analiza vremenskih serija osnovni pojmoviavs.ekof.bg.ac.rs/master-medjunarodna...
TRANSCRIPT
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
1
Analiza vremenskih serija
Osnovni pojmovi
� Slučajan proces i vremenska serija
� Stacionarnost
� Osnovni modeli stacionarnih vremenskih serija
� Autokorelaciona funkcija (obična i parcijalna)
� Testovi autokorelacije
� Primeri
2
Slučajan proces i vremenska serija
� Slučajan proces: niz slučajnih promenljivih koje su uređene
u odnosu na vreme
� Uobičajena oznaka:
� Vremenska serija:
� I koncept: jedna realizacija slučajnog procesa
� II koncept: ne postoji razlika između vremenske serije i
slučajnog procesa
� Termine koristimo kao sinonime: vremenski niz slučajnih
promenljivih.
,...2,1t,X
,...X,X
t
21
=
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
3
Stacionarnost I
� Stacionarnost vremenske serije: vremenska serija se
kreće po prepoznatljivoj putanji tokom vremena
� Dva koncepta: stroga i slaba stacionarnost
� Definicija slabe stacionarnosti:
( )
( ) 1,2,...k 1,2,..., tcov 3.
1,2,... t
t
===−−=
==−=
===
− ),k()X)(X(EX,X
,const)X(EXvar.2
,...2,1t,const)X(E.1
t-ktktt
2tt
γµµ
µ
µ
4
Stacionarnost II
� Očekivana vrednost i varijansa slabo stacionarne
vremenske serije su invarijantne u odnosu na vreme.
Transliranjem u vremenu ove dve veličine se ne
menjaju.
� Kovarijansa između članova vremenske serije zavisi
samo od rastojanja (docnje), a ne od vremenskog
trenutka. To znači da je za datu docnju k kovarijansa
ista:
( ) 1,2,... tik dato za cov ==− ,constX,X ktt
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
5
Najjednostavniji primer stacionarne
vremenske serije: beli šum
(engl. white noise)
( )
( ) 1,2,...k 1,2,...,t ,0)ee(Ee,ecov
1,2,...t ,const)e(Eevar
,...2,1t ,0)e(E
k-ttktt
22tt
t
====
====
==
−
σ
� Niz nekorelisanih slučajnih promenljivih nulte
srednje vrednosti i stabilne varijanse
6
Gausov beli šum
( )
( )
( ) , ,...2,1t,0:e
,0)ee(E,ee
,const)e(Eevar
,...2,1t,0)e(E
2t
t-ktktt
22tt
t
=
====
⇒
====
==
−
σ
σ
Ν
1,2,...k 1,2,..., tcov
epromenljiv sl. nezavisnesu serije vremenskeČlanovi
1,2,... t
� Niz nezavisnih slučajnih promenljivih koje su normalno raspodeljene sa nultom srednjomvrednošću i stabilnom varijansom
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
7
Gausov beli šum: grafički prikaz
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
-2 -1 0 1 2 3
Series: et
Sample 1 200Observations 200
Mean 0.088759Maximum 2.758193
Minimum -2.604917Std. Dev. 0.951387
-3 . 0
-2 . 5
-2 . 0
-1 . 5
-1 . 0
-0 . 5
0 . 0
0 . 5
1 . 0
1 . 5
2 . 0
2 . 5
3 . 0
2 5 5 0 7 5 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0
G e n e r is a n i G a u s o v be l i s u m (e t)
8
Osnovni modeli
stacionarnih vremenskih serija
� Autoregresioni modeli (AR)
� Modeli pokretnih proseka (MA)
� Autoregresioni modeli pokretnih proseka
(ARMA)
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
9
Opšte forme modela stacionarnih
vremenskih serija
� AR(p) model
� MA(q) model
� ARMA(p,q) model
� Parametri modela su:
qtq2t21t1t
ptp2t21t1t
e...eee
X...XXX
−−−
−−−
−−−−
++++=
θθθ
φφφ
tptp2t21t1t eX...XXX ++++= −−− φφφ
qtq2t21t1tt e...eeeX −−− −−−−= θθθ
q21p21 ,...,,,,...,, θθθφφφ
10
Primer AR(1) modela
- 5
- 4
- 3
- 2
- 1
0
1
2
3
4
5
5 0 1 00 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0
X t= 0.7* X t-1+ e t
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0
X t= -0 .7 * X t-1+ e t
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
11
Primer MA(1) modela
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
50 100 150 200 250 300 350 400
Xt=et+0.8et-1
-4.0
-3.5
-3.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
50 100 150 200 250 300 350 400
Xt=et-0.8et-1
12
Uslov stacionarnosti I
� Relevantan kod AR modela i ARMA modela
� AR(p) model:
� AR modelu reda p može se pridružiti karakteristična jednačina oblika:
� gde g1, g2,..., gp označavaju rešenja (korene) karakteristične jednačine.
� Stacionarnost vremenske serije koja je opisana AR(p) modelom zavisi od rešenja karakteristične jednačine g1, g2,..., gp.
tptp2t21t1t
tptp2t21t1t
eX...XXX
eX...XXX
=−−−−
++++=
−−−
−−−
φφφ
φφφ
0...ggg p2p
21p
1p =−−−− −− φφφ
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
13
Uslov stacionarnosti II
Može se pokazati da važi sledeća teorema:
� Ukoliko su svi koreni g1, g2,..., gp po modulu strogo manji od jedan, onda je vremenska serija stacionarna.
� Ukoliko postoji bar jedan koren gi, i=1, 2,..., p, koji je jednak vrednosti jedan po modulu, dok su drugi koreni strogo manji od jedan po modulu, onda je vremenska serija nestacionarna. Takva vremenska serija se uobičajeno naziva vremenska serija sa jediničnim korenom.
� Ukoliko postoji bar jedan koren gi, i=1,2,...,p, koji je po modulu strogo veći od jedan, dok su drugi strogo manji od jedan, tada je vremenska serija eksplozivna. To znači da je vremenska serija pod uticajem kumulisanog dejstva trajno rastućeg efekta neočekivanih slučajnih šokova.
14
Uslov stacionarnosti kod AR(1) modela:
autoregresioni parametar je po modulu
strogo manji od jedan,
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
.σ
...σ) (Xvar
. Tada je:i je da vaz neophodnoa konacna,ijansa bilvarDa bi
...σ...eeeevar) (Xvar
...eeee
...
eeeX
eeX
eX X
t
ttttt
tttt
tttt-
ttt-
tt-t
21
2
21
1
1
61
41
21
2
1
61
41
21
23
312
2111
3312
2111
1123121
1211
11
11
1
1
φφφφ
φ
φφφφφφ
φφφ
φφφ
φφ
φ
φ
−=++++=
<
++++=++++=
++++=
=
+++=
++=
+=
−
−−−
−−−
−−
−
444 3444 21
1<1φ
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
15
Obična i parcijalna
autokorelaciona funkcija
� Kako utvrditi koji od modela odgovara datom skupu podataka? Potrebno je da analiziramo korelacionu strukturu podatka.
� Autokorelacioni koeficijent (obični) na docnji k:
� Niz ρ1, ρ2,… predstavlja običnu autokorelacionu funkciju.
� Grafički prikaz niza ρ1, ρ2,… naziva se obični korelogram.
� EVIEWS oznaka: AC.
=<
==⇒≤
=
==
−
−
−
−
,...2,1k,1
0k,1)Xvar()X,Xcov(
)Xvar(
)X,Xcov(
,...2,1k,)Xvar()Xvar(
)X,Xcov(
k
k
tktt
t
kttk
ktt
kttk
ρ
ρ
ρ
ρ
16
Obična autokorelaciona funkcija
jednostavnih AR i MA modela
Model Uslov
stacionarnosti
Obična autokorelaciona funkcija
Beli šum, MA(0) Uvek
stacionarnaρk=0, k=1,2,…
AR(1), 0<ф1<1
Xt=ф
1X
t-1+e
t
ρk=ф1k, k=1,2,…
Opada po eksponencijalnoj putanji
AR(1), -1<ф1<0
Xt=ф
1X
t-1+e
t
ρk=ф1k, k=1,2,…
Opada po oscilatornoj putanji
(menja znak za svako k).
MA(1), 0<θ1<1
Xt=e
t-θ
1e
t-1
Uvek
stacionarnaρ
1= -θ
1/(1+ θ
12) < 0,
ρk=0, k=2,3,…
MA(1), -1<θ1<0
Xt=e
t-θ
1e
t-1
ρ1= -θ
1/(1+ θ
12) > 0,
ρk=0, k=2,3,…
11 <φ
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
17
Opšti oblik obične autokorelacione
funkcije AR i MA modela
Model Obična autokorelaciona funkcija
AR(p) Opada tokom vremena po
eksponencijalnoj, oscilatornoj ili
sinusoidnoj putanji.
MA(q) ρ1≠0, ρ2≠0,..., ρq≠0, ρk=0 za k>q.
Jednaka je nuli za docnje veće od reda
modela.
18
Parcijalna autokorelaciona funkcija
� Stepen korelisanosti između Xt i Xt-k smo merili na osnovu običnog autokorelacionog koeficijenta na docnji k.
� Autokorelacioni koeficijent na docnji k može biti pod uticajem korelisanosti Xt i Xt-k sa članovima vremenske serije na docnjama između vremenskih trenutaka t i t-k (Xt-1, Xt-2,…,Xt-k+1).
� Eliminacijom uticaja Xt-1, Xt-2,…, Xt-k+1 dobija se pokazatelj čiste korelisanosti između Xt i Xt-k , koji se naziva parcijalni autokorelacioni koeficijent.
� Ovaj koeficijent na docnji k označava se sa φkk.
� Niz φ11 φ22, ... predstavlja parcijalnu autokorelacionu funkciju.
� Grafički prikaz niza φ11 φ22, ... naziva se parcijalni korelogram.
� EVIEWS oznaka: PAC.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
19
Parcijalna autokorelaciona funkcija
(definicija na osnovu regresione analize)
( )
( )
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( ),...,k,
X̂XvarX̂Xvar
X̂X,X̂Xcov
:X̂XX̂X
.
.X,...,X,XXX̂X
X,...,X,XXX̂
X,...,X,XX.
.X,...,X,XXX̂X
X,...,X,XXX̂
X,...,X,XX.
ktkttt
ktktttkk
ktkttt
ktttktktkt
ktttktkt
ktttkt
ktttttt
kttttt
ktttt
21
i
izmedjut koeficijen cioniautokorela obicni kao se definisek docnji nat koeficijen cioniautokorela Parcijalni 3
uticaj iskljucen je koga iz deo je
dejstvo obuhvata koji deo je
ONK metoda primenom od funkcijiu ocenjujemo 2
uticaj sadrzi ne koji deo je
uticaj sadrzi koji deo je
ONK metoda primenom od funkcijiu ocenjujemo 1
121
121
121
121
121
121
=−−
−−=
−−
−⇒
⇒
−⇒
⇒
−−
−−
−−
+−−−−−−
+−−−−−
+−−−−
+−−−
+−−−
+−−−
φ
20
Parcijalna autokorelaciona funkcija
jednostavnih AR i MA modela
Model Dodatni opis Parcijalna
autokorelaciona funkcija
Beli šum, MA(0) Nekorelisan
proces φkk=0, k=1,2,…
AR(1), 0<ф1<1
Xt=ф
1X
t-1+e
t
Izmedju Xt
Xt-1nema
dodatnog
uticaja
φ11=ρ1=φ1 ,k=1
φkk=0, k=2,3,...
AR(1), -1<ф1<0
Xt=ф
1X
t-1+e
t
φ11=ρ1 =φ1, k=1
φkk=0, k=2,3,...
MA(1), 0<θ1<1
Xt=e
t-θ
1e
t-1
Poseduje AR
reprezentaciju
beskonačnog
reda.
Opada tokom vremena po
eksponencijalnoj putanji.
MA(1), -1<θ1<0
Xt=e
t-θ
1e
t-1
Opada tokom vremena po
oscilatornoj putanji.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
21
Opšti oblik obične i parcijalne autokorelacione
funkcije AR i MA modela
Model Obična autokorelaciona
funkcija
Parcijalna autokorelaciona
funkcija
AR(p) Opada tokom
vremena po
eksponencijalnoj,
oscilatornoj ili
sinusoidnoj putanji
φ11≠0, φ22≠0,..., φpp≠0,
φkk=0 za k>p.
Jednaka je nuli za docnje
veće od reda modela
MA(q) ρ1≠0, ρ2≠0,..., ρq≠0,
ρk=0 za k>q.
Jednaka je nuli za
docnje veće od reda
modela
Opada tokom vremena
po eksponencijalnoj,
oscilatornoj ili
sinusoidnoj putanji
22
Testovi autokorelacije u vremenskoj seriji
1. Da li postoji autokorelacija na tačno određenoj docnji k?
H0: ρk=0, H1: ρk≠0 ili
(H0: φkk=0, H1: φkk≠0)
2. Da li postoji autokorelacija na svim docnjama zaključno do m?
H0: ρ1= ρ2 =...= ρm =0,
H1: Bar jedan od autokorelacionih
koeficijenata je različit od nule.
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
23
Testovi autokorelacije u vremenskoj seriji II
Ocena običnog/parcijalnog autokorelacionog koef.
( )
[ ] [ ]
. ocenu za i vazesvojstva Navedena
950/9611.96/-P9509611.96-P
0,1N
T
1
0
T
10,N
: vazi velikodovoljno za 0 docnji na
korelacija postoji ne da kompretpostav Pod 2.
seriju)u u vremenskstacionarn za uslovima opstim dovoljno (pod
ocena nakonzistent ali ,pristrasna je 1.
21
sredina aaritmetick obimaUzorak
1
2
1
21
kk
kk
kk
k
k
k
T
tt
kt
T
ktt
k
T
ˆ
.T.ˆT..Tˆ
:Tˆˆ
z:ˆ
T)(k
ˆ
T,...,k,
)XX(
)XX()XX(
ˆ
X,X,...,X,X:T
φ
=≤ρ≤⇒=≤ρ≤⇒
ρ=−ρ
=⇒
ρ
=ρ
ρ
−=
−
−−
=ρ
−
∑=
−∑+=
24
Da li postoji značajna autokorelacija na docnji k?
(H0: ρρρρk=0, H1: ρρρρk≠0)
� Validnost hipoteze H0: ρk=0 se testira protiv alternativne H1: ρk≠0, tako što se proverava da li je ocena običnog autokorelacionog koeficijenta na docnji k element intervala [-1.96/√T, 1.96/√T].
� Nulta hipoteza se ne može odbaciti ako je:
� Nulta hipoteza se odbacuje za nivo značajnosti 5% ako je:
[ ]T1.96/ ,T1.96/-∈kρ̂
[ ]T1.96/ ,T1.96/-∉kρ̂
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
25
Da li postoji značajna autokorelacija na docnji k?
(H0: φφφφkk=0, H1: φφφφkk≠0)
� Validnost hipoteze H0: φφφφkk=0 se testira protiv alternativne H1:
φφφφkk≠0 tako što se proverava da li je ocena parcijalnog autokorelacionog koeficijenta na docnji k element intervala [-1.96/√T, 1.96/√T].
� Nulta hipoteza se ne može odbaciti ako je:
� Nulta hipoteza se odbacuje za nivo značajnosti 5% ako je:
�
[ ]T1.96/ ,T1.96/-ˆkk ∈φ
[ ]T1.96/ ,T1.96/-ˆkk ∉φ
26
Da li postoji značajna autokorelacija zaključno sa docnjom m?(H0: ρρρρ1= ρρρρ2 =...= ρρρρm =0, H1: H0 nije tačno)
� Box-Pierce-ova, BP(m), i Box-Ljung-ova, BLj(m), test-statistika:
� Nulta hipoteza se odbacuje uz nivo značajnosti 5% � ako je Q(m) veće od korespondirajuće kritične vrednosti hi-kvadrat
raspodele sa m stepeni slobode (χ2m) i nivo značajnosti 5%.
� ako je korespondirajuća p-vrednost manja od 5%.
� Broj m se definiše kao funkcija od T:
∑
∑
=
=
−+==
=
m
1i
2m
2
i
m
1i
2m
2
i
:iT
ˆ)2T(T)m(Q)m(BLj
:ˆT)m(BP
χρ
χρ
)Tln(,T,T 2
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
27
Testovi autokorelacije: važna
napomena
� Svi navedeni testovi mogu se koristiti u klasičnom regresionom modeliranju kada se proverava kvalitet ocenjenog modela.
� Testovi se primenjuju na vremensku seriju reziduala.
� Broj stepeni slobode u primeni BP i BLj test-statistika je razlika između broja ocenjenih običnih autokorelacionih koeficijenata (m) i broja ocenjenih parametara modela.
2828
Primeri:
primena autokorelacione funkcije
1. Izračunavanje ocena autokorelacionih
koeficijenata i korespondirajućih standardnih
grešaka na osnovu podataka vremenske serije
2. Provera da li je konkretna vremenska serija
beli šum
3. Izbor adekvatnog modela za osnovnu inflaciju
u Srbiji
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
29
Primer 1 (naredna 4 slajda)
� Sledeća tabela sadrži podatke o 12 opservacija
vremenske serije.
� Oceniti obične autokorelacione koeficijente na
docnjama 1 i 2.
� Izračunati standardne greške ocena
autokorelacionih koeficijenata na docnjama 1 i 2.
� Testirati značajnost prva dva obična
autokorelaciona koeficijenta.
t
1 13 -3 -- --
2 16 0 -3 --
3 18 2 0 -3
4 14 -2 2 0
5 11 -5 -2 2
6 10 -6 -5 -2
7 8 -8 -6 -5
8 16 0 -8 -6
9 20 4 0 -8
10 20 4 4 0
11 24 8 4 4
12 22 6 8 4
T=12 Zbir:192 Zbir:0
tX XtX − X1tX −− X2tX −−
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
t
1 9 -- --
2 0 0 --
3 4 0 -6
4 4 -4 0
5 25 10 -10
6 36 30 12
7 64 48 40
8 0 0 0
9 16 0 -32
10 16 16 0
11 64 32 32
12 36 48 24
T=12 Zbir: 274 Zbir: 180 Zbir: 60
( )2t XX − ( )XtX − ( )X1tX −− ( )XtX − ( )X2tX −−
( )( )
( )
( )( )
( )219.0
274
60
XX
XXXX
ˆ
657.0274
180
XX
XXXX
ˆ
12
1t
2t
12
3t2tt
2
12
1t
2t
12
2t1tt
1
==
−
−−
=
==
−
−−
=
∑
∑
∑
∑
=
=−
=
=−
ρ
ρ
( ) ( ) ( )( )
=
=⇒====
289.0ˆsII
289.0ˆsI083.0
12
1
T
1ˆsˆs
2
12
21
2
ρ
ρρρ
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
Ocena autokorelacionog
koeficijenta
0.657 0.219
Standardna greška ocene 0.289 0.289
Interval poverenja
(95% verovatnoća)
(-1.96*0.289, 1.96*0.289);
(-0.566;0.566)
Nulta hipoteza H0: ρ1=0 H0: ρ2=0
Ispitivanje validnosti H0
Zaključak H0 se
odbacuje.
H0 se ne
odbacuje.
[ ]566.0657.0 ±∉ [ ]566.0219.0 ±∈
34
Primer 2 I
� Na osnovu 164 podataka vremenske serije nulte srednje
vrednosti i stabilne varijanse ocenjeni su sledeći autokorelacioni koeficijenti (redom na docnjama od 1 do 10):
� Da li se može smatrati da je vremenska serija proces beli šum?
-0.009 0.456 -0.069 -0.040 -0.073 -0.049 -0.062 -0.059 0.045 -0.038
1ρ̂ 2ρ̂ 3ρ̂ 4ρ̂ 5ρ̂ 6ρ̂ 7ρ̂ 8ρ̂ 9ρ̂ 10ρ̂
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
35
Primer 2 II
� Vremenska serija nulte srednje vrednosti i stabilne varijanse jeproces beli šum ukoliko njeni članovi nisu korelisani: autokorelacioni koeficijenti na docnjama različitim od nule su jednaki nula.
� Potrebno je proveriti valjanost nulte hipoteze H0: ρk=0, protiv alternativne H1: ρk≠0, k=1,2,...,10.
� Ukoliko se nulta hipoteza ne može odbaciti ni za jednu od prvih deset docnji, tada u vremenskoj seriji ne postoji značajna autokorelacija. To sugeriše adekvatnost belog šuma.
� Odgovarajući interval poverenja sa verovatnoćom 95% je
� Zaključujemo da vremenska serija nije beli šum.
[ ]153.0;153.0−
∉= 456.02ρ̂ [ ]153.0;153.0−
3636
Primer 2 III
� Grafički prikaz ocena autokorelacionih koeficijenata (korelogram) omogućava brzo zaključivanje.
� Napomena: isprekidane linije označavaju granice intervala poverenja uz verovatnoću 95%, [ ]153.0;153.0−
-.2
-.1
.0
.1
.2
.3
.4
.5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
AC
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
37
-.010
-.005
.000
.005
.010
.015
.020
.025
2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Osnovna inflacija u Srbiji
Primer 3: analiza korelacione strukture osnovne
inflacije privrede Srbije, 2002:2-2008:3 (T=74) I
38
Primer 3: analiza korelacione strukture osnovne
inflacije privrede Srbije, 2002:2-2008:3 (T=74) II
Docnja Ocena običnog Značajna korelacija
(k) autokorel.koeficijenta
� 1 0.493 DA
� 2 0.355 DA
� 3 0.338 DA
� 4 0.275 DA
� 5 0.101 NE
� 6 0.166 NE
� 7 0.127 NE
� 8 0.025 NE
� Interval poverenja sa verovatnoćom 0.95: [-0.23;0.23]
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
39
Primer 3: analiza korelacione strukture osnovne
inflacije privrede Srbije III
Docnja Ocena parcijalnog Značajna korelacija
(k) autokorel. koeficijenta
� 1 0.493 DA
� 2 0.148 NE
� 3 0.157 NE
� 4 0.047 NE
� 5 -0.145 NE
� 6 0.117 NE
� 7 -0.010 NE
� 8 -0.078 NE
� Interval poverenja sa verovatnoćom 0.95: [-0.23;0.23]
� Zaključak: ovu seriju verovatno treba modelirati na osnovu AR(1) forme.
40
Primer 3: analiza korelacione strukture osnovne inflacije
privrede Srbije IV (analiza reziduala iz AR(1) modela)
� Autokorelacioni koeficijenti vremenske serije reziduala iz AR(1) modela (sa konstantom) ukazuju na to da je ocenjenim modelom obuhvaćena autokorelacija u seriji osnovne inflacije, jer nije prisutna u rezidualima.
� Docnja Ocena običnogautokorel.koeficijenta
� 1 -0.059
� 2 0.033
� 3 0.145
� 4 0.174
� 5 -0.120
� 6 0.113
� 7 0.091
� 8 -0.129
� Interval poverenja sa verovatnoćom
0.95: [-0.23;0.23].
-.015
-.010
-.005
.000
.005
.010
.015
-.010
-.005
.000
.005
.010
.015
.020
.025
2002 2003 2004 2005 2006 2007
Reziduali Stvarno kretanje osnovne inflacijeKretanje osnovne inflacije ocenjeno prema AR(1) modelu (ocena AR(1) parametra 0.49)
Profesor Zorica Mladenović
Ekonomski fakultet, Beograd, 12/2010.
41
Primer 3: analiza korelacione strukture osnovne inflacije
privrede Srbije V (analiza reziduala iz AR(1) modela)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
8. reda cijaautokorela zbirna postoji nemodelu U
odbacuje. ne se H59120506988
873
1290
773
0910
673
1130
573
1200
473
1740
373
1450
273
0330
173
0590
75738
tacnonije H :H 0, ... :H
73,T je sada :konstantom sa modela AR(1) iz reziduala Serija
2
tacnonije H :H 0, ... :H
026
22222222
018210
22
1
22
01m210
⇒=<=
−
−+
−+
−+
−
−+
−+
−+
−+
−
−∗
∗=
====
=
−+==
====
−
∑=
.).(.)(Q
........
)(Q
:)m(Q
:iT
ˆ)T(T)m(Q)m(BLj
m
m
im
i
χ
ρρρ
χ
χρ
ρρρ