analitička geometrija u ravni

ANALITIČKA GEOMETRIJA

III1 matematika


RASTOJANJE IZMEĐU DVE TAČKE, PODELA DUŽI U DATOJ RAZMERI I

POVRŠINA TROUGLA

Neka su date tačke );(),;( BBAA yxByxA , tada je rastojanje d(A;B) između tih tačaka :

22 )()(),( BABA yyxxBAd

Neka su date tačke );(),;( BBAA yxByxA i znamo da tačka );( MM yxM deli datu duž u

razmeri kmnMBAM :: , tada možemo odrediti koordinate tačke M na sledeći način:

k

kyyy

k

kxxx BA

MBA

M

1;

1

Ako su tačke );(),;(),;( CCBBAA yxCyxByxA koordinate trougla ABC, tada je površina

trougla

1

1

1

2

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

P

ZADACI

1.Odredi rastojanje između tačaka A i B , ako je )7;23(A .

2. Odredi dužine stranica trougla ABC ako je )5,1(),1,4(),1,1( CBA .

3. Odredi koordinate težišta trougla ako su data temena )6,1(),2,7(),2,4( CBA .

ZADACI: ( rastojanje , podela duži i površina trougla)

I nivo

1. Data su temena trougla: A(-2,3),B(8,-2),C(3,8). Izračunati dužinu stranica i površinu

trougla .

2. Data su temena trougla: A(-2,3),B(8,-2),C(3,8). Odrediti koordinate sredina stranica

trougla.

3. Odrediti koordinate tačke C ako je poznato da datu duž AB (A(2,4) i B(-2,3)) deli u razmeri

3:2.

II nivo

1.Odredi na x osi tačku koja je podjednako udaljena od tačaka M(7,-4) i N(1,-2).

2. Odredi na y osi tačku koja je podjednako udaljena od tačaka A(2,-4) i B(6,-2).

3. Odredi apscisu tačke A(x,3) , tako da njeno rastojanje od tačke B(-4, 8) bude 13.

4. Izračunati površinu trougla čija su temena A(-3,-3),B(3,5),C(-2,5) i izračunati visinu ch .

5. Odrediti dužine težišnih linija trougla čija su temena a) A(1,1), B(5,3), C(3,-3);

b)A(3,4),B(-5,2) i C(-1,-6).

6. Tačke A(2,-1), B(-1, 4), C(-2,2) su sredine stranica trougla. Odrediti koordinate temena tog

trougla.

7. Data su temena trougla A(-3,-2), B(0,-8) i C(5,y). Odredi y tako da trougao bude pravougli

sa pravim uglom kod temena A.


III1 matematika

8. Koordinate temena trougla su A(7,10), B(-1,-4), C(-8, 4). Odrediti središte stranice AB,

podeliti stranicu BC u razmeri 1:2 a stranicu CA u razmeri 2:3, povezati deone tačke a zatim

izračunati površinu dobijenog trougla.

JEDNAČINA PRAVE

(RAZLIČITI OBLICI)

PODSETIMO SE: Linearna funkcija je funkcija oblika nxky . Grafik ove funkcije je

PRAVA linija. Dakle bilo koja tačka koja pripada grafiku(pravoj) ima koordinate ),( yx koje

zadovoljavaju jednačinu nxky

Primer: Posmatraćemo funkcije

42 xy 22 xy

:0x 4402 y :0x 2202 y

:0y 2420 xx :0y

1220 xx

(0,4) i (-2,0) pripada grafiku(pravoj) (0,2) i (-1,0) pripada

grafiku (pravoj)

kao što vidimo k je uticalo na pravac grafika a n na odsečak na y osi.

x

y

-1

-2

1 2 3 4 5----

-3

-4

4

2

4 3 2 1 0

1

3

Y=2x+

4

Y=2x+

2

***Dakle, jedan od načina da predstavimo pravu jednačinom je

nxky EKSPLICITNI OBLIK

Pri tom je k - koeficijent pravca a n -odsečak na y osi

(iz primera vidimo:

- koeficijenti pravaca kod obe prave su jednaki ( 2k ), tako da obe prave imaju isti pravac-

paralelne su;

-kod prve je n =4 a kod druge n =2 što odgovara odsečcima na y osi )

Koeficijent pravca k je inače jednak tangensu ugla koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom

x ose tgk

*** Pravu mozemo opisati i sledećom jednačinom


III1 matematika

0 CyBxA IMPLICITNI OBLIK

Iz ovako zadate jednačine može se zaključiti sledeće:

-ako je A=0 onda je prava paralelna x osi;

-ako je B=0 onda je prava paralelna y osi;

-ako je C=0 onda prava prolazi kroz koordinatni početak.

*** Prava se može još zadati i sledećom jednačinom

1n

y

m

x SEGMENTNI OBLIK

Pri tom je

m- odsečak na x osi a n- odsečak na y osi

Važno je da se sa bilo kog oblika može preći (odgovarajućom transformacijom) na bilo koji

drugi.

PRIMERI:

1. Kako sa jednog oblika prelazimo na drugi?

Neka je prava zadata u eksplicitnom obliku

42 xy

Ako sve veličine „stavimo“ sa iste strane jednakosti dobijamo

042 yx ,

što predstavlja implicitni oblik A=2, B=-1, C=4.

Odavde proizilazi

42 yx ,

Podelom leve i desne strane jednakosti sa -4 dobija se

1

1

4

2

4

yx 1

42

yx

Ovo je segmentni oblik , pri čemu je m=-2 a n=4

2. Kako proveravamo da li neka tačka pripada zadatoj pravoj?

Neka je prava a zadata na sledeći način 43 xy .

*Da li tačka A(2,3) pripada ovoj pravoj?

U datoj jednačini umesto x-a stavićemo broj 2 a umesto y-a broj 3:

23

463

4233

Ovo je netačna jednakost pa zaključujemo aA .

*Da li tačka B(3,5) pripada ovoj pravoj?

Slično predhodnom primeru :

55

495

4335

Ovo je tačna jednakost pa zaključujemo aB .


III1 matematika

3. Kako formiramo jednačinu prave ako znamo odsečke na koordinatnim

osama?

Formiraćemo jednaćinu prave ako znamo da prava odseca na x i y osi redom odsečke 4 i 3 .

Opredelićemo se za segmentni oblik jer se u tom obliku jasno ističu odsečci.

Kako je odsečak na x osi 4, a na y osi 3 m=4 a n=3 pa jednačina postaje

134

yx

Odavde možemo preći na bilo koji od preostala dva oblika.

4. Kako formiramo jednačinu prave ako znamo ugao koji zaklapa sa x osom i

odsečak na y osi?

Neka je ugao koji prava zaklapa sa x osom (pozitivnim smerom x ose) 60°, a odsečak na y osi

4.

Opredelićemo se za eksplicitni oblik jer se u tom obliku pojavljuje k ( tgk ) i n ( odsečak

na y osi)

4

360

n

ktgk

Dakle , jednačina postaje 43 xy

Odavde možemo preći na bilo koji od preostala dva oblika.

ZADACI: ( razni oblici jednačine prave)

I nivo

1. Transformiši jednačinu prave p

063:);052:);07:);0432:) yxpdyxpcyxpbyxpa u segmentni

oblik i nacrtaj u koordinatnom sistemu datu pravu.

2. Odrediti jednačinu prave koja na apscisnoj osi odseca odsečak 3, a na ordinatnoj -5.

3. Odredi jednačinu prave koja sa x-osom gradi ugao , a na y osi odseca odsečak n :

2,150);8,45);3,120);3,135) ndncnbna

4. Da li tačka P pripada pravoj p:

)4,4(,063:));1,2(,052:));4,3(,07:));0,2(,0432:) PyxpdPyxpcPyxpbPyxpa

?

5. Odrediti tačke u kojima prava 0346 yx seče koordinatne ose.

II nivo

1. Dokazati da središte duši AB gde su A(3,4) i B(5,1), pripada pravoj ,012 yx

2. Prave ;0197;0423;075 yxyxyx obrazuju trougao. Odrediti temena i

površinu trougla.

3. U jednačini 03)25(2 ypx odredi parametar p, tako da grafik prave sa x-osom gradi

ugao od 45 .

4. U jednačini 03453 pxy odredi parametar p, tako da:

)a prava sadrži koordinatni početak; )b prava odseca na ordinatnoj osi odsečak 5

5. Izračunati površinu trougla koga obrazuje sa koordinatnim osama prava 01243 yx .

6. U jednačini 08)1( yppx ,odredi parametar p tako da prava gradi dva puta veći

odsečak na apscisnoj nego na ordinatnoj osi.

7. U jednačini 0)1( pykkx odredi parametre p i k tako da prava sadrži tačku M(2,1) ,

a sa koordinatnim osama gradi trougaopovršine 4.

8. U jednačini 0123 pyx odredi parametar p tako da odsečak prave između koordinatnih


III1 matematika

osa iznosi 5.

MEĐUSOBNI ODNOS (položaj) DVE PRAVE

Dve prave

p: pp nxky i q: qq nxky mogu da :

1. Nemaju zajedničkih tačaka

(PARALELNE SU) : qp // tada važi qp kk

2. Seku se . Tada imaju jednu zajedničku tačku čije su koordinate (x,y) –rešenja sistema

pp nxky

qq nxky

a ugao pod kojim se seku ove prave(tačnije tangens tog ugla) izračunava se po sledećoj

formuli:

qp

pq

kk

kktg

1 odakle se lako nalazi ugao.

Specijalno : Prave mogu da se seku pod pravim uglom

(NORMALNE SU JEDNA NA DRUGU): qp tada važi q

pk

k1

PRIMERI: I Određivanje jednačine prave za koju znamo jednu tačku koja joj

pripada i položaj u odnosu na neku drugu zadatu pravu. 1.Odrediti jednačinu prave p koja sadrži datu tačku P(2,3) i paralelna je sa pravom q:

02 yx .

Rešenje: Treba odrediti jednačinu prave p: pp nxky , dakle treba naći pk i pn .

Šta znamo?

* pp nkpP 23)3,2( .....(1)

* qp // to znači da su im koeficijenti pravaca jednaki .

Pošto je prava q u implicitnom obliku mi je prevodimo na eksplicitni i dobijamo .

. Vidimo da je 1qk odakle zaključujemo da je i 1pk .

Zamenom u jednakosti (1) dobijamo pn 213 , odavde je 5pn .

Dakle jednačina prave p je 5 xy

2. Odrediti jednačinu prave p koja sadrži datu tačku P(1,2) i normalna je sa pravom q:

0132 yx .

Rešenje: ??, pp nk

* pp nkpP 12)2,1( ....(1)

* qp što znači da je q

pk

k1

.

Pošto je prava q u implicitnom obliku mi je prevodimo na eksplicitni i dobijamo

2 xy


III1 matematika

3

1

3

2 xy , Vidimo da je

3

2qk pa je onda

2

3pk .

Zamenom u jednakosti (1) dobijamo: pn 12

32 , odakle je

2

1pn

Dakle jednačina prave p je 2

1

2

3 xy

II Određivanje ugla pod kojim se seku prave p i q

1. Odrediti ugao pod kojim se seku prave 092: yxp i 0143: yxq

Rešenje: obe prave prevodimo na eksplicitni oblik , odakle se vidi da je

3

1,

2

1 qp kk .

Lako se dobija da je 1tg , odakle je jasno da je 45

*JEDNAČINA PRAVE KOJOJ PRIPADAJU DVE TAČKE

Neka su date tačke );(),;( BBAA yxByxA

Ovim tačkama određena je jedna prava na sledeći način )( A

AB

ABA xx

xx

yyyy

Koeficijent pravca date prave određen je relacijom AB

AB

xx

yyk

Primer: Date su tačke )5;0(),4;1( BA . Napisati jednačinu prave koja je određena ovim

tačkama

Rešenje:

59

;499);1(94);1(1

454));1((

)1(0

)4(5)4(

xy

xyxyxyxy

*RASTOJANJE TAČKE OD PRAVE

Neka je data tačka );( AA yxA i prava 0: CyBxAp .

Tada je rastojanje tačke A od prave p dato relacijom 22

),(BA

CByAxpAd

AA

Primer: Data je tačka )1;2(A i prava 073: yxp . Izračunaj rastojanje tačke od prave

Rešenje: 5

106

10

1012

10

12

)1(3

7123),(

2222

BA

CByAxpAd

AA


III1 matematika

Zadaci :

1. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku )3;2( P i paralelna je sa pravom

0223: yxp .

2. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku )3;2( P i normalna je na pravu

0347: yxp .

3. Odrediti jednačinu prave koja sadrži koordinatni početak i normalna je sa pravom

0243: yxp .

4. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku )1;1( A i paralelna je pravoj koja je

određena tačkama )1;2(),6;2( CB .

5. Odrediti jednačinu normale konstruisane u središtu duži čiji su krajevi tačke

)4;3(),1;5( QP

6. Odrediti projekciju tačke )4;6(P na pravu 0354: yxp

7. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih

0465:;023: yxbyxa i paralelna je pravoj 074: yxc


0364:;043: yxbyxa i normalna je na pravu 0625: yxc

9. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presek y-ose i prave 0623: yxp i

paralelna je pravoj 032: yxq


062:;0127: yxbyxa i tačku )4;8( P .

11. Napisati jednačine dijagonala četvorougla čija su temena

)3;2(),8;3(),6;7(),5;4( DCBA .

12. Napisati jednačine težišnih duži trougla čija su temena )2;5(),3;5(),6;1( CBA .

13. Izračunati rastojanje preseka pravih 072:;0523: yxbyxa od prave

01543: yxp

14. U jednačini 04)53()12( pypxp , odrediti p tako da prava bude paralelna sa

:

.)

;)

osomyb

osomxa

analitička geometrija u ravni

Documents