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2Antenas Filiformes
• Equações de Maxwell e Relações Constitutivas– Forma diferencial no domínio do tempo
Lei de Faraday
Lei de Ampére
Lei de Gauss
Continuidade das linhas de força de B
Equações de Maxwell
Relações Constitutivas
ε - permitividade
µ - permeabilidade
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3Antenas Filiformes– Notação fasorial para grandezas sinusoidais
(o mesmo para H)
Equações de Maxwell
Relações Constitutivas
Condutividade
Num meio linear, homogéneo e isotrópico ε, µ e σ são constantes.
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4Antenas Filiformes
• Determinação dos campos radiados– Normalmente é mais simples determinar os campos devidos às
fontes recorrendo a vectores potenciais• A – vector potencial magnético
• F – vector potencial eléctrico
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5Antenas Filiformes– Vector potencial magnético A devido a uma fonte de corrente J
• Dado que
• E usando a identidade vectorial (válida para qualquer vector)
• Podemos definir o vector potencial magnético pela relação
• Substituindo na equação de Maxwell para o rotacional de E vem
• Da identidade vectorial (onde φe é um potencial eléctrico escalar arbitrário)
• Podemos escrever para o campo eléctrico
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6Antenas Filiformes– Equação de onda
• Aplicando o operador rotacional à equação
e usando a identidade vectorial
temos
• Substituindo as relações seguintes em (1)
• Obtém-se
• Definindo a divergência de A pela condição de Lorentz
• Obtemos finalmente
(1)
sendo
Equação de onda
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7Antenas Filiformes– A equação de onda
é uma equação não homogénea que permite calcular o vector potencial A a partir do conhecimento da densidade de corrente Jda fonte
– Uma vez obtido A podem-se calcular os campos pelas relações seguintes
Obtém-se o campo magnético a partir de A
A partir do campo magnético obtém-se o campo eléctrico, supondo a densidade de corrente nula pois estamos interessados nos pontos do espaço fora da fonte
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8Antenas Filiformes– A solução da equação de onda, para pontos do espaço fora da
fonte, pode ser feita por analogia com o caso estático (w = 0 e k= 0) mas multiplicando pelo factor e-jKr
– Para o caso da fonte estar na origem das coordenadas o integral a resolver é o seguinte
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9Antenas Filiformes– Para o caso da fonte estar fora da origem das coordenadas o
integral a resolver é o seguinte
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10Antenas Filiformes
• Dualidade• Se duas equações que descrevem o comportamento de duas grandezas
distintas têm a mesma forma matemática as suas soluções são idênticas; as grandezas que ocupam as mesmas posições nas duas equações são ditas grandezas duais assim como as equações
Grandezas Duais Equações Duais
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11Antenas Filiformes
• Dipolo infinitesimal ou elementar(comprimento l << λ e raio a << λ)
– Esta antena constitui o elemento base para o estudo das antenas filiformes de qualquer comprimento
– Considerando a antena na origem dos sistema de coordenadas e orientada segundo o eixo dos zztemos
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12Antenas Filiformes– Partindo do potencial vector magnético
– Considerando que a densidade de corrente pode ser substituída por uma corrente constante na direcção do eixo dos zz
– No passo seguinte obtém-se o campo magnético calculando o rotacional do vector potencial, pela relação
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13Antenas Filiformes– A transformação de coordenadas rectangulares para esféricas é
– O rotacional em coordenadas esféricas terá apenas componente segundo φ que podemos obter pela expressão seguinte
00
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14Antenas Filiformes– Do rotacional do potencial vector obtém-se o campo magnético
– Obtemos agora o campo eléctrico da equação de Maxwell
• considerando J = 0 pois estamos interessados no campo eléctrico em pontos do espaço fora da fonte
Impedância intrínseca de meio
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15Antenas FiliformesAs expressões obtidas para os campos permitem distinguir três regiões espaciais em torno do dipolo elementar
• Região reactiva do campo próximo Kr << 1– No campo eléctrico dominam os termos proporcionais a 1/r3
Em fase entre si mas em quadratura com o campo magnético (a potência média associada é nula, daí o nome de região reactiva)
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16Antenas Filiformes
• Região de radiação do campo próximo Kr > 1– No campo eléctrico o termo proporcional a 1/r3 é desprezável
Existe uma componente relevante do campo eléctrico (Er) segundo a direcção da propagação pelo que não temos ainda uma onda TEM
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17Antenas Filiformes
• Região do campo distante Kr >> 1– No campo eléctrico domina o termo proporcional a 1/r
Esta é a região de interesse do ponto vista da radiação. Os campos eléctrico e magnético estão em fase, são perpendiculares entre si e estão num plano perpendicular à direcção radial da propagação, constituindo assim uma onda TEM (Transverse ElectroMagnetic).
A impedância de onda é igual à impedância intrínseca do meio.
No campo distante a onda electromagnética radiada comporta-se como uma onda plana.
Impedância de onda
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18Antenas Filiformes
• Densidade de potência– É dada pelo vector de Poynting
– Com componentes segundo r e θ
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19Antenas Filiformes
• Potência Média Total– A potência média total na direcção radial é dada por
– Podemos também escrever
Prad + jQ
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20Antenas Filiformes
• Potência radiada– A parte real da potência média total é a potência média radiada
que normalmente designamos apenas por potência radiada Prad
• Potência reactiva Q– A parte imaginária da potência média total é a potência reactiva
Note-se que não depende de r, o que significa que terá sempre o mesmo valor qualquer que seja a esfera que se considera para integrar a densidade de potência. Isto significa que a densidade de potência W tem de diminuir proporcionalmente ao aumento da área da esfera de integração, isto é, W ~1/r2
Decresce rapidamente com a distância r, sendo desprezável no campo distante
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21Antenas Filiformes
• Resistência de radiação do dipolo elementar– A partir da potência radiada pode-se definir a resistência de
radiação da seguinte forma
– Uma antena filiforme real pode ser aproximada pelo dipoloelementar se l << λ (usualmente considera-se l ≤ λ/50)
– Para l = λ/50 obtém-se uma resistência de radiação de 0,361 Ωo que significa uma desadaptação elevada quando estas antenas são alimentadas por linhas de 50 ou 75 Ω
120π
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22Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação– A intensidade de radiação é dada por
– Cujo máximo ocorre para θ = 90º
Diagrama de radiação normalizado
Omnidireccional nos planos perpendiculares ao dipolo e tipo “figura de oito” nos planos que contêm o dipolo
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23Antenas Filiformes
• Directividade– Aplicando a definição obtém-se para a directividade máxima do
dipolo elementar
• Área efectiva máxima
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24Antenas Filiformes
• Dipolo pequeno ou electricamente curto(comprimento λ/50< l ≤ λ/10 e raio a << λ)
Distribuição de corrente linear com máximo na origem e nula nos extremos da antena
z’ = z e R ≈ r
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25Antenas Filiformes– Calculando o potencial vector com a distribuição de corrente
triangular vem
– Como z’ = z e R ≈ r obtemos o resultado seguinte
Metade do valor do potencial vector do dipolo elementar
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26Antenas Filiformes– Como o potencial vector do dipolo curto é metade do obtido para
o dipolo elementar então os campos radiados serão também metade
– Para o campo distante temos
– Como a intensidade de radiação é proporcional a Eθ2 então a
intensidade do dipolo curto será ¼ da do dipolo elementar– O mesmo para a densidade de potência
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27Antenas Filiformes– Do mesmo modo se conclui que quer a potência radiada quer a
resistência de radiação do dipolo curto serão as do dipoloelementar multiplicadas por ¼
– A directividade e a área efectiva têm o mesmo valor do dipoloelementar
– O diagrama de radiação normalizado é igual para os dois dipolos (curto e elementar)
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28Antenas Filiformes
• Dipolo de comprimento finito (Regiões envolventes)
• Região do campo distante
Para o campo distante podemos considerar R e r paralelos e tomar as seguintes aproximações
Nas amplitudesR ≈ rNas fasesR ≈ r – z’cosθ
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29Antenas Filiformes
• Região do campo distante– As aproximações R ≈ r nas amplitudes e R ≈ r – z’cosθ nas
fases são válidas para r ≥ 2l2/λ• Garantem um erro de fase menor que π/8 rad
– Esta aproximação é estendida para outros tipos de antenas substituindo-se l pela maior dimensão da antena D
• Define-se região reactiva do campo próximo se
• Região de radiação do campo próximo se
Região do campo distante (Fraunhofer)
Região de Fresnel
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30Antenas Filiformes
• Dipolo de comprimento finito– Distribuição de corrente na antena
Toma-se como analogia o que se passa numa linha de transmissão em circuito aberto e considera-se para a antena uma distribuição de corrente sinusoidal, com um máximo I0 e com nulos de corrente nos extremos.
Distribuição de corrente para vários valores de l
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31Antenas Filiformes
• Determinação dos campos radiados distantes• Considera-se o dipolo de comprimento finito constituído por dipolos
elementares de comprimento dz’.• Cada dipolo elementar colocado na sua coordenada z’ tem uma distribuição
de corrente constante e igual ao valor da distribuição de corrente I(z’) para essa coordenada.
• Recorrendo à sobreposição somam-se os campos distantes devidos a todos os dipolos elementares que constituem o dipolo finito. Esta soma é um integral onde se tomam as aproximações para o cálculo do campo distante, isto é, nas amplitudes R ≈ r e nas fases R ≈ r – z’cosθ
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32Antenas Filiformes
• Determinação dos campos radiados distantes• A resolução do integral anterior pode fazer-se recorrendo a
• O resultado obtido é
• E para o campo magnético vem
sendo
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33Antenas Filiformes
• Densidade média de potência radiada
• Intensidade de radiação
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34Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação
Para l ≤ λ não ocorrem lóbulos secundários
Plano vertical
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35Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação– Para l ≥ λ teremos lóbulos secundários (na figura l = 1.25 λ)
Diagrama 3D
Plano vertical
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36Antenas Filiformes
• Potência radiada
– A resolução deste integral exige manipulações matemáticas extensas obtendo-se
– Onde C = 0,5772 é a constante de Euler e os integrais Ci e Si aolado estão tabelados
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37Antenas Filiformes
• Resistência de radiação, directividade e área efectiva
• Resistência de entradaDependendo do valor de l normalmente o valor da corrente de entrada será diferente do máximo I0 da distribuição de corrente; deve referir-se a resistência de entrada àcorrente de entrada I in
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38Antenas Filiformes
• Dipolo de meio comprimento de onda• Utilizam-se as expressões para o dipolo de comprimento finito com l = λ/2
• Campos radiados distantes
• Densidade de radiação, intensidade de radiação
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39Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação (normalizado)
Diagrama 3D
Omnidireccional nos planos perpendiculares à antena
Direcção de máximo θ = π/2
Largura de feixe a meia potência de 78º
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40Antenas Filiformes
• Potência radiada
• Directividade e área efectiva
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41Antenas Filiformes
• Resistência de radiação– Neste caso temos distribuição de corrente com I in = I0
• Impedância de entrada
– Normalmente para eliminar a parte imaginária de Zin reduz-se o comprimento físico l da antena para valores entre 0,47λ e 0,48λ, isto é, procura-se o valor de l correspondente à primeira ressonância onde Zin fica puramente real
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42Antenas Filiformes
• Dipolo dobrado• Em certos casos práticos usam-se linhas de transmissão com impedâncias
características mais elevadas que 50 Ω ou 75 Ω (por ex. 300 Ω). Para promover a adaptação podem usar-se modificações do dipolo, sendo um exemplo o dipolo dobrado.
λ/2
s→ 0
Id Idd
Dipolo λ/2 DipoloDobrado
Com s muito pequeno podemos dizer que o campo distante radiado pelo dipolo dobrado é o dobro do dipolo de meio comprimento de onda, logo para as resistências de radiação teremos a relação
Se em vez de dois elementos usarmos N elementos próximos teremos
Rdd = 4Rd
Rdd = N2Rd
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43Antenas Filiformes
• Dipolo situado acima de um plano condutor perfeito e infinito– Recorre-se à teoria das imagens considerando uma antena
virtual, a antena imagem, abaixo do plano condutor
A localização da antena imagem é tal que o campo produzido pela antena real, em qualquer ponto acima do plano condutor, pode ser obtido somando o campo directo proveniente da antena real com o campo proveniente da antena imagem
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44Antenas Filiformes
• Dipolo elementar vertical a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito
Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r
Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ
Aproximações para cálculo do campo distante
Imagem
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45Antenas Filiformes– Campo directo
– Campo reflectido (provem da antena imagem)
– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos
Coeficiente de reflexão vale 1
Factor do elemento EF(θ)
Factor de agrupamento
AF(θ)
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46Antenas Filiformes– Intensidade de radiação (máxima em θ = π/2)
– Diagrama de radiação
Plano Vertical
O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de 2h/λ + 1
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47Antenas Filiformes– Potência radiada, directividade e resistência de radiação
• Kh elevado então D0 e Rr ficam iguais às do dipolo isolado
• Kh = 0 então D0 e Rr são o dobro do dipolo isolado
• O máximo da directividadeocorre para h = 0,458λ
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48Antenas Filiformes
• O monopolo– Antena vertical com l = λ/4, alimentada na sua base junto a um
plano condutor perfeito
Monopolo
DipoloEquivalente
Imagem
• Acima do plano xy as antenas produzem o mesmo campo, logo a intensidade de radiação e densidade de potência são iguais nesse semi-espaço
• A potência radiada pelo monopolo e a resistência de radiação são metade do dipolo isolado
• A directividade do monopolo é o dobro do dipolo isolado
• A impedãncia de entrada é metade da do dipolo isolado
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49Antenas Filiformes
• Dipolo elementar horizontal a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito
Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r
Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ
Usam-se as mesmas aproximações para cálculo do campo distante
Supondo antena na direcção do eixo dos yy
Imagem
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50Antenas Filiformes– Campo directo
– Campo reflectido (provem da antena imagem)
– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos
Coeficiente de reflexão vale -1
EF(θ) AF(θ)
Nota:
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51Antenas Filiformes– Intensidade de radiação
– Diagrama de radiação
Plano vertical que contém a antena
O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de2h/λ com no mínimo 1
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52Antenas Filiformes– Potência radiada, resistência de radiação e directividade
R(kh)
Notar que h = 0 não pode ser considerado pois antena ficaria sobre o plano condutor perfeito não radiando
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53Antenas Filiformes
• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar vertical a uma altura h
da terra
Plano Vertical
• O coeficiente de reflexão Rv
depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção
• O programa que iremos usar permite considerar este efeito de terra para vários tipos de solos
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54Antenas Filiformes
• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar horizontal a uma altura
h da terra
Plano vertical que contém a antena
• O coeficiente de reflexão Rh
depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção
• Neste caso o diagrama não é muito diferente da situação de um plano condutor perfeito