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PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO
ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE UMA
POLIAMIDA SOB CARREGAMENTO
CÍCLICO
LUIZ GUSTAVO MOURA OLIVEIRA DE MEDEIROS
AGOSTO DE 2016
LUIZ GUSTAVO MOURA OLIVEIRA DE MEDEIROS
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO ELASTO-
VISCOPLÁSTICO DE UMA POLIAMIDA SOB
CARREGAMENTO CÍCLICO
Dissertação de Mestrado apresentada ao
Programa Francisco Eduardo Mourão
Saboya de Pós-Graduação em Engenharia
Mecânica da UFF como parte dos
requisitos para a obtenção do título de
Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica
Orientadores: Heraldo Silva da Costa Mattos,D.Sc . (PGMEC/UFF)
João Marciano Laredo dos Reis,Ph .D. (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE NITERÓI, 02 DE AGOSTO DE 2016
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO ELASTO-VISCOPLÁSTICO DE UMA POLIAMIDA SOB
CARREGAMENTO CÍCLICO
Esta Dissertação é parte dos pré-requisitos para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
Área de concentração: Mecânica dos Sólidos
Aprovada em sua forma final pela Banca Examinadora formada pelos professores:
Prof. Heraldo Silva da Costa Mattos (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense
(Orientador)
Prof. João Marciano Laredo dos Reis (Ph. D.)
Universidade Federal Fluminense
(Co-Orientador)
_______________________________________________________________
Prof. Maria Laura Martins Costa (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense
Prof. Lavinia Maria Sanabio Alves Borges (D.Sc.)
COPPE - Universidade Federal do Rio de Janeiro
Ao Meu Avô
Darcy Martins
de Oliveira.
Agradecimentos
Aos meus orientadores professores Heraldo Silva da Costa Mattos, pela
orientação e ensinamentos na área de plasticidade cíclica, e João Marciano Laredo dos
Reis, pelo apoio e incentivo na realização dos ensaios mecânicos.
À CAPES pelo apoio financeiro com a bolsa de mestrado.
Aos meus pais Denise Moura de Oliveira e Luiz Osair de Medeiros por terem
me fornecido os meios necessários para a realização do mestrado.
À Andressa Cappella pelo companherismo e apoio em todos os momentos, além
da ajuda na revisão desta dissertação.
À minha irmã Luciana Moura Oliveira de Medeiros pelos conselhos e exemplo
ao longo dos anos.
RESUMO
O objetivo deste trabalho é avaliar experimentalmente o comportamento
mecânico de uma poliamida 12 (Nylon 12) submetida a carregamentos cíclicos de carga
e descarga. Corpos de prova foram retirados de uma amostra de uma barreira de pressão
de um duto flexível para a realização dos ensaios. Para investigar efeitos viscosos no
comportamento do material, ensaios de tração monótonos com três velocidades de
carregamento foram conduzidos: 0.5 mm/min, 5 mm/min e 50 mm/min. Os ensaios
cíclicos com tensão prescrita foram realizados a uma taxa de carregamento de 3 N/s e
seguiram a norma ASTM D638-08. Os resultados mostraram que a taxa de deformação
não altera significativamente as propriedades elásticas do material (módulo de
elasticidade) e seus efeitos são importantes nas propriedades plásticas (tensão de
proporcionalidade), caracterizando, assim, um comportamento elasto-viscoplástico. Sob
carregamentos cíclicos, o material exibe uma acumulação progressiva de deformação
plástica e a formação de um laço de histerese. Foi verificado experimentalmente que
esse fenômeno é devido essencialmente ao endurecimento cinemático, que para esse
polímero é muito maior que o endurecimento isotrópico. Para modelar a evolução das
variáveis de endurecimento, um modelo fenomenológico elasto-viscoplástico
unidimensional foi proposto.
Palavras-chave: Poliamida; Polímeros; Ensaios cíclicos; Elasto-viscoplasticidade;
Ratcheting.
ABSTRACT
The present study is concerned with the experimental investigation of the
mechanical behaviour observed in cyclic load and unload tests performed in a
polyamide (nylon 12). Tensile test specimens were machined from a sample used as
pressure sheath in a flexibe pipe. In order to investigate possible viscous effects on the
material behavior, monotonic tensile tests with three stroke velocities were conducted:
0.5 mm/min, 5 mm/min e 50 mm/min. Cyclic tests with prescribed stress were
conducted with a frequency of 3N/s and followed the methodology presented in ASTM
D638-08 standard. The results showed that the loading rate does not significantly affects
the materials elastic properties (modulus of elasticity), and its effects are important on
the plastic properties (proportional limit), characterizing so an elasto-viscoplastic
behavior. Under cyclic loadings, the material exhibits a progressive accumulation of
plastic deformation and a formation of hysteresis. It was experimentally verified that
this phenomenon is essentially due to the kinematic hardening, which for this kind of
polymer is much greater than the isotropic hardening. To model the evolution of the
hardening variables a phenomenological elasto-viscoplastic unidimensional model was
proposed.
Keywords: Polyamide polymer; Cyclic tensile tests; Elasto-viscoplasticity; Ratcheting.
SUMÁRIO
RESUMO .................................................................................................................... 6 ABSTRACT ................................................................................................................. 7
Capítulo 1 ...................................................................................................................... 13 Introdução ................................................................................................................. 13 1.1. Considerações Gerais ....................................................................................... 13 1.2. Objetivos .......................................................................................................... 14
1.3. Estrutura da Dissertação .................................................................................. 15
Capítulo 2 ...................................................................................................................... 16 Revisão Bibliográfica ................................................................................................ 16 2.1. Materiais Poliméricos ...................................................................................... 16
2.1.1 Influência da Temperatura e Taxa de Deformação .................................. 17 2.1.2 Comportamento Cíclico Inelástico ........................................................... 20
2.2. Ensaios Mecânicos – Observações Fenomenológicas ..................................... 23
2.1.3 Ensaio de tração monótono....................................................................... 23 2.1.4 Ensaios Cíclicos ........................................................................................ 27
Capítulo 3 ...................................................................................................................... 35 Equações Constitutivas ............................................................................................ 35 3.1. Equações Fundamentais da Mecânica do Contínuo......................................... 35
3.1.1 Elasticidade Linear ................................................................................... 38 3.1.2 Critério de Von Mises .............................................................................. 39
3.2. Equações Constitutivas Gerais Elasto-Plasticidade e Elasto-viscoplasticidade
40 3.2.1 Equações Constitutivas Unidimensionais ................................................. 43
3.3. Modelo Elasto-viscoplástico Unidimensional ................................................. 44 3.3.1 Identificação da viscosidade ..................................................................... 45
Capítulo 4 ...................................................................................................................... 47 Materiais e Métodos ..................................................................................................... 47
4.1. Material ............................................................................................................ 47 4.2. Métodos ........................................................................................................... 49
4.2.1 Ensaios Cíclicos ........................................................................................ 51
Capítulo 5 ...................................................................................................................... 53
Resultados ..................................................................................................................... 53 5.1. Ensaios Monótonos .......................................................................................... 53 5.2. Ensaios Cíclicos ............................................................................................... 59
5.2.1 Evolução do Segmento Elástico ............................................................... 61
5.3. Parâmetros do Modelo Elasto-viscoplástico .................................................... 62
Capítulo 6 ...................................................................................................................... 64
Conclusões e Perspectivas Futuras ............................................................................. 64 6.1. Perspectivas para trabalhos futuros .................................................................. 65
Capítulo 7 ...................................................................................................................... 66 Referências Bibliográficas ........................................................................................... 66
ANEXO .......................................................................................................................... 69
Lista de Figuras
Figura 2.1: Influência da taxa de deformação no comportamento mecânico do PTFE
[11]. ................................................................................................................................ 18 Figura 2.2: Curva tensão x deformação da poliamida 12 para várias velocidades de
carregamento [12]. .......................................................................................................... 18
Figura 2.3: Curva tensão x deformação do PA 6 sob várias temperaturas [14]. ............ 19 Figura 2.4: Evolução da deformação plástica progressiva no PTFE [15]. ..................... 20 Figura 2.5: Evolução do domínio elástico do epoxy sob carregamento cíclico [17]...... 21 Figura 2.6: Corpo de prova padrão submetido a carga axial. Adaptado de [21]. ........... 23 Figura 2.7: Ensaio de tração convencional típico em materiais metálicos [23]. ............ 24
Figura 2.8: Influência da temperatura nas propriedades elásticas de diversas ligas
metálicas [4]. .................................................................................................................. 25 Figura 2.9: Efeito do descarregamento na curva tensão x deformação. Adaptado de [4].
........................................................................................................................................ 26 Figura 2.10: Curva tensão x deformação plástica para um material elasto-viscoplástico
[20]. ................................................................................................................................ 27
Figura 2.11: Influência da taxa de deformação na curva x [22]. ............................. 27 Figura 2.12: Ensaio cíclico com deformação prescrita [4]. ............................................ 28 Figura 2.13: Efeito Bauschinger observado em ligas metálicas [4]. .............................. 29
Figura 2.14: Amolecimento cíclico: (a) ensaio com deformação prescrita; (b) ensaio
com tensão prescrita [4]. ................................................................................................. 29 Figura 2.15: Endurecimento cíclico: (a) ensaio com deformação prescrita; (b) ensaio
com tensão prescrita [4]. ................................................................................................. 30 Figura 2.16: Fenômenos de estabilização e ratchetting em ensaios cíclicos [4]. ........... 30
Figura 2.17: Acúmulo de deformação plástica progressivo e estabilização em ensaios
cíclicos de uma resina epoxy [17]. ................................................................................. 31
Figura 2.18: Identificação do segmento elástico em um ensaio cíclico uniaxial.
Adaptado de [4]. ............................................................................................................. 33
Figura 2.19: Influência das variáveis de endurecimento no comportamento cíclico [17].
........................................................................................................................................ 34
Figura 3.20: Representação geométrica do critério de Von Mises no espaço das
componentes principais do desviador da tensão [4]. ...................................................... 40 Figura 3.21: Evolução do domínio elástico definido pelo critério de Von Mises
Generalizado em função de X e Y[4]. ............................................................................ 43 Figura 3.22: Identificação experimental do termo viscoso [22]. .................................... 45
Figura 4.23: Barreira de Pressão utilizada na fabricação dos corpos de prova [8]......... 47 Figura 4.24: Geometria padrão dos corpos de prova retiradas da barreira de pressão.
Adaptado de [25]. ........................................................................................................... 48 Figura 4.25: Corpos de prova típicos usados nos ensaios. ............................................. 49
Figura 4.26: Arranjo típico na máquina de ensaios: (a) corpo de prova montado nas
garras; (b) controlador da velocidade de deslocamento; (c) visor de monitoramento dos
parâmetros do ensaio. ..................................................................................................... 50
Figura 4.27: Detalhe do controle de velocidade automático na máquina de ensaios. .... 50 Figura 4.28: Sistema de aquisição de dados mostrando a evolução da curva força x
deslocamento em tempo real. ......................................................................................... 51 Figura 4.29: Carregamento típico utilizado nos ensaios cíclicos. .................................. 52
Figura 5.30: Evolução de um cp padrão durante ensaio monótono de tração: (a) início;
(b) meio; (c) final. ........................................................................................................... 54 Figura 5.31: Detalhe do momento da ruptura do corpo de prova durante ensaio de
tração. ............................................................................................................................. 54
Figura 5.32: Curva para várias velocidades de carregamento até a ruptura. ......... 55
Figura 5.33: Curva limitada em 10% de deformação............................................ 55 Figura 5.34: Definição prática para o cálculo do módulo de elasticidade. ..................... 56
Figura 5.35: Ajuste de pontos dos gráficos . ......................................................... 57
Figura 5.36: Reta ajustada representando a parte elástica da curva . ..................... 57
Figura 5.37: Curva p x para diferentes velocidades. ................................................ 58
Figura 5.38: Curva cíclica até a ruptura. ............................................................... 59
Figura 5.39: Curva cíclica limitada a 16% de deformação. .................................. 59
Figura 5.40: Curva pσ x ε cíclica limitada a 10% de deformação. ................................. 60
Figura 5.41: Curva obtida a partir da curva . ............................................. 61 Figura 5.42: Evolução do segmento elástico na poliamida. ........................................... 61
Figura 5.43: Identificação do termo viscoso no gráfico . ....................................... 62
Figura 5.44: Gráfico log x log . ................................................................................. 63
Lista de Tabelas
Tabela 4.1: Dimensões do corpo de prova padrão.......................................................... 48 Tabela 4.2: Tipos de ensaios realizados. ........................................................................ 49 Tabela 5.3: Propriedades mecânicas da poliamida. ........................................................ 58 Tabela 5.4: Valores de tensão para identificação do termo viscoso. .............................. 63
13
Capítulo 1
Introdução
1.1. CONSIDERAÇÕES GERAIS
O crescimento da indústria de materiais poliméricos tem sido exponencial nos
últimos anos. O desenvolvimento de novas tecnologias e o investimento em pesquisa de
novos materiais, mais leves e resistentes, gerou uma demanda que fez com que a
produção total de polímeros superasse a de metais por mais de 20 anos [1]. Em grande
parte esse desenvolvimento acelerado se deu no período pós-segunda guerra mundial,
onde os Estados Unidos e a Alemanha lideraram o esforço tecnológico que levou a
descoberta de novos produtos petroquímicos.
Nesse contexto, a participação do Brasil na produção de resinas termoplásticas
corresponde a 2,7 % da produção mundial, sendo a maior da América Latina [2]. Suas
aplicações na industriais incluem o setor automotivo, aeronáutico, alimentos e óleo e
gás. Esse último de especial interesse onde materiais poliméricos estruturais são
utilizados em soluções para conduzir o petróleo de reservatórios em altas profundidades
para as plataformas, através dos dutos flexíveis.
O advento dos dutos flexíveis tornou possível a antecipação de projetos na
indústria de óleo e gás, permitindo a instalação das conexões com os poços em trajetos
mais flexíveis e econômicos do que os obtidos com dutos de aço. Além disso, seu
desenvolvimento demonstrou uma de suas vantagens em relação aos dutos rígidos: a
14
facilidade de ser recolhido do reservatório original e ser relançado em outro local [3].
As linhas flexíveis não-coladas são constituídas por diversas camadas
sobrepostas, em uma combinação de camadas de aço e polímeros. Cada uma possui uma
função específica e suas características variam de acordo com a aplicação a que se
destinam os dutos. Uma dessas camadas é chamada de barreira de pressão e se destina a
conter o fluido em transporte e promover a estanqueidade. É fabricada em material
polimérico extrudado, geralmente são usados: HDPE (Polietileno de Alta Densidade),
Poliamida 11/12 (Nylon), PVDF (Fluoreto de Polivinilideno). A escolha do material
adequado envolve a análise do tipo de fluido a ser transportado, sua temperatura de
operação, presença de gases como H2S (Sulfeto de Hidrogênio) sua resistência a
hidrocarbonetos.
Com os avanços na exploração do petróleo no Brasil, em especial na região do
Pré-sal, as empresas tem investido cada vez mais no desenvolvimento e caracterização
de materiais poliméricos capazes de resistir às condições severas de operação a que as
linhas flexíveis são submetidas. Nesse sentido, a motivaçao deste trabalho surgiu da
necessidade de se conhecer o comportamente mecânico da Poliamida 12 (Nylon 12),
utilizada como barreira de pressão em um duto flexível, submetida a carregamentos
cíclicos.
O estudo do comportamento mecânico de materiais poliméricos sob
carragamento cíclicos se torna extramente relevante, uma vez que, no caso dos dutos
flexíveis seu histórico de carregamento pode variar muito ao longo de sua vida útil.
Além disso, é interessante ressaltar que ao contrário dos aços, esse tipo de estudo sobre
o comportamento plástico de polímeros ainda foi pouco explorado.
1.2. OBJETIVOS
O objetivo desse trabalho é investigar experimentalmente o comportamento
mecânico da poliamida 12, utilizada como barreira de pressão de um duto flexível,
submetida a um carregamento cíclico de carga e descarga. O estudo da acumulação
progressiva de deformação plástica no PA 12 será feito através de ensaios de tração
cíclicos (tensão controlada), feitos em corpos de prova retirados da barreira de pressão.
Para avaliar a possível dependência das propriedades mecânicas com a taxa de
15
deformação (viscoelasticidade ou elasto-viscoplasticidade), três diferentes velocidades
de carregamento serão utilizadas.
Um modelo fenomenológico capaz de descrever o comportamento inelástico
cíclico da poliamida será proposto baseado nos modelos de Lamaitre-Chaboche [4]. A
idéia é propor um modelo unidimensional que combine simplicidade matemática
suficiente para que seja aplicado nos problemas de engenharia do dia-a-dia, mas que
seja capaz de descrever comportamentos mecânicos não-lineares complexos.
1.3. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO
No capítulo II são apresentadas as referências bibliográficas referente a materiais
poliméricos. Em específico sobre a poliamida e suas principais características e
propriedades mecânicas. Ainda, são introduzidas observações fenomenológicas a cerca
de ensaios uniaxiais de materiais metálicos e poliméricos.
O capítulo III traz as equações constitutivas gerais no contexto da mecânica do
contínuo e do modelo elasto-viscoplástico de Chaboche. Além o procedimento para
identificação dos parâmetros do modelo proposto para este trabalho.
No capítulo IV os materiais e métodos utilizados nos ensaios experimentais são
apresentados. Já no capítulo V os resultados dos ensaios e sua comparação com o
modelo proposto são apresentados.
As conclusões e propostas para trabalhos futuros estão no capítulo VI.
15
Capítulo 2
Revisão Bibliográfica
2.1. MATERIAIS POLIMÉRICOS
Os materiais poliméricos fazem parte de uma classe de materiais extremamente
versáteis e estão presentes nas atividades cotidianas, como em embalagens, borrachas,
fitas adesivas, e em diversas aplicações industriais modernas. Suas propriedades
apresentam grandes variações entre diferentes tipos de polímeros e muitas vezes entre o
mesmo tipo em estados físicos diferentes [5].
Segundo Mano e Mendes [6], os polímeros são macromoléculas caracterizadas
por seu tamanho, estrutura química e interações intramoleculares. São formados por
unidades químicas (meros) repetidas ao longo de sua cadeia, onde o número de meros é
denominado grau de polimerização.
Devido a sua diversidade os polímeros podem ser classificados de várias
maneiras. Quanto a sua origem (naturais ou sintéticos), número de monômeros
envolvidos, método de preparação, conforme sua estrutura química, etc. Diversas
dissertações desenvolvidas no Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada (LMTA) da
UFF se dedicaram a explicar cada uma dessas classificações e demais características de
materiais poliméricos [[7], [8], [9]] em seus capítulos de revisão bibliográfica.
Assim, por uma questão de objetividade, o escopo desse trabalho se limitará a
apresentar os principais estudos desenvolvidos na caracterização do comportamento
mecânico dos polímeros, em especial da poliamida, objeto de estudo desta dissertação.
17
2.1.1 Influência da Temperatura e Taxa de Deformação
Como salientado no capítulo 1, as aplicações dos polímeros na indústria são as
mais variadas possíveis. Seu uso como material estrutural vem sendo cada vez mais uma
solução encontrada por engenheiros e pesquisadores, ao se depararem com restrições de
peso nos produtos desenvolvidos. Portanto, o estudo do comportamento mecânico dos
materiais poliméricos representa uma etapa crucial no desenvolvimento de novos
equipamentos.
Ao longo dos últimos anos, diversos estudos tem sido conduzidos no sentido de
caracterizar a influência de variáveis como temperatura e taxa de carragamento na
resposta mecânica dos polímeros. Reis et al. [10] analisou a resposta termomecânica do
HDPE (Polietileno de alta densidade) reciclado em ensaios de tração uniaxais. Os
ensaios foram realizados a temperaturas variando de 25°C a 100°C e taxas de
deformação de , mostrando uma grande influência desses parâmetros
no comportamento mecânico do material, especialmente na rigidez e tensão última.
Nunes et al. [11] apresentou um estudo sobre a influência da taxa de deformação
no politetrafluoretileno (PTFE), também conhecido comercialmente como Teflon,
submetido a ensaios de tração. Dado seu comportamento superplástico, onde grandes
deformações são observadas, a elongação dos corpos de prova foi medida através de um
método óptico sem contato. Um modelo constitutivo foi proposto para modelar o
comportamento mecânico do PTFE, com constantes que representam as características
do material como a dependência com a taxa de deformação. Os parâmetros foram
identificados usando a técnica dos mínimo quadrados (Levenberg-Marquardt), os
resultados mostraram uma excelente aproximação das curvas experimentais.
A figura 2.1 mostra a curva tensão x deformação do PTFE obtida nos ensaios de
[11] e evidencia seu comportamento elasto-viscoplástico, muito comum em diversos
tipos de polímeros.
18
Figura 2.1: Influência da taxa de deformação no comportamento mecânico do
PTFE [11].
O comportamento da poliamida com a variação de temperatura e da taxa de
carragamento foi estudado por Serban et al. [12] que apresentou um estudo com a
variação de temperatura de -25° C até 50°C e variações de taxa de deformação de
até em um corpo de prova de poliamida 12. Um aumento do módulo
de elasticidade e da tensão limite de escoamento foi observado com a diminuição da
temperatura. Assim como um aumento da tensão de proporcionalidade com taxas de
carragamento maiores. Esse comportamento pode ser observado na figura 2.2, que traz
as curvas tensão x deformação obtidas com velocidades de deslocamento de 2, 20, 200 e
2000 mm/min.
Figura 2.2: Curva tensão x deformação da poliamida 12 para várias velocidades de
carregamento [12].
19
Em um estudo sobre o comportamento elasto-viscoplástico do PVDF (Fluoreto
de Polivinilideno), material muito utilizado em barreiras de pressão de dutos flexíveis,
Reis e da Costa Mattos [13] apresentaram um modelo fenomenológico unidimensional
capaz de descrever o comportamento do material em ensaios de tração com taxas de
deformação variáveis. Ao observarem que a região elástica é praticamente insensível às
mudanças na taxa de deformação, e que a região plástica era fortemente influencidada, a
deformação foi dividida em duas partes: elástica e plástica. Assim, com a curva tensão x
deformação plástica, foi possível identificar duas regiões com comportamentos distintos
da segunda derivada da tensão em relação a deformação plástica. Essas observações
foram usadas para propor o modelo, baseado num contexto termodinâmico consistente,
que relacionou essas regiões distintas com constantes que representam características do
material.
Shan et al [14] fez observações sobre a resposta mecânica da poliamida 6 ao ser
submetida a carregamentos com taxa de deformação variáveis e diferentes temperaturas.
Os corpos de prova foram fabricados em 3 tamanhos, com comprimentos, larguras e
espessuras diferentes, onde cada tipo foi testado com temperaturas variando de 15°C a
80°C e velocidades de carregamento de 1, 5, 10 e 50 mm/min. Os resultados mostraram
que para temperaturas mais baixas, existiam dois patamares de limite de escoamento
distintos . A figura 2.3 mostra esse comportamento da curva tensão x deformação
observada no PA 6 para uma velocidade de carregamento de 1 mm/min e várias
temperaturas.
Figura 2.3: Curva tensão x deformação do PA 6 sob várias temperaturas [14].
20
No entanto, observou-se que conforme a temperatura atinge um certo valor a
deformação exibe um platô similar ao comportamento da borracha. Esse fenômeno de
duplo escoamento apresentou relação com a combinação de taxa de deformação e
temperatura e somente foi observado para pares dessas variáveis específicos, geralmente
para baixas temperaturas e baixas taxas de carregamento.
2.1.2 Comportamento Cíclico Inelástico
O conhecimento do comportamento mecânico de materais poliméricos sob
carregamentos cíclicos é de extrema importância em aplicações industriais,
especialmente em tubulações e aplicações na indústria de oléo e gás onde existe uma
flutuação da pressão de operação dos equipamentos. No entanto, ainda existem
relativamente poucos estudos nessa área.
Chen e Hui [15] estudaram o comportamento inelástico do PTFE sob
compressão cíclica. Os efeitos da taxa de carregamento, tensão média e amplitude na
acumulação de deformação plástica progressiva, conhecida como ratcheting, são
discutidos. A resposta mecânica do PTFE foi estudada em taxas de carregamento
variando de 4, 10, 40, 400 e 4000 N/s, em ensaios controlados pela tensão máxima de 4
kN. Efeitos viscosos foram observados no segmento de descarga dos primeiros ciclos e
a deformação plástica progressiva e sua taxa apresentaram redução com o aumento da
taxa de carregamento, assim, para a menor taxa de carregamento (4 N/s) a maior
deformação plástica foi registrada (9%). Nesse sentido, foi possível concluir que o
comportamento cíclico do material (ratcheting) é sensível a taxa de deformação. A
figura 2.4 mostra a evolução do acúmulo de deformação plástica progressivo para uma
taxa de 400 N/s.
Figura 2.4: Evolução da deformação plástica progressiva no PTFE [15].
21
Tao e Xia [16] analisaram o comportamento de uma resina epoxy sob
carregamento cíclico e o consequente acúmulo de deformação plástica progressivo
(ratcheting), além disso seu efeito na vida em fadiga do material também foi verificado.
Os ensaios foram conduzidos com tensão prescrita e uma taxa de carregamento de 10
MPa/s, além de várias combinações de tensão média e amplitude, de forma a inferir sob
sua influência no comportamento inelástico do material. Os resultados mostraram que o
fenômeno de ratcheting durante os ensaios com tensão prescrita não afeta a vida em
fadiga do epoxy estudado, ou seja, não introduz dano no material.
Em um outro artigo, da Costa Mattos e Martins [17] investigaram
experimentalmente a acumulação de deformação plástica observada em um epoxy
submetido a um carregamento cíclico de carga e descarga. Para avaliar a resposta
mecânica do material foram conduzidos ensaios de tração com diferentes taxas de
carregamento (0.5, 1, 2 e 50 mm/min) e ensaios cíclicos com tensão prescrita crescente
até o valor máximo de 5 MPa. Não foi observada dependência do material com a taxa
de carregamento, apresentando, assim, um comportamento elasto-plástico. Sob
carregamento cíclico o material exibe histerese, acumulando deformação plástica
progressivamente até estabilização. Um fenômeno de endurecimento cíclico induzido
pela plasticidade foi observado a medida que a tensão de escoamento aumenta a cada
ciclo. Foram feitas ainda considerações sobre a evolução do domínio elástico e variáveis
como endurecimento isotrópico e cinemático, além da proposição de um modelo
fenomenológico elasto-plástico unidimensional capaz de descrever o comportamento
inelástico do material. Na figura 2.5 é possível ver a evolução do segmento elástico e a
acumulação de deformação plástica na curva tensão x deformação plástica do epoxy.
Figura 2.5: Evolução do domínio elástico do epoxy sob carregamento cíclico [17].
22
Drozdov [18] apresentou observações acerca do comportamento de um
compósito polimérico, composto de uma matriz de PA 6 reforçado com fibra de vidro,
submetido a carregamentos cíclicos. Foram feitos ensaios de relação e fluência, além de
observações sobre fadiga de baixo ciclo em ensaios cíclicos com tensão prescrita e
várias taxas de carregamento. Um modelo constitutivo visco-elastoplástico foi proposto
baseado na inequação de Clausius-Duhem, ou seja, de forma termodinamicamente
consistente. Os parâmetros de ajuste do modelo foram encontrados através de um ajuste
de curva dos experimentos uniaxiais.
Bles et al [19] mostrou ainda outra aplicação importante para polímeros
termoplásticos estudando o comportamento visco-elastoplástico de uma poliamida 6-6
usada como fibra em uma cinta, aplicada em paraquedas de ejeção de cargas pesadas.
Foram realizados ensaios de tração monótonos, com várias taxas de carregamento, e
cíclicos, incluindo relaxação e fluência, onde um aparato foi utilizado para medir as
deformações axiais nas fibras. A análise dos resultados experimentais foi feita usando
um modelo visco-elastoplástico, baseado num princípio de superposição de
componentes de tensão: histerese pura, viscoelástica e reversível não-linear. Assim foi
possível prever o comportamento do material em situações com carregamentos cíclicos
complexos.
Da Costa Mattos et al [20] observou também o comportamento cíclico de uma
argamassa polimérica de poliéster. Corpos de prova cilíndricos do material foram
submetidos a ensaios monotônicos de compressão, com taxas de carregamento variáveis
( ), e cíclicos com frequências de
Os resultados mostraram um comportamento elasto-
viscoplástico, apesar de alguma variação ser notada no módulo de elasticidade com o
aumento da taxa de carregamento, esse aumento foi considerado insignificante. Nos
ensaios cíclicos, um acúmulo progressivo de deformação plástica (ratcheting) foi
observado. Um modelo fenomenológico foi proposto correlacionando variáveis como
endurecimento isotrópico e cinemático, com a deformação plástica. Através dele, foi
possível determinar que a vida em fadiga desse tipo de material é extremamente
dependente e sensível a natureza do carregamento (senoidal, triangular, etc) e da
frequência de carregamento. Assim, uma variação pequena nas propriedades do material
tem uma forte influência no comportamento de ratcheting do polímero. O que torna
23
muito difícil prever sua vida em fadiga, já que seria impossível ter um controle tão
rigoroso sobre as propriedades do material.
2.2. ENSAIOS MECÂNICOS – OBSERVAÇÕES FENOMENOLÓGICAS
O objetivo dessa seção é apresentar os conceitos fundamentais de ensaios
mecânicos monótonos e cíclicos em corpos de prova metálicos ou não. Através dessa
análise, será possível ao leitor compreender em detalhes os ensaios realizados no
decorrer deste trabalho e suas conclusões correspondentes.
Será dada enfâse aos fenômenos macroscópicos atuantes nos corpos de prova,
isto é, sem se preocupar com as causas na escala microscópica do material (interação
atômica, forma de organização dos cristais, etc).
2.1.3 Ensaio de tração monótono
O ensaio de tração padrão é usado para obter as diversas propriedades mecânicas
que caracterizam o comportamento de um dado tipo de material. Em geral, um corpo de
prova normatizado é tracionado dos dois lados e sua variação de deslocamento com
tempo é medida através de sensores acoplados no corpo de prova em si ou nos
travessões da máquina de ensaio. A figura 2.6, ilustra um corpo de prova típico
solicitado axialmente.
Figura 2.6: Corpo de prova padrão submetido a carga axial. Adaptado de [21].
As informações sobre a geometria do corpo de prova são fundamentais, assim o
valor da área da sua seção transversal inicial deve ser conhecida. Notando por F(t) a
força axial exercida, ΔL(t) a variação do comprimento final l menos 0l , A a área da
seção transversal do cp. Podemos definir a tensão e deformação correspondentes:
24
( )
( )
(2.1)
( )
( )
(2.2)
A tensão retratada na equação 2.1 é conhecida como tensão de “engenharia” na
literatura já que não leva em conta a variação da seção transversal com a deformação do
corpo de prova. A tensão “real” retrata esse fenômeno, no entanto não será abordada
nesse trabalho. Portanto, a partir daqui o termo tensão se dará sempre em referência a
tensão de engenharia como apresentado na equação 2.1.
Afim de se obter as propriedades mecânicas relevantes sobre o material, a curva
tensão x deformação é utilizada já que as variáveis e não dependem da geometria
do corpo de prova. Contudo, vale ressaltar, segundo Soares Filho [22], que para
pequenas deformações ( 0.05 ) a tensão de engenharia e a tensão real podem ser
confundidas. No caso de materiais metálicos a curva σ x ε possui duas regiões bem
distintas: i) uma região elástica caracterizada por uma relação linear entre as variáveis,
onde ao se retirar o carregamento o material retorna ao seu estado de deformação inicial
isto é, 0 , e ii) uma região plástica caracterizada por uma relação não-linear e onde o
material sofre deformações permanentes ou plásticas.
A figura 2.7 traz uma curva típica de um material metálico ensaiado
uniaxialmente.
Figura 2.7: Ensaio de tração convencional típico em materiais metálicos [23].
A partir dessa relação linear, podemos escrever a equação da elasticidade linear
para o caso uniaxial:
25
(2.3)
Onde E é o módulo de elasticidade linear ou módulo de Young do material e
pode ser obtido através da tangente da porção elástica da curva, ou seja, a razão entre o
valor da tensão e da deformação. O ponto a partir do qual a curva deixa de ser linear é
conhecido como limite de escoamento ou de proporcionalidade. Em geral, a detecção
exata desse ponto pode ser complicada para alguns tipos de materiais, especialmente
polímeros [17], por isso adota-se como regra para materiais metálicos a deformação de
0,2% como limite de proporcionalidade. Para materiais poliméricos recomenda-se usar
o valor 0,002%.
As propriedades elásticas de um material podem ser dependendentes de
variáveis como temperatura e velocidade de carregamento. Tanto para materiais
metálicos, quanto poliméricos, a temperatura influencia no valor do módulo de
elasticidade e consequentemente no limite de escoamento. A figura 2.8 traz uma tabela
com valores de propriedades elásticas para alguns tipos de ligas metálicas.
Figura 2.8: Influência da temperatura nas propriedades elásticas de diversas ligas
metálicas [4].
Outro fenômeno importante sobre ensaios de tração uniaxiais, acontece quando
se aplica um carregamento suficiente para que haja plastificação do material e se
descarrega antes da ruptura final do corpo de prova. Nesse caso a curva tensão x
deformação retorna paralela a parte elástica inicial, com inclinação igual ao módulo de
elasticidade, e podemos mensurar a deformação plástica residual. Ainda segundo
Chaboche [4], é possível desacoplar a deformação total em uma parte elástica e uma
plástica, as quais chamaremos de e p e (ver figura 2.9) respectivamente.
26
Figura 2.9: Efeito do descarregamento na curva tensão x deformação. Adaptado de
[4].
Podemos então escrever a equação que representa o desacoplamento entre a
deformação elástica e plástica, na curva σ x ε :
(2.4)
( ) (2.5)
Desta forma, através das equações 2.4 e 2.5 é possível obter a curva p x a
partir da curva x convencional, isolando a deformação plástica na equação 2.4 e
calculando a deformação elástica correspondente com o valor da deformação total
obtida no ensaio e o módulo de elasticidade. Essa informação possibilita observar
melhor o comportamento plástico do material a ser estudado, auxiliando na
caracterização de comportamentos elasto-viscocoplásticos, conforme pode ser
observado na figura 2.10 que mostra ainda o efeito da taxa de deformação na curva
p x de um cp cilíndrico feito com armagassa de poliéster.
27
Figura 2.10: Curva tensão x deformação plástica para um material elasto-
viscoplástico [20].
O comportamento observado na figura 2.10 para um material polimérico com
diferentes taxas de deformação, acontece também em ligas metálicas. Em geral, de
acordo com Soares Filho [22], quando a temperatura de ensaio for maior que um terço
da temperatura de fusão (
), a taxa de carregamento irá influenciar o
comportamento de materiais metálicos. Vale ressaltar que, para aços austenísticos,
assim como para polímeros, essa dependência é observada em temperatura ambiente.
Outra observação importante, é de que abaixo de uma certa velocidade de carregamento
não há alteração na curva x , atingindo-se um valor limite. Sugere-se adotar como
taxa de deformação prescrita limite 6 110 s . Esse fenômeno é mostrado na figura
2.11.
Figura 2.11: Influência da taxa de deformação na curva x [22].
2.1.4 Ensaios Cíclicos
28
Nos ensaios cíclicos os corpos de prova são submetidos a carregamentos
variáveis periódicos, que podem ser controlados através da força (tensão prescrita) ou
da deformação (deformação prescrita). A evolução do comportamento cíclico é então
acompanhada através da curva , onde em geral a resposta tende a estabilizar depois
de um certo número de ciclos [4]. Ainda segundo Soares Filho [22], em geral os corpos
de prova são ensaiados em frequências de carregamentos baixas a fim de evitar efeitos
de propagação de ondas. A figura 2.12 ilustra um ensaio cíclico com deformação
prescrita e sua correspondente curva tensão-deformação estabilizada.
Figura 2.12: Ensaio cíclico com deformação prescrita [4].
Em geral em ensaios de tração de carga e descarga de materiais metálicos vemos
um aumento progressivo da tensão de escoamento y , caracterizando o fenômeno de
“encruamento”. Nos ensaios cíclicos conforme a deformação plástica evolui, o limite de
escoamento também muda e pode em alguns casos apresentar diferenças em tração e a
compressão. Este fenômeno é conhecido como Efeito Bauschinger e mostra como a
plasticidade altera os limites de escoamento dos materiais introduzindo anisotropia,
assim o material endurece na tração e amolece na compressão (ver figura 2.13).
Em muitas ligas metálicas verifica-se a ocorrência de variações nas propriedades
de endurecimento durante ensaios cíclicos, resultando em um endurecimento ou
amolecimento cíclico dependendo da temperatura e estado inicial (usualmente
chamamos um material de “virgem” caso este não possua histórico de deformação
plástica, isto é,p 0 ).
29
Figura 2.13: Efeito Bauschinger observado em ligas metálicas [4].
Segundo Chaboche e Lemaitre [4], o amolecimento cíclico ocorre quando a
variação da tensão máxima e mínima diminui após sucessivos ciclos em um ensaio com
deformação controlada ou quando a variação da deformação máxima e mínima aumenta
em um ensaio com tensão controlada (ver figura 2.14). Já o endurecimento cíclico,
acontece quando um aumento na variação de tensão é registrado num ensaio com
deformação prescrita ou uma diminuição na variação de deformação num ensaio com
tensão prescrita (ver figura 2.15).
Figura 2.14: Amolecimento cíclico: (a) ensaio com deformação prescrita; (b) ensaio
com tensão prescrita [4].
30
Figura 2.15: Endurecimento cíclico: (a) ensaio com deformação prescrita; (b)
ensaio com tensão prescrita [4].
No caso de o carregamento não ser perfeitamente alternado, outros fenômenos
podem ocorrer. O comportamento da curva tensão x deformação pode se estabilizar,
fenômeno conhecido como shakedown na literatura, ou ainda um aumento da
deformação plástica progressivo pode ocorrer, fenômeno conhecido como ratchetting.
A figura 2.16 ilustra esses dois fenômenos para o caso de um ensaio cíclico controlado
pela tensão.
Figura 2.16: Fenômenos de estabilização e ratchetting em ensaios cíclicos [4].
31
Esses fenômenos podem ainda ocorrer de forma simultânea em alguns materiais.
Como no caso de resinas epoxy submetidas a carregamentos cíclicos de carga e
descarga, conforme demonstrado por da Costa Mattos e Martins [17], onde pode-se
observar um aumento nos laços de histerese resultado do acúmulo progressivo de
deformação plástica até a estabilização do ciclo (ver figura 2.17).
Figura 2.17: Acúmulo de deformação plástica progressivo e estabilização em
ensaios cíclicos de uma resina epoxy [17].
Desta forma, podemos observar que dois materiais com o mesmo valor absoluto
de deformação plástica , podem ter propriedades completamente diferentes
dependendo do histórico de deformação a que foram submetidos, isto é, do caminho que
percorreram para chegar aquele estado de deformação. Logo, podemos concluir que o
processo de endurecimento de um material, e suas propriedades mecânicas
correspondentes dependem de outra variável além da deformação plástica. Essa variável
é conhecida como deformação plástica acumulada e pode ser definida da seguinte
forma:
|
| ( ) ∫ |
|
(2.6)
Assim, a deformação plástica acumulada p é uma grandeza positiva que define
um caminho percorrido até um determinado ciclo. Vemos portanto, sua importância em
análises de integridade estrutural onde mesmo com amplitudes pequenas de deformação
32
plástica visíveis, a deformação plástica acumulada aumenta progressivamente e por
consequência maior a probabilidade de aparecimento de uma trinca de fadiga.
Portanto, podemos obter a deformação plástica acumulada p de um terminado
ensaio através da curva , que por sua vez é obtida através da curva conforme
a equação 2.4. Assim para um determinado estado inicial i, obtemos a deformação
plástica
. Desta forma, a deformação plástica é obtida através da seguinte
relação:
| |
(2.7)
(2.8)
O incremento da deformação plástica acumulada é, portanto, igual ao módulo da
variação da deformação plástica. O processo de endurecimento de um material é dentre
outras variáveis, dependente também da deformação plástica acumulada. Para entender
melhor esse processo, é conveniente introduzir nesta análise o conceito de segmento
elástico, que pode ser definido como o intervalo de valores de tensão que não causam
plastificação no material, isto é:
( ) * + (2.9)
Onde é a tensão inferior e é a tensão superior em um ensaio cíclico de
carga e descarga. Segundo Da Costa Mattos [17], os limites desse intervalo variam de
acordo com o processo e são afetados por e p. Assim, identificamos duas variáveis
que governam o processo de plastificação cíclica de um material:
(2.10)
(2.11)
A variável X é conhecida como endurecimento cinemático e representa o centro
do segmento elástico e modela a anisotropia induzida pela plasticidade. Já Y é chamado
33
de endurecimento isotrópico e representa o tamanho e o alongamento desse segmento.
Ainda segundo Chaboche e Lamaitre [4], essas variáveis estão relacionadas com a
evolução do estado de deformação de um corpo e no caso de plasticidade cíclica podem
representar o comportamento real da evolução dessas deformações. Na figura 2.18 é
possível ver a identificação dessas variáveis em um ensaio cíclico uniaxial onde o
material apresenta o Efeito Bauschinger. Nesse caso os limites superior e inferior,
seriam os limites de escoameno a tração e a compressão.
Figura 2.18: Identificação do segmento elástico em um ensaio cíclico uniaxial.
Adaptado de [4].
Para analisar melhor a relação entre a plasticidade e as variáveis de
endurecimento, é importante introduzir a definição de uma função F, chamada de
Função de Plasticidade, tal que:
( ) (2.12)
Assim quando F < 0, não haverá escoamento e ̇ ̇ , ou seja, não haverá
evolução das variáveis de plastificação. Quando o material for “virgem”, isto é ( )
e ( ) , essa condição coincidirá com o critério de Von Mises.
De acordo com Soares Filho [22], verificou-se experimentalmente que X e Y
dependem da deformação plástica e da deformação plástica acumulada p, na ausência
34
de fenômenos de envelhecimento e para ensaios com temperatura constante. Dessa
forma, podemos escrever a equação do segmento elástico como:
( ) * ( ) ( )+ (2.13)
Foi verificado ainda que, em temperatura constante, o endurecimento isotrópico
Y depende somente da deformação plástica acumulada tanto para ensaios monótonos
quanto cíclicos, e aumenta com p até convergir para um valor limite. Já o
endurecimento cinemático apresenta esse mesmo comportamento para ensaios
monótonos, no entanto em ensaios cíclicos foi observado uma forte dependência em
relação a e p [22].
Uma observação importante foi feita por Da Costa Mattos [17], comparando as
influências de X e Y no comportamento plástico cíclico de materiais poliméricos. Sabe-
se que, em geral, para metais X > Y em ensaios cíclicos e a histerese e sua acumulação
de deformação plástica progressiva (ratchetting) só ocorre se efeitos viscosos, como
depedência de ̇, forem importantes. No entanto, para alguns polímeros o
endurecimento cinemático pode ser maior que o isotrópico (X > Y), ocasionando uma
taxa de deformação plástica negativa mesmo com um valor positivo de tensão. Esse
fenômeno leva a acumulação de deformação plástica progressiva mesmo em materiais
com comportamento elasto-plástico, ou seja, onde não existe a influência significativa
da viscosidade. É possível observar esse fato na figura 2.19.
Figura 2.19: Influência das variáveis de endurecimento no comportamento cíclico
[17].
Capítulo 3
Equações Constitutivas
3.1. EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA MECÂNICA DO CONTÍNUO
Antes da apresentação das equações que regem o comportamento elasto-
viscoplástico de um material, é conveniente que o leitor esteja familiarizado com os
conceitos da mecânica do contínuo e operações com álgebra tensorial. Para o
entendimento pleno do texto desta dissertação, será feita nessa seção uma revisão das
principais equações da mecânica do contínuo.
A partir desse ponto será adotada uma convenção na representação de variáveis
escalares, vetoriais e tensoriais, da seguinte forma:
, , Escalares
Vetoresv,u,w
A,B,C Tensores de Segunda Ordem
A,B,C Tensores de Quarta Ordem
Além disso, as equações serão apresentadas usando uma notação intrínsica, ou
direta, onde os índices que representam as componentes no sistema cartesiano serão
omitidos. Caso não esteja familiarizado com essa notação é sugerido ao leitor consultar
as referências [24] e [25].
Assumindo a hipótese de pequenas deformações, podemos calcular o tensor
deformação infinitesimal a partir do gradiente de deslocamentos u de um corpo
contínuo da seguinte forma:
t1( u u )
2
(3.1)
Dessa forma, o tensor deformação infinitesimal é obtido através da parte
simétrica do gradiente de deslocamentos. Vale ressaltar que a hipótese de pequenas
deformações pode ser aplicada na prática, quando o módulo da deformação for menor
em ordem de grandeza do que a precisão da computação for capaz de calcular, isto é,
2(2 5)x10 [4]. Escrevendo o tensor deformação em suas componentes matriciais
temos:
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
Podemos então introduzir o conceito de tensão, que é responsável pelas
deformações em um corpo contínuo, como uma reação das forças internas do material
ao receber um esforço mecânico. Definimos a tensão através do Teorema da Tensão de
Cauchy, que estabelece que o vetor tensão t atuando na superfície interna de um
material é tal que existe um tensor tensão simétrico e assim:
t(x, t,n) (x, t).n (3.2)
Onde n é a normal externa unitária. Escrevendo a equação 3.2 na sua notação matricial,
temos:
37
[t] [ ][n]
Ou ainda,
1 11 12 13 1
2 21 22 23 2
3 31 32 33 3
t n
t = = n
t n
Vemos então que o Tensor Tensão de Cauchy
e o Tensor Deformação
Infinitesimal
são simétricos, isto é, T T
; . Assim, de acordo com o Teorema
Espectral podemos representar esses tensores em função de suas direções e valores
principais tal que:
1
2
3
0 0
0 0
0 0
(3.3)
Onde 1 2 3, , são as tensões principais (autovalores). O mesmo vale para o
tensor deformação infinitesimal. E ainda, podemos demonstrar que todo tensor admite
uma decomposição em uma parcela esférica (ou volumétrica) e outra desviadora. De tal
forma que é possível representar o Tensor Tensão como:
1tr( )I S
3 (3.4)
Onde S é o tensor desviador da tensão e I é o tensor identidade. Ou
inversamente:
1S tr( )I
3 (3.5)
O tensor desviador da tensão também é representado no espaço das direções
principais ( ).
38
1
2
3
S 0 0
S 0 S 0
0 0 S
(3.6)
Para completar o Teorema de Cauchy existe ainda a equação de equilíbrio que
satisfaz as condições de balanço de momento, na forma:
div b a (3.7)
Onde b é a força de corpo atuando no interior do corpo, é a densidade e a é a
aceleração. Em geral para um corpo em equilíbrio estático e na ausência de forças de
corpo, a equação 3.7 se resume a div 0 .
3.1.1 Elasticidade Linear
Com os conceitos de deformação e tensão estabelecidos é preciso introduzir as
equações constitutivas que relacionam essas variáveis. O primeiro modelo constitutivo a
ser apresentado é o da Elasticidade Linear, que estabelece que:
C (3.8)
Onde C é o tensor de elasticidade que caracteriza as propriedades elásticas do
material. Assim, para um material isotrópico linear a equação 3.8 pode ser expressada
como:
2 (tr )I (3.9)
Ou ainda
E E(tr )
(1 )(1 2 ) (1 )
39
Onde e são as constantes de Lamé e se relacionam com o módulo de
elasticidade E e o coeficiente de Poisson . Como o tensor de elasticidade é simétrico,
admite inversão para expressar a deformação em função da tensão.
1tr( )I
E E
(3.10)
(3 2 )E
2( )
; (3.11)
3.1.2 Critério de Von Mises
Assim a partir das equações da elasticidade linear podemos estabelecer um
critério de plastificação multiaxial, que determina a partir de que valor de tensão
uniaxial o material começa a plastificar. O critério de Von Mises estabelece uma tensão
equivalente na forma:
2 2 2 2 2 2
11 22 22 33 33 11 12 23 31 y
1J ( ) ( ) ( ) 6( )
2 (3.12)
Ou representando na base das direções principais, temos:
2 2 2
1 2 2 3 3 1 y
1J ( ) ( ) ( )
2 (3.13)
E ainda usando a equação 3.5, o critério de Mises para o tensor desviador da
tensão se torna:
3 32
ij y
j 1 i 1
3 3J S S S
2 2
. (3.14)
Representando S no espaço das direções principais como na equação 3.6, temos:
40
2 2 2
1 2 3 y
3J (S S S )
2 (3.15)
A equação 3.15 pode ser interpretada geometricamente como uma esfera
centrada na origem e raio √ , conforme ilustrado na figura 3.1.
Figura 3.20: Representação geométrica do critério de Von Mises no espaço das
componentes principais do desviador da tensão [4].
3.2. EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS GERAIS ELASTO-PLASTICIDADE E
ELASTO-VISCOPLASTICIDADE
As observações fenomenológicas feitas no capítulo 2 e as equações
fundamentais deste capítulo serão utilizadas para apresentar os modelos da elasto-
plasticidade e elasto-viscoplasticidade baseados no trabalho de Chaboche e Lemaitre
[4]. Onde se estalece uma relação desacoplada para a deformação elástica e plástica e a
existência de uma relação constitutiva separada para e p e .
{
( ) ( )
(3.16)
41
A função F, conhecida como função de plastificação, é então definida como:
(3.17)
Quando F < 0, não há escoamento e portanto não haverá evolução das variáveis
de plasticidade ̇ e ̇ , assim as leis de evolução são da forma:
p 3S p
2J
(3.18)
p2X a bXp
3
(3.19)
N
Plasticidade p 0; F 0; pF 0
FViscoplasticidade p
K
(3.20)
y 1 2Y [1 exp( p)] (3.21)
Onde são constantes do material que caracterizam o
comportamento inelástico e podem ser obtidas através de ensaios uniaxiais. As variáveis
X e Y já foram introduzidas no capítulo 2 e representam, respectivamente, o
endurecimento cinemático e isotrópico. Analisando as equações 3.17 a 3.21, é possível
observar que quando temos que e podemos concluir que ̇ . Por
consequência, usando a equação 3.18, p
0 e concluimos que o material se comporta
elasticamente. Segundo Soares Filho [22], essa condição (F < 0) caracteriza o critério de
Von Mises Generalizado e ao substituirmos Y por , temos o caso clássico
estabelecido pela equação 3.14.
A plasticidade é caracterizada pela condição F=0, assim p
0 e existe
evolução das variáveis de endurecimento. Considera-se um material inicialmente
virgem, aquele que não apresenta histórico de deformações plásticas. Assim, pode-se
definir como conjunto de condições iniciais:
42
pp(t 0) 0; (t 0) 0; X(t 0) 0 (3.22)
O tensor de deformação plástica p e o tensor de endurecimento cinemático X ,
podem ser representados na base das direções principais. É possível demonstrar ainda,
que se as leis de evolução 3.18 e 3.19 e as condições de contorno 3.22 forem satisfeitas,
essas direções serão iguais as do tensor tensão desviador , assim como do tensor tensão
de Cauchy. Dessa forma, podemos escrever:
p
1 1
p p
2 2
p
3 3
0 0 X 0 0
0 0 ; X 0 X 0
0 0 0 0 X
(3.23)
Ainda conforme mencionado no capítulo 2 as variáveis X e Y representam as
coordenadas do segmento elástico. E modelam como a plasticidade afeta as
propriedades de um material. Segundo Chaboche [4], no caso multiaxial o tensor X
representa o centro da superfície de carregamento definida por J e Y representa o
alongamento dessa superfície. Assim o critério de Mises pode ser reescrito como:
3J (S X S X Y
2 ) . ( ) (3.24)
Assim a função de plastificação asume a forma:
F J Y F (S X) Y (3.25)
A equação 3.24 representada na base das direções principais do tensor desviador
permite visualizar o efeito das variáveis de endurecimento X e Y. Portanto, o
endurecimento cinemático introduz anisotropia no material sendo responsável pela
translação da região elástica inicial (centrada na origem) e o endurecimento isotrópico é
representado por uma expansão do limite elástico inicial.
43
Figura 3.21: Evolução do domínio elástico definido pelo critério de Von Mises
Generalizado em função de X e Y[4].
Usando a representação da equação 3.23 de p e X representados na base das
direções principais as equações constitutivas podem ser reescritas como:
p
i i
3S p; i=1,2 ou 3
2J (3.26)
p
i ii
2X a bX p; i=1,2 ou 3
3 (3.27)
2 2 2
1 1 2 2 3 3
3J {(S X ) (S X ) (S X ) }
2 (3.28)
3.2.1 Equações Constitutivas Unidimensionais
No caso de ensaios de tração uniaxiais, onde supoem-se que o estado de tensão
seja unidimensional, as equações constitutivas e leis de evolução são significativamente
simplificadas. Adimitindo-se que o tensor tensão possui apenas uma componente
( ) , as equações assumem a seguinte forma:
pE( ) (3.29)
p
gpS ; (t 0) 0 (3.30)
44
g
1 se ( -X) 0S
1 se ( -X)<0
(3.31)
pX a bXp ; X(t=0)=0 (3.32)
y 1 2Y [1 exp( p)] (3.21)
N
Plasticidade p 0; F=| -X|-Y 0; pF 0
; p(t=0)=0| -X|-YViscoplasticidade p
K
(3.33)
Vale ressaltar que a expressão para J na equação 3.33 se resumiu a J=| -X| , esse
fato se deve a substituição dos valores correspondentes do tensor desviador e do tensor
endurecimento cinemático para o caso unidimensional na fórmula de J apresentada em
3.28. A demonstração dessa transformação pode ser encontrada no capítulo 3.3 de [22].
3.3. MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO UNIDIMENSIONAL
Para modelar o comportamento elasto-viscoplástico de um material, Chaboche
[4] propôs as equações 3.29 a 3.33. Onde na equação 3.33 usa-se a lei de evolução para
p correspondente a viscoplasticidade, isto é N
p | -X|-Y/K . Dessa forma, para
modelar corretamente o comportamento de um determinado material são necessários
ensaios uniaxiais para encontrar os valores das constantes .
Um procedimento sistemático para identificação desses coeficientes foi
apresentado por Soares Filho [22] e suas principais derivações serão usadas nessa
dissertação. Uma característica importante da Elasto-viscoplasticidade é a de que os
efeitos viscosos somente são relevantes na parte plástica da deformação ( ). Assim,
podemos dissociar seus efeitos e calcular os coeficientes da forma
forma que faríamos na Elasto-plasticidade. Logo, considerando a plasticidade com
, na tração e na compressão , temos da
equação 3.33 que:
45
Tração: X Y
Compressão: X Y
(3.34)
Assim uma vez identificadas as expressões analíticas para as variáveis X e Y,
através das equações 3.34 é possível escrever a relação da tensão com os coeficientes
que se deseja determinar. As equações usadas nesse trabalho serão:
p
y 1 2
aX (1 exp( b )
b
Y [1 exp( p)]
(3.35)
3.3.1 Identificação da viscosidade
Para completar a modelagem do comportamento elasto-viscoplástico é
necessário adicionar o efeito da viscosidade, isto é, da dependência das propriedades
plásticas com a taxa de deformação. O chamado “termo viscoso” é adicionado a
equação 3.34, que modela a parte elasto-plástica e pode se obtido em um ensaio uniaxial
com diferentes taxas de deformação p (ver figura 3.22).
p 1/N
p 1/N
Tração: X Y K( )
Compressão: X Y K( )
(3.34)
Figura 3.22: Identificação experimental do termo viscoso [22].
46
A figura 3.22 evidencia a existência de uma curva limite, para qual o efeito da
viscosidade seria desprezível abaixo de um valor limite de . Em geral esse valor é de
5 110 s na ausência de dados confiáveis [22]. Os valores de K e N podem então ser
obtidos traçando um gráfico logarítimico da equação do termo viscoso, medindo-se a
variação ( ̇ ) entre as curvas, assim:
p
i i
1 log( ) log K log( )
N (3.35)
A equação 3.35 representa uma reta com coeficiente angular N e intersecção
com eixo das ordenadas K. Assim, para se determinar os valores de K e N, são
necessários pelo menos 3 ensaios com taxas de deformação diferentes.
Capítulo 4
Materiais e Métodos
4.1.MATERIAL
A Poliamida 12 (PA-12) é um polímero termoplástico semi-cristalino com uma
combinação de propriedades térmicas e mecânicas que possibilitam sua aplicação em
condições operacionais severas como nos dutos flexíveis. As amostras de PA-12
utilizadas nessa dissertação, foram retiradas da barreira de pressão de um duto flexível.
Em geral, sua fabricação é feita através de extrusão do polímero em cima da primeira
camada do tubo, destinada a resistir ao colapso devido a pressão externa. Um exemplo
dos exemplares utilizados na fabricação dos corpos de prova é mostrado na figura 4.23.
Figura 4.23: Barreira de Pressão utilizada na fabricação dos corpos de prova [8].
Os corpos de prova foram usinados de acordo com a norma ASTM D638-08 (Cp
Tipo IV). A figura 4.24 ilustra a geometria padrão dos corpos de prova e a sua direção
de retirada no exemplar de barreira de pressão. As dimensões usadas são mostradas na
tabela 4.1.
Figura 4.24: Geometria padrão dos corpos de prova retiradas da barreira de
pressão. Adaptado de [25].
Tabela 4.1: Dimensões do corpo de prova padrão.
CP Tipo IV (mm)
WO 19
Wc 6
L 33
LO 115
R 14
RO 25
T 4
A figura 4.25 mostra um exemplo dos corpos de prova usinados de acordo com
as dimensões da tabela 4.1.
49
Figura 4.25: Corpos de prova típicos usados nos ensaios.
4.2. MÉTODOS
Para investigar o comportamento inelástico do PA-12 sob carregamentos
cíclicos, foram realizados ensaios cíclicos de carga e descarga com tensão prescrita e,
para avaliar a possível dependência com a taxa de deformação, ensaios monótonos com
3 velocidades diferentes. Os ensaios seguiram a metodologia apresentada na norma
ASTM D638-08, onde foram usados 3 corpos de prova para cada tipo de ensaio. A
tabela 4.2 traz de forma resumida os tipos de ensaios realizados, os parâmetros
investigados em cada um.
Tabela 4.2: Tipos de ensaios realizados.
Tipo de Ensaio Velocidade de
Carregamento (mm/min) Parâmetros Investigados
Monótono 0.5
Monótono 5
Monótono 50
Cíclico 3 N/s
As velocidades de carregamento apresentadas levam em consideração a
velocidade de deslocamento do travessão da máquina de ensaios. Todos os ensaios
foram feitos em uma máquina de ensaio universal Shimadzu® AG-X, a figura 4.26 traz
o arranjo típico utilizado nos ensaios.
50
Figura 4.26: Arranjo típico na máquina de ensaios: (a) corpo de prova montado
nas garras; (b) controlador da velocidade de deslocamento; (c) visor de
monitoramento dos parâmetros do ensaio.
A velocidade de deslocamento do travessão é controlada automaticamente pela
máquina de ensaios (ver figura 4.27), o que possibilita um controle preciso da
deformação imprimida nos corpos de prova. Esse deslocamento é medido por sensores
acoplados nas garras da máquina, assim o comprimento inicial considerado no
cálculo da deformação será a distância inicial entre as garras em cada ensaio.
Figura 4.27: Detalhe do controle de velocidade automático na máquina de ensaios.
51
A máquina é acoplada a um computador que exibe em tempo real a evolução do
gráfico força x deslocamento e depois armazena os pontos correspondentes para
exportação como pode ser visto na figura 4.28.
Figura 4.28: Sistema de aquisição de dados mostrando a evolução da curva força x
deslocamento em tempo real.
4.2.1 Ensaios Cíclicos
Os ensaios cíclicos foram realizados com o carregamento do corpo de prova até
400 N de força e descarregado até zero. No ciclo seguinte, o cp era carregado
novamente com incrementos de 50 N, esse processo foi repetido até a ruptura do corpo
de prova ou até a falha do sistema de aquisição devido a degradação do material. A
figura 4.29 traz uma representação gráfica da evolução do carregamento nos ensaios
cíclicos.
52
Figura 4.29: Carregamento típico utilizado nos ensaios cíclicos.
Capítulo 5
Resultados
5.1. ENSAIOS MONÓTONOS
Os ensaios monótonos, realizados com velocidades de 0.5 mm/min, 5 mm/min e
50 mm/min, foram feitos antes dos ensaios cíclicos para que fossem determinados os
valores de módulo de elasticidade e tensão limite de escoamento. Para o cálculo da
tensão e deformação, foram usadas as definições clássicas de tensão de engenharia
introduzidas no capítulo 2.
( )
( )
(2.14)
( )
( )
(2.15)
Os ensaios mostraram um comportamento superplástico, isto é, o material exibe
uma grande deformação plástica sem a formação de estricção (redução localizada de
área). As figuras 5.30 a 5.31 mostram a evolução dos corpos de prova durante o ensaio
até a falha.
Figura 5.30: Evolução de um cp padrão durante ensaio monótono de tração: (a)
início; (b) meio; (c) final.
Figura 5.31: Detalhe do momento da ruptura do corpo de prova durante ensaio de
tração.
Assim foram traçadas as curvas de cada ensaio para as 3 velocidades
utilizadas. Os resultados mostraram uma repetibilidade dos ensaios e assim uma curva
55
típica foi escolhida para representar o comportamento do material. A figura 5.32 mostra
a comparação da curva para as 3 velocidades. Devido a grande deformação
apresentada pela poliamida, é mais interessante restringir a análise em deformações até
0.1 mm/mm para efeitos de definição do comportamento mecânico e modelagem, o que
representa 10% da deformação. A figura 5.33 mostra a curva limitada em 10% de
deformação.
Figura 5.32: Curva para várias velocidades de carregamento até a ruptura.
Figura 5.33: Curva limitada em 10% de deformação.
56
A análise da figura 5.33 revela que a velocidade de carregamento influencia as
propriedades mecânicas do PA-12. De maneira geral, as propriedades elásticas não
sofrem essa influência, que se restringe somente a parte plástica da curva .
Caracterizando um comportamento elasto-viscoplástico. Para avaliar melhor esse
comportamento, é interessante dissociar a parte elástica da deformação da plástica.
Usando as equações 2.4 e 2.5 para calcular o valor da deformação plástica p , é
necessário calcular o valor do módulo de elasticidade E:
Assim, através da curva é possível calcular o valor de E e usando os
valores de deformação total , calcular a deformação plástica p correspondente. A
determinação do módulo de elasticidade seguiu o procedimento proposto na norma
ASTM D638-08. Para calcular o valor de E, estabeleceu-se o uma definição prática para
o valor de deformação que corresponde a parte elástica como . Esse valor foi
escolhido observando-se a curva e analisando até onde ela se comportava como
uma linha reta (ver figura 5.33).
Figura 5.34: Definição prática para o cálculo do módulo de elasticidade.
57
Assim, um ajuste de curva através de regressão linear foi feito entre diversos
pontos das 3 curvas (com as 3 velocidades diferentes) para encontrar um valor que
melhor representasse o módulo de elasticidade do material. Esse ajuste pode ser visto na
figura 5.35, assim o módulo de elasticidade encontrado foi de 397.01 Mpa. E a reta
correspodente utilizando o valor encontrado de E pode ser visto na figura 5.36.
Figura 5.35: Ajuste de pontos dos gráficos .
Figura 5.36: Reta ajustada representando a parte elástica da curva .
58
Com o módulo de elasticidade obtido foi calculado o valor da deformação
plástica usando as equações 2.4 e 2.5 e traçadas as curvas p x (ver figura 5.37).
Figura 5.37: Curva p x para diferentes velocidades.
A tabela 5.3 mostra os valores das principais propriedades calculadas nos
ensaios monótonos para a poliamida.
Tabela 5.3: Propriedades mecânicas da poliamida.
Velocidade de
carregamento
(mm/min)
Módulo de
Elasticidade E (MPa)
Limite de
proporcionalidade σp
(MPa)
Tensão Última
(MPa)
0.5 397.01 3.42 1.99 20.71
5 397.01 3.42 4.68 20.96
50 397.01 3.42 7.36 22.75
Observou-se que o módulo de elasticidade permanece praticamente constante
para todas as taxas de carregamento e os efeitos da viscosidade somente são observados
na região plástica da curva tensão-deformação. Assim, o limite de escoamento aumenta
com o aumento da velocidade de deslocamento, como pode ser observado nas figuras
5.33 e 5.37. Houve um aumento de 159% no limite de escoamento entre a velocidade de
0.5 mm/min e 5 mm/mn e um aumento de 57% de 5 mm/min para 50 mm/min. O
aumento da tensão última para as mesma velocidades foi, respectivamente, de 8 e 5 %.
59
5.2. ENSAIOS CÍCLICOS
Os ensaios cíclicos de carga e descarga realizados com taxa de carregamento de
3N/s e tensão prescrita. Começando com uma carga inicial de 400N e aumentos
progressivos de 50N. As figuras 5.38 e 5.39 mostram o resultado da curva cíclica até a
ruptura e limitada a 16% de deformação.
Figura 5.38: Curva cíclica até a ruptura.
Figura 5.39: Curva cíclica limitada a 16% de deformação.
60
Usando o mesmo procedimento dos ensaios monótonos, é possivel se obter a
curva a partir da curva conforme pode se observar na figura 5.40.
Figura 5.40: Curva pσ x ε cíclica limitada a 10% de deformação.
Observando a figura 5.40 verifica-se que sob carregamentos cíclicos a poliamida
apresenta um acúmulo progressivo de deformação plástica e a formação de laços de
histerese que levam a dissipação de energia. É possível também concluir que um
processo de endurecimento cíclico induzido pela plasticidade está presente, onde o
limite de escoamento aumenta a cada ciclo.
Usando as definições das equações 2.6 e 2.7 é possível calcular a curva a
partir da curva , como pode ser observado na figura 5.41.
61
Figura 5.41: Curva obtida a partir da curva .
5.2.1 Evolução do Segmento Elástico
A observação da figura 5.40 possibilita a interpretação da evolução do segmento
elástico, especificamente do endurecimento cinemático X e do endurecimento isotrópico
Y. Usando as definição das equações 2.10 e 2.11, vemos através a figura 5.42 a
evolução das variáveis de endurecimento.
Figura 5.42: Evolução do segmento elástico na poliamida.
62
Observa-se que o endurecimento isotrópico Y permanece constante durante cada
ciclo e o aumento do segmento elástico é principalmente devido ao efeito do
endurecimento cinemático X, que aumenta significativamente a cada ciclo. Isso explica
o porquê existe uma taxa de deformação negativa mesmo com uma tensão positiva, ou
seja, < 0 se < 0 mesmo quando . Além disso, nota-se um efeito
viscoso na parte superior do gráfico no momento do descarregamento do corpo de
prova.
5.3. PARÂMETROS DO MODELO ELASTO-VISCOPLÁSTICO
Para obter os parâmetros do modelo é necessário primeiro
descontar os efeitos da viscosidade. Assim, para calcular os coeficientes K e N do termo
viscoso na equação 3.34 ( p N K( ) ), é preciso identificar a diferença no gráfico
conforme mostrado na figura 5.43.
Figura 5.43: Identificação do termo viscoso no gráfico .
A tabela 5.4 mostra os valores de tensão obtidos na linha de deformação de
referência escolhida (0.2 mm/mm), usados para calcular as diferenças .
63
Tabela 5.4: Valores de tensão para identificação do termo viscoso.
v (mm/min) 0.5 5 50
( ) 1.6E-04 1.6E-03 1.6E-02
(ε=0.2) *Mpa+ 21.79 21.82 23.45
Assim, os valores de encontrados foram, respectivamente, 0.03507
e 1.62113. Usando a equação 3.35 com ̇ ̇
foi traçado uma
reta no gráfico log x log para se determinar o valor de K e N, conforme pode ser visto
na figura 5.44.
i i log( ) logK Nlog( ) (3.35)
Figura 5.44: Gráfico log x log ̇.
Analisando a figura 5.44 observa-se que o valor de N= 1.676 e que :
Capítulo 6
Conclusões e Perspectivas Futuras
A análise do comportamento mecânico da Poliamida 12, submetida a ensaios
trativos com diferentes taxas de deformação e ensaios cíclicos de carga e descarga,
mostrou que seu comportamento é elasto-viscoplástico. Os ensaios com taxas de 0.5, 5 e
50mm/min revelaram que o efeito da viscosidade só está presente na parcela de
deformação plástica e o módulo de elasticidade permanece aproximadamente constante.
A tensão de escoamento aumenta com o aumento da taxa de deformação, assim, houve
um aumento de 159% entre a velocidade de 0.5 mm/min e 5 mm/mn e um aumento de
57% de 5 mm/min para 50 mm/min. O aumento da tensão última para as mesma
velocidades foi, respectivamente, de 8 e 5 %.
Sob carregamento cíclico, com taxa de 3 N/s e tensão prescrita, a poliamida
exibiu um acúmulo de deformação plástica progressivo e a formação de laços de
histerese que levam a dissipação de energia. Um endurecimento cíclico também está
presente, fazendo com que o limite de escoamento cresça a cada ciclo. Além disso, foi
verificado que para esse polímero o endurecimento cinemático X é muito maior que o
endurecimento isotrópico Y, que permanece praticamente constante durante cada ciclo.
Esse fato explica o porquê existe uma taxa de deformação plástica negativa, mesmo
com uma tensão positiva.
6.1. PERSPECTIVAS PARA TRABALHOS FUTUROS
Para a continuação desse trabalho sugere-se :
Realizar ensaios monótonos com mais uma velocidade, afim de se caracterizar
melhor o efeito da viscosidade
Realizar ensaios de fluência
Desenvolver as equações para o modelo elasto-viscoplástico para encontrar as
constantes do endurecimento cinemático através das curvas experimentais de
fluência.
Capítulo 7
Referências Bibliográficas
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viscoelasticity: An Introduction, Ed. Springer, USA, 446 p.
[2] Relatório O Perfil da Industria Brasileira de Termoplásticos. Disponível em :
http://file.abiplast.org.br/download/links/2015/perfil_abiplast_2014_web.pdf
acesso em 03/05.
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Louvisse, A.M. Curso sobre Entrega/Recebimento de Poço Submarino,
Operações Conjuntas entre UEPs, Sondas e Barcos Espe-ciais Um Exemplo de
Abordagem Sistêmica. 2004.
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67
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12. Niterói, 2015. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Escola de
Engenharia, Universidade Federal Fluminense.
[9] Motta, E. P. Caracterização Mecânica de Argamassas Poliméricas de Óleo de
Mamona Reforçadas com Fibra Natural de Piaçava. Niterói, 2014. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Mecânica) – Escola de Engenharia, Universidade
Federal Fluminense.
[10] J.M.L. Reis, L.J. Pacheco, H.S. da Costa Mattos, Influence of the temperature
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[11] Nunes, L.C.S., Dias, F.W.R. and da Costa Mattos, H. S., 2011, “Mechanical
behaviour of polytetrafluoroethylene in tensile loading under different strain
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[12] Şerban, Dan Andrei et al, 2013, "Tensile properties of semi-crystalline
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viscoplastic behaviour of a polyvinylidene fluoride (PVDF) in tension", Polymer
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fatigue life." Polymer testing 26.4 (2007): 451-460.
[17] da Costa Mattos, H. S., and Martins, S. A., 2012, "Plastic behaviour of an
epoxy polymer under cyclic tension", Polymer Testing, Vol. 32, No. 1, pp. 1-8.
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[18] Drozdov, A. D., 2011, "Cyclic viscoelastoplasticity and low-cycle fatigue of
polymer composites", International Journal of Solids and Structures, Vol. 48,
No. 13, pp. 2026-2040.
[19] Bles, G., Nowacki, W. K. and Tourabi, A., 2009, "Experimental study of the
cyclic visco-elasto-plastic behaviour of a polyamide fibre strap", International
Journal of Solids and Structures, Vol. 46, No.3, pp. 2693-2705.
[20] da Costa Mattos, H. S. et al, 2014, "Elasto-viscoplastic behaviour of polyester
polymer mortars under monotonic and cyclic compression", Polymer Testing,
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Engineering Design”. 8 ed. NY, EUA: McGraw-Hill, 2006.
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plasticidade e da Elasto-viscoplasticidade Cíclicas. Niterói, 2010. 158 f. Tese
(Doutorado em Engenharia Mecânica) – Escola de Engenharia, Universidade
Federal Fluminense.
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[26] ASTM D-638-08.Standard test method for tensile properties of plastics, West
Conshohocken, PA: ASTM International, 2010.
69
ANEXO
Artigo Publicado no IX Congresso Nacional de Engenharia Mecânica - CONEM
2016.
ELASTO-VISCOPLASTIC BEHAVIOUR OF A POLYAMIDE UNDER
CYCLIC TENSION
Luiz Gustavo Moura Oliveira de Medeiros, [email protected]
1
João Laredo dos Reis, [email protected]
Heraldo da Costa Mattos, [email protected]
1Laboratory of Theoretical and Applied Mechanics, Graduate Program of Mechanical Engineering, Universidade
Federal Fluminense, Rua Passo da Patria 156, 24210-240, Niterói, RJ, Brazil.
Abstract: The present paper is concerned with the experimental investigation of the progressive accumulation of
deformation observed in cyclic tension tests performed in a polyamide (nylon 12). The elastic properties are not
strongly affected by the strain rate, but the strain hardening induced by the plastic deformation is rate-dependent.
Thus, the material behaviour is elasto-viscoplastic rather than viscoelastic. Under cyclic loading and unloading, this
polymer exhibits hysteresis (a phase lag), which leads to a dissipation of mechanical energy and to the accumulation of
cyclic plastic deformation. It is verified experimentally that this phenomenon is essentially due to the kinematic
hardening.
Keywords: Polyamide polymer; Cyclic tensile tests; Elasto-viscoplasticity; Ratcheting; Shakedown;
1. INTRODUCTION
The demand for polymeric materials in the recent years has grown substantially. The commercial success of
polymer-based products generated a demand that overcame the total production of metals for more than 20 years
(Brinson et al, 2008). Industrial applications include automotive, aeronautical and Oil and Gas industries. Polyamide
polymers (PA 12 and 11) are often used as pressure sheaths for flexible pipes on oil explorations, along with
polyvinylidene fluoride (PVDF) and polyethylene.
Therefore, the understanding of the mechanical behaviour of the polyamide under different loadings scenarios, such
as cyclic tension and varying strain rates, is important to guarantee structural integrity of flexible pipes. There are many
studies regarding the effects of temperature and strain rates on polymers (Reis et al, 2014, 2015; Şerban et al, 2012;
Nunes et al, 2011).
However, there are still relatively few researches on cyclic plastic behaviour of polymeric materials. Materials such
as PTFE, Polyester and Epoxy have been studied under cyclic loadings (Chen and Hui, 2005; Da Costa Mattos et al,
2012, 2014). Viscoelastoplasticity of polyamide reinforced composites subjected to cyclic tensile tests were also
investigated (Bles et al, 2009; Drozdov, 2011).
This paper is focused on the experimental investigation of the accumulation of plastic strain of a polyamide (nylon
12) polymer, subjected to cyclic tensile tests. Nylon is a thermoplastic polymer used in a wide range of applications due
to its versatile characteristics. In particular, this material exhibits relatively high tensile strength and stiffness, together
with a high melting point and good chemical resistance. In addition, nylon 12 absorbs very little moisture and is
extremely resistant to crack under stress.
In order to investigate the materials rate-dependency, different cross head velocities were used in tensile tests (0.5
mm/min, 5 mm/min and 50 mm/min). The elastic properties are not strongly affected by the strain rate, but the strain
hardening induced by the plastic deformation is rate-dependent. Thus, the material behaviour is elasto-viscoplastic
rather than viscoelastic. Load-unload cyclic tensile test was performed with increasing force per cycle, starting from
400 N and a 50 N increment each cycle. The material exhibits hysteresis (a phase lag), which leads to a dissipation of
mechanical energy and to the accumulation of cyclic plastic deformation. It is verified experimentally that this
phenomenon is essentially due to the kinematic hardening.
IX C o n gr es s o N a c i o n a l d e E n g e n har i a M e c â ni c a , 21 a 2 5 de a g os t o de 20 1 6 , F or t a l ez a - C e ar á
2. MATERIALS AND METHODS
2.1. Material
Polyamide is a semi-crystalline thermoplastic with a combination of thermal and mechanical properties that allows
it to be used in severe operation conditions. Therefore, the use of polyamides as pressure sheaths for flexible pipes is
increasing in the oil and gas industry, where the operation conditions are particularly severe.
Tensile test specimens where machined from an internal pressure sheath of a real flexible pipe made of nylon 12.
The initial gage length and cross sectional area were, respectively, 33 mm and 24 , as showed in Fig.1.
Figure 1: Tensile test specimen machined from a pressure sheath of a flexible pipe.
2.2. Methods
To evaluate the mechanical behaviour of the polyamide, two kinds of tests were performed: (i) tensile tests at
different strain rates and (ii) load-unload cyclic tests with increasing maximum load level per cycle. The tensile test
methodology followed the ASTM D638-08 standard. Both tests were performed using a Shimadzu® AG-X universal
testing machine and electro-mechanical sensors for the control of the longitudinal strain.
The tensile tests were performed using three stroke velocities: 0.5 mm/min, 5.0 mm/min and 50.0 mm/min. These
tests were necessary to verify the basic features of the materials mechanical behaviour (eventual dependence of
elasticity modulus, proportional limit and tensile strength on the strain rate). With this preliminary set of tests, it was
possible to determine the stress and strain levels and frequency suitable to the second series of mechanical tests, in order
to assure plastic flow in each cycle.
From now on, the classical uniaxial engineering stress and engineering strain will be noted, respectively, σ and ε
and will be called simply stress and strain
0A
F(t)=σ(t);
L
ΔL(t)=ε(t) (1)
F(t) is the axial force necessary to impose an elongation )t(LΔ at a given instant t. L is the gauge length and 0A
the cross-section area.
3. RESULTS AND DISCUSSION
3.1. Tensile Tests
Tensile tests were performed at room temperature with three cross-head speeds: 0.5 mm/min, 5.0 mm/min and 50.0
mm/min. The elastic properties are not strongly affected by the strain rate, but the strain hardening induced by the
plastic deformation is rate-dependent (see Fig.2).
The Elastic modulus was obtained is in accordance with ASTM D638-08 standard. The detection of the
proportional limit presents an experimental problem since it depends on the precision of the strain measure. In order to
obtain an objective definition, it is adopted a conventional definition of this limit: it is the intersection between the
experimental stress-strain and the curve , with d being a given strain as shown in Fig.3. In the present
study it was considered d=0.002%. For this kind of polymer the elastic behaviour is linear since the proportional strain
and the elastic limit (the stress above which permanent deformations appear) are very close.
It is convenient to introduce in the analysis the definition of elastic and plastic strains (noted, respectively, and
):
⇒
(2)
IX C o n gr es s o N a c i o n a l d e E n g e n har i a M e c â ni c a , 21 a 2 5 de a g os t o de 20 1 6 , F or t a l ez a - C e ar á
Figure 2: Stress-strain curves with different strain rates.
Figure 3: Conventional definition of the proportional limit.
It is possible to use the equation presented in (2) in order to obtain the curve (see Fig.4) for all three cross-
head speeds from the experimental curve .
Figure 4: Stress-plastic strain curves with different strain rates.
IX C o n gr es s o N a c i o n a l d e E n g e n har i a M e c â ni c a , 21 a 2 5 de a g os t o de 20 1 6 , F or t a l ez a - C e ar á
The material elastic modulus remains constant for all three test speeds and the effects of rate dependency are only
observed on the plastic region. Thus, the yield limit changes with the variation of the strain rate as observed from Fig.4.
There is an increase of 159% on the proportional limit between 0.5 mm/min and 5 mm/min, and an increase of 57%
from 5 mm/min and 50 mm/min. The tensile strength showed a variation for the same test velocities of, respectively,
8% and 5%. Table 1 summarizes the mechanical properties (Young's Modulus, Proportional limit and Tensile Strength)
of the polyamide tensile tests performed at room temperature with different stroke velocities.
The analysis of Fig. 2 and 4, together with the results presented in Tab. 1, leads to the conclusion that the material
behaviour is elasto-viscoplastic. As the effects of the strain rate variation are only noticed on the plastic strain region.
Table 1: Mechanical properties for various tensile test speeds.
Stroke Velocity
(mm/min)
Young's Modulus E
(MPa)
Proportional limit σp
(MPa)
Tensile Strength
(MPa)
0.5 405.85 1.48 32.67
5 405.85 3.82 35.20
50 405.85 5.99 36.80
3.2. Cyclic load-unload tests
A load-unload cyclic test ( ) was conducted at room temperature. The cycles were applied with
increasing force amplitude (stress controlled), starting at 400 N with 50 N increments. The absolute test frequency was
3 N/s both in loading and unloading.
Figure 5 presents the stress-strain curve obtained in the test and Fig. 6 shows the curve obtained from Fig. 5.
Figure 5: Cyclic tensile test stress x strain curve.
Figure 6: Cyclic tensile test stress x plastic strain curve.
IX C o n gr es s o N a c i o n a l d e E n g e n har i a M e c â ni c a , 21 a 2 5 de a g os t o de 20 1 6 , F or t a l ez a - C e ar á
From the analysis of Fig. 5, is possible to conclude that under cyclic tension the material exhibits hysteresis (a
phase lag), which leads to energy dissipation. It is also verified a progressive accumulation of deformation while
polyamide is subjected to cyclic loading. A cyclic hardening phenomenon in the material induced by plasticity is also
present. After each cycle of loading and unloading the elastic limit changes.
In order to understand the material plastic behaviour, another useful auxiliary variable can be defined as the
accumulated plastic strain p:
|
| ⇒ ∫ |
|
(3)
Using definition (3), it is possible to obtain the curve from the experimental curve (see Fig. 7).
Figure 7: Cyclic tensile test stress x accumulated plastic deformation curve.
The elastic domain (or elastic segment) is defined as the interval
within which any stress variation
generates only variations of the elastic strain. The limits of this interval depend on the process, and
are
affected not only by the plastic strain, but also by the accumulated plastic strain. It is more convenient to use the
following auxiliary variables than and
:
;
(4)
Figure 8 presents the graphical identification of the variables defined in Eq. (4), for the polyamide under cyclic
loadings. X is the coordinate of the center of the elastic segment and 2Y is the size of the elastic segment.
Figure 8: Evolution of the elastic domain in cyclic tensile test.
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The elastic domain is then defined as:
{ } (5)
↔ (6)
X is known as the kinematic hardening variable, while Y is noted as the isotropic hardening variable. For a virgin
material (with no loading history under plastic strains), it is possible to demonstrate that and . In this
sense, plastic deformations causes anisotropy (a variation of X) and an expansion in the elastic segment Y. Usually for
metallic materials Y is greater than X in cyclic loading tests (Lemaitre and Chaboche, 1990), and hysteresis with
accumulation of cyclic plastic strains only occur if viscous effects are considerable.
For the polyamide presented in this study, the kinematic hardening variable is greater than the isotropic hardening
(X > Y). Which explains the negative plastic strain rate even with a positive stress observed in Fig. 5 and 6 ( < 0
if < 0 even when ).
The next step of this study is the development of an elasto-viscoplastic phenomenological model able to describe
the inelastic cyclic behaviour of this polyamide. The idea is to propose a one-dimensional model that combines
sufficient mathematical simplicity to allow its use in daily engineering problems. But is also capable of describing
complex non-linear mechanical behaviour such as, strain-hardening, plastic deformation, ratcheting, etc. However this
discussing is beyond the scope of this paper.
4. CONCLUSIONS
The mechanical behaviour of a polyamide 12, used as internal pressure sheath of flexible pipes, under cyclic tensile
tests was studied. Tensile tests conducted under different cross-head speeds (0.5 mm/min, 5 mm/min and 50 mm/min)
showed that the elastic properties are not strongly affected by the strain rate and the effects of rate dependency are only
observed on the plastic region. There is an increase of 159% on the proportional limit between 0.5 mm/min and 5
mm/min, and an increase of 57% from 5 mm/min and 50 mm/min. The tensile strength showed a variation for the same
test velocities of, respectively, 8% and 5%. Therefore, the material behaviour is elasto-viscoelastic.
Under stress controlled cyclic tensile test, performed at a frequency of 3 N/s, the material exhibits hysteresis
leading to the accumulation of cyclic plastic deformation. Which was experimentally verified to be essentially due to
kinematic hardening. Thus, for this polymer the kinematic hardening is greater than the isotropic hardening.
5. ACKNOWLEDGEMENTS
The authors would like to thank the Brazilian National Council for Scientific and Technological Development
(CNPq) and Coordination for the Improvement of Higher Education Personnel (CAPES) for supporting part of the work
presented here.
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7. RESPONSABILITY NOTICE
The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.