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Analisis de Fourier
Tema 6: Convergencia
7, 12, 19, 21, 26 y 28 de noviembre
1 Absoluta y uniforme
2 En el espacio de Hilbert
3 En espacios de Banach
4 Puntual y uniforme
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Espacios de sucesiones (I)
Los espacios lp(Z) con 1 6 p < ∞
CZ ={
α : Z→ C}. Para ρ : Z→ R+
0 escribimos:
+∞
∑n=−∞
ρ(n) = lımn→∞
n
∑k=−n
ρ(k) ∈ [0,∞]
1 6 p < ∞ : lp(Z) =
{α ∈ CZ :
+∞
∑n=−∞
|α(n)|p < ∞
}
espacio de Banach con la norma ‖α‖p =
(+∞
∑n=−∞
|α(n)|p)1/p
∀α ∈ lp(Z)
Desigualdad de Holder
Si 1 < p < ∞ y1p
+1p∗
= 1 , para α,β : Z→ R+0 se tiene:
∞
∑n=−∞
α(n)β(n) 6
(∞
∑n=−∞
α(n)p
)1/p(∞
∑n=−∞
β(n)p∗)1/p∗
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Espacios de sucesiones (II)
Espacios de sucesiones acotadas
l∞(Z) ={
α ∈ CZ : sup{|α(n)| : n ∈ Z}< ∞}
espacio de Banach con la norma ‖α‖∞ = sup{|α(n)| : n ∈ Z} ∀α ∈ l∞(Z)
c0(Z) ={
α ∈ CZ : lım|n|→∞
α(n) = 0}
subespacio cerrado de l∞(Z) , luego espacio de Banach con la norma
‖α‖∞ = max{|α(n)| : n ∈ Z} ∀α ∈ c0(Z)
c00(Z) ={
α ∈ CZ : {n ∈ Z : α(n) 6= 0} finito}⊂ c0(Z)
Relacion entre los espacios de sucesionesPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
α ∈ lp(Z) =⇒ α ∈ lq(Z) =⇒ α ∈ c0(Z) con ‖α‖∞ 6 ‖α‖q 6 ‖α‖p
c00(Z) es denso en lp(Z) y tambien en c0(Z)
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Primer teorema de convergencia
Teorema de inversion para series de Fourier
Si f ∈ L1(T) y f ∈ l1(Z) , entonces
la serie de Fourier de f converge absoluta y uniformemente en R ,
y se tiene: f (t) =+∞
∑n=−∞
f (n)eint p.c.t. t ∈ R
Por tanto, no se pierde generalidad suponiendo que f ∈C(T) , en cuyo caso:
f (t) =+∞
∑n=−∞
f (n)eint ∀ t ∈ R
El algebra de Wiener
A(T) = { f ∈C(T) : f ∈ l1(Z)}
Con el producto de convolucion, y la norma ‖ f‖= ‖ f ‖1 ∀ f ∈ A(T) ,
A(T) es un algebra de Banach conmutativa, el algebra de Wiener
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
El espacio de Hilbert L2(T)
El producto escalar en L2(T)
Para f ,g ∈ L2(T) se tiene f g ∈ L1(T) , luego podemos definir:(f∣∣g) =
12π
∫π
−π
f (t)g(t)dt ∀ f ,g ∈ L2(T)
(·|·) es un producto escalar en el espacio vectorial complejo L2(T) ,
es decir, para f ,g,h ∈ L2(T) y λ,µ ∈ C , se tiene:
Forma sexquilineal:(λ f + µh
∣∣g) = λ(
f∣∣g) + µ
(h∣∣g)(
f∣∣λg + µh
)= λ
(f∣∣g) + µ
(f∣∣h)
Hermıtica:(
g∣∣ f)
=(
f∣∣g), luego
(f∣∣ f)∈ R
La forma cuadratica f 7→(
f | f)
es definida positiva:
f 6= 0 =⇒(
f∣∣ f)
> 0
‖ f‖ =(
f∣∣ f)1/2 ∀ f ∈ L2(T) , luego L2(T) es un espacio de Hilbert
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
El espacio de Hilbert l2(Z)
El producto escalar en l2(Z)
Para α,β ∈ l2(Z) se tiene αβ ∈ l1(Z) , luego podemos definir:(α∣∣β) =
+∞
∑n=−∞
α(n)β(n) ∀α,β ∈ l2(Z)
Tenemos un producto escalar en l2(Z)
y la norma dada por ‖α‖ =(
α∣∣α)1/2 ∀α ∈ l2(Z) , es completa,
luego l2(Z) tambien es un espacio de Hilbert
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Relacion entre ambos espacios de Hilbert (I)
Primer paso: sistemas ortonormales
Sistema trigonometrico: {en : n ∈ Z} donde en(t) = e int ∀ t ∈ R , ∀n ∈ Z
Para n,m ∈ Z se tiene:(
en∣∣em
)=
{1 si n = m0 si n 6= m
El sistema trigonometrico es un sistema ortonormal en L2(T)
Coeficientes de Fourier: f ∈ L2(T) =⇒ f (n) =(
f∣∣en)
∀n ∈ Z
Pn(T) polinomios trigonometricos de grado menor o igual que n ∈ N∪{0}
P ∈ Pn(T) =⇒ P(t) =n
∑k=−n
P(k)ek
P ∈ P (T ) =⇒∥∥P∥∥ =
(+∞
∑k=−∞
∣∣ P(k)∣∣2)1/2
=∥∥ P
∥∥P 7→ P identifica totalmente P (T)⊂ L2(T) con c00(Z)⊂ l2(Z)
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Relacion entre ambos espacios de Hilbert (II)
Segundo paso: desigualdad de Bessel
Serie de Fourier de f ∈ L2(T) : Sn( f ) =n
∑k=−n
(f∣∣ek)
ek ∀n ∈ N∪{0}
Fijados f ∈ L2(T) y n ∈ N∪{0}, se tiene:
−n 6 j 6 n =⇒(
f −Sn( f )∣∣e j)
= 0
P ∈ Pn(T) =⇒(
f −Sn( f )∣∣P) = 0(
f −Sn( f )∣∣Sn( f )
)= 0∥∥ f
∥∥2 =∥∥Sn( f )
∥∥2 +∥∥ f −Sn( f )
∥∥2
∥∥ f∥∥2 =
n
∑k=−n
∣∣ f (k)∣∣2 +∥∥ f −Sn( f )
∥∥2
Desigualdad de Bessel: f ∈ L2(T) =⇒ f ∈ l2(Z) y∥∥ f∥∥ 6
∥∥ f∥∥
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Relacion entre ambos espacios de Hilbert (III)
Tercer paso: bases ortonormalesVolviendo a fijar f ∈ L2(T) y n ∈ N∪{0}, se tiene:
P ∈ Pn(T) =⇒∥∥ f −P
∥∥2 =∥∥ f −Sn( f )
∥∥2 +∥∥Sn( f )−P
∥∥2
∥∥ f −Sn( f )∥∥2 = mın
{∥∥ f −P∥∥2 : P ∈ Pn
}= d
(f , Pn(T)
)2
∥∥ f∥∥2 =
n
∑k=−n
∣∣ f (k)∣∣2 + d
(f , Pn(T)
)2
L2(T) = P (T) : {en : n ∈ Z} es una base ortonormal de L2(T)
{Sn( f )} converge a f en L2(T)
∥∥ f∥∥ =
∥∥ f∥∥
Φ : L2(T) → l2(Z) dada por Φ( f ) = f ∀ f ∈ L2(T) , es lineal e isometrica
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Relacion entre ambos espacios de Hilbert (IV)
Cuarto y ultimo paso: complitudHa llegado el momento de usar la integral de Lebesgue: L2(T) es completo
Φ : L2(T) → l2(Z) , Φ( f ) = f ∀ f ∈ L2(T) era lineal e isometrica
luego Φ(
L2(T))
es un subespacio cerrado de l2(Z)
Pero Φ(
L2(T))
es denso en l2(Z) , pues de hecho,
Φ(
P (T))
= c00(Z) ya es denso en l2(Z) ,
luego Φ(
L2(T))
= l2(Z)
Φ es un isomorfismo isometrico de L2(T) sobre l2(Z) , y en particular,
los espacios de Hilbert L2(T) y l2(Z) son identicos
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Series de Fourier en L2(T)
Resumen de resultados sobre las series de Fourier en L2(T)
Si f ∈ L2(T) , entonces:
(1) f ∈ l2(Z) y∥∥ f∥∥
2 =∥∥ f∥∥
2 (igualdad de Bessel)
(2) Se verifica de hecho la igualdad de Parseval:(f∣∣g) =
∞
∑n=−∞
f (n) g(n) ∀g ∈ L2(T)
(3) La serie de Fourier de f converge a f en L2(T)
(4) Teorema de Riesz-Fischer: (1) no se puede mejorar, ya que:
Para cada α ∈ l2(Z) , existe f ∈ L2(T) tal que f = α
(5) Finalmente, para cualesquiera f ,g ∈ L2(T) y n ∈ Z se tiene:
f g (n) =+∞
∑k=−∞
f (n− k) g(k) y f ∗g(n) = f (n) g(n)
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Historicamente, el primer teorema del Analisis Funcional
Version abstracta del teorema sobre las series de Fourier en L2(T)
H espacio de Hilbert (real o complejo) separable de dimension infinita.
Entonces H tiene una base ortonormal infinita y numerable {un : n ∈ N}
y por tanto H se identifica totalmente con l2 . Mas concretamente:
‖x‖2 =∞
∑n=1
∣∣(x |un )∣∣2 ∀x ∈ H
(x∣∣y) =
∞
∑n=1
(x∣∣un)(
un∣∣y) ∀x,y ∈ H
x =∞
∑n=1
(x∣∣un)
un ∀x ∈ H
∀α ∈ l2 ∃x ∈ H :(
x∣∣un)
= α(n) ∀n ∈ Z
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
La version general del mismo teorema
Clasificacion de los espacios de Hilbert
Todo espacio de Hilbert tiene una base ortonormal
Todas las bases ortonormales de un espacio de Hilbert tienen el mismo
cardinal, llamado dimension hilbertiana del espacio
Dos espacios de Hilbert son isometricamente isomorfos (identicos)
si, y solo si, tienen la misma dimension hilbertiana
Para cada cardinal ℵ existe un espacio de Hilbert
cuya dimension hilbertiana es ℵ
En resumen, salvo isomorfismos isometricos, existenexactamente tantos espacios de Hilbert como cardinales
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Una aplicacion importante de las series de Fourier en L2(T)
Condicion suficiente para la convergencia absoluta y uniforme
Supongamos que f ∈C(T) es de clase C1 a trozos en [−π , π] , es decir,
existe una particion −π = t0 < t1 < .. . < tn = π de dicho intervalo, tal que
la restriccion de f a [tk−1, tk] es de clase C1 para todo k ∈ {1,2, . . . ,n} .
Entonces f ∈ l1(Z) ,
luego la serie de Fourier de f converge absoluta y uniformemente en R con:
f (t) =+∞
∑n=−∞
f (n)e int ∀ t ∈ R
El recıproco esta muy lejos de ser cierto
W (t) =∞
∑n=0
1n!
cos[(n!)2 t
]∀ t ∈ R
W ∈C(T) , pero W no es derivable en ningun punto de RLa serie usada para definir a W “es” su serie de Fourier,
solo hemos omitido los terminos que son identicamente nulos
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
El lema de categorıa de Baire
Conjuntos de primera y segunda categorıa
X espacio topologico, E , A ⊂ X
E es magro en X cuando(
E)◦ = /0
equivalentemente: E ⊂ F donde F = F ⊂ X y F ◦ = /0
A es un conjunto de primera categorıa en X cuando
A es union numerable de conjuntos magros en X , es decir,
A esta contenido en una union numerable de cerrados con interior vacıo
A es un conjunto de segunda categorıa en X cuando no es de primera
Y espacio topologico, X ⊂ Y . Si X tiene la topologıa inducida por Y :
A de primera categorıa en X =⇒ A de primera categorıa en Y ,
pero el recıproco es falso
Lema de categorıa de BaireSi X es un espacio metrico completo, todo abierto no vacıo de X
es de segunda categorıa en X ,
En particular, X es de segunda categorıa en sı mismo
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Teorema de Banach-Steinhaus
Norma de operadores
X ,Y normados, L(X ,Y ) ={
operadores lineales continuos de X en Y}
La norma de operadores se define en L(X ,Y ) por:
‖T ‖ = mın{
M ∈ R+0 : ‖T (x)‖ 6 M ‖x‖ ∀x ∈ X
}= sup
{‖T (u)‖ : u ∈ X , ‖u‖ 6 1
}∀T ∈ L(X ,Y )
Cuando Y = K tenemos la norma dual en X∗ = L(X ,K)
Teorema de Banach-SteinhausX espacio de Banach, Y espacio normado, E ⊂ L(X ,Y )
Sea A el conjunto de puntos de X en los que E esta acotado:
A ={
x ∈ X : sup{‖T (x)‖ : T ∈ E}< ∞}.
Entonces, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(1) A es un conjunto de segunda categorıa en X
(2) A = X
(3) sup{‖T ‖ : T ∈ E
}< ∞
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Series de Fourier que no convergen en norma
Operadores de convolucion en L1(T)
Fijada g ∈ L1(T) , definiendo: Φ( f ) = f ∗g ∀ f ∈ L1(T)
se tiene Φ ∈ L(
L1(T) , L1(T))
con ‖Φ‖ = ‖g‖1
En L1(T) , la convergencia en norma es atıpica
Para cada n ∈ N∪{0} usamos el operador Sn : L1(T)→ L1(T) dado por:
Sn( f ) = f ∗Dn ∀ f ∈ L1(T)
Se tiene: Sn ∈ L(
L1(T),L1(T))
con ‖Sn ‖ = ‖Dn ‖1 ∀n ∈ N
Deducimos que{‖Sn ‖
}→+∞ , luego:
Las clases de equivalencia cuya serie de Fourier esta acotada,
forman un conjunto de primera categorıa en L1(T)
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Series de Fourier que no convergen puntualmente
Funcionales lineales continuos en C(T)
Fijada g ∈ L1(T) , definimos: ϕ( f ) =1
2π
∫π
−π
f (t)g(t)dt ∀ f ∈C(T)
se tiene ϕ ∈C(T)∗ con ‖ϕ‖ = ‖g‖1
En C(T) , incluso la convergencia puntual es atıpica
Para cada n ∈ N∪{0} definimos:
ϕn( f ) = Sn( f ,0) =1
2π
∫π
−π
f (t)Dn(t)dt ∀ f ∈C(T )
Se tiene: ϕn ∈C(T)∗ , ‖ϕn ‖ = ‖Dn ‖1 ∀n ∈ N∪{0}
Deducimos que{‖ϕn ‖
}→+∞ , luego:
Las funciones cuya serie de Fourier esta acotada en el origen,
forman un conjunto de primera categorıa en C(T) .
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Informacion adicional sobre convergencia en norma
Un teorema de M. Riesz
Si f ∈ Lp(T) con 1 < p < ∞ , entonces {Sn( f )}→ f en Lp(T)
Desigualdad de Hausdorff-YoungSi f ∈ Lp(T) con 1 < p < 2 , entonces:
f ∈ lp∗(Z) con∥∥ f∥∥
p∗ 6∥∥ f∥∥
p , donde1p
+1p∗
= 1
¿Que ocurre para p > 2?
Existe f ∈C(T) tal que f /∈ lp(Z) para todo p < 2
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Primera estrategia: neutralizar el nucleo de Dirichlet
Un lema basico
Si f ∈ L1(T) verifica que∫
π
−π
∣∣∣∣ f (s)s
∣∣∣∣ ds < ∞ ,
entonces {Sn( f ,0)}→ 0
Criterio de Dini
Dados f ∈ L1(T) y t ∈ R , supongamos que∫
π
−π
∣∣∣∣ f (t− s)− f (t)s
∣∣∣∣ ds < ∞ .
Entonces {Sn( f , t)}→ f (t)
Criterio de DirichletSi f ∈ L1(T) es derivable por la izquierda y por la derecha
en un punto t ∈ R , entonces {Sn( f , t)}→ f (t) .
Por tanto, si f ∈C(T) es derivable por la izquierda y por la derecha
en todo punto de R , entonces la serie de Fourier de f
converge a f puntualmente en R
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Localizacion
Version uniforme del Lema de Riemann-LebesgueSi K es un subconjunto compacto de L1(T) , entonces:
lımn→∞
f (n) = lımn→∞
f (−n) = 0
uniformemente con respecto a f ∈ K , es decir:
∀ε > 0 ∃ m ∈ N : n ∈ Z , |n|> m =⇒ | f (n)| < ε ∀ f ∈ K
Principio de localizacion de RiemannSea f ∈ L1(T) y a,b ∈ R con a < b tales que
f (t) = 0 p.c.t. t ∈]a,b[ .
Entonces, la serie de Fourier de f converge a cero,
uniformemente en cada subconjunto compacto de ]a,b[ ,
y en particular {Sn( f , t)}→ 0 para todo t ∈]a,b[
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Segunda estrategia: revertir el criterio de la media aritmetica
Teorema tauberiano de HardySupongamos que f ∈ L1(T) verifica la siguiente condicion (tauberiana):
∃ M ∈ R+ : |n f (n)| 6 M ∀n ∈ Z
Sean {Sn( f )} la serie de Fourier
y {σn( f )} la sucesion de sumas de Cesaro de f .
Si {σn( f )} converge uniformemente en un conjunto E ⊂ R ,
Entonces, {Sn( f )−σn( f )} converge uniformemente a cero en E ,
luego {Sn( f )} converge uniformemente en E al mismo lımite que {σn( f )} .
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Se buscan funciones que cumplan la condicion tauberiana
Funciones de variacion acotada
Para a,b ∈ R con a < b y una funcion f : E → C con [a,b]⊂ E ⊂ R,
la variacion de f en [a,b] , que se denota por V ba f ∈ [0,∞] , es:
V ba f = sup
{ n
∑k=1
∣∣ f (tk)− f (tk−1)∣∣ : n ∈ N , a = t0 < t1 < .. . < tn = b
}y f es de variacion acotada en [a,b] cuando V b
a ( f ) < ∞
Otros motivos por los que son interesantes
V ba f < ∞ es la condicion natural para definir la longitud de la curva
parametrizada por una funcion continua f : [a,b]→ Cf es de variacion acotada si, y solo si, lo son Re f y Im f
f : [a,b]→ R es de variacion acotada si, y solo si,
f = v−u donde u,v : [a,b]→ R son funciones crecientes
Por tanto, las funciones de variacion acotada forman el
espacio vectorial engendrado por las funciones crecientes
Si V ba f < ∞ , entonces f tiene lımites laterales en todo punto de [a,b]
Absoluta y uniforme En el espacio de Hilbert En espacios de Banach Puntual y uniforme
Un buen criterio de convergencia puntual o uniforme
Las funciones de variacion acotada cumplen la condicion tauberianaPara g ∈ L1(T) se tiene:
4 |ng(n) | 6 V π−π g ∀n ∈ Z
Criterio de JordanSea f ∈ L1(T) y supongamos que
existen a,b ∈ R , con a < b , tales que V ba f < ∞ . Entonces:
{Sn( f , t)}→ f (t−)+ f (t+)2
∀ t ∈]a,b[
Si ademas f es continua en ]a,b[ , entonces
{Sn( f )}→ f uniformemente en cada compacto J ⊂]a,b[
El caso particular mas naturalSi f ∈C(T) y V π
−π f < ∞ , entonces:
la serie de Fourier de f converge uniformemente a f en R