anÁlisis de flujo compresible en conductos convergentes divergentes

REPORTE VÁSQUEZ ARRIBASPLATA, GILMER Flujos compresibles conductos de pared lisa. of 21

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA MECÁNICA

Curso: Mecánica de Fluidos II.

Docente: Ms.Ing. Luis Julca Verástegui. .

Trujillo - Perú 2011

Alumno:

Vásquez Arribasplata Gilmer Fidel


ANÁLISIS DE FLUJOS COMPRESIBLES EN CANALES O CONDUCTOS CONVERGENTES DIVREGENTES.

Las ecuaciones para flujo compresible constituyendo un sistema adiabático e isotrópico se desarrollan, al igual que para el flujo compresible, con las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y energía pero en este caso se incluye las ecuaciones de estado y especialmente de los gases ideales y también mezclas o vapor de agua. Las ecuaciones se simplifican con las siguientes hipótesis:

Flujo permanente. Flujo unidimensional Flujo uniforme Y la densidad solo varía a lo largo del flujo

𝜕𝜌𝜕𝑛�⃗

Se define la velocidad del sonido: Es la velocidad de propagación de un pulso infinitesimal de presión en un fluido en reposo que determina el estado termodinámico de un fluido.

Y se demuestra que este impulso infinitesimal viaja a la velocidad dada por:

𝑉𝑠2 =𝜕𝑃𝜕𝜌

Esta ecuación se aplica tanto a gases, líquidos o sólidos aplicándolo en cada caso según como se defina sus propiedades ya que en líquidos se expresa la derivada en función del módulo de la compresibilidad y en sólidos depende del módulo de Poisson 𝐸

𝐾= 3(1 − 2𝜗)y

se interpreta como la relación de propagación de un esfuerzo respecto a la velocidad de propagación de la deformación o cambio de volumen (lo cual deriva en cambio de densidad).

Además de lo anterior también se hace una simplificación mas en la que se considera que el sistema que está formando

Que el fluido es adiabático y más aún isotrópico. Se desprecia los efectos de capa límite como rozamientos.

Y como se define que no hay trabajos ni calores debido a la fricción fuera de la capa límite entonces con la ecuación de la energía y con el solo hecho de considerar un sistema adiabático se obtiene que:

ℎ0 = ℎ +𝑉2

2 = 𝑐𝑡𝑡𝑒.


Lo cual quiere decir que la velocidad máxima para un gas ideal si se expresa la entropía en función de la temperatura o en general se tiene que:

𝑉max = (2ℎ0)1/2 y para el gas ideal: (2𝐶𝑝𝑇0)1/2

Con lo anterior se pueden obtener las relaciones para un gas adiabático:

1 +(𝑘 − 1)𝑉2

2𝑎2 =𝑇0𝑇

Con el número de Mach dado por:

𝑀𝑎 =𝑉𝑎

Para la velocidad del sonido se tiene:

𝑎0𝑎 = (1 +

(𝑘 − 1)𝑀𝑎2

2 )1/2

Si consideramos un flujo isotrópico:

𝑃𝑂𝑃 = �

𝑇0𝑇�

𝑘𝑘−1

= �1 +(𝑘 − 1)𝑀𝑎2

2�

𝑘𝑘−1

𝜌𝑂𝜌 = �

𝑇0𝑇�

1𝑘−1

= �1 +(𝑘 − 1)𝑀𝑎2

2�

1𝑘−1

Para el aíre se obtiene la siguiente gráfica en cuanto a las anteriores relaciones.

Fig. #1


Ahora si es que hay flujo a través de conductos con sección variable se da las hipótesis dadas antes y se agrega:

Flujo plano, V =ctte. Radio de giro grande. Variaciones de área son pequeñas:

𝑑ℎ𝑑𝑥

≪ 1 𝑦 ℎ(𝑥) ≪ 𝑅(𝑥)

Flujo isotrópico. 𝑔𝑑𝑍

Fig. #2

Y si se aplica la ecuación de continuidad y se deriva esta lleva a lo siguiente:

𝑑𝜌𝜌 +

𝑑𝑉𝑉 +

𝑑𝐴𝐴 = 0

Y con la ecuación de Momentum se llega a:

𝑑𝑉𝑉 =

𝑑𝐴𝐴

1𝑀𝑎2 − 1 = −

𝑑𝑃𝜌𝑉2


Con lo cual se obtiene un análisis como el siguiente:

Fig. #3

El cual nos va a servir para verificar los resultados de la simulación numérica.

ONDAS DE CHOQUE. Cuando se tiene flujos supersónicos , dada una geometría para la entrada y aguas abajo, se pueden producir bruscos cambios de un espesor de alrededor de micrómetros dejando un flujo subsónico; este cambio representa una discontinuidad en el flujo con un aumento significativo de la entropía para esto, claro, se debe tener una gran gradiente de presiones y de temperaturas y que si se considera a la onda de choque fija se tendrá que en el sentido del flujo: p2<p1 y T2<T1.

En el caso de un objeto a velocidad subsónica, que se quiera llevar a velocidad supersónica, conforme se va acercando a condiciones sónicas y esta entre 0.8 ≤ Mach ≤ 1.2. Hay ondas de choque que conducen a un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de hipersónicas dentro del flujo. Debido a que normalmente no se pueden distinguir las partes viscosas y no viscosas este flujo es difícil de analizar.

Debido al aumento de temperatura en una onda de choque de muy poco espesor, los gradientes térmicos son elevados lo que implica alta velocidad de transmisión de calor lo que hace que en algunos casos se experimente un enfriamiento súbito y por ejemplo si el fluido es de aire húmedo, se provoca la condensación de las partículas de vapor de agua.


En el análisis que se hace para ondas de choque normales tomando un volumen de control como el de la figura #4 se puede determinar que para que se cumpla la segunda ley de la termodinámica y aumente la entropía debe suceder lo siguiente:

El flujo es supersónico aguas arriba y subsónico aguas abajo. En gases perfectos y en fluidos reales no puede haber ondas de rarefacción solo

puede darse una onda de compresión. Las ondas de choque débiles son prácticamente isoentrópicas.

Fig. #4


Planteamiento y conceptualización del problema.

El problema consiste en determinar el comportamiento de temperaturas, presiones , densidades y del número de Mach a lo largo de un de sección variable, cuya geometría se da mas abajo, y así verificar por medio del software la teoría dada en clase. Para esto se dan ciertas condiciones de frontera como:

𝑈 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎

𝑇 = 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎.

𝑃 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = 101325 𝑃𝑎

Para la velocidad de entrada se da que en cada conducto deberá de analizarce para dos números de Mach:

𝑀𝑎𝑐ℎ = 0.75 ≡ 257.424 𝑚/𝑠

𝑀𝑎𝑐ℎ = 3 ≡ 1029.694 𝑚/𝑠

𝑅𝑢𝑔𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑒 = 0𝜇𝑚 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑙𝑖𝑠𝑎.

Con estos datos se tendrá que dar las condiciones de contorno en el modelo computacional.

Para el caso del flujo con entrada subsónica se espera que la velocidad aumente en la zona convergente y luego si es que llega al punto sónico antes de la zona divergente entonces seguirá acelerándose. Mientras que para la entrada supersónica se espera una desaceleración en la zona convergente y luego si es que antes llega a menos que el punto sónico entonces desacelerará pero si no entonces se aceleraría siguiendo como supersónico.

EL OBJETIVO

El objetivo será hallar las curvas de evolución de la presión, temperaturas, densidades y Mach a lo largo del conducto y de esa manera verificar lo que se predice con la teoría para flujo compresible a través de una sección variable en este caso un conducto convergente divergente.


Modelo físico computacional.

Los modelos se construyeron según las medidas dadas abajo con un grosor de pared de 0.05 m y con un volumen de control en dos dimensiones 2-D con un ancho de 0.01 m. En las figuras que siguen se dan detalles de la geometría (ver CD)

Medidas en milímetros.

Fig. # 5 Vista isométrica del conducto de sección variable


Fig. # 6 Vista del volumen de control para el conducto de sección variable.

METODOLOGÍA DE ESTUDIO, PARÁMETROS Y CONSIDERACIONES.

Luego en el programa se dan todas las condiciones para la simulación además del volumen de control (Ver CD para los detalles de la simulación). Para el estudio se da los parámetros del flujo y con los goals definidos para el modelo (ver Archivo para los detalles) se procede a la simulación y ya con los datos de la temperatura, densidad, presión y Mach se procede a graficar según la posición pero con las tres primeras magnitudes normalizadas respecto a una presión, temperatura y densidad de remanso iguales a 1atm, 293.2 °K y 1.2 Kg/mˆ3. Esto se ha tomado ya que el software no arroja las variables de condición de remanso y para el cálculo de las condiciones sónicas se tendría que buscar una posición para esta o interpolar pero como se verá esto sería demasiado impreciso debido a que en una misma sección pueden cambiar las condiciones.

Resultados:

El programa arrojó las siguientes tablas (Ver CD para ver mas detalles):


CONDUCTO DE SECCIÓN VARIABLE


Continuación


GRÁFICAS PARA EL CONDUCTO DE SECCIÓN VARIABLE.

MACH=0.75.


Imagen de la distribución del número de Mach y presiones para MACH=0.75.

MACH .

PRESIONES .


GRÁFICAS PARA EL CONDUCTO DE SECCIÓN VARIABLE.

MACH=3.0


Imagen de la distribución del número de Mach y presiones para MACH=3.0.

MACH

PRESIONES.


Análisis y discusión de resultados:

Para los resultados cuando Mach=0.75

Los resultados de la densidad para cuando el Mach=0.75 no se muestran ya que en la simulación no converge ninguno de los goals asociados a este parámetro, si se revisa los exels que arroja el programa la convergencia luego de que termina de analizar el programa es de 0.8% y aparece un mensaje como el siguiente:

Se intentó modificar el número de celdas pero aun así no cambio los resultados respecto a la densidad la cual salía en algunas simulaciones hasta 5 veces la densidad del agua a 4°C lo cual es físicamente imposible dadas las condiciones del problema.Para este caso al seleccionar la opción High number of Mach el programa se cierra al intentar calcular.

Los demás valores si alcanzaron cierta convergencia mayor a 80% por lo que se han graficado y se muestran en las gráficas mostrando para el caso de Mach=0.75 que debido al cambio brusco de sección se produce una baja de la presión de alrededor de 4 Mpa entre los 50 y 150 milímetros y al igual que la presión los valores del Mach y la temperatura también tienen el cambio entre estos valores.

Para los resultados cuando Mach=3.0

Los datos de esta simulación si convergieron con normalidad y sin ningún aviso como el anterior

Se puede observar una onda de choque leve alrededor de la posición 70 mm la cual como se ve en las capturas de pantalla es una onda oblicua comenzando en la base de la zona convergente y avanzando sobre esta en la dirección del flujo y hay otra luego de los 250 mm y como se con más claridad en las capturas de pantalla se produce justo al salir de la zona divergente.

También se puede ver en las gráficas que se necesitarían tomar mas datos en las zonas donde empieza y terminan las zonas convergente y divergente ya que aquí es donde se producen cambios importantes en las propiedades del flujo.


Conclusiones Respecto al primer caso se puede decir que el comportamiento del flujo sigue lo que predice

la teoría dada al ser subsónico acelerar en la zona convergente y como alcanza el punto sónico acelera en la parte divergente.

El cambio brusco de presión que parecería se una onda de choque pues no lo es, ya que como se dijo luego de la onda debería de aumentar la presión (bajar el Mach) luego de la onda pero sucede lo contrario pero por eso no es incorrecto ya que baja la presión y sube la velocidad y cumple con la ecuación de cantidad de movimiento.

En cuanto a los resultados incorrectos de la densidad se plantea hipótesis como que las medidas donde se produce la convergencia y como dan los resultados de la presión y Mach la zona donde se produce el cambio brusco es muy pequeño y el número de celdas del mallado debería de aumentar en estas zonas ya que son los cambios bruscos en pequeñas longitudes las que afectan en mayor cuantía a todo el flujo. Es claro que las dimensiones pequeñas del modelo computacional influyen ya que en el trabajo con paredes rugosas también se simula al conducto con pared ideal para comparar pero en este la longitud mide 2.5 metros mientras que en el modelo de este trabajo es 0.3118 metros

Respecto al segundo caso se puede ver que en general( y pongo esto ya que en cada sección las propiedades como el número de Mach cambia) la simulación comprueba lo que predice la teoría de que al entrar el fluido como supersónico bajará su velocidad en la zona convergente y si llega a ser sónico entonces seguiría bajando en caso contrario subirá en la zona divergente pero como se ven los resultados no llega a punto sónico por lo que sigue como supersónico al salir de la zona con área variable.

También cumple con lo que se dice de la presión que sube en la primera zona y baja en la otra.

Una conclusión mas es sobre la forma en que influye la geometría en estos casos ya que aunque el conducto es como dice la teoría que converge y luego diverge es importante que los cambios de la geometría respecto a la longitud sean suaves y no discontinuos, es decir, que si A es el área en cualquier sección y x la posición a lo largo entonces 𝑑𝐴

𝑑𝑥 tiene que ser

continua en todos los puntos de la longitud.

Bibliografía:

• Mecánica de Fluidos. Frank M. White.6ta Edición. Pág. 601-621 Chapter 9 -Flujo compresible. ISBN 978-84-481-6603-8.

• Apuntes de Mecánica de Fluidos: 2ª parte Flujo compresible- Julián Martínez de la Calle-Área de Mecánica de Fluidos-Gijón enero 2009-Universidad de Oviedo. Pag. 6-8

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