zagadnienie transportowe

Zagadnienie Zagadnienie transportowetransportowe

Badania OperacyjneBadania Operacyjne

Problem transportowy - zastosowania

• Optymalne planowanie transportu transportu towarówtowarów, przy minimalizacji kosztów lub czasu wykonania zadania.

• Optymalny rozdział czynników rozdział czynników produkcjiprodukcji, w celu maksymalizacji wartości produkcji, zysku lub dochodu.

2

Rozwiązanie dopuszczalne

RozwiązanieRozwiązanie dopuszczalnedopuszczalne – jest to rozwiązanie rozwiązanie

przejścioweprzejściowe. Istnieje wiele rozwiązań dopuszczalnych dla jednego zagadnienia transportowego, przy czym każde kolejne ma lepszy (niższy) lub przynajmniej nie gorszy koszt od poprzedniego.

3

Rozwiązanie optymalne

Rozwiązanie optymalne- Rozwiązanie optymalne- rozwiązanie, które w wyniku daje koszt najniższy do uzyskania poprzez znane nam metody. Jest to rozwiązanie końcowerozwiązanie końcowe. Może istnieć kilka rozwiązań optymalnych dla jednego zagadnienia transportowego - lecz koszt każdego z nich powinien być taki sam.

4

Popyt i podaż

• Łączną ilość dobra dostępną we wszystkich punktach nadania przywykło się określać mianem podażypodaży.

• Łączną ilość dobra, na które jest zapotrzebowanie we wszystkich punktach odbioru nazwiemy popytempopytem.

5

Opis problemu

• RR dostawców pewnego towaru, zaopatruje NN odbiorców.

• Dostawcy dysponują AAii (i = 1,2,...,Ri = 1,2,...,R) jednostkami danego towaru.

• Zapotrzebowanie każdego z odbiorców wynosi BBj j

(j = 1,2,...,Nj = 1,2,...,N) jednostek.

• Każdy dostawcadostawca może zaopatrywać dowolnego odbiorcęodbiorcę.• Każdy odbiorcaodbiorca może otrzymywać towar od dowolnego

dostawcydostawcy.

6

Opis problemu c.d.• Ponadto znane są jednostkowe koszty transportujednostkowe koszty transportu towaru od

i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy

ccijij (i = 1,2,...,R; j = 1,2,...,Ni = 1,2,...,R; j = 1,2,...,N)

UWAGA:

1. Zakłada się, że całkowity koszt transportu jest sumą kosztów transportu na poszczególnych trasach.

2. Cij – może również wyrażać czas transportu lub odległość

Mówimy tu o zagadnieniach transportowych z kryterium czasu, odległości lub kosztu.

7

Matematyczny model zagadnienia transportowego

Oznaczenia:Oznaczenia:xij — wielkość przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy,cij — jednostkowy koszt przewozu towaru od i-tego dostawcy do j-tego odbiorcy,Ai — limit dostaw i-tego dostawcy,Bj — zapotrzebowanie j-tego odbiorcy,m — liczba dostawców,n — liczba odbiorców.

8

0

;,,2,1 ,

;,,2,1 ,

min

1

1

1 1

ij

j

m

iij

i

n

jij

m

i

n

jijij

x

popytodbiorcówdlabilansenjBx

podażdostawcówdlabilansemiAx

transportukosztłącznyxc

Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego

9

Macierz kosztów jednostkowych:

mnmm

n

n

ij

ccc

ccc

ccc

c

21

22221

11211

Zapis tabelaryczny zagadnienia transportowego

10

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWEOTWARTEOTWARTE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWEZAMKNIĘTEZAMKNIĘTE

Zamknięte zagadnienie transportowe

ZamknięteZamknięte zagadnienie transportowe = zbilansowanezbilansowane zagadnienie transportowe

(ZZT)

Z zamkniętym (zbilansowanym zagadnieniem transportowym) mamy do czynienia, gdy łączna podaż jest równa popytowi:

11

j

n

j

m

ii BA

11

Model matematyczny dla ZZT

• warunki dla dostawców:

• warunki dla odbiorców:

• warunki brzegowe:

• funkcja celu:

12

),,2,1( ,1

miAx i

n

jij

),,2,1( ,1

njBx j

m

iij

),,2,1;,,2,1(0 njmixij

min1 1

m

i

n

jijijxc

ZZT - przykład

13

j

n

j

m

i

i BA

11

PODAŻPODAŻ

POPYTPOPYT

Otwarte zagadnienie transportowe

OtwarteOtwarte zagadnienie transportowe = niezbilansowaneniezbilansowane zagadnienie transportowe

(OZT)

• łączna podaż > łączny popyt łączna podaż > łączny popyt – u dostawców zostanie pewna ilość towaru, na którą nie ma zapotrzebowania, a zapotrzebowanie odbiorców zostanie zaspokojone:

• łączna podaż < łączny popytłączna podaż < łączny popyt – zapotrzebowanie odbiorców nie zostanie zaspokojone, mimo,

że dostawcy wyślą cały towar:

14

j

n

j

m

ii BA

11

j

n

j

m

ii BA

11

Model matematyczny dla OZZłączna podaż>łączny popyt

• warunki dla dostawców:

• warunki dla odbiorców:

• warunki brzegowe:

• funkcja celu:

15

),,2,1( ,1

miAx i

n

jij

),,2,1( ,1

njBx j

m

iij

),,2,1;,,2,1(0 njmixij

min1 1

m

i

n

jijijxc

Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt

UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte).

Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego odbiorcy, którego zapotrzebowanie Bn+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn.

W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.

16

n

jj

m

iin BAB

111

OZT - przykład

17

j

n

j

m

ii BA

11

PODAŻPODAŻ

POPYTPOPYT

Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt

c.d.UWAGA:

Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty jednostkowe koszty magazynowaniamagazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).

18

Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt

- podsumowanie

19min

),,2,1;,,2,1(0

),,2,1( ,

),,2,1( ,

1 1

1

1

m

i

n

jijij

ij

j

m

iij

i

n

jij

xc

njmix

njBx

miAx

celufunkcja

brzegowewarunki

odbiorcówdlawarunki

dostawcówdlawarunki

OZTOZT OZT -> ZZTOZT -> ZZT

min

)1,,2,1;,,2,1(0

)1,,2,1( ,

),,2,1( ,

1

1

1

1

1

1

m

i

n

j

ijij

ij

j

m

i

ij

i

n

j

ij

xc

njmix

njBx

miAx

celufunkcja

brzegowewarunki

odbiorcówdlawarunki

dostawcówdlawarunki

Model matematyczny dla OZZ łączna podaż< łączny popyt

• warunki dla dostawców:

• warunki dla odbiorców:

• warunki brzegowe:

• funkcja celu:

20

),,2,1( ,1

miAx i

n

jij

),,2,1( ,1

njBx j

m

iij

),,2,1;,,2,1(0 njmixij

min1 1

m

i

n

jijijxc

Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż<łączny popyt

UWAGA: Algorytm transportowy zakłada, że zadanie jest zbilansowane (zamknięte).

Możliwe jest sprowadzenie OZT do ZZT poprzez dodanie, wprowadzenie fikcyjnego dostawcy, którego zapotrzebowanie Am+1 jest równe nadwyżce podaży nad popytem, tzn.

W funkcji celu minimalizuje się łączne koszty transportu i magazynowania.

21

m

ii

n

jjm ABA

111

OZT - przykład

22

j

n

j

m

ii BA

11

PODAŻPODAŻ

POPYTPOPYT

Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt

c.d.UWAGA:

Mogą być podane dodatkowo jednostkowe koszty jednostkowe koszty magazynowaniamagazynowania u poszczególnych dostawców (ci,n+1) lub też zakłada się, że koszty magazynowania są pomijalnie małe w porównaniu z kosztami transportu (tzn. ci,n+1 = 0).

23

Sprowadzenie OZT do ZZTłączna podaż>łączny popyt

- podsumowanie

24min

),,2,1;,,2,1(0

),,2,1( ,

),,2,1( ,

1 1

1

1

m

i

n

jijij

ij

j

m

iij

i

n

jij

xc

njmix

njBx

miAx

celufunkcja

brzegowewarunki

odbiorcówdlawarunki

dostawcówdlawarunki

OZTOZT OZT -> ZZTOZT -> ZZT

min

),,2,1;1,,2,1(0

),,2,1( ,

)1,,2,1( ,

1

1

1

1

1

1

m

i

n

jijij

ij

j

m

iij

i

n

jij

xc

njmix

njBx

miAx

celufunkcja

brzegowewarunki

odbiorcówdlawarunki

dostawcówdlawarunki

METODY ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA

TRANSPORTOWEGO

25

Metoda kąta północno-zachodniego(górnego lewego rogu)

Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne rozwiązanie dopuszczalne zadania

transportowego.

Nie bierze ona pod uwagę macierzy kosztów, przez co koszt rozwiązania jest dość wysoki w porównaniu

z pozostałymi metodami.

26

Metoda kąta północno-zachodniego- przykład (ZZT)

Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy).

Uwaga koszty zestawiono w tabeli

27

Metoda kąta północno-zachodniego- przykład

28

20

30

10

40

10 15 30 10 35 100100

j

n

j

m

ii BA

11

29

Metoda kąta północno-zachodniego

30

Należy przygotować niewypełnioną tabelę o wymiarze m-wierszy i n-kolumn, gdzie: m - liczba odbiorców, n- liczba dostawców.

Wypełnianie tabelki zaczynamy od pierwszej komórki w górnym, lewym narożniku. Komórce tej odpowiada dana podaż oraz dany popyt. Wybieramy spośród nich mniejszą wartość i wpisujemy ją do komórki.

Następnie należy tę wartość odjąć zarówno od podaży jak i od popytu.

31

10

Min(10;20)=10

10-10=0

20-10=10

0

10

Sprawdzamy, gdzie po odjęciu uzyskaliśmy 0 (w podaży czy w popycie). Jeżeli wyzerował się popyt to w danej kolumnie wpisujemy w resztę komórek zera. Jeżeli wyzerowałaby się podaż to należałoby wpisać zera w resztę komórek w danym wierszu. W tym przypadku wyzerował się popyt więc należy wypełnić resztę komórek w pierwszej kolumnie zerami.

32

Idziemy do kolejnej wolnej komórki i powtarzamy całą procedurę, aż do pełnego wypełnienia całej tabeli.

33

Uzyskujemy wówczas rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementami nie bazowymielementami nie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe.

Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanymzdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie niezdegenerowaneniezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem).

34

Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą metodą. Koszt wyliczamy przemnażając dany element tablicy kosztów z danym elementem naszego rozwiązania po czym wartości te sumujemy.

35

Metoda kąta północno-zachodniego- przykład (OZT)

Firma przewozowa (np. mąki) ma kontrakt z trzema magazynami (M1, M2, M3) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 100, 50 i 80 tonami mąki. Natomiast 4 piekarnie (P1, P2, P3, P4) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 40, 60, 50 i 50 ton mąki. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić mąkę, znając koszty drogi od danego magazynu (dostawcy) do każdej piekarni (odbiorcy).

36

37

j

n

j

m

ii BA

11

Ponieważ algorytm transportowy zakłada zbilansowanie popytu i podaży, zatem OZT zamieniamy na ZZT. Ponieważ zatem wprowadzamy jednego fikcyjnego odbiorcę

(dodatkową piekarnię).

38

j

n

j

m

ii BA

11

3020023011

5

n

jj

m

ii BAB

dodatkowe założenie o kosztach

magazynowania

Nowy model matematyczny:

39

• funkcja celu:funkcję celu rozszerzamy o dodane składniki

Dalej rozwiązujemy metodą kąta pn.-zach. (lub później najmniejszego elementu)

Metoda najmniejszego elementu

Pełna nazwa to metoda najmniejszego elementu w macierzy

kosztów.

Metodą tą uzyskamy rozwiązanie dopuszczalne dopuszczalne zadaniazadania transportowegotransportowego. Bierze ona pod uwagę macierz kosztów dzięki czemu zazwyczaj (ale nie zawsze) daje w

wyniku niższy koszt rozwiązania niż koszt rozwiązania metodą kąta pn.-zach.

40

Metoda najmniejszego elementu - przykład

Firma przewozowa (np. czekolady) ma kontrakt z czterema producentami czekolady (P1, P2, P3, P4) z różnych miast dysponuje odpowiednio: 20, 30, 10 i 40 paletami czekolady. Natomiast 5 hurtowni (H1, H2, H3, H4, H5) z innych miast chętnie kupią odpowiednio: 10, 15, 30, 10 i 35 palet. Mamy jak najmniejszym kosztem porozwozić wszystkie palety, znając koszty drogi od danego producenta (dostawcy) do każdej hurtowni (odbiorcy).

Uwaga koszty zestawiono w tabeli41

Metoda najmniejszego elementu - przykład

42

Zaczynając od góry szukamy pierwszej komórki o najmniejszym koszcie, odznaczamy ją.

Komórce tej odpowiada jedna wartość podaży oraz popytu. Wybieramy spośród nich wartość mniejszą i odejmujemy ją zarówno od danej komórki popytu jak i komórki podaży.

43

Min(20;30)=2030-20=10

20-20=0

Wyniki wpisujemy do nowej tabeli, tak, że wartość minimalną wpisujemy w komórkę, która odpowiada komórce z minimalnym kosztem w tabeli kosztów.

Następnie sprawdzamy, która wartość (popytu czy podaży) wyzerowała się. Jeżeli wyzerowała się podaż to wstawiamy zera w resztę komórek w tym wierszu, jeżeli popyt to wstawiamy zera w resztę komórek danej kolumny.

44

Następnie bierzemy tabelkę kosztów i zakreślamy na niej komórki, które wypełniliśmy zerami w tabelce wyników.

Następnie szukamy w niej następnego minimalnego kosztu (pomijając zakreślone komórki).

Dalej postępujemy analogicznie jak w etapie pierwszym.

45

46

Procedurę powtarzamy do momentu uzupełnienia całej tabeli.

47

48

49

50

51

Uzyskaliśmy rozwiązanie dopuszczalne. Wszystkie zerowe elementy (bierzemy pod uwagę te zera, które wpisaliśmy jako uzupełnienie tabeli) rozwiązania nazywamy elementamielementami nie bazowyminie bazowymi. Natomiast elementami bazowymi elementami bazowymi nazywamy wszystkie elementy niezerowe.

Przy czym el. bazowych powinno być m+n-1 (5+4-1=8),wówczas rozwiązanie nazywamy zdegenerowanymzdegenerowanym. W innym przypadku rozwiązanie będzie niezdegenerowane, a my nie będziemy w stanie sprawdzić jego optymalności metodą potencjałów (wyjątkiem jest przypadek w którym jeden z elementów bazowych jest zerem).

Na koniec należy policzyć koszt jaki uzyskaliśmy tą metodą. Koszt wyliczamy w analogiczny sposób jak w przykładzie z użyciem metody kąta północno-zachodniego.

52

ODP.: koszt rozwiązania dopuszczalnego wynosi 225.

Porównując koszty rozwiązań metodą kąta pn.-zach.i najmniejszego elementu zauważymy, że wynik nie jest najgorszy (ani najlepszy).

W odróżnieniu od metody kąta pn. - zach. w metodzie najmniejszego elementu bierzemy pod uwagę macierz kosztów.