analisa matematika

ANALISIS MATEMATIKA

NAMA : NURUL CHAIRUNNISA UTAMI PUTRI

NIM : 1620070008

FAK / JUR : SAINS & TEKNOLOGI / MATEMATIKA

http://roelcup.wordpress.com

UNIVERSITAS ISLAM AS-SYAFI’IYAH

JAKARTA TIMUR

2010

Definisi 6.1 : (Definisi Partisi)

Misalkan selang tertutup [푎, 푏] → selang yang di berikan.

Partisi P dari selang [a,b] adalah sebuah himpunan berhingga dari titik-titik 푥 , 푥 ,푥 , … , 푥 , dimana

a = 푥 , 푥 ≤ 푥 ≤ ⋯ ≤ 푥 ≤ 푥 = b

di ilustrasikan dengan gambar.

Paling sedikit anggota partisi = 2 , yaitu a dan b. atau 푥 푑푎푛 푥

jarak antara dua partisi terdekat ialah : ∆푥 = 푥 − 푥 ( 푖 = 1,2,3, … , 푛)

contoh → ∆푥 = 푥 − 푥

di ilustrasikan dalam bentuk kurva.

Dari fungsi ƒ.

Batas atas → di atas 푀 tak berhingga banyak. Kalau continue, berarti batas atasnya di 푀 .

푓(푥 ) ƒ

푓(푥 )

푀 = 푓(푥 )

푚 = 푓(푥 )

푀

ƒ(푥 )

a=푋 푋 푋 푋 푏 = 푋

푀 = sup ƒ(푥) 푢푛푡푢푘 ( 푥 ≤ 푥 ≤ 푥 )

a=푋 푋 푋 푋 b=푋

푚 = inf ƒ(푥) 푢푛푡푢푘 (푥 ≤ 푥 ≤ 푥 )

Misalkan 푀 = sup ƒ(푥) 푢푛푡푢푘 (푥 ≤ 푥 ≤ 푥 )

푚 = inf ƒ(푥) 푢푛푡푢푘 (푥 ≤ 푥 ≤ 푥 )

Maka

U(p, ƒ) = M Δ푥 = M Δ푥 + M Δ푥 + ⋯+M Δ푥

L(p, ƒ) = m Δ푥 = m Δ푥 + m Δ푥 + ⋯+m Δ푥

L(p, ƒ) ≤ U(p, ƒ)

ƒ

a b

P = {푥 ,푥 }

→U(p, ƒ) = M Δ푥

→L(p, ƒ) = m Δ푥

P = {푥 ,푥 } ƒ

푓(푥 )

푓(푥 )

푓(푥 )

풂 = 풙ퟎ 풙ퟏ 풃 = 풙ퟐ

U(p, ƒ) = M Δ푥 +M Δ푥 = 퐿

L(p, ƒ) = m Δ푥 +m Δ푥 = 퐿

Maka makin sedikit partisinya

L(p, ƒ) kecil , U(p, ƒ) besar.

Integral atas

푓(푥) dx = inf 푈(푃, ƒ)

Integral bawah

푓(푥) dx = sup퐿(푃, ƒ)

Jika

푓(푥) dx = 푓(푥) dx

inf푈(푃, ƒ) = 푠푢푝 퐿(푃, ƒ), maka sebagai ƒ terintegral Riemann, yang di tulis dengan ƒ∈ ℛ(훼)

Dengan ℛ = Himpunan fungsi-fungsi yang terintegral Riemann

M 푚 ≤ ƒ(푥) ≤ 푀 (푎 ≤ 푥 ≤ 푏)

ƒ

ƒ(b)

ƒ(x)

ƒ(a)

푚(푏 − 푎)

0

a b

untuk setiap P

푚(푏 − 푎) ≤ L(p, ƒ) ≤ U(p, ƒ) ≤ 푀(푏 − 푎)

Definisi 6.2 :

Misalkan α menjadi a monoton naik di selang [푎,푏] (jika 훼(푎) dan 훼(푏)adalah terbatas, sehingga α di batasi selang [푎, 푏]). Sesuai dengan masing-masing partisi P dan [푎, 푏], maka :

∆ 훼 = 훼(푥 )− 훼(푥 )

Jelas bahwa ∆ αi ≥ 0. Untuk setiap fungsi real ƒ yang dibatasi oleh selang [a,b] sehingga :

푈(푃, ƒ,훼) = 푀 ∆ 훼푖

퐿(푃, ƒ,훼) = 푚 ∆ 훼푖

Dimana 푀 dan 푚 memiliki kesamaan seperti yang dijelaskan pada defiinisi 6.1, dan didapat

푓 dα = inf 푈(푃, ƒ,훼) … (5)

푓 dα = sup퐿(푃, ƒ,훼) … (6)

Inf dan sup adalah untuk semua partisi.

Jika yang di seblah kiri (5) dan (6) bernilai Sama, maka akan kita tandakan dengan :

푓푑훼 … (7)

Atau dengan :

푓(푥) dα(x) … (8)

Ini disebut Integral Riemann Stieltjes (bentuk sederhana dari integral Steiltjes) dari ƒ dengan α di [a,b]. jika (7) ada,. Jika (5) dan (6) bernilai Sama, dikatakan bahwa ƒ itu terintegral terhadap α,di persamaan Riemann, dan ditulis ƒ∈ ℛ(훼).

Jika ∫ 푓 dα = ∫ 푓 dα , maka ƒ terintegral Stieltjes atau Riemann-Stieltjes terhadap α. Ditulis :

ƒ ∈ ℛ(훼).

Ket : ℛ(훼) = himpunan fungsi-fungsi Riemann-Stieltjes

Jika α(x) = x, maka integral Riemann-Stieltjes akan menjadi antegral Riemann. Disebutkan dengan jelas, bahwa bentuk umum tidak continue.

Bebeapa kata mengatakan tentang notasi. Biasanya digunakan pada (7) untuk (8) karena x jika nampak di (8) tidak meambah pengertian apapun di (7). Itu tidaklah penting Karen hanya sebuah variable integral. Sebagai contoh pada (8) yaitu

푓(푦) dα(y)

Integral yang tergantung pada ƒ, α, a dan b, tapi tidak pada vaiabel integral yang boleh di hilangkan

Peran variable integral yaitu hanya sebagai tambahan ; terdapat 2 simbol

푐 , 푐

Yaitu sama, karena 푐 + 푐 + … + 푐 .

Tentu saja tidaklah sulit memasukkan variable di integral dan dalam banyak bentuk mudah untuk di kerjakan.

Kita akan menyelidki adanya integral pada (7) kita asumsikan ƒ nyata dan terbatas, dan α

monoton naik di [a,b], jika kita tulis ∫,maka di tulis ∫ .

Definisi 6.3 :

Dikatakan bahwa partisi P* adalah penghalus dari P,jika P* ⊃ P (tentu saja, jika setiap titik pada P maka itu juga titik P*). Jika terdapat dua partisi, 푃 푑푎푛 푃 , maka di katakan bahwa P* adalah penghalus bersama jika P* = 푃 ∪ 푃 .

P* adalah Penghalus P jika P* ⊃ P

P* adalah Penghalus bersama dari 푃 푑푎푛 푃 jika P* = 푃 ∪ 푃

contoh : P = { 푥 , 푥 ,푥 , … , 푥 }

P* = { 푥 , 푥 , 푥 ,푥 , … ,푥 } → Di tambahkan satu titik atau lebih dimana saja.

Definisi 6.4

Jika P* adalah Penghalus dari P, maka

퐿(푃, ƒ,훼) ≤ 퐿(푃∗, ƒ,훼) …(9)

Dan

푈(푃∗, ƒ,훼) ≤ 푈(푃, ƒ,훼) …(10)

Bukti :

Untuk membuktikan persamaan (9), di asumsikan terlebih dahulu P* memuat satu titik lebih dari P. maka dikeahui banyak titik x* dan mengandaikan 푥 < x* < 푥 , dimana 푥 dan 푥 adalah dua titik berurutan dari P. taruh

푤 = inf ƒ(x) (푥 ≤ 푥 ≤ x*),

푤 = inf ƒ(x) (x* ≤ x ≤ 푥 ).

Jelas bahwa 푤 ≥ 푚 dan 푤 ≥ 푚 , dimana, sebelumnya,

푚 = inf ƒ(x) (푥 ≤ x ≤ 푥 )

Karenanya

L(P*, ƒ, α) – L(P, ƒ, α)

= 푤 [α(x*) – α (푥 )] + 푤 [훼( 푥 ) - α(x*)] - 푚 [α( 푥 ) - α (푥 )]

= (푤 −푚 ) [α(x*) – α (푥 )] + (푤 −푚 ) [훼( 푥 ) - α(x*)] ≥ 0

Jika P* mempunyai titik k dari P, kita ulangi penyebab titik k dari (9). Buktinya itu adalah kebalikan dari (10)

Teorema 6.5

푓 dα ≤ 푓 dα

Bukti :

P* penghalus bersama dari dua partisi 푃 푑푎푛 푃 . Dengan menggunakan teorema 6.4:

L(P1, ƒ, α) ≤ L(P*, ƒ, α) ≤ U(P*, ƒ, α) ≤ U(P2, ƒ, α).

Karenanya

L(P1, ƒ, α) ≤ U(P2, ƒ, α) …(11)

Jika P2 tetap dan suprimum diambil untuk semua partisi P1 , maka menghasilkan persamaan (11), menjadi:

푓 dα ≤ U(P , ƒ, α) … (12)

Teorema ini menjelaskan inf /minim ke atas untuk semua P2 di persamaan (12).

푓 dα ≤ inf U(P, ƒ, α).

Teorema 6.6

ƒ∈ ℛ(훼) pada interval [a,b] jika dan hanya jika untuk setiap 휀 > 0 dimana sebuah partisi a dari P sedemikian sehingga

U(P, ƒ, α) - L(P, ƒ, α) < 휀 …(13)

Bukti :

untuk setiap P kita misalkan

L(P, ƒ, α) ≤ 푓 dα ≤ 푓 dα ≤ U(P, ƒ, α).

Dan persamaan (13) menjadi

0 ≤ 푓 dα− 푓 dα < 휀

Karena , jika (13) dapat manghasilkanuntuk seiap 휀 > 0, maka didapat :

푓 dα = 푓 dα

Ini adalah, ƒ∈ ℛ(훼).

Sebaliknya, dimisalkan ƒ∈ ℛ(훼) dan di dapat 휀 > 0 , kemudian partisi 푃 푑푎푛 푃 menjadi

푈(푃 , ƒ,훼) – ∫ 푓 푑훼 < 휀2 …(14)

∫ 푓 dα - L(P1, ƒ, α) < …(15)

Kita pilih P menjadi penghalus bersama dari 푃 푑푎푛 푃 . Kemudian teorema 6.4, dengan (14) dan (15), sehingga menjadi:

U(P, ƒ, α) ≤ U(P2, ƒ, α) < ∫ 푓 dα + < L(P1, ƒ, α) + 휀 ≤ L(P, ƒ, α) + 휀

Sehingga (13) untuk partisi P.

Teorema 6.6 telah selesai dengan criteria persaman untuk Integral. Sebelum menggunakannya, terlebih dahulu kita menyatakan beberapa fakta yang erat.

Teorema 6.7

a) Jika U(P,ƒ,α) - L(P, ƒ, α) < 휀 untuk beberapa partisi P dan 휀 > 0, maka U(P,ƒ,α) < 휀 untuk semua penghalus P.

b) Jika U(P,ƒ,α) - L(P, ƒ, α) < 휀 berlaku untuk P = {푥 ,푥 ,푥 , … ,푥 } dan jika 푠 , 푡 adalah sembarang titik anggota [푥 ,푥 ] maka

|f(s )− ƒ(t )| Δ훼 < 휀

c) Jika ƒ∈ ℛ(훼)dan memenuhi hipotesis b), maka

ƒ(푡 ) Δ훼 − ƒ 푑훼 < 휀

Bukti

a) Teorema 6.4 kebalikan dari a). Kita asumsikan bahwa didalam b), ƒ(s )dan ƒ(t ) keduanya di anggap di dalam [푚 ,푀 ], sedemikian sehingga |ƒ(s )− ƒ(t )| ≤ M − m . Seperti

|ƒ(s )− ƒ(t )| Δ훼 < U(P, ƒ, α) − L(P, ƒ, α)

P* penghalus P

L(P*, ƒ, α) ≥ L(P, ƒ, α)

U(P*, ƒ, α) ≤ U(P, ƒ, α)

{ U(P, ƒ, α) - L(P, ƒ, α) ≥ U(P*, ƒ, α) - L(P*, ƒ, α) } < 휀

Sehingga terbukti b).

b) s ∈ [푥 ,푥 ] f(s ) ≤ Mf(s ) ≥ m

t ∈ [푥 ,푥 ] f(t ) ≤ Mf(t ) ≥ m

{ ≤ M − m }

|ƒ(s )− ƒ(t )| Δ훼 < 휀

c) m ≤ ƒ(t ) ≤ M

Ketidaksamaan jelas nyata.

L(P, ƒ, α) ≤ ƒ(푡 ) Δ훼 ≤ U(P, ƒ, α)

L(P, ƒ, α) ≤ ƒ 푑훼 ≤ U(P, ƒ, α)

ƒ(푡 ) Δ훼 − ƒ 푑훼 ≤ U(P, ƒ, α)− L(P, ƒ, α) < 휀

Teorema 6.8

Jika ƒ continue pada [a,b] maka ƒ∈ ℛ(훼)pada [a,b]

Bukti

ƒ∈ ℛ(훼) ⟺ ∀휀 > 0,∃ 푃 푝푎푑푎 [푎,푏] ∋ U(P, ƒ, α) − L(P, ƒ, α) < 휀

ambil sembarang 휀 > 0.

sehingga terdapat

∃훿 > 0 ∋ |ƒ(푥)− ƒ(푡)| < 휂

Untuk / jika ∈ [푎,푏] , 푡 ∈ [푎, 푏] dengan |푥 − 푡| < 훿

Karena ƒ continue seragam ( berdasarkan teorema 4.19), pilih

휂 > 0 ∋ [훼(푏)− 훼(푎)].휂 < 휀

Dibuat partisi P pada [a,b] ∋ ∆푥 < 훿 untuk ∀

|ƒ(x )− ƒ(x )| < 휀

Sedangkan

M − m = sup ƒ(x)− inf ƒ(x) < 휂

Dari hubungan diatas , maka diperoleh

U(P, ƒ, α)− L(P, ƒ, α) = (M − m )Δ훼

≤

η Δ훼 = 휂 (훼(푏)− 훼(푎)) < 휀

Teorema 6.9

Jika ƒ adalah fungsi monoton di [a,b] dan jika fungsi α adalah continue pada [a,b] , maka ƒ∈ ℛ(훼). ( kita asumsikan bahwa α adalah monoton )

Bukti

Ambil sebarang 휀 > 0. Untuk semua bilangan asli positif n, pilih a sebagai partisi, sedemikian sehingga

Δ훼 =훼(푏)− 훼(푎)

푛 (푖 = 1,2,3, … ,푛)

Hal ini memungkinkan karena α continue (teorema 4.23)

Kita misalkan bahwa ƒ adalah naik monoton ( dapat di buktikan pada kasus lainnya ). Maka

푀 = ƒ(푥 ), 푚 = ƒ(푥 ) (i=1,2,3,…,n)

Sehingga

U(P, ƒ, α)− L(P, ƒ, α) = 훼(푏)−훼(푎)

푛 [ƒ(x ) − ƒ(x )]

=훼(푏)− 훼(푎)

푛 [푓(푏)− 푓(푎)] < 휀

Nilai n tergantung pada 휀.

P = { 푥 , 푥 ,푥 , … , 푥 }

Jika n di ambil cukup besar. Dari teorema 6.6 , ƒ∈ ℛ(훼).

Teorema 6.10

Anggap f adalah terbatas di [a,b], f hanya terbatas banyak titik yang continue di [a,b] dan α adalah continue di setiap titik yang mana f discontinue. Maka ƒ∈ ℛ(훼)

Bukti

Ambil sembarang ε > 0. Ambil M = Sup | f (x) |, Ambil sembarang E menjadi titik aturan dimana f adalah tidak continue (discontinue). Karena E terbatas dan α continue di setiap titik pada E, kita dapat menentukan E dengan banyak interval yang tidak berhubungan yang terbatas

[u , v ] ⊂ [a, b] seperti penjumlahan dari perbedaan koresponden α 푣 − 훼(푢 ) lebih rendah

dari ε. Selanjutnya, kita akan meletakan interval ini seperti sebuah jalan dari setiap titik dari 퐸 ∩ (푎. 푏) pada interior [u , v ].

Perubahan tahap (u , v ) dari [a, b]. Maksud pengaturan K adalah sisa. Karenanya ƒ

adalah keseragaman continue didalam K, dan disana selalu ada δ > 0 seperti |ƒ(s) - ƒ(t)| < ε jika 푠 ∈ 퐾, 푡 ∈ 퐾, |푠 − 푡| < 훿.

Sekarang bentuk sebuah partisi P = { 푥 , 푥 ,푥 , … , 푥 } dari [a,b], sebagai berikut :

Setiap 푢 di P. Setiap 푣 di P. Tidak ada titik dari tahap (u , v ) di P. Jika 푥 adalah satu dari 푢

,maka ∆푥 < 훿.

Catatan bahwa Mi - mi ≤ 2M untuk setiap i. setelah itu M −m ≤ ε tidak rendah 푥 yaitu satu dari 푢 . Karrenanya, seperti pada Bukti pada teorema 6.8,

U(P, ƒ, α)− L(P, ƒ, α) ≤ [α(b)− α(a)]휀 + 2푀휀

Karena ε itu tidak tentu, teorema 6.6 menunjukkan bahwa ƒ∈ ℛ(훼)

Catatan : jika f dan α mempunyai sebuah titik yang discontinue, maka f tidak berubah menjadi ℛ(훼).

Teorema 6.11

Misalkan ƒ ∈ ℛ(훼) pada [푎, 푏] , 푚 ≤ 푓 ≤ 푀, 휙 kontinue pada [푚,푀] , dan ℎ(푥) = 휙 푓(푥) pada [푎, 푏].

Bukti :

Y

f

M

ƒ ∈ ℛ(훼)

m

X

a b

terdapat fungsi lain

Z fungsi kontinue 휙

m M Y

ℎ(푥) = 휙 푓(푥) = h ∈ ℛ(훼)

catatan : Tidak harus keduanya Ter-Integral Riemann.

Karna walaupun salah satunya adalah fungsi kontinue, maka pada akhirnya ter-Integral Riemann juga.

Penjelasan :

Pilih 휀 > 0. Ketika 휙 kontinue seragam pada [푚,푀] , terdapat 훿 > 0 sedemikian sehingga 훿 < 휀 dan |휙(푠) −휙(푡)| < 휀 jika |푠 − 푡| ≤ 훿 dan 푠, 푡 ∈ [푚,푀] .

Karena ƒ ∈ ℛ(훼), dimana sebuah partisi 푃 = {푥 ,푥 ,푥 , … ,푥 } pada selang [푎,푏] sedemikian sehingga

U(P, ƒ, α)− L(P, ƒ, α) = δ … (18).

Ambil sembarang 푀 ,푚 yang mempunyai arti atau pengertian yang sama dengan Defenisi 6.1, yaitu

푀 = sup ƒ(푥) 푢푛푡푢푘 ( 푥 ≤ 푥 ≤ 푥 )

푚 = inf ƒ(푥) 푢푛푡푢푘 (푥 ≤ 푥 ≤ 푥 ) ,

Dan ambil sembarang 푀 ∗,푚 ∗ dapat disamakan dengan bilangan ℎ. Untuk Bilangan 1, … , 푛 dapat dibagi ke dalam dua bagian,yaitu :

푖 ∈ 퐴 푗푖푘푎 푀 −푚 < 훿 , 푖 ∈ 퐵 푗푖푘푎 푀 −푚 ≥ 훿 .

Untuk ∈ 퐴 , kita pilih 훿 untuk menunjukkan 푀∗ −푚∗ ≤ 휀 .

Untuk 푖 ∈ 퐵, 푀∗ −푚∗ ≤ 2퐾 , dimana 퐾 = 푠푢푝|휙(푡)| , 푚 ≤ 푡 ≤ 푀. Dengan persamaan (18), kita dapat

훿 ∆훼 ≤ (푀 −푚 )∆훼 < 훿 … (19)

Sehingga ∑ ∆훼 < 훿 . jadi

푈 (푃,ℎ,훼) − 퐿 (푃,ℎ,훼) = (푀∗

− 푚∗)∆훼 + (푀∗ −푚∗)∆훼

≤ 휀[훼(푏)− 훼(푎)] + 2퐾훿 < 휀[훼(푏)− 훼(푎) + 2퐾].

Karena 휀 dapat berubah-ubah, teorema 6.6 membuktikan bahwa ℎ ∈ ℛ(훼).

SIFAT-SIFAT DARI INTEGRAL

Teorema 6.12

(a) 퐽푖푘푎 푓 ∈ ℛ(훼) 푑푎푛 푓 ∈ ℛ(훼) 푝푎푑푎 [푎, 푏],푚푎푘푎 푓 + 푓 ∈ ℛ(훼)

푐푓 ∈ ℛ(훼) 푢푛푡푢푘 푠푒푡푖푎푝 푐 푘표푛푠푡푎푛 ,푑푎푛

(푓 + 푓 )푑훼 = 푓 푑훼 + 푓 푑훼 ,

푐푓 푑훼 = 푐 푓 푑훼 .

(b) Jika 푓 (푥) ≤ 푓 (푥) 푝푎푑푎 [푎, 푏],푚푎푘푎

푓 푑훼 ≤ 푓 푑훼

(c) Jika 푓 ∈ ℛ(훼) 푝푎푑푎 [푎,푏] dan jika 푎 < 푐 < 푏, maka 푓 ∈ ℛ(훼) pada [푎, 푐] dan pada [푐,푏] , dan

푓 푑훼 + 푓 푑훼 = 푓 푑훼

Y ƒ X a b c

(d) Jika 푓 ∈ ℛ(훼) 푝푎푑푎 [푎,푏] dan jika |푓(푥)| ≤ 푀 푝푎푑푎 [푎, 푏], maka

푓 푑훼 ≤ 푀[훼(푏)− 훼(푎)] .

(e) Jika 푓 ∈ ℛ(훼 ) 푑푎푛 푓 ∈ ℛ(훼 ), maka 푓 ∈ ℛ(훼 + 훼 ), dan

푓 푑(훼 + 훼 ) = 푓 푑훼 + 푓 푑훼

Jika 푓 ∈ ℛ(훼) dan c adalah bilangan konstan positif, maka 푓 ∈ ℛ(푐훼) dan

푓 푑(푐훼) = 푐 푓 푑훼

Bukti :

Jika 푓 = 푓 + 푓 dan 푃 adalah suatu partisi pada [푎,푏] ,kita dapat

퐿 (푃, 푓 ,훼) + 퐿 (푃, 푓 ,훼) ≤ 퐿 (푃, 푓,훼) ≤ 푈 (푃, 푓,훼) ≤ 푈 (푃, 푓 ,훼) + 푈 (푃, 푓 ,훼) … (20)

jika 푓 ∈ ℛ(훼) 푑푎푛 푓 ∈ ℛ(훼). Ambil sembarang 휀 > 0. Dari partisi 푃 (푗 = 1,2) sedemikian sehingga

푈 푃 ,푓 ,훼 – 퐿 푃 , 푓 ,훼 < 휀

Pertidaksamaan ini berlangsung jika 푃 dan 푃 diganti dengan P penghalus bersama. Maka persamaan (20) membuktikan bahwa

푈 (푃, 푓,훼)− 퐿(푃,푓,훼) < 2휀 ,

Dimana bukti dari 푓 ∈ ℛ(훼).

Dengan P kita dapat

푈 푃,푓 ,훼 < 푓 푑훼 + 휀 (푗 = 1,2);

Karena persamaan (20) membuktikan

푓 푑훼 ≤ 푈 (푃,푓, 훼) < 푓 푑훼 + 푓 푑훼 + 2휀 .

Ketika 휀 dapat berubah-ubah, kita akhiri dengan

푓 푑훼 ≤ 푓 푑훼 + 푓 푑훼 … (21).

Jika kita ganti 푓 dan 푓 di dalam persamaan (21) dengan −푓 dan −푓 , ketidaksamaan ini adalah kebalikannya. Dan persamaan ini terbukti.

Teorema 6.13

Jika 푓 ∈ ℛ(훼) dan 푔 ∈ ℛ(훼) 푝푎푑푎 [푎, 푏],푚푎푘푎

a) 푓푔 ∈ ℛ(훼);

b) |푓| ∈ ℛ(훼) 푑푎푛 ∫ 푓 푑훼 ≤ ∫ |푓|푑훼. Bukti :

Jika kita ambil 휙(푡) = 푡 , Teorema 6.11 menunjukkan bahwa 푓 ∈ ℛ(훼) jika 푓 ∈ ℛ(훼).

ciri-cirinya

4푓푔 = (푓 + 푔) − (푓 − 푔)

Bukti dari (a) sudah lengkap.

Jika kita ambil (푡) = |푡| , dengan cara yang sama Teorema 6.11 menunjukkan bahwa |푓| ∈ ℛ(훼).

Pilih c = ± 1, sehingga

푐 푓 푑훼 ≥ 0

Maka

푓 푑훼 = 푐 푓 푑훼 = 푐푓 푑훼 ≤ |푓| 푑훼 ,

Ketika 푐푓 ≤ |푓|.

Definisi 6.14

Fungsi tangga satuan 퐼 didefinisikan sebagai berikut :

I(푥) = 0, 푥 ≤ 01, 푥 > 0

penjelasan dalam bentuk berupa gambar:

Y

퐼 =1 0 00 1 00 0 1

= 푖푑푒푛푡푖푡푎푠

1 퐼

0 X

Teorema 6.15

Jika 푎 < 푠 < 푏 ,푓 di batasi selang [푎, 푏] , 푓 kontinue ke s, dan 훼(푥) = 퐼(푥 − 푠), maka

푓 푑훼 = 푓(푠).

Bukti :

Anggaplah Partisi 푃 = {푥 ,푥 ,푥 , … , 푥 } dimana 푥 = 푎, dan 푥 = 푠 < 푥 < 푥 = 푏. Maka

푈 (푃,푓,훼) = 푀 , 퐿(푃, 푓,훼) = 푚

Saat 푓 kontinue ke s, kita lihat bahwa 푀 dan 푚 konvergen pada 푓(푠) dengan 푥 → 푠.

Y f

a s b X

Y

f

푓(푏)

푓(푠)

푓(푎)

1

0 a s b X

훼(푥) = 퐼(푥 − 푠) =

0, 푥 − 푠 ≤ 0푥 ≤ 푠

1, 푥 − 푠 > 0푥 > 푠

훼(푥) = 퐼(푥 − 푠)

푓 푑훼 = 푓(푠). 푇푒푟푏푢푘푡푖 !

Definisi 6.16

Misalkan 푐 ≥ 0 untuk 1,2,3, … ,∑푐 konvergen, {푠 } adalah barisan dari titik diskontinue dalam selang [푎,푏], dan

훼(푥) = 푐∞

퐼(푥 − 푠 ) … (22).

Ambil sembarang 푓 yang kontinue pada selang [푎, 푏]. Maka

푓 푑훼 = 푐∞

푓(푠 ) … (23).

Bukti

Perbandingan menunjukkan pada persamaan (22) konvergen untuk setiap 푥. Jumlah 훼(푥) mempunyai sifat monoton, dan (푎) = 0 , 훼(푏) = ∑푐 .

Ambil sembarang 휀 > 0, dan pilih 푁 sehingga

푐 < 휀∞

Dengan memasukkan

훼 (푥) = 푐∞

퐼(푥 − 푠)

훼 (푥) = 푐∞

퐼(푥 − 푠 )

Dari Teorema 6.12 dan 6.15,

푓 푑훼 = 푐∞

푓(푠 ) … (24)

Saat 훼 (푏)− 훼 (푎) < 휀 ,

푓 푑훼 ≤ 푀휀 … (25),

Dimana 푀 = 푠푢푝|푓(푥)|. Ketika = 훼 + 훼 , mengikuti dar persamaan (24) dan (25) yaitu

푓 푑훼 − 푐 푓(푠 ) ≤ 푀휀 … (26)

Jika kita ambil → ∞ , kita dapatkan persamaan (23).

Penjelasan dalam berupa gambar :

푓 푑훼 = 푐 푓(푠 )

훼(푥) = 푐∞

퐼(푥 − 푠 ) = 푐 퐼(푥 − 푠 ) + 푐 퐼(푥 − 푠 ) + 푐 퐼(푥 − 푠 ) + ⋯+ 푐 퐼(푥 − 푠 )

Y

푐

푐

푐

푐

푐

a 푆 푆 푆 푆 푆 푆 b X

Banyak titik tak terhingga 푥 < 푆 ⟹ 푥 − 푆 < 0

퐼(푥 − 푠 ) = 0

푆 < 푥 < 푆 ⟹ 퐼(푥 − 푠 ) = 1 ⟹ 훼(푥) = 푐 . 1 + 푐 . 0 + 푐 . 0 + ⋯+ 푐 . 0 = 푐

Definisi 6.17

Teorema ini terkait dengan metode Integral.

Di asumsikan 훼 adalah monoton naik dan 훼′ ∈ ℛ pada selang [푎, 푏]. Misal kan 푓 adalah fungsi Real yang terbatas pada selang [푎, 푏].

maka 푓 ∈ ℛ(훼) jika hanya jika 푓훼′ ∈ ℛ. Dalam kasus ini

푓 푑훼 = 푓(푥)훼 ′(푥) 푑푥 … (27).

Fungsi 훼 itu hasil turunannya Integral Riemann.

Contoh :

푥 푥 + 1 푑푥 = 푥 + 1 푑12푥 +

12

= 12

푥 + 1 푑(푥 + 1) = 13

23

(푥 + 1)

Keterangan : dari ∫ 푥 √푥 + 1 푑푥

푥 = 훼 ′(푥) dan 훼(푥) = 푥

√푥 + 1 = 푓(푥)

Bukti :

Ambil sembarang 휀 > 0 dan aplikasikan teorema 6.6 ke 훼′: termasuk partisi 푃 = {푥 ,푥 ,푥 , … , 푥 } pada selang [푎, 푏] sedemikian sehingga

푈 (푃,훼′)− 퐿(푃,훼′) < 휀 … (28)

Berdasarkan teorema nilai tengah disini dilengkapi titik 푡 ∈ [푥 ,푥 ] sedemikian sehingga

∆훼 = 훼 ′(푡 )∆푥

Untuk 푖 = 1,2, … ,푛. Jika 푠 ∈ [푥 ,푥 ] , maka

|훼′(푠 )− 훼′(푡 )|∆푥 < 휀 … (29),

∫푅푖푒푚푎푛푛 ∫퐵푖푎푠푎.

Dari persamaan(28) dan torema 6.7(b). ambil 푀 = 푠푢푝|푓(푥)|. saat

푓(푠 )∆훼 = 푓(푠 ) 훼′(푡 )∆푥

Mengikuti persamaan (29) bahwa

푓(푠 )∆훼 = 푓(푠 ) 훼 ′(푡 )∆푥 ≤ 푀휀 … (30)

Dalam keterangan-keterangan,

푓(푠 )∆훼 ≤ 푈 (푃,푓훼′) + 푀휀

Untuk semua pilihan pada 푠 ∈ [푥 ,푥 ]. Supaya

푈 (푃, 푓,훼) ≤ 푈 (푃, 푓훼′) + 푀휀

Persamaan rumus yang penting dari persamaan (30) untuk

푈 (푃, 푓훼′) ≤ 푈 (푃, 푓,훼) + 푀휀.

Sehingga

|푈 (푃,푓,훼)− 푈 (푃,푓훼′)| ≤ 푀휀 … (31)

Sekarang catat bahwa persamaan (28) sebenernya tetap jika 푃 adalah pengganti untuk setiap penghalus. Karena persamaan (31) juga sama. Kita simpulkan bahwa

푓 푑훼 − 푓(푥)훼 ′(푥)푑푥 ≤ 푀휀

Tapi 휀 dapat brubah-ubah. Karena

푓 푑훼 = 푓(푥)훼′(푥)푑푥 … (32),

Untuk setiap yang di batasi 푓. Persamaan integral bawah ini mengikuti persamaan (30) sama persis.

INTEGRAL DAN DIFFERENSIAL

Teorema 6.20

Misalkan 푓 ∈ ℛ(훼) 푝푎푑푎 [푎, 푏] untuk 푎 ≤ 푥 ≤ 푏, pilih

퐹(푥) = 푓(푡) 푑푡.

Maka 퐹 kontinue pada [푎,푏] ; selanjutnya , jika 푓 kontinue di titik 푥 푝푎푑푎 [푎, 푏], maka 퐹 terdefferensial di 푥 , dan

퐹′(푥 ) = 푓(푥 )

Penjelasan berupa gambar :

Y f

F(x)

a x y b X

ket :

퐹(푦) →

퐹(푥) →

|퐹(푦)− 퐹(푥)| = ∫ 푓(푡)푑푡 →

Bukti

Saat 푓 ∈ ℛ(훼),푓 adalah pembatas. Misalkan |푓(푡)| ≤ 푀 untuk 푎 ≤ 푡 ≤ 푏. jika 푎 ≤ 푥 < 푦 ≤ 푏, maka

|퐹(푦)− 퐹(푥)| = 푓(푡)푑푡 ≤ 푀(푦 − 푥)

Dari teorema 6.1(c) dan (d). diberikan sembarang 휀 > 0, kita lihat bahwa

푓(푥 ) = 푘표푛푠푡푎푛

Bukti bahwa

푓(푥 ) = 1

푡 − 푠푓(푥 )푑푢

푓(푥 ) = 1

푡 − 푠 [ 푓(푥 ) 푢 ]

푓(푥 ) = 1

푡 − 푠( 푓(푥 )푡 − 푓(푥 )푠 )

푓(푥 ) = 1

푡 − 푠 푓(푥 ) (푡 − 푠)

푓(푥 ) = (푡 − 푠)(푡 − 푠)

푓(푥 )

푓(푥 ) = 푓(푥 )

Kembali lagi ke atas,


− 푓(푥 ) =1

푡 − 푠[푓(푢)− 푓(푥 )]푑푢 < 휀

= 1

푡 − 푠[푓(푢)푢 − 푓(푥 )푢]

= 1

푡 − 푠[(푓(푢)푡 − 푓(푥 )푡)− (푓(푢)푠 − 푓(푥 )푠)]

= 1

푡 − 푠[(푓(푢)− 푓(푥 ))푡 − (푓(푢)− 푓(푥 ))푠]

= 1

푡 − 푠[(푓(푢)− 푓(푥 ))(푡 − 푠)]

= [푓(푢)− 푓(푥 )] < 휀

Menurut pengertian kontinue |푓(푢)− 푓(푥 )| < 휀

Maka terbukti bahwa


− 푓(푥 ) =1

푡 − 푠[푓(푢)− 푓(푥 )]푑푢 < 휀


= 푓(푥 )

Berdasarkan teorema nilai tengah

Setiap 푓 kontinue dan setiap ada 2 titik yang berbeda , maka ada titik diantara 2 titik yang berbeda itu, sedemikian sehingga adalah 퐹′(푥 ). Maka


= 푓(푥 ) = 퐹′(푥 )

Teorema 6.21

Teorema fundamental kalkulus. jika 푓 ∈ ℛ(훼) 푝푎푑푎 [푎, 푏] dan jika ada fungsi terdefferensial 퐹 푝푎푑푎 [푎,푏] sedemikian sehingga 퐹’ = 푓 , maka

푓(푥)푑푥 = 퐹(푏)− 퐹(푎)

Contoh :

푥 푑푥 =13푥 =

13

(10) −13

(1) = ⋯

Bukti :

Ambil sembarang 휀 > 0. Disini harus menunjukkan bahwa selisih dari

푓(푥)푑푥 = 퐹(푏)− 퐹(푎)

Harus sama dengan Nol (0). Atau nilai mutlaknya lebih kecil dari setiap bilangan positif 휀.

퐹(푏)− 퐹(푎)− 푓(푥)푑푥 < 휀

Untuk setiap 휀 > 0 maka terdapat sebuah partisi ( karena 푓 ∈ ℛ ) yaitu 푃 = {푥 ,푥 ,푥 , … , 푥 } pada [푎,푏] sedemikian sehingga supaya 푈 (푃, 푓)− 퐿(푃, 푓) < 휀. Berdasarkan teorema nilai tengah, setiap ada 2 titik, pasti ada titik yang merupakan anggota titik itu. Maka terdapat titik 푡 ∈ [푥 ,푥 ] sedemikian sehingga

퐹(푥 )− 퐹(푥 ) = 푓(푡 )∆푥

Untuk 푖 = 1,2, … ,푛. Jadi

퐹(푥 )− 퐹(푥 )푥 − 푥

= 퐹′(푡 ) = 푓(푡 )

Atau

퐹(푥 )− 퐹(푥 ) = 퐹 (푡 ).∆푥

퐹(푥 )− 퐹(푥 ) = 푓(푡 ).∆푥

퐹(푏)− 퐹(푎) = 푓(푡 ).∆푥

Atau

푓(푡 )∆푥 = 퐹(푏)− 퐹(푎).

Keterangan :

푓(푡 ) = titik

∆푥 = jarak

Berdasarkan teorema 6.7(c),

푓(푡 ).∆푥 − 푓(푥)푑푥 < 휀

sehingga

퐹(푏)− 퐹(푎)− 푓(푥)푑푥 < 휀

Maka

|퐹(푏)− 퐹(푎)| = 푓(푥)푑푥 < 휀

untuk setiap 휀 > 0. Terbukti !!!

Teorema 6.22

Integral parsial. Misalkan 퐹 dan 퐺 adalah fungsi-fungsi tedefferensial pada [푎,푏] , 퐹′ = 푓 ∈ ℛ dan 퐺′ = 푔 ∈ ℛ. Maka

퐹(푥).푔(푥)푑푥 = 퐹(푏).퐺(푏) −퐹(푎).퐺(푎)− 푓(푥).퐺(푥)푑푥 .

Contoh :

푥. sin푥 푑푥 = ⋯

Bukti :

Buat siatu fungsi baru, misal 퐻(푥) = 퐹(푥)퐺(푥).

퐹(푥) & 퐺(푥) adalah fungsi yang terdefferensial, maka 퐻(푥) juga fungsi yang trdefferensial.

Maka 퐻 terdeferrensial pada [푎,푏] , dan turunannya 퐻′ = ℎ ∈ ℛ ( sesuai dengan/menurut teorema 6.21)

ℎ(푥)푑푥 = 퐻(푏)− 퐻(푎)

ℎ(푥) turunan dari 퐻(푥).

ℎ(푥) = 푓(푥)퐺(푥) + 퐹(푥)푔(푥)

jadi, jika

( 푓(푥)퐺(푥) + 퐹(푥)푔(푥) ) 푑푥 = 퐹(푏).퐺(푏)− 퐹(푎).퐺(푎)

Maka ,

퐹(푥).푔(푥)푑푥 = 퐹(푏).퐺(푏)− 퐹(푎).퐺(푎)− 푓(푥).퐺(푥)푑푥.

Nurul Chairunnisa Utami Putri :

http://roelcup.wordpress.com

[email protected]

[email protected]

analisa matematika

Documents