Analisis Geometrico de Mximos y Minimos

Adriel Santes Garca, Universidad Veracruzana, Facultad de ingeniera y ciencias qumicas, Facultad de electrnica y comunicaciones, saln GC3.

Abstract:Enestapracticatratamosdecomprobarlosmaximosyminimosdeunafuncion tridimencional de 2 variablesmediante las graficas del eje X y Ycomoconstantesyobteniendolaslineasequipotenciales,todoestodesarrolladomediante el software Plottron(Android), Desmos (online) y Octave(Multiplataforma).

Dadalafuncinz=x+y+2x4y+10se trata de obtener los maximos yminimos.Paraelloocuparemosunaguavisualquenosproporcionaraunaideade cuantos puntos maximos o minimosobtendremos, en este caso la guavisual sera nuestra grfica de lafuncin z= x+y+2x4y+10. Veaseimagen1.1

Imagen1.1

Enestaimagensepuedeapreciarquelaformasolocuentaconunpuntominimoelcualdebemosencontrar.ParapoderencontrarlosvaloresdeXyYrespectoalafuncindeZsedebederivarparcialmenterespectoaambasvariablescomosemuestraacontinuacin.

( z )( x )

=x +y +2x4y+10

f ' x =2x+2( z )( y )

=x +y +2x4y+10

f ' y =2y4

AhoraqueyatenemoslasderivadasparcialesrespectoacadavariablepodremosencontrarlosvaloresdeXyY.

2x+2=02x=2

x =22

x =1

ObtenemoscomoresultadoqueXtieneelvalorde1.

2y4=02y=4

y =42

y =2

ObtenemoscomoresultadoqueYtieneelvalorde2.

UnaregladicequesilasegundaderivadadelavariableXespositivaentonceselpuntodelafuncinesunminimo,deacuerdoaloanteriorf''(x)=2porlotantoelpuntocritico(1,2)esunminimo.

Imagen1.2

Paracomprobarsielpuntocritico(1,2)esunminimoprocederemosagrficarlafunciontomandoaY=2ydespuesaX=1paraobtener2graficasdiferentes.Podemosverenlaimagen1.2quelacurvanegradelafuncinz=x+y+2x4y+10tomandoax=1seencuentraapuntandohacialamismadireccinquelacurvarojadelafuncinz=x+y+2x4y+10tomandoaY=2enelpunto(1,2).

AhoravamosarealizarlasgraficasdecontornoparaverelaumentodevolumenrespectoalejeZapartirdelpuntocritico.

Imagen1.3

Imagen1.4

Comopodemosobservarenlaimagen1.3y1.4lacurvadecontornovaairaumentandooreduciendosedependiendoalvalordeZ.

Teniendotodaestainformacinpodemosllegaralaconclusindequesiexisteunminimoyestaenelpuntocritico(1,2)yanexamoselvalordeZalacoordenadayobtenemosqueelpuntocriticoestaen(1,2,5)

Ahoraaremosunanalisisdelafuncionz=xy+2x4y+10singuiavisualogrfica.

Veremoslasderivadasparciales.

( z )( x )

=x +y +2x4y+10

f ' x =2x+2( z )( y )

=x +y +2x4y+10

f ' y=2y4

AhoraqueyatenemoslasderivadasparcialesrespectoacadavariablepodremosencontrarlosvaloresdeXyY.

2x+2=02x=2

x =22

x =1

ObtenemoscomoresultadoqueXtieneelvalorde1.

2y4=02y=4

y= 42

y=2

ObtenemoscomoresultadoqueYtieneelvalorde2.

Sabiendoquesif''(x)>0nosarrojaunminimollevaremoselanalisisaunnivelmasprofundoutilizandootrastcnicasdondeocuparemosfxxyfyy.

Sabiendoquefx=2x+2yfy=2y4entoncesentendemosquefxx=2yfyy=2yporultimofxy=0yfyx=0entoncesfxy=fyx.

Ahoravamosaencontrarlospuntoscriticosrespectoafx=2x+2yfy=2y4.

2x+2=02x=2

x =22

x =1 y

2y4=02y=4

y= 42

y=2

AhoraobtendremosunfactorllamadoDiscriminante(D).D=fxx.fyyfxyD=2(2)0D=4

Comparamosquefxx>0,fyy>0yD>0dondedeacuerdoalcomportamientodenuestragrfica(Imagen2.1)nosmuestraqueelpuntocriticoen(1,2)esunpuntodesillasintenerasiunmximoounminimo.

Imagen2.1

Paramayorprecisinrespectoalpuntocriticoreplazamoslasvariablesxyxenlafuncinz=xy+2x4y+10consusvalorescorrepondientesynosarrojaracomoresultado13yloincorporamosanuestrascoordenadasyobtenemoscomoresultadoqueelpuntocriticoseencuentraenlacoordenada(1,2,13).