analisis de varianzas

ANALISIS DE LAS

VARIANZAS

William Jaime

León Velásquez

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS

ESTADISTICA

INDUSTRIAL

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

SESION 04

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Prueba de medias de mas de dos muestras a través de la comparación de dos varianzas poblacionales Otro uso de la distribución F es el análisis de la técnica de la varianza (ANOVA), en la cual se comparan tres o más medias poblacionales para determinar si pueden ser iguales.

Ing. William león Velásquez 4

Suposiciones en el análisis de la varianza (ANOVA)

5

•Para emplear ANOVA se supone lo siguiente:

• Las poblaciones siguen la distribución

normal.

• Las poblaciones tienen desviaciones

estándar iguales (σ).

• Las poblaciones son independientes.

Ing. William león Velásquez

El análisis de la varianza (ANOVA)

6

ANOVA se desarrolló para aplicaciones en agricultura, y aún se emplean muchos de los términos relacionados con ese contexto. En particular, con el término tratamiento se identifican las poblaciones diferentes que se examinan.

• ANOVA permite comparar las medias de tratamiento de forma simultánea y evitar la acumulación del error tipo I.


Se utiliza para determina si una población tiene mas variación que otra, o si es deseable

validar un supuesto respecto a una prueba estadística

Procedimiento:

Primero se establece la hipótesis nula.

Esta hipótesis es que la varianza de una

población normal, σ21 , es igual a la

varianza de otra población σ22 también

normal, …… es igual a la varianza de otra población σ2

i también normal .

Procedimiento


La hipótesis alternativa podría ser que las varianzas difieren.

La hipótesis nula y la hipótesis alternativa

son:

Procedimiento


iH 2......2212:0

iH 2......2212:1

Procedimiento

•El Valor Estadístico de Prueba para la Comparación de dos Varianzas estará dada por la siguiente relación:


mnE

mT

S

SF

2

1

2

EJEMPLO DIDACTICO

10

El gerente de un centro financiero, desea comparar la productividad, medida por el número de clientes atendidos entre tres empleados. Selecciona cuatro días en forma aleatoria y registra el número de clientes atendidos por cada empleado. Los resultados son

Ejemplo:


Walter Willy Kike

11

¿Hay alguna diferencia en el número de clientes atendidos?

En la siguiente gráfica se ilustrará cómo pueden aparecer las poblaciones si hubiera una diferencia en las medias del tratamiento.


EJEMPLO DIDACTICO

12

Observe que las poblaciones en la gráfica de la izquierda siguen la distribución normal y la variación en cada población es la misma. Sin embargo, las medias no son iguales.

Suponer que las poblaciones son iguales es decir que no hay diferencia en las medias (tratamiento). Estos se muestra en la gráfica de la derecha. Observe que las poblaciones siguen la distribución normal y la variación en cada población es la misma.


Kike

Kike

Walter

Walter

Willy

Willy

Servicio al cliente

Servicio al cliente

EJEMPLO DIDACTICO

La prueba ANOVA

13

•Si desea determinar si varias medias muestrales provienen de una sola población o de poblaciones con medias diferentes. Lo que se hace en realidad, es que estas medias muestrales se comparan mediante sus varianzas.

•Una de las suposiciones para aplicar la prueba ANOVA fue que la desviación estándar de las diversas poblaciones normales tenían que ser las mismas. Se aprovecha este requisito en la prueba ANOVA.


La prueba ANOVA

14

•La estrategia es estimar la varianza de la población de dos formas y después determinar la razón de dichos estimados.

•Si esta razón es aproximadamente 1, entonces por lógica los dos estimados son iguales, y se concluye que las medias poblaciones son iguales.

La distribución F sirve como un árbitro al indicar en que instancia la razón de las varianzas muestrales es mucho mayor que 1 para haber ocurrido por casualidad.


La prueba ANOVA


VARIACIÓN TOTAL (SS) Suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada observación y la media global

Se definirá algunos conceptos que nos ayudaran en problemas posteriores, a través del ejemplo planteado


58GX

La variación total del ejemplo:

• Se calcula la media global de las 12 observaciones:

• (55+54+59+56+66+76+67+71+47+51+46+48)/12 = 58

EJEMPLO DIDACTICO

•Después, para cada una de las 12 observaciones se encuentra la diferencia entre el valor particular y la media global. Cada una de estas diferencias se eleva al cuadrado y estos cuadrados se suman, este resultado es la variación total,

SS= 1082.

(55-58)2+(54-58)2+(59-58)2+(56-58)2+

(66-58)2+(76-58)2+(67-58)2+(71-58)2+

(47-58)2+(51-58)2+(46-58)2+(48-58)2=


EJEMPLO DIDACTICO

•Luego se divide esta variación total en dos componentes: la que se debe a los tratamientos y la que es aleatoria.

Para encontrar estas dos componentes, se determina la media de cada tratamiento.

La primera fuente de variación se debe a los tratamientos.

SS = SST + SSE


SS: Suma de cuadrados SST: Suma de cuadrados de los tratamientos SSE: Suma de cuadrados del error

EJEMPLO DIDACTICO

La prueba ANOVA

19

VARIACIÓN DE TRATAMIENTO (SST) Suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre la media de cada tratamiento y la media global


20

•En el ejemplo, la variación debida a los tratamientos es la

suma de las diferencias al cuadrado entre la media de cada

empleado y la media global.

•Para calcularlo, primero se encuentra la media de cada uno

de los tres tratamientos.


La media de Walter es 56, determinada por

(55 + 54 + 59 + 56)/4.

La media de Willy es son 70 determinada por:

(66 + 76 + 67 + 71)/4.

La media de Kike es 48 determinada por:

(47 + 51 + 46 + 48)/4.

EJEMPLO DIDACTICO

21

La suma de los cuadrados debida a los tratamientos es:

(56 – 58)2 +(56 – 58)2 + … + (48 – 58)2 =

4(56 – 58)2 + 4(70 – 58)2 + 4(48 – 58)2 = 992

Si existe una variación considerable entre las medias de los tratamientos, es lógico que este término sea grande.

El valor más bajo posible es cero. Esto ocurrirá cuando todas las medias de los tratamientos sean iguales.

SST = 992


EJEMPLO DIDACTICO

La prueba ANOVA

•La otra fuente de variación se le conoce como componente

aleatoria o componente de error.

VARIACIÓN ALEATORIA (SSE) Suma de las diferencias elevadas al cuadrado entre cada observación y su media de tratamiento.


• En el ejemplo, este término es la suma de las diferencias al

cuadrado entre cada valor y la media para ese empleado

en particular.

SSE=(55 – 56)2 +(54 – 56)2 + … + (46 – 48)2+(48 – 48)2 = 90

La variación de error es de 90.

SSE = 90

Walter es 56 Willy es 70 Kike es 48


EJEMPLO DIDACTICO

•En resumen:

La suma de la diferencia entre el valor particular y la media global elevado al cuadrado es la variación total, y es igual 1082.

La suma de los cuadrados debida a los

tratamientos es 992

La variación de error es de 90.

Por lo tanto:

SS = SST + SSE

1082 = 992 + 90 Ing. William león Velásquez 24

EJEMPLO DIDACTICO

La prueba ANOVA

El estadístico de prueba, que es la razón de los dos estimados de la varianza poblacional, se determina a partir de la siguiente ecuación:


La prueba ANOVA


Diferencias dentro de cada grupos

Diferencia entre grupos

mnE

mT

S

SF

2

1

2

El primer estimado de la varianza poblacional entre los tratamientos, es decir, de la diferencia entre las medias. Éste es 992/2.

¿Por qué se divide entre 2?

Recuerde que para encontrar una varianza muestral , se divide entre el número de observaciones menos uno (n-1).

En este caso hay 3 tratamientos por lo que se divide entre 2.

El primer estimado poblacional es 992/2.


Entre grupos

EJEMPLO DIDACTICO

El estimado de la varianza dentro de los tratamientos es la variación aleatoria dividida entre el número total de observaciones menos el número de tratamientos.

Es decir 90 / (12-3).

De aquí, el segundo estimado de la varianza poblacional es 90/9.


Dentro de cada grupos

EJEMPLO DIDACTICO

Por tanto


Entre grupos

Dentro de cada grupos

mnE

mT

S

SF

2

1

2

EJEMPLO DIDACTICO

Como esta razón es muy distinta a 1, se concluye que las medias de los tratamientos no son iguales.

Por lo tanto hay una diferencia en el número medio de clientes atendidos por los tres empleados.

Al igual que en la prueba de hipótesis de dos muestras y una muestra se sigue la regla de los cinco pasos.


EJEMPLO DIDACTICO

Comparación de varias medias

Análisis de Varianza (ANOVA)

Es la relación entre una variable cualitativa (con más de 2 categorías) y una variable cuantitativa


El problema

•Se tiene varias medias muestrales y se desea saber si realmente son evidencia de una diferencia entre los diferentes grupos

•Existe una variable cuanlitativa X que podría explicar los cambios en una variable cuantitativa Y


Esquema ANOVA

Variable Independiente o Explicativa

Cualitativa

Variable dependiente o Respuesta

Cuantitativa

FACTOR que incluye varios posibles

tratamientos que pueden influir en la

respuesta

Medición que puede RESPONDER a los

varios posibles tratamientos del factor estudiado

X Y


La Hipótesis

Ho: No hay relación entre X e Y

Ho: Las medias de Y en los diferentes grupos son iguales

Ha: Si hay relación entre X e Y

Ha: Por lo menos una media de Y es diferente en los grupos definidos por la variable X


Ilustración mediante un ejemplo

La muestra seleccionada permite ver que hay diferencias, pero sólo en la muestra

Se tiene los datos de las compras de limpiadores que

efectúan las familias consumidoras, por nivel de

educación del jefe de familia

Total Primaria Secundaria Superior

Compra promedio

(onzas)

15.5 11.1 15.9 22.7

Desviación estándar (onzas)

10.4 5.6 6.2 5.9

Base n 589 244 206 139


Si se asume que Ho es cierta (No hay relación)

En la población las medias deberían ser

iguales (Este es el supuesto de Ho)

Primaria Secundaria Superior Total

Compra

promedio

15.5 15.5 15.5 15.5

Base (n) 244 206 139 589


Modelo de ANOVA de un factor

Y=

Media general

Efecto del tratamiento en el factor analizado

Error aleatorio


En el ejemplo

Y es la cantidad comprada

X es el factor analizado es la variable cualitativa: educación

El factor educación tiene 3 tratamientos: Primaria, Secundaria, Superior

El efecto sobre la cantidad comprada de cada tratamiento (nivel específico de educación) no tiene que ser el mismo.

La hipótesis nula dice que por menos uno de los tratamientos (un nivel específico de educación) tiene efecto sobre la cantidad comprada


Resultados de ANOVA


En este caso, p es muy pequeño Con lo cual podríamos rechazar la hipótesis de

igualdad de medias

Supuestos de ANOVA

• La dispersión debe ser la misma en cada grupo o categoría (igualdad de varianza)

• La distribución de las observaciones en cada grupo debe ser normal

ANOVA es más sensible al primer supuesto que la segundo En casos extremos hay que considerar alternativas no paramétricas


Ejemplo 1

• En una ciudad está dividida en cuatro distritos. El jefe de policía quiere determinar si hay alguna diferencia en el número promedio de delitos cometidos en cada distrito.

• Se registró el número de infracciones reportados en cada distrito en una muestra de seis días.

• Al nivel de significancia 0,05; puede el funcionario concluir que hay diferencia en el número promedio de infracciones?

Distrito 01

Distrito 02

Distrito 03

Distrito 04


Ejemplo 1


Ejemplo 1

c) El valor estadístico de la prueba:

Distrito 01 x2

Distrito 02 x2

Distrito 03 x2

Distrito 04 x2 total

13 169 21 441 12 144 16 256 15 225 13 169 14 196 17 289 14 196 18 324 15 225 18 324 15 225 19 361 13 169 15 225 14 196 18 324 12 144 20 400 15 225 19 361 15 225 18 324

Tc (X) 86 108 81 104 379 nc 6 6 6 6 x2 1236 1980 1103 1818 6137


SST =

Ejemplo 1

SST = (86)2 (108)2 (81)2 (104)2 (379)2

------ + ------ + ------ + -------- - --------

6 6 6 6 24

1232.67 + 1944.00 + 1093.50 + 1802.67 - 5985.04 = 87.79


Ejemplo 1


d) Criterio de decisión Se rechaza la Ho debido a que el valor calculado es 9.118 que es mayor al valor crítico de 3.10 y se concluye de que no hay diferencia en el número promedio de infracciones entre las citadas ciudades

Ejemplo 2

Al nivel de significancia de 0,05; existe alguna diferencia entre las cuatro empresas, en el número medio de meses antes de recibir un aumento de sueldo?

• Una egresada de ingeniería industrial tiene ofertas de trabajo de cuatro empresas. Para examinar un poco más las propuestas, solicitó a una muestra de personas recién ingresadas, que le indiquen cuántos meses trabajaron cada una para su compañía, antes de recibir un aumento de sueldo.

• La información muestral fueron lo siguiente:


Empresa1 Empresa2

Empresa3

Empresa4

12 14 18 12

10 12 12 14

14 10 16 16

12 10

Ejemplo 2


Ejemplo 2

Empresa 01

Empresa 02

Empresa 03

Empresa 04

X2 X2 X2 X2 Total


Ejemplo 2


n

XXSStotal

22

n

X

nTSST

c

c

22

Ejemplo 2


Ejemplo 3

Los miembros de un equipo ciclista se dividen al azar en tres grupos que entrenan con métodos diferentes.

El primer grupo realiza largos recorridos a ritmo pausado, el segundo grupo realiza series cortas de alta intensidad y el tercero trabaja en el gimnasio con pesas y se ejercita en el pedaleo de alta frecuencia.

Después de un mes de entrenamiento se realiza un test de rendimiento consistente en un recorrido cronometrado de 9 Km.


Ejemplo 3

Los tiempos empleados fueron los siguientes

A un nivel de confianza del 95% ¿Puede considerarse que los tres métodos producen resultados equivalentes? O por el contrario ¿Hay algún método superior a los demás?


Método I Método II Método III

15 14 13

16 13 12

14 15 11

15 16 14

17 14 11

Ejemplo 3


Se calcula los totales y los cuadrados de los totales divididos por el numero de observaciones

Ejemplo 3

A partir de estas cantidades básicas calculamos las Sumas de Cuadrados:

SC(total) = 2984 - 2940 = 44 SC(entre) = 2966,8 – 2940 = 26,8 SC(intra) = 2984 – 2966,8 = 17,2 Ing. William león Velásquez 54

SS = SST + SSE SST = SS -SSE

n

XXSStotal

22

n

X

nTSST

c

c

22

29842X

2940

2

n

X

Ejemplo 3

Los cuadrados medios serán:

CM(entre) = 26,8/2 = 13,4 CM(intra) = 17,2/12 = 1,43


mnE

mT

S

SF

2

1

2

Por consiguiente el estadístico de contraste vale: F = 13,4/ 1,43 = 9,37

Ejemplo 3

El valor de la F teórica con 2 y 12 grados de libertad, a un nivel de confianza del 95% es 3,89. Por consiguiente se rechaza la hipótesis nula y Se concluye que los tres métodos de entrenamiento producen diferencias significativas.


Ejemplo 4

Un estudio muestra en la pantalla de cuatro computadores una lista de palabras sin sentido con procedimientos diferentes, asignados aleatoriamente a un grupo de personas. Luego se les realiza una prueba de memoria de dichas palabras, obteniéndose los siguientes resultados:


Ejemplo 4

¿Qué conclusiones pueden obtenerse acerca de las cuatro formas de presentación, con un nivel de significación del 5%? Solución: Calcular los totales y los cuadrados de los totales divididos por el número de observaciones:


Ejemplo 4

Luego calcular los cuadrados de las observaciones y su total


Ejemplo 4

A partir de estas cantidades básicas calcular las Sumas de Cuadrados: SC(total) = 988 – 819,8 = 168,2 SC(entre) = 902 – 819,8 = 82,2 SC(intra) = 988 – 902 = 86 Los cuadrados medios serán: CM(entre) = 82,2/3 = 27,4 CM(intra) = 86/22 = 3,9


Ejemplo 4

Por lo tanto el estadístico de contraste será: F = 27,4/ 3,9 = 7,03 El valor de la F teórica con 3 y 22 grados de libertad, a un nivel de confianza del 95% es 3,05. Por consiguiente se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los cuatro procedimientos de presentación producen diferencias significativas.


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ANOVA de dos factores

◦ Se consideran los efectos de dos factores simultáneamente

• Diseño de bloques aleatorios

◦ Cuando una característica puede afectar la medición de la variable dependiente, se trata de controlar o bloquear esta variable, de tal manera que se pueda comparar mejor la influencia de un determinado tratamiento


ANOVA de dos factores

Y=

Media general

Efecto del tratamiento específico del primer factor

Efecto del tratamiento específico del segundo factor

Efecto de la interacción entre tratamientos

Error aleatorio Ing. William león Velásquez 64

Diseño de Bloques aleatorios

Y=

Media general

Efecto del tratamiento específico del primer factor

Efecto del bloque

Error aleatorio


ANOVA – P.H. para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos factores

66

Se trata de probar si el efecto de un factor o

Tratamiento en la respuesta de un proceso o sistema es

significativo, al realizar experimentos variando los

niveles de ese factor (Temp.1, Temp.2, etc.)

POR FILAS

Y Considerando los niveles de otro factor que se piensa

que tiene influencia en la prueba – FACTOR DE

BLOQUEO

POR COLUMNA


ANOVA – P.H. para probar la igualdad de medias de varias poblaciones con dos factores

67

diferentessonsunasAHa

Ho a

..'.lg:

.........: 321

diferentessonsunasAHa

Ho a

..'.lg:

'.........''': 321

Para el tratamiento – en filas

Para el factor de bloqueo – en columnas


ANOVA 2 Factores - Ejemplo

68

Experiencia en años de los operadores

Maquinas 1 2 3 4 5

Maq 1 27 31 42 38 45

Maq 2 21 33 39 41 46

Maq 3 25 35 39 37 45


ANOVA – Dos factores o direcciones

69

•La SCTot y SCTr (filas) se determina de la misma forma que para la ANOVA de una dirección o factor

•En forma adicional se determina la suma de cuadrados del factor de bloqueo (columnas) de forma similar a la de las filas

•La SCE = SCT – SCTr - SCBl


ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el factor de bloqueo (en cols)

70

)1/(

1.

)( 2

1

bSCBlCMBl

bSCBlgl

XXaSCBl j

b

j


ANOVA de 2 factores – Suma de cuadrados, gl. y Cuadrado medio para el error

71

))(/(

))((.

bnanSCBlCME

bnanSCEgl

SCBlSCTrSCTSCE


ANOVA – Cálculo del estadístico Fc y Ftabla

72

SCEglSCTrglALFAFFtabla

MCE

MCTrFc

.,.,


ANOVA de 2 factores – Cálculo del estadístico Fcbl y Ftabla bloques (columnas)

73

SCEglSCBlglALFAFFtabla

MCE

MCBlFc

.,.,


Tabla final ANOVA 2 Factores

74

FUENTE DE VARIACIÓN SUMA DE GRADOS DE CUADRADO VALOR F

CUADRADOS LIBERTAD MEDIO

Entre muestras (tratam.) SCTR a-1 CMTR CMTR/CME

Entre Bloques (Factor Bl) SCBl b-1 CMBL CMBL/CME

Dentro de muestras (error) SCE (a-1)(b-1) CME

Variación total SCT n-1 CMT

Regla: No rechazar si la F de la muestra es menor que la F de tabla para una cierta alfa


ANOVA – 2 F. Toma de decisión

75

Ftabla

Fc: Tr o Bl

Alfa

Zona de rechazo

De Ho o aceptar Ha

Zona de no rechazo de Ho

O de no aceptar Ha

Distribución F


ANOVA – 2 F. Toma de decisión

76

Si Fc (Tr o Bl) es mayor que Ftabla se

rechaza Ho Aceptando Ha donde las

medias son diferentes

O si el valor de p correspondiente a Fc

(Tr o Bl) es menor de Alfa se rechaza Ho


Ejemplo 1

•Se ha diseñado una prueba de vocabulario para detectar la afinidad hacia la mecánica.

•La prueba consiste en un cierto número de palabras tomadas de una lista de términos alusivos a la mecánica y a la maquinaria; y que la calificación que una persona puede obtener en esa prueba es, simplemente, el número de palabras que puede definir correctamente.

•Supongamos que se quiere probar si hay diferencias relativas a dos características, sexo y lugar donde viven, y también si se presentan diferencias atribuibles a la combinación de ambas.


Ejemplo 1

•Las calificaciones de los sujetos clasificadas de acuerdo a estas dos variables fueron las siguientes:

Urbano Rural

Hombre Mujer Hombre Mujer

4 1 3 4

9 4 7 4

9 5 7 4

10 6 7 8


Ejemplo 1

• Sería posible, por supuesto, llevar a efecto un análisis de varianza de una sola clasificación con estos cuatro grupos de sujetos, sin embargo, si se encuentra una diferencia significativa entre estos cuatro grupos,

• ¿Como saber si esas diferencias deben atribuirse al sexo o al lugar donde viven o a una combinación de ambos?

• Para estos casos se utiliza el método de análisis de varianza de doble clasificación, este método consta de varios pasos.


Pasos

1.- Establecer Hipótesis

Se tiene que establecer hipótesis para cada uno de los tratamientos y para la interacción de ambos:

a) Respecto al primer tratamiento:

Ho: “Los hombres no tienen más afinidad hacia la mecánica que las mujeres”

Ha: “Los hombres tienen más afinidad hacia la mecánica que las mujeres”


Ejemplo 1


b) Respecto al segundo tratamiento:

Ho:”Los residentes de zonas urbanas no tienen más afinidad hacia la mecánica que los residentes de zonas rurales”

Ha:”Los residentes de zonas urbanas tienen más afinidad hacia la mecánica que los residentes de zonas rurales”


Ejemplo 1


• c) Respecto a la interacción de los dos tratamientos

Ho:” La combinación de las circunstancias sexo y lugar de residencia no afecta de manera significativa el tener más afinidad hacia la mecánica”

Ha:”La combinación de las circunstancias sexo y lugar de residencia afecta de manera significativa el tener más afinidad hacia la mecánica”


Ejemplo 1

2.- Establecer el Criterio de Contraste

a=2 b=2 n=16

gl T1 a-1 1

gl T2 b-1 1

gl Iter (a-1)(b-1) 1

gl Tot n-1 15

gl SCE glTot-gl T1 +gl T2 - gl Iter 12

Gl T1 =1 Gl SCE= 12 F= 4 .75

Gl T2 =1 Gl SCE= 12 F= 4 .75

Gl Iter =1 Gl SCE= 12 F= 4 .75


Ejemplo 1

3.- Calcular el Estadístico de Prueba

Urbano Rural

Hombre x2 Mujer x2 Hombre x2 Mujer x2

4 16 1 1 3 9 4 16

9 81 4 16 7 49 4 16

9 81 5 25 7 49 4 16

10 100 6 36 7 49 8 64 ΣΣ

ΣX = 32 16 24 20 92

ΣX² = 278 78 156 112 624

n 4 4 4 4 16


Sumatoria de los totales

Ejemplo 1

•Cálculo del Factor de corrección:


529

16

922

FC

n

XFC

2)(

Ejemplo 1

•Cálculo de la Suma Total de Cuadrados

SCTotal = X 2 - FC

= ( 278 + 78 + 156 + 112) - 529 = 95

= 624 - 529 = 95


Ejemplo 1

•Calcular la suma de cuadrados por cada tipo de tratamiento

•SCT1 (por el lugar donde viven)

•


Ejemplo 1

•Calcular la suma de cuadrados por cada tipo de tratamiento

•SCT2 (por sexo)

•


Hombre Mujer

Ejemplo 1

•Calcular la suma de cuadrados por grupos

•

•*Este valor nos servirá para calcular el SCI y SCE


Ejemplo 1

• Calcular la suma de cuadrados de la interacción de los dos tratamientos

SCI = SCG – SCT1 – SCT2 =

= 35 – 1 – 25 = 9

• Calcular la suma de cuadrados del error

SCE = SCTOT – SCG =

= 95 – 35 = 60


Ejemplo 1

•Construir la Tabla ANOVA

FUENTE SC GL MC F

TRATAMIENTO 1 1.0 1 1 0.2

TRATAMIENTO 2 25.0 1 25 5

POR GRUPOS 35

INTERACCION 9.0 1 9 1.8

ERROR 60 12 5

TOTAL 95 15


Ejemplo 1

4.- Tomar Decisión y Conclusión Decisión Como los Estadísticos de Prueba, en los casos de las variables de localidad (F*1 = 0.2) y la combinación de sexo y localidad (F*i =1.8) son mas pequeños que sus respectivos criterios de contraste (F = 4.75), en estos casos se no rechaza la hipótesis nula, Mientras que en el caso del sexo el Estadístico de Prueba (F*2 = 5.0) es mas grande que el Criterio de Contraste (F = 4.75), entonces por lógica inferimos que F* queda dentro de la zona crítica y por lo tanto se rechaza la hipótesis nula por lo tanto aceptamos la hipótesis alterna,


92

Ejemplo 1

y la conclusión :

“Hay evidencia suficiente, con un nivel de significancia de .05, para afirmar que en promedio de la afinidad hacia la mecánica de los hombres es mayor que el de las mujeres,

mientras que no la hay para afirmar que los residentes de zonas urbanas tengan más afinidad hacia la mecánica que los residentes de zonas rurales,

ni tampoco podemos afirmar que la combinación de ambas circunstancias influya en la afinidad hacia la mecánica de los individuos”.


Ejemplo 02

• El departamento de nutrición de cierta universidad lleva a cabo un estudio para determinar si hay diferencia o no en el contenido de ácido ascórbico entre tres diferentes marcas de concentrado de jugo de naranja. Se hacen cuatro pruebas de los tres tipos de concentrado de jugo de naranja que fue congelado durante tres periodos de tiempo diferentes (en días)


Ejemplo 02

• Los resultados, en miligramos de ácido ascórbico por litro, son los siguientes:


MARCA

TIEMPO ( DÍAS )

0 3 7

RICA 52.6 54.2 49.4 49.2 42.7 48.8

49.8 46.5 42.8 53.2 40.4 47.6

BUENA 56.0 48.0 48.8 44.0 49.2 44.0

49.6 48.4 44.0 42.4 42.0 43.2

BARATA 52.5 52.0 48.0 47.0 48.5 43.3

51.8 53.6 48.2 49.6 45.2 47.6

Ejemplo 02

• Utilice un nivel de significancia de .05 para probar la hipótesis de que:

• Los contenidos de ácido ascórbico por marca de jugo son diferentes

• Los contenidos de ácido ascórbico por tiempo de congelamiento son diferentes

• Los contenidos de ácido ascórbico son diferentes debido a la interacción de las dos variables.


Ejemplo 2

2.- Establecer el Criterio de Contraste

Gl T1 =2 Gl SCE= 27 F=3.35

Gl T2 =2 Gl SCE= 27 F= 3.35

Gl Iter =4 Gl SCE= 27 F=2.73

a b n

3 3 36

gl T1 a-1 2

gl T2 b-1 2

gl Iter (a-1)(b-1) 4

gl Tot n-1 35

gl SCE glTot-gl T1 +gl T2 - gl Iter 27


3.35

3.35

2.73

Ejemplo 02

• Elaborar la tabla ANOVA


n

0

3

7

RICA 52.6 54.2 49.4 49.2 42.7 48.8 12 577.2

49.8 46.5 42.8 53.2 40.4 47.6

BUENA 56 48 48.8 44 49.2 44 12 559.6

49.6 48.4 44 42.4 42 43.2

BARATA

52.5 52 48 47 48.5 43.3 12 587.3

51.8 53.6 48.2 49.6 45.2 47.6

1724.1

Tratamientos 615 566.6 542.5 1724.1

n 12 12 12 36

Ejemplo 02

• 1- Cálculo del Factor de corrección


2972520.81

FC = ---------------- = 82570.0225

36

FC

= 82570

81.2972520)1.1724( 22X

n

XFC

2)(

Ejemplo 02

• 2- Cálculo de la Suma cuadrado de totales


83102.01 - 82570 = 531.9875 SCTotales=

FCXSCTotales 2

Ejemplo 02

• 3- Cálculos de los tratamientos

101

TIEMPO SCT1 = 31518.75 + 26752.96 + 24525.52

ΣX²/ n0 ΣX²/ n3 ΣX²/ n7

82797.23 - 82570.02 = 227.212 SCT1=

82570.02 -

FCn

XSCT

2

1

FCSCT 12

5.542

12

6.566

12

615 222

1

23.82797

2

n

X

Ejemplo 02

• 3- Cálculos de los tratamientos


MARCA SCT2 = 27763.32 + 26096.01 + 28743.44

ΣX²/ nRICA ΣX²/ nBUENA ΣX²/ nBARATA

82602.77 - 82570.02 = 32.752 SCT2=

- FC

82570.02 -

FCSCT 12

3.587

12

66.559

12

2.577 222

2

FCn

XSCT

2

2

77.82602

2

n

X

Ejemplo 02

4- Calcular la suma de cuadrados por bloques

103

0 3 7

RICA 203.1 194.6 179.5

BUENA 202 179.2 178.4

BARATA 209.9 192.8 184.6

SCG = 10312.40 + 9467.29 + 8055.06 +

+ 10201 + 8028.16 + 7956.64 +

+ 11014.50 + 9292.96 + 8519.29 - 82570.02 = 277.29


n=4

FC

n

XSGG

2

4.10312

4

41249.61

4

1.20322

n

X

X

Ejemplo 02

• 5- Calcular la suma de cuadrados de la interacción de los dos tratamientos

104


SCI = SCG – SCT1 – SCT2 =

SCI = 277.29 - 227.212 - 32.752

= 17.322

Ejemplo 02

• 6- Calcular la suma de cuadrados del error

105


SCE = SCTOT – SCG

SCE = 531.9875 - 277.29 = 254.703

Ejemplo 02

•Construir la Tabla ANOVA

FUENTE SC GL MC F

TRATAMIENTO 1 227.21 2 113.606 12.0429

TRATAMIENTO 2 32.75 2 16.376 1.7359

POR GRUPOS 277.29

INTERACCION 17.32 4 4.330 0.4591

ERROR 254.70 27 9.433

TOTAL 531.99 35


Ejemplo 02


FCRITICO

FT1= 4 .75

FT2= 4 .75

FINT= 4 .75

FDATOS

12.0429

1.7359

0.4591

Conclusión

Se rechaza la Ho

No se rechaza la Ho

No se rechaza la Ho

•Conclusión

FCrítico

FIN [email protected]

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