 55
1.492 1.499 0.47 15.833 15.718 0.73 60
1.364 1.365 0.07 16.111 16.019 0.57 65
1.247 1.243 0.32 16.427 16.365 0.38 70
1.142 1.136 0.53 16.756 16.725 0.19 75
1.054 1.045 0.85 17.062 17.064 0.01 80
0.985 0.977 0.81 17.314 17.343 0.17 85
0.942 0.934 0.85 17.479 17.528 0.28 90
0.927 0.919 0.86 17.536 17.592 0.32
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
98
Durum-2’de ise açı değişimi yapan tabakalar orta düzleme yakın
olduğundan Çizelge 6.10 ve Şekil 6.31’de görüldüğü gibi D16 ve D26 eğilme
rijitlikleri diğer eğilme rijitliklerine göre çok küçük çıkmıştır. Bundan dolayı
Durum-2 Durum-1’e göre daha iyi sonuçlar vermektedir. Bu sonuçlar Çizelge 6.11
ve Şekil 6.32’deki çökme değerlerinde, Çizelge 6.12, Şekil 6.33 ve Şekil.6.34’deki
moment değerlerinde ve Şekil 6.35’ten ve Şekil 6.48’e kadar gösterilen gerilme
değerlerinde açık bir şekilde görülmektedir. Ayrıca Çizelge 6.12’deki moment
değerleri özel ortotropik durum olan 90o/0o/0o/90o durumunda iki ayrı yöntem için
yaklaşık olarak aynı sonuçları vermiştir. Durum-2’de de yine Durum-1’deki gibi açı
değişimi 0o den 90o ye yaklaştıkça en içteki tabakaların fiber dizilimi giderek dıştaki
tabakaların dizilimiyle aynı yönleneme sahip olmaktadır. Ve bu yüzden Mx değerleri
azalmakta, My momenti ise açı değişimi 0o den 45o ye gittikçe azalmakta, 45o den
90o ye doğru gittikçe de artmaktadır.
Bu iki durum için yorum yapacak olursak, Değişkenlerine ayırma
yönteminde simetrik açılı plaklar için açı değişimi orta düzleme göre uzaktaki
tabakalarda yapılırsa, sonuçlarda sapma miktarı artmaktadır. Yani deplasman
fonksiyonu plağın elastik eğrisini temsil edememektedir. Ayrıca her iki yöntemde de
tabakalanma açısının 45o olduğu durumda düşey deplasman en küçük değerini
almaktadır.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
99
Şekil6.33. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)
Şekil6.34. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için My değerlerinin karşılaştırılması (Durum-2)
0
1
2
3
4
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Açı (Derece)
ANSYS
D.A.Y.M
omen
t (G
pa.m
)
14
15
16
17
18
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Açı (Derece)
ANSYS
D.A.Y.
Mom
ent (
Gpa
.m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
100
Şekil 6.35. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.36. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /15o /15o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
101
Şekil 6.37. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /30o /30o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.38. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /45o /45o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAYTaba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
102
Şekil 6.39. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /60o /60o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.40. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /75o /75o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
103
Şekil 6.41. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σx gerilmeleri
Şekil 6.42. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta
90o /0o /0o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
104
Şekil 6.43. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /15o /15o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
Şekil 6.44. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /30o /30o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
105
Şekil 6.45. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /45o /45o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
Şekil 6.46. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /60o /60o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
106
Şekil 6.47. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /75o /75o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
Şekil 6.48. Durum-2 deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 90o /90o /90o /90o derecelik fiber açıları için σy gerilmeleri
-0,06
0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
-0,06
-0,03
0
0,03
0,06
-10000 -5000 0 5000 10000
ANSYS
DAY
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
Gerilme ( 103 kN/m2)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
107
Örnek 4:
Örnekte altı tabakalı dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı
yüküne maruz plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde plak kenarı a ile, plak kalınlığı
h arasındaki oran değişmektedir. Her bir tabaka ortotrop olup plak malzemesi olarak
Graphite/epoxy seçilmiştir. Malzeme özellikleri E1=181 GPa, E2=10.3 GPa,G12=7.17
GPa ve υ12=0.28 dir. Bu örnekte plak farklı tabaka kalınlıklarında incelenecektir.
Uygulanan her tabaka kalınlığı için plak yedi farklı açı durumu ile ele alınacak ve
değerler (a/2, b/2) noktası için elde edilecektir. Ayrıca tüm durumlar için her
tabakada oluşan gerilmelerin değişimi de incelenmiştir. Yedi farklı durum şöyledir:
Birinci durum (90/0/0/0/0/90)
İkinci durum (90/15/-15/-15/15/90)
Üçüncü durum (90/30/-30/-30/30/90)
Dördüncü durum (90/45/-45/-45/45/90)
Beşinci durum (90/60/-60/-60/60/90)
Altıncı durum (90/75/-75/-75/75/90)
Yedinci durum (90/90/90/90/90/90)
Şekil 6.49. Örnek 4 için tabaka dizilimi
α
α
-α
-α
90
α
-α
-α
α
90
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
108
Çizelge 6.13. Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri
Tabaka Tipi
Plak Kalınlığı
(m)
Plak Eğilme Rijitlikleri (10-5)
D11 D12 D22 D26 D16 D66
Durum-1
0.120 881 42 1887 0 0 103.25 0.240 7045 334 15092 0 0 826 0.360 23775 1126 50935 0 0 2788 0.480 56356 2670 120736 0 0 6608
Durum-2
0.120 790 84 1893 14 123 145 0.240 6316 670 15148 112 986 1162 0.360 21317 2262 51123 377 3327 3923 0.480 50529 5361 121181 894 7885 9299
Durum-3
0.120 572 168 1943 64 173 229 0.240 4572 1343 15546 513 1387 1835 0.360 15431 4532 52468 1733 4682 6194 0.480 36578 10743 124368 4107 11099 14681
Durum-4
0.120 346 210 2084 137 137 271 0.240 2773 1679 16673 1097 1097 2171 0.360 9358 5668 56270 3704 3704 7329 0.480 22181 13434 133382 8779 8779 17372
Durum-5
0.120 206 168 2309 173 64 229 0.240 1646 1343 18472 1387 513 1835 0.360 5549 4532 62344 4682 1733 6194 0.480 13167 10743 147778 11099 4107 14681
Durum-6
0.120 156 84 2527 123 14 145 0.240 1247 670 20216 986 112 1162 0.360 4210 2262 68230 3327 377 3923 0.480 9980 5361 161730 7885 894 9299
Durum-7
0.120 149 42 2618 0 0 103 0.240 1192 334 20945 0 0 826 0.360 4022 1126 70688 0 0 2788 0.480 9535 2670 167557 0 0 6608
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
109
Çizelge 6.14. Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı açı durumları ve
farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabakalanma Durumu a(m) b(m)
Plak Kalınlığı
(m)
Plak Orta Noktasındaki Çökme Değerleri (wx10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
Durum-1 (90/0/0)s
12 12 0.120 10380.200 10429.000 0.47 12 12 0.240 1297.530 1314.000 1.25 12 12 0.360 384.452 393.389 2.27 12 12 0.480 162.191 168.213 3.58
Durum-2 (90/15/-15)s
12 12 0.120 9853.060 10018.000 1.65 12 12 0.240 1231.630 1264.000 2.56 12 12 0.360 364.928 379.465 3.83 12 12 0.480 153.954 162.632 5.34
Durum-3 (90/30/-30)s
12 12 0.120 8926.240 9252.000 3.52 12 12 0.240 1115.780 1172.000 4.80 12 12 0.360 330.601 353.429 6.46 12 12 0.480 139.478 152.184 8.35
Durum-4 (90/45/-45)s
12 12 0.120 8476.690 8842.000 4.13 12 12 0.240 1059.590 1123.000 5.65 12 12 0.360 313.951 339.405 7.50 12 12 0.480 132.448 146.553 9.62
Durum-5 (90/60/-60)s
12 12 0.120 8768.630 9062.000 3.24 12 12 0.240 1096.080 1149.000 4.61 12 12 0.360 324.764 346.910 6.38 12 12 0.480 137.010 149.662 8.45
Durum-6 (90/75/-75)s
12 12 0.120 9538.220 9685.000 1.52 12 12 0.240 1192.280 1224.000 2.59 12 12 0.360 353.267 368.515 4.14 12 12 0.480 149.035 158.591 6.03
Durum-7 (90/90/90)s
12 12 0.120 9987.670 10039.000 0.51 12 12 0.240 1248.460 1267.000 1.46 12 12 0.360 369.914 380.975 2.90 12 12 0.480 156.057 163.778 4.71
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
110
Çizelge 6.15.Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı açı durumları ve
farklı tabaka kalınlıkları için moment değerleri
Tabaka
Tipi
Plak
Kalınlığı (m)
Plak Moment Değerleri(GPa.m)
ANSYS Mx
D.A.Y. Mx
Fark %
ANSYS My
D.A.Y. My
Fark %
Durum-1
0.120 5.989 6.0006 0.19 13.112 13.167 0.42 0.240 6.014 6.0006 0.23 13.112 13.167 0.42 0.360 6.046 6.0006 0.76 13.141 13.167 0.20 0.480 6.085 6.0006 1.39 13.139 13.167 0.21
Durum-2
0.120 5.308 5.345 0.69 12.891 12.775 0.90 0.240 5.337 5.345 0.15 12.930 12.775 1.20 0.360 5.375 5.345 0.56 12.959 12.775 1.42 0.480 5.420 5.345 1.39 12.978 12.775 1.56
Durum-3
0.120 3.957 4.011 1.35 12.596 12.265 2.63 0.240 3.986 4.011 0.62 12.672 12.265 3.22 0.360 4.021 4.011 0.26 12.741 12.265 3.74 0.480 4.063 4.011 1.30 12.800 12.265 4.18
Durum-4
0.120 2.776 2.799 0.82 12.966 12.587 2.92 0.240 2.795 2.799 0.13 13.064 12.587 3.65 0.360 2.818 2.799 0.68 13.152 12.587 4.29 0.480 2.845 2.799 1.61 13.232 12.587 4.87
Durum-5
0.120 1.892 1.884 0.42 14.405 14.112 2.04 0.240 1.901 1.884 0.90 14.493 14.112 2.63 0.360 1.913 1.884 1.52 14.571 14.112 3.15 0.480 1.927 1.884 2.26 14.641 14.112 3.62
Durum-6
0.120 1.111 1.208 8.02 16.465 16.374 0.55 0.240 1.225 1.208 1.40 16.393 16.374 0.11 0.360 1.232 1.208 1.99 16.567 16.374 1.16 0.480 1.243 1.208 2.83 16.606 16.374 1.40
Durum-7
0.120 0.927 0.919 0.81 17.536 17.592 0.32 0.240 0.931 0.919 1.22 17.572 17.592 0.11 0.360 0.938 0.919 2.03 17.601 17.592 0.05 0.480 0.950 0.919 3.22 17.624 17.592 0.18
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
111
Analizlerde plağın tabaka kalınlığı arttırılırken aynı anda açı değişimi de
yapılarak farklı tabaka kalınlıklarına ve farklı açılara göre sonuçlar irdelenmiştir.
Tabaka kalınlığının arttırılmasıyla plak, kalın plak sınıflandırmasına doğru
yaklaşmakta ve ince plaklar için kullanılan kabullerin geçerliliği gitgide azaldığından
sonuçlar gerçek değerlerden uzaklaşmaktadır. Şekil 6.50, Şekil 6.51, Şekil 6.52,
Şekil 6.53 ve Çizelge 6.14’de iki farklı yöntemle farklı tabaka kalınlıklarında, plak
orta noktasındaki çökme değerleri karşılaştırılmış ve plak kalınlığının artmasıyla
D.A.Y. sonuçlarının ANSYS sonuçlarından uzaklaştığı görülmüştür.
Tabaka kalınlığının artması, plak eğilme rijitliklerinin değerini değiştirmekte
fakat eğilme rijitliklerinin birbirlerine olan oranını etkilememektedir. Örneğin tabaka
kalınlığı artsa bile D11 rijitliğinin D22 rijitliğine olan oranı değişmemektedir. Açı
değişimi ise, plak eğilme rijitliklerinin hem değerini değiştirmekte hem de eğilme
rijitliklerinin birbirine olan oranını etkilemektedir. Açı 0o den 45o ye doğru
yaklaştıkça, D16 ve D26 eğilme rijitliklerinin değeri artmakta, 45o den 90o ye doğru
yaklaştıkça, D16 veD26 eğilme rijitliklerinin değeri azalmaktadır. Ancak simetrik
açılı-katlı tabakalanma için kullanılan deplasman fonksiyonu D16 ve D26 rijitliklerinin
etkisini denklem içinde tam olarak ifade edemediği için, açı değerinin büyüdüğü yani
D16 ve D26 rijitliklerinin etkisinin arttığı durumlarda, çökme değerleri gerçek
değerlerden uzaklaşmaktadır (Çizelge 6.13, Çizelge 6.14). Bu durum deplasman
fonksiyonunun değiştirilmesiyle veya özel bir dönüşüm yapılmasıyla aşılabilir.
Ancak sınır şartlarını sağlayan ve elastik eğriyi tam olarak ifade eden bir deplasman
fonksiyonu elde etmek oldukça zordur.
Elde edilen çökme değerleri içerisinde en büyük fark %9.62, en küçük fark
%0.47 olarak elde edilmiştir. Ayrıca en büyük sapma, tabaka kalınlığının 0.480 m
olduğu ve tabaka açısının 45o olduğu anda elde edilmiştir. Maksimum çökme 0o de
ve minimum çökme 45o de meydana gelmiştir.
Şekil 6.54’ten 6.61’e kadar ve Çizelge 6.15 te de iki farklı yöntemle elde
edilen moment değerleri karşılaştırılmıştır. Şekil 6.54,55,56,57 deki grafiklerde Mx
moment değerleri gösterilmiştir. Buradan açının artmasıyla Mx moment değerlerinin
azaldığı ve diğer tabaka kalınlıklarında da aynı durumun ortaya çıktığı
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
112
görülmektedir. Şekil 6.58, 59, 60, 61 de gösterilen My grafiklerinde ise moment
değerleri 0o den 45o dereceye kadar azalmakta, 45 o den 90 o ye doğru da artmaktadır.
Bu da bize plağın açı değişimiyle giderek simetrik açılı-katlı tabakalanmaya
dönüştüğünü ve açı değerinin büyüdüğü yani D16 ve D26 rijitliklerinin etkisinin arttığı
durumlarda sonuçların giderek gerçek değerlerden uzaklaştığını bir kez daha
göstermiştir. Ayrıca tabaka kalınlığının artmasıyla Mx , My moment değerleride
artmaktadır.
Şekil 6.62’te tabaka kalınlığının 0.120 m olduğu durumda ANSYS programı
ile elde edilen gerilme grafiği görülmektedir. Bu grafikten anlaşılacağı gibi açı değeri
arttıkça gerilme değerleri azalmaktadır. Aynı durum Şekil 6.34 teki D.A.Y. ile elde
edilen sonuçlar içinde geçerlidir. Ayrıca Şekil 6.62 ve 6.63’ teki değerler Şekil
6.64’te tek bir grafikte gösterilmiştir. Buradan da açı değişimi 0 o den 45 o ye
yaklaştıkça iki yöntemle bulunan gerilmelerin arasındaki farkın bir miktar arttığı
görülmektedir. Aynı işlemler tabaka kalınlıkları arttırılarak tekrarlanmış ve bu
grafikler Şekil 6.65’ten Şekil 6.73’e kadar gösterilmiştir. Burada dikkat edilmesi
gereken önemli husus tabaka kalınlığı arttıkça gerilme değerlerinin azaldığıdır. Şöyle
ki en büyük gerilme tabaka kalınlığının en ince olduğu 0.120 m kalınlığında 4831
(103 kN/m2) değerinde iken tabakanın en kalın yani 0.480 m olduğu durumda 307
(103 kN/m2) değerine düşmüştür. Bunun sebebi bizim kabullerimizin ince plaklar
için geçerli kabuller olması ve tabaka kalınlığı arttıkça plağın giderek kalın plak
durumuna yaklaşmasıdır. Ayrıca bütün farklı tabaka kalınlıklarında açı değeri
arttıkça gerilme değerlerinin azaldığı gözlemlenmiştir.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
113
Şekil.6.50. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m)
Şekil.6.51. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin
karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 15 30 45 60 75 90
ANSYS
D.A.Y.
Çök
me
(10-9
m)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
0 15 30 45 60 75 90
ANSYS
D.A.Y.
Çök
me
(10-9
m)
Açı (derece)
Açı (derece)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
114
Şekil.6.52. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)
Şekil.6.53. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 15 30 45 60 75 90
Açı (derece)
ANSYS
D.A.Y.
Çök
me
(10-9
m)
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0 15 30 45 60 75 90
Açı (derece)
ANSYS
D.A.Y.
Çök
me
(10-9
m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
115
0
1
2
3
4
5
6
7
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.54. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.55. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mxdeğerlerinin
karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
116
0
1
2
3
4
5
6
7
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.56. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mx değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)
0
1
2
3
4
5
6
7
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.57. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için Mxdeğerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
117
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.58. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My değerlerinin
karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.59. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
118
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.60. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My değerlerinin
karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 15 30 45 60 75 90Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
ANSYS
D.A.Y.
Şekil.6.61. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için My değerlerinin
karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
119
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.62. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin
karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m) (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
120
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.63. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m) (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
121
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-6000 -4000 -2000 0 2000 4000 6000
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1(ANSYS) DURUM-1(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYSDURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.)DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS)DURUM-7(D.A.Y.)
"
Şekil.6.64. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.120 m) (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
122
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.65. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m)(ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
123
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.66. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m) (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
124
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1(ANSYS) DURUM-1(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYSDURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.)DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS)DURUM-7(D.A.Y.)
Şekil.6.67. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.240 m) (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
125
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-600 -400 -200 0 200 400 600
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.68. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m) (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
126
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-600 -400 -200 0 200 400 600
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.69. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)(D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
127
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-600 -400 -200 0 200 400 600
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1(ANSYS) DURUM-1(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYSDURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.)DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS)DURUM-7(D.A.Y.)
Şekil.6.70. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.360 m)(ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
128
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.71. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m) (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
129
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı (
m)
DURUM-1 DURUM-2 DURUM-3 DURUM-4DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7
Şekil.6.72. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m) (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
130
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400
Gerilme (103 kN/m2)
Taba
ka k
alın
lığı(m
)
DURUM-1(ANSYS) DURUM-1(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYSDURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.)DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS)DURUM-7(D.A.Y.)
Şekil.6.73. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σx gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı 0.480 m) (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
131
6.2.2. Antisimetrik Tabakalanma Örnek 5:
Örnekte, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz,
antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmış plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde, iki,
dört, altı, sekiz ve on tabakalı plaklar incelenmiştir. Hesaplamalar iki farklı durum
için yapılmıştır. Durum-1 de tabakalanma için a/b değerlerindeki değişime göre
çökme değerleri ve moment değerleri, Durum-2 de her tabakalanma için E1/E2
oranına göre çökme değerleri ve moment değerleri incelenmiştir. Ayrıca her iki
durumdaki uzama–eğilme arasındaki girişim etkisi de incelenmiştir. Örnekteki her
bir tabaka ortotrop olup, plak malzemesi olarak Durum-1 için Graphite/epoxy
seçilmiştir. Graphite/epoxy için malzeme özellikleri E1=181GPa., E2=10.3 GPa.,
G12=7.17 GPa. ve ν12=0.28 dir. Durum-2 için ise farklı E1/E2 oranları kullanılmıştır,
G12/E2=0.5 ve ν12=0.25 olarak seçilmiştir. Örnekte toplam plak kalınlığı
değişmemektedir. Değerler (a/2, b/2) noktası için elde edilecek ve aşağıdaki şekilde
normalize edilecektir.
Durum-1 için normalizasyon Boyutsuz deplasman = 34
0
32 10bp
twE
Durum-2 için normalizasyon Boyutsuz deplasman = 24
0
32 10ap
twE
Şekil 6.74.Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli
0
90
0
90
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
132
Çizelge 6.16. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
a/b
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak Orta Noktasındaki Çökme Değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
İk
i Tab
aka
12 12 1 0.06 21719 12982 40.23 12 10 1.2 0.06 14365 8526 40.65 12 8 1.5 0.06 7657 4430 42.14 12 6 2 0.06 2906 1608 44.67 12 4 3 0.06 613 323 47.23 12 3 4 0.06 191 102 46.59
Dör
t Tab
aka
12 12 1 0.03 11963 10768 9.98 12 10 1.2 0.03 7853 7064 10.04 12 8 1.5 0.03 4083 3661 10.34 12 6 2 0.03 1487 1326 10.85 12 4 3 0.03 297 264 11.13 12 3 4 0.03 91 81 10.34
Altı
Tab
aka
12 12 1 0.02 11044 10580 4.20 12 10 1.2 0.02 7245 6941 4.19 12 8 1.5 0.02 3758 3597 4.29 12 6 2 0.02 1364 1303 4.44 12 4 3 0.02 271 260 4.27 12 3 4 0.02 83 80 3.42
Seki
z Ta
baka
12 12 1 0.015 10754 10522 2.16 12 10 1.2 0.015 7054 6903 2.14 12 8 1.5 0.015 3656 3577 2.17 12 6 2 0.015 1325 1296 2.19 12 4 3 0.015 263 258 1.87 12 3 4 0.015 80 79 1.00
On
Taba
ka
12 12 1 0.012 10626 10496 1.22 12 10 1.2 0.012 6968 6885 1.19 12 8 1.5 0.012 3611 3568 1.19 12 6 2 0.012 1308 1293 1.15 12 4 3 0.012 260 258 0.75 12 3 4 0.012 79 80 1.20
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
133
Çizelge 6.17. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve a/b oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
a/b
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak Moment Değerleri (GPa.m)
D.A.Y Mx
ANSYS Mx
Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
İk
i Tab
aka
1 0.06 7.985 9.330 14.42 7.985 9.330 14.42 1.2 0.06 5.198 6.143 15.38 7.660 8.792 12.87 1.5 0.06 2.657 3.196 16.88 6.399 7.108 9.97 2 0.06 0.891 1.162 23.27 4.317 4.565 5.42 3 0.06 0.142 0.259 45.15 2.045 2.052 0.33 4 0.06 0.056 0.105 46.47 1.136 1.131 0.43
Dör
t Tab
aka
1 0.03 9.382 9.547 1.73 9.382 9.547 1.73 1.2 0.03 6.052 6.176 2.00 8.928 9.059 1.45 1.5 0.03 2.985 3.065 2.60 7.263 7.332 0.95 2 0.03 0.903 0.956 5.58 4.692 4.702 0.21 3 0.03 0.081 0.115 29.38 2.100 2.090 0.48 4 0.03 0.020 0.038 47.94 1.139 1.135 0.37
Altı
Tab
aka
1 0.02 9.513 9.562 0.51 9.513 9.562 0.51 1.2 0.02 6.132 6.175 0.70 9.046 9.079 0.36 1.5 0.02 3.015 3.050 1.16 7.342 7.351 0.13 2 0.02 0.903 0.933 3.18 4.724 4.716 0.17 3 0.02 0.076 0.096 20.97 2.104 2.097 0.37 4 0.02 0.016 0.028 40.69 1.139 1.136 0.27
Seki
z Ta
baka
1 0.015 9.554 9.566 0.12 9.554 9.566 0.12 1.2 0.015 6.157 6.175 0.29 9.083 9.085 0.02 1.5 0.015 3.025 3.046 0.70 7.366 7.357 0.12 2 0.015 0.903 0.926 2.39 4.734 4.721 0.28 3 0.015 0.074 0.090 17.25 2.106 2.099 0.33 4 0.015 0.015 0.024 36.54 1.139 1.136 0.24
On
Taba
ka
1 0.012 9.573 9.568 0.05 9.573 9.568 0.05 1.2 0.012 6.168 6.175 0.11 9.100 9.088 0.14 1.5 0.012 3.029 3.044 0.49 7.377 7.360 0.23 2 0.012 0.904 0.922 2.03 4.739 4.723 0.33 3 0.012 0.073 0.087 15.36 2.106 2.100 0.31 4 0.012 0.015 0.023 34.18 1.139 1.136 0.22
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
134
Çizelge 6.18. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerleri
a(m)
b(m)
a/b
B11 DEĞERLERİ
2 Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka 10 Tabaka
12 12 1 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274
12 10 1.2 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274
12 8 1.5 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274
12 6 2 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274
12 4 3 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274
12 3 4 0.308637 0.154318 0.102879 0.0771592 0.0617274
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4a/b
B11
Değ
erle
ri
İki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.75. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B11 değerlerinin karşılaştırılması
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
135
Daha önceki bölümlerde ifade edildiği gibi, antisimetrik çapraz-katlı
tabakalanmada uzama rijitlikleri ile eğilme rijitliklerinin yanı sıra B11, B12 = -B11
uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitlikleri de bulunmaktadır. Bu tür
tabakalarda bulunan B11 ve B12 rijitlikleri plak eğilmesi durumunda meydana gelen
deformasyonların girişim etkisi altında olduğunu göstermektedir. Bu girişim etkisi ile
plak düzlemine dik kuvvetlerin etkisi altındaki simetrik olmayan tabakalanma
durumunda , plak düzleminde deplasmanlar meydana gelmektedir.
Örnekte, antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmış dikdörtgen plak, iki farklı
durum için analiz edilmiştir. İlk olarak plak 2,4,6,8 ve 10 tabakaya ayrılmış ve a/b
oranına göre incelenmiştir. Çizelge 6.18’ teki B11 rijitlikleri Şekil 6.75’te grafikle
gösterilmiştir. Buradan görüldüğü üzere a/b oranı arttıkça her bir tabadaki B11
değerleri değişmemekte, ancak tabaka sayısı arttıkça B11 değerleri azalmaktadır.
Bunun sonucu olarak tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça B11 değerlerinin
denklem içerisindeki etkileri azalmakta ve böylece ANSYS ve D.A.Y. sonuçları
birbirine yaklaşmaktadır. Çizelge 6.16’ya bakıldığında iki tabakalı plak ile diğerleri
arasındaki çökme değerinde yaklaşık %50 lik bir fark mevcuttur. Tabakalanma
sonsuza doğru yaklaştıkça tabakalar arasındaki bu fark a/b oranına bağlı olmaksızın
azalmaktadır. Ayrıca yine iki tabakalı plak için D.A.Y. ile ANSYS sonuçları arasında
% 40’lık bir fark mevcuttur. Ancak tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok
olmaktadır. Bulunan çökme değerlerinin D.A.Y. sonuçları Şekil 6.76’da, ANSYS
sonuçları Şekil 6.77’de ve ANSYS-D.A.Y. sonuçları bir arada Şekil 6.78’de
gösterilmiştir. Çizelge 6.17’de de her iki yöntemle elde edilen moment değerleri
verilmiştir. Elde edilen moment değerlerinin D.A.Y. ve ANSYS sonuçları Şekil 6.79
ve Şekil 6.80’deki grafiklerde ayrı ayrı gösterilmiştir. Bu grafiklerden görüldüğü
gibi moment değerleri tüm tabakalanma durumlarında a/b oranının artmasıyla
azalmaktadır. Ve her iki yöntemle bulunan değerlerin bir arada gösterildiği Şekil
6.81’de tabaka sayısı arttıkça ANSYS-D.A.Y. sonuçlarının birbirine yaklaştığı
görülmektedir. Aynı durum Mx ve My momentleri için geçerlidir.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
136
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
a/b
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka
Şekil 6.76. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
137
0
5
10
15
20
25
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
a/b
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka
Şekil 6.77. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
138
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
a/b
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)
İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS)
Şekil 6.78. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
139
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
a/b
Mom
ent (
GP
a.m
)
İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka
Sekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.79. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
140
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
a/b
Mom
ent (
GP
a.m
)
İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka
Sekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.80. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
141
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00
a/b
Mom
ent (
GP
a.m
)
İki Tabaka(ANSYS) Dört Tabaka(ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS)
İki Tabaka(D.A.Y.) Dört Tabaka(D.A.Y.) Altı Tabaka(D.A.Y.)
Şekil 6.81. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
142
İkinci olarak plak, E1/E2 oranına bağlı olarak incelenmiştir. Tabakalı
kompozit malzemelerde uzama ve eğilme arasındaki girişim etkisi ile oluşan plak
üzerindeki deplasmanlar, ortotropik modül olarak tarif edilen E1/E2 oranına bağlıdır.
Bunun sonucu olarak Çizelge 6.19 ve Şekil 6.82’de görüldüğü gibi E1/E2 oranı
yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi, yani B11 değerleri artmaktadır.
Ayrıca buradan tabaka sayısının artmasıyla B11 değerlerinin azaldığı da açıkça
görülmektedir. Örnekte G12 /E2 oranı ve ν12 sabit olarak seçilmiştir. E1/E2 oranı ise
küçük oranlarda arttırılarak karşılaştırmalar yapılmıştır. E1/E2 =2 iken Şekil 6.83. ve
Şekil 6.84’de görüldüğü gibi beklenen bir şekilde girişim etkisi çok az oluşmakta,
E1/E2 oranı yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi de artmaktadır.
Çizelge 6.20.a,b ve c ‘de çeşitli E1/E2 oranlarına göre plak orta noktasındaki çökme
değerleri verilmektedir. Burada iki tabakalı durumda iki yöntem birbirinden oldukça
farklı sonuçlar vermekte tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Aynı
durum Çizelge 6.21.a,b,c’de verilen moment değerleri içinde geçerlidir. Yani
tabaka sayısının artmasıyla ANSYS-D.A.Y. sonuçları arasındaki fark giderek
azalmaktadır. Ayrıca Şekil 6.86 ve Şekil 6.87’de her iki yöntemin ayrı ayrı
gösterildiği grafiklerde E1/E2 oranının artmasıyla moment değerlerinin arttığı
görülmektedir.
Şekil 6.81 ve Şekil 6.88’de ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçlar bir arada
gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı
sonuçları verdikleri için bu gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
143
Çizelge 6.19. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerleri
a(m)
b(m)
E1/E2
B11 DEĞERLERİ
2 Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka 10 Tabaka
12 12 2 0.185806 0.0929032 0.0619355 0.0464516 0.0371613 12 12 3 0.36766 0.18383 0.122553 0.0919149 0.0735319 12 12 4 0.548571 0.274286 0.182857 0.137143 0.109714 12 12 5 0.729114 0.364557 0.243038 0.182278 0.145823 12 12 10 1.63019 0.815094 0.543396 0.407547 0.326038 12 12 15 2.53054 1.26527 0.843515 0.632636 0.506109 12 12 20 3.43072 1.71536 1.14357 0.85768 0.686144 12 12 25 4.33083 2.16541 1.44361 1.08271 0.866165 12 12 30 5.2309 2.61545 1.74363 1.30772 1.04618 12 12 35 6.13095 3.06547 2.04365 1.53274 1.22619 12 12 40 7.03099 3.51549 2.34366 1.75775 1.4062 12 12 45 7.93102 3.96551 2.64367 1.98275 1.5862 12 12 50 8.831.04 4.41552 2.94368 2.20776 1.76621
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 10 20 30 40 50E1/E2
B11
Değ
erle
ri
İki tabaka Dört tabaka Altı tabakaSekiz tabaka On tabaka
Şekil 6.82. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B11 değerlerinin karşılaştırılması
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
144
Çizelge 6.20.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
İk
i Tab
aka
12 12 2 0.06 4417 4257 3.62
12 12 3 0.06 4100 3691 9.97
12 12 4 0.06 3871 3274 15.43
12 12 5 0.06 3685 2952 19.90
12 12 10 0.06 3035 2025 33.27
12 12 15 0.06 2603 1567 39.80
12 12 20 0.06 2283 1286 43.69
12 12 25 0.06 2035 1093 46.27
12 12 30 0.06 1836 953 48.11
12 12 35 0.06 1672 845 49.49
12 12 40 0.06 1536 759 50.57
12 12 45 0.06 1420 690 51.43
12 12 50 0.06 1321 632 52.14
D
ört T
abak
a
12 12 2 0.03 4233 4224 0.22
12 12 3 0.03 3681 3610 1.91
12 12 4 0.03 3261 3151 3.37
12 12 5 0.03 2928 2795 4.56
12 12 10 0.03 1944 1787 8.12
12 12 15 0.03 1457 1313 9.83
12 12 20 0.03 1165 1039 10.82
12 12 25 0.03 970 859 11.45
12 12 30 0.03 832 733 11.89
12 12 35 0.03 727 639 12.21
12 12 40 0.03 647 566 12.44
12 12 45 0.03 582 508 12.63
12 12 50 0.03 529 461 12.77
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
145
Çizelge 6.20.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
A
ltı T
abak
a
12 12 2 0.02 4201 4218 0.42
12 12 3 0.02 3612 3598 0.40
12 12 4 0.02 3168 3133 1.10
12 12 5 0.02 2821 2774 1.67
12 12 10 0.02 1823 1762 3.35
12 12 15 0.02 1347 1291 4.14
12 12 20 0.02 1068 1019 4.58
12 12 25 0.02 885 842 4.86
12 12 30 0.02 755 717 5.04
12 12 35 0.02 659 625 5.23
12 12 40 0.02 584 553 5.26
12 12 45 0.02 525 497 5.32
12 12 50 0.02 476 449 5.64
Se
kiz
Taba
ka
12 12 2 0.015 4190 4216 0.64
12 12 3 0.015 3589 3593 0.12
12 12 4 0.015 3137 3127 0.31
12 12 5 0.015 2785 2767 0.66
12 12 10 0.015 1784 1754 1.67
12 12 15 0.015 1312 1284 2.14
12 12 20 0.015 1038 1013 2.40
12 12 25 0.015 858 836 2.55
12 12 30 0.015 731 712 2.64
12 12 35 0.015 637 620 2.70
12 12 40 0.015 565 549 2.74
12 12 45 0.015 507 493 2.76
12 12 50 0.015 460
447 2.77
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
146
Çizelge 6.20.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
O
n Ta
baka
12 12 2 0.012 4184 4215 0.74
12 12 3 0.012 3578 3591 0.37
12 12 4 0.012 3123 3125 0.06
12 12 5 0.012 2769 2764 0.19
12 12 10 0.012 1767 1751 0.90
12 12 15 0.012 1297 1281 1.22
12 12 20 0.012 1024 1010 1.38
12 12 25 0.012 846 834 1.48
12 12 30 0.012 721 710 1.53
12 12 35 0.012 628 618 1.56
12 12 40 0.012 556 548 1.57
12 12 45 0.012 499 491 1.57
12 12 50 0.012 453 446 1.57
Çizelge 6.21.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri D.A.Y
Mx ANSYS
Mx Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
İk
i Tab
aka
2 0.06 6.6283 6.8471 3.19 6.6283 6.8471 3.19 3 0.06 6.9576 7.4198 6.23 6.9576 7.4198 6.23 4 0.06 7.1948 7.8446 8.28 7.1948 7.8446 8.28 5 0.06 7.3868 8.1742 9.63 7.3868 8.1742 9.63
10 0.06 8.0538 9.1350 11.84 8.0538 9.1350 11.84 15 0.06 8.4936 9.6196 11.71 8.4936 9.6196 11.71 20 0.06 8.8174 9.9202 11.12 8.8174 9.9202 11.12 25 0.06 9.0679 10.1270 10.46 9.0679 10.1270 10.46 30 0.06 9.2683 10.2800 9.84 9.2683 10.2800 9.84 35 0.06 9.4324 10.3970 9.28 9.4324 10.3970 9.28 40 0.06 9.5694 10.4900 8.78 9.5694 10.4900 8.78 45 0.06 9.6856 10.5660 8.33 9.6856 10.5660 8.33
50 0.06 9.7855 10.6290 7.94 9.7855 10.6290 7.94
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
147
Çizelge 6.21.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri (GPa.m)
D.A.Y Mx
ANSYS Mx
Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
D
ört T
abak
a
2 0.03 6.8140 6.8758 0.90 6.8140 6.8758 0.90
3 0.03 7.3800 7.4880 1.44 7.3800 7.4880 1.44
4 0.03 7.8086 7.9455 1.72 7.8086 7.9455 1.72
5 0.03 8.1467 8.2994 1.84 8.1467 8.2994 1.84
10 0.03 9.1448 9.3005 1.67 9.1448 9.3005 1.67
15 0.03 9.6381 9.7696 1.35 9.6381 9.7696 1.35
20 0.03 9.9328 10.0420 1.09 9.9328 10.0420 1.09
25 0.03 10.1289 10.2200 0.89 10.1289 10.2200 0.89
30 0.03 10.2688 10.3450 0.74 10.2688 10.3450 0.74
35 0.03 10.3736 10.4380 0.62 10.3736 10.4380 0.62
40 0.03 10.4551 10.5090 0.51 10.4551 10.5090 0.51
45 0.03 10.5203 10.5660 0.43 10.5203 10.5660 0.43
50 0.03 10.5736 10.1620 3.89 10.5736 10.1620 3.89
A
ltı T
abak
a
2 0.02 6.8467 6.8807 0.49 6.8467 6.8807 0.49
3 0.02 7.4489 7.4985 0.66 7.4489 7.4985 0.66
4 0.02 7.9016 7.9595 0.73 7.9016 7.9595 0.73
5 0.02 8.2544 8.3152 0.73 8.2544 8.3152 0.73
10 0.02 9.2661 9.3150 0.52 9.2661 9.3150 0.52
15 0.02 9.7477 9.7794 0.32 9.7477 9.7794 0.32
20 0.02 10.0294 10.0470 0.18 10.0294 10.0470 0.18
25 0.02 10.2143 10.2220 0.08 10.2143 10.2220 0.08
30 0.02 10.3450 10.3440 0.01 10.3450 10.3440 0.01
35 0.02 10.4423 10.4350 0.07 10.4423 10.4350 0.07
40 0.02 10.5175 10.5050 0.12 10.5175 10.5050 0.12
45 0.02 10.5774 10.5600 0.16 10.5774 10.5600 0.16
50 0.02 10.6262 10.6050 0.20 10.6262 10.6050 0.20
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
148
Çizelge 6.21.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri (GPa.m)
D.A.Y Mx
ANSYS Mx
Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
Se
kiz
Taba
ka
2 0.015 6.8581 6.8824 0.35 6.8581 6.8824 0.35
3 0.015 7.4724 7.5021 0.40 7.4724 7.5021 0.40
4 0.015 7.9329 7.9641 0.39 7.9329 7.9641 0.39
5 0.015 8.2903 8.3203 0.36 8.2903 8.3203 0.36
10 0.015 9.3051 9.3195 0.15 9.3051 9.3195 0.15
15 0.015 9.7823 9.7823 0.00 9.7823 9.7823 0.00
20 0.015 10.0596 10.0490 0.11 10.0596 10.0490 0.11
25 0.015 10.2408 10.2220 0.18 10.2408 10.2220 0.18
30 0.015 10.3685 10.3440 0.24 10.3685 10.3440 0.24
35 0.015 10.4633 10.4340 0.28 10.4633 10.4340 0.28
40 0.015 10.5366 10.5030 0.32 10.5366 10.5030 0.32
45 0.015 10.5948 10.5580 0.35 10.5948 10.5580 0.35
50 0.015 10.6422 10.6030 0.37 10.6422 10.6030 0.37
O
n Ta
baka
2 0.012 6.8633 6.8832 0.29 6.8633 6.8832 0.29
3 0.012 7.4832 7.5037 0.27 7.4832 7.5037 0.27
4 0.012 7.9472 7.9662 0.24 7.9472 7.9662 0.24
5 0.012 8.3066 8.3227 0.19 8.3066 8.3227 0.19
10 0.012 9.3226 9.3215 0.01 9.3226 9.3215 0.01
15 0.012 9.7977 9.7835 0.14 9.7977 9.7835 0.14
20 0.012 10.0729 10.0500 0.23 10.0729 10.0500 0.23
25 0.012 10.2525 10.2220 0.30 10.2525 10.2220 0.30
30 0.012 10.3789 10.3440 0.34 10.3789 10.3440 0.34
35 0.012 10.4726 10.4330 0.38 10.4726 10.4330 0.38
40 0.012 10.5450 10.5020 0.41 10.5450 10.5020 0.41
45 0.012 10.6025 10.5570 0.43 10.6025 10.5570 0.43
50 0.012 10.6493 10.6020 0.44 10.6493 10.6020 0.44
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
149
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50
E1/E2
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.83. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
150
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50E1/E2
Boy
utsu
z D
epla
sman
İkiTabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.84. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
151
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50E1/E2
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)
İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS)
Şekil 6.85. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
152
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
0 10 20 30 40 50
E1/E2
Mom
ent (
GP
a.m
)
İki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.86. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri(D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
153
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
0 10 20 30 40 50E1/E2
Mom
ent (
GP
a.m
)
İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka
Sekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.87. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri(ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
154
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
0 10 20 30 40 50E1/E2
Mom
ent (
GP
a.m
)
İk Tabaka(D.A.Y.) Dört Tabaka(D.A.Y.) Altı Tabaka(D.A.Y.)İki Tabaka(ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı tabaka (ANSYS)
Şekil 6.88. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri(ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
155
Örnek 6:
Örnekte, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz,
antisimetrik açılı-katlı tabakalı plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde plak
iki,dört,altı,sekiz ve on tabakaya ayrılarak incelenmiştir. Hesaplamalar iki farklı
durum için yapılmıştır. Durum-1 de her tabakalanma için “θ” açı değerlerindeki
değişime göre çökme değerleri ve moment değerleri, Durum-2 de her tabakalanma
için E1/E2 oranına göre çökme değerleri ve moment değerleri incelenmiştir. Ayrıca
uzama eğrilik arasındaki girişim etkisi dikkate alınarak B16, B26 bağlanma
rijitliklerinin sonuçlara olan etkisi incelenmiştir. Örnekteki her iki tabaka ortotrop
olup, plak malzemesi olarak Durum-1 için Graphite/epoxy seçilmiştir.
Graphite/epoxy için malzeme özellikleri E1=181 GPa., E2=10.3 GPa., G12=7.17 GPa.
ve ν12=0.28 dir. Durum-2 için ise farklı E1/E2 oranları kullanılmış ve θ=45o,
G12/E2=0.5, ν12=0.25 olarak seçilmiştir. Örnekte toplam plak kalınlığı
değişmemektedir. Değerler (a/2, b/2) noktası için elde edilerek aşağıdaki şekilde
normalize edilmiştir.
Durum-1 için normalizasyon Boyutsuz deplasman = 34
0
32 10ap
twE
Durum-2 için normalizasyon Boyutsuz deplasman= 24
0
32 10ap
twE
Şekil 6.89.Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli
+θ
-θ
+θ
-θ
θ
θ
θ
θ
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
156
Çizelge 6.22. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
θ
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
İk
i Tab
aka
12 12 1 0.06 10009 10048 0.39 12 12 5 0.06 10485 10243 2.31 12 12 10 0.06 11731 10709 8.71 12 12 15 0.06 13168 11146 15.36 12 12 30 0.06 15215 11007 27.66 12 12 45 0.06 15026 10352 31.11
Dör
t Tab
aka
12 12 1 0.03 9987 10036 0.49 12 12 5 0.03 9962 9948 0.14 12 12 10 0.03 9799 9648 1.54 12 12 15 0.03 9415 9153 2.78 12 12 30 0.03 7794 7463 4.25 12 12 45 0.03 7097 6772 4.58
Altı
Tab
aka
12 12 1 0.02 9983 10034 0.51 12 12 5 0.02 9870 9896 0.26 12 12 10 0.02 9509 9486 0.24 12 12 15 0.02 8943 8890 0.59 12 12 30 0.02 7148 7118 0.42 12 12 45 0.02 6466 6455 0.17
Seki
z Ta
baka
12 12 1 0.015 9982 10033 0.51 12 12 5 0.015 9839 9878 0.39 12 12 10 0.015 9411 9431 0.21 12 12 15 0.015 8788 8804 0.18 12 12 30 0.015 6946 7009 0.90 12 12 45 0.015 6270 6355 1.34
On
Taba
ka
12 12 1 0.012 9981 10033 0.52 12 12 5 0.012 9824 9870 0.47 12 12 10 0.012 9367 9406 0.41 12 12 15 0.012 8719 8764 0.51 12 12 30 0.012 6857 6961 1.49 12 12 45 0.012 6184 6311 2.01
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
157
Çizelge 6.23. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
θ
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri(GPa.m)
D.A.Y Mx
ANSYS Mx
Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
İk
i Tab
aka
1 0.06 17.5821 17.5270 0.31 0.9253 0.9325 0.78 5 0.06 17.3449 17.2800 0.37 1.0663 1.0686 0.22
10 0.06 16.5795 16.4290 0.91 1.4779 1.4696 0.56 15 0.06 15.2940 14.9190 2.45 2.0727 2.0393 1.61 30 0.06 9.8042 8.6201 12.08 3.9803 3.5466 10.90 45 0.06 5.5706 4.7507 14.72 5.5706 4.7507 14.72
Dör
t Tab
aka
1 0.03 17.5738 17.5190 0.31 0.9243 0.9317 0.79 5 0.03 17.1473 17.1000 0.28 1.0417 1.0473 0.54
10 0.03 15.9062 15.8830 0.15 1.3709 1.3748 0.28 15 0.03 14.1409 14.1420 0.01 1.8246 1.8302 0.31 30 0.03 8.6957 8.6511 0.51 3.3792 3.3672 0.35 45 0.03 5.2762 5.2108 1.24 5.2762 5.2108 1.24
Altı
Tab
aka
1 0.02 17.5723 17.5170 0.31 0.9241 0.9315 0.79 5 0.02 17.1128 17.0680 0.26 1.0374 1.0435 0.58
10 0.02 15.8043 15.7900 0.09 1.3552 1.3600 0.35 15 0.02 13.9936 14.0160 0.16 1.7942 1.8011 0.39 30 0.02 8.5962 8.6451 0.57 3.3273 3.3473 0.60 45 0.02 5.2523 5.2762 0.45 5.2523 5.2762 0.45
Seki
z Ta
baka
1 0.015 17.5717 17.5170 0.31 0.9241 0.9315 0.80 5 0.015 17.1008 17.0570 0.26 1.0360 1.0422 0.60
10 0.015 15.7700 15.7580 0.08 1.3499 1.3550 0.37 15 0.015 13.9454 13.9730 0.20 1.7843 1.7914 0.40 30 0.015 8.5651 8.6428 0.90 3.3111 3.3408 0.89 45 0.015 5.2449 5.2982 1.01 5.2449 5.2982 1.01
On
Taba
ka
1 0.012 17.5715 17.5170 0.31 0.9240 0.9316 0.81 5 0.012 17.0953 17.0520 0.25 1.0353 1.0416 0.61
10 0.012 15.7544 15.7430 0.07 1.3476 1.3527 0.38 15 0.012 13.9236 13.9540 0.22 1.7798 1.7870 0.40 30 0.012 8.5512 8.6416 1.05 3.3039 3.3379 1.02 45 0.012 5.2417 5.3082 1.25 5.2417 5.3082 1.25
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
158
Çizelge 6.24. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri
a(m)
b(m)
θ
B16 DEĞERLERİ
2 Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka 10 Tabaka
12 12 1 0.0103354 0.0051677 0.0034451 0.0025839 0.0020671
12 12 5 0.0510660 0.0255330 0.0170220 0.0127665 0.0102132
12 12 10 0.0983907 0.0491953 0.0327969 0.0245977 0.0196781
12 12 15 0.1386100 0.0693051 0.0462034 0.0346526 0.0277221
12 12 30 0.1950950 0.0975474 0.0650316 0.0487737 0.0390190
12 12 45 0.1543180 0.0771592 0.0514395 0.0385796 0.0308637
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 15 30 45Açı (Derece)
B16
Değ
erle
ri
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil.6.90. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre B16 değerleri
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
159
Çizelge 6.25. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B26 değerleri
a(m)
b(m)
θ
B26 DEĞERLERİ
2 Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka 10 Tabaka
12 12 1 0.0004359 0.0002179 0.0001453 0.0001090 0.0000872
12 12 5 0.0025282 0.0012641 0.0008427 0.0006321 0.0005056
12 12 10 0.0071694 0.0035847 0.0023898 0.0017924 0.0014339
12 12 15 0.0157082 0.0078541 0.0052361 0.0039271 0.0031416
12 12 30 0.0721927 0.0360963 0.0240642 0.0180482 0.0144385
12 12 45 0.1543180 0.0771592 0.0514395 0.0385796 0.0308637
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 15 30 45Açı (Derece)
B26
Değ
erle
ri
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.91. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre B26 değerleri
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
160
Örnekte, antisimetrik açılı-katlı tabakalanmış dikdörtgen plak, iki farklı
durum için analiz edilmiştir. İlk olarak Şekil 6.92 ve Şekil 6.93’de görüldüğü gibi
plak 2,4,6,8 ve10 tabakaya ayrılmış, her tabakalanma için θ açı değerinin değişimine
göre incelenmiştir. Şekiller incelendiğinde tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça
uzama eğrilik arasındaki girişim etkisinin azaldığı görülmektedir. Bu girişim
etkisinin azaldığını uzama-eğrilik arasındaki bağlanma rijitlikleri diye adlandırılan
Çizelge 6.24 ve Çizelge 6.25 te verilen B16 ve B26 değerlerinden açıkça görmekteyiz.
Buradan anlaşılacağı gibi tabaka sayısının artmasıyla bu değerler azalmakta ve
dolayısıyla denklem içerisindeki etkisi azalmaktadır. Bunun sonucu olarakta sonuçlar
birbirine giderek yaklaşmaktadır. Ayrıca B16 ve B26 değerleri açının artmasıyla
artmaktadır. Bu da bize sonuçların giderek kötüleşmesi gerektiğini gösterir ki
Çizelge 6.22’ye bakıldığında iki tabakalı plak durumunda açı değeri yükseldikçe
D.A.Y ile ANSYS değerleri birbirinden uzaklaşmaktadır, tabaka sayısı arttıkça bu
fark azalmaktadır.
Şekil 6.94’te çökme değerlerinin, Şekil 6.97’de moment değerlerinin ANSYS
ve D.A.Y ile elde edilen sonuçları bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri
tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu gösterim altı
tabakaya kadar verilmiştir.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
161
0
2
4
6
8
10
12
14
0 15 30 45Açı (Derece)
Boy
utsu
z D
epla
sman
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.92. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
162
0
2
4
6
8
10
12
0 15 30 45Açı (Derece)
Boy
utsu
z D
epla
sman
iki tabaka Dört tabaka Altı tabakaSekiz tabaka On tabaka
Şekil 6.93. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
163
0
2
4
6
8
10
12
14
0 15 30 45Açı (Derece)
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı tabaka (ANSYS)
Şekil 6.94. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki
çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
164
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 15 30 45Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.95. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre Mx değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
165
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 15 30 45Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.96. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre Mx değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
166
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 15 30 45Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
iki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)
İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS)
Şekil 6.97. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
167
İkinci olarak plak, E1/E2 oranına bağlı olarak incelenmiştir. Tabakalı kompozit
malzemelerde uzama ve eğilme arasındaki girişim etkisi ile oluşan plak üzerindeki
deplasmanlar, ortotropik modül olarak tarif edilen E1/E2 oranına bağlıdır. Bu örnekte
de G12/E2 oranı ve ν12 sabit olarak seçilmiştir, E1/E2 oranı ise küçük oranlarda
arttırılarak karşılaştırmalar yapılmıştır. E1/E2=2 iken Şekil 6.99 ve Şekil 6.100’de
görüldüğü gibi beklenen bir şekilde girişim etkisi çok az oluşmakta, E1/E2 oranı
yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi de artmaktadır. Girişim etkisinin
yani B16 ve B26 değerlerinin E1/E2 oranı ile doğru orantılı olarak arttığını Çizelge
6.26 da görmekteyiz. Çizelge 6.27.a,b ve c’de çeşitli E1/E2 oranlarına göre plak orta
noktasındaki çökme değerleri iki farklı yöntemle verilmektedir. Burada da iki
tabakalı durum için iki yöntem birbirinden oldukça farklı sonuçlar vermekte tabaka
sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Aynı durum moment değerleri içinde
geçerlidir. Açının artmasıyla moment değerleri birbirinden uzaklaşmakta fakat
tabaka sayısının artmasıyla bu fark giderek azalmaktadır.
Şekil 6.101’de çökme değerlerinin, Şekil 6.104’te moment değerlerinin
ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçları bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve
üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu
gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir.
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
168
Çizelge 6.26. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri
a(m)
b(m)
E1/E2
B16= B26 DEĞERLERİ
2 Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka 10 Tabaka
12 12 2 0.0929032 0.0464516 0.0309677 0.0232258 0.0185806 12 12 3 0.1838300 0.0919149 0.0612766 0.0495740 0.0367660 12 12 4 0.2742860 0.1371430 0.9142860 0.0685714 0.0548571 12 12 5 0.3645570 0.1822780 0.1215190 0.0911392 0.0729114 12 12 10 0.8150940 0.4075470 0.2716980 0.2037740 0.1630190 12 12 15 1.2652700 0.6326360 0.4217570 0.3163180 0.2530540 12 12 20 1.7153600 0.8576800 0.5717870 0.4288400 0.3430720 12 12 25 2.1654100 1.0827100 0.7218050 0.5413530 0.4330830 12 12 30 2.6154500 1.3077200 0.8718160 0.6538620 0.5230900 12 12 35 3.0654700 1.5327400 1.0218200 0.7663690 0.6130950 12 12 40 3.5154900 1.7577500 1.1718300 0.8788730 0.7030990 12 12 45 3.9655100 1.9827500 1.3218400 0.9913770 0.7931020 12 12 50 4.4155200 2.2077600 1.4718400 1.1038800 0.8831040
0
1
2
3
4
5
0 10 20 30 40 50
E1/E2
B 1
6 ve
B 26
Değ
erle
ri
İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka 8 tabaka 10 tabaka
Şekil 6.98. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre B16 ve B26 değerleri
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
169
Çizelge 6.27.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
İk
i Tab
aka
12 12 2 0.06 4117 3998 2.88
12 12 3 0.06 3516 3234 8.03
12 12 4 0.06 3145 2758 12.31
12 12 5 0.06 2877 2425 15.70 12 12 10 0.06 2110 1581 25.06
12 12 15 0.06 1699 1204 29.12
12 12 20 0.06 1428 981 31.30 12 12 25 0.06 1234 831 32.63
12 12 30 0.06 1087 723 33.51
12 12 35 0.06 972 640 34.13
12 12 40 0.06 879 575 34.57 12 12 45 0.06 802 522 34.90
12 12 50 0.06 738 478 35.15
D
ört T
abak
a
12 12 2 0.03 3853 3861 0.21
12 12 3 0.03 2995 2971 0.81
12 12 4 0.03 2459 2419 1.62
12 12 5 0.03 2089 2043 2.23
12 12 10 0.03 1199 1156 3.62
12 12 15 0.03 843 809 3.96
12 12 20 0.03 650 624 3.97
12 12 25 0.03 529 509 3.84
12 12 30 0.03 446 430 3.65
12 12 35 0.03 386 372 3.43
12 12 40 0.03 340 329 3.19
12 12 45 0.03 303 294 2.94
12 12 50 0.03 274 267 2.69
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
170
Çizelge 6.27.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
A
ltı T
abak
a
12 12 2 0.02 3807 3837 0.76
12 12 3 0.02 2915 2929 0.48
12 12 4 0.02 2364 2370 0.27
12 12 5 0.02 1989 1991 0.13
12 12 10 0.02 1111 1111 0.03
12 12 15 0.02 771 773 0.29
12 12 20 0.02 590 594 0.64
12 12 25 0.02 478 483 1.00
12 12 30 0.02 402 408 1.37
12 12 35 0.02 347 353 1.73
12 12 40 0.02 305 311 2.08
12 12 45 0.02 272 279 2.42
12 12 50 0.02 246 253 2.75
Se
kiz
Taba
ka
12 12 2 0.015 3792 3828 0.96
12 12 3 0.015 2888 2915 0.92
12 12 4 0.015 2332 2353 0.91
12 12 5 0.015 1956 1974 0.94
12 12 10 0.015 1083 1096 1.28
12 12 15 0.015 749 762 1.73
12 12 20 0.015 572 585 2.18
12 12 25 0.015 463 475 2.62
12 12 30 0.015 389 401 3.04
12 12 35 0.015 335 347 3.44
12 12 40 0.015 294 306 3.82
12 12 45 0.015 263 274 4.18
12 12 50 0.015 237 248 4.53
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
171
Çizelge 6.27.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri
Tabaka Sayısı
a(m)
b(m)
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x 10-9 m)
D.A.Y. ANSYS Fark %
O
n Ta
baka
12 12 2 0.012 3785 3825 1.04
12 12 3 0.012 2876 2908 1.13
12 12 4 0.012 2318 2346 1.21
12 12 5 0.012 1941 1966 1.30
12 12 10 0.012 1070 1090 1.84
12 12 15 0.012 739 757 2.38
12 12 20 0.012 564 581 2.88
12 12 25 0.012 456 472 3.35
12 12 30 0.012 383 398 3.79
12 12 35 0.012 330 344 4.20
12 12 40 0.012 290 304 4.59
12 12 45 0.012 258 272 4.97
12 12 50 0.012 233 246 5.32
Çizelge 6.28.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka
sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri D.A.Y
Mx ANSYS
Mx Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
İk
i Tab
aka
2 0.06 6.238 6.153 1.37 6.238 6.153 1.37 3 0.06 6.061 5.849 3.49 6.061 5.849 3.49 4 0.06 5.954 5.637 5.32 5.954 5.637 5.32 5 0.06 5.877 5.476 6.83 5.877 5.476 6.83
10 0.06 5.658 5.011 11.44 5.658 5.011 11.44 15 0.06 5.538 4.779 13.70 5.538 4.779 13.70 20 0.06 5.458 4.638 15.02 5.458 4.638 15.02 25 0.06 5.400 4.544 15.85 5.400 4.544 15.85 30 0.06 5.355 4.477 16.40 5.355 4.477 16.40 35 0.06 5.320 4.427 16.79 5.320 4.427 16.79 40 0.06 5.292 4.389 17.06 5.292 4.389 17.06 45 0.06 5.269 4.359 17.26 5.269 4.359 17.26 50 0.06 5.249 4.336 17.40 5.249 4.336 17.40
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
172
Çizelge 6.28.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri (GPa.m)
D.A.Y Mx
ANSYS Mx
Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
D
ört T
abak
a
2 0.03 6.160 6.159 0.01 6.160 6.159 0.01
3 0.03 5.906 5.887 0.31 5.906 5.887 0.31
4 0.03 5.748 5.718 0.53 5.748 5.718 0.53
5 0.03 5.640 5.601 0.69 5.640 5.601 0.69
10 0.03 5.377 5.325 0.98 5.377 5.325 0.98
15 0.03 5.271 5.219 0.99 5.271 5.219 0.99
20 0.03 5.214 5.166 0.92 5.214 5.166 0.92
25 0.03 5.177 5.136 0.80 5.177 5.136 0.80
30 0.03 5.152 5.118 0.67 5.152 5.118 0.67
35 0.03 5.134 5.107 0.53 5.134 5.107 0.53
40 0.03 5.120 5.100 0.39 5.120 5.100 0.39
45 0.03 5.109 5.097 0.24 5.109 5.097 0.24
50 0.03 5.100 5.095 0.10 5.100 5.095 0.10
A
ltı T
abak
a
2 0.02 6.146 6.160 0.23 6.146 6.160 0.23
3 0.02 5.882 5.894 0.21 5.882 5.894 0.21
4 0.02 5.719 5.732 0.22 5.719 5.732 0.22
5 0.02 5.609 5.622 0.23 5.609 5.622 0.23
10 0.02 5.350 5.373 0.43 5.350 5.373 0.43
15 0.02 5.249 5.284 0.66 5.249 5.284 0.66
20 0.02 5.195 5.241 0.89 5.195 5.241 0.89
25 0.02 5.161 5.219 1.10 5.161 5.219 1.10
30 0.02 5.138 5.207 1.31 5.138 5.207 1.31
35 0.02 5.122 5.200 1.51 5.122 5.200 1.51
40 0.02 5.109 5.197 1.70 5.109 5.197 1.70
45 0.02 5.099 5.197 1.88 5.099 5.197 1.88
50 0.02 5.091 5.198 2.06 5.091 5.198 2.06
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
173
Çizelge 6.28.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak moment değerleri
Tabaka Sayısı
E1/E2
Tabaka Kalınlığı
(m)
Plak moment değerleri (GPa.m)
D.A.Y Mx
ANSYS Mx
Fark %
D.A.Y My
ANSYS My
Fark %
Se
kiz
Taba
ka
2 0.015 6.142 6.161 0.31 6.142 6.161 0.31
3 0.015 5.874 5.897 0.39 5.874 5.897 0.39
4 0.015 5.710 5.737 0.47 5.710 5.737 0.47
5 0.015 5.599 5.630 0.54 5.599 5.630 0.54
10 0.015 5.341 5.389 0.89 5.341 5.389 0.89
15 0.015 5.242 5.305 1.20 5.242 5.305 1.20
20 0.015 5.189 5.266 1.47 5.189 5.266 1.47
25 0.015 5.156 5.247 1.72 5.156 5.247 1.72
30 0.015 5.134 5.236 1.95 5.134 5.236 1.95
35 0.015 5.118 5.231 2.17 5.118 5.231 2.17
40 0.015 5.106 5.230 2.37 5.106 5.230 2.37
45 0.015 5.096 5.230 2.57 5.096 5.230 2.57
50 0.015 5.088 5.232 2.75 5.088 5.232 2.75
O
n Ta
baka
2 0.012 6.140 6.161 0.34 6.140 6.161 0.34
3 0.012 5.870 5.898 0.47 5.870 5.898 0.47
4 0.012 5.705 5.739 0.58 5.705 5.739 0.58
5 0.012 5.594 5.633 0.68 5.594 5.633 0.68
10 0.012 5.337 5.397 1.10 5.337 5.397 1.10
15 0.012 5.239 5.315 1.44 5.239 5.315 1.44
20 0.012 5.186 5.278 1.74 5.186 5.278 1.74
25 0.012 5.154 5.259 2.00 5.154 5.259 2.00
30 0.012 5.132 5.250 2.24 5.132 5.250 2.24
35 0.012 5.116 5.246 2.47 5.116 5.246 2.47
40 0.012 5.104 5.244 2.68 5.104 5.244 2.68
45 0.012 5.095 5.245 2.87 5.095 5.245 2.87
50 0.012 5.087 5.248 3.06 5.087 5.248 3.06
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
174
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50E1/E2
Boy
utsu
z D
epla
sman
iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka
Sekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.99. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
175
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50E1/E2
Boy
utsu
z D
epla
sman
iki Tabaka Dört Tabaka AltıTabaka
Sekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.100. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
176
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0 10 20 30 40 50E1/E2
Boy
utsu
z D
epla
sman
İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)
İk iTabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS)
Şekil 6.101. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
177
0
2
4
6
8
0 10 20 30 40 50
E1/E2
Mom
ent (
GP
a.m
)
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.102. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (D.A.Y.)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
178
0
2
4
6
8
0 10 20 30 40 50
E1/E2
Mom
ent (
GP
a.m
)
iki Tabaka Dört Tabaka Altı TabakaSekiz Tabaka On Tabaka
Şekil 6.103. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS)
6.SAYISAL UYGULAMALAR Emel YAĞCI
179
0
2
4
6
8
0 10 20 30 40 50Açı (Derece)
Mom
ent (
GP
a.m
)
iki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.)
İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS)
Şekil 6.104. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E1/E2 oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y.)
7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER Emel YAĞCI
180
7.SONUÇLAR ve ÖNERİLER
Bu çalışmada, denge denklemleri kullanılarak Mathematica adlı paket
programın yardımıyla bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Hazırlanan bu
programda denge denklemleri ile elde edilen diferansiyel denklemlerin çözümünde
kullanılan Değişkenlere Ayırma Yöntemi (D.A.Y) kullanılmıştır. Bu yöntemin
yardımıyla ince plak teorisi ile çeşitli tipteki tabakalı plakların analizi yapılmış ve
sonuçlar birbiriyle karşılaştırılmıştır. Analizlerde yük fonksiyonu ve deplasman
fonksiyonu Fourier serisi kullanılarak x ve y değişkenlerine ayrılmıştır. Ayrıca
analizler literatürde bulunan ve mühendislik uygulamalarında yaygın olarak
kullanılan Sonlu Elemanlar Yöntemine dayalı ANSYS paket programı ile de
yapılmıştır. Yapılan analizler sonucunda ANSYS paket programı ile elde edilen
değerlerle D.A.Y. ile elde edilen değerlerin bazı durumlarda birbirlerine çok
yaklaştığı, bazı durumlarda da birbirlerinden önemli bir ölçüde uzaklaştığı
görülmüştür. Bu farklılık, iki yöntemdeki kabullerin ve sınırlandırmaların
farklılığından kaynaklanmaktadır. Ayrıca Değişkenlerine Ayırma Yönteminde bazı
durumlarda değişkenler tam olarak ayrılamamakta ve seçilen deplasman
fonksiyonları plağın davranışını tam olarak ifade edememektedir.
Çalışmada ilk olarak tek tabakalı izotropik plak durumu ele alınmış ve
analitik çözüm ile ANSYS çözümünün birbirine yakın sonuçlar verdiği görülmüştür.
Ayrıca plak kalınlığının arttırılmasının sonucu nasıl etkilediği de gözlemlenmiştir.
Beklendiği üzere plak inceldikçe sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi
değişkenlere ayırma yönteminde ince plaklar için geçerli olan bazı kabüllerin
yapılmış olmasıdır. Daha sonra tabakalandırılmış izotropik plak durumu incelenmiş
ve izotropik plak durumunda ANSYS ve D.A.Y.’nin yaklaşık aynı sonuçları verdiği
görülmüştür. İzotropik plak çeşitli tabaka dizilimlerinde denenmiş ve tabaka
dizilimlerinde değişim yapılarak, yaklaşık olarak aynı dayanıma sahip olan daha
ekonomik tabakalanma şekillerinin elde edilebileceği görülmüştür.
Çalışmada, izotropik olmayan tabakalı plakların analizi de yapılmıştır. Bu
analizler sonucunda, simetrik plakların özel bir durumu olan özel ortotropik plaklar
için ANSYS ve D.A.Y sonuçlarının birbirine çok yakın değerler verdiği görülmüştür.
7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER Emel YAĞCI
181
Ancak tabakalanma simetrik açılı-katlı tabakalanmaya dönüştükçe sonuçlar
tabakaların dizilimlerine bağlı olarak değişmektedir. Şöyle ki, simetrik tabakalardaki
tabaka açısının değişimi, orta düzleme göre dıştaki tabakalarda meydana gelirse
ANSYS ve D.A.Y sonuçları arasındaki fark aşırı bir biçimde artmaktadır fakat açı
değişimi orta düzleme yakın tabakalarda meydana gelirse fark çok az olmaktadır. Bu
durum eğilme rijitliklerinin birbirlerine olan oranlarının plak eğilmesine olan
etkisinden kaynaklanmaktadır. Değişkenlerine Ayırma Yönteminde simetrik plaklar
için seçilen deplasman fonksiyonu, D16 ve D26 eğilme rijitliklerini denklem içerisinde
ifade edememektedir. Plak orta düzleminden uzaklaştıkça D16 ve D26 eğilme
rijitliklerinin denklem içerisinde ifade edilemedikleri için etkinliklerinin artması,
sonucu olumsuz yönde etkilemektedir. Bu durum ANSYS ile D.A.Y çözümleri
arasındaki aşırı farktan da anlaşılmaktadır. Deplasman fonksiyonunda yapılacak
değişim veya düzenleme, sonucu önemli ölçüde iyileştirebilir ancak gerekli sınır
şartlarını sağlayan ve plağın elastik eğrisini tam olarak ifade edebilen bir deplasman
fonksiyonu oluşturmakta oldukça güçtür. Ayrıca plaktaki tabaka kalınlığının
arttırılmasının D.A.Y ile elde edilen sonuçları olumsuz yönde etkilediği görülmüştür.
Buna sebep olarak tabaka kalınlığının artması sonucu, plak eleman içerisinde kayma
gerilmeleri meydana gelmesi gösterilebilir. Plak kalınlığının artmasıyla meydana
gelen ek kayma gerilmeleri giderek ihmal edilemeyecek sınırlara ulaşarak ince
plaklar için yapılan kabullerin geçerliliğini yitirmesine neden olmaktadırlar.
Bu çalışmada, antisimetrik tabakalı plakların analizi de yapılmıştır. İlk olarak
antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma durumu ele alınmıştır. Tabakalı plak
sistemlerinde tabakalanmanın simetrik olmaması durumunda plak eğilmesi
deformasyonları girişimli olmaktadır. Yani bu tip tabakalanma, B11 uzama ve eğilme
arasındaki bağlanma rijitliklerine sahiptir. Tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça
B11 rijitliklerinin denkleme olan etkisi azalmaktadır. Bunun sonucu olarakta her iki
yöntemle bulunan sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Çalışmada antisimetrik çapraz-
katlı tabakalanma durumu plağın x ve y doğrultusundaki boyutlarının birbirine oranı
(a/b) ve farkı E1/E2 oranları için incelenmiş ve tabaka sayısının artmasıyla uzama-
eğilme arasındaki girişim etkisinin azaldığı görülmüştür.
7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER Emel YAĞCI
182
Antisimetrik açılı-katlı tabakalanmada da tabakalı plak farklı tabaka açıları
ve farklı E1/E2 oranları için incelenmiş ve bu tip tabakalanmada da tabaka sayısının
artması ile girişim etkisinin azaldığı görülmüştür. Ayrıca tabaka sayısındaki artışın,
ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçların birbirine yaklaşmasına neden olduğu
belirlenmiştir.
Değişkenlerine ayırma yöntemi tabakalı plaklar için bazı durumlarda çok iyi
sonuçlar verirken bazı durumlarda da biraz farklı sonuçlar vermektedir. Wang’da
değişkenlerine ayırma yönteminin, bazı plak problemleri için tam çözüme neden
olurken bazıları için tam çözüme neden olmadığını belirlemiştir. Yani x ve y
değişkenlerinin tam olarak ayrımı her zaman mümkün olmamaktadır.
Analizler sonucu elde edilen çizelge ve şekillerin incelenmesi ile aynı
malzemenin değişik fiber açıları ile tabakalandırılmasıyla farklı deplasman, gerilme
ve momentlere sahip olunabileceği ve malzeme özelliklerinde değişiklik yapılarak
dizayn için gerekli şartlara sahip değişik plak tipleri meydana getirebileceği
görülmektedir. Yüksek dayanımlı, hafif ve ekonomik çözümler farklı durumlar için
duruma en uygun tabakalanma şeklinin seçimi ile mümkün olmaktadır. Bu yüzden
tabakalı plakların davranışının çok iyi bilinmesi gerekmektedir.
183
KAYNAKLAR ASHTON,J.E., 1970, ’Anisotropik Plate Analysis-Boundary Coditions’, Journal of
Composite Materials, 4, 182-191.
AUSTİN,C.D.,2003.Buckling of Symmetric Laminated Fiberglass Reinforced Plastic
(FRP) Plates. B:S: in Civil Engineering, University of Pittsburgh, 154.
DOGAN,A., 2004.Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak
Düzlemine Dik Yükleme Etkisindeki Davranışı Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen
Bilimleri Enstitüsü.
ERSOY, H.Y., 2001. Kompozit Malzeme. Literatür Yayıncılık Dağıtım Pazarlama
San. ve Tic. Ltd. Şti., İstanbul, Türkiye, 227.
GALERKİN, B.G., 1915. Reihenentwicklungen für Einige Faelle des Gleichgewichts
von Platten und Balken. Wjestnik Ingerenerow, H.19.
GOLUB, G.H., HUANG, L.C., SİMSON, H., et. al.,’ A Fast Poisson Solver for The
Finite Diferance Solution of the Incompressible Navier-Stokes
Equations’Sim. J. Sci. Comput., 19, 5,(1998), 1606-1624.
GÜNALP, G., 2002. Tabakalı Kompozit Plakların ve Kabukların Statik Analizi. Y.
Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 94.
HASSIS, H., 1998. A Warping Theory of Plate Deformation Eur. Journal
Mechanics/Solidis, 17, 843-853.
HOU,J.P., and JERONIMIDIS, G., 2000. Bending Stiffness of Plates with
Delamination. Composites Part A, 31, 121-132.
HYER, M. W., 1998. Stres Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials. Mc
Graw-Hill Book Comp, Virginia Polytechnic Institute and State Universty,
627.
JONES, R.M., 1975. Mechanics of Composite Materials. Scripta Book Company,.
Washington D.C., 355.
JONES, R.M., 1999. Mechanics of Composite Materials. Taylor & Francis, Inc. 325.
Chestnut Street, Philadelphia, PA19106, 519.
KAW, A.K., 1997. Mechanics of Composite Materials., CRC Press, Boca Raton.
London New York Washington, D.C., 329.
184
LO, K.H., CHRISTENSEN, R.M., and WU, E.M., 1997. A High-Order Theory of
Plate Deformation. Journal of Applied Mechanics, 44, 663-676.
LUCKING, W.M., HOA, S.V., AND sankar, t.s., 1984. The Effect of Geometry on
Interlaminar Stresses of [0/90]s Composite Laminates with Circular Holes.
Journal of Composite Materials, 17, 188-198.
MINDLIN, R.D., 1951. Influence of Rotatory Intertia and Shear on Flexural Motions
of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, Vol. 73, 31-38.
ÖZCAN, V., 2002. Kompozit Tabakalı Plakların dinamik Analizi. Y.Lisans Tezi,
Ç.Ü. Fen bilimleri Enstitüsü, Adana, 94.
PHAN, N.D., and REDDY, J.N., 1985. Analysis of Laminated Composite Plates
Using A Hıgher-Order Shear Deformation Theory. International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 21, 2201-2219.
REDDY, J.N., 1984. A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite
Plates. Journal of Applied M echanics, 51, 745.
REDDY, J.N., 1987. A refined Nonlinear Theory of Plates with Transverse shear
deformation. International Journal for Solids Structures, 20, 881-896.
REISSNER, E., 1944. On The Theory of Bending of Elastic Plates. J.math. Phys, 23,
184-191.
REISSNER, E., 1975. On Trasverse Bending of Plates Including The Effect of
Transverse Shear Deformation. International Journal for Solids Structures,
11, 569-573.
SUBRAMANIAN, P., 1993. A High-Order Theory for Bending of Isotropic Plates.
Computers & Structures, 49(1), 199-204.
SURESH,C., PANDA., and NATARAJAN, R., 1979. Finite Element Analysis of
Laminated Composite Plates. International Journal for Numerical Methods in
Engineering, 14, 69-79.
TIMOSHENKO, ST.,1940. Theory of Plates and Shells. New York a. London, Mc
Graw-Hill Book Comp.
UGURAL, A.C., 1981. Stresses In Plates and Shells. New York a. London,
Mc.Graw-Hill Book Comp, 317.
185
ANSYS, Theory Reference Manual and ANSYS Element Reference.
http://www.ansys.com
MATHEMATICA, Wolfram Research, http://www.wolfram.com
186
ÖZGEÇMİŞ
1980 yılında Antakya’da doğdum. İlk,orta ve lise öğrenimimi Antakya’da
tamamladım. Daha sonra Çukurova Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi
İnşaat Mühendisliği bölümünü kazandım. 2003 yılında lisans öğrenimimi
tamamladım. 2006 yılının Şubat ayından itibaren 16 ay bir yapı denetim firmasında
Yardımcı Kontrol Elemanı olarak görev yaptım. Şu anda da özel bir şirkette
çalışmaktayım.
187
EKLER
188
EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı
Programdaki Kısaltmaların Açıklanması
nt : Tabaka sayısı
a,b : Plağın x ve y doğrultusundaki boyutları
Po : Birim yük
tbc : Tabakalanma şekli
t[] : Tabaka kalınlığı
E1[] : 1 doğrultusundaki elastisite modülü
E2[] : 2 doğrultusundaki elastisite modülü
G12 : 1-2 düzlemi için kayma modülü
Poiss12 : 1-2 düzlemi için poisson oranı
aci : Her bir tabakanın açı değeri
h[] : Plak kalınlığı
c : Kosinüs açısı
s : Sinüs açısı
sxust[0] : Sıfır noktasındaki(birinci tabakanın üst noktası) σx gerilmesi.
sxalt[1] : Bir noktasındaki(birinci tabakanın alt noktası) σx gerilmesi
sxust[1] : Bir noktasındaki(ikinci tabakanın üst noktası) σx gerilmesi
sxust[2] : İki noktasındaki(ikinci tabakanın alt noktası) σx gerilmesi
sxust[2] : İki noktasındaki(üçüncü tabakanın üst noktası) σx gerilmesi
Birinci tabaka
İkinci tabaka
Üçüncü tabaka
Dördüncü tabaka
0 noktası
1 noktası
2 noktası
3 noktası
4 noktası
189
(*FIBERLERLE GUCLENDIRILMIS TABAKALI PLAKLARIN DEGISKENLERINE AYIRMA YONTEMIYLE COZUMU*) Clear["Global`*"]; pi=ArcTan[1.0]*4; (*Tabaka sayisini ,boyutlarini ve yükü giriniz*) nt=4;a=12;b=12;po=1; (*Tabakalanma seklini giriniz*) (*simetrik (ozel ortotropik) ise tbc=1, antisimetrik capraz-katli ise tbc=2, antisimetrik acili-katli ise tbc=3*) tbc=1; (*================================================================*) (*Tabakalanma ozelliklerini giriniz*) (*Tabaka sayisina gore tabaka ozelliklerini arttiriniz veya azaltiniz*) t[1]=0.03;E1[1]=181;E2[1]=10.3; poiss12[1]=0.28;G12[1]=7.17;aci[1]=0; t[2]=0.03;E1[2]=181;E2[2]=10.3; poiss12[2]=0.28;G12[2]=7.17;aci[2]=90; t[3]=0.03;E1[3]=181;E2[3]=10.3; poiss12[3]=0.28;G12[3]=7.17;aci[3]=90; t[4]=0.03;E1[4]=181;E2[4]=10.3; poiss12[4]=0.28;G12[4]=7.17;aci[4]=0; (*================================================================*) h[]=Sum[t[k],{k,1,nt,1}]; Do[ poiss21[k]=((poiss12[k])*(E2[k]))/E1[k],{k,1,nt,1}]; Do[ Q11[k]=E1[k]/(1-(poiss12[k])*(poiss21[k])),{k,1,nt,1}]; Do[ Q12[k]=(poiss12[k])*E2[k]/(1-(poiss12[k])*(poiss21[k])), {k,1,nt,1}]; Do[ Q22[k]=E2[k]/(1-(poiss12[k])*(poiss21[k])),{k,1,nt,1}]; Do[ Q66[k]=G12[k],{k,1,nt,1}]; Do[ θ[k]=aci[k],{k,1,nt,1}]; Do[c[k]=Cos[θ[k]Degree],{k,1,nt,1}]//N; Do[s[k]=Sin[θ[k]Degree],{k,1,nt,1}]//N; Do[T[k]={{(c[k]^2),(s[k]^2),(2*c[k]*s[k])}, {(s[k]^2),(c[k]^2),(-2*s[k]*c[k])}, {(-s[k]*c[k]),(s[k]*c[k]),(c[k]^2-s[k]^2)}},{k,1,nt,1}];
190
R={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,2}}; Do[Q[k]={{Q11[k],Q12[k],0},{Q12[k],Q22[k],0},{0,0,Q66[k]}}, {k,1,nt,1}]; Do[Qtrans[k]=Inverse[T[k]].Q[k].R.T[k].Inverse[R],{k,1,nt,1}]//N; Do[h[k-1]=-h[]/2+Sum[t[l],{l,1,k-1,1}],{k,1,nt,1}]; Do[h[k]=-h[]/2+Sum[t[l],{l,1,k,1}],{k,1,nt,1}]; (*================================================================*) A11= Sum[Qtrans[k][[1,1]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}],{k,1,nt,1}]; A12=Sum[Qtrans[k][[1,2]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A16=Sum[Qtrans[k][[1,3]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A22=Sum[Qtrans[k][[2,2]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A26=Sum[Qtrans[k][[2,3]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[1,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; A={{A11,A12,A16},{A12,A22,A26},{A16,A26,A66}}; (*================================================================*) B11= Sum[Qtrans[k][[1,1]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}],{k,1,nt,1}]; B12=Sum[Qtrans[k][[1,2]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B16=Sum[Qtrans[k][[1,3]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B22=Sum[Qtrans[k][[2,2]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B26=Sum[Qtrans[k][[2,3]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[z,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; B={{B11,B12,B16},{B12,B22,B26},{B16,B26,B66}}; (*================================================================*) d11=Sum[ Qtrans[k][[1,1]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}],{k,1,nt,1}]; d12=Sum[Qtrans[k][[1,2]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d16=Sum[Qtrans[k][[1,3]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d22=Sum[Qtrans[k][[2,2]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d26=Sum[Qtrans[k][[2,3]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}]; d66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[z^2,{z,h[k-1],h[k]}], {k,1,nt,1}];
191
d={{d11,d12,d16},{d12,d22,d26},{d16,d26,d66}}; (*================================================================*) dp1={{epx},{epy},{gamaxy},{kx},{ky},{kxy}}; QT={{A11,A12,A16,B11,B12,B16},{A12,A22,A26,B12,B22,B26}, {A16,A26,A66,B16,B26,B66},{B11,B12,B16,d11,d12,d16}, {B12,B22,B26,d12,d22,d26},{B16,B26,B66,d16,d26,d66}}; u1=Amn*Cos[(m*\[Pi]*x)/a]*Sin[(n*\[Pi]*y)/b]; v1=Bmn*Sin[(m*\[Pi]*x)/a]*Cos[(n*\[Pi]*y)/b]; u2=Amn*Sin[(m*\[Pi]*x)/a]*Cos[(n*\[Pi]*y)/b]; v2=Bmn*Cos[(m*\[Pi]*x)/a]*Sin[(n*\[Pi]*y)/b]; w=Cmn*Sin[(m*\[Pi]*x)/a]*Sin[(n*\[Pi]*y)/b]; (If[tbc\[Equal]1,(u=u1;v=v1;Goto[basla]),Continue]; If[tbc\[Equal]2,(u=u1;v=v1;Goto[basla]),Continue]; If[tbc\[Equal]3,(u=u2;v=v2;Goto[basla])]; Label[basla]); epx=D[u,x]; epy=D[v,y]; gamaxy=D[u,y]+D[v,x]; kx=-D[w,x,x]; ky=-D[w,y,y]; kxy=-2*D[w,x,y]; (*================================================================*) (*tabaka ust noktası*) Do[gerust[z-1]=Qtrans[z].{{epx},{epy},{gamaxy}}+ h[z-1]*Qtrans[z].{{kx},{ky},{kxy}},{z,1,nt,1}] Do[sxust[z-1]=gerust[z-1][[1,1]],{z,1,nt,1}] Do[syust[z-1]=gerust[z-1][[2,1]],{z,1,nt,1}] Do[sxyust[z-1]=gerust[z-1][[3,1]],{z,1,nt,1}] (*tabaka alt noktas\[DotlessI]*) Do[geralt[z]=Qtrans[z].{{epx},{epy},{gamaxy}}+ h[z]*Qtrans[z].{{kx},{ky},{kxy}},{z,1,nt,1}] Do[sxalt[z]=geralt[z][[1,1]],{z,1,nt,1}] Do[syalt[z]=geralt[z][[2,1]],{z,1,nt,1}] Do[sxyalt[z]=geralt[z][[3,1]],{z,1,nt,1}] (*================================================================*) {{Nx},{Ny},{Nxy}}={{A11,A12,A16},{A12,A22,A26},{A16,A26,A66}}. {{epx},{epy},{gamaxy}}+{{B11,B12,B16}, {B12,B22,B26},{B16,B26,B66}}.{{kx},{ky},{kxy}}; {{Mx},{My},{Mxy}}={{B11,B12,B16},{B12,B22,B26},{B16,B26,B66}}. {{epx},{epy},{gamaxy}}+{{d11,d12,d16}, {d12,d22,d26},{d16,d26,d66}}.{{kx},{ky},{kxy}}; (*================================================================*) denklem1=D[Nx,x]+D[Nxy,y]; denklem2=D[Nxy,x]+D[Ny,y];
192
denklem3=D[Mx,x,x]+2*D[Mxy,x,y]+D[My,y,y]; (*================================================================*) pmn=16*po/((pi^2)*(m*n)); x=a/2; y=b/2; p=pmn*Sin[(m*pi*x)/a]*Sin[(n*pi*y)/b]; sonuc= Solve[{denklem1\[Equal]0.,denklem2\[Equal]0.,denklem3\[Equal]-p},{Amn,Bmn, Cmn}]; Cmn=Cmn/.sonuc; Amn=Amn/.sonuc; Bmn=Bmn/.sonuc; cokme=Sum[Cmn*Sin[(m*pi*x)/a]*Sin[(n*pi*y)/b], {m,1,11,1},{n,1,11,1}]; (*================================================================*) (*sonuclar*) Print[" Toplam tabaka sayisi"] nt Print[" COKME"] wmax=cokme Print[" Mx momenti"] MX=Sum[Mx,{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Print[" My momenti"] MY=Sum[My,{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Print[" Mxy momenti"] MXY=Sum[Mxy,{m,1,11,1},{n,1,11,1}] (*================================================================*) (*Tabaka sayisina gore nokta numaralarini arttiriniz veya azaltiniz*) Print["X dogrultusundaki gerilmeler"] Sum[sxust[0],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxust[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxust[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxust[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[sxalt[4],{m,1,11,1},{n,1,11,1}]
193
Print["Y dogrultusundaki gerilmeler"] Sum[syust[0],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syust[1],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syust[2],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syust[3],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] Sum[syalt[4],{m,1,11,1},{n,1,11,1}] (*================================================================*)
top related