angewandte baudynamik

Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII

1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Gliederung und Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Umrechnung von Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Besonderheiten der Baudynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Baustatik und Baudynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Die „sichere Seite“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Schwingungsmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Fernwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.5 Dampfung und Duktilitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Die statische Ersatzlast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.7 Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.8 Schaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Technische Regeln in der Baudynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Hamburgische Bauordnung (Auszug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Bundes-Immissionsschutzgesetz (Auszug) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Technische Baubestimmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5 Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.6 Richtlinien und Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.7 Internationale technische Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.8 Allgemein anerkannte Regeln der Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Begriffe und Kenngroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2 Zeitabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.1 Periodische Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2 Harmonische Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2.3 Nichtharmonische Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2.4 Nichtperiodische Einwirkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3.1 Schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3.2 Trage Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.3 Allgemeines Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.4 Steifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4.2 Stahlfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4.3 Stutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.4 Pfahlgrundungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4.5 Statisch bestimmter Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4.6 Elastische Matten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.7 Luftfedern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.8 Federkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4.9 Vorgespannte Schrauben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.1 Pfahlbock aus zwei Pfahlen mit gleicher Neigung . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.2 Pfahlbock aus einem geneigten und einem lotrechten Pfahl . . . . . . . . . 47

5 Bewegungen starrer Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Reine Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.1 Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2.2 Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.3 Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Reine Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.1 Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.3.2 Drallerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.4 Massentragheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.5 Wuchtgute von Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6.1 Krangungswinkel bei seitlicher Schiffsanfahrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6.2 Stabilitat eines schwimmenden Korpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Stoßvorgange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1 Der harte Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.2 Aufprall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1.3 Anprall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.1.4 Zusammenstoß zweier Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Der weiche Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.3 Konstruktiver Explosionsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.3.2 Stoßfunktion infolge Explosion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3.3 Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

InhaltsverzeichnisXII

6.3.4 Traglastverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.5 Dynamisches Modell zur Berechnung plastischer Verformungen . . . . . 836.3.6 Bemessung und Ausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.7 Beispiel Fassadenstutze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.4 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.1 Elastischer Einpfahldalben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4.2 Plastischer Anfahrpoller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.4.3 Bungee-Springen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4.4 Duktile Stahlbetontragwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Freie Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.1 Der Einmassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.2.2 Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.3 Eigenfrequenz der freien ungedampften Schwingung . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.4 Reduzierte Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.3 Systeme mit mehreren Freiheitsgraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3.1 Der ungedampfte Zweimassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3.2 Elastisch gestutzte starre Scheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.4 Homogene Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.4.2 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.4.3 Eigenfrequenzen ungedampfter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.4.4 Naherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4.5 Biegeeigenfrequenz mit Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.5 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.5.1 Maschinenfundament auf einzelnen Federn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.5.2 Nichtlinearitat bei Stahlbetontragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.2 Systeme mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.2.1 Direkte konstante Anregung – kraftgesteuerte Vorgange . . . . . . . . . . 1458.2.2 Direkte konstante Anregung – weggesteuerte Vorgange . . . . . . . . . . . 1548.2.3 Dynamische Krafte bei Kurbeltrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.2.4 Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1588.2.5 Direkte quadratische Anregung – Fliehkrafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1628.2.6 Selbstzentrierung im uberkritischen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1648.2.7 Passive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung . . . . . . . . . . . . . . 1658.2.8 Aktive Schwingungsisolierung – direkte Anregung . . . . . . . . . . . . . . . 1688.2.9 Aktive Schwingungsisolierung – indirekte Anregung . . . . . . . . . . . . . . 1708.2.10 Isolierwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.2.11 Resonanzuberhohung in dB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Inhaltsverzeichnis XIII

8.3 Der Zweimassenschwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3.1 Allgemeines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.3.2 Der Zweimassenschwinger als Schwingungstilger/-dampfer . . . . . . . . . . 1768.3.3 Der Zweimassenschwinger als Maschinenfundament . . . . . . . . . . . . . . . 181

8.4 Losungswege der Baudynamik bei periodischer Anregung. . . . . . . . . . . 192

8.5 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.5.1 Schwingungsdampfer fur eine Fußgangerbrucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.5.2 Ermudungsfestigkeit bei Schmelzofenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.5.3 Schwingungsanfallige Stahlbrucken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

9 Amplitudenreduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.2 Amplitudenreduktion an der Quelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.3 Amplitudenreduktion auf der �bertragungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . 217

9.4 Amplitudenreduktion am Empfanger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2179.4.1 Amplitudenreduktion im resonanzfernen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.4.2 Amplitudenreduktion im resonanznahen Bereich . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.5 Dissipative Dampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.5.1 �berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2189.5.2 Rheologische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.5.3 Ausschwingversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.5.4 Resonanzversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2249.5.5 Hysterese-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2259.5.6 Fluidreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9.6 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.6.1 Dampfungsberechnung aus einem Ausschwingversuch . . . . . . . . . . . . . 2319.6.2 Dampfungsberechnung aus einer Hysterese-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10 Menscheninduzierte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.2 Anregungsspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

10.3 Dimensionierungsfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

10.4 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.5 Zumutbare Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

11 Einfuhrung in die Baugrunddynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

11.2 Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24811.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

InhaltsverzeichnisXIV

11.2.2 Fortlaufende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24911.2.3 Wellenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2.4 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25611.2.5 Energietransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25711.2.6 Abschirmung durch vertikale Schlitzkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . 25811.2.7 Ausbreitung von Rammerschutterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

11.3 Boden-Bauwerk Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26311.3.1 Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26311.3.2 Federsteifigkeiten und Dampfungen starrer Fundamente . . . . . . . . . . 26311.3.3 Indirekte Anregung durch Bodenwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26511.3.4 Abstimmungsregel fur Fundamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

11.4 Erschutterungsbedingte Sackungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

11.5 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27211.5.1 Auswirkung einer Sprengung auf eine verankerte Spundwand . . . . . . 27211.5.2 Auswirkung einer Sprengung auf eine Windkraftanlage . . . . . . . . . . . . 276

12 Anforderungen an den Erschutterungsschutz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

12.2 Einwirkungen auf bauliche Anlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

12.3 Einwirkungen auf Menschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312.3.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312.3.2 Menschen in Gebauden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28412.3.3 Menschen am Arbeitsplatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.3.4 Schadliche und heilende Humanschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

12.4 Einwirkungen auf empfindliche Gerate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

13 Schwingungsmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

13.2 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

13.3 Anregung von Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29513.3.1 Anregung von Schwingungen fur Schwingungsmessungen . . . . . . . . . . 29513.3.2 Aktive Schwingungsbeeinflussung (Aktuatoren) . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

13.4 Aufbau einer Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

13.5 Schwingungsaufnehmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.5.2 Zweck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.5.3 Mechanisches Grundprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30013.5.4 Arbeitsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

13.6 Durchfuhrung von normgerechten Schwingungsmessungen . . . . . . . . . 309

13.7 Beispiele fur gemessene Freifeldschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

Inhaltsverzeichnis XV

Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

InhaltsverzeichnisXVI

DVD – Baudynamik erlebbar machen

Filmausschnitte der Experimente in der Versuchshalle des Instituts furMassivbau, TU Hamburg-Harburg, zu den im Buch behandelten Beispielen.

1. Titel2. Aufprall3. Anprall4. Eigenfrequenzen5. Harmonische Anregung6. Selbstzentrierung7. Transiente Wellen8. Rayleighwellen9. Passive Isolierung

10. Anhang

Im Anschluss:Kollapssprengung Hochhaus am Millerntor. Hamburg (1995)

Inhaltsverzeichnis XVII

6 Stoßvorgange

6.1 Der harte Stoß

6.1.1 Allgemeines

Die kinetische Energie des stoßenden Korpers wird in Formanderungsarbeit des gestoße-nen Korpers umgewandelt. Ist die Masse des stoßenden Korpers ms deutlich großer alsdie des gestoßenen Korpers mk, wirkt Letzterer nur als masselose Feder mk � ms, mk ¼ 0(Aufprall, Anprall; Bilder 6.1 und 6.3). Fur mk � ms siehe Abschnitt 6.1.4 Anmerkung 4.

Bild 6.1 Aufprall auf einen Einfeldbalken

6.1.2 Aufprall

Berechnungsgrundlage fur den harten Stoß ist der Energieerhaltungssatz:

Ekin þ Epot þ Edef ¼ konst ð6:1Þ

In Bild 6.1 sind die einzelnen Verformungsanteile des Aufprallstoßes dargestellt. Darin be-deuten:

�uu Abstand der Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t1 zum unverformten Balken (Ausgangslage)u0 Vorverformung infolge Balkeneigengewicht und anderer ruhender Lasten; Lage der

Masse ms zum Zeitpunkt t ¼ t2uu maximaler dynamischer Verformungsanteil (Amplitude bei harmonischen Schwingun-

gen) zum Zeitpunkt t ¼ t3 (Umkehrpunkt)ustat Verformungsanteil infolge der statischen Belastung msg; Lage der Masse ms zum

Zeitpunkt t ¼ t4 (Ruhelage nach dem Abklingen der Schwingung)

Angewandte Baudynamik. 2. Auflage. Helmut Kramer# 2013 Ernst & Sohn GmbH & Co. KG. Published by Ernst & Sohn GmbH & Co. KG.

umax ¼ ustat þ uu maximale Stoßverformungh ¼ �uuþ u0 Fallhohe des stoßenden Korpers

Die statische Ersatzlast Fers ist jene statische Kraft, die notwendig ist, um die dynamischeVerformung uu zu erzeugen. Sie lasst sich bestimmen durch:

Fers ¼ uu � k ð6:2Þ

Die Vergroßerungsfunktion – auch dynamische �berhohung, normierte dynamische Ver-formung oder Pegel genannt – ist das Verhaltnis der maximalen dynamischen Verfor-mung uu zur statischen Verformung ustat.

V ¼ uu

ustatð6:3Þ

Die Energie hat die Dimension einer Arbeit. Mit mk ¼ 0 und ms ¼ m wird die kinetischeEnergie des stoßenden Korpers fur t1 � t � t2:

Ekin ¼m

2v2 [kNm] ¼b [103 Joule] ð6:4Þ

Die Lageenergie im Schwerefeld bei einem sinnvoll (beliebig) gewahlten, dann aber fes-ten Koordinatensystem (mit der immer positiv nach oben gerichteten geodatischen Hohez) ist definiert als:

Epot ¼ m � g � z [kNm] ¼b [103 J] ð6:5Þ

Die Deformationsenergie des Einfeldbalkens aus dem Bild 6.1 beim Aufprall kann fol-gendermaßen ausgedruckt werden (siehe Bild 6.3):

Edef ¼Ð

FðuÞ du ð6:6Þ

F ist die Kontaktkraft (Stoßkraft) zwischen ms und dem Balken. Fur die Anfangsbedin-gung t ¼ t1 und v1 ¼ 0 gilt:

Ekin; 1 ¼ 0

Epot; 1 ¼ m � g � ð�uuþ u0 þ ustat þ uÞEpot; 1 ¼ m � g � ðhþ umaxÞEdef; 1 ¼ 0

ð6:7Þ

Im Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t ¼ t3 und v3 ¼ 0 gilt:

Ekin; 3 ¼ 0

Epot; 3 ¼ 0

Edef; 3 ¼u2

max

2� k fur umax � ufl

ð6:8Þ

mit:

k Federkonstante des Balkens am Stoßpunktufl Verformung an der Fließgrenze des Balkens (siehe Bild 6.3)

Anmerkung 1: Wird ein Teil der kinetischen Energie durch Dampfung absorbiert, z. B.plastische Verformungen (Knautschzone), Reibung, zahe Flussigkeit, Fender, muss

6 Stoßvorgange64

Gl. (6.1) durch ein Verlustglied, das die Dampfungsarbeit berucksichtigt, erweitert wer-den (siehe Abschnitte 6.1.3 und 9.5.2).

Die Gl. (6.7) und (6.8) werden in die Energiebilanzgleichung (6.1) eingesetzt.

Epot; 1 ¼ Edef; 3

m � g � ðhþ umaxÞ ¼u2

max

2� k

ð6:9Þ

Mit ustat ¼ mg=k lasst sich Gl. (6.9) physikalisch sinnvoll unter Vernachlassigung der ne-gativen Wurzel schreiben als:

u2max � 2ustatumax ¼ 2ustath )

umax ¼ ustat þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiu2

stat þ 2ustathq

)

ustat þ uu ¼ ustat þffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiu2

stat þ 2ustathq

)

uu ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiu2

stat þ 2ustathq

)

uu ¼ ustat

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ 2h

ustat

sð6:10Þ

Daraus folgt die Vergroßerungsfunktion:

V ¼ uu

ustat) V ¼


ustat

sð6:11Þ

Beispiel 6.1

Mit einem Fallversuch konnen die hergeleiteten Formeln uberpruft werden (! DVD, Me-nue 2). Entsprechend Bild 6.1 wird ein Rechteckrohr aus Stahl der Festigkeitsklasse St355JO mit den Abmessungen (50� 30� 2,9 mm) uber 4,0 m gespannt und ein Bleikorper mitdem Gewicht mg ¼ 0,2 kN in Feldmitte aus unterschiedlicher Hohe fallen gelassen. DieQuerschnittswerte und das Eigengewicht sind den Tabellen des Herstellers entnommen:

A ¼ 4,23 cm2 , Iz ¼ 5,88 cm4 , q ¼ 0,0332kNm¼b 3,32 � 10�4 kN

cm

Damit lassen sich die benotigten Kennwerte ermitteln:

u0 ¼q � l4

76,8 � E � I

u0 ¼3,32 � 10�4 � 4004

76,8 � 21000 � 5,88¼ 0,896 cm � 9 mm

ustat ¼m � g � l3

48 � E � I

ustat ¼0,2 � 4003

48 � 21000 � 5,88¼ 2,16 cm ¼ 21,6 mm

k ¼ 48 � E � Il3

k ¼ 48 � 21000 � 5,884003

¼ 0,09261kNcm¼ 9,261

kNm

6.1 Der harte Stoß 65

Gl. (6.11) wird durch einsetzen von ustat zu:

V ¼ uu

ustat¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ 2 � h

ustat

s¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ h

10,8

sDie Auswertung fur unterschiedliche Fallhohen zeigen die Ergebnisse in Tabelle 6.1.

Tabelle 6.1 Ergebnisse des Fallversuches (gerechnet)

h [mm] 0 30 60 90

umax [mm] 43,2 63,58 76,90 87,59uu [mm] 21,6 41,98 55,30 65,99Vgerechnet 1 1,94 2,56 3,06

Das Bild 6.2 zeigt die Werte der Vergroßerungsfunktion bei unterschiedlicher Fallhohe.

Fur h ¼ 30 mm wird V ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ 30=10,8

p¼ 1,94 und uu ¼ V � ustat ¼ 1,94 � 21,6 ¼ 41,98 mm.

Die maximale Auslenkung ist umax ¼ ustat þ uu ¼ 21,60þ 41,98 ¼ 63,58 mm.

Ein alternativer Losungsweg fuhrt zu demselben Ergebnis. Fur die Anfangsbedingungt ¼ t2 ergibt sich eine Aufprallgeschwindigkeit von v2 ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffi2gh

p(siehe Abschnitt 4.3.1).

Mit der Energiebilanzgleichung (6.1) folgt:

Ekin; 2 þ Epot; 2 ¼ Edef; 3 ) m

2v2

2 þmgumax ¼u2

max

2k

Die Vergroßerungsfunktion ergibt sich wieder aus der quadratischen Gleichung fur umax

entsprechend Gl. (6.10) zu:

V ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ v2

2

gustat

s¼


ustat

sð6:12Þ

Aus Gl. (6.12) kann mit Gl. (6.2) die statische Ersatzlast Fers errechnet werden:

V ¼ uu

ustat¼ uuk

ustatk) V ¼ Fers

mg) Fers ¼ Vmg

Bild 6.2 Auswertung eines Fallversuches

6 Stoßvorgange66

Mit der maximalen statischen Ersatzlast Fmax, die notwendig ist, um die maximale Stoßverfor-mung umax zu erzeugen, werden die Momente und Spannungen der Konstruktion berechnet.

Fmax ¼ Fstat þ Fers

Fmax ¼ mgþ Vmg

Fmax ¼ mgð1þ VÞ

Anhand dieser Formeln lasst sich das Prinzip der dynamischen Abfederung gut verste-hen. Mit ustat ¼ mg=k wird

V ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ 2h

mgk

sEine weiche Feder (kleines k) bedeutet demnach eine geringe Beanspruchung (kleinesFmax) fur die Konstruktion. Gleichzeitig bewirkt eine weiche Feder jedoch große Verfor-mungen der Konstruktion. Mit Gl. (6.3) wird

uu ¼ ustat

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1þ 2h

mgk

s) uu ¼ mg

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1k2þ 2h

mg

1k

s

Anmerkung 2: Hat sich z. B. beim Besen der Stiel gelockert, schlagt man mit dem Stiel-ende (Besenhaare nach oben) auf einen harten Boden auf. Die Federsteifigkeit von Stielund Boden wird dann sehr groß. Im Grenzfall wird:

k!1 V !1 Fmax !1 uu! 0

Anmerkung 3: Fur h ¼ 0 und v2 ¼ 0, also dem plotzlichem Absetzen einer Last ohneFallhohe wird V ¼ 1 und Fmax ¼ 2mg. Die Beanspruchung der Konstruktion verdoppeltsich im Vergleich zur statischen Belastung.

Anmerkung 4: Die Bedingung fur Gl. (6.8) umax � ufl stellt sicher, dass die Konstruktionzur Abfederung nach dem Stoß wieder verwendet werden kann. Fur Stoßvorgange, dieals Katastrophenlastfall eingestuft werden, kann Gl. (6.8) fur umax > ufl erweitert werden(siehe Abschnitt 6.1.3). Die Konstruktion muss dann nach dem Stoßvorgang wieder her-gestellt werden.

Bei der dynamischen Abfederung von fallenden oder horizontal bewegten Massen soll die Be-anspruchung der Feder und der Auflagerkonstruktion moglichst gering sein.

a) Wird eine linear-elastische Feder (Hooke-Modell in Bild 9.1) eingesetzt, tritt die maxi-male Kraft (Beanspruchung) nur im Umkehrpunkt auf.

Edef ¼ Fmax �u

2! Fmax ¼ k � umax ! Fmax ¼

2Edef

u

b) Mit Industriestoßdampfern oder Polyetherurethan (z. B. ACE, Langenfeld) (Voigt-Kelvin-Modell Bild 9.1) tritt die maximale Kraft (Beanspruchung) im gunstigsten Fall wahrenddes ganzen Bremsvorganges auf und wird dadurch bei gleichem Edef nur halb so groß.

Edef ¼ Fmax � u! Fmax ¼ konst:! Fmax ¼Edef

u


6.1.3 Anprall

Typische Konstruktionen mit Anfahrschutzfunktion sind Poller vor Gebaudestutzen nebenVerkehrswegen, Gelander zur Absturzsicherung und Dalben, die nach EAU (siehe Ab-schnitt 3.6) fur Schiffsstoß bemessen werden. Nach dem Energieerhaltungssatz (6.1) ist:

Ekin; 1 þ Edef; 1 ¼ Ekin; 2 þ Edef; 2

Die Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t ¼ t1 lautet unter Beachtung von mk � ms ¼ m(Bild 6.3):

Ekin; 1 ¼ms

2v2

1

Edef; 1 ¼ 0ð6:13Þ

In diesem Fall wird wie im Abschnitt 6.1.2 beschrieben mit einer masselosen Feder ge-rechnet. Die Lageenergie Epot bleibt bei horizontalem Anprall (z ¼ konst) unverandertund tritt bei der Energiebilanz daher nicht auf. Im Umkehrpunkt zum Zeitpunkt t ¼ t2wird die kinetische Energie Ekin; 2 ¼ 0.

Beim Anfahrschutz fur Pfeiler oder Stutzen werden haufig bleibende plastische Verformun-gen bewusst in Kauf genommen, wenn umax > ufl ist. Hierbei sind Materialien mit einerhohen Werkstoffduktilitat aufgrund ihrer großen Verformungsfahigkeit bis zum Bruch vor-teilhaft. Allerdings mussen die Anschlusse und Verbindungen der Konstruktion fur dieKraft Fmax ¼ g � ufl � k bemessen werden. Der Sicherheitsbeiwert g deckt Materialverfesti-gung im plastischen Bereich (Edef; v in Bild 6.3) und �berfestigkeiten gegenuber den Anga-ben in den Normen ab. Außerdem ist auf Instabilitaten im Bereich der Fließgelenke zuachten. Die Rotationsfahigkeit der Fließgelenke muss konstruktiv sichergestellt sein.

Im Kraft-Verformungsdiagramm von Bild 6.3 bedeuten:

Edef; el reversible elastische DeformationsarbeitEdef; pl irreversible plastische Deformationsarbeit (siehe Abschnitt 9.5)Edef; v Verfestigungsanteil wird meistens vernachlassigt

Anders als in Abschnitt 6.1.2 mit umax ¼ ustat þ uu wird jetzt wegen ustat ¼ 0

umax ¼ uuumax ¼ uel þ upl maximale Verformung der Stutze

Fur Edef ;v ¼ 0 spricht man von elasto-plastischem, wenn auch Edef ;el � 0 von starr-plas-tischem Materialverhalten.

Die Deformationsarbeit zum Zeitpunkt t ¼ t2 kann folgendermaßen beschrieben werden:

Edef; 2 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl

Edef; 2 ¼12

u2flkþ uflkupl

ð6:14Þ

Die Gl. (6.14) wird in den Energieerhaltungssatz (6.1) eingesetzt:

Ekin; 1 ¼ Edef; 2

Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ Edef; 2; pl

Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el þ uflkupl

ð6:15Þ

6 Stoßvorgange68

Die plastische Formanderung ergibt sich dann aus Gl. (6.15) zu:

upl ¼ ðEkin; 1 � Edef; 2; elÞ1

uflkfur umax > ufl ð6:16Þ

Das plastische Grenzmoment an der Einspannstelle betragt (Bild 6.3):

M ¼ Fers � lk mit Fers ¼ g � ufl � k

Anmerkung: In der Baustatik kann eine Konstruktion nur bis zur Traglast (kinematischeKette) beansprucht werden. In der Baudynamik konnen daruber hinaus die plastischenVerformungen der Fließgelenke oder Fachwerkstabe bis zum Bruch ausgenutzt werden.Stabilitat, nichtduktile Anschlusse und Ermudung sind allerdings gesondert zu betrach-ten.

Horizontale Stoßbelastung von Pfahlen/Dalben

Die innere Tragfahigkeit von Pfahlen unter horizontaler Stoßbelastung wird wie bei sta-tischer Belastung mit Hilfe des Bettungsmodulverfahrens ermittelt. Gemaß DIN 1054-100darf fur die dynamische Belastung naherungsweise der statische Bettungsmodul angesetztwerden. Nahere Angaben dazu in ½40; 64:

Sollen Dalben oder Stutzen so bemessen werden, dass ihre Verformungen im elastischenBereich bleiben, darf die Verschiebung hochstens umax ¼ uel � ufl betragen. Fur die De-formationsarbeit gilt demnach:

Edef; 2 ¼12

u2elk ð6:17Þ

Das erforderliche Arbeitsvermogen eines Dalbens muss so groß sein, dass von ihm diekinetische Energie des anfahrenden Schiffes aufgezehrt wird, ohne dass plastische Verfor-

Bild 6.3 Stutzenanprall: Kraft-Verformungs-Beziehung


mungen entstehen. In der Regel wird das erforderliche Arbeitsvermogen des DalbensEdef von der zustandigen Hafenverwaltung festgelegt. Gl. (6.15) verkurzt sich dann zu:

Ekin; 1 ¼ Edef; 2; el

m

2� v2

1 ¼12� u2

el � k

uel ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2 � Ekin; 1

k

r¼ v1 �

ffiffiffiffim

k

rfur umax ¼ uel < ufl

Mit

w ¼ffiffiffiffik

m

rwird: uel ¼

v1

wð6:18Þ

v1 ¼ uelw ist die Schwinggeschwindigkeit einer harmonischen Schwingung.

Fers ¼ uelk fur umax < ufl

Fers ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2Ekin; 1k

p ð6:19Þ

Die Kraft Fers gibt die maximale Kontaktkraft (Stoßkraft) zwischen Schiff und Dalbenan, anhand derer die Dalbenkonstruktion dimensioniert wird. Kleines k bedeutet kleineStoßkraft also geringe Belastung von Schiff und Dalben aber große Verformung.

Beispiel 6.2

Gemaß Bild 6.3 wird beispielhaft eine Dalbenbemessung durchgefuhrt, die im Modellver-such uberpruft werden kann (! DVD, Menue 3). Eine Holzlatte aus Kiefer der Sortier-klasse S 10 mit den Abmessungen (35� 16 mm) hat eine Kraglange von lk ¼ 0,685 m.Der Dalben erfahrt den Anprall einer Masse ms ¼ 20 kg und es wird die aufnehmbareVerformung smax bis zum Fließen des Materials am Einspannungspunkt bestimmt.

Der Elastizitatsmodul und die Fließspannung des Holzquerschnittes bei Biegebeanspru-chung wurden experimentell ermittelt:

Ejj ¼ 107 kNm2

sfl ¼ 3 � 104 kNm2

Mit dem Flachentragheitsmoment kann schließlich die zulassige Verformung bis zum Ein-tritt der Plastifizierung angegeben werden:

Iz ¼b � h3

12¼ 3,5 � 1,63

12� 1,2 cm4

Wz ¼b � h2

6¼ 3,5 � 1,62

6� 1,5 cm3

k ¼ 3 � E � Iz

l3k

¼ 3 � 103 � 1,268,53

¼ 0,0112kNcm

ufl ¼Fers

k¼ Mfl

lk � k¼ sfl �Wz

lk � k

6 Stoßvorgange70

ufl ¼3 � 1,5

68,5 � 0,0112

umax ¼ ufl � 6,0 cm

Sollen also die Verformungen im elastischen Bereich bleiben, muss gemaß Gl. (6.15):

Ekin; 1 � Edef; 2; el ¼12

u2flk ¼

12� 62 � 0,0112 ¼ 0,20 kN cm

sein. Daraus ergibt sich die maximal zulassige Anprallgeschwindigkeit von v1 ¼ 0,45 m=s.

Ekin; 1 ¼202� 10�3 � 0,452 ¼ 0,20 kN cm

In diesem Fall gelten die Gleichungen (6.18) und (6.19). Wenn Ekin, 1 > 0,20 kN cm ist, giltdie Formel (6.16) mit Fers ¼ uflk ¼ 6 � 0,0112 ¼ 0,067 kN.

6.1.4 Zusammenstoß zweier Korper

In diesem Abschnitt wird beim Zusammenstoß zweier Korper von einem geraden zentra-len Stoß ausgegangen (Impulserhaltungssatz, siehe Abschnitt 5.2.3). Die Geschwindig-keitsvektoren der beiden Korper und die Kontaktkraft liegen auf der Verbindungsgeradeder Schwerpunkte. Die Einzelimpulse der Korper werden als Gesamtimpuls zusammen-gefasst (Gl. 5.5).

Im Augenblick unmittelbar vor dem Stoß (Bild 6.4) zur Zeit t ¼ t0 ist der GesamtimpulsI ¼ mk � vk; 0 þms � vs; 0. Der gestoßene Korper habe die Geschwindigkeit vk; 0 ¼ 0. Dannwird I ¼ ms � vs; 0.

Bild 6.4 Zusammenstoß zweier Korper zum Zeitpunkt t ¼ t0

Am Ende der ersten Stoßperiode zum Zeitpunkt t ¼ t1 haben beide Korper dieselbe Ge-schwindigkeit v (Bild 6.5). Aus Gl. (5.5) I ¼ konst folgt:

ðmk þmsÞ v ¼ msvs; 0

I1 ¼ msðvs; 0 � vÞ ¼ mkvð6:20Þ

Die gemeinsame Geschwindigkeit der beiden Korper kann aus Gl. (6.20) bestimmt wer-den zu:

v ¼ msvs; 0

mk þmsð6:21Þ

Am Ende der 2. Stoßperiode zum Zeitpunkt t ¼ t2 hat der gestoßene Korper die Ge-schwindigkeiten vk; 2 und der stoßende Korper die Geschwindigkeiten vs; 2 (Bild 6.6).


Aus Gl. (5.5) I ¼ konst folgt:

mkvk; 2 þmsvs; 2 ¼ ðmk þmsÞ v

I2 ¼ msðv� vs; 2Þ ¼ mkðvk; 2 � vÞð6:22Þ

Wahrend des Stoßvorganges kann ein Teil der Bewegungsenergie durch plastische Defor-mationen und durch Druckwellen in irreversible Energieformen umgewandelt werden(siehe Abschnitt 9.5). Der Impulserhaltungssatz (Gl. 5.5) und der Energieerhaltungssatz(Gl. 6.1) gelten dann nicht mehr, es sei denn man fuhrt mit dem mechanischen Warme-aquivalent (Gl. 9.2) ein Verlustglied ein.

Q ¼b DE ¼ Ekinðt ¼ t0Þ � Ekinðt ¼ t2Þ

Um die Energiedissipation bei der Anwendung des Impulserhaltungssatzes zu berucksich-tigen, wird die materialabhangige Stoßzahl e eingefuhrt (Bild 6.7). Die von Newton ent-

Bild 6.5 Geschwindigkeit und Kontaktkraft zum Zeitpunkt t ¼ t1

Bild 6.6 Geschwindigkeiten zum Zeitpunkt t ¼ t2

Bild 6.7 Stoßverlauf und dessen Einteilung in zwei Abschnitte

6 Stoßvorgange72

wickelte Stoßhypothese lautet:

I2 ¼ eI1 ð6:23Þ

Die Stoßzahl betragt beim vollkommen elastischen Stoß e ¼ 1 (upl ¼ 0 in Bild 6.3), wasim Umkehrschluss bedeutet, dass die Energiedissipation den Wert Null annimmt. Beimidealplastischen Stoß (starr-plastisches Materialverhalten) nimmt die Stoßzahl den Werte ¼ 0 an (uel ¼ 0 in Bild 6.3), wodurch die Energiedissipation maximal wird. Im Folgen-den sind einige typische Stoßzahlen aufgefuhrt:

– Glas e ¼ 0,8– Stahl e ¼ 0,6– Holz e ¼ 0,5

Die Stoßzahl ist von der Form der zusammenstoßenden Korper und ihrer Anprall-geschwindigkeit abhangig. Die Gl. (6.20) und (6.22) lassen sich in Gl. (6.23) einsetzen.Der Impuls fur den gestoßenen und den stoßenden Korper lautet dann:

msðv� vs; 2Þ ¼ emsðvs; 0 � vÞ ð6:24Þ

mkðvk; 2 � vÞ ¼ emkv ð6:25Þ

Aus den Gl. (6.24) und (6.25) lassen sich die Massen herauskurzen. Nach Addition derGl. (6.24) und (6.25) ergibt sich:

v� vs; 2 þ vk; 2 � v ¼ eðvs; 0 � vþ vÞ ¼ evs; 0 ð6:26Þ

e ¼ �vs; 2 þ vk; 2

vs; 0ð6:27Þ

Die Stoßzahl kann durch Versuche aus den Geschwindigkeiten vor und nach dem Auf-prall bestimmt werden (Bild 6.8). Aus Gl. (6.27) folgt:

vs; 2 ¼ vk; 2 � evs; 0 ð6:28Þ

Aus Gl. (6.25) folgt.

vk; 2 ¼ vðeþ 1Þ ð6:29Þ

und schließlich (6.21) in (6.29) eingesetzt ergibt:

vk; 2 ¼msvs; 0

ms þmkðeþ 1Þ ð6:30Þ

Stoßt ein Korper ms mit der Geschwindigkeit vs; 0 auf einen ruhenden Korper mk, dannsind die Geschwindigkeiten der stoßenden und der gestoßenen Korper am Ende der2. Stoßperiode mit den Gl. (6.28) und (6.30) bestimmt.

Angenommen, der Stoß sei idealplastisch, so folgt mit e ¼ 0 und vk; 0 ¼ 0 aus den Gl.(6.28) und (6.30):

vs; 2 ¼ vk; 2 ¼ v ) v ¼ msvs; 0

ms þmkð6:31Þ

Die beiden Korper losen sich nach dem Stoß nicht mehr und haben die gemeinsameGeschwindigkeit v, siehe auch Gl. (6.21).


Beispiel 6.3

Um die Stoßzahl e zu ermitteln, nimmt man eine Kugel aus dem Material, dessen Stoß-zahl bestimmt werden soll und lasst diese aus einer fest definierten Hohe h1 auf einenstarren Boden fallen. Nach dem Aufprall wird die Hohe h2 gemessen (Bild 6.8).

Bild 6.8 Experimentelle Bestimmung der Stoßzahl

Unmittelbar vor dem Aufprall t ¼ t0 hat die Kugel die Geschwindigkeit vs; 0 ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2gh1

p.

Nach Gl. (6.27) gilt mit vk; 2 ¼ 0 fur die Geschwindigkeit unmittelbar nach dem Aufprallt ¼ t2:

e ¼ �vs; 2

vs; 0) vs; 2 ¼ �evs; 0

Weil mit dem Energieerhaltungssatz Ekin; t2 ¼ Epot; tE erfullt sein muss, kann die Geschwin-digkeit vs; 2 berechnet werden aus:

v2s; 2ms

2¼ msgh2 ) vs; 2 ¼ �

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2gh2

p)

evs; 0 ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2gh2

p) e ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2gh2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2gh1

p )

e ¼

ffiffiffiffiffih2

h1

s

Die Stoßzahl ist folglich unabhangig von der Große der stoßenden Masse ms. Alternativkann die Stoßzahl auch mit Pendelversuchen ermittelt werden.

Anmerkung 1: Bei der Kollision eines bewegten Fahrzeuges (Schiff, Flugzeug, Auto) miteinem Ruhenden handelt es sich um einen vollplastischen Stoß e ¼ 0. Die durch dieKnautschzone zwischen den kollidierenden Fahrzeugen maximal mogliche Umwandlungmechanischer Energie muss so bemessen sein, dass fur die Insassen oder die Ladungkein Schaden entsteht. Diese Bedingung fuhrt zu einer kritischen Kollisionsgeschwindig-keit vs; kr (Gl. 6.34). Der Energieerhaltungssatz besagt, dass in einem abgeschlossenemSystem die Gesamtenergie erhalten bleibt, folglich gilt Ekin þ Edef ¼ konst. Vor dem Zu-

6 Stoßvorgange74

sammenprall gilt:

Ekin; 0 ¼12

msv2s; 0

vk; 0 ¼ 0

Die irreversible plastische Deformationsarbeit der Knautschzone wird mit dem TermEdef; 2; pl erfasst (siehe Bild 6.3), wohingegen die reversible elastische DeformationsarbeitEdef; 2; el vernachlassigt wird. Nach dem Zusammenprall betragt die kinetische EnergieEkin; 2 mit vs; 2 ¼ vk; 2 ¼ v und v ¼ msvs; 0=ðms þmkÞ (Gl. (6.31):

Ekin; 2 ¼ms þmk

2v2 ¼ ms þmk

2ms

ms þmk

� �2

v2s; 0 ð6:32Þ

Mit Ekin; 0 ¼ Ekin; 2 þ Edef; 2; pl wird:

Edef; 2; pl ¼12

msv2s; 0 �

ms þmk

2ms

ms þmk

� �2

v2s; 0

Edef; 2; pl ¼12

v2s; 0

msðms þmkÞms þmk

� m2s

ms þmk

� �Edef; 2; pl ¼

12

v2s; 0

msmk

ms þmk

ð6:33Þ

Aus Gl. (6.33) folgt die kritische Kollisionsgeschwindigkeit: vs; 0 ) vs; kr

vs; kr ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2Edef; 2; pl

ms þmk

msmk

rð6:34Þ

Kollidiert das Fahrzeug mit einem starren Widerlager ðmk !1Þ, verandert sich demge-maß die Gl. (6.34) zu:

vs; kr ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2

Edef; 2; pl

ms

sð6:35Þ

Durch einen Crashtest an einem starren Widerlager kann vs; kr gemessen und daraus dievorhandene Edef; 2; pl der Knautschzone des kollidierenden Fahrzeuges berechnet werden.

Anmerkung 2: Die Große der Kontaktkraft F bleibt in den oben aus der Impulsbilanzabgeleiteten Stoßformeln unbekannt. Mit der Newtonschen Stoßhypothese konnen nurdie Geschwindigkeiten nach dem Stoß berechnet werden unter Annahme eines Verlustesan mechanischer Energie. Wenn die Masse mk bekannt ist und ihre Beschleunigung wah-rend des Stoßvorganges a gemessen wird, dann lasst sich die Kontaktkraft F berechnen.Am Ende der 1. Stoßperiode wird die Beschleunigung a und die Kraft F zwischen denbeiden Korpern maximal Fmax ¼ mkamax. Die Kontaktkraft kann auch mit Druckmess-dosen ermittelt werden. Sie ist jedoch keine statische Kraft, sondern wirkt nur wahrendder Zeit t0 � t � t2.

Anmerkung 3: Um ein vollstandiges Bild des Stoßverlaufes zu bekommen, muss derKraft-Zeit Verlauf FðtÞ (Bild 6.7) oder der Kraft-Weg Verlauf FðuÞ (siehe Bild 6.3) ausCrashversuchen oder Berechnungen bekannt sein.


Die wahrend der Stoßzeit t0 � t � t2 wirkende Kontaktkraft FðtÞ fuhrt zu einer �nderungdes Impulses (siehe Bild 6.7):

F^

¼Ðt2t0

FðtÞ dt ¼ Iðt2Þ � Iðt0Þ ¼ DI

Siehe auch Gl. (5.4). Das Zeitintegral F^

wird Kraftstoß oder Stoßimpuls genannt undhat die Dimension eines Impulses. Mit den nach der Newtonschen Stoßhypothese ermit-telten Geschwindigkeiten vs; 2 und vk; 2 am Stoßende lasst sich DI berechnen mitIðt2Þ ¼ mkvk; 2 þmsvs; 2 (Gl. 6.22) und Iðt0Þ ¼ msvs; 0 (Gl. 6.20). Mit Hilfe des Integralsuber den Kraft-Zeit Verlauf F

^

lasst sich dann die maximale Kontaktkraft Fmax und dieStoßdauer t2 berechnen.

Die langs des Weges uel þ upl wirkende Kontaktkraft FðuÞ fuhrt zu einer �nderung derkinetischen Energie (siehe Bild 6.3).

Edef ¼Ðuelþupl

u¼0FðuÞ du ¼ Ekinðt2Þ � Ekinðt0Þ ¼ DE

Das Wegintegral Edef wird Deformationsenergie genannt und hat die Dimension einer Ar-beit. Mit vs; 2 und vk; 2 lasst sich DE und schließlich mit dem Integral uber den Kraft-Weg-Verlauf Edef lasst sich Fmax und die Stoßdeformation uel þ upl (Knautschweg) berechnen.

Die beiden Kennlinien (FðuÞ Bild 6.3 und FðtÞ Bild 6.7) sind aquivalent. Sie unter-scheiden sich durch den Faktor v (Geschwindigkeit). Mit F ¼ maðtÞ ¼ m dv=dt undvðtÞ ¼ du=dt wird:ð

FðuÞ du ¼ð

mdvdt

du )ð

mvðtÞ dv )ðmvðtÞ dv ¼ 1

2mðvðtÞÞ2ð

FðtÞ vðtÞ dt ¼ð

mdvdt

vðtÞ dt )ð

mvðtÞ dv )ðmvðtÞ dv ¼ 1

2mðvðtÞÞ2

Anmerkung 4: Trifft der stoßende Korper ms auf einen elastisch gelagerten Korper mk,dessen Masse gleich oder großer ist ðmk,red � msÞ (Bild 6.9), so muss nach Ab-schnitt 6.1.4 zunachst die Geschwindigkeit des gestoßenen Korpers mk; red unmittelbar nachdem Stoß vk; 2 berechnet werden (Bild 6.9). Bei massebehafteten Federn (Staben) wirdmk durch mk,red ersetzt (Abschn. 7.2.4). Anschließend kann mit vk; 2 ¼b v1 undmk; red ¼b ms gemaß Bilder 6.1 und 6.3 die Verformung der masselosen Feder k berechnetwerden (Amboss-Hammer, Rammgerat, hydraulischer Meißel, Auf- und Anprallstoß ge-gen Bauteile mit großer Masse). Mit Fmax ¼ umax � k kann dann die elastische Haltekons-truktion bemessen werden.

6 Stoßvorgange76

6.2 Der weiche Stoß

Die kinetische Energie des stoßenden Korpers wird in Formanderungsarbeit des stoßen-den Korpers umgewandelt (Knautschzone bei Fahrzeugen, Schiffsanprall bei Brucken,Flugzeugabsturz). Die Stoßfunktion FðtÞ – Impulsanregung – muss aus Crashversuchenoder FE-Berechnungen bekannt sein (siehe z. B. DIN 1055-9). Fur einfache Stoßfunk-tionen existieren Diagramme, welche den dynamischen Erhohungsfaktor (hier D, anstelleV in Bild 8.6) des Einmassenschwingers angeben (Bild 6.10). Bei Impulsanregung ist diedynamische �berhohung vom Quotienten aus Stoßdauer und Periodendauer abhangig,wahrend bei periodischer Anregung (Kapitel 8) der Quotient aus Anregungs- und Eigen-frequenz maßgeblich ist.

Fur eine naherungsweise Berechnung reichen diese Diagramme aus. Bemerkenswert ist,dass der dynamische Erhohungsfaktor D (Stoßfaktor) fur eine plotzlich einwirkendeKraft td � 0,5 � T wiederum 2,0 ist (Bild 6.10 oben). Es kommt also zu einer Verdopplungder statischen Beanspruchung wie in Anmerkung 3 in Abschnitt 6.1.2 fur den harten Stoßbeim plotzlichen Absetzten einer Last gezeigt wurde. Derartige dynamische Lasten tretenbeispielsweise auf beim Anheben oder Absetzen von Kranlasten und beim Versagen vonKonstruktionsteilen infolge �berlastung oder Abbruchsprengung [79]. Man liegt auf dersicheren Seite, wenn man mit der doppelten statischen Last rechnet. Die DiagrammeBild 6.10 gelten nur fur den elastischen Bereich Fers ¼ wdyn � k ¼ D � wstat � Fpl (Traglast).Werden auch plastische Verformungen benotigt, um den Impuls abzufangen, werden er-weiterte Diagramme gebraucht (Abschn. 6.3). Genauere Angaben sind in [1] enthalten.

Bild 6.9 Zusammenstoß zweier Korper mit mk,red � ms

6.2 Der weiche Stoß 77

6.3 Konstruktiver Explosionsschutz

Dr.-Ing. Kira Holtzendorff

6.3.1 Allgemeines

Mit steigendem Sicherheitsbedurfnis der Bevolkerung nimmt auch der bauliche Explosi-onsschutz an Bedeutung zu. Gefahren durch Terroranschlage, defekte Gasleitungen undIndustriebetriebe mit explosiven Chemikalien sowie Staubexplosionen sind vorrangig zunennen. Die Einwirkungen auf bauliche Anlagen in Form von Druckwellen aufgrund ei-

Bild 6.10 Dynamischer Erhohungsfaktor infolge eines weichen Stoßes [2]

6 Stoßvorgange78

nes Explosionsereignisses konnen als Stoßfunktion pðtÞ beschrieben werden. Fur einfacheStoßfunktionen sind in Bild 6.10 (rechteck-, dreieck- oder parabelformige Kraft-Stoß-funktionen FðtÞ, welche sinngemaß auch als Druckstoßfunktionen pðtÞ verwendet werdenkonnen) die dynamischen Erhohungsfaktoren des Einmassenschwingers angegeben, so-fern die Verformung im elastischen Bereich der Konstruktion bleibt. Praktische Anwen-dungsfalle zeigen allerdings, dass fur den außergewohnlichen Lastfall einer Explosions-einwirkung plastische Verformungen der Konstruktion aus wirtschaftlichen Grundenmeist unvermeidbar sind. Sie konnen hingenommen werden, so lange die plastischen Ver-formungen im Hinblick auf die zu erhaltende, globale Standsicherheit der baulichenAnlagen begrenzt bleiben. Grundsatzlich basiert die explosionssichere Bemessung vonKonstruktionen auf dem Energieerhaltungssatz (siehe Abschnitt 6.1), wonach die Explo-sionsenergie durch ausreichende (plastische) Verformungen der Konstruktion vollstandigdissipiert werden muss.

Die Berechnung plastischer Verformungen infolge einer Stoßfunktion wird im Folgendenbehandelt. Zusatzlich werden Hinweise gegeben, welche konstruktiven Maßnahmen zurSicherstellung einer ausreichenden Duktilitat, also eines plastischen Verformungsver-mogens (siehe dazu auch Abschnitt 6.4.4) von Querschnitten, Tragsystemen und An-schlussen ergriffen werden konnen.

6.3.2 Stoßfunktion infolge Explosion

Bei einer Explosion wird eine Druckwelle erzeugt, die zu einer sprunghaften Erhohung desLuftdrucks, dem Spitzenuberdruck ps, fuhrt, welcher dann mit der Dauer der Einwirkung texponentiell abnimmt, wie im Bild 6.11 dargestellt ist. Die absolute Große des Freifeld-�ber-drucks ps hangt vom Explosionsereignis und von der Entfernung zur Explosionsquelle ab.

In Bild 6.11 ist zu erkennen, dass auf die Phase des positiven �berdrucks die Phase desnegativen Unterdrucks folgt, in welcher eine Sogwirkung auftritt. Diese Sogwirkung wirdim Folgenden vernachlassigt, muss jedoch konstruktiv, z. B. durch zusatzliche Bewehrungim planmaßigen Druckbereich, berucksichtigt werden.

Bild 6.11 �berdruck ps der freien Explosionswelle [72]

6.3 Konstruktiver Explosionsschutz 79

Wenn die Druckwelle auf ein Hindernis wie z. B. ein Gebaude trifft, staut sich der �ber-druck und wird reflektiert. Dieser reflektierte �berdruck pr (siehe Bild 6.12) ist fur dieBauteil-Bemessung maßgebend und kann je nach Orientierung der Gebaudewand oderdes Gebaudedaches deutlich großer als der �berdruck einer freien Explosionswelle sein.Die Große des reflektierten �berdrucks wird mit Hilfe von Reflexionskoeffizienten Cr inAbhangigkeit des Auftreffwinkels und des Verhaltnisses des Freifelddruckes ps zum at-mospharischen Druck p0 bestimmt. Ein entsprechendes Diagramm ist z. B. in [75, 78]angegeben. Fur geringere Explosionsdrucke aus großerer Entfernung kann unabhangigvom Auftreffwinkel auf der sicheren Seite liegend ein Reflexionskoeffizient von Cr ¼ 3angenommen werden [77]. Auf der rechten Seite des Bildes 6.12 ist als Beispiel der re-flektierte allseitige �berdruck auf ein Gebaude mit rechteckigem Grundriss skizziert. Ty-pischerweise wirkt hier der großte, reflektierte �berdruck auf die Vorderwand. Auf dieSeitenwande wirkt ein leicht hoherer Druck als derjenige der freien Explosionswelle undauf die Ruckwand wirkt nur noch der Druck der freien Explosionswelle.

Der zeitliche Verlauf der Belastung der einzelnen Bauteile des Gebaudes durch eineDruck- bzw. Stoßwelle infolge Explosion wird nun fur die Bemessung vereinfachend

Bild 6.12 Reflektierter �berdruck pr am Bauteil [72] und Belastungsschema

Bild 6.13 Dreiecksformige Bemessungs-Stoßfunktion infolge Explosion

6 Stoßvorgange80

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