anelli henseliani topologici - ii

Anel l i Hense l ian i topologic i - II (~).

PAOLO V ~ l C E G ) ~ (a Torino)(**)

Summary. - I n the present work we study some problems about henselia.n triples and henseli- zation which have been introduced in our article [18]. _Mainly we prove that henselian triples coincide with strong henselian triples and give a new ]ormulatlon o] the He~sel lemmca, stronger than that we gave in [18]. Then eve ~nvestigate some prope~'ties o/ henselian triples (e]~ange- ment o/ ideal or o/ topology, ecc.) and prove commutativity with quotient.

Introduzione.

I1 presente lavoro ~ il d i re t to proseguimento dell 'articolo [18], in cui abbiamo in t rodot to i concerti relutivi ulle terne henseliune e ~ll~ hensetizzuzione delle terne.

Precisamente, nel precedente luvoro ~bbi~mo in t rodot to i due concerti di terna henselian~ e di ternu for temente henselian~ ([18], n. 2) ed i risultuti o t tenut i ci hunno permesso di costruire l 'henselizz~zione (non forte) nell~ c~tegorin de]le terne con base numerubile per gli in torni dello 0.

I n [18] res tavu aper to il p roblems di stabilire l 'equiv~lenz~ fro le due definizioni di H-~erna ovvero della costruzione di un~ eventuule henselizzazione forte.

I n questo axticolo dimostri~mo che t u t t e le terne henseliune sono forti, sotto condizioni di numer~bilit~ per gli intorni dello 0.

Restu percib chi~rito che i risult~ti o t tenut i in [18] riguard~no proprio le terne che soddisfano a lla. tesi del lemm~ di HE~S~L versione BO~]3AKL

Fr~ i r isultat i pifl notevoli del presente l~voro, oltre ~ quello or~ indicato, c'5 un,~ versione del lemm~ di ]~ENSEL ancor~ pi• forte di quellu d~tu in [18] (teore- m-~ 5) e una c~ratterizz~zione di t u t t e le possibili topologie ehe, in t rodot te in un~ coppia henselian~, 1~ rendono una H-terna .

I1 lavoro ~ diviso in t re sezioni. Nel n. 1 r iprendiamo brevemente i risult~ti o t tenut i in [18], esponendo i pro-

blemi lasciati ~perti. Nel n. 2 dimostri~mo l'equiva~tenzu fr~ te due definizioni di ternu henseli~nu ed

enunciumo l~ nuov~ versione del lemmu di I=[E~SEL. Nel n. 3 infine dimostri~mo ~leune propriet£ delle terne henseliune e delI'hense-

lizzazione, anuloghe ~ propriet~ delle coppie (rimpiceiolimento dell'ideule, passug- gio ~l quoziente, ece.).

(*) Lavoro eseguito nell'ambito dei contratti di ricerca del Comitato Nazionale per la Matematica deI C.N.R.

(**) Entrata in Redazione il 27 maggio 1971.

2 0 - And, tall di Matemat tca

306 PAOL0 VALAB~ESA: Anelli henseliani topologiei, I I

1 . - I n questo numero r ichiamiamo le principali propriet~ relat ive alle coppie e alle terne henseliane e i concert i r iguardant i l 'henselizzazione, sia per le coppie ([11]), sia per le terne ([18]).

Una coppi~ (A, m) ~ costituit~ da, un ~nello commuta t ivo unitario e da un suo idea, le qualsi~si m. Un omomorfismo d1 coppie ]: (A, m ) - * (A ~, m' ) ~ un omomorfismo di anelli ] : A - ~ A ' , tale the ](m)_cm'.

Un~ coppia (A, m) si dice hensdiana o H-eoppia se e solo se soddisf~ ~lla tesi del lemma di ttE~SEL versione Bolm~aA~ ([5], cap. I / I , § 4, n. 3, teorema 1), per i polinomi unitari . ]~ noto ehe, in una coppia henseliana, l ' ideale ~ sempre eontenuto

nel radicale ([13], proposizione 1). Da ta una coppia (A, m), si pub associare a questa la sua henselizzazione, che

una coppia henseliana ~(A, m)----(J~A, hm), insieme con un morfismo di coppie i: (A, m) -> h(A, m), tale che sia soddisfat ta la seguente propriet~ universale: se ~: (A, m ) - + (A', m ' ) ~ un morfismo in una coppia henseliana, esiste uno e un solo morfismo ~9: (~A, Am)-~ (A', m') tale che si abbia: ~ = ~9 oi. In [11] ~ d imost ra ta

l 'esistenz~ per l 'henselizzazione delle coppie. In [18] si ~ in t rodot to il concerto di te rna (A, m, ~) fo rmata da u n anello com-

muta t ivo unitario, da una topologia lineare separata ~ sopra A e da un ideale m chiuso per la topologia, e contenuto nel radicale di A (in [18], n. 5 abbiamo anche t r a t t a t o fl caso in cui m non sia contenuto nel radicale, r ieonducendolo al ca, so

preeedente) . Un morfismo di terne ]: (A, m, v)--> (A', m', ~:') ~ un omomorfismo di anelli

1: A - - . A ' , continuo e tale ehe ](m)_cm'. In [18] si ~ esteso il concerto di coppia henseliana int roducendo quelli di terna

henseliana e di ~erna ]ortemente henseliana:

DEFINIZI0~E 1. -- La terna (A, m, ~) si dice henseliana (o H-terna) se e solo se

sono soddisfatte le seguenti condizioni:

1) m_c l~ad (A);

2) per ogni serie r i s t re t ta ([5], cap. I I I , § 4, n. 2, definizione 2) R G A{X), la cui imm~gine canonica in (A/m)(X) ~ 9rodot to di un polinomio unitario P e di una aerie r i s t re t ta O fra loro coprimi, esiste una e una sola coppia (P, Q) formata da un polinomio unitar io P e da una serie r i s t re t ta (2 ~ A{X}, tale ehe R ~-PQ e che le immagini canoniehe di P e di Q in (A/m){X), si~no rispe%iv~mente P e Q. Inoltre,

se R 6 un polinomio, ~llora anche O ~ un polinomio.

DEFINIZIONE 1'. -- La te rna (A, m, w) si dice ]ortemente henseliana (o H-~erna ]orte) s e e solo se ~ una H- t e rna e i l polinomio unit~rio e la serie r i s t re t ta di cui atla Deft-

nizione 1 sono eoprimi in A{X}. In modo equivalente ma pifi espressivo possiamo dire che una terna ~ forte-

mente henseliana s e e solo se soddisfa alla tesi del lemma di HEi~SEL versione BOUR-

BAKI ([5], cap. I I I , § ~, n. 3, teorema 1).

:PAoLo Vt:LX~REGX: Anelli henseliani topotogiei, I I 307

Nel n. 2 del presente lavoro vedremo che le due definizioni sono equivalenti, sotto Yipotesi di numer~bilit~ per gli intorni dello 0 di A, risolvendo cosl uno dei principali problemi rimasti aperti in [18], dove si era vista l~equivalenza solo per certi t ipi di terne (ideale con elementi topologicamente nilpotenti, anello base completo).

I n [18] viene anche costruita l'henselizzazione per la categoria delle terne con base numerabile degli intorni di 0. La propriet~ universale di cui l'henselizzazione delle terne ~ soluzione ~ ovviamente perfe t tamente analoga a quella delle coppie ([18], n. 5, definizione ~ e teorema 7).

2. - I n [18] restava aperto fl problema dell 'equivalenza Ira la definizione di terna henseliana e quella di terna fortemente henseliana.

Ci proponiamo in questo numero di ~ar vedere che una terna henseliana soddisfa sempre a~tla tesi del lemma di I~ENSEL versione BOLrRIL~KI~ sotto la condizione che gli intorni di 0 abbiano una base numerabile.

Per arrivare alla dimostrazione del nostro teorema abbiamo bisogno di premet- tere un risultato sugli anelli topologici separati completi:

PROPOSIZIOI~E 1. - Sia A un anello topologico separato vompleto rispetto alia topologia lineare v, e sia (P~ Q) una coppia ]ormata da un polinomio unitario P e da una serie ristretta Q ~ A{X}, eoprimi in A(X}. Allora esiste una e una sola coppia (B, C), 1ormata da una serie ristretta B e da un polinomio C di grado in]eriore a ~uello di P, tale the si abbia : B P + CQ = 1.

DI~OSTRAZI0~E. -- Sia {a~}~e, una base per gli intorni dello 0 di A formata di ideali e A~=A[a , , per ogni i e I . Le immagini canoniche P i e Q~ di P e Q in A~ sono polinomi coprimi di Ai[X] (si ricordi che tu t t i gli anelli At sono discreti e quindi te serie r istret te su A ~ sono i polinomi). Inoltre/)~ ~ unitario; perci6 b noto ([5], cap. I I I , § 4, n. 1, proposizione 1) che esiste una e una sola coppia (B~, C~) formata d~ due polinomi in A,[X], con C, di grado inferiore ~ quello di P , (cio~ di P), tale che si ~bbia: B,P, + C~Q,----1. Le due famiglie (B~)ie I e (Ct)i+ x sono coerenti, per l 'unicit~ della coppia (B,, Ci) al variare dell'indice; percib sono elementi dell'anello li, mA,[X] = A{X} (si ricordi the A ~ separato completo: [5], § 4, n. 2, proposizione 3). Posto B = (B~)~. x e C = (C~)~, si ha ovviamente in A(X}: B P ~-CQ = 1 e C ha grado inferiore a quello di P.

Sia poi (B', C') una quulsiasi coppia formata da un polinomio C' di grado minore di quello d i / ) e da una serie r is t ret ta B', t~le che si abbia: B ' P ~ - O ' Q = 1. Proiet- tando sugli anelli A,[X] si ott iene: B I P + C~Q~--1, per ogni i e I . Cib signifiea che B~ =B~, C~ = C~, per ogni i e I , ossia B = B ' , 0 : C'.

A questo punto, salvo avviso in contrario, ci met t iamo sempre in condizioni di numer~bilit~, cio~ supponiamo the gli intorni di 0 abbiano una bas~ numerabile, in tutti gli anelli linearmente topologizzati ehe 1)renderemo in eonsiderazione nel presente lavoro.

308 PAOL0 VALABREGA: Anelli henseliani topologiei, I I

L E M ~ A . - - Sia A un anello linearmente topologizzato separato eon base numerabile per gli intorni di O, m un suo ideale ehi~so. Allora l'applicazione eanonica: A{X}-,- -~ (A/m){X} ~ suriettiva.

Dn~os~.~zIo~E. - Sia (a~,} una base nmnerabile di intorni detlo 0 di A~ formata di ideali e to ta lmente ordinata per inclusione. ~ noto che una base per gli intorni di 0 in A / m ~ formata dagli ideali a~, immagini canoniche degli ideali as in A/m ([8], cap. I I I , § 2, n. 6~ proposizione 18).

Sia /~ = ao ~- ~ X -~ ... -~ ~ .X" + ... una serie r is tret ta in (A/m){X}. Cib significa che, per ogni intero k >0 , esiste un intero n~ (supponiamo che sia il minimo) t~le che tu t t i i coefficienti di _~ con indice n > nT, stanno in ~ . Otteniumo cosi unu successione non decreseente di interi positivi {nk}.

Scegliamo or~ a piacere a~ in ~,, quando n~<n~; quando invece n b compreso fra n~ ed n:, scegliamo in ~,~ un rappresentante a, ea~, ecc.

chiaro c h e l a serie R----a o Jr a~X Jr ... h~ immagine canoniea /~ ed ~ ristretta, cio5 d una eontroimmagine di /~ 11elFapplieazione: A{X}-~ (A[m){X}.

Possiamo era enunciare il seguente

TEOr~E~A 1. -- Sia (A~ m~ ~) una terna can. ideaIe separato completo rispetto atla topologia Zineare r, dotata di una base numerabile di intorni di O~ e siano P u n poti- nomio unitario e Q una serie ristretta a eoe//ieienti in A tall the te toro immagini canoniche P e Q in (A[m)(X} siano eoprime. Allora condizione necessaria e s~]/iciente af/ineh~ t ) e Q siano eoprimi in A{X} ~ che essi siano eoprimi in A(X} (A = separato completato di A rispetto a ~).

D~OST~AZm~E. -- La sufficienza della condizione ~ ovviu, in quanto A{X} ~ un sottoanello di A(X}.

Viceversa, siano P e Q coprimi in _4{x} e P e Q in (A/m){X}. Cib significa ehe esistono due serie r is t ret te/~ ed S a coefficienti in A/m tall che si abbia: R P ÷ S Q = I . Del pari esistono due serie ristrette B e C u coeffieienti in 2_ tali che si abbiu: B ~ ~- CQ = 1. L~ Proposizione I ci permette di supporre che C sia un polinomio

di grado inferiore a quello di P. La relazioue: BP÷CQ----1, proiet ta ta sopra (A/m)(X} d~: BP~-CQ---1. J~ ehiaro

che (B, C) 5 l~unica coppia di elemental delPanello fl~/m che soddisfi ~lla eondizione indicata nella proposizione 1.

Osservi~mo ora che A/m b separato eompteto e coincide ~nzi~ a meno di iso- morfismi di anelli topologici, con il separ~to eompletato di A / m ([9], § 3, n. 1, corol- inrio i alla proposizione 4). Quindi esiste in (_4/m){X} una e una sola coppia (~, ~), formata, da una serie r is t re t ta ~ e da un polinomio ~ di grado inferiore a quello di tale ehe si abbia: S : = ~ / ~ - ~ ([17], teorema 11). Sostituiamo nell 'eguaglianza: /~P -~ S~) = 1~ ot tenendo: R-P + (~P z7 ~)Q : 1. Poich~ ~ b u n polinomio di grado inferiore a quello di P~ necessariamente si deve avere: /~ ÷ ~Q = 1~, ~ =-C, per Funicit~ della coppia (B, C).

Si deduce allora che le due seguenti serie r is tret te: /~--q(2 = / ~ e C - ~ P =

PAOL0 VALABICEGA: Andli henseliani topologiei~ I I 309

hanno tu t t i i coefficienti in A/m. Scegliamo allora una qualsiasi serie r is t re t ta ~ in A(X} che ubbia immagine canonica coincidente con ~ (q esiste per il 1emma precedente). Allor~ B--qQ e C - - q P sono serie r is t re t te ~ coefficienti in A~ in quanto le loro immagini canoniche hanno i coeificienti in Aim.

Da questo fa t to segue im~nediatamente che P e Q sono coprimi in A{X}. In effetti

si ha: (B--qQ)P 5- (C 5- qP)Q - B P 5- CQ = 1.

OSS:EICVAZIO~E. - - Si~no A un anello l inearmente topologizzato separato completo~ P u n polinomio unitario e Q una serie r is t re t tu coprimi in A(X}. La proposizione 1 mostru c h e / ' e Q si comportano, per certi aspetti , come un polinomio unitario P ' e un polinomio arbitrario Q' ne11'anello dei polinomi A[X]. In effetti~ in A[X], esiste una e una sola coppia (B', C') di potinomi tale che C' abbi~ grado inferiore quello di P ' e che si abbia: B 'P '+C 'Q '=I ([5]~ cap. I I I , § 4, n. 1, proposizione 1); del pari, in A{X}, esiste una e una sola coppi~ (B, C) fo rmata d~ una serie r i s t re t ta B e da un polinomio C di grado inferiore u quello di P tale che si abbia: B P + C Q = I (proposizione 1).

Questa analogia crude qu~ndo l 'anello A 5 separmto ma non completo. Cio~ 5 possibile t rovare un polinomio unitario P e una serie r is t re t tu Q coprimi in A{X}, senza che si possa associate alla coppi~ (P, Q) una coppia (B, C) soddisfucente ~lla condizione indicata nella proposizione 1.

Siu, in effetti, A sepa.rato mu non completo r ispet to alla topologiu lineare 3, supposta do ta ta di una base numerabi le per gli in torni di 0. Si~ poi / un clemento qualsiasi di ~ , non app~r tenente ad A ed ialvel~ibfle in _2_ c poniamo g = 1 [ ] ~ .

Si pub certo sempre scrivere: g = ~ a,,, ] =: ~ b~, con lira a , = lira b~ = 0. Posto: ~----> co ~---> co

0 0 D,~ = aob o 5- (aob~ 5- a~bo) + ... + (a,~bo + a,~.-lbl 5- ... + ¢~ob~), si ha evidentemente : lira D , = ]g = 1.

Consideriamo ora la eoppia (P, Q)= ( X - - 1, ~, a~X ~) e facciamo vedere che P 0

e Q sono coprimi in A{X}. I n effctti ci6 significa che esistono due serie r i s t re t te R ed S tali che si abbia: R P + SQ = 1.

90 ¢o

Sccgliamo S = ~ b ~ X ~ e cerchiamo di determinare R = ~ c ~ X ~. Dallu egua-

) ° glianzu: c~X ~ ( X - - l ) 5- b~X '~ ~, a,~X ~ ~- 1, si deduce che si deve avere:

0 co = a0bo--l~ e,,= D ~ - - I , per n > l . co

Si ha: l i m c ~ = lira ( D , - - 1 ) = 0 ~ quindi R = ~ c , ~ X " ~ r i s t re t ta e risolve il problema, o co

Segue dai precedcnt i cMcoli che X - - 1 e ~ a,~X2 sono coprimi in A{X} e quindi o

in fi~{X}. Atlora devono esistere in A{X) una serie r is t ret t~ B e un polinomio C di

grado zero tali the si abbia: B ( X - - 1 ) + C a~X ~ = 1.

P o n e r ~ d o X ~---1 ( i ~ A h~l~ o v v i ~ l ~ e n t e s e n s o ) s i o t t i e n e : , C ( ~ t ~ t = 1 .

Ne segue che C = l / g = / e 2 - - A . \ ~ - /

310 PAor.o VALAB~E~A: Anell i henseliani topologivi, H

Ad esempio si eonsideri l'anello A-- - -K[X] (ore K ~ un campo di c~r~tteri- stica 0) e ~ = topologia X-udica. Ovvi~mente A ~ separ~to mu non completo per e si 2 = K[[X]] .

Dett~ T un~ indeterminate, siano t ) = T - - l , Q = exp (XT) = 1 + X T + ... +

÷ (1In !) X ' T ' ÷ . . . ; non ~ difiicile vedere ch% in questo easo, si hu: C = exp (--X)¢K[X].

A questo punto siamo in grudo di dimostrare l'equiv~lenz~ fra le definizioni i e 1':

TEORE~± 2. - Sia (A, m, ~) una terna henseliana con ~na base nq~merabile di in-

torni dello O. Allora (A, 11t, ~) ~ ]ortemente henseliana.

DI)IOSTRAZIOStE. - - Ricordia, mo, in primo luogo, c h e m 6 separato completo per lu topologi~ indottn su di esso de. ~ ([18], proposizione 2).

Inoltre (A, m, ~)^----(~, m, ~) 6 eerta, mente fortemente henseliun~ perch6 A 6 sepurato completo ([18], teorem~ 5). Si~no allora P u n polinomio unit~rio e Q un~ serie ristrett~ ~ coefficienti in A tall ehe si ubbin: (P, Q ) = (1) in (A /m){X} ed anche in (2/m){X}, in quanto A i m ~ un sottoanello topologico di X /~ t= (A/m)^= ~ /m ([8], c~p. I I I , § 2, n. 7~ proposizioni 20 e 21). N e deduciamo che _P e Q sono coprimi in fl~(X} e quindi in A ( X } , in conseguenz~ del Teorem~ 1.

]~ del tut to naturate, helle presenti eondizioni, eliminure 1~ doppia terminologia introdott~ in [18] (ternu henseliun~ e tern~ fortemente henseliana) per adottare un termine unico per le terne (con b~se numerabile di intorni di 0) soddisfacenti ullu tesi del lemma di HENSV,~ versione ]~OUI~]~AKI), ehe chiameremo in tutto il presente luvoro terne henseliane (o H-terne).

Vogliamo or~ riformulure il lemm~ di HENSEI, versione BOUI~AKI in manier~ ~neora pifi forte di quella propostu in [18], teorem~ 5 (lemm~ di H ~ s E ~ forte), elimina, ndo, oltre ull'ipotesi che t'ideale sia formato di elementi topologicamente nflpotenti, anehe lu condizione eli completezzu delPanello b~se.

Precis~mente vale fl seguente

TE01~E:~A 3. - Sia (A, m , ~) una terna tale the .4 sia separato, m comTleto e ~ sia

dotata di una base nq, merabile per gli intorni dello O. Allora le seguenti vondizioni sono

equivalenti :

1) (A, m) ~ ~na eoppia hensetiana;

2) (A, m, v) ~ una terna henseliaqca;

3) esiste q~na base {an}~¢ ~ per gli intorni deUo 0 di A in T, formata di ideali, tale

che ~u~e re eoppie (A /a . , m(A/a~)) sono hense~iane;

4) per ogn~ ideale aperto a di A , la eoppia (A/a, m(A/a) ) ~ henselia/aa;

5) se R ---- ao + a~X -~ ... -~ a~X ~ -~ ... ~ una serie ristretta a voe]licienti in A

tale che ao c m, a~ ~ invertibile modulo m, allora R ammette qzaa e una sole radice in m; inoltre m ~ contenuto nel radieale di A .

Pho~,o V ~ B ~ E ~ A : Anelli henseliani topologici~ I I 311

DDmS~AZm~E. - Seguiremo il seguente schema, di dimostruzione:

1) ~ 4) ::~ 3) :~ 2) ~ 5) ~ 1).

a) 1) ~ ~) : discende immedi~tamente dul fatto che rhenselizzazione delle coppie commuta con il passaggio al quoziente ([18], corollario i ~1 teorema 1).

b) 4) ::~ 3): ovvio.

v) 3) ==> 2) : la condizione 3) dice che (A, m, v) ~-- (~, m, ~) ~ una terna henseliun~ ([18], teorema 5), in quanto si: A / a ~ = A / ~ , per ogni ~ e N ([8], cap. I I I , § 2, n. 7, proposizione 21).

d) 2 ) ~ 5): l~immagine canonieu di R in (A/m)(X} ~ spezzut~ nel prodotto del polinomio unitario X e della serie ristretta Q = ~ ~ ...-~ ~X~-~ ...~ palese- mente coprimi in (A/m)(X}. Percib esiste una e una sola coppi~ (P, Q), formata da un polinomio unitario P - ~ X - - m (con mere) e da una serie ristretta Q coprimi in A{X}~ tale che R = PQ. Ma questo significa che R ( m ) = O, cio~ X----m d radiee di R (si osservi che R(m) ha senso in ~) .

Supponiumo ehe R abbia una second~ radice m ' em. Dividi~mo /~ per il polinomio unitario X - - m ~ in ~ ( X } ([17]~ teorem~ 11): R = ( X ~ m ' ) Q ' ~ - r , dove r un polinomio di grado 0 e coincide con l'elemento /~(m')----0 di ~ .

Dunque R ~- (X- -m ' )Q ' , il che ~ in eontraddizione ton il rimontamento unico. Infine m_~Rad(A) in quanto (Army 7) ~ una terna henseliana.

e) 5 ) ~ 1): la condizione 5) ~ verificata in particolare quundo R sia un polinomio unitario; e questo fatto, insieme con ripotesi che siu contenuto nel radicale, implica che (A, m) sia una coppia henseliana ([11], definizione 1.3 e teorema 5.11).

O S S E R V £ Z I O ~ E . - - I1 precedente teorema. 3 gener~lizza il lemma di ttE~SEL vcr- sione BOV~)~I (in condizioni di numerabi~t~) in modo pifi forte del teorema 5 che abbiamo dato in [18], in quanto facciamo a meno dell'ipotesi di completezza delt'anello base.

La nostra ipotesi di completezza per Fideule ~ poi in accordo con le ipotesi di BOURBAKI, ill qu~nto un ideale chiuso in un unello separato completo ~ ccrtamente completo.

noto ehe, se (A, m) ~ una eoppia henseliana e 7 una topologia lineare (di tipo numerabile) sepur~ta sopr~ A, lu tern~ (A, m, 7) non ~ necessariamente henseliun~ ([18], n. 6, esempio 2)). I1 Teoremu 3 ci permette ora di ehi~rire quali topologie separate 7, introdotte in una coppiu henseliana, 1~ rendono un~ terna henseli~n~:

COI¢OLLkl~IO. -- Sia (A, m) una coppia henseliana e 7 una topologia lineare separata con base numerabile per gli intorni di 0 sopra A. Allora condizione necessaria e su]ficiente a/]ineh~ la terna (A, m~ 7) sia henseliana ~ the m sia completo per 7.

312 PAOL0 YALABREGA: Ane~li hcnsdiani topologiei, I I

DI~mST]~AZIO~E. -- La` pr ima p~rte delPenunci~to non ~ Mtro the l'implic~zione 1) ~ 2) del teorema` 3. La` seconda` parte si trova` in [18], proposizione 2.

Voglia`mo ora` chi~rire i precedenti risulta`ti proponendo quMche esempio di terna` henselia`n~ (A~ m~ T) in cui l~nello A ~ sepa`r~to ma` non completo; per fa`r questo premet t iamo ~ncora` un risulta`to che ci permette di costruire in modo a`ssM semplice ta`li esempi ed 5 conseguenz~ immedia`t~ dei teoremi da`ti fino a`d ora`:

PROP0SIZI0~E 2. - Sia (A, m, w) una terna henseliana tale the A cd m siano separati e completi per ~:. Se A' ~ q~n qualsiasi sottoanello topologico di A eontene~te m, allora (A', m, 7:') ~ , n a terna henseliana (~'== topologia indotta s~ A ~ dav) .

DDmST~AZI0~E. -- Sia` R una` serie ristretta` ~ coefficienti in A' tMe che R-~ PQ in (A'/m){X), con P polinomio unita`rio e ~) serie ristretta` coprimi. La decomposi- zione si rimon~a` certo in A(X}: t t = P Q con F - > P e Q->Q. Poich~ A' contiene m

chia`ro the P e Q h~nno i coefficienti in A'.

Si noti che, fra` l'Mtro, la` precedente proposizione generMizz~ lievemente la` prima` pa`rte dell~ proposizione 3 di [18].

Es~ ,~ I . - Fissiamo una` tern~ henselia`n~ con a`nello e ideali sep~rati e completi: A = K[[X, ~]], m - ~ XK[[X, I"]] (ideale gener~to da` X) ~ = topologia` 17-adica. La` terna` (A~ m, w) ~ henseli~n~ per il teorem~ 3, in qua`nto (A, m) ~ una coppi~ henselia`n~ (ottenuta` rimpicciolendo l'idea`le dell~ coppia` henselia`na` (K[[X, 17]], X.K[[X, :Y]] + YK[[X, r ] ] : [11], proposizione 4.8) e sia A sia` m sono separa`ti ¢om- pleti per tu topologia Y-adica. La` Proposizione 2 afferm~ che, se sceglia`mo un quMsia, si anello A ' contenente r ideale genera to da X in A~ 1~ tern~ (A% m, ~') (v '= topologi~ indotta) 5 henselia`na`. Possia`mo, a`d esempio~ scegliere A' nei seguenti

modi:

1) A ' = K[~]~ , + XK[[X, I7]];

2) A ' = Z[:Y]-~ XK[[X, 17]] (se K ha cara`tteristic~ 0); ecc.

l~est~ quindi chia`rito che il teorema 3 descrive effettiva`mente una` cla`sse di terne che non rientra`no nel lemma` di HE~SEL versione BOUIC]~AKI e nemmeno nel teorema` 5

di [18].

Concludi~mo questo numero esa`mina`ndo il comporta`mento di una` te~ma` henselia`na` M variare della` topologiu. Precis~mente vale il seguente

TEORE~z~ 4. - Siano (A~ m, v) ~tna terna henseliana e ~' una topologia lineare separata con base n~merabile per gli intorni di O~ soddisfaeente a~e seguenti condizioni:

1) ~' ~ pile fine di v;

2) esiste una base di intorni dello 0 di A fn ~' ]ormata di chiusi per la topo-

logia ~.

Allora (A, m, ~) ~ una terna henseliana.

PAo~o YALABREGA: Anel~i henseliani topo~ogiei, I I 313

DI~mS~AZIO~E. - (A~ m) 5 una eoppia henseliana ed inoltre m~ essendo completo per v ([18], proposizione 2), ~ anche completo per ~' ([8], cap. I I I , § 3, n. 5, corollario 2 alla proposizione 9). ]~ atlora applicubile fl Teoreraa 3, in base al qua.le (A, m, ~) ~ una te rns henseliana.

E S E ~ L -- Abbiamo visto che (K[~]<r,+XK[[X , Y]], (X), vr) 6 un~ terua hen- setian~ (esempio precedente). Dal Teoremu 4: si deduce che si ot tengono ancora te1~e henseliane sosti tuendo la topologia Y-adica con una delle seguenti:

1) topologia (XY)-adiea;

2) topologia con intorni dello 0 costituiti dalla successione di ideali ( X P } .

3 . - Nel presente numero ci occupiamo di propriet~ ~lgebriche delle terne henselia.ne e dell'henselizzazione, esuminando quali risultati gi~ validi per le coppie si estendono alle terne.

]~ noto che, per le cot)pie, vale il r isultato seguente ([11], proposizione 4.8):

~ 8iano (A,m) una coppia ed rt un ideale di A eontenuto in m. Ze seguenti condizioni sono e~ivalent i :

i) (A ,m) ~ una cotopia henseliana;

ii) (A, n) e (A/n, m/n) sono eoppie henseliane.

Per generalizzare il precedente risult~to nlle terne occorre premet tere un lemma di car~ttere topologico:

L E N A . - 8iano A un anetlo linearmente topologizzato con base numerabile per gli intorni dello 0 ed a un suo ideale ehiuso. Allora ~e seguenti eondizioni sono eq~dvalenti :

1) A ~ separato eompleto;

2) a ~ selaarato completo per la topologia indotta e A/a ~ separato eompleto per la topologia quoziente.

DIMOSTI~AZlONE :

a) 1) ~ 2): a ~ completo perch~ chiuso di un completo ([7], cap. II , § 3, n. 4, proposizione 8). A/a ~ completo perch~ quoziente di un anello completo r ispetto ad un ideate chiuso ([9], § 3, n. 1, proposizione 4:).

b) 2) ~ 1) : sia z] il separato completato di A. Allora 3 / a ~ il separato com- pleta to di A/a ([9], § 3, n. 1, corollario 1 alla proposizione 4). Ma A/a ~ separato completo per ipotesi; quindi A/a = .~/~, il che significa: ~ = A + a ---- A + a = A.

PROPOSIZIO~E 3. -- Siano (A, m, v) q~na terna eon una base numerabile per gli intorni dello 0 ed n un ideale ehiuso eontenuto in m. AUora le seguenti eondizioni sono effui-

314: PAo~o VAI,AB~v,~A: Anelli henseliani topologivi, I I

valenti :

1) (A, m, "¢) ~ ~na terna henseliana;

2) (A, r~, 3) e (A/n, m/r•, vr~) sono terne henseliane (~:,t = topologia quoziente).

DIMOST~AZI05~E:

a) 1 ) ~ 2): poich~ (A, m, 3) ~ un~ terns henselisns, m ~ separsto completo ([18], proposizione 2). Di qui segue che ~ ~ pure separsto completo, come sottospszio chiuso di uno spazio unfforme completo ([7], cap. II , § 3, n. 4, proposizione 8). Poich~ ino]tre (A, 1t) ~ una coppia henseliuna ([11], proposizione 4.8), (A, n, 3) un8 terna henselian~ per il coroll~rio 81 teorema 3.

Per 18 seconda p~rte dell'enuncisto bsst8 osservsre the (A/n, m/n) ~ un8 coppia henselian8 ([11], proposizione ~.8) e che m/n ~ separ8to completo ([9], § 3, n. 1, proposizione ~); si pub quindi applicure il corollaxio al teorem8 3.

b) 2 ) ~ 1): (A, m) ~ un8 coppia henseliana ([11], proposizione 4.8) ed m separsto completo in quanto lo sono n ed m/n ([18], proposizione 2), per il precedente lemma; si pub ancora applic~re fl corollario al teorema 3.

OSSEXVAZI0~E. -- Eliminando l'ipotesi di numerabilit~ nel teorem~ 7, cade la dimostrazione ora fat ta dell'implicazione 1) ~ 2), a meno che non si facciano ulte- riori ipotesi di completezza, per esempio supponendo che A ed A[n siano separati completi. In questo caso l'implicazione 1) ~ 2) scgue dal teorema 5 di [18].

Per quanto rigu~rda invece l'implicazione 2 ) ~ 1) ~ possibile dare una dimo- strazionc che non coinvolge la numerabilit~.

In effetti, sia R una serie ristretta sopra A tale che /~ = P Q in (A/m)(X}, essendo P e O un polinomio unitario e una serie ristretta coprimi. Identificando Aim con (A/n)/(m/n) ([8], cap. III,§ 2, n. 7, corollurio ~llu proposizione 22), possiamo leggere R, P c Q in ((A/n)/(m/n)){X}. Sia era R' l'immagine canonica di R in (A/n){X}; allora esiste una. e una solu coppi~ (P', Q') formata da un polinomio unitario P ' e d8 un8 serie ristretta Qr coprimi in (A/n)(X} tale che R'=P'Q' , ~ - ~ t )', Q--~Q'. Poieh~ (A, n, 3) ~ una terna henselians, esiste una e una sola coppia (/', Q) formata da un polinomio unitario P c da una serie ristrett8 Q coprimi in A{X} tale che R = PQ ed inoltre P p , Q _+Qr ]~ chiuro che (P, Q) ~ il rimontamento cercato.

Per te eoppie ~ ancora nolo il segucnte risultato ([10]~ teorem8 4.6):

(~ Se (A, m) ~ ~n.a coppia henseliana e A' ~ ~na A-algebra in$era sopra A, allora henseliana anehe la coppia (A', mA')~>.

ovvia 18 seguente traduzione 81 csso delle terne:

P~oPosIzm~E 4. - Siwno (A, m, 3) una terna henseliana e (A', m', T r) q~na terna tale the siano soddisfatte le seguenti proprietd:

PAOLO VA~ABREGA: Anel~i hensdiani topologivi~ I I 315

1) A' ~ ~na A-algebra intera sopra A'~

2) m~= mA r ;

3) m' ~ separato completo rispetto a 7: r.

Allora (A'~ m'~ 7') ~ una terna henseliana.

D~OST~AZIO~E. -- (A'~ m') ~ uns coppia henselisns e quindi ~ applicsbile il eorollario al teorema 3.

Fru i casi interessanti che rientrano nella proposizione 4 si ha il seguente

COROLLA]~IO. -- Siano (A~ m, v) una terna henseliana e a un ideale ehiuso di A tale the m(A/a) sia separato completo per la topologia quoziente. Al~ora ta terna (A/a~ m(A[a), ca) ~ henseliana (~a = topologia quoziente).

]~ infine noto che, he1 csso delle coppie, l 'henselizzszione commut~ con fl pus- ssggio ul quoziente ([18], corollurio 1 sl teorems 1).

Per le terne possiamo dare un risultato lievemente pifl restr i t t ivo:

P~oPosIzIo~E 5. - Siano (A, m, ~) una terna con base numerabile per gli intorni dello 0 di A e a un ideale chiuso contenuto in m. Siano poi (hA, ~m) l'henselizzazione della coppia (A, m) e aT la tol~ologia estensione di 7: ad aA. Sia in]ine a = (ha)" il separato completato di ha = a~A rispetto ad ~T. Allora, detta (A ' ,m ' , ~') l~henselizza - zione della terna (A~ m, ~)~ l~henselizzazione della terna (A[a, m/a, ca) (ca ~ topologia

!

quoziente) coincide con la seguente terna: (A'/a~ m ' ~ T~) (7:~ = topologia quoziente).

DI~OSTRAZIO~E. -- Cominciamo coll~osservare the, essendo a contenuto in m~ ~a ~ contenuto in ~m, quindi a = (~a) ̂ ~ contenuto in m ' : (am) ̂ ([18]~ tcorema 7). Percib a ~ contenuto in A ~.

t La terna (A'[~, m'fa, ~ ) ~ henseliana per ls proposizione 3. Verifichiamo ehe

soluzione del problems universale che definisce ls henselizzszione di (A~ m, 7). Sis perci6 ~0a: (A/% m/a, ~a) ~ (C, n~ 8) un morfismo in una~ terns henselianu.

De t t s ~: A - ~ A / a 1~ proiezione cunonicu di A sul quoziente ed / l ' immersione di A nell~ sus henselizzuzione A' , rest~ individu~to uno ed un solo morfismo di terne ~ ' : ( A ' , m ' , ~ ' ) - ~ ( C , n , ~ ) tale che si sbbi~: ?'o]-----~aou. I1 morfismo ~ a o z si annulla ovviamente sopru a. Non ~ diffieile verificure che di qui segue che ~0' si snnull~ soprs a (b~stu ricordure come 5 definito ? ' : [18], corollario ul teoremu 6 e teoremu 7). ]~ perci6 definito un morfismo dellu te rns (A'/a, m'/~, v~-) nellu terna (C, n, 8) che rende commutst ivo il seguente diagrammu:

' m / a , -

(¢, ~, ~)

dove ] a b il morfismo ehe si deduce per p~sssggio ~1 quoziente ds ]. J~ evidente ehe il morfismo or~ indic~to b unic% per l 'unicit~ di ~'.

316 PAO:L9 VALABREGA: Anelli hensel, iani topologivi, t i

OSSE~V~Z~O~E. -- Segue immediu tamente dMl~ nos t r~ dimostr~zione i l I ~ t o , non

ovvio u priori, che A/a b u n sottoanello topologico di A~/-~, in qu~nto un~ ternu con

ideate contenuto nel ra, dicMe ~ immersa Mgebric~mente e topologicumente nelln suu

henselizzuzione: [18], t eorem~ 7.

BIBLIOGRAFIA

[t] G. AZUMAYA, On Maximally central Algebras, Nagoya i~Iath. J., t. 2, (1951), Pt). 119-150. [2] N. BOVRBA~I, Alg~bre, cap. II , I~ermann, Paris (1967). [3] N. BOURBA~:I, Alg~bre, cap. VIII , Hermmm, Paris (1961). [4] N. BOU~BAKI, Alg~bre Commutative, capp. I, I I , Hermann, Paris (1965). [5] N~ BOVRBAKI,'AIghbre Commutative, capp. I I I , IV, Hermunn, Paris (1961). [6] N. BOURBAXI, Th~orie des E~sembles, cap. I I I , ttermann, Paris (1967). [7] N. BOVRBAKI, Topologie Gdndrale, capp. I, II , Hermann, Paris (1965). [8] N. Bov~mtKL Topo~ogie Gdndrale, capp. I I I , IV, Hermann, Paris (1960). [9] N. BOrg~BAKI, Topotogie Gdn~rale, cap. IX, Hermann, Paris (1958).

[10] S. GRI~CO, Algebras over nonloeal Hensel rings, Journal of Algebra, 8 (1968), pp. 45-59. [11] S. GRace, Hensel,~zat~fon of a ~'ing with respect to an ideal, Trans. Amer. Math. See.,

144 (1969), pp. 43-65. [12] S. GRI~CO, Sugli omomor]ismi piatti e non rami]ieati, Estratto da (~ Le Matematichc ,),

24, Iasc. 2 (t969). [13] J; P: LAFO~, Anneaux Henseliens, Bull. Soc. Math. France, 91 (1963), pp. 77-108. [14] M. NAGA~A, On the theory o] hen.selian rings: I) Nagoya Math. J., t. 5 (1953), pp. 45-57;

II) id., t. 7 (1954), pp. 1-19~ I I I ) Mem. Cell. Sc. Univ. Kyoto, serie A, Math., t. 32 (1960), pp. 93-101.

[15] M. NAGAT.% Local Bings, Interscience, New York (1962). [16] M. RAYNAW), Anneaux Loeaux Hensdliens, Springer-Verlag, New York (1970). [17] P. SALMON, Su~" tes s~ries ]ormelles restrein~es, Bull. Soc. 3~I~th. Fra.nce, 92 (t964),

pp. 385-410. [18] P. ~ ¢ ' A ~ , Anetli hensetiani topologici, AnnMi di M~tematica pttra e ~pplicat.a,

4 (1972), pp. 283-303,

anelli henseliani topologici - ii

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