CAPITULOSERIES DE FOURIER1.1FUNCIONESPERIODICASVna funcin peridica se puede definircomoura funcinpara laetalf(r)=r(r+r) (r.l)(1.2)pra todo valorde f . I constanternnimaI gue satisfacelarelcin(t.l) se llamaelp*odode l* funcin.Medianterepeticinde( I . I ), se obtiene,/(r)- f(f +T), =O, *1, 12,...Enla figura1.1se mrestra unejemplo de una furrcin peridica.ttEncontrar el perodode la funcin/(r)= cos - * cos -.34PROBLEMA1.1Solucin: sila funcin/(r) es peridica conun perodo7,entonces,de (l.l) se tiene, 1,, * T)+ cos !rr * rl = "o. L*.o=1.3434Puesto que cos(0 * 2nm) = cos0 para cualquierenteroz se tienequel1r = 2;m, ir = 2nn,donde m y r?sonenteros.PorconsiguietteT = 6nm = 8nr; cuandom = 4 y r = 3, seobtieneel mnimovalorde T. (Esto se puedever medianteel procedimientodeensayoy error). De donde, T = 24tt.En general,si la funcinesperidica conperodoI, entouceserposibleencontrar dos enteros y r tcles que(1.3)(r.4)(1.5)PROBLEMA1.2Decir si la funcin/(f)=-cosl0f * cos(10+ z)f esunafuncinperidica.,, @rf*2at4na,l = Zaa'El coqre$tedo (13] y{la) eo ' q.' ; n, ,, , i0)sn_..t..,esilecir,Iarelcino/r,r2 deba:,seruri*ihiro racional.Figura1.1Unafuncinperidica.AruilisisdeFourierSolucin: aqu c..r1= l0 y @z= l0 * zr. Puesto quear10;= ro ,,noesun nmero racional, es imposibleencontrar unvalor7 que satisfaga( I .1 );por consiguiente /(r) no es unafuncinperidica.PROBLEMA1.3Encontrarel perodode la funcin.f(0= (10cosf)2Solu ci n:si aplicamosla identidadtrigonomtricacos20= I (, * cos20)setiene2'f(f) :(10cos f)2 = 100 cos2r = 100 1 (1+ cos2)= SO+ 50cos2f.2Puesto que unaconstanteesunafuncinperidicade perodoTpara cualquiervalorde T,y el perododecos2, es 7r,se concluye que el perodode /(r) es z.fT-t.t| (t) t -It(it.Jr JoSolucin: si/(, + T)= f(t), entonces,al hacert=-I, setienet(r -T + ?):f(r):(f -T). (1.8)ConsiderarahorafBItG) dt.JoSi sehacela sustitucint=t-Iyse usalaigualdad(l.g),seobtienerB fg+r r+TI re)at= I r(r-r)dr= l"',(r)or.JdJr* JqrrPuesto que cualquier smbolopuede representarlavariablecomodn[o tu, *= [oo]," r(t) dt.Ahora, el primermiembrode la ecuacin(l .6)puede escribirsecomoa*T/z ^_T/2 ^d+T/2I t(D o, = l t(t) at * l re) dt.Jd-T/2ra_T/2J-T/2ecuacin,se tienef,"rr',',' '(') o' : I"'r'r' , ,t (t) dt . I ": ,'r' ' , (,) o, = I"::r' ' , (,) o, * ["'*'r' 2t (t) dt= ['r' ,'r(t) dt'(1.6)(t.7)(1.e)Aplicandoelresultadode(l,9)alaprimeraintegraldelsegundomiembrodelaanteriorfSeriesde FouierEn (1.9),ifo = 0 y P= t, entonces (1.9) se convierte enl,' ,r,, o, = [r'r' ,(,) 0,.En(1.6), sia = Tf2, entonces(1.6)se convierte enI" ,ur * = f ',',', re) at. (1.10)PROBLEMA1.5Sea/(r+T)=f(t)ya) = I,' r('r) at.Demostrarque g(r+ T)= g(t)si y slosif'" rt)d = o.s_T/2Sotucin:puestoqueg(r) = Jo' flr)or,(t + r = [""r r(i dr = [r' G) a * Ir'r' ,(r) *..Por(1.10)y (1.7), setiene[r' , rr, * = ['r','rr(r) dr = I'r','r(t) dt, !"r' tr,l o, = Io' ne) dt.Por consiguiente,(r + ?) = f'r','rt(t) dt * [o' tt) a,y c(t + T)= s4)ri y rotor, f' " 1r o, =oJ-T/2PROBLEMA1.6Sea/(r*T)=f(t),yF(o = [' ,rr, ar -f,u"t,Jo2r/zdonde ao= -| f(t)dt. DemostrarqueF(rtT\=F(t).I r-r/zsotucin:puestoque^F(r) = f' ffildr-!aot,se tieneF(r + r) = Io'r' (r) dr -;r".(t + r)= [r' rG) ar * [r'r' '(') o' -f,"* -L,"''4Por(1.10)y (1.7),se tieneAruilisisde Fourier[o' 'r'> " =f (T) dr =L r"T,1,,',"df=Porconsiguiente,F(r + T) =f,u"r *l(T) a'r.f(r) dr - f(r) dr -f,"* - F(r).- Lsen ruo"t\1/a] + b| /sen0, sen na.rof )[:f ('r)'r,", -f,,., = I"'1.2 SERIESDE FOURIERPROBLEMA1.7Deducir la forma (1.12) de(l.l l) y expresar cny 0nentrminosdeanybr.,'l t,,l,i ,, ,l'i,::ll:.... : :::::::: :::: :::,, !!!!!!:: , ,.,,,,,,,,," ..:,::.,::,,,,. ,,,.:,:.,,,i 'i+Solucin:se puedeexpresara.cosnaro + ,sen h@ot = t/": - b: (-=:r-cos n@ot\ y'a,' + b.'Si seutilizala identidadtrigonomtricaarcosncoof+ b.snno)ot = C,(cos , cosn@ot+= C, cos(naot - 0n),dondec" =,/; b: ,cos d, = +, sen , = L,t/ai * b1/ai + b|bn 0n = lL,n(*)._por consiguiente,6, = tan-r(1.1s)ftr:nir.1(1.l3)(1.14)Series de FcurierTambin, si sehace," ='ru", (1.16)seobtienerl-1(l). ^ o^+ ) (ancos ntot | .sennoo/)=Co* f C,cos(no,r -0n).. (1.17)2 " - -" L-n--'Segn(1-12),es obvio que la representacin qn seriesde Fourierdeunafurrcinpeddica, ropressnta la funcinperidicacomoI{}$umade component sefttlsoidales queereufiferentegfrecuencas.La componentssenusoidal de frecuenciarn = n{rosedeneminala ensirunarmnicadela funeinperidica.[a primerafinnifacomunmntes c6oc0comol* eomponente fundwnenul porquetiena eI ml$moperido dela funcinY olo = 2rl" * 2ilT se sonocecomo la frecuencia angulor fundomental[,o*coeficientes' c* y los ngulos6,,,seconocencamo omptiatdes amcinicasy ngulos de f,ase,IEspeclivamentB,1.3 PROPIEDADES DE LASFUNCTONESSENOYCOSENO: FUNCIONESORTOGONALESUrtconjunto de funcisnes @e(r) es ortogonal en un intervaloa 1 t { si parados funcionescualesquiera Q*0) y f, (f) perteaeciente s rl cojrntog(r), cumple:?b[0 param*n| ^(t)" (r) dt = ]Js L." para m=n(1.18)Considrese,por ejemplo, unconjuntodefuncioness+rusoidales;medianteelcrlculoelernentalsepuede demostrarquel''' .o*(rnaror)dt - 0puram o (l.lga)J_, ,,{'" *o (ma"r) dr = 0 para todovalordern,(l,Igb}J-,,,T/2f0, mln| "o= (mat,t) cos (n.ot) d. = I (l.l9c)J-r,,lr/2,a=n*O,FT/2 f0, mlnI t n (m