UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

ANÁLISE DE ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS NÃO-VISCOSOS EM TRÊS DIMENSÕES UTILIZANDO O

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POR ARESTA

DANIEL MORAES VENTURA

Orientador: Prof. Dr. Paulo Roberto Maciel Lyra

Co-orientador: Prof. Dr. Ramiro Brito Willmersdorf

Dissertação de Mestrado

Recife – Fevereiro 2008

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

Daniel Moraes Ventura

ANÁLISE DE ESCOAMENTOS COMPRESSÍVEIS NÃO-VISCOSOS EM TRÊS DIMENSÕES UTILIZANDO O

MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS POR ARESTA

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada ao Departamento de Enge-

nharia Civil, do Centro de Tecnologia e Geociências

da Universidade Federal de Pernambuco, como parte

dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em

Engenharia Civil, área de concentração Estruturas

defendida em Recife no dia 29/02/2008.

Orientador: Prof. Dr. Paulo Roberto Maciel Lyra

Co-orientador: Prof. Dr. Ramiro Brito Willmersdorf

Recife – Fevereiro 2008

i

V468a Ventura, Daniel Moraes.

Análise de escoamentos compressíveis não-viscosos em três di-mensões utilizando o método dos elementos finitos por aresta / Daniel Moraes Ventura. - Recife: O Autor, 2008.

v, 68 folhas, il : figs., tabs. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco.

CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2008. Inclui Bibliografia e Apêndices. 1. Engenharia Civil. 2.Modelagem Matemática. 3.Escoamento dos

Fluídos. I. Título. UFPE

624 CDD (22. ed.) BCTG/2008-034

ii ii

iii

Dedico este trabalho a minha esposa, minha mãe e aos ensinamentos deixa-dos pelo meu pai que sempre me dizia um tre-cho citado por Lauro Trevisan: “Sou perfeito alegre e forte, tenho amor e muita sorte, sou feliz e inteligente, vivo positivamente, tenho paz sou um sucesso, tenho tudo que eu peço,

acredito firmemente no poder da minha mente, porque é Deus no meu subconsciente”.

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AGRADECIMENTOS Obedecendo a uma ordem cronológica, gostaria de agradecer inicialmente aos professores que me incentivaram a entrar no Mestrado em Engenharia Civil que foram eles: o Professor José Inácio de Souza Leão Ávila, a Professora Silvana Maria Bastos Afonso da Silva e o Professor Ézio da Rocha Araújo que em momentos iniciais do mes-trado me mostraram bem o caminho a ser seguido. O Professor orientador Paulo Roberto Maciel Lyra que me aceitou como seu a-luno e que ao longo desses dois anos proporcionou a minha evolução em termos intelec-tuais e sociais, uma vez que sua capacidade de lidar com problemas é muito elevada e sempre com uma mentalidade de compartilhar os seus conhecimentos e num espírito de que a sinergia de um trabalho em grupo é sempre ordens de grandeza maior que de uma unidade. Obrigado, Paulo. O Professor co-orientador Ramiro Brito Willmersdorf que com sua grande expe-riência contribuiu bastante no desenvolvimento do programa computacional e também para elaboração da escrita da dissertação. Os meus amigos que tive a sorte de dividir a sala de trabalho durante o período deste trabalho que são eles: Alessandro Romário Echevarria Antunes que é uma pessoa muito talentosa e tranqüila que sempre me deu força e me ajudou bastante principal-mente quando o tema era deduções matemáticas uma vez que o mesmo é matemático, Darlan Karlo Elisiário de Carvalho que por ser uma pessoa muito sábia sempre me aju-dou dando explicações e sendo duro para que a meu crescimento fosse melhor e mais embasado e também a Rogério Soares da Silva que com sua personalidade e inteligência sempre naquela serenidade contribuiu no meu dia a dia, dando dicas e ajudando a resol-ver problemas “bestas” de computação. Essas três pessoas realmente fizeram com que dois anos se passassem muito rápido, sem nenhum tipo de problema e que vai dar sau-dades, eles se tornaram aquelas pessoas que o resto da minha vida estarão na minha lembrança. Aos demais Professores, funcionários e amigos do Departamento de Engenharia Civil e Mecânica pelo apoio para o desenvolvimento desta dissertação. Aos Professores da banca que foram: Professor Gustavo Koury Costa e o Profes-sor Jaime Joaquim da Silva Pereira Cabral que no final do trabalho contribuíram para uma dissertação mais elaborada. Por fim a CAPES pelo suporte financeiro fundamental para o desenvolvimento desta dissertação.

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INDICE INDICE............................................................................................................................. v RESUMO ......................................................................................................................... 1 ABSTRACT ..................................................................................................................... 2 1. Introdução................................................................................................................. 5

1.1 Considerações Iniciais ...................................................................................... 5 1.2 Principais Objetivos.......................................................................................... 6 1.3 Organização da Dissertação.............................................................................. 7

2. Equações Governantes.............................................................................................. 8 2.1 Introdução......................................................................................................... 8 2.2 Conceitos Introdutórios Matemáticos, Físicos e Numéricos ............................ 9

2.2.1 Classificação das Equações Diferenciais Parciais .................................... 9 2.2.2 Condições de Contorno e Condições Iniciais ......................................... 11

2.3 Leis de Conservação e Equações Constitutivas.............................................. 13 2.3.1 Conservação de Massa............................................................................ 14 2.3.2 Conservação da Quantidade de Movimento........................................... 15 2.3.3 Conservação de Energia ......................................................................... 16

2.4 Equações da Dinâmica dos Fluidos ................................................................ 17 2.4.1 Equações da Dinâmica dos Gases .......................................................... 17 2.4.2 Equação de Euler para Escoamentos Compressíveis ............................. 19

3. MODELAGEM computacional.............................................................................. 21 3.1 Aproximação por Elementos Finitos .............................................................. 21 3.2 Estrutura de Dados por Aresta........................................................................ 24 3.3 Formulações Tipo Upwind ............................................................................. 26

3.3.1 Formulação de 1a Ordem........................................................................ 26 3.3.2 Formulação de Ordem Superior – MUSCL/LED................................... 29 3.3.3 Funções Limitadoras .............................................................................. 30

3.4 Discretização do Tempo ................................................................................. 31 3.5 Condições de Contorno .................................................................................. 33 3.6 Visão Geral do Programa ............................................................................... 35 3.7 Considerações Práticas nas Simulações Numéricas ....................................... 36

4. Resultados numéricos ............................................................................................. 38 4.1 Tubo de Choque ............................................................................................. 38 4.2 Choque Oblíquo em Placa Plana .................................................................... 41 4.3 Problema de Escoamento de Ar sobre um Cilindro ....................................... 43 4.4 Escoamento de Ar sobre uma Asa Padrão (NACA 0012).............................. 49

5. conclusões e trabalhos futuros................................................................................ 52 5.1 Conclusões...................................................................................................... 52 5.2 Trabalhos Futuros ........................................................................................... 52

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................................54

APÊNDICE A .................................................................................................................57

APÊNDICE B .................................................................................................................63

APÊNDICE C .................................................................................................................64

APÊNDICE D .................................................................................................................68

RESUMO

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta computacional para simulação numérica de problemas de escoamentos fluidos compressíveis para três dimensões, utilizando como ponto de partida a ferramenta computacional desenvolvida por LYRA (1994) que, no caso, tratava problemas de escoamentos fluidos em domínios bidimensionais. Para o desenvolvimento desta ferramenta foi adotada uma discretização espacial utilizando o método dos elementos finitos com estrutura de dados baseada nas arestas dos elementos, e com o domínio sendo discretizado por uma malha de tetraedros. As equações de Euler são as equações que regem os fenômenos estudados neste trabalho. Para o desenvolvimento desta ferramenta foi utilizado o método de elementos finitos do tipo Galerkin, e este leva a soluções oscilatórias e instáveis em problemas hiperbólicos, por tratar-se de uma aproximação centrada do termo convectivo. Assim, herdando as técnicas de discretização tipo “Upwind” originadas do método das diferenças finitas e amplamente utilizadas no método dos volumes finitos, utilizou-se para estabilização a discretização tipo “Upwind” de primeira ordem de Roe, e posteriormente de MUSCL/LED (Monotonic Upstream-centered Schemes for Conservations Laws – Local Extremum Diminishing) com funções limitadoras para estabilização de ordem superior e captura de choques sem oscilações e de forma acurada. É importante frisar que para a geração das malhas tetraédricas adotadas nas simulações utilizou-se o programa Gmsh. A estrutura de dados baseada em arestas demanda o cálculo de alguns coeficientes, que não são fornecidos por geradores de malhas convencionais. Assim, foi necessário desenvolver um pré-processador utilizando a linguagem C++, baseado no pacote de gerenciamento de malhas FMDB (Flexible Distributed Mesh Database) e programas em Matlab ou Octave para finalização do cálculo destes coeficientes. Este préprocessador foi desenvolvido separadamente do programa principal pelo motivo de que os coeficientes dependem apenas da geometria da malha e sendo assim, é executado uma única vez para cada malha. A linguagem computacional utilizada para o desenvolvimento do programa principal foi FORTRAN 90, a qual possibilitou uma melhor estruturação e modularidade quando comparados com o FORTRAN 77. Para a visualização dos resultados obtidos utilizaram-se os programas VisIt e ParaView. Por fim, alguns testes numéricos foram realizados e confrontados com resultados encontrados na literatura. Palavras Chave: Escoamentos compressíveis; Elementos finitos; dinâmica dos fluidos computacionais.

1

ABSTRACT

This work has as its main goal the development of a computational tool for nu-merical simulation of compressible fluid flow problems for three dimensions, using as starting point the computational tool developed by LYRA (1994) that dealt with fluid flow problems in two dimensional domain. For the development of this tool, a space discretization was adopted using the finite element method with an edge based data structure, and with the domain being discretized by a tetrahedra mesh. The Euler equations represent the phenomena studied in this work. A Galerkin finite element formulation was used and this creates oscillatory solutions and is unstable for hyperbolic problems, as it is based an a centered approach of the convective term. Upwind discretization techniques, originated in the finite difference method and widely used in the finite volume method, it were used for stabilization. The techniques used were a first order Upwind scheme proposed by Roe, and a MUSCL/LED (Monotonic Upstream-centered Schemes will be Conservations Laws -Local Extremum Diminishing) scheme with limiter functions for stabilization of high order and capture of shocks without oscillations. For generation of meshes for the simulations the Gmsh program was used. The C++ language was used to develop a pre-processor, based on a package for meshes management called FMDB (Flexible Distributed Mesh Database) and Matlab or Octave were used for finishing the necessary calculations to be used in the processor. This preprocessor was developed separately of the main program because edge coefficients depend only on the mesh and it is run only once for each mesh. The programming language for the development of the main program was FORTRAN 90, which made possible one better script and modularity when compared with FORTRAN 77. For the visualization of the results Visit and Para-View were used. Finally, some numerical tests were carried through and compared with results found in literature. Key words: Compressive flows; finite elements; computational fluid dynamic.

2

3

LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 - Problema elíptico. ....................................................................................... 10 Figura 2.2 - Problema parabólico (esq.) e problema hiperbólico (dir.). ......................... 11 Figura 2.3 - Domínio Finito em 1D................................................................................ 11 Figura 2.4 - Sistema Euleriano (fluido em movimento e volume de controle fixo)....... 14 Figura 3.1 – Condição inicial para solução de um problema de Riemann. .................... 26 Figura 3.2 – Solução típica do problema de Riemann para as equações de Euler 1-D. . 27 Figura 3.3- Estêncil extendido fictício utilizado no método de MUSCL/LED. ............. 29 Figura 3.4 – Valores nas interfaces das arestas para o método de MUSCL/LED.......... 30 Figura 4.1 - Condição Inicial do Tubo de Choque. As condições a esquerda e a direita38 Figura 4.2 - Resultado dos Valores da Massa Específica após a Simulção de Primeira Ordem (Roe) e Ordem Superior (MUSCL/LED) para o Tubo de Choque (tempo de 0.2 s e uma malha de 15.988 nós). .......................................................................................... 39 Figura 4.3 – Gráfico que confronta os Valores da Massa Específica utilizando aproximações de primeira ordem (Roe - Azul) e de ordem superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Tubo de Choque . .............................................................................. 40 Figura 4.4 - Resultado dos Valores da Pressão após a Simulação de Primeira Ordem (Roe) e Ordem Superior (MUSCL/LED) para o Tubo de Choque (tempo de 0.2 s e uma malha de 15.988 nós)...................................................................................................... 40 Figura 4.5 - Gráfico que confronta os valores da Pressão utilizando aproximações de primeira ordem (Roe - Azul) e de ordem superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Tubo de Choque . ........................................................................................................... 41 Figura 4.6 – Descrição do problema Choque Oblíquo sobre Placa Plana e Solução Analítica. ........................................................................................................................ 42 Figura 4.7 – Resultado dos Valores da Massa Específica após a Simulação de Primeira Ordem (Roe - Azul) e de Ordem Superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Choque Oblíquo em Placa Plana.................................................................................................. 42 Figura 4.8 – Gráfico que confronta os valores da Massa Específica utilizando aproximações de Primeira Ordem (Roe - Azul) e de Ordem Superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Choque Oblíquo ................................................................................ 43 Figura 4.9 - Condições iniciais, de contorno e geometria para a simulação de um escoamento fluido sobre um cilindro (número de Mach=3.0). ...................................... 44 Figura 4.10 – Visualização do Choque na região a frente e atrás do cilindro vista através de um corte. .................................................................................................................... 45 Figura 4.11 – Visualização do Choque na região a frente e atrás do cilindro vista sem cortes............................................................................................................................... 45 Figura 4.12 - Valores da massa específica utilizando aproximações de primeira ordem (Roe). .............................................................................................................................. 46 Figura 4.13 - Valores do número de Mach utilizando aproximações de primeira ordem (Roe). .............................................................................................................................. 46 Figura 4.14 - Valores da Pressão utilizando aproximações de primeira ordem (Roe). .. 47 Figura 4.15 – Valores da massa específica utilizando aproximações de segunda ordem (MUSCL/LED)............................................................................................................... 47 Figura 4.16 – Valores do número de Mach utilizando aproximações de segunda ordem (MUSCL/LED)............................................................................................................... 48 Figura 4.17 – Valores da pressão utilizando aproximações de segunda ordem (MUSCL/LED)............................................................................................................... 48

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Figura 4.18 – Comparação entre solução encontrade primeira ordem (Roe) e de segunda........................................................................................................................................ 49 Figura 0.1 – Condições iniciais, de contorno para a simulação de um escoamento fluido sobre uma asa padrão (NACA 0012) (número de Mach=1.2).........................................50 Figura 4.20 – Valores da massa específica e suas isofaixas para escoamento fluido em torno de uma asa padrão NACA 0012, com ângulo de ataque de 0o e Mach 1.2, mostrando a simetria dos resultados............................................................................... 50 Figura 4.21 – Valores do número de Mach e suas isofaixas para escoamento fluido em torno de ........................................................................................................................... 51 Figura 4.22 – Valores da pressão e suas isofaixas para escoamento fluido em torno de 51

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1. INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

A Modelagem Matemática pode ser entendida como sendo um processo através do qual a evolução ou o estado de um sistema real é representado através de relações matemáticas, após serem efetuadas idealizações e aproximações adequadas.

Com o advento dos computadores e sua introdução no mundo da ciência e da tec-nologia houve um grande desenvolvimento tanto na Modelagem Matemática quanto na Simulação Numérica, que são representações matemáticas resolvidas numericamente através de computadores e que representam fenômenos naturais regidos por leis físicas.

Assim, nesta dissertação foi feita a Modelagem Matemática e Simulação Numéri-ca do escoamento de um fluido em altas velocidades onde a compressibilidade do fluido não pode ser desprezada. Um exemplo deste tipo de situação pode ser encontrado no fluxo de ar em torno de uma asa de avião a jato em regime de cruzeiro onde as veloci-dades do fluido (ar) são elevadas podendo ser maiores que a velocidade do som e fenô-menos de compressibilidade geram problemas no comportamento da dinâmica da aero-nave.

Nesse contexto, a área da ciência e tecnologia que engloba a simulação computa-cional de escoamentos de fluidos é conhecida como CFD (Computational Fluid Dyna-mics). Essa área vem se desenvolvendo cada vez mais rapidamente com os avanços dos computadores, pois no passado, com a baixa capacidade computacional em termos de memória e capacidade de processamento, os problemas reais eram muito grandes para serem modelados como um todo, mas na atualidade os problemas começam a ser resol-vidos cada vez mais de maneira completa, envolvendo modelos complexos e de grande porte próximo da representação da realidade. Sempre existirão erros nas simulações, po-rém, serão tanto menores quanto mais sofisticados forem os computadores e os algorit-mos empregados na simulação numérica, aproximando cada vez mais o modelo compu-tacional da realidade.

Hoje em dia, as indústrias cada vez mais complementam análises experimentais com simulações computacionais para garantir que produtos economicamente e tecnica-mente viáveis sejam projetados o mais rapidamente possível.

No passado, na fase de projeto era gasto muito tempo e dinheiro para realização de testes experimentais que garantissem que o novo produto iria estar dentro das especi-ficações que lhe foram atribuídas. Atualmente utilizamos as ferramentas de CFD, por exemplo, para garantir essas mesmas atribuições, só que agora a um custo bem inferior. Pode-se utilizar CFD, por exemplo, para reduzir o número de experimentos e o tempo de análise e otimização de projetos e com isso ter uma grande economia financeira.

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1.2 Principais Objetivos

Nas indústrias mais desenvolvidas, como aeronáutica, petrolífera e biomédica a ferramenta de CFD vem sendo utilizada cada vez mais para reduzir custos, evitar perdas de tempo e aumentar a segurança. Por esse motivo, métodos numéricos estão em cons-tante desenvolvimento para acompanhar e suprir as necessidades que estas indústrias demandam. Assim, surgiu à idéia do desenvolvimento de um programa de computador que, baseado em um algoritmo desenvolvido por LYRA (1994), simula escoamentos de fluidos compressíveis em domínios tridimensionais. Para realizar tais simulações, o al-goritmo precisa ter um certo grau de confiabilidade, robustez, eficiência e versatilidade. O esforço para atingir esse nível de exigência para a solução do comportamento da di-nâmica dos fluidos é gigantesco, pois muitas das dificuldades surgem no decorrer do desenvolvimento e encontrar saídas para essas dificuldades não previstas às vezes não é trivial.

O objetivo deste trabalho é a realização de simulações de escoamentos de fluidos compressíveis em um domínio tridimensional. Utilizaremos para isso uma malha for-mada por tetraedros que representam o domínio real e que aproxima assim, o meio con-tínuo formado por infinitos pontos por um meio discreto formado por um número finito de elementos. Os elementos tetraédricos permitem discretizar geometrias com formas complexas de uma maneira relativamente simples, utilizando para isso programas com-putacionais que geram malhas discretas de elementos.

Para implementação do código computacional foi utilizada uma formulação já de-senvolvida, LYRA (1994) e PERAIRE et al. (1993), em elementos finitos através da utilização de variáveis conservativas.

Para validação do algoritmo, foram realizados exemplos numéricos com soluções conhecidas na literatura para comparação dos resultados e também efetuar uma análise crítica do algoritmo como um todo, enfatizando as suas vantagens, desvantagens e limi-tações nas realizações de simulações de escoamentos de fluidos compressíveis. Por fim, foi feito um esforço adicional para mostrar algumas deduções de ex-pressões e passo a passo de alguns cálculos que usualmente são omitidas em trabalhos científicos.

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1.3 Organização da Dissertação

Esta dissertação está dividida em cinco capítulos e quatro apêndices que contém as metodologias desenvolvidas bem como informações gerais para o desenvolvimento de um algoritmo para dinâmica dos fluidos computacional.

No capítulo 2, são apresentados conceitos matemáticos utilizados para a modela-gem de fenômenos da dinâmica dos fluidos, leis de conservação, equações básicas que governam o escoamento de fluidos e simplificações realizadas no modelo matemático para escoamentos de fluidos compressíveis.

No capítulo 3, é apresentada a modelagem computacional, que realiza uma apro-ximação por elementos finitos do sistema de equações de Euler. Em seguida, é descrito a utilização de uma estrutura de dados por aresta em lugar da tradicional estrutura de dados por elementos e como a aproximação de Galerkin é estabilizada através do méto-do de primeira ordem sugerido por Roe e de MUSCL/LED. Também é mostrado como são tratadas as condições de contorno e como é feita a discretização da variável tempo-ral. Por fim, uma visão geral do programa é descrita e algumas considerações práticas de implementação computacional são realizadas.

No capítulo 4, são apresentados os resultados numéricos dos quatro casos analisa-dos (tubo de choque, choque sobre placa plana, escoamento sobre cilindro e escoamento sobre uma asa NACA 0012) com suas peculiaridades referentes às condições de contor-no, condições iniciais, geometria, significado do teste em relação ao algoritmo e compa-rações e conclusões com resultados obtidos da literatura.

No capítulo 5, é mostrado um resumo dos mais importantes conhecimentos adqui-ridos e conclusões realizadas no desenvolvimento desta dissertação e algumas sugestões e cuidados para trabalhos posteriores.

Por fim, nos apêndices são mostrados, em detalhes, o cálculo dos coeficientes uti-lizados na formulação matemática e como multiplicar de forma simples a matriz de Roe por um vetor genérico, a demonstração da expressão matemática utilizando uma estrutu-ra de dados por aresta e dedução das expressões matemáticas utilizadas nos testes para verificação dos cálculos dos coeficientes das arestas.

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2. EQUAÇÕES GOVERNANTES

2.1 Introdução

A simulação computacional de um sistema físico real parte de uma modelagem matemática do problema em questão. Sabemos que devido a complexidade inerente aos fenômenos naturais, não é possível incluir em modelos matemáticos e computacionais todos os fenômenos físicos que compõe o problema de interesse. Por isso é de suma im-portância que tanto na engenharia quanto na pesquisa científica que se conheça bem o modelo matemático utilizado e suas limitações com relação aos futuros resultados que serão obtidos por esse modelo, pois, falhas na compreensão dos mesmos podem causar sérios problemas e até catástrofes, dependendo da sua finalidade. Quando um modelo matemático e seu modelo computacional associado são definidos, esta escolha está for-temente vinculada ao equipamento computacional disponível para realização do expe-rimento e análise dos resultados, pois um modelo muito complexo pode tornar-se inviá-vel em termos de tempo ou de custo operacional para realização dos experimentos ne-cessários. Assim, uma análise prévia do equipamento disponível e do modelo a ser ado-tado deve ser realizada para uma escolha adequada do grau de sofisticação da modela-gem matemática e computacional.

Normalmente os problemas físicos, por exemplo, na mecânica dos fluidos, na transferência de calor e na mecânica dos sólidos, são modelados matematicamente por equações diferenciais parciais (EDP). Existem diversos métodos para encontrar soluções de equações diferenciais parciais como: separação de variáveis, transformadas integral, métodos numéricos, entre outros, que levam a resultados satisfatórios para os problemas que estamos modelando matematicamente. Cada método possui sua importância parti-cular, porém, nenhum deles é capaz de atingir a robustez e flexibilidade dos métodos numéricos. Estes permitem lidar com geometrias complexas, não-linearidades, sistemas de equações diferenciais acoplados, etc. que possibilitam obter resultados considerados satisfatórios para grande parte dos problemas reais de engenharia.

No processo de simulação numérica na mecânica dos fluidos computacional inú-meras aproximações estão envolvidas, começando com a hipótese do “Continum”, pas-sando em seguida por técnicas numéricas e por fim a análise dos resultados e possíveis correções de erros numéricos que venham a poluir uma representação real da física do problema.

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2.2 Conceitos Introdutórios Matemáticos, Físicos e Numéricos

2.2.1 Classificação das Equações Diferenciais Parciais

De um ponto de vista puramente matemático, existem diversas formas de classifi-car uma Equação Diferencial Parcial (EDP) e assim alguns desses conceitos serão revis-tos, pois serão bastante utilizados no decorrer desta dissertação.

A estreita relação existente entre fenômenos físicos e o modelo matemático asso-ciado aos mesmos, nos possibilita uma classificação natural das equações diferenciais parciais estudadas na mecânica dos fluidos computacional. Para definições matemáticas mais precisas sobre como classificar equações diferenciais parciais o leitor deve consul-tar, ANDERSON et al. (1984), FARLOW (1982), FLETCHER (1988) e HIRSCH(1988).

Antes de partirmos para um problema onde existem sistemas de equações acopla-dos é interessante trabalharmos com um problema escalar simplificado que pode mode-lar um sistema de interesse complexo.

O modelo de Burgers é muito utilizado em dinâmica dos fluidos computacional. Dele podemos deduzir outras equações, e estas são utilizadas para fazer comparações e validar novos códigos computacionais, ou ainda, novas formulações matemáticas visto que muitas soluções exatas destas EDP’s estão disponíveis na literatura.

A Equação Diferencial Parcial de Burgers difusiva unidimensional e generalizada pode ser escrita da seguinte forma:

U F G

Q∂ ∂ ∂

+ = +∂ ∂ ∂t x x

(2.1)

onde:

( )

( )( )

( )

( )

(Incógnita)

(Fluxo Convectivo)2

(Fluxo Difusivo)

(Termo de Fonte)

U u ,

u ,F u ,

u ,G

Q f ,

=

= +

∂=

∂

=

a x t

x tb c x t

x td

x

e x t

(2.2)

ou, escrevendo da forma quase-linear:

( ) ( ) ( ) ( )( )

2

22

u , u , u , u ,f ,

∂ ∂ ∂+ + = +

∂ ∂ ∂

x t x t x t x ta b c d e x t

t x x (2.3)

onde “a”,“b”,“c”,“d” e “e” são constantes quaisquer. A constante “a” determina se o fe-nômeno é dependente do tempo ou se apenas estamos interessados no regime estacioná-rio, ou seja, solução não varia com o tempo.

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As constantes “b” e “c” representam a presença do transporte convectivo, podendo ser linear ( )0c = ou não-linear ( )0c ≠ .

A constante “d” regula a quantidade de dissipação ou difusão do problema e apa-rece como um termo de derivada de segunda ordem na equação. Por fim, “e” determina a existência ou não de fontes (ou sumidouros) no domínio.

A equação de Burgers expandida possui quase todas as importantes características presentes nas equações que governam os fenômenos da dinâmica dos fluidos e transfe-rência de calor. A contribuição de cada termo da equação de Burgers está diretamente relacionada ao comportamento físico do problema e irá determinar a natureza matemáti-ca da Equação Diferencial Parcial.

Mostramos a seguir algumas equações modelo importantes que podem ser deriva-das da equação de Burgers de acordo com a escolha das constantes “a”,“b”,“c”,“d” e “e” a sua classificação matemática e um exemplo de um fenômeno físico regido pela equação resultante apresentada.

Termo Transiente

Termo Convectivo

Termo Difusivo

Equação Classificação Matemática

Exemplo

0a ≠ 0

0

b

c

=

= 0d ≠ Difusão Parabólica

Condução de calor (Regime Transiente)

0a = 0

0

b

c

=

= 0d ≠ Poisson Elíptica

Condução de calor (Regime Permanen-

te)

0a ≠ 0

0

=

≠

b

c 0d = Burgers Hiperbólica

Propagação de On-das não-Lineares

Tabela 2.1 – Equações derivadas da equação de Burgers.

A classificação de equações diferenciais parciais baseada nas linhas característi-cas ou curvas de propagação de informação, permite distinguir as equações diferenciais parciais de segunda ordem em três categorias: elíptica, parabólica e hiperbólica, (ver ta-bela 2.1). No problema elíptico a solução em qualquer ponto P depende e influência todos os pontos do domínio e do contorno do problema (Figura 2.1).

Figura 2.1 - Problema elíptico. Equações parabólicas e hiperbólicas são subclasses de problemas de marcha ou problemas de valor inicial e de contorno, onde a diferença fundamental está relacionada entre o limite do domínio de dependência e o domínio de influência da solução em um ponto dado qualquer (Figura 2.1). Por exemplo, a temperatura em um tempo e ponto fi-xo é dependente da temperatura em todos os pontos do domínio em um tempo anterior ou atual e irá influenciar a temperatura atual e futura de todo o domínio.

Γ

P

Ω

11

Por outro lado, a principal propriedade das equações hiperbólicas é que ela é li-mitada por um domínio de influência definido por uma região específica que é função das linhas características que definem as direções de propagação das ondas (Figura 2.2).

Figura 2.2 - Problema parabólico (esq.) e problema hiperbólico (dir.).

É importante lembrar que o comportamento determinado pelo tipo de equação diferencial parcial tem influência direta na escolha da modelagem computacional do problema, determinando, por exemplo, qual o tipo de discretização adequada, bem co-mo o tratamento das condições de contorno.

2.2.2 Condições Iniciais e Condições Contorno

A solução de todos os tipos de equações diferenciais parciais depende de condi-ções iniciais e/ou condições de contorno. Além disso, do ponto de vista matemático te-mos que garantir de que o problema é bem posto. Segundo Hadamard, se o problema é bem posto, a solução do problema existe, é única e depende continuamente das condi-ções iniciais e das condições de contorno. A prova destas informações qualitativas sobre soluções de um problema dado qualquer é assunto de Análise Matemática, ANDERSON et al. (1984), ODEN (1979) e REDDY (1986). Para um problema escalar descrito pela equação de Burgers e considerando o domínio unidimensional representado na Figura 2.3 a seguir, a condição inicial pode ser descrita como:

0 0 0( , ) ( ) para todo em no tempo u x t u x x t t= Ω = (2.4) onde 0u representa uma distribuição (ou função) da variável u conhecida no tempo 0t em Ω , que representa o domínio espacial finito.

Figura 2.3 - Domínio Finito em 1D. onde L ReΓ Γ representam os contornos a direita e a esquerda.

L RΓ = Γ ∪ Γ

T

0t

LΓ Ω

P

RΓ

T

0t LΓ Ω

RΓ

P

RΓ Ω LΓ

12

De um ponto de vista matemático, existem dois tipos básicos de condições de contorno para uma Equação Diferencial Parcial de 2a ordem, descrita pelo modelo uni-dimensional:

Tipo I 0

D( , ) em no tempo u u x t t t= Γ ≥ (2.5)

onde u representa um valor prescrito da solução no contorno DΓ , e

Tipo II

0N( , ) em no tempo

ug x t t t

x

∂= Γ ≥

∂ (2.6)

onde, g representa o valor específico da derivada da variável u no contorno NΓ .

O primeiro tipo de condição de contorno descrito, é chamado de Dirichlet ou

condição de contorno essencial e o segundo tipo descrito é chamado de Neumann ou condição de contorno natural. É possível ainda um terceiro tipo conhecido como condi-ção de contorno de Robin ou Mista, representado por uma combinação da condições de contorno de Dirichlet e de Neumann no mesmo contorno.

Para equações elípticas e parabólicas, em ambos os contornos R e LΓ Γ alguma

condição de contorno deve ser imposta com Dirichlet sendo necessária pelo menos em um ponto do contorno. Para equações hiperbólicas, de primeira ordem, apenas condi-ções de contorno de Dirichlet podem ser aplicadas, e apenas em um dos contornos que fica determinado pelo sentido da propagação da onda no meio. Para maiores detalhes sobre o complexo assunto relativo às condições de contorno para as equações diferenci-ais parciais da dinâmica dos fluidos, ANDERSON et al. (1984), FLETCHER (1988) e HIRSCH (1988).

13

2.3 Leis de Conservação e Equações Constitutivas

A maioria dos fenômenos encontrados na mecânica dos fluidos, CURRIE (1974) e HIRSCH (1988), recai em um problema onde o postulado do “Continum” é conside-rado e podemos desprezar os fenômenos que ocorrem a nível microscópico. Apesar de isso parecer um fato menos realístico do que o da teoria cinética, é muito mais simples e de ampla utilização adotar uma aproximação considerando o modelo contínuo para de-rivar as equações da dinâmica dos fluidos.

A consideração do contínuo requer que o caminho médio livre percorrido pelas partículas deve ser bem pequeno quando comparado com o menor tamanho da escala física do sistema que está sendo considerado, por exemplo, a massa específica dos ele-mentos deve ser grande o suficiente para que o comportamento individual dos elemen-tos possa ser desprezado. Quando a escala de tamanho microscópica se aproxima da dimensão macroscó-pica, como por exemplo, quando um foguete passa pelo limite da camada atmosférica, onde o ar é rarefeito as interações entre as partículas tornam-se insignificantes e as mesmas se comportam essencialmente como se fossem elementos individuais. Essas si-tuações limites estão fora do escopo da mecânica do contínuo. Por outro lado, quando a menor escala de tamanho macroscópica se aproxima das dimensões microscópicas, como na estrutura de uma onda de choque, mais uma vez a hipótese do contínuo não é mais válida, mas a solução fraca ou integral da equação di-ferencial parcial ainda continua sendo possível como veremos em capítulos posteriores quando considerarmos equações hiperbólicas. Vale a pena ressaltar que um tema de grande interesse e importância atual diz respeito à considerar diferentes escalas na mo-delagem de certas classes de problemas onde uma única escala não permite modelar a-dequadamente os fenômenos existentes. As leis de conservação básicas na mecânica dos fluidos podem ser derivadas em um sistema Euleriano, ou seja, considerando que o fluido passa em um certo tempo t através de um volume de controle arbitrário fixo V com superfície S em relação ao sis-tema cartesiano de referência como mostrado na Figura 2.4. As equações que serão a-presentadas nesta seção foram derivadas assumindo uma única fase, fluido homogêneo e com nenhuma reação química ocorrendo durante as análises. A notação indicial de E-instein é adotada com a convenção de somatório que se aplica quando há índices repeti-dos em um termo da expressão.

As leis referidas anteriormente, representam uma formulação matemática dos princípios de conservação e se aplicam a todos os materiais. Porém, para completar as especificações das propriedades mecânicas de um material ou classes de materiais, al-gumas equações adicionais que são chamadas de equações constitutivas são necessárias. Mesmo sabendo que o material real não irá se comportar exatamente como foi modela-do matematicamente, podemos produzir modelos que representam uma excelente apro-ximação do comportamento real do material. As equações constitutivas devem satisfa-zer alguns princípios fundamentais, como princípio do determinismo, princípio da ação local, entre outros e também devem ser dimensionalmente consistentes, GURTIN (1981), SLATTERY (1964), SMOLLER (1983) e TRUESDELL (1965). Algumas leis experimentais devem ser declarados para garantir a definição das equações constitutivas para o material específico ou uma classe de materiais. Na mecânica dos fluidos preci-samos de axiomas que nos permitam encontrar a relação entre tensão versus deformação e fluxo de calor versus temperatura.

14

Como neste trabalho estamos considerando um escoamento não-viscoso e sem o termo de fonte, não exibiremos maiores detalhes das relações constitutivas referente ao tensor de tensões ijτ e a deformação do tensor ij∈ , nem em relação ao fluxo de calor

versus temperatura.

Figura 2.4 - Sistema Euleriano (fluido em movimento e volume de controle fixo).

2.3.1 Conservação de Massa

Na ausência de fontes e sumidouros, a massa de um fluido em um certo volume de controle V pode mudar somente por causa do fluxo de massa através da superfície S . Matematicamente, esta afirmação pode ser escrita como:

ρρ

∂= −

∂∫ ∫ j j

V S

dV u n dSt (2.7)

onde ρ representa a massa específica do fluido, t é a variável independente de tempo,

ju é a componente da velocidade do fluido e jn é a componente normal unitária, para

fora de S , com o índice j denotando as dimensões espaciais jx . Assumindo um nível

apropriado de continuidade para o integrando no lado direito da equação (2.7), o teore-ma da divergência pode ser usado e a expressão torna-se:

( )0

ρρ ∂∂ + = ∂ ∂ ∫

j

jV

udV

t x (2.8)

ou ainda, como o volume de controle pode ser arbitrário, o integrando tem que ser nulo, temos que:

( )0

j

j

u

t x

ρρ ∂∂+ =

∂ ∂ (2.9)

para qualquer ponto do domínio V . Esta última equação é conhecida na literatura como a equação da continuidade.

15

2.3.2 Conservação da Quantidade de Movimento

Excluindo forças mútuas, como por exemplo, as forças elétricas devido a des-cargas eletrostáticas dentro do fluido, a aplicação da segunda lei de Newton sobre um fluido que se move através de um volume de controle fixo nos permite escrever:

( )ρ

ρ σ ρ∂

= − + +∂∫ ∫ ∫ ∫

ii j j j ij i

V S S V

udV u u n dS n dS f dV

t (2.10)

onde a taxa de variação da quantidade de movimento do fluido em V é igual a taxa de variação do fluxo da quantidade de movimento através da superfície S mais o conjunto de forças externas atuando na massa do fluido no volume V . Estas forças são represen-tadas por forças internas if , como por exemplo, forças gravitacionais ou forças eletro-

magnéticas, ou ainda, por forças de superfícies que são representadas pelas componen-tes do tensor de tensões ijσ .

Para a classe dos fluidos que são considerados aqui, isto é, newtoniano, isotrópi-cos e homogêneos, o tensor de tensões tem a forma:

ij ij ijpσ δ τ= − + (2.11)

onde ijδ é o delta de Kronecker, p é a pressão termodinâmica e ijτ é a contribuição dos

esforços cortantes no tensor de tensões. Fazendo uso dessas relações de tensão e assu-mindo que as quantidades envolvidas nos termos com integrais de superfícies (2.10) são diferenciáveis e usando ainda o teorema da divergência, a equação da conservação da quantidade de movimento pode ser re-escrita como:

( ) ( ) ( )0

ρ δ τρρ

∂ ∂ ∂∂ + + − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∫

i j ij ijii

j j jV

u u puf dV

t x x x (2.12)

Como a escolha do volume de controle pode ser arbitrária, a equação da conservação da quantidade de movimento torna-se:

( ) ( )i j ij ijii

j j

u u puf

t x x

ρ δ τρρ

∂ + ∂∂+ = +

∂ ∂ ∂ (2.13)

para qualquer ponto do domínio V .

16

2.3.3 Conservação de Energia

A energia específica ε de um fluido consiste na energia específica interna e mais a energia cinética e pode ser expressa como:

1

2 i iu u eε = + (2.14)

Tendo isso em mente e desprezando efeitos de transferência de energia por radi-

ação, a primeira lei da termodinâmica pode ser escrita como:

( )

ρερε σ ρ

∂= − + +

∂

− +

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

j j j ij i j i

V S S V

j j

S V

dV u n dS n u dS u f dVt

q n dS QdV (2.15)

onde a taxa de variação da energia total do fluido em escoamento é igual a soma do flu-xo total através da superfície S mais o trabalho total realizado pelas forças externas so-bre o fluido e a parcela de transferência de calor por condução e por uma fonte ou sumi-douro de calor. O fluxo de condução de calor na direção jx é representado por jq e a

fonte ou sumidouro de calor por unidade de volume é dada por Q. Aplicando o teorema da divergência para as integrais de superfícies, a equação (2.15) torna-se:

( ) ( ) ( )0

ρε τρερ

∂ ∂ ∂∂ + − + − − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∫

j ij i jj j

j j jV

u u qu f Q dV

t x x x (2.16)

A integral de (2.16) deve ser zero para qualquer volume de controle ,V então o inte-grando é zero e a equação de conservação de energia, fazendo novamente o uso de (2.11) e após re-arrumar os termos da equação chegaremos então a:

( ) ( ) ( )ij ij jj j

j j j

up u qu f Q

t x x x

τρερερ

∂∂ + ∂∂ + = − + +∂ ∂ ∂ ∂

(2.17)

para qualquer ponto do domínio V .

17

2.4 Equações da Dinâmica dos Fluidos

O conjunto de equações envolvendo a conservação de massa, conservação de quantidade de movimento e conservação de energia em um meio contínuo é comumente chamada na literatura de equações de Navier-Stokes. Estas equações, na forma conser-vativa podem ser escritas utilizando-se uma notação vetorial compacta como:

para 1 3, ...U F G

B =∂ ∂ ∂

+ = + +∂ ∂ ∂

Sj j

j

j j

jt x x

(2.18)

onde j se refere à componente jx do espaço tri-dimensional euclidiano. Na equação

(2.18) U é o vetor das variáveis conservativas, F j é o vetor que representa o fluxo não-viscoso, G j representa o fluxo viscoso, B j é o vetor que representa as forças ex-ternas atuantes (esses vetores F j , G j e B j na realidade serão hiper-vetores, pois eles tem as três direções) e S é o vetor que leva em consideração o termo de fonte de calor. Esses termos são dados por:

1

2

3

U

ρ

ρ

ρ

ρ

ρε

=

u

u

u

( )

1 1

2 2

3 3

F

ρ

ρ δ

ρ δ

ρ δ

ρε

+ += +

+

j

j j

jj j

j j

j

u

u u p

u u p

u u p

p u

1

2

3

0

G

j

jj

j

i ij ju q

τ

τ

τ

τ

=

−

1

2

3

0

B j

j j

f

f

f

u f

ρ

ρ

ρ

= −

0

0

0

0

S

Q

=

(2.19)

2.4.1 Equações da Dinâmica dos Gases

Quando uma aplicação das equações de movimento envolve escoamentos onde a velocidade do fluido é próxima da velocidade do som, onde normalmente também há altas variações de pressões geradas por variações bruscas de massa específica, os efeitos de compressibilidade devem ser considerados, ANDERSON (1990). Estes efeitos são de importância prática para gases em aplicações para aerodinâmica. Vamos considerar um modelo de um escoamento compressível 3-D desprezando as forças externas ( 0B ≡ ) e sem fonte/sumidouro ( 0S ≡ ) descritos nas equações (2.19). Para completar-mos o nosso sistema de equações é necessário atribuir relações entre variáveis termodi-nâmicas e equações de estado, e também relacionar coeficientes de viscosidade µ e de condutividade térmica κ às nossas variáveis termodinâmicas. É conveniente introduzir uma variável termodinâmica chamada entalpia h , que é definida como:

ρ= +

ph e (2.20)

Variáveis Conservativas

Fluxo não-viscoso em xj

Fluxo Viscoso

Forças Externas

Fonte ou Sumidouro

18

Considere também um gás ideal onde os efeitos reais do gás ou das reações quí-micas não são considerados então a relação fundamental dos gases, derivado da teoria cinética dos gases, relaciona a pressão com a densidade e temperatura de acordo com a seguinte equação:

p RTρ= (2.21) onde R é constante do gás. Assumindo também que o gás é caloricamente perfeito, onde a energia interna e e a entalpia h são funções apenas da temperatura e de constantes de calor específicos, temos:

( )

1p

v p vv

C Re C T h C T C

Cγ

γ= = = =

− (2.22)

onde na equação (2.22), pC e vC representam o calor específico do fluido a pressão

constante e a volume constante, respectivamente e γ representa a relação entre o calor específico a pressão constante e o calor específico a volume constante. Combinando a equação (2.14) com as equações (2.20) a (2.22), as equações de estado podem ser escri-tas como segue:

( )( )

11

2 1i iv

pp u u T

Cγ ρ ε

γ ρ

= − − =

− (2.23)

A lei experimental de Sutherland, muito utilizada em aerodinâmica, relaciona o

coeficiente de viscosidade dinâmica µ com a temperatura de acordo com:

( )( )

3

20

0

rr

r

T S T

T S Tµ µ

+ =

+ (2.24)

onde o índice r indica um estado de referência, que é usualmente dado pelos valores de escoamento livre e 0S é a constante de um dado gás, HIRSCH (1988).

O coeficiente de condutividade térmica κ pode ser relacionado ao coeficiente de viscosidade através de uma definição de um parâmetro adimensional:

pr

CP

µ

κ= (2.25)

conhecido como número de Prandlt, que é assumido constante para gases ideais em temperaturas moderadas LIEPMANN e ROSHKO (1957).

Para um processo onde a entropia é constante, ou seja, isotrópico, por exemplo, num processo adiabático reversível, em um gás perfeito, a velocidade do som c é dada por:

s

p pc

γ

ρ ρ

∂= =

∂ (2.26)

19

onde s é a entropia e c representa a velocidade em que a menor perturbação (onda so-nora) são propagadas no fluido compressível. O efeito de compressibilidade no fluido em escoamento pode então ser analisado, pelo valor do parâmetro adimensional:

j ju uM

c= (2.27)

onde M é chamado de número de Mach, e seu valor caracteriza o tipo de escoamento.

Finalmente, outra relação adimensional importante é dada pelo número de Rey-nolds:

e

LR

ρ

µ=

u (2.28)

onde L é o tamanho característico do problema, como por exemplo, o tamanho da cor-da de um aerofólio e u é o módulo do vetor velocidade. O número de Reynolds repre-

senta a relação entre o termo inercial (ou convectivo) e o termo viscoso, com o escoa-mento sendo considerado no regime laminar até certo valor crítico do número de Rey-nolds e acima deste valor crítico o escoamento torna-se turbulento.

Em algumas aplicações associadas a escoamentos hipersônicos, onde as tempe-raturas podem ser extremamente altas, as considerações de que o gás não reage quimi-camente e que é caloricamente perfeito não são mais válidas. Além disso, as considera-ções do número de Prandlt constante e da lei de Sutherland também não são mais váli-das. Nestes regimes de escoamento, os quais estão fora do escopo deste trabalho, equa-ções de estado mais complexas e relações mais sofisticadas dos coeficientes de transpor-te versus as propriedades termodinâmicas devem ser adotados.

2.4.2 Equação de Euler para Escoamentos Compressíveis

Embora nenhum fluido seja completamente não-viscoso, quando as interações viscosas e efeitos de transferência de calor são desprezíveis, podemos assumir o fluido como sendo não-viscoso. Este modelo nos dá bons resultados do campo de pressão e consequentemente os coeficientes de sustentação para escoamentos não turbulentos on-de a camada limite ainda não se separou, sendo assim uma boa aproximação e pode ser utilizado para representar certos escoamentos aerodinâmicos. Esta aproximação tem sua base na análise da camada limite de Prandlt que mos-tra que, para escoamentos sem a separação da camada limite e para número de Reynolds altos, os efeitos de turbulência e viscosidade estão confinados apenas na estreita faixa de camada próxima às paredes sólidas. Fora dessas camadas o fluido se comporta como não-viscoso. Assim, a consideração do fluido ser não-viscoso é motivada pela idéia de termos equações governantes em uma forma mais simples levando as vantagens no que diz res-peito a requisitos computacionais quando comparados com os modelos viscosos, ou se-ja, Navier-Stokes. Portanto, sempre que adotarmos a consideração de um fluido não-viscoso, estaremos trabalhando com as equações de Euler que são uma simplificação das equações de Navier-Stokes.

20

O sistema de equações de Euler na forma conservativa, ou seja, desprezando os termos G , B e S das equações de Navier-Stokes (2.18), é:

para 1 2 30 , ,U F

=∂ ∂

+ =∂ ∂

j

j

jt x

(2.29)

este sistema é complementado com a adição da equação de estado, para um gás perfeito:

( )1

12 i ip u uγ ρ ε

= − −

(2.30)

que relaciona a pressão, densidade e energia específica em um escoamento de um gás ideal.

Note que quando esta aproximação é feita fazemos uma grande modificação no modelo matemático original, uma vez que reduzimos o sistema de equações de segunda ordem para primeira ordem, tornando ainda o sistema de equações diferenciais parciais totalmente hiperbólico. Isto não só influencia o comportamento físico e as definições de condições de contorno do modelo, mas também a forma de desenvolvermos métodos de soluções aproximadas para analisar os problemas de escoamento através deste modelo.

21

3. MODELAGEM COMPUTACIONAL No momento da modelagem computacional é necessário a tomada de algumas decisões com relação ao método discreto a ser adotado. Na dinâmica dos fluidos compu-tacional, os três métodos mais utilizados para esse fim são o MDF (Método das Dife-renças Finitas), o MVF (Método dos Volumes Finitos) e o MEF (Método dos Elementos Finitos).

O primeiro e mais antigo é o MDF (Método das Diferenças Finitas) que utiliza malhas estruturadas, tem uma implementação computacional rápida e eficiente, e é ade-quado para implementação dos mais variados métodos de solução e de aceleração de convergência. Porém, em geometrias complexas o mesmo não é de fácil implementação, não permite implementação de adaptação de malha local sem incorrer em complexida-des e custos associados aos métodos que utilizam malhas não estruturadas e não é trivial a imposição de certas condições de contorno dentre outras características. O segundo método é o MVF (Método dos Volumes Finitos) que pode ser visto como uma extensão do MDF para malhas não estruturadas, lida com a forma integral da lei de conservação, que é discretizada no domínio físico. Tem garantia de conservação local, pode-se utilizar malhas quaisquer. Algumas desvantagens deste método são a falta de uma base matemática sólida e também um custo de CPU/memória extra associado a métodos adequados ao uso de malhas não-estruturadas. O terceiro método, o qual foi adotado neste trabalho, é o MEF (Método dos Elementos Finitos) é um método mais genérico o qual pode ser aplicado a diversas áreas do conhecimento, permite incorporar condições de contorno de forma natural, possui uma sólida base matemática possibilitando análises, por exemplo, de convergência, er-ros, etc. Lida facilmente com malhas não-estruturadas e com geometrias complexas, permite a implementação de técnicas de adaptação do modelo discreto e mesmo do mo-delo físico. Quanto as desvantagens do MEF, quando uma estrutura de elementos é ado-tada, há a necessidade de guardar a topologia da malha, isso tem um custo de CPU/memória adicional e tem uma maior complexidade de implementação.

3.1 Aproximação por Elementos Finitos

Como já vimos no capítulo 2, as equações governantes de um escoamento de um fluido compressível não-viscoso, em três dimensões, são escritas na forma conservativa como:

para 1 2 30j

j

jt x

=∂ ∂

+ =∂ ∂

, ,U F

(3.1)

A solução desse sistema de equações é encontrada sobre um domínio espacial

fechado de três dimensões, Ω , com superfície de contorno, Γ , para todo tempo t , su-jeito às seguintes condições de contorno:

22

F F Fnn j

jn= = no contorno Γ (3.2)

e com condições iniciais :

( ) ( )0U x , U xj jt = com x j no domínio Ω (3.3)

onde, jn representa a componente, na direção jx , do versor normal a Γ , e ( )U x j é

uma função dada. Para a construção de uma solução aproximada em uma malha não estruturada é conveniente re-escrever a formulação clássica através de uma formulção variacional, PERAIRE et al. (1993), LYRA (1994) e CURRIE (1974). Isto pode ser atingido intro-duzindo um conjunto de funções de forma ou de interpolação, τ , e um conjunto de fun-ções de ponderação, W , definidas como:

( ) 0 0 em para U x , | U U ,j t C t t= ∈ = Γ =τ

(3.4)

( ) W W x j=

onde 0C representa o espaço das funções continuamente diferenciáveis em relação a x e a t, até a ordem zero.

Uma formulação variacional fraca, após utilizar integração por partes, do pro-blema dado por (3.1) a (3.3) pode ser definido como:

Encontrar U ∈ τ tal que:

U WW F F W

nj

j

d d dt x

Ω Ω Γ

∂ ∂Ω = Ω − Γ

∂ ∂∫ ∫ ∫ (3.5)

para todo w ∈ W e 0t t> .

Uma formulação variacional discreta correspondente à (3.5) deve ser definida

como primeiro passo para obtenção de uma aproximação pelo método dos elementos fi-nitos. Para tal, considere que o domínio espacial, Ω , é discretizado utilizando elemen-tos tetraédricos. Pontos nodais são numerados de 1 até p, e posicionados nos vértices

dos elementos. Sejam ainda, os subconjuntos ( )pτ e ( )pW , das funções de forma e de

ponderação, dos conjuntos τ e W respectivamente, definidos por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0

1

U x , | U U x ; U x , U x , Up

p p pj J J j J j j J

J

t t N t t=

= = = =

∑τ

(3.6)

( ) ( ) ( )1

W W x |W xp

pj J J j

J

a N=

= =

∑ (3.7)

23

onde, JN é a função de forma linear de elementos finitos tetraédricos padrão, a qual

tem o valor unitário no nó J e zero em todos os demais nós do elemento, U J é o valor

de ( )U p no nó J e Ja é uma constante.

Assim, uma aproximação discreta da formulação variacional do problema origi-nal pode ser escrita como:

Encontrar ( )U p ∈ ( )pτ tal que:

( )

( )( )e e f

pnpj I

I IE I E I f Ij

NN d d N d

t x⊃ ⊃ ⊃Ω Ω Γ

∂∂Ω = Ω − Γ

∂ ∂∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

UF U F para 1I p= …

(3.8)

e para todo W em ( )pW e 0t t> .

O termo do lado esquerdo da equação (3.8) pode ser calculado da seguinte for-ma:

( )

e e

pJ

I I JE I E I I

d dN d N N d

t t t⊃ ⊃Ω Ω

∂ Ω Ω = ∂ ∂ ∂

∑ ∑∫ ∫UU U

M (3.9)

onde o somatório é realizado sobre todos os elementos que contém o nó I como um de seus vértices. Por conveniência computacional podemos trocar a matriz de massa con-sistente, M de elementos finitos pela matriz de massa diagonal.

No lado direito da equação (3.8), o termo da integral de domínio pode ser calcu-lado utilizando uma regra de integração em quadratura de Lobatto, HUGHES (1987), observando que as derivadas espaciais das funções de forma, por serem lineares, são constantes nos elementos, então a contribuição do elemento tetraédrico E , com os nós numerados de I,J,K,L podem ser obtidos como:

( )( ) ( )4

e

Epj j j j jI E I

I J K LE I E Ij j

N Nd

x x⊃ ⊃Ω

∂ Ω ∂Ω + + +

∂ ∂∑ ∑∫ F U F F F F (3.10)

onde EΩ é o volume do elemento E. A expressão dada em (3.10) é também obtida

quando consideramos que o fluxo jF varia linearmente, da mesma forma que as incóg-nitas U.

Ainda no lado direito da equação (3.8), o termo da integral sobre a superfície de contorno é calculada de forma similar. Para um elemento triangular com face f no con-torno, com os nós numerados I,J,K a contribuição da face na integral de contorno, é da-da por:

( )212

f

n n n nfI J KI

E I f I

N d⊃ ⊃Γ

ΓΓ + +∑ ∑∫ F F F F (3.11)

onde fΓ é a área da face triangular.

24

O cálculo destas integrais neste contexto requer o conhecimento dos nós I que es-tão associados a cada elemento da malha, o que é a informação padrão de uma estrutura de dados de elementos finitos. Porém, objetivando uma maior eficiência computacional tanto em termos de processamento como de memória necessária, BARTH (1991), MAVRIPLIS (1988) e PERAIRE et al. (1993), podemos utilizar uma representação al-ternativa, onde as informações da malha de elementos finitos não estão mais associadas a tetraedros e faces do contorno e sim às arestas com seus respectivos nós I e J e às fa-ces do contorno.

3.2 Estrutura de Dados por Aresta

Expressões alternativas para o cálculo das integrais encontradas nas expressões (3.10) e (3.11) são necessárias, se uma estrutura de dados por aresta é empregada. Para derivar essas expressões suponha que o nó I da malha está diretamente conectado atra-vés de arestas com Iµ nós. Então podemos mostrar que uma equação discreta em um nó

I pode ser escrita da seguinte forma, PERAIRE et al. (1993) e dedução no Apêndice C:

( )1

1 2 1 21

4 2 2 22

F FUM C F F F F F F

vI j j In n nj n n nI IsI I f I fIIs f I I f I f

A f II I

dD

dt

µ

= =

+ = − + + + + − −

∑ ∑

(3.12) onde o primeiro somatório se dá sobre todas as arestas A que contém o nó I. O termo

Ì não será nulo, ou seja, só existirá quando o nó I estiver no contorno. Neste caso o

nó I pertencerá a vI faces de contorno 1 2 3, , , ,I I I IvB B B B… , onde a face de contorno IfB

tem os nós 1 2, ,f fI I I . O coeficiente jIIsC representa o peso que deve ser aplicado ao va-

lor médio do fluxo na direção jx na aresta para se obter a contribuição feita por este

fluxo para o nó I. O coeficiente jIsIC representa o peso que deve ser aplicado à mesma

quantidade para se obter a contribuição feita pelo fluxo na direção jx para o nó Is. O

coeficiente fD representa o coeficiente da contribuição da face de contorno que contém

o nó I que se encontra no contorno, os índices I1f e I2f representam os nós restantes da

face do contorno que contém o nó I. Os fluxos Fn e F n representam os fluxos prescri-

tos e calculados na direção normal às faces do contorno, respectivamente. Os coeficientes j

IIsC e fD são dados por:

2 12

Efj E I

IIs jE IIs f IIsj IIs

NC n

x⊃ ⊃

ΓΩ ∂= − +

∂∑ ∑ (3.13)

24

ffD

Γ= − (3.14)

25

onde o primeiro somatório se estende por todos os elementos E que contém a aresta IIs. O termo

IIs só será incluído se a aresta IIs for uma aresta de contorno. Verifica-se,

PERAIRE et al. (1993), que os coeficientes devem satisfazer as seguintes relações:

11

8 0vI I

jIIs f i

A f I I

C D nµ

= =

− =∑ ∑ para 1, 2,3j = (3.15)

0j j

IIs IsIC C+ = para 1, 2, , IA µ= … e 1, 2,3j = (3.16)

Por conveniência notacional, definamos o vetor C IIs como:

( )1 2 3C , ,IIs IIs IIs IIsC C C= (3.17)

com

CIIs IIsL = e j

j IIsIIs

IIs

CS

L= (3.18)

Utilizando agora essas notações, podemos re-escrever a equação (3.12) como:

( )1

1

1 2 1 2

2

+ 4 2 2 2

F FUM

F F F F F F

I

v

j j j jI IIs Is IIs

IIsAI

In n n n n nI I f I ff I I f I f

f I I

S SdL

dt

D

µ

=

=

+ = −

+ + + − −

∑

∑ (3.19)

Pode ser demonstrado observando-se a equação (3.15) que esta é uma discretiza-

ção do tipo diferença centrada, em malhas não-estruturadas, a qual não é adequada para solução do sistema de equações de Euler que é hiperbólico, HIRSCH (1988). Porém, uma discretização do tipo diferença centrada pode ser usada como uma base para a construção de um algoritmo prático quando é combinada com algum tipo de estabiliza-ção. Para conseguirmos isto, uma alternativa, baseada nas idéias do método das diferen-ças finitas (MDF) e do método dos volumes finitos (MVF), pode ser obtida substituin-do-se F F Fj j j j

IIs I IIs Is IIsS S= + , que é o fluxo de Galerkin verdadeiro da equação (3.19),

por um fluxo numérico consistente IIsF e escrever a formulação como:

( )1

1 2IIs 1 21

14 2 2 2

2

UM F F F F F F

µ

= =

= − + + + + − −

∑ ∑F

vI In n n n n nI I f I fIIs f I I f I f

A f II I

dL D

dt

(3.20)

O objetivo é elaborar uma forma apropriada para a função de fluxo numérico que produza um procedimento de solução viável e prático em uma malha genérica não estruturada de tetraedros. Isto será alcançado primeiramente introduzindo-se uma fun-ção de fluxo numérico adequado para estabilizar a formulação na simulação de escoa-

26

mentos suaves. A aproximação se estenderá então, com a adição de técnicas de captura de “choques”, isto é, regiões de gradientes acentuados, e assim o método discreto torna-se robusto o suficiente para simulações de escoamentos que envolvem descontinuida-des.

3.3 Formulações Tipo Upwind

3.3.1 Formulação de 1a Ordem

Muitos problemas na engenharia e ciência são governados por leis de conserva-ção expressas em termos de equações diferenciais parciais hiperbólicas, como por exemplo, as equações de Euler. Alguns elementos da teoria das equações diferenciais parciais hiperbólicas são, de alguma maneira, incorporadas por métodos numéricos bem sucedidos que foram desenvolvidos para resolução de tais problemas. Em particular, a propagação física de perturbações ao longo das linhas características, que são típicas de equações hiperbólicas, e que realizam um papel importante na família de métodos nu-méricos conhecidos como métodos “Upwind”. A robustez de uma discretização “Up-wind”, a possibilidade de uma interpretação física e também da implementação de or-dem superior fora das descontinuidades nos mostra o motivo da alta popularidade dos métodos “upwind” entre os desenvolvedores de algoritmos para a dinâmica dos fluidos computacional, LYRA (1994).

A implementação do método “Upwind” de primeira ordem (e de ordem superior) tem como uma das etapas a solução de problemas de Riemann, GODUNOV (1959) e HIRSCH (1988). Por sua vez, um problema de Riemann consiste num problema de va-lor inicial que possui uma descontinuidade no ponto 0x , Figura 3.1

Figura 3.1 – Condição inicial para solução de um problema de Riemann.

A estrutura do escoamento para o problema de Riemann possui uma solução tí-pica que consiste em quatro estados constantes separados por três ondas elementares: uma onda linear de descontinuidade de contato e duas ondas não-lineares, onde cada uma pode ser um choque ou uma onda de rarefação dependendo do estado inicial a di-reita e a esquerda. As três ondas descritas podem ser vistas na Figura 3.2, onde uma alta pressão a esquerda foi considerada.

U

UL

UR

x0 x

27

Figura 3.2 – Solução típica do problema de Riemann para as equações de Euler 1-D. Uma onda de choque move-se na direção da região de baixa pressão (direita), seguida por uma segunda onda de descontinuidade de contato e uma terceira onda de expansão, centrada na posição do diafragma, que se move no sentido oposto as outras duas ondas. Uma das vantagens desse problema é que ele possui solução semi-analítica com solução única 0 ,U desde que não forme-se vácuo, HIRSCH (1988), SMOLLER (1983)

e WHITHAM (1974). Esta solução depende apenas de x/t e das condições iniciais LU e

RU . Assim, existem várias maneiras de resolver o problema de Riemann, como por e-

xemplo, a proposta por Godunov, por Roe, por Osher, por Harten, etc. Neste trabalho adotou-se a solução do problema de Riemann proposto por Roe,

que é amplamente utilizado em escoamentos fluidos compressíveis para aproximações de primeira ordem e também é utilizado como base para métodos de ordem superior. A grande vantagem do método é seu baixo custo computacional e sua robustez. O método de Roe é implementado substituindo o fluxo de Galerkin por um novo fluxo numérico consistente, ou seja, F F Fj j j j

IIs I IIs Is IIsS S= + é substituído por IIsF , dado por:

( ) 1

2IIs F F A U Uj j j jI IIs Is IIs IIs Is IS S= + − −F (3.21)

onde o primeiro termo do lado direito da equação (3.21) representa o termo de Galerkin e o segundo representa um termo de difusão numérica que estabiliza o método. A matriz jacobiana AIIs , de Roe, é definida como, ROE (1981):

( )F

A A U ,UUIIs I Is

IIs

∂ = =

∂ (3.22)

e a mesma é calculada na direção do coeficiente da aresta Cij usando a média de Roe, dada por:

t

C1

C2

C3

C3 - Onda de Expansão

Posição da Descontinuidade

inicial em x0

C1 - Onda de Descontinuidade

de Contato

C2 - Onda de Choque

x

Diferença Centrada Difusão Artificial

28

roe I Isρ ρ ρ=

( ) ( )1 1 1 1/ / /roe I Is Is I Is Iu u u ρ ρ ρ ρ= + +

( ) ( )2 2 2 1/ / /roe I Is Is I Is Iu u u ρ ρ ρ ρ= + +

( ) ( )3 3 3 1/ / /roe I Is Is I Is Iu u u ρ ρ ρ ρ= + +

( ) ( )1/ / /roe I Is Is I Is Ih h h ρ ρ ρ ρ= + +

( ) ( )2 2 2 21 2 31 2/Ic h u u uγ = − − + + (3.23)

onde, c é a velocidade local do som.

Além disso, para o sistema de equações de Euler em 3 dimensões, na matriz ja-cobiana para uma direção arbitrária pode ser utilizada a decomposição: 1 ΛA R R−−−−==== (3.24)

onde, Λ é o vetor dos autovalores e R é a matriz dos autovetores dados por:

( )1 2 3 4 5, , , ,diag λ λ λ λ λΛ =

1 2 3, , Vλ λ λ =

1 1 2 2 3 3V n u n u n u= + +

4 V cλ = +

5 V cλ = − (3.25)

A matriz jacobiana de Roe satisfaz os seguintes requisitos:

( ) ( ) ( )1 A U ,U A U U ,U U;I Is I IsR para→ →

( ) ( )2 A U ,U ;I IsR é diagonalizável com números reais

( ) ( ) 1 2 1 23 / /A U ,U U F U ,U .I Is I I I IsR para qualquer par+ +∆ = ∆ (3.26)

A condição ( )1R garante que a matriz linearizada ( )A U ,UI Is é consistente com

o sistema dado por:

( ) para 1 2 30j

I Isj

jt x

=∂ ∂

+ =∂ ∂

, ,U U

A U ,U (3.27)

A condição ( )2R requer que o sistema de equações dado por (3.27) seja hiper-

bólico e a condição ( )3R garante que o método satisfaz a conservação.

29

3.3.2 Formulação de Ordem Superior – MUSCL/LED

Para se obter uma solução mais acurada, pode-se desenvolver um método de na-tureza geométrica de ordem superior estendendo-se o estêncil da aproximação. Criado por Van Leer, VAN LEER (1974) baseado nos teoremas descritos por Godunov, GODUNOV (1959), ver também LYRA (1994). O método de MUSCL (Monotonic Upstream-centered Schemes for Conservations Laws) consiste em uma reconstrução li-near da solução, através de um estêncil ampliado utilizando nós fictícios ou utilizando os gradientes dos nós I e Is das arestas. Além disso esta reconstrução está sujeita a res-trições de monotonicidade que é feita através de funções limitadoras de gradientes que evitam oscilações na solução numérica, garantindo assim a propriedade de LED (Local Extremum Diminishing). Esta é a base para o método de MUSCL/LED e o mesmo per-mite uma transição de choques sem oscilações, pois o mesmo torna-se de primeira or-dem quando encontra gradientes elevados ou choques e onde não existem esses altos gradientes o método é de ordem superior.

Neste trabalho foram utilizados os gradientes nodais para efetuar a reconstrução. Os gradientes dos nos I e Is das arestas são recuperados utilizando uma aproximação por elementos finitos, do tipo “Global Variational Recovery” que após ser re-escrito por a-restas tem a seguinte expressão, PERAIRE et al. (1992):

( )1

1 21

62

vI Ij n n nI Is

L IIs f I I f I fA f Ij II

d

dx

µ

= =

+ = − − −

∑ ∑

U UUM C D U U U (3.28)

Utilizando uma expansão modificada da série de Taylor, HIRSCH (1988), po-

demos mostrar que os valores extrapolados das variáveis, para o estêncil dado na Figura 3.3, podem ser escritas da seguinte forma:

( )2LI I I Is Is= − ∇ − −U U U II U U

( )2RIs Is Is Is Is= + ∇ − −U U U II U U (3.29)

Figura 3.3- Estêncil extendido fictício utilizado no método de MUSCL/LED.

onde, IIs é o vetor conectando o nós I e Is e U I∇ representa o gradiente de U calculado

conforme a equação (3.28). Os nós LIU e

RIsU na realidade não existem, são nós fictícios

que servem apenas para realizarmos a extensão do estêncil de primeira ordem para um estêncil que permite implementar uma formulação de ordem superior. Usando o estêncil estendido da Figura 3.3, obtido conforme descrito anteriormente, os valores das variá-veis na interface das células, por exemplo, IU + e IsU − , ver Figura 3.4, podem ser obtidos

para o caso de uma extrapolação de segunda ordem, totalmente “Upwind”, via a formu-lação do tipo MUSCL/LED, LYRA (1994) e HIRSCH (1988), como:

LIU RIsU UIs UI

30

( )1

2U U U U

LI I I I+ = + −

( )1

2U U U U

RIs Is Is Is− = − − (3.30)

Figura 3.4 – Valores nas interfaces das arestas para o método de MUSCL/LED. que permite construir uma formulação totalmente “Upwind” de ordem superior, mas que desenvolve oscilações nas proximidades de descontinuidades. Faz-se portanto ne-cessário introduzir alguma estratégia para garantir monotonicidade à solução. Na im-plementação computacional, se utilizarmos a equação (3.29) em (3.30), podemos re-escrever da seguinte forma:

( )1

22

U U U II UI I I s+ = + ∇ − ∆

( )1

22

U U U II UIs Is Is s− = − ∇ − ∆ (3.31)

3.3.3 Funções Limitadoras

O principal mecanismo para garantir um método de alta ordem LED (Local Ex-tremum diminishing), LYRA (1994) e HIRSCH (1988), é a utilização de funções limi-tadoras não lineares. Estas funções impõem restrições nas variações das variáveis de-pendentes ou das funções de fluxo. Como o método de extrapolação das variáveis de MUSCL/LED descrito em 3.3.2 utiliza uma aproximação linear em substituição de uma aproximação de funções constantes de primeira ordem, GODUNOV (1959), as inclina-ções das retas devem ser limitadas para que não existam oscilações.

Para garantir estas condições de monotonicidade, funções limitadoras são intro-duzidas nos valores extrapolados na interface, conforme a equação (3.31), e são agora calculados da seguinte forma:

( )( )1

22

U U U II UI I I I Ir sϕ+ + += + ∇ − ∆

( )( )1

22

U U U II UIs Is Is Is Isr sϕ− − −= − ∇ − ∆ (3.32)

onde,

U U U

rU U U

L

Is II

I I I

+

+

− ∆= =

− ∆ (3.33)

UI UIs

U I+ U Is

−

31

U U U

rU U U

R

Is IIs

Is Is Is

−

−

− ∆= =

− ∆ (3.34)

e ( )I Irϕ + + , ( )Is Isrϕ − − são funções limitadoras. Se introduzirmos a nomenclatura

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 21, ,r L r L a bϕ = ≡ , com r b a= , LYRA (1994), eliminaremos a possibili-

dade de termos zero no denominador, que pode ocorrer quando usamos as razões Ir+ e

Ir− , conforme as equações (3.33) e (3.34) que implicaria na necessidade de introduzir

um parâmetro arbitrário infinitesimal no denominador, quando da implementação com-putacional da função ϕ . Um exemplo de função limitadora nesta forma é a de Chakra-varthy-Osher que tem a seguinte expressão genérica:

( ) ( ) ( )( )0, max ,min ,L a b sign a a bsign aβ = (3.35)

onde para um método “upwind” 1 2β≤ ≤ , WANG e RICHARDS (1991). Este parâme-

tro β é inserido para transformar na função limitadora minmod ( )1β = . Esta expressão

foi proposta por Chakravarthy-Osher, CHAKRAVARTHY e OSHER (1985), e exceto quando 1β = a mesma não satisfaz as propriedades de simetria. Existem diversas fun-ções limitadoras como, por exemplo, função limitadora de MUSCL, de Van Leer, de Van Albada, entre outras. Neste trabalho foi utilizado apenas a função de Chakravarthy-Osher com 1β = , ou seja, a função limitadora minmod, que é a mais simples e muito utilizada na literatura. Para maiores detalhes sobre funções limitadoras podem ser vistas em LYRA (1994) e HIRSCH (1988).

De posse dos valores na interface de acordo com (3.32), o fluxo numérico de Galerkin F F Fj j j j

IIs I IIs Is IIsS S= + , dado em (3.20) será agora substituído pelo fluxo con-

sistente, dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) 1

2j j j j S

IIs IIsS S= + − −+ - + - - +IIs I Is I Is Is IF U F U A U ,U U UF (3.36)

que resulta em um método do tipo MUSCL/LED de ordem superior de natureza geomé-trica com gradientes limitados.

3.4 Discretização do Tempo

A equação (3.20) representa a evolução ao longo do tempo do vetor incógnita

( )U I t no nó I da malha. Um algoritmo prático para encontrar a solução é a discretiza-

ção da dimensão tempo por diferenças finitas. Utilizando-se Euler progressivo em (3.20), HIRSCH (1988), temos:

[ ]11U U t M RHSn n n

I I I L II

−+ = + ∆ (3.37)

32

onde RHS nI representa o lado direito da equação (3.20) calculada no tempo nt , U n

I é a

solução no tempo nt , tI∆ é o vetor que contém o passo (ou intervalo) de tempo associ-

ado a cada nó da malha e que deve satisfazer a condição de estabilidade controlada pelo parâmetro de Courant (CFL), HIRSCH (1988), e que depende da formulação adotada no

cálculo do RHS nI , e, por fim,[ ]

1ML I

− é a inversa da matriz de massa diagonal, que subs-

tituiu a matriz de massa consistente do método dos elementos finitos para obtermos uma formulação verdadeiramente explícita. Matriz de Massa Diagonal A matriz de massa consistente de elementos finitos M foi substituída pela matriz de massa diagonal ( )ML que é encontrada, no caso de elementos lineares, simplesmente,

somando todos os elementos da mesma linha no elemento da diagonal principal corres-pondente. Esta transformação nos permite uma integração no tempo puramente explíci-ta. Estabilidade

A análise de estabilidade baseada no método da energia, GILES (1987), nos for-nece o seguinte critério para o cálculo do ∆t numa malha não estruturada:

[ ] ( )1

1

2 maxt MI

I L IIs IIsIA

CFL Lµ

λ

−

=

∆ =

∑

(3.38) com:

( )max u SIIs IIs IIsIIscλ = ⋅ + (3.39)

onde a expressão (3.38) foi escrita com uma notação por arestas que é conveniente por ser a adotada neste trabalho e CFL representa o parâmetro de courant.

Na equação (3.39) uIIs e IIsc representam os valores do vetor velocidade do flui-

do e a velocidade do som na aresta IIs, respectivamente, e maxλ representa o maior au-

tovalor (ou raio espectral) da matriz jacobiana ( ) ( )IIs I Is IIs= = ∂ ∂A A U ,U F U da equa-

ção de Euler. Passo de Tempo Local

Quando a simulação busca apenas a solução no regime permanente, o passo de tempo local, PERAIRE et al. (1992), pode ser empregado para acelerar a convergência da solução para o regime estacionário, uma vez que a modelagem da evolução da solu-ção ao longo do tempo (problema transiente) não é de interesse. Isto é implementado especificando um valor constante para o número de Courant, (CFL), ao longo da malha e calculando o passo de tempo para cada nó utilizando a equação (3.38).

33

Para a simulação de um transiente verdadeiro, ou seja, com significado físico, adota-se um passo de tempo global calculado como o mínimo passo de tempo local, por exemplo, ( )tImin I∆ ∀ , para toda a discretização.

3.5 Condições de Contorno

As condições de contorno do problema são impostas com especificações apropri-

adas sobre os fluxos Fn

do contorno. Os diferentes tipos de condições de contorno en-contradas em simulações de escoamentos de fluidos não-viscosos são tratados da se-guinte maneira: Condições de Contorno Livre – “Far Field”

Para um nó I localizado em uma face de contorno livre, o fluxo Fn

, é determi-nado resolvendo um problema de Riemann, LYRA (1994), pelo método de Roe na in-terface entre os valores computados U I e os valores do escoamento livre U∞ . Isto sig-

nifica que:

( ) ( ) ( ) ( ) 1

2

n n n nI I I I∞ ∞ ∞= + − −F F U F U A U ,U U U (3.40)

onde a matriz de Roe ( )A U ,UnI ∞ é calculada na direção normal à face do contorno.

Condições de Contorno de Parede Sólida

Numa parede sólida, o fluxo Fn

é atribuído como sendo igual a F n . As veloci-dades normais são atribuídas como sendo zero a cada novo passo de tempo, assim:

0 no contorno u nnw⋅ = Γ (3.41)

onde o sub-índice w significa a condição de parede sólida.

Esta condição não é consistente com a condição inicial do problema (condição de escoamento livre) e uma complicação adicional pode aparecer quando tentarmos si-mular escoamentos de fluidos em altas velocidades.

De fato, considerar um início impulsivo de uma condição de contorno como esta não é fisicamente possível e é também matematicamente inconsistente. Uma alternativa para este problema, LYRA (1994), é adotar a condição inicial diretamente, mas com uma relaxação na condição de parede sólida nos passos de tempo iniciais. Isto é feito substituindo a condição da equação (3.41) pela equação:

( )1 1 no contorno u n u nn nwe−⋅ = ⋅ − Γ (3.42)

onde e é um parâmetro que quando o seu valor é diferente da unidade a solução irá es-sencialmente deslizar, porém penetrará parcialmente na parede sólida no início do tran-

34

siente, mas com alguns passos de tempo a velocidade normal vai diminuindo para zero na parede. Segundo Lyra, este procedimento foi muito importante na simulação de es-coamentos em altas velocidades sobre corpos sólidos, onde o valor de 0.8e = foi satis-fatoriamente utilizado. Condições de Contorno de Dirichlet As condições de contorno do tipo Dirichlet são aquelas onde os valores nodais são prescritos e assim ficam invariáveis na malha ao longo da integração temporal. Esta condição é normalmente adotada nas entradas do domínio espacial.

35

3.6 Visão Geral do Programa Pré-processador

Tendo-se uma malha tridimensional de tetraedros o programa MEE – Mesh Enti-ties Extractor, o qual foi desenvolvido pelo doutorando Rogério Soares da Silva, SILVA (2008), utilizando a linguagem C++, é executado com a finalidade de transformar a es-trutura de dados por elementos em uma estrutura de dados por arestas. Este algoritmo utiliza o pacote de gerenciamento de malhas FMDB (Flexible Distributed Mesh Databa-se) para facilitar esta transformação, FMDB webpage (2008). Em seguida um outro programa, agora escrito na linguagem Matlab, é executado no próprio ambiente Matlab ou Octave. O mesmo calcula coeficientes das arestas Cij, ou das faces, Df, que serão uti-lizados no processador, calcula também as direções normais médias em cada nó, matriz de massa diagonal e realiza algumas verificações para garantir que os dados calculados estejam corretos. Por dependerem apenas da malha, estas operações realizadas no pré-processador são calculadas uma única vez e por este motivo estão separadas do proces-sador.

Principais Rotinas do Programa principal O algoritmo desenvolvido neste trabalho tem uma estrutura que utiliza módulos na linguagem FORTRAN 90 e sub-rotinas que são gerenciadas através da rotina princi-pal chamada de “Main”. Tais módulos facilitam o gerenciamento das variáveis globais utilizadas no algoritmo, pois tais variáveis são alocadas dinamicamente através pontei-ros declarados nos módulos. Neste trabalho, no primeiro módulo temos as variáveis que serão atribuídos valores relativos à física do problema, por exemplo, solução no tempo n e n+1, condições iniciais e de contorno, número de Mach, etc. No segundo módulo te-mos as variáveis que serão atribuídos valores relativos à topologia da malha, tolerância a ser adotada, parâmetro de courant (CFL), etc. A seguir descreveremos de maneira su-cinta as tarefas realizadas por cada rotina e sub-rotina:

1. Main – programa principal que gerencia as sub-rotinas; 2. Input – realiza a leitura de dados físicos e numéricos do problema; 3. Openpre – realiza a leitura dos dados topológicos da malha e coeficientes asso-

ciados às arestas e faces calculados pelo pré-processador; 4. LHS – realiza a leitura da matriz de massa “lump”; 5. Timestep – calcula o passo de tempo global ou local respeitando o parâmetro de

estabilidade de Courant (CFL); 6. Convec – calcula o termo convectivo de Galerkin para ser utilizado em caso de

simulação de primeira ordem; 7. ConvecMu – calcula o termo convectivo de Galerkin com o estêncil estendido e

valores obtidos nas interfaces para ser utilizado em caso de simulação do tipo MUSCL/LED;

8. RiemSolver – resolve um problema de Riemman para as faces de contorno do tipo “Far Field”, esta rotina é chamada pela rotina Convec ou ConvecMu;

9. Adif – calcula a difusão artificial que será adicionada ao termo de Galerkin para estabilizar o método, através do método “Upwind” de primeira ordem de Roe;

36

10. Grad – recupera os gradientes nodais através de uma aproximação por recupera-

ção global do método dos elementos finitos; 11. MUSCL - calcula a difusão artificial, com estêncil estendido e funções limitado-

ras, que será adicionada ao termo de Galerkin para estabilizar e capturar descon-tinuidades de forma acurada e sem oscilações no método de ordem superior;

12. RHS – forma o lado direito da equação através da união do termo convectivo e da difusão artificial;

13. Bound – aplica as condições de contorno do problema; 14. Update – encontra a solução no tempo n+1 de forma explícita; 15. VisitDat – imprime os resultados em formato .VTK que pode ser visualizado nos

programas VisIt ou Paraview.

3.7 Considerações Práticas nas Simulações Numéricas

Quando partimos para casos mais complexos de simulações, algumas considera-ções adicionais devem ser feitas, uma vez que sem elas o modelo matemático não é ca-paz de interpretar certas particularidades numéricas. Isso ocorre principalmente em es-coamentos compressíveis a altas velocidades, onde certos parâmetros ou elementos do método utilizado podem influenciar na estabilidade dos cálculos numéricos. Um caso importante consiste em manter as variáveis termodinâmicas sempre po-sitivas. Devido a presença de gradientes elevados, zonas de rarefação e condições inici-ais impulsivas, valores negativos para massa específica e pressão podem ocorrer durante o processo de integração no tempo. Para impedir valores negativos das variáveis termo-dinâmicas durante o processo de convergência, a massa específica e a pressão são atua-lizadas a cada novo passo de tempo usando-se um tipo de relaxação, THOMAS (1991), garantindo assim que as mesmas sejam sempre positivas.

Por exemplo, a pressão é modificada de acordo com a equação:

1

1 1n nn

pp p p

pη α

−

+ ∆

= + ∆ + +

(3.43)

sempre que p

pα

∆≤ . Os valores utilizados para η e α são 2.0 e -0.2, respectivamente.

Para maiores detalhes, LYRA (1994). Um outro fato importante que pode ocorrer é a possibilidade de valores negati-vos no quadrado da velocidade média do som quando o método de Roe é adotado, EINFELDT (1988), HARTEN (1983) e YEE (1989), uma vez que os valores médios podem se encontrar fora do intervalo entre 2

Ic e 2Isc . A correção sugerida por Einfeldt,

pode ser necessária principalmente em simulações onde gases reais são considerados. Neste trabalho não observamos este problema e portanto não foi ativada nenhuma cor-reção, porém as mesmas foram implementadas para trabalhos futuros. A formulação de MUSCL/LED pode ter sua função limitadora imposta nas vari-áveis primitivas, conservativas ou características. Como pode ser visto em LYRA (1994), o uso de limitadores nas variáveis primitivas tem um comportamento melhor do que o uso nas variáveis conservativas. O uso de limitadores nas variáveis características

37

tem um alto custo computacional por isso neste trabalho foi adotado a utilização de li-mitadores nas variáveis primitivas. Por outro lado, Yee, reporta que a escolha de variá-veis características tem um papel importante na estabilidade e taxa de convergência a medida que o número de Mach cresce, YEE (1989). Portanto, devido a este fato, chama-se atenção que o algoritmo utilizado neste trabalho pode vir a não ser estável, ou não convergir em simulações com número de Mach extremamente elevados (Mach = 15.0). Baseado na experiência de Lyra, optou-se por projetar as velocidades na direção dos coeficientes Cij e normal aos mesmos, aplicar as funções limitadoras à estas veloci-dades projetadas e em seguida retornar para as direções cartesianas e atualizar o vetor de incógnitas. Esta idéia tem origem no MVF (Método dos Volumes Finitos) que lida com direções normais e tangenciais ao volume de controle e segundo o autor demonstrou ser mais robusta nos casos por ele estudados. A aproximação de Roe requer a implementação de uma correção de entropia. Neste trabalho adotou-se a correção sugerida por Harten, HARTEN (1983), através da expressão dada por:

( )

( )2 2

2

se

se

k k k

k

k k

k kk

λ λ δ

ψ λ

λ δλ δ

δ

≥

=

+<

(3.44)

Existem expressões mais elaboradas, HIRSCH (1988) e YEE (1989), porém a

expressão acima demonstrou-se robusta para os casos estudados por Lyra, e foi aqui a-dotada. Nas simulações efetuadas neste trabalho adotou-se através da experiência dos trabalhos de LYRA (1994) um valor de 0.1kδ = .

Uma estratégia robusta e eficiente muito utilizada na solução no regime perma-nente consiste em se obter a solução estacionária com uma formulação de primeira or-dem e em seguida utilizar a mesma como condição inicial para formulação de segunda ordem. Isso foi comprovado no terceiro caso estudado neste trabalho, que consiste no escoamento de um fluido sobre uma superfície de um cilindro, esta estratégia foi fun-damental uma vez que o programa não se mantinha estável com uma solução inicial considerando o escoamento livre.

38

4. RESULTADOS NUMÉRICOS

Neste capítulo, apresentaremos alguns resultados numéricos de aplicações de esco-amentos não-viscosos para a verificação dos algoritmos descritos no capítulo anterior. Devido a impossibilidade prática de descrever cada teste feito para cada algoritmo e a-inda para cada simulação, apresentaremos apenas as questões mais importantes referen-tes a cada caso.

Verifica-se que os casos estudados têm resultados bem próximos dos resultados disponíveis na literatura e representam valores satisfatórios de acordo com os métodos de aproximação utilizados.

Os casos que foram estudados neste trabalho são os seguintes:

Tubo de choque; Choque oblíquo em placa plana; Escoamento de ar em torno de um cilindro; Escoamento de ar em torno de uma asa padrão NACA 0012.

As unidades das variáveis utilizadas nestes casos simulados são a do Sistema In-

ternacional (S.I), sendo Kg/m3 para a Massa Específica, N/m2 para a Pressão, N.m para a Energia, m/s para Velocidade e s para o tempo.

4.1 Tubo de Choque

O primeiro caso a ser simulado foi o problema do tubo de choque transiente. O mesmo consiste em um problema unidimensional sendo analisado em uma malha tridi-mensional.

O modelo numérico simula um tubo retangular contendo um fluido no seu interi-or, o mesmo é dividido no centro por uma membrana que caracteriza duas regiões com propriedades de pressão e densidade diferentes no instante inicial 0t , conforme mostra a Figura 4.1, que no início do transiente é instantaneamente retirada.

0

Figura 4.1 - Condição Inicial do Tubo de Choque. As condições a esquerda e a direita são separadas por uma membrana.

Membrana

39

A condição inicial para o problema de tubo de choque considerado, que é o problema clássico de SOD (1985), é a seguinte:

1.0 0.125

0.0 0.0

Para 0 temos e para 0 temos 0.0 0.0

0.0 0.0

2.5 0.25

u u

x xv v

w w

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρε ρε

= =

= = < ≥= =

= = = =

Então para acharmos a solução do problema de tubo de choque temos que achar

a solução do problema de Riemann, ou seja, após a retirada, instantânea, da membrana fictícia, se formarão três ondas iguais a do problema de Riemann, isto é, uma onda de choque seguida de uma onda de descontinuidade de contato que se propagam na direção da região de baixa pressão e uma terceira onda de expansão que se pro se propaga na di-reção contrária as outras duas. A geometria do tubo possui tamanho igual 1 metro no sentido longitudinal e 0.1 metros nos demais sentidos, os demais parâmetros adotados neste caso foram os seguintes: 1.4γ = , 0.45CFL = , 0.1Kδ = (equação (3.44)). O passo

de tempo adotado neste caso foi global. A malha adotada tinha 15.988 nós e 86.806 e-lementos tetraédricos, a função limitadora adotada foi o min-mod. As condições de con-torno adotadas são a de parede sólida, 0⋅ =u n , em todas as superfícies de contorno do tubo e condição de contorno livre nas superfícies à esquerda e à direita. As dimensões adotadas são C=1.0 m, L=0.1 m e H=0.1 m.

Este exemplo é bom para testar a exatidão da simulação numérica em um pro-blema transiente, bem como, a quantidade de difusão numérica adicionada pelo método nas regiões de descontinuidade uma vez que este problema tem solução semi-analítica.

Também foi avaliada a influência do grau de refinamento da malha. Verificou-se que com uma malha pouco refinada as descontinuidades da onda não são capturadas.

A seguir são mostrados alguns resultados numéricos.

Figura 4.2 - Resultado dos Valores da Massa Específica após a Simulção de Primeira Ordem (Roe) e Ordem Superior (MUSCL/LED) para o Tubo de Choque (tempo de 0.2 s e uma malha de 15.988 nós).

Posição do corte.

40

Figura 4.3 – Gráfico que confronta os Valores da Massa Específica utilizando aproximações de primeira

ordem (Roe - Azul) e de ordem superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Tubo de Choque .

Podemos visualizar no resultado acima as três ondas descritas anteriormente, bem como a diferença entre aproximação de primeira ordem, Roe, e de ordem superior, MUSCL/LED. Note que a segunda possui uma melhor captura das descontinuidades conforme esperado.

Figura 4.4 - Resultado dos Valores da Pressão após a Simulação de Primeira Ordem (Roe) e Ordem

Superior (MUSCL/LED) para o Tubo de Choque (tempo de 0.2 s e uma malha de 15.988 nós).

Posição do corte.

41

Figura 4.5 - Gráfico que confronta os valores da Pressão utilizando aproximações de primeira ordem

(Roe - Azul) e de ordem superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Tubo de Choque .

4.2 Choque Oblíquo em Placa Plana

No segundo exemplo, o problema de reflexão de um choque em uma placa plana é simulado. Este problema também é muito utilizado na verificação de algoritmos devi-do à existência de solução analítica por similaridade, LYRA (1994). A solução analítica do problema 2D é dada por um choque que forma um ângulo de 29,3 graus com a pare-de sólida. Um escoamento não-viscoso com um número de Mach de valor igual a 2.0, ângulo de ataque de -10o em relação a uma placa plana (parede sólida) que é instantane-amente inserida neste escoamento é estudado. Os demais parâmetros adotados neste ca-so foram os seguintes: 1.4γ = , 0.45CFL = , 0.1Kδ = , 410tolerância −= da norma L2

do resíduo. A malha adotada foi de 20.340 nós e 108.322 elementos tetraédricos, a fun-ção limitadora adotada foi o min-mod.

A Figura 4.6 mostra como são aplicadas as condições iniciais e de contorno para este exemplo. As dimensões espaciais do domínio são: 1.0L m= e 0.1d m= .

Superfície A tem a condição de contorno de parede sólida dada por: 0⋅ =u n

Superfície B e C, condições iniciais e de contorno:

1 0

0 0

cos 10

sen 10

0 9464

.

.

U ( )

( )

.

u

v

w

ρ

ρ

ρ

ρ

ρε

=

= = = −

= − =

Escoamento livre na superfície D.

42

Figura 4.6 – Descrição do problema Choque Oblíquo sobre Placa Plana e Solução Analítica. Na Figura 4.7 mostramos o resultado dos valores de massa específica utilizando aproximações de ordem superior MUSCL/LED. Não foi mostrado outras variáveis, co-mo pressão, número de Mach e energia por possuírem comportamentos semelhantes nas descontinuidades.

Figura 4.7 – Resultado dos Valores da Massa Específica após a Simulação de Ordem Superior para o Choque Oblíquo em Placa Plana.

Posição do corte.

-10o

z

x

y

L

L d

C

A

D B Mach = 2.0

29.3o

choque

43

Figura 4.8 – Gráfico que confronta os valores da Massa Específica utilizando aproximações de Primeira

Ordem (Roe - Azul) e de Ordem Superior (MUSCL/LED - Vermelho) para o Choque Oblíquo em Placa Plana

Podemos visualizar, na Figura 4.8, a diferença entre o método de primeira ordem

Roe e o de ordem superior MUSCL/LED. A captura do choque utilizando aproximações de MUSCL/LED são mais acuradas. Uma vez que estes resultados são de um problema de duas dimensões, porém, utilizando uma malha tridimensional, os mesmos são coe-rentes com os encontrados por Lyra, LYRA (1994) e Costa, COSTA (2004).

4.3 Problema de Escoamento de Ar sobre um Cilindro

No terceiro exemplo, temos uma simulação no regime permanente de um escoa-mento fluido em torno de um cilindro. A presença de choque, zona de rarefação e de es-tagnação faz deste problema um desafio em termos de estabilidade, uma vez que valores numéricos negativos podem ocorrer, por exemplo, na massa específica, principalmente no início do transiente. A correção de entropia sugerida por Harten, HARTEN (1983) e OSHER (1984), foi adotado neste caso com o valor 0.1Kδ = . O escoamento ocorre com

um número de Mach de valor igual a 3.0 e ângulo de ataque de 0o. A geometria possui os valores, 1 2 10L L= = m, 3 0 5.L = m e 1 0.D = m, os demais parâmetros adotados

neste caso foram os seguintes: 1.4γ = , 0.45CFL = , 410tolerância −= da norma L2 do resíduo. A malha adotada foi de 14.018 nós e 71.328 elementos tetraédricos, a função

limitadora adotada foi o min-mod com parâmetro compressível ( )30 5. * IIsβ = , onde

IIs , é o comprimento da aresta, também sugerido por Lyra. A Figura 4.9 indica as con-dições iniciais e de contorno do problema em análise.

44

A superfície de Entrada E tem as seguintes Condições de Contorno:

1 0

1 0

0 0

0 0

0 6984

.

.

U .

.

.

u

v

w

ρ

ρ

ρ

ρ

ρε

=

= = =

= =

As superfícies do Cilindro e Faces P1,P2,P3 e P4 têm a seguinte condição de contorno: 0 no contorno n

wu n⋅ = Γ (condição de parede sólida com deslizamento)

A superfície de Saída S tem condição de contorno (livre)

Figura 4.9 - Condições iniciais, de contorno e geometria para a simulação de um escoamento fluido sobre um cilindro (número de Mach=3.0).

Na região vizinha ao cilindro a malha foi refinada devido aos fenômenos de

choque, ponto de estagnação e de rarefação ocorrerem nas suas proximidades. É impor-tante mencionar que segundo estudos feitos por Lyra, a utilização de um valor muito pequeno na correção sugerida por Harten, leva a um comportamento de não convergên-cia, LYRA (1994) e HARTEN (1983). Ainda extraindo dados dos estudos feito por Lyra, é extremamente importante empregar uma malha inicial adequada principalmente na região do choque e na zona de rarefação atrás do cilindro, pois uma malha inicial não adequada pode levar a soluções não físicas, que resultam na interrupção do algoritmo devido a instabilidade. Para comparações com resultados feitos por Lyra e Costa, COSTA (2004), utilizaremos o número de Mach para visualização do choque na frente e atrás do cilindro.

y

x

z

Mach = 3.0

L1

L2

L3

D

P4

P3

P1 P2

E S

45

A Figura 4.10 e Figura 4.11 nos mostra esses choques:

Figura 4.10 – Visualização do Choque na região à frente e atrás do cilindro vista através de um corte.

Figura 4.11 – Visualização do Choque na região a frente e atrás do cilindro vista sem cortes.

Podemos ver através das Figura 4.10 e Figura 4.11 que na região do choque o

número de Mach cai bruscamente até atingir o valor nulo no ponto de estagnação a fren-te do cilindro, voltando a crescer ao longo da superfície do cilindro, depois entrando na zona de rarefação onde ocorre novamente uma segunda queda brusca e por fim ao se distanciar do cilindro volta a crescer.

Nas regiões atrás do cilindro podem ocorrer valores negativos de pressão e mas-sa específica devido a cálculos numéricos, assim para evitar esses valores negativos é utilizado um parâmetro de relaxação no início do transiente, conforme descrito na sec-ção 3.5, o qual permite que a velocidade normal nas primeiras iterações não seja nula, uma vez que fisicamente este fato é coerente, pois a imersão de um cilindro num esco-

46

amento não é instantânea. O valor adotado para este parâmetro foi de 0.8. Para frisar a importância desta flexibilidade, a não utilização deste relaxamento neste caso leva o al-goritmo à interrupção.

Algumas considerações para melhorar a robustez da formulação, tais como: cor-reção sugerida por Harten, utilização das velocidades projetadas na direção tangencial e normal, sugeridas por Lyra para problemas 2D de possíveis problemas foram adotadas diretamente sem a verificação se esses problemas realmente ocorreriam em 3D. Uma vez que a aproximação em três dimensões é mais difusiva que em duas dimensões, al-gumas dessas considerações poderiam talvez ser desativadas. Porém, por segurança es-tas considerações foram mantidas.

Nas figuras 4.12 a 4.17 são mostrados alguns resultados numéricos obtidos.

Figura 4.12 - Valores da massa específica utilizando aproximações de primeira ordem (Roe).

Figura 4.13 - Valores do número de Mach utilizando aproximações de primeira ordem (Roe).

47

Figura 4.14 - Valores da Pressão utilizando aproximações de primeira ordem (Roe).

Figura 4.15 – Valores da massa específica utilizando aproximações de segunda ordem (MUSCL/LED).

48

Figura 4.16 – Valores do número de Mach utilizando aproximações de segunda ordem (MUSCL/LED).

Figura 4.17 – Valores da pressão utilizando aproximações de segunda ordem (MUSCL/LED).

49

As figuras apresentadas nas páginas anteriores mostram os resultados esperados qualitativamente para massa específica, número de Mach e pressão na simulação de um escoamento fluido em torno de um cilindro para o grau de refinamento de malha utiliza-do. Não foi efetuado um estudo de convergência de malha adequado face às limitações de memória, uma vez que a nossa implementação não é paralela e não podemos lidar com malhas em três dimensões muito refinadas. Uma onda de choque é formada nas proximidades do cilindro e uma zona de rarefação surge atrás do mesmo.

Na Figura 4.18 a variação do número de Mach utilizando apoximações de pri-meira ordem (Roe) e de segunda ordem (MUSCL/LED), se for dado um corte simétrico no volume considerado para o caso do cilindro, é mostrada.

Figura 4.18 – Comparação entre solução encontrade primeira ordem (Roe) e de segunda

ordem (MUSCL/LED).

4.4 Escoamento de Ar sobre uma Asa Padrão (NACA 0012)

No quarto exemplo, temos uma simulação no regime permanente de um escoa-mento fluido em torno de uma asa padrão NACA 0012 com perfil constante. Este caso tem basicamente todas as características do caso anterior do cilindro, porém com uma superfície diferente, no caso, a asa padrão. O escoamento ocorre com um número de Mach de valor igual a 1.2 e com um ângulo de ataque de 0o. Os demais parâmetros ado-tados neste caso foram os seguintes: 1.4γ = , 0.45CFL = , 0.1Kδ = , 410tolerância −=

da norma L2 do resíduo. A malha adotada foi de 36.111 nós e 191.924 elementos tetra-édricos, a função limitadora adotada foi o min-mod com parâmetro compressível

( )30 5. * IIsβ = , onde IIs , é o comprimento da aresta. As condições iniciais e de con-

torno do problema em análise são as mesmas do problema anterior, ou seja, uma entrada com valores prescritos, duas paredes laterais e superfície da asa com condição de con-torno de parede sólida com deslizamento, duas paredes (superior e inferior) e saída com condições de contorno livre, ver Figura 0.1.

50

Figura 4.19 – Condições iniciais, de contorno para a simulação de um escoamento fluido sobre uma asa

padrão (NACA 0012) (número de Mach=1.2).

Neste caso os fenômenos esperados são de simetria nos valores das variáveis de-vido a o ângulo de ataque ser nulo. Os resultados obtidos neste caso são meramente qualitativos uma vez que não foi possível um grande refinamento da malha, nem a sua adaptação para possibilitar a captura de toda a física do problema particularmente do choque, LYRA (1994) e PERAIRE et al. (1993). Nas figuras 4.19 a 4.21 são mostrados alguns resultados numéricos obtidos.

Figura 4.20 – Valores da massa específica e suas isofaixas para escoamento fluido em torno de uma asa

padrão NACA 0012, com ângulo de ataque de 0o e Mach 1.2, mostrando a simetria dos resultados.

x

y

z

L

L

L P

51

Figura 4.21 – Valores do número de Mach e suas isofaixas para escoamento fluido em torno de uma asa

padrão - NACA 0012, com ângulo de ataque de 0o e Mach 1.2, mostrando regiões subsônicas e supersônicas.

Figura 4.22 – Valores da pressão e suas isofaixas para escoamento fluido em torno de uma asa padrão -

NACA 0012, com ângulo de ataque de 0o e Mach 1.2.

52

5. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

5.1 Conclusões

Neste trabalho foi apresentada a implementação de uma ferramenta computacio-nal para simulação numérica de problemas de escoamentos fluidos compressíveis não-viscosos para três dimensões governadas pelas equações de Euler. Para a implementa-ção computacional foi utilizado o método de elementos finitos do tipo Galerkin e uma difusão numérica artificial para estabilização. Inicialmente foi utilizada uma difusão ar-tificial do tipo “Upwind” de primeira ordem sugerida por Roe, e posteriormente uma di-fusão com aproximação de ordem superior do tipo MUSCL/LED com funções limitado-ras para estabilização e captura de “choques” sem oscilações e de forma acurada. Estas difusões numéricas garantem aproximações de ordem superior nas regiões suaves do es-coamento e aproximações de primeira ordem nas regiões de elevados gradientes, por exemplo, nas proximidades dos choques. A formulação foi implementada utilizando uma estrutura de dados baseada nas arestas dos elementos tetraédricos por serem mais eficiente que a tradicional estrutura de dados por elementos em termos de memória e uso da CPU e por permitir a implementação de forma aproximada das técnicas de “Up-wind”, originadas do MDF, em malhas não-estruturadas, LYRA (1994) e LOHNER (2001). Algumas estratégias para aumentar a robustez do algoritmo foram adotadas neste trabalho, por exemplo, decomposição da velocidade nas direções normais e tangenciais dos coeficientes Cij, correção da entropia, sugerida por Harten, garantia da positividade das variáveis de pressão e massa específica. Também foi adotado o uso de passo de tempo local para acelerar a convergência para o regime permanente nos casos onde a so-lução transiente não era de interesse e as funções limitadoras atuaram nas variáveis pri-mitivas. Foram realizados uma série de experimentos computacionais para a verificação da ferramenta desenvolvida com dados da literatura. Observou-se uma boa concordân-cia dos resultados que capturaram os fenômenos físicos esperados em escoamentos compressíveis. Foi observado também a diferença nos resultados obtidos utilizando-se uma aproximação de primeira ordem, Roe e de ordem superior, MUSCL/LED, mos-trando a importância da implementação de métodos capazes de obter aproximações mais acuradas.

5.2 Trabalhos Futuros

Seguem algumas sugestões para a continuidade do trabalho no tema da disserta-ção:

1. Estudo da influência das malhas adotadas, das funções limitadoras e de parâme-tros e estratégias que visam aumentar a robustez do programa e que foram ado-tados sem a verificação da sua necessidade em problemas 3D;

53

2. Inclusão do termo de viscosidade no modelo físico, permitindo-se assim a simu-lação das equações de Navier-Stokes para escoamentos em regime laminar;

3. Implementação do algoritmo em computadores paralelos, com o objetivo de si-mulações de geometrias complexas e com malhas de grande porte;

4. Incorporação de técnicas de análise de erros e utilização de técnicas de adapta-ção de malhas: redefinição local e global de malhas (remeshing) e adaptação h, para a solução mais eficiente e acurada;

5. Utilização de técnicas de integração temporal de ordem mais alta, particularmen-te as técnicas multi-estágio de Runge-Kutta;

6. Ampliação do modelo físico através da implementação do modelo de turbulên-cia;

Gostaria de agradecer a todos os colaboradores envolvidos neste trabalho, aos órgãos financiadores da CAPES e CNPQ e do Programa de Pós-Graduação em Enge-nharia Civil pelo suporte a todas as dificuldades encontradas no decorrer do trabalho.

54

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57

APÊNDICE A – Cálculo dos Coeficientes Cij das Aresta e dos Coeficientes Df das Faces

O cálculo dos coeficientes das arestas Cij e Cji necessita de uma atenção especial no momento de seu cálculo. Como inicialmente temos uma estrutura de dados de ele-mentos e queremos transformar em uma estrutura de dados por aresta analisaremos co-mo isso é feito para não termos problemas com os valores dos coeficientes.

Vamos então realizar um passo a passo para o cálculo correto do coeficiente das arestas Cij e Cji para o caso de Escoamento não-Viscoso Compressível de Fluidos utili-zando aproximações por Elementos Finitos. Na formulação utilizada neste trabalho, LYRA (1994) e PERAIRE et al. (1993), os coeficientes de arestas Cij e Cji devem ter mesmo módulo e sinais contrários. Os coeficientes Cij e Df têm as seguintes expressões, ver apêndice C, matemáti-cas de forma compacta, LYRA (1994) e PERAIRE et al. (1993):

2 12

Efj E I

IIs jE IIs f IIsj IIs

NC n

x⊃ ⊃

ΓΩ ∂= − +

∂∑ ∑ (A.1)

24

ff jD n

Γ= − (A.2)

onde, E representa os n elementos tetraédricos da malha, Ω representa o volume dos e-lementos, Γ representa as áreas triângulares do contorno da malha, IIs representa as a-restas da malha que tem os nós I, Is, f representa as faces do contorno da malha, N re-presenta as funções de forma de elementos finitos e j representa as direções xj do espaço tridimensional. Nas expressões acima o primeiro somatório é aplicado a todos os ele-mentos tetraédricos que contém a aresta IIs e o segundo somatório é aplicado para as duas faces triangulares do contorno que contém a aresta IIs.

É importante lembrar que esses coeficientes são calculados na fase do pré-processador (PRE_EDGE-3D), ou seja, inicialmente é gerado um arquivo contendo in-formações da geometria que será interpretado pelo gerador de malha (“Gmsh”). A partir desta geometria será gerada a malha de tetraedros com seus respectivos identificadores numéricos, de propriedades do domínio e de condição de contorno e deste arquivo com as informações da malha gerada é que serão calculados os coeficientes a que estamos nos referindo.

58

Analisaremos um exemplo simples de um cubo, como na figura A.1, (com di-mensões unitárias e origem no nó 1) com 12 elementos tetraédricos (metade de cada uma das 6 pirâmides de um cubo), onde existem 9 nós, sendo 8 deles no contorno e 1 apenas no domínio, além das 26 arestas sendo 8 no domínio e 18 no contorno. Calcula-remos nesse nosso exemplo os coeficientes Cij e Df para a aresta 2-9 (domínio) e para a aresta 2-6 (contorno).

Figura A.1 – Cubo modelo com seus respectivos nós e arestas. Note que os elementos mostrados na figura A.2 são os que contribuem para cal-

cular os coeficientes da aresta 2-9 que será a nossa aresta modelo do domínio.

Figura A.2 – Três elementos que contribuem para a aresta 2-9.

Podemos fazer uma pequena tabela, com as conectividades em ordem crescente que é a nossa padronização para não haver erros no cálculo dos coeficientes Cij:

5

1

2 3

4

6 7

8

9

1

2 3

9

2

9

6

1

6

9

3 2

Elemento 3

Elemento 1

Elemento 6

59

i

j

m

p

Elemento Conectividades

1 1 2 3 9 3 1 2 6 9 6 2 3 6 9 i j k l

Primeiramente teremos que achar as funções de forma , , ,i j k lN N N N de cada

elemento tetraédrico, pois na nossa fórmula para o cálculo dos coeficientes (A.1) preci-

samos achar a derivada parcial das mesmas, ou seja,

EI

j

N

x

∂

∂.

Como trabalharemos com aproximações lineares, teremos as funções de forma como sendo funções que formam planos com a seguinte equação genérica, ( E

E VΩ = ):

1 2 3

6I E

a bx cx dxN

V

+ + += (A.3)

Sabe-se das propriedades das funções de forma que: “A soma de todas as fun-

ções de forma em qualquer ponto do elemento deve ser igual a 1”. Com isso, para achar os coeficientes , , ,a b c d das funções de forma, é necessário resolver 4 sistemas de 4x4 para cada elemento da malha de tetraedros. A solução de cada sistema 4x4 nos fornece os coeficientes , , ,a b c d da função de forma no nó desejado. Ver exemplo abaixo:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6

0

0

0

i i i i E

i i i ii

i i i i

i i i i

a b x c x d x V

a b x c x d xN

a b x c x d x

a b x c x d x

= =

= =

=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

6

0

0

j j j j

j j j j E

jj j j j

j j j j

a b x c x d x

a b x c x d x VN

a b x c x d x

a b x c x d x

=

==

= =

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

0

6

0

k k k k

k k k kk

k k k k E

k k k k

a b x c x d x

a b x c x d xN

a b x c x d x V

a b x c x d x

= =

= =

=

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

0

0

6

l l l l

l l l ll

l l l l

l l l l E

a b x c x d x

a b x c x d xN

a b x c x d x

a b x c x d x V

= =

= =

=

No nosso exemplo teremos os seguintes resultados, uma vez tendo encontrado

, , ,a b c d resolvendo os 4 sistemas para cada elemento: Elemento 1 Elemento 3 Elemento 6

1 1 3 1 1 2 2 2 3

2 1 2 2 1 3 3 1 2

3

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

0.

N x x N x x N x x

N x x N x x N x x

N

= − − = − − = − −

= − = − = − + +

= 2 3 6 2 3 6 1 3

9 3 9 2 9 1

5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

1

x x N x x N x x

N x N x N x

− = − + = − + +

= = = −

(A.4)

Note que as conectividades já estão em ordem crescente

l

k k

60

Como nossa aresta 2-9 não é aresta de contorno o termo adicional da fórmula (A.1) do coeficiente Cij

j é zero, e assim:

2 12

Efj E I

IIs jE IIs f IIsj IIs

NC n

x⊃ ⊃

ΓΩ ∂= − +

∂∑ ∑ (A.5)

Para a direção x1, temos:

1 22 9

2 9 12

EE

E A

NC

x−⊃ −

Ω ∂= −

∂∑ (A.6)

Tomando-se a contribuição dos 3 elementos que estão associados a aresta 2-9, temos:

2 2 2

1 3 61 3 612 9

1 1 12 2 2

N N NC

x x x−

∂ ∂ ∂Ω ΩΩ= − + + ∂ ∂ ∂

(A.7)

O volume EΩ já foi calculado no gerenciador de malhas e passado como dado

para o pré-processador. Calculando-se as derivadas presentes em (A.6) para finalizar o cálculo dos coeficientes, se considerarmos as funções de forma dadas em (A.4), temos:

2 2 2

1 3 6

1 1 1

0.5 0.5 0.0N N N

x x x

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂ (A.8)

O cálculo de uma aresta do contorno, no caso a aresta 2-6, Figura A.1, note que

apenas dois elementos dados na Figura A.3 contribuem para calcular os coeficientes da aresta 2-6 que será a nossa aresta modelo do contorno:

Figura A.3 – Dois elementos que contribuem para a aresta 2-6.

2

9

6

1

6

9

3 2

Elemento 3

Elemento 6

61

i

j

m

p

Podemos fazer novamente uma pequena tabela que nos mostra os elementos que contribuem para a aresta 2-6: Elemento Conectividades

3 1 2 6 9 6 2 3 6 9 i j k l

Novamente teremos que achar as funções de forma , , ,i j k lN N N N de cada ele-

mento tetraédrico, pois na nossa fórmula para o cálculo dos coeficientes precisamos a-

char a derivada parcial das mesmas, ou seja,

EI

j

N

x

∂

∂.

Como nossa aresta 2-6 agora é aresta de contorno o termo adicional da fórmula

do coeficiente Cij é diferente de zero, e assim:

2 12

Efj E I

IIs jE IIs f IIsj IIs

NC n

x⊃ ⊃

ΓΩ ∂= − +

∂∑ ∑ (A.9)

Na entrada de dados, já foram calculados no gerenciador de malhar o que cha-

mamos de fD , que nada mais é do que:

24f

f jD nΓ

= (A.10)

Isto é a área da face em questão. Então precisaremos apenas multiplicá-lo por dois, para obtermos essa contribuição extra quando a aresta for de contorno, temos, portanto para a direção x1:

12 6 1

2 6 2 61 2 62 12

EfE I

E A f

NC n

x−⊃ − ⊃ − −

ΓΩ ∂= − +

∂∑ ∑ (A.11)

ou ainda,

1 12 6

2 6 2 61 2 6

22

EE I

fE A f

NC D

x−⊃ − ⊃ − −

Ω ∂= − +

∂∑ ∑ (A.12)

Expandindo a expressão (A.12), temos:

Note que as conectividades já estão em ordem crescente

l

k i i

62

( ) ( )2 2

3 61 1 13 62 6 1 2 6 2 3 6

1 1

2 22 2 f f

N NC D D

x x− − − − −

∂ ∂Ω Ω = − + + + ∂ ∂

(A.13)

O volume, já temos da nossa entrada de dados, calculamos as derivadas para fi-nalizar, isto é:

2 2

3 6

1 1

0.5 0.0N N

x x

∂ ∂= =

∂ ∂ (A.14)

para as direções x2 e x3 o processo é o mesmo da etapa anterior, ou seja:

( ) ( )2 2

3 62 2 23 62 6 1 2 6 2 3 6

2 2

2 22 2 f f

N NC D D

x x− − − − −

∂ ∂Ω Ω = − + + + ∂ ∂

(A.15)

( ) ( )2 2

3 63 3 33 62 6 1 2 6 2 3 6

3 3

2 22 2 f f

N NC D D

x x− − − − −

∂ ∂Ω Ω = − + + + ∂ ∂

(A.16)

63

APÊNDICE B – Cálculo da Multiplicação da Matriz Jacobia-na de Roe por um Vetor Genérico. ( )⋅A X O cálculo do valor absoluto do produto da matriz Jacobiana de Roe por um vetor genérico X para um espaço tridimensional pode ser realizado diretamente sem a monta-gem de A e X através de um procedimento desenvolvido por Turkel, TURKEL (1988),

que é computacionalmente eficiente. Portanto, apresentamos a seguir, utilizando a no-menclatura deste trabalho, como este procedimento é realizado. Primeiramente definimos alguns vetores e escalares que serão utilizados no cál-culo: ( )1 2 3v , ,u u u= (B.1)

( )1 2 3n , ,n n n= (B.2)

1 1 2 2 3 3q u n u n u n= + + (B.3)

( )2 2 21 2 3

1 2 31 121l , , , ,

u u uu u uγ

+ += − − − −

(B.4)

( )1 2 3 02l , , , ,q n n n= − (B.5)

1 2 1 232 21 2 3, e

λ λ λ λσ σ σ λ

+ −= = = (B.6)

( )1 1 1 2 1 3 1 11Z , , , ,l u l u l u l hl= (B.7)

( )2 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 1 12Z , , , ,l u l n l u l n l u l n l ql= + + + (B.8)

( )1 2 2 2 3 2 203Z , , , ,n l n l n l ql= (B.9)

2

11l rc = (B.10)

2

22l rS = (B.11)

Em seguida utilizamos as expressões definidas acima e realizamos o cálculo di-reto da multiplicação A X⋅ , através de:

( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 32 23 1 2 1 1 2 22 2

A X X l X l X r l X l X rc Sc Sc S

σ λ σ λσ σσ

− − ⋅ = + + + +

(B.12)

64

APÊNDICE C – Demonstração da Transformação de uma Es-trutura de Dados por Elementos para uma por Arestas Neste apêndice deduziremos a formulação do método dos elementos finitos uti-lizando uma estrutura de dados por arestas conforme apresentado na equação (3.12), no capítulo 3. As expressões para o cálculo dos coeficientes Cij das arestas e dos coeficien-tes Df das faces do contorno dadas nas equações (3.13) e (3.14) são também demons-tradas. Uma boa referência para entendimento prévio em 2 dimensões pode ser visto em Lyra, LYRA, (1994). Partimos inicialmente do nosso sistema de equações diferenciais parcial de Eu-ler:

para 1 2 30j

j

jt x

=∂ ∂

+ =∂ ∂

, ,U F

(C.1)

Após as considerações feitas pelo método dos elementos finitos, podemos escre-

ve a equação (C.1) como:

( )

( )( )UF U F

⊃ ⊃ ⊃Ω Ω Γ

∂∂Ω = Ω − Γ

∂ ∂∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

E E f

pnpj I

I IE I E I f Ij

NN d d N d

t x (C.2)

Sabemos que o lado direito da equação (C.2) quando utilizam-se funções linea-

res IN e aproximação também linear para jF conforme discutido no capítulo 3, pode ser

escrito da seguinte forma, PERAIRE et al. (1993):

( )( ) ( )4

F U F F F F⊃ ⊃Ω

∂ Ω ∂Ω + + +

∂ ∂∑ ∑∫

e

Epj j j j jI E I

I J K LE I E Ij j

N Nd

x x (C.3)

e

( )212

f

n n n nfI J KI

f I f I

N d⊃ ⊃Γ

ΓΓ + +∑ ∑∫ F F F F (C.4)

Supondo um nó I, conforme a Figura C.5.1, se escrevermos para cada elemento

que contém o nó I, a expressão de sua contribuição através de (C.3), teremos:

Figura C.5.1 – Exemplo de uma possível distribuição dos elementos que contribuem para o nó I.

I5

I In

I1 I2

I3

I4

nΩ 1Ω

2Ω

3Ω

65

Elemento 1: ( )1

11 2 54

j j j jII I I I

j

N

x

Ω ∂+ + +

∂F F F F (C.5)

Elemento 2: ( )2

22 3 54

j j j jII I I I

j

N

x

Ω ∂+ + +

∂F F F F (C.6)

Elemento 3: ( )3

33 4 54

j j j jII I I I

j

N

x

Ω ∂+ + +

∂F F F F (C.7)

Elemento n: ( )1 54F F F F

Ω ∂+ + +

∂

nj j j jn I

I In I Ij

N

x (C.8)

Se expandirmos todos os elementos e arrumarmos por arestas, teremos:

( )1

114 4

F F Ω ∂ Ω ∂

+ + + + ∂ ∂

nj jn I I

I Ij j

N N

x x

( )1 2

1 224 4

F F Ω ∂ Ω ∂

+ + + + ∂ ∂

j jI II I

j j

N N

x x

( )2 3

3234 4

F F ΩΩ ∂ ∂

+ + + + ∂ ∂

j jI II I

j j

N N

x x

( ) ( ) ( )1 2 3

31 22 2 24 4 4

j j jI I II I I

j j j

N N N

x x x

ΩΩ ∂ Ω ∂ ∂− + + ∂ ∂ ∂

F F F (C.9)

como o termo em [ ] da equação (C.9) é igual a zero por se tratar da integral do gradien-te de uma constante, podemos modificá-lo de modo que possamos inserir termos ade-quados à nossa estrutura de dados, onde substituímos laços sobre elementos e faces por laços sobre as arestas e faces, para tal substituiremos o termo [ ] de (C.9) por:

1 2 32 2 231 29 9 9

4 6 2 4 6 2 4 6 2

F F FF F F

j j jI f I f I fj j jI I I

I I Ij j j

N N N

x x x

ΩΩ ∂ Ω ∂ ∂− − + − + − ∂ ∂ ∂

e (C.9) fica então:

( ) 29

4 4 6 2

FF F F

jE EI fj j jE I E I

I Is IE IIs E Ij j

N N

x x⊃ ⊃

Ω ∂ Ω ∂+ − − ∂ ∂

∑ ∑ (C.10)

onde, a equação (C.10) representa o primeiro termo do lado direito da equação (C.2) es-crito na forma de arestas.

66

Se relembrarmos a equação (3.9):

( ) UU U

Me e

pJ

I I JE I E I I

d dN d N N d

t t dt⊃ ⊃Ω Ω

∂ Ω Ω = ∂ ∂

∑ ∑∫ ∫ (C.11)

Até o presente momento temos nesta dedução, utilizando, (C.11) (C.10) e (C.4),

que a equação (C.2) pode ser escrita como:

( )

( )

2

2

9

4 4 6 2

212

FUM F F F

F F F

jE EI fj j jE I E I

I Is IE IIs E II j j

n n nfI Is I f

f I

N Nd

dt x x⊃ ⊃

⊃

Ω ∂ Ω ∂ = + − − ∂ ∂

Γ− + +

∑ ∑

∑

(C.12)

Para simplificar o desenvolvimento, consideremos apenas a direção x1 e assim,

não será mais utilizado os índices j que indicam a direção.

Figura C.5.2 – Exemplo de uma possível distribuição das faces do contorno que contribuem para o nó I. Visualizando a Figura C.5.2, onde todos os nós se encontram no contorno e uti-

lizando o Teorema da Divergência, temos que:

1

NN n

Ω Γ

∂Ω = Γ

∂∫ ∫IId d

x (C.13)

sendo as funções de forma do (MEF) NI adotadas lineares e compactas (isto é, NI é zero exceto no interior dos elementos que possuem o nó I), temos que a aproximação do cál-culo de (C.13) fornece:

1 2 31 2 33 3 3

Ef f fI

E f f fE I j

Nn n n

x⊃

Γ Γ Γ∂Ω = + + ∂

∑ (C.14)

assim, substituindo (C.14) no segundo termo lado direito de (C.12), considerando-se a-penas para uma única face I-Is-I2f , onde eliminamos o sub-índice ( 1f fΓ ≡ Γ e 1f fn n≡ ),

e sua contribuição para aresta I-Is, bem como do elemento E associado a esta face do contorno, e somando e subtraindo o termo abaixo:

I Is = I1f

I1

I2 = I2f

f1

f2

f3

67

( )22 2 2

48F F F

Γ + +

f

ff I Is In (C.15)

teremos:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

2 +

248

212 12 12

1 9

4 3 6

2

44

4

8

2

F

F

F

F

F

U F

F

F

M F I

E IIs E II

EjE I f

f I

EE I

Is

f

f

n n nf f f

Ij

f

ff

I Is I f

j

f

f

sI I

If fn n n

n

n

xt x

NNd

n

d ⊃ ⊃

⊃

Ω ∂ ∂

Ω ∂

Γ−

Γ +

∂

=

Γ +

Γ

−+

Γ

Γ

Γ+

−

− −

∑ ∑

∑

( )

( ) ( ) ( )

2

2

248

248

24 84

28

F FF

Ff

f

ff

ff I

ff Isf I

fIn

n

nnΓ

−

Γ −

Γ −

(C.16)

Re-arrumando (C.16), temos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

1

2 2 1

2

24

2 2 12

+

+

424

224

4

24

8

2

2U

M F

FF

F

F

F

EfE I

f Is

nfIf

nfIsf

E IIs f II

E I

ff

ff

ff

I

Ef

jI

s f

E II

j

Is

f I

n

Nd

d

Nn

x

tn

n

nn

n

x⊃ ⊃

⊃ ⊃

ΓΩ ∂− − + ∂

Γ −

ΓΩ ∂− − + ∂

=

Γ−

Γ +

Γ +

−

+

Γ

∑ ∑

∑ ∑

( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 22

248 24 4

+F F F Ff fI f f I f f

nfI ff

II f

f

n nn⊃

ΓΓ Γ − +

−

∑

(C.17) finalmente,

( )

( )2 2

1

2 2 12

4 2 2+24

2F

F

F

F

F

UM

ff

f

I

E IIIs

E IIsI j

f

I

I IIIs s I s

I

I

s

I

I

If

Ndn

dt x

n F FF

⊃

⊃

Γ−Ω ∂ = − + + + ∂

Γ − −−+ +

+

∑

∑

(C.18)

visualizando a equação (C.18), podemos definir os Coeficientes Cij e Df como:

2 12

fE IIIs IIs

E I j

NC n

x⊃

ΓΩ ∂= − +

∂∑ (C.19)

24

ff IIs

f I

D n⊃

Γ= −∑ (C.20)

68

por fim, se definimos o nó 1 fIs I= na equação (C.18), quando I-Is for do contorno Γ e

generalizarmos para todas as direções j e todo os nós, teremos a expressão final para a equação (C.2) na forma de arestas:

( )1

1 2 1 21

4 2 2 22

F FUM C F F F F F F

vI j j In n nj n n nI IsI I f I fIIs f I I f I f

A f II I

dD

dt

µ

= =

+ = − + + + + − −

∑ ∑

(C.21) que representa a equação adotada em (3.12). O primeiro somatório representa um laço em todas as arestas que contém o nó I e o segundo somatório representa o um laço em todas as faces do contorno que contém o nó I.

69

APÊNDICE D – Testes Adotados para Verificação dos Coefi-cientes Cij das Aresta e dos Coeficientes Df das Faces

Neste apêndice mostraremos a dedução dos testes realizados para garantir que os coeficientes utilizados em uma estrutura de arestas foram calculados corretamente. Escrevendo o Teorema da Divergência na nomenclatura utilizada neste trabalho, temos:

F

N FNnΩ Γ

∂Ω = Γ

∂∫ ∫j

d dx

(D.1)

Se utilizarmos uma função constante, por exemplo, 1=F , temos que:

0jx

∂=

∂

F (D.2)

logo,

0FNnΓ

Γ =∫ d (D.3)

por sua vez, podemos aproximar a equação (D.3), a semelhança com a expressão

(3.12) por:

( )2

1 21

62

F FFNn C D F F F

⊃ =Γ

+Γ + + +

∑ ∑∫

j jj j j j jI Is

IIs f I I f I fE IIs f

d (D.4)

portanto,

( )2

1 21

6 02

F FC D F F F

⊃ =

++ + + =

∑ ∑

j jj j j j jI Is

IIs f I I f I fE IIs f

(D.5)

como a função que foi adotada é constante, temos 1 2 1F F F F F= = = = =I Is I f f , assim:

Para nós do domínio: 0C

⊃

=∑ jIIs

E IIs

(D.6)

Para nós do contorno: 2

1

8 0C D⊃ =

+ =∑ ∑j jIIs f

E IIs f

(D.7)

As equações (D.6) e (D.7) expressam uma formulação do tipo centrada.

70

Um segundo teste que pode ser utilizado para a verificação do cálculo dos coefi-cientes j

IIsC e jfD é o calculo do volume do sólido associado a cada nó (VI) através de

uma estrutura de elementos versus o volume calculado através da acumulação das con-tribuições de cada aresta nos nós da malha. Para realização do cálculo da primeira maneira, devemos realizar:

4⊃

Ω=∑ E

IE I

V (D.8)

Já na segunda maneira, a qual utilizaremos uma estrutura de dados por aresta, temos: Seja a função, ( ),0,0x=F

F F F

F∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂x y z

(D.9)

e 1F∇ = (D.10)

Utilizando o Teorema da Divergência, temos:

FN FNnΩ Γ

∇ Ω = Γ∫ ∫d d (D.11)

logo, para um nó I, usando (D.10), temos:

N FNnI I

d dΩ Γ

Ω = Γ∫ ∫ (D.12)

Utilizando coordenadas de volume, temos:

63

! ! ! !N N N N

( )!Ω

Ω =+ + + +∫∫∫

a b c di j k l

a b c dd V

a b c d (D.13)

logo o lado esquerdo da equação (D.12) usando (D.13), com 1a = , 0b c d= = = , fica:

1 0 0 0

61 0 0 0 3 4

! ! ! !N N N N

( )!Ω

Ω = =+ + + +∫∫∫

a b c di j k l

Vd V (D.14)

Substituindo (D.14) em (D.12), e usando a aproximação (3.12) para a integral de

superfície do lado direito de (D.12), temos:

( )2

1 21

64 2

F FC D F F F

j jj j j j jI IsI

IIs f I I f I fE I f

V

⊃ =

++ + +

∑ ∑ (D.15)

71

Portanto, para o fluxo F em questão, temos:

( ) ( ) ( )2

1 2 1 2 1 21

4 2 2 2

6

x x y y z zC C C

D x x x D y y y D z z z

⊃

=

+ + + = + +

+ + + + + + + + +

∑

∑

x y zI Is I Is I IsIIIs IIs IIs

E I

x y zIIs I I f I f IIs I I f I f IIs I I f I f

f

V

(D.16) onde, os termos em função de y e z são nulos por causa da função F ser apenas em ter-mos de x, ficando então:

( )2

1 21

4 62

x xC D x x x

⊃ =

+ = + + + ∑ ∑x xI Is

IIs IIs I I f I fE I f

V (D.17)

que representa um teste para os valores de x

ijC e xfD . De maneira inteiramente análoga

podemos definir ( )0, ,0F = y e ( )0,0,F = z e obter testes para verificar as componen-

tes y e z, respectivamente, de yijC , z

ijC , yfD e z

fD .