analisi della varianza. anova media generale = 50 + 65 /10 = 11,5 devianza generale = (8-11,5) 2 +...
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Analisi della Varianza G1 G2
SS Punteggio SS Punteggio
1
2
3
4
5
8
7
10
14
11
6
7
8
9
10
14
10
16
10
15
sommap
mediap
50
10
somman
median
65
13
ANOVA
• Media generale = 50 + 65 /10 = 11,5
• Devianza generale = (8-11,5)2 + (7-11,5)2 + ... + (15-11,5)2 = 84,5 e gdl (N-1) = 10-1 = 9
Scomposizione della devianza
• Tra i gruppi: teniamo costante la variabilità entro i gruppi (i punteggi dei ss sono la media).
• Devianza tra i gruppi= (10-11,5)2 + (10-11,5)2 + ... + (13-11,5)2 + (13-11,5)2 = 22,5 e gdl (K-1) = 2-1 = 1
• Entro i gruppi: la variabilità si calcola rispetto alla media del proprio gruppo
• Per il G1= (8-10)2 + (7-10)2 + ... = 32• Per il G2= (14-13)2 + (10-13)2 + ... = 30 • Devianza entro = 32+30= 62 e gdl (N-K) = 10-2 = 8
Scomposizione della devianza
Devianza totale (84,5)
Devianza Tra Devianza Entro
(22,5) (62)
• Dalla devianza alla varianza: Devianza / GDL• Varianza Tra: 22,5/1= 22,5• Varianza Entro: 62/8= 7,75• Se H0 è vera, la varianza tra i gruppi e quella entro i
gruppi sono due stime della stessa varianza. I campioni provengono dunque dalla stessa popolazione e le loro medie sono due stime della stessa media, quella della popolazione.
Test F di Ficher:
È il rapporto tra due varianze.
Segue una distribuzione di probabilità con i gdl delle due devianze.
Es: F= 22,5 = 2,90
7,75
Gdl 1,8
Scomposizione
Fonti di
variazione
Devia
nza
gdl Varianza F
Tra i gruppi
Entro i gruppi
Totale
K-1
N-K
N-1
Devianza/gdl
Devianza/gdl
Varianza tra/varianza
Entro
ScomposizioneFonti di
variazione
Devianza gdl Varianza F
Tra i gruppi
Residua
Totale
22,5
62
84,5
1
8
9
22,5
7,75
2,9
Decisione
• H0: accetto o rifiuto?
• Due vie per la decisione
1) Pongo = 0,05. Con 1,8 gdl F cri= 5,32
F ott= 2,9 < 5,32 Accetto H0
2) Vedo il livello di probabilità della F ottenuta: p= 0,08 Accetto H0
ANOVA ad una via
• Un ricercatore ipotizza che il giudizio delle persone sulla pesantezza degli oggetti venga influenzato dal fatto che l’oggetto venga sollevato con un solo braccio, in particolare il sinistro.
G1 Xs O1
G2 XdO2
G3 Xsd O3
Ipotesi
• H0: s = d = sd• Non c’è una differenza significativa tra il giudizio sulla
pesantezza degli oggetti dato con la mano destra, con la sinistra o con entrambe la braccia
• H1: s d sd• C’è una differenza significativa tra il giudizio sulla
pesantezza degli oggetti in almeno una delle tre condizioni
Scomposizione delle devianze
Devianza totale
Devianza Devianza
Tra Residua
ANOVA: medie
PESO_GIU N Validi
SIN 5,490000 10
DES 3,720000 10
SINDES 2,880000 10
Tutti G 4,030000 30
ANOVA: grafico delle mediePlot di Medie
GRUPPO Eff. Princ.
F(2,27)=94,33; p<,0000
GRUPPO
Va
ria
bile
:PE
SO
_G
IU
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
SIN DES SINDES
Deviazioni standard
PESO_GIU N Validi
SIN ,582046 10
DES ,410420 10
SINDES ,239444 10
Tutti G 1,182968 30
Risultati ANOVA
Fonte
Di var. Varianza GDL F P
Gruppo 17,751 2 94,33 0,001
Residua 0,1882 27
Confronti multipli
{1} {2} {3}
5,49 3,72 2,88
SIN {1} ,0001 ,00006
DES {2} ,0003
SINDES {3}
Confronti Pianificati
Gruppi Coefficienti
G1 -2
G2 1
G3 1
F (1,27) = 169,9 p = ,000001
Confronti Pianificati
Gruppi Coefficienti
G1 0
G2 -1
G3 1
F (1,27) = 18,75, p =,00018
TESTO
• Un ricercatore immagina che la depressione comporti un diverso giudizio di pesantezza degli oggetti.
G1 O1 depressi da più di 10 a
G2 O2 depressi da 1 a
G3 O3 non depressi
ANOVA
Fonte
Di var. Varianza GDL F P
Gruppo 20,6 2 3,38 0,95
Residua 6,1 27
ANOVA
• Un ricercatore ipotizza che il giudizio delle persone sulla pesantezza degli oggetti venga influenzata dalla grandezza degli oggetti e dal fatto che l’oggetto venga sollevato con un solo braccio, in particolare il sinistro.
Fattori
• V.I.: braccia di leva (dx, sn, dx+sn); grandezza oggetto (piccolo, medio, grande)
• V.D.: giudizio di pesantezza
• Ipotesi di ricerca: la condizione braccio di leva sn con oggetto grande comporta un giudizio di pesantezza superiore che nelle altre condizioni.
Disegno
Dx Sn Dx+SN
Picc. G1 G4 G7
Med. G2 G5 G8
Gran. G3 G6 G9
Scomposizione della devianza
Devianza totale
Devianza TRA i G. Devianza Residua
A B AXB
Analisi fattoriale
Fonte
Di var. Varianza GDL F P
Brac. 19,16 2 100,8 ,00001
Ogg 1,17 2 6,1 ,006
OggXBra ,36194 4 1,9 ,138
Residua ,19 27
BRACCIO SIN
BRACCIO DES
BRACCIO SINDES
Plot di Medie
2-vie,interazione
F(4,27)=1,90; p<,1387
OGGETTO
Va
ria
bile
:PE
SO
_G
IU
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
Picc Med Gra
Plot di Medie (non pesate)
BRACCIO Eff. Princ.
F(2,27)=100,83; p<,0000
BRACCIO
Va
ria
bile
:PE
SO
_G
IU
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
SIN DES SINDES
Duncan su Braccia
{1} {2} {3}
5,275000 3,625000 2,791667
SIN .... {1} ,000144 ,000063
DES .... {2} ,000208
SINDES ....{3}
Plot di Medie (non pesate)
OGGETTO Eff. Princ.
F(2,27)=6,19; p<,0061
OGGETTO
Va
ria
bile
:PE
SO
_G
IU
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
Picc Med Gra
Duncan su oggetto
{1} {2} {3}
3,98 4,1 3,55
.... Picc {1} ,334380 ,021933
.... Med {2} ,002821
.... Gra {3}
Risultati
Fonte
Di var. GDL Varianza F P
Brac. 2 57,09 48,63 ,0001
Ogg 2 5,116 4,35 ,022
OggXBra 4 10,12 8,62 ,0001
Residua 27 1,17
Medie
PESO_GIU N SIN Picc 5,150000 4SIN Med 5,850000 4SIN Gra 9,750000 4DES Picc 4,000000 4DES Med 3,550000 4DES Gra 3,325000 4SINDES Picc 2,800000 4SINDES Med 3,075000 4SINDES Gra 2,500000 4
Duncan interazione
{1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9} 5,15 5,85 9,75 4 3,55 3,32 2,8 3,07 2,5 S P {1} ,36 ,001 ,14 ,057 ,03 ,01 ,02 ,004 S M {2} ,001 ,02 ,009 ,005 ,001 ,002 ,005 S G {3} ,006 ,001 ,001 ,001 ,001 ,001 D P {4} ,56 ,41 ,17 ,28 ,09 D M {5} ,77 ,38 ,56 ,23 D G {6} ,52 ,74 ,33 SD P {7} ,72 ,69 SD M {8} ,48
Anova per misure ripetute
G1 X1 O1 X2 O2 X3 O3
• Faccio sollevare agli stessi ss dei pesi con braccio sn, dx e sn+dx.
• N= 12
Scomposizione della devianza
Devianza totale
Devianza Devianza
Tra i ss Entro i ss
tra le prove residua
Risultati
Fonte
Di var. GDL Varianza F P
M. Rip 2 17,75 88,96 ,0001
Residua 18 ,199
Mrip: braccio N= 12
Plot di Medie
BRACCIO Eff. Princ.
F(2,18)=88,97; p<,0000
BRACCIO
Va
ria
bile
:Va
r.1
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
livel_1 livel_2 livel_3
Duncan Test
{1} {2} {3}
5,49 3,72 2,88
1 {1} ,0001 ,00007
2 {2} ,0006
3 {3}
Disegno
sn dx sn+dx
Picc G1 O1 G1O2 G1O3
Medio G2 O1 G2O2 G2O3
Grande G3 O1 G3O2 G3O3
Disegno
G1p Xsn O1 Xdx O2 Xs+d O3
G2m Xsn O4 Xdx O5 Xs+d O6
G3g Xsn O7 Xdx O8 Xs+d O9
Risultati
Fonte
Di var. Varianza GDL F P
Ogg 3,31 2 20,9 ,0004
Bra 43,6 2 251,3 ,0001
OggXBra 5,29 18 30,48 ,0001
Err tra ,157 9
Err entro ,174 18
OGGETTO Pic
OGGETTO Med
OGGETTO Gran
Plot di Medie
2-vie,interazione
F(4,18)=30,48; p<,0000
BRACCIO
Varia
bile
:Var
.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
livel_1 livel_2 livel_3
Medie
Pic 1 5,150000Pic 2 4,175000Pic 3 2,900000Med 1 5,875000Med 2 3,625000Med 3 2,925000Gran 1 8,625000Gran 2 3,575000Gran 3 2,850000
Duncan Test
1} {2} {3} {4} {5} {6} {7} {8} {9}
5,15 4,1 2,9 5,8 3,6 2,92 8,6 3,5 2,8
P1 {1} ,004 ,001 ,02 ,001 ,001 ,001 ,001 ,001
P2 {2} ,001 ,001 ,07 ,001 ,001 ,06 ,001
P3 {3} ,001 ,03 ,93 ,001 ,04 ,86
M1 {4} ,001 ,001 ,001 ,001 ,001
M2 {5} ,03 ,001 ,86 ,02
M3 {6} ,001 ,04 ,81
G1 {7} ,001 ,001
G2 {8} ,03