analisa respon transient terhadap stabilitas sistem kontrol linier closed loop dilihat dari...
TRANSCRIPT
“ ANALISA KARAKTERISTIK RESPON TERHADAP STABILITAS SISTEM KONTROL LINIER DILIHAT DARI PERUBAHAN SISTEM ORDE ”
By : fadil firmansyah
PENDAHULUAN
A. Latar belakang
Sistem kendali adalah kombinasi dari beberapa komponen yang bekerja sama dan dapat menjalankan tugas-tugas tertentu.sistem tersebut termasuk sistem elektris,thermis,biologis maupun kehidupan sehari-hari manusia.dalam sistem ini bekerja hubungan timbal balik antara komponen-komponen yang membentuk suatu konfigurasi sistem yang memberikan suatu hasil yang dikehendaki.
Plant adalah seperangkat alat yang bekerjasama yang dipakai untuk melakukan suatu operasi tertentu.tujuan utama sistem kendali yaitu untuk memperoleh suatu optimisasi,hal ini dapat diperoleh berdasarkan fungsi sistem kendali yaitu : pengukuran ( measurement ),perbandingan (comparison),pencatatan dan penghitungan ( computation ),dan perbaikan ( correction ).
Banyak faktor dalam sistem kendali yang dapat memepengaruhi jalannya proses,antara lain :
a. Waktu gejala peralihan ( transient time ). Waktu yang diperlukan keluaran sistem untuk mencapai nilai yang diinginkan.semakin kecil waktu ini,maka keluaran sistem akan semakin cepat mencapai target.namun akibatnya keluaran akan berisolasi/melakukan simpangan yang cukup besar disekitar nilai yang menjadi target.
b. Waktu keadaan tunak ( steady state ).waktu dimana setelah gejala peralihan ( transient ) dianggap selesai atau pada saat amplitudo pada transient time.
Permasalahan umum yang ditemui dalam bidang sistem kendali yaitu tidak hanya menstabilkan sistem , tetapi bagaimana keluaran sistem mengikuti perubahan set point atau referensi yang ditentukan.Sehingga pada dasarnya stabilitas sistem closed loop yang stabil dapat ditentukan dari lokasi pole- pole close loop pada bidang S. Sistem tidak stabil, apabila pole-pole tersebut terletak di sebelah kanan bidang S. Sedangkan Sistem yang stabil, apabila pole-pole terletak di sebelah kiri bidang S.
B. Permasalahan
Setelah melihat latar belakang yang berkaitan dengan hal tersebut diatas,maka pembatasan masalah pada paper ini adalah :
1. Apa yang menyebabkan sistem ini tidak stabil?2. Dapatkah sistem yang tidak stabil ini dirancang agar menjadi sistem yang stabil?3. Apa yang diakibatkan jika ada perubahan orde?
C. Batasan masalah
Pada kompleks permasalahan yang terdapat dalam analisa respon transient terhadap adanya perubahan sistem orde ,maka perlu adanya batas-batasan sebagai berikut :
1. Digunakan permodelan matematis sistem orde satu dan sistem orde dua.2. Pengujian karakteristik sistem dalam bentuk blok diagram sederhana,serta
penghitungan secara toritis.3. Input pada sistem ini berbentuk unit steps.
PEMBAHASAN
A.Model matematik sistem
Model matematik dari sistem dapat disajikan dalam yang berbeda bergantung dari sistem yang akan ditinjau.sebagai contoh dalam menganalisis suat karakteristik dari respon transient ini,akan lebih mudah.sehingga dalam analisis respon transien dari suatu sistem satu masukan dan satu keluaran akan lebih mudah jika disajikan menggunakan fungsi alih ( transfer function ).
A.1 Fungsi Alih
Fungsi alih sistem linier didefinisikan sebagai perbandinga antara transformasi laplace dengan keluaran ( fungsi respon y) dan transformasi laplace masukan ( fungsi referensi u) dengan anggapan bahwa semua syarat awal adalah bernilai nol.
Fungsi alih tidak memberikan informasi sistem dalam bentuk ruang keadaan ( state space ).pada dasarnya adalah menyusun hubungan antara masukan – keluaran sistem dalam persamaan diferensial orde pertama dengan menggunakan notasi matriks –vektor.
A.2. persamaan ruang keadaan ( state space )
Penyajian model matematik sistem dalam bentuk ruang keadaan ( state space).pada dasarnya adalah menyusun hubungan antara masukan –keluaran sistem dala persamaan diferensial orde pertama dengan menggunakan notasi matriks-vektor. Misalkan suatu persamaan diferensial sistem orde ke n sebagai berikut :
( pers.2.1)
Dimana y adalah keluaran sistem dan u adalah masukan.untuk membuat model matematik persamaan (2.1) kedalam persamaan ruang keadaan,maka hal pertama yang harus dilakukan adalah menyusun persamaan ( 2.1) kedalam persamaan orde pertama.jika dimisalkan ;
Selanjutnya persamaan ( 2.9) dapat ditulis sebagai
Dimana
Persamaan keluaran menjadi
Atau
Y =Cx (pers.2.3)
Dimana
C= [ 1 0 .... 0 ]
Nilai A,B,C berturut –turut dikenal sebagai matriks parameter keadaan,parameter input dan parameter output.persamaan ( 2.2) dan ( 2.3) berikutnya dikenal dengan persamaan ruang keadaan ( state space)
B.karakteristik respon sistem orde satu
Pada dasarnya fungsi alih sistem orde satu dapat dinyatakan sebagai berikut :
Dimana :
K=gain overall
T= konstanta waktu
Untuk masukan sinyal unit step ,transformasi laplace dari sinyal masukan.maka,respon keluaran sistem orde satu dengan masukkan sinyal step dalam kawasa S adalah
Dengan menggunakan invers transformasi laplace diperoleh respon dalam kawasa waktu yang dinyatakan dalam kawasan waktu yang dinyatakan dalam persamaan berikut :
Kurva respon orde satu untuk masukan sinyal unit step ditunjukan oleh gambar dibawah ini
Gambar : Respon Orde Dua Terhadap Masukan Unit Step
Ketika diberi masukan unit step, keluaran sistem c(t) mula-mula adalah nol dan terus naik hingga mencapai nilai K. salah satu karakteristik sistem orde satu adalah ketika nilai t = τ, yaitu ketika nilai keluaran mencapai 63,2% dari nilai akhirnya.
C.karakteristik respon sistem orde dua
Persamaan umum sistem orde dua dinyatakan oleh persamaan berikut
Dimana:
K= gain overall
ξ = rasio redaman
ωn = frekuensi alami
Bentuk umum kurva respon orde dua untuk masukan sinyal unit step ditunjukkan oleh Gambar dibawah ini :
Gambar : Respon Orde Dua Terhadap Masukan Unit Step
Dari grafik di atas diketahui karakteristik keluaran sistem orde dua terhadap masukan unit step, yaitu:
1. Waktu tunda (delay time), td
Ukuran waktu yang menyatakan faktor keterlambatan respon output terhadap input, diukur mulai t = 0 s/d respon mencapai 50% dari respon steady state. Persamaan (1) menyatakan besarnya waktu tunda dari respon orde dua.
2. Waktu naik (rise time), tr
Waktu naik adalah ukuran waktu yang di ukur mulai dari respon t= 0 sampai dengan respon memotong sumbu steady state yang pertama. Besarnya nilai waktu naik dinyatakan pada persamaan berikut:
3. Waktu puncak (peak time), tp
Waktu puncak adalah waktu yang diperlukan respon mulai dari t=0 hingga mencapai puncak pertama overshoot. Waktu puncak dinyatakan pada persamaan berikut:
4. Overshoot maksimum, Mp
Nilai reltif yang menyatakan perbandingan antara nilai maksimum respon (overshoot) yang melampaui nilai steady state dibanding dengan nilai steady state. Besarnya persen overshoot dinyatakan dalam persamaan berikut:
5. Waktu tunak (settling time), ts
Waktu tunak adalah ukuran waktu yang menyatakan respon telah masuk ±5%, atau ±2%, atau ±0.5% dari keadaan steady state, dinyatakan dalam persamaan berikut:
SIMULASI
Sistem orde 1
Block diagram :
R(s) C(s)
Transfer function
C( s )R( s )
= 12s+1
12 s + 1
Kurva respon
Letak pole dan zero
Hasil simulasi
- Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1- Pada t = T, c(t) = 0,632
T = time constant sistem
Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat.
- Slope pada t = 0 adalah 1/TSlope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 0 pada t =
- t = T : 0 – 63,2%t = 2T : 0 – 86,5%
t = 3T : 0 – 95%
t = 4T : 0 – 98,2%
t = 5T : 0 – 99,3%
- t = steady state
sistem orde 2
block diagram
R(s) E(s) C(s)
+
Transfer function
C( s )R( s )
=10/s(s+2)1+10/s( s+2 )
=10s (s+2)+10
=10
s2+2 s+10
pole-pole : s1 = -1 + j3
s2 = -1 – j3
10
S2+2S+10
kurva respon
Letak pole dan zero
hasil simulasi
Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (ζ). Bila 0 < ζ < 1, sistem dinamakan
underdamp. Bila ζ = 1, sistem disebut critically damp, dan bila ζ > 1, sistem disebut overdamp. Untuk
mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan tersebut akan dibahas untuk input yang
berbentuk unit step. karena pole-pole terletak di sebelah kiri sumbu imajinair, maka Sistem stabil
Gambar tanggapan sistem orde 2 pada masukan step function.
1.waktu naik ( tr )
Waktu naik ( tr) didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan oleh tanggapan untuk naik dari 10 hingga 90 perse dari harga akhir.
c(t) = 1 – e -ζn t( cosdt + ζ sin d t)
1 – ζ2
t = tr c(tr) = 1, maka:
c(tr) = 1 – e -ζn tr( cosdtr + ζ sin d tr)
1 – ζ2
karena e -ζn tr 0 maka :
cos d tr + ζ sin d tr = 0
1 – ζ2
atau
tan d tr = - 1 – ζ2
ζ
Jadi,
tr =
1ωd
tan−1(ωd
−σ)=π−β
ωd
2.waktu puncak ( tp)
dc = (sin d tp) n e-ζn tp = 0
dt t = tp 1 - ζ
sin d tp = 0
d tp = 0, , 2, 3, …
d tp =
tp =
dc = (sin d tp) n e-ζn tp = 0
dt t = tp 1 - ζ
sin d tp = 0
d tp = 0, , 2, 3, …
d tp =
tp = /d
3.lewatan maksimum
Mp = c(tp) – 1
= - e-ζn( / d) (cos + ζ sin )
1 – ζ2
= e-( / d)
= e-(ζ/ 1-ζ2 )
Lewatan maksimum (%) = e-( / d) x 100%
4.waktu penetapan
e-ζnt
c(t) = 1 - sin (dt + tan-1 1 - ζ2 ) (t 0)
1 - ζ2 ζ
KESIMPULAN
Analisa stabilitas ini berhubungan dengan penentuan apakah sebuah sistem stabil atau tidak dan seberapa jauh atau dekat keadaan stabil kritis yang menentukan stabilitas relatif suatu sistem.
Penentuan stabilitas relatif menjadi penting karena akan menentukan suatu performans suatu sistem baik dalam keadaan transient maupun dalam proses steadi sekaligus.