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Pa b l o A m s t e r

APUNTES MATEMTICOSPARA LEER A LACAN

2. Lgica y teora de conjuntos


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Amster, Pablo

Apuntes m atemticos para leer a Lacan : 2. Lgica y teora de

conjuntos

- Ia ed. - Buenos Aires: Letra Viva, 2010.218 p . ; 22 x 14 cm.

ISBN 978-950-649-271-7

1. Psicoanlisis. I. TtuloCDD 150.195

E d i c i n a l c u i d a d o d e L e a n d r o S a l g a d o

2010, Letra Viva, Librera y EditorialAv. Coronel Daz 1837, (1425) C. A. de Buenos Aires, Argentina

e - m a i l : [email protected] / w e b p a g e : www.imagoagenda.com

2010, Pablo [email protected]

Primera edicin: marzo de 2010

Impreso en Argentina - Printed in Argentina

Queda hecho el depsito que marca la Ley 11.723

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra bajo cualquiermtodo, incluidos la reprografa, la fotocopia y el tratamiento digital,sin la previa y expresa autorizacin por escrito de los titulares delcopyright.


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't*

Estoy convencido de que todo autntico terico es unaespecie de metafsico en estado de domesticidad, por muy positivistapuro que se pueda tener a s mismo. Elmetafsico tiene la creencia de que lo lgicamente sencilloes tambin lo real; el metafsico domesticado no cree que todo cuanto sea lgicamente sencillo haya de tomar cuerpo en la realidad sensible, pero s que la totalidadde la experiencia sensorial puede entenderse a partir

de un sistema conceptual construido sobre premisas de suma simplicidad. El escptico dir que esto es un credo milagroso" Reconozcamos que as es, pero tambin se trata de un credo milagroso confirmado en asombrosamedida por el desarrollo de la ciencia.

Al b e r t E i n s t e i n

Hay suficiente metafsica en no pensar en nada.

Al b e r t o C a e i r o


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In d i c e

Pr e f a c i o ..........................................................................................9

Ca p t u l o 1. No c io n es b s ic a sd e l g i c a ............ ................... 131.Definicin de la definicin ............................... ................142.Qu significa significar?......... ............................. .153.Las leyes del pensamiento ....................184.Deduccin, induccin, abduccin..................................215-Lgica aristotlica............ .................................................25.Enunciados categricos....................................................317-Cuadrante de Peirce ........ .................................................338.Silogismos.................................................................... . 3 49.Sintaxis y semntica de los lenguajes formales ...........38

o.Tablas de verd ad ............ ............................................4 0u.Leyes lgicas..................................................................... 4312.Variables libres y cuantificacin ............................. 4913.lgebra de cla ses ...................................................... . 5 4

Ca p t u l o 2. La i n d u c c i n m a t e m t i c a ye l s is t e m a d e Pe a n o .............................................................59

Ca p t u l o 3. La s r e g l a s d e a l -ja b a r yFi b o n a c c i r o b a d o . 71Fibonacci robado ................................................................ 78De los conejos ureos a lo imaginario ........................................ .............81

Ca p t u l o 4. La d e m o s t r a c i n d i a g o n a l :u n a c r u z a d a c a n t o r i a n a.............. ....................................... 87

.Un antecedente socrtico ......................... 882.Las paradojas de la identificacin............ ......................90

3.... y sin embargo, se coordina .........................................924.EI bicho de lo no-numerable.......... .. 94E l


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Eplogo 9 7

Ca p t u l o 5. La v id a s in l a b o l s a :AUTORREFERENCIA Y TEOREMAS DE GDEL........ ......................OI

Uno. Breve referencia sobre Epimnides........ ..................101Dos. Breve referencia sobre la referencia:Quine y Gdel........ ....................................... ..................... 103Tres. Proposiciones indecidiblesy teorema de G d e l........................................................ . 107Cuatro. Cul es el ttulo de esta seccin?. . ................. .110Cinco. Los lenguajes formales ............................................112Seis. Un pase mgico................................ .......................114

Siete. La liebre de M arzo .....................

............................118Ocho. Autorretrato de m m ism o ...................................122Eplogo, y nueva gdelizacin....................................... .128

Captulo 6. Breve presentacin de c a s o s ........................ 135Segundo caso. Un caso de inconsistencia..........................137Tercer caso. Un caso de metonimia.................................... 141

Cuarto caso. Un caso de metfora.....................................147Quinto caso. Un caso al margen ................................ .. 151Sexto caso. Ramanujan, y otros casos. ....................... .160

Captulo 7. La religin, o r d i n e M ATH EM ATI CA D EM O NSTRATA .......................... ................... i 69

La creacin ..................................................................................... 170Ciencia, Matemtica, Religin........................................173

Un Dios tautolgico...................... .................

..................177Imagen y Semejanza ..........................................................179Consistencia, Inconsistencia. ...........................................186

Ca p t u l o 8. Pa s c a l, a h a r n y l a po t e n c ia d e l d o s . . . . .189Eplogo ......................................................................... .. 2x2

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P r e f a c i o

En este libro se presentan diversos temas de la Matemtica;

ms precisamente, de Lgica, Teora de Conjuntos y algunos as-pectos de su filosofa.

Los primeros cuatro captulos se ocupan de las cuestiones msgenerales de la lgica, desde las primeras formulaciones aristo-tlicas hasta los desarrollos actuales de Boole, Peano, Frege, et-ctera. Se habla tambin de la teora de nmeros naturales, el l-gebra, y ciertos aspectos relacionados con los sistemas sintcti-cos introducidos por el psicoanalista francs Jacques Lacan en elSeminario sobre La carta robada.

El siguiente captulo comprende una exposicin informal delos clebres teoremas de incompletitud de Gdel, y su incidenciaen los ms variados campos, en especial el del lenguaje y el Psi-coanlisis. Esto lleva a reflexionar sobre ciertos temas que parti-cipan de modo esencial en dichos teoremas: en especial, el de laparadoja, de gran importancia en el desarrollo del pensamiento

filosfico. A modo de conclusin se ver que, en cierto modo, ladisyuntiva gdeliana entre incompletitud e inconsistencia pue-de ser contemplada desde la perspectiva de la lgica clsica comoaquello que Lacan denomin una eleccin forzada.

El captulo posterior abarca, al modo de las presentacionesclnicas, una serie de "casos" matemticos. Se plantean all di-


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L g i c a y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa b l o Am s t e r

ferentes asuntos, como el del infinito y losAlefs,el problema dela metfora y la representacin, para concluir con una pregunta:cmo piensa un matemtico?

El ttulo del captulo 7 evoca a la Etica de Spinoza, y refiereuna serie de puntos en comn entre las teoras matemticas yel texto bblico. Dijo Yojann Ben Zacai: no hay verdad sin unafe sobre la que pueda apoyarse; como veremos, en cierto senti-do esta afirmacin concierne tambin a las verdades matemti-cas. Dios segn Lacan, inconsciente se define en concordan-cia con la nocin lgica de tautologa. Por otra parte, la tradi-

cin sostiene que su Nombre es indecible; la teora de conjun-tos creada por el ruso Georg Cantor brinda argumentos capacesde sustentar este hecho.

Finalmente, el ltimo captulo es quiz el que ms resonan-cias despertar en el lector lacaniano; su lectura puede plantear-se al modo de un ejercicio interpretativo. Por otra parte, se hacemencin explcita de diferentes materias desarrolladas por Lacan, especialmente en los Seminarios XIX y XX: el tringulo de

Pascal, la simetra y lo especular, y la lgica modal, muy conec-tada a la lgica temporal. Esto es algo que Lacan hace notar ensus conocidas frmulas:

no cesa de escribirse no cesa de no escribirsecesa de escribirse cesa de no escribirse

Hay una frase del seminario ...ou pireque se ha hecho clebre: no hay enseanza ms que matemtica, el resto es broma.Al margen de las muy dispares valoraciones que existen sobrela enseanza lacaniana, este trabajo busca -un poco en broma-

apoyar esta postura, ofreciendo algunos elementos que ayudena abordarla.

El lector advertir que determinados temas se repiten en distintos captulos; tal repeticin obedece a la finalidad de que cada

seccin se encuentre autocontenida y pueda ser as leda en forma independiente.

Para concluir estas lneas, vale la pena sealar que el nimoque gua a esta obra es el de la Matemtica entendida como unade las ms grandes expresiones de la humanidad, fruto de las pa-siones ms encendidas y de la bsqueda incesante. Una bsque


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Pr e f a c i o


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C a p t u l o i

N o c i o n e s b s i c a s d e l g i c a

En este captulo describiremos algunos de los aspectos gene-rales de la lgica, desde las primeras formulaciones aristotlicashasta los desarrollos iniciados en el siglo XIX por autores como

Boole, Peano y Frege, entre otros.Para empezar, es oportuno destacar que cualquier reflexin

ms o menos seria acerca del pensamiento obliga a justamentea pensar: muy especialmente, a pensar sobre el lenguaje. Segnciertos autores, de la escuela denominadaform alista,toda la L-gica no es ms que un lenguaje bien hecho; por ejemplo, ese es elsingular parecer de aquel grupo de matemticos formalistas au-todenominado Nicols Bourbaki:

... la Lgica, en lo que como m atem ticos nos concierne, no es msque la gram tica del lenguaje que empleam os, un lenguaje que tuvoque existir antes de que la gram tica pud iera ser construida...

Ms all de la Matemtica, que Russell intent presentar comoun mero captulo de la Lgica, el debate filosfico del siglo XXencontr a un Wittgenstein profundamente implicado en estas

cuestiones:

La filosofa es un a lucha contra el emb rujamientode nuestra inteligencia por el lenguaje.

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L g i c a y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa i i u ) Amst kk

Es claro que el lenguaje excede a la Lgica, hasta tal punto queel ms completo de los sistemas, si es consistente, resulta infali-blemente burlado por el mecanismo gdeliano que permite cons-truir una proposicin indecidible y revelar as su incompletitud1.Como sea, vale la pena hacer un breve recorrido por las principa-les consideraciones lgicas en torno al lenguaj e, en particular so-bre la definicin y algunos aspectos de la semntica.

Comenzaremos por ocuparnos del razonamiento y el clcu-lo lgico. Tambin efectuaremos algunos comentarios acerca deciertos razonamientos muy conocidos, invlidos pero sumam en-

te valiosos, como la inducciny especialmente aquella sugestivaforma introducida por Peirce: la abduccin.Finalmente, veremosalgunas nociones sobre el clculo proposicional, las tablas de ver-dad, las leyes lgicas, la cuantificacin y el lgebra de clases.

i. D e f i n i c i n d e l a d e f i n i c i n

En el lenguaje comn, definir consiste en explicar el sig-nificado de un trmino. Pero la matemtica y la lgica, o me-jor dicho sus tropiezos, muestran que hace falta tener bastantems cuidado. Esto justifica quizs la anterior frase de Bourbaki, que postula la preexistencia del lenguaje a la construccinde la gramtica.

No profundizaremos aqu sobre este problema, aunque valela pena sealar que la definicin esconde alguna imposibilidad.

Es lo que han probado los lgicos del siglo XX, aunque de algunamanera ya lo saban los antiguos: definir implica delimitar, po-ner en el dominio de lo finito una infinitud de propiedades. Ta-les dificultades haban llevado a los filsofos platnicos a ensa-

yar aquella definicin que se hara clebre:

El hombre es un bpedo implume.

Una versin sin duda falaz cuenta la no menos clebre respuestaque a tan acadmica audiencia ofreci Digenes el cnico, cuandoarroj al estrado un pollo desplumado al tiempo que profera:

i. Ver captulo 5.

M


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N (>< I O N I S D N I CA S D E M t o l C A

I le aqu al hombre de Platn.

Tal como ocurre ante su respuesta a las aporas de Zenn (elmovimiento se demuestra andando, frase que supuestamentepronunci unos ochenta aos antes de desplumar al pobre po-llo), se suele reprochar a Digenes el no haber entendido la ver-dadera esencia del problema. De todas formas debemos conve-nir que la definicin de Platn resulta un tanto amplia:las propie-dades empleadas para definir el concepto, aunque verdaderas, noson suficientes para distinguirlos por completo de otras entidades

(los pollos desplumados). De acuerdo con el identitas indiscerni-bilium indiscernibilidad de los idnticos formulado por Leibniz, si dos cosas son distintas debe existir alguna propiedad queno sea comn a ambas, lo que permite estrechar un poco la de-finicin, por ejemplo:

El hombre es un bpedo implume que no cacarea.

Vale la pena aclarar que en el afn de distinguir se corre elriesgo de caer en definiciones demasiado estrechas, que no lle-gan a abarcar la totalidad de objetos que se quieren definir, porejemplo:

El hombre es un bpedo implume de36 aos que se llama Enrique.

2. Qu s i g n i f i c a s i g n i f i c a r ?

En los prrafos anteriores hemos dicho, vagamente, que defi-nir consiste en explicar el significado de un trmino. Ahora bien:qu significa significar? Este tema constituye el campo de la

semntica,cuyas consideraciones fundamentales pueden encon-trarse en autores como Frege, Tarski, Quine, Davidson, etctera.Mencionemos brevemente aquella distincin elemental que es-tablece dos sentidos diferentes para la nocin de significado:

En un sentido extensional o denotativo, el significado es elconjunto de objetos (extensin) a los cuales la definicin pue-de aplicarse.


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I.GICA y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa b l o Am s t e r

En un sentido intensionalo connotativo, el significado con-siste en las propiedades que son comunes a los objetos que cons

t i Luyen la extensin.Conviene tener tambin en cuenta la distincin entre significaciny referencia',segn cita Quine (1984),

...los problem as de lo que genricamente se llama semn tica qu edan divididos en dos provincias tan fundamentalmente diversasque no merecen una apelacin comn. Se las puede llamar teora de la significacin y teora de la referencia. Sem ntica sera un

nom bre excelente para la teora de la significacin, si no fuera porel hecho de que algu nas de las mejores obras de la llam ada sem n tica, espec ialmente la de Tarski, pertenecen a la teora de la referencia. Los principales concep tos de la teora de la significacin, ap arte del de significacin mismo, son los de sinonimia (o igualdad designificacin), significancia o significatividad (posesin de significacin) y ana liticidad (verdad por virtud de la significacin). Otroes el de implicacin, o analiticidad del condicional. Los principa

les conceptos de la teora de la referencia son los de nombrar, verdad, denotacin (o ser-verdadero-de) y extensin. Otro es la nocin de valores de variables.

Es fcil ver que un trmino puede tener connotacin y no de-notacin: por ejemplo, podemos definir al mangrejocomo la pocoafortunada cruza entre una manguera y un cangrejo. La palabra,

aunque desusada, tiene connotacin: su significado es claro y noinduce a errores. Sin embargo, nada hay en el universo que me-rezca ser llamado mangrejo, y entonces su denotacin es vaca:esto muestra, entre otras cosas, que la definicin de una entidadno implica su existencia.

Ejemplos similares abundan en la obra de L.Carroll, bajo el fa-moso apelativo depalabras-maletn.Muchas de ellas aparecen en

el poemaJabberwocky,minuciosamente explicado por HumptyDumpty en el captulo VI deA travs del espejo.Aunque debe-mos decir que para este personaje la idea de significado difiereun poco de la que hemos expuesto:

Cuando yo uso una palabra -dijo Hum pty Dumpty en tono algo de spectivo-, esa palabra significa exactamente lo que yo quiero que sig


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N o c i o n e s DNICAS d e l g i c a

Tambin Quine hace un planteo al respecto, e intenta ver lasconsecuencias de definir a Pegaso de distintas maneras; entreellas una muy sugestiva: la cosa que pegasea. Pero si asumimos

como alguna vez hicimos con los Reyes Magos o el Ratn P~rez que Pegaso no existe, dicha inexistencia tiene un carctermuy diferente a la que muestra este otro ejemplo:

La redonda cpu la cuad rada d el Berkeley College.

En efecto, aqu el objeto definido no puede existir pues supropia definicin presenta una contradiccin (ver Quine, op.

cit., Acerca de lo que hay).Vale la pena mencionar tambin quela cuestin antes sugerida de que la esencia no implica la exis-tencia permiti a Spinoza demostrar la unicidad de Dios. El fi-lsofo entiende a Dios como una sustancia, cuya esencia es exis-tir; y un ser cuya esencia es existir necesariamente existe. Lue-go, aduce que una definicin no establece el nmero de indivi-duos que la satisfacen: de este modo, si hubiera por ejemplo ca-torce dioses se tendra que la existencia de trece de ellos sera in-

necesaria. Eso contradice la definicin de sustancia; existe, pues,un nicoDios2.

En Matemtica, los sentidos denotativo y connotativo se venreflejados en las dos formas de definir a un conjunto, por com

prensiny por extensin:

A = { x / x e su n nmero natural impar menor que 10 }(por comprensin)

o bien,

A ={ i,3, 5, 7, 9} (por extensin).

Es claro que las dos definiciones describen un mismo con-junto, la primera de ellas dando una explicacin o descripcinde su contenido, y la segunda haciendo una lista de sus elemen-

2 . Para Spinoza es fundamental el concepto de un Dios cuya esencia envuelve a laexistencia, poniendo en juego la distincin aristotlica entre particulares y universales. Bajo esta distincin, la existencia queda del lado de lo particular, mientras que la esencia corresponde a lo universal.

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tos3. Esta ltima se caracteriza por su unicidad: si bien existeninfinitas maneras diferentes de definir por comprensin, la ex-tensin es siempre nica.

La mezcla de denotacin y connotacin da lugar a confusio-nes y aparentes paradojas, como las que describe Quine en su ar-tculo Referencia y Modalidad4. La discusin se centra en uno delos principios ms bsicos de la Lgica, que sin embargo a menu-do se manifiesta ineficaz; por eso Quine lleg a postular la exis-tencia de ciertas semientidades crepusculares a las cuales no seaplica el principio de identidad.

3. La s l e y e s d e l p e n s a m i e n t o

Esta seccin lleva el mismo ttulo que la famoso libro del lgi-co ingls G. Boole, considerada por los historiadores como el pri-mer desarrollo de la lgica formal. Pero debemos decir que Thelaws ofThoughtera un ttulo demasiado ambicioso, y la propiaLgica no tardara en revelar que las ansiadas leyes no existen.Claro que eso no significa que pensemos sin ley alguna (al menosno siempre); sin embargo, los mtodos lgicos se toparon muypronto con sus propias limitaciones y sufrieron su golpe defini-tivo con los sucesivos teoremas de Godel, Tarski, Church, segn

veremos ms adelante. De cualquier modo, es justo reconocer enla obra de Boole el nacimiento de la Lgica. Es interesante men-cionar que pocos aos antes de la aparicin de su obra, el filsofoalemn Immanuel Kant haba asegurado que la Lgica

...segn toda verosimilitud, parece esta r conclusa y perfecta.

3. La palabra lista es aqu empleada informalmente; debe ser entendida simple

mente como una anotacin minuciosa de objetos, pero sin que ello impliqueuna sucesin. Existen conjuntos cuyos elementos no pueden escribirse en forma sucesiva: son los que Cantor denomin conjuntos no numerables,como elde los nmeros reales. Esta denominacin surge por oposicin a los conjuntosnumerables (por ejemplo, los nmeros naturales), cuyo cardinal o cantidad deelementos es el conocido K0(alef cero). Veremos ms sobre esto en el captulo 4. Cabe aclarar tambin que la anterior definicin por comprensin no esdel todo correcta, pues emplea aquel axioma que Cantor denomin de abstraccin, y es causante de la paradoja de Russell. En las prximas pginas veremos


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NOI'IONI'.N hA SIC A S l i l i LGICA

De algn modo, debe haber hecho falta este anuncio de Kantpara que los matemticos se dispusieran por fin a sentar las ba-ses de esta disciplina.

Qu es razonar? Para responder a esta pregunta nos remon-taremos a los primeros esbozos que fueran trazados en tal direc-cin, aquellos que fomentaron el entusiasmo kantiano: nos refe-rimos a la obra de Aristteles, cuyo sistema de reglas para el razo-namiento mantuvo su vigencia por unos cuantos siglos.

En primer lugar, cabe sealar otro aspecto ligado al lengua-je, ms precisamente a sus usos: si bien en la escuela todos he-mos aprendido que el lenguaje puede ser informativo, expresivoo directivo, no parece muy probable establecer un razonamien-to con premisas tales como Qu mirs?, o Sonate la nariz. Enotras palabras, es razonable suponer que los enunciados que in-teresan a la Lgica son siempre oraciones declarativas. Los razo-namientos se basan en las relaciones entre las llamadasproposiciones o enunciados predicables, es decir, enunciados a los quese puede asignar un valor de verdad.

Un mrito muy destacable de Aristteles consiste en haber trans-formado al razonamiento o al menos buena parte de l en un clculo,convirtiendo a los problemas lgicos en ejercicios de aplica-cin de un conjunto de reglas. Esta idea es fiel a la etimologa de lapalabra razn en tanto encierra una ratio odivisin: para detec-tar la validez de un argumento nada mejor que dividirlo en premi-sas y conclusiones, que a su vez pueden resultar premisas de nue-

vas conclusiones. Al cabo de tanta divisin se obtiene aquella uni-dad mnima denominada silogismo,que consiste en dos proposi-ciones (premisas), de las cuales se deriva, a partir de ciertas reglasde inferencia, una tercera proposicin llamada conclusin. El cum-plimiento de dichas reglas es fundamental, al margen de la verdadde las proposiciones intervinientes: podemos decir que las premi-sas deben ofrecer, de alguna forma, unapruebade la conclusin ala que se llega. El siguiente es un razonamiento vlido

Todos los gatos son mamferos.Todos los mamferos son animales.Luego, todos los gatos son animales

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aunque tambin lo es este otro:

Todo buen ciclista lee a Kierkegaard.Los que leen a Kierkegaard no escuchan operetas.Luego, ningn buen ciclista escucha operetas.

Como se ve, lo que importa en la relacin entre las premisas yla conclusin es el aspecto sintctico y no el semntico. Pero al-guna relacin entre los enunciados tiene que existir: compare-mos por ejemplo las frases:

Desde el da en que vi Tiburn me da miedo meterme al agua.Desde el da en que vi Tiburn sal con mi novia tres o cua

tro veces.

En la primera hay implcito un razonamiento, puesto que laconclusin parece seguirse de la premisa vi Tiburn;en cam-

bio, la segunda frase indica entre los dos enunciados una rela-cin temporal, pero no lgica.En virtud de los ejemplos que hemos visto, cualquier persona

seria podra poner en duda el valor de los mtodos lgicos: ciclis-tas que leen a Kierkegaard y no escuchan operetas, qu es eso?Bien podra decirse que la Lgica permite decir cualquier clasede disparate, siempre que se trate de un disparate lgico. Qui-zs por eso Russell dijo:

Las m atem ticas son una ciencia en la que nunca se sabe de qu sehabla, ni si lo que se dice es verdadero.

Por otro lado, despus de haber comprobado la validez de al-gunos silogismos no es difcil comprender el sentido de la msfamosa de sus frases:

La m atemtica es una vasta tautologa.

Famosao no, la aseveracin no quita va lrala Matemtica. Hayalgo que queda absolutamente garantizado por la correccin de unrazonamiento: si se parte de premisas verdaderas, entonces la con-clusin es verdadera. Se suele acusar a los mtodos lgicos de no


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N i H' IONI N IiAS ICAS lili I.tilCA

.irrogar nada a nuestros conocimientos: si al comienzo sabemosque todos los mamferos son animales,y tras un clculo obtene-

mos por resultado que todos los gatos son animales,terminamos elivv/.onamiento sabiendo menos de lo que ya sabamos. Desde estaperspectiva la lgica no agrega, sino que en algn sentido resta:eso justifica el hecho de que la operacin lleve un nombre tan sig-nificativo como deducir. Sin embargo, la acusacin deja de ladoun aspecto fundamental de los mtodos lgicos: brindar una ma-nera efectiva de refutarun enunciado. Nada hay en la Lgica quepermita validar las leyes de las ciencias empricas, pues para veri-

ficar una afirmacin universal deberamos ser capaces de compro-bar su verdad caso por caso, y eso es imposible. Pero es muy fcilfalsear un enunciado: si un razonamiento lleva a una conclusinfalsa, entonces es falsa alguna de las premisas. En esta elementalobservacin se basa el falsacionismo de Karl Popper.

4. D e d u c c i n , i n d u c c i n , a b d u c c i n

En la seccin precedente hemos dado una breve descripcinde lo que para la Lgica significa razonar, haciendo hincapi enla propiedad principal que tienen los razonamientos vlidos: si laspremisas son verdaderas, las conclusiones tambin lo son. Sin em-bargo, hay otras formas de llegar a conclusiones, que son invlidas

desde el punto de vista lgico, pero no por eso menos importantes.Se las suele denominar tambin razonamientos aunque en rigorno lo sean; conviene llamar entonces al anterior razonamiento deductivo,para distinguirlo de otras dos formas no vlidas, conocidascomo razonamiento inductivoy razonamiento abductivo.

A diferencia de la deduccin, la induccin no brinda certezaalguna respecto de la verdad de las conclusiones, aunque en oca-siones establece una cierta probabilidad. El razonamiento induc-

tivo consiste, a grandes rasgos, en extraer alguna ley general a par-tir de determinado nmero de casos particulares. Como hemosanticipado, gran parte de las leyes de la ciencia se formulan enbase a algn mtodo inductivo; un enunciado bastante elemen-tal de la zoologa, por ejemplo

Los osos tienen cuatro patas,


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LGICA y TEORA d e c o n j u n t o s Pa b l o Am s t e r

se apoya en el hecho de que tal propiedad se ha verificado inva-riablemente en todos los casos observados, aunque no hay im-

pedimentos de orden lgico a la aparicin futura de osos quintpedos5.Dijimos antes que la deduccin resta; en la induccin, en

cambio, la conclusin dice siempre ms de lo que dicen las pre-misas. Se suele decir que la induccin va de lo particular a lo ge-neral" contrariamente a la deduccin, que va de lo general a loparticular. Comparemos el contundente silogismo

Todos os gatos son simpticosFlix es un gatoluego, Flix es simptico

con un razonamiento inductivo, a todas luces ms sospechoso:

Flix es un gato

Flix es simpticoluego, todos los gatos son simpticos.

Desde el punto de vista prctico, quizs sea aventurado dar unaley general a partir de una nica observacin; al menos, la con-clusin parece reforzarse si presentamos ms argumentos:

Flix es un gatoy es simpticoTom es un gato y es simpticoEl gato Barbieri es un gato y es simptico

luego, todos los gatos son simpticos.

De cualquier forma, siempre queda abierta la posibilidad deque alguien venga y nos arruine todo al anunciar:

5. De todas maneras, negarse a admitir la ley como verdadera podra ser visto poralgunos como una necedad, algo as como buscar la quinta pata al oso. Un carcter diferente presentan enunciados tales como

Los cuadrpedos tienen cuatro patas,cuya verdad es tautolgica. En efecto, la propiedad de tener cuatro patas no esotra cosa que la definicindel concepto cuadrpedo.


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El gato de mi cuada es un gato;no obstante, resulta un animal de lo ms hurao.

Como caso particular de induccin, debemos recordar tam-bin el razonamientopor analoga,que consiste en extraer con-clusiones sobre determinado problema o situacin en base a re-sultados obtenidos en condiciones similares. Por ejemplo, siXey tienen alguna propiedad en comn, entonces podemos aven-turar que otras propiedades de X son tambin aplicables a Y.Pero como ocurre en cualquier aventura, el resultado final pue-de ser un desastre: el mtodo no ofrece las seguridades que ofre-ce la buena lgica.

Conviene sealar la diferencia entre esta clase de razonamien-to inductivo y la induccin matemticaque, como veremos en elcaptulo 2, constituye una propiedad bsica de los nmeros na-turales. Tambin se extiende aunque esto es ms complicadoa conjuntos ms generales: se trata del llamado principio de in

duccin transfinita.Es posible dar todava otra vuelta al esquema anterior:

Todos los gatos son simpticosFlix es simpticoluego, Flix es un gato

Este nuevo razonamiento, denominado abductivo, presentaun defecto muy fcil de descubrir: es claro que el tal Flix bienpodra haber sido un canario, un elefante o un individuo simp-tico de cualquier clase. La propiedad de ser gato se convierte asen una causa posible de la simpata de Flix, pero no necesaria-mente la nica.Se suele describir a la inferencia abductiva comola lgica de la mejor explicacin": por ejemplo, si nuestros invi-

tados se presentan en casa completamente mojados, podemosextraer la conclusin de que afuera est lloviendo. Esto signifi-ca que hemos optado por una posibilidad que nos pareci razo-nable, descartando otras menos verosmiles: un vecino que rie-ga sus plantas con descuido, o alguna travesura infantil con lamanguera del garaje. Aunque en este caso no se trate de una con-clusin especialmente lcida, la abduccin resulta de vital im-portancia tanto en la ciencia como en cualquier clase de inves


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portancia tanto en la ciencia como en cualquier clase de inves-

\ICA Y TEORA DE CONJUNTOS Pa b l o Am s t e rtigacin: tal es la forma de proceder de Sherlock Holmes, cuan-do reconstruye una situacin a partir de ciertos indicios. Estoguarda relacin con el origen etimolgico de la palabra inves

tigar,proveniente del latin investigare,y en definitiva de vestigium:si leemos esto al pie de la letra,descubriremos que signi-fica, justamente, planta del pie.

Cualquier persona versada en anatoma pensar en los ms-culos abductores, y podr justamente abducir que dicho trminoproviene de separaro abrir,origen que se vislumbra en la idea debuscar las eventuales causas de un efecto dado desplegando un

abanico de posibilidades:

Hay que aclarar que la implicacin sigue el sentido de las fle-chas; el procedimiento de elegir una de las de las premisas comoantecedente ms probable de q es descripto por Mr. Holmescomo razonar hacia atrs:

El gran factor, cuando se trata de resolver un problem a de esta clase,es la capacidad de razonar hacia atrs. Esta es una cualidad muy til

y mu y fcil, pero la gente no se ejercita mucho en ella. En las tareascorrientes de la vida cotidiana resulta de mayor utilidad el razonarhacia adelante, y por eso se la desatiende. Por cada pe rsona q ue sabeanalizar, hay cincuenta que saben razonar por sntesis.

Las dos formas de razonamiento comentadas en esta seccinresultan en algn sentido falaces; vale decir, una especie de in-fraccin a las leyes lgicas. En general, una falacia no es otra cosa

que un razonamiento invlido, aunque a primera vista pueda pa-recer correcto o resultar psicolgicamente persuasivo. Tal es elcaso de los famosos sofismas.

Pn


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N o c i o n u s i iAs i c a s d i ; l . c i c a

L g i c a a r i s t o t l i c a

Veremos ahora algunos elementos de la lgica aristotlica, quese apoya en la nocin intuitiva de clase:una coleccin de cosasque tienen algn atributo en comn. Por ejemplo, la clase de los

jugadores de pingpong, o la clase de los perros salchicha. A di-ferencia de la moderna teora de conjuntos, Aristteles no pre

vi la necesidad de contar con clases vacas.

Si bien el concepto de clase que estamos empleando no esmuy riguroso, vale la pena mencionar algunos aspectos de aque-llo que actualmente se conoce como Teora Ingenua de Conjuntos. Se trata, esencialmente de la nada ingenua teora desarro-llada por Cantor a fines del siglo XIX; el apelativo se debe a quehan surgido all algunos inconvenientes, que derivaron en unaprofunda crisis en los fundamentos de la Matemtica. El proble-ma no es menor, y fue motivo de controversias entre las escue-

las logicista (encabezada por Russell y Frege),form alista (Hilbert, y posteriormente Bourbaki) e intuicionista(Brouwer, Poincar). De alguna manera, la discusin se calm en buena medi-da cuando Zermelo y Fraenkel propusieron en 1908 los axiomaspara una teora no ingenua, que es la ms comnmente acep-tada en la actualidad.

La nocin de conjunto existaya en la Matemtica desde tiem-

po atrs, as como algunas de las paradojas que dicha nocin traeconsigo. La representacin por medio de los diagramas de Venntiene su origen en una idea anterior, la de los crculos de Euler,inventados por tan ilustre autor hacia 1770 como un modo de re-solver silogismos y en especial poder explicrselos a su clebreprincesa alemana.

Pero fue Cantor quien, en una serie de memorias escritas en-

tre 1874 y 1884, se ocup de dar forma a tales cuestiones y fundarla teora que, adems de sus mltiples aplicaciones, permiti es-tablecer sorprendentes conclusiones en torno al problema del in-finito. En efecto, el descubrimiento de diversas clases de infini-to, y la consecuente definicin de los nmeros transfinitosmos-traron algunos aspectos de la Matemtica completamente insos-pechados. A una frase de Gauss, para quien el infinito actual erauna manera de hablar responde Cantor:


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una manera de hablar , responde Cantor:

LGICA Y TEORA DE CONJUNTOS Pa b l o Am s t e r

No obstante la diferencia esencial entre los conceptos de infinitopotencial y de infinito actual (siendo el primero una m agn itud finita variable que crece ms all de todo lmite finito, y el segun do una

magnitud fija, constante, que se mantiene m s all de tod as las m agnitud es finitas) ocurre con frecuencia tom ar el uno p or el otro... Envista de la justificada aversin a tales infinitos actu ales ilegtimos ya la influencia de la tendencia m odern a epicreo-m aterialista, se haextendido en am plios crculos cientficos cierto horror infiniti, queencuentra su expresin clsica y su apoyo en la carta de Gauss; sinembargo me parece que el consiguiente rechazo, sin crtica alguna,del legtimo infinito actual no deja de ser una violacin de la naturaleza de las cosas, que han de tom arse com o son.

La definicin cantoriana de conjunto no es, por cierto, una de-finicin formal. Se trata ms bien de una idea intuitiva, en dondeun conjunto se piensa como una coleccin de cosas (Cantor em-ple la palabraMenge,multitud). Un conjunto es, para Cantor,un agrupamiento en un todo de objetos bien definidos, de nuestra intuicin o nuestro pensamiento.

Pero esto no significa gran cosa: el trmino conjunto es, en de-finitiva, un trmino primitivode la teora. Tambin lo es aquel otroque se refiere a esos objetos de los que un conjunto se compone, loselementos. Para indicar que determinadox es elemento de un con-

juntoA,se emplea el smbolo depertenencia,y se escribe:x e A.El paralelo entre teora de conjuntos y la lgica es inmedia-

to: por ejemplo, las operaciones de interseccin y uninse tra-

ducen respectivamente a las operaciones lgicas de conjuncinydisyuncin,as como la nocin de complemento,definida a par-tir de la diferencia entre conjuntos, se asocia con la negacin6.Podemos comparar las diferentes versiones de las clsicas leyesde De Morgan,que se enuncian

' (p v q ) = ,pA,


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(A u B)c = A Cn B

( A n B ) c = A cv B c

en la teora de conjuntos7. Mencionemos finalmente a la relacinde inclusin, muy cercana a la implicacin:tanto, que en la teorade conjuntos el principio de identidadtoma la forma

V A :A c A

Resulta claro: dicho principio, en la Lgica, dice que cualquierproposicinpverifica:

p = > p

(p implica p)

Por eso, dado un conjunto Ay cualquier objeto x del univer-so, tomando comopel enunciado x e A"se obtiene

x e A => x e A,

que en otras palabras se lee:Aest incluido enA.La teora de Cantor permite el libre empleo de un enunciado

conocido como axioma de abstraccin. En l se basan las defi-niciones por comprensin antes mencionadas, que en principiopermiten construir a partir de cualquierfuncin proposicionalel conjunto de todos los objetos del universo que la satisfacen:

{ x/


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de estampillas, obras pictricas o premios literarios, si se puedellamar coleccin a algo tan poco profuso como el vacio.

Como sea, este difcil conjunto puede definirse por abstraccin,

mediante el sencillo recurso de buscar alguna propiedad que nadie8 en El Universo sea capaz de cumplir: de este modo, resulta tan

vaco el conjunto de los elefantes que tienen seis patas como el delas peras de un olmo. Sin embargo, debemos convenir que es ne-cesario dar una propiedad que sea formulable en lenguaje lgico:

i por eso, pens Frege que sera una buena idea definir

0 = { x / x * x }

Con este truco, la Matemtica quedara completamente es-tablecida como un captulo de la Lgica, como pretenda la es-cuela logicista,aunque el descubrimiento de laparadoja de Rus-sellen 1901 mostr que la construccin llevada a cabo por Fregeno era vlida, lo que signific un derrumbe de sus afanes. Una delas versiones ms difundidas de esta paradoja se refiere a un bar-bero que afeita a todos aquellos que no se afeitan a s mismos.Es

fcil ver que este barbero no puede afeitarse ni dejar de hacerlo;sin embargo, segn seala Quine esto no determina una parado-ja sino la imposibilidad de que exista un barbero as.

Llevada a nuestro contexto, se puede reproducir la paradojaconsiderando dos tipos diferentes de conjuntos:

1 Los conjuntos ordinarios,que no se contienen a s mismoscomo elemento, es decir: Aes ordinario si A no pertene-ce a A. Por ejemplo, el conjunto de los nmeros naturales,que no esun nmero natural.

2 Los conjuntos extraordinarios,que se contienen a s mis-mos como elemento, es decir:A es extraordinario siAper

8. Es claro que nadie no indica persona, sino que se refiere a una propiedad queningn objeto del universo satisface. Borges hace un empleo interesante de dicho vocablo en Las ruinas circulares:

Nadie lo vio desembarcar en la unnime noche, nadie vio la canoa de bambsumindose en el fango sagrado, pero a los pocos das nadie ignoraba...

Bo r g e s , 1976


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N o * I O N I N I I S I l 'A S d i : l g i c a

teneceaA. Por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos,que en tanto conjunto es elemento de s mismo.

Esta clasificacin es completamente lcita en la teora de Cantor, pues slo precisa del axioma de abstraccin. Pero el mismoaxioma permite que definamos el conjunto

X = { A /A es un conjunto ordinario }

que no tardar en traernos problemas. En efecto, si X es ordina-rio, debe cumplirse que X pertenece a X, es decir, X es extraor-dinario (absurdo). Si suponemos, por el contrario, que Xes ex-

traordinario, por definicin resulta que X no pertenece a X y en-tonces X es ordinario... un nuevo absurdo, que seala que esta-mos ante unaparadoja.

La aparicin de esta paradoja indica que, as planteada, lateora de conjuntos es inconsistente;eso no nos conviene, puesla presencia de una contradiccin (p a ,p) trivializauna teora.Puede verse fcilmente que a partir de una contradiccin se pue

de concluir cualquier cosa,como mostr por ejemplo Russell aldar una prueba rigurosa del siguiente enunciado:

Si i es igual a 2,yo soy el Papa.

Ante tal panorama, no queda otro remedio que cambiar la axio-mtica: introducir condiciones que limiten la definicin de con-

junto para impedir que pueda definirse de un conjunto tan per-nicioso como el conjunto de los conjuntos ordinarios.

La manera ms simple, aunque tajante, consiste en decretarexplcitamente que un conjunto nopuede ser elemento de s mismo: esdecir, slo considerar como conjuntos hechos y derechosa los conjuntos ordinarios, con lo que la paradoja se elimina deraz. En realidad, esta restriccin es excesiva y puede ser evitada,aunque ello no ocurre en los Principia Matemtica,esa obra mo-numental de Russell y Whitehead destinada a restablecer los va-

cilantes fundamentos de la Matemtica. Se describe all la teorade tipos,una construccin ms bien complicada segn la cual losconjuntos de cierto tipo tienen como elementos a conjuntos de ti-pos anteriores; de este modo, se evita la mezcla de niveles de len-guaje, un verdadero caldo de cultivo para el surgimiento de para-dojas. El resultado, de todas formas, no logr satisfacer las aspi-raciones logicistas, como ms adelante veremos.


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L g i c a y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa b l o A m s t e r

Una consecuencia inmediata de la paradoja de Russell es queel Universo no es un conjunto. Esto significa que no tiene senti-do proponer que El Universoes el conjunto de todas las cosas que

existen,U ={x / x existe}

o el de las cosas idnticas a s mismas,

U = { x / x = x ]

La explicacin es sencilla, al menos si se supone que estamoshablando de un universo ordinario:

Si U es un conjunto, no puede ser elemento de s mismo;por ende U no existe(o bien: U es distinto de U).

De aqu se desprende un problema con respecto a la nocin decomplemento,pues por definicin la unin de un conjunto con sucomplemento debera ser todoel universo. Pero todo no es unconjunto, de modo que slo puede pensarse en un complementorelativo:el complemento de un conjunto se define siempre respecto de otro conjunto que lo contenga.A este conjunto ms grandese lo llama universal,pero de ninguna forma puede pretenderseque se constituya en El Universo. Sera inadecuado, por ejemplo,considerar el complemento del conjunto G de los gatos como todoaquello en el universo que no es gato;en cambio, dado a priorielconjunto universal M de los mamferos, entonces es correcto de-

finir el complemento de G en la siguiente forma:

Gc = M G = { x e M / x G)

Es imposible dar un carcter absoluto al complemento, pues de-pende siempre de modo esencial de nuestra decisin previa acer-ca de cul va a ser el universo para nuestro discurso9.

9. Vemos as que es ms sencillo ponerse de acuerdo acerca de lo que li.iy que acerca de lo que no hay. Macedonio Fernndez se manifestaba en conl i'.i de productos tales como las galletas sin sal, pues existe una infinidad de cosas que las galletas no tienen. Como sea, a veces pensar en el complemenlo resulta ventajoso;por ejemplo para recibir regalos de no-cumpleaos, tal como demuestra I lump-ty Dumpty a una desconcertada Alicia (L.Carroll, op.cit.). Sobre el problema ontolgico de lo que hay, algo veremos en el ltimo captulo.


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N o c i o n e s b s i c a s i j e l g i c a

I,aparicin de paradojas en la teora de conjuntos no fue unanovedad: en 1898 se haba formulado otra, la paradoja de BuraliI


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LGICA Y TEORA DE CONJUNTOS 1AISLOAmst er

Aunque la correspondencia gramatical no es exacta, las le-tras Sy Pevocan las ideas de sujeto y predicado. En trminos

de clases, es inmediato observar que la oracin todo S e s Pequi-vale a decir:

Todo elemento de S es tambin elemento de P.

Ello revela una inclusin total: por ejemplo, la frase

Todos los gatos son pardos

seala el dudoso hecho de que todo elemento de la clase S = ga-

tos pertenece a la clase P = individuos pardos. En otras pala-bras, la clase S est totalmente incluida en la clase P; del mismomodo, la proposicin particular afirmativa algn S es Pnos in-forma que la clase S est parcialmente incluida en la clase P. De-bemos aclarar que eso no niega la posibilidad de que la inclusinsea total: cuando decimos

Algunos miembros de mi fa milia tocan la trompeta,

la oracin es verdadera si al menos unode mis familiares es trom-petista, y seguir sindola aun si todoslo son.Tambin resulta claro que las proposiciones negativas, tanto

la universal como la particular, niegan la inclusin parcial o to-tal de la clase S en la clase P. As, al decir

Ningn pingino desayuna antes de las ocho,

estamos negando la proposicin

Algunos pinginos desayunan antes de las ocho.En otras palabras, negamos la inclusin parcial de la clase pin-

ginos en la clase individuos que desayunan antes de las ocho.Veamos por ltimo un ejemplo de particular negativa:

Algunos bailarines no saben de contabilidad.

En este caso, estamos negando la inclusin total de la clase debailarines en la clase de personas que saben de contabilidad. Lafrase podra leerse, en efecto, como:

No todos los bailarines saben de contabilidad.

Durante la Edad Media, los escolsticos denotaron a las cua troproposiciones categricas empleando respectivamente las letras

A, E, I, O, a partir de una sencilla regla mnemotcnica que tieneen cuenta el hecho evidente de que los dos enunciados afirmati


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vos (Afflrmo)contradicen a los negativos (nEgO). Ms precisa-mente, las relaciones se resumen en el siguiente esquema:

A contrarias E

subalternas subalternas

7. C u a d r a n t e d e P e i r c e

Lacan presenta la lgica aristotlica en el Seminario IX me-diante el famoso cuadrante de Peirce,a partir de los enunciados

A: todo trazo es vertical

E: ningn trazo es vertical

I: algn trazo es vertical

O: algn trazo no es vertical

y un sencillo diagrama:

El lector puede intentar, a modo de ejercicio, analizar la ver-dad de cada una de las proposiciones en los distintos cuadrantes.Ms adelante volveremos sobre este punto.


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L g i c a y t e o r a d e c o n j u n t o s Iaiii.o A m s t u r

8 . S i l o g i s m o s

Segn mencionamos, los silogismos son razonamientos quese componen de dos premisas y una conclusin:

Premisa i: Ningn oso hormiguero tiene ideas polticas moderadas.

Premisa 2: Algunos osos hormigueros prefieren el tal caf.

Conclusin:Algunos seres que prefieren el t al caf no tienenideas polticas moderadas.

A pesar de su simplicidad, Aristteles y su discpulo Teofrastohan dedicado seguramente unas cuantas tardes a formular reglasprecisas para determinar si un silogismo es o no vlido; sin em-bargo, si se emplea un sistema de clculo apropiado, o el lengua-

je de la teora de conjuntos, dichas reglas se vuelven innecesarias.Pero los antiguos estudiaron exhaustivamente los 64 posibles si-logismos, y determinaron la validez de 19 de ellos.

Veremos una forma muy sencilla de resolver silogism os a partirde diagramas: para ello, bastar con representar a las clases me-diante los llamados crculos de Euler,indicando con un o aque-llas regiones en donde no hay elementos, y con un i aquellas endonde hay al menos uno. As, las cuatro proposiciones categri-cas se representan del siguiente modo:

S P S P S P S P

Tod oS es P Ningn S es P Algn S es P Algn S no es P

Con un poco de cuidado, resulta fcil aplicar esta representacina cualquier silogismo: en el ejemplo anterior, si consideramos

S= osos hormigueros

P = seres con ideas polticas moderadas

R = seres que prefieren el t al caf


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Idemos traducir una a una las premisas, y representarlas a to* la s en un nico diagrama:

Premisa i: Ningn S es P

S P

Conviene observar aqu que nos vemos forzados a escribir dosc eros distintos, pues la presencia de R divide la regin comn a

S y P en dos partes. Un problema distinto aparece con la premi-sa siguiente,

Premisa 2: Algn S es R

S P

R

En efecto, sabemos que hay por lo menos un elemento comn.1 S y R, pero la premisa por s sola no nos permite decir a cul delas dos regiones de esta interseccin pertenece (acaso haya ele-mentos en ambas). Por eso escribimos provisoriamente un 1 so-bre la lnea divisoria, hasta tanto recopilemos toda la informa-cin disponible:


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Premisas i y 2: Ningn S es PAlgn S es R

S P

Gracias a la segunda premisa se resuelven las dudas acerca deese x, que se encontraba en suspenso hasta que el o de la regincomn a S y P lo desplaz, para confinarlo en esa pequea por-cin que se ve en el diagrama. En consecuencia, podemos extraerla conclusin; existe al menos un elemento que pertenece a i? yno pertenece a P:

Conclusin:Algn R no es P

A veces se presentan razonamientos ms complicados, peroque en realidad no son otra cosa que la combinacin de dos o mssilogismos. Consideremos por ejemplo las siguientes premisas:

1. Algunas estufas son objetos de arte.2. Todo objeto de arte causa a mi abuela dolor de cabeza.3. Todo lo que causa a m abuela dolor de cabeza es muy apre-

ciado por mi abuelo.De acuerdo con el mtodo que hemos visto, se definen las

clases:

S = estufas

P= objetos de arte

R= objetos que causan a mi abuela dolor de cabeza

T = objetos muy apreciados por mi abuelo

Se tiene, entonces,


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Nck'ionknbAs icasdi : l g ic a

S P

Premisas i y 2: Algn S es PTodo P esR

Conclusin 1: Algn S es RR

Premisa 3 y Conclusin 1:R T

Todo R e s T

Algn S es R

Conclusin -.Algn S es T.

En otras palabras:

Algunas estufas son muy apreciadas por mi abuelo.

Estos razonamientos se denominan sorites; en ocasiones laconclusin parece muy alejada del punto de partida, porque pue-den ser muchos los silogismos que se concatenan. Esto terminade explicar la idea de vasta tautologa mencionada en la pgi-na 20: todo teorema, por complicado que parezca, no resulta enel fondo otra cosa que el encadenamiento de cierto nmero depasos triviales.

Tambin pueden presentarse silogismos en forma incomple-ta, omitiendo alguna de las premisas, por ejemplo:

Ninguna persona respetable roba el sombrero a sus semejantes; en consecuencia, nosotros no robamos el sombrero a nuestros semejantes.

Para que el razonamiento sea correcto, se debe intercalar la si-guiente premisa, cuya verdad puede merecer alguna objecin:

Nosotros somos personas respetables.

A estos razonamientos incompletos se los conoce como entime-mas La premisa que se omite se da por sobreentendida pero no re


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mas La premisa que se omite se da por sobreentendida pero no re-

L g i c a y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa u l o Am s t e r

sulta consecuencia de las otras dos proposiciones; como ya vimos,el siguiente razonamiento abductivo es lgicamente invlido:

Premisa i: Ninguna persona respetable roba el sombrero a sus semejantes.

Premisa 2: Nosotros no robamos el sombrero a nuestros semejantes.

Conclusin: Nosotros somos personas respetables

R = personas respetables

S = personas que roban el sombrero a sus semejantes,N = nosotros

N

El diagrama muestra que mal que nos pese nuestra respe-

tabilidad no se sigue de las premisas. Felizmente tampoco se si-gue la presuncin contraria; en rigor, el propio diagrama deja verque las premisas nopermiten extraer conclusin alguna.

9. S i n t a x i s y s e m n t i c a d e l o s l e n g u a j e s f o r m a l e s

En las pginas anteriores hemos visto que los razonamientos seconstruyen a partir de proposiciones: enunciados a los que se puedeasignar un valor de verdad. Los silogismos consideran nicamenteproposiciones categricas; sin embargo, la Lgica formal empleaun lenguaje que permite operar con las proposiciones como simplesletras. Las reglas que nos dicen cmo combinare! chas letras formanparte de aquello que se conoce como clculo proposicional.


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No c i o n e s b s i c a s d e l g i c a

Consideremos para comenzar ciertas proposiciones denomin,u las atmicas,que se indican por medio de las letrasp, q, r,etc.Se definen adems diversos operadores, llamados genricamen-te conectivas:entre ellos los ms comunes son

la negacin, denotada por medio del smbolo

la conjuncin o et(a )

la disyuncin ove/ (v)

la implicacin (=>)

la disyuncin exclusiva(y)

la equivalencia lgica, tambin conocida como si y slo si ( o )

Esto permite formar distintos tipos de proposiciones com-puestas, por ejemplo

p ^ q

-.p a q

( p = > q ) v - , r

Como se ve en el ltimo caso, si se pretende combinar me-diante conectivas ms de dos proposiciones, se hace preciso in-troducir parntesis, a fines de evitar la ambigedad en la escri-

tura. El proceso que permite definir las proposiciones es induct ivo; toda proposicin compuesta se define a partir de las propo-siciones atmicas mediante las siguientes reglas:

1) Si p es una proposicin, entonces .p es una proposicin.2) Si p y q son proposiciones, entonces

p A q p v q P = > q P Y . q P ^ Q

son proposiciones".

11. En rigor, las proposiciones definidas por la regla 2deben escribirse:

(PA9) (pvq) (p=>


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(verJ Bekerman, P Amster, 1999)


10. Ta b l a s d e v e r d a d

Una vez dadas las reglas que permiten formar las proposiciones, se define el valor de verdad como unafuncin que acada proposicin le hace corresponder el valor V (verdadero) 0F (falso) a partir de los valores de sus tomos. La manera habitual de presentar a tal funcin es por medio de las tablas de verdad;por ejemplo, el valor de verdad para la negacin se establece de modo tal que si p es verdadera, entonces su negacin esfalsa, y viceversa:

NEGACIN

P PV F

F V

De la misma forma, la conjuncin de dos proposicionesp y q

toma el valor V si (y solamente si) el valor de ambas es V, comose refleja en la tabla:

CONJUNCIN

p q pAqV V V

V F F

F V FF F F

Para la conectivas restantes tenemos:

DISYUNCIN

P


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IMPLICACIN

P q p q

V V VV F F

F V V

F F V

DISYUNCIN EXCLUSIVA

P q p v qV V F

V F V

F V V

F F F

EQUIVALENCIA LGICA

P q pq

V V V

V F F

F V F

F F V

Otra manera de presentar a esta funcin de valuacin consis-

te en los circuitos lgicos, a los que Lacan se refiere en el Semi-nario II: por ejemplo, la conjuncin y la disyuncin se represen-tan respectivamente por

conjuncin

disyuncin


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Estos circuitos se interpretan en trminos de pasaje de co-rriente: bajo qu condiciones pasa la corriente desde el punto

A hasta el punto B? En el primer caso, resulta claro que ambaspuertas,p y qdeben estar cerradas, mientras que en el segundocaso basta con que al menos una de ellas lo est.

Entonces conviene pensar a los valores F y V respectivamentecomo puerta abierta y puerta cerrada. Existe otra forma deescribirlos,xje nos brindar una nueva perspectiva: se tratasimplemente de denotar con un o al valor F, y con un i al valor V.Observamos entonces por ejemplo que la conjuncin p a q toma

el valor i slo cuando el valor de cada uno de sus trminos es i;basta con que alguno de ellos tenga valor o para que el valor dep a q tambin sea o. En otras palabras, el valor de p a q equivaleal mnimo valor entre los valores de p y q. Esto se puede escribirde la siguiente manera:

v(pa q) = inf{v{p), v(q)}

en donde v denota la funcin devaluacin y la partcula inf ex-

presa el nfimo(el ms pequeo) entre los correspondientes va-lores. Anlogamente, el valor de p v q corresponde al mayor dedichos valores, que expresamos como un supremo:

v(pv q)= sup{v(p), v(q)}

Esta manera de pensar al conjunto de valores de verdad remiteal ejemplo ms elemental de lgebra de Boole'1',segn esta idea,los valores o y i se definen como complementarios,

o 1 / oy resulta fcil verificar las siguientes propiedades, que junto a lasanteriores pueden tomarse como una definicin de la funcin v,alternativa a las tablas de verdad:

v(,p) = v(p)'

v(p => q) = sup{v(p)\ v((/))

La equivalenciay la disyuncin exc I u s i va req u i e re n fo r mas algoms complicadas, cuya verificacin queda como ejercicio:

12. Es decir, el lgebra booleana {o, i}. A pesar di' miiiivi.ilnl.nl, l.i observacin dejaver la posibilidad de una generalizacin qurri ml rmpli Lis llamadas lgicas multivalentes, con ms de desvalores deverd.ul l'.ir.i iiii.idcliiucin de "lgebra deBoole"verel Diccionario de trminos malrinAlirun, de prxima publicacin.


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v (p q)= inf{sup{v(p), v(q)}, sup{v(p),vO?)1}}

v ( p v q ) = inf{sup{v(p), v(q)}, sup{v(p), v(q}}

11. Le y e s l g i c a s

Las anteriores tablas de verdad permiten demostrar las denominadas leyes lgicas o tautologas.Ms all del uso informal queliemos dado a esta palabra al recordar la frase de Russell, una tau-

Iologa consiste simplemente en una proposicin cuyo valor de verdad es i, independientemente del valor de sus componentes13. Hay

algunos ejemplos muy sencillos, como elprincipio de identidad:

P ^ P

que se demuestra por la tabla

P P p^ >p

V V V

F F V

Del mismo modo se prueban otras leyes tales como

Principio de no contradiccin: *(pA p)

P p p a - P -'(pA-'p)

V F F V

F V F V

Principio de tercero excluido: P V - p

P -'P p v - pV F V

F V V

13. Anlogamente se define a la falsedad lgica o contradiccin" como una proposicin compuesta cuyo valor de verdad es o. A las proposiciones que no son tautologas ni contradicciones se las denomina contingencias, vale decir, proposi


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Algunas de estas tautologas expresan la equivalencia de dosfrmulas, lo que permite aplicar el importanteprincipio de sus-tituibilidad'4,y se demuestra por la igualdad de las respectivas ta-blas de verdad. Una de las ms evidentes es la doble negacin

P= Pcuya verificacin es inmediata15:

_________P____________________ZP_______________________________V F V

F V F

A modo de ejemplo algo menos trivial podemos comprobar lavalidez de la primera de las leyes de De Morgancomentadas porLacan en diversos seminarios:

>(P a q) = (~,pv -,q)

Para el primer trmino de la igualdad se obtiene:

P q pAq (pAq)V V V F

V F F V

F V F V

F F F V

mientras que para el segundo vale

14. A grandes rasgos/dicho principio establece que en cualquier frmula, una expresin puede reemplazarse por otra equivalente. Por ejemplo, a partir de la igualdad 4= 2+ 2, podemos reemplazar al valor 4en la frmula

4


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p q ~'P ~,q -'pv q

V V F F F

V F F V VF V V F V

F F V V V

y la equivalencia queda demostrada. La otra ley,

j"

a P(n) es verdadera

es verdadera para todo nmero natural n, pues ningn nmero natural es menor que o. Aplicando la regla que vimos en la pgina 45, dicha implicacin esequivalente a la disyuncin

n > o v P(n) es verdadera.Esta ltima proposicin puede resultar algo ms evidente, pues su primer trmino (n > o) es verdadero para todo n.

3. La expresin latina cobra especial importancia en el cuento La carta robada,deEdgar Alian Poe.

4. Como antes, si P fuera falsa para el o, debera existir un nmero menor que o parael cual P es falsa, lo que es absurdo. Notemos que sin embargo es lcito afirmar:

P es falsapara todonmero natural menor que o,

lo que nos pone ante aquel curioso hecho que mencionamos en la primera parte: una proposicin universal no permite deducir una particular.

6 l


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LGICA Y TEO RA DE CONJUNTOS Pa b l o A m s t e r

P rin cip io de ind uc cin : si P es una propiedad que cumple(2),entonces P es verdadera para todos los nmeros naturales.

Puede probarse que en realidad este principio es equivalente al mtodo de Fermat; ms aun, ambos resultan equivalentesa otro, llamado a menudo de induccin completa.Se trata de la

versin ms difundida de todas, cuyo empleo se remonta al ma-temtico medieval Mauryloco:

Principio de induccin (versin habitual): si P es una propiedad tal que

P es verdadera para el o,y adems cumple

(3) Si P es verdadera que n, entonces es verdadera

para el siguiente de n,

entonces P es verdadera para todos los nmeros naturales.

Para explicar este principio se suele apelar a una imagen msbien literaria: supongamos un estante que sostiene cierto n-mero de libros ordenados en fila, de modo que se cumple la si-guiente regla:

(4) Si un libro se cae, el que est inmediatamente

a su derecha cae tambin.

Es correcto inferir de all que todos los libros van a caerse? Ob-viamente no, pues podemos perfectamente suponer una fila cons-truida al amparo de la ley (4), en la que no todoslos libros caen:

desm oron am iento" a partir de n = 5

Sin embargo, si nos dicen que el primero de los libros cae, en-tonces la regla nos permite decir:

Dado que el primero cae, el segundo cae tambin.

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I,A INDUCCIN MATEMTICA Y EL SISTEMA DE PEANO

Y as sucesivamente,

dado que el segundo cae, el tercero cae tambin;

dado que el tercero cae, el cuarto cae tambin,hasta agotar el estante. Observemos que para llegar a esta con-clusin, slo nos hizo falta informacin precisa sobre elprimerotic los libros, y conocer la regla inductiva (4).

I,a pregunta que cabe hacerse ahora es: qu ocurre cuando elestante es inagotable? Tal es el caso, precisamente, de los nmerosnaturales, en donde la regla (3) indica que la veracidad de P para1111 nmero n inducela veracidad de P para el siguiente de n.

P ( o ) P ( i ) -> P(2)

1,0 que sigue parece ms bien una cuestin de confianza. Dadoque cae el primero de los nmeros, y que cada nmero empu-ja" al que viene despus, entonces cualquier nmero ms tarde1) ms temprano caer en algn momento. Sin embargo, comoliemos comentado, no se trata de una confianza ciega en la cadade cada uno de los nmeros, sino que precisamente se define a losnmeros de modo que ello ocurra.Como expresa Russell,

En el pasado, el uso de la induccin matemtica en las demostraciones era algo misterioso. Entonces, no pareca razonable dudar de que fuera un m todo conveniente de prueba, pero nunca sesupo bien por qu tena validez. Algunos lo creyeron realmente uncaso de induccin, en el sentido en que e sta p alabra se emplea enlgica. Poincar lo consideraba com o un principio muy im portan

te, por m edio del cual infinitos silogism os podan ser cond ensadosen un nico argumento. Ahora sabe m os que tod as estas consideraciones son errneas, y que la induccin m atem tica es una definicin, no un principio3.

Cabe sealar el rol fundamental que tiene aqu la finitud:cuando Russell brinda su versin con cierto sabor barrial delprincipio,

lo que pu ede inferirse de vecino a vecino puede se r inferido del pri mero al ltimo,

5. B. Russell, 11946).


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L g ic a y t e o r a d e c o n j u n t o s Pa b l o A m s t e r

no demora en hacer la siguiente aclaracin:

Esto es verdadero cuando el nm ero de paso s intermedios

entre el primero y el ltimo perm anece finito.

Esta afirmacin aparece sostenida en un sugestivo ejemplo:

Cualquiera que haya observado la partida de un tren de carga, habrnotado cm o el impulso es comunicado, con una sacudida, por cadavagn al siguiente, hasta que el ltimo se pone en movimiento. Cuando el tren es muy largo, tambin es m uy largo el tiempo transcurridoantes de que el ltimo vagn se ponga en movimiento. Si el tren fuera infinitamente largo, habra una sucesin de sacudidas y no llegaranunca el mom ento en que todo el tren entrase en movimiento.6

Puede demostrarse que el principio de induccin tambin esequivalente a otro enunciado muy popular y tanto o ms con-

vincente:

Pr in c ip io de buena o r denac in : todo conjunto no vaco denmeros naturales tiene un primer elemento.

A modo de ejercicio, podemos mostrar la equivalencia entreeste ltimo enunciado y alguna de las formas anteriores: en pri-mer lugar, veamos que

Pr i nc ip i o de buena o r denac in=>Pr in c ip io de indu cc in

Para ello, supongamos que cierta proposicin P cumple (2),y consideremos el conjunto S formado por todos los nmerosnaturales para los cuales P(n) es falsa. Nuestra intencin, de loms honesta, es probar que Ses vaco; podemos entonces supo-ner que no lo es y en consecuencia S tiene un primer elementon. Precisamente a causa de tal primeridad, P tiene que ser ver-

dadera para todo nmero menor que n, y por (2) se deduce queP es verdadera para n,lo que es absurdo. Queda probado, pues,que si vale el principio de buena ordenacin entonces tambin

vale el de induccin.

6. ibid.

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I .A I N DU C C I N M A T E M T I C A Y E L S IS T E M A D E P E A N O

Corresponde demostrar tambin la afirmacin recproca, esdecir

Pr in cip i o de in du ccin => Pr i n c ip i o de buena or dena c in

Consideremos ahora un conjunto S que tiene la desafortu-nada propiedad de no tener primer elemento, y la propiedad Pdada por

P(n) = n nopertenece a S

Emplearemos la induccin para verificar que P es verdaderapara todos los nmeros, lo que nos permitir concluir que S es

vaco. Para ello debemos verificar elpaso inductivo:

(2) Si P es verdadera para todo nmero menor que n,

entonces es verdadera para n.

Como antes, procederemos por el absurdo. Supongamos que

I es verdadera para todo nmero menor que n (hiptesis inductiva),pero no es verdadera para n: en tal caso npertenece a S, ypor la hiptesis inductiva sabemos que

si k es menor que n, entonces k no pertenece a S.

Esto implica que n es el primer elemento de S, estableciendo

una contradiccin con nuestro supuesto7.La descripcin de EN como un conjunto inductivo da lugar auna magnfica idea, la de las definiciones por recurrencia. Quc osa podra ser ms recurrente que el conjunto de nmeros na-turales, en donde cada nmero, a excepcin del primero, recurrea su antecesor para formarse? Generalizando el mecanismo,podemos formar una infinidad de sucesiones recurrentes o re-

cursivas,por ejemplo:7. Como mencionamos anteriormente, es fcil comprobar tambin que la versin

habitual del principio de induccin es equivalente a la otra, con lo cual se tieneque:P.de induccino P.de buena ordenacin P.de induccin (versin habitual)Cabe aclarar que la equivalencia con la versin habitual se debe justamente a ladefinicin de los nmeros naturales. En realidad, el principio de induccin enla forma dada por la regla (2) vale para cualquier conjunto bien ordenado. La

i l d l i i i d i i d i t fi it


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versin ms general del principio se denomina induccin transfinita


0o = 2, an+, = 3an 2En otras palabras, se establece un primer elemento aay una

regla recursiva que nos dice cmo obtener el trmino an+, unavez que conocemos el trmino an. Esto permite construir paso apaso la sucesin:

ac = 2

a,= 3a0 2 = 4

a2= 3a, - 2 = io

a} = 3az- 2 = 28

Existen diversos ejemplos interesantes de sucesiones defi-nidas por recurrencia; entre ellas, cabe destacar a la ms famo-sa entre las famosas, en la que sucesivos matemticos han en-contrado notables muestras de armona: la sucesin de Fibonacci. En ella cada trmino recurre no a uno sino a los dos trmi-

nos precedentes:co o? a, i o n+2 cin+l + a nDe esta manera se obtiene:

a2= a, + a0= 1 + o = 1

a3= a2+ a,= 1 + 1 = 2

a4= a} + a2= 2+ 1 = 3

a5= a4+ a3= 3 + 2 = 5

a6= a, + a4= 5 + 3 = 8

Es un interesante ejercicio comprobar algunas de las mgi-cas propiedades de estos nmeros, por ejemplo:

1) Los trminos ay anfl son primos entre s o coprimos.

Por ejemplo, para n = 5 vemos que a5= 5 y a6=8 no tienen di-

visores comunes mayores que 1.2) Frmula para la suma de los primeros n trminos:

a + a, + ... + an.,= a n+, - 1

Por ejemplo, tomando n = 11 se verifica:

a0+ a, + ... + aIO= o + j+ 1 + 2 + 3 + 5 + S + /3 + 21 + 34 + 55 =

143= a J


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L a i n d u c c i n m a t e m t i c a y e l s i s t e m a d e P e a n o

5) Producto de dos trminos pares o impares consecutivos.Si nes impar, se cumple:

+1Cln ~1mientras que si n es par, vale:

r @n 1 ^

Por ejemplo, para n =7:

a6.as = 8.21 = 168 = 132 / = a72- 1

En cambio, tomando n = 8:

a7.ag=23.34 = 442 = 2 f + i = a8z+ 1

El lector interesado podr comprobar que los nmeros de Fihonacci se encuentran ntimamente relacionados con el deno-minado nmero de oro.Ms precisamente, puede demostrarseque la sucesin de cocientes

n+i/ n>

es decir, la sucesin1/1, 2/1,3/2, 5/3, 8/5,13/8, 21/13,

converge a dicho valor.

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615...

34/21 = 1,619...

= 1,618033988

EL SISTEMA DE PEANO

Uno de los ms famosos ejemplos de axiomatizacin es el sis-tema ideado por el alemn Dedekind m s conocido por su teora de las cortaduras en 1888 y presentado por Peano en 1889. Sebasa en tres ideas primitivas (cero, nmeroy sucesor o siguiente),y cinco postulados:

1. El o es un nmero.


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2. Si n es un nmero, el siguiente de n tambin es un n-mero.

3. Si el siguiente de n es igual al siguiente de m,entonces n

= m4. o no es el siguiente de ningn nmero.5. Si una propiedad se cumple para el o, y cada vez que se

cumple para cierto nse cumple para el siguiente de n, en-tonces se cumple para todo n.

Como se ve, el ltimo postulado no es otro que el principiode induccin, cuya independencia respecto de los otros cuatro

enunciados es fcil de verificar8: por ejemplo, el postulado es in-dispensable para comprobar que nuestra representacin mspura de los nmeros naturales como una suerte de continuacino herencia del cero,

0 =prim er nmero

1 = siguiente del o - so

2= siguiente del 1= sso

3 = siguiente del 2 = ssso

4 = siguiente del3 = sssso

es realmente fiel a los hechos. Para sustentar esta afirmacin,veamos algunas propiedades bsicas:

Pr o p i e d a d i)

Todo nmero distinto de o es el siguiente de algn nmero.

Demostracin: a fines de emplear el principio de induccin,debemos comprobar que la propiedad

P(n): si n es distinto de o entonces n es el siguiente de algnnmero

8. Este hecho refuerza los argumentos expuestos en la seccin anterior en tomo ala inconveniencia de considerarlo un principio.


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I ,A INI HJCCIN MA TEM T ICA Y EL SIST EM A D E PEAN O

se cumple para el o. Pero esta afirmacin es una vez m s tau-tolgica, ya que o no esun nmero distinto de o. Resta compro-bar el paso inductivo

si P es verdadera para n entonces P es verdadera para el siguiente de n,

i|ue tambin resulta inmediato, pues el siguiente de n es el si-


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L G I C A y T E O R A D E C O N J U N T O S P A B L O A M S T E R

ma de Peano responde a lo que esperamos de los nmeros natu-rales, aunque cabe preguntarse: es ello garanta suficiente parasuponer en tales nmeros una verdadera naturalidad?

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C a p t u l o 3

La s r e g l a s d e a l -j a b a r y

F i b o n a c c i r o b a d o

En este captulo se discuten brevemente ciertas nociones re-leyentes a las denominadas teoras algebraicas del lenguaje.A ta-les fines, se har uso de diversos conceptos de la teora de con-

juntos, como los de conjunto, conjunto finito, subconjunto, elemento, funcin, relacin de equivalencia.

Por otra parte, la idea bsica de estudiar a las produccionesle lenguaje como unayuxtaposicinde unidades menores (le1 ras, slabas, palabras, etctera) muestra la conveniencia de con-siderar una operacin binaria,que para cada par a, bde elemen-tos de cierto conjunto define su producto a* b.Esta operacinse dice asociativacuando vale que (a * b) * c =a* (b *c), para a,by c cualesquiera: en tal caso, el conjunto en cuestin se deno-mina semigrupo(para ms detalles, ver el Diccionario de trmi-nos matemticos, de prxima publicacin).

Ms precisamente, se considera un conjunto finito V, llamadovocabulario, yse define el conjunto T de oracionescomo el semi-tjrupo libre generado por V Esto significa que el procedimiento de


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tjrupo libre generado por V, Esto significa que el procedimiento de


a *b = ab

A su vez, cuando decimos que T es generadopor V nos refe-rimos a que toda oracin s es una sucesin finita de palabras oelementos de V:

s =w,...wn

endondew,,..., wnpertenecen a V. Finalmente, la libertad de T con-siste, intuitivamente, en el hecho de que no se define relacin algu-na entre los elementos de V, y en consecuencia no se puede cancelaro sustituir cadenas. En resumen, T es el conjunto de todas las sucesiones finitas de elementos de V:por ejemplo, para el vocabulario

V = { A , B , C ]

resulta

T = {A, B, C, AA, AB, AC, BA, BB, BC, AAA, A A B ,... }'

Un lenguaje es un subconjuntode T al que, siguiendo la de-nominacin sugerida por Riguet en el Seminario 2,denotaremos

WF: oraciones well form ed o bien formadas.Unagramtica generativa de WF es un conjunto finito de re-

glas, denominadas reglas gramaticales,que permiten determinarlos elementos de WF en base a una descripcin estructural2.Estees el caso de la teora de los sistemas formales y otros aspectos dela lgica matemtica como las mquinas de Turingy lasfuncionesrecursivas. A modo de ejemplo, vale la pena mencionar las reglasque permiten describir las sintaxis de los diversos sistemas queaparecen en el Seminario sobre La carta robada:para

V ={ +, } (caras y cecas)se tiene que

T = { +, , ++, +,h, , +++, ... }

En este caso, el azar de la moneda establece que puede darsecualquier secuencia de caras y cecas, lo que implica que

WF = T

1. En forma anloga, pero no al nivel de la palabra sino al de la letra, se puede con siderar un conjunto finito A llamado alfabeto,y el conjunto W de palabras definido como el semigrupo libre generado por A, que comprende todas las sucesiones finitas de letras,

2. Verporejemplo Bar-Hillel, Languageand Information: Selected EssaysonTheirTheory and Application. Addison-Wesley, Reading, Mass, 1964.

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L a s r e g l a s d e a l -j a b a r y F i b o n a c c i r o b a d o

En cambio, cuando se opera la transcripcin al vocabularioV | i 3 }, para el cual naturalmente resulta

T = [ i , 2 , 3 ,1 1 ,1 2 ,13 ,111,112 ,113 ,... },l.i sintaxis ya no es tan permisiva. En efecto, recordemos la mane-ra de pasar de un sistema al otro por medio de la asignacin

+ + +] ++- r

1 ++-+] - + +

-> 3-+-J +escribiendo, bajo cualquier oracin la correspondiente secuen-cia que se forma en el nuevo vocabulario, v.g.

2 1

1 + + + + + + + +

2 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 1

Es fcil verificar que

W F - { 1 , 2, 3, 11, 12, 111, 112, 122, 123,... } * T,

y la gramtica de WF se puede resumir en una regla sencilla:

El nmero de 2 que aparece entre dos trminos impares consecutivos debe ser PAR si dichos trminos son iguales, e IMPAR si son distintos.

Con esta regla es fcil hacer pasar por un test sintctico acualquier elemento de T: por ejemplo la secuencia

12223211233223

es un elemento de WF. En efecto, si observamos todos los trmi-nos impares (103),

12223211233223

se verifica, en todos los casos que:Entre 1 y 3 aparece un nmero impar de 2, al igual que en-

tre 3 y 1.


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In t r o d u c c i n a l a t o p o l o c Ia Pa b l o A m s t e r

12223211233223imp ar impar impar par

Este caso contempla la posibilidad de que aparezcan secuen-cias como 11 o 33, pues en tal caso el nmero de 2 entre ambostrminos es cero (que es un nmero par).

Finalmente, la segunda transcripcin, se efecta a partir de lassecuencias bien formadas en base a las siguientes reglas:

1*3

3*1

1*23*2 P

2 2 } - > y

2 . n R2 3 |

Cabe aclarar que el smbolo indica el lugar destinado a unacifra; por ejemplo, tanto 112 como 122 se transcriben como p. Apartir de este nuevo alfabeto V = {a, P, y, 8}, las reglas permitencomprobar que aqu tambin que WF es distinto de T. Por ejem-

plo, es inmediato ver que ppp no es bien formada, pues deberaprovenir de una expresin en el sistema {13 } compuesta por cin-co trminos, de los cuales el tercero es forzosamente un 2. Estoimpide que la tercera letra sea p.

En general, este anlisis se puede hacer en forma automticapor medio de una sencilla regla que resume toda la sintaxis delsistema, el famoso repartitorio:

a. SP,YIT

a, p, y, 8

2T

a . py, 8

3T

Esto debe leerse as: en unprimer tiempose puede comenzarcon cualquier letra; digamos a . El segundo tiempoes completa-mente libre, pero el tercer tiempose encuentra determinado por

el primero, vale decir: si en T elegimos a , en 3T slo puede apa-recer alguna de las letras correspondientes al rengln respectivo(ot, p). De esta forma, sabemos que ppp no es bien formada conslo echar un vistazo a la tablita.

En contraposicin a la gramtica generativa, la nocin degra-

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i iltica analticaconsidera que el conjunto WF est dado a priori, yI) rocura establecer diversas relaciones entre sus elementos que per

11 liten brindar una descripcin intrnseca de las oraciones bien for-madas: por ejemplo, a partir de la vinculacin entre las oraciones yl a s palabras que contiene, la posicin que stas ocupan, etctera.

Empleando algunas nociones de la teora de conjuntos, se de(inen estructuras que resultan tiles para describir diversos as-pectos del lenguaje. A modo de ilustracin, podemos mencio-nar a un autor llamado Kalmr, quien define al lenguaje natu-ral como un vector

(P, R, F, W, C, A, S, Mw> Ms, Aw> As)

Cada una de las coordenadas de este vector tiene un significa-do preciso: por ejemplo, P se llamaprotosemata,y se componede signos; Rdefine los fonem asografemas; Fdefine lasform as,los elementos de Wson laspalabras;etctera.

Volviendo a la idea ms simple de un vocabulario V,el semi

grupo T y un subconjunto WF distinto de T, se puede definir enVuna relacin de equivalencia que determina los contextos deuna palabra dada. Por ejemplo, podemos decir que un contextoes un par s

se lee:

la cadena x tiene el tipo s.

En particular, se define un tipo distinguido denotado S {sen


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que permiten multiplicarlos y cancelarlos, establecindose comobien formadas aquellas cadenas que cancelan hacia el tipo S.Tales la idea, por ejemplo, de lasgramaticas categoriales,en dondese define un vocabulario y ciertas categoras bajo las operacionesdenotadas / y \. Las reglas de simplificacin estn dadas por

(r/s).s > r

r.(r\s)> s,

permitiendo calcular las cadenas que cancelan hacia la catego-

ra S.A modo de ejemplo elemental, supongamos el vocabularioV = { el, perro, gato, Flix, muerde, malla }

y los tipos

n, np, np/n, np\S

con las siguientes asignaciones:

el np/n

gato n

perro n

Flix>np

muerde > np\ S

malla np\ S

En consecuencia, las cadenas

el perro muerde

el gato muerde

el gato malla

el perro malla

Flix muerdeFlix malla

derivan todas hacia Sy resultan bien formadas; por ejemplo parala primera se tiene:

(np/n)(n)(np\S) (np)(np\S)> S


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(el)(perro)(muerde) >(elperr)(muerde) (elperro muerde)En cambio, las reglas no son suficientemente buenas como

para demostrar que la oracin

el gato Flix mallaes bien formada, pues se obtiene

(.np/n)(n)(np)(np\S) > (np)(np)(np\S) > (np)S,pero nada permite derivar de all una S.

D i g r e s i n : a l g e b r a ya n l i s i s

En este captulo hemos hablado sobre teoras algebraicas.Perodado que se habla aqu para analistas, conviene recordar que lamatemtica tambin tiene su propia versin de lo que es el anlisis.Se trata de una versin que Dupin por cierto no comparte; enefecto, el detective se opone con cierta tenacidad a quienes con-sideran a la matemtica como la raznpar excellence:

Los matem ticos, concedo, han hecho cuanto les ha sido posible para

difundir el error popu lar a que usted alude, y que no es m enos unerror porqu e haya sido prom ulgado com o verdad. Con un arte dig-no de mejor causa, por ejemplo, han introducido el trmino an-

lisis con aplicacin al lgebra. Los franceses son los culpables de

esta superchera popular; pero si un trmino tiene alguna impor-

tancia, si las palabras derivan algn valor de su aplicabilidad, an -

lisis expresa lgebra, poco ms o meno s, com o en latn ambitus

implica amb icin, religio, religin, hom ines honesti, un con-

junto de hom bre s honorable s 3

Vale la pena mencionar el origen de la palabralgebra,quesurge del tratado Al-jabar, escrito por el matemtico rabe AlKwaritzmi. Aljabar significa reordenar, lo que indica que resol-

ver una ecuacin algebraica era visto por los rabes como unaforma de volver a poner las cosas en su sitio. En espaol antiguo(por ejemplo, en el Quijote) se denominaba algebristaal que vol-

va a su lugar los huesos dislocados, por ms que Dupin presentea los algebristas como individuos dispuestos a dar una paliza aquien se atreva a contradecirlos4. A su vez, del nombre del au-

3. E. A. Poe, La carta robada.4. Ver op. cit. Lacan afirma en el Seminario 2 haber puesto a prueba esta afirma


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tor de dicho tratado proviene la denominacin de otro concep-to muy apreciado por Lacan, que resume cierta nocin de rece

ta lgica: el algoritmo.

F i b o n a c c i r o b a d o

En las pginas previas nos hemos dedicado a estudiar las trans-cripciones del Seminario sobre La carta robada.Vale la pena

mencionar que el propio Lacan se cuida muy bien de no deno-minarlas traducciones, pues cualquier cadena que se obtengaguarda siempre una dosis de ambigedad respecto del texto ori-ginal. Por ejemplo, vemos aqu una manera de obtener, tras apli-car las sucesivas transcripciones, la palabra yccSP:

+ - - - + - + +

2 1 2 3 3 2y a 8 p

Sin embargo, la siguiente derivacin es tambin vlida:

2 3 2 1 1 2

Y a 8 p

Entonces, si esto que nos disponamos a llamar traduccinda por resultado yaSP; cmo saber si el texto original era+ + _ + + 0 + +? Est0 se parece a las

construcciones de Freud, en donde la verdad histrica quedaolvidada y se reemplaza por una verdad construida. Pero en lossistemas que estamos considerando las construcciones sonbastante previsibles: para cada palabra W bien formada en elalfabeto {a, p, y, 8} hay exactamente cuatro secuencias de + y cuya trasliteracin da por resultado W. Una vez que se conoce au

amster lacan apuntes matematicos.pdf

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