Michele CampitiAnalisiMatematicaelementiprincipalidellateoriaxyfg01a.a. 2006-2007Peri corsi di Analisi MatematicaI &II dellaFacolt`adi Ingegneria, Universit`adelSalentoIn copertina: Graco delle funzionif(x) := exp(x) eg(x) := sin xPrefazioneIl presentemanualecontienegli elementi principali dellateoriadei corsi diAnalisi MatematicaIeIIed`eindirizzatoprincipalmenteagli studenti deiCorsidiLaureainIngegneriadinuovaistituzione.`Estatopertantoprivile-giato lobiettivo della sintesi, in qualche caso anche a discapito della comple-tezza, degli argomenti trattati, ediverseparti dellateoriasonostateintro-dotte in modo da basare lesposizione su un numero abbastanza contenuto didenizionidibase. Sonostatispessoancheutilizzatistrumentiintuitivi,so-prattutto per ci`o che riguarda gli argomenti introduttivi quali la teoria degliinsiemi, gli insiemi numerici e la topologia degli spazi euclidei. Si `e rinunciatoa qualsiasi giusticazione teorica sullintroduzione degli insiemi numerici percercaredi introdurresubitogli strumenti fondamentali per lostudiodellefunzioni reali, comelateoriadei limiti, il calcolodierenzialeequellointe-grale. Nonostantequantosoprail presentemanualenon`econcepitocomeunmerotestodicalcolo;glielementidellateoriasonostatiespostiinmododa favorire la formazione scientica degli studenti e da incentivare linteresseverso unanalisi critica dei problemi posti, nei limiti di tempo disponibile peril corso. Lasuccessivaacquisizionedi nuovenozioni trovainoltreunabasedipartenzachenonrichiedelarevisionedipartieconcettigi`aappresi;vie-nefavoritocos`inmodonaturaleilsuccessivoapprofondimentodeirisultatiesposti.Sonoovviamentegraditisuggerimentiesegnalazionidierroridafarper-venirepreferibilmentepere-mailallindirizzo: michele.campiti@unile.it.MicheleCampitiIndiceI Funzionidiunavariabilereale 11 Preliminari 51.1 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1 Notazioniinsiemistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Notazionilogiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.3 Notazioninumeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Alcunepropriet`adegliinsieminumerici . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Principiodiinduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 FormuladelbinomiodiNewton . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Cennidicalcolocombinatorio . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Valoreassolutoedistanzain R . . . . . . . . . . . . . 151.2.5 Rappresentazionegeometricadi Rn,n 3 . . . . . . . 171.3 Propriet`adeisottoinsiemidi R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Funzionireali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 Operazioniconlefunzionireali . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 Estremidifunzionireali . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5.3 Propriet`adimonotonia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5.4 Propriet`adisimmetriaeperiodicit`a. . . . . . . . . . . 331.6 Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6.1 NumerodiNepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7 Funzionielementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.7.1 Funzionipotenzaadesponenteinteropositivo . . . . . 371.7.2 Funzioniradice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.7.3 Funzionepotenzaadesponenteinteronegativo. . . . . 411.7.4 Funzionipotenzaadesponenterazionaleereale . . . . 411.7.5 Funzioniesponenzialielogaritmiche. . . . . . . . . . . 441.7.6 Richiamiditrigonometriaefunzionitrigonometriche . 471.7.7 Funzionitrigonometricheinverse . . . . . . . . . . . . . 53iv Indice2 Numericomplessiepolinomi 592.1 Propriet`ageneralideinumericomplessi . . . . . . . . . . . . . 592.2 Coordinatepolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3 Formatrigonometricadeinumericomplessi . . . . . . . . . . . 642.4 Formaesponenzialedeinumericomplessi . . . . . . . . . . . . 682.5 Polinomiedequazionialgebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.1 Polinomierelativeradici . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5.2 Polinomiacoecientireali . . . . . . . . . . . . . . . . 743 Equazioniedisequazioni 773.1 Equazioniedisequazionirazionaliintere . . . . . . . . . . . . 773.2 Equazioniedisequazionirazionalifratte . . . . . . . . . . . . 803.3 Sistemidiequazioniedisequazioni . . . . . . . . . . . . . . . 823.4 Equazioniedisequazioniirrazionali . . . . . . . . . . . . . . . 843.5 Equazioniedisequazioniconvaloreassoluto . . . . . . . . . . 873.6 Metodograco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904 Limitidellefunzionireali 934.1 Denizionegeneraledilimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2 Primepropriet`adeilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3 Limitidestriesinistri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.4 Teoremidiconfronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.5 Operazionisuilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.6 Limitidellefunzionimonotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.7 Limitidellefunzionielementari . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.7.1 Funzionipotenzaadesponenteinteropositivo . . . . . 1104.7.2 Funzioniradice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.7.3 Funzionipotenzaadesponenteinteronegativo. . . . . 1104.7.4 Funzionipotenzaadesponentereale . . . . . . . . . . 1114.7.5 Funzioniesponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.7.6 Funzionilogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.7.7 Funzionitrigonometriche. . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.7.8 Funzionitrigonometricheinverse . . . . . . . . . . . . . 1124.8 Limitidipolinomiefunzionirazionali. . . . . . . . . . . . . . 1134.9 Limitinotevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.10 Innitesimiedinniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.10.1 Operazioniconinnitesimiedinniti . . . . . . . . . . 1235 Successionieserienumeriche 1295.1 Limitidisuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.1.1 Successioniestratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137Indice v5.1.2 Massimoeminimolimite. . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.1.3 CriteriodiconvergenzadiCauchy. . . . . . . . . . . . 1435.1.4 Massimoeminimolimiteperlefunzioni . . . . . . . . 1445.2 Serienumeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.2.1 Denizioniepropriet`apreliminari . . . . . . . . . . . . 1465.2.2 Serieaterminipositivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.2.3 Seriealternanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575.2.4 Propriet`aalgebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596 Funzionicontinue 1636.1 Denizioniepropriet`apreliminari . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.2 Funzionicontinuesuintervallichiusielimitati . . . . . . . . . 1676.3 Continuit`adellefunzionimonotone . . . . . . . . . . . . . . . 1716.4 Funzioniuniformementecontinue . . . . . . . . . . . . . . . . 1737 Calcolodierenziale 1777.1 Funzioniderivabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.1.1 Denizioniedinterpretazionegeometrica . . . . . . . . 1777.1.2 Regolediderivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1837.1.3 Derivatedellefunzionielementari . . . . . . . . . . . . 1877.2 TeoremidiRolle,CauchyeLagrange . . . . . . . . . . . . . . 1937.3 Applicazionialcalcolodeilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.3.1 TeoremidiLHopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.3.2 FormuladiTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2037.3.3 Simboli di Landau e applicazioni della formula di Tay-loralcalcolodeilimiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2117.4 Applicazioniallostudiodelgracodellefunzionireali . . . . . 2137.4.1 Monotoniaemassimieminimirelativiedassoluti . . . 2137.4.2 Convessit` a,concavit`aeessi . . . . . . . . . . . . . . . 2217.4.3 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.4.4 Studiodelgracodiunafunzionereale . . . . . . . . . 2328 Calcolointegrale 2398.1 LintegralesecondoRiemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.1.1 Suddivisionidiunintervallo . . . . . . . . . . . . . . . 2398.1.2 Integrabilit` adellefunzionilimitate . . . . . . . . . . . 2408.1.3 Interpretazione geometrica e propriet`a dellintegrale este-so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2468.1.4 Primitiveedintegraleindenito . . . . . . . . . . . . . 2498.1.5 Integraliindenitiimmediati. . . . . . . . . . . . . . . 2548.1.6 Primeregolediintegrazione . . . . . . . . . . . . . . . 256vi Indice8.2 Integraliimpropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.2.1 Integraliimpropridifunzioninonlimitate . . . . . . . 2598.2.2 Integraliimproprisuintervallinonlimitati . . . . . . . 267II Equazioni dierenziali efunzioni di pi` uvariabilireali 2739 Successionieseriedifunzioni 2779.1 Convergenzapuntualeeduniforme . . . . . . . . . . . . . . . 2779.2 Propriet`adellimitediunasuccessionedifunzioni . . . . . . . 2799.3 Seriedifunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2839.4 Seriedipotenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2889.5 Serieottenuteperderivazioneedintegrazione . . . . . . . . . 2939.6 SeriediTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2949.6.1 Funzioneesponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2969.6.2 Funzionelogaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.6.3 Funzionisenoecoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.6.4 Funzionearcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.6.5 Laseriebinomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.6.6 Lafunzionearcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3019.7 SeriediFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30110Calcolodierenzialeinpi` uvariabili 30710.1 Cennisullastrutturametricadi Rn. . . . . . . . . . . . . . . 30710.1.1 Prodottiscalarienorme . . . . . . . . . . . . . . . . . 30710.1.2 Sfereedinsiemiapertiechiusi . . . . . . . . . . . . . . 31310.1.3 Intervalli,retteedirezionidi Rn. . . . . . . . . . . . . 31510.2 Funzionidipi` uvariabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31710.3 Derivatedirezionalieparzialiedierenziabilit`a . . . . . . . . 32110.3.1 Funzionilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32110.3.2 Derivatedirezionalieparziali . . . . . . . . . . . . . . 32210.3.3 Dierenziabilit`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32410.3.4 DerivatesuccessiveeformuladiTaylor . . . . . . . . . 33010.3.5 Dierenziabilit`adellefunzionicomposte . . . . . . . . 33410.4 Puntidimassimoeminimorelativo . . . . . . . . . . . . . . . 33610.5 Massimoeminimoassoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.6 Massimieminimivincolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Indice vii11LintegralediRiemannin Rn34511.1 CennisullateoriadellamisuradiPeano-Jordanin Rn. . . . . 34511.2 CennisullintegralediRiemannin Rn. . . . . . . . . . . . . . 35011.2.1 Integrazionesudomininormali . . . . . . . . . . . . . 35411.2.2 Cambiamentodivariabilenegliintegralimultipli. . . . 35712Curve,campivettorialiesuperci 36312.1 Curveregolarielunghezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36312.2 Integralicurvilineiecampivettorialiconservativi . . . . . . . 37112.2.1 Integralicurvilinei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37112.2.2 Integralicurvilineidiuncampovettoriale . . . . . . . 37312.2.3 Campivettorialiconservativi . . . . . . . . . . . . . . . 37512.3 Superciedintegralisuperciali . . . . . . . . . . . . . . . . . 37812.4 IlteoremadelladivergenzaelaformuladiStokes . . . . . . . 38013Equazionidierenzialiordinarie 38313.1 IntroduzioneeproblemadiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . 38313.2 Unicit`adellasoluzionedelproblemadiCauchy . . . . . . . . . 39013.3 EsistenzadellasoluzionedelproblemadiCauchy . . . . . . . 39413.4 Equazionidierenzialilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39613.4.1 Equazionidierenzialilinearidelprimoordine . . . . . 40013.4.2 Equazionidierenzialilinearidiordinenacoecienticostanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401Bibliograa 407Elencodellegure1.1 Rappresentazionedel prodottocartesianodidueinsiemi. . . . 71.2 Rappresentazionegeometricadeinumerireali. . . . . . . . . . 171.3 Riferimentocartesianononortogonale. . . . . . . . . . . . . . 181.4 Riferimentocartesianoortonormale. . . . . . . . . . . . . . . 191.5 Riferimentocartesianodellospazio. . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 Esempiodimassimoassolutoerelativo. . . . . . . . . . . . . 291.7 Funzionestrettamentecrescente(decrescente)inunintervallo. 301.8 Funzionestrettamentecrescente(decrescente)inunpunto. . . 321.9 Funzionepotenzaadesponentepari( 2). . . . . . . . . . . . 381.10 Funzionepotenzaadesponentedispari( 3). . . . . . . . . . . 391.11 Funzioneradiceconindicepari. . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.12 Funzioneradiceconindicedispari. . . . . . . . . . . . . . . . 411.13 Funzionepotenzaadesponenteinteronegativopari. . . . . . . 421.14 Funzionepotenzaadesponenteinteronegativodispari. . . . . 421.15 Funzionepotenzaconesponenterazionaleoreale. . . . . . . . 441.16 Funzioneesponenziale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.17 Funzionelogaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.18 Circonferenzatrigonometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.19 Funzionisenoecoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.20 Interpretazionegeometricadellatangente. . . . . . . . . . . . 521.21 Funzionetangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.22 Interpretazionegeometricadellacotangente. . . . . . . . . . . 541.23 Funzionecotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551.24 Funzionearcoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.25 Funzionearcocoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.26 Funzionearcotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.27 Funzionearcocotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.1 Coordinatepolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2 Radiciterzeequintediunnumerocomplesso. . . . . . . . . . 67x Elencodellegure3.1 Metodogracoperledisequazioni: Esempio1 . . . . . . . . . 903.2 Metodogracoperledisequazioni: Esempio2 . . . . . . . . . 913.3 Metodogracoperledisequazioni: Esempio3 . . . . . . . . . 923.4 Metodogracoperledisequazioni: Esempio4 . . . . . . . . . 924.1 Limitidiunafunzionemonotona. . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2 Limitenotevolesinx/xin0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.1 ProdottosecondoCauchydidueserie . . . . . . . . . . . . . . 1606.1 Teoremadeglizeri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.2 Approssimazionedellesoluzioniconil teoremadeglizeri. . . . 1707.1 Interpretazionegeometricadelladerivata.. . . . . . . . . . . . 1817.2 TeoremadiRolle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1947.3 TeoremadiLagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1967.4 PolinomidiTaylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2057.5 Funzioneconvessaoconcavainunpuntoepuntidiesso. . . 2247.6 Asintotoorizzontaleeverticale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2317.7 Gracodellafunzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2357.8 Gracodellafunzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2378.1 Sommasuperioreedinferiorerelativaadunasuddivisione. . . 2418.2 Teoremadellamediaintegrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25010.1 Esempiodiinsiemeconnessomanonconvesso. . . . . . . . . 31711.1 Esempiodiinsiememisurabileillimitato. . . . . . . . . . . . . 34911.2 Dominio di integrazione con trasformazione in coordinate polari.359ParteIFunzionidiunavariabilerealeNellaprimapartedelcorso,lostudiodellefunzionirealidiunavariabilereale, attraversolostudiodei limiti edel calcolodierenzialeedintegrale,costituisce lobiettivo principale degli argomenti trattati, per il cui raggiungi-mento vengono trattati non solo argomenti di carattere preliminare, quali gliinsiemi con particolare riguardo a quelli numerici, le disequazioni e le funzionielementari,maanchedicaratterecomplementare,qualiinumericomplessi,lesuccessionieleserienumeriche.Capitolo1Preliminari1.1 NotazioniNellesezioniseguentisonoraggruppatealcunedellenotazioniadoperatenelseguitodeltesto.1.1.1 NotazioniinsiemisticheGli insiemi vengono solitamente rappresentati con lettere maiuscole: E, F, . . .edi loroelementi conlettere minuscole: x, y, . . . . Uninsieme contenen-tegli oggetti a, b, c, . . . si pu`oindicarecon a, b, c, . . . ; inoltre, seE`euninsieme assegnatoe se, per ogni x E`e assegnataanche unapropriet`aT(x),linsiemedeglielementidiEpercuilapropriet`a `everasidenotaconx E [ T(x).Seinparticolarevieneassegnataunapropriet`achenon`esoddisfattadaalcunelementodi E(adesempio, T(x) =xnon`eunelementodi E), siottieneuninsiemeprivodielementi, chevienedenominatoinsiemevuotoedenotatocon . Linsiemevuoto `ecaratterizzatodal fattodi nonavereelementi.Inoltre,siassumonoleseguentinotazioni:Simbolodiappartenenza. Lanotazionex Eaermacheloggettoxappartieneallinsieme(oppure`eelementodi)E). Lanegazioneditalecircostanzasiesprimescrivendox/ E.Simbolo di inclusione. La notazione E F aerma che linsieme E `econtenuto nellinsieme (oppure `e un sottoinsieme di) F, cio`e gli elementidi Esonoancheelementi di F. Lanegazionedi talecircostanzasiesprimescrivendoE , F.6 Capitolo1: PreliminariSimbolodi intersezione. LanotazioneE Fdenotalinsiemeco-stituitodagli elementi cheappartengonosiaadEcheadF. Pi` uingenerale, seI `euninsiemeeperogni i I `eassegnatouninsiemeEi,linsiemeintersezionecostituitodaglielementicheappartengonoatutti gli insiemi Eivienedenotatocon

iIEi. Dueinsiemi EedFsidiconodisgiunti seE F= .Simbolodi unione. LanotazioneE FdenotalinsiemecostituitodaglielementicheappartengonooadEoppureadF(cio`eadalmenounodei dueinsiemi). Inoltre, seperogni i I`eassegnatouninsie-meEi,linsiemeunionecostituitodaglielementicheappartengonoadalmenounodegliinsiemiEivienedenotatocon_iIEi.Simbolodi complementare. SeE`eunsottoinsiemedi F, lanotazio-ne F(E)denotalinsieme costituitodagli elementi di F che nonappartengonoadE.Simbolodidierenzadiinsiemi. Lanotazione F E denotalinsie-mecostituitodagli elementi di FchenonappartengonoadE. Si haovviamenteF E= F(E F).Sexedysonooggettidistinti,linsieme x, yvienedenominatocoppianonordinata(sex=y,siottienelinsieme xridottoalsoloelementox).Perquantoriguardalinsieme x, y,nonhaalcunarilevanzalordineconilqualecompaionoi dueelementi xedy; invecenellacoppiaordinata(x, y)di primacoordinataxesecondacoordinataylordineincui compaionoglielementidiventadiimportanzasostanziale(precisamente,sipotrebbeporre(x, y) =x, x, yper dierenziare il ruolodei due elementi, manelseguitosipreferir`abasarsisuunadenizioneintuitiva).Pertanto,siha(a, b) = (c, d)seesolosea = ceb = d.In modo del tutto analogo, assegnati tre oggetti x, ye z, si pu`o denire laterna ordinata (x, y, z). Nel caso in cui x1, x2, . . . , xnsiano n oggetti (n 2),si denisce con lo stesso metodo la n-pla ordinata di prima coordinata x1, disecondacoordinatax2,. . . ,edn-esimacoordinataxn.Se Eed Fsono due insiemi, si pu`o considerare linsieme di tutte le coppieordinate con prima coordinata in Ee seconda coordinata in F. Tale insiemeviene denominato insieme prodotto di E per Fe viene denotato con il simboloE F;seE= F,sipu`oanchescrivereE2anzicheE E.IlprodottocartesianoEFpu`oessererappresentatogeometricamenteindicando gli elementi dellinsieme E su un segmento disposto orizzontalmen-teegli elementi di Fsuunsegmentodispostoverticalmente; gli elementi1.1Notazioni 7del prodotto(coppieordinate)sonoallorarappresentati comeelementi delrettangoloinFigura1.1.PxyEFFigura1.1: Rappresentazionedel prodottocartesianodidueinsiemi.Si osservi che se linsieme E `e formato da n elementi distinti e linsieme F`e formato da m elementi distinti, allora il prodotto cartesiano EFpossiedeesattamentenmelementidistinti.In modo analogo si considera il prodotto cartesiano EFGdi tre insiemiE, FeG; esso`elinsiemedelleterneordinatelacuiprimacoordinata`eunelemento di E, la seconda coordinata `e un elemento di Fe la terza coordinata`eunelementodiG.Pi` uingenerale,seE1, E2, . . . , Ensononinsiemi(n 2),sipu`odenireil prodotto cartesiano E1E2 Encome linsieme delle n-ple ordinate(x1, . . . , xn)tali chex1 E1, . . . xn En. Ancheinquestocaso, seE1=E2==En=E, si utilizzail simboloEnper denotare il prodottoE1E2 En.1.1.2 NotazionilogicheGli enunciati considerati in matematica (denominati anche propriet`a, propo-sizioni o aermazioni) sono asserzioni di senso compiuto che possono essere overi o falsi e vengono rappresentati con lettere corsive maiuscole; ad esempio:/, B, (, . . . , T, Q, . . . .Se /e Bsonoenunciati,siscrive / B(/implica B)perdenotarelenunciatoveroneicasiincui /siafalsooppure,suppostoverolenunciato/, risulta vero anche lenunciato B; conseguentemente, / B risulta falsosolonelcasoincui / `everoe B`efalso.Inoltre, si scrive / B(/ equivale a B) per denotare lenunciato veroseesoloseglienunciati /e Bsonoentrambiverioppureentrambifalsi.8 Capitolo1: PreliminariQuanticatoreuniversaleperogni. Peresprimerelacircostanzaincui unapropriet`a T(assegnataperogni elementoxdi uninsiemeE)siasemprevericata,siscrivex E: T(x)(sileggeperognixinEsiha T(x)). Ilsimbolo: halafunzionediabbreviazionelinguisticaesileggesihacheoppurerisultache.Quanticatoreesistenzialeesiste. Per esprimere la circostanza in cuiunapropriet`a T(assegnataperogni elementoxdi uninsiemeE)siavericataperalmenounelemento,siscrivex Et.c. T(x)(si legge esiste x in Etale che T(x)). Il simbolo t.c. ha la funzionedi abbreviazionelinguisticaesi leggetaleche. Inmolti casi vieneutilizzatoancheilsimbolo

comeabbreviazioneditaleche. Nelcasoincuiesistaesattamenteununicoelementodix Epercui T(x)siaverasi scrive [x Et.c. T(x)(si leggeesisteununicoxinEtaleche T(x)).1.1.3 NotazioninumericheNInsiemedeinumerinaturali: 0,1,2,3,. . .ZInsiemedeinumeriinterirelativi: . . . ,-3,-2,-1,0,1,2,3,. . .QInsieme dei numeri razionali, che possono cio`e essere espressi nellaformamn , dove m Z ed n N 0.Unnumerorazionaleqsipu`orappresentareinformadecimale:q= a0, a1. . . arar+1. . . ar+sdove a0 Z, a1. . . ar+s 0, 1, . . . , 9 e la parte periodica ar+1. . . ar+s`edaintendersiripetutainnitevolte.RInsieme dei numeri reali, che informa decimale hanno la seguenterappresentazionea0, a1a2a3. . .dovea0 Z,a1a2a3 0, 1, . . . , 9enonvi`enecessariamenteunaparteperiodica.1.1Notazioni 9CInsiemedei numeri complessi, cheinformageometricahannolarap-presentazionez= (a, b)cona, b R. (Informaalgebrica, il numerocomplessoz =(a, b)si scrivez=a + ibdovei denotalunit`aimmaginariadenitacomesoluzionedellequazionex2+ 1 = 0.)Nel seguitosar`autileutilizzarelaconvenzionedi scrivereunasteriscoinaltoadestraaduninsiemeper denotarelostessoinsiemeprivatodelnumero 0, ed il segno + (oppure ) per denotare gli elementi positivi (oppurenegativi)dellinsieme. Pertanto,adesempioR= R 0, R+= x R [x > 0, Q= q Q [q 0.Unaltra convenzione riguarda la somma e il prodotto di un numero nitodielementidiuninsiemenumerico: assegnatiinumeria1, . . . , ansiponen

k=1ak:= a1 + . . . an,n

k=1ak:= a1 an.Perquantoriguardai sottoinsiemi di R, avrannoparticolarerilevanzaiseguentisottoinsiemidenominatiintervalli:Intervallilimitati. Sianoa, b Rtalichea < b. Sipone:[a, b] = x R [ a x b (intervallo limitato chiuso di estremi aeb);]a, b[= x R [a < x < b(intervallolimitatoapertodiestremiaeb);[a, b[= x R [ a x < b (intervallo limitato semichiuso a sinistra(oppuresemiapertoadestra)diestremiaeb);]a, b] = x R [ a 0,siha [x[ aseesolosex aoppurex a;11. i)sea < 0,ladiseguaglianza [x[ > a `esempresoddisfatta;ii)sea 0,siha [x[ > aseesolosex < aoppurex > a.Ilvaloreassolutodiunnumerorealeconsentedidenireladistanzatraduenumerireali. Precisamente,perognicoppiadinumerireali(x, y) R2,ladistanzadixdayvienedenotatacond(x, y)ed `edenitaponendod(x, y) := [x y[ .Valgonoleseguenti propriet`adelladistanza, cheseguonodirettamentedallepropriet`a1.,2.,3. e6. delvaloreassolutoelencatesopra.1. (x, y) R2: d(x, y) 0 ;2. (x, y) R2: d(x, y) = 0 x = y;3. (x, y) R2: d(y, x) = d(x, y)(propriet`asimmetricadelladistanza);4. (x, y, z) R3: d(x, z) d(x, y) +d(y, z) (propriet`a triangolare delladistanza).1.2Alcunepropriet`adegli insiemi numerici 171.2.5 Rappresentazionegeometricadi Rn,n 3Nellostudiodelle funzioni reali, di interesse centrale nel seguito, sar`adinotevoleaiutolarappresentazionegeometricasiadiRchedi R2e, perlefunzionididuevariabili,anchedi R3.Linsieme dei numeri reali viene solitamente rappresentato come linsiemedeipuntidiunaretta. Infatti, siarunarettaesissinoduepuntidistintiOe Udi r corrispondenti ai numeri reali 0e 1. Lasemirettaavente Ocomeestremoecontenenteil puntoUvienedenominatasemiassepositivoed indicata con r+;analogamente, la semiretta di estremo Onon contenenteil puntoUvienedenominatasemiassenegativoedindicataconr. Si pu`oalloradenireunacorrispondenzatraunnumerorealexedunoedunsoloelementoPdellarettarprendendoilsegmentoOUcomeunit`adimisuraeconsiderando il segmento OPavente lunghezza x con Pin r+se x `e positivoePinrsex`enegativo. Viceversa, lastessacorrispondenzaconsentedifarcorrispondereadogni puntoPdellarettaunoedunsolonumerorealex. Inquestomodoogni numerorealevieneidenticatoconunpuntodellarettareviceversa. Perquestomotivolarettar(olinsieme R)vieneanchedenominatarettarealecos`comeglielementidi Rvengonospessochiamatipunti. Innelasemirettapositivar+(denominataanchesemirettapositiva)vienespessoevidenziatamedianteunafrecciacomeinFigura1.2.$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$X01rFigura1.2: Rappresentazionegeometricadeinumerireali.Si consideraoraunarappresentazione del prodottocartesianoR2. Inquestocasosi ssanodueretter1edr2nonparallelesuunpiano. SidenotaconOilpuntodi intersezionedi r1edr2edinoltresuognunadelleduerettesi consideraunulteriorepuntodistintodaOcheverr` adenotatocon U1e rispettivamente U2. In questo modo si dice che `e stato assegnato unriferimento cartesiano ed il piano viene anche denominato piano cartesiano.Ad ogni (x, y) R2, si pu`o far corrispondere una ed una sola coppia (P1, P2)conP1 r1eP2 r2(inquantosulleretter1edr2si pu`oconsiderareunarappresentazionedeinumerireali)esuccessivamentesipu`oconsiderareilpuntoPdelpianoottenutocomeintersezionedelleretteparalleleadr2edr1epassantiperP1erispettivamenteP2(vedasilaFigura1.3).18 Capitolo1: PreliminariE0PxyFigura1.3: Riferimentocartesianononortogonale.Ancheoraconilprocedimentoinverso,adognipuntodelpianosipu`ofarcorrispondereunaedunasolacoppiadinumerireali. Quindiilpianopu`oessereidenticatoconilprodottocartesiano R2.Il puntoOvienedenominatooriginedel riferimentocartesianoecorri-spondeovviamenteallacoppia(0,0)(mentreipunti U1eU2corrispondonoallecoppie(1,0)erispettivamente(0,1)).Larettar1vienedenominataassedelleascisseelarettar2assedelleordinate. Inoltre le coordinate dellacoppia(x, y) al quale corrisponde ilpuntoPdivengonoanchedenominateascissaeordinatadiPedilpuntoPdicoordinate(x, y)vieneindicatoancheconP(x, y).Nel casoparticolareincui ledueretter1er2sianoperpendicolari, ilriferimentocartesianosidiceortogonale. Se,inpi` u,ipuntiU1edU2sur1erispettivamente r2vengono ssati alla stessa distanza dallorigine O, allora ilriferimento ortogonale viene denominato ortonormale (vedasi la Figura 1.4).Conviene osservare che la rappresentazione geometrica di R2su un pianocartesiano consente di denire anche in R2una distanza con le stesse propriet`adiquellagi`aprecedentementeintrodottain R. Infatti, perognicoppiax=(x1, x2)ey=(y1, y2)dielementidi R2ladistanzadixdayvieneindicatacond(x, y)ed `edenitaponendod(x, y) :=_(y1x1)2+ (y2x2)2. La rappresentazione geometrica di R3si pu`o ottenere in maniera del tuttoanalogaaquelladiscussaconsiderandotrerettenoncomplanarir1, r2edr3nello spazio , che si intersecano in un punto 0. Su ognuna delle rette r1, r2 ed1.2Alcunepropriet`adegli insiemi numerici 19ET&&&&&&&&&&&&&&&0PxyFigura1.4: Riferimentocartesianoortonormale.r3, che per semplicit`a vengono supposte perpendicolari tra loro, viene ssatounulteriorepuntodistintodaOechevienedenotatorispettivamenteconU1, U2e U3. Il piano contenente le rette r1, r2viene spesso denominato pianoxy, quellocontenenteleretter1, r3vienedenominatopianoxzedinneilpianocontenenteleretter2, r3vienedenominatopianoyz.Anche in questo caso si dice che `e stato assegnato un riferimento cartesia-nonellospazio,chevienedenominatospazioeuclideo. Adogni(x, y, z) R3, si pu`ofar corrispondere unaedunasolaterna(P1, P2, P3) conP1r1, P2 r2eP3 r3esuccessivamentesi pu`oconsiderareil puntoPdi ottenutocomeintersezionedeipianiparalleliaipianiyz, xzexyepassantirispettivamenteperipuntiP1, P2eP3(vedasilaFigura1.5).Ilprocedimentoinversofacorrispondereadognipuntodiunaedunasolaternadi numeri reali. Quindi lospaziopu`oessereidenticatoconilprodottocartesiano R3.AncheorailpuntoOvienedenominatooriginedelriferimentocartesia-noecorrispondeovviamenteallaterna(0,0,0)(mentrei punti U1, U2eU3corrispondonoalleterne(1,0,0),(0,1,0)erispettivamente(0,0,1)).Larettar1viene denominataasse delle ascisse, larettar2asse delleordinateeinnelarettar3assedellealtezze.Inoltrelecoordinatedellaterna(x, y, z)allaqualecorrispondeil puntoPdi vengono anche denominate ascissa, ordinata e altezza (oppure quota)di Ped il punto Pdi coordinate (x, y, x) viene indicato anche con P(x, y, z).Pern 4non `epossibileunarappresentazionegeometricadi Rn;tutta-via, `e ancora possibile considerare una distanza che verica le stesse propriet`a20 Capitolo1: PreliminariET

C0PyzxFigura1.5: Riferimentocartesianodellospazio.diquellaintrodottain R.Si suppongainfatti n 3. Perogni coppiadi n-plex=(x1, . . . , xn)ey=(y1, . . . , yn)dielementidi Rn,infatti,sipu`odenireladistanzad(x, y)dixdayponendod(x, y) :=_n

i=1(yixi)2.1.3 Propriet`adeisottoinsiemidi RNella presente sezione si richiamano alcune nozioni relative ai sottoinsiemi diRcheverrannoutilizzateinseguitoperdenirealtrettantepropriet`adellefunzionireali.SiaXunsottoinsiemenonvuotodi R. Valgonoleseguentidenizioni.Sottoinsiemi limitati. Si dicecheX`elimitatosuperiormente(ri-spettivamente,limitatoinferiormente)seM R t.c. x X: x M (rispettivamente,M x ). (1.3.1)OgnielementoM Rvericantela(1.3.1)vienedenominatomaggio-rante (rispettivamente, minorante) di X. Inne, si dice che X `e limitatose `elimitatosiasuperiormentecheinferiormente,cio`esem, M R t.c. x X: m x M. (1.3.2)1.3Propriet`adei sottoinsiemi di R 21Gli intervalli illimitati a sinistra sono particolari esempi di sottoinsiemilimitati superiormente di R, gli intervalli illimitati a destra sono esempidi sottoinsiemi limitati inferiormente di R ed inne gli intervalli limitatisonosottoinsiemi limitati di R. Viceversa, ogni sottoinsiemelimitatosuperiormentedi R `eunsottoinsiemediunintervalloillimitatoasini-stra, ogni sottoinsiemelimitati inferiormente`eunsottoinsiemedi unintervalloillimitatoadestraedogni sottoinsiemelimitatodiR`eunsottoinsiemediunintervallolimitatodi R.Sottoinsiemi dotati di massimoeminimo. SidiceX`edotatodimassimo(rispettivamente,dotatodiminimo)seM Xt.c. x X: x M (rispettivamente,M x ). (1.3.3)(A dierenza dei maggioranti e minoranti in cui M R, questa volta sipretendeM X.) LelementoMvericantela(1.3.3), univocamentedeterminatodallacondizioneM X, vienedenominatomassimodiX(rispettivamente, minimodi X) e denotatoconunodei seguentisimboli:max X, maxxXx , (rispettivamente, min X, minxXx ).Gli intervalli semichiusi a destra sono particolari esempi di sottoinsiemidotati di massimoequelli semichiusi asinistradi sottoinsiemi dotatidiminimo.Sottoinsiemi dotati di estremi. Si dice X`e dotato di estremosuperiore (rispettivamente, dotato di estremo inferiore) se esiste unelemento Rtaleche___1) x X: x (rispettivamente, x );2) m R, x X: x m m(rispettivamente, x X: m xm ).(1.3.4)Ancheinquestocasolelementovericantela(1.3.4)`eunico, vienedenominato estremo superiore di X(rispettivamente, estremo inferiorediX)evienedenotatoconsup X, supxXx , (rispettivamente, inf X, infxXx ).La seconda propriet`a in (1.3.4) si pu`o esprimere in maniera equivalentecomesegue R+ x Xt.c. < x (rispettivamente,x < + ). (1.3.5)22 Capitolo1: PreliminariUnapropriet`anotevoledeisottoinsiemidi R `elaseguente.Proposizione1.3.1(Secondaformadellassiomadicompletezza)1Ognisottoinsiemelimitatosuperiormente(rispettivamente,inferiormen-te) di R`e dotato (inR) di estremo superiore (rispettivamente, estremoinferiore).Nel caso in cui un insieme non sia limitato superiormente (rispettivamen-te, inferiormente), essonon`edotatodi estremosuperiore(rispettivamente,inferiore);intalcaso,siscriver`aperconvenzionesup X= +, (rispettivamente, inf X= ). (1.3.6)1.4 FunzioniRinunciando ad unesposizione precisa del concetto di funzione, bisogna tenerpresentecheintuitivamenteassegnareunafunzionevuol direassegnaretreoggetti: uninsiemedi partenza(denominatoancheinsiemedi denizioneoppuredominiodif),uninsiemediarrivoedilgracodellafunzione,cio`eunacorrispondenza cheadogni elementodellinsiemedi partenzaassociaunoedunsoloelementodellinsiemedi arrivo. Unafunzionef chehaEcomeinsiemedi partenzaedFcomeinsiemedi arrivovieneindicataconf : E F(oppuretalvoltaconEfFoppureconx f(x)). Il valore1Tale propriet`a costituisce la dierenza sostanziale tra gli insiemi Q ed R; in Q, ad esem-pio, linsieme limitato q Q+ [q2< 2 non `e dotato di estremo superiore (appartenentea Q).Nellaprimaformadellassiomadi completezza, equivalenteaquellaesposta, vengonoconsiderati sottoinsiemi separati di R; se A, B R, si dice che A e B sono separati se sononon vuoti e vericano una delle seguenti propriet`a:a A b B : a b oppure a A b B : b a .Un elemento R si dice elemento separatore di due sottoinsiemi separatiA eBsea A b B : a b oppure a A b B : b a .La prima forma dellassioma di completezza asserisce allora che due sottoinsiemi separatidi R ammettono sempre almeno un elemento separatore.Inne, si osservachelelementoseparatorenon`eingeneraleunico, amenochenonsisuppongacheisottoinsiemi AeB, oltredessereseparati, sianoanchecontigui, cio`everichino lulteriore condizione: R+ : a A, b Bt.c. 0 b a < oppure 0 a b < .1.4Funzioni 23cheunafunzionefassumeinunelementox Evienedenotatoconf(x)erappresentalunicoelementodiFassociatoadxmediantelafunzionef.Il gracoGfdi unafunzionef : E Fvienedenitocomelinsiemedellecoppieordinate(x, y)conx Eey= f(x):Gf= (x, f(x)) [ x E . (1.4.1)Siaoraf: E Funafunzionedi EinF. SeA`eunsottoinsiemediE,sidenominaimmaginedirettadiAmediantef,elasidenotaconf(A),ilseguentesottoinsiemediF:f(A) := y F [ x At.c.f(x) = y . (1.4.2)Limmagine direttadi Emediante f viene denominatasemplicementeimmaginedi f(oppure insiemedeivaloridi f) e denotata anche con Im(f).Si osservi chelimmaginedi f noncoincidenecessariamentecontuttolinsieme F. Nel caso in cui ci`o accada, si dice che la funzione f`e suriettiva(oanche surgettiva; quindi, f`e suriettiva se `e vericata la seguente condizione:y F x Et.c.f(x) = y. (1.4.3)Al contrario, se `e assegnato un sottoinsieme B di F, si denisce immaginereciproca(oppureimmagineindirettaocontroimmagine)diBmediantef,elasidenotacon1f (B),ilseguentesottoinsiemediE:1f (B) := x E[ f(x) B . (1.4.4)Sesiconsideray F,lacontroimmagine1f (y)vieneanchedenotatacon1f (y). Si osservi che1f (y)risultavuotaselafunzionefnonassumeil valoreyinalcunelementox E(talecircostanzanonsi vericaselafunzione `esuriettiva). Inoltre,qualora1f (y)sianonvuota,non `edettocheessasiacostituitadaunsoloelementox E; sequestultimacondizione`esoddisfatta, lafunzionef vienedenominatainiettiva(oancheingettiva.Quindif`einiettivasevericalaseguentecondizione:x, y E, f(x) = f(y) x = y. (1.4.5)Inne, unafunzione f : EF viene denominatabiiettiva (oanchebigettiva)seessa`econtemporaneamenteiniettivaesuriettiva. Dalle(1.4.3)e(1.4.5),lapropriet`adibiiettivit`asicaratterizzacomesegue:y F [x Et.c.f(x) = y. (1.4.6)24 Capitolo1: PreliminariLa propriet`a di biiettivit`a consente quindi di considerare una nuova funzioneg: F Edenitaponendo,perogniy F,g(y) := x , dovex Eef(x) = y (1.4.7)(si osservi che x `e univocamente determinato dalle condizioni x Ee f(x) =y). Lafunzionegvienedenominatainversadifedenotataconil simbolof1.Sivericanofacilmenteleseguentipropriet`adellefunzioniinverse:x E: f1(f(x)) = x , y F: f(f1(y)) = y. (1.4.8)Una funzione f: E Fper cui esiste la funzione inversa (cio`e la funzionef1vericantele(1.4.8)) vienedenominatainvertibile. Daquantosopra,segueche ognifunzionebiiettiva `e invertibile;anche ilviceversa comesipu`overicare direttamente dalle denizioni e quindi le funzioni biiettive sonotutteesolequelleinvertibili.Unulteriore operazione importante tra funzioni `e quella di funzione com-posta.Sianoassegnati E, FeGinsiemi esianof:E Funafunzionedi EinFeg:F GunafunzionediFinG. Sidenominafunzionecompostadifeg,elasidenotacong fgcerchiettoflafunzioneaventeEcomeinsiemedipartenza,Gcomeinsiemediarrivoetaleche,perognix E,(g f)(x) := g(f(x)) . (1.4.9)Inrealt`a, la funzione compostapu`oessere denitaincircostanze pi` ugenerali, incui non`enecessariochelinsiemedi arrivodi f coincidaconlinsieme di partenza di g; `e suciente, infatti, che linsieme di arrivo di fsiaunsottoinsiemediFanch`econtinuiadaveresensoladenizione(1.4.9).In molte circostanze, una funzione verica una determinata propriet`a (peresempio,quelladiessereiniettivaoppurebiiettiva)nonsututtolinsiemedipartenza, masudi unparticolare sottoinsieme di esso. Intali casi, pu`orisultareutilericorrerealseguenteconcettodirestrizionediunafunzione.Sianoassegnatiunafunzionef: E FedunsottoinsiemeAdiE.Si denomina restrizione di fallinsieme A, e si denota con f|A, la funzionedaAinFdenitaponendo,perognix A,f|A(x) := f(x) . (1.4.10)Quindi i valori dellarestrizionesonogli stessi dellafunzione; larestrizionef|Atuttavia risulta denita nel sottoinsieme A anziche nellintero insieme E.1.5Funzioni reali 25Ilconcettodirestrizionerisultautilesoprattuttoneicasiincuisivogliaottenereunafunzioneiniettivapartendodaunafunzionearbitraria; intalicasi infatti si consideraunparticolare sottoinsieme incui lapropriet`adiiniettivit`a `esoddisfatta.Daltra parte, `e sempre possibile ottenere una funzione suriettiva partendoda una qualsiasi funzione; infatti, se f: E F`e una funzione da Ein F, sipu`oconsiderarelaridottadif,chesidenotaconf#,ed`edenitainE,haf(E)comeinsiemediarrivoeinoltre,perognix E,f#(x) := f(x) . (1.4.11)1.5 FunzionirealiLo studio delle funzioni reali (aventi cio`e R come insieme di arrivo) `e lobiet-tivoprincipaledellostudioseguente.Nellaprimapartesarannoconsideratefunzionirealideniteinuninter-vallodi R(oppurenellunionediintervallidi R)mentrenellasecondapartesi considereranno funzioni reali denite pi` u in generale in un sottoinsieme diRn,n 2.1.5.1 OperazioniconlefunzionirealiPerlefunzioni reali, valgonotutti i concetti introdotti nellasezioneprece-dente. Inoltre, lastrutturadi Rconsentedi prendereinconsiderazioneleseguentioperazioni.1. Somma. Siano X ed Yinsiemi e siano f: X R e g: Y R funzionireali. Si denisce funzione somma di fe g, la funzione f+g: XY Rdenitaponendo,perognix X Y ,(f+ g)(x) := f(x) + g(x) . (1.5.1)Dallepropriet`adellasommadei numeri reali, seguonoanaloghepro-priet`a della somma di funzioni reali, come quella associativa e commu-tativa. Lafunzionenulla`elafunzione0: X Rdenitaponendo0(x)=0perogni x R. Pi` uingenerale, sec R, si continuaade-notareconclafunzionecostantedicostantevalorec(perognix R,c(x) = c);contaleconvenzione,sipu`odareunsignicatoallasommaf+ c.2. Funzione opposta. Se f: X R`e una funzione reale, la sua opposta,che si denota con f, `e la funzione f: X R denita ponendo,perognix X,(f)(x) = f(x).26 Capitolo1: Preliminari3. Prodotto. SianoXedY insiemi esianof : X Reg: Y Rfunzioni reali. Si denisce funzioneprodottodi fe g, la funzione fg:X Y Rdenitaponendo,perognix X Y ,(fg)(x) := f(x)g(x) . (1.5.2)Ancheinquestocasovalgonolepropriet`aassociativaecommutativa.Inoltre, lafunzioneunit`a`elafunzione1: X Rdenitaponendo1(x) = 1 per ogni x R. Con le stesse convenzioni relative alla funzionesomma,sipu`ooraconsiderareilprodottocfdiunnumerorealeperunafunzione.4. Funzionereciproca. Siaf:X Runafunzionerealenoncostan-tementenullaesi consideri linsiemeX0= x X [ f(x) ,=0. Lafunzione reciproca di f, che si denota con1f(non con f1), `e la funzione1f: X0 Rdenitaponendo,perognix X0,1f(x) =1f(x).5. Funzionequoziente. SianoXedY insiemi esianof : X Reg:Y Rfunzioni reali, congnoncostantementenulla. Si deniscefunzione quoziente di fe g, e si denota confg, la funzione f1g(prodottodi fcon la reciproca di g). Ovviamente, la funzione quoziente `e denitain x X Y[g(x) ,= 0.6. Funzioneinversa. SianoXunsottoinsiemedi Redf: X Runafunzionereale. Si `egi`avistochesef `ebiiettiva, si pu`oconsiderarelafunzioneinversaf1: R X. Tuttavia, per lefunzioni reali, `epossibile estendere tale denizione anche al caso in cui fsia solamenteiniettiva. Infatti, intalecircostanza, si pu`oconsiderarelafunzioneridottaf#di f (vedasi la(1.4.11))laqualerisultabiiettivaequindiammette uninversa(f#)1: f(X) X. Si estende oralinsiemedi arrivoallinteroR(per ottenereunafunzionereale) considerandolafunzionef1: f(X) Rdenitaponendo, per ogni y f(X),f1(y) =(f#)1. Tale funzione viene ancoradenominatafunzioneinversadi f e, per come`edenita, inogni y f(X) assumecomevalore lunico elemento x Xtale che y= f(x). Si osservi che, al paridif,lafunzionef1risultaessereiniettiva.Tale procedimento verr`a applicato in particolare per ottenere le funzioniinverse delle funzioni elementari (in qualche caso bisogner`a inoltre con-siderareopportunerestrizioni(vedasila(1.4.10))inmododaottenereunafunzioneiniettiva.1.5Funzioni reali 277. Funzionecomposta. Se Xed Ysono sottoinsiemi di R e f: X Re g: Y R sono funzioni reali, si `e gi`a visto in generale che la funzionecompostag fpu`oessereconsideratasupponendof(X) Y (vedasila(1.4.9)).1.5.2 EstremidifunzionirealiTutte le propriet`a esposte nella Sezione 1.3 possono essere riferite alle funzionireali applicandoleallimmaginedellafunzione, che`eunsottoinsiemedi R.Pertanto, se X`e un insieme2ed f: X R `e una funzione reale, si ottengonoleseguentidenizioni:Funzioni limitate. Si dicechef`elimitatasuperiormente(rispetti-vamente, limitatainferiormente) sef(X)`eunsottoinsiemelimitatosuperiormente(rispettivamente,inferiormente)di R,cio`eseM R t.c. x X: f(x) M (rispettivamente,M f(x) )(1.5.3)(si `e tenuto conto del fatto che per ogni y f(X) esiste x Xtale chey= f(x)).OgnielementoM Rvericantela(1.5.3)vieneovviamentedenomi-nato maggiorante (rispettivamente, minorante) di f. Inne, si dice chef`elimitatase `elimitatasiasuperiormentecheinferiormente.Funzioni dotate di massimo e minimo. Si dice f `e dotata dimassimo (rispettivamente, dotata di minimo) se se tale `e il sottoinsiemef(X)di R,equindiseesisteM Rtaleche_1) x Xt.c.f(x0) = M;2) x X: f(x) M (rispettivamente,M f(x) ).(1.5.4)Lelemento Mvericante la (1.5.4) `e unico e viene denominato massimodi f (rispettivamente, minimodi f)esi denotaconunodei seguentisimboli:max f, maxxXf(x) , (rispettivamente, min X, minxXf(x) ).Spesso a tale elemento Msi attribuisce anche la denominazione di mas-simoassoluto(rispettivamente, minimoassolutodi fperdistinguerlodaimassimieminimirelatividicuisitratter`adiseguito.2Intutto il seguito, linsieme di denizione di una funzione verr`a implicitamentesupposto non vuoto, anche se non precisato esplicitamente.28 Capitolo1: PreliminariAl contrario, lelementox0 Xprevistoin1)non`enecessariamenteunico. Ogni elementox0 Xvericantelacondizione1)precedenteviene denominato punto di massimo (rispettivamente, punto di minimoperf.Accanto alle denizioni precedenti, conviene a questo punto introdurre laseguente.Denizione1.5.1Sianof: X Runafunzionerealeesiax0 X. Sidicechex0`eunpuntodimassimo(rispettivamente,diminimo)relativoperfseesiteunnumeroreale> 0taleche:3x X I(x0) x0 : f(x) f(x0) (rispettivamente,f(x0) f(x) ).(1.5.5)Sela(1.5.5)valeconunadiseguaglianzastretta( 1,diunafunzioneradicenel caso01e strettamentedecrescentese0 < a < 1;4. Perognix R,risultaexpa(x) = ax= (1/a)x= exp1/a(x);quindiigracidiexpaeexp1/arisultanosimmetricitradiessirispettoallassedelleordinate;5. Perognix, y R,risulta(expa(x))y= expa(xy).Riassumendo, landamentodel gracodellefunzioni esponenziali `edeltipo tracciato nelle Figura 1.16. Come si pu`o notare, il comportamento dellafunzioneesponenzialedipendedai casi 0 1,mentrequellatratteggiatail gracodi unafunzioneesponenzialeconbase0 < a < 1.1x1yaa0Figura1.16: Funzioneesponenziale.Si osservi chelafunzioneesponenzialeexpa`estrettamentemonotonaequindi iniettiva. Pertanto, tenendopresentequantoosservatonellaSezione46 Capitolo1: Preliminari1.5.1, si pu`oconsiderarelinversadi expa, chevienedenominatafunzionelogaritmodi baseaedenotataconloga. Tenendopresentechelimmaginedi expa`eR+, lafunzione logaritmo`e denitainR+(edavalori inR):loga: R+ R; inoltre, dalla(1.4.7), per ogni x R+, loga(x)`eluniconumeroy Rtalecheexpa(y) = x.Ancheora, sea=e, lafunzionelogaritmovienedenominatasemplice-mentefunzionelogaritmoedenotataconil simbolologa(quindi, perognix R+,log(x) := loge(x)).Lepropriet`adi talefunzionesonoconseguenzadellepropriet`ageneralidellefunzioni inverseedipendonodaquelledellefunzioni esponenziali. Adesempio,siha1. loga(1) = 0 , loga(a) = 1 .2. Perognix R:loga(expa(x)) = x .3. Perognix R+:expa(loga(x)) = x .Altrepropriet`aderivanodaquellegenerali dei logaritmi; percomodit`a,si richiamanodi seguitoquelledi pi` ufrequenteutilizzo(lavericadi talipropriet`a`e direttausandoladenizione di logaritmoe le propriet`adellefunzioni esponenziali). Nelle propriet`a successive, i numeri a e b che guranocome base dei logaritmi devono chiaramente intendersi strettamente positiviediversida1.4. Perognix, y R+:loga(xy) = loga(x) + loga(y) .5. Perognix R+:loga_1x_= loga(x) .6. Perognix, y R+:loga_xy_= loga(x) loga(y) .7. Perognix R+edy R:loga (xy) = yloga(x) .8. Perognix R+:logb(x) =loga(x)loga(b).Ancheil comportamentodellafunzionelogaritmodipendedai casi 0 1 (questa volta i graci di loga e log1/a risultano simmetricitradiessirispettoallassedelleascisse).Ilgracodellefunzionilogaritmo `edeltipotracciatonellaFigura1.17.1.7Funzioni elementari 471x1ya a 0Figura1.17: Funzionelogaritmo.1.7.6 Richiamiditrigonometriaefunzionitrigonome-tricheSi premettonoalcuni richiami di trigonometriaelementare che noncosti-tuisconounatrattazioneesauriente, masonoutili perssarelenotazioni eper evidenziarelerelazioni chesarannopi` ufrequentementeadoperate. Sirichiamainnanzituttoil concettodi circonferenzatrigonometrica, che`edaintendersi come una circonferenza nel piano cartesiano avente centro nellori-gine degli assi e raggio uguale ad uno; tale circonferenza inoltre viene dotatadi unversopositivocheperconvenzione`equelloantiorarioedi unpuntoiniziale, che per convenzione `e il punto A di intersezione di tale circonferenzaconilsemiassepositivodelleascisse(vedasilaFigura1.18).Inoltre, si assumeperconvenzionedi denotareconil numerolalun-ghezzadellasemicirconferenzaunitaria(risultaallincirca= 3, 1415 . . . ;sidimostra, per`o, che `e un numero irrazionale uguale anche allarea del cerchiounitario). Il fatto di aver ssato un punto iniziale, un verso sulla circonferen-za trigonometrica ed ununit`a di misura permette di far corrispondere ad ogninumerorealeunelementodellacirconferenzatrigonometrica. Precisamente,assegnatounnumerorealex, si pu`oconsiderarelarcodi circonferenzachehaunestremonelpuntoinizialeA,lunghezzaugualealvaloreassolutodixeversoantiorario sex `epositivo,altrimentiorario. Sipu`oquindiindividua-reil puntoPsullacirconferenzatrigonometricacherappresentail secondoestremodellarcosuddetto(seilnumerorealeassegnato `emaggioredi2invaloreassoluto, lacirconferenzatrigonometricavieneripercorsapi` uvolte).48 Capitolo1: PreliminariE

kT0 Ax1Pcos(x)sin(x)............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................Figura1.18: Circonferenzatrigonometrica.Ora,assegnatoilnumerorealex,siconsideriilpuntoPsullacirconferenzatrigonometricacostruitocomedescrittosopra.Si deniscesenodi x, elosi denotaconsin(x), lordinatadel puntoP,mentre si denisce coseno di x, e lo si denota con cos(x), lascissa del punto P;senonvi `epossibilit`adiequivoci,leparentesicheracchiudonolaxvengonoomesseesi scrivesemplicementesin xecos x. Poichei numeri reali sin xecos xsonostatideniti perqualsiasivaloredi x, si possonooraconsiderarela funzioneseno e la funzionecoseno, che verranno denotate rispettivamenteconsinecos, efannocorrispondereadogni numerorealex, i numeri sin xecos xappenadeniti. Dalledenizioniadottateseguesubitoche,perognix R1 sin x 1 , 1 cos x 1 .In particolare, quindi, le funzioni seno e coseno sono limitate. Inoltre, utiliz-zandoilteoremadiPitagora,siricavalaseguenterelazionetrailsenoedilcoseno,validaanchessaperognix R,sin2x + cos2x = 11.7Funzioni elementari 49(il simbolo sin2x `e da intendersi come (sin x)2; la stessa convenzione vale perilcosenoe, pi` uingenerale, pertuttelefunzionitrigonometrichedenitediseguito).Si descrivonooraalcunepropriet`adel senoedel cosenodi unqualsia-si numerorealexlacui dimostrazione`eunaimmediataconseguenzadelledenizioniadottate.1. Perognix R:sin(x + 2) = sin x ,cos(x + 2) = cos x .Tale propriet`a esprime il fatto che le funzioni seno e coseno sono perio-dichediperiodo2.2. Perognix R:sin_x +2_= cos x , cos_x +2_= sin x .3. Perognix R:sin_2 x_= cos x , cos_2 x_= sin x .4. Perognix R:sin(x + ) = sin x , cos(x + ) = cos x .Accanto alla propriet`a di periodicit`a del seno e del coseno conviene tenerpresente anche che la funzione seno `e una funzione dispari mentre la funzionecoseno`e unafunzione pari (infatti, per ogni xR, sin(x) =sin x,cos(x)=cos x). Lepropriet`aprecedenti conseguonotuttedalleseguentiformulediaddizionedelsenoedelcoseno. Ladimostrazioneditaliformuleperbrevit`averr` aomessa. Perognix, y R,siha5. sin(x + y) = sin xcos y + cos xsin y.6. sin(x y) = sin xcos y cos xsin y.7. cos(x + y) = cos xcos y sin xsin y.8. cos(x y) = cos xcos y + sin xsin y.Considerando, inparticolare, x=ynellepropriet`a5. e7. precedentisi ottengonole seguenti ulteriori formule, note conil nomedi formule dimoltiplicazione.9. Perognix R:sin 2x = 2 sin xcos x .10. Perognix R:cos 2x = cos2x sin2x = 2 cos2x 1 = 1 2 sin2x .Considerando x/2 al posto di x nellultima uguaglianza, si ottiene cos x =2 cos2(x/2) 1,dallaqualesiottengonoleseguentiformuledibisezione.50 Capitolo1: Preliminari11. Perognix R:cos2 x2=1 + cos x2.12. Perognix R:sin2 x2=1 cos x2.Inne, addizionandoesottraendoadueaduele5.6. ele7.8., si ot-tengonolecosiddetteformulediprostaferesi,checonsentonodiesprimereilprodotto di due funzioni seno e/o coseno nella somma di due di tali funzioni.13. Perognix, y R:sin(x + y) + sin(x y) = 2 sin x cos y.14. Perognix, y R:sin(x + y) sin(x y) = 2 cos x sin y.15. Perognix, y R:cos(x + y) + cos(x y) = 2 cos x cos y.16. Perognix, y R:cos(x + y) cos(x y) = 2 sin x sin y.Leformuleprecedenti possonoesserescritteinformadiversaponendox = ( + )/2ey= ( )/2;senelasciapereserciziolatrascrizionecontaliposizioni.Si passa ora ad elencare alcuni valori delle funzioni seno e coseno in alcuniarchiparticolarichesipossonodedurrefacilmentedapropriet`ageometrichesullacirconferenzatrigonometrica. Inbase atali valori edalle propriet`aprecedenti, si potr`apoi tracciareil gracodellefunzioni senoecosenoconsucienteprecisione.sin 0 = 0 , cos 0 = 1 .sin 6=12, cos 6=32.sin 4=22, cos 4=22.sin 3=32, cos 3=12.sin 2= 1 , cos 2= 0 .Utilizzandolepropriet`a1.4,dagliarchinotiprecedentipossonoessernericavatialtricome,adesempio,34,56, ,76,54,43,32,53,74,116.1.7Funzioni elementari 51Usandopoilaperiodicit`adellefunzionisenoecosenosiricavanoarchinotinonappartenentia[0, 2[.Il gracodellefunzioni senoecoseno`etracciatoapprossimativamentenellaFigura1.19.- --2-2x-1y01Figura1.19: Funzionisenoecoseno.Aquesto punto si possono denire ulteriori funzioni trigonometriche.Si osservachelafunzionecosenosi annullanellinsieme_2+ k [k Z_e quindi lafunzione quoziente trale funzioni senoe coseno`e denitainR _2+ k [k Z_. Talefunzionequozienteprendeilnomedifunzionetangente e viene denotata con tan; dunque tan : R_2+ k [k Z_R`edenitaponendo,perognix R _2+ k [k Z_,tan x :=sin xcos x. (1.7.6)Utilizzando la similitudine dei triangoli di vertici OBP e OAQ rappresen-tati inFigura1.20, si deducefacilmentelinterpretazionegeometricadellatangente. Essa `eutileinnumerosecircostanzeperricavarealcunepropriet`adellafunzionetangente.Ad esempio, per ogni x R/2+k[ k Z, si ottiene tan(x+) =tan(x)=tan(x ), equindi lafunzionetangente`eperiodicadi periodo. Inoltre, tan(x) =sin(x)cos(x)= sin xcos x= tan xequindi lafunzionetangente `edispari(siosservicheilsuoinsiemedidenizione `esimmetrico).Altre propriet`a della funzione tangente possono essere ricavate dalle analoghepropriet`a delle funzioni seno e coseno. Nello stesso modo `e possibile ricavareivaloridellatangenteinalcuniarchiparticolari.Ilgracodellafunzionetangente `eapprossimativamentequellotracciatonellaFigura1.21.52 Capitolo1: PreliminariETO A Bx1PQtan(x)............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................Figura1.20: Interpretazionegeometricadellatangente.In modo analogo a quanto visto per la funzione tangente, si pu`o procedereconsiderandoil rapportotralafunzione cosenoe quellaseno. Poich`e lafunzionesenosiannullanellinsieme k[ k Z,talerapporto `edenitoinRk [ k Z. Si ottienepertantolafunzionecotangentecot :R k[ k Z Rdenitaponendo,perognix R k[ k Z,cot x :=cos xsin x. (1.7.7)Anche ora, utilizzandolasimilitudine dei triangoli convertici OBPeOCQinFigura1.22,sideducefacilmentelinterpretazionegeometricadellacotangente.Lepropriet`adellacotangentesi discutonoinmanieraanalogaaquantosvoltoperlatangenteedipendonoancoraunavoltadaquelledellefunzionisenoecoseno.Sirichiamasolamentelattenzionesulfattochelafunzionecotangente `eanchessaperiodicadiperiodo,manon `esimmetrica.Il graco della funzione cotangente `e approssimativamente quello traccia-tonellaFigura1.23.1.7Funzioni elementari 53- --2-2xy0Figura1.21: Funzionetangente.1.7.7 FunzionitrigonometricheinverseSi `e ora interessati alla possibilit`a di determinare una funzione inversa per lefunzionitrigonometrichestudiatenellasottosezioneprecedente.Si considerainnanzituttolafunzioneseno. Al nedi ottenereunafun-zioneiniettiva, si consideralarestrizionedellafunzionesenoallintervallo[/2, /2];aquestopunto,tenendopresentequantoosservatonellaSezio-ne1.5.1, sipu`oconsiderarelafunzioneinversaditalerestrizione, chevienedenominatafunzionearcosenoedenotataconarcsin. Tenendopresentechelimmaginedisin `e[1, 1],lafunzionearcoseno `edenitain[1, 1];inoltre,dalla(1.4.7), arcsin: [1, 1] R`edenitaponendo, perogni x [1, 1],arcsin x=ydovey`elunicoelementodellintervallo[/2, /2] talechesin y= x.Dal calcolodel senodi alcuni archi noti, si pu`odedurreil valoredella54 Capitolo1: PreliminariETO ABx1PQ C cot(x)............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................................................................................................................Figura1.22: Interpretazionegeometricadellacotangente.funzionearcosenoinaltrettantipuntiparticolari;infatti,adesempio,sin 0 = 0 arcsin 0 = 0 ,sin 6=12 arcsin 12=6,sin 4=22 arcsin22=4,sin 3=32 arcsin32=3,sin 2= 1 arcsin 1 =2.Inoltre, poichelafunzionesenoristrettaallintervallo[/2, /2] con-tinuaadessereunafunzionedispari, anchelafunzionearcoseno`edispari(infatti searcsin x=y, alloray [/2, /2] esin y =x, dacui segueanche y [/2, /2] esin(y) = sin y = x; quindi arcsin(x) =y= arcsin x). Nello stesso modo si pu`o anche riconoscere che la funzionearcoseno `estrettamentecrescente.Ilgracodellafunzionearcoseno `eapprossimativamentequellotracciatonellaFigura1.24.1.7Funzioni elementari 55- xy0--2-2Figura1.23: Funzionecotangente.Si procedeorainmodoanalogoconlafunzionecoseno. Questavoltasi consideralarestrizionedellafunzionecosenoallintervallo[0, ], laquale`e strettamente decrescente e quindi iniettiva. Conlostessoprocedimen-toadottatoperlafunzionearcosenosi pu`odenirelafunzionearcocosenoarccos: [1, 1] Rponendo, perogni x [1, 1], arccos x=ydovey`elunicoelementodellintervallo[0, ]talechecos y= x.Si verica facilmente che la funzione arcocoseno `e strettamente decrescen-te. Inoltre, comeperlafunzionearcoseno, dal calcolodel cosenodi alcuniarchinoti,sipu`odedurreilvaloredellafunzionearcocosenoinalcunipuntiparticolari,cheinquestocasoperbrevit`anonvengonoelencati.Il graco della funzione arcocoseno `e approssimativamente quello traccia-tonellaFigura1.25.Ancheperlafunzionetangentesiadoperaunprocedimentoanalogo. Larestrizionedellafunzionetangenteallintervalloaperto] /2, /2[`estret-tamentecrescenteed`equindi iniettiva. Si deniscepertantolafunzionearcotangentearctan : R Rponendo,perognix R,arctan x = y,dovey`elunicoelementodellintervallo]0, [talechetan y= x.Come nei casi precedenti, si possono ottenere i valori della funzione arco-tangente in alcuni punti particolari: ad esempio, arctan 0 = 0, arctan 1 = /4earctan(1)= /4(ladeterminazionedi altri valori corrispondenti agli56 Capitolo1: Preliminari-1 1xy-2--2Figura1.24: Funzionearcoseno.altriarchinotivienelasciataperesercizio). Sipu`oinoltrericonoscerechelafunzionearcotangente `edispariestrettamentecrescente.Ilgracodellafunzionearcotangente `eapprossimativamentequellotrac-ciatonellaFigura1.26.Inne, con procedimento esattamente analogo a quello svolto, si consideralarestrizionedellafunzionecotangenteallintervalloaperto]0, [, laqualerisulta strettamente decrescente e quindi iniettiva. Ci`o consente di denire lafunzione arcocotangente arccot : R R ponendo, per ogni x R, arccot x =y, dovey`elunicoelementodi ]0, [ talechecot y=x. Tralepropriet`adiquestafunzione si segnalail fattoche essa`e strettamente decrescente, earccot 0 = /2,arccot 1 = /4,arccot (1) = 3/4.Il graco della funzione arcocotangente `e approssimativamente quellotracciatonellaFigura1.27.1.7Funzioni elementari 57-1 1xy0-2Figura1.25: Funzionearcocoseno.xy0--2-2Figura1.26: Funzionearcotangente.xy0-2Figura1.27: Funzionearcocotangente.Capitolo2Numericomplessiepolinomi2.1 Propriet`ageneralideinumericomplessiNellinsiemedei numeri reali Rnon`epossibilerisolveretutteleequazionialgebriche; ad esempio, lequazione x2+1 = 0 non ammette alcuna soluzionereale. Linsieme dei numeri complessi permetter`a di risolvere in modo deni-tivo tale problema nel senso che, in tale insieme, tutte le equazioni algebricheammetterannoalmenounasoluzione. Tuttaviaintaleestensionesiperdonoalcunepropriet`aimportantidi R, comequellerelativeallarelazionedordi-ne: nellinsiemedei numeri complessi non`epossibiledenireunarelazionedordinetotalecompatibileconleoperazionialgebriche.Partendo proprio dallequazione x2+1 = 0, se si vuole che essa ammettaalmenounasoluzione, bisognaammetterelesistenzadi unelementoil cuiquadratosia 1. Tale elemento, che nonpu`oessere unnumeroreale inquanto i quadrati dei numeri reali sono sempre positivi, verr`a denotato con ie verr` a denominato unit`aimmaginaria. Quindi il numero i `e caratterizzatodallapropriet`a:i2= 1 . (2.1.1)Assuntalesistenzadelnumeroi,anchelequazionepi` ugeneralex2+ b2= 0(b R)ammetter`alesoluzioni ibe ib; pi` uingenerale, leequazionidisecondogradodellaforma(x a)2+ b2=0, cona, b Rammetterannolesoluzioni a ib(si pu`oriconoscerefacilmentechetutteleequazioni disecondogradocondiscriminante 0 oppure z< 0 per ogni z Ce quindi, dalla com-patibilit`a con le operazioni algebriche,z2> 0 per ogni z C;in particolare1 = i2> 0,dacuiunacontraddizione.Si consideranooraaltre forme incui possonoessere espressi i numericomplessi; `e necessario, per questo, unsistemadiversodi coordinate nelpianocartesiano.2.2 CoordinatepolariSi`evistoinprecedenzachegli elementi di unpianorappresentanogeome-tricamente gli elementi di R2;ora se ne studia una diversa rappresentazione,utile soprattutto in questa fase per poter esprimere i numeri complessi in unaformaalternativa.Sia assegnato un piano e si ssi su di esso un riferimento cartesiano or-tonormale; quindi ogni elemento P pu`o essere univocamente individuatomedianteunacoppia(x, y). Si osservi oracheseil puntoPnoncoincideconlorigine,essopu`oessereindividuatoinmodoalternativoassegnandolasua distanza dallorigine e larco di circonferenza unitaria compreso tra ilsemiasse positivo dellasse reale e la semiretta uscente dallorigine e passanteperP. Glielementiecos`denitivengonodenominaticoordinatepolaridelpuntoP. Ilnumerovienedenominatomodulo(oppureraggiovettore)di P, mentreil numerovienedenominatoargomento(oppureanomalia)di P. Bisognaosservarechelargomentonon`eindividuatounivocamente;infatti se`eunargomentodi P, ogni altronumerodel tipo + 2kconk Z, `eancoraunargomentodiP. Tuttavia,esistesicuramenteunoedunsolo argomentodiPche verica le condizioni < ;tale argomentovienedenominatoargomentoprincipalediP. Perquantoriguardalorigine,essa`eindividuataunivocamentedallacondizione=0; per convenzione,allorigine si pu`o attribuire un argomento arbitrario. Se si conoscono le coor-dinatecartesiane(x, y)diunpuntoPdiversodallorigine,ilmodulodiPsiottienedallaformula =_x2+ y2, (2.2.1)mentreunargomentodiPpu`oessereindividuatodallecondizionicos =x, sin =y; (2.2.2)64 Capitolo2: Numeri complessi epolinomiinparticolare,sex = 0,largomentoprincipale `e =_/2 , sey> 0 ,/2 , sey< 0 ;seinvecex ,= 0,largomentoprincipale `e =___arctanyx, sex > 0 , + arctanyx, sex < 0, y 0 , + arctanyx, sex < 0, y< 0 .Viceversa, se sono note le coordinate polari (, ) di P, si possono ricavarefacilmentelecoordinatecartesianediPponendo_x = cos ,y= sin ,(2.2.3)ET[[[[[&&&&&&&&&&&&&&&0Pxy...................................................................................................................................................Figura2.1: Coordinatepolari.2.3 Forma trigonometrica dei numeri com-plessiLa forma trigonometrica di un numero complesso z si ottiene semplice-menteconsiderandolecoordinatepolari del puntoPdel pianocomplessocorrispondenteaz.2.3Formatrigonometricadei numeri complessi 65Siaz=a + ib C; essendo(a, b)laformageometricadi z, lecoordi-natepolarisipossonootteneredalle(2.2.1)(2.2.2)ponendo =a2+ b2econsiderandosoddisfacentelerelazionicos =x/esin =y/; tenendopresentile(2.2.3),ilnumerozsipotr`aquindiscriverenellaformaz= (cos + i sin ) , (2.3.1)che viene appunto denominata forma trigonometrica di z. Adesempio,1=cos 0 + i sin 0, 1=cos + i sin , i =cos(/2) + i sin(/2), 1 + i =2(cos(/4) + i sin(/4)).Dalleconsiderazionisvolteriguardantilecoordinatepolari,siricavachela forma trigonometrica di znon `e univocamente determinata;gli argomentidi z sono del tipo +2k con k Z; in particolare, il numero 0 ha modulo 0 eargomento arbitrario. Tuttavia, largomento di un numero complesso diversoda 0 risulta univocamente determinato se si considera quello principale com-preso nellintervallo ] , ]. Come conseguenza di ci`o, si ottiene il seguenteprincipiodiuguaglianzadiduenumericomplessiinformatrigonometrica.Proposizione2.3.1Siano z= (cos +i sin ) e w = (cos +i sin ) duenumeri complessi informatrigonometricadiversi da0. Si haz=wseesolose = edesistek Ztaleche = + 2k.Inoltre,se`elargomentoprincipaledize `elargomentoprincipalediw,sihaz= wseesolose = e = .Si studianoaquestopuntolevarieoperazioni algebricheinformatri-gonometrica. Leoperazioni di sommaedierenzadi duenumeri complessinonsonoimmediateinformatrigonometricaepertali operazioni convieneutilizzaresoprattuttolaformaalgebricaogeometrica. Al contrario, si favedereoracheleoperazionidiprodotto,reciproco,quoziente,potenzaera-dice si possono eseguire in modo molto semplice utilizzando proprio la formatrigonometrica.Siano, infatti, z=(cos + i sin )ew=(cos + i sin )duenumericomplessi. Poichelaformaalgebricadi z ew`edatadaz =( cos ) +i( sin ), w = ( cos ) + i( sin )ilprodottozw`edatodazw = ((cos cos sin sin ) + i(cos sin + sin cos ))= (cos( + ) + i sin( + )) .Quindi si concludecheil prodottoinformatrigonometricadi duenumericomplessizewhacomemoduloilprodottodeimodulidi zediwecomeargomentolasommadegliargomentidizediw:zw = (cos( + ) + i sin( + )) . (2.3.2)66 Capitolo2: Numeri complessi epolinomiTuttavia,ingenerale,convienetenerpresentecheseesonogliargo-mentiprincipalidi zerispettivamentedi w, non`edettoche + sialar-gomentoprincipaledizw;perottenerlo,potrebbeinfattiesserenecessarioaggiungereosottrarre2.Sia ora z= (cos +i sin ) un numero complesso diverso da 0; si vericafacilmentecheilreciprocodiz`edatodaz1= 1(cos() + i sin()) (2.3.3)Pertanto,ilreciprocodiunnumerocomplessodiversoda0hacomemoduloilreciprocodelmodulodizecomeargomentoquellooppostoallargomentodiz.Da tale regola, si ricava anche la regola sul quoziente di due numeri com-plessi. Infatti, sez=(cos + i sin )ew=(cos + i sin )conw ,=0,allora,dalle(2.3.2)e(2.3.3),zw= zw1=(cos( ) + i sin( )) . (2.3.4)Si conclude che il quoziente di ze wha come modulo il quoziente dei modulidizediwecomeargomentoladierenzadegliargomentidizediwCome conseguenza della regola sul prodotto, si ottiene facilmente anche ilcalcolo delle potenze di un numero complesso z= (cos +i sin ). Ponendow = znella (2.3.2) si ha infatti z2= 2(cos(2) +i sin(2)) e pi` u in generale,procedendoperinduzione,perognin 1,zn= n(cos(n) + i sin(n)) . (2.3.5)Laformula(2.3.5)precedentevienedenominataformuladiDeMoivre.Vieneconsideratoinne, il calcolodelle radici n-esime (n 2) di unnumerocomplessoz =(cos + i sin ). Unaradicedi z`edenitacomeunnumerocomplessow Cchevericalapropriet`awn=z. Si ricono-sceinmodoimmediatochelunicaradicedi 0`eil numero0. Si suppongaquindi chez ,=0. Sesi ponew=(cos + i sin ), dalla(2.3.5)si ricavawn=n(cos(n) + i sin(n)), equindi, imponendoluguaglianzawn=z,dal principio di uguaglianza di due numeri complessi in forma trigonometrica(Proposizione2.3.1)segue: = n, n = + 2k conk Z;quindi=ne = + 2kn,conk Z;siosservaaquestopuntoche,alvariare di k Z,gli argomenti = + 2knnon danno tutti luogo a numeri2.3Formatrigonometricadei numeri complessi 67complessidistinti,inquanto,perognik Z, + 2(k + n)n= + 2kn+ 2;quindi si possono considerare solo n argomenti distinti corrispondenti ai valorik=0, . . . , n 1etaliargomentifornisconotuttelepossibiliradicin-esimediz,chesonodatequindida:wk=n (cos + 2kn+ i sin + 2kn) , k= 0, 1, . . . , n 1 . (2.3.6)Quindi ogni numerocomplessoz diversoda0ammetteesattamentenradicidistinte. Dallaformulaprecedente,siricavacheleradicin-esimedizsi trovanotuttesuunastessacirconferenzaconcentronellorigineeraggiouguale alla radice n-esima del modulo di ze formano i vertici di un poligonoregolareconnlati (geometricamente, quindi, `esucienteindividuareunodeiverticichehaargomentougualeallan-esimapartedellargomentodiz).NellaFigura2.2sirappresentaunesempiodiradiciterzeequintediunnumerocomplessoz.ET0..................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&&&&&&&&rrrrrzET0..................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .&&&&&&&&rrrzFigura2.2: Radiciterzeequintediunnumerocomplesso.Dalla2.3.6`efacileconstatarecheleradiciquadratediunnumerocom-plesso sonoluna loppostadellaltra (inquanto iloro argomentidierisconodi ); in particolare, le due radici complesse di un numero reale positivo sonounarealepositiva(checoincideconlaradicequadrataaritmetica)elaltrareale negativa (lopposta della prima); se, invece, si considera un numero rea-lestrettamentenegativo, ledueradicicomplessesarannoimmaginariepure68 Capitolo2: Numeri complessi epolinomilunaloppostadellaltra). Perquantoriguardaleradici terzecomplessediun numero reale, si pu`o osservare che esse sono una reale (coincidente con laradiceterzaaritmetica)eduetralorocomplesseconiugate.2.4 Forma esponenziale dei numeri complessiSez= x + iy`eunnumerocomplesso,siponeinnanzituttoez= ex(cos y + i sin y) ; (2.4.1)si osservi che x, y R e quindi le funzioni a secondo membro sono quelle gi`anotenelcasoreale. Inparticolare,se R,sihaei = cos + i sin ; (2.4.2)conseguentemente, se si conosce la forma trigonometrica z= (cos +i sin )diunnumerocomplessozsipu`oscriverez= ei . (2.4.3)La(2.4.3) viene denominataformaesponenziale di z. Dallaformaespo-nenziale`eancheimmediatopassareallaformatrigonometricaeviceversautilizzandola(2.4.2). Inoltre,dalle(2.4.1)e(2.4.2)siottengonofacilmenteleseguentipropriet`adiez,chevalgonoperogniz, w Ce R.1. ez+w= ez ew;2. ez,= 0 ;3. [ei [ = 1 ;4. ez+2ki= ez;5. [ez[ = eRe z;6. ez= eRe z(cos(Imz) + i sin(Imz)) .Dalla(2.4.2) si ottieneanche, per ogni R, ei =cos i sin etaleformula,unitaalla(2.4.2)permettediricavarelecosiddetteformulediEulero:sin =ei ei 2i, cos =ei + ei 2. (2.4.4)2.5Polinomi edequazioni algebriche 692.5 Polinomiedequazionialgebriche2.5.1 PolinomierelativeradiciLefunzioni elementari chesi possonoconsiderarepi` usemplici dal puntodivistadelcalcoloesplicitosonosicuramentelefunzionipotenzaadesponenteinteropositivo. Inquestasezionevengonoconsideratecombinazioni linearidi tali funzioni. Esse verranno denite in tutto linsieme dei numeri comples-si, perstudiarnealcunepropriet`agenerali; si eviter`adi enunciareoappro-fondirepropriet`ache,sebbenediinteressegenerale,nonverrannoutilizzateesplicitamentenelseguito.Denizione2.5.1Sian N. Si dicepolinomiodi gradonogni funzioneP: C Cpercui esistonoa0, . . . , an Cconan=,=0tali che, perogniz C,P(z) = a0 + a1z + + anzn. (2.5.1)Il grado di un polinomio `e, quindi, il pi` u grande dei numeri naturali kpercui il coeciente della potenza zk`e diverso da 0. Il grado di un polinomio Pvieneindicatospessoconilsimbolodeg(P).Il coeciente a0del termine di grado0di unpolinomioviene spessodenominatoterminenotodelpolinomio.Si denomina zero (oppure radice, oppure soluzione) del polinomio Pogninumero complesso z0 C tale che P(z0) = 0. Nel seguito avranno particolareinteressei polinomi percui i coecienti a0, . . . , ansononumeri reali. Essiverrannodenominatipolinomiacoecientireali.Conviene osservare che se P`e un polinomio a coecienti reali allora, perogni x R, P(x)`eanchessounnumeroreale; intalecircostanza, quindi,il polinomioPpu`oessereancheriguardatocomefunzioneda Rin R. Sar`achiarodalcontesto,nelseguito,setalipolinomivengonoconsideratidenitiin R(comefunzionireali)oppurein C.Si consideraoraqualcheesempio. Inbasealladenizioneadottata, unpolinomio di grado 0 `e una funzione costante P: C C di costante valore unnumeroa0 C. Unpolinomiodigrado0ovviamentenonammettealcunaradice. Invece, lafunzionecostantedi costantevalore0vienedenominatapolinomionullo; perdenizionedi gradodi unpolinomio, il gradodel po-linomionullononpu`oesserezero: si assume, perconvenzione, cheil gradodel polinomionullosia-1. Ineetti, il polinomionullo`elunicoadavereinniteradici,comeaermailseguenterisultato. QuindiseunpolinomioPammetteinniteradici, alloraP`eil polinomionullo. Dataleaermazionesegue il principio di identit`a di due polinomi, che `e utile in molte circostanze.70 Capitolo2: Numeri complessi epolinomiProposizione2.5.2(Principiodiidentit`adeipolinomi) SianoPeQduepolinomi. SePeQcoincidonoininnitipunti,alloraP= Q.Dimostrazione. Infatti, il polinomioP Q ammette innite radici e quindiP Q = 0.

In eetti, se n e il grado massimo dei due polinomi, e suciente che i duepolinomi coincidanoinn + 1punti peressereuguali (infatti, intal casoladierenzadei duepolinomi avrebbeunnumerodi zeri superioreal propriogradoeci`o,comesivedr` ainseguito,pu`ovaleresolamenteperilpolinomionullo).DallaProposizione2.5.2precedentesegueanchechei coecienti di unpolinomiosonounivocamentedeterminatinelsensochese, perogni z C,P(z) = a0 +a1z + +anznconan ,= 0eP(z) = b0 +b1z + +bmzmconbm ,= 0,alloran = me,perognik = 0, . . . , n,ak= bk.Riprendendo gli esempi, un polinomio di grado 1 `e una funzione P: C Cdel tipoP(z) =a0+ a1z (z C), cona0 C, a1 C, a1 ,=0. Unpolinomiodigrado1ammettesempreununicaradicedatadac= a0/a1.Nel caso in cui le costanti a0 e a1 siano reali, esse vengono indicate solitamenteconnerispettivamentem; nel pianocartesianolequazioney =mx + n(x R) fornisce lequazione della retta di coeciente angolare m ed ordinataalloriginen. Adesempio,ilpolinomioP(z) = iz + 3i 3 `eunpolinomiodigrado1;lasuaunicaradice `edatadac = 3 3i.Unpolinomiodigrado2`edeltipoP(z) = a0 + a1z + a2z2(z C),cona0 C,a1 C,a2 C,a2 ,= 0. Icoecientia0,a1ea2vengonoindicatidisolito con c, b e rispettivamente a. Nel caso in cui tali coecienti siano reali,lequazionedisecondogradoy= ax2+ bx + crappresentaunaparabolanelpiano cartesiano. Per determinare gli zeri di un polinomio P(z) = az2+bz+cdigrado2 `eimportanteilseguentenumero = b24ac( C),denominatodiscriminante (o brevemente delta) del polinomio P(z) = az2+bz+c. Infatti,lequazioneaz2+ bz + c = 0sipu`oscrivere_z +b2a_24a2= 0 .Dallequazioneprecedentesegueche, denotateconw1ew2leradici (com-plesse)delnumerocomplesso,glizeridelpolinomioPsonofornitidaz1= b + w12a, z2= b + w22ae il polinomiosi pu`oscrivere come P(z) =a(z z1)(z z2). I numericomplessiw1ew2,inquantoradicidelnumerocomplesso,devonoessere2.5Polinomi edequazioni algebriche 71lunooppostodellaltro. Quindi, leradici z1ez2possonoessereespressescrivendoz1= b 2a, z2= b +2a,dovedenotaunaqualsiasi delledueradici complessedi . Daci`oseguecheinumericomplessiz1ez2sonocaratterizzatidallecondizioniseguentiz1 + z2= ba, z1 z2=ca.Leradici z1ez2coincidonosolonel casoin=0; seci`oaccade, lunicaradice`edatadaz0= b/2aesi pu`oscrivereP(z)=a(z z0)2(si diceinquestocasochez0`eunaradicedimolteplicit`a2.Seilpolinomiodisecondogrado`eacoecientireali,cio`esea, b, c R,anche `e unnumeroreale. Nel casoincui >0, si haw1=ew2= equindiilpolinomioPammetteledueradicirealidistintex1= b 2a, x2= b +2a,esipu`oscriverecomeP(z) = a(z x1)(z x2).Se = 0, Pammette ununica radice reale data da x0= b/(2a) e si haP(z) = a(z x0)2.Inne, se nsi haQ=0eR = P1.72 Capitolo2: Numeri complessi epolinomiIpolinomi QedRprevistinellaproposizioneprecedentevengonodeno-minatirispettivamentepolinomioquozienteepolinomiorestodiP1eP2.Si osservi cheseP1eP2sonopolinomi acoecienti reali, ancheil quo-ziente ed il resto lo sono. Un caso particolarmente rilevante si ottiene quandoilrestodelladivisionetraduepolinomi `eilpolinomionullo.Denizione2.5.4SianoP1eP2polinomi conP2nonnullo. Si dicecheP1`edivisibileperP2(oppurecheP2divideP1)seil polinomiorestodelladivisionedi P1eP2`eil polinomionulloequindi seesisteunpolinomioQtalecheP1= Q P2.Un caso particolarmente interessante `e quello in cui il polinomioP2`e deltipo P2(z) = z z0, con z0 C. La divisione di un polinomio Pcon P2deveavere come resto un polinomio di grado minore di 1, cio`e deve essere R(z) = a,cona C. Inoltre, dallarelazioneP(z)=Q(z)P2(z) + R(z)=(z z0) Q(z) + asi ricavaP(z0)=aequindi R(z)=P(z0). Dunque, il restodelladivisionediunpolinomioPperilpolinomioz z0`eunpolinomiocostantedicostantevaloreP(z0). Daci`osegueimmediatamentelacaratterizzazionedelladivisibilit`aperz z0,conz0 CProposizione2.5.5SiaPunpolinomioesiaz0 C. Allora, leseguentiproposizionisonoequivalenti:a) Il polinomioP`edivisibileperz z0.b) z0`eunaradicediP.Quindi, seunpolinomioPdi gradon 1ammetteunaradicez0 C,essosidecomponenelprodottoP(z) = (z z0)Q(z)[; , (2.5.2)conQpolinomiodi gradon 1inquantoil coecientedi zn1di QdevecoincidereconilcoecientedizndiP.Uno dei pi` u importanti risultati riguardanti i polinomi e le equazioni alge-briche `e il fatto che i polinomi aventi grado maggiore o uguale di 1 ammettonosemprealmenounaradice. Perbrevit`a, ci si limitaadenunciaresolamentetalerisultato,studiandonepoiqualcheconseguenza.Teorema2.5.6(Teoremafondamentaledellalgebra) SeP`eunpoli-nomiodigradon 1,alloraesistez0 CtalecheP(z0) = 0.Dalla (2.5.2) si ottiene la seguente conseguenza del teorema fondamentaledellalgebra.2.5Polinomi edequazioni algebriche 73Corollario2.5.7SeP(z) =a0++ anzn(an ,=0)`eunpolinomiodigradon 1,alloraesistonoesattamentenelementiz1, . . . , zn CtalicheP(z) = an (z z1)(z zn) . (2.5.3)Dimostrazione. Si procedeper induzionecompletasul numeronaturale n 1. Sen = 1, si haP(z) = a0 + a1ze la tesi si verica direttamente. Si supponga che la tesi siaverapern Necheilgradodi Psian + 1, cio`eP(z)=an+1zn+1+ anzn++ a0,an+1,=0. Dal Teorema2.5.6, esiste zn+1Ctaleche P(zn+1) =0equindi, dalla(2.5.2), P(z) = (z zn+1)Q(z), conQ polinomio di gradon; inoltre, il coeciente di zndelpolinomioQ `ean+1 ,= 0. Perlipotesidiinduzione, esistonoz1, . . . , zn CtalicheQ(z) = an+1 (z z1)(z zn) e quindi P(z) = an+1 (z z1)(z zn)(z zn+1); latesi `e quindi vera per il numero naturale n+1. Dal principio di induzione completa seguela tesi per ognin 1. Ognuno dei numeri z1, . . . , zn C vericanti la (2.5.3) `e una radice di P;tuttavia, tali radici non sono necessariamente tutte distinte. Per tener contodici`o,convienedarelaseguentedenizione.Denizione2.5.8SiaPunpolinomiodigradon 1esiah N,h 1.Sidicecheunaradicez0diPhamolteplicit`ahseesisteunpolinomioQdigradon htalecheQ(z0) ,=0(cio`ez0nondeveessereunaradicediQ)einoltre,perogniz C,P(z) = (z z0)h Q(z) . (2.5.4)Inqualchecaso,percomodit`aladenizioneprecedentepu`oessereestesaal caso h = 0 convenendo di denominare di molteplicit`a 0 un numero che non`eradicediP.Il Corollario2.5.7si pu`oesprimeredicendocheunpolinomiodi gradon 1 ha esattamente n radici, se ognuna di esse viene contata con la propriamolteplicit`a; sez1, . . . , zssonoleradici distintedi Peseh1, . . . , hssonolerispettivemolteplicit`a,sihaP(z) = an (z z1)h1 (z zs)hs(2.5.5)conh1 + . . . hs= n.Dallaformulaprecedentesegueinparticolarecheunpolinomiodigradon 1haal pi` unradici distinte. Conseguentemente, duepolinomi PeQ,entrambi di grado minore o uguale di n, che coincidono in n+1 punti distintisononecessariamenteuguali (infatti il polinomioP Qsi annullainn + 1puntidistinti).Unodei metodi pi` ucomunementeutilizzati perdeterminareleradici diunpolinomioPconsistenellapplicazionedellaregoladi Runi, cheperilsuocarattereelementarenonvienequiapprofondita.74 Capitolo2: Numeri complessi epolinomi2.5.2 PolinomiacoecientirealiCi si soermaoramaggiormentesui polinomi acoecienti reali, inquan-topertali polinomi si possonoaggiungerealcunepropriet`ainteressanti cherisulterannoparticolarmenteutilinelseguito.Peresporrecompiutamentetalipropriet`a, convieneintrodurreilpolino-mio coniugato di un assegnato polinomio (a coecienti complessi) e studiarneilcomportamentodelleradici.Denizione2.5.9Sianoa0, . . . , an Cconan ,=0esi consideri il poli-nomioP(z) = a0 ++ anzn. SidenominapolinomioconiugatodiP,esidenotaconPil polinomioP(z) = a0 + + anzn.Quindi il polinomioconiugatodi unpolinomioPhacomecoecienti iconiugati dei coecienti di P. Se Pha grado n, anche il polinomio coniugatohagradon. AdesempioilconiugatodelpolinomioP(z) = iz42z3+ (2 i)z + 1 + i `eilpolinomioP(z) = iz42z3+ (2 + i)z + 1 i.Ovviamente, unpolinomiocoincideconil suopolinomioconiugatoseesolose `eacoecientireali.Perquantoriguardaleradici del polinomioconiugato, valelapropriet`aseguente.Proposizione2.5.10SeP`eunpolinomioez0 C`eunaradicedi P,allorail numerocomplessoconiugatoz0di z0`e unaradice del polinomioconiugatoP.Dimostrazione. Siano a0, . . . , an C con an ,= 0 tali che P(z) = a0+ +anzn. Allora,dalla Denizione 2.5.9, P(z0) = a0+a1z0+ +anz0n= a0 + +anzn0= P(z0) e quindisi haP(z0) = 0 se e solo seP(z0) = 0 Sipu`oosservareinpi` uchesez1, . . . , zssonoleradicidistintediPaventirispettivamentemolteplicit`ah1, . . . , hs, dalla(2.5.5)si haP(z)=an(z z1)h1 (z zs)hsconh1 + . . . hs= nequindiP(z) = an (z z1)h1 (z zs)hs(2.5.6)Dunque z1, . . . , zssono le radici distinte del polinomio coniugato Ped hannolestessemolteplicit`ah1, . . . , hsdiz1, . . . , zs.Dalla propriet`a precedente si `e in grado di ricavare alcune propriet`a delleradicidiunpolinomioacoecientireali.2.5Polinomi edequazioni algebriche 75Proposizione2.5.11SiaPunpolinomioacoecienti reali. Sez0 C`eunaradicediP,alloraancheilnumerocomplessoconiugatoz0`eunaradicediPaventelastessamolteplicit`adiz0.La dimostrazione della proposizione precedente `e ovvia, tenendo presentechenelcasoinesameP= P.Poiche le radici di un polinomio di grado n sono esattamente