1

เรขาคณต

วเคตร

าะห

ระบบ

แกนพ

กดฉาก

ระยะทางระห

วางจด

2 จด

การห

าจดแ

บงระหว

าง

จด 2

จด

• จด

กงกล

าง

• จด

แบงเป

นอต

ราสว

น

เสนต

รง

• คว

ามชน

•

ระยะตด

แกน

• สม

การเส

นตรง

•

เสนข

นานแ

ละเสน

ตงฉาก

• ระยะทางจากจด

ไปยงเสนต

รง

• ระยะทางระห

วาง

เสนข

นาน

ภาคต

ดกรวย

วงกล

ม

• นย

าม

• จด

ศนยกลาง,ร

ศม

• สม

การวงกลม

พาราโบลา

• นย

าม

• จด

โฟกส

,จดยอด,

ไดเรก

ตรก

• สม

การพ

าราโบล

า •

เลตส

เรกตม

วงร

• นย

าม

• จด

ศนยกลาง,จ

ดโฟก

ส,แก

นเอก

,แกนโ

ท,คว

ามเยอ

งศนย

กลา

• สม

การวงร

• เลตส

เรกตม

ไฮเปอรโบลา

• นย

าม

• จด

ศนยกลาง,จ

ดจดโฟก

ส,จด

ยอด,แ

กนตามข

วาง,

แกนส

งยค,เ

สนกากบ

•

สมการไฮเป

อรโบ

ลา

• เลตส

เรกตม

โจทย

ปญหา

2

เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย

1.ระบบแกนพกดฉาก

ประกอบไปดวยแกน 2 แกน คอ แกนนอน และ แกนตง โดยแกนนอนคอ แกน x และแกนตงคอแกน y โดยทง 2 แกนตดกนเปนมมฉาก และเรยกจดตดดงกลาววาเปน จดกาเนด เราใชสญลกษณ (x,y) แสดงตาแหนงของจดบนแกนพกดฉาก xy โดยเรยก x วา “พกดแรก” และเรยก y วา “พกดหลง” โดยแกน x และ y จะแบงระนาบพกดออกเปน 4 สวน คอ Q1 เรยกวา ควอดรนตท 1 Q2 เรยกวา ควอดรนตท 2 Q3 เรยกวา ควอดรนตท 3 และ Q4 เรยกวา ควอดรนตท 4 2.การหาระยะระหวางจด 2 จด

ถา P(x1,y1) และ Q(x2,y2) เปนจด 2 จดในระนาบ ระยะทางระหวางจด P และ จด Q สามารถหาไดโดยใชสตรดงน

Q1 Q2

Q3 Q4

3

2 2

2 1 2 1( ) ( )PQ x x y y= − + −

1 1( , )P x y ตวอยาง เชน

1. ระยะทางระหวางจด (2,7) และ (3,5) คอเทาใด วธทา คอ 2 2(3 2) (5 7)− + −

2 21 ( 2)

5

= + −

=

2. ระยะทางระหวางจด (0,0) และ (3,4) คอเทาใด วธทา คอ 2 2(0 3) (0 4)− + −

2 2( 3) ( 4)

9 16

255

= − + −

= +

==

3.การหาจดแบงระหวางจด 2 จด

3.1 จดกงกลาง ถากาหนดให P(x1,y1) และ Q(x2,y2) เปนจด 2 จด จดกงกลางระหวางจด 2 จด คอ

1 2 1 2( , )2 2

x x y y+ +

•

•2 2( , )Q x y

2 22 1 2 1( ) ( )PQ x x y y= − + −

4

ตวอยาง เชน 1. จงหาจดกงกลางของ (3,6) กบ (5,12)

วธทา จดกงกลาง = 3 5 6 12( , )

2 2+ +

(4,9)= 2. จงหาจดกงกลางของ (4,4) และ (5,5)

วธทา จดกงกลาง = 4 5 4 5( , )

2 2+ +

9 9( , )2 2

=

3.2 จดแบงระหวางเสนตรงทไมแบงครง เชน ถากาหนดใหจด P(x1,y1) และ Q(x2,y2) จดแบงเสนตรง PQ ออกเปนอตราสวน m:n จะมพกด (x,y) ดงน

1 2

1 2

x m x nxm n

y m y nym n

+=

++

=+

ตวอยาง เชน

1. กาหนดจด P(1,2) และ Q(5,4) จงหาจดแบงเสนตรง PQ ทแบงเสนตรง PQ ออกเปนอตราสวน 1:3 ดงรป

•

••

2 2( , )Q x y

1 1( , )P x y m n

5 วธทา จากรปจด R(x,y) เปนจดแบงเสนตรง PQ ออกเปนอตราสวน 1:3

จากสตร (1)(3) (5)(1)

1 3x +=

+

4 5

4x +=

94

x∴ =

และ (2)(3) (4)(1)

1 3y +=

+

6 44

104

52

y

y

y

+=

=

∴ =

2. ให C(x,y) เปนจดซงแบงสวนของเสนตรงทมจดปลายท P(3,7) กบ Q(-3,4)

ออกเปนอตราสวน 23

PCPQ

= จงหาจด C

วธทา 1) วาดรป

•1 3

•

•

(1, 2)P

(5, 4)Q

( , )R x y

2

( 3, 4)Q −

(3,7)P

( , )C x y

••

•

3

••

•( 3, 4)Q −

( , )C x y

(3,7)P

1 2

6

2) ใชสตร

( 3)(2) (3)(1)1 2

6 33

33

1

x

x

x

x

− +=

+− +

=

−=

∴ = −

(4)(2) (7)(1)1 2

8 73

153

5

y

y

y

y

+=

++

=

=

∴ =

3) ∴ จด C เทากบ (-1,5) 4.เสนตรง

4.1) ความชน ความชน คอความเอยงของเสนตรงในระนาบพกดฉาก มคาอยในชวงของจานวนจรงทมคาเปนบวก ศนย และลบ สตรทใชในการหาคาความชน เราใชสญลกษณ m=ความชน , เราตองทราบจด 2 จด เราถงจะรคาความชนของเสนตรงทเชอมจด 2 จดนน ดงรป

θ θ

θ = มมแหลม θ = 0 องศา θ = มมปาน

2 2( , )Q x y

1 1( , )P x y •

•2 1

2 1

y ymx x−

=−

7

4.2) ระยะตดแกน เสนตรงในระบบพกดฉาก จะมระยะตดแกน คอ ระยะตดแกน x และระยะตดแกน y

ยกเวน เสนตรงในแนวนอนและแนวตง ตวอยางดงรป 4.3) สมการเสนตรง

เราสามารถเขยนสมการเสนตรงโดยมความสมพนธกบ ความชน(m) และระยะตดแกน y ไดดงนคอ เชน y=3x+4 สามารถวาดสมการสนตรงในระบบพกดฉากไดคอเปนเสนตรงทมความชนเทากบ 3(เปนบวก→ มมแหลม) และมระยะตดแกน y เทากบ 4 นอกจากจะเขยนสมการเสนตรงในรป y=mx+c แลว ยงสามารถเขยนสมการเสนตรงไดในรปแบบ Ax+By+C=0 เมอ A,B และ C เปนจานวนจรง เชน 3x+4y+5=0 วธการวาดกราฟกแทน x=0 แลวหาคา y 3(0)+4y+5=0 4y+5=0

ระยะตดแกน y

ระยะตดแกน x

y mx c= +

ระยะตดแกน y = 4

3 4y x= +

54

y −=

8

หลงจากนนแทน y=0 และหาคา x 3x+4(0)+5=0 3x+5=0

นาจดทง 2 จด คอ 5(0, )

4−

และ 5( ,0)

3−

มาเขยนกราฟเสนตรงไดดงน

หรอจะแปลง 3x+4y+5=0 ใหอยในรป y=mx+c คอ

3x+4y+5=0 3 5

4 4y x−= −

วาดกราฟไดเหมอนกน ดงรป 4.4) เสนขนานและเสนตงฉาก เสนขนาน คอ เสนตรง 2 เสนจะขนานกน กตอเมอ มความชนเทากน

53

x −=

3 4 5 0x y+ + =

3 4 5 0x y+ + =

9

เสนตงฉาก คอ เสนตรง 2 เสน จะตงฉากกน กตอเมอ ความชนคณกนได -1

ตวอยาง เชน

1. จงพจารณาวา เสนตรง y=3x+5 และ y=3x-1 ขนานกนหรอไม วธทา

1) หาความชนของเสนตรงทง 2 เสน

2) เสนตรงทง 2 เสนขนานกน

2. จงพจารณาวาเสนตรง 3x+4y=5 และ 6x+8y=7 ขนานกนหรอไม วธทา 1) หาคาความชนของเสนตรงทง 2 เสน

2) เสนตรงทง 2 เสนขนานกน

3 5y x= + 3m =

3 1y x= − 3m =

ความชนเทากน

3 4 5x y+ = 3 54 4

y x−= +

34

m −=

6 8 7x y+ = 6 78 8

y x−= +

6 78 8

y x−= +

34

m −=

ความชนเทากน

10

3. จงพจารณาวา เสนตรง 3x+4y=2 และ 4x-3y=2 ตงฉากกนหรอไม วธทา 1) หาคาความชนของเสนตรงทง 2 เสน

2) เสนตรงทง 2 เสนตงฉากกน 4.5) ระยะทางจากจดไปยงเสนตรง

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+

เมอ d = ระยะทางจากจด (x1,y1) ไปยงเสนตรง Ax+By+C=0 ตวอยาง เชน

1. จงหาระยะทางจากจด (1,1) ไปยงเสนตรง 2x+3y-1=0 วธทา

1) เทยบ 2x+3y-1=0 กบ Ax+By+C=0

3 4 2x y+ = 3 24 4

y x−= +

34

m −=

4 3 2x y− = 4 23 3

y x= + 43

m =

3 4 14 3−⎛ ⎞⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

0Ax By C+ + =

1 1( , )x y •d

11

2) ทราบคา A,B และ C หมดทกตว รวมทงคา (x1,y1) ใชสตร

2 2

2(1) 3(1) 1

2 3413

413

d

d

d

+ −=

+

=

∴ =

4.6) ระยะทางระหวางเสนขนาน

1 2

2 2

C Cd

A B

−=

+

เมอ d = ระยะหางระหวางเสนตรง Ax+By+C1=0 และ Ax+By+C2=0 ตวอยาง เชน

1. จงหาระยะทางระหวางเสนขนาน 3x+4y-5=0 และ 3x+4y-4=0 วธทา

1) 1 2

2 2

C Cd

A B

−=

+

2) A=3 , B=4 ,C1=-5 และ C2=-4

3) แทนคา 2 2

5 ( 4)

3 4d

− − −=

+

1 1

525d

−∴ = =

2, 3A B= = และ 1C = −

12

แบบฝกหด

1. จงหาระยะหางระหวางจด 2 จด ตอไปน 1.1) 1 2(2, 4), (2, 5)P P − 1.2) 1 2(3,7), (6,7)P P 1.3) 1 2(4, 1), (7, 3)P P− − 1.4) 1 2(4,5), (1,1)P P

13

2. ถาระยะหางระหวางจด (2,3) และ ( ,0)k เปน 5 หนวย จงหาคา k

3. จงหาระยะหางระหวางจด (5,9) กบแกน x , แกน y และจดกาเนด

4. จงหาคา y ถา (4, )y อยหางจากจด ( 5, 2)− และ (13, 6)− เปนระยะเทากน

14

5. ใหหาจด P บนแกน x ซงอยหางจากจด 1(1, 2)P − และ 2 (3,5)P เปนระยะทางเทากน

6. จงพจารณาขอความตอไปนถกหรอไม 6.1) จด (1, 2), ( 3,10)D E − และ (4, 4)F − อยบนเสนตรงเดยวกน 6.2) จด ( 2,3), ( 6,1)A B− − และ ( 10, 1)C − − อยบนเสนตรงเดยวกน

15

6.3) จด (10,5), (3, 2)A B และ (6, 5)C − เปนจดมมของสามเหลยมมมฉาก

7. จงหาจดกงกลางระหวางจด ( 4,6)− และ (5, 2)−

8. จด M เปนจดกงกลางของสวนของเสนตรง PQ จงหาพกดของ P ถา 8.1) M มพกดเปน (1, 2) และ Q มพกดเปน (3, 4)

16

8.2) M มพกดเปน (5,6) และ Q มพกดเปน (15, 4)−

9. จงหาพกดของจดปลายเสนมธยฐานของรปสามเหลยมทมจดยอดท (9,0), (2, 4)A B − และ ( 3,1)C −

17

10. (5,7), ( 3,9), (9, 4)A B C− − เปนจดยอดของสามเหลยมรปหนง จงหาความยาวของเสนมธยฐานจากจด B ไปยงดาน AC

11. กาหนดจด ( 1,0)A − และ (2, 4)B จงหาพกดของจด P เมอ P อยบนสวนของเสนตรง AB ททาให : 2 :1AP PB =

18

12. จงหาพกดของจด M เมอ M อยบนสวนของเสนตรง AB ซง (2,5)A และ (6,3)B และทาให : 3 : 4AM MB =

13. จงหาจดทอยหางจากจด (3,5) เปน 2 เทาของระยะหางจากจด (2, 4) และจดนอยบนเสนเชอมจดทงสอง

19

14. จงหาความชนของเสนตรงทผานจด ( 2,3)− และ ( 1,5)−

15. จงหาคา x ททาใหเสนตรงทผานจด (4, )A x และจด ( 1, 2)B − − มความชน

เทากบ 13

−

16. จงหาคา x ททาใหเสนตรงทผานจด ( 2, 2)C x− + และจด (1 3 ,3)D x− มความชนเทากบ 4−

20

17. เสนตรงเสนหนงมความเอยงเปน 60 จะมความชนเทากบเทาใด

18. เสนตรงทผานจด ( ,7)K และ ( 3, 2)− − ขนานกบเสนตรงทผานจด (3, 2)และ (1, 4)− จงหาคา K

19. เสนตรงทผานจด ( ,7)K และ ( 3, 2)− − ตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3, 2)และ (1, 4)− จงหาคา K

21

20. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3,1) และมความชนเทากบ 12

21. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด ( 1, 2)− และ (3, 4)

22. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด ( 1,0)− และขนานกบเสนตรงทผานจด (1, 2) และ (3, 4)

22

23. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงทผานจด ( 1, 4)− − และตงฉากกบเสนตรงทผานจด ( 1,3)− และ ( 2, 2)− −

24. จงหาความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงเมอกาหนดความชนเปน 32 และระยะตดแกน

y เปน -5

25. จากสมการเสนตรงตอไปน เสนตรงมความชนเทาใด และมระยะตดแกน y ใด 25.1) 4 6y x= +

25.2) 3 42

y x= −

25.3) 4 8 4y x= −

23

26. จงแสดงวาเสนตรง 3 2 6y x= − ขนานกบเสนตรง 2 13

y x= +

27. จงแสดงวาเสนตรง 2 8x y+ = ตงฉากกบเสนตรง 1 52

y x= −

28. จงบอกความชนของเสนตรงตอไปน พรอมทงบอกจดตดแกน x และแกน y 28.1) 2 3 6x y− = 28.2) 4 8x y− = 28.3) 2 4 0y + =

24

29. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (7,5) และขนานกบเสนตรง 2 12 0x y+ + =

30. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (3, 2) และตงฉากกบเสนตรง 2 12 0x y+ + =

31. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 7 11 0x y− − = และผานจดทเสนตรง7 11 0x y− − = ตดกบเสนตรง 3 5 7 0x y+ − =

25

32. จงหาระยะระหวางเสนตรง 6 8 4 0x y− + = กบจด (2, 3)−

33. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3 4 7 0x y− + = และอยหางจากจด (5, 2)− เปนระยะ 4 หนวย

34. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 4 3 26 0x y− + = และอยหางจากจด (8,8) เปนระยะ 2 หนวย

26

35. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 12 5 7y x= − และอยหางจากจด ( 1, 2)− เปนระยะ 3 หนวย

36. จงหาระยะระหวางเสนคขนานตอไปน 36.1) 3 4 7 0x y+ − = และ 3 4 3 0x y+ + = 36.2) 3 4 7 0x y− − = และ 6 8 16 0x y− + =

27

37. ถาเสนตรง 12 5 10 0x y− − = เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนง ซงอยหางกน 8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน

38. กาหนดเสนตรง 1 : 2 3 24 0L x y+ − = ใหหาสมการเสนตรงทหางจาก 1L เปนระยะทาง 2 13 หนวย

28

5.ภาคตดกรวย

5.1) วงกลม กราฟวงกลม คอ กราฟทมทางเดนของจดหางจากจดคงท จดหนง เปนระยะทางคงท เราเรยกจดคงทนวา “จดศนยกลางของวงกลม” และเรยกระยะทางคงทนวา “รศมของวงกลม” สมการของวงกลม คอ 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = โดยท (h,k) = จดศนยกลางของวงกลม r = รศมของวงกลม

( , )h k •

r 2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =

29

แบบฝกหด

1. จากความสมพนธทใหกราฟเปนรปวงกลมตอไปน จงหาจดศนยกลางและรศมวงกลม 1.1) 2 2{( , ) | 6 4 3 0}x y x y x y+ − + − = 1.2) 2 2{( , ) | 4 0}x y x y y+ + = 1.3) 2 2{( , ) | 4 4 24 32 }x y x y x y+ + =

30

1.4) 2 2{( , ) | 2 4 10 0}x y x y x y+ + − − = 2. ใหหาสมการเสนสมผสกบวงกลม 2 2 6 4 12 0x y x y+ − + − = ทจด (6, 2)

31

3. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท (2, 1)− และรศมเทากบ 3 4. จงหาสมการของวงกลมทมจดศนยกลางอยท (5, 1)− และ เสนรอบวงยาว 14π หนวย 5. จงหาสมการวงกลมทมจดศนยกลางเปน (3, 4) และสมผสกบเสนตรง

2 5 0x y− + =

32

6. ใหหาความยาวของเสนสมผสทลากจากจด (0,1) ไปยงจดสมผสบนวงกลม 2 23 3 11 15 9x y x y+ + + = −

7. ใหหาคา k ททาให 2 2 6 8 0x y x y k+ − + + = เปนวงกลม

33

8. จงหาจดตดของวงกลม 2 2 3 0x y x y+ − − = และเสนตรง 1x y+ = 9. ใหหาสมการวงกลมทมรศม 2หนวย และสมผสกบวงกลมสองวงนคอ

2 2( 2) ( 1) 1x y− + + = และ 2 2( 6) ( 2) 4x y− + − = โดยมจดศนยกลางอยในควอดรนตท 1

34

10. หาสมการวงกลมทมรศม 1หนวย และสมผสกบเสนตรง 2y x= + และสมผสกบวงกลม 2 2 4 2 1 0x y x y+ − + + =

11. หาสมการวงกลมทแนบในสามเหลยมทเกดจากเสนตรงสามเสนนตดกนคอ

2 3 21 0,3 2 6 0x y x y− + = − − = และ 2 3 9 0x y+ + =

35

12. เสนตรงเสนหนงมความชนเทากบ 43

− และผานจดศนยกลางของวงกลม2 2 4 2 4x y x y+ − + = ถาเสนตรงเสนนตดกบวงกลมวงนทจด A กบ B และ

กาหนดจด ( 1, 2)D − − แลวพนทของสามเหลยม ABD เทากบเทาใด

36

5.2) พาราโบลา กราฟพาราโบลา คอ กราฟของทางเดนของจดซงมระยะหางจากจดคงทจดหนงเทากบระยะหางจากเสนตรงคงทเสนหนง เรยกจดคงทนวา “ จดโฟกสของพาราโบลา” และเรยกเสนตรงคงทเสนนวา “เสนไดเรกตรกซของพาราโบลา”

5.2.1) พาราโบลาตะแคงขวา เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส

สมการพาราโบลา

พาราโบลาตะแคงขวา พาราโบลาตะแคงซาย พาราโบลาควา พาราโบลาหงาย

2( ) 4 ( ), 0y k c x h c− = − >

•

c c

•( , )h k

จดโฟกส

37

5.2.2) พาราโบลาตะแคงซาย เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส

5.2.3) พาราโบลาควา เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส

2( ) 4 ( ), 0y k c x h c− = − <

•

c c

( , )h k •

2( ) 4 ( ), 0x h c y k c− = − <

c

c

( , )h k •

•

38

5.2.4) พาราโบลาหงาย เมอ (h,k) = จดยอดของพาราโบลา c = ระยะจากจดยอดถงจดโฟกส

แบบฝกหด

1. จงหาจดยอด จดโฟกส สมการไดเรกตรก และความยาวเลตสเรกตม ของสมการพาราโบลาตอไปน

1.1) 2( 7) 12( 5)x y− = −

2( ) 4 ( ), 0x h c y k c− = − >

c

c

( , )h k •

•

39

1.2) 2 6( 4)y x= + 1.3) 2 8x y= 1.4) 2 6 4 3 0y y x− − − = 1.5) 22 12 16 66 0x x y− − + =

40

1.6) 23 12 12 0x x y− − + =

2. พาราโบลา 2

4xy x A= + + มกราฟผานจด (2,0) จงหาจดโฟกสของพาราโบลา

น

41

3. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1,6) และผานจดโฟกสของพาราโบลา 2 4 4 8y y x− − =

4. จงหาสมการของพาราโบลา ทมจดยอด (3, 4) และโฟกส (1, 4)

42

5. จงหาสมการของพาราโบลา ทมไดเรกตรกคอเสนตรง 4y = − และโฟกสอยท (2, 2)−

6. จงหาสมการพาราโบลาทมเสนตรง 5y = คอเสนไดเรกตรก และมโฟกสอยทจด

ศนยกลางของวงกลม 2 2 6 2 6 0x y x y+ − + − =

43

7. จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยทจดศนยกลางของวงกลม2 2 4 2 4 0x y x y+ − + + = และโฟกสอยท (2,1)

8. ใหหาสวนประกอบตางๆของพาราโบลา ทมสมการเปน 2 2 2 3 0x x y− − − =

44

9. จงหาสมการพาราโบลาทมจดยอดอยท (1, 2)− และผานจด (2,1) โดยมแกนสมมาตรแนวตง

10. จงหาสมการพาราโบลาทผานจด ( 2,3), (3,18)− และ (0,3)

45

11. ใหหาสมการทางเดนของจด P(x,y) ซง 11.1) อยหางจากเสนตรง 4y = − เทากบระยะหางจากจด ( 2,8)− 11.2) อยหางจากเสนตรง 4x = − มากกวาระยะหางจากจด (3,1) อย 5 หนวย

46

12. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1,6) และจดโฟกสของ 2 4 4 8y x y− − = 13. ใหหาสมการพาราโบลาทมเสนตรง 5y = เปนไดเรกตรกซ และมจดโฟกสอยทจด

ศนยกลางของกราฟ 2 26 6 2x x y y− = − −

47

5.3) วงร กราฟวงร คอ กราฟของทางเดนของจดทผลบวกของระยะจากจดคงท 2 จดมคาคงท เรยก จดคงท 2 จด นวา “จดโฟกสของวงร” สมการวงร เมอ (h,k) = จดศนยกลางของวงร a = ครงหนงของระยะแกนตามแกน x b = ครงหนงของระยะแกนตามแกน y

•

2 2

2 2

( ) ( ) 1,x h y k a ba b− −

+ = >

( , )h k

b

a ••

c

2 2 2c a b= −

48

เมอ (h,k) = จดศนยกลางของวงร a = ครงหนงของระยะแกนตามแกน x b = ครงหนงของระยะแกนตามแกน y

•( , )h k

b

a

2 2

2 2

( ) ( ) 1,x h y k a ba b− −

+ = <

•

•

c

2 2 2c a b= −

49

แบบฝกหด

1. จากสมการวงรตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวของแกนเอก ความยาวของแกนโท ผลบวกคงตวของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสทงสอง และความเยองศนยกลาง

1.1) 2 2

2 2

( 3) ( 5) 18 10

x y− −+ =

1.2) 2 2( 7) 1

25 16x y +

+ =

50

1.3) 2 29 18 6 9 0x y x y+ − − + = 1.4) 2 24 9 48 72 144 0x y x y+ − − + =

51

2. จงหาสมการวงรตอไปน 2.1) โฟกสหนง ( 8,1)− แกนโทยาว 4 หนวย จดศนยกลางคอ (0,1) 2.2) โฟกสอยท (0,2) และ (0, 2)− ผลบวกคงตวเทากบ 6 2.3) จดยอดคอ ( 5,0)− และ (5,0) และโฟกสหนง (2,0)

52

2.4) กราฟตดแกน x ทจด ( 4,0)− และ (4,0) และตดแกน y ทจด (0,2) และ (0, 2)−

2.5) มจดศนยกลางอยท (2,1) มจดโฟกสอยท (2,4) และจดยอดอยท (2, 4)−

53

2.6) จดศนยกลางอยท (3, 1)− แกนเอกขนานกบแกน y และยาว 8 หนวย โดยแกนโทยาว 6 หนวย

2.7) จดยอดอยท ( 4,2)− และ (2,2) โดยแกนโทยาว 4 หนวย 2.8) จดศนยกลางอยท ( 2,1)− มจดโฟกสท ( 2,4)− และผานจด ( 6,1)−

54

3. ใหหาสวนประกอบตางๆของวงร 2 27 16 28 96 60 0x y x y+ + − + = 4. ใหหาสวนประกอบตางๆของวงร 2 29 5 54 50 26 0x y x y+ − − + =

55

5. ใหหาสมการเสนตรงทผานจดศนยกลางของวงร

2 24 9 48 72 144 0x y x y+ − + + = และตงฉากกบเสนตรง 3 4 5x y+ = 6. นายแดงปนขนไปบนสะพานโคงทมลกษณะเปนครงวงร ปลายทงสองหางกน 4 เมตร และ

มระยะสงสด 1 เมตร ถาเขาอยบนสะพานในตาแหนงทหางจากปลายขางหนง เปนระยะตามแนวราบ 80 ซ.ม. เขาจะอยสงจากพนกเซนตเมตร

56

5.4) ไฮเปอรโบลา กราฟไฮเปอรโบลา คอ กราฟของทางเดนของจดทผลตางของระยะจากจดคงท 2 จด คงท เรยกจดคงท 2 จดวา “จดโฟกสของไฮเปอรโบลา” สมการไฮเปอรโบลา เมอ (h,k) = จดศนยกลางของไฮเปอรโบลา a = ครงหนงของระยะตามแกน x b = ครงหนงของระยะตามแกน y

2 2

2 2

( ) ( ) 1x h y ka b− −

− =

a

b •• •c

2 2 2c a b= +

( , )h k

57

เมอ (h,k) = จดศนยกลางของไฮเปอรโบลา a = ครงหนงของระยะตามแกน x b = ครงหนงของระยะตามแกน y

2 2

2 2

( ) ( ) 1y k x ha b− −

− =

( , )h k •

•

•

a

b

c

58

แบบฝกหด

1. จากสมการไฮเปอรโบลาตอไปน จงหาจดศนยกลาง จดโฟกส จดยอด ความยาวแกนตามขวาง ความยาวแกนสงยค และผลตางคงตวของระยะจากจดใดๆไปยงโฟกสทงสอง

1.1) 2 2

2 2

( 3) ( 5) 18 10

x y− −− =

1.2) 2 2( 7) 1

25 16x y +

− =

59

1.3) 2 26 2 36 59y x y x− + + = 1.4) 2 22 3 20 24 4 0x y x y− − − − =

60

2. จงหาสมการไฮเปอรโบลาตามคณสมบตตอไปน 2.1) จดยอดท (3, 2) และ (3, 4)− โฟกสท (3, 6)− 2.2) จดศนยกลาง ( 7,0)− โฟกสหนงอยทจดกาเนดแกนตามขวางยาว 6 หนวย

61

2.3) จดศนยกลางอยบนเสนตรง 4y = จดยอดหนงคอ (0, 2) และโฟกสหนงคอ (0,1)

2.4) จดศนยกลาง (2,1) มจดโฟกสท (2, 4)− และจดยอดท (2, 4)

62

2.5) จดศนยกลางอยท ( 3,1)− มจดยอดท (2,1) และแกนสงยคยาว 6 หนวย 2.6) จดโฟกสอยท ( 1, 6)− − และ ( 1, 4)− โดยแกนตามขวางยาว 6 หนวย 2.7) จดโฟกสอยท (0, 4) และ (0, 4)− และมจดปลายแกนสงยคเปน (3,0)

63

3. ใหหาสวนประกอบของไฮเปอรโบลาตอไปน 3.1) 2 29 4 36x y− = 3.2) 2 29 16 18 64 199 0x y x y− − − − =

64

3.3) 2 26 36 2 59 0x y x y− − − + = 3.4) 2 26 10 12 40 94 0x y x y− − − − =

65

3.5) 2 29 18 16 64 199x x y y− = + + 3.6) 2 26 10 12 40 94 0x y x y− − − − =

66

4. กาหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลางและจดโฟกสดาน

หนงของไฮเปอรโบลา 2 29 16 90 64 17 0x y x y− − + + = แลววงกลมดงกลาวมพนทเทากบเทาใด

5. จงหาสมการเสนกากบของไฮเปอรโบลา 2 216 9 32 36 164 0x y x y− + + − =

67

6. กาหนด E แทนวงร 2 26 5 12 20 4 0x y x y+ + − − = ใหหาสมการไฮเปอรโบลาทมจดศนยกลางรวมกบ E มจดยอดอยทเดยวกบจดโฟกสของ E และมความยาวแกนสงยคเทากบความยาวของแกนโทของ E พอด

68

7. ใหบอกวาสมการตอไปนเปนสมการภาคตดกรวยรปใด 7.1) 2 225 16 100 96 156 0x y x y+ − + − = 7.2) 2 24 4 4 1 0x y x+ − + = 7.3) 2 2 6 9 0y x y+ − + =

69

7.4) 2 222 7 6 0x y+ + = 7.5) 2 22 4 6 0x y− + = 7.6) 2 23 6 6 7 9 0y x x y− − + + =