antologia de io

INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR de Acayucan

Asignatura: Investigacin de Operaciones Clave de la asignatura: SCB - 0419 Carrera: Ingeniera en Sistemas Computacionales

AN TOLOGIAPresenta:

ING. JOS ALBERTO LIMN CORTAZA

ACAYUCAN, VER.

JUNIO 2008

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Ing. Jos Antonio Limn Cortaza

INDICEOBJETIVO GENERAL JUSTIFICACION UNIDAD I PROGRAMACIN LINEAL... 1.1. Definicin de desarrollo y tipos de modelos de investigacin de operaciones... 1.2. Formulacin de modelos. 1.3. Mtodo grafico.. 1.4. Formas estndar y cannicas. 1.5. Mtodos simples... 1.6. Tcnicas con variables artificiales. 1.7. Mtodo de la M.. 1.7.1. Mtodo de las dos fases.. 17 22 27 30 34 VI VII 7 8

UNIDAD II

ANLISIS DE REDES 2.1. Problema de transporte... 2.1.1 Mtodo de la esquina noroeste. 2.1.2 Procedimiento de optimizacin. 2.2. Problema del camino ms corto 2.3. Problema del rbol expandido mnimo 2.4. Problema de flujo mximo... 2.5 Ruta critica (PERT-CPM).

40 41 45

55 60 63 68

UNIDAD III

PROGRAMACIN NO LINEAL 3.1. Planteamientos de problemas de programacin no lineal

82 83

III

3.2. Optimizacin clsica 3.2.1 Puntos de inflexin. 3.2.3 Mximos y mnimos... 3.3. Problemas no restringidos 3.3.1 Multiplicadores de LAGRANGE ( lambda)... 3.3.2 Interpretacin econmica.

83 84 84 89 89 89

UNIDAD IV

TEORA DE INVENTARIOS.. 4.1. Sistemas de administracin y control 4.2. Modelos determinstico... 4.2.1 Lote econmico sin dficit 4.2.2 Lote econmico con dficit... 4.3 Lote econmico con produccin. 4.3 Modelo probabilstico

96 97 102 103 109 109 112

UNIDAD V

LNEAS DE ESPERA. 5.1. Definiciones, caracterstica y suposiciones. 5.2 Terminologa y notacin... 5.3 Proceso de nacimiento o muerte 5.4 Modelos Poisson... 5.4.1 Un servidor.. 5.4.2 Mltiples servidores... 5.5 Anlisis de costo BIBLIOGRAFIA

115 116 119 120 121 123 123 123 129

OBJETIVO GENERALIV

El estudiante aplicar las tcnicas y modelos de investigacin de operaciones en la solucin de problemas, utilizando o desarrollando herramientas de software para tomar decisiones.

JUSTIFICACION

V

La presente antologa fue elaborada viendo la falta de apoyo didctico que existe en la institucin y tendr como finalidad complementar los

conocimientos del alumno a fin de elevar su nivel acadmico.

Ser un gran apoyo para el maestro ya que con ella reforzar lo dicho en clases, este documento es un apoyo didctico y su informacin fue extrada de diferentes autores tomando en cuenta los temas que se vern a lo largo del curso.

VI

UNIDAD 1PROGRAMACION LINEAL

Objetivo: El estudiante comprender los modelos y metodologa que y a utiliza aplicara la el

programacin mtodo propuestos.

lineal

simplex

problemas

UNIDAD I / PROGRAMACION LINEAL

1.1 Definicin, desarrollo, tipos de modelos de I.O. La Investigacin de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocada hacia la toma de decisiones, basada en el mtodo cientfico para resolver problemas, es un enfoque sistemtico que usa herramientas analticas para resolver problemas. Tomar decisiones es la tarea esencial de toda persona o grupo que tiene bajo su responsabilidad el funcionamiento de una organizacin entera o parte de ella. Su propsito de ayudar a tomar accin, cientficamente. Se usa el enfoque cientfico, el anlisis cuantitativo. Por su casi ilimitada amplitud de aplicaciones, se usa en negocios, industrias, gobierno y defensa. Una empresa eficiente actualmente depende de las computadoras y de los mtodos cuantitativos para manejar su innumerables problemas, que pueden ser problemas de rutina o muy complejos.

Historia: Desde la primera guerra mundial se le dio la tarea a Thomas Edison la tarea de averiguar las maniobras de los barcos mercantes fueran ms eficaces para disminuir las prdidas de embarques causada por los submarinos enemigos. El empleo un tablero tctico. Rutas ms corta. A finales de 1910 A. K. Erlang, Ing. Dans, estudio el comportamiento de las fluctuaciones de la demanda de instalaciones telefnicas, en relacin con los equipos automticos. Inicios del modelo de la lnea de espera. 1930 Horace C. Levinson aplico modelos matemticos refinados para grandes cantidades de datos sobre todo modelos ptimos de los embarques: 1937 Se pidi a los cientficos ingleses, que ayudaran a los militares a

descubrir la mejor manera de utilizar el radar para localizar aviones enemigos. 1940 se reuni a otro grupo de cientficos encabezados por l ingles Blackett para estudiar los problemas de puntera contra los aviones enemigos.

-8-


Estudiando el uso del equipo de control de caones en campo. El grupo estaba integrado por dos fisilogos, 2 fsico matemticos, 1 fsico general, 2 matemticos, 1 astrofsico, un oficial del ejrcito. Despus el grupo creci y se dividi un grupo para la marina, fuerza area y otro para el ejrcito, que llevaron a cabo estudios desde el inicio de la guerra 1941. A este tipo de actividades se le conoci como investigacin operacional. 1942 Se pusieron en funcionamiento los departamentos de investigacin de operaciones en el departamento de guerra y marina en los estados unidos para problemas con el radar y la creacin de convoyes para aminorar las prdidas causadas por los submarinos. Cuando termino la guerra Gran Bretaa enfrentaba problemas de

administracin creados por la nacionalizacin de la industria y por la reconstruccin de instalaciones industriales con un nuevo enfoque. Por ello los grupos de investigacin de operaciones empezaron a ocuparse de los problemas gubernamentales e industriales. En cambio en estados unidos, al terminar la guerra siguieron las investigaciones investigacin de militares aumentaron manteniendo los grupos a entrar de la

operaciones.

Para 1950

comenzaron

automatizacin y el uso de computadoras trayendo problemas de sistemas. Los grupos de I.O. aprovecharon la oportunidad y se cre la programacin lineal. Teniendo aplicacin en muchas industrias. Empezaron a aparecer tcnicas como el PERT, control de inventarios, y simulacin. La I.O. Se aplica en sistemas. Se usa para tomar decisiones dentro de sistemas, y usa modelos como su esencia. Para tomar decisiones se modela el sistema En la toma de decisiones el anlisis puede tomar dos formas: cualitativo y cuantitativo. El anlisis cualitativo se basa principalmente en el juicio y experiencia de la gerencia, incluye sentimientos intuitivos sobre el problema tratado y es ms un arte que una ciencia.

-9-


El anlisis cuantitativo se concentra en hechos cuantitativos o datos asociados con los problemas y desarrolla expresiones matemticas que describen las relaciones existentes en ellos. Seguidamente, utilizando mtodos cuantitativos, obtiene resultados con los que se hacen

recomendaciones basadas en los aspectos cuantitativos del problema. El papel del anlisis cuantitativo en la toma de decisiones puede variar dependiendo de la importancia de los factores cualitativos. En algunas situaciones, cuando el problema, el modelo y los insumos permanecen iguales, el anlisis cuantitativo puede hacer automtica la decisin con los resultados obtenidos al usar mtodos cuantitativos. En otros casos, el anlisis cuantitativo es slo una ayuda para tomar la decisin y sus resultados deben ser combinados con informacin cualitativa. Un sistema es un conjunto de elementos que interactan entre s. Un modelo es una representacin simplificada de un sistema de la vida real, de una situacin o de una realidad. Un modelo captura caractersticas selectas de un sistema, proceso o realidad, y luego las combina en una representacin abstracta del original. Los modelos pueden ser objeto de diversa clasificacin. Tres formas de modelo son: Icnico, Analgico y Simblicos. Los icnicos son representaciones a escala (rplicas fsicas) de objetos reales. Adecuados para descripcin de acontecimientos en un momento determinado. Por ejemplo la fotografa de una fabrica. Maqueta, etc. Los analgicos o esquemticos son modelos fsicos en cuanto a la forma pero no son semejantes fsicamente al objeto que est siendo modelado (mapas de carreteras). Muestran las caractersticas del acontecimiento que se estudia. Curvas de demanda, diagramas de flujo. Representan relaciones cuantitativas entre propiedades de los objetos de varias clases. Los modelos simblicos (llamados tambin matemticos) representan sistemas del mundo real; cuantifican sus variables y las combinan en expresiones y frmulas matemticas. Son idealizaciones de problemas de la

- 10 -


vida real basados en supuestos claves, estimados y/ estimaciones estadsticas. Son representaciones que toman la forma de cifras, smbolos y matemticas. Los modelos matemticos son los que, tradicionalmente, han sido ms comnmente identificados con la Investigacin de Operaciones. Los modelos matemticos, contienen: Funcin objetivo.- Como su nombre lo dice es el objetivo que se quiere alcanzar, es el sentido de buscar una solucin optima. Esto se logra maximizando o minimizando. Variables de decisin.- Son las variables que se pueden modificar, que estn bajo nuestro control e influyen en el desempeo del sistema. Parmetros.- Son coeficientes fijos, estos no se pueden variar pero tienen influencia en el sistema. Normalmente son los insumos. Restricciones.- Son las limitantes que harn que las variables de decisin solo puedan tomar ciertos valores. Clasificacin de los modelos matemticos:1) Cualitativos: La mayor parte de los problemas de negocios comienza con problemas cualitativos, o propiedades que tienen los componentes.

Algunas veces es mejor emplear el anlisis lgico, sistemas de clasificacin, mtodos de ordenamiento, teora de conjuntos, anlisis dimensional. Ya que el problema resulta muy complicado pasarlo a un modo cuantitativo. Cuantitativos: La I.O. sistematiza los modelos cualitativos y los desarrolla llegando a un punto en que puedan cuantificarse, y se convierte en un modelo matemtico, que contiene smbolos, contantes y variables.2) Estndar: Modelos que se pueden aplicar para todos los negocios solamente alimentando con los nmeros apropiados de un problema.

Hechos a la medida: Cuando para resolver e problema se han aplicado varias tcnicas de diversas disciplinas.

- 11 -


3) Modelo Determinstico: Cuando para cualquier variable de decisin se conoce el valor exacto de la funcin objetivo y de las restricciones.

Modelo Estocstico: Cuando para cualquier variable de decisin no se conoce el valor exacto de la funcin objetivo y de las restricciones.4) Modelo Descriptivo: Se construye para describir matemticamente una condicin del mundo real.

Modelo optimizacin: Se construye con el fin de encontrar una solucin ptima de un conjunto de alternativas.5) Modelos estticos: Cuando el valor que se busca para las variables, es aplicables a un solo periodo. Es decir las limitantes no sufren cambios con el paso del tiempo aunque sea por el corto plazo.

Modelos dinmicos: Cuando el valor de las variables deben de ser sucesiones para aplicarse en periodos mltiples. Este modelo est sujeto al factor tiempo que desempea un papel esencial en la secuencia de decisiones.6) Simulacin: Utilizan la computadora para reproducir el funcionamiento de un problema o sistema a gran escala. Comprende clculos secuenciales, los datos inciales pueden introducirse o generarse por medio de nmeros aleatorios.

No simulacin: son modelos de problemas donde no es posible utilizar una simulacin.7) Modelos lineales: Cuando la funcin objetivo y las restricciones en trminos matemticos son lineales.

Modelos no lineales: Cuando la funcin objetivo o las restricciones en trminos matemticos son no lineales.

- 12 -


8) Modelos enteros: Si el valor de una o ms variables de decisin deben de ser entera.

Modelos no enteros: Si las variables de decisin son libres de asumir valores fraccionarios.

CONSTRUCCIN DE UN MODELO La Investigacin de Operaciones hace uso extensivo del anlisis cuantitativo, este anlisis es racional y lgico. Consiste en: a) Definir claramente un problema, que previamente se ha determinado que existe, b) Desarrollar un modelo, c) Recolectar los datos de insumo, d) Solucionar el Modelo, e) Validar resultados, Interpretarlos y f) Implementarlos en la ejecucin de una decisin. A) Definir el problema es el paso inicial, es primordial y muchas veces el paso ms difcil. Debe reflejar una representacin segura del inters total de sistema. La esencia del problema se debe establecer explcitamente y no de manera ambigua. La definicin del problema es un paso crtico y determinante en el xito o fracaso de cualquier enfoque cuantitativo para tomar decisiones. Si el problema no se ha escrito, no se ha definido. Muchas veces se concluye que el problema debe ser redefinido despus de haber realizado varios pasos para tomar una decisin. Al definir el problema se deben identificar alternativas, criterios para evaluar esas alternativas, y seleccionarlas. La optimizacin es un criterio utilizado y es sinnimo de maximizacin o minimizacin. La evaluacin de las alternativas se hace con modelos B) El desarrollo de los modelos. Formular y construir el modelo son procesos integrados. La formulacin es el aspecto lgico conceptual y la

- 13 -


construccin es la expresin de las relaciones lgicas en el lenguaje simblico de la Matemtica. La Investigacin de Operaciones provee un sinnmero de modelos para distintos sistemas. El desarrollo de los modelos, y en general el anlisis cuantitativo, involucra a grupos interdisciplinarios. El modelo debe tener solucin, ser realista, fcil de entender y de modificar. Adems debe permitir que los datos de insumo requeridos puedan ser obtenidos Ventajas de utilizar modelos Las principales razones para usar modelos, en lugar de trabajar directamente sobre la realidad, son las siguientes: a) Ahorro de dinero, tiempo u otro bien de valor; b) Evitar riesgos de daos al sistema cuando se est solucionando el problema; c) Para entender mejor el ambiente real cuando ste es muy complicado. C) La recoleccin de los datos, se refiere a obtener la informacin cuantitativa que es necesaria para obtener una solucin. Las fuentes de datos incluyen: a) Reportes de la organizacin y documentos; b) Muestreos estadsticos; c) Entrevistas con personas empleados o relacionadas con la organizacin cuyo juicio y experiencia son invalorables y a menudo proporcionan informacin excelente. Adems pueden incluirse otras medidas directas. A menudo los datos son incorrectos o inapropiados porque son recolectados bajo suposiciones que no son apropiadas. A veces no estn disponibles y deben ser recogidos por el analista.

- 14 -


Dependiendo de datos buenos, se obtendrn buenos resultados; de lo contrario, se obtendr lo que no se quiere, como resultado de la utilizacin de un mal insumo. D) La solucin de modelos matemticos, bien documentada en la bibliografa de Investigacin de Operaciones, incluye un algoritmo o serie de clculos especficos que deben realizarse. Cada modelo usa un particular algoritmo. Muchos de ellos contienen pasos repetitivos y por eso se les llama iterativos, esto permite su fcil implementacin en la computadora. En anlisis cuantitativo la solucin ptima es la mejor solucin matemtica. E) Los modelos deben ser probados para su validez interna o externa. En sentido interno, las representaciones matemticas deben tener sentido unas con respecto a las otras. En sentido externo, los resultados obtenidos del modelo deben tener sentido cuando se comparan con la realidad de la situacin que es estudiada. Datos pasados pueden ser usados frecuentemente para probar la validez de un modelo Matemtico. La interpretacin de resultados implica examinarlos a la luz de los objetivos propuestos. Se debe determinar las implicaciones de su aplicacin. Adems, como el modelo es una aproximacin de la realidad, debe ser analizada la sensibilidad de la solucin a cambios que ocurran en sus insumos. Para ello se cuenta con el Anlisis de Sensibilidad o Anlisis de Post- optimizacin. E) Toma de decisin e implementacin consiste en trasladar los resultados obtenidos en detalladas instrucciones de operaciones para la organizacin. Los procesos de control son necesarios. Muchos grupos de anlisis cuantitativo han fracasado en sus esfuerzos porque han fallado en implementar, apropiadamente, una buena solucin viable.

- 15 -


La solucin ptima de un modelo matemtico, no es siempre la poltica que debe ser implementada por la empresa. La decisin final la debe tomar el ser humano, que tiene conocimientos que no se pueden cuantificar exactamente, y que puede ajustar los resultados del anlisis para llegar a una decisin conveniente. El anlisis cuantitativo no reemplaza el sentido comn, es un complemento. Los modelos cuantitativos auxilian a los encargados de tomar decisiones, pero es ir muy lejos decir que lo sustituye. El rol de la experiencia, intuicin y juicio del ser humano no puede ser disminuido. Un punto clave es que la Investigacin de Operaciones usa una metodologa que est objetiva y claramente articulada. Est construida alrededor de la filosofa de que tal enfoque es superior al que est basado solamente en la subjetividad y opinin de expertos. Por lo tanto conduce a mejores y ms consistentes decisiones. Sin embargo no excluye el juicio y razonamiento no cuantificable del ser humano. No es pues un proceso absoluto de toma de decisiones, sino una ayuda para tomar buenas decisiones. METODOLOGIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

DEFINICION DEL PROBLEMA

DESARROLLO DE UN MODELO MAT. Y RECOLECCION DE DATOS

RESOLUCION DEL MODELO MATEMATICO

SOLUCION

MODELO MODIFICADO

ES VALIDA LA SOLUCI ON

- 16 -


1.2 Formulacin de modelos de I.O. Todo programa lineal consta de cuatro partes: Funcin objetivo.- Como su nombre lo dice es el objetivo que se quiere alcanzar, es el sentido de buscar una solucin optima. Esto se logra maximizando o minimizando. Conjunto de Variables de decisin.Son las variables que se pueden

modificar, que estn bajo nuestro control e influyen en el desempeo del sistema. Parmetros.- Son coeficientes fijos, estos no se pueden variar pero tienen influencia en el sistema. Normalmente son los insumos. Conjunto Restricciones.- Son las limitantes que harn que las variables de decisin solo puedan tomar ciertos valores. Al formular un determinado problema de decisin en forma matemtica, debe practicar la comprensin del problema (es decir, formular un Modelo Mental) leyendo detenidamente una y otra vez el enunciado del problema. Mientras trata de comprender el problema, formlese las siguientes preguntas generales: 1.- Cules son las variables de decisin? Es decir, cules con las entradas controlables? Defina las variables de decisin con precisin utilizando nombres descriptivos. Recuerde que las entradas controlables tambin se conocen como actividades controlables, variables de decisin y actividades de decisin. 2.- Cules son los parmetros? Vale decir cules son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numricos constantes dados. Defina los parmetros con precisin utilizando nombres descriptivos. 3.- Cul es el objetivo? Cul es la funcin objetivo? Es decir, qu quiere el dueo del problema? De qu manera se relaciona el objetivo con las variables de decisin del dueo del problema? Es un problema de maximizacin o minimizacin? El objetivo debe representar la meta del que toma la decisin.

- 17 -


4.- Cules son las restricciones? Es decir, qu requerimientos se deben cumplir? Debera utilizar un tipo de restriccin de desigualdad o igualdad? Cules son las conexiones entre las variables? Escrbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemtica. La Programacin Lineal (PL) es un modelo que tiene un nmero m de recursos que estn limitados para repartirse en un nmero n de actividades. Ahora describiremos el modelo cannico de la PL, y usaremos las siguientes literales que representaran lo que se indica: x Sabemos que es el conjunto de valores que puede asumir cada

actividad b a Es la cantidad total disponible de un recurso Es el coeficiente asociado a x que indica la cantidad de un cierto recurso que se aplicara para llevar a cabo dicha actividad j Como el subndice a cada una de las actividades que pueden llevarse a cabo, es decir j = 1, 2, 3 , .n i Como el subndice a cada uno de los recursos limitados i= 1, 2, 3 .m

Consumo de recursos por unidad de actividad Recurso Actividad 1 1 2 : M Contribucin a Z por A11 A21 _: am1 c1 2 a12 a22 : am2 c2 : n a1n a2n : amn cn Cantidad recursos disponibles. b1 b2 : bn de

- 18 -


unidad actividad

de

Ejemplos de modelos matemticos: Decisin de fabricacin1) Una compaa que fabrica dos productos, mesas y sillas, fabricar una mesa requiere de 30 pies cbicos de tabla, 2 horas de mano de obra para su armado y 4 hrs de mano de obra para su acabado. El fabricar una silla requiere de 20 pies cbicos de tabla, 2 horas de mano de obra de armado, y 6 horas para su acabado.

Esta compaa solo puede conseguir en una semana la cantidad de 120 pies cbicos de tablas, 9 horas de mano de para armado y 24 horas de mano de obra para el acabado. La mesa le deja una utilidad a la empresa de 10 pesos y la silla deja una utilidad de 8 pesos. La compaa desea saber si fabrica, puras sillas, puras mesas o una mezcla de sillas y mesas, para que se obtenga la mayor utilidad para le empresa.

S.A.

2) El departamento de rayos X de un hospital tiene dos maquinas, A y B, que pueden utilizarse para revelar radiografas. La capacidad mxima de procesamiento diaria de estas maquinas es A = 80, B = 100 radiografas. El departamento debe de planear procesar al menos 150 radiografas por da. Los costos de operacin por cada radiografa son $4 para la mquina A y 3

- 19 -


para la maquina B. Cuntas radiografas mquina para minimizar costos?

por da debe procesar cada

S.A.

3) En un hospital el departamento de nutricin prepara el men para la cena, una para cada da del mes. Una comida consiste en espagueti, pavo, papas, espinacas y pastel de manzana. Segn los requerimientos la comida debe proporcionar 63 000 miligramos (mg) de protenas, 10 mg de hierro, 15 de niacina, 1 mg de tiamina, y 50 mg de vitamina C. cada 100 gramos de esta comida proporciona la cantidad de nutrientes y grasas indicadas en esta tabla:

Protenas

Hierro

Niacina

Tiamina

Vitamina C

Grasa

Espagueti Pavo Papas

5 000 29 000 5 300

1.1 1.8 0.5 2.2 1.2

1.4 5.4 0.9 0.5 0.6

0.18 0.06 0.06 0.07 0.15

0.0 0.0 10.0 28.0 3.0

5 000 5 000 7 900 300 14 300

Espinacas 3 000 Pastel 4 000

Para evitar demasiada cantidad de un tipo de comida, no debe incluirse en ella ms de 300 gramos de espagueti, 300 gr de pavo, 200 gr de papas, 100 gr de espinacas y 100 gr de pastel de manzana. Determinar la composicin de una comida que satisface los requerimientos nutricionales y proporciona la mnima cantidad de grasas. 4) Una ensambladora de computadoras, fabrica 3 tipos diferentes de

modelos. El modelo econmico que requieren de 1 hrs. de armado, 2 - 20 -


unidades USB y 3 centmetros cuadrados de plstico especial. El modelos medio que se arman en 2 hrs. 3 unidades USB y 2.5 centmetros cuadrados de plstico especial. El modelo de lujo necesitan 3 hrs. de armado, 1 unidad USB y 4 centmetros cuadrados de plstico especial. Las ganancias que deja una computadora econmica son de 700.00 pesos, una mediana, 3500.00 y una de lujo 7000.00. Se vendern todas las unidades producidas, pero de acuerdo a la planificacin estn disponibles 100 hrs. de trabajo de armado, 200 Unidades USB y 600 centmetros cuadrados de plstico especial. Cul ser la produccin que deja la mayor ganancia? X1= Cantidad de computadoras econmicas X2= Cantidad de computadoras medianas X3= Cantidad de computadoras de lujo Max Z = 700 X1 + 3500 X2 + 7000 X3 C3x3 x1 + 2x2 2x1 + 3x2 + 3x3 100 + x3 200 o bien a11x1 + a12x2 a21x1 + a22x2 a31x1 + a32x2 + a13x3 b1 + a23x3 b2 + a33x3 b3 o bien Max Z = C1x1 + C2x2 +

3x1 + 2.5x2 + 4x3 600 x1, x2, x3 0

5) Una productora-vendedora produce 2 tipos diferentes de queso. El tipo 1 se vende en 27 el kilogramo, fabricar un kilo requiere 10 pesos de materia prima y 14 pesos de mano de obra y transporte. El queso tipo 2 se vende en 21 pesos, pero el costo la materia prima por kilo es de 9 pesos y 10 pesos de mano de obra y transporte.

- 21 -


La fabricacin de un kilo de queso tipo 1 requiere; 2 horas de secado, y 1 hora reposo en un lugar especial. La fabricacin de un kilo de queso tipo 2; 1 horas de secado, y 1 hora reposo en un lugar especial. La demanda de queso tipo 2 es ilimitada pero la del tipo 1 es de cuando mucho 40 kilos a la semana. El tiempo total disponible para el secado es de 100 hrs y de 80 hrs de reposo. Cmo se puede maximizar las utilidades?

1.3. Mtodo grafico de investigacin de operaciones. Para solucionar un problema de PL por el mtodo grfico se debe seguir los siguientes pasos: 1) En una sola grfica se deben dibujar todas las inecuaciones del conjunto de restricciones para encontrar la regin factible. Por cada inecuacin habr una lnea recta en la grfica Tomar cada una de las inecuaciones y realizar lo siguiente: a) Convertirla momentneamente en una igualdad. b) Despejar una de las variables. c) Encontrar 2 puntos, asignndole 2 valores diferentes a la variable independiente. d) Dibujar la recta que debe pasar por los 2 puntos encontrados. e) Encontrar cual regin es la que hace verdadera a esa inecuacin. 2) Trazar la recta de la funcin objetivo (recta de isoutilidades). 3) Desplazar de forma paralela esa recta de isoutilidades. Si el problema es de maximizacin en direccin en que se incrementa Z. si es minimizacin entonces en direccin en que se decrementa Z.

- 22 -


Al resolver un problema de programacin lineal se puede tener uno de los siguientes 4 casos: Caso 1) El PL tiene una solucin nica. Es decir los valores de las variables solo pueden tomar una solo valor para cumplir con la funcin objetivo. Caso 2) El PL tiene soluciones optimas mltiples, es decir una cantidad de soluciones infinita para hacer verdaderos para cumplir la funcin objetivo. Al desplazar la recta de isoutilidades queda en sobre un segmento de alguna recta formada por una de las ecuaciones de restriccin. Caso 3) El PL no es factibles, es decir no hay una solucin que satisfaga todas las inecuaciones. Caso 4) El PL no es acotado. Es decir el valor que puede tomar Z la regin factible no tiene lmites.

Regin factible de un PL.- Es un conjunto de todos los puntos que satisfagan las limitaciones y restricciones de signo de la PL.

Solucin optima para un problema de maximizacin.- Es un punto con el valor de funcin objetivo ms grande en la regin factible.

Solucin optima para un problema de minimizacin.- Es un punto con el valor de funcin objetivo ms pequeo en la regin factible.1) Una compaa que fabrica dos productos, mesas y sillas, fabricar una mesa requiere de 30 pies cbicos de tabla, 2 horas de mano de obra para su armado y 4 hrs de mano de obra para su acabado. El fabricar una silla requiere de 20 pies cbicos de de tabla, 2 horas de mano de obra de armado, y 6 horas para su acabado.

- 23 -


Esta compaa solo puede conseguir en una semana la cantidad de 120 pies cbicos de tablas, 9 horas de mano de para armado y 24 horas de mano de obra para el acabado. La mesa le deja una utilidad a la empresa de 10 pesos y la silla deja una utilidad de 8 pesos. La compaa desea saber si fabrica, puras sillas, puras mesas o una mezcla de sillas y mesas, para que se obtenga la mayor utilidad para le empresa.

- 24 -


2) Una productora-vendedora produce 2 tipos diferentes de queso. El tipo 1 se vende en 27 el kilogramo, fabricar un kilo requiere 10 pesos de materia prima y 14 pesos de mano de obra y transporte. El queso tipo 2 se vende en 21 pesos, pero el costo la materia prima por kilo es de 9 pesos y 10 pesos de mano de obra y transporte.

La fabricacin de un kilo de queso tipo 1 requiere; 2 horas de secado, y 1 hora reposo en un lugar especial. La fabricacin de un kilo de queso tipo 2; 1 horas de secado, y 1 hora reposo en un lugar especial. La demanda de queso tipo 2 es ilimitada pero la del tipo 1 es de cuando mucho 40 kilos a la semana. El tiempo total disponible para el secado es de 100 hrs y de 80 hrs de reposo. Cmo se puede maximizar las utilidades?

- 25 -


3) El departamento de rayos X de un hospital tiene dos maquinas, A y B, que pueden utilizarse para revelar radiografas. La capacidad mxima de procesamiento diaria de estas maquinas es A = 80, B = 100 radiografas. El departamento debe de planear procesar al menos 150 radiografas por da. Los costos de operacin por cada radiografa son $4 para la mquina A y 3 para la maquina B. Cuntas radiografas mquina para minimizar costos? por da debe procesar cada

- 26 -


OBJ. 1.4 FORMAS ESTNDAR Y CANONICA La forma cannica de la programacin lineal es: Max Z= c1x1 + c2x2 ..+ cnxn Sujeto a las restricciones: a11x1 + a12x2 .. + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 ..+ a2nxn b2 am1x1 + am2x2 ..+ amnxn bm x1 0, x 0. xn 0 Se puede observar que en la forma cannica: 1) La funcin objetivo se maximiza 2) Las restricciones de los recursos son representados por desigualdades menor o igual a los recursos limitados () 3) La variables todas deben ser mayores que cero

- 27 -


Esto todava lo podemos resumir ms si hacemos una matriz A con los coeficientes de los aij: a11 a21 a11.

a21 a22 a21

a1n a2n a1n

A=

.

am1

am1

amn. con los coeficientes cj:

Tambin formamos un vector = [c1, c2, c3 cn] Formamos un vector

con los coeficientes xj:

Formamos un vector

con los coeficientes bi:

Por lo tanto la forma cannica reducida es

y

Para poder resolver de forma algebraica el modelo de programacin lineal debe tener las siguientes propiedades:

- 28 -


a) Todas restricciones deben ser ecuaciones (igualdades) y el segundo miembro no debe de ser negativo. b) Todas las variables no deben ser negativas c) La funcin objetivo puede ser de maximizacin o de minimizacin.

a) Para que todas las restricciones se conviertan a ecuaciones (igualdades): 1) Las restricciones de tipo se le suma una variable de holgura al primer miembro de la ecuacin. Ejemplo: X1 + 2x2 6 se convierte en: X1 + 2x2 + Xh = 6 2) Las restricciones de tipo se le resta una variable de exceso al primer miembro de la ecuacin. Ejemplo: X1 + 2x2 6 se convierte en: X1 + 2x2 - Xe = 6

3) El segundo miembro de una ecuacin puede hacerse no negativo multiplicando ambos lados por -1 X1 + 2x2 - 5x3= -6 X1 - 2x2 -6 b) se convierte en: -X1 - 2x2 + 5x3 = 6 se convierte en: -X1 + 2x2 6

4) En una desigualdad, el signo se invierte al multiplicar por -1

Todas las variables no deben ser negativas

En caso de existir una variable irrestricta (no restringida) xi puede expresarse en trmino de dos variables no negativas xi = xi + xi La sustitucin debe efectuarse en todas las ecuaciones incluyendo la funcin objetivo. C) como sabemos el problema de PL puede ser maximizacin o

minimizacin, pero algunas veces es conveniente convertir de una forma a otra:

- 29 -


La maximizacin de una funcin objetivo equivale a la minimizacin del negativo de la misma funcin y viceversa Maximizar z = 5x1+2x2+3x3 es igual a minimizar z = -5x1 2x2 3x3

Adems la funcin objetivo de debe igualar a cero: z = 5x1+2x2+3x3 se convierte a z- 5x1-2x2-3x3=0 Aprovechando estas propiedades podemos pasar cualquier problema de PL de la forma cannica a la forma estndar que es la que se trabaja de forma algebraica y que tiene la forma general de: Z - c1x1-c2x2cnxn Sujeto a: a11x1 + a12x1 .. +a1nxn+ xh1 = b1 a21x1 + a22x1 ..+a2nxn+ xh2 = b2 am1x1 + am2x1 ..+a1mxn+ xhm = bm En donde: x1 0, x2 0. xn 0 xh1 0, xh2 0. Xhm 0

1.5 mtodo Simplex El mtodo simplex es un algoritmo, o sea un proceso que se repite un procedimiento sistemticamente hasta obtener el resultado deseado. Adems de las iteraciones, los algoritmos incluyen un procedimiento para iniciar y un criterio para determinar cmo detenerse. Los pasos para aplicar el mtodo simplex son: 1) El modelo matemtico debe estar en la forma estndar. Despus de introducir las variables de holgura, a las variables originales se le nombra variables no bsicas y a las variables de holgura se le llama variables bsicas. De aqu podemos tomar la primera solucin, que se conoce como solucin bsica factible inicial. Las variables no bsicas toman el valor de cero y en el resto de las ecuaciones se lee como si no existieran, por lo tanto las variables bsicas tomaran el valor de la b

- 30 -


correspondiente. Para mayor comodidad a la hora de realizar las operaciones matemticas, la informacin de la forma estndar se puede acomodar en una tabla: Ejemplo: MAX Z = 3x1 + 5x2 Sujeto a: x1 (originales) + 2x2 (holgura) 3x1 + 2x2 x1 ,x2 0 MAX Z - 3x1 - 5x2 = 0 Sujeto a: x1 +2x2 (holgura) 3x1+2x2 Bsica Z X3 X4 X5 +x5 =18 X1 -3 1 0 3 X2 -5 0 2 2 X3 0 1 0 0 X4 0 0 1 0 X5 0 0 0 1 Solucin 0 4 12 18 + x3 +x4 =4 x1, x2, son las variables no bsicas x3, x4 , x5 son las variables bsicas 18 12 x3, x4 , x5 son las variables bsicas 4 x1, x2, son las variables no bsicas

(originales) =12

Ecuacin Z 0 1 2 3 1 0 0 0

Para este ejemplo la solucin bsica factible inicial es (0, 0 , 4 , 12 , 19 ) Es decir x1= 0, x2= 0, x3= 4, x4= 12, x5=18 2) Paso iterativos. Cada vez que se itera el mtodo simplex se mueve de una solucin factible bsica actual, a una solucin factible adyacente mejor.

- 31 -


El mtodo consiste en convertir una variable no bsica (llamada variable bsica entrante) en una variable bsica, y al mismo tiempo convertir una variable bsica (llamada variable bsica saliente) en una variable no bsica y se identifica la nueva solucin factible. Para seleccionar la variable bsica entrante. Si existen variable no bsicas con coeficientes negativos en la columna 0 (funcin objetivo), se selecciona la de mayor valor negativo. A la columna donde se encuentra se le nombra columna pivote. Para seleccionar a la variable bsica que sale, se toman todos los valores de la columna solucin y se dividen por su correspondiente coeficiente de la columna pivote, se identifica el cociente de menor valor y a ese regln se le llama rengln pivote. Al nmero que se encuentra en la interseccin de la columna pivote y el rengln pivote se le llama nmero pivote. Para determinar la nueva solucin factible, se construye una nueva tabla simplex, por medio de la eliminacin de Gauss. A. El rengln pivote se divide entre el numero pivote, por lo tanto ahora el numero pivote se convierte en la nueva variable bsica con coeficiente 1 Rengln pivote nuevo (RPN) = rengln pivote anterior / numero pivote B. Siguiendo con la eliminacin de Gauss se obtienen los dems renglones de la tabla. Los valores de la nueva variable bsica debe hacerse 0 en todos los dems renglones incluso en la ecuacin 0. Si algn rengln ya tiene coeficiente cero en la columna de la nueva variable bsica, ese rengln se pasa sin cambio alguno a la nueva tabla. Nueva ecuacin = Ecuacin anterior (coeficiente de la columna pivote) x (RPN) En el ejemplo anterior despus de realizar lo pasos se tiene la nueva tabla que es:

- 32 -


Bsica Z X3 X2 X5

Ecuacin Z 0 1 2 3 1 0 0 0

X1 -3 1 0 3

X2 0 0 1 0

X3 0 1 0 0

X4 5/2 0 1/2 -1

X5 0 0 0 1

Solucin 30 4 6 6

Las nuevas soluciones son (0, 6, 4, 0 , 6) 3) Prueba de optimalidad: si todas las variables no bsicas tienen coeficiente positivo o nulo en el rengln 0 se ha obtenido la solucin optima, en caso contrario se tiene que volver a iterar hasta que esta condicin se cumpla. Como se observa en el ejemplo aun no se cumple con esta prueba, por lo que de nuevo se itera y se obtiene la nueva tabla: Bsica Z X3 X2 X1 Ecuacin Z 0 1 2 3 1 0 0 0 X1 0 0 0 1 X2 0 0 1 0 X3 0 1 0 0 X4 3/2 1/3 1/2 -1/3 X5 1 -1/3 0 1/3 Solucin 36 2 6 2

La nueva solucin es (2, 6, 2, 0, 0) Como se cumple la prueba esta es la solucin ptima por lo que se detiene el proceso, con esos valores para las variables. X1= 2, X2=6, X3= 2, X4=0, X5= 0 Max z = 3x1+5x2 =3(2)+5(6) =6 + 30 = 36

- 33 -


1.6 Mtodo de la M El algoritmo Simplex requiere de una solucin factible bsica (sfb) inicial. Hasta ahora en los problemas que sean resueltos se determino una sfb inicial usando las variables de holgura como si fueran variables bsicas. Pero si un PL tiene una restriccin , no sera tan evidente una sfb inicial. Descripcin del mtodo de la gran M. Paso1.- Modifique las restricciones de tal manera que el lado derecho de cada una sea no negativo. Para lograrlo, cada restriccin con un segundo miembro se multiplica por -1. Recuerde que si se multiplica una desigualdad por un nmero negativo se invierte la direccin de la desigualdad. Paso 1.- Identifique cada restriccin que es ahora (despus del paso 1) una restriccin = . Paso 2.- Convierta cada restriccin de desigualdad en la forma estndar. Esto quiere decir que si la restriccin i es una restriccin se suma una variable de holgura y si la restriccin i es una restriccin se resta una variable de excedente. Paso 3.- Si despus de haber terminado el paso 1 la restriccin i es una restriccin =, sume una variable artificial, tambin sume la restriccin de signo que debes ser mayor o igual a cero. Paso 4.- Sea M un numero positivo muy si el PL es un problema de Minimizacin sume por cada variable artificial Ma i a la funcin objetivo. Si el PL es un problemas de Maximizacin sume por cada variable artificial -Mai a la funcin objetivo. Paso 5.- Como cada variable artificial est en la base de inicio, todas las variables artificiales se tienen que eliminar del rengln 0. Antes de empezar el simplex. De esta manera se asegura que se empieza con una forma cannica. Al elegir una variable entrante, recuerde que M es un nmero positivo muy grande. Por ejemplo 4M-2 es ms positivo que 3M+900, y -6M5 que -5M-40. Ahora se resuelve el problema transformado por el simplex, si todas las variables artificiales son iguales a 0 en la solucin ptima, entonces

- 34 -


se ha encontrado la solucin ptima del problema original. Si alguna de las variables artificiales es positiva en la solucin ptima, entonces el problema original es no factible. Mediante el siguiente ejemplo se ilustra la forma de trabajar estos problemas.

S.A. S.A.

1).- Como el lado derecho no tiene lado negativo no se multiplica por -1. 2).- Sumar una variable de holgura a la ecuacin 2 y restarle una variable de exceso a la Ecuacin 2. MIN. Z = 2X1 + 3X2 S.A.

1 X1 2 X1 X1

1 X2 4 3X 2 X20

X3 X4

4 20 10

X1, X 2 , X 3 , X 4

Paso 3.- Sumar una variable artificial a la ecuacin 2 y la ecuacin 3. MIN. Z = 2X1 + 3X2 S.A.

- 35 -


1 X1 2 X1 X1

1 X2 4 3X 2 X2

X3 X4

4 X 5 20 X 6 100

X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 , X 6

Paso 4.- Como es un problema de Minimizacin se suma MX5 + MX6 a la funcin objetivo. Teniendo en cuenta que M es un valor muy grande. MIN. Z = 2X1 + 3X2 + MX5 + MX6 S.A.1 X1 2 X1 X1 1 X2 4 3X 2 X20

X3 X4

4 X 5 20 X 6 10

X1, X 2 , X 3, X 4 , X 5 , X 6

Paso 5.Quedando:

Al observar la funcin objetivo hay que igualar la a cero.

MIN. Z - 2X1 - 3X2 - MX5 - MX6 = 0 Aqu debemos eliminar las variables artificiales - MX5 - MX6 Para ello observamos que - MX5 proviene de la ecuacin 2, por ello a la ecuacin 2 la multiplicamos por M y las sumamos a la funcin objetivo. Pero tambin que - MX6 proviene de la ecuacin 3, por ello a la ecuacin 3 la multiplicamos por M y las sumamos a la funcin objetivo, quedando lo siguiente:

- 36 -


Por lo tanto el problema lineal a resolver es:

S.A.

Pasando esto a la tabla simplex queda: Bsica Z X3 X5 X6 Ecuacin 0 1 2 3 X1 2M - 21 2

X2 4M - 31 4

X3 0 1 0 0

X4 -M 0 -1 0

X5 0 0 1 0

X6 0 0 0 1

Solucin 30 M 4 20 10

1 1

3 1

La solucin inicial factible es: x1 = x2 = x4 = 0, x3 = 4, x5 = 20, x6 = 10. Como se observa el problema es de minimizacin, por lo tanto debe de buscarse que no haya valores positivos en la ecuacin Z. Se observa que esta (2M-2) y (4M-3), como (4M-3) es mayor entonces esa ser la columna pivote que es de x2. - 37 -


Al dividirse la solucin entre la columna pivote se tiene que el menor es 20/3 por lo tanto el rengln dos es pivote y el nmero pivote el 3, por lo tanto el regln dos se divide entre 3: quedando: Bsica Z X3 X5 X6 Ecuacin X1 0 1 2 3 2M - 21 2

X2

X3

X4 -M 0 -1/3 0

X5 0 0 1/3 0

X6 0 0 0 1

Solucin 30 M 4 20/3 10

4M - 3 01 4

1 0 0

1/3 1

1 1

Ahora hay que volver ceros todos los valores de columna de x 2. Empezando por la funcin objetivo tenemos que al regln 2 lo multiplicamos por (- 4M + 3) y lo sumamos a la funcin objetivo.2M 2 4 M 1 3 2 M 1 3 4M 4M 0 3 M 4 3 0 M 1 3 1 0 M 1 3 0 0 0 4 M 1 0 3 4 M 1 0 3 30M 80 M 20 3 10 M 20 3

Se eliminan los valores del regln 1 y 3 quedando la tabla: Bsica Z X3 X2 X6 Ecuacin X1 0 1 2 3 2/3M 1 5/12 1/3 2/3 X2 0 0 1 0 X3 0 1 0 0 X4 +1 1/12 -1/3 1/3 X5 +1 -1/12 1/3 -1/3 X6 0 0 0 1 Solucin 10/3 M + 20 7/3 20/3 10/3

1/3 M - 4/3 M

Las soluciones de esta tabla son: x1, x4, x5 = 0, x2 = 20/3, x3 = 7/3, x6 = 10/3 Pero como se observa existe todava positivos en el regln cero, por lo tanto sale x1 ya que 2/3M - 1 es mayor que 1/3M + 1. Dividiendo la solucin entre los valores de la columna x1 tenemos que el menor es 10/3 entre 2/3. Por lo tanto el numero pivote es 2/3. Multiplicando el tercer regln por 3/2 la tabla queda:

- 38 -


Bsica Z X3 X2 X6

Ecuacin X1 0 1 2 3 2/3M 1 5/12 1/3 1

X2 0 0 1 0

X3 0 1 0 0

X4

X5

X6 0 0 0 3/2

Solucin 10/3 M + 20 7/3 20/3 5

1/3 M - 4/3 M +1 1/12 -1/3 +1 -1/12 1/3 -1/2

Ahora hay que volver ceros todos los valores de columna de x 1. Empezando por la funcin objetivo tenemos que al regln 3 lo multiplicamos por (- 2/3M + 1) y lo sumamos a la funcin objetivo.

2 M 1 3 2 / 3M 0Bsica

0 0 1 0 0 0 0

1 M 1 3 1 1 M 3 2 1 2X1

4 M 3 1 M 3 MX2

1 1 2 1 2X3

0 4 / 3M 4 / 3MX4

2 2X5

10 M 20 3 10 M 5 3 25X6 Solucin

Ecuacin

- M + - 4/3 Z X3 X2 X1 0 1 2 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 -1/2 - 1/8 - 1/2 1/2 M + 2 25 1/4

1/8 - 5/8 1/2 - 1/2 5 5

1/2 - 1/2 2

Se eliminan los valores del regln 1 y 2 quedando la tabla: Como se observa no hay valores positivos en la funcin objetivo por lo tanto se ha encontrado la solucin ptima que es: X1 = 5; X2 = 5; X3 = 1/4; X4 = X5 = X6 =0 SI AL RESOLVER UN PROBLEMA DONDE TENGAN VALORES LA VARIABLES ARTIFICIALES, SE DICE QUE ESE PROBLEMA NO TIENE SOLUCIN PTIMA. - 39 -

UNIDAD 2ANLISIS DE REDES

Objetivo: Comprender y aplicar los diferentes modelos matemticos planteados como problemas de redes y sus mtodos de solucin.

UNIDAD II / ANLISIS DE REDES

2.1 Problema De Transporte Modelo Del Transporte Este modelo tiene que ver con la determinacin de un plan de costo mnimo para transportar una mercanca desde varias fuentes (orgenes, centros de abastecimientos, puntos de suministro, que ejemplo pueden ser fbricas) a varios destinos (centros de recepcin, puntos de demanda, que pueden ser bodegas, almacenes, etc.). El modelo de transporte tambin es un programa lineal que se puede resolver por el mtodo simplex, sin embargo hay un procedimiento de solucin, conocido como tcnica de transporte, que es ms eficiente. Este mtodo se puede aplicar a otros problemas como el modelo de asignacin o el de trasbordo. Como se menciona, el modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una mercanca de varias fuentes a varios destinos. Los datos que debe de contener el modelo son: 1) Un conjunto de m puntos de suministros, a partir de los cuales se enva un bien. El punto de suministro i abastece una cantidad a lo sumo Si unidades. 2) Un conjunto n de puntos de demanda a los que se enva el bien. El punto de demanda j debe recibir por lo menos dj unidades del bien enviado. 3) Cada unidad producida en el punto de suministro i y enviada al punto de demanda j incurren un costo variable cij. Aqu utilizaremos xij = como el nmero de unidades enviadas del punto de suministro i al punto de demanda j. As podemos definir que el la formula general para el mtodo del transporte es:i m j n

mini 1 j 1

cijxij

s.a.

- 41 -


j n

xijj 1

Si

(i 1,2,3........ m)i m

xiji 1

di

( j 1,2,3........ n)

Como solo hay una mercanca, un destino puede recibir su demanda de una o ms fuentes. En el conjunto de ecuaciones anteriores se puede notar que: El objetivo es determinar la cantidad que se enviar de cada fuente a cada destino tal que minimice el costo del transporte total. El primer conjunto de restricciones indica que la suma de los envos desde una fuente, no puede ser mayor que su oferta. La segunda restriccin indica que la suma de los envos a un destino debe satisfacer su demanda. Como solo hay una mercanca, un destino puede recibir su demanda de una o ms fuentes. Si en el problema:i m j n

Sii 1 j 1

dj

Se dice que el problema es equilibrado. Como Equilibrar Un Problema De Transporte a) Si el suministro total excede a la demanda total, se equilibra, creando un punto de demanda ficticio, el cual tendr como valor de demanda, la cantidad de suministro en exceso. El costo de los envos, como no son reales, sern cero; aunque se les puede asignar un costo de almacenaje. b) Si el problema de transporte tiene un suministro total menor que la

demanda total, entonces se crea un punto de suministro ficticio, la cantidad que producira ser igual a la cantidad faltante. El costo tambin ser cero o bien un costo de penalizacin por no cubrir la demanda. Si algn punto de demanda, no puede, o no se quiere que envi a un punto de demanda, se le asignara una penalizacin muy alta al costo del envi (M).

- 42 -


Tabla Simplex De Transporte. Como se menciono anteriormente el problema de transporte es solo un tipo especial de problemas de programacin lineal, por lo tanto se puede resolver aplicando el mtodo simplex, como se hizo en la unidad anterior. Pero debido que se tiene una estructura muy especial, se pueden ahorrar muchos pasos, que casi eliminan a la tabla simplex y a sus actualizaciones. Para ello se registra la informacin del problema en una tabla simplex del transporte que tiene el siguiente formato general:1 c11 1 O r i g e n c21 2 c22 2 Destino c12 n c1n Recursos S1 ui

c2n

S2

cm 1 m Demanda vj d1 d2

cm 2

dn

cm n

Sm

Informacion adicional que se agrega a cada celda: Si xij es una variable basica cij xij Si xij es una variable no basica cij cij - u i -v j

Solucin Al Problema De Transporte Los pasos para solucionar un problema de transporte son: Paso 1.- Si el problema est desequilibrado, equilbrelo. Paso 2.- Encontrar una solucin factible inicial, en este caso utilizando el mtodo de la esquina noroeste. Se utiliza la tabla de simplex de transporte para resolver el problema. Paso 3.- Haga que u1 = 0 y ui + vj = cij para todas las variables bsicas con la finalidad de encontrar [u1,u2..um; v1, v2vn] para la sfb (solucin factible inicial)

- 43 -


Paso 4.- Si ui + vj - cij0 para las variables no bsicas, entonces las sfb actual es ptima. Si ste no es el caso, entonces se introduce en la base la variable con el valor positivo ms grande de ui + vj cij. Para hacer esto, encuentre el bucle. Luego contando slo las celdas de bucle, marque las celdas pares. Tambin marque las impares. Ahora encuentre la celda impar cuya variable tome el valor ms pequeo, . Los valores de las variables que no estn el bucle permanecen sin cambio. El pivote ahora est completo. Si =0, entonces la variable entrante ser igual a cero, y una variable impar que tiene el valor actual de 0 saldr de la base. En este caso resultar una sfb degenerada. Si ms de una celda impar del bucle es igual a , se podra elegir de manera arbitrara que una de estas celdas impares salga de la base; de nuevo, se obtiene un sfb degenerada. Este pivoteo produce una nueva sfb. Paso 5.- Usando la nueva sfb, vuelva a los pasos 3 y 4. Si el problema es de maximizacin se siguen los mismos pasos, pero se sustituye el paso 4 de la siguiente manera. Paso 4.- Si ui + vj cij 0 para las variables no bsicas, la sfb es ptima, de otro modo introduzca una variable con le valor negativo ms grande de u i + vj cij en la base por medio del procedimiento de pivoteo. Para Encontrar Una Solucin Factible Inicial. (Paso 2) Para empezar a resolver el problema de transporte una vez colocado en la tabla de transporte, se tiene que encontrar una solucin factible inicial.

Existen 3 mtodos conocidos, que son: a) mtodo de esquina noroeste b) mtodo de costo mnimo c) mtodo de Vogel.

- 44 -


Mtodo De Esquina Noroeste. Se comienza colocando en la esquina superior izquierda (noroeste) de la tabla de transporte, el valor de x11, que ser el valor ms grande posible de acuerdo al recurso disponible y la demanda. Si el valor de x11 es igual al valor del suministro (x11= s1 ) ya no se le asignara otra variable bsica a el rengln 1 y el valor de la siguiente variable, se colocara en el siguiente rengln pero misma columna y el valor tratara de agotar a la demanda de la columna 1 (d1). Si el valor de x11 es igual al valor de la demanda (x11= d1 ) ya no se le asignara otra variable bsica a la columna 1 y el valor de la siguiente variable, se colocara en la siguiente columna pero misma rengln y el valor tratara de agotar a le suministro del rengln 1 (s1). Si x11= s1= d1 se puede anular ya sea la columna o el rengln eligiendo arbitrariamente. Si se elimina el rengln 1 se pasa al rengln 2 y se coloca con valor cero, y se continua con un valor en la siguiente columna. Si se elimina la columna 1, se pasa a la siguiente columna y se le coloca el valor de cero, y se contina con un valor en el rengln siguiente. EJEMPLO No 1. Un empresario se dedica al ensamble y venta de computadoras, el puede ensamblar en tres lugares diferentes y enviar estas computadoras a sus 4 puntos de ventas que tiene. Para la prxima semana tiene llevar 5 computadoras al punto de venta No. 1, 15 al punto de venta No. 2, 15 al punto de venta No. 3, y 10 al punto de venta No. 4.En donde ensambla tiene las siguientes computadoras, en el lugar 1 tiene 15, en el lugar 2 tiene 25, y en el lugar 3 tiene 5. El costo que tiene el transporte de cada computadora saliendo de las diferentes ensambladoras para llegar a los diferentes destinos son:

- 45 -


DESTINO ENS. 1 1 2 3 10 12 0 2 0 7 14 3 20 9 16 4 11 20 18

SOLUCION: Utilizando la tabla simplex de transporte y colocndole los datos del problema tenemos:Destino 1 10 1 O r i g e n 12 2 0 3 Demanda vj 5 15 15 10 14 16 18 5 7 9 20 25 2 0 3 20 4 11 15 Recursos ui

Paso 1. Se verifica y se obtiene que el suministro es igual a la demanda por lo tanto el problema est equilibrado. Paso 2. Se obtiene una solucin factible inicial por el mtodo de la esquina noroeste. Quedando la tabla de la siguiente manera.Destino 1 10 1 O r i g e n 5 12 2 5 0 3 5 Demanda vj 5 15 15 10 14 15 16 5 18 5 10 7 9 20 25 2 0 3 20 4 11 15 Recursos ui

El costo total de esta solucin bsica es:

- 46 -


5(10)+10(0)+5(7)+15(9)+5(20)+5(18) = 410 Paso 3. Encontrando lo valores de las u y v tenemos que u1=0 y adems de las variables bsicas tenemos: x11 x12 x22 x23 x24 x34 x13 18 x14 11 = 2 x21 12 = 5 x31 0 = 15 x32 14 = -9 x33 16 = -9 Ahora tenemos que ir a la tabla y encontrar la posicin de x 31 y construir el bucle (ciclo cerrado) para encontrar que variable bsica es la que sale. u3 + v3 c33= 5 + 2 u1 + v1 = 10 u1 + v2 = 0 u2 + v2 = 7 u2 + v3 = 9 u2 + v4 = 20 u3 + v4 = 18 u1 + v3 c13= 0 + 2 20 = - Como podemos observar la condicin de optimalidad nos dice el resultados u1 + v4 c14= 0 + 13 de las celdas no bsicas tienen que ser menor o igual a cero. Como se u2 + v1 c21= 7 + 10 observa esto no se cumple, por lo tanto tenemos que iterar tomando la u3 + v1 c31= 5 + 10 variable no bsica que entra, la que tenga el mayor numero positivo en u3 + v2 c32= 5 + 0 este caso x31. Como sabemos que u1=0, entonces v1=10, v2=0, u2=7, v3=2, v4=13 y u3=5

Paso 4. Evaluando ahora las variables no bsicas tenemos:

- 47 -


Destino 1 10 1 O r i g e n 5 12 2 5 0 3 x31 Demanda vj 5 15 15 5 10 14 15 16 5 18 5 10 7 9 20 25 2 0 3 20 4 11 15 Recursos ui

Como podemos observar un bucle se construye, empezando y terminando en la variable bsica que va a entrar, adems las esquinas del bucle son solo algunas de la variables bsicas y son las que se tomaran en cuenta, las otras no (en este caso la variable x 23 es bsica pero no se toma en cuenta es decir, su valor mantiene igual). Tambin conviene saber que para cualquier conjunto de variables bsicas, habr siempre un solo bucle. Ahora en este problemas las celdas impares son x11, x22, x34 y las celdas pares serian x12, x24,

y x31. Aqu no importa en que sentido se maneje el bucle. De las celdas

impares, se toma la que tenga el valor mas pequeo y esa ser la que salga, en este caso como las tres tienen el mismo valor puede salir cualquiera de las tres, aqu se elige arbitrariamente. Digamos que sacamos a x34, ahora el valor que tiene esta variable (5) la colocamos en la variable que entra x 31 y se calcula la nueva tabla:Destino 1 10 1 O r i g e n 0 12 2 5 0 3 5 Demanda vj 5 10 -24 15 0 -24 15 2 -15 10 13 0 14 15 16 10 18 5 -10 15 7 -18 9 2 20 25 7 2 0 3 20 4 11 15 0 Recursos ui

Como se puede observar, a las celdas impares se le resta el valor que entra y a las pares se le suma. Como en este caso tenemos variables bsicas igual

- 48 -


a 0, se dice que la solucin es degenerada, pero no importa, se consideran con ese valor y se sigue trabajando igual. Se regresa al paso 3 y despus otra vez se aplica el paso 4, si no se cumple con la condicin se vuelve a iterar hasta cumplir con la condicin de optimalidad. Las siguientes tablas son:Destino 1 10 1 O r i g e n -5 12 2 0 0 3 5 Demanda vj 5 5 -19 15 0 -19 15 2 -10 10 13 0 14 15 16 10 18 5 -5 15 7 -18 9 2 20 25 7 2 0 3 20 4 11 15 0 Recursos ui

Destino 1 10 1 O r i g e n -5 12 2 0 0 3 5 Demanda vj 5 5 -19 15 0 -19 15 2 -12 10 11 10 14 15 16 -2 18 5 -5 5 7 -18 9 10 20 25 7 2 0 3 20 4 11 15 0 Recursos ui

La solucin ptima se resume como enviar 5 computadoras de la ensambladora 1 al punto de venta 2, y 10 al punto 4. Enviar 10 computadoras de la ensambladora 2, al punto de venta 2 y 15 al punto de venta 3, y por ultimo enviar 5 computadoras de la ensambladora 3 al punto de venta 1. Todo esto sale con un costo de transporte igual a: 5(0) + 10(11) + 10(7) + 15(9) + 5(0) = 315. EJEMPLO No. 2

- 49 -


El gerente de una mueblera, requiere enviar los colchones que tiene en sus tres bodegas, a las 5 sucursales que tiene. De acuerdo con el inventario sabe que en bodega de Minatitln cuenta con 20 colchones, en la de San Andrs con 30 y la de Acayucan 30. Leyendo los informes sabe que en la sucursal de de Hueyapan requieren 25 colchones, en la de San Pedro Soteapan requieren 25, en Cosoleacaque 20, en Catemaco 10 y en la de Coatzacoalcos 20. El costo de envo por cada colchn de las diferentes bodegas a los destinos se resume en la siguiente tabla. Solo que la bodega de San Andrs no puede entregar en San Pedro Soteapan.

H. San d e O. Minatitl n San Andrs Acayuca n 6 3 5 8 6 Pedr o

Cosoleacaqu e

Catemac o

Coatzacoalco s

3

7

5

8

4

7

9

6

8

Encontrar el costo ms bajo para transportarlos colchones. Armando la tabla inicial tenemos:Destino COSO. 3

H. DE O M I N A N D 8

S. P. 6

CATE. 7

COATZA. Recursos 5 20

ui

A C A Demanda vj

O r i g e n

5

_

8

4

7 30

6

3

9

6

8 30

25

25

20

10

20

- 50 -


Paso 1.- Al analizar el problema vemos que esta desequilibrado ya que la demanda es de 100 colchones y los recursos solo hay 80, por lo tanto el primer paso es equilibrar el problema, creando una fuente ficticia que surta 20 colchones que faltan, esta fuente ficticia tendr costos igual a 0. Por otra parte como no se puede surtir de la bodega de san Andrs a la mueblera de San Pedro, se le coloca un costo muy alto M (penalizar con un valor muy alto M). Por lo tanto la tabla inicial queda:H. DE O M I N O r i g e n A N D A C A 8 S. P. 6 Destino COSO. 3 CATE. 7 COATZA. Recursos 5 20 5 M 8 4 7 30 6 3 9 6 8 30 0 0 0 0 0 20 25 25 20 10 20 ui

F I C Demanda vj

Paso 2.- Aplicando el mtodo de la esquina noroeste, la tabla queda:H. DE O M I N O r i g e n A N D A C A 8 20 5 5 6 0 0 0 25 3 20 0 0 25 25 20 10 9 10 0 20 20 0 20 6 8 30 M 8 4 7 30 S. P. 6 Destino COSO. 3 CATE. 7 COATZA. Recursos 5 20 ui

F I C Demanda vj

Paso 3.- Aplicando la prueba de optimalidad.

- 51 -


H. DE O M I N O r i g e n A N D A C A 8 20 5 5 6 -M+2

S. P. 6 M-3 M 25 3 0 0 -3 25 3

Destino COSO. 3 M+6 8 M-2 9 20 0 3 20 9

CATE. 7 M-1 4 M-1 6 10 0 0 10 6

COATZA. Recursos 5 20 M+1 7 30 M-4 8 30 -2 0 20 20 20 6

ui M

M-3

0

F 0 I C -M-2 25 Demanda vj -M+8

-6

Como se observa no se cumple con la prueba de optimalidad por lo tanto se empieza iterar hasta cumplir con ella, por lo tanto tenemos las siguientes tablas:H. DE O M I N O r i g e n A N D A C A 8 0 5 25 6 -M+2 20 0 -3 25 M -M-3 20 0 Destino COSO. 3 20 M 5 6 -M+2 20 0 -3 25 2 -2 20 3 3 -5 0 0 10 5 M-7 9 10 0 20 20 5 8 M-1 6 -2 0 20 -5 -2 4 M-4 8 30 1 5 3 -M-6 0 0 10 M+3 M-3 M -8 9 10 0 20 20 M+3 S. P. 6 20 8 M-1 6 -8 0 20 -M-3 Destino COSO. 3 M-1 4 M-4 8 30 -M+3 CATE. 7 M+1 7 30 0 COATZA. Recursos 5 20 3 ui

F 0 I -M+2 C 25 Demanda vj 5

H. DE O M I N O r i g e n A N D A C A 8 M-1 5 25

S. P. 6 -4

CATE. 7

COATZA. Recursos 5 20 0 7 30

ui 0

M-2

F 0 I -M+2 C 25 Demanda vj -M+7

- 52 -


H. DE O M I N O r i g e n A N D A C A 8 -2 5 25 6 1 0 1 25 6

S. P. 6 -4 M -M+1 3 25 0 -3 25 2

Destino COSO. 3 20 8 -6 9 -5 0 -2 20 3 Destino COSO. 3 20

CATE. 7 -2 4 5 6 5 0 0 10 5

COATZA. Recursos 5 20 0 7 30 -3 8 30 -2 0 20 20 20 5

ui 0

-1

1

F I C Demanda vj

-5


S. P. 6 -3 M -M+2 3 25 0 -2 25 3

CATE. 7 -2

COATZA. Recursos 5 20 0

ui 0

8 -6 9 -6 0 -2 20 3 0 10 5 -1 10

4 -3 6 -3 0 20 20 5

7 30 8 30 0 20 -5 0 -1

F I C Demanda vj


S. P. 6 -4 M -M+2 3 25 0 -3 25 2

Destino COSO. 3 20 8 -5 9 -5 0 -2 20 3

CATE. 7 -3 4 10 6 -1 0 -1 10 4

COATZA. Recursos 5 20 0 7 30 -2 8 30 -2 0 20 20 20 5

ui 0

0

1

F I C Demanda vj

-5

El mnimo costo que se obtiene es de: (20)(3) + (20) (5) + (10) (4) + (5) (6) + (25) (3) = 305 Redes Los problemas de redes surgen en un gran variedad de situaciones, por ejemplo una red de transporte, redes elctricas, de comunicacin, etc. En la vida diaria son muy comunes. Estas redes las podemos representar para tener un panorama general y poder visualizar las relaciones existentes entre

- 53 -


los componentes de los sistemas de los sistemas que se usan en casi todas reas cientficas, sociales y econmicas. La representacin de una red se puede utilizar para la plantacin de un proyecto, administracin de recursos, localizacin de instalaciones, reas de produccin, de distribucin, etc. Terminologa Bsica Utilizadas En La Redes Una red o grafica consiste en una serie de puntos y un conjunto de lneas que unen a ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vrtices) y las lneas arcos (aristas o ramas). Los nodos se pueden identificar colocndole una letra mayscula o bien por medio de nmeros. Los arcos se pueden nombrar de acuerdo de acuerdo a su nodo de origen y su nodo Terminal. Por ejemplo en la siguiente red se tiene:2 5 1

5 nodos y 6 arcos.

Se tienen los nodos 1,2,3,4,5 Y a los arcos (1,2), (1,3), (2,5), 2,4), (3,4), y (5,4).3 4

Los arcos de una red pueden tener flujo de algn tipo, por ejemplo personas, agua, gas, aviones, etc. Por lo tanto estos arcos van a tener una direccin y estar representado por la cabeza de flecha del arco. Tambin el nombre del arco indicara la direccin del flujo, por ejemplo el arco del la red anterior (2,5) indica que sale del nodo 2 y va con direccin de flujo al nodo 5. Pero si este mismo arco se representa (5,2) es incorrecto. Si a travs del arco se permite al flujo ir en una solo direccin, se dice que es un arco dirigido, (algo similar a una calle de un solo sentido), pero si se permite el flujo en ambos sentidos el arco ser no dirigido. Si la red est

- 54 -


compuesta por puros arcos dirigidos se la llamara red dirigida, si la red est compuesta por puros arcos no dirigidos se llamara red no dirigida. Trayectoria entre 2 nodos es cuando 2 nodos estn conectados por medio de una sucesin de arcos distintos. En el ejemplo anterior una trayectoria del nodo 1 al nodo 4 seria (1 2) (2 4). Cuando la red tiene algunos o todos los arcos no dirigidos se pueden distinguir entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. Una trayectoria dirigida ser una sucesin de arcos que van del nodo inicial al final llevando siempre la direccin del nodo inicial al final. Una trayectoria no dirigida del nodo inicia la al nodo final es la trayectoria que cuya direccin del arco puede ser hacia o desde el nodo final.1 5

Ejemplo de trayectoria dirigida seria del nodo 1 al nodo 4: (1 3) (3 2) (2 4) Ejemplo de trayectoria no dirigida seria del nodo 3 al nodo 5: (3 2) (2 4) (5 4)

2

3 4

Ciclo o bucle.- Es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.

2.2 Problema del camino ms corto. Este problema se presenta cuando necesitamos encontrar en un red la distancia ms corta entre un nodo fuente y llegar a un nodo destino. Esto podra ocuparse en una red de transporte, para determinar la ruta mas corta entre dos ciudades, o la ruta ms corta para colocar algn cable de comunicacin o de energa elctrica, etc. Para resolver estos problemas podemos utilizar el siguiente algoritmo: Digamos que: dij = distancia de la red entre nodos adyacentes i y j. uj = distancia ms corta a un nodo i al nodo j u1 = 0

- 55 -


uJ= min. (Distancia ms corta a un nodo i inmediatamente anterior mas la distancia entre el nodo actual j y su predecesor i) uJ= min. { uj + dij } Ejemplo: En un parque declarado reserva natural, se permite paseos y campamentos pero no se permite el paso de vehculos, ya que el parque cuenta con jeep ecolgicos que transportan a la gente a las diferentes estaciones. La siguiente red es una representacin de los caminos dentro del parque y las diferentes estaciones. El nodo 1 representa la entrada del parque, el nodo 7 representa el mirador principal del parque que ofrece una maravillosa vista, los dems nodos son estaciones de servicios como cafeteras, baos, etc. Un visitante llego al parque pero desea llegar lo ms rpido posible al mirador, Cul ser la ruta ms corta que pueda tomar el conductor del jeep? Los nmeros de los arcos indican la distancia en kilmetros entre los nodos.2

7 1 3 5

4

6

Podemos hacer los clculos siguientes: En el nodo 1 u1 = 0

Por ser el origen

En el nodo 5: U5 = u2 + d25= 2 + 7 = 9 U5 = u3 + d35= 4 + 4 = 8 U5 = u6 + d65= 7 + 1 = 8 En el nodo 7: U7 = u5 + d57= 8 + 5 = 13 U7 = u6 + d67= 7 + 7 = 14 Por lo tanto la ruta mas corta es : (1 2)(2 3)(3 5)(5 7) y otra alternativa es (1 2)(2 3)(3 6)(6 5)(5 7)

En el nodo 2: u2 = u1 + d12= 0 + 2 = 2 En el nodo 4: U4 = u1 + d14= 0 + 4 = 4 En el nodo 3: U3 = u1 + d13= 0 + 5 = 5

- 56 -


U3 = u2 + d23= 2 + 2 = 4 U3 = u4 + d43= 4 + 1 = 5 En el nodo 6: U6 = u3 + d36= 4 + 3 = 7 U6 = u4 + d46= 4 + 4 = 8

Problema 2.- Un vendedor de refacciones tiene que entregar un pedido dentro de la ciudad, al revisar los planos encuentra la posibles rutas que puede tomar, el se encuentra en nodo 1 y el lugar donde entregara se encuentra en el nodo 6. Cul es el camino ms corto que podr tomar?2

3

4

4 2

2

1

6

33

2 35

Haciendo los clculos: u1 = 0 u2 = u1+ d12= 0 + 4 = 4 u3 = u1+ d13= 0 + 3 = 3 u4 = u2+ d24= 4 + 3 = 7 u5 = u2+ d25= 4 + 2 = 6 u5 = u3+ d35= 3 + 3 = 6 u6 = u4+ d46= 7 + 2 = 9 u6 = u5+ d56= 6 + 2 = 8

Por lo tanto las opciones son: (1 2)(2 5)(5 6) o bien (1 3)(3 5)(5 6)

Este tipo de problemas se puede resolver por medio de la tabla de transporte haciendo algunas modificaciones: Todos los valores de los suministros y demanda sern igual a 1. Por lo tanto los valores de xij = 1 y 0. El nodo fuente no se coloca en las columnas de la tabla.

- 57 -


El nodo destino no se coloca en los renglones de la tabla. En el cuadro de los costos ira la distancia entre los nodos. Cuando se este enlazando el mismo nodo la distancia ser 0. Cuando no este enlazado un nodo con otro, se le da un valor de M. Resolver la tabla hasta cumplir con la prueba de optimalidad.2 4 1 0 O r i g e n 2 M 3 M 4 M 5 Demanda vj M M 0 2 1 1 1 1 1 1 M 0 M 2 1 0 M 3 M 1 M 3 2 M 1 3 3 Destino 4 M 5 M 6 M 1 Recursos ui

2 4 1 1 0 O r i g e n 2 0 M 3 -2M M 4 -3M M 5 Demanda vj -4M 1 0 -3M -2M 0 1

3 3 M+1 M

Destino 4 M M+4 3 2M-3 0 1 M 0 M -2M M 0 1 2M 0 1 M

5 M 2M+4 2 3M-2 3 2M-3 M M 0 1 1 3M M+2

6 M

Recursos 1

ui 4

2M+6 M 1 2M+2 M 1 2 1 2 1 -3M 2M -M 0

1 M

1 3M+2

- 58 -


2 4 1 1 0 O r i g e n 2 0 M 3 0 M 4 -2 M 5 Demanda vj -M-2 1 0 -2 M-2 1 0

3 3 M+1 M

Destino 4 M 6 3 M-1 0 -M+2 M 1 M 0 M 0 1 M+2 0 0 M -M-1 -2

5 M -M 2 1 3

6 M

Recursos 1 M 1

ui 4

0

-M+4 M 1 -2M+4 M M 0 1 2 1 -2 2 1 M-2 -M

1 M

1 2

1 4

2 4 1 1 0 O r i g e n 2 0 M 3 -M+1 M 4 -2 M 5 Demanda vj -M-2 1 -2 -M-3 -3 1 -M-1 0

3 3

Destino 4 M -2M+6 M -M-1 0 -2M+3 M 1 M -2M M 0 1 -M 0 0 M 0 3

5 M -M+6 2 1 3 -M

6 M

Recursos 1

ui 6

-M+4 M 1 M 1 -M+1 M M-4 0 1 2 1 0 2 1 M 3 2

1 -3

1 0

1 -2

2 4 1 1 0 O r i g e n 2 0 M 3 M 4 M 5 Demanda vj 1 0

3 3

Destino 4 M

5 M

6 M

Recursos 1

ui 0

M -1 0

3 1 M 0

2

M 1 -4

3

M 1 -3

M 1 M

0

M 0

2 1 -6

M 0

0 1 1 6 1 8

2 1 -6

1 4

1 3

1 6

Por lo tanto la ruta ms corta es: 1-2-5-6

- 59 -


2.3.- Problema Del rbol Expandido Mnimo. Este problema tiene que ver con la determinacin de los arcos que pueden unir a todos los nodos de una red, para formar un rbol. Un rbol de expansin (o de extensin) para una de red de n nodos, es un grupo de n-1 arcos que conectan todos los nodos de la red y no contiene ciclos (bucles). Por ejemplo:2 3 5 7 4 6

1

a)2 3 5 7 4 6

1

b)2 3 5 7 4 6

1

c)

- 60 -


2 3 5 7 4 6

1

d) En el inciso a) no se forma un rbol de expansin ya que no estn conectados todos los nodos, en un dado caso se podran tomar como un conjunto de dos rboles. En el inciso b) no se forma un rbol ya que hay ciclos o bucles. En el Inciso c) y d) si se forman rboles de expansin. Como se observa se pueden construir diferentes formas de los rboles de extensin, con un grupo de nodos, pero en el problema del rbol expandido mnimo que nos interesa es determinar el conjunto de arcos de una red que conecte todos lo nodos que minimice la suma de la longitud del total de los arcos. Algoritmo Para Determinar El Problema Del rbol Expandido Mnimo. 1) Se selecciona de manera arbitraria cualquier nodo y se une con un arco al nodo ms cercano. Estos dos nodos forman ahora un conjunto conectado y los otros nodos constituyen el conjunto de nodos no conectados (desconectados). 2) Se identifica el nodo no conectado ms cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (se agrega un arco). Este paso se repite hasta conectar todo los arcos. 3) En caso de surgir empates, esto se rompe de manera arbitraria y el algoritmo todava lleva a una solucin optima, estos empates significan que pudieran existir (pero no necesariamente). Soluciones optimas mltiples. Todas estas soluciones se pueden verificar si se buscan las dems formas de romper el empate hasta el final.

- 61 -


Por ejemplo: La administracin del parque de reserva natural, desea poner telfonos en todos las estaciones del parque, para calcular la longitud del cable necesitan saber cul es la ruta ms corta que puede unir a todas las estaciones, Cul es esa ruta y que distancia tendr?

2

7 2 2 43 5

1

5

5

7

4

1 4

3

1

7

4

6

Esta es la red original del parque El primer paso es elegir cualesquiera de los nodos, en este caso empezaremos en el nodo 4. Este nodo 4 lo unimos con el nodo ms cercano en este caso con el nodo 3, por lo tanto la nueva red queda: Ahora ya tenemos conectados lo nodos 4 y 3 hay que buscar un nodo de los desconectado que este ms cercano a estos nodos y resulta ser el nodo 2. Teniendo esto se conecta. Y resulta lo siguiente: Siguiendo, ahora se conecta el nodo numero 1

2

7 2 2 4 55 7

1

5

3

4

1 4

3

1

7

4

6

2

7 2 2 55 7

1

5

3

4

4

1 4

3

1

7

4

6

El siguiente nodo conectarse es el No. 6

en

- 62 -


2

7 2 2 4 55 7

1

5

3

4

1 4

3

1

7

4

6

2

7 2 2 43 5

Posteriormente el nodo 5.57

1

5

4

1 4

3

1

7

4

6

2

7 2 5 2 4 55 7

Y por ltimo el nodo 7. Quedando finalmente rbol expandido mnimo:

el

1

3

4

1 4

3

1

7

4

6

2

7 2 2 43 5

1

5

5

7

4

1 4

3

1

7

4

6

El cual tiene una distancia de: 2+2+1+3+1+5 = 14 kilmetros.

2.4 Problema De Flujo Mximo. Este problema se presenta cuando queremos enlazar un nodo fuente y un nodo destino a travs de una red de arcos, que pueden ser arcos dirigidos o no dirigidos. Cada arco tiene una capacidad mxima de flujo permitida. El objetivo es obtener la mxima cantidad de flujo entre la fuente y el destino.

- 63 -


Hay diferente caso por ejemplo, el de un nmero de refineras que est conectada a una red de distribucin por medio de oleoductos. Estos oleoductos conectan a las refineras con unidades de bombeo que impulsan el petrleo hasta terminales de distribucin, el objetivo es maximizar el flujo entre las refineras y las terminales de distribucin dentro de los lmites de la capacidad de las refineras y los oleoductos. Esto mismo se puede llevar a cabo con sistemas de agua, de trasporte areos etc. Para resolver este problema se presenta el siguiente algoritmo que se conoce como de etiquetas: 1) Se identifica una trayectoria dirigida del nodo origen al nodo destino en la red, esta trayectoria deber tener capacidad disponible. Si esta trayectoria no existe entonces ya sea ha encontrado el flujo optimo. 2) Identificar cual es nodo fuente y etiquetarlo ponindole un que tiene un flujo ilimitado y no tendr un nodo que lo precede ya que es el origen. Una etiqueta para los nodos va a tener dos elementos, [ f , n ], donde f representa el flujo que se puede asegurar que proviene del nodo n, as que para el nodo fuente la etiqueta ser [ , - ], para todos lo dems nodos se ira colocando [ f , n]. Se identifican los nodos de la trayectoria encontrada el paso 1. 3) Identificar cual es la mnima capacidad que se puede transportar por esa primer trayectoria encontrada. Se actualiza la capacidad de la red colocndole etiquetas a los arcos que forman la trayectoria encontrada, en los cuales se aumentara ese flujo mnimo que se identifico. Las etiquetas que se le colocan a los arcos deben contener dos elementos, ( fo , fm), donde fo es el flujo ocupado y fm el flujo mximo que puede pasar por ese arco. Por lgica cuando fo es igual a fm, ya el arco no tiene capacidad de transportar ms flujo. 4) Regresar al paso 1. Si en la red existen arcos que permiten el flujo en dos sentidos (no dirigidos) estos se pueden representar como dos arcos dirigidos con sentidos opuestos.

- 64 -


Ejemplo: El mismo parque de reserva natural se pretende cambiar los jeep por tranvas, solo que para cuidar ciertas reas solo se permitir cierto nmero de viajes diarios por algunos caminos. Ahora los nmeros de la red siguiente son los viajes mximos que se pueden permitir de cada estacin a cada estacin del parque, pero el hay dos arcos que son no dirigidos los arcos (2 3) y (5 6). Encuentre cual es el flujo mximo diario de trenes que puede salir de la entrada y llegar hasta el mirador.2

3 5 1 4 95 7

1

7

3

4

2 44

5

1

6

6

Primero como en lo nodos (2 3) y (5 6) son no dirigidos, se reemplazan por 2 arcos dirigidos en sentidos opuestos.SOLUCION:[5 1]2

3 5 7 1 1 [3 2] [ -]1 3

[9 5] 97

4

5

_4 2 4 5 1 1 64 6

Como podemos observar, podemos tener un trayectoria (1 2) (2 5) (5 7) que llega desde la fuente hasta el destino, como es la primera vez que pasamos, sus capacidades estn sin ocupar, entonces a los nodos los etiquetamos quedando de la siguiente manera. Leyendo estas etiquetas nos damos cuenta que el flujo mnimo es el que llega al nodo 5 proveniente del nodo 2, el cual tiene una capacidad mxima de 3, esta capacidad se le sumara a los arcos por donde pasa esta trayectoria y se le pondr su etiqueta a los arcos. Quedando:

- 65 -


2

(3,3) (3,5) 1 7 1 (3,9)7

[ -]

43 5

1

_4 2 4 5 1 1 64 6

Ya se encontr la primera, primera trayectoria y ya est etiquetada ahora hay que encontrar otra trayectoria que vaya del origen hasta el destino, podra ser por ejemplo: (3 5) (2 3) (3 5) (5 7), tomado esta trayectoria como base, colocamos las etiquetas en los nodos: Como se observa las etiquetas de los nodos solo contienen el flujo disponible aun en los arcos de la trayectoria, se busca el flujo mnimo y encontramos que es 1, ahora actualizando la red quedara: De nuevo se vuelve a buscar otra trayectoria en este caso puede ser (1 3) (3 5) (5 7) y volvemos a colocar las etiquetas de los nodos:

[2,1]2

(3,3) (3,5) 1 7 1 [1,2] [4,3] 45

[6,5] (3,9)7

[ -]

1

3

_4 2 4 5 1 1 64 6

2

(3,3) (4,5) 1 7 (1,1) (4,9)7

[ -]

1

3

(1,4)

5

_4 2 4 5 1 1 64 2 6

(3,3) (4,5) 1 7 (1,1) [7,1] [3,3] (1,4)5

[5,5] (4,9)7

[ -]

1

3

_4 2 4 5 1 1 64 2 6

Ahora se observa que el menor flujo es de 3, por lo tanto actualizando la red queda:

(3,3) (4,5) 1 (3,7) (1,1) (7,9)7

[ -]

1

3

(4,4)

5

_4 2 4 5 1 1 64 6

La siguiente ruta podra ser (1 3) (3 6) (6 5) (5 7) colocando de nuevo las etiquetas en los nodos, tenemos:

- 66 -


2

(3,3) (4,5) 1 (3,7) (1,1) [4,1] [1,6] (4,4)5

[2,5] (7,9)7

[ -]

1

3

_4 2 4 5 1 1 64 6

De nuevo se observa que el menor es 1, por lo tanto al hacer la actualizacin de la red queda:

[5,3]2

(3,3) (4,5) 1 (4,7) (1,1) (8,9)7

[ -]

1

3

(4,4)

5

_4 2 44 2

(1,5) 1 (1,1) 6

Buscando una nueva ruta podra ser (1 3) (3 6) (6 7) se etiqueta de nuevo los nodos y se tiene lo siguiente:

6

(3,3) (4,5) 1 (4,7) (1,1) [3,1] (8,9) (4,4)5

[6,6]7

[ -]

1

3

_4 2 44

Ahora el menor flujo que podra pasar es 3 por lo tanto la nueva red queda:

(1,5) 1 (1,1) 6

6

[4,3]2

(3,3) (4,5) 1 (7,7) (1,1) (8,9)7

[ -]

1

3

(4,4)

5

_4 2 44 2

(4,5) 1 (1,1) (3,6)

Buscando una nueva trayectoria podra ser (1 4) (4 6) (6 7) y etiquetando los nodos quedara:

6

(3,3) (4,5) 1 (7,7) (1,1) (8,9) (4,4) [3,6]7

[ -]

1

3

5

_4 2 44

Ahora se observa que el flujo mximo permitido es de 3 por lo tanto la red queda:

(4,5) 1 (1,1) (3,6)

6

[4,1]

[4,4]

- 67 -


2

(3,3) (4,5) 1 (7,7) (1,1) (8,9)7

[ -]

1

3

(4,4)

5

_(3,4)4

(4,5) 2 1 (1,1) (6,6)

(3,4)

6

Si tratamos de armar alguna otra trayectoria vemos que ya no es posible por lo tanto podemos decir que el flujo mximo que llega desde el nodo entrada hasta el nodo del mirador es de 14 viajes diarios.

Teorema del flujo mximo-corte mnimo Como podemos observar pudimos haber tomado cualquier trayectoria pero al final tenemos que comprobar si ya no hay mas trayectorias disponibles, una forma de hacer esta comprobacin es aplicando un corte mnimo en la red. Un corte mnimo en la red es definir a un conjunto de arcos de tal manera cuando tengan un flujo de cero, el flujo del nodo origen al nodo destino ser cero. La capacidad de un corte mnimo ser suma de las capacidades de los arcos. Por ejemplo en la red anterior:Conjunto de arcos que se cortan: (1 2 ) (1 3 ) ( 1 4 ) (57)(67) (25)(35)(36)(46) (25)(35)(65)(67) Capacidad de corte: 5+7+4 = 16 9+6 = 15 3 + 4 + 5 + 4 = 16 3 + 4 + 1 + 6 = 14

Son algunos de los cortes que podemos hacer, aqu nos damos cuenta que el flujo mnimo de corte es igual a 14, por lo tanto ese es el flujo mximo que pude pasar del nodo origen al nodo destino, por lo tanto la trayectorias encontradas en la resolucin del problemas son las optimas. 2.5 RUTA CRTICA (CPM-PERT) Los modelos de red se pueden utilizar como una ayuda en la programacin de proyectos complejos de gran tamao que consiste en muchas actividades. Un proyecto define a una combinacin de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes de que el trabajo completo pueda

- 68 -


terminarse. Las actividades estn interrelacionadas en una secuencia lgica, ya que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras hayan terminado. Una actividad en un proyecto, es un trabajo que requiere tiempo y recursos para su terminacin. Para una buena administracin de proyectos a gran escala, requiere de 3 fases bsicas: plantacin, programacin y control. Planeacin.- Se inicia descomponiendo el proyecto en actividades distintas, se tiene que estimar un tiempo para las actividades y se construye un diagrama de red donde los arcos representan una actividad. Este diagrama da la representacin grfica de las interdependencias entre las actividades del proyecto; esto permite estudiar los diferentes trabajos a detalle e incluso sugerir mejoras antes de ejecutar el proyecto, adems ser la base para el desarrollo de la programacin del mismo. Programacin.- Se construye un diagrama de tiempo que muestre los tiempos de inicio y termino de cada actividad as como la relacin con las otras actividades. Adems en el programa se debe sealar las actividades criticas (en funcin del tiempo) para terminar el proyecto a tiempo. Para las actividades no crticas, el programa debe de mostrar los tiempos de holgura que pueden utilizarse cuando se demora esas actividades o cuando usar eficientemente los recursos limitados. Control.- Es la fase final de la administracin. Utiliza el diagrama de red y el diagrama de tiempo para hacer reportes peridicos del proyecto. La red debe actualizarse, analizarse y en caso de ser necesario determinar un nuevo programa para la porcin restante del proyecto. Existen en la actualidad dos tcnicas comnmente empleadas para estos casos: CPM, PERT. CPM (Mtodo de la ruta crtica) que se aplica cuando: a) La duracin de cada actividad se conoce con certeza. Esto a veces, basndose en la experiencia.

- 69 -


b) Cuando el tiempo se puede ajustar con facilidad. c) Cuando es importante planear una combinacin apropiada entre el tiempo y el costo del proyecto. Ejemplos de estos tipos de proyectos son los de construccin y mantenimiento. PERT (Tcnica de evaluacin y revisin de proyectos) que se aplica cuando: a) Se utiliza para estimar la probabilidad de que el proyecto se complete en fechas especficas. Debido a que hay mucha incertidumbre. b) Y cuando es importante controlar de una manera efectiva la programacin del proyecto. Ejemplos de estos tipos de proyectos son los de investigacin y desarrollo. Para aplicar CPM y PERT, se necesita una lista de actividades que conformen el producto. Adems se considera que el proyecto esta completo, cuando se hayan terminado todas las actividades. Para construir una red de de actividades interrelacionadas, las actividades se representaran por los arcos de la red, y la punta de la flecha indicara el avance del proyecto. Los nodos se utilizan para representar a los eventos, un evento representa un punto en el tiempo y significa la terminacin de algunas actividades y el comienzo de otras. Las actividades un cierto evento no pueden comenzar hasta que hasta que las actividades que concluyen en el mismo evento hayan terminado. La longitud del arco no necesita ser

proporcional a la duracin de la actividad ni tiene que dibujarse en lnea recta. Reglas para la construccin de un diagrama de proyecto o red de proyecto 1) El nodo No. 1 representa el comienzo del proyecto. El arco llevar desde el nodo 1 para representar cada actividad que no tiene predecesores. 2) Se debe incluir en la red un nodo que represente la terminacin del proyecto, el nodo terminacin que tendr el nmero ms grande de todos los nodos.

- 70 -


3) Se deben numerar los nodos de la red de modo que el nodo que representa la terminacin de una actividad, tenga siempre, un nmero ms grande que el nodo que representa el comienzo de esta actividad. 4) Cada actividad est representada por un y slo un arco en la red. Es decir ninguna actividad puede representarse pede representarse dos veces en la red. Aunque si se puede descomponer una actividad en segmentos, y cada segmento estar representada por un arco. Por ejemplo en el tendido de una tubera. 5) Dos nodos (eventos) no pueden estar conectados por mas de un arco, esto puede surgir cuando dos simultneamente. 6) Para asegurar correcta relacin de procedencia correcta en el diagrama, antes de agregar una actividad a la red se pueden contestar las siguientes preguntas. a) Qu actividades deben terminarse inmediatamente antes de que esta actividad pueda comenzar? b) Qu actividades deben de seguir a esta actividad? c) Qu actividades deben efectuarse con esta actividad? Para no violar las reglas 4 y 5, se pueden utilizar una actividad ficticia, representado por un arco ficticio (punteado), que no consume tiempo ni recursos. Ejemplo de una red de proyecto. Red de proyecto para construir una casa. La siguiente es una lista de actividades que hay que realizar para la construccin de una casa. actividades se tiene que ejecutar

- 71 -


ACTIVIDAD A B C D E F G H I J K L M N

DESCRIPCION Excavacin Cimientos Obra negra Colado de techo Plomera exterior Instalacin elctrica Plomera interior Recubrimiento externo Recubrimiento interno Pintura exterior Colocacin de piso Pintura interior Acabado exterior Acabado interior

PREDECESORES INMEDIATOS -------------A B C C C E D F, G E, H I I J K, L

DURACION (DIAS) 2 4 10 6 4 7 5 7 8 9 4 5 2 6

A partir de esta lista elaboramos la red del proyecto, quedando de la siguiente manera:1

Inicio A

2

B

3

C

4

D E6

F

5

H G8

J710

I9

K

L M

11

12

N

13

Terminacin

- 72 -


La aplicacin del CPM-PERT es para crear un programa especificando la fecha de inicio y termino de cada actividad. Debido a las interacciones de las diferentes actividades, la determinacin de estos tiempos requiere de clculos y como resultado final se tendrn actividades criticas y actividades no criticas.

Actividad critica.- Es una actividad que si se demora en su comienzo causara una demora en la terminacin del proyecto completo, se dice que estas actividades tiene un tiempo libre (holgura) igual a cero.

Actividad no critica.- Es aquella en que el tiempo entre su comienzo mas prximo y de su terminacin ms tardo (como lo permita el proyecto) es mas grande que su duracin real, entonces se dice que se tiene holgura.

Determinacin De La Ruta Crtica Por Medio De CPM

La ruta crtica es una cadena de actividades crticas, las cuales conectan al evento inicial y final del diagrama del proyecto. Los paso para calcular esta ruta son: 1) Se calculan los tiempo ms prximos de cada evento (tiempo de inicio ms prximo TIPi) es el tiempo estimado en que ocurrir el evento si las actividades que lo preceden comienzan lo ms pronto posible. Esto se empieza a calcular desde el nodo inicio y se va moviendo hacia el nodo de terminacin. TIPi= MAX [ TIPi + Dij ]i

Dij = Duracin de la actividad ij

2) Se calcula el tiempo ms lejano para un evento, es el ltimo momento estimado en que pueda ocurrir sin retrasar la terminacin de un proyecto ms

- 73 -


all de su tiempo ms prximo. (Tiempo de terminacin ms tardo TTT) TTTi= MIN [ TTTj - Dij ]j

Para realizar estos clculos se comienza desde el nodo Terminal y mueve hacia el inicio. 3) Se calculan las holguras totales (HT) para cada una de las actividades, que es la diferencia entre el mximo tiempo disponible para realizar la actividad y su duracin. En otras palabras es el tiempo que se puede retrasar la actividad sin retrasar la terminacin del proyecto. HTIJ= TTTj - TIPi - Dij Todas las actividades que tengan una holgura total igual a cero son actividades crticas. 4) Se calculan las holguras libres para cada actividad (HL), que es el exceso de tiempo disponible sobre la duracin de la actividad. Es el tiempo que se puede retrasar una actividad, sin retrasar el comienzo de otra actividad posterior. HLij = TIPj TIPi - Dij Ejemplo 1.- Con el ejemplo de la construccin de la casa, calcularemos la ruta crtica para este proyecto. Primero colocamos los das en la red del proyecto de acuerdo a las actividades.

- 74 -


1

Inicio

22

43

10

4

6 46

7

5

7 58

9710

89

4

5 2

11

12

6

13

Terminacin

Primero calculamos los tiempos ms prximos para los eventos. Los clculos se pueden hacer directamente en la red o bien formando una tabla como la siguiente:

- 75 -


TIPi= MAX [ TIPi + Dij ]i

Evento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Evento inmediato anterior 1 2 3 4 4 4 5 5 6 7 8 9 9 11 10 12

Tiempo ms prximo 0 2 6 16 16 16 20 20 22 25 29 33 33 37 38 38

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

Tiempo de la actividad 2 4 10 4 6

antologia de io

Documents