vozmognosti izmerenija krasoty

Возможности измерения красоты

Спицына М.Д.Храмов А.Е.

Как измерить красоту?

Цели: Ввести понятие фрактальной

размерности и фрактальных измерений;

Классифицировать процедуры размерности;

Проанализировать литературу и привести примеры размерности

Бенуа Мандельброт Бенуа Мандельброт (фр. Benoît Mandelbrot) — французский математик, родился 20 ноября 1924 в Варшаве (Польша).

Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

Основные работы им выполнены в США в IBM. Работая в IBM, Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики.

Само понятие «фрактал» придумал сам Бенуа Мандельброт (от латинского fractus, означающего «сломанный, разбитый»).

Определение фрактала

Фракталом называется такое множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому

Бенуа Мандельброт:

-Нецелые измерения – фрактальные измерения(по Мандельброту)-Все фрактальные объекты характеризуются фрактальной размерностью

К вопросу об определении меры величины множества

Измерение «величины» кривой: Для «обычной» кривой:

Длина кривой определяется предельным переходом

(1)

Площадь кривой равна

(2)

Объем кривой равен

(3)

К вопросу об определении меры величины множества

Измерение «величины» поверхности: Площадь поверхности:(4)

Число квадратов, необходимых для покрытия поверхности, равно

где A0 – площадь поверхности.«Объем» поверхности:

(5)

Можно ли сопоставить поверхности какую-либо длину?

(6)

Процедура определения размерности Хаусдорфа – Безиковича

Таким образом, формализуем метод оценки меры величины множества точек

Выбирается пробная функция

(7)

и ей покрывается множество , образуя меру

(8)

Для прямолинейных отрезков (d) = 1

Для квадратов, кругов и т.д. (d) = /4

Для сфер (d) = /6

В общем случае, при 0 мера Md либо равна нулю, либо

бесконечности в зависимости от выбора d-размерности меры.

Процедура определения размерности Хаусдорфа – Безиковича

Размерность Хаусдорфа-Безиковича D множества есть критическая размер-

ность, при которой мера Md изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

Md – d-мера множества

Значение Md при d = D часто конечно, но может быть равно нулю или

бесконечности. Существенно, при каком значении d величина Md меняется

скачком.

(9)

Размерность Хаусдорфа – Безиковича

В рассмотренном определении размерность Хаусдорфа – Безиковича

фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойство множества точек в пределе при исчезающе малом

размере d пробной функции (7), используемой при покрытии множества

Отсюда следует, что размерность тоже может быть локальной характеристикой множества

Случаи D = 1 – линии;D = 2 – плоскости и искривленные гладкие поверхности;

D = 3 – шары, кубы, другие «привычные» тела конечного объема:

По

стр

оен

ие

три

адн

ой

кр

ив

ой

Ко

ха

Снежинка Коха

Рисунок 3

Размерность кривой Коха

Размерность кривой Коха

Свойство подобия и скейлинга фракталов

Свойство подобия и скейлинга фракталов

Свойство подобия и скейлинга фракталов

Свойство подобия и скейлинга фракталов

Свойство подобия и скейлинга фракталов

Построение квадратной кривой Коха

Рисунок 4

Единичный квадрат в качестве элемента

Образующий элементN=8

Показать самостоятельно, что:

Построение треугольного «невода»

Рисунок 5

Образующий элемент

Фрактальная размерность:

Построение Канторово множества (пыль Кантора)

Георг Кантор (1883): множество нулевой меры, чья мощность равна мощности континуума [0, 1]

Генри Смит (1875)

Свойства Канторового множества:1. Самоподобный фрактал с размерностью 

Число элементов N = 2n на n-м шаге, размер элемента r = (1/3)n

В соответствии с (14): D = – ln N / ln r находим, что фрактальная размерность определяется (15) и не зависит от шага n

2. Сумма длин интервалов, удаленных при построении множества Кантора C в точности равна 1.Действительно, сумма длин S удаленных интервалов составляет:

Формула для геометрической прогрессии:

Тогда окончательно находим:

(15)

Комплексная динамика и множества Жюлиа и Мандельброта

Из теории функций комплексного переменного:

Комплексная динамика и множества Жюлиа и

Мандельброта Гастон Жулиа (1893-1978)

Пьер Фату

(1878-1929)

Комплексная динамика и множества Жюлиа и

Мандельброта

Комплексная динамика и множества Жюлиа и Мандельброта

Комплексная динамика и множества Жюлиа и

Мандельброта

Комплексная динамика и множества Жюлиа и Мандельброта

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта

Другие размерности фрактальных множеств. Энтропийная размерность

Другие размерности фрактальных множеств. Энтропийная размерность

=1 по определению и мы ее можем дописать

(17)

Другие размерности фрактальных множеств. Энтропийная размерность

Спектр обобщенных размерностей Реньи Грассбергер, Хэнтчел, Прокаччиа, 1983

Dq – спектр обобщенных размерностей Реньи

Пусть r – размер покрытия фрактального множестваpi – вероятность пребывания в i-й точке покрытия

(21)

Спектр обобщенных размерностей Реньи q = 0: Емкость (ср. с формулой (14))

q = 1: Энтропийная (информационная) размерность

q = 2: Корреляционная размерность

(22)

Возникает неопределенность , раскрытие которой приводит к

информационной или энтропийной размерности, рассмотренной выше

00

Корреляционная размерность и алгоритм Грассбергера–Прокаччиа Рассмотрим сумму вида

Как будет вести себя сумма C(r) с уменьшением размера ячеек, которыми производится покрытие?Предположим, что сумма C(r) убывает по степенному закону:

(23)

Последнее эквивалентно существованию предела (22):

В координатах (ln r, ln C(r)), учитывая формулу (23) мы должны получить график в виде прямой линии

Эффективный алгоритм расчета корреляционного интеграла C(r)

Аттрактор Ресслера

Пример расчета корреляционного интеграла для отображения Эно

Из книги: Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001

Воспроизведение фрактальной структуры аттрактора Эно на разных масштабах разрешения

21

1

1 1.4 0.3n n n

n n

x x y

y x+

+

￬ - +￭

￮

Спектр обобщенных размерностей для множества Кантора

Каковы же будут обобщенные размерности для множества Кантора???

!На множестве должна быть задана мера!

Спектр обобщенных размерностей для множества Кантора

Множества, у которых обобщенная размерность зависит от параметра q, называют мультифракталами. Канторово множество следует считать мультифракталом, если параметры a и b, ответственные за распределение меры, не равны друг другу.

График обобщенной размерности для множества Кантора с мерой, заданной параметрами a=3/4 и b=1/4

Доказано, что в общем случае:

Природные фракталы

Линия побережья на карте Британии представлена ломаной линией, составленной из отрезков длиной .

Суммарная длина L=N по Ричардсону приближенно равна длине береговой линии L

Если 0, то LL

Л.Ф. Ричардсон: задача о длине береговой линии

Определения длины окружности радиусом R

К определению длины окружности с помощью аппроксимации ее ломаной линией. (сверху) Последовательное увеличение числа звеньев n в ломаной линии, аппроксимирующей окружности; (снизу) зависимость длины ломанной длины линии Ln от числа звеньев n

2 sinRn

2 sinnS nRn

Если n – велико

/n – малая величина и sin(/n) /n

Тогда при n находим, что L=2R

Определение длины береговой линии Карта побережья Норвегии покрывается сеткой квадратных ячеек размером .

Рисунки взяты из книги Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991

Измеренная длина береговой линии, как функция шага (измеряется в км). Прямая на графике в двойном логарифмическом масштабе соответствует зависимости

L=a1–D, где D 1.52

Природные фракталы

Длина береговых линий как функция выбранного шага разбиения . Данные построены в двойном логарифмическом масштабе.

Рисунок взят из книги Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991

Литература Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. —

М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.

Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.

Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.

Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. — Ижевск: «РХД», 2001

Кузнецов С.П. Динамический хаос. — Москва: «Физматлит», 2001

Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. М.: Янус–К, 2002