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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO JEFERSON DA SILVA GONÇALVES

ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM ESTUDO SOBRE CONVERSÕES DE REGISTROS COM AUXÍLIO DO

SOFTWARE WINPLOT

SÃO PAULO 2012

JEFERSON DA SILVA GONÇALVES MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

ANÁLISE DA QUALIDADE DE SISTEMAS LINEARES: UM ESTUDO SOBRE CONVERSÕES DE REGISTROS COM AUXÍLIO DO

SOFTWARE WINPLOT

Dissertação apresentada à banca examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Monica Karrer.

SÃO PAULO 2012

G626a Gonçalves, Jeferson da Silva Análise da qualidade de sistemas lineares. ./ Jeferson da Silva Gonçalves. -

São Paulo, 2012. 296 f.: il.; 30 cm. Dissertação (Mestrado - Área de concentração; Educação Matemática) – Universidade Bandeirantes de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática. “Orientação: Professora Drª. Mônica Karrer”

1. Sistemas lineares. 2. Registros de representações semióticas. 3. Design experiment. 4. Winplot. I. Título.

CDD: 512.5

Dedico este trabalho à José Gonçalves de

Oliveira, meu pai e à Eva da Silva

Gonçalves, minha mãe, que com muita

dedicação e amor, me deram a educação

sem a qual eu não teria chegado a lugar

algum. À Ester Regina Francesquini

Gonçalves, minha esposa, pela

imensurável paciência e companheirismo,

sempre presente com incondicional apoio.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus, pela saúde, fé e perseverança que tem me dado, permitindo

que eu chegasse até aqui.

À Professora Doutora Monica Karrer pelo trabalho de orientação desenvolvido com

muita competência, paciência, dedicação e amizade.

Ao Professor Doutor Paulo Henrique Trentin, que aceitou participar da Banca

Examinadora, fornecendo valiosas contribuições e participando de mais uma

importante etapa de minha vida.

À Professora Doutora Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes pelo companheirismo e

incentivo durante as aulas de Atividade de Pesquisa e, que gentilmente aceitou

participar da Banca Examinadora.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da

Universidade Bandeirante, por todo o incentivo e contribuição durante o curso.

À Professora Doutora Rosana Nogueira de Lima, que com muita atenção e carinho

me apoio durante o início do curso.

À minha amiga Patricia Felipe que me convidou para participar do processo seletivo

do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade

Bandeirante.

Aos integrantes do Grupo de Pesquisa Tecnologias Digitais e Educação Matemática,

pelas contribuições providas das discussões em grupo.

À professora Ma. Ivete Mendes e Freitas que não mediu esforços para me fornecer

um exemplar de sua dissertação.

Aos estudantes voluntários que se dispuseram a participar desta pesquisa,

demonstrando interesse em todo o processo, pois sem eles o experimento não teria

sido feito.

À minha esposa pela participação em minha vida, que pacientemente gastou horas

preparando um cafezinho e, que me incentivou em todos os momentos para a

concretização deste trabalho.

À minha família, em especial aos meus pais, às minhas irmãs Gislene e Gisele e aos

meus cunhados, que sempre estiveram presentes e, souberam compreender minha

ausência, sempre colaborando e me impulsionando nos momentos difíceis.

À minha “filhinha” Jully que acompanhou pacientemente sentada ao meu lado à

digitação deste trabalho.

Aos amigos Alessandra, Fábio e Ronaldo, pelo companheirismo e dedicação nos

momentos de estudo.

À Secretaria Estadual de Educação de São Paulo pela bolsa de Estudos fornecida.

À todos que contribuíram direta ou indiretamente para a concretização deste

trabalho.

Ao Divino Espírito Santo pelo amparo nos momentos difíceis.

“[...] Tu tens a fé, e eu tenho

obras! Mostra-me a tua fé sem

as obras, que eu te mostrarei a

minha fé a partir de minhas

obras!”

Tiago 2, 18

RESUMO

Este trabalho apresenta um estudo sobre sistemas lineares, que teve por objetivo

investigar as produções de estudantes diante de um experimento de ensino

diferenciado sobre esse conteúdo, elaborado de forma a explorar conversões entre

registros, integrando a ferramenta Winplot. Especificamente, teve-se a intenção de

estudar a qualidade de um sistema linear de duas equações e duas incógnitas por

meio da investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade,

tendo por base a teoria dos registros de representações semióticas de Duval.

Dificuldades dos estudantes no estabelecimento de conversões envolvendo

representações do registro gráfico do objeto matemático sistemas lineares e a

reduzida exploração de conversões com gráficos nos livros didáticos foram

evidenciadas na revisão de literatura. Partindo dessa problemática, integramos no

experimento os diversos registros, com foco no gráfico, o qual foi aplicado, em sua

totalidade, a duas duplas de estudantes com idades entre treze e quatorze anos,

que cursavam o nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública. Para a

elaboração e condução do experimento foi utilizada a metodologia de Design

Experiment, sendo a seleção do software Winplot dada em função de o mesmo

permitir um trabalho de integração entre vários registros, apontando compatibilidade

com os pressupostos da teoria adotada. A análise das produções dos alunos revelou

avanços na avaliação da qualidade de sistemas lineares, apesar da constatação de

dificuldades principalmente em tratamentos no registro algébrico e em

conhecimentos considerados pré-requisitos para o estudo deste objeto matemático.

Palavras chave: Sistemas Lineares. Registros de Representações Semióticas.

Design Experiment. Winplot.

ABSTRACT

This work presents a study of linear systems. It intends to investigate the production

of students on a different teaching experiment about the mentioned subject,

developed in order to explore conversions between registers, incorporating the

Winplot tool. The main intention was to study the quality of systems of two linear

equations and two unknowns through the investigation of graphic and algebraic

consequences of proportionality, based on Duval’s theory of Semiotic

Representations Registers. Students' difficulties in establishing conversions involving

graphic representations of the mathematical object linear systems and the reduced

conversions operating graphics in didactical books were found in the literature

review. Starting from these findings, various registers were added in the experiment,

focusing the graphic representations, which were applied on two pairs of students

that were thirteen to fourteen years old, attending the ninth grade of Elementary

School in the public system of education. In order to formulate and conduct the

experiment, the methodology of Design Experiment was used, and the software

Winplot was selected because it permits the integration of multiple registers,

indicating compatibility with the theory adopted. The students' productions were

analyzed and revealed progress in the evaluation of the quality of linear systems,

although difficulties were noticed mainly in treatment in the algebraic registers and in

skills considered pre-requirements for the study of this mathematical object.

Keywords: Linear Systems. Semiotic Representations Registers. Design

Experiment. Winplot.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Exemplo de registro monofuncional não-discursivo ........................

33

Fonte: Acervo pessoal

Figura 2 – Representação no Registro simbólico-algébrico de um sistema linear 4X4 .........................................................................................

43

Fonte: PANTOJA, 2008, p. 86

Figura 3 – Resolução apresentada por um grupo de alunos ............................ 44

Fonte: PANTOJA, 2008, p. 90

Figura 4 – Distribuição das resoluções por categorias ..................................... 52 Fonte: CURY e BISOGNIN (2009), p. 13

Figura 5 – Conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental ...................................................................

67 Fonte: SÃO PAULO, Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental – Ciclo II (Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática /Coord. Maria Inês Fini. – São Paulo : SEE, 2008. p. 54)

Figura 6 – Problema apresentado no registro da língua natural .......................

68

Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 30

Figura 7 – Representação de uma equação no registro figural ........................ ..

70


Figura 8 – Representação de uma equação no registro figural ........................

70


Figura 9 – Problema apresentado no registro da língua natural .......................

70


Figura 10 – Representação de uma equação no registro figural ........................

71


Figura 11 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular ..............................................................................................

71 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40

Figura 12 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular .............................................................................................. .


Figura 13 – Representação no registro gráfico de um sistema linear e sua classificação ....................................................................................


Figura 14 – Problemas na língua natural apresentados no Livro-2 ....................

80

Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. 2009, p. 172).

Figura 15 – Média do SARESP 2011 relacionada à escola onde foi realizado o experimento .....................................................................................

92 Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>

Figura 16 – Distribuição percentual dos alunos nos níveis de proficiência, relacionada à escola onde foi realizado o experimento ..................

93 Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>

Figura 17 – Resolução esperada – Tarefa 8a ....................................................

107


Figura 18 – Resolução esperada - Tarefa 8b .....................................................

107 Fonte: Acervo pessoal

Figura 19 – Resolução esperada – Tarefa 8c ....................................................

108


Figura 20 – Laboratório de Informática utilizado para a realização do experimento .....................................................................................


Figura 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno F ............

126


Figura 22 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno A ............

128


Figura 23 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno C ...........

129


Figura 24 – Questionário Preliminar – Tarefa 3 – Produção do Aluno D ........... 131 Fonte: Acervo pessoal

Figura 25 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 – Produção do Aluno E ............ 134 Fonte: Acervo pessoal


135



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Figura 30 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno F ............

141


Figura 31 – Tarefa 1 da Atividade do redesign ...................................................

143


Figura 32 – Tarefa 2 da Atividade do redesign ...................................................

144


Figura 33 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a - Redesign .............................................


Figura 34 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a - Redesign .............................................


Figura 35 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a - Redesign ............................................


Figura 36 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a - Redesign ............................................


Figura 37 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign ............................................. 148

Fonte: Acervo pessoal Figura 38 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto

com os alunos- Tarefa 2b - Redesign .............................................


Figura 39 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2b - Redesign .............................................


Figura 40 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2c - Redesign ..............................................


Figura 41 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos -Tarefa 2c - Redesign ..............................................


Figura 42 – Construção do gráfico elaborado pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a (gráfico) - Redesign .................


Figura 43 – Resolução das equações elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos- Tarefa 2a (gráfico) - Redesign ...........


Figura 44 – Tabelas elaboradas pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - - Tarefa 2a - Redesign ..................................................


Figura 45 – Representação no registro gráfico no plano cartesiano elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos - Tarefa 2a (gráfico) - Redesign ....................................................................


Figura 46 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design ....................................................

156


Figura 47 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design no software Winplot ....................

156



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Figura 49 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 1.................................

158


Figura 50 – Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1.................................

158



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Figura 52 – Produção apresentada pela Dupla 2 - Atividade 1 – Tarefa 2 do Design .............................................................................................


Figura 53 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 2 ................................

161



161


Figura 55 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 do Design ............................................

162


Figura 56 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 ........................

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Figura 63 – Exemplo de uma tela do software Winplot - Atividade 2 – Tarefa 1.

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Figura 81 – Atividade 1 – Tarefa 1 do redesign ..................................................

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Produção da Dupla 2 – Atividade 1 – Tarefa 1.


187



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Figura 88 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 1a .........................................................................................


Figura 89 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2a .........................................................................................


Figura 90 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2b .........................................................................................



192


Figura 92 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 5 ...........................................................................................



193



193


Figura 95 – Atividade 2 – Tarefa 7 .....................................................................

194


Figura 96 – Atividade Adicional – Tarefa 1 .........................................................

196

Fonte: Acervo pessoal Figura 97 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade

Adicional – Tarefa 1 .........................................................................


Figura 98 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 4 .........................................................................


Figura 99 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 5 .........................................................................


Figura 100 – Atividade do redesign – Atividade 2 – Tarefa 7 ...............................

199



200


Figura 102 – Atividade 3 – Tarefa 1 do redesign ..................................................

201


Figura 103 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1a ...............

203


Figura 104 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1a ..............................

203


Figura 105 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1b ...............

204


Figura 106 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1b ..............................

204


Figura 107 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 3 .................

206



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210

Fonte: Acervo pessoal Figura 113 – Atividade do redesign – Atividade 3 – Tarefa 8 ...............................

211



211


Figura 115 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 4 ..................................

213


Figura 116 – Produção da Dupla 2 – Atividade 4 .................................................

213


LISTA DE QUADROS

Quadro 1 – Exemplos de tratamentos no registro simbólico-algébrico ..............

29


Quadro 2 – Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico ..............................................................................................


Quadro 3 – Exemplo de conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico ..........................................................................


Quadro 4 – Exemplo de conversão congruente ................................................. 31

Fonte: DUVAL, 2000, p. 63

Quadro 5 – Exemplo de conversão não congruente .......................................... 31


Quadro 6 – Exemplo de “Fenômeno da Heterogeneidade da Congruência”...... 32


Quadro 7 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 ..................................................

95



96



96



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101



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104



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109

Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011, p.36


109


Quadro 17 – Apresentação da Atividade 1 do Design .........................................

111



112


Quadro 19 – Apresentação da Atividade 3 do Design ......................................... 116



120


Quadro 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 – Produção de todos os alunos

124


LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Relação de livros didáticos analisados ............................................

47

Fonte: Adaptado de FREITAS (1999)

Tabela 2 – Designação dos livros analisados ...................................................

77

Fonte: Acervo pessoal.

Tabela 3 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Primeira parte ..................................................................................

77 Fonte: Acervo pessoal.

Tabela 4 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Segunda parte .................................................................................


Tabela 5 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-1 ..............................................................................................


Tabela 6 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-2.

81




Tabela 8 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-3.

83




Tabela 10 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios do Livro-4.

85


Tabela 11 – Tipo de registro presente nos exercícios do Livro-4 ........................

86


Tabela 12 – Tabela elaborada para a construção do gráfico de y=x+1 no plano cartesiano ........................................................................................


SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ......................................................................................... 23

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............... 28

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................................... 28

2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ..................................................................... 34

3 ANÁLISE DO CADERNO DO ALUNO E DOS LIVROS DIDÁTICOS .... 65

3.1 ANÁLISE DO CADERNO DO ALUNO ..................................................... 65

3.1.1 Contexto histótico ..................................................................................... 65

3.1.2 Sobre o caderno do aluno 7ª série/8º ano – volume 3 do Ensino

Fundamental ............................................................................................ 68

3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS ......................................................... 74

4 METODOLOGIA DE PESQUISA ............................................................ 87

4.1 SUJEITOS ................................................................................................ 91

4.2 MATERIAL E AMBIENTE DE TRABALHO .............................................. 91

4.3 METODOLOGIA DE APLICAÇÃO ........................................................... 93

5 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES ........ 95

5.1 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DO QUESTIONÁRIO

INICIAL (FASE 1) ..................................................................................... 95

5.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES DO

DESIGN (FASE 2) .................................................................................... 110

6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO ................................... 121

6.1 DESCRIÇÃO DA FASE 1 ........................................................................ 121

6.2 DESCRIÇÃO DA FASE 2 ........................................................................ 154

6.2.1 Análise do caso SPI – Atividades 1 e 2 ................................................... 155

6.2.1.1 Redesign do caso SPI – primeira atividade adicional .............................. 184

6.2.1.2 Redesign do caso SPI – segunda atividade adicional ............................. 196

6.2.2 Análise do caso SI ................................................................................... 200

6.2.2.1 Redesign do caso SI ................................................................................ 200

6.2.2.2 Análise da Atividade 3 .............................................................................. 202

6.2.3 Análise do caso SPD ............................................................................... 212

7 CONCLUSÃO .......................................................................................... 215

7.1 SÍNTESE DAS ETAPAS DE PESQUISA ................................................. 215

7.2 VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES INICIALMENTE ESTABELECIDAS .. 217

7.3 ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PESQUISA ........................................... 220

7.4 PAPEIS DESEMPENHADOS PELOS SUJEITOS ................................... 221

7.5 O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL WINPLOT NO

DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO ............................................ 222

7.6 PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES ............................... 222

REFERÊNCIAS .................................................................................................... 224

APÊNDICES......................................................................................................... 228

23

1 INTRODUÇÃO

Este estudo objetivou elaborar, aplicar e avaliar um experimento de ensino

sobre sistemas lineares, construído de forma a explorar conversões entre os

registros gráfico, algébrico, numérico-tabular e da língua natural, nos ambientes

papel e lápis e computacional Winplot. Teve-se a intenção de estudar a qualidade de

um sistema de duas equações e duas incógnitas, avaliando as consequências

gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes. Procurou-se, com esta

construção, fornecer um cenário diferenciado sobre esse tema, a fim de constituir

um material de apoio aos docentes, elaborado a partir das novas tendências no

ensino de Matemática.

Como motivação pessoal para a construção deste estudo, cito de forma

reduzida a minha trajetória como docente. Por ser professor de escolas estaduais há

treze anos, lecionando Matemática e Física para alunos do Ensino Médio, sempre

tive a possibilidade de observar as dificuldades dos estudantes na compreensão de

certos conteúdos matemáticos, dentre eles, o conteúdo de sistemas lineares. Este

tópico é desenvolvido pela primeira vez no sétimo ano do Ensino Fundamental,

englobando os sistemas de duas equações e duas incógnitas. No Ensino Médio ele

é retomado, abrangendo, também, os sistemas com três equações e três incógnitas.

Em minha prática, pude observar a dificuldade dos estudantes principalmente em

situações que requeriam a representação gráfica de sistemas lineares e, pela minha

formação em Licenciatura em Matemática, muitas vezes sou questionado a respeito

de como tratar e compreender essas dificuldades.

Com o objetivo de refletir sobre questões relacionadas ao objeto matemático

sistemas lineares e aprimorar a minha formação, ingressei no curso de mestrado do

Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade

Bandeirante de São Paulo.

Diante das leituras realizadas e das discussões com professores do

programa, com minha orientadora e com colegas do curso, tive contato com a teoria

dos registros de representação semiótica de Duval (1995, 2000, 2006). Tal fato me

levou a refletir sobre a importância de tratar um conteúdo matemático explorando

suas várias representações, desencadeando, assim, a necessidade da elaboração

de um estudo científico envolvendo essa teoria.

24

Essa vertente de pesquisa em Educação Matemática defende um trabalho de

integração entre diversas representações semióticas, provenientes de diferentes

registros, no ensino de conteúdos matemáticos. Como exemplos de registros,

podem ser citados o gráfico, o algébrico, o da língua natural, dentre outros.

Segundo Duval (1995), deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos

em Matemática avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, que

consiste no fato de o acesso a qualquer objeto matemático requerer,

necessariamente, de registros de representações semióticas. A teoria dos registros

de representações semióticas de Duval (2006) é largamente utilizada em pesquisas

na área de Educação Matemática e será detalhada no capítulo 2 do presente

estudo.

No contexto das pesquisas sobre ferramentas computacionais no ensino de

Matemática, destacam-se os estudos de Borba (2005) e de Noss e Hoyles (1996),

os quais apontaram a necessidade de pesquisas integrando recursos

computacionais, construídas de forma a visar ganhos pedagógicos.

Borba (2005) destacou que nos ambientes computacionais são utilizadas

diferentes estratégias para o ensino e para a aprendizagem de um determinado

objeto matemático, servindo de complemento ao uso do lápis e papel em sala de

aula. Para o pesquisador, os softwares educacionais têm o objetivo, dentre outros,

de destacar o aspecto visual da Matemática, sendo o seu uso de direito do aluno,

que está voltado para o letramento tecnológico, lidando com a leitura e o tratamento

nesta mídia.

Noss e Hoyles (1996) recomendam a utilização de recursos computacionais,

destacando que tais ferramentas podem favorecer o desenvolvimento do

pensamento matemático. Para os pesquisadores, um software computacional de

Matemática deve constituir um ambiente favorável para que os estudantes possam

utilizar as suas potencialidades, transformando-as em novas aprendizagens.

Buscamos, então, na literatura acadêmica, como o objeto matemático

Sistemas Lineares, que representa um conteúdo desenvolvido inicialmente no

Ensino Fundamental e retomado no Ensino Médio, era explorado em termos de

registros de representações semióticas e de integração de recursos tecnológicos.

Dentre os trabalhos avaliados, destacamos os de Freitas (1999) e Battaglioli (2008),

que revelaram problemas no processo de ensino e aprendizagem desse objeto

matemático. Freitas (1999) apontou dificuldades por parte dos estudantes no

25

estabelecimento de conversões entre representações do registro gráfico e algébrico

e Battaglioli (2008) revelou que os livros didáticos analisados pouco exploram a

atividade de conversão entre registros, privilegiando apenas o registro algébrico.

Essa última pesquisadora também recomendou intensificar a exploração do registro

gráfico, pois ele facilita tanto a compreensão do conjunto solução de um sistema

linear como também em questões de discussão e classificação de sistemas. Ela

também forneceu como sugestão, o uso do software Winplot para auxiliar na

visualização de um sistema linear, permitindo, assim, a discussão dos sistemas

lineares com os alunos em um registro não usual no ensino deste conteúdo. Estudos

sobre o uso de recursos computacionais no ensino e sobre o processo de ensino e

aprendizagem de sistemas lineares serão detalhados no capítulo 2 do presente

estudo.

No capítulo 3, apresentaremos as análises do Caderno do Aluno do Estado

de São Paulo e de três livros didáticos. Neste contexto, foi avaliado o trabalho com

os registros semióticos, a existência ou não da avaliação da proporcionalidade dos

coeficientes de um sistema linear e o uso de recurso computacional. No Caderno do

Aluno, notamos uma preocupação na diversificação dos registros semióticos, fato

não observado nos livros didáticos avaliados. Nessas obras, notamos que a

conversão mais explorada é a do sentido da língua natural para o algébrico, sendo o

registro gráfico explorado apenas em uma das obras analisadas. Constatamos a

inexistência de análise da proporcionalidade de coeficientes e de uso de software

matemático, tanto no Caderno do Aluno como nos livros didáticos.

Tendo em vista a problemática exposta anteriormente detectada na revisão

de literatura, na análise dos livros e no Caderno do Aluno e, considerando que o

conteúdo matemático Sistemas Lineares faz parte do currículo da Proposta

Curricular da Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, foi elaborado um

experimento visando preencher tal lacuna. Com isso, procurou-se integrar os

diversos registros, principalmente o algébrico e o gráfico, tendo o software Winplot

como ferramenta de apoio, e explorar a análise das classificações de sistemas

lineares pela investigação da existência ou não de proporcionalidade. Para a

construção e condução do experimento, foi utilizada a metodologia de Design

Experiment de Cobb et al. (2003), que fornece diretrizes para a elaboração de novas

abordagens de um conteúdo específico. A descrição dessa metodologia e a

26

apresentação dos sujeitos, do ambiente de estudo, do material de coleta e do papel

do professor-pesquisador serão expostos no capítulo 4.

Com o presente estudo, teve-se a intenção de responder às seguintes

questões de pesquisa:

Em que aspectos a abordagem proposta, que envolve a análise das

consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das

equações, influencia os estudantes na compreensão da qualidade de sistemas

lineares de duas equações e duas incógnitas?

Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre

representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão da

análise da qualidade de sistemas lineares?

Teve-se por hipóteses que o experimento proposto permitiria avaliar as

unidades significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares, a

relação entre os diversos registros desse objeto matemático e a análise da

qualidade de um sistema de duas equações e duas incógnitas, por meio da

investigação das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus

coeficientes. Ainda, dado que o software permite uma análise dinâmica dessas

consequências, esperava-se que o mesmo representasse uma ferramenta

facilitadora da investigação anteriormente citada.

A escolha do software Winplot se deu pelo fato de o mesmo ser livre e por

permitir um trabalho de integração entre os registros algébrico, gráfico e numérico,

mostrando compatibilidade com a teoria adotada. Ele é de fácil manuseio, traduzido

para a língua portuguesa e, por ocupar pouca memória, sua utilização não necessita

de computadores de última geração. Salienta-se que tais aspectos favorecem sua

utilização em instituições dotadas de laboratório de informática, sendo possível

utilizá-lo em qualquer escola que tenha laboratório de informática, sem a

necessidade de computadores potentes.

No capítulo 5, apresentaremos as atividades elaboradas, acompanhadas de

uma análise preliminar baseada no referencial teórico e nos resultados obtidos pela

revisão de literatura. O capítulo 6 foi destinado à análise dos dados e o capítulo 7 à

27

conclusão do presente estudo. Por fim, são apresentadas as referências

bibliográficas.

28

2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Neste capítulo, são descritos aspectos da teoria que fundamentou o nosso

estudo, além das pesquisas que compuseram a revisão de literatura.

2.1 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Este trabalho será amparado pela teoria dos registros de representação

semiótica de Raymond Duval (1995, 2000, 2003, 2006), a qual defende a

importância das representações semióticas no ensino e na aprendizagem

matemática, informando que não há aquisição de conhecimento de um objeto

matemático sem recorrer aos registros de representação semiótica.

O pesquisador Raymond Duval é filósofo e psicólogo e desenvolveu

pesquisas envolvendo a psicologia cognitiva e suas relações com o processo de

ensino e aprendizagem de matemática.

Ele trabalhou no período de 1970 a 1995 no Instituto de Pesquisa em

Educação Matemática (IREM) na França e atualmente é professor emérito da

Université Du Litoral Cote d’Opale na França.

Duval (2006) questiona qual tipo de formação matemática deve ser dada a

todos os alunos, para que eles possam interagir em um mundo onde há um avanço

tecnológico cada vez mais crescente e complexo.

O objetivo do ensino da Matemática para o pesquisador não é formar futuros

matemáticos ou simplesmente dar subsídios para os alunos usarem no futuro. O

objetivo do ensino da Matemática é o de desenvolver as habilidades de pensamento

dos alunos, habilidades que serão exigidas na sua vida social e profissional.

Segundo Duval, deve-se procurar entender as dificuldades dos alunos em

Matemática, avaliando o que há de específico no ensino dessa ciência, para assim

conseguir um aprendizado significativo. Duval ressalta que:

“A principal característica de uma abordagem cognitiva não é olhar para as dificuldades dos alunos com o objetivo de determinar a maneira pela qual a compreensão é possível, e sim determinar a origem de sua incompreensão.” (DUVAL, 2006, p.1).

29

Os estudos desse pesquisador visam analisar as reais causas das

dificuldades encontradas por estudantes para a compreensão da Matemática e, para

isso, ele procura estabelecer quais sistemas cognitivos são necessários para os

estudantes terem acesso aos objetos matemáticos, considerando que tal acesso

requer necessariamente a utilização de registros de representação semiótica.

Dentre suas obras, destaca-se Sémiosis et pensée humaine (1995), na qual

ele apresenta à comunidade acadêmica os seus pressupostos teóricos.

O termo Registro de Representação Semiótica é utilizado por Raymond Duval

(1995) para referir-se aos diferentes signos em matemática, tais como figuras,

gráficos, escritas simbólicas, língua natural, os quais devem permitir o cumprimento

de três atividades cognitivas: formação, tratamento e conversão.

A formação de um registro de representação semiótica deve respeitar as

regras próprias do sistema utilizado. Ao realizar uma transformação de uma

representação para outra, pode-se ter um tratamento ou uma conversão.

O tratamento de um registro de representação semiótica é uma atividade na

qual se faz uma transformação de uma representação para outra, no interior de um

mesmo registro.

Como exemplo, apresenta-se uma transformação de escalonamento em um

sistema linear:

Quadro 1 – Exemplos de tratamentos no registro simbólico-algébrico Fonte: Acervo pessoal

Pode-se observar que ocorreram transformações de representações sem

mudança de registro. A primeira equação foi multiplicada por -2 e o resultado foi

somado à segunda equação, dando origem a uma nova equação permanecendo no

registro simbólico- algébrico.

A conversão é uma atividade que transforma uma representação em outra

representação, em um registro diferente do qual se partiu, como o exemplo a seguir:

30

Representação no Registro

Simbólico-algébrico


Gráfico

422

27

xy

xy

Quadro 2 – Exemplo de conversão do registro simbólico-algébrico para o gráfico Fonte: Acervo pessoal

Um segundo exemplo para o conteúdo de sistemas lineares que se pode citar

é a conversão do registro da língua natural para o registro simbólico-algébrico,

conforme ilustrado no quadro seguinte.

Representação no Registro Língua

natural


Simbólico- algébrico

Determine dois números reais, cuja

soma é 26 e a diferença entre o

maior e o menor é igual a 12.

12

26

yx

yx

Quadro 3 – Exemplo de conversão do registro da língua natural para o simbólico-algébrico Fonte: Acervo pessoal

Para Duval há dois tipos de conversões: as congruentes e as não

congruentes. A conversão congruente é a passagem de uma representação para

outra de uma maneira espontânea, ou seja, a transformação está mais próxima de

uma situação de simples codificação. A seguir, apresenta-se um exemplo desse tipo

de conversão.

31

TIPO DE CONVERSÃO SISTEMA OU REGISTRO DA

ESCRITA NATURAL

SISTEMA

SIMBÓLICO-ALGÉBRICO

Conversão congruente Conjunto de pontos com ordenada

maior que abscissa. y>x

Quadro 4 – Exemplo de conversão congruente Fonte: DUVAL, 2000, p. 63

1

De acordo com Duval (2009, p. 18), para que exista congruência na

conversão, três condições devem ser satisfeitas: correspondência semântica entre

as unidades significantes que as constituem, uma mesma ordem possível de

apreensão das unidades das duas representações e conversão de uma unidade

significante de representação de partida para uma unidade significante

correspondente no registro de chegada.

Já na conversão não congruente, esta passagem não ocorre de maneira

espontânea, ou seja, pelo menos uma das condições citadas anteriormente não é

satisfeita. O exemplo seguinte ilustra essa situação.

TIPO DE

CONVERSÃO

SISTEMA OU REGISTRO DA

ESCRITA NATURAL

SISTEMA

SIMBÓLICO-ALGÉBRICO

Conversão

não congruente

Conjunto de pontos cujas ordenadas e

abscissas têm o mesmo sinal. x.y>0

Quadro 5 – Exemplo de conversão não congruente Fonte: DUVAL, 2000, p. 63

2

Ainda, o autor afirma que pode ocorrer o “fenômeno da heterogeneidade da

congruência”, em que há uma conversão congruente em um sentido de conversão e

não congruente no outro, gerando desempenhos distintos dos estudantes quando

uma mesma situação é proposta nos dois sentidos. O exemplo seguinte, extraído de

Duval (2009) mostra a diferença de desempenho dos estudantes nos dois sentidos

de conversão. Quando a conversão ocorreu do registro da língua natural para o

simbólico, a taxa de acerto foi de 41% e no sentido contrário foi de 81%. Essa

discrepância é explicada pelo autor pelo fenômeno da heterogeneidade da

congruência.

1 Traduzido do original em Inglês.

2 Traduzido do original em Inglês.

32

I II III III

A reunião das intersecções de

um conjunto com dois outros

conjuntos

)()( CABA 41% 81%

Quadro 6 – Exemplo de “Fenômeno da Heterogeneidade da Congruência” Fonte: DUVAL, 2009, p. 74

Duval ainda destaca a especificidade da Matemática em relação às outras

ciências, dada a sua natureza não real, tendo em vista a necessidade das

representações semióticas para o acesso a objetos matemáticos.

Segundo o autor, a impossibilidade de acesso ocorre devido ao caráter

abstrato dos objetos matemáticos. Como exemplo, pode-se citar o número, cujo

acesso não se dá por instrumentos e sim por meio de suas representações. Ainda, o

número pode ser representado em diferentes sistemas. Por exemplo, o número trinta

e quatro é representado no sistema numérico indo-arábico por 34 e no sistema de

numeração romano por XXXIV.

Com isso, há necessidade de um modelo específico para a Matemática

centrado na importância das representações semióticas, fato que a difere das outras

ciências, tais como Física e Biologia, que permitem o contato com seus objetos por

meios perceptivos ou instrumentais.

Duval (2006) apresenta a classificação de quatro tipos diferentes de registros

de representações semióticas: registro multifuncional discursivo; registro

multifuncional não-discursivo; registro monofuncional discursivo e registro

monofuncional não-discursivo.

O registro de representação monofuncional é o tipo de sistema no qual as

transformações podem ser algoritmizáveis. Por exemplo, na representação algébrica

baxy , temos y isolado no primeiro membro.

Para se isolar x, há uma sequência definida de etapas, a qual consiste em

primeiro subtrair b em ambos os membros, da seguinte forma:

axby

bbaxby

Em seguida, dividem-se ambos os membros por a, obtendo:

33

xa

by

a

ax

a

by

No caso anterior, o registro algébrico é classificado como monofuncional

discursivo. Há também os registros monofuncionais não-discursivos, representados

pelos gráficos cartesianos. Nestes, também existe um processo definido de

construção, como por exemplo, as direções indicadas pelas setas do plano

cartesiano e a forma de representação de pontos.

x

y

Figura 1 – Exemplo de registro monofuncional não-discursivo Fonte: Acervo pessoal

O registro de representação multifuncional é o tipo de sistema no qual as

transformações não são algoritmizáveis. No caso dos multifuncionais discursivos,

tem-se como exemplo a língua natural utilizada na produção de um texto, que pode

ser realizado pelo método de produção oral ou pelo método de produção escrita.

Já o registro de representação multifuncional não-discursivo é aquele que

conserva as características internas do objeto a ser representado. Por exemplo, para

a construção de um quadrado, há a necessidade de auxílio de instrumentos para

manter as suas características internas, isto é, ter os quatro lados iguais com

ângulos internos de 90º.

Duval (2003) considera que o ensino da Matemática não leva em conta as

conversões, privilegiando os tratamentos de um objeto matemático em um

determinado registro.

Na visão do autor, isso ocorre devido à formação do matemático, que

normalmente privilegia a transformação de tratamento, principalmente no registro

monofuncional discursivo. Isto porque é nesse tipo de registro que há a facilidade de

34

justificação e tal fato leva o professor de matemática a não observar a importância

de estabelecer conversões entre registros do objeto matemático tratado em sala de

aula.

Desta forma, a análise das atividades de um determinado conteúdo

matemático a serem realizadas pelos alunos é desenvolvida do ponto de vista

puramente matemático e não pedagógico.

Apresentaremos, a seguir, os aspectos evidenciados na revisão de literatura

de pesquisas que tratam do objeto matemático sistemas lineares e, em seguida, a

utilização de recursos computacionais no ensino de Matemática.

2.2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Battaglioli (2008) realizou um estudo sobre sistemas lineares, o qual consistiu

em analisar os principais livros indicados pelo PNLEM-20073, evidenciando como

estes lidam com os registros de representações semióticas e com o uso de recursos

computacionais.

A pesquisadora afirma que os livros tratam do conteúdo matemático Sistemas

Lineares de forma mecânica, ou seja, ao aluno é apresentado um algoritmo para a

resolução de um determinado conteúdo matemático e este é aplicado em diversos

exercícios, constituindo em uma reprodução totalmente mecânica, não dando a

oportunidade ao aluno de discutir, conjecturar e analisar os resultados obtidos.

Com isso Battaglioli (2008) sugere que os livros didáticos deveriam tratar os

conteúdos matemáticos com diferentes tipos de representações, envolvendo

também os aspectos epistemológicos, dando ao aluno a oportunidade de

acompanhar o desenvolvimento do homem e a construção da Matemática. Com

essa abordagem, o aluno formularia hipóteses, discutiria e tentaria generalizar o

3 O Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM) é um programa do Governo

Federal que foi implantado em 2004 e que tem por objetivo a distribuição gratuita de livros didáticos

aos alunos do Ensino Médio público de todo pais. É mantido pelo Fundo Nacional de

Desenvolvimento da Educação (FNDE) com recursos financeiros do Orçamento Geral da União.

Fonte: portal do MEC:

<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12371:pnlem-

apresentacao&catid=311:pnlem&Itemid=582>

35

conteúdo matemático, assumindo assim um papel mais participativo e interessado

para a aquisição do conhecimento.

Acreditando que os livros didáticos representam o maior suporte dos

professores de Matemática, a pesquisadora fez uma análise neste material

procurando responder a seguinte questão:

“Em quais registros de representação semiótica estão sendo abordados os sistemas lineares nos livros didáticos do Ensino Médio e quais as conversão de registros apresentadas nos exercícios resolvidos propostos destes livros?” (BATTAGLIOLI, 2008, p. 9).

Essa pesquisa, de caráter documental, foi realizada de forma qualitativa.

Foram escolhidos para esta pesquisa três dentre os oito livros didáticos

recomendados pelo PNLEM-2007, por ela acreditar que, sendo esses livros

distribuídos gratuitamente pelo Ministério da Educação (MEC), são possivelmente os

mais utilizados pelos professores das escolas públicas. São eles: DANTE, L.R.

MATEMÁTICA, Contexto e aplicações – vol. 2 – EM – Ática, 2007, designado como

Livro-1; SMOLE K. C. S., DINIZ M. I. MATEMÁTICA – Ensino Médio – vol.2 –

Saraiva – 2003, designado como Livro-2 e GIOVANNI J. R., BONJORNO J. R. e

GIOVANNI JR. J. R. MATEMÁTICA COMPLETA – Volume Único – FTD – 2002 com

designação Livro-3.

A pesquisa de Batttaglioli (2008) foi fundamentada na teoria dos Registros de

Representação Semiótica de Raymond Duval (2003) e na teoria de Aprendizagem

Significativa de David Ausubel (1988). A análise realizada nos livros didáticos teve

como foco os seguintes registros de representação semiótica: a língua natural, o

registro algébrico e a representação gráfica. Como estratégia, a pesquisadora

analisou os tipos de conversões aplicadas nos exercícios resolvidos e nos exercícios

propostos.

A pesquisadora considera importante que o professor trabalhe, com os

alunos, as definições de um sistema linear e também a reflexão a respeito do

conjunto solução, ou seja, verificando que o conjunto solução deve satisfazer cada

uma das equações propostas no sistema, com isso, dando sentido aos alunos do

motivo da resolução do sistema.

Em seu trabalho, é apresentada a verificação matemática da Regra de

Cramer para um caso particular de resolução de sistemas lineares com três

36

equações e três incógnitas que foi adaptado pela autora de Paiva (1995, p. 130-

131). Esta regra, segundo a pesquisadora, não é muito indicada para aplicação em

sala de aula pelos pesquisadores em Educação Matemática, pelo motivo de

envolver cálculos matemáticos muito longos e por sua aplicação ser limitada ao caso

de sistemas com solução única e que têm o mesmo número de equações e

incógnitas.

Os documentos oficiais também sugerem não utilizar a Regra de Cramer para

a resolução de sistemas lineares com três equações e três incógnitas:

“[...] Quanto à resolução de sistemas de equações 3X3, a regra de Cramer deve ser abandonada, pois é um procedimento custoso (no geral, apresentado sem demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), que só permite resolver os sistemas quadrados com solução única.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 38).

Em seguida, a autora descreve outro algoritmo indicado para a resolução de

sistemas lineares, o Método de Gauss ou Método do Escalonamento. Esse algoritmo

é recomendado pelos documentos oficiais:

“[...] A resolução de sistemas 2X3 ou 3X3 também deve ser feita via operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução).” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 26).

Dentre os livros analisados, a pesquisadora destaca o Livro-2 como sendo um

livro que trata o conteúdo matemático de forma inovadora, uma vez que sua

proposta consiste na retomada do conteúdo matemático em diferentes abordagens.

Analisando o conteúdo Sistemas Lineares, o livro faz uma retomada dos

sistemas de duas equações e duas incógnitas, conteúdo já estudado no Ensino

Fundamental, apresentando a seguir a resolução de um sistema linear de três

equações e três incógnitas, e retoma a resolução dos sistemas lineares no estudo

das matrizes e dos determinantes.

Essa abordagem diferenciada vai ao encontro ao que é proposto nos

documentos oficiais, como por exemplo, os Parâmetros Curriculares Nacionais do

Ensino Fundamental - PCN (BRASIL, 1998).

Em seu estudo, a pesquisadora ressaltou que as conversões entre os

registros simbólico-algébrico e gráfico também são destacadas em documentos

oficiais, como nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio:

37

“No estudo de sistemas de equações, além de trabalhar a técnica de resolução de sistemas, é recomendável colocar a álgebra sob o olhar da geometria.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 37).

Com relação à retomada de conteúdos proposta pelos PCN do Ensino

Fundamental, o Livro-1 e o Livro-2 abrangem esse quesito, revisando a resolução de

sistemas de duas equações e duas incógnitas. Já o Livro-3, segundo a

pesquisadora, começa apresentando o sistema com três equações e três incógnitas

sem fazer a retomada do conteúdo já apresentado no Ensino Fundamental.

Acreditando que os livros didáticos devam apresentar a História da

Matemática, Battaglioli (2008) destaca que documentos oficiais defendem tal

abordagem:

“Compreender a construção do conhecimento matemático como um processo histórico, em estreita relação com as condições sociais, políticas e econômicas de uma determinada época, de modo a permitir a aquisição de uma visão crítica da ciência em constante construção, sem dogmatismos ou certezas definitivas.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 42).

Os três livros analisados apresentam referências históricas dos sistemas

lineares, mas a pesquisadora destaca que são muito superficiais, deixando de

contribuir para a aquisição de conhecimento deste tema.

Battaglioli (2008) destaca a importância do uso da informática em sala de

aula, seguindo as recomendações dos documentos oficiais:

“Um outro elemento tecnológico de importância inegável é o computador. Num livro didático podem ser propostas atividades que empreguem o computador como meio auxiliar na aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como atividades que auxiliem a formação do aluno para o mundo do trabalho.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 44).

Apesar disso, a pesquisadora observou que nenhum dos três livros

analisados sugeria o estudo de sistemas lineares relacionando-o com o uso do

computador. Pode-se concluir que, neste quesito em particular, esses livros

didáticos não seguem as recomendações dadas pelos documentos oficiais.

Com relação aos tipos de registros de representação semiótica abordados

pelos livros analisados, a pesquisadora é amparada pelos documentos oficiais, que

38

afirmam a necessidade de trabalhar os diferentes tipos de registros relacionados aos

conteúdos matemáticos.

“Podem ser utilizadas diferentes linguagens para representar os conteúdos: símbolos matemáticos, língua natural, desenhos, gráficos, ícones, etc. Esse tratamento diversificado é apontado, atualmente, como um fator muito importante para a compreensão dos conceitos e dos procedimentos matemáticos.” (BRASIL, apud BATTAGLIOLI, 2008, p. 52).

Segundo a autora, os três livros analisados apresentam poucas conversões

de registros. As conversões que aparecem são apresentadas de forma muito tímida

e limitam-se às transformações do registro da língua natural para o registro

algébrico.

Quanto à classificação dos sistemas lineares, a pesquisadora alerta sobre os

erros que podem ocorrer com o uso do Método de Cramer. Por exemplo, o Livro-3

classifica os sistemas lineares utilizando somente esse método e, apresenta,

equivocadamente, que quando um sistema possui os determinantes da Regra de

Cramer iguais a zero (D=0, Dx=0, Dy=0, Dz=0), tal fato implica que ele com certeza é

um sistema como possível e indeterminado. Com isso, pode-se induzir o aluno a

classificar os sistemas lineares de forma incorreta, tendo em vista que quando todos

os determinantes são iguais a zero, pode-se afirmar, apenas, que o sistema não é

determinado.

As conclusões da pesquisadora revelam que as conversões tratadas nos

livros didáticos são, na sua maioria, da língua natural para a representação

algébrica. Ela detectou que apenas um exercício do Livro-1 apresentou uma

situação em que o registro de partida era o registro algébrico e o registro de

chegada era o da língua natural.

Outra investigação feita por Battaglioli (2008) tratou da análise das

consequências gráficas que ocorrem durante a realização de tratamentos no registro

algébrico, em particular na resolução de sistemas lineares com três equações e três

incógnitas, para os casos determinado, indeterminado e impossível.

Ela forneceu uma proposta de trabalho utilizando o software Winplot e, em

cada caso, foi feito o devido tratamento do sistema pelo método do escalonamento,

comparando as etapas realizadas com as modificações ocorridas no registro gráfico.

Battaglioli (2008) recomenda explorar mais o registro gráfico, pois ele facilitará

tanto compreender o conjunto solução de um sistema linear com também classificá-

39

lo e discuti-lo quando necessário, utilizando como ferramenta de apoio o software

Winplot.

Partindo das evidências levantadas por Battaglioli (2008) e das indicações

dos PCN, pretendemos fazer uma integração entre os diversos registros do

conteúdo matemático “Sistemas Lineares”. Para essa integração, desejamos

elaborar um experimento de ensino sobre essa temática, explorando as conversões

entre representações dos registros gráfico, algébrico, numérico-tabular e da língua

natural, nos ambientes papel e lápis e computacional, representado pelo software

Winplot. Ainda, pretendemos fornecer situações que propiciem a investigação da

relação entre o registro gráfico um sistema linear de duas equações e duas

incógnitas e a análise da proporcionalidade dos coeficientes de suas equações.

Pantoja (2008) realizou um estudo sobre Sistemas Lineares, com o objetivo

de elaborar uma sequência didática, relacionando a resolução de sistemas lineares

pelo Método da Substituição com o Método do Escalonamento.

A pesquisadora afirmou que, na maioria das vezes, o ensino da Matemática

provoca antipatia nos alunos, causada pelo fato de os objetos matemáticos tratados

em sala de aula serem apresentados de forma fragmentada, não proporcionando ao

estudante um relacionamento com os objetos aprendidos.

Com relação a esta forma fragmentada de ensino, a pesquisadora destaca os

documentos oficiais:

“... se os conceitos são apresentados de forma fragmentada, mesmo que de forma completa e profunda, nada garante que o aluno estabeleça alguma significação para as idéias isoladas e desconectadas umas das outras. Acredita-se que o aluno sozinho seja capaz de construir as múltiplas relações entre os conceitos e formas de raciocínio envolvidas nos diversos conteúdos; no entanto, o fracasso escolar e as dificuldades frente à matemática mostram claramente que isso não é verdade.” (BRASIL, apud PANTOJA, p. 11).

Acreditando que os objetos matemáticos sejam tratados de forma

desconectada, a pesquisadora ainda cita que, na maioria das vezes, não há uma

relação entre o mesmo objeto matemático quando este é apresentado ao aluno

primeiramente no Ensino Fundamental e depois com maior profundidade no Ensino

Médio, destacando, neste contexto, o objeto matemático sistemas lineares.

Em sua pesquisa, Pantoja (2008) destaca que alguns livros didáticos tratam

os conteúdos matemáticos de forma isolada, sem trazer relações entre os diversos

40

tópicos. Nesse contexto, a pesquisadora cita o livro de Gelson Iezzi et al. (2004),

intitulado “Matemática, ciência e aplicação”, embora tal obra ainda apresente de

forma contextualizada os conteúdos matemáticos por meio de situações problemas.

Tratando da importância entre as conexões que devem existir entre os objetos

matemáticos, a pesquisadora destaca Pais (2006) que diz: “quanto mais intensas

forem a interatividade e a articulação, mais significativa será a aprendizagem” (PAIS,

apud PANTOJA, 2008, p. 12).

Em sua pesquisa, Pantoja (2008) busca:

“Construir e avaliar uma sequência de ensino que promova as articulações e integrações de saberes matemáticos em busca de verificar se tais conexões podem promover a aprendizagem de um objeto matemático.” (PANTOJA, 2008, p. 13).

A elaboração e o desenvolvimento dessa sequência didática buscou

relacionar o Método da Substituição apresentado ao aluno no Ensino Fundamental

com o Método do Escalonamento que é apresentado no Ensino Médio. Além disso,

a autora procurou avaliar se essa relação favoreceria a conversão entre o registro

simbólico-algébrico do Método da Substituição com o registro numérico do Método

do Escalonamento, dado na forma matricial.

A pesquisa de Pantoja (2008) foi fundamentada na teoria dos Registros de

Representação Semiótica de Raymond Duval (1999), e apresentou dois tipos de

representação de um Sistema de Equações Algébricas Lineares, o algébrico e o

geométrico.

Utilizando a metodologia da Engenharia Didática, Pantoja (2008) elaborou

uma sequência de ensino sobre Sistemas Lineares, aplicando-a em uma turma de

alunos do Ensino Médio de uma escola pública de Belém. A pesquisadora destacou

que o diferencial de sua pesquisa estava no ponto que: “trabalhamos a conexão

entre a aplicação do Método da Substituição de representação algébrica, e o Método

do Escalonamento, de representação matricial e aritmética” (p. 19-20). Ela procurou

investigar se os alunos realizariam a conversão do registro algébrico presente no

primeiro método para o registro aritmético presente no segundo.

Para Pantoja (2008) a resolução de um Sistema de Equações Lineares pode

ser encontrada de quatro formas distintas, pelo método da substituição, pela regra

de Cramer, por escalonamento e pelo processo gráfico.

41

A sequência didática elaborada por Pantoja (2008) foi aplicada a vinte e

quatro alunos do Ensino Médio da Educação de Jovens e Adultos (EJA) durante três

meses.

Para dar início à pesquisa, foi apresentada aos alunos uma lista de problemas

do 1º grau, que envolvia de uma até duas incógnitas para a sua resolução. Essa lista

de problemas foi desenvolvida pelos alunos em grupos de quatro ou cinco sujeitos,

com o objetivo de que houvesse uma colaboração entre eles na resolução dos

problemas propostos.

Mesmo em grupos, alguns alunos apresentaram algumas dificuldades na

resolução dos problemas propostos. A pesquisadora destaca que essas dificuldades

na resolução podem estar relacionadas a:

“1 – Dificuldade de comunicação em matemática; 2 – Dificuldade com a leitura e interpretação dos problemas matemáticos apresentados; 3– Não domínio das quatro operações; 4 – Alguns alunos não lembravam como se resolvia sistema aplicando o Método da Substituição; 5 – Medo de errar, possível efeito da relação de poder existente em sala de aula; etc.” (PANTOJA, 2008, p. 56).

As dificuldades encontradas pelos alunos foram trabalhadas durante a

realização da sequência didática, dando condições ao aprendizado do objeto

matemático apresentado.

As resoluções dos problemas propostos foram todas realizadas pelo Método

da Substituição, com o objetivo de fornecer condições para que a partir desse

método o aluno tivesse condições prévias para o estudo do Método do

Escalonamento.

Em sua pesquisa, Pantoja (2008) apresenta o Método da Substituição

utilizando um Sistema Linear de três equações e três incógnitas, sendo esse sistema

possível e determinado.

Na sequência de sua pesquisa, é apresentado o Método do Escalonamento

para a resolução do mesmo sistema utilizado para apresentar o Método da

Substituição. Nesta situação, a pesquisadora apontou que o insucesso dos alunos

aplicando o Método do Escalonamento estava no fato de os mesmos não

dominarem as operações elementares para a manipulação das linhas do sistema

apresentado. Esse fato foi observado na sala de aula da pesquisadora.

42

Segundo a autora, a resolução de sistemas pelo Método do Escalonamento

na forma matricial perde o sentido para o aluno. Como o objetivo do estudante era

encontrar o valor das incógnitas do sistema apresentado, essas não eram utilizadas

na resolução do sistema pelo Método do Escalonamento na forma matricial e sim

apenas os coeficientes dessas incógnitas, tornando a resolução do sistema por esse

método sem significado para o aluno.

A sequência didática elaborada pela pesquisadora envolvia problemas de

aplicação do cotidiano apresentados no registro da língua natural, que deveriam ser

resolvidos aplicando o Método da Substituição com a manipulação de seus

coeficientes, a fim de fazer uma relação com o Método do Escalonamento.

Após a pesquisadora analisar as resoluções dos alunos e discutir com eles

sobre as dificuldades encontradas em relação à conversão da língua natural para a

representação algébrica dos problemas propostos, foi notada uma melhora no

aprendizado por parte dos alunos, pois ao final de cada resolução dos problemas

propostos, havia uma discussão sobre os valores encontrados. Tal fato permitiu a

análise dos significados dados às respostas encontradas pelos grupos após

resolverem os sistemas.

A pesquisadora propôs vários problemas aos grupos, que mostraram

habilidade na conversão da língua natural para a representação algébrica. Conforme

a teoria de Duval, para a aprendizagem de um objeto matemático, é necessário

efetuar com sucesso a coordenação de pelo menos dois registros distintos.

A pesquisadora propõe aos alunos expressarem as relações existentes entre

os coeficientes de um sistema linear genérico, mas inicialmente os alunos

encontraram dificuldades para expressar as relações existentes entre os coeficientes

de um sistema linear algébrico, devido ao fato de os cálculos envolverem apenas

“letras”. Com a intervenção do professor em sala de aula, os alunos determinaram

as relações existentes entre os coeficientes de um sistema linear.

A seguir, a pesquisadora elaborou com os alunos uma relação entre os

coeficientes de um sistema genérico 4x4 que temos a seguir:

43

Figura 2 – Representação no Registro simbólico-algébrico de um sistema linear 4X4 Fonte: PANTOJA, 2008, p. 86

Na sequência, foi proposta aos alunos, a elaboração, sem o auxílio do

professor, das relações existentes entre os coeficientes dos sistemas genéricos 2x2

e 3x3. Após a elaboração dessas relações, os alunos aplicaram-nas na resolução de

um problema proposto pela pesquisadora.

Após a análise das resoluções apresentadas pelos alunos, ficou evidente para

a pesquisadora que os mesmos conseguiam resolver o problema proposto usando

as relações existentes entre os coeficientes dos sistemas.

Após a resolução de outros sistemas lineares utilizando apenas os seus

coeficientes, foi dito aos alunos que esse método de resolução, utilizando apenas os

coeficientes do sistema, é conhecido como Método do Escalonamento.

Com isso, foi possível fazer uma relação entre os dois métodos apresentados,

dando um significado ao Método do Escalonamento que utiliza um tratamento

aritmético partindo do Método da Substituição, o qual utiliza um tratamento

algébrico.

Pantoja (2008) destaca que: “[...] o uso das relações sem a devida atenção de

que estas se originam no Método da Substituição, podem gerar dificuldades [...]”

(p.90).

Uma das dificuldades citadas pela pesquisadora foi verificada quando propôs

aos alunos o sistema

3

2

1

cb

ba

ca

que, pela ausência de algumas incógnitas nas

equações, induziu os alunos ao erro, como vemos a seguir:

44

Figura 3 – Resolução apresentada por um grupo de alunos Fonte: PANTOJA, 2008, p. 90

Mais uma vez foi necessária a intervenção do professor, que discutiu com os

sujeitos sobre a ausência dessas incógnitas, afirmando que, nesses casos, o valor

de seus coeficientes é zero. Reiniciando novamente a resolução do sistema anterior,

os alunos obtiveram a solução desejada.

A pesquisadora destaca que os alunos não tiveram dificuldades em aplicar o

Método do Escalonamento para a resolução do sistema anterior, ao contrário, eles

aplicaram o método de forma correta, mas utilizaram os coeficientes de forma

incorreta.

Pantoja (2008) afirma que a resolução de sistemas lineares por meio do

cálculo do determinante não possui nenhum significado para o aluno, sendo este

procedimento realizado de forma mecânica.

A sequência didática de Pantoja (2008) demonstrou aos alunos uma conexão

entre o Método do Escalonamento, que é apresentado aos alunos no Ensino Médio,

com o Método da Substituição, que é apresentado aos alunos no Ensino

Fundamental, dando significado a esse novo método.

Pantoja (2008) também apontou que em alguns momentos da pesquisa os

alunos apresentaram dificuldades nas conversões entre registros. Segundo a

pesquisadora, tais dificuldades foram decorrentes da insegurança dos alunos em

realizar algumas manipulações com os sistemas e, nestes momentos de bloqueio,

era realizada uma intervenção do professor. Mediante as evidências apontadas por

Pantoja (2008), pretendemos elaborar um experimento de ensino sobre “Sistemas

45

Lineares”, estabelecendo conexões entre os diferentes registros empregados nesse

objeto matemático, com o auxílio de um recurso computacional.

Freitas (1999) realizou uma pesquisa sobre o objeto matemático sistemas

lineares parametrizados, com o objetivo de diagnosticar como os alunos ao final do

Ensino Médio relacionavam as soluções desse tipo de sistema com a sua

representação gráfica.

A pesquisadora destacou os trabalhos de Machado (1996), que em suas

conclusões afirmou que os alunos têm dificuldades em realizar conversões em duplo

sentido entre os registros gráfico e algébrico, o que dificulta o entendimento da

resolução dos sistemas lineares. Ela também utilizou como base o trabalho de

Bianchini (1995), que apontou os erros mais frequentes apresentados pelos alunos

para a resolução de sistemas lineares, sendo eles:

“ ● o aluno encontra a solução algébrica, mas não faz a verificação; ● procura a solução algébrica, quando só se pede a gráfica (o que decorre, sem dúvida, do fato do ensino usual ser voltado principalmente para o quadro algébrico); ● confunde parâmetro e incógnita: este parece ser um ponto crucial na resolução de sistemas, já que o índice de acerto, na questão que exigia esse conceito, foi de apenas 3%; ● outros tipos de erros aparecem, tais como: de cálculo aritmético e algébrico, de método, gráfico, etc...”. (BIANCHINI, apud FREITAS, 1999, p. 09).

A pesquisadora também recordou que os sistemas lineares são tratados na 6ª

série do Ensino Fundamental, momento em que os alunos obtêm um primeiro

contato com o registro gráfico de retas. Esse conteúdo é retomado na 7ª série,

sendo que na 8ª série e no 1° ano do Ensino Médio o tratamento com gráficos é

embasado no conceito de funções do primeiro grau.

A pesquisadora afirmou que os métodos aplicados para a resolução de

sistemas lineares não representam fontes de dificuldades para os alunos, desde que

eles tenham familiaridade com os mesmos. Mas nos sistemas lineares

parametrizados, apenas com a aplicação de um método de resolução, o aluno não

obtém direto o conjunto solução, com isso, há a necessidade da discussão do

conjunto em função de um parâmetro, o que necessita de algum tipo de

interpretação. A autora classifica um parâmetro como implícito, quando utilizado

para a representação de infinitas soluções de um sistema possível e indeterminado

e como explícito, se aparecer como um coeficiente desconhecido de uma das

incógnitas do sistema, implicando na modificação do tipo de solução.

46

Freitas (1999) elaborou sua pesquisa embasada em teorias da Didática da

Matemática Francesa e em outras pesquisas que abordaram o tema, presentes em

sua revisão bibliográfica. Para a elaboração do questionário que foi respondido pelos

alunos, e para fundamentar seu trabalho, ela utilizou a teoria de registros de

representação semiótica de Raymond Duval.

Freitas (1999) também utilizou a noção de quadro proposta por Régine

Douady, que é apresentada em sua teoria como um elemento facilitador para a

compreensão de um objeto matemático.

Douady (1984) faz a seguinte definição de quadro:

“... constituído de objetos de um ramo da matemática, das relações entre os objetos, de suas formulações eventualmente diferentes e das imagens mentais associadas a esses objetos e suas relações. Essas imagens desempenham um papel essencial como ferramenta dos objetos do quadro. Dois quadros podem comportar os mesmo objetos e diferir pelas imagens mentais e pela problemática desenvolvida.” (DOUADY, apud FREITAS, 1999, p. 15-16).

Como exemplo de quadros, Freitas (1999) cita os dos sistemas lineares e o

da geometria analítica. A metodologia de pesquisa adotada por Freitas (1999) foi

constituída pelos princípios da Engenharia Didática. Inicialmente a pesquisadora

realizou um estudo epistemológico do conceito de sistemas lineares e analisou três

livros didáticos do 2° grau (atualmente Ensino Médio) para observar como o assunto

era tratado. Em seguida ela aplicou, em sua sala de aula, uma atividade sobre

sistemas lineares a uma amostra de quarenta e cinco alunos de uma escola

particular, com o objetivo de mapear as possíveis dificuldades encontradas por estes

estudantes. Por fim, ela elaborou cinco questões e as aplicou para um grupo de

vinte e oito alunos do ensino público.

Apresentando de forma resumida, em seu estudo epistemológico a autora

concluiu que, apenas no final do século XIX, foi possível estabelecer a resolução de

todos os sistemas lineares, o que pode representar uma fonte de análise das

dificuldades atuais dos estudantes.

Como segunda etapa, Freitas (1999) analisou os seguintes livros didáticos:

47

Designação Título / Série / Autor / Editora / Ano

Livro-1

Exercícios de Matemática: Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares– vol. 5

Álvaro Zimmermann Aranha e Manoel Benedito Rodrigues

Policarpo – 1993

Livro-2

Os elos da matemática – vol.2, 2ª edição

Rokusaburo Kiyukawa, Carlos Tadaschi Shigekiyo e Kazuhito Yamamoto

Ática – 1992

Livro-3

Matemática na escola do 2° grau

Antonio da Silva Machado

Atual – 1996

Tabela 1 – Relação de livros didáticos analisados Fonte: Adaptado de FREITAS (1999)

A autora observou que o Livro-1 trata o objeto matemático sistemas lineares

estabelecendo apenas regras, e são apresentados vários conceitos como termo

independente e incógnita sem a preocupação de explicá-los. Nos exercícios também

é proposta a análise de parâmetros, sem existir qualquer explicação do seu

significado. Nesta obra, não foi encontrada a exploração de representação gráfica ou

conversão envolvendo esse registro. Por fim, ela concluiu que essa obra não

apresenta articulação dos sistemas lineares com outras áreas do conhecimento,

privilegiando apenas a memorização e a aplicação de regras de resolução.

O Livro-2 tem o cuidado de retomar temas estudados pelo aluno nas séries

anteriores, enfatizando os conceitos que serão necessários para acompanhar o

assunto a ser abordado. É realizada uma revisão de equação linear e em seguida é

apresentada uma definição formal dos sistemas lineares, caracterizando as

incógnitas, termos independentes e coeficientes de um sistema linear. Na parte

teórica, não existe um aprofundamento da aplicação dos sistemas lineares em

outras áreas do conhecimento, apresenta-se, de maneira superficial, apenas uma

aplicação à Física. Ainda, a classificação dos sistemas lineares é realizada apenas

algebricamente. Nos exercícios propostos, Freitas (1999) destaca que sempre existe

uma tarefa que procura ligar a matemática com o cotidiano do aluno.

48

O Livro-3 introduz o conteúdo de sistemas lineares definindo equações

lineares e, na sequência, fornece explicações sobre coeficientes, incógnitas e termo

independente. É apresentada a solução genérica para uma equação indeterminada.

Nesta obra, Freitas (1999) observou que se procura explorar uma abordagem na

língua natural, evitando o simbolismo matemático, e a classificação de um sistema

linear é apresentada através de exemplos resolvidos. Há uma associação dos

sistemas lineares com as matrizes e determinantes e, após essa associação, todos

os sistemas apresentados são quadrados. O Livro-3 possui uma seção que

apresenta a discussão de um sistema linear em função de um parâmetro k. No

entanto, não menciona em nenhum momento o registro gráfico, limitando-se apenas

ao tratamento algébrico.

Freitas (1999) concluiu que nenhum dos três livros analisados faz qualquer

relação dos sistemas lineares de ordem dois ou três com o registro gráfico, e que de

acordo com a pesquisadora, isso pode prejudicar a aprendizagem do aluno, visto

que: “... o fato de se desenvolver esse assunto somente no quadro algébrico faz com

que os alunos “decorem” técnicas sem compreender o significado de suas

respostas”. (FREITAS, 1999, p. 43).

Como terceira fase, a pesquisadora propôs a uma turma de quarenta e cinco

alunos de uma escola privada, durante uma aula de cinquenta minutos, duas

questões, sendo uma sobre um sistema possível e indeterminado de três equações

e três incógnitas, e outra envolvendo a análise de um sistema de duas equações e

duas incógnitas, por meio de um parâmetro real. Essa turma já havia estudado a

resolução dos sistemas lineares pelo método do escalonamento, bem como a

discussão dos sistemas lineares parametrizados na forma algébrica durante um

bimestre.

Da análise dessa aplicação, a pesquisadora observou que os alunos não

tiveram dificuldades em aplicar o método do escalonamento, mas constatou que, na

discussão dos sistemas, os alunos obtiveram um baixo índice de acerto (15,5%).

Segundo Freitas (1999), a utilização de abreviações SPD, SPI e SI, comumente

usadas para a classificação dos sistemas lineares, pode ter dificultado a discussão

de um sistema linear.

Para Freitas (1999) a conversão do registro algébrico para o registro gráfico

daria sentido à solução encontrada pelos alunos.

49

Na análise da segunda questão, Freitas (1999) concluiu que a idéia de

parâmetro é compreendida pelos alunos de forma errônea, ocorrendo, inclusive,

confusão entre parâmetro e incógnita.

Foi constatado por Freitas (1999) que a introdução de um parâmetro num

sistema linear proporciona grande dificuldade na sua resolução e discussão, isso

pode ocorrer pelo fato de este tipo de tarefa ser pouco explorado se comparado com

exercícios de sistemas lineares sem análise de parâmetros.

Por fim, a pesquisadora aplicou um questionário em um tempo de cinquenta

minutos a vinte e oito alunos de uma turma do terceiro ano do colegial (atual terceiro

ano do Ensino Médio) de uma escola pública, sendo uma das finalidades a análise

do desempenho dos alunos no estabelecimento de relações entre o registro

simbólico e gráfico.

Freitas (1999) concluiu que os seus sujeitos apresentaram dificuldades na

representação gráfica de uma reta, em estabelecer uma identificação entre as

representações algébrica e gráfica de uma reta, em identificar a classificação de um

sistema linear a partir de sua representação gráfica e em analisar sistemas que

envolvem parâmetros.

Desse estudo, a autora concluiu que as dificuldades apresentadas pelos

alunos para interpretar os resultados de um sistema linear podem ocorrer pelo fato

de os livros didáticos privilegiarem algoritmos e, como sugestão para futuras

pesquisas, ela indica a elaboração de experimentos de ensino que envolva o registro

gráfico e o uso de software.

Cury e Bisognin (2009) apresentaram uma pesquisa que investigou os erros

apresentados por estudantes iniciantes de disciplinas matemáticas no ensino

superior, analisando uma questão que envolvia o objeto matemático sistemas

lineares.

As pesquisadoras relataram que avaliações de nível estadual ou federal,

como por exemplo, o Sistema Nacional de Avaliação de Educação Básica (SAEB), o

Programa de Avaliação do Rendimento Escolar do Rio Grande do Sul (SAERS),

dentre outros, avaliam as habilidades de estudantes em resolver problemas que têm

relação com o objeto matemático sistemas lineares.

Em suas investigações, as pesquisadoras tiveram como objetivos:

50

“a) analisar e classificar erros cometidos por alunos ingressantes em disciplinas matemáticas de cursos superiores; b) elaborar e desenvolver atividades de sala de aula, para explorar as dificuldades detectadas; c) avaliar os resultados da experiência e a possibilidade de re-aplicação em diferentes IES”. (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 3-4).

Foi elaborada uma prova contendo doze questões que apresentavam

conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental e Ensino Médio, na qual os alunos

foram solicitados a apresentar o desenvolvimento das resoluções para as questões

propostas. Partindo disso, foi realizada uma análise quantitativa e um estudo das

produções oferecidas pelos estudantes.

Dentre as doze questões que formavam o teste elaborado pelas

pesquisadoras, foi escolhida para a análise nesse artigo a questão com maior

quantidade de acertos, e que envolvia em sua resolução o objeto matemático

sistemas lineares, a qual apresentaremos a seguir:

“O valor de dois carros de mesmo preço, adicionado ao de uma moto, soma R$ 41.000,00. No entanto, o valor de duas dessas motos, adicionado ao de um carro do mesmo tipo, é de R$ 28.000,00. A diferença entre o valor do carro e o da moto, em reais, é: a) 5.000 b) 13.000 c) 18.000 d) 23.000 e) 41.000” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 4).

Foram analisadas as 138 resoluções apresentadas pelos estudantes na

questão apresentada anteriormente.

Para embasar a pesquisa desenvolvida, as autoras analisaram quatro livros

que tratavam do objeto matemático sistemas lineares, para avaliar de que maneira

ele era abordado nos diferentes níveis. Do ensino fundamental foram selecionadas

as obras de Dante (2002) e de Bigode (2002) e do ensino superior as obras Anton e

Busby (2006) e Lay (1999).

A escolha dos livros do ensino fundamental se deu por serem os mais

utilizados em sala de aula pelos estudantes do curso de licenciatura da UNIFRA4,

onde as pesquisadoras lecionavam. A seleção dos livros do ensino superior também

ocorreu pelo fato de eles serem os mais utilizados na instituição em que as

pesquisadoras atuavam nas aulas de Álgebra Linear.

4 (UNIFRA) Centro Universitário Franciscano, com sede na cidade de Santa Maria, no estado do Rio

Grande do Sul. Fonte: < http://www.unifra.br/Instituicao/Institucional.asp>. Acesso em 13 out. 2011.

http://www.unifra.br/Instituicao/Institucional.asp

51

As pesquisadoras constataram que a diferença da abordagem do objeto

matemático sistemas lineares apresentado nos livros do Ensino Fundamental e no

Ensino Superior está na linguagem e na profundidade na qual o tema é abordado.

Com isso, elas analisaram as habilidades que os estudantes já deveriam ter

desenvolvido no Ensino Fundamental.

Cury e Bisognin (2009) também trataram da conceitualização dos termos

“sentido de símbolo” e “estrutura” apresentados pelos pesquisadores Fey (1990) e

Arcavi (2005), e Dreyfus e Hoch (2004) respectivamente, apresentados no PME5.

Essa conceitualização segundo as pesquisadoras, foram necessárias para a análise

das produções apresentadas pelos alunos, para avalizar:

“Se o aluno se dá conta da estrutura interna do sistema, ou seja, se “vê” qual método é mais indicado para cada caso (substituição, adição ou, ainda, o uso dos princípios aditivo e multiplicativo para obter equações equivalentes que podem ser solucionadas pelos métodos anteriores), a resolução vai trazer menos dificuldades e gerar menos erros.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 10).

Na pesquisa realizada por Cury e Bisognin (2009) prevaleceu um enfoque

qualitativo ao analisar as resoluções apresentadas pelos estudantes, seguindo os

processos de Bardin (1979). Essa análise foi desenvolvida em três etapas,

denominadas “pré-análise, exploração do material e tratamento dos resultados”.

A questão sobre sistemas lineares que destacamos anteriormente obteve o

maior índice de acerto, sendo de sessenta e quatro por cento. As respostas

apresentadas pelos alunos foram classificadas em quatro grupos denominados por

A, B, C e D.

No grupo A, os estudantes conseguiram observar que o problema poderia ser

resolvido por um sistema de equações, conseguindo expressar e resolver o sistema

encontrado de maneira correta, obtendo a resposta certa. O grupo B foi composto

por estudantes que conseguiram notar que o problema poderia ser resolvido por um

sistema de equações lineares, expressando de forma correta, mas não

apresentando a resposta correta. Neste caso, eles tentaram resolver o sistema, mas

cometeram algum erro durante a resolução.

5 (PME) “International Group for the Psychology of Mathematics Education”. Fonte:

<http://pme34.lcc.ufmg.br/>. Acesso em 13 out. 2011.

http://pme34.lcc.ufmg.br/

52

Já no grupo C estavam às produções dos estudantes que observaram que se

tratava de um problema que envolvia sistema de equações, expressando de forma

correta o sistema, mas sem apresentar o conhecimento necessário para resolvê-lo.

E finalmente o grupo D foi formado pelas produções dos alunos que não

conseguiram modelar o problema.

Após a análise das produções dos alunos, as pesquisadoras apresentaram a

seguinte tabela:

Figura 4 – Distribuição das resoluções por categorias Fonte: CURY e BISOGNIN (2009), p. 13

Dentre as 138 resoluções analisadas por Cury e Bisognin (2009), foi realizada

uma nova análise, classificando os erros apresentados pelos estudantes que

formavam o grupo C. Essa classificação foi composta por seis tipos de erros que os

estudantes apresentaram na resolução do sistema de equações. Vale lembrar que

nesse grupo, os estudantes conseguiam modelar o problema proposto em um

sistema de equações, mas não conseguiam resolvê-lo.

As pesquisadoras destacaram que uma das dificuldades apresentadas pelos

estudantes estava relacionada ao controle e uso de símbolos. Segundo Cury e

Bisognin (2009):

“Essa habilidade de transformar uma situação dada em linguagem discursiva em um sistema de equações lineares é um passo anterior a qualquer manipulação algébrica que venha a ser feita na resolução e, pelas nossas experiências com problemas de Cálculo Diferencial (por exemplo, taxas relacionadas ou otimização), temos notado que essa é a primeira dificuldade que o calouro apresenta na sua resolução.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 17).

53

Cury e Bisognin (2009) ressaltam que os estudantes deveriam demonstrar

facilidade para a resolução do problema proposto, que conforme a análise dos livros

do Ensino Fundamental, essa habilidade é ampliada desde a 6ª série.

As autoras observaram que os estudantes não possuíam o sentido de

símbolo e de estrutura, pois não conseguiam distinguir os métodos necessários para

a resolução do problema nem suas operações admissíveis. Segundo as

pesquisadoras, tal dificuldade pode se tornar uma barreira aos estudantes

ingressantes no Ensino Superior que cursarão disciplinas matemáticas, conforme

relatam a seguir.

“consideramos como evidências claras de falta de sentido da estrutura aquelas produções em que os estudantes têm dificuldades em utilizar o princípio multiplicativo para determinar equações equivalentes que, somadas, permitem cancelar termos semelhantes e isolar uma das incógnitas.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 18).

Com isso, Cury e Bisognin (2009) consideraram não ser satisfatório apenas

assinalar os erros cometidos pelos estudantes em sistemas de avaliações estaduais

ou federais, sem realizar um debate das possíveis causas que levaram os

estudantes a esses erros.

Com a possibilidade de realizar novas pesquisas, as autoras conjecturaram

que:

“[...] talvez possamos estabelecer relações entre a forma de ensinar um determinado conteúdo (como equações e sistemas de equações lineares) e as produções dos estudantes ao resolver problemas sobre tal conteúdo. É com esse objetivo que procuramos, neste texto, trazer os conceitos de “sentido do símbolo” e “sentido da estrutura” e aproximá-los às resoluções de um sistema de equações, apresentadas por alunos ingressantes em cursos universitários que já deveriam ter domínio desse conteúdo e das habilidades necessárias para a resolução do problema.” (CURY e BISOGNIN, 2009, p. 19).

Apresentaremos, a seguir, pesquisas que trataram do ensino de Matemática

envolvendo recursos computacionais.

Borba e Penteado (2005) discutem os problemas levantados pelos docentes

com a introdução da informática no ensino da Matemática. Um dos problemas

apresentados pelos pesquisadores é que o uso do computador em sala de aula

tornaria o aluno um ser dependente da máquina, que o aluno apenas realizaria os

comandos solicitados pelo computador e, com isso, deixaria de desenvolver o

54

raciocínio matemático. Para Borba e Penteado (2005), essa visão ocorre porque, na

maioria das vezes, o uso do computador não é apresentado de forma clara para a

resolução de um problema.

Nesse ponto de vista, Borba e Penteado (2005) acreditam ser necessário e de

direito do aluno o acesso à informática. Os pesquisadores justificam a iniciação da

informática na educação a partir de duas necessidades. A primeira trata da

“alfabetização tecnológica” (p.17), que se refere à maneira de acesso a essa nova

mídia e como introduzi-la em atividades fundamentais como, por exemplo, para

aprender a contar, entender gráficos, ler, dentre outros aspectos. Com isso, Borba e

Penteado (2005) ressaltam que: “... a informática na escola passa a ser parte da

resposta a questões ligadas à cidadania.” (p.17). A segunda justificativa refere-se ao

fato de possibilitar a todos o ingresso ao uso do computador, que segundo os

pesquisadores:

“[...] o acesso à informática na educação deve ser visto não apenas como um direito, mas como parte de um projeto coletivo que prevê a democratização de acesso a tecnologias desenvolvidas por essa mesma sociedade.” (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 17).

Os pesquisadores também revelam que a grande maioria dos livros didáticos

apresenta o estudo de funções privilegiando o registro algébrico. Para Borba e

Penteado (2005), o realce deste tipo de registro está ligado à dificuldade encontrada

para gerar diversos gráficos em um ambiente onde se encontra o uso predominante

do lápis e do papel.

Esses autores fazem referência a outros pesquisadores que ressaltam a

importância de apresentar e relacionar as diferentes representações algébrica,

gráfica e tabular de uma mesma função para facilitar ao aluno o conhecimento de

funções.

E para a organização desse diferentes tipos de representações, Borba e

Penteado (2005) ressaltam que: “Essa nova abordagem só ganha força com

ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões

algébricas.” (p. 32).

Os pesquisadores enfatizam que o uso de tecnologias em sala de aula

permite uma discussão entre as conjecturas dos alunos que podem ser sustentadas

55

ou rejeitadas com a troca de ideias entre os alunos e o professor, fortalecendo assim

o aprendizado.

Após essa troca de opiniões o professor poderá também refletir sobre o

desenvolvimento da atividade em sala de aula e observar quais foram os pontos

positivos mais relevantes durante a atividade e se adequações são necessárias para

que a mesma possa ser colocada em sua prática nos anos seguintes. A inserção da

tecnologia em sala de aula também contribui na mudança do ensino tradicional, que

normalmente parte da teoria para depois chegar a um ponto de investigação. Com a

tecnologia é possível inverter essa estratégia, ou seja, partir de uma situação de

investigação para depois chegar à teorização de um objeto matemático.

Borba e Penteado (2005) destacam que o uso de novas mídias não acabará

com as já utilizadas, isto é, a utilização do computador em sala de aula não vai

exterminar o uso do quadro negro e do giz, os pesquisadores conjecturam que

haverá uma reorganização na utilização dessas mídias, mas não o seu fim. Com

isso, o papel dos educadores é contribuir para o ligamento dessas novas tecnologias

no ensino da Matemática, e transformar o usual ensino tradicional em um ensino

inovador com a utilização de novas mídias.

Diante deste cenário, há a necessidade de realizar inovações na prática

docente para a utilização do computador em sala de aula, uma vez que tais

inovações contribuem para a ampliação do conhecimento tanto do professor quanto

do aluno, que segundo Borba e Penteado (2005):

“[...] ao caminhar em direção à zona de risco, o professor pode usufruir o potencial que a tecnologia informática tem a oferecer para aperfeiçoar sua prática profissional. Aspectos como incerteza e imprevisibilidade, geradas num ambiente informatizado, podem ser vistos como possibilidades para desenvolvimento: desenvolvimento do aluno, desenvolvimento do professor, desenvolvimento das situações de ensino e aprendizagem.” (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 66).

Os pesquisadores alertam que apenas a utilização do computador não

acabará com o problema existente no processo ensino e aprendizagem, ressaltando

que: “[...] a entrada da mídia informática na escola não é a salvação dos problemas

pedagógicos, e também sua chegada não paralisa o debate sobre propostas

pedagógicas.” (p. 88). Apesar disso, os pesquisadores conjecturam que um trabalho

envolvendo professor e aluno dispostos a inovarem a prática docente e a prática

discente, respectivamente, possa contribuir no processo de ensino e aprendizagem

56

com a utilização de novas mídias, proporcionando um crescimento cognitivo para

todos os envolvidos.

Segundo Boeri e Silva (2011), um tópico muito pesquisado na atualidade

relacionado ao processo de ensino-aprendizagem em sala de aula e que ainda

origina grande perturbação entre os educadores é o uso do computador em sala de

aula.

A utilização dos recursos computacionais no ensino de Matemática, segundo

estes pesquisadores, possibilita formar um aluno ativo e participativo na construção

do conhecimento, trazendo influências significativas para a sua aprendizagem.

“A utilização do computador nas aulas de Matemática contribui para que o educando perceba esta disciplina de forma mais abrangente e integral, mediando e contribuindo para o seu desenvolvimento lógico e cognitivo.” (BOERI; SILVA, 2011, p. 2).

O objetivo da pesquisa de Boeri e Silva (2011) consistiu em apontar quais as

contribuições significativas que ocorrem no processo ensino-aprendizagem com a

utilização da informática em sala de aula para o ensino da Matemática.

Segundo os pesquisadores, a escola deve acompanhar os avanços

tecnológicos que ocorrem na sociedade, e os professores devem introduzir em sua

prática em sala de aula o uso do computador, uma vez que diversos alunos já estão

familiarizados com a sua utilização por possuírem acesso facilitado a este recurso.

Para os pesquisadores, há duas abordagens vinculadas à utilização da

informática em sala de aula. Uma delas é a abordagem construcionista de Papert

(1991), apoiada nas teorias de Piaget, na qual o professor desempenha o papel de

mediador, auxiliando os alunos nos momentos que julgar necessário. Nessa

abordagem a informática é tratada como um recurso para a formação de alunos

críticos, que buscam refletir e analisar as suas falhas, compartilhando a construção

do conhecimento com a utilização de ferramentas computacionais.

A segunda abordagem é a instrucionista, na qual o papel principal no

processo de ensino-aprendizagem pertence ao computador. O papel do professor

nesta abordagem é conduzir os alunos a pensar sobre os conceitos que estão sendo

apresentados no computador. O aluno é um elemento passivo, que desenvolve

atividades de maneira mecânica, com ênfase apenas na memorização de atividades,

aplicando o computador como um acessório no ensino habitual.

57

Segundo os pesquisadores, devem-se deixar nítidos os objetivos reais que se

pretende alcançar com o uso do computador em sala de aula, para não tornar a sua

utilização um modismo ou algo automatizado.

Boeri e Silva (2011) evidenciam profissionais entusiasmados com o uso de

ferramentas computacionais no ensino de Matemática, mas, por outro lado, há

aqueles que possuem uma visão descrente quanto a essa utilização. Segundo os

pesquisadores, esses últimos são cativos ao ensino tradicional, onde o professor

possui um papel autoritário e o aluno um papel passivo no processo ensino-

aprendizagem, ou têm insegurança na utilização dos computadores ou ainda estão

acomodados, acreditando não haver necessidade de aperfeiçoamento tanto no seu

conhecimento pessoal quanto na renovação de metodologia em sala de aula.

Eles ressaltam que diversos objetivos podem ser atingidos com o uso do

computador nas aulas de Matemática, dentre eles, o desenvolvimento do

pensamento lógico e a possibilidade de propor aos alunos uma reflexão diante dos

seus erros, permitindo que o mesmo seja um sujeito ativo no processo ensino-

aprendizagem.

“Hoje, mais do que nunca, é preciso desenvolver no educando a competência de obter e utilizar informações por meio do computador, contribuindo para a sua formação consciente e capacitando-o a entender e atuar melhor na sociedade em que vive.” (BOERI; SILVA, 2011, p. 7).

Dentre as contribuições do uso da informática no processo de ensino e

aprendizagem de Matemática, segundo Boeri e Silva (2011), destacam-se a

possibilidade de o aluno assumir um papel mais ativo durante a aprendizagem e o

favorecimento da visualização de um objeto matemático de uma forma dinâmica e

precisa, colaborando assim para a confecção de traçados de imagens, como, por

exemplo, a exploração de conceitos de geometria que envolve julgamentos sobre

reflexão, lugar geométrico, translação, dentre outros.

A pesquisa realizada por Souza et al. (2011) apresenta experiências

elaboradas e realizadas pelo Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à

Docência (PIBID) instituído na Universidade Federal de Goiás, que dentre as

atividades realizadas para o ensino de Matemática, encontra-se a utilização do

software Winplot no ensino fundamental e no médio.

58

Segundo os pesquisadores, há uma grande necessidade de inovar o ensino

da Matemática, para que o aluno se torne um sujeito participativo no processo de

aprendizagem, pois, enquanto o aluno estiver passivo nesse processo, ocorrerá um

grande desinteresse para o seu aprendizado.

Para realizar essa inovação, Souza et al. (2011) sugerem a utilização de

ambientes voltados a utilização de recursos computacionais, que segundo os

pesquisadores: “Nesse ambiente é possível despertar o interesse para a

aprendizagem dos conceitos matemáticos e desenvolver as habilidades cognitivas e

intelectuais do aluno.” (SOUZA et al., 2011, p. 3).

Os ambientes informatizados sendo trabalhados de forma bem planejada

poderão favorecer o aluno no processo ensino-aprendizagem da Matemática,

motivando-o a fazer investigações e ser um sujeito crítico e participativo nesse

processo.

Além das vantagens proporcionadas ao aluno, o professor também será

compensado, uma vez que a utilização de ambientes informatizados exige do

docente uma preparação mais aprofundada tanto no conteúdo matemático a ser

tratado em sala de aula, quanto na utilização de softwares relacionados a esse

conteúdo. Desta forma, assim como o aluno, o professor também terá um maior

desenvolvimento cognitivo.

Segundo Souza et al. (2011), a escolha por um software livre, identificado

pelos autores como “aquele que pode ser usado, estudado, redistribuído e

modificado com algumas restrições” (Sousa e Silva, 2007, p. 1 apud Souza et al.,

2011, p. 4) poderá facilitar a utilização do ambiente informatizado, pois além de ser

acessível, não exige investimentos financeiros para a sua utilização. O software

Winplot está inserido no contexto de softwares livres, podendo ser utilizado tanto no

ensino básico quanto no superior.

As experiências relacionadas à utilização do software Winplot foram aplicadas

a aproximadamente oitenta alunos do nono ano do ensino fundamental e primeiro e

segundo anos do ensino médio em uma escola pública de Goiás no ano de 2010. Os

conteúdos eram tratados a princípio pela professora em sala de aula e a seguir os

alunos retomavam esses conteúdos com a utilização do software Winplot.

Os alunos realizavam a construção de gráficos e analisavam suas

características como: declividade da reta para funções do primeiro grau; zeros da

função, vértice da parábola, entre outras características para as funções do segundo

59

grau. As atividades foram realizadas em duplas, o que colaborou para a troca de

conhecimento entre os alunos.

Ao final das atividades, os alunos responderam um questionário que tinha por

objetivo analisar quais as suas impressões com o uso de novas tecnologias. Após a

análise dos dados, Souza et al. (2011) observaram que os alunos ficaram satisfeitos

com as aulas que utilizaram os recursos tecnológicos e destacaram que este tipo de

ambiente colaborou para a melhoria do ensino e aprendizagem da Matemática. Com

relação à utilização do software Winplot, os alunos o consideraram muito importante,

pois ele contribuiu para a retenção de conteúdos matemáticos e facilitou a

construção dos gráficos propostos pelos pesquisadores.

Souza et al. (2011) concluíram que o uso do computador em sala de aula

pode contribuir para o ensino da Matemática, despertando o interesse do aluno para

a aprendizagem. Os autores ressaltam a possibilidade das tecnologias contribuírem

para a aprendizagem, uma vez que estão acessíveis a maior parte dos alunos e que

são, na maioria das vezes, utilizadas por eles para diversão.

Os autores destacam que o software Winplot possibilitou aos alunos a

visualização e a conversão entre os registros gráficos e algébricos, ou seja, “a

possibilidade da “animação” dos gráficos a partir da variação dos parâmetros,

possibilita a visualização de um objeto tanto na representação algébrica quanto na

representação gráfica.” (SOUZA et al, 2011, p. 5).

Souza et al. (2011) finalizam seu trabalho ressaltando que futuros professores

ou mesmo professores formadores devem procurar novas formas para ministrar

suas aulas, sendo uma dessas formas relacionada à utilização de novas tecnologias

em sua prática, buscando despertar no aluno o interesse de ampliar o seu

conhecimento cognitivo e de ter uma participação mais íntegra na sociedade na qual

está inserido.

Mota e Laudares (2011) realizaram um estudo sobre questões que

envolveram figuras e equações relacionadas a planos, cilindros e quádricas,

destacando a necessidade de inovar o processo de ensino e aprendizagem da

Matemática. Para isso, eles sugeriram a inclusão de ferramentas informatizadas. Foi

elaborada uma sequência didática que envolvia os objetos matemáticos citados

anteriormente, com o objetivo de proporcionar aos alunos habilidades de visualizar e

representar planos, cilindros e quadráticas. Apesar de o objeto matemático desses

autores não coincidir com o de nosso estudo, optamos por analisar essa pesquisa

60

pelo fato de ela integrar os mesmos ambientes, no caso, as mídias "papel e lápis" e

Winplot, estabelecendo relações entre representações gráficas e algébricas.

A escolha do Winplot por estes autores se deu pelo fato de originar fácil

visualização dos objetos matemáticos tratados em sua pesquisa, e por proporcionar

um trabalho com várias representações. Com este estudo, Mota e Laudares (2001)

tiveram por objetivo investigar:

“• como a habilidade de visualização das figuras espaciais: planos, cilindros e quádricas contribuem para o desenvolvimento do pensamento geométrico? • como a utilização das seções transversais das superfícies podem facilitar o traçado do esboço das mesmas? • como a articulação entre as representações algébricas e geométricas pode contribuir para o desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem de plano, cilindros e quadráticas na disciplina Geometria Analítica; • de que forma a utilização das mídias “lápis e papel” e do software contribui para o desenvolvimento da habilidade de visualização de figuras tridimensionais?” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 3).

Mota e Laudares (2011) destacam que os estudantes conferem um

significado a um determinado objeto matemático de forma progressiva, a partir do

momento em que conseguem observar suas regularidades, construindo assim uma

generalização desse objeto matemático. Para estes autores, uma das maneiras de

observar essa regularidade em objetos matemáticos que estão associados à

Geometria é proporcionar a sua visualização, conforme apontado pelos

pesquisadores:

“Destacamos que a visualização é uma aptidão que está relacionada com a habilidade de gerar uma imagem mental, promover diversas transformações com objetos e reter alterações produzidas sobre o mesmo.” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 3).

Os pesquisadores destacam que a utilização de softwares relacionados à

geometria dinâmica muito contribuem para o aprendizado, pois facilitam a

visualização de figuras no plano e no espaço através da experimentação,

explorando as alterações das figuras com a utilização do software. A escolha pelo

software Winplot se deu justamente pelo fato de o mesmo proporcionar essa

exploração. Segundo Mota e Laudares (2011):

61

“A integração da mídia computacional com o traçado utilizando lápis e papel traz possibilidade de uma melhor compreensão das figuras nos vários espaços, possibilitando, ainda, uma melhor interpretação da equação referente à mesma.” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 4).

A sequência elaborada pelos pesquisadores contou com elementos teóricos

de Zabala (1998). Neste caso, uma sequência didática é concebida como “uma

maneira de encadear e articular as diferentes atividades ao longo de uma unidade

didática, de forma que se tenha uma análise e possibilidade de intervenção para

execução das mesmas.” (MOTA e LAUDARES, 2011, p. 4).

Essa sequência didática foi aplicada a uma turma de graduação em

Licenciatura em Matemática, na disciplina de Geometria Analítica, na qual um dos

pesquisadores era o professor dessa disciplina. Foram explorados os significados de

parâmetros e o que esses parâmetros influenciavam na representação gráfica

dessas equações.

Os pesquisadores solicitavam aos alunos para construírem a representação

no registro gráfico de uma dada função que envolvia os objetos matemáticos de sua

pesquisa com a utilização da mídia "papel e lápis". Em seguida, eles deveriam

realizar, após as devidas orientações, a mesma atividade com o auxílio do software

Winplot, comparando, em seguida, os resultados encontrados entre as duas mídias.

Após a realização de algumas atividades, os pesquisadores notaram que os

estudantes conseguiram relacionar a representação algébrica e o significado de um

parâmetro com a sua representação no registro gráfico utilizando a mídia "papel e

lápis". Os estudantes se mostraram mais seguros para realizar as representações

das figuras, uma vez que, sempre que necessário, recorriam ao uso do software

para comparar os resultados encontrados na mídia "papel e lápis".

Mota e Laudares (2011) ressaltam que, ao fazer as relações existentes entre

a representação algébrica com a representação gráfica, os alunos tiveram uma

evolução cognitiva compreendendo melhor os conceitos de Geometria Analítica,

disciplina que interage a equação com a figura, e que o tratamento da representação

figural com o auxílio do software colaborou para minimizar as dificuldades

apresentadas pelos estudantes na construção de gráficos em três dimensões.

Os pesquisadores ainda comprovaram que “a interação entre as mídias

possibilitou uma diversificação na sequência didática proposta” (MOTA E

LAUDARES, 2011, p. 11) e os resultados obtidos com a aplicação da sequência

62

didática, que tinha como objetivo integrar a utilização de ferramentas informatizadas

com a mídia "papel e lápis", apontaram para uma aprendizagem mais eficaz.

Fonseca e Júnior (2011) realizaram uma pesquisa com alunos do período

noturno do segundo ano do Ensino Médio de uma escola pública da periferia de

Uberlândia, no estado de Minas Gerais. O estudo tratou da aplicação de novas

tecnologias ao ensino utilizando Objetos de Aprendizagem, e procurou investigar as

possíveis contribuições que o uso desses recursos poderia fornecer no processo de

aprendizagem da Matemática e da inclusão digital.

Os pesquisadores ressaltaram que a maioria dos alunos convive com o uso

de novas tecnologias no trabalho ou em casa, e para a sua utilização em sala de

aula, destacam o uso de Objetos de Aprendizagem, que foram produzidos por

Universidades por meio da Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED). Para

Fonseca e Júnior (2011), além de inserir as novas tecnologias nas escolas, faz-se

necessária uma política estável que contribua com a habilitação dos professores

para o uso desses recursos.

A equipe engajada para a realização dessa pesquisa foi formada por um

professor da área de Matemática da escola na qual foi realizada a pesquisa, por três

alunos do curso de Licenciatura em Matemática e mais dois pesquisadores. Um dos

aspectos que norteou a realização dessa pesquisa consistiu na verificação da

viabilidade de aplicação de um projeto envolvendo novas tecnologias em uma escola

de periferia, na qual são encontradas situações adversas.

Para a elaboração dos dados dessa ação foram analisados relatórios e

questionários desenvolvidos pelos pesquisadores e professores-estagiários, além de

documentos motivadores concebidos pela escola para a elaboração de um

laboratório de informática. Os pesquisadores ressaltaram que a pesquisa foi

desenvolvida de forma colaborativa entre todos os envolvidos, organizada em

projetos, com o uso do laboratório de informática, a fim de investigar se existia

familiaridade ou não por parte dos alunos para o uso de novas tecnologias. Com

isso os pesquisadores destacaram que:

63

“Quanto aos ambientes informatizados de aprendizagem na escola, temos que a sala de aula é a referência mais viva na concepção de ambientes de aprendizagem para professores e alunos. Nessa perspectiva, quando levamos o computador ou qualquer outra tecnologia para seu interior, é possível ampliar as possibilidades de uma condução interacionista do processo educativo, uma vez que o uso dessas tecnologias favorece um trabalho pedagógico centrado na aprendizagem do aluno.” (Fonseca e Júnior, 2011, p. 7).

Para os pesquisadores, é necessária a utilização de novas tecnologias em

sala de aula que possam contribuir para o ensino da Matemática como um

instrumento motivador, em especial para os alunos do período noturno. Essa

contribuição foi observada por um professor-estagiário que citou:

“... Alguns trabalhos estavam aquém do esperado, deixando muito a desejar nas duas turmas; mas o intrigante foi o resultado colhido com os alunos mais fracos das turmas. Eles tiveram nada menos que os melhores trabalhos apresentados, levando em conta também a apresentação.” (Fonseca e Júnior, 2011, p. 7).

Pereira (2011) realizou uma pesquisa com o objetivo de analisar as

contribuições fornecidas pela utilização das Tecnologias da Informação e

Comunicação (TIC) nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental. Foi uma

pesquisa de caráter qualitativo, visando primeiramente analisar documentos e

pesquisas relacionadas ao uso das Tecnologias da Informação e Comunicação na

educação, para em seguida propor um curso para professores do ensino

fundamental.

A pesquisadora ressaltou a necessidade de agregar a utilização das

tecnologias tanto no currículo escolar quanto nas práticas educacionais, propiciando

ao aluno a participação da ação proposta para a sua aprendizagem, como também

acrescentar aos cursos voltados para a formação de professores, a inclusão de

métodos de ensino que utilizem as Tecnologias da Informação e Comunicação.

Para Pereira (2011), o uso de novas tecnologias no ensino da Matemática

faz-se necessário, pois essas ferramentas estão presentes no cotidiano do aluno,

conforme destacado pela pesquisadora:

64

“As novas linguagens dos meios de comunicação eletrônicos e das tecnologias, é algo real na vida das crianças e adolescentes. Cada vez mais se tornam parte ativa da construção das estruturas de pensamento das crianças e jovens, exigindo da escola novas práticas curriculares que consigam agregar elementos da cultura digital em seu projeto educativo, a fim de adentrar o universo do aluno e explorar esses mecanismos em prol da formação do sujeito” (PEREIRA, 2011, p. 4).

Após o levantamento de dados, a pesquisadora verificou que alguns fatores

que impossibilitavam o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação eram a

incompatibilidade entre o número de computadores disponíveis nas escolas com o

número de alunos por turma, a ausência de uma formação de professores com

ênfase às práticas pedagógicas embasadas nas particularidades existentes em cada

escola, além da falta de um suporte técnico adequado para a manutenção desses

computadores.

Com a análise desses dados, foi elaborado um curso prático no laboratório de

informática aos professores, com o objetivo de proporcionar condições de pesquisar

maneiras inovadoras para implantar o uso de novas tecnologias em sala de aula.

Pereira (2011) apoia o uso das Tecnologias de Informação e Comunicação no

ambiente escolar, ressaltando o compromisso do ensino com a formação do aluno

para a sociedade:

“Precisamos criar condições para que o professor e a escola pensem e reflitam sobre o papel da escola e o ensino da Matemática na formação do individuo perante um contexto de uma sociedade da informação e comunicação, principalmente, levando em consideração a presença das tecnologias na vida das crianças e dos jovens.” (PEREIRA, 2011, p. 8).

No próximo capítulo apresentaremos a descrição e análise de alguns dos

materiais de apoio pedagógico utilizados na rede estadual de ensino público do

estado de São Paulo.

65

3 ANALISE DO CADERNO DO ALUNO E DOS LIVROS DIDÁTICOS

Neste capítulo, apresentamos a descrição e a análise do Caderno do Aluno

referente à 7ª série/8º ano – Volume 3 do Ensino Fundamental, seguida da análise

de três coleções de livros aprovados no PNLE-2011, referentes ao Ensino

Fundamental – Ciclo II.

3.1 O CADERNO DO ALUNO

Vamos apresentar um breve relato do contexto histórico que culminou na

criação da Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Para fazer esse

relato, consultamos os documentos oficiais e as pesquisas de Pietropaolo (2005) e

Magni (2011).

3.1.1 Contexto histórico

O Estado de São Paulo vem tomando iniciativas para uma reforma curricular,

visando à melhoria do ensino. Partiremos de 1976, ano em que foram criados os

Guias Curriculares do Estado de São Paulo.

Segundo Pietropaolo (2005), em relação ao conteúdo matemático, os Guias

Curriculares basearam-se em pesquisas referentes ao Movimento da Matemática

Moderna, no qual a grande preocupação era tornar a Matemática mais acessível a

todos.

Novos trabalhos relacionados ao ensino da Matemática foram realizados ao

final da década de 70 e começo da década de 80, destacando a Geometria

Experimental e Atividades Matemáticas, este último conhecido como Ams.

“As Atividades Matemáticas marcaram época em São Paulo e foram responsáveis por muitas mudanças no ensino de Matemática nas séries iniciais. Influenciaram livros didáticos e foram objetos de pesquisas para algumas dissertações e teses” (PIETROPAOLO, apud MAGNI, 2011, p. 34).

Com a preocupação de oferecer acesso à escola a todas as crianças e

jovens, em 1988, o Governo do Estado de São Paulo lançou a Proposta Curricular

do Estado de São Paulo, sendo um de seus princípios a contraposição aos Guias

66

Curriculares, isto porque, enquanto a Proposta Curricular do Estado de São Paulo

partia da ampliação cognitiva do aluno, empregando problemas relacionados ao seu

cotidiano, nos Guias Curriculares o processo de ensino preocupava-se apenas com

“a própria Matemática como Ciência”. (MAGNI, 2011, p. 36).

Entre 1990 e 1994, o Governo do Estado de São Paulo lançou uma nova

coleção, com o objetivo de melhoria do ensino de Matemática, a qual foi intitulada

Experiências Matemáticas. Salienta-se que esta coleção ainda hoje é utilizada por

alguns professores, dando suporte às aulas de reforço.

Apesar do aumento do número de alunos matriculados no Estado de São

Paulo e no Brasil como um todo, observou-se que não houve um aumento

significativo nos índices que mediam o desempenho da educação. Com isso, foi

sancionada, em dezembro de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação

Nacional (LDB, lei 9394/1996), com o objetivo de deslocar o foco do ensino para a

aprendizagem.

Mas como seria impossível propor um currículo unificado em todo o Brasil,

dadas as suas dimensões e sua diversidade cultural, no mesmo ano de 1996, foram

propostos os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), os quais continham a

proposta de um conjunto básico de competências a serem desenvolvidas pelos

alunos “para o exercício da cidadania”. (BRASIL, 1997, p. 70)6.

Maria Inês Fini, coordenadora geral do projeto São Paulo faz escola da época

da implantação da proposta, informou, em entrevista7, que a nova gestão da

Secretária de Estado da Educação de São Paulo realizou, em julho de 2007, uma

análise cuidadosa da educação no Estado, sendo o dado mais relevante dessa

análise a deficiência de desempenho dos alunos, surgindo, assim, a necessidade de

uma nova Proposta Curricular.

Em 2008, o Governo do Estado de São Paulo realizou uma nova proposta

para a educação, intitulada Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo.

Conforme o então Secretário da Educação Paulo Renato Souza citou no texto

introdutório do Caderno do Professor, a maior preocupação não era apenas oferecer

acesso à escola a todas as crianças e jovens, preocupação que existia em 1980. A

6 Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro01.pdf>

7 Disponível em:

<http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Default.aspx?alias=www.rededosaber.sp.gov.br/portais/s

pfe2009>

http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Default.aspx?alias=www.rededosaber.sp.gov.br/portais/spfe2009

http://www.rededosaber.sp.gov.br/portais/Default.aspx?alias=www.rededosaber.sp.gov.br/portais/spfe2009

67

maior preocupação, segundo o secretário, deveria ser a melhoria da qualidade de

ensino para todos.

O Caderno do Aluno integra a nova Proposta Curricular do Estado de São

Paulo que foi implantada em toda rede estadual de ensino público em 2008. Este

caderno foi elaborado pela Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, e é

utilizado como apoio pedagógico pelos professores das escolas estaduais desse

estado.

Esses cadernos foram organizados por disciplinas e por bimestres e, a seguir,

apresentamos os conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais

do Ensino Fundamental, dado o foco de nosso estudo.

Figura 5 – Conteúdos referentes ao terceiro bimestre dos quatro anos finais do Ensino Fundamental Fonte: SÃO PAULO, Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino Fundamental – Ciclo II (Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática /Coord. Maria Inês Fini. – São Paulo : SEE, 2008. p. 54)

68

3.1.2 Análise do caderno do aluno 7ª série/8º ano – volume 3 do Ensino

Fundamental

A escolha e análise deste caderno se deram pelo fato de que o mesmo

aborda o objeto matemático sistemas lineares, o qual representa o objetivo de nossa

pesquisa.

A Situação de Aprendizagem 38 trata do objeto matemático sistemas de

equações lineares. Basicamente, no início são apresentados alguns problemas,

cujas resoluções recaem em sistemas lineares de duas equações com duas

incógnitas. A seguir são apresentados dois algoritmos para a resolução de sistemas

lineares, sendo eles o método da adição e o método da substituição. Após a

resolução de um sistema linear por algum dos métodos escolhido pelo próprio aluno,

o mesmo é direcionado através de vários questionamentos, a verificar se os

resultados encontrados satisfazem o problema proposto inicialmente. Por fim, são

trabalhadas as interpretações gráficas de sistemas lineares e suas classificações.

Apresentaremos situações que refletem a ordem como esse conceito é

conduzido, de acordo com a análise do caderno. No início, é apresentado o seguinte

problema ao aluno:

Figura 6 – Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 30

Neste caso, o aluno passa a conjecturar a respeito das soluções possíveis

para o problema proposto. Em seguida, solicita-se que efetue a conversão entre o

registro da língua natural presente no enunciado do problema para o registro

algébrico.

Na sequência, é solicitada ao aluno a construção de uma tabela com as

informações do problema citado anteriormente. Com isso, o aluno realiza a

conversão do registro da língua natural para o registro numérico-tabular. Analisando

8 O Caderno do Aluno que integra a nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo apresenta quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4) que almejam delinear o enfoque indicado, colaborando com a ação do professor na sala de aula.

69

a tabela, o aluno poderá verificar que o sistema é indeterminado, pois é possível

observar que existe mais de uma solução que satisfaz o problema proposto.

A seguir, complementa-se o mesmo problema com a seguinte informação:

“João é 4 anos mais velho que Maria” (São Paulo, 2009, p. 31).

Com essa nova informação, é solicitada ao aluno a elaboração de uma nova

equação incluindo a informação dada. Partindo da análise da tabela construída, o

aluno pode concluir que agora existe uma solução determinada para o problema,

isto é, há um único par de valores que satisfaz as duas equações.

Dando sequência ao problema descrito inicialmente, ao aluno são

apresentadas mais duas questões para serem acrescidas, em momentos distintos, à

informação inicial do problema, referente à soma das idades de João e Maria.

Primeiramente, acrescenta-se a informação de que a idade de João é o triplo da

idade de Maria e, a seguir, que a idade de Maria é o dobro da idade de João. No

primeiro caso, avaliando os dados da tabela, o aluno pode concluir que a solução

será 21 anos para João e 7 anos para Maria. Já no segundo caso, o aluno pode

verificar que sua tabela não contém um par de números inteiros que satisfaça a

questão proposta.

Para finalizar o estudo referente ao problema proposto, ao aluno é solicitado

encontrar o valor possível que satisfaz a última informação, referente ao fato da

idade de Maria ser o dobro da idade de João. Assim, o aluno é conduzido a resolver

o problema algebricamente, sem o auxílio da tabela, encontrando como resposta

números racionais não inteiros.

Para a introdução do método da substituição, é realizada uma analogia com

uma balança de dois pratos. O objetivo é determinar a massa de dois objetos

desconhecidos de formas diferentes que são discriminados por x e y, sendo dados

dois objetos com massas conhecidas.

É apresentada ao aluno uma sequência de duas figuras, que representam as

medidas realizadas nas balanças de dois pratos. Em uma das situações, são

apresentadas as figuras seguintes:

70

Figura 7 – Representação de uma equação no registro figural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 34


Para cada figura, é solicitada ao aluno a representação algébrica das

medições realizadas para descobrir a massa dos dois objetos x e y.

Com isso, o aluno deverá converter o problema proposto do registro figural

para o registro simbólico-algébrico, sendo informado ao aluno que a estratégia

utilizada para a resolução do problema, isto é, a troca de valores equivalentes de

uma incógnita para determinar o seu valor, é denominada método da substituição.

Ao aluno é proposto um novo problema que apresentamos a seguir.

Figura 9 – Problema apresentado no registro da língua natural Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 36

Na sequência, ao aluno é proposto escrever duas equações, uma para

representar o gasto de André no consumo de um refrigerante e dois mistos, e outra

para expressar o gasto de Júlia, referente ao consumo de um misto e um

71

refrigerante. Neste caso, é proposta uma conversão da língua natural para o registro

simbólico-algébrico. A seguir, pede-se ao aluno para calcular a diferença entre estas

duas equações. Isso leva o aluno a encontrar o valor do misto que é de R$2,50 e,

posteriormente a encontrar o valor do refrigerante, que é R$1,60.

Em seguida, é apresentado ao aluno um exercício contendo quatro sistemas

lineares propostos no registro simbólico-algébrico, cuja resolução envolvia

tratamentos neste registro e conversões deste para o registro numérico. O método

indicado ao aluno para sua resolução é o da adição, mas, ao contrário do que ocorre

com o método da substituição, em nenhum momento anterior ao exercício proposto

é mencionado, no caderno do aluno, o que significa ou como é realizado esse

método. Isso ocorre apenas no caderno do professor.

A seguir, discute-se qual o melhor método de resolução, sendo solicitada ao

aluno a resolução de mais quatro sistemas lineares, deixando ao mesmo a escolha

do método que julgar mais conveniente.

Visando a construção da solução gráfica de um sistema, na atividade seguinte

é apresentado um novo problema no registro da língua natural, que temos a seguir:


Espera-se que o aluno converta o problema acima para o registro algébrico e

em seguida preencha duas tabelas relacionadas ao mesmo, as quais apresentamos

a seguir:

Tabela I

Figura 11 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 40

72

Tabela II

Figura 12 – Conversão de registro na língua natural para o registro numérico-tabular Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 41

Depois de preenchidas, o aluno deverá procurar um par de valores para x e y

que satisfaz as equações encontradas. Prosseguindo a atividade, é apresentado ao

aluno um plano cartesiano onde deverão ser indicados os pontos que foram

encontrados nas tabelas I e II, para verificar que o ponto comum entre as duas retas,

isto é, o par ordenado (8,4), é a solução do problema. Por fim, no último item desta

atividade, o aluno é questionado se é possível ligar os pontos do plano cartesiano

por uma reta conforme as condições propostas no início da atividade. Na sequência,

é apresentada outra atividade, semelhante à mencionada anteriormente, que possui

os mesmos objetivos, estabelecendo uma relação entre os registros da língua

natural, algébrico, numérico-tabular e gráfico.

Na última atividade da Situação de Aprendizagem 3, é proposta ao aluno a

associação da classificação de sistemas lineares (possível e determinado, possível e

indeterminado e impossível), dadas as representações gráficas de duas retas

concorrentes, coincidentes ou paralelas, conforme apresentamos a seguir:

73

Figura 13 – Representação no registro gráfico de um sistema linear e sua classificação Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2009, p. 46

Posteriormente são apresentadas três atividades em que o aluno deverá

resolver, relacionar e classificar os sistemas propostos conforme as soluções

encontradas, relacionando os diferentes tipos de registros algébrico, gráfico e

numérico-tabular.

Ressaltamos que, na maioria dos casos, o caderno do aluno é um material de

apoio que necessita da condução do professor, uma vez que nem todas as

definições e procedimentos são apresentados. Por exemplo, o método da adição é

explicitado apenas no caderno do professor e o mesmo ocorre com a relação entre

as representações gráficas e as classificações de um sistema linear.

74

Notamos, na abordagem do caderno, uma preocupação em tratar o objeto

matemático explorando as relações entre representações de diferentes registros.

Apesar disso, em nenhuma das atividades propostas, é solicitada ao aluno a análise

da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes para avaliar sua

classificação. Ainda, o caderno não apresenta qualquer proposta de utilização de

recursos computacionais. Salienta-se que recursos de geometria dinâmica permitem

ao estudante uma autonomia de exploração, favorecendo um trabalho de

levantamento e de validação de conjecturas e de exploração de relações entre

registros. Com isso, entendemos que nossa proposta representará um cenário

diferenciado para o processo de ensino e aprendizagem do objeto matemático

sistemas lineares de duas equações a duas incógnitas, representando um

complemento às práticas já existentes neste domínio.

3.2 ANÁLISE DE LIVROS DIDÁTICOS

No capítulo 2, apresentamos o trabalho de Battaglioli (2008), a qual entende

que os livros didáticos representam um importante suporte para os professores de

Matemática. Reforçando essa afirmação, Trentin (2006) realizou uma pesquisa

qualitativa e interpretativa fundamentada nos pressupostos de Erickson (1989). Nela,

apontou que o avanço de uma pesquisa requer que o pesquisador esteja envolvido

no ambiente de observação e que possua afinidades com os cooperadores da

pesquisa.

Trentin (2006) investigou a contribuição do livro didático para a formação da

identidade de um professor de Matemática. Neste contexto, ele afirmou que o livro

didático “... representava o portador de verdades indiscutíveis tanto sobre a

matemática, enquanto uma ciência, quanto aos assuntos e serem ensinados e,

inclusive, em relação à ‘ordem’ de encadeamento dos mesmos.” (TRENTIN, 2006, p.

153).

Assim, Trentin (2006) comentou que o livro didático “... ocupa uma posição de

destaque na prática social de um professor de Matemática.” (TRENTIN, 2006, p.

150).

Por termos uma visão compatível com esses pesquisadores em relação aos

livros didáticos, procuramos investigar como três dentre as dez coleções aprovadas

75

no Programa Nacional do Livro Didático de 2011 – PNLD/2011 tratavam do

conteúdo de sistemas lineares.

Nesta análise, foram descritos os principais registros de representação

semiótica, bem como as conversões desenvolvidas nos exercícios resolvidos e nos

propostos referentes ao objeto matemático sistemas lineares, segundo a teoria dos

Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval (1995, 2003, 2006).

Além disso, investigamos se as coleções também sugeriam o uso de tecnologias no

ensino desse objeto matemático.

Além de a seleção dessas obras ter ocorrido pelo fato de serem indicadas no

PNLD/2011, a escolha de uma delas ocorreu em função de ela ser utilizada na

escola onde foi aplicado o nosso experimento. Já as outras duas obras foram

escolhidas por serem utilizadas em escolas pertencentes à mesma região da

instituição na qual foi realizada a pesquisa. Com isso, poderíamos observar com

quais tipos de registros semióticos e conversões os nossos sujeitos já haviam tido

contato.

A seguir, apresentamos as coleções que foram analisadas em nossa

pesquisa, acompanhadas das resenhas segundo o Guia dos Livros Didáticos: PNLD

20119.

GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da matemática. –

Edição Renovada – São Paulo: FTD, 2009.

Segundo o Guia dos Livros Didáticos, a coleção apresenta diversos textos

relacionados à história da Matemática que contribuem com a contextualização dos

conteúdos abordados. Em alguns assuntos há a ausência de justificativas para

algumas generalizações, e existe o uso excessivo de nomenclatura. Os conteúdos

são apresentados de maneira formal, dando destaque à habilidade de cálculo, com a

aplicação de regras e algoritmos.

RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática. São Paulo: Scipione, 2009.

(Coleção Projeto Radix).

9 Disponível em: http://www.fnde.gov.br/index.php/pnld-guia-do-livro-didatico

76

Essa coleção, segundo o Guia dos Livros Didáticos, apresenta os conteúdos

pausadamente nos dois primeiros anos, depois um trabalho exagerado dos

conteúdos nos dois últimos anos. A coleção apresenta textos que tratam de várias

situações, relacionando o assunto abordado com a realidade do aluno. A coleção

também apresenta muitas ilustrações como tabelas, fotografias entre outros, o que

beneficia o estudo dos conteúdos. Estes são apresentados primeiramente por um

texto que favorece ao aluno a formulação de conjecturas, sendo descritos na

sequência, esquemas que contribuem na compreensão dos procedimentos. Em

alguns casos são apresentadas regras de forma muito direta, em destaque na

álgebra.

SOUZA, J. R; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática. São Paulo:

FTD, 2009.

Segundo o Guia dos Livros Didáticos, essa coleção apresenta

contextualizações dos conteúdos matemáticos, acompanhadas de textos

interdisciplinares. Na maioria das vezes os conteúdos matemáticos são revisados de

forma periódica, mas em alguns casos, são tratados de forma superficial, tornando a

abordagem repetitiva. Os conceitos matemáticos são apresentados com a ajuda de

atividades que envolvem contextos atuais, que contribuem para a elaboração de

conjecturas pelos alunos.

A seguir, apresentamos uma tabela com as respectivas designações dos

livros analisados, sendo uma das coleções subdividida em dois livros:

77

Designação Coleção

Livro-1

GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista

da matemática, 7º ano – Edição Renovada – São Paulo:

FTD, 2009.

Livro-2

GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista

da matemática, 8º ano – Edição Renovada – São Paulo:

FTD, 2009.

Livro-3 RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática, 8º ano. São

Paulo: Scipione, 2009. (Coleção Projeto Radix).

Livro-4 SOUZA, J. R; PATARO, P. R. M. Vontade de saber

matemática. 8º ano. São Paulo: FTD, 2009.

Tabela 2 – Designação dos livros analisados. Fonte: Acervo pessoal.

Visando mapear os conhecimentos dos sujeitos de nossa pesquisa,

constatamos, ao questioná-los, que eles estudaram o conteúdo de sistemas lineares

utilizando, além do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo, a obra indicada

como A conquista da matemática, dos autores José Ruy Giovanni, Benedicto

Castrucci e José Ruy Giovanni Júnior, da editora FTD.

No Currículo do Estado de São Paulo, o objeto matemático sistema linear é

um conteúdo a ser tratado na 7ªsérie/8ºano do Ensino Fundamental. Em especial, o

Livro-1, destinado à 6ªsérie/7ºano, apresenta uma unidade dividida em duas partes,

que trata do objeto matemático sistemas lineares.

Em geral, na exposição teórica desta obra, são explorados os registros

algébrico e da língua natural.

Apresentamos, na tabela 2, a tabulação do tipo de registro presente nos

enunciados dos exercícios propostos e resolvidos, referente à primeira parte que

trata do objeto matemático sistemas lineares presente no Livro-1.

Registro Exercícios resolvidos Exercícios propostos

Algébrico 4 8

Gráfico - -

Língua Natural - 4

Figural - 1 Tabela 3 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Primeira parte. Fonte: Acervo pessoal.

78

Os quatro exercícios resolvidos foram apresentados no registro algébrico,

com resolução envolvendo apenas tratamentos no interior do mesmo. Nos

exercícios propostos, avaliando as conversões indicadas explicitamente nos

enunciados das questões, observamos quatro exercícios propostos no registro da

língua natural com conversão para o registro algébrico e um exercício proposto no

registro figural com conversão para o registro algébrico. A resolução dos oito

exercícios propostos restantes envolvia apenas tratamentos no registro algébrico.

Na segunda parte, são apresentados dois métodos para a resolução de um

sistema de duas equações, o primeiro é o método da substituição e o segundo o

método da comparação. Nessa exposição teórica, os registros presentes são o

algébrico e a língua natural.

A tabela, a seguir, apresenta a tabulação dos registros presentes na segunda

seção:


Algébrico 4 5

Gráfico - -

Língua Natural 1 8

Figural - - Tabela 4 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios - Livro-1 - Segunda parte. Fonte: Acervo pessoal.

Todos os exercícios resolvidos apresentados no registro algébrico envolveram

tratamentos no interior desse registro, e o exercício resolvido proposto na língua

natural envolveu a conversão para o algébrico.

Dos exercícios propostos, oito indicavam a conversão da língua natural para o

algébrico. Os cinco exercícios propostos no registro algébrico envolviam tratamentos

no interior deste registro.

No final da unidade que trata de sistemas lineares de duas equações e duas

incógnitas, é apresentada uma seção com o título “Retomando o que aprendeu”, a

qual, segundo o Guia dos Livros Didáticos, é uma composição de todos os

conteúdos da unidade. A seção apresenta treze exercícios de múltipla escolha,

sendo oito propostos no registro da língua natural, quatro no registro algébrico e um

no registro figural. Dos trezes exercícios apresentados nessa seção, oito indicavam

a conversão da língua natural para o registro algébrico, os cinco no registro

79

algébrico envolveram tratamentos no interior desse registro e um indicava a

conversão do registro figural para o registro algébrico.

Considerando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-1 sobre o

objeto matemático sistema linear, obteve-se a seguinte tabulação:

Registro Quantidade de exercícios resolvidos e propostos

Algébrico 27

Gráfico -

Língua Natural 21

Figural - Tabela 5 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-1. Fonte: Acervo pessoal.

Pode-se notar que o Livro-1 privilegia os registros algébrico e da língua

natural, não inserindo em sua abordagem registros do tipo monofuncional não

discursivo. Tal fato também foi apontado por Battaglioli (2008) em sua análise do

conteúdo de sistemas lineares em obras de ensino médio, a qual apontou que as

conversões tratadas eram, na sua maioria, da língua natural para a representação

algébrica, privilegiando principalmente o registro algébrico.

Observamos que o Livro-1 não indica o uso de recurso computacional para

apoiar a construção do conhecimento do objeto matemático sistemas lineares.

O capítulo sete do Livro-2 tem como título “sistema de equações do primeiro

grau com duas incógnitas” (p. 172). No início desse capítulo são apresentados três

problemas na língua natural. No primeiro problema, é proposta a conversão da

língua natural para o registro figural, conforme se pode observar na figura a seguir:

80

Figura 14 – Problemas na língua natural apresentados no Livro-2. Fonte: (GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. 2009, p. 172).

Os autores mostram que o trabalho com o registro figural não traz economia

de tratamento e, com isso, propõem outra forma de resolução, buscando o registro

algébrico.

Em geral, na exposição teórica do livro 2, os registros mais presentes são o

da língua natural e o algébrico.

Na seção de exercícios sobre sistema de equações, o Livro-2 apresenta nove

exercícios resolvidos, os seis primeiros solicitam que se verifique se um dado par

ordenado (x,y) satisfaz cada uma das equações. Para os três seguintes, é

apresentado um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, relacionado

com o primeiro problema da figura 2, no qual se verifica que, desses três exercícios

com pares ordenados (x,y) apresentados, apenas um é solução do sistema.

A seguir, o Livro-2 apresenta seis exercícios propostos, sendo que o primeiro

solicita, de forma explícita, a conversão do registro da língua natural para o registro

algébrico. Nos cinco exercícios seguintes são apresentados sistemas lineares no

registro algébrico, acompanhados de um par ordenado (x,y), para que se verifique

se ele satisfaz o sistema.

81

Para a resolução de um sistema de duas equações e duas incógnitas, o Livro-

2 apresenta inicialmente o método da substituição. São descritos dois problemas

resolvidos no registro algébrico, e um exercício proposto com oito itens, todos no

registro algébrico. Em seguida é apresentado o método da adição com três

exercícios resolvidos e seis exercícios propostos, todos envolvendo tratamentos no

registro algébrico.

Há no Livro-2 uma seção com o título “Resolvendo problemas” (p. 186), onde

são apresentados, na língua natural, dois exercícios resolvidos, seguidos de treze

exercícios propostos, todos no registro da língua natural, sendo esperado que a

resolução se dê envolvendo conversões da língua natural para o registro algébrico.

Na próxima seção do Livro-2, são apresentados, no registro algébrico, dois

exercícios resolvidos de sistema de equações com coeficientes fracionários,

seguidos de quatro exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico,

envolvendo tratamentos no interior desse registro, e dois no registro da língua

natural, envolvendo conversões para o registro algébrico.

Na seção “Retomando o que aprendeu”, encontram-se oito exercícios

propostos de múltipla escolha, sendo cinco no registro da língua natural, envolvendo

a conversão para o registro algébrico, e três no registro algébrico, com resoluções

envolvendo tratamentos neste registro.

Na seção do Livro-2, que trata da resolução de sistemas lineares de duas

equações e duas incógnitas, apresentamos a seguinte tabulação:


Algébrico 16 19

Gráfico - -

Língua Natural 3 21

Figural - - Tabela 6 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-2. Fonte: Acervo pessoal.

Considerando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-2 sobre o


82


Algébrico 35

Gráfico -

Língua Natural 24

Figural - Tabela 7 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-2. Fonte: Acervo pessoal.

No Livro-2, nota-se a predominância do registro algébrico, seguido do da

língua natural. Conjecturamos que o fato de não existir exploração dos registros

gráfico e figural poderá causar prejuízos para o ensino do objeto matemático

sistemas lineares, como foi observado por Pantoja (2008). Em sua pesquisa, os

alunos apresentaram dificuldades em realizar conversões entre registros quando um

deles era não-discursivo.

Com relação ao uso de recursos computacionais, notamos que no Livro-2,

não há menção de uso de software.

O Livro-3 inicia o estudo de equações do primeiro grau com duas incógnitas,

apresentando um exercício resolvido dado na língua natural, envolvendo uma

conversão para o registro algébrico. Nesta situação, encontra-se o sistema linear

2

8

yx

yx. A seguir, ele apresenta uma tabela com os possíveis valores para cada

uma das equações, destacando que apenas para os valores de x igual a cinco e y

igual a três, as duas equações são satisfeitas. Logo em seguida são apresentados

quatro exercícios propostos, sendo o primeiro no registro algébrico, dois na língua

natural e um no registro figural. A proposta é que todos esses exercícios sejam

resolvidos por tentativas com o auxílio de uma tabela.

Dando continuidade ao estudo do objeto matemático sistemas lineares, o

Livro-3 apresenta um exercício resolvido, dado na língua natural, e na sequência o

seguinte sistema linear relacionado a este problema

26

2202

yx

yx, utilizando o

método da substituição para resolvê-lo.

Após o exercício resolvido, o Livro-3 apresenta doze exercícios propostos,

sendo o primeiro no registro algébrico, formado por seis itens, envolvendo apenas

tratamentos no interior desse registro, e onze no registro da língua natural. Desses

onze exercícios, três são de múltipla escolha, e um pede para relacionar quatro itens

83

no registro da língua natural com quatro sistemas no registro algébrico. Os demais

exercícios propostos na língua natural, envolveram conversões desta para o registro

algébrico.

A seguir, o Livro-3 apresenta três exercícios resolvidos, sendo um envolvendo

a conversão do registro da língua natural para o algébrico e os outros dois

envolvendo tratamentos no registro algébrico, e para resolver esses exercícios

indica-se o método da adição. Na sequência são apresentados nove exercícios

propostos, sendo dois no registro algébrico totalizando quatorze itens, todos

envolvendo tratamento no interior desse registro. Há um exercício no registro figural

que envolve a conversão para o registro algébrico, e seis exercícios apresentados

no registro da língua natural, sendo dois de múltipla escolha, onde se espera que a

resolução seja dada por conversão para o registro algébrico.

A partir de nossa análise, obtivemos a seguinte tabulação:


Algébrico 2 4

Gráfico - -


Figural - 2 Tabela 8 – Tipo de registro presente nos enunciados dos exercícios - Livro-3. Fonte: Acervo pessoal.

Analisando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-3, sobre o



Algébrico 6

Gráfico -

Língua Natural 22

Figural 2 Tabela 9 – Análise dos registros presentes nos enunciados dos exercícios - Livro-3. Fonte: Acervo pessoal.

Pode-se observar que a quantidade de exercícios no registro da língua natural

é superior à quantidade de exercícios no registro algébrico, mas vale destacar que

no total foram vinte e seis itens representados no registro algébrico. Neste caso,

concluiu-se que esse livro privilegia o registro do tipo multifuncional discursivo e

84

propõe conversões da língua natural para o algébrico. Nota-se que este livro pouco

explora registros não discursivos, uma vez que de um total de trinta exercícios,

apenas dois são propostos no registro figural e nenhum no registro gráfico.

O Livro-3 não indica o uso de recurso computacional como ferramenta de

apoio na construção do conhecimento do objeto matemático sistemas lineares.

O Livro-4 apresenta um exercício resolvido envolvendo quatro tipos de

registros. Primeiro apresenta o enunciado na língua natural e, em seguida, faz a

conversão para o registro algébrico, apresentando o seguinte sistema

32

12

yx

yx.

Em seguida, ele sugere que se façam tentativas para resolver o sistema, com isso

apresentando um registro numérico-tabular, determinando, assim, como solução do

sistema, o par ordenado (9,3). Por fim, é apresentado o registro gráfico do sistema

anterior, destacando o ponto de intersecção entre as duas retas como solução do

sistema proposto, apresentando a seguinte afirmação:

“Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são concorrentes, dizemos que esse sistema tem uma única solução, que corresponde às coordenadas do ponto em que as retas se cruzam” (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142).

Dando continuidade ao estudo de sistemas lineares, o Livro-4 apresenta mais

dois exercícios resolvidos no registro algébrico, sendo o primeiro sistema dado por

2

3

yx

yx . Na sequência é apresentada uma tabela com alguns valores para as

incógnitas x e y, seguida da afirmação de que não é possível determinar valores

para x e y que satisfaçam as duas equações. É apresentado no registro gráfico o

sistema linear anterior formado por duas retas paralelas, acompanhado da seguinte

afirmação:

“Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são paralelas, dizemos que esse sistema não tem solução.” (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142).

O segundo exercício resolvido, apresenta o seguinte sistema linear

422

2

yx

yxe, seguindo as etapas do exemplo anterior, é apresentada a seguinte

afirmação:

85

“Quando as retas que representam graficamente um sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas são coincidentes, dizemos que esse sistema tem infinitas soluções, que correspondem às coordenadas de cada ponto dessas retas” (SOUZA e PATARO, 2009, p. 142).

Nesta abordagem, nota-se a preocupação de tratar o objeto matemático nos

registros algébrico, numérico-tabular e gráfico, seguindo esta ordem de conversão.

Após os exercícios resolvidos mencionados anteriormente, são apresentados

treze exercícios propostos, sendo três no registro algébrico, um relacionando o

registro da língua natural com o registro algébrico, cinco no registro da língua

natural, dois relacionando o registro algébrico com o registro gráfico, um pedindo a

representação no registro gráfico de sistemas apresentados no registro algébrico, e

outro relacionando a representação no registro gráfico de duas retas concorrentes

com a solução do sistema.

O Livro-4 apresenta na sequência um exercício resolvido na língua natural e

exibe o método da substituição para resolvê-lo. A seguir são apresentados três

sistemas lineares no registro algébrico para expor o método da adição, sendo dois

acompanhados do registro gráfico.

No final da seção do Livro-4, que trata do objeto matemático sistemas

lineares, tem-se quinze exercícios propostos, sendo dois no registro algébrico com

quatro itens cada um, nove na língua natural, dois com a conversão explicita do

enunciado do registro algébrico para o registro gráfico, um no registro figural, e o

último requisitando a elaboração de um problema no registro da língua natural.

A partir de nossa análise, obtivemos a seguinte tabulação:


Algébrico 3 5

Algébrico e Gráfico 2 6


Língua Natural e Algébrico - 2

Figural - 1 Tabela 10 – Tipo de registro presente no enunciado dos exercícios do Livro-4. Fonte: Acervo pessoal.

Analisando todos os exercícios resolvidos e propostos no Livro-4 sobre o

objeto matemático sistema linear, obtivemos a seguinte tabulação:

86


Algébrico 8

Algébrico e Gráfico 8

Língua Natural 16

Língua Natural e Algébrico 2

Figural 1 Tabela 11 – Tipo de registro presente nos exercícios do Livro-4. Fonte: Acervo pessoal.

Desta forma, conclui-se que o Livro-4 aborda o objeto matemático sistema

linear com a preocupação de diversificar os registros e, consequentemente, as

conversões entre eles.

No Livro-4 não há menção de uso de recurso computacional.

Por esta análise, concluímos que os Livros 1 e 2 tratam do conteúdo de

sistemas lineares privilegiando os registros algébrico e da língua natural, com ênfase

no algébrico. O Livro-3 também envolve estes mesmos registros, porém, enfatiza o

registro da língua natural. As conversões presentes nessas três obras normalmente

se dão no sentido da língua natural para o algébrico. A única obra que mostra a

preocupação de explorar registros não discursivos e outros tipos de conversão além

da que parte da língua natural para o registro algébrico é o Livro-4.

Pode-se observar que em nenhuma das obras analisadas em nossa

pesquisa, foi recomendada a utilização de recursos computacionais.

No próximo capítulo apresentaremos a metodologia utilizada para a

elaboração e análise do experimento.

87

4 METODOLOGIA DE PESQUISA

Para a elaboração e análise do experimento, utilizamos a metodologia de

Design Experiment de Cobb et al. (2003), a qual prevê a construção de abordagens

inovadoras sobre determinado domínio, sendo dotada de caráter cíclico, iterativo e

flexível.

Conforme Cobb et al. (2003), Design Experiments é uma metodologia que

visa observar as formas distintivas de aprendizagem e os procedimentos para

ampará-las, não ficando limitada a uma lista de atividades pré-definidas. A aplicação

dessa metodologia está inserida em pesquisas que objetivam analisar as formas de

aprendizagem de um determinado grupo, permitindo a reconstrução e adaptação

durante a aplicação do experimento.

Estão absorvidos nesta metodologia múltiplos aspectos, como a elaboração e

as questões de avaliação do experimento, a sua aplicação, a necessidade de

analisar os dados de forma metódica e a precisão de ser claro em questão das

induções necessárias na aplicação da atividade.

Um dos objetivos do Design Experiment é ampliar conjecturas, e não apenas

melhorar métodos de ensino que já funcionam. Assim, o Design Experiment engloba

a análise e reflexão das tarefas propostas aos alunos, a forma de discurso que eles

apresentam, os arranjos materiais e as ferramentas utilizados na pesquisa e as

formas necessárias para a organização desses elementos.

Essa metodologia pode ser aplicada em diversos tipos de grupos. Como

exemplo, a sua aplicação pode envolver um pesquisador e um grupo pequeno de

alunos, tendo assim o objetivo de criar, em uma menor escala, uma ecologia de

aprendizagem, para que se possa estudar o processo com profundidade e detalhe.

É essa a modalidade selecionada para a presente pesquisa. Outro modo de

manifestação consiste na aplicação de um experimento em um grupo maior, como

uma escola recompondo experiências nas quais os pesquisadores colaboram com

professores, escola, administradores e outros titulares, para dar suporte à mudança

organizacional.

Também é possível aplicar essa metodologia em sala de aula envolvendo

todos os alunos. Neste caso, os pesquisadores colaboram com um professor que

poderá ser um dos integrantes da equipe de pesquisa, para assumir a

responsabilidade pelo direcionamento do experimento. Outro exemplo de

88

manifestação consiste na elaboração e no desenvolvimento de experimentos

envolvendo pretendentes a professores, onde a equipe de pesquisadores auxilia na

organização e analisa a instrução de futuros professores. Por fim, o Design

Experiment pode ser aplicado para o desenvolvimento de estudos com professores

em atividade. Nestes, os pesquisadores colaboram com os professores para dar

suporte a mudanças em uma comunidade profissional.

Independente do modo de manifestação, Cobb et al. (2003) identificaram

cinco pontos presentes em todos os tipos de design. De início, essa metodologia

tem o objetivo de ampliar uma classe de teorias envolvendo o processo de

aprendizagem e os seus significados para os alunos ou grupos maiores, analisando

tanto o enriquecimento de uma ideia matemática, sempre com a meta de dar suporte

à aprendizagem, como também questões relacionadas à prática de ensino. Assim há

a necessidade de uma organização envolvendo vários níveis de análise.

O segundo ponto presente no design é a sua natureza intervencionista, tendo

em vista que tem por objetivo procurar novas formas para uma melhoria

educacional, partindo de concepções iniciais que foram desenvolvidas em pesquisas

anteriores e que são utilizadas para justificar e também para especificar a condição

central e as condições secundárias do experimento, com isso auxiliando o

desenvolvimento de futuras inovações na prática educacional.

O terceiro ponto contido em um design, segundo Cobb et al. (2003), consiste

em dois aspectos, o prospectivo e o reflexivo. Os aspectos prospectivos estão

relacionados à implementação de hipóteses que servirão de amparo para um

processo de aprendizagem que será testado, surgindo assim outras possíveis

maneiras de aprendizagem e o seu desenvolvimento. Nos aspectos reflexivos, são

avaliadas conjecturas que serão analisadas em vários níveis. O experimento inicial é

formado por conjecturas que apoiam uma específica forma de aprendizagem que

será testada. Com a aplicação do experimento, poderão surgir novas conjecturas, as

quais possivelmente fornecerão informações que alterarão o projeto inicial, sempre

visando uma melhoria na aprendizagem.

O quarto ponto característico de um design é a sua forma iterativa e cíclica.

No decorrer do experimento, com o surgimento de novas informações, poderão ser

desenvolvidas novas hipóteses. Essas novas hipóteses serão submetidas ao

experimento, alterando assim a sua forma inicial. Assim, o efeito será um processo

89

iterativo, com novos ciclos e reestruturações durante toda a aplicação do

experimento.

Nessa metodologia, o aluno deixa de ser um sujeito passivo no processo de

aprendizagem, pois o processo não consiste em apenas fornecer informações pré-

determinadas. Durante o design, há uma interação entre o aluno e o pesquisador,

tornando-os sujeitos ativos e participativos do experimento. Sendo assim, haverá a

necessidade de adaptações e de feedbacks constantes para o próximo ciclo de

ensino do experimento.

O último ponto característico de um design é o pragmatismo próprio dessa

metodologia. Algumas teorias são ampliadas durante o experimento, mas essas

teorias são modestas, tanto no que diz respeito à preocupação de um domínio

específico do processo de aprendizagem como também quanto ao valor real de sua

contribuição durante o design.

Para a elaboração de um experimento utilizando a metodologia do Design

Experiment, também é necessário um levantamento bibliográfico das pesquisas

existentes, para que seja possível demarcar os elementos iniciais de construção do

experimento, com o intuito de se elaborar a conjectura inicial do estudo. Ainda,

devem-se levar em consideração as particularidades dos estudantes, tanto no

aspecto intelectual como no aspecto social. Portanto, o design se diferencia da

maioria das metodologias pelo contato direto com os problemas que o aluno pode

deparar durante o percurso do experimento.

Segundo Cobb et al. (2003), é importante esclarecer qual é o objetivo do

estudo a ser realizado e destacar as ideias principais do experimento que

consequentemente formarão os próximos objetivos da pesquisa que serão

destinados à aprendizagem do aluno. Devem-se explicar as particularidades de

novos recursos, como por exemplo, o uso de softwares que podem apoiar a forma

concebida de aprendizagem.

Após especificar as conjecturas e o sentido do objeto de estudo, a nova

empreitada é a elaboração de um experimento que agrupe as conjecturas iniciais

que deverão fazer uma transformação expressiva no raciocínio do aluno e os

métodos particulares de apoio a essa transformação.

De acordo com Cobb et al. (2003), o objetivo principal do design é o

aprimoramento do experimento inicial, revisando e avaliando novas conjecturas que

surgem das notificações dos alunos junto com o espaço de aprendizagem.

90

Uma das particularidades peculiares dessa metodologia é a necessidade de

registros planejados do processo de entrosamento em curso, para realizar uma

análise retrospectiva do experimento. Com isso, podem-se utilizar diversos tipos de

coleta de dados, tais como os registros de áudio, as produções escritas, a captura

de imagens, dentre outras formas de registros.

A análise retrospectiva é um diferencial dessa metodologia, que permite que

os resultados da aprendizagem estejam atrelados ao meio pelo qual esses foram

motivados. Com isso, existem sempre condições para criar conjecturas testáveis

para a melhoria do experimento.

O erro é considerado um elemento primordial para a análise dos dados.

Segundo Karrer (2006):

“A análise dos “erros” dos estudantes deve constituir um fator primordial, uma vez que o professor-pesquisador entenderá melhor o que os estudantes podem fazer se for capaz de analisar o que eles não foram capazes de resolver” (Karrer, 2006, p. 201).

Nessa metodologia, existem dois tipos de interações entre o aluno e o

professor-pesquisador. O primeiro tipo é a interação receptiva, na qual o professor-

pesquisador não estabelece distinção entre o seu conhecimento e o conhecimento

do aluno. Nesse tipo de interação, o professor-pesquisador poderá encontrar

situações não esperadas na condução do experimento.

O segundo tipo de interação é a analítica e, nesse tipo de interação, o

professor-pesquisador, ao observar entendimentos por parte dos alunos que podem

dar suporte a futuras interações, vai direcionando a passagem pela qual o estudante

deverá percorrer para identificar o que deve ser aprendido e o que ocasiona essa

aprendizagem.

Podemos concluir que essa metodologia tem por foco investigar o

entendimento oferecido pelo aluno, e segundo Karrer (2006), o papel do professor é:

“... criar meios de interação que possam encorajar os estudantes a modificar seus pensamentos atuais. Para isso, os alunos devem ser entendidos como seres humanos capazes de oferecer contribuições independentes.” (Karrer, 2006, p. 202).

91

4.1 SUJEITOS

Além do professor-pesquisador, o estudo contou inicialmente com seis

sujeitos, estudantes do nono ano do Ensino Fundamental de uma escola pública, na

faixa etária entre treze e quatorze anos, porém, somente quatro alunos participaram

de todo o processo. No momento da aplicação do experimento, eles já haviam tido

contato com o conteúdo de sistemas lineares por meio de uma abordagem que

privilegiou o registro algébrico e não utilizou recurso computacional. Ainda, eles não

haviam tido contato com abordagens que trataram da análise da proporcionalidade

entre os coeficientes das equações e sua relação com o registro gráfico.

Dado que os sujeitos precisavam ter noções de certos comandos do Winplot,

foi realizada uma atividade de familiarização com esse software, a qual está

presente no apêndice A.

Durante a familiarização, foi utilizado um projetor multimídia em conjunto com

um notebook, para que o professor-pesquisador pudesse trabalhar, em conjunto

com os estudantes, com os principais comandos do software Winplot.

Durante o processo, o professor-pesquisador assumiu o papel de orientador,

interferindo principalmente nos momentos de bloqueio. Ele conduziu o experimento

de forma a propor novos questionamentos e outras situações, para evidenciar os

possíveis avanços dos sujeitos. Estas intervenções foram detalhadas no capítulo 6,

referente à análise da aplicação do experimento.

4.2 MATERIAL E AMBIENTE DE TRABALHO

O experimento foi realizado em um laboratório de informática de uma escola

estadual em horário extraclasse. Foram utilizados três computadores com o software

Winplot instalado. Além dessa ferramenta computacional, foram distribuídas fichas

de atividades aos alunos, as quais foram elaboradas explorando as relações entre

as diversas representações semióticas, tanto no ambiente papel e lápis como no

ambiente computacional utilizando o software Winplot. Para a captura das telas foi

utilizado o software Camtásia.

Com vistas a caracterizar o ambiente de aplicação do experimento,

apresenta-se um panorama da Unidade Escolar (U.E.) na qual foi realizada a nossa

pesquisa. Ela está localizada na região do ABC Paulista, em um bairro situado na

92

região sul da cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São Paulo. São

oferecidos os cursos de Ensino Fundamental no período diurno, e de Ensino Médio

nos períodos diurno e noturno.

Essa U.E., se comparada com as demais localizadas no mesmo município, é

considerada nova, com menos de vinte anos de atividade educacional. Um dos

fatores10 primordiais desta U.E. é a preocupação em integrar a comunidade, dado

que sempre procura desenvolver projetos que fortalecem a ligação entre a escola,

os alunos e os membros da comunidade.

Não há grande rotatividade entre os alunos dessa escola, uma vez que a

grande maioria dos que iniciam o sexto ano do Ensino Fundamental, concluem o

último ano do Ensino Médio nessa mesma U.E. O bairro no qual a U.E. se situa é

constituído por um grande número de edifícios residenciais e é muito populoso.

Apresentamos, a seguir, o rendimento dessa U.E. na disciplina de

Matemática, com base nos resultados do SARESP11 2011:

Figura 15 – Média do SARESP 2011 relacionada à escola onde foi realizado o experimento. Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>

Observamos que essa escola apresenta um resultado referente à disciplina

de Matemática acima da média de outras instâncias da rede estadual de ensino do

estado de São Paulo.

Pode-se notar, na figura a seguir, que grande parte dos alunos está

classificada como “suficiente”, isto é, eles possuem a propriedade ínfima dos

10

Fonte: Plano de Gestão 2010/2013.

11 SARESP: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo.

93

conteúdos, competências e habilidades almejada para a série/ano escolar em que

se encontram.

Figura 16 – Distribuição percentual dos alunos nos níveis de proficiência, relacionada à escola onde foi realizado o experimento. Fonte: site <http://saresp.fde.sp.gov.br/2011/ConsultaRedeEstadual.aspx?opc=1>

4.3 METODOLOGIA DE APLICAÇÃO

Como primeira etapa, foi aplicado um questionário inicial com o intuito de

investigar as concepções prévias dos sujeitos, uma vez que eles já haviam tido

contato com o objeto matemático em questão. Em seguida, foi realizada uma

familiarização com o software Winplot. A partir daí, foram aplicadas as atividades

elaboradas, com o intuito de verificar em que aspectos uma abordagem diferenciada

sobre sistemas lineares favorece a construção desse conhecimento. Foram

avaliadas as compreensões dos sujeitos durante a aplicação do experimento, sendo

que o mesmo foi remodelado e complementado de acordo com as necessidades

apresentadas pelos sujeitos, conforme descrito no capítulo 6.

Teve-se a intenção de investigar em que aspectos essa nova abordagem

influenciaria na compreensão da qualidade de sistemas lineares por meio da análise

das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos coeficientes das

equações.

Durante esta fase de aplicação, foram coletadas as produções orais e escritas

dos sujeitos, bem como as telas das construções com o software. Como apoio para

a coleta de dados, foi utilizado o software Camtasia, que captura as produções orais

e as telas do Winplot durante a execução do experimento. O Camtasia Studio é um

software de captura de tela e edição de vídeos que possibilita criar tutoriais e

apresentações a partir do ambiente de trabalho do Windows.

94

Estavam previstos seis encontros de duas horas cada, porém, com a

necessidade das reformulações, foram necessários mais seis encontros. Estes

ocorreram em horário extraclasse, em um laboratório de informática, com o software

Winplot e o software Camtasia instalados em dois computadores.

No próximo capítulo apresentaremos as etapas que constituíram o

experimento seguido da análise preliminar das atividades.

95

5 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES

Neste capítulo, serão apresentadas as fases do experimento. Na primeira

fase (Fase 1), foi aplicado um questionário preliminar12 com o intuito de mapear os

conhecimentos prévios dos estudantes a respeito de sistemas lineares. Em seguida,

foi realizada uma familiarização com o software Winplot mencionando os comandos

básicos para a realização das atividades do design. Na segunda fase (Fase 2),

foram apresentadas as atividades do design, que integraram o software Winplot.

5.1 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DO QUESTIONÁRIO INICIAL

(FASE 1)

Tarefa 1. O que é:

a) um sistema possível e determinado (SPD): _____________________________

b) um sistema possível e indeterminado (SPI): ____________________________

c) um sistema impossível (SI): ________________________________________

Quadro 7 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 Fonte: Acervo pessoal

A tarefa 1 tem por objetivo avaliar o conhecimento do estudante com relação

à classificação de um sistema linear. A resolução envolve o registro da língua

natural. É provável que o estudante encontre certa dificuldade para definir os tipos

de sistemas lineares, uma vez que Freitas (1999) relatou que o uso frequente das

abreviações SPD, SPI e SI pode dificultar a compreensão das classificações de um

sistema linear.

12

O questionário preliminar na estrutura apresentada aos alunos consta no Apêndice B.

96

Tarefa 2. Resolver os sistemas (por substituição ou por adição)

a)

1

52

yx

yx

b)

2334

423

yx

yx

c)

1062

35217

yx

yx

d)

3

233

yx

yx


A tarefa 2 tem por objetivo avaliar se o estudante domina algum método de

resolução (substituição ou adição) de sistemas lineares com duas equações e duas

incógnitas. Nos itens a e b, o estudante encontrará uma única solução para cada

sistema. No item c, o estudante encontrará infinitas soluções e, no item d, o sistema

não admite solução. A resolução da tarefa envolve tratamentos no registro

simbólico-algébrico. De acordo com a Proposta Curricular do Estado de São Paulo,

o objeto matemático sistemas lineares deve ser tratado no oitavo ano (antiga sétima

série) do Ensino Fundamental. Como os sujeitos de pesquisa estão no nono ano e

tendo em vista que este tipo de tarefa é usual no ensino de sistemas lineares, é

provável que eles não encontrem dificuldades para a realização da tarefa 2, desde

que já tenham se familiarizado com algum tipo de método para a resolução de

sistemas lineares.

Tarefa 3. Considere, no plano cartesiano, a reta r (na cor azul) e a reta s (na cor

rosa). Cada situação apresenta a representação gráfica de um sistema com duas

equações e duas incógnitas. Associe cada caso com a classificação do sistema e

justifique.

97

( I )

( II )

( III )

98

( ) sistema impossível

Justifique: _________________________________________________________

__________________________________________________________________

( ) sistema possível e determinado

Justifique: _________________________________________________________

__________________________________________________________________

( ) sistema possível e indeterminado

Justifique: _________________________________________________________

__________________________________________________________________


A tarefa 3 tem por objetivo avaliar se o estudante classifica um sistema linear

com duas equações e duas incógnitas por meio da representação desses sistemas

no registro gráfico. No item I o estudante encontrará a representação gráfica de um

sistema linear possível e determinado, pois as retas r e s são concorrentes,

resultando em uma única solução. No item II o estudante encontrará a

representação de um sistema linear possível e indeterminado, pois há a

representação de duas retas coincidentes, gerando infinitas soluções e, no item III

são representadas duas retas paralelas, sendo assim a representação gráfica de um

sistema linear impossível, uma vez que a solução é vazia. Apesar de o Caderno do

Aluno de Matemática da 7ª série / 8º ano apresentar uma atividade semelhante a

esta, é provável que os estudantes apresentem dificuldades na execução dessa

tarefa, dado que entendemos que apenas uma atividade com este tipo de

exploração não seja suficiente para que ele lide com a relação entre o registro

gráfico e a classificação de um sistema linear.

99

Tarefa 4. Sem resolver os sistemas lineares, associe cada situação gráfica com o

possível sistema correspondente:

( I )

( II )

( III )

100

A ( )

4

1644

yx

yx

Justifique:__________________________________________________________

B ( )

3

1

yx

yx

Justifique:__________________________________________________________

C ( )

12

4

yx

yx

Justifique:__________________________________________________________


A tarefa 4 tem por objetivo avaliar se o estudante faz uma relação entre os

registros gráfico e algébrico de sistemas lineares de duas equações e duas

incógnitas, sem efetuar a resolução do sistema. No item I o estudante encontrará a

representação gráfica de um sistema impossível. Espera-se que ele associe essa

representação com a representação simbólico-algébrica do item B, por meio da

análise dos coeficientes, uma vez que no enunciado é solicitada a análise sem que

se resolva o sistema proposto. No item II o estudante terá duas retas concorrentes,

isto é, a representação gráfica de um sistema linear possível e determinado, cuja

solução é o ponto de intersecção entre as duas retas. Espera-se que o aluno

relacione essa representação no registro gráfico com a representação algébrica do

item C, analisando os coeficientes das duas equações que formam o sistema,

observando que não há proporcionalidade entre eles. No item III o estudante

encontrará duas retas coincidentes, sendo assim, a representação gráfica de um

sistema linear possível e indeterminado, pois admite infinitas soluções. Espera-se

que o aluno observe a proporção existente entre os coeficientes das duas equações

no item A, que representam a mesma reta no plano cartesiano. É possível que o

estudante apresente dificuldade para realizar essa tarefa, uma vez que este tipo de

relação entre os registros gráfico e simbólico não é usual no ensino de sistemas

lineares, conforme constatamos em nossa revisão de literatura. De fato, Battaglioli

101

(2008) apontou deficiências de exploração do registro gráfico nos livros didáticos, a

nossa análise do Caderno do Aluno e dos livros didáticos apontou a inexistência

deste tipo de exploração e Freitas (1999) relatou que seus sujeitos de pesquisa não

associavam as características dos gráficos com os conceitos relacionados aos

coeficientes que compunham o sistema. Segundo a pesquisadora:

“O que se observou na pesquisa é que o aluno não recorre aos conceitos de coeficiente angular e linear, isto é, não observa as características dos gráficos: crescente ou decrescente, passa ou não pela origem. O aluno não discrimina essa variáveis pertinentes e não percebe as variações correspondentes na escrita algébrica: coeficiente angular positivo (a da reta

baxy ) implica em reta crescente e coeficiente angular negativo

implica em reta decrescente, ou ainda, 0b passa pela origem e

0b não passa”. (FREITAS, 1999, p. 73).

Freitas (1999), concluiu em sua pesquisa que: “... o aluno, em geral, não é

capaz de identificar retas (representadas pelos respectivos gráficos), dadas as suas

equações.” p. 65.

Tarefa 5. Dado o sistema

105

422

yax

yx, (com 0, aa ). Se a for igual a 5, sem

resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por

( I )

102

( ) Justifique: _____________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________


A tarefa 5 tem por objetivo avaliar se o estudante investiga a existência ou

não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das

equações que compõem o sistema linear, estabelecendo relações entre os registros

algébrico e gráfico. É apresentado um sistema linear no qual se tem um parâmetro a

acompanhando a incógnita x na segunda equação, e é sugerido o valor cinco para

este parâmetro. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note a

proporcionalidade existente entre elas, verificando que as duas geram a mesma

( II )

( III )

103

reta. Com isso, a representação gráfica (I), que possui um par de retas coincidentes,

é a alternativa correta.


105

422

yax

yx, (com 0, aa ). Se a for diferente de 5,

sem resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:

( ) Justifique: _____________________________________________________


( I )

( II )

( III )

104

A tarefa 6 tem por objetivo avaliar se o estudante investiga a existência ou

não de proporcionalidade entre os coeficientes e entre os termos independentes das

equações que compõem o sistema linear, relacionando os registros algébrico e

gráfico. É apresentado o mesmo sistema linear da tarefa anterior, mas nessa

situação é sugerido para o parâmetro a um valor diferente de cinco. Espera-se que o

aluno compare as duas equações e note que, para qualquer valor diferente de cinco

atribuído ao parâmetro a, não haverá proporcionalidade entre os coeficientes das

equações do sistema. Com isso o aluno poderá verificar que esse sistema de

equações tem solução única e é representado por duas retas concorrentes, sendo

esta situação apresentada no item (III).


byx

yx

55

422, (com 0, bb ). Se b for igual a 7, sem

resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:

( I )

( II )

105

( ) Justifique: _____________________________________________________

__________________________________________________________________


A tarefa 7 tem por objetivo propor o mesmo tipo de análise, porém neste caso

é apresentado um sistema linear no qual se tem um parâmetro b no termo

independente da segunda equação, sendo sugerido o valor sete para este

parâmetro. Espera-se que o aluno compare as duas equações e note a

proporcionalidade existente entre os coeficientes das incógnitas x e y, observando

que isso não ocorre entre seus termos independentes. Com isso o aluno poderá

concluir que se trata de um sistema impossível, sendo assim, tais retas são

paralelas, o que pode ser associado à representação do sistema do item (II).

É provável que o estudante demonstre dificuldade para realizar as tarefas 5, 6

e 7, conforme constatado na pesquisa de Freitas (1999). Segundo a pesquisadora é

possível que os alunos tenham tido contato com sistemas lineares com parâmetros

explícitos de forma escassa, dificultando assim a sua compreensão. Nas questões

que exigiam a associação entre uma reta e uma equação, a pesquisadora observou

que os alunos buscaram resolver essas questões atribuindo valores às variáveis.

Esse procedimento, segundo a pesquisadora, não trouxe benefícios, uma vez que,

após a análise a posteriori, foi constatado que o índice de acertos foi

significativamente baixo.

Freitas (1999) também destacou em sua pesquisa que os alunos não

compreendiam o objetivo de um parâmetro tanto nas soluções quanto nos

enunciados de sistemas lineares. Com isso Freitas (1999) adverte que: “Isso mostra

( III )

106

a pouca importância que o ensino dá à mudança de quadros e à compreensão dos

resultados obtidos, já que isso é feito via técnica decorada.” (p. 69).

Tarefa 8. Determine a representação gráfica de cada sistema linear

a)

20129

543

yx

yx

b)

22

7

yx

yx

c)

242010

12105

yx

yx


A tarefa 8 tem por objetivo verificar se o estudante realiza a resolução

algébrica de três sistemas lineares, sendo cada um composto por duas equações e

duas incógnitas e represente cada situação graficamente. Para isso, espera-se que

ele aplique qualquer um dos métodos de resolução, estabelecendo a conversão do

registro algébrico para o gráfico. No primeiro item, o estudante encontrará um

sistema impossível, pois há a proporcionalidade entre os coeficientes do primeiro

membro das equações, mas essa proporcionalidade não existe entre os termos

independentes. Com isso espera-se que o estudante, após aplicar algum método de

resolução já estudado nas séries anteriores, encontre uma sentença falsa como, por

exemplo, 10 , e assim apresente uma construção gráfica semelhante à exposta a

seguir:

107

Figura 17 – Resolução esperada – Tarefa 8a Fonte: Acervo pessoal

No segundo item é apresentado ao estudante um sistema linear possível e

determinado. Espera-se que o aluno aplique qualquer método para a sua resolução

e encontre como conjunto solução 4,3S , sendo este par o ponto de intersecção

entre as duas retas que compõem o sistema. A representação gráfica esperada é

apresentada a seguir.

Figura 18 – Resolução esperada - Tarefa 8b Fonte: Acervo pessoal

108

No terceiro item o estudante encontrará um sistema linear possível e

indeterminado, uma vez que os coeficientes das incógnitas x e y e os termos

independentes das duas equações que compõem o sistema são proporcionais.

Espera-se que o aluno construa uma representação gráfica semelhante à

apresentada a seguir.

Figura 19 – Resolução esperada – Tarefa 8c Fonte: Acervo pessoal

É presumível que o estudante se depare com problemas para a construção

gráfica solicitada. Isto porque, segundo Freitas (1999), grande parte de seus sujeitos

resolveram os sistemas lineares, mas não conseguiram relacioná-los com suas

respectivas representações gráficas. Segundo a pesquisadora, isso pode ter

ocorrido devido à predominância que o registro algébrico tem no ensino do objeto

matemático sistemas lineares e pelo fato de os livros didáticos analisados em sua

pesquisa darem um enfoque muito superficial ao registro gráfico. De fato, Duval

(1995) relata que normalmente os registros monofuncionais discursivos são os

privilegiados, acarretando nos estudantes dificuldades em reconhecer o objeto

matemático em outros registros.

109

Tarefa 9. Resolva o seguinte problema:

André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos, tomou um

refrigerante e gastou R$6,60. Júlia comeu um misto e também tomou um

refrigerante, gastando R$4,10. Qual o preço do misto e do refrigerante nessa

lanchonete?

Quadro 15 – Questionário Preliminar – Tarefa 9 Fonte: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011, p.36

A tarefa 9 contém um problema do Caderno do Aluno da 7ª série / 8º ano do

Ensino Fundamental desenvolvido pela Secretaria da Educação do Estado de São

Paulo e tem por objetivo avaliar se o estudante realiza a conversão do registro da

língua natural para o simbólico-algébrico, obtendo o seguinte sistema linear:

10,411

60,612

RM

RM, sendo M o preço do misto e R o preço do refrigerante. Espera-se

que o estudante resolva o sistema linear pelo método que julgar mais conveniente,

que verifique que o mesmo é um sistema possível e determinado e encontre que os

preços do misto e do refrigerante são, respectivamente, R$2,50 e R$1,60.

É provável que o estudante não encontre dificuldades para a realização da

atividade, pois o mesmo já teve contato com esse tipo de tarefa no ano anterior,

segundo análise do Caderno do Aluno. Ainda, de acordo com Battaglioli (2008), no

conteúdo de sistemas lineares, a maior parte dos livros didáticos trata da conversão

do registro da língua natural para o registro algébrico e, conforme Freitas (1999), o

estudante normalmente não apresenta dificuldades para a aplicação de algum

método de resolução de um sistema linear, desde que já tenha tido contato com

esse tópico. Ressalta-se também que Pantoja (2008) constatou que seus sujeitos

conseguiam realizar a conversão da língua natural para o registro algébrico sem

grandes dificuldades.

Tarefa 10. Dado o sistema linear

3

662

yx

yx, crie um problema na língua natural

relacionado a esse sistema.


110

A tarefa 10 tem por objetivo avaliar se o estudante elabora um problema na

língua natural que satisfaça as condições impostas pelo sistema apresentado,

realizando uma conversão do registro algébrico para o da língua natural. De acordo

com a pesquisa de Battaglioli (2008), é provável que o estudante demonstre

dificuldade para a realização desta tarefa, uma vez que ela identificou que os livros

didáticos avaliados tratavam de conversões da língua natural para o registro

algébrico, mas não da conversão contrária. Em sua pesquisa, que incluiu a análise

de três livros didáticos, foi detectado que apenas um realizava a conversão do

algébrico para a língua natural. Ainda, segundo Duval (2009) pode ocorrer o

“fenômeno da heterogeneidade da congruência”, fato que leva o estudante a não ter

o mesmo tipo de desempenho nos dois sentidos de conversão.

Após a realização deste questionário inicial, os alunos participaram de uma

familiarização com o software Winplot. O roteiro dessa familiarização é apresentado

no apêndice A.

5.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE PRELIMINAR DAS ATIVIDADES DO DESIGN

(FASE 2)

As atividades13 seguintes representam o desenho inicial do experimento,

planejado de acordo com as evidências da literatura e com o desempenho esperado

dos estudantes a partir de seus conhecimentos prévios. Dada a característica da

metodologia adotada, estas atividades foram remodeladas ou complementadas, uma

vez que o objetivo maior foi flexibilizar o estudo de acordo com as produções dos

estudantes. Essas alterações serão expostas no capítulo 6, quando do relato da

aplicação do experimento. As tarefas foram concebidas em dois ambientes, no

software Winplot e no papel e lápis, sendo que no ambiente computacional

normalmente eram estabelecidas as investigações experimentais. Desta forma, as

representações semióticas foram exploradas em dois sistemas de produção. São

apresentadas, a seguir, as tarefas da primeira atividade.

13

As atividades, na estrutura apresentada aos estudantes, constam nos apêndices C, D, E e F.

111

ATIVIDADE 1 – ANÁLISE DO CASO SPI – PARTE 1

Tarefa 1. É dado um sistema linear com duas equações e duas incógnitas:

ayx

yx 3. Cada equação representa uma reta no plano.

Abra o arquivo 1 do Winplot. Na tela são dadas duas retas paralelas e suas

respectivas equações. Vá em “animação” (anim) e selecione “parâmetros A-W”.

Altere o valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.

Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ______________________

Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema

byx

yx 7 para que se

obtenham duas retas coincidentes? _____________________________________

Agora resolva o exercício no Winplot e compare com sua resposta. O que

observou? _______________________________________

Tarefa 2. Agora construa no papel a representação gráfica do sistema linear

4

4

yx

yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas resoluções. Em seguida,

justifique porque as retas obtidas são coincidentes.

Tarefa 3. Complete as tabelas com valores de x e y que satisfazem cada equação.

Equação 1: 4 yx

x -3 0 1

y

1 0

Equação 2: 4 yx

x 4 3

y 7 4 3

Tarefa 4. Nos casos vistos nas tarefas anteriores, o sistema possui quantas

soluções? Neste caso, qual a classificação desse sistema?

Quadro 17 – Apresentação da Atividade 1 do Design Fonte: Acervo pessoal

112

A tarefa 1 tem por objetivo que o estudante observe, experimentalmente no

software, que um sistema de duas equações com duas incógnitas resulta

graficamente em duas retas coincidentes se as equações forem iguais. Para a

resolução desta tarefa, é necessário estabelecer relações entre os registros

algébrico e gráfico.

Na tarefa 2, pretende-se observar se o estudante constrói a representação

gráfica do sistema linear proposto no ambiente papel e lápis, e se justifica o

resultado gráfico encontrado.

Nas tarefas 3 e 4, pretende-se que o estudante relacione a classificação do

sistema linear com os resultados obtidos nas representações algébrica e gráfica.

Espera-se que ele associe essa situação com a classificação "Sistema Possível e

Indeterminado".



422

66

yx

ayx. Cada equação representa uma reta no plano.


respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”. Altere o

valor de “a” de modo que as retas fiquem coincidentes.

Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? _____________________


933

1515

yx

byx para

que se obtenham duas retas coincidentes?________________________________

Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta. O que

observou? __________________________________________________________


ayx

yx

64

632. Cada equação representa uma reta no plano.





113


byx

yx

159

153 para que

se obtenham duas retas coincidentes? ______________________________


observou?_________________________________________________________


24126

84

yx

yax. Cada equação representa uma reta no plano.

Abra o arquivo 4 do Winplot. Na tela são dadas duas retas concorrentes e suas



Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ______________________


2420

625

ayx

yx. Cada equação representa uma reta no plano.




Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação? ____________________

Tarefa 5. Sem usar o Winplot, construa, no plano, a representação gráfica do

sistema linear

2488

622

yx

yx. Agora faça a mesma construção no Winplot e compare

os resultados. O que observou? ________________________________________

Tarefa 6. Resolva no papel o sistema linear da tarefa 5:

2488

622

yx

yx. Como você

justificaria que este sistema possui infinitas soluções? Como você classificaria esse

sistema? ___________________________________________________________

Desta forma, podemos afirmar que a representação gráfica de um sistema linear

com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e

indeterminado, será ______________________________________________.

Um sistema possível e indeterminado, tem ________________________ soluções.

114

Tarefa 7. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine o valor de “a”

para que ele admita infinitas soluções, ou seja, para que ele seja um sistema

possível e indeterminado.

a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

301515

105

yx

yax d)

643

126

yx

ayx

e)

4221

1477

yax

yx f)

93

1856

ayx

yx g)

357

1032

ayx

yx h)

306

1042

ayx

yx

__________________________________________________________________

Se você construísse a representação gráfica de cada sistema para o valor de "a"

indicado, o que você encontraria?_______________________________________

Tarefa 8. Após a realização das tarefas anteriores, determine a condição para que

o gráfico da solução do sistema linear

feydx

cbyax (com a,b,c,d,e e f não nulos)

seja representado por duas retas coincidentes, ou seja, para que ele admita

infinitas soluções.__________________________________________

Tarefa 9. Abra o arquivo 6 do Winplot. É dada a representação gráfica de um

sistema do tipo

033 yx

ayx. Vá em “animação” e selecione “parâmetros A-W”.




As tarefas que compõem a atividade 2 têm por objetivo geral explorar as

condições necessárias para que duas retas sejam coincidentes, solicitando do aluno

a comparação do registro algébrico com o registro gráfico dos sistemas envolvidos.

Espera-se que o estudante relacione os coeficientes e os termos independentes de

um sistema de duas equações e duas incógnitas, verificando experimentalmente,

com o auxílio do software Winplot, que para obter retas coincidentes é necessário

existir uma proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes das

equações que formam o sistema linear. Espera-se ainda que o estudante relacione a

115

representação gráfica de duas retas coincidentes com a obtenção de infinitas

soluções e que classifique estes casos como sistemas possíveis e indeterminados.

Na tarefa 1 o aluno observará um sistema com duas equações e duas

incógnitas, no qual os coeficientes das incógnitas x e y são iguais. A primeira

equação é igualada a 4 e a segunda tem como valor independente o parâmetro "a".

Após a análise com o software, espera-se que o aluno verifique que a proporção

existente entre os coeficientes das equações também deve existir entre os termos

independentes para que as retas se tornem coincidentes. Com isso o aluno poderá

conjecturar que o mesmo deverá ocorrer na segunda parte da tarefa 1, onde é

apresentado um novo sistema de equações com as mesmas características do

primeiro sistema.

Na tarefa 2, apesar de semelhante à tarefa 1, pretende-se que o aluno lide

com um sistema em que, em cada equação, os coeficientes de x e y são diferentes.

Com o auxílio do software, espera-se que o aluno observe que, para duas retas

serem coincidentes, deve existir proporção entre os coeficientes de x e y e entre os

termos independentes das duas equações. Nessas condições, espera-se que o

aluno conjecture que para a resolução da segunda parte da tarefa 2, as condições

observadas na primeira parte da tarefa se mantêm.

Nas tarefas 3 e 4, são apresentados sistemas com duas equações e duas

incógnitas, sendo que o parâmetro "a" passa a ser o coeficiente da incógnita x ou de

y. Com assistência do software, espera-se que o aluno observe que neste caso

também é necessária a manutenção da proporcionalidade observada nas tarefas

anteriores para obter duas retas coincidentes.

Na resolução da tarefa 5, solicita-se ao aluno que determine, no ambiente

papel e lápis, a representação gráfica do sistema linear dado no registro algébrico.

Espera-se que ele construa duas retas e observe que elas são coincidentes. Na

tarefa 6, pede-se para que o estudante resolva o sistema e que justifique a

existência de infinitas soluções. Espera-se também que ele associe este caso à

classificação de "Sistema Possível e Indeterminado".

Após a realização dessa atividade, espera-se que o aluno conclua que,

havendo a proporcionalidade entre os coeficientes e os termos independentes de

duas equações que formam um sistema linear, a sua representação no registro

116

gráfico é um par de retas coincidentes. Após a realização das tarefas anteriores,

pretende-se verificar se estas foram suficientes para atingir esse objetivo.

Desta forma, na tarefa 7, solicita-se a determinação do valor do parâmetro "a"

presente em todos os sistemas lineares apresentados no registro algébrico, para a

obtenção de um sistema possível e indeterminado. Ainda, pretende-se observar se o

estudante concluiu que, para estes casos, haverá a proporcionalidade entre os

coeficientes e os termos independentes. Esta tarefa será realizada somente no

ambiente papel e lápis.

Na tarefa 8, pretende-se observar se o aluno estabelece uma generalização

da situação estudada, afirmando que, para que o gráfico de

feydx

cbyax (com

a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas coincidentes,deve-se ter

f

c

e

b

d

a .

Com o auxílio do software Winplot, espera-se que na tarefa 9, o aluno

observe que, havendo proporcionalidade entre os coeficientes de x e entre os

coeficientes de y, quando o termo independente de uma das equação é nulo, é

necessário que o valor do parâmetro "a" também seja nulo para obter duas retas

coincidentes.

ATIVIDADE 3 – ANÁLISE DO CASO SI


433

66

yx


Abra o arquivo 7 do Winplot. Na tela são dadas duas retas coincidentes e suas


valor de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.

Que valores de “a” satisfazem essa situação? ____________________


byx

yx 1244 para que

se obtenham duas retas paralelas distintas?_______________________________


observou? ________________________________________

117


16128

32

yx



respectivas equações. Vá em “animação” e selecione “parâmetros”. Altere o valor

de “a” de modo que as retas fiquem paralelas distintas.

Que valores de “a” satisfazem essa situação? _____________________________


888

622

yx

yx. Faça o mesmo no Winplot e compare as duas construções. O que

observou? _________________________________________________________


Equação 1: 622 yx

x -3 0 1

y 1 0

Equação 2: 888 yx

x 2

3

y

6

3

2

Tarefa 5. Resolva o sistema da tarefa anterior. O que você observou? Qual é a

solução desse sistema? Como ele é classificado?___________________________


com duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema impossível, será

_________________________________________.

A quantidade de soluções de um sistema impossível é _____________________.

118

Isto porque retas paralelas não possuem ponto comum.

Tarefa 6. Para cada sistema linear, sem utilizar o Winplot, determine para que

valores de “a” ele será um sistema impossível.

a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

ayx

yx

126

1042

Qual seria a representação gráfica desses sistemas?________________________



feydx


seja representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que o sistema

seja impossível.


055 yx

ayx, construa as retas de cada equação no

Winplot e determine para que valores de “a” obteremos um sistema impossível.

__________________________________________________________________


A atividade 3 é composta por tarefas que possuem como objetivo geral

fornecer um ambiente favorável para detectar as condições necessárias para que a

representação no registro gráfico de um sistema linear, composto por duas

equações e duas incógnitas e apresentado no registro algébrico, seja a

representação de duas retas paralelas. Ainda, pretende-se que esta atividade

forneça ao estudante o estabelecimento da relação entre a obtenção de retas

paralelas e a inexistência de solução, classificando estes casos como "Sistemas

Impossíveis". Para isso, espera-se que o aluno, com o auxílio do software Winplot,

verifique que, para obter duas retas paralelas, é necessário que exista uma

proporção entre os coeficientes das incógnitas x e y presentes no primeiro membro

da equação, mas não entre os termos independentes das respectivas equações.

Na primeira parte da tarefa 1, é apresentado o sistema

ayx

yx

66

433, para que

o estudante explore no Winplot os possíveis valores do parâmetro "a". Espera-se

119

que ele observe que para qualquer valor de a ≠ 8, as retas serão paralelas distintas.

Após a realização da primeira parte da tarefa 1, espera-se que o aluno conjecture

que o mesmo deverá ocorrer na segunda parte da tarefa, pois é apresentado um

segundo sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema.

A tarefa 2 possui o mesmo objetivo proposto na tarefa apresentada

anteriormente. Elas diferenciam-se apenas pelo fato de o parâmetro a estar no

termo independente da primeira equação e pelos coeficientes de x e y serem

diferentes numa mesma equação. Sendo assim, espera-se que o aluno perceba que

a relação verificada na tarefa 1 também é válida na tarefa 2, ou seja, deve existir

uma proporcionalidade entre os coeficientes das incógnitas, mas não entre os

termos independentes.

A tarefa 3 deverá ser realizada no ambiente papel e lápis. Espera-se que o

aluno apresente a representação no registro gráfico do sistema linear

888

622

yx

yx,

observando que ele gera duas retas paralelas. Ainda, espera-se que ele justifique tal

fato avaliando a proporcionalidade entre os coeficientes e a não existência da

proporcionalidade entre os termos independentes.

Na tarefa 4, pretende-se que o aluno resolva este sistema no ambiente papel

e lápis e estabeleça a relação entre o resultado obtido e a representação gráfica.

Pretende-se também que ele identifique tal caso como um sistema impossível e que

observe que seu conjunto solução é vazio.

Na tarefa 5, é proposto ao aluno determinar o valor do parâmetro a nos

sistemas lineares apresentados no registro algébrico, para que se obtenha um

sistema impossível. Nesta situação, pretende-se que o aluno associe a análise do

parâmetro "a" com a classificação do sistema e com a representação gráfica de

retas paralelas. Para realizar essa tarefa, o aluno irá utilizar o ambiente papel e

lápis.

Espera-se na tarefa 6, que o aluno realize uma generalização. Pretende-se

observar se ele estabelece que, para que o gráfico do sistema linear

feydx

cbyax

(com a,b,c,d,e e f não nulos) seja representado por duas retas paralelas, deve-se ter

que f

c

e

b

d

a .

120

Com o auxílio do software Winplot, espera-se que o aluno experimentalmente

realize a tarefa 7. Após observar a proporcionalidade existente entre os coeficientes

no primeiro membro das equações que formam o sistema, e que o termo

independente de uma das equações é nulo, o aluno deverá concluir que é

necessário que o valor do parâmetro "a" seja diferente de zero para obter um

sistema impossível.

ATIVIDADE 4 – ANÁLISE DO CASO SPD

Abra o software Winplot e construa um sistema linear de duas equações e duas

incógnitas que gere duas retas concorrentes. Explique como pensou para fazer

esta construção.

Neste caso, quantas soluções tem este sistema? Qual é a sua classificação?

__________________________________________________________________


Nesta atividade, espera-se que o estudante construa duas retas utilizando um

pensamento de exclusão, ou seja, que observe que o sistema

feydx

cbyax (com

a,b,c,d,e e f não nulos) gerará duas retas concorrentes quando e

b

d

a . Além disso,

espera-se que o aluno observe a existência de apenas uma solução, classificando

tal sistema em "Sistema Possível e Determinado".

Passaremos agora para o capítulo 6, onde apresentaremos os resultados

obtidos durante a aplicação do experimento.

121

6 ANÁLISE DA APLICAÇÃO DO EXPERIMENTO

Este capítulo contém a descrição dos resultados da aplicação do

experimento. Primeiramente apresentamos as produções dos estudantes na Fase 1,

relativa ao questionário preliminar. Esta fase apontou para a necessidade de uma

revisão dos tópicos considerados como pré-requisitos para o desenvolvimento do

experimento. Em seguida, descrevemos a Fase 2, detalhando as análises das

atividades do experimento e as reformulações que se mostraram necessárias

durante o processo.

6.1 DESCRIÇÃO DA FASE 1

Nesta seção, são apresentadas e analisadas as produções dos estudantes no

questionário preliminar. Ainda, é descrito o primeiro redesign realizado em função

das dificuldades evidenciadas.

Os sujeitos participantes desse estudo pertenciam a uma escola estadual da

rede pública de ensino da cidade de São Bernardo do Campo, no estado de São

Paulo. A escolha desta escola ocorreu pelo fato de o professor-pesquisador lecionar

as disciplinas de Matemática e Física aos alunos do Ensino Médio da mesma,

facilitando assim o contato com os sujeitos que participaram da pesquisa.

Foi solicitada a colaboração do professor de Matemática das turmas do nono

ano (antiga oitava série) do Ensino Fundamental para divulgar o presente estudo.

Este professor possuía quatro turmas de nono ano com aproximadamente quarenta

alunos em cada e, destes, dez manifestaram interesse em participar do experimento.

Aos alunos que manifestaram interesse, foi apresentada a necessidade de

disponibilidade para comparecer no contraturno das suas aulas regulares,

estabelecendo os dias e horários de realização do experimento. Com isso, naquele

momento, seis estudantes se comprometeram com a pesquisa e,

consequentemente, foi possível formar três duplas para o desenvolvimento do

experimento.

Partindo disso, o professor-pesquisador recorreu novamente ao professor da

turma com o intuito de obter informações sobre seus sujeitos. Segundo o professor

colaborador, havia um aluno que demonstrava facilidades no componente curricular

Matemática, dois alunos medianos que apresentavam algumas dificuldades

122

relacionadas à organização de ideias, mas com rendimentos satisfatórios e, por fim,

três alunos que demonstravam muita dificuldade, sendo que dois deles já estavam

cursando o nono ano do Ensino Fundamental pela segunda vez. Apesar do

rendimento insatisfatório, o professor colaborador destacou que esses alunos

demonstravam interesse em sala de aula. Com isso, os sujeitos voluntários

possuíam diferentes habilidades, o que possibilitou um estudo com características

próximas da realidade encontrada em sala de aula.

Dado que os alunos eram menores de idade, o professor-pesquisador entrou

em contato com seus responsáveis para marcar uma reunião para esclarecer

possíveis dúvidas. Nessa reunião, o professor-pesquisador informou sobre a

importância da participação dos sujeitos no experimento, esclarecendo o diferencial

do mesmo em relação a uma aula tradicional, uma vez que haveria a utilização de

recursos computacionais para o ensino do objeto matemático sistemas lineares.

Durante a reunião também foi apresentado o “Termo de Consentimento Livre e

Esclarecido”, autorizando os sujeitos a participarem como voluntários desta

pesquisa. O modelo do “Termo de Consentimento Livre e Esclarecido” é

apresentado no apêndice G.

Os encontros para a realização do experimento ocorreram duas vezes por

semana no laboratório de informática, com duração de duas horas cada, na unidade

escolar em que os sujeitos eram alunos regulares. Além de a escola dispor do

ambiente físico necessário para o desenvolvimento do experimento, os estudantes

residiam próximo à unidade escolar, facilitando assim sua locomoção.

O laboratório de informática possuía vinte e sete computadores com a

configuração necessária para a utilização do software Winplot e do software

Camtásia, além de contar com um aluno monitor que participava do Programa

Acessa Escola14, que colaborou com o professor-pesquisador na instalação e na

realização dos testes necessários nos computadores e nos softwares mencionados

anteriormente.

14

O Programa Acessa Escola é um programa desenvolvido pela Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo, coordenado pela Fundação para o Desenvolvimento da Educação (FDE). Fonte: <http://acessaescola.fde.sp.gov.br/Public/Conteudo.aspx?idmenu=11>. Acesso em 09/03/2012

http://acessaescola.fde.sp.gov.br/Public/Conteudo.aspx?idmenu=11

123

Figura 20 – Laboratório de Informática utilizado para a realização do experimento. Fonte: Acervo pessoal

No primeiro encontro, o professor-pesquisador agradeceu a presença de

todos os sujeitos, destacando a importância da participação de cada um no

experimento. Este primeiro encontro foi realizado em uma sala de aula que estava

vaga no período da tarde, e neste momento foi aplicado um Questionário

Preliminar15. O professor-pesquisador esclareceu aos sujeitos envolvidos na

pesquisa, que esse questionário tinha por objetivo investigar as concepções prévias

que eles possuíam relacionadas ao objeto matemático sistemas lineares e solicitou a

inclusão de justificativas escritas nas questões.

O questionário preliminar, que foi aplicado de forma individual, possuía nove

fichas contendo as dez tarefas que compunham esse instrumento. Ao término de

cada ficha, esta era recolhida pelo professor-pesquisador. Só assim o aluno recebia

a ficha seguinte. Adotamos esse procedimento para a entrega das fichas,

acreditando que, se apresentássemos todas elas de uma única vez, isso poderia

trazer interferências nas resoluções dos sujeitos.

15

O Questionário Preliminar consta no apêndice B.

124

Apresentamos a seguir alguns resultados provenientes da análise do

Questionário Preliminar.

Essa aplicação ocorreu individualmente e sem consulta e, com o intuito de

facilitar a leitura, classificamos os sujeitos participantes como Aluno A, Aluno B,

Aluno C, Aluno D, Aluno E e Aluno F.

Todos os alunos demonstraram dificuldades em definir as classificações de

um sistema linear, conforme pode ser observado na análise das produções escritas

dos estudantes apresentadas no quadro seguinte.

Aluno SPD SPI SI

A

"SPD é a equação onde se é possivel (sic) obter resultados e com x e y já definidos"

“SPI é a equação onde se é possivel (sic) obter resultados e com x e y indefinidos”

“SI é a equação onde se é impossivel (sic) obter resultado equivalente”

B

“É um sistema possivel (sic) defazer (sic) qualquer coisa, seja qual for o problema ele pode ser feito ele é capacitado para poder projetar ou fazer alguma coisa”

“Ele pode ser feito de uma maneira, mais (sic) não ter (sic) tanta certeza de que ele possa realizar, depende”

“que não pode ser realizado de forma alguma, mesmo que tente não consegue porque é impossivel (sic) realizalo (sic) não há solução. para produzilo (sic)”

C

“é um sistema que é mais facio (sic) determinar se as duas letrinhas estiver (sic) com o número”

“é um jeito mais complicado de fazer se não montar a conta”

“é um sistema que não tiver a letra x e y com o resoltado (sic), para montar a conta”

D

“É um sistema possivel (sic) de ser resolvido e com uma determinada conta”

“Não sei” “Um sistema impossivel (sic), é um sistema que é impossivel (sic) de ser resolvido”

E

“É um sistema que você possa fazer com que de um resultado perto ou um resultado exato”

“Um sistema que não vem com tudo no óbvio, ele só mostra algumas coisas”

“É um sistema que você nunca vai resolver só o criador do sistema consegue resolvelo (sic) ou utiliza-lo (sic)”

F

“e quando um problema pode ser resolvido e seu resultado é exato”

“é quando um problema pode ser resolvido mas não tem um total exato”

“é quando um problema não pode ser resolvido e em sequencia (sic) não tem resultado (não é certeza)”

Quadro 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 1 – Produção de todos os alunos Fonte: Acervo pessoal

125

A seguir, apresentamos as análises dessas produções e os questionamentos

realizados pelo professor-pesquisador.

Com relação ao Aluno A, quando o professor-pesquisador o questionou a

respeito da produção fornecida, ele relatou: “eu não sabia o que era” e informou que

não havia visto o objeto matemático sistemas lineares no ano anterior, sendo assim,

segundo este aluno, a sua produção, descrita no quadro anterior, foi fornecida para

não deixar o questionamento sem resposta.

O professor-pesquisador realizou uma entrevista com o Aluno B que forneceu

para investigar sua compreensão a respeito da classificação de sistemas. Ele

relatou: “eu não sabia de nada, apenas respondi para não deixar em branco”. A

seguir, o professor-pesquisador pediu para que o mesmo aluno relatasse sobre

sistema possível e determinado, sistema possível e indeterminado e sistema

impossível. O Aluno B respondeu: “um sistema possível e determinado é quando

pode ser feito, quando uma coisa é possível de fazer, uma peça por exemplo. Um

sistema possível e indeterminado pode ser feito, mas não dá para terminar a peça e

o sistema impossível não dá para ser feito, impossível de fazer a peça”. Tal fato

revelou que o Aluno B entendia a palavra sistema como uma “máquina”, isto é, um

instrumento utilizado para a realização de alguma tarefa. Ao ser questionado,

constatou-se que ele acompanhava um tio que trabalhava na confecção/gráfica de

roupas, fato que provavelmente o influenciou nesta compreensão.

Com relação à produção do Aluno C, pode-se observar que ele associou a

expressão “possível e determinado” com a facilidade de resolver uma equação. Da

mesma forma, associou a expressão “possível e indeterminado” com uma equação

que necessita de uma resolução mais elaborada. Quanto ao caso SI, o aluno disse:

“não dá para resolver”.

Avaliando a produção do Aluno D, observamos que ele associou as palavras

“possível” e “impossível”, respectivamente com a possibilidade ou a não de resolver

um sistema. Quando o professor-pesquisador solicitou que o aluno explicasse a sua

produção, ele respondeu: “eu não sabia o que escrever, então chutei”.

Do mesmo modo podemos observar que o Aluno E apresentou dificuldades

em definir as classificações de um sistema linear. Quando entrevistado, ele

classificou os sistemas da seguinte forma: “o sistema possível e determinado é uma

conta que você olhando para ela, já sabe que o resultado é exato. O sistema

possível e indeterminado a conta não tem todos os complementos que a pessoa

126

precisa. O sistema impossível é uma conta que você bate o olho, ou ela é muito

grande ou você já vê que não vai dar em lugar algum, só o criador da conta

consegue resolver ou utilizar”.

Essa produção revela a associação do termo impossível com a dificuldade de

realizar um cálculo, fato que conduz o aluno a classificar os sistemas lineares de

forma incorreta.

Analisando a produção do Aluno F, notamos, como nos casos anteriores, que

ele associou os termos “possível e determinado”, “possível e indeterminado” e

“impossível” com a possibilidade de resolver um problema e determinar ou não um

valor. Quando o professor-pesquisador questionou o aluno a respeito de que tipo de

problema ele estava se referindo, ele disse: “qualquer problema que precisa de

conta”.

Conforme relatado na análise preliminar das atividades, essa dificuldade

apresentada pelos sujeitos de nossa pesquisa também foi constatada por Freitas

(1999), tendo em vista que, em seu estudo, o índice de acerto de uma questão que

tratava da discussão e classificação dos sistemas propostos foi de 15,5%.

Na Tarefa 2, os sujeitos apresentaram dificuldades no reconhecimento e na

resolução de um sistema linear. Apresentamos a seguir, algumas das respostas

dadas pelos sujeitos para essa tarefa.

Figura 21 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno F Fonte: Acervo pessoal

127

Observamos que o Aluno F não reconheceu um sistema de equações. Ele

multiplicou as variáveis x das duas equações do sistema, encontrando x2. A seguir,

aplicou a regra de sinais da multiplicação na variável y, e somou os seus

coeficientes. Por fim, realizou a adição dos termos independentes, encontrando na

sua forma de pensar uma equação do segundo grau. Ao ser entrevistado, o aluno

disse que o objeto matemático equação do segundo grau estava sendo tratado pelo

professor da turma regular, por isso ele fez essa associação entre a situação

proposta e equação do segundo grau. Isso mostra a existência de uma mecanização

no ensino, uma vez que o aluno não encontrou qualquer significado para o objeto

matemático apresentado, realizando os cálculos de forma mecânica.

Apesar de ter realizado uma associação de forma errônea entre esses dois

objetos matemáticos distintos, podemos observar que o aluno resolveu a equação

0432 yx , que em sua maneira de pensar era uma equação do segundo grau,

de forma correta. Notamos que o aluno acreditava estar resolvendo a seguinte

equação do segundo grau: 0432 xx , sendo assim, ele destacou os coeficientes

e o termo independente de forma correta. Continuando em seus cálculos,

determinou o discriminante e determinou as raízes da equação obtendo 4' x e

1'' x .

Na sequência, apresentamos a resposta do Aluno A na Tarefa 2. Este

estudante foi classificado inicialmente pelo professor colaborador como sendo um

aluno acima da média em relação aos demais das turmas de nono ano em que

lecionava.

128

Figura 22 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno A Fonte: Acervo pessoal

Após a entrevista, o Aluno A justificou que, para resolver os sistemas, era

necessário atribuir valores às variáveis x e y para obter os resultados no segundo

membro da equação. Nota-se que o aluno considerou cada uma das equações que

formavam o sistema de forma isolada, isto é, resolveu cada uma das equações sem

considerar que os valores encontrados para a primeira equação deveriam ser os

mesmos para a segunda.

Analisando a resolução das equações do ponto de vista que o aluno utilizou,

notamos que, na primeira equação do item b, o aluno atribuiu para x o valor zero e

encontrou para y o valor dois. Salienta-se que os cálculos foram realizados de forma

correta e, com isso, o aluno apresentou um par ordenado para a equação. Já na

129

segunda equação o aluno atribuiu o valor sete para x e, por um engano em seu

cálculo, encontrou para y o valor menos três. Isso fez com que ele encontrasse um

par ordenado incoerente com a equação apresentada.

No sistema do item c, o aluno atribuiu o mesmo valor para x nas duas

equações, encontrando y igual a um. Apesar de esse aluno ter encontrado a solução

do sistema, sua determinação foi por tentativas e não por um processo de resolução

de sistemas. Ainda, a atribuição do mesmo valor para x nas duas equações ocorreu

de forma arbitrária, ou seja, sem a preocupação de avaliar as duas equações

simultaneamente.

No último sistema que compunha a tarefa, o aluno não conseguiu, pela

estratégia de tentativas, encontrar um valor para substituir em x para encontrar um y

inteiro. Já na segunda equação ele atribuiu para x o valor três, encontrando, de

forma correta, y igual a zero, mas não notou que o sistema era impossível.

Na entrevista, o aluno observou que na sua resolução havia errado o cálculo

de 74 , presente na segunda equação do item b, uma vez que atribuiu o resultado

32, enquanto o certo seria 28. Apesar da dificuldade na compreensão de um sistema

linear, na entrevista o aluno demonstrou possuir certas habilidades na resolução de

equações.

O Aluno C tentou resolver todos os sistemas lineares propostos, porém,

apresentou grande dificuldade em compreender o significado de um sistema de

equações no registro algébrico. Observa-se que ele tentou relacionar as duas

equações de forma equivocada. Apresentamos a seguir, sua produção para um dos

itens da Tarefa 2:

Figura 23 – Questionário Preliminar – Tarefa 2 – Produção do Aluno C. Fonte: Acervo pessoal

130

Podemos observar que o aluno tentou igualar as duas equações que

formavam o sistema linear, colocando a incógnita x em evidência em cada uma das

equações, o que denota dificuldades de tratamento no registro algébrico.

Quanto aos demais resultados apresentados na Tarefa 2, destacamos que os

Alunos B, D e E responderam apenas “Não sei”.

Esse tipo de dificuldade não era esperado, pois o objeto matemático sistemas

lineares é tratado com os alunos no oitavo ano do Ensino Fundamental e, como os

nossos sujeitos de pesquisa estavam cursando o nono ano deste ciclo,

acreditávamos que eles teriam domínio na resolução das situações propostas na

Tarefa 2.

Observamos, pelas produções dos alunos, que eles não possuíam uma

familiarização com o objeto matemático sistemas lineares, assim, ou deixaram de

responder as tarefas ou até se utilizaram de conteúdos tratados em sala de aula que

não apresentavam relações com sistemas lineares.

Na sequência, apresentamos a resolução da Tarefa 3, na qual os sujeitos

apresentaram dificuldades em relacionar as diferentes classificações de sistemas

lineares com as suas respectivas representações gráficas.

131

Figura 24 – Questionário Preliminar – Tarefa 3 – Produção do Aluno D Fonte: Acervo pessoal

Durante a entrevista, o Aluno D demonstrou dificuldade em expressar o seu

raciocínio, sempre que o professor-pesquisador perguntava o porquê das respostas

apresentadas nas tarefas, o aluno respondia: “não sei por que respondi assim” ou

dizia “eu acho que é assim, só isso”.

É possível notar que o aluno relacionou as classificações de um sistema com

o grau de dificuldade de visualização. Apesar de associar de forma correta o sistema

132

possível e indeterminado com a sua representação no registro gráfico, sua

justificativa revelou desconhecimento da relação entre a representação gráfica e a

classificação de um sistema linear, o que também foi comprovado na entrevista

posteriormente realizada.

O aluno F fez a associação do sistema possível e indeterminado de forma

correta, mas em sua justificativa ele forneceu a seguinte produção escrita: “a figura é

determinada mais (sic) seus pontos não”. Durante a entrevista, o Aluno F disse que

não sabia o que responder, por isso havia justificado dessa forma.

As produções dos alunos A, B, C e E na Tarefa 3 revelaram que a relação

entre a classificação de um sistema linear com a sua representação no registro

gráfico foi realizada de forma imprópria. Os alunos A, B e C apresentaram as

mesmas respostas com justificativas diferentes. Para o caso de duas retas

concorrentes, os alunos disseram que essa representação era de um sistema

possível e indeterminado. Para o caso de duas retas coincidentes, os alunos

associaram a um sistema impossível. Para o caso de duas retas paralelas distintas,

os alunos classificaram como um sistema possível e determinado.

Apesar de os Alunos A, B e C terem realizado as mesmas associações, as

suas justificativas foram diferentes, tendo em vista que o Aluno A respondeu que a

segunda representação no registro gráfico, que se tratava de duas retas

coincidentes, seria de um sistema impossível, justificando que “O sistema II é

impossível pois r e s não podem ter o mesmo valor”, o Aluno B justificou da

seguinte forma: “Porque as duas retas estão juntas”, e o Aluno C, justificou a

associação realizada por ele da seguinte maneira: “porque as retas estão na mesma

fonte de linhas paralelas”.

Na terceira representação no registro gráfico, eram apresentadas duas retas

paralelas não coincidentes, sendo assim, a representação de um sistema

impossível. Os alunos associaram essa terceira representação como sendo de um

sistema possível e determinado, sendo que o Aluno B justificou da seguinte forma:

“Porque estão alinhadas, e podem ter algum resultado”. O Aluno C justificou de uma

maneira mais obscura: “os pontos estão as contantes (sic) relações de alinhamento”

e o Aluno A apresentou a seguinte justificativa: “O sistema III é possível e

determinado pois as retas estão paralelas e não existe ligação entre eles (sic)”.

Na primeira representação no registro gráfico, referente a duas retas

concorrentes, sendo assim, a representação gráfica de um sistema possível e

133

determinado, os alunos a classificaram como um sistema possível e indeterminado.

O Aluno C apresentou a seguinte justificativa: “por que as retas não estão de forma x

e y positivo” e durante a entrevista este aluno não conseguiu explicar o que

pretendeu dizer em sua justificativa, ficando até em dúvida com a sua resposta. O

Aluno B justificou que “pela função das retas, é possível achar e pode haver um

resultado possivel (sic)”. Neste caso, o aluno relacionou a inclinação das retas como

sendo “função das retas”. O Aluno A apresentou a seguinte justificativa: “O sistema I

é possível e indeterminado pois as retas se ligam”.

Como havíamos previsto durante a apresentação e análise preliminar das

atividades do questionário inicial, mesmo essa tarefa sendo semelhante a uma

atividade apresentada no Caderno do Aluno de Matemática da 7ª série / 8º ano, os

alunos apresentariam dificuldade. Isso porque havia apenas uma atividade que

envolvia esse tipo de exploração e, provavelmente, isso não seria suficiente para o

aluno realizar as relações existentes entre a classificação de um sistema linear e a

sua representação no registro gráfico.

Na Tarefa 4, que tratava da associação entre as representações algébrica e

gráfica de sistemas lineares, o Aluno D respondeu apenas “não sei” e não realizou

nenhuma associação.

Os Alunos B e F realizaram corretamente a associação entre os registros

gráfico e algébrico, mas responderam “não sei explicar/justificar”. Foi possível

observar, durante a entrevista, que os alunos não fizeram a análise da

proporcionalidade dos coeficientes e dos termos independentes dos sistemas para o

estabelecimento da relação entre as representações dos registros gráfico e

algébrico.

Os Alunos A e C justificaram todos os itens da Tarefa 4 de forma incorreta,

apesar de eles associarem de forma correta a segunda representação no registro

gráfico com a terceira representação do sistema linear no registro algébrico.

O Aluno E associou todas as representações no registro gráfico com o

registro algébrico de forma correta, mas com justificativas inadequadas, como

apresentamos a seguir:

134

Figura 25 – Questionário Preliminar – Tarefa 4 – Produção do Aluno E Fonte: Acervo pessoal

Podemos observar que, na justificativa do Aluno E, ele relacionou o tamanho

das retas com os termos independentes de maior valor, acreditando que o tamanho

da reta no plano cartesiano estava associado com os valores dos termos

independentes, por isso associou a terceira representação no registro gráfico com a

primeira representação no registro algébrico. Já a segunda representação no

registro gráfico, o aluno a associou com a terceira representação no registro

algébrico. Durante a entrevista, o aluno disse que fez essa associação porque a reta

azul estava “descendo” e a rosa “subindo” por isso os coeficientes de y deveriam ter

sinais opostos.

O aluno associou a segunda representação do registro algébrico com a

primeira do registro gráfico, observando que as equações do sistema possuíam

135

termos independentes negativos e, por este motivo, as duas retas deveriam

“descer”. Essa produção mostra que o aluno buscou estabelecer relações entre

representações de dois registros distintos, porém, essa tentativa de conversão não

ocorreu de maneira correta.

Apesar de realizar incorretamente duas associações, o único aluno que

durante a entrevista demonstrou ter feito alguma tentativa de relação entre os

coeficientes dos sistemas lineares com as representações no registro gráfico foi o

Aluno A. A seguir apresentamos as respostas propostas por esse aluno.


136

Durante a entrevista, o Aluno A disse que relacionou a primeira representação

no registro gráfico com a primeira representação no registro algébrico, porque as

duas retas eram paralelas e, com isso, comparando os coeficientes de x das duas

equações, estes deveriam ter o mesmo sinal e situação semelhante deveria ocorrer

com os coeficientes de y.

Da mesma forma o aluno realizou a associação da terceira representação no

registro gráfico com a segunda representação no registro algébrico, justificando que

as retas possuíam a mesma direção, portanto, elas deveriam estar relacionadas com

equações que possuíssem coeficientes de x e de y todos com o mesmo sinal, sendo,

no caso, todos negativos.

A última representação no registro algébrico o aluno relacionou corretamente

com a segunda representação no registro gráfico. Durante a entrevista, o aluno

justificou essa associação, dizendo que uma das retas estava “subindo” e a outra

“descendo”, por isso elas deveriam ter os coeficientes com sinais opostos, fato que

ocorria com os coeficientes de y no terceiro sistema linear apresentado.

Podemos notar que o aluno, mesmo de forma equivocada, analisou os

coeficientes das equações para realizar a associação entre os registros gráfico e

algébrico, mas em nenhum momento ele mencionou ter realizado alguma análise

entre os termos independentes das equações que formavam os sistemas

apresentados na Tarefa 4.

Partindo dessa análise, pudemos observar a dificuldade dos alunos em

associar a representação de um sistema linear no registro gráfico com a sua

representação no registro algébrico. Battaglioli (2008) assinalou que os livros

didáticos pouco exploram o registro gráfico e, em nossa análise do Caderno do

Aluno, observamos a inexistência desse tipo de relação entre os registros gráfico e

algébrico pela análise de proporcionalidade entre os coeficientes.

Ainda, Freitas (1999) descreveu que os sujeitos que participaram de sua

pesquisa não realizaram uma associação entre os coeficientes que compunham um

sistema com as características dos gráficos.

Na Tarefa 5, foi apresentado aos alunos o seguinte sistema linear

105

422

yax

yx. Aos alunos foi proposto que considerassem o valor de “a” igual a

cinco, e sem resolver o sistema, pretendia-se que associassem sua representação

137

algébrica com a gráfica. A representação no registro algébrico que satisfazia a

situação apresentada acima era a primeira representação que possuía duas retas

paralelas coincidentes.

Todos os alunos realizaram a associação de forma equivocada. Os Alunos B,

C, E e F associaram o sistema linear no registro algébrico com a segunda

representação no registro gráfico, referente a um sistema linear possível e

determinado. Os Alunos A e D o associaram com a terceira representação, que se

tratava de um sistema impossível.

Nas justificativas apresentadas pelos alunos, os Alunos B e D responderam

“não sei” e os outros quatro alunos justificaram de forma incorreta. Selecionamos,

para apresentação, as respostas mais significativas apresentadas por dois alunos.


138

O aluno observou que havia uma proporcionalidade entre as equações que

formavam o sistema linear proposto, mas quando foi realizar a associação com a

sua representação no registro gráfico, ele cometeu um erro, acreditando que a

representação deveria ser de duas retas paralelas.

A seguir, apresenta-se a produção do Aluno C nesta mesma tarefa.

Figura 28 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno C Fonte: Acervo pessoal

O aluno analisou apenas a segunda equação que formava o sistema, na qual

os valores dos coeficientes de x e y eram positivos. Durante a entrevista, ele

139

justificou a sua resposta, dizendo que após analisar as três representações,

observou que na segunda era apresentada a reta azul que estava na sua maior

parte, do lado direito do eixo y, acreditando que se tratava de uma "reta positiva", e

como os coeficientes que formavam a segunda equação eram todos positivos, a reta

azul representava essa equação. Novamente observa-se uma tentativa de relação

entre representações de dois registros distintos, apesar de inadequada.

Na Tarefa 6, foi proposto aos alunos o mesmo sistema linear no registro

algébrico da tarefa anterior, porém, após a análise, esperava-se que eles

concluíssem que, para qualquer valor diferente de cinco, não existiria

proporcionalidade entre os coeficientes, portanto, se tratava de um sistema linear

possível e determinado. Consequentemente, a associação deveria ser feita com a

terceira representação no registro gráfico.

Os Alunos B e D responderam “não sei” na justificativa e não fizeram qualquer

associação entre as representações no registro gráfico com o sistema linear

proposto. Os alunos E e F relacionaram com a primeira representação no registro

gráfico que era de um sistema linear impossível. O aluno A associou o sistema linear

proposto com a segunda representação no registro gráfico, a qual se tratava de um

sistema linear possível e determinado.

Apenas o Aluno C realizou de forma correta a associação do sistema

proposto com a sua representação no registro gráfico, mas a sua justificativa não

estava associada com a não existência de proporcionalidade entre os coeficientes,

como vemos a seguir:

140

Figura 29 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno C Fonte: Acervo pessoal

Com isso, pudemos concluir que os alunos não conseguiram estabelecer

relações entre representações dos registros gráfico e algébrico partindo da análise

da existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes de um sistema

linear.

A Tarefa 7 apresentou o seguinte sistema linear no registro algébrico

byx

yx

55

422. Foi solicitada aos alunos a substituição de b pelo valor sete, e sem

resolver o sistema, eles deveriam associá-lo com a sua representação gráfica. Para

esta resolução, os alunos poderiam observar a existência de proporcionalidade entre

141

os coeficientes das duas equações, mas não entre os termos independentes, sendo,

portanto, um sistema impossível. Com isso, a associação ocorreria com a segunda

representação no registro gráfico.

Os alunos B e D não fizeram a associação, e na justificativa responderam

“não sei”. O aluno A associou incorretamente o sistema com a primeira

representação, que se tratava de um sistema possível e determinado. O Aluno E

associou o sistema citado anteriormente com a terceira representação, a de um

sistema possível e indeterminado. Os alunos C e F, que associaram de forma

correta o sistema proposto com a segunda representação no registro gráfico, não

conseguiram justificar a sua escolha, o que indica que a escolha foi realizada a

esmo.

Já era esperado que os alunos apresentassem dificuldades para a realização

das Tarefas 5, 6 e 7, dado que Freitas (1999) revelou que seus sujeitos também

apresentaram dificuldades em situações de análise de parâmetros para a

classificação de sistemas lineares. Além disso, a análise de livros e do caderno do

aluno apontou que este tipo de exploração não é usual.

Na Tarefa 8, que solicitava a representação gráfica de um sistema linear

partindo de sua representação algébrica, o aluno B respondeu “não sei” para os três

sistemas lineares apresentados, sem tentar fazer a conversão para o registro

gráfico. O Aluno D apenas marcou um sistema cartesiano para cada um dos

sistemas, mas não construiu qualquer reta.

O Aluno F somente destacou os valores dos coeficientes de x e de y em cada

uma das equações que formavam os sistemas lineares, como apresentamos a

seguir.

Figura 30 – Questionário Preliminar – Tarefa 5 – Produção do Aluno F Fonte: Acervo pessoal

142

Os alunos A, C e E realizaram a tarefa de forma incorreta. O Aluno C

construiu retas concorrentes nos três sistemas apresentados e, mesmo no caso do

sistema possível e determinado, a sua construção estava incorreta.

Era esperado que os alunos encontrassem dificuldades para a construção

gráfica requerida. Segundo Freitas (1999), os livros didáticos apresentam um

enfoque muito superficial no registro gráfico, sendo mais focalizado o registro

algébrico, quando se trata do objeto matemático sistemas lineares. E segundo Duval

(1995), os registros monofuncionais discursivos são os privilegiados no ensino e,

com isso, os estudantes podem ter dificuldades em operar com o mesmo objeto

matemático em outros registros.

A Tarefa 9, referente a uma aplicação de sistemas lineares, foi retirada do

Caderno do Aluno da 7ª série / 8º ano do Ensino Fundamental. Nenhum dos alunos

converteu o problema dado em língua natural para a linguagem algébrica. Na

entrevista, eles disseram que foram tentando encontrar os valores referentes ao

problema por tentativa e erro. Observamos que nenhum deles tentou construir um

sistema linear para resolver o problema.

Os alunos A,C e F atribuíram valores incorretos para o refrigerante e para o

misto. O Aluno D apenas apresentou os valores, mas não identificou a que produtos

estavam relacionados os dados apresentados.

Os alunos B e E encontraram os valores corretos para o problema proposto,

mas como já foi citado anteriormente, esses valores foram encontrados por

tentativas, sem recorrer aos sistemas lineares para a sua resolução. Segundo

Battaglioli (2008), os alunos não encontrariam dificuldades para realizar esta tarefa,

uma vez que a maioria dos livros didáticos inclui a conversão do registro da língua

natural para o registro algébrico no conteúdo de sistemas lineares. Apesar disso, os

sujeitos de nossa pesquisa apresentaram tal dificuldade durante a realização da

Tarefa 9.

A última tarefa do questionário inicial, na qual era solicitada a elaboração de

um problema partindo de um sistema linear na forma algébrica, cinco alunos A, B, D,

E e F não apresentaram resolução ou responderam “não sei”. Apenas o Aluno C

começou a converter a tarefa dada na representação algébrica para a língua natural,

mas acrescentou apenas: “Renan tem 2 reais e 6 centavo (sic), e ele comprou 6 p”.

Podemos notar que o aluno acreditava que o coeficiente de x correspondia ao valor

143

em reais, o coeficiente de y correspondia aos centavos e o termo independente

deveria corresponder ao valor de um produto.

Analisando os resultados desta primeira fase, constatamos que os nossos

sujeitos não reconheciam um sistema linear, não dominavam qualquer técnica de

resolução de sistemas lineares, não sabiam representar um sistema linear no

registro gráfico ou no algébrico, não tinham compreensão das classificações de um

sistema linear e não utilizavam a análise da proporcionalidade dos coeficientes para

avaliar o tipo de sistema dado. Como a nossa proposta, que visava avaliar a

qualidade de um sistema linear pela análise da proporcionalidade dos coeficientes,

contava com certos conhecimentos prévios dos estudantes, houve a necessidade de

um primeiro redesign16, que consistiu em revisar os métodos de resolução, a

representação gráfica de uma reta a partir de uma equação e as classificações de

um sistema, sem, contudo, trabalhar com os pontos previstos no experimento.

Salienta-se que o redesign constitui uma característica da metodologia de Design

Experiment adotada em nossa pesquisa. Nesta fase, optamos por um trabalho

conjunto entre professor-pesquisador e alunos.

Iniciamos as atividades17 do redesign com uma tarefa semelhante a uma

proposta aos sujeitos no Caderno do Aluno. Ela teve por objetivo a construção do

gráfico de uma função de primeiro grau no plano cartesiano, partindo da elaboração

e do preenchimento dos dados obtidos em uma tabela. Incluímos este tipo de tarefa

no redesign pelo fato de observarmos as dificuldades dos estudantes em

construções gráficas.

Apresentamos a seguir a primeira tarefa do redesign:

Figura 31 – Tarefa 1 da Atividade do redesign Fonte: Acervo pessoal

16

Redesign: Adaptação e inserção de novas conjecturas no experimento inicial, em função das

produções apresentadas pelos alunos.

17 As atividades do redesign na estrutura apresentada aos estudantes estão presentes nos Apêndices

H e I.

144

O professor-pesquisador resolveu a tarefa em conjunto com os alunos,

primeiro solicitando para isolarem o y. Nesse momento, ele notou que os alunos

demonstraram dificuldade para isolar y, em virtude do sinal de “menos” que o

antecedia.

Em seguida, o professor-pesquisador elaborou na lousa uma tabela

semelhante à apresentada a seguir:

x y=x+1 y (x,y)

-2 y=-2+1 -1 (-2, -1)

-1 y=-1+1 0 (-1, 0)

0 y=0+1 1 (0, 1)

1 y=1+1 2 (1, 2)

2 y=2+1 3 (2, 3)

3 y=3+1 4 (3, 4)

4 y=4+1 5 (4, 5)

5 y=5+1 6 (5, 6)

Tabela 12 – Tabela elaborada para a construção do gráfico de y=x+1 no plano cartesiano. Fonte: Acervo pessoal.

Com os pares ordenados encontrados, o professor-pesquisador construiu, em

conjunto com os alunos, o gráfico referente à primeira tarefa. Salienta-se que,

durante a construção, o professor-pesquisador solicitava sugestões dos alunos e

observava as possíveis dificuldades.

Dando sequência ao redesign, foi proposta aos sujeitos de pesquisa a

resolução de três sistemas lineares, dos quais o primeiro era um sistema possível e

determinado (item a); o segundo era um sistema possível e indeterminado (b) e o

último um sistema impossível (c).

1) Resolva os sistemas lineares por substituição ou por adição e classificar os

sistemas de acordo com o tipo de solução encontrada.

a)

1

52

yx

yx b)

1062

35217

yx

yx c)

3

233

yx

yx

Figura 32 – Tarefa 2 da Atividade do redesign Fonte: Acervo pessoal

145

A seguir, apresentamos a resolução realizada com a colaboração de todos os

envolvidos na pesquisa, isto é, o professor-pesquisador construiu a resolução de

cada sistema na lousa, sempre ouvindo as sugestões dos sujeitos e intervindo

quando necessário para facilitar a resolução das tarefas propostas.

Figura 33 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal

O método utilizado para a resolução dos sistemas lineares foi o método da

substituição, uma vez que o professor colaborador afirmou que os alunos em geral

demonstravam menos dificuldade em compreender e aplicar este método na

resolução de sistemas.

Para facilitar a aplicação do método escolhido, o professor-pesquisador foi

anotando as etapas na lousa sempre com a colaboração dos sujeitos.

Primeiramente eles foram questionados sobre o que significariam os termos “isolar”

e “incógnita” e de acordo com as respostas sugeridas pelos alunos, foram anotados

sinônimos que dariam sentido aos sujeitos.

146

O professor-pesquisador sugeriu aos estudantes a escolha de uma das

equações que eles julgassem mais simples para isolar uma das incógnitas. Após

analisarem as equações, sugeriram escolher a equação II para efetuar o primeiro

passo, obtendo assim a seguinte equação:


Seguindo o método escolhido para a resolução do sistema, os alunos não

demonstraram dificuldades em substituir a incógnita, isolada no primeiro passo, na

equação I.

O professor-pesquisador observou que os sujeitos apresentavam algumas

dificuldades na resolução de uma equação. A primeira dificuldade apresentada foi

agrupar os termos semelhantes e a seguinte foi permutar os termos entre o primeiro

e o segundo membros da equação. Eles sempre usavam a expressão “troca de lado

tem que trocar o sinal”, com isso, a resolução das equações ocorreria de forma

equivocada. O professor-pesquisador realizou na lousa a resolução da equação,

sempre comentando o princípio do equilíbrio que deve existir entre os membros de

uma equação.

147


Após determinar o valor de y, o professor-pesquisador questionou os alunos a

respeito da etapa necessária para determinar o valor de x.


148

A partir daí, o professor-pesquisador estabeleceu a classificação do sistema

proposto aos sujeitos.

A seguir apresentamos a resolução do item b, que era um sistema linear

possível e indeterminado. Neste item, os sujeitos demonstraram mais confiança na

resolução do sistema. O professor-pesquisador foi anotando tudo o que foi sugerido

pelos sujeitos e interviu somente nos momentos de bloqueio, para favorecer o

encaminhamento da resolução do sistema.

Figura 37 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2b – Redesign Fonte: Acervo pessoal

Os alunos escolheram a equação que passaria pelo primeiro passo,

informando que possuíam números menores e com isso ficaria mais fácil para isolar

uma das incógnitas. Os sujeitos escolheram isolar o x por observarem que essa

incógnita era multiplicada "menos vezes", com isso, seria mais fácil isolá-la.

Seguindo as etapas propostas para a resolução do primeiro sistema,

apresentamos a seguir a sua resolução e classificação:

149



150

Para não interferir na aplicação do experimento, finalizamos a resolução do

sistema anterior e o classificamos em sistema possível e indeterminado, dado que o

professor colaborador relatou que esta é a forma como apresentam a classificação

deste tipo de sistema aos alunos neste nível de ensino. Sempre acolhendo as

sugestões dos sujeitos, apresentamos a seguir a resolução do sistema do item c,

que era um sistema impossível.

Figura 40 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2c – Redesign Fonte: Acervo pessoal

Figura 41 – Resolução elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2c – Redesign Fonte: Acervo pessoal

151

No final da resolução da equação, os sujeitos acharam estranha a resposta

final e manifestaram isso olhando um para o outro com um semblante de dúvida. Um

dos sujeitos acreditava que a resolução estava errada, pois, no final da “conta”, não

poderia aparecer nove igual a dois. O professor-pesquisador disse para a turma que

a resolução estava correta e que durante a realização da segunda parte do redesign

que tratava da representação no registro gráfico, seria discutido o resultado

encontrado com maior profundidade. O professor-pesquisador informou que foi

desta maneira que eles aprenderam no oitavo ano do Ensino Fundamental e

questionou se, na época, eles não acharam um absurdo o resultado encontrado.

Eles disseram que nunca haviam pensado nisso.

Para a representação no registro gráfico dos sistemas lineares apresentados

anteriormente, o professor-pesquisador perguntou aos sujeitos se eles recordavam a

forma de construção do gráfico de uma equação e prosseguiu com a resolução do

seguinte sistema:

Figura 42 – Construção do gráfico elaborado pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a (gráfico) – Redesign Fonte: Acervo pessoal

152

O professor-pesquisador sugeriu aos alunos que separassem cada uma das

equações que formavam o sistema linear e a seguir isolassem a “letrinha” y de cada

uma das equações. Com isso, com a colaboração dos alunos, obtiveram as

seguintes equações:

Figura 43 – Resolução das equações elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a (gráfico) – Redesign Fonte: Acervo pessoal

Como citado anteriormente, alguns alunos ficaram em dúvida em relação à

variável y ser antecedida por um sinal de “menos”, e um dos alunos sugeriu

multiplicar toda a equação por menos um, a fim de alterar o valor da variável.

Dando sequência na resolução da tarefa, o professor-pesquisador solicitou

aos alunos a construção de uma tabela para cada uma das equações encontradas,

atribuindo valores para x que achassem convenientes.

Os alunos demonstraram dificuldades para preencher a primeira tabela, pois

notaram que, para valores pares atribuídos a variável x, os valores encontrados para

y não eram números inteiros. O professor-pesquisador sugeriu aos alunos atribuírem

apenas número ímpares, com isso os resultados encontrados para a variável y

153

seriam números inteiros, facilitando assim a construção gráfica. Com isso, os alunos

conseguiram completar as duas tabelas sem dificuldades.

Figura 44 – Tabelas elaboradas pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a – Redesign Fonte: Acervo pessoal

Em seguida o professor-pesquisador construiu em conjunto com os alunos um

plano cartesiano, localizando os pares ordenados encontrados na primeira tabela.

Com isso, eles construíram a reta relacionada. O mesmo processo foi realizado para

a outra equação, obtendo o seguinte gráfico:

Figura 45 – Representação no registro gráfico no plano cartesiano elaborada pelo professor-pesquisador em conjunto com os alunos – Tarefa 2a (gráfico) – Redesign Fonte: Acervo pessoal

O professor-pesquisador informou aos alunos que o ponto de intersecção

entre as duas retas era a solução do sistema proposto. Ressaltou, ainda, que eles já

154

haviam encontrado esta solução no processo algébrico. Nesse ponto observamos a

dificuldade dos alunos em relacionar um mesmo sistema linear representado num

primeiro momento no registro algébrico e a seguir no registro gráfico. Salienta-se

que dificuldades deste tipo também foram observadas por Freitas (1999).

Neste momento, não foram apresentadas aos alunos as representações

gráficas de sistemas possível e indeterminado e impossível. A ausência dessas

representações foi devida à preocupação de não fornecer dados que pudessem

interferir na aplicação do experimento elaborado.

A seguir, apresentamos a descrição da Fase 2 do Design, representada pelas

atividades do experimento nos ambientes papel e lápis e Winplot.

6.2 DESCRIÇÃO DA FASE 2

No início de nossa pesquisa, contávamos com seis alunos, os quais

participaram do questionário preliminar. Na fase 2 tínhamos por objetivo formar três

duplas para a aplicação do experimento, mas por motivos particulares, dois sujeitos

deixaram de participar dos encontros. Com isso, nesta seção, apresentamos

somente a análise referente à produção de duas duplas, e para facilitar a leitura,

estas foram classificadas como Dupla 1 e Dupla 2. A Dupla 1 era formada pelos

alunos A e B, e a Dupla 2 pelos alunos C e D, alunos que apresentamos

anteriormente quando da exposição do questionário inicial.

Antes da aplicação do experimento, foi realizada uma familiarização ao

software Winplot. Para isso, o professor-pesquisador utilizou um projetor multimídia

em conjunto com um notebook para um melhor acompanhamento dos alunos na

utilização do software. Cada aluno ficou em um computador, com os softwares

Winplot e Camtasia Studio18 instalados.

Foi entregue aos alunos um roteiro por nós elaborado, contendo os comandos

necessários para a utilização do software Winplot durante o desenvolvimento do

experimento. Esse roteiro é apresentado no apêndice A, intitulado Familiarização do

Software Winplot.

No início os alunos demonstraram certo nervosismo pelo fato de utilizarem

pela primeira vez uma ferramenta computacional que tinha por objetivo auxiliá-los na

18

Fonte: http://www.superdownloads.com.br/download/130/camtasia-studio/

http://www.superdownloads.com.br/download/130/camtasia-studio/

155

construção de gráficos no plano cartesiano. O professor-pesquisador foi

apresentando os comandos do software pausadamente, sugerindo aos alunos que

construíssem duas retas concorrentes conforme indicação do roteiro. Ainda, apontou

a possibilidade de alteração de algumas configurações que eram apresentadas pelo

software, como por exemplo, a espessura de cada uma das retas e sua cor.

Ao final da familiarização os alunos demonstraram satisfação com a

conclusão do roteiro e questionaram o professor-pesquisador se poderiam “treinar

mais no computador”. Foram sugeridos mais alguns exemplos de equações para

que os alunos construíssem os respectivos gráficos com o auxílio do software. Nesta

fase, os alunos apresentaram mais confiança, necessitando de menos tempo para

concluir as tarefas. Com isso ressaltamos que neste momento o computador foi um

instrumento motivador, fato que converge com a visão de Fonseca e Júnior (2011),

quando defendem que as novas tecnologias em sala de aula despertam o interesse

dos estudantes.

Após esta etapa de familiarização, foram entregues para cada dupla, fichas

contendo cada uma das atividades que constituíam o experimento. Os arquivos que

os alunos utilizariam experimentalmente no software Winplot já estavam instalados

nos computadores, em uma pasta que o professor-pesquisador indicou para as

duplas. A seguir, apresenta-se a análise das trajetórias dos estudantes durante a

execução do experimento.

6.2.1 Análise do caso SPI – Atividades 1 e 2

A Tarefa 1 da Atividade 1 teve por objetivo que os estudantes observassem,

experimentalmente no software Winplot, que um sistema de duas equações e duas

incógnitas com equações iguais resulta graficamente em duas retas coincidentes.

Para a resolução desta tarefa, era necessário estabelecer relações entre os registros

simbólico-algébrico e gráfico. Apresentaremos a seguir a primeira tarefa,

acompanhada dos procedimentos necessários para a realização experimental no

software Winplot.

156

Figura 46 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design. Fonte: Acervo pessoal

Os alunos abriram o arquivo 1, encontrando a seguinte tela:

Figura 47 – Atividade 1 – Tarefa 1 do Design no software Winplot. Fonte: Acervo pessoal

157

Seguindo as orientações apresentadas na Tarefa 1, os alunos deveriam

encontrar a seguinte tela que apresenta a resposta para a primeira questão proposta

nesta atividade.


Com o auxílio do software, os alunos poderiam concluir que, para a primeira

questão da Tarefa 1, o valor de “a” deveria ser igual a três para que as retas

ficassem coincidentes.

Os alunos já estavam familiarizados com os comandos do software Winplot e,

com isso, eles não solicitaram em qualquer momento a ajuda do professor-

pesquisador para a utilização dessa ferramenta.

Apresentaremos a seguir a primeira tarefa realizada pelas Duplas 1 e 2,

respectivamente:

158

Figura 49 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal


159

Observamos que os alunos da dupla 2 apresentaram dificuldades para

responder à primeira tarefa. Eles não entendiam o significado dos parâmetros

apresentados nos sistemas lineares que formavam a primeira tarefa e, com isso,

demonstraram dificuldades em justificar suas respostas. Como foi verificado por

Freitas (1999), os alunos geralmente não compreendem o significado de um

parâmetro inserido em um sistema linear, possivelmente por não terem uma relação

maior com esse tipo de abordagem. Como haveria outros contatos com este tipo de

sistema, o professor-pesquisador optou por não interferir naquele momento.

Na tarefa 2, pretendia-se observar se o estudante estabeleceria a

representação gráfica do sistema linear proposto no ambiente papel e lápis, e se

justificaria o resultado gráfico encontrado. A seguir apresentamos a Tarefa 2:

Figura 51 – Atividade 1 – Tarefa 2 do Design


Mesmo após realizarmos a revisão apresentada anteriormente, pudemos

notar que os alunos apresentavam insegurança para construir a representação

gráfica do sistema linear proposto no papel e lápis. Com isso, eles perguntaram se

poderiam realizar essa primeira atividade pelo Winplot. Compreendendo a

insegurança dos alunos, o professor-pesquisador permitiu que os alunos

começassem pelo Winplot.

Com base na teoria de Duval (2003), é provável que essa insegurança com o

registro gráfico tenha ocorrido pelo fato de o ensino de Matemática privilegiar os

registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais.

Com o auxílio da ferramenta computacional, as duplas realizaram a Tarefa 2.

A seguir apresentamos a produção da Dupla 2:

160

Figura 52 – Produção apresentada pela Dupla 2 - Atividade 1 – Tarefa 2 do Design Fonte: Acervo pessoal

Podemos notar que, para a construção do sistema linear proposto com o

auxílio do software Winplot, os alunos não apresentaram dificuldades. Segundo

Pereira (2011) e Borba e Penteado (2005), as novas tecnologias estão cada vez

mais presentes no cotidiano do aluno e, provavelmente por este fato, observamos

grande facilidade no uso do software Winplot durante o experimento. Apesar disso,

para a construção do mesmo gráfico no ambiente papel e lápis, eles não tinham

ideia de que estratégia usar para esta construção. Apresentamos, a seguir, as

produções das duplas 1 e 2, respectivamente:

161

Figura 53– Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefa 2. Fonte: Acervo pessoal


162

Podemos observar que a Dupla 1 transpôs o resultado obtido no Winplot, mas

construiu a representação no registro gráfico com equívoco no valor da intersecção

entre a reta e o eixo y. Ao ser questionada pelo professor-pesquisador, ela justificou

a sua construção informando que “As 2 retas obtidas são coincidentes pois as 2

equações são iguais”.

Nota-se que, como os alunos da Dupla 2 já sabiam o resultado gráfico pelo

Winplot, eles apresentaram uma construção gráfica coerente, porém, pôde-se notar

vários problemas de tratamentos na resolução algébrica apresentada. Ainda, pela

justificativa apresentada por estes alunos, detectamos dificuldades quanto à

classificação de um sistema linear. Os alunos apresentaram a seguinte justificativa:

“Achando a solução x e y, você terá uma equação possível e determinada.” Pelo fato

de ser possível construir a reta, os alunos acreditavam que o sistema proposto era

possível e determinado, enquanto que o correto seria classificá-lo como sistema

linear possível e indeterminado.

Nas tarefas 3 e 4, esperávamos que os estudantes observassem a existência

de várias respostas comuns às duas equações, relacionando esse fato com a

classificação "Sistema Possível e Indeterminado". A seguir, apresentamos as tarefas

3 e 4:

Figura 55 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4 do Design Fonte: Acervo pessoal

163

Novamente notamos que os alunos apresentaram dificuldades para classificar

um sistema linear e observamos, também, a dificuldade apresentada pelos alunos

na resolução de uma equação do primeiro grau.

A Dupla 1 apresentou dificuldades nos cálculos quando os coeficientes de x e

y eram números negativos, completando de forma incorreta a tabela quando

inseriram tais números. Apesar disso, nota-se que essa dupla, mesmo com algumas

dificuldades em justificar sua compreensão na representação da língua natural,

conseguiu realizar a classificação do sistema linear proposto.

A Dupla 2 completou grande parte da tabela de forma incorreta, acertando

apenas dois pares ordenados que satisfaziam as duas equações. Nesta tarefa, a

dupla classificou incorretamente o sistema linear proposto como sendo um sistema

possível e determinado. A seguir, apresentamos as produções das Duplas 1 e 2,

respectivamente:

Figura 56 – Produção da Dupla 1 – Atividade 1 – Tarefas 3 e 4. Fonte: Acervo pessoal

164


Notamos, então, que deficiências em cálculos e em equações afetaram a

resolução dessa tarefa.

A Atividade 2 teve por objetivo geral explorar as condições algébricas

necessárias para que duas retas sejam coincidentes, por meio da comparação entre

representações dos registros simbólico-algébrico e gráfico dos sistemas lineares

165

propostos. Esperávamos que os estudantes relacionassem os coeficientes e os

termos independentes de um sistema de duas equações e duas incógnitas,

verificando experimentalmente, com o auxílio do software Winplot, que para obter

retas coincidentes é necessário existir uma proporcionalidade entre os coeficientes e

os termos independentes das equações que formam o sistema linear.

Aguardávamos, ainda, que os estudantes relacionassem a representação gráfica de

duas retas coincidentes com a obtenção de infinitas soluções e que classificassem

estes casos como sistemas possíveis e indeterminados.

Na tarefa 1 os alunos observaram um sistema com duas equações e duas

incógnitas, no qual os coeficientes das incógnitas x e y eram iguais entre as duas

equações, e o termo independente de uma das equações era o parâmetro “a”.

Apresentamos, a seguir, a atividade proposta aos alunos utilizando o software

Winplot.


Após analisarem a situação com o auxílio do software, esperava-se que os

alunos verificassem que a proporção existente entre os coeficientes de x e de y das

equações também deveria existir entre os termos independentes para que as retas

se tornassem coincidentes. Com isso os alunos poderiam conjecturar que o mesmo

deveria ocorrer na segunda parte da Tarefa 1, onde foi apresentado um novo

166

sistema de equações com as mesmas características do primeiro sistema.

Apresentamos a seguir a primeira tarefa da Atividade 2:

Figura 59 – Atividade 2 – Tarefa 1 do Design Fonte: Acervo pessoal

Novamente observamos que os alunos apresentaram dificuldades para

compreender o significado do parâmetro existente no segundo sistema linear

proposto nesta atividade, e desta vez, apresentaram dificuldades na utilização do

167

software Winplot. Apresentamos a seguir as produções das duplas que colaboraram

com o nosso experimento.


168


A Dupla 1 resolveu de forma correta a primeira parte da Tarefa 1, mas para o

segundo sistema linear proposto nessa tarefa, a dupla registrou que o valor do

parâmetro “b ” deveria ser igual a trinta e logo em seguida, afirmou que as duas

respostas encontradas, no papel e lápis e no Winplot, eram iguais. Pela análise da

169

tela capturada pelo software Camtásia, foi possível observar que os alunos haviam

realizado de forma correta a tarefa com o Winplot, encontrando o valor quarenta e

cinco para o parâmetro “b”, e que o erro ocorreu no momento de registrar o valor na

ficha de atividades. Conjecturamos que a Dupla 1 possa ter estabelecido uma

proporcionalidade entre os coeficientes, pois não havia qualquer registro dos

cálculos realizados por essa dupla por se tratar de uma valor fácil de ser

determinado mentalmente.

A Dupla 2, não conseguindo relacionar o segundo sistema linear proposto na

segunda parte da tarefa, tentou resolver o sistema utilizando o software Winplot,

mas para fazer essa atividade neste ambiente, os alunos inseriram a equação

byx 1215 e, com isso, encontraram a seguinte representação gráfica:

Figura 62 – Produção da Dupla 2 – Atividade 2 – Tarefa 1 Fonte: Acervo pessoal

Notamos que os alunos não observaram a proporcionalidade existente entre

as equações que formavam o sistema linear apresentado, e não demonstraram

iniciativa em construir o gráfico da segunda equação com o software no mesmo

plano cartesiano. Diante disso, após inserirem a primeira equação no software

Winplot, encontraram uma tela semelhante à tela apresentada na figura 79,

concluindo que o valor de “b” deveria ser igual à zero.

170

Se tivessem realizado esse processo corretamente, encontrariam a seguinte

representação gráfica.

Figura 63 – Exemplo de uma tela do software Winplot - Atividade 2 – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal

Era esperado que, após a realização da construção do sistema proposto no

Winplot, os alunos verificassem que o valor do parâmetro “b” não poderia ser igual à

zero para obter duas retas coincidentes. Além de os alunos terem apresentado

dificuldade em compreender o significado de um parâmetro em um sistema linear,

dificuldade também encontrada na pesquisa de Freitas (1999), eles tentaram

resolver o sistema linear anterior no ambiente papel e lápis. Na ocasião, pudemos

identificar outras dificuldades dos alunos na resolução de equações, conforme pode

ser observado a seguir.


171

Notamos que na primeira equação à esquerda, a Dupla 2 tentou isolar a

incógnita y, mas acabou cometendo um equívoco na quinta linha, quando a incógnita

x desapareceu da equação. Com isso, determinaram que o valor da incógnita y

deveria ser igual a quatro. Ressalta-se que eles não tentaram encontrar um valor

para a incógnita x, terminando assim os seus cálculos. Para a equação à direita,

como havia um parâmetro, a dupla não continuou o desenvolvimento de sua

resolução.

A Tarefa 2 era semelhante à primeira. Nela, os alunos avaliariam um sistema

de equações com coeficientes de x e de y diferentes. Embora os alunos

apresentassem dificuldades na resolução da primeira tarefa, a segunda foi realizada

com mais facilidade, como se observa nas produções das Duplas 1 e 2,

respectivamente, apresentadas a seguir:


172


A Dupla 1, além de responder de forma correta a Tarefa 2, apresentou

avanços na justificativa em língua natural. Tal fato apontou que os estudantes dessa

dupla passaram a relacionar registros monofuncionais e multifuncionais, o que

segundo Duval (2003), permite uma compreensão mais efetiva do objeto

matemático. A dupla observou que os coeficientes e o termo independentes da

primeira equação, multiplicados por três, resultavam nos coeficientes e no termo

independente da segunda equação. Apesar de apresentar corretamente os valores

solicitados, a Dupla 2 justificou de maneira muito vaga, não apresentando uma

análise das relações existentes entre os coeficientes e os termos independentes das

duas equações.

173

Nas tarefas 3 e 4, foram apresentados sistemas com duas equações e duas

incógnitas, em que o parâmetro "a" era o coeficiente da incógnita x ou de y. Com

amparo do software, esperávamos que os alunos observassem a necessidade de

proporcionalidade entre os coeficientes para obter no registro gráfico duas retas

coincidentes. Observamos que os alunos encontraram os valores esperados,

conforme ilustrado a seguir pela produção das Duplas 1 e 2, respectivamente:


174


Na resolução da Tarefa 5, as duplas deveriam determinar no ambiente papel

e lápis, a representação no registro gráfico de um sistema linear apresentado no

registro simbólico-algébrico. A seguir, apresentamos a Tarefa 5 da Atividade 2:


Na sequência, apresentamos as produções das Duplas 1 e 2,

respectivamente.

175



Notamos que a Dupla 1 não usou um método algébrico de resolução de

sistemas. Ela atribuiu valores a uma das incógnitas para determinar o valor da outra

176

incógnita e com isso encontrar os pares ordenados para a construção do gráfico

solicitado. Ouvindo áudio-gravação, a dupla disse que “dava” o mesmo resultado

nas duas equações quando eram atribuídos os mesmos valores nas incógnitas x ou

y e, com isso, concluíram que era “a mesma reta”.

Apesar de a construção da Dupla 2 envolver imprecisões, ou seja, da reta não

interceptar os eixos exatamente nos pontos de ordenada e abscissas iguais a três,

notamos que a construção do gráfico satisfez o sistema linear proposto. Novamente

observamos a dificuldade dos alunos na realização de tratamentos inerentes à

resolução de um sistema de equações. Notamos que eles tentaram encontrar uma

única solução para o sistema, embora ele fosse indeterminado. Os alunos

realizaram tentativas para encontrar valores para as incógnitas x e y, e novamente

efetuaram os seus cálculos de forma incorreta, como apresentamos a seguir:


177

Observamos que a Dupla 2 apresentou corretamente a representação gráfica,

mesmo cometendo erros no processo algébrico. Isso ocorreu porque a dupla iniciou

a atividade pelo Winplot, mesmo o enunciado da tarefa solicitando aos alunos que

iniciassem sem a utilização do software. Quando questionados pelo professor-

pesquisador sobre o motivo de não terem seguido as orientações apresentadas na

tarefa, um dos alunos dessa dupla disse que acreditava não ter problema começar a

tarefa pelo Winplot. O professor-pesquisador orientou a dupla para que na

continuidade das tarefas seguisse as orientações propostas e, em caso de dúvida ou

bloqueio, solicitasse algum tipo de orientação para o professor-pesquisador.

Esse tipo de equívoco na resolução de equações já havia ocorrido nas tarefas

anteriores. Salienta-se que essas dificuldades foram amenizadas nas atividades

posteriores e esses avanços serão apresentados no momento da exposição da

análise da atividade adicional.

Na Tarefa 6, solicitamos aos alunos que resolvessem um sistema linear

apresentado no registro simbólico-algébrico, aplicando o método que achassem

mais conveniente. Apresentamos a seguir a Tarefa 6 do experimento:


A Dupla 1 realizou a tarefa construindo uma tabela e o registro gráfico do

sistema proposto. Apesar de não haver proporcionalidade na marcação dos pontos

nos eixos orientados para a construção do gráfico, esta dupla apresentou avanços

na justificativa escrita e na classificação de um sistema que possui infinitas soluções.

Pode-se notar que na tabela presente na Figura 91 há dois valores incorretos para y

quando foram atribuídos para x os valores menos um e zero. Conjecturamos que

esse erro possa ter ocorrido pelo fato de os coeficientes da incógnita y serem

negativos nas duas equações, o que dificultou a realização dos cálculos pelos

alunos. Segundo a áudio-gravação, os alunos atribuíram os valores nas duas

equações e cometeram os mesmos erros em ambas. Apesar disso, considerando os

178

valores dos pares ordenados encontrados na tabela, observamos que os alunos

apresentaram avanços para a construção de um gráfico.

Novamente, ficaram evidentes as dificuldades da Dupla 2 para realizar

tratamentos no registro algébrico. Essa dupla também apresentou problemas em

justificar que um sistema possível e indeterminado teria como representação gráfica

duas retas coincidentes, e que esse tipo de sistema teria infinitas soluções.

Apresentamos a seguir as produções das Duplas 1 e 2, respectivamente:


179


180

Após a realização das tarefas anteriores, foi proposta aos alunos a

determinação do valor do parâmetro “a” presente em todos os sistemas lineares

apresentados no registro simbólico-algébrico, de modo que obtivessem sistemas

lineares possíveis e indeterminados. Essa tarefa foi realizada somente no ambiente

papel e lápis. Apresentamos as produções das Duplas 1 e 2, na sequência:


181


A Dupla 1 acertou os itens b, c, e, f e h, enquanto a Dupla 2 acertou apenas

os itens c e e. Essa dificuldade em determinar o valor de um parâmetro num sistema

linear também foi constatada por Freitas (1999). Segundo essa pesquisadora, esse

tipo de dificuldades pode estar relacionada com a reduzida exploração de tarefas

envolvendo parâmetros. Ambas as duplas também apresentaram dificuldades para

expressar no registro da língua natural as suas conclusões, principalmente a Dupla

2.

A Tarefa 8 envolvia a generalização da questão de proporcionalidade para o

caso de um sistema linear possível e indeterminado do tipo

feydx

cbyax (com a, b, c,

182

d, e e f não nulos). Diante dos resultados anteriores, não se esperava que os alunos

observassem que a condição para esse tipo de classificação era f

c

e

b

d

a .

A Dupla 1 não apresentou essa generalização, apenas determinou um

sistema que julgava ser suficiente como resposta. Notamos que o sistema

apresentado não condizia com o solicitado, uma vez que não foi construído

respeitando a questão de proporcionalidade.


Os alunos da Dupla 2 não apresentaram essa generalização, mas se

utilizaram dos resultados corretos obtidos na tarefa anterior, fornecendo a seguinte

produção.


183

Tal fato aponta que estes estudantes parecem ter uma noção inicial da

relação entre sistemas possíveis e indeterminados e equações proporcionais, mas

não uma compreensão suficiente para a análise de qualquer sistema deste tipo. O

professor-pesquisador questionou os alunos da Dupla 2 sobre a escolha desses

casos e eles justificaram que fizeram mentalmente as contas e por isso achavam

que aquela escolha seria correta.

Para a realização da Tarefa 9, os estudantes contaram com o auxílio do

software Winplot. Partindo do sistema

033 yx

ayx, esperava-se que os alunos

observassem que, caso houvesse proporcionalidade entre os coeficientes de x e de

y, quando o termo independente de uma das equações fosse nulo, seria necessário

que o valor do termo independente da outra equação também fosse nulo para obter

duas retas coincidentes.


As duas duplas relataram, sem dificuldades, que "a" valeria zero. Os alunos

estavam familiarizados com o software e, com isso, conseguiram resolver a maioria

das tarefas propostas neste ambiente.

Apesar de notarmos pequenos avanços, principalmente com relação à Dupla

1, também constatamos que as tarefas propostas não foram suficientes para atingir

plenamente o nosso objetivo. Em consonância com a metodologia adotada,

realizamos um redesign, com o intuito de fornecer novos elementos para favorecer a

construção de reflexões a respeito da existência da proporcionalidade neste tipo de

sistema.

184

Apresentamos a seguir, as reformulações realizadas visando atingir os

objetivos propostos.

6.2.1.1 Redesign do caso SPI – Primeira atividade adicional

Após a análise das produções dos alunos, descritas na seção anterior,

notamos a necessidade de realizar algumas reformulações nas atividades do nosso

experimento referentes ao caso SPI. Salienta-se que o redesign constitui uma

característica da metodologia de Design Experiment. Esse redesign está presente

no apêndice J.

Na Atividade 1, a Tarefa 1 foi dividida em dois itens e acrescentamos entre

eles o sistema linear

3

3

yx

yx , acompanhado por uma tabela, que apresentamos a

seguir:

Figura 81 – Atividade 1 – Tarefa 1 do redesign. Fonte: Acervo pessoal

Os alunos deveriam relacionar o novo sistema com o sistema apresentado no

início da tarefa, caracterizando sua representação no registro gráfico e identificando

sua classificação.

A tabela inserida nesse item tinha como objetivo colaborar para a visualização

da relação existente entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os

valores dos coeficientes da segunda equação. Utilizamos essa mesma estratégia

nas tarefas 1, 2, 3 e 4 da Atividade 2.

Com a reformulação realizada, notamos que os alunos começaram a

relacionar a proporcionalidade entre os coeficientes e termos independentes que

formavam os sistemas lineares apresentados na primeira tarefa da Atividade 1, que

tratava de sistemas possíveis e indeterminados.

185

A seguir apresentamos as produções das duplas 1 e 2, respectivamente:


186


187

Comparando as produções das Duplas 1 e 2 apresentadas nesta fase com as

produções anteriores da mesma atividade, notamos que houve uma melhor

compreensão tanto na análise dos coeficientes e dos termos independentes que

compunham os sistemas como também na maneira de expressar as suas respostas

no registro da língua natural. Notamos que os alunos, com o auxílio do software,

estabeleceram sem dificuldade relações entre representações do registro simbólico-

algébrico com representações do registro gráfico.

Na Tarefa 2, a Dupla 1 realizou a conversão do sistema linear proposto no

registro simbólico-algébrico para o registro gráfico. Por esta produção, foi possível

observar que a dupla notou que um sistema com duas equações iguais gera retas

coincidentes. Apresentamos a seguir a produção dessa dupla.


Apesar de os alunos da Dupla 2 não terem apresentado a justificativa escrita

referente à construção do gráfico, é notado que, com o auxílio do Winplot, a

conversão do registro algébrico para o registro gráfico do sistema linear proposto foi

realizada de maneira satisfatória.

188


Nas tarefas 3 e 4, esperávamos que os estudantes relacionassem a

classificação de um sistema linear como possível e indeterminado, quando as duas

equações do sistema fossem iguais.

As duplas 1 e 2 realizaram a Tarefa 3 de forma satisfatória. Ao contrário da

Dupla 2, a Dupla 1 completou toda tabela sem repetir valores. Com isso, a Dupla 1

apresentou na Tarefa 4 uma justificativa mais coerente para classificar o sistema

como possível e indeterminado. Salienta-se que na tarefa equivalente antes do

redesign, essa dupla já havia apresentado uma compreensão satisfatória em relação

a esse questionamento.

Já a Dupla 2 encontrou seis pares ordenados distintos, com certa dificuldade

em atribuir valores à tabela, e associou a esse número a quantidade de soluções do

sistema.

A seguir, apresentamos as produções das duplas 1 e 2, respectivamente:

189



190

Após a análise da produção da Dupla 2 referente às tarefas 3 e 4, o

professor-pesquisador a questionou sobre o motivo da repetição dos valores para

completar a tabela e porque informaram que o sistema proposto possuía seis

soluções. A dupla informou que acreditava que deveria utilizar os valores já inseridos

na tabela. A seguir o professor-pesquisador questionou essa dupla a respeito do que

aconteceria se fossem atribuídos outros valores na tabela, e eles responderam que

iriam encontrar valores diferentes. Dando sequência ao questionamento, o

professor-pesquisador perguntou o que aconteceria se eles atribuíssem infinitos

valores na tabela, e prontamente os alunos responderam que iriam encontrar

infinitos valores. Quando questionada em relação à representação gráfica do

sistema linear proposto na tarefa, a dupla respondeu que seria representada por

duas retas iguais, pois, as equações eram iguais. Com isso o professor-pesquisador

pôde observar avanços dessa dupla em relação a esse tipo de questionamento.

Na Atividade 2 conjecturamos que ambas as duplas começaram a observar a

existência de proporcionalidade entre os valores dos coeficientes da primeira

equação com os valores dos coeficientes da segunda equação, como podemos

observar nas suas produções apresentadas a seguir.

Figura 88 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 1a. Fonte: Acervo pessoal

Apesar disso, a concepção construída pelas duplas para esse tipo de análise

não se mostrava estável em todas as situações nas quais elas eram colocadas a

avaliar sistemas possíveis e indeterminados.

A Dupla 1 realizou a Tarefa 1b de forma satisfatória, determinando o valor do

parâmetro “b” e registrando que “Observamos mesmo com coeficientes diferentes as

191

retas tem resultados iguais.” Já a Dupla 2 não apresentou qualquer registro

relacionado ao cálculo realizado para encontrar o valor do parâmetro “b” que estava

incorreto e apresentou a seguinte observação: “Que essa equação foi a que mais

chegou perto do valor “b” que é o 55. Mais (sic) o valor de “b” no winplot deu 45,

diferente do nosso resultado”.

Na Tarefa 2, as duplas responderam as questões propostas de forma

coerente e conjecturamos que a Dupla 1 notou a proporcionalidade entre as

equações que formavam o sistema desta tarefa. Já a Dupla 2 começou a apresentar

evoluções na análise, mas esta ainda não estava focada na questão da

proporcionalidade. Podemos observar isso nas produções apresentamos a seguir.

Figura 89 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2a. Fonte: Acervo pessoal

Figura 90 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 2b. Fonte: Acervo pessoal

Na Tarefa 3, as duplas novamente apresentaram dificuldades no registro das

relações existentes entre os coeficientes na língua natural escrita. Nessa tarefa, a

Dupla 1 realizou a análise da proporcionalidade existente entre os coeficientes de x

e de y em cada uma das equações, apresentando a seguinte relação entre os

coeficientes:

192


A Dupla 2 relatou “Que todos estão na taboada (sic) do 2”. Pode-se notar que

essa dupla sempre relaciona a proporcionalidade entre os coeficientes com alguma

tabuada. Pudemos notar avanços das duas duplas, observando que, assim como

nas tarefas anteriores, durante a realização da Tarefa 4, os alunos notaram a

existência de uma relação de proporcionalidade entre os coeficientes dos sistemas

dessa tarefa, mas não a explicitaram na forma de igualdade entre quocientes. A

Dupla 1 apresentou a seguinte produção: “os coeficientes e o termo independente

da 2ª equação são quádruplo do dos coeficientes e do termo independente da 1ª

equação”. A Dupla 2 mais uma vez, realizou a associou a relação existente entre os

coeficientes novamente com uma tabuada, apresentando a seguinte resposta: “

Todas são multiplicado por 4”.

Na Tarefa 5, as duplas realizaram a conversão do sistema linear proposto no

registro simbólico-algébrico para o registro gráfico de forma satisfatória, mas não

apresentaram nenhum cálculo. Ao serem questionadas pelo professor-pesquisador,

as duas duplas responderam que construíram primeiro no Winplot e em seguida

copiaram na ficha de respostas. A seguir a resposta das observações das duplas 1 e

2, respectivamente:

Figura 92 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) – Atividade 2 – Tarefa 5. Fonte: Acervo pessoal

Notamos a preferência dos estudantes no uso do Winplot para a construção

gráfica de sistemas.

Na Tarefa 6, a Dupla 1 realizou a construção do gráfico apresentando alguns

cálculos. Quando questionada pelo professor-pesquisador, ela respondeu que

193

atribuiu mentalmente dois valores para a incógnita x, encontrando os valores

correspondentes para a incógnita y. Esses cálculos foram realizados mentalmente

nas duas equações, com isso a dupla concluiu que as retas deveriam ser

coincidentes.


A Dupla 1 afirmou que a representação gráfica de um sistema linear com

duas equações e duas incógnitas, classificado como sistema possível e

indeterminado será “uma reta”.

Apesar da revisão realizada pelo professor-pesquisador, a Dupla 2 ainda

apresentou dificuldades em efetuar tratamentos no registro algébrico na resolução

do sistema linear proposto, como apresentamos a seguir:


194

A Dupla 2 anotou que um sistema possível e indeterminado, tem “nem uma”

solução. Ao ser questionada sobre isso, a dupla respondeu ter compreendido os

cálculos realizados, por isso apresentaram essa resposta. Constatando a dificuldade

dos alunos, o professor-pesquisador atribuiu, em conjunto com a dupla, valores para

a incógnita x nas duas equações dessa atividade, encontrando os valores

correspondentes para a incógnita y. Os alunos observaram que os pares ordenados

encontrados eram os mesmos para as duas equações e, com isso, notaram que as

retas possuíam os mesmo pontos. A seguir, o professor-pesquisador questionou a

dupla a respeito da quantidade de soluções encontrada, ao que responderam que

foram muitas. Quando o professor-pesquisador perguntou o que aconteceria se

fossem atribuídos infinitos valores para a incógnita x, os alunos responderam que

teriam infinitos valores para a incógnita y.

Apresentando a ficha com a Tarefa 6 para a dupla, o professor-pesquisador

questionou como seria a representação gráfica de um sistema classificado como

sistema possível e indeterminado. A dupla respondeu “duas retas iguais”. Em

seguida a dupla foi questionada quanto ao número de soluções e, diante desse

questionamento, responderam que encontrariam “muitas, infinitas”. Após essa

intervenção do professor-pesquisador, conjecturamos que os alunos

compreenderam melhor a relação existente entre a representação gráfica de um

sistema linear possível e indeterminado de duas equações e duas incógnitas com o

número de soluções existentes.

Na Tarefa 7, as duplas deveriam determinar o valor do parâmetro “a” para que

os sistemas propostos admitissem infinitas soluções, conforme apresentado a

seguir.

Figura 95 – Atividade 2 – Tarefa 7 Fonte: Acervo pessoal

195

A Dupla 1 acertou cinco itens, sendo eles: b, c, e, f e g. Conjecturamos que a

Dupla 1 tenha compreendido a relação existente entre o registro gráfico com o

registro simbólico-algébrico, conforme a resposta apresentada na segunda parte da

Tarefa 7 : “Uma reta unica (sic) porque todos são sistemas possiveis (sic)

indeterminados com varios (sic) valores para x e y mas sempre com o mesmo valor

de x e y entre elas”. A Dupla 2, respondeu de forma correta quatro itens, sendo os

itens b, c, d e e, mostrando avanços em relação à produção anterior ao redesign.

Pudemos notar que esta dupla só resolveu os casos em que os valores de a eram

inteiros e positivos, facilitando a sua determinação por cálculo mental. Na segunda

parte desta tarefa, pudemos observar que a Dupla 2 ainda apresentou dificuldade

em relacionar um sistema linear no registro simbólico-algébrico com a sua

correspondente representação no registro gráfico, informando que o gráfico dos

sistemas apresentados na Tarefa 7 seria: “Todo número divindo (sic) por 2 ou 3 será

o valor de “a” ”.

Na Tarefa 8, pudemos observar que a Dupla 1 não conseguiu generalizar no

registro algébrico as condições necessárias para que o gráfico de um sistema

possível e indeterminado seja representado por duas retas coincidentes, mas

apresentaram no registro da língua natural, de uma forma um pouco confusa, as

condições que consideravam necessárias para esse tipo de sistema: “Os valores de

x e y tem que ser iguais em ambas as equações e tem que ser semelhantes de

alguma forma”. A Dupla 2 também não apresentou uma generalização para que um

sistema possível e indeterminado tenha no registro gráfico retas coincidentes, mas

apresentou como resposta o seguinte caso particular: “

1266

633

yx

yx”, diferente de

todos os trabalhados no experimento. Quando a dupla foi questionada pelo

professor-pesquisador sobre essa resposta, os alunos responderam: “os números

estão na tabuada do dois”. Assim, conjecturamos que essa dupla observou um caso

particular de relação entre os coeficientes e os termos independentes de duas

equações que formam um sistema linear possível e indeterminado.

Apesar dos avanços apresentados pelas duplas, notamos que elas ainda

apresentavam compreensões limitadas e instáveis. Ora suas produções pareciam

revelar domínio na relação da proporcionalidade, ora demonstravam dúvidas nesta

compreensão. Com isso, realizamos mais um redesign para o caso SPI, com o

objetivo de fornecer aos sujeitos um ambiente favorável para que observassem a

196

questão da proporcionalidade existente em todos os sistemas possíveis e

indeterminados, independente do valor da proporção. Apresentamos, a seguir, essa

reformulação.

6.2.1.2 Redesign do caso SPI - Segunda atividade adicional

O objetivo da Segunda Atividade Adicional, presente no apêndice K, foi

propiciar aos alunos situações de comparação entre vários sistemas do tipo possível

e indeterminado, para que eles investigassem o aspecto comum entre eles, ou seja,

a proporcionalidade dos coeficientes, independente do valor existente de proporção.

Essa Atividade Adicional foi constituída por cinco tarefas. As três primeiras

apresentavam sistemas lineares com o parâmetro “a” no termo independente de

uma das equações que formava o sistema proposto, como por exemplo, o sistema

linear

ayx

yx

52

8104, que foi apresentado na primeira tarefa. As duplas utilizaram o

software Winplot para determinar o valor do parâmetro “a” e, em seguida,

identificaram os valores dos coeficientes e dos termos independentes em uma

tabela, semelhante à apresentada a seguir:

Figura 96 – Atividade Adicional – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal

Quando as duplas foram questionadas a respeito da existência de alguma

relação entre os valores dos coeficientes de x, dos coeficientes de y e dos termos

independentes das duas equações, elas forneceram as seguintes produções.

197

Figura 97 – Produções das duplas 1 e 2 (respectivamente) na Atividade Adicional – Tarefa 1. Fonte: Acervo pessoal

A Tarefa 2 era semelhante à primeira tarefa. Nela foi apresentado aos alunos

um sistema linear acompanhado de uma tabela para ser preenchida da mesma

forma que a tarefa anterior, porém, ela também sugeriu aos alunos que

examinassem se a relação encontrada na Tarefa 1 também seria válida para a

Tarefa 2. A Dupla 1 apresentou a seguinte resposta: “Sim, o método da divisão

funciona nesse caso também porém os resultados das divisões devem ser sempre 5

para as retas serem coincidentes”. Com isso, pode-se notar que essa dupla

observou a relação existente entre as equações nessa tarefa em particular, quando

afirmou que a proporcionalidade deveria ser igual a cinco. A dupla 2 já apresentou

uma justificativa generalizada: “Sempre que dividir os termos coeficientes x e y e o

termo independentes (sic) serão iguais e as retas coincidentes.” Tal fato parece

indicar que essa dupla observou a questão da proporcionalidade independente do

valor da proporção.

Na Tarefa 3, semelhante às tarefas anteriores, as duplas deveriam investigar

se a relação encontrada anteriormente também funcionaria na Tarefa 3. A Dupla 1

respondeu: “Sim funciona, que é o método da divisão onde se divide a 1º pela 2º, e

no caso o resultado é -4”. Analisando essa produção, evidenciamos um avanço da

Dupla 1, uma vez que ela não mais se prendeu a um caso particular, ou seja, ela

apresentou a análise da relação comum entre os sistemas propostos. A Dupla 2

apresentou uma justificativa idêntica à da tarefa anterior.

A Tarefa 4 apresentou o sistema linear

32

18612

yx

yx e solicitou aos alunos,

no registro da língua natural, que relatassem como explicariam para um colega que

a representação gráfica desse sistema linear seria constituído por duas retas

198

coincidentes. Apresentamos a seguir as produções das duplas referentes a essa

tarefa:


A Tarefa 5 solicitou das duplas a criação de um sistema linear que gerasse

duas retas coincidentes e diferente dos apresentados nas tarefas anteriores. Ainda,

ela solicitou que as duplas apresentassem, no registro da língua natural, como eles

haviam pensado para construir esse sistema. Cada dupla apresentou o sistema

linear solicitado na tarefa acompanhado de sua justificativa, como apresentamos a

seguir:


199

Após a aplicação da Atividade Adicional, reaplicamos a Atividade 2. Nesta

fase, os alunos demonstraram domínio em avaliar as relações entre os registros

algébrico e gráfico de sistemas lineares indeterminados. A título de ilustração,

apresentamos as produções das duas duplas nas tarefas 7 e 8, que solicitavam a

determinação do valor do parâmetro a para que cada um dos sistemas apresentados

admitisse infinitas soluções e a análise generalizada do caso SPI, respectivamente.

Figura 100 – Atividade do redesign – Atividade 2 – Tarefa 7 Fonte: Acervo pessoal

Os estudantes da Dupla 1 responderam corretamente os itens a,b,c,d, e, f e g.

Somente no item h apresentaram um equívoco, esquecendo de colocar o sinal de

menos no valor encontrado. Com isso, o professor-pesquisador sugeriu que

analisassem melhor este item e, com isso, rapidamente os alunos notaram o

equívoco cometido. Quando questionados sobre como haviam encontrado os

valores de a, o Aluno A explicou apontando para os coeficientes das equações e

comentou a respeito da proporcionalidade que existia entre eles. Observamos que,

na maioria das vezes, os estudantes dessa dupla obtinham os valores solicitados

por cálculo mental.

A dupla 2 apresentou dificuldades para a realização dos cálculos. O

professor-pesquisador interviu relembrando-os de como resolver regra de três

simples. Depois dessa intervenção, a dupla conseguiu determinar todos os valores

solicitados nessa tarefa. As duas duplas também reconheceram que a

representação gráfica de cada um dos sistemas para o valor de a indicado seria de

retas coincidentes.

200

A Tarefa 8 tratava da generalização de um sistema possível e indeterminado.

A Dupla 1 conseguiu estabelecer, de forma independente, a relação solicitada nessa

tarefa, conforme apresentado a seguir.


Já a Dupla 2 necessitou do auxílio do professor-pesquisador para a

construção da forma generalizada da proporcionalidade.

Dessa forma, concluímos que, apesar da necessidade do redesign, o objetivo

desse ciclo foi atingido.

6.2.2 Análise do caso SI

Nesta seção, serão apresentados os resultados da análise das produções dos

estudantes diante de sistemas impossíveis. A partir desta atividade, contamos com a

participação da Dupla 2 e de apenas um dos membros da Dupla 1, uma vez que o

outro componente dessa dupla relatou que, por problemas particulares, não poderia

mais participar dos encontros.

6.2.2.1 Redesign do caso SI

Dado que durante a aplicação da atividade do caso SPI foram necessárias

algumas alterações, procuramos, antes da aplicação das atividades do caso SI

propostas e apresentadas anteriormente no capítulo 4, reformulá-las sob o mesmo

aspecto.

Com isso, a Tarefa 1 da Atividade 3 foi dividida em itens e entre eles

inserimos um questionamento a respeito da classificação do sistema apresentado no

início da tarefa. Na sequência, solicitamos aos alunos que construíssem no Winplot

201

um sistema linear que gerasse duas retas paralelas distintas e completassem a

tabela a seguir:

Figura 102 – Atividade 3 – Tarefa 1 do redesign. Fonte: Acervo pessoal

Na sequência dessa tarefa, foi solicitado aos alunos que verificassem se as

relações encontradas nas atividades que tratavam de sistemas possíveis e

indeterminados eram válidas para o caso apresentado na Tarefa 1 da Atividade 3,

que tratava de sistemas impossíveis. Em seguida, foi solicitada aos alunos a

construção de um novo sistema linear que gerasse duas retas paralelas distintas,

completando uma tabela semelhante à apresentada na Figura 119.

Dando continuidade à Tarefa 1, foram investigadas as conjecturas elaboradas

pelos alunos no caso de sistemas impossíveis, ou seja, a relação entre este caso e a

representação de duas retas paralelas distintas.

Na Tarefa 2 fizemos reformulações semelhantes à tarefa anterior, e inserimos

um novo questionamento, que solicitava, no registro da língua natural, a relação

existente entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os valores dos

coeficientes da segunda equação, elementos encontrados via exploração no

Winplot. Nas demais tarefas não foram realizadas reformulações. A seguir,

apresentamos a análise das produções dos estudantes na Atividade 3. A atividade

reformulada está presente no apêndice L.

202

6.2.2.2 Análise da Atividade 3

Na Tarefa 1 foi apresentado o sistema

433

66

yx

ayx, sendo que os estudantes

deveriam determinar, com auxílio do Winplot, o valor de a de modo que a

representação no registro gráfico gerasse retas paralelas distintas.

O integrante da Dupla 1 realizou essa tarefa com sucesso, registrando na

ficha de atividade que o valor de a deveria ser “Qualquer valor diferente de 8” e que

a classificação do sistema seria dada como Impossível. A Dupla 2 realizou essa

tarefa de forma correta, indicando que o valor de a para satisfazer essa situação

seria “O infinito, menos o 8” e, a classificação desse tipo de sistema seria dada

como Impossível. Conjecturamos que o sucesso nessa atividade tenha ocorrido

graças ao fato de os estudantes terem constituído uma base sólida na tarefa

anterior, além de contarem com o auxílio do software Winplot, que, da mesma forma

que constatado por Souza et al. (2011), favoreceu aos alunos a atividade de

conversão entre os registros algébrico e gráfico, colaborando assim para a

determinação do parâmetro a.

No item 1a, os estudantes deveriam selecionar um sistema que gerasse duas

retas paralelas distintas (sistema impossível) com o auxílio do software, completando

em seguida a tabela apresentada no redesign. O aluno da Dupla 1 escolheu um

sistema semelhante ao proposto nessa atividade, atribuindo ao parâmetro a o valor

dois, apresentando o sistema

433

266

yx

yx. Em sua justificativa, ele demonstrou

compreensão na análise da relação entre os coeficientes.

203

Figura 103 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1a. Fonte: Acervo pessoal

A Dupla 2 selecionou de forma correta um sistema que se adequava à

situação proposta e demonstrou, em sua justificativa, sucesso em analisar a relação

entre os coeficientes, apesar dos problemas observados na língua natural escrita,

conforme apresentamos a seguir:

Figura 104 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1a Fonte: Acervo pessoal

204

Na mesma tarefa foi proposto aos estudantes que selecionassem outro

sistema que gerasse duas retas paralelas distintas, e todos realizaram essa etapa

com sucesso. No item 1b, foi apresentado o seguinte sistema

byx

yx 1244. Neste

caso, os alunos deveriam determinar o valor de b, primeiramente no ambiente papel

e lápis, para que a representação no registro gráfico fosse de duas retas paralelas

distintas.

O integrante da Dupla 1 respondeu “Qualquer valor diferente de 3” e, após

conferir o obtido com o fornecido pelo software, ele apresentou a seguinte produção:

Figura 105 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 1b Fonte: Acervo pessoal

A Dupla 2 respondeu “Infinitos números, menos o 3” e também verificou que

sua resposta era coerente com a situação presente no software, fornecendo a

seguinte produção:

Figura 106 – Produção da Dupla 2 – Atividade 3 – Tarefa 1b Fonte: Acervo pessoal

Pode-se observar que as duplas notaram a relação que deveria existir entre

os coeficientes e termos independentes, para que a representação no registro

gráfico de um sistema linear fosse dada por duas retas paralelas distintas.

Interpretamos que o trabalho com as tarefas do caso anterior (SPI), após o redesign,

foi eficaz e favoreceu a continuidade das tarefas, dado que os estudantes

conseguiram analisar, sem qualquer intervenção, esta nova situação.

A tarefa 2 era semelhante à tarefa anterior. O integrante da Dupla 1 e a Dupla

2 apresentaram produções corretas e equivalentes às já apresentadas.

205

A Tarefa 3 apresentou o sistema

888

622

yx

yx, solicitando aos estudantes a

sua representação gráfica, por meio de uma conversão do registro algébrico para o

registro gráfico.

O componente da Dupla 1 iniciou a tarefa realizando tratamentos no registro

algébrico das equações que formavam o sistema e, em seguida realizou conversões

do registro algébrico para o registro numérico-tabular, com o objetivo de encontrar

os pares ordenados para a elaboração do gráfico que era proposto nessa atividade.

Após realizar o primeiro tratamento, o componente da Dupla 1 solicitou a

presença do professor-pesquisador para verificar se os valores encontrados por ele

estavam corretos, pois havia ficado intrigado em ter que adicionar apenas valores

ímpares à incógnita x para obter na incógnita y valores inteiros. O professor-

pesquisador informou ao aluno que não havia problema em atribuir apenas valores

ímpares em uma equação, quando se tem por objetivo determinar apenas valores

inteiros, mas solicitou ao aluno verificar se o tratamento realizado no registro

algébrico estava correto e, informou que o processo para a construção do gráfico era

válido. Depois de alguns instantes, o aluno percebeu o equívoco cometido e, nesse

instante, o professor-pesquisador solicitou que prosseguisse na tarefa sem apagar a

produção incorreta anterior.

206

Figura 107 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 3 – Tarefa 3 Fonte: Acervo pessoal

Após encontrar os pares ordenados para as duas equações, o componente

da Dupla 1 forneceu a seguinte produção acompanhada de suas observações.


207

Pode-se observar que o aluno realizou de forma satisfatória a Tarefa 3,

apresentando avanços tanto para realizar o tratamento dentro do registro algébrico

quanto para realizar a conversão entre os registros algébrico, numérico-tabular e

gráfico.

Apesar da imprecisão na elaboração da representação gráfica, a Dupla 2

também apresentou grandes avanços nessa tarefa, tanto no tratamento no registro

algébrico quanto na conversão entre os registros numérico-tabular e gráfico, se

comparada com as produções fornecidas em atividades anteriores. Da mesma

maneira que o componente da Dupla 1, a Dupla 2 realizou um tratamento no registro

algébrico e, em seguida, confeccionou uma tabela para obter pares ordenados

referentes a cada uma das equações que formavam o sistema linear proposto,

atribuindo valores à incógnita x e determinando os valores correspondentes para a

incógnita y. Em seguida apresentaram o sistema linear proposto nessa atividade no

registro gráfico. A seguir, apresentamos a produção dessa dupla.


208


Como o trabalho com construção de gráficos no plano cartesiano estava

sendo realizado também nas aulas de Matemática e Física, é provável que este fato

influenciou no desempenho dos estudantes. Pode-se notar que os alunos

apresentaram uma compreensão mais efetiva, realizando com sucesso tratamentos

no registro algébrico e conversões entre os registro numérico-tabular e gráfico. Tal

fato vem de encontro com os pressupostos de Duval (2003), quando garante que a

habilidade de coordenar representações de diferentes registros contribui para uma

sólida construção de um objeto matemático.

Para a realização da Tarefa 4, que consistia no preenchimento de duas

tabelas, uma com valores que satisfaziam a equação 622 yx e outra com

valores que satisfaziam a equação 888 yx , o aluno da Dupla 1 realizou essa

tarefa com sucesso, completando toda a tabela. A Dupla 2 não sabia iniciar a tarefa

e, diante isso, o professor-pesquisador teve de intervir para esclarecer aos

estudantes que eles poderiam atribuir os valores que julgassem mais convenientes

para a construção da tabela. Salienta-se que a dupla ainda apresentava alguns

problemas em tratamentos no registro algébrico, apesar de observarmos a redução

dessa dificuldade, quando comparado com o que ela apresentava nas tarefas

anteriores. Notamos que não havia a necessidade de incluir esta tarefa, uma vez

que as duplas só observaram que o sistema era impossível após sua resolução,

enquanto tínhamos por objetivo que com esta tarefa elas observassem que não

havia par ordenado que satisfizesse simultaneamente as duas equações.

209

A Tarefa 5, relacionava as equações da tarefa anterior, e os estudantes

deveriam resolver o sistema

888

622

yx

yx, apontando suas observações, a solução

desse sistema e sua classificação. O aluno da Dupla 1 apresentou os seguintes

cálculos


O aluno da Dupla 1 reconheceu que se tratava de um sistema impossível “por

dar resultados distintos (24=8), algo que é impossivel (sic)” e, afirmou que a

representação gráfica de um sistema linear com duas equações e duas incógnitas,

classificado como sistema impossível, era dado por “duas retas paralelas distintas” e

a quantidade de soluções de um sistema impossível era “nenhuma”.

Para a realização dessa atividade, A Dupla 2 apresentou os seguintes

cálculos:

210


Pode-se observar que a Dupla 2 realizou os cálculos dessa tarefa de forma

correta, apresentando a classificação do sistema proposto. Nessa tarefa os

estudantes ainda informaram que a representação gráfica desse sistema seria

representado por “retas paralelas”. Quando indagados a respeito da quantidade de

soluções de um sistema impossível, eles forneceram a produção “nem uma”.

A Tarefa 6 apresentou três sistemas lineares no registro algébrico. Os

estudantes deveriam determinar o valor do parâmetro a para obter um sistema

impossível, sem o auxílio do software.

211

Figura 113 – Atividade do redesign – Atividade 3 – Tarefa 8 Fonte: Acervo pessoal

O integrante da Dupla 1 realizou a tarefa com sucesso, sem a necessidade da

intervenção do professor-pesquisador, indicando a condição de a para que cada

sistema se tornasse impossível e confirmando que a representação gráfica desses

sistemas seria dada por “Duas retas paralelas distintas”.

A Dupla 2 a princípio apresentou dificuldades em resolver essa tarefa, pois os

coeficientes de maior valor estavam na segunda equação. Com a intervenção do

professor-pesquisador, questionando para qual valor de a o sistema

633 yx

ayx

admitiria no registro gráfico duas retas coincidentes, os estudantes afirmaram que

para a igual a dois. Pretendia-se fornecer um ambiente favorável para a comparação

entre o caso já visto (SPI) e o novo caso (SI). Em seguida, o professor-pesquisador

questionou a dupla a respeito do valor de a para que as retas não fossem

coincidentes. Os alunos responderam prontamente que isso ocorreria para “qualquer

valor diferente de dois”. Essa dupla conseguiu responder todos os itens dessa tarefa

de forma correta, demonstrando compreensão da relação entre a representação

gráfica e a algébrica de um sistema linear impossível.


Na tarefa 7, os estudantes deveriam apresentar a análise da relação entre os

coeficientes de forma generalizada. Assim como na Tarefa 8 da Atividade 2, o aluno

da Dupla 1 determinou de forma correta e independente a condição para que um

sistema linear no registro gráfico fosse representado por duas retas paralelas

212

distintas. A Dupla 2 questionou o professor-pesquisador se era para fazer igual à

tarefa da Atividade 2, ao que o professor-pesquisador concordou. Ela encontrou, de

forma independente, a condição para que a representação gráfica do sistema linear

feydx

cbyax fosse representado por duas retas paralelas distintas, ou seja, para que

o sistema fosse impossível.

Na Tarefa 8, foi apresentado o seguinte sistema homogêneo

055 yx

ayx,

sendo que os estudantes deveriam determinar o valor do parâmetro a para obter um

sistema impossível com o auxílio do software. O aluno da Dupla 1 respondeu

“qualquer valor diferente de 0” e os alunos da Dupla 2 responderam “Infinito (sic)

números, menos o 0”. Conjecturamos que a utilização do computador favoreceu a

realização dessa tarefa, uma vez que o aluno poderia observar, em tempo real, a

relação entre as representações algébrica e gráfica, o que também foi constatado

por Fonseca e Júnior (2011).

Diante dessas produções, concluímos que, o objetivo desse ciclo foi atingido.

6.2.3 Análise do caso SPD

Na Atividade 4, que tratava da análise do caso de um sistema possível e

determinado, os estudantes deveriam construir um sistema linear de duas equações

e duas incógnitas que gerasse duas retas concorrentes, com o auxílio do software

Winplot e explicar como haviam pensado para fazer esta construção. Dando

continuidade à Atividade 4, os estudantes deveriam informar quantas soluções esse

sistema possuía e qual a sua classificação.

Na produção do aluno da Dupla 1, pôde-se observar que ele pautou a sua

explicação referente à construção de um sistema possível e determinado com o

auxílio do software, relacionando com as análises observadas nas atividades

referentes aos casos (SPI) e (SI), informando a inexistência de proporcionalidade

entre os coeficientes e termos independentes de um sistema linear para que fossem

geradas duas retas concorrentes. Apresentamos a seguir, a produção desse aluno.

213

Figura 115 – Produção do aluno da Dupla 1 – Atividade 4 Fonte: Acervo pessoal

Salienta-se que bastava existir a diferença entre as duas primeiras razões

para que o sistema fosse classificado como possível e determinado, ou seja, a razão

existente entre os termos independentes poderia coincidir com qualquer uma das

outras duas.

Na produção da Dupla 2, observamos que os estudantes analisaram a

qualidade do sistema notando a inexistência de proporcionalidade dos coeficientes

das equações, conforme apresentado a seguir.

Figura 116 – Produção da Dupla 2 – Atividade 4 Fonte: Acervo pessoal

214

Essa dupla também indicou que as três razões deveriam ser diferentes,

enquanto que bastaria que as duas primeiras não coincidissem.

Ainda na Atividade 4, todos os estudantes responderam que um sistema

desse tipo tinha uma solução e que era classificado como sistema possível

determinado.

Conjecturamos que o trabalho gradativo de construção da avaliação da

existência ou não de proporcionalidade, integrando os registros algébrico, gráfico e

da língua natural, permitiu uma sólida construção desse conhecimento. Da mesma

forma que constatado por Boeri e Silva (2011), o uso do computador em nosso

estudo contribuiu para uma entrada experimental, para aspectos de visualização e

para a elaboração de conjecturas na análise dinâmica das relações entre as

representações gráfica e algébrica. Em consonância com o apontado por Duval

(2003), notamos que a integração entre os registros monofuncionais discursivos, não

discursivos e multifuncionais discursivos forneceu uma compreensão efetiva do

objeto matemático.

No próximo capítulo apresentaremos a conclusão de nosso estudo.

215

7 CONCLUSÃO DO ESTUDO

Neste capítulo apresentaremos a conclusão de nosso estudo, retomando, de

forma sintetizada, o objetivo de nossa pesquisa, a problemática evidenciada na

literatura, a análise do Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e dos livros

didáticos e a elaboração da proposta, destacando as hipóteses iniciais e as

questões de pesquisa. Em seguida descreveremos os papéis desempenhados pelos

sujeitos envolvidos em nossa pesquisa (alunos e professor-pesquisador), além das

influências do software Winplot durante o processo de aplicação do design. Por fim,

apresentaremos algumas perspectivas para futuras investigações.

7.1 SÍNTESE DAS ETAPAS DE PESQUISA

Pretendíamos, em nossa pesquisa, elaborar, aplicar e avaliar um experimento

de ensino sobre sistemas lineares, construído de forma a explorar principalmente

conversões entre os registros gráfico, algébrico e da língua natural, nos ambientes

papel e lápis e computacional Winplot.

Para fundamentar o estudo utilizamos a teoria dos registros de

representações semióticas de Duval (1995, 2000, 2006). Buscamos na literatura,

pesquisas que trataram do objeto matemático sistemas lineares, as quais

basicamente apontaram dificuldades por parte dos estudantes no estabelecimento

de conversões entre representações dos registros gráfico e algébrico e a valorização

do registro algébrico com reduzida exploração da atividade de conversão nos livros

didáticos.

Também observamos na literatura, pesquisas que recomendaram intensificar

a exploração do registro gráfico, pelo fato de ele facilitar a compreensão do conjunto

solução e da classificação de um sistema linear. Com relação às pesquisas

relacionadas à inserção de recursos computacionais no ensino de Matemática,

observamos a indicação de ferramentas para favorecer o desenvolvimento do

pensamento matemático, trazendo benefícios que não seriam possíveis em outros

ambientes de ensino, garantindo ao aluno uma participação ativa na construção do

conhecimento. Pesquisas que trataram exclusivamente do uso do software Winplot

destacaram seu aspecto positivo em relação à exploração de conversões entre os

registros gráfico e algébrico.

216

Partindo dessa problemática e considerando que o conteúdo de sistemas

lineares é dado primeiramente no ensino fundamental, procuramos investigar como

o Caderno do Aluno do Estado de São Paulo e uma amostra de livros didáticos

indicados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD) tratavam deste conteúdo

nesta fase de ensino. Com relação ao Caderno do Aluno, notamos uma

preocupação em tratar o objeto matemático explorando as relações entre

representações de diferentes registros, mas pudemos constatar que, em nenhuma

das atividades propostas, era solicitada ao aluno a análise da existência ou não de

proporcionalidade entre os coeficientes para avaliar sua classificação. Pudemos

observar, também, que este material não apresentava qualquer proposta de

utilização de recursos computacionais.

Com relação à amostra analisada de quatro livros indicados pelo PNLD,

constatamos que três privilegiavam os registros algébrico e da língua natural.

Apenas uma das obras mostrou a preocupação de explorar registros não discursivos

e conversões distintas daquelas que partiam da língua natural para o registro

algébrico. Pudemos observar, também, que em nenhuma das obras analisadas em

nossa pesquisa foi recomendada a utilização de recursos computacionais.

Diante da problemática exposta, evidenciada na revisão de literatura, na

análise dos livros e do Caderno do Aluno, elaboramos um experimento de ensino

visando preencher a lacuna detectada. Com isso, procuramos integrar os diversos

registros, principalmente o algébrico, o gráfico e o da língua natural, tendo o

software Winplot como ferramenta de apoio, e explorar a análise das classificações

de sistemas lineares pela investigação da existência ou não de proporcionalidade.

Para a construção e condução do experimento, utilizamos a metodologia de

Design Experiment de Cobb et al. (2003), que prevê a elaboração de experimentos

de domínios matemáticos específicos, com intuito de obter inovações no ensino

dessa ciência. O foco deste tipo de metodologia está no sujeito, na análise de sua

trajetória, no levantamento de suas dificuldades e de seus possíveis avanços e,

diante disso, o experimento foi constantemente remodelado em função das

produções dos estudantes.

Inicialmente participaram do experimento seis estudantes com faixa etária

entre treze e quatorze anos, porém, somente três realizaram todas as atividades. No

momento da aplicação, eles cursavam o nono ano do ensino fundamental de uma

escola pública do estado de São Paulo e já haviam estudado o conteúdo de

217

sistemas lineares segundo uma abordagem que privilegiou o registro algébrico, sem

explorações de análise da proporcionalidade entre os coeficientes das equações e

sua relação com o registro gráfico. Os alunos também não haviam utilizado qualquer

recurso computacional quando estudaram este tópico.

A aplicação foi organizada em duas fases. A Fase 1, composta por um

questionário inicial, teve a finalidade de investigar os conhecimentos prévios dos

estudantes. Nesta fase, eles apresentaram dificuldades em vários aspectos, dentre

eles, na resolução algébrica, na representação gráfica e na classificação de

sistemas. Como estes conhecimentos eram pré-requisitos para o desenvolvimento

do experimento, foi realizada uma revisão destes tópicos, o que representou a

primeira reformulação do desenho inicial. Na Fase 2, foram aplicadas as atividades

elaboradas, que trataram da análise da qualidade de sistemas lineares por avaliação

da existência ou não de proporcionalidade, integrando os registros algébrico, gráfico

e da língua natural. Esta fase incluiu o software Winplot, utilizado principalmente

como ferramenta para uma entrada experimental. Nesta fase foram realizados

redesigns do projeto original, visando adequar as atividades às produções dos

estudantes.

Para a análise dos dados, foram coletados, avaliados e comparados os

registros escritos presentes nas fichas das atividades distribuídas a cada dupla, a

áudio-gravação das falas dos estudantes e a captura das telas dos computadores.

A seguir, retomaremos as hipóteses iniciais, com a finalidade de verificar se

as mesmas foram confirmadas.

7.2 VERIFICAÇÃO DAS HIPÓTESES INICIALMENTE ESTABELECIDAS

Hipótese 1. O experimento proposto permitirá avaliar as unidades

significativas dos registros gráfico e algébrico de sistemas lineares.

Concluímos que os estudantes conseguiram evidenciar, na maioria dos casos

e para cada tipo de sistema linear, as condições específicas no registro algébrico. A

identificação das unidades significativas neste registro se deu por meio da análise da

existência ou não de proporcionalidade entre os coeficientes e termos

independentes.

218

Isso ocorreu com sucesso nas Atividades 1, 2, 3 e nas Atividades Adicionais.

Somente na Atividade 4, para o caso SPD, notamos que os estudantes não

observaram que bastava a diferença entre as duas primeiras razões para que o

sistema tivesse essa classificação. No registro gráfico, a identificação das unidades

significativas se deu pela análise da posição relativa entre duas retas (paralelas

distintas, coincidentes ou concorrentes) e os estudantes tiveram sucesso em todas

as atividades que trataram deste aspecto. Ressaltamos que esse sucesso não

ocorreu de imediato.

Durante a execução do experimento, evidenciamos dificuldades na

compreensão do significado de um parâmetro presente no registro algébrico de um

sistema linear. Ressaltamos que Freitas (1999) também observou este tipo de

dificuldade em seus sujeitos, atribuindo essa ocorrência à pouca exploração de

sistemas com parâmetros no ensino deste tópico. Ainda, na execução do

experimento, os estudantes frequentemente demonstraram dificuldades em

estabelecer tratamentos no registro algébrico, o que foi sendo amenizado durante o

processo. Outra dificuldade evidente nas produções dos estudantes foi a

insegurança na construção da representação gráfica de um sistema linear no

ambiente papel e lápis.

Em consonância com o afirmado por Duval (2003), é presumível que tal

dificuldade tenha ocorrido pelo fato de o ensino de Matemática privilegiar os

registros monofuncionais discursivos em detrimento dos demais. Especificamente no

ensino de sistemas lineares, tal fato foi constatado por Battaglioli (2008) e, em nossa

análise dos livros didáticos, também pudemos observar que o registro gráfico e

conversões entre ele e os demais são aspectos pouco explorados.

Apesar disso, essas dificuldades foram amenizadas durante o processo e,

comparando as produções dos estudantes fornecidas nas Fases 1 e 2 de nosso

experimento, concluímos que esta hipótese foi confirmada, com exceção da análise

das unidades significativas para a generalização do caso SPD no registro algébrico.

Hipótese 2. O experimento proposto permitirá avaliar a relação entre os

diversos registros desse objeto matemático.

Pautamos o presente estudo na teoria dos registros de representações

semióticas de Duval (1995), com o objetivo de fornecer aos estudantes o contato

219

com os diversos registros de representação semiótica referentes ao estudo do objeto

matemático sistemas lineares. Procuramos elaborar atividades que favorecessem o

estabelecimento de relações entre os registros gráfico, algébrico, tabular e da língua

natural.

As conexões entre representações dos registros gráfico e algébrico se deram

pela análise das relações entre os coeficientes presentes no registro algébrico e as

posições relativas entre duas retas no registro gráfico, exploradas nos ambientes

papel e lápis e computacional.

Apesar de essas relações não serem estabelecidas de imediato nas

Atividades 1 e 2, demandando a elaboração de atividades intermediárias e de

redesigns, notamos que, após as reformulações que se mostraram necessárias, os

estudantes tiveram sucesso nas Atividades 1, 2, 3 e nas Atividades Adicionais. Na

Atividade 4, conforme já exposto na descrição da hipótese anterior, os estudantes

não notaram que, para o sistema ser SPD, bastava que as duas primeiras razões

fossem diferentes.

Em consonância com Borba e Penteado (2010) e Noss e Hoyles (1996),

observamos que o trabalho no software favoreceu o desenvolvimento do

pensamento matemático, porém, os avanços nas relações iniciais entre os registros

algébrico e gráfico se deram apenas no momento em que reformulamos o desenho

original, inserindo uma representação auxiliar, no caso, a tabular, e solicitando um

trabalho de comparação entre sistemas. Tal constatação mostra a importância de se

integrar representações de diversos registros no ensino de um objeto matemático.

Na maior parte das tarefas, também foram requisitadas justificativas na língua

natural escrita e, com isso, os estudantes deveriam estabelecer relações entre o

registro algébrico, considerado monofuncional discursivo, o registro gráfico,

classificado como monofuncional não discursivo e a língua natural, considerada

como multifuncional discursivo. Pudemos constatar, durante a aplicação deste

experimento, dificuldades dos estudantes em relatar suas conclusões no registro da

língua natural.

Em diversos momentos tivemos que questioná-los para entender o que

queriam expressar. Em consonância com Duval (1995), que afirma que o ensino de

Matemática privilegia o registro monofuncional discursivo, interpretamos essas

dificuldades com o fato de termos observado a ausência de resoluções de exercícios

220

neste tipo de registro nos livros didáticos e no Caderno do Aluno do Estado de São

Paulo.

Notamos que as dificuldades anteriormente descritas foram amenizadas

durante a execução do experimento e, com isso, consideramos que a Hipótese 2 foi

parcialmente confirmada.

Hipótese 3. O experimento proposto permitirá avaliar a qualidade de um

sistema de duas equações e duas incógnitas por meio da investigação das

consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade de seus coeficientes.

Conforme já relatado, nos primeiros encontros os estudantes não haviam

observado as consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade, porém,

após a apresentação de um trabalho conjunto entre o software e a representação

tabular no ambiente papel e lápis, aliado a tarefas de comparação entre vários

sistemas lineares, eles passaram a avaliar a questão da existência de

proporcionalidade para o caso SPI.

Observamos que a inserção de um novo tipo de representação semiótica no

design representou uma nova ferramenta de análise, evidenciando aspectos

diferentes daqueles observados por meio das representações inicialmente propostas

nas tarefas. Após a avaliação do caso SPI, as investigações para os demais casos

ocorreram de forma natural, evidenciando uma sólida compreensão das

consequências gráficas e algébricas via análise da existência ou não de

proporcionalidade.

Os alunos conseguiram generalizar as condições para os casos SPI e SI e,

somente para o caso SPD, conforme já relatado anteriormente, a conclusão

genérica não foi plena. Com isso, concluímos que esta terceira hipótese só não foi

totalmente contemplada devido a este aspecto.

7.3 ANÁLISE DAS QUESTÕES DE PESQUISA

Neste momento, retomamos as nossas questões de pesquisa. A primeira

questão foi dada por: "Em que aspectos a abordagem proposta, que envolve a

análise das consequências gráficas e algébricas da proporcionalidade dos

221

coeficientes das equações, influencia os estudantes na compreensão da qualidade

de sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas?"

Concluímos que a abordagem proposta influenciou positivamente os

estudantes na construção de uma sólida compreensão do aspecto qualitativo de

sistemas lineares. O trabalho integrado entre os registros algébrico, gráfico e da

língua natural permitiu uma nova forma de conceber os sistemas lineares, dado que

os estudantes puderam reconhecer sua classificação em diferentes sistemas de

representação, estabelecendo relações e comparações entre eles. Ainda, da

maneira como foi construído e conduzido, notamos que o experimento favoreceu a

autonomia para a resolução das atividades.

A segunda questão, relativa à ferramenta adotada é retomada a seguir:

"Como o software adotado, ao viabilizar a análise dinâmica das relações entre

representações dos registros algébrico e gráfico, contribui para a compreensão da

análise da qualidade de sistemas lineares?"

Concluímos que o Winplot contribuiu de forma eficaz nas investigações

experimentais, apesar de constatarmos que no início do experimento o seu uso não

garantiu a visualização da relação entre representações dos registros algébrico e

gráfico, conforme se esperava. Constatamos que essa ferramenta teve maior

influência quando foi associada a um trabalho conjunto com a representação tabular

no ambiente papel e lápis. A despeito deste aspecto, concluímos que o seu uso foi

primordial, tanto na construção do conceito como no aspecto motivacional dos

estudantes.

7.4 PAPEIS DESEMPENHADOS PELOS SUJEITOS

Durante o desenvolvimento do design, coerentemente com a metodologia

adotada, que prevê a elaboração de um experimento que seja flexível e que

favoreça o avanço dos estudantes, foram necessárias algumas remodelações nas

atividades iniciais do nosso experimento. Desta forma, o professor-pesquisador

identificou as reformulações necessárias durante a execução do experimento,

fornecendo novas atividades, para que os alunos pudessem avançar nas suas

construções. Ainda, ele apresentou novos questionamentos e sugestões nos

momentos de bloqueio, objetivando proporcionar aos estudantes condições para

analisarem suas próprias produções.

222

Os estudantes demonstraram motivação para participar dos encontros,

principalmente nos momentos de uso do recurso computacional, e procuraram

desenvolver as atividades com independência, requisitando o auxílio do professor-

pesquisador de forma pontual.

7.5 O PAPEL DO RECURSO COMPUTACIONAL WINPLOT NO

DESENVOLVIMENTO DO EXPERIMENTO

Quanto ao software adotado, da mesma forma que Souza et al. (2011) e Mota

e Laudares (2011), confirmamos que o uso deste tipo de ferramenta foi positivo em

relação à possibilidade de experimentação e na análise dinâmica e simultânea entre

os registros algébrico e gráfico. Apesar disso, conforme relatado anteriormente,

esperávamos que esse ambiente fosse suficiente para que os estudantes

observassem as relações entre os coeficientes e termos independentes do registro

algébrico com a posição relativa das retas no registro gráfico. Notamos que isso não

ocorreu de imediato, ou seja, houve a necessidade de integrar uma representação

auxiliar, -a tabular, para que os estudantes construíssem essas relações. Após essa

intervenção para o caso SPI, notamos que o software favoreceu as análises dos

casos SI e SPD.

Evidenciamos certa dependência da ferramenta por parte dos estudantes

para a construção de gráficos, uma vez que, nas atividades iniciais, quando estas

construções eram solicitadas no ambiente papel e lápis, os estudantes pediam para

utilizar a ferramenta computacional.

7.6 PERSPECTIVAS PARA NOVAS INVESTIGAÇÕES

Observando que o experimento proposto proporcionou ganhos no

aprendizado dos estudantes, sugerimos que este mesmo tipo de dinâmica seja

elaborada para sistemas lineares com três equações e três incógnitas ou mesmo

para outros objetos matemáticos, explorando as conversões entre os diferentes

registros e integrando recursos computacionais.

Considerando a importância do livro didático como elemento norteador do

processo de ensino de Matemática, sugerimos, também, a realização de

223

investigações voltadas ao mapeamento dos registros e conversões presentes na

abordagem de objetos matemáticos nos diferentes níveis de ensino.

Esperamos que este trabalho possa contribuir para a área de Educação

Matemática, representando um material adicional para a exploração de sistemas

lineares de duas equações e duas incógnitas.

224

REFERÊNCIAS BATTAGLIOLI, C. S. M. Sistemas lineares na segunda série do ensino médio: um olhar sobre os livros didáticos. 2008. 102 f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática) - Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 2008. BOERI, C. N.; SILVA, S. L. Novas Tecnologias no Ensino-Aprendizagem da Matemática: o uso da informática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/2660.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação Matemática. 3ª Ed. 1ª Reimpressão. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. (Coleção Tendências em Educação Matemática, 2). BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: introdução aos parâmetros curriculares nacionais. Brasília: MEC/SEF, 1998. ______. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Guia de livros didáticos: PNLD 2011. Brasília: MEC/SEF, 2010. COBB, P.; CONFREY, J.; DISESSA, A.; LEHRER, R.; SCHAUBLE, L. Design Experiments in education research. Educational Researcher, v. 32, n. 1, p. 9-13, 2003.

CURY, H. N. e BISOGNIN,E. Análise de Soluções de um Problema Representado por um Sistema de Equações. BOLEMA, Rio Claro, ano 22, n. 33, p. 1-22, 2009.

DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Berna: Peter Lang, 1995. ______. Basic Isseus for Research in Mathematics Education. In: CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 24, 2000, Hiroshima. Proceedings of the 24th PME. Hiroshima: Department of Mathematics Education, Hiroshima University, v.1, p. 55-69, 2000.

225

______. Registros de Representação Semiótica e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (org.) Aprendizagem em Matemática, Registros de Representação Semiótica. Campinas: Papirus, p. 11-33, 2003. (Coleção Papirus Educação). ______. A cognitive analysys of problems of comprehension in a learnig of mathematics. Educational Studies in Mathematics, Springer, n. 61, p. 103-131, 2006. ______. Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais (Fascículo I). São Paulo: Livraria da Física, 2009. FONSECA D. S. ; JÚNIOR A. J. S. Ensinando e aprendendo matemática com inclusão digital na escola pública brasileira. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em < http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1909.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. FREITAS, I. M. Resolução de sistemas lineares parametrizados e seu significado para o aluno. 1999. 96 f. Dissertação (Mestrado Ensino da Matemática) - Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 1999. GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A conquista da Matemática: Edição renovada, 7º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 155-169. ______. A conquista da Matemática: Edição renovada, 8º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 172-193. KARRER, M. Articulação entre álgebra linear e geometria: um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica. São Paulo, 2006. 435f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). – Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 2006. MAGNI, R. J. M. Formação continuada de professores de matemática: mudanças de concepções sobre o processo de ensino e aprendizagem de geometria. 2011. 181f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, São Paulo, 2011.

226

MOTA, J. F.; LAUDARES, J. B. Um estudo de planos, cilindros e quadráticas, explorando seções transversais para o desenvolvimento da visualização, com o Winplot. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/856/972>. Acesso em: 25 out. 2011. NOSS, R.; HOYLES, C. Windows on Mathematical Meanings: Learning Cultures and Computers. v. 17. Mathematics Education Library, 1996. PANTOJA, L. F. L. A conversão de registros de representação semiótica no estudo de sistemas de equações algébricas lineares. 2008. 102 f. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Núcleo de Pesquisa e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica, Universidade Federal do Pará, Belém, 2008. PEREIRA A. N. P. Utilização de tecnologias da informação e comunicação nas práticas educativas de matemática na escola básica. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/2435.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. PIETROPAOLO, R. C. (Re)significar a demonstração nos currículos da educação básica e da formação dos professores de matemática. 2005. Tese (Doutorado em Educação Matemática). – Programa de Pós-graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica – PUC/SP, São Paulo, 2005. RIBEIRO, J. S. Projeto Radix: Matemática, 8º Ano. São Paulo: Scipione, 2010, p. 175-182. (Coleção projeto radix). SÃO PAULO (ESTADO). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática - Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2008. ______. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Fundamental – 7ª série / 8º ano, volume 3. Coordenação Geral, Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2009. ______. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Fundamental – 7ª série / 8º ano, volume 3. Coordenação Geral, Maria Inês Fini São Paulo: SEE, 2009.

227

SOUZA, C. F. et al. A Inserção do Software Winplot no Ensino de Matemática. In XIII Conferência Interamericana de Educação Matemática. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil, 2011. Disponível em <http://www.gente.eti.br/lematec/CDS/XIIICIAEM/artigos/1785.pdf>. Acesso em: 17 set. 2011. SOUZA, J. R.; PATARO, P. R. M. Vontade de saber matemática, 8º Ano. São Paulo: FTD, 2009, p. 141-149. (Coleção vontade de saber). TRENTIN, P. H. O Livro Didático na Constituição da Prática Social do Professor de Matemática. São Paulo, 2006. 174f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Programa de Pós-Graduação Stricto-Sensu em Educação, Linha de Pesquisa: Matemática, Cultura e Práticas Pedagógicas, Universidade São Francisco – USF, Itatiba – São Paulo, 2006.

228

APÊNDICE A – Familiarização do Software Winplot FAMILIARIZAÇÃO DO SOFTWARE WINPLOT

Para a utilização do software Winplot, apresentamos um breve roteiro para

facilitar o seu manuseio.

Na área de trabalho do computador encontra-se o ícone do software Winplot

. Dê um duplo "clique" neste ícone para que seja apresentada a tela inicial do

software.

Com a tela inicial, poderá aparecer uma janela com o título “você sabia

que...”. Nela são apresentadas algumas dicas e sugestões, entre elas como

construir gráficos em duas ou três dimensões, como alterar a exibição entre grade

retangular e polar, como modificar as marcar dos eixos x e y, dentre outras

modificações que poderão ser realizadas na construção dos gráficos. Clique em

“fechar”. A seguir, na barra superior da tela principal do software, aparecerão os

ícones “Janela” e “Ajuda”.

Para construir gráficos em duas dimensões, que é o objetivo de nossa

pesquisa, vamos clicar no ícone “Janela” e em seguida “2-dim” ou usar a tecla de

atalho “F2”

Neste caso, abrirá uma nova janela . Observe que nela

existe uma nova barra superior com oito abas.

229

Na barra superior "clique" em “Equação”. Com isso, será apresentada uma

nova aba vertical

A seguir, selecione a opção “Implícita”.

Será apresentada uma nova janela com o título “curva implícita”, na qual é

possível inserir equações do tipo cbyax .

230

Digite, então, a seguinte equação: 12 yx . É possível alterar os atributos de

uma reta (cor e espessura). Para alterar a cor da reta, "clique" no botão “cor”. Neste

caso será apresentada a seguinte janela.

Vamos, por exemplo, escolher a cor azul e em seguida "clicar" em fechar.

Caso deseje alterar a espessura da reta, vá em espessura da linha, altere o valor

(por exemplo para 3) e em seguida "clique" em “ok”.

231

Neste caso, aparecerá uma nova janela intitulada “inventário”, que possui

doze novos ícones e a equação que foi digitada aparece em destaque. Ainda nesta

janela, tem-se a reta solicitada representada no plano cartesiano, como vemos a

seguir:

Para inserir uma nova reta podemos seguir os passos anteriores ou clicar no

botão . Com isso, retornaremos à janela “curva implícita” e assim

poderemos inserir uma nova equação, como por exemplo, 2 yx . Para facilitar a

visualização da nova reta vamos alterar a cor para vermelha e clicar em “ok”. A

representação gráfica das equações é apresentada a seguir:

232

Pode-se observar que temos duas retas concorrentes. Para facilitar a

visualização do ponto de intersecção entre elas, "clique" em “ver” na barra superior e

em seguida em “grade”. Será apresentada uma nova janela na qual poderemos

escolher o tipo de grade para visualizar no plano cartesiano.

Pode-se escolher entre “setores polares” ou “retangular”. "Clique" em

retangular e depois em pontilhado. A seguir, "clique" em aplicar e, para concluir, em

“fechar”.

233

Agora temos uma visualização entre as duas retas com a grade retangular:

Para verificar o ponto de intersecção entre as retas com o auxílio do software,

vá à barra superior e "clique" em “Dois” e em seguida em “Interseções”.

Surgirá uma nova janela, na qual podemos visualizar as equações inseridas e

as coordenadas do ponto de intersecção entre as retas.

234

Após verificar o ponto de intersecção entre as retas, "clique" em “fechar”.

Caso deseje inserir a equação algébrica no plano cartesiano, na janela “inventário”,

selecione uma das equações e "clique" no ícone “equação”. Será possível visualizar

a equação selecionada no canto superior esquerdo, apresentada na mesma cor da

reta. Faça o mesmo procedimento para a outra equação.

Para deslocar a equação de forma que fique próxima a sua representação

gráfica, "clique" em “Mouse” na barra superior da tela principal do software e em

seguida "clique" em “Texto”.

235

Agora "clique" com o botão direito do mouse na equação desejada e

mantenha o botão pressionado. Arraste a equação até a sua representação gráfica.

Se desejar alterar o tamanho e o tipo da fonte da equação apresentada,

"clique" em “Equação” na barra de ferramentas superior da tela principal do software

e, em seguida, em “Fonte”.

236

Na nova janela é possível alterar o tipo de fonte, o estilo da fonte e o seu

tamanho.

Após realizar as alterações que considerar conveniente, clicar no ícone “ok”.

Se houver a necessidade de alterar algum coeficiente ou termo independente

de uma das equações ou de ambas, basta clicar no ícone “editar” que se encontra

na janela “inventário”. Neste caso, retornaremos à janela “curva implícita”, na qual

poderão ser realizadas as alterações necessárias. Após realizar as alterações,

"clique" no ícone “ok”. Observe a nova representação gráfica com as alterações

realizadas.

Note que, alterando a segunda equação 2 yx para 1 yx , temos a

seguinte representação gráfica alterada.

238

APÊNDICE B - Questionário Preliminar

Nome: _________________________________________________________

QUESTIONÁRIO PRELIMINAR

Tarefa 1. O que é:

a) um sistema possível e determinado (SPD): ...........................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

b) um sistema possível e indeterminado (SPI): .........................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

c) um sistema impossível (SI): ...................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

Tarefa 2. Resolver os sistemas (por substituição ou por adição)

a)

1

52

yx

yx

239

b)

2334

423

yx

yx

c)

1062

35217

yx

yx

d)

3

233

yx

yx

240

Tarefa 3. Considere, no plano cartesiano, a reta r (na cor azul) e a reta s (na cor rosa). Cada situação apresenta a representação gráfica de um sistema com duas equações e duas incógnitas. Associe cada caso com a classificação do sistema e justifique.

( ) sistema impossível

Justifique: ...................................................................................................................

....................................................................................................................................

( ) sistema possível e determinado

Justifique: ..................................................................................................................

....................................................................................................................................

( ) sistema possível e indeterminado

Justifique: ...................................................................................................................

....................................................................................................................................

( I )

( II )

( III )

241

Tarefa 4. Sem resolver os sistemas lineares, associe cada situação gráfica com o

possível sistema correspondente:

A ( )

4

1644

yx

yx

Justifique: ..................................................................................................................

....................................................................................................................................

B ( )

3

1

yx

yx

Justifique: ..................................................................................................................

....................................................................................................................................

C ( )

12

4

yx

yx

Justifique: ...................................................................................................................

....................................................................................................................................

( I )

( II )

( III )

242


105

422

yax

yx, (com 0, aa ). Se a for igual a 5, sem

resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por

( ) Justifique: ...........................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

( I )

( II )

( III )

243


105

422

yax

yx, (com 0, aa ). Se a for diferente de 5,

sem resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:

( ) Justifique: ...........................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

( I )

( II )

( III )

244


byx

yx

55

422, (com 0, bb ). Se b for igual a 7, sem

resolver o sistema, a representação gráfica do mesmo é representada por:

( ) Justifique: ...........................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

( I )

( II )

( III )

245

Tarefa 8. Determine a representação gráfica de cada sistema linear

a)

20129

543

yx

yx

b)

22

7

yx

yx

c)

242010

12105

yx

yx

246

Tarefa 9. Resolva o seguinte problema:

André e Júlia foram a uma lanchonete. André comeu dois mistos, tomou um

refrigerante e gastou R$6,60. Júlia comeu um misto e também tomou um

refrigerante, gastando R$4,10. Qual o preço do misto e do refrigerante nessa

lanchonete?

FONTE: SÃO PAULO. Secretaria da Educação. Caderno do aluno – Matemática, Ensino Fundamental - 7ª série / 8º ano, volume 3. São Paulo, SEE, 2011.

Tarefa 10. Dado o sistema linear

3

662

yx

yx, crie um problema na língua natural

relacionado a esse sistema.

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

....................................................................................................................................

247

APÊNDICE C – Atividade 1 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 1 Dupla: ...........................



ayx





Qual foi o valor de “a” encontrado para essa situação?

.....................................................................................................................................


byx

yx 7 para que se

obtenham duas retas coincidentes? ............................................................................


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


4

4

yx



248


Equação 1: 4 yx

x -3 0 1

y

1 0

Equação 2: 4 yx

x 4 3

y 7 4 3



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

249

APÊNDICE D – Atividade 2 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 2 Dupla: ...........................



422

66

yx






.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


933

1515

yx

byx para

que se obtenham duas retas coincidentes?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

250


ayx

yx

64






.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


byx

yx

159

153 para que

se obtenham duas retas coincidentes?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


24126

84

yx






.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

251


2420

625

ayx






.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


sistema linear

2488

622

yx

yx. Agora faça a mesma construção no Winplot e compare

os resultados. O que observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

252


2488

622

yx

yx. Como você


sistema?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



indeterminado, será .....................................................................................................

Um sistema possível e indeterminado, tem ................................................ soluções.

253




a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

301515

105

yx

yax d)

643

126

yx

ayx

e)

4221

1477

yax

yx f)

93

1856

ayx

yx g)

357

1032

ayx

yx h)

306

1042

ayx

yx

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


indicado, o que você encontraria?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



feydx



infinitas soluções.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

254


sistema do tipo

033 yx




.....................................................................................................................................

255

APÊNDICE E – Atividade 3 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 3 Dupla: ...........................



433

66

yx





Que valores de “a” satisfazem essa situação?

.....................................................................................................................................


byx

yx 1244 para que

se obtenham duas retas paralelas distintas?

.....................................................................................................................................

Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta.

________________________________________________________________


16128

32

yx






.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

256


888

622

yx


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


Equação 1: 622 yx

x -3 0 1

y 1 0

Equação 2: 888 yx

x 2

3

y

6

3

2

257


solução desse sistema? Como ele é classificado?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



................................................................................

A quantidade de soluções de um sistema impossível é ..............................................




a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

ayx

yx

126

1042

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Qual seria a representação gráfica desses sistemas?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

258



feydx



seja impossível.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


055 yx



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

259

APÊNDICE F – Atividade 4 ATIVIDADES DO DESIGN – ATIVIDADE 4 Dupla: ...........................

ATIVIDADE 4 – ANÁLISE DO CASO SPD

Abra o software Winplot e construa um sistema linear de duas equações e duas

incógnitas que gere duas retas concorrentes. Explique como pensou para fazer

esta construção.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Neste caso, quantas soluções tem este sistema? Qual é a sua classificação?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

260

APÊNDICE G - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Título do Projeto: A utilização de ferramentas computacionais em experimentos de ensino que

visam integrar os diversos registros de representações semióticas.

Coordenadora do Projeto: Professora Doutora Monica Karrer

RG: 9.304.497-5

Instituição a que pertencem os pesquisadores: Universidade Bandeirante de São Paulo

Telefones para contato: (11) 2972-9008/ (11) 2972-9025

O presente estudo, intitulado Sistemas Lineares: um estudo sobre conversões de registros com

auxílio do software Winplot, tem por objetivo investigar as produções dos estudantes diante de uma

abordagem diferenciada do conteúdo de Sistemas Lineares, que prevê a inclusão de recurso

computacional e a exploração de diversos registros, visando criar um material de apoio para o ensino

deste tópico. A metodologia de Design Experiment de Cobb et al. (2003) balizará a construção e a

condução do experimento.

Para o bom desempenho desta pesquisa, contamos com sua colaboração, no sentido de participar de

um experimento de ensino sobre este tema. Os dados serão coletados da seguinte forma: gravação

das falas, captura das telas dos computadores, coleta do material escrito e entrevistas. Os

participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos, preservando a identidade do sujeito em

sigilo, e a escola onde o experimento foi realizado não será identificada.

Os resultados desse estudo poderão ser utilizados pelos pesquisadores em publicações em

periódicos, livros, eventos científicos, cursos e outras divulgações científicas na área de Educação

Matemática.

Desde já agradecemos sua contribuição, a qual será de extrema importância para que os objetivos

deste trabalho sejam atingidos. Ressaltamos que a qualquer participante é garantida a liberdade da

retirada de seu consentimento para participação dessa pesquisa. Não há despesas pessoais para o

participante em qualquer fase do estudo, assim como não há compensação financeira relacionada à

sua participação.

Em qualquer etapa do estudo, o sujeito participante da pesquisa terá acesso aos responsáveis para

esclarecimento de eventuais dúvidas. Isto poderá ser feito na UNIBAN – Campus Marte, sito à Av.

Braz Leme, 3.029 – São Paulo, nos telefones (11) 2972-9008 ou (11) 2972-9025.

261

Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

Eu, ____________________________________________________________________, portador do

RG_____________________________, responsável legal por

___________________________________________________________________ residente na Rua

______________________________________________________________, com número de

telefone __________________ e e-mail _____________________, abaixo assinado, declaro estar

suficientemente informado a respeito das informações que li anteriormente a respeito do projeto A

utilização de ferramentas computacionais em experimentos de ensino que visam integrar os

diversos registros de representações semióticas e dou meu consentimento livre e esclarecido

para ____________________________________________ participar como voluntário da pesquisa

supracitada, sob a responsabilidade de Monica Karrer, professora do curso de Mestrado em

Educação Matemática da UNIBAN e de Jeferson da Silva Gonçalves, mestrando do mesmo curso.

Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:

a) o objetivo da pesquisa é verificar se uma nova abordagem favorece a compreensão dos conceitos.

b) a realização desta pesquisa é fundamental para o progresso na Educação Matemática no Brasil,

para que ações possam ser implementadas para a melhoria do ensino desta disciplina.

c) a minha participação no estudo limita-se ao experimento de ensino sobre Sistemas Lineares.

d) assim que a pesquisa terminar poderei ter acesso aos resultados globais do estudo.

e) estou livre para interromper, a qualquer momento, minha participação nesta pesquisa.

f) meus dados pessoais serão mantidos em sigilo e os resultados obtidos com a pesquisa serão

utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na literatura científica

especializada e apresentação dos resultados em eventos nacionais e internacionais.

g) poderei entrar em contato com a pesquisadora responsável, Dra. Monica Karrer, pelo e-mail

[email protected] ou pelo telefone 2972-9008, sempre que julgar necessário.

h) obtive todas as informações necessárias para decidir conscientemente sobre a participação do

menor sob minha responsabilidade na referida pesquisa.

i) este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu

poder e a outra com a pesquisadora responsável.

São Bernardo do Campo, _____ de ____________________ de 2011.

_________________________ __________________________ _____________________

Assinatura do sujeito de pesquisa Prof. Jeferson da Silva Gonçalves Profa. Dra. Monica Karrer

/ Representante Legal

http://mail-a.uol.com.br/cgi-bin/webmail?Act_V_Compo=1&[email protected]&ID=ICgVXjkPZy47DWodVh9p4r0fJqEZIoMHgSAv&R_Folder=aW5ib3g=&msgID=8008&Body=0

262

APÊNDICE H – Atividade De Revisão – Primeira Parte

1) Construa uma tabela para a função 1 yx , com valores inteiros de x

variando de -2 a 5. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.

2) Construa uma tabela para a função 3 yx , com valores inteiros de x

variando de -4 a 2. Com base nesses dados, construa o gráfico dessa função.

263

3) Construa a tabela e o gráfico das seguintes funções:

a) 62 yx

b) 42 yx

c) 2 yx

d) 42 yx

e) 42 yx

f) 1 yx

264

APÊNDICE I – Atividade De Revisão – Segunda Parte

1) Resolver os sistemas lineares por substituição ou por adição e classificar os

sistemas de acordo com o tipo de solução encontrada.

a)

1

52

yx

yx

b)

1062

35217

yx

yx

c)

3

233

yx

yx

265

APÊNDICE J – Redesign do caso SPI



ayx






.....................................................................................................................................

Tarefa 1a. Considere o sistema linear

3

3

yx

yx. Pela tarefa anterior, você

observou que sua representação gráfica é dada por duas retas ................................

Então o sistema linear é classificado como ...............................................................

Complete a tabela a seguir.

Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente

Primeira equação 3 yx

Segunda equação 3 yx

Que relação existe entre os valores dos coeficientes da primeira equação com os

coeficientes da segunda equação?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

266

Tarefa 1b. Sem usar o Winplot, qual deve ser o valor de “b” no sistema

byx

yx 7

para que se obtenham duas retas coincidentes? ........................................................


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

267


4

4

yx




Equação 1: 4 yx

Equação 2: 4 yx



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

268



422

66

yx






.....................................................................................................................................

Tarefa 1a. Dado o sistema linear

422

1266

yx

yx. Pela tarefa anterior, você observou

que sua representação gráfica é dada por duas retas ................................................

Então o sistema linear é classificado como ................................................................


Coeficiente de

x

Coeficiente de

y Termo

independente





.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


933

1515

yx

byx para que se obtenham duas retas coincidentes?

.....................................................................................................................................

269


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


ayx

yx

64






.....................................................................................................................................


1264

632

yx

yx. Pela tarefa anterior, você observou

que sua representação gráfica é dada por duas retas ................................................



Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente





.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

270


byx

yx

159

153 para que se obtenham duas retas coincidentes?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


24126

84

yx






.....................................................................................................................................


24126

842

yx


observou que sua representação gráfica é dada por duas retas

................................................


271


Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente





.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


2420

625

ayx






.....................................................................................................................................


24820

625

yx


observou que sua representação gráfica é dada por duas retas

................................................


272


Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente





.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


sistema linear

2488

622

yx

yx. Agora faça a mesma construção no Winplot e

compare os resultados. O que observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

273


2488

622

yx

yx. Como você


sistema?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



indeterminado, será .....................................................................................................

Um sistema possível e indeterminado, tem ................................................ soluções.

274




a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

301515

105

yx

yax d)

643

126

yx

ayx

e)

4221

1477

yax

yx f)

93

1856

ayx

yx g)

357

1032

ayx

yx h)

306

1042

ayx

yx

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


indicado, o que você encontraria?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



feydx

cbyax (com a, b,c,d,e e f não nulos)


infinitas soluções.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

275


sistema do tipo

033 yx




.....................................................................................................................................

276

APÊNDICE K – Redesign do caso SPI – Atividade Adicional

ATIVIDADES ADICIONAL Dupla: ...................

Tarefa 1. No Winplot, determine o valor de a no sistema para obter duas retas

coincidentes.

ayx

yx

52

8104

Qual foi o valor encontrado? .................................................................................

Anote os resultados na tabela seguinte.

Coeficiente de x Coeficiente de y Termo

independente

Primeira equação

8104 yx

Segunda equação

ayx 52

Olhando os valores dos coeficientes de x, dos coeficientes de y e dos termos

independentes das duas equações, você percebe alguma relação (uma operação

matemática) entre eles? Se sim, escreva essa relação.

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................


coincidentes.

ayx

yx

24

151020


277



independente

Primeira equação

151020 yx

Segunda equação

ayx 24

A relação encontrada na tarefa 1 (operação matemática) também deve ser válida

na tarefa 2. Veja se a relação que você encontrou funciona neste exercício

também. Em caso negativo, procure descobrir outra que funcione para as duas

situações.

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................

...............................................................................................................................


coincidentes.

ayx

yx

12

1248




independente

Primeira equação

1248 yx

Segunda equação

ayx 12

278

A relação encontrada nas tarefas anteriores também deve funcionar na tarefa 3.

Verifique se o que você descobriu nos exercícios anteriores vale nesta situação.

Em caso negativo, procure encontrar uma relação que funcione nas três

situações.

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

Tarefa 4. Sem utilizar o Winplot e sem resolver o sistema, como você explicaria

para um colega que a representação gráfica do sistema linear

312

18612

yx

yx é

constituído por duas retas coincidentes?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

Tarefa 5. Sem utilizar o Winplot, forneça um exemplo de sistema (diferente dos

anteriores) que gere duas retas coincidentes, ou seja, que seja um sistema

possível e indeterminado. Como você pensou para construir esse sistema?

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

279

APÊNDICE L – Redesign do caso SI



433

66

yx






.....................................................................................................................................

Qual a classificação deste tipo de sistema? Justifique ...............................................

Tarefa 1a. Selecione no Winplot, um caso que gerou duas retas paralelas distintas.

Complete a tabela:

Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente

Primeira equação

Segunda equação



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

280

Selecione no Winplot outro caso que gerou duas retas paralelas distintas.

Complete a tabela:

Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente

Primeira equação

Segunda equação



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


byx

yx 1244 para que se obtenham duas retas paralelas distintas?

.....................................................................................................................................

Agora faça o exercício no Winplot e compare o resultado com sua resposta.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


16128

32

yx






.....................................................................................................................................

281

Tarefa 2a. Selecione no Winplot, um caso que gerou duas retas paralelas distintas.

Complete a tabela:

Coeficiente de

x

Coeficiente de

y

Termo independente

Primeira equação

Segunda equação



.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................


888

622

yx


observou?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

282


Equação 1: 622 yx

x -3 0 1

y 1 0

Equação 2: 888 yx

x 2

3

y

6

3

2


solução desse sistema? Como ele é classificado?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



................................................................................

A quantidade de soluções de um sistema impossível é ..............................................


283



a)

633 yx

ayx b)

ayx

yx

104

852 c)

ayx

yx

126

1042

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

Qual seria a representação gráfica desses sistemas?

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................



feydx

cbyax (com a, b,c,d,e e f não nulos)


seja impossível.

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

.....................................................................................................................................

284


055 yx



.....................................................................................................................................

................................................................................................................................

285

APÊNDICE M – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno A

287

APÊNDICE N – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno B

289

APÊNDICE O – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno C

291

APÊNDICE P – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno D

293

APÊNDICE Q – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno E

295

APÊNDICE R – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido do Aluno F

anÁlise da qualidade de sistemas lineares: …...conversions operating graphics in didactical books...

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