zadatak 021 (rex, gimnazija) π e put 75 m. π1 zadatak 021 (rex, gimnazija) u sustavu koji miruje,...
Post on 09-Jan-2020
34 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
Zadatak 021 (Rex gimnazija) U sustavu koji miruje π ndash mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijentildee put 75 m
Brzina π ndash mezona je 0995 middot c Koliko je vrijeme života π ndash mezona u vlastitom sustavu
Rješenje 021 s = 75 m v = 0995 middot c c = 3 middot 10
8 ms ∆t0 =
Vrijeme života π ndash mezona u sustavu koji miruje je
st
v∆ =
pa je njegovo vlastito vrijeme života
2 2275 0995
1 1 10 0 02 80995 3 10
v s v mt t t t
mv
c
cccs
sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = sdot minus rArr ∆ = sdot minus rArr
sdot sdot
75 2 91 0995 25 10 25
0 80995 3 10
mt s ns
m
s
minusrArr ∆ = sdot minus = sdot =
sdot sdot
Vježba 021 U sustavu koji miruje π ndash mezon od trenutka nastanka do trenutka raspada prijentildee put 150 m
Brzina π ndash mezona je 0995 middot c Koliko je vrijeme života π ndash mezona u vlastitom sustavu
Rezultat 50 ns
Zadatak 022 (Rex gimnazija) Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 511 kV Kolika je njegova relativistička brzina
nakon ubrzavanja Energija mirovanja elektrona je 2 511 m c keVe sdot =
(e = 16 middot 10-19
C c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 022
U = 511 kV = 511 middot 105 V 2 3 19 14511 511 10 16 10 8176 10 m c keV J Jeminus minussdot = = sdot sdot sdot = sdot
e = 16 middot 10-19 C c = 3 middot 108 ms v =
1 12 1 112 22 212 1 1
2 212
E e Uk
e Ue U m ce
E m c m ce v vekv
c cc
= sdot
sdot
rArr sdot = sdot sdot minus rArr = minus rArr = sdot sdot minus sdot
minus minus minus
2 21 1 11 1 1
2 2 2 221
21 12 2
2e U v v
e Um c c cve e Um cec m ce
sdotrArr + = rArr minus = rArr minus = rArr
sdotsdot + sdotminus +sdot sdot
2 1 1 12 21 1 12 2 2 2
1 1 12 2 2
2 v
v c v cc
e U e U e U
m c m c m ce e
c
e
rArr = minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
sdot sdot sdot
sdot
+ + + sdot sdot sdot
2
( )
1 18 8 83 10 1 3 10 1 26 10 2 2
19 5 1 116 10 511 101
148176 10
m m m
s s sC V
J
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdotminus + sdot sdot sdot
+minus sdot
Vježba 022 Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 1533 kV Kolika je njegova relativistička brzina
nakon ubrzavanja Energija mirovanja elektrona je 2 511 m c keVe sdot =
(e = 16 middot 10-19
C c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 829 10 m
ssdot
Zadatak 023 (Dino gimnazija) Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu elektrona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108
ms (masa elektrona u mirovanju m0 = 911 middot 10-31
kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 023 v1 = 12 middot 108 ms v2 = 24 middot 108 ms m0 = 911 middot 10-31 kg c = 3 middot 108 ms W =
Kad tijelo obavlja rad mijenja mu se energija Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Budući da je promjena kinetičke energije elektrona jednaka utrošenom radu vrijedi
1 12 21 1
0 02 22 12 11 12 2
W E W E E W m c m ck k k
v v
c c
= ∆ rArr = minus rArr = sdot sdot minus minus sdot sdot minus rArr
minus minus
1 1 1 12 20 02 2 2 2
2 1 2 11 1 1 12 2 2 2
1 1W m c W m c
v v v v
c c c c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr
minus minus minus minus
minus +
1 120 2 2
2 11 1
W m c
v v
c c
rArr = sdot sdot minus =
minus minus
3
21 131 8 14
911 10 3 10 472 10 2 2
8 824 10 12 10
1 18 8
3 10 3 10
mkg J
sm m
s sm m
s s
minus minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot
minus minus sdot sdot
Vježba 023 Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu protona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108 ms
(masa protona u mirovanju m0 = 16726 middot 10-27
kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 866 middot 10-11
J
Zadatak 024 (Neven student) Nakon 04 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rješenje 024
t = 04 s 2 1
0 0 03 3
N N N N= minus sdot = sdot v = 075 middot c τ12 =
Radioaktivni raspad
Jezgra ili nukleus nekog elementa može se promijeniti spontano (radioaktivni raspad) ili umjetnim
putem (nuklearna reakcija) Prirodna je radioaktivnost pojava raspada jezgara nekih elemenata zbog
nestabilnosti jezgara atoma tih elemenata
Zakon radioaktivnog raspada glasi
1220
tT
N N
minus
= sdot
gdje je N0 broj čestica u vrijeme t = 0 N broj čestica koje se nakon vremena t nisu raspale t vrijeme
T12 vrijeme poluraspada Vrijeme poluraspada T12 je vremenski interval u kojem se raspadne polovina
prvobitnog broja čestica
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
Neka je T12 vrijeme poluraspada čestica u sustavu promatrača S a τ12 vrijeme poluraspada u
njihovom vlastitom sustavu S0
Nakon vremena t raspalo se dvije trećine prvobitnog broja N0 čestica tj
( )2 2 1 1
0 0 0 0 0 03 3 3 3
1N N N N N N N N N Nminus = sdot rArr minus = sdot minus rArr minus = minus sdot rArr sdotsdot =minus
Vrijeme poluraspada T12 čestica u sustavu promatrača S iznosi
4
logaritmiramo
1
03 1 112 122 20 03 30 jednakost
1220
t tN NT T
N NtT
N N
N
= sdot minus minus
rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus
= sdot
log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3
1
log
log log 2
aa b
bn
a
t tT T t
Tn a
minus minus
rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus
sdot rArr
= sdot
[ ]log 2
0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3
12
log1 0 log 3
12
t tT t
T T
T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot
v
S0 θθθθ12T12
S
Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na
sustav S iznosi
log 2
12 22log 3log 2 log 2
1 112 122 2log 3 log 3
112 12 2
T t
v vt t
cv cT
c
τ τ
τ
= sdot
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =
= sdot minus
2log 2 075
04 1 0167 log 3
cs s
c
sdot= sdot sdot minus =
Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rezultat 0334 s
Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u
mirovanju je 91 middot 10-31
kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10
-31 kg c = 3 middot 10
8 ms p =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom
p m v= sdot
Količina gibanja elektrona iznosi
5
3191 100 0 0 075
2 2 2 20751 1 1 12 2
p m v
m m m kgm p v p v c
v v v c
c c cc
= sdot
minussdot
= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =
sdotminus minus minus minus
31 3191 10 91 108 8 22
075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2
1 0750751
kg m kg m mkg
sc
s s
c
minus minussdot sdot minus
= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot
minussdotminus
Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je
91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms
Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u
mirovanju 24 kg
Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Brzina kojom se tijelo giba iznosi
2
1 2
2 20 0 1 1
0 02 22 2
1 12 2
vm m vm
vm m m m m m
c cv cv
c c
= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr
minus minus
2
2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1
2 2 2 2
m m m mv v v v
m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )
2 2 22 2 20 0 2
1 01 1 12 2 2
m m
cmv v v
m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr
2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 22401 1 08 40
m kgv c c c
m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot
Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u
mirovanju 48 kg
Rezultat 08 middot c
6
Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone
koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =
U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je
1 2
1 212
v v
vr v v
c
+=
sdot+
gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti
Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi
2
1 2 1 1
1 2 1 1 11 22
v cv v v c v c v c v c
v cr v v v c v v c
v c
c v cv v c
c c c cc cc
++ + + + +
= = = = = = = =sdot sdot
+
++
+sdot ++ + +
c vC
Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor
svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rezultat c
Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rješenje 028
m0 10
010 110 0 0 0 0 0100
m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti
Brzina elektrona iznosi
0
20 0110 1101 0 02 2 2
1 12 2110
0
0
mm
m mvm m
c v v
mc
m
mc
=
rArr = sdot rArr = sdot rArrminus
minus minus= sdot
22 2 2
1 1 1 1110 1 1 1
2 22
2110 110 1212
12
v v v
c c cv
c
rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
2
( )
1 18 8 83 10 1 3 10 1 26 10 2 2
19 5 1 116 10 511 101
148176 10
m m m
s s sC V
J
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdotminus + sdot sdot sdot
+minus sdot
Vježba 022 Elektron se iz mirovanja ubrzava naponom od 1533 kV Kolika je njegova relativistička brzina
nakon ubrzavanja Energija mirovanja elektrona je 2 511 m c keVe sdot =
(e = 16 middot 10-19
C c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 829 10 m
ssdot
Zadatak 023 (Dino gimnazija) Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu elektrona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108
ms (masa elektrona u mirovanju m0 = 911 middot 10-31
kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 023 v1 = 12 middot 108 ms v2 = 24 middot 108 ms m0 = 911 middot 10-31 kg c = 3 middot 108 ms W =
Kad tijelo obavlja rad mijenja mu se energija Promjena energije tijela jednaka je utrošenom radu
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Budući da je promjena kinetičke energije elektrona jednaka utrošenom radu vrijedi
1 12 21 1
0 02 22 12 11 12 2
W E W E E W m c m ck k k
v v
c c
= ∆ rArr = minus rArr = sdot sdot minus minus sdot sdot minus rArr
minus minus
1 1 1 12 20 02 2 2 2
2 1 2 11 1 1 12 2 2 2
1 1W m c W m c
v v v v
c c c c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr
minus minus minus minus
minus +
1 120 2 2
2 11 1
W m c
v v
c c
rArr = sdot sdot minus =
minus minus
3
21 131 8 14
911 10 3 10 472 10 2 2
8 824 10 12 10
1 18 8
3 10 3 10
mkg J
sm m
s sm m
s s
minus minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot
minus minus sdot sdot
Vježba 023 Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu protona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108 ms
(masa protona u mirovanju m0 = 16726 middot 10-27
kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 866 middot 10-11
J
Zadatak 024 (Neven student) Nakon 04 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rješenje 024
t = 04 s 2 1
0 0 03 3
N N N N= minus sdot = sdot v = 075 middot c τ12 =
Radioaktivni raspad
Jezgra ili nukleus nekog elementa može se promijeniti spontano (radioaktivni raspad) ili umjetnim
putem (nuklearna reakcija) Prirodna je radioaktivnost pojava raspada jezgara nekih elemenata zbog
nestabilnosti jezgara atoma tih elemenata
Zakon radioaktivnog raspada glasi
1220
tT
N N
minus
= sdot
gdje je N0 broj čestica u vrijeme t = 0 N broj čestica koje se nakon vremena t nisu raspale t vrijeme
T12 vrijeme poluraspada Vrijeme poluraspada T12 je vremenski interval u kojem se raspadne polovina
prvobitnog broja čestica
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
Neka je T12 vrijeme poluraspada čestica u sustavu promatrača S a τ12 vrijeme poluraspada u
njihovom vlastitom sustavu S0
Nakon vremena t raspalo se dvije trećine prvobitnog broja N0 čestica tj
( )2 2 1 1
0 0 0 0 0 03 3 3 3
1N N N N N N N N N Nminus = sdot rArr minus = sdot minus rArr minus = minus sdot rArr sdotsdot =minus
Vrijeme poluraspada T12 čestica u sustavu promatrača S iznosi
4
logaritmiramo
1
03 1 112 122 20 03 30 jednakost
1220
t tN NT T
N NtT
N N
N
= sdot minus minus
rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus
= sdot
log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3
1
log
log log 2
aa b
bn
a
t tT T t
Tn a
minus minus
rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus
sdot rArr
= sdot
[ ]log 2
0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3
12
log1 0 log 3
12
t tT t
T T
T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot
v
S0 θθθθ12T12
S
Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na
sustav S iznosi
log 2
12 22log 3log 2 log 2
1 112 122 2log 3 log 3
112 12 2
T t
v vt t
cv cT
c
τ τ
τ
= sdot
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =
= sdot minus
2log 2 075
04 1 0167 log 3
cs s
c
sdot= sdot sdot minus =
Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rezultat 0334 s
Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u
mirovanju je 91 middot 10-31
kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10
-31 kg c = 3 middot 10
8 ms p =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom
p m v= sdot
Količina gibanja elektrona iznosi
5
3191 100 0 0 075
2 2 2 20751 1 1 12 2
p m v
m m m kgm p v p v c
v v v c
c c cc
= sdot
minussdot
= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =
sdotminus minus minus minus
31 3191 10 91 108 8 22
075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2
1 0750751
kg m kg m mkg
sc
s s
c
minus minussdot sdot minus
= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot
minussdotminus
Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je
91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms
Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u
mirovanju 24 kg
Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Brzina kojom se tijelo giba iznosi
2
1 2
2 20 0 1 1
0 02 22 2
1 12 2
vm m vm
vm m m m m m
c cv cv
c c
= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr
minus minus
2
2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1
2 2 2 2
m m m mv v v v
m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )
2 2 22 2 20 0 2
1 01 1 12 2 2
m m
cmv v v
m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr
2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 22401 1 08 40
m kgv c c c
m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot
Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u
mirovanju 48 kg
Rezultat 08 middot c
6
Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone
koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =
U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je
1 2
1 212
v v
vr v v
c
+=
sdot+
gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti
Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi
2
1 2 1 1
1 2 1 1 11 22
v cv v v c v c v c v c
v cr v v v c v v c
v c
c v cv v c
c c c cc cc
++ + + + +
= = = = = = = =sdot sdot
+
++
+sdot ++ + +
c vC
Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor
svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rezultat c
Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rješenje 028
m0 10
010 110 0 0 0 0 0100
m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti
Brzina elektrona iznosi
0
20 0110 1101 0 02 2 2
1 12 2110
0
0
mm
m mvm m
c v v
mc
m
mc
=
rArr = sdot rArr = sdot rArrminus
minus minus= sdot
22 2 2
1 1 1 1110 1 1 1
2 22
2110 110 1212
12
v v v
c c cv
c
rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
3
21 131 8 14
911 10 3 10 472 10 2 2
8 824 10 12 10
1 18 8
3 10 3 10
mkg J
sm m
s sm m
s s
minus minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot sdot sdot
minus minus sdot sdot
Vježba 023 Koliki rad moramo utrošiti da bismo povećali brzinu protona od 12 middot 108 ms do 24 middot 108 ms
(masa protona u mirovanju m0 = 16726 middot 10-27
kg brzina svjetlosti c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 866 middot 10-11
J
Zadatak 024 (Neven student) Nakon 04 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rješenje 024
t = 04 s 2 1
0 0 03 3
N N N N= minus sdot = sdot v = 075 middot c τ12 =
Radioaktivni raspad
Jezgra ili nukleus nekog elementa može se promijeniti spontano (radioaktivni raspad) ili umjetnim
putem (nuklearna reakcija) Prirodna je radioaktivnost pojava raspada jezgara nekih elemenata zbog
nestabilnosti jezgara atoma tih elemenata
Zakon radioaktivnog raspada glasi
1220
tT
N N
minus
= sdot
gdje je N0 broj čestica u vrijeme t = 0 N broj čestica koje se nakon vremena t nisu raspale t vrijeme
T12 vrijeme poluraspada Vrijeme poluraspada T12 je vremenski interval u kojem se raspadne polovina
prvobitnog broja čestica
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
Neka je T12 vrijeme poluraspada čestica u sustavu promatrača S a τ12 vrijeme poluraspada u
njihovom vlastitom sustavu S0
Nakon vremena t raspalo se dvije trećine prvobitnog broja N0 čestica tj
( )2 2 1 1
0 0 0 0 0 03 3 3 3
1N N N N N N N N N Nminus = sdot rArr minus = sdot minus rArr minus = minus sdot rArr sdotsdot =minus
Vrijeme poluraspada T12 čestica u sustavu promatrača S iznosi
4
logaritmiramo
1
03 1 112 122 20 03 30 jednakost
1220
t tN NT T
N NtT
N N
N
= sdot minus minus
rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus
= sdot
log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3
1
log
log log 2
aa b
bn
a
t tT T t
Tn a
minus minus
rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus
sdot rArr
= sdot
[ ]log 2
0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3
12
log1 0 log 3
12
t tT t
T T
T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot
v
S0 θθθθ12T12
S
Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na
sustav S iznosi
log 2
12 22log 3log 2 log 2
1 112 122 2log 3 log 3
112 12 2
T t
v vt t
cv cT
c
τ τ
τ
= sdot
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =
= sdot minus
2log 2 075
04 1 0167 log 3
cs s
c
sdot= sdot sdot minus =
Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rezultat 0334 s
Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u
mirovanju je 91 middot 10-31
kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10
-31 kg c = 3 middot 10
8 ms p =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom
p m v= sdot
Količina gibanja elektrona iznosi
5
3191 100 0 0 075
2 2 2 20751 1 1 12 2
p m v
m m m kgm p v p v c
v v v c
c c cc
= sdot
minussdot
= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =
sdotminus minus minus minus
31 3191 10 91 108 8 22
075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2
1 0750751
kg m kg m mkg
sc
s s
c
minus minussdot sdot minus
= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot
minussdotminus
Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je
91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms
Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u
mirovanju 24 kg
Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Brzina kojom se tijelo giba iznosi
2
1 2
2 20 0 1 1
0 02 22 2
1 12 2
vm m vm
vm m m m m m
c cv cv
c c
= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr
minus minus
2
2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1
2 2 2 2
m m m mv v v v
m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )
2 2 22 2 20 0 2
1 01 1 12 2 2
m m
cmv v v
m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr
2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 22401 1 08 40
m kgv c c c
m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot
Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u
mirovanju 48 kg
Rezultat 08 middot c
6
Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone
koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =
U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je
1 2
1 212
v v
vr v v
c
+=
sdot+
gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti
Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi
2
1 2 1 1
1 2 1 1 11 22
v cv v v c v c v c v c
v cr v v v c v v c
v c
c v cv v c
c c c cc cc
++ + + + +
= = = = = = = =sdot sdot
+
++
+sdot ++ + +
c vC
Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor
svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rezultat c
Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rješenje 028
m0 10
010 110 0 0 0 0 0100
m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti
Brzina elektrona iznosi
0
20 0110 1101 0 02 2 2
1 12 2110
0
0
mm
m mvm m
c v v
mc
m
mc
=
rArr = sdot rArr = sdot rArrminus
minus minus= sdot
22 2 2
1 1 1 1110 1 1 1
2 22
2110 110 1212
12
v v v
c c cv
c
rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
4
logaritmiramo
1
03 1 112 122 20 03 30 jednakost
1220
t tN NT T
N NtT
N N
N
= sdot minus minus
rArr sdot = sdot rArr = rArr rArrminus
= sdot
log log log1 112 122 log log 2 log1 log 3 log 23 3
1
log
log log 2
aa b
bn
a
t tT T t
Tn a
minus minus
rArr = rArr = rArr rArr minus = minus= minus
sdot rArr
= sdot
[ ]log 2
0 log 3 log 2 log 3 l 12og 2 12 log 3
12
log1 0 log 3
12
t tT t
T T
T= sdotrArr rArr minus = minus sdot rArr minus = minus sdot =minus rArr sdot
v
S0 θθθθ12T12
S
Vrijeme poluraspada τ12 čestica u njihovom vlastitom sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na
sustav S iznosi
log 2
12 22log 3log 2 log 2
1 112 122 2log 3 log 3
112 12 2
T t
v vt t
cv cT
c
τ τ
τ
= sdot
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus =
= sdot minus
2log 2 075
04 1 0167 log 3
cs s
c
sdot= sdot sdot minus =
Vježba 024 Nakon 08 s raspadne se dvije trećine čestica koje se pored promatrača gibaju brzinom 075 middot c
Koliko je vrijeme poluraspada čestica u njihovom vlastitom sustavu
Rezultat 0334 s
Zadatak 025 (Edo gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona kada se giba brzinom 075 middot c Masa elektrona u
mirovanju je 91 middot 10-31
kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 025 v = 075 middot c m0 = 91 middot 10
-31 kg c = 3 middot 10
8 ms p =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Za tijelo mase m i brzine v količina gibanja dana je formulom
p m v= sdot
Količina gibanja elektrona iznosi
5
3191 100 0 0 075
2 2 2 20751 1 1 12 2
p m v
m m m kgm p v p v c
v v v c
c c cc
= sdot
minussdot
= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =
sdotminus minus minus minus
31 3191 10 91 108 8 22
075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2
1 0750751
kg m kg m mkg
sc
s s
c
minus minussdot sdot minus
= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot
minussdotminus
Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je
91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms
Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u
mirovanju 24 kg
Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Brzina kojom se tijelo giba iznosi
2
1 2
2 20 0 1 1
0 02 22 2
1 12 2
vm m vm
vm m m m m m
c cv cv
c c
= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr
minus minus
2
2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1
2 2 2 2
m m m mv v v v
m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )
2 2 22 2 20 0 2
1 01 1 12 2 2
m m
cmv v v
m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr
2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 22401 1 08 40
m kgv c c c
m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot
Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u
mirovanju 48 kg
Rezultat 08 middot c
6
Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone
koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =
U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je
1 2
1 212
v v
vr v v
c
+=
sdot+
gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti
Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi
2
1 2 1 1
1 2 1 1 11 22
v cv v v c v c v c v c
v cr v v v c v v c
v c
c v cv v c
c c c cc cc
++ + + + +
= = = = = = = =sdot sdot
+
++
+sdot ++ + +
c vC
Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor
svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rezultat c
Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rješenje 028
m0 10
010 110 0 0 0 0 0100
m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti
Brzina elektrona iznosi
0
20 0110 1101 0 02 2 2
1 12 2110
0
0
mm
m mvm m
c v v
mc
m
mc
=
rArr = sdot rArr = sdot rArrminus
minus minus= sdot
22 2 2
1 1 1 1110 1 1 1
2 22
2110 110 1212
12
v v v
c c cv
c
rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
5
3191 100 0 0 075
2 2 2 20751 1 1 12 2
p m v
m m m kgm p v p v c
v v v c
c c cc
= sdot
minussdot
= rArr = sdot rArr = sdot = sdot sdot =
sdotminus minus minus minus
31 3191 10 91 108 8 22
075 3 10 075 3 10 30955 10 2 2
1 0750751
kg m kg m mkg
sc
s s
c
minus minussdot sdot minus
= sdot sdot sdot = sdot sdot sdot = sdot sdot
minussdotminus
Vježba 025 Koliki je impuls sile elektrona kada se giba brzinom 070 middot c Masa elektrona u mirovanju je
91 middot 10-31 kg (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 26759 middot 10-22 kg middot ms
Zadatak 026 (Edo gimnazija) Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 40 kg ako je masa tijela u
mirovanju 24 kg
Rješenje 026 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa tijela u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela i c brzina svjetlosti u vakuumu
Brzina kojom se tijelo giba iznosi
2
1 2
2 20 0 1 1
0 02 22 2
1 12 2
vm m vm
vm m m m m m
c cv cv
c c
= rArr = rArr sdot minussdot minus = rArr sdot minus = rArr
minus minus
2
2 22 2 2 20 0 0 01 1 1 1
2 2 2 2
m m m mv v v v
m m m mc c c crArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )
2 2 22 2 20 0 2
1 01 1 12 2 2
m m
cmv v v
m m mc c csdotrArr minus = minus rArr = minus rArr = minusminus sdot rArr
2 2 22 2 2 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m mrArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 22401 1 08 40
m kgv c c c
m kgrArr = sdot minus = sdot minus = sdot
Vježba 026 Kolikom se brzinom giba tijelo čija je masa za mirnog motritelja 80 kg ako je masa tijela u
mirovanju 48 kg
Rezultat 08 middot c
6
Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone
koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =
U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je
1 2
1 212
v v
vr v v
c
+=
sdot+
gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti
Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi
2
1 2 1 1
1 2 1 1 11 22
v cv v v c v c v c v c
v cr v v v c v v c
v c
c v cv v c
c c c cc cc
++ + + + +
= = = = = = = =sdot sdot
+
++
+sdot ++ + +
c vC
Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor
svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rezultat c
Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rješenje 028
m0 10
010 110 0 0 0 0 0100
m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti
Brzina elektrona iznosi
0
20 0110 1101 0 02 2 2
1 12 2110
0
0
mm
m mvm m
c v v
mc
m
mc
=
rArr = sdot rArr = sdot rArrminus
minus minus= sdot
22 2 2
1 1 1 1110 1 1 1
2 22
2110 110 1212
12
v v v
c c cv
c
rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
6
Zadatak 027 (Mira gimnazija) Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina rakete u odnosu na fotone
koje emitira izvor svjetlosti (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rješenje 027 v1 = v v2 = c vr =
U specijalnoj teoriji relativnosti brzina približavanja jedne rakete drugoj (relativna brzina) je
1 2
1 212
v v
vr v v
c
+=
sdot+
gdje je v1 brzina prve rakete v2 brzina druge rakete c brzina svjetlosti
Brzina rakete u odnosu na fotone iznosi
2
1 2 1 1
1 2 1 1 11 22
v cv v v c v c v c v c
v cr v v v c v v c
v c
c v cv v c
c c c cc cc
++ + + + +
= = = = = = = =sdot sdot
+
++
+sdot ++ + +
c vC
Vježba 027 Raketa se giba brzinom v prema izvoru svjetlosti Kolika je brzina fotona koje emitira izvor
svjetlosti u odnosu na raketu (Fotoni se gibaju brzinom svjetlosti c)
Rezultat c
Zadatak 028 (Alen gimnazija) Kolika je brzina elektrona čija je masa 10 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rješenje 028
m0 10
010 110 0 0 0 0 0100
m m m m m m= + sdot = + sdot = sdot c v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti
Brzina elektrona iznosi
0
20 0110 1101 0 02 2 2
1 12 2110
0
0
mm
m mvm m
c v v
mc
m
mc
=
rArr = sdot rArr = sdot rArrminus
minus minus= sdot
22 2 2
1 1 1 1110 1 1 1
2 22
2110 110 1212
12
v v v
c c cv
c
rArr = rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr minus
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
7
2 2 2 21 1 1 121 021
1 12 2 2 2121 121 121 121
v v v v
c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2 2 2
021 021 021 0212 22 2 2121 121 121 1
21
2 1
v v vv c
c c ccrArr minus = minus rArr = rArr rArr =sdot= sdotsdot minus rArr
021 021 0212 2 2042
121 121 121v c v c v c v crArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot
Vježba 028 Kolika je brzina elektrona čija je masa 20 veća od mase mirovanja ako je c brzina svjetlosti
u vakuumu
Rezultat 055 v c= sdot
Zadatak 029 (Miro gimnazija) Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 40 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 24 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 029 m = 40 kg m0 = 24 kg v =
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakumu
Brzina elektrona iznosi
2 210 0 0 01 1
2 22 2 20
1 1 1
1 2
2
2
2
0
m m m mm v
m
vm m
m m mc cv v v
c c c
= rArr = rArr = rArr = minus rArr = minus rArr
minus minus minus
sdot
2 2 2 22 2 22 20 0 0 01 1 1 1
2 2 22
m m m mv v v
v cm m m mc c c
c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 20 0 01 1 1
m m mv c v c v c
m m m
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 224 24 2
1 1 1 06 08 40 40
kkgv c v c v c v c
kg
g
kg
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot
Vježba 029 Kolikom brzinom se giba tijelo čija je masa za mirnog promatrača m = 80 kg ako je masa
tijela u mirovanju m0 = 48 kg (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 08 v c= sdot
Zadatak 030 (Miro gimnazija) Čestica se giba brzinom v = 075 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
8
Rješenje 030
v = 075 middot c
0
m
m=
Jedan je od osnovnih rezultata specijalne teorije relativnosti promjena mase s brzinom Masa tijela
koje se giba veća je od mase tijela koje miruje
2
2
0
1
mm
v
c
=
minus
gdje je m masa u gibanju m0 masa mirovanja v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo omjer masa
1
0
1 10 0
2 2 2 20 0
1 1 1 12 2 2
m m m mm m
m mv v v v
cc
m
c c
= rArr = rArr = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
1 1 1151
2 2 20 0 0 01 075075 075
1 1
m m m m
m m m mc
cc
c
rArr = rArr = rArr = rArr asymp
minussdot sdot minus minus
Vježba 030 Čestica se giba brzinom v = 06 middot c Koliko je puta masa čestice veća od njezine mase u
mirovanju (c je brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 125
Zadatak 031 (Ivana gimnazija) Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 031 m0 = 911 middot 10
-31 kg v = 092 middot c c = 3 middot 10
8 ms p =
Količina gibanja nekog tijela u relativističkoj mehanici ima oblik
0
2
12
m v
p
v
c
sdot=
minus
gdje je m0 masa tijela u mirovanju v brzina tijela c brzina svjetlosti u vakuumu
Računamo količinu gibanja elektrona masa
092 0920 0 0 0
2 2 2 2092 092
1 1 1 12
m v m v m c m cp p p p
v v c
c c cc
c
sdot sdot sdot sdot sdot sdot= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
31 8911 10 092 3 10092 220 642 10
2 21 092 1 092
mkgm c msp kg
s
minussdot sdot sdot sdotsdot sdot minus
rArr = = = sdot sdot
minus minus
Vježba 031 Kolika je količina gibanja elektrona mase m0 = 911 middot 10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
9
Rezultat 22
564 10 m
kgs
minussdot sdot
Zadatak 032 (Ivana gimnazija) Tijelo duljine 100 m giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 1 mm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 032 l0 = 100 m ∆l = 1 mm = 0001 m c = 3 middot 10
8 ms v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Budući da je ∆l kontrakcija duljine tijela koje se giba brzinom v njegova duljina koju promatrač mjeri
iznosi
100 0001 99999 0
l l l m m m= minus ∆ = minus =
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 1 1 10 02
1 2
02 2 2
0 0l
v v l v l vl l l l
l lc c c c
= sdot minus rArr = sdot minus rArr = minus rArr = minussdot rArr
2 2 2 22 2 2
2 21 1 1 1
22
2 2
0 0 0 0
l v v l v lc
lv c
l l l lc c c
rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = sdot minus rArr
sdot
2 2 22 2 2
1 1 1
0 0
0
l l lv c v c v c
l l l
rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus =
2 2 299999 99999 999998 8 8 6
3 10 1 3 10 1 3 10 1 134 10 100 100 100
m m m m m
s
m
m sms s
= sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot sdot minus = sdot
Vježba 032 Tijelo duljine 01 km giba se prema promatraču brzinom v Kolika je brzina gibanja ako je
kontrakcija duljine 01 cm (c je brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rezultat 6
134 10 m
ssdot
Zadatak 033 (Ivana gimnazija) Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10
-31 kg koji se giba brzinom
v = 092 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 033 m0 = 911middot10-31 kg v = 092 middot c Ek =
Ako tijelo u stanju mirovanja ima masu m0 a kad se giba brzinom v masu m onda je njegova
kinetička energija
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
10
( ) 12 21
0 0 2
12
E m m c E m ck k
v
c
= minus sdot rArr = sdot sdot minus minus
Računamo kinetičku energiju elektrona
1 12 21 1
0 02 2
1 12
E m c E m ck k
v v
cc
= sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr minus minus
1 12 21 1
0 02 2092 092
1 1
E m c E m ck k
c
c
c
c
rArr = sdot sdot minus rArr = sdot sdot minus rArr sdot sdot
minus minus
21 12 31 8 13
1 911 10 3 10 1 1272 10 0 2 2
1 092 1 092
mE m c kg J
k s
minus minus rArr = sdot sdot minus = sdot sdot sdot sdot minus = sdot minus minus
Vježba 033 Kolika je kinetička energija elektrona mase m0 = 911middot10-31 kg koji se giba brzinom
v = 09 middot c (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 13
106 10 Jminus
sdot
Zadatak 034 (Ivana gimnazija) Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 3 m i 4 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rješenje 034
a0 = 3 m b0 = 4 m v = 097 middot c P =
Pitagorin poučak
Trokut je pravokutan ako i samo ako je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbroju kvadrata nad
katetama
Ploština pravokutnog trokuta iznosi
P = c sdotsdotsdotsdot h
2P =
a sdotsdotsdotsdot b
2h
c
b a
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
11
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
1 0 2
vl l
c
= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Pravokutan trokut čije su katete a0 = 3 m b0 = 4 m ima hipotenuzu
( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2
3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0
c a b c a b c a b m m m= + rArr = + rArr = + = + =
Računamo duljinu visine h pomoću formula za ploštinu pravokutnog trokuta
metoda 2
komparacije
0
2 0 0 0 0 0 0
2 2 2 20 0
2
0
c hP
c h a b c h a b
a bP
c
sdot=
sdot sdot sdot sdotrArr rArr = rArr = rArr
=
sdotsdot
3 40 0 24 5
0
a b m mh m
c m
sdot sdotrArr = = =
Budući da se pravokutan trokut giba brzinom v duž hipotenuze duljina hipotenuze izgleda kraća za
promatrača A i iznosi
2 2 22097 097
1 1 1 10 0 0 02
v v cc c c c c c c c
cc cc
csdot sdot = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr = sdot minus rArr
2 21 097 5 1 097 1216
0c c m mrArr = sdot minus = sdot minus =
Visina h je okomita na smjer gibanja pa njezina duljina ostaje ista
Ploština pravokutnog trokuta koji se giba brzinom v duž hipotenuze gledano iz sustava promatrača A
iznosi
1216 241216 24 2
1459 2
2
c m h mm m
P mc hP
= =sdot
rArr = =sdot=
Vježba 034 Pravokutan trokut vlastite visine h kateta 6 m i 8 m giba se brzinom v = 097 middot c duž
hipotenuze Kolika je ploština trokuta gledano iz sustava promatrača A
v
c
Ivana )A
Rezultat 5834 m
2
Zadatak 035 (Mario gimnazija)
Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 20 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rješenje 035
l0 l = l0 ndash 20 middot l0 = l0 ndash 020 middot l0 = 080 middot l0 = 08 middot l0 c v =
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
12
mjere
2
1 0 2
vl l
c= sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l duljina
mjerena iz sustava koji miruje
Računamo brzinu gibanja
2 2 2 2
1 08 1 08 1 08 10 0 0
00 02 2 2 2
v v v vl l l l l l
c c c cl= sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr sdot = sdot minus rArr = minus rArr
2 2 2 2 22
08 1 08 1 064 1 1 064 02 362 2
2 2 2
v v v v v
c c c c crArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = minus rArr = rArr
22 2 2 2 2
036 036 036 02
36 06 2
vv c v c v c v
c
c crArr = rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot
Vježba 035 Kolikom se brzinom mora gibati raketa da se skrati za 15 vlastite duljine (c brzina svjetlosti
u vakuumu)
Rezultat 06 middot c
Zadatak 036 (Mario gimnazija)
Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = v = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 8 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu dogantildeaja
za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rješenje 036
v1 = v2 = v = 06 middot c ∆t0 = 8 s ∆t =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti
Ta se pojava zove dilatacija vremena
v v
a)
Budući da se rakete gibaju u istom smjeru jednakim brzinama relativna brzina jedne rakete u odnosu
na drugu je nula Dakle u odnosu na promatrača u prvoj raketi druga raketa miruje pa je onda u njoj
8 0
t t s∆ = ∆ =
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
13
b)
Budući da se druga raketa u odnosu na Zemlju giba brzinom v trajanje odgovarajućeg vremenskog
intervala ∆t0 na Zemlji iznosi
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
t t t tt t t t
v v c
c c
c
cc
∆ ∆ ∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = rArr
sdot sdot minus minus minus minus
80 10 2 2
1 06 1 06
t st s
∆rArr ∆ = = =
minus minus
Vježba 036 Dvije rakete gibaju se u istom smjeru jednakim brzinama v1 = v2 = 06 middot c U prvoj raketi
dogode se dva dogantildeaja u vremenskom intervalu ∆t0 = 16 s Koliko je vremena prošlo izmentildeu
dogantildeaja za promatrača
a) u drugoj raketi
b) na Zemlji (c brzina svjetlosti u vakuumu)
Rezultat 16 s 20 s
Zadatak 037 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 2 T0
(brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 middot 108 ms)
Rješenje 037
T0 T = 2 T0 c = 3 middot 108 ms v =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Brzina čestice u laboratorijskome sustavu iznosi
10 0 02 2 20 02 2 2 2
1 1 1 12 2
2
1
0
2
T T TT T T
v v v v
c c c
T
c
= rArr sdot = rArr sdot = rArr = rArr
minus minus minus minus
sdot
222 2 2
1 1 11 1 1
2 2
22 2
2
2
v v v
c c c
rArr minus = rArr minus = rArr minus = rArr
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
14
2 2 2 2 21 1 1 1 1 4 3
1 12 2 2 2 24 4 4 1 4 4
v v v v v
c c c c c
minusrArr minus = rArr minus = minus rArr minus = minus rArr minus = rArr minus = minus rArr
( )2
3 3 3 32 2 2 2 2
2 4
4
2
4
4
vv c v c v cc
c
rArr minus = minus rArr = sdot rArr = sdot rArr = sdotsdot minus rArr
3 80866 26 10
2
mv c c
srArr = sdot = sdot = sdot
Vježba 037 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 Kolika treba biti brzina čestice u
laboratorijskome sustavu da za promatrača u tome sustavu njezino vrijeme života iznosi 4 T0
Rezultat 2905 108 ms
Zadatak 038 (Mira gimnazija)
Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 2 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rješenje 038
T0 = 2 micros = 2 10-6
s v = 06 middot c T =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazima
20 1
0 22
12
t vt t t
cv
c
∆∆ = ∆ = ∆ sdot minus
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Vrijeme života čestice u laboratorijskome sustavu je
0 0 0 0
2 2 2 206 06
1 1 1 12
T T T TT T T T
v v c
c c
c
cc
= rArr = rArr = rArr = rArr
sdot sdotminus minus minus minus
62 10 60 25 10 25
2 21 06 1 06
T sT s smicro
minussdot minus
rArr = = = sdot =
minus minus
Vježba 038 Vlastito vrijeme života neke čestice iznosi T0 = 4 micros Koliko iznosi njezino vrijeme života u
laboratorijskome sustavu u kojem se čestica giba brzinom 06 c
Rezultat 5 micros
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
15
Zadatak 039 (Lucy gimnazija)
Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 06 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rješenje 039
t1 = 20 god t2 = 50 god t = t2 ndash t1 = 50 god ndash 20 god = 30 god v = 06 middot c
t0 =
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Veza izmentildeu vremenskog intervala ∆t0 u sustavu S0 koji se giba brzinom v u odnosu na sustav S i
vremenskog intervala ∆t u sustavu S odrentildeena je izrazom
0
2
12
t
t
v
c
∆∆ =
minus
gdje je c brzina svjetlosti Ta se pojava zove dilatacija vremena
Budući da blizanac na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan za njega je prošlo 30 godina od odlaska brata
svemirskim brodom
50 20 30 2 1
t t t god god god∆ = minus = minus =
Odgovarajuće vrijeme t0 za blizanca putnika iznosi
220 0 1 1
0 022 2
2
1
1
2
12 2
v
c
t t v vt t t t t t
ccv v
c c
∆ ∆∆ = rArr ∆ = rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus
minus
sdot
minus
minus rArr
2 206 06 2
1 1 1 060 0 0
ct t t t t
c
ct
c
sdot sdotrArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus rArr ∆ = ∆ sdot minus =
230 1 06 24 god god= sdot minus =
Blizanac putnik slavi 44 ndash i rontildeendan
20 24 44 god god god+ =
Vježba 039 Jedan od blizanaca za svoj 20 ndash i rontildeendan otputuje svemirskim brodom brzinom 08 c Brat
na Zemlji slavi 50 ndash i rontildeendan Koji rontildeendan slavi blizanac putnik
Rezultat 38 ndash i rontildeendan
Zadatak 040 (Maturantica gimnazija)
Svemirski brod vlastite duljine 300 m prontildee za 0750 micros pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rješenje 040
l0 = 300 m t = 0750 micros = 75 10-7
s c = 3 108 ms v =
Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz
s v t= sdot
gdje je v stalna konstantna brzina kojom se tijelo giba
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
16
Specijalna teorija relativnosti
bull Svi zakoni fizike su invarijantni (nepromjenljivi isti) u odnosu na svaki inercijski sustav
bull Brzina elektromagnetskih valova u vakuumu je invarijantna (nepromjenljiva ista) u odnosu na
svaki inercijski sustav i ona je najveća moguća brzina u prirodi
Kontrakcija duljina jedan je od temeljnih zaključaka teorije relativnosti prema kojemu se dimenzije
tijela ne mogu apsolutno odrediti Geometrijske izmjere ovise o stanju gibanja sustava u kojem se
mjere
2
10 2
v
l lc
∆ = ∆ sdot minus
gdje je l0 vlastita duljina (duljina u sustavu koji se giba istom brzinom kao i mjereni predmet) l
duljina mjerena iz sustava koji miruje
Svemirski brod vlastite duljine l0 koji se relativno prema promatraču na Zemlji giba brzinom v
izgleda kraći i ima duljinu
2
1 0 2
vl l
c∆ = ∆ sdot minus
Budući da brod prontildee brzinom v za vrijeme t pokraj promatrača na Zemlji vrijedi
l v t∆ = sdot ∆
Iz sustava jednadžbi nantildee se brzina broda
metoda 2komparacij
2 22 1 1
0 0210 2
e 2
l v t
v vv t l v t lv
l l c cc
∆ = sdot ∆ rArr rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
∆ = ∆ sdot minus
( ) ( ) ( )2 2
2 222 221 1
0 02 2
v vv t l v t l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 22 2
10 0 02 2
v vv t l v t l l
c c
rArr sdot ∆ = ∆ sdot minus rArr sdot ∆ = ∆ minus ∆ sdot rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )2
22 2 22 22 2 00 0 02 2
lvv t l l v t l
c c
∆
rArr sdot ∆ + ∆ sdot = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 22 22 22 20 0
20
1
2 0
0
l lv t l v t l
c lt
c
c
∆ ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr sdot ∆ + = ∆ rArr
sdot
∆ ∆ +
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 20 0 02 2 2
2 2 20 0
0
l l lv v v
l l lt t t
c c c
∆ ∆ ∆rArr = rArr = rArr = rArr
∆ ∆ ∆ ∆ + ∆ + ∆ +
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
17
( )
( ) ( )( )
2
3000 0
2 2 22 20 0 2 3007
75 108
3 10
l l mv v
l lt t m
c c sm
s
∆ ∆rArr = rArr = = =
∆ ∆ ∆ + ∆ + minus sdot +
sdot
828
24 108
3 14 10 08
3
108
0
m
scc
m
s
sdot = sdot = = = sdot
sdot
=sdot
Odgovor je pod A
v =
Vježba 040 Svemirski brod vlastite duljine 03 km prontildee za 750 ns pokraj promatrača na Zemlji Kolika
je brzina broda za promatrača na Zemlji (brzina svjetlosti u vakuumu c = 3 108 ms)
08 07 06 05A v c B v c C v c D v casymp sdot asymp sdot asymp sdot asymp sdot
Rezultat A
top related