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Apendice sobre ecuacionesdiferenciales lineales
Juan-Miguel Gracia
10 de febrero de 2008
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Solucion del problema de condicion inicial (P0).
Recurrencias lineales.
Sistemas de recurrencias lineales.
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Solucion del problema de condicion inicial (P0).
Recurrencias lineales.
Sistemas de recurrencias lineales.
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Solucion del problema de condicion inicial (P0).
Recurrencias lineales.
Sistemas de recurrencias lineales.
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Solucion del problema de condicion inicial (P0).
Recurrencias lineales.
Sistemas de recurrencias lineales.
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
Solucion del problema de condicion inicial (P0).
Recurrencias lineales.
Sistemas de recurrencias lineales.
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.
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Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
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Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
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Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
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Solucion del problema de condicion inicial (P0).
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Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
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Indice 2
Determinante wronskiano.
Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t).Derivada de un determinante de funciones.Formula de Abel-Liouville para el wronskiano.Wronskiano identicamente nulo de funciones linealmenteindependientes.Teorema de existencia y unicidad de soluciones.Wronskiano de soluciones.
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Solucion del problema de condicion inicial (P0).
Recurrencias lineales.
Sistemas de recurrencias lineales.
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Determinante wronskiano 3
La letra I denotara un intervalo cualquiera de la recta real R. Elintervalo I puede ser de cualquiera de los nueve tipos
(a, b), [a, b], (a, b], [a, b) con a < b,
(a,∞), [a,∞), (−∞, b), (−∞, b], (−∞,∞) = R.
Si f (t) es una funcion real definida en I y el intervalo I contuvieraa uno de sus extremos finitos a o b, las derivadas f (k)(a) o f (k)(b)deben entenderse como derivadas laterales: f (k)(a) := f (k)(a+)(derivada por la derecha), o f (k)(b) := f (k)(b−) (derivada por laizquierda).
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Determinante wronskiano 3
La letra I denotara un intervalo cualquiera de la recta real R. Elintervalo I puede ser de cualquiera de los nueve tipos
(a, b), [a, b], (a, b], [a, b) con a < b,
(a,∞), [a,∞), (−∞, b), (−∞, b], (−∞,∞) = R.
Si f (t) es una funcion real definida en I y el intervalo I contuvieraa uno de sus extremos finitos a o b, las derivadas f (k)(a) o f (k)(b)deben entenderse como derivadas laterales: f (k)(a) := f (k)(a+)(derivada por la derecha), o f (k)(b) := f (k)(b−) (derivada por laizquierda).
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Funciones linealmente independientes 4
Definicion 1
Sean f1(t), f2(t), . . . , fn(t) funciones reales definidas en unintervalo I . Diremos que estas funciones son linealmenteindependientes en I si la relacion: Para todo t ∈ I
α1f1(t) +α2f2(t) + · · ·+αnfn(t) = 0, α1, α2, . . . , αn ∈ R, (1)
solo es posible cuando α1 = 0, α2 = 0, . . . , αn = 0. En el caso deque se satisfaga (1) con algun αi 6= 0, se dira que las funciones sonlinealmente dependientes en I .
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Funciones linealmente independientes 4
Definicion 1
Sean f1(t), f2(t), . . . , fn(t) funciones reales definidas en unintervalo I . Diremos que estas funciones son linealmenteindependientes en I si la relacion: Para todo t ∈ I
α1f1(t) +α2f2(t) + · · ·+αnfn(t) = 0, α1, α2, . . . , αn ∈ R, (1)
solo es posible cuando α1 = 0, α2 = 0, . . . , αn = 0. En el caso deque se satisfaga (1) con algun αi 6= 0, se dira que las funciones sonlinealmente dependientes en I .
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Ejemplo 5
Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t − 2 son linealmenteindependientes en (−∞,∞) pues si existiesen unas constantesreales α1, α2 tales que ∀t ∈ (−∞,∞),
α1(t + 2) + α2(t − 2) = 0, (2)
se seguirıa
∀t, α1t + α2t + 2α1 − 2α2 = 0,
∀t, (α1 + α2)t + (2α1 − 2α2) = 0.
Por tanto, α1 + α2 = 0 y 2(α1 − α2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {
α1 + α2 = 0,
α1 − α2 = 0
2α1 = 0; ⇒ α1 = 0. De la ecuacion segunda, α2 = 0.⇒ lasfunciones t + 2 y t − 2 son linealmente independientes en(−∞,∞).
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Ejemplo 5
Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t − 2 son linealmenteindependientes en (−∞,∞) pues si existiesen unas constantesreales α1, α2 tales que ∀t ∈ (−∞,∞),
α1(t + 2) + α2(t − 2) = 0, (2)
se seguirıa
∀t, α1t + α2t + 2α1 − 2α2 = 0,
∀t, (α1 + α2)t + (2α1 − 2α2) = 0.
Por tanto, α1 + α2 = 0 y 2(α1 − α2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {
α1 + α2 = 0,
α1 − α2 = 0
2α1 = 0; ⇒ α1 = 0. De la ecuacion segunda, α2 = 0.⇒ lasfunciones t + 2 y t − 2 son linealmente independientes en(−∞,∞).
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Ejemplo 5
Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t − 2 son linealmenteindependientes en (−∞,∞) pues si existiesen unas constantesreales α1, α2 tales que ∀t ∈ (−∞,∞),
α1(t + 2) + α2(t − 2) = 0, (2)
se seguirıa
∀t, α1t + α2t + 2α1 − 2α2 = 0,
∀t, (α1 + α2)t + (2α1 − 2α2) = 0.
Por tanto, α1 + α2 = 0 y 2(α1 − α2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {
α1 + α2 = 0,
α1 − α2 = 0
2α1 = 0; ⇒ α1 = 0. De la ecuacion segunda, α2 = 0.⇒ lasfunciones t + 2 y t − 2 son linealmente independientes en(−∞,∞).
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Ejemplo 5
Las funciones f1(t) := t + 2, f2(t) := t − 2 son linealmenteindependientes en (−∞,∞) pues si existiesen unas constantesreales α1, α2 tales que ∀t ∈ (−∞,∞),
α1(t + 2) + α2(t − 2) = 0, (2)
se seguirıa
∀t, α1t + α2t + 2α1 − 2α2 = 0,
∀t, (α1 + α2)t + (2α1 − 2α2) = 0.
Por tanto, α1 + α2 = 0 y 2(α1 − α2) = 0. Sumando las ecuacionesdel sistema {
α1 + α2 = 0,
α1 − α2 = 0
2α1 = 0; ⇒ α1 = 0. De la ecuacion segunda, α2 = 0.⇒ lasfunciones t + 2 y t − 2 son linealmente independientes en(−∞,∞).
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Ejemplo 6
Estudiar la independencia lineal de las funciones t, e2t , te2t en(−∞,∞). Supongamos que existan constantes reales α1, α2, α3
tales que ∀t ∈ R,
α1t + α2e2t + α3te2t = 0. (3)
Dividiendo por e2t , queda
α1t
e2t+ α2 + α3t = 0 (4)
Como
lımt→∞
t
e2t= 0,
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Ejemplo 6
Estudiar la independencia lineal de las funciones t, e2t , te2t en(−∞,∞). Supongamos que existan constantes reales α1, α2, α3
tales que ∀t ∈ R,
α1t + α2e2t + α3te2t = 0. (3)
Dividiendo por e2t , queda
α1t
e2t+ α2 + α3t = 0 (4)
Como
lımt→∞
t
e2t= 0,
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Ejemplo 6
Estudiar la independencia lineal de las funciones t, e2t , te2t en(−∞,∞). Supongamos que existan constantes reales α1, α2, α3
tales que ∀t ∈ R,
α1t + α2e2t + α3te2t = 0. (3)
Dividiendo por e2t , queda
α1t
e2t+ α2 + α3t = 0 (4)
Como
lımt→∞
t
e2t= 0,
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Sigue el ejemplo 7
si fuera α3 6= 0, supongamos α3 > 0, se tendrıa por (4) que∞ = 0; imposible. Por ello, α3 = 0. De (4) deducimos,
∀t ∈ R, α1t
e2t+ α2 = 0. (5)
Tomando lımites en (5) cuando t →∞, se sigue que α2 = 0.De (3), ∀t ∈ R, α1t = 0; lo que implica α1 = 0. Por consiguientet, e2t , te2t son linealmente independientes en (−∞,∞).
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Sigue el ejemplo 7
si fuera α3 6= 0, supongamos α3 > 0, se tendrıa por (4) que∞ = 0; imposible. Por ello, α3 = 0. De (4) deducimos,
∀t ∈ R, α1t
e2t+ α2 = 0. (5)
Tomando lımites en (5) cuando t →∞, se sigue que α2 = 0.De (3), ∀t ∈ R, α1t = 0; lo que implica α1 = 0. Por consiguientet, e2t , te2t son linealmente independientes en (−∞,∞).
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Sigue el ejemplo 7
si fuera α3 6= 0, supongamos α3 > 0, se tendrıa por (4) que∞ = 0; imposible. Por ello, α3 = 0. De (4) deducimos,
∀t ∈ R, α1t
e2t+ α2 = 0. (5)
Tomando lımites en (5) cuando t →∞, se sigue que α2 = 0.De (3), ∀t ∈ R, α1t = 0; lo que implica α1 = 0. Por consiguientet, e2t , te2t son linealmente independientes en (−∞,∞).
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Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t) 8
Definicion 2
W (t) = W [f1(t), f2(t), . . . , fn(t)] :=∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1(t) f2(t) · · · fn(t)f ′1(t) f ′2(t) · · · f ′n(t)
......
. . ....
f(n−1)1 (t) f
(n−1)2 (t) · · · f
(n−1)n (t)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣W [f1(t), f2(t), f3(t)] :=
∣∣∣∣∣∣f1(t) f2(t) f3(t)f ′1(t) f ′2(t) f ′3(t)f ′′1 (t) f ′′2 (t) f ′′3 (t)
∣∣∣∣∣∣
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Wronskiano de f1(t), f2(t), . . . , fn(t) 8
Definicion 2
W (t) = W [f1(t), f2(t), . . . , fn(t)] :=∣∣∣∣∣∣∣∣∣f1(t) f2(t) · · · fn(t)f ′1(t) f ′2(t) · · · f ′n(t)
......
. . ....
f(n−1)1 (t) f
(n−1)2 (t) · · · f
(n−1)n (t)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣W [f1(t), f2(t), f3(t)] :=
∣∣∣∣∣∣f1(t) f2(t) f3(t)f ′1(t) f ′2(t) f ′3(t)f ′′1 (t) f ′′2 (t) f ′′3 (t)
∣∣∣∣∣∣
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Ejemplo 9
W [t, e2t , te2t ] =
∣∣∣∣∣∣t e2t te2t
1 2e2t e2t + 2te2t
0 4e2t 2e2t + 2e2t + 4te2t
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣t e2t te2t
1 2e2t e2t(1 + 2t)0 4e2t 4e2t(1 + t)
∣∣∣∣∣∣
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Ejemplo 9
W [t, e2t , te2t ] =
∣∣∣∣∣∣t e2t te2t
1 2e2t e2t + 2te2t
0 4e2t 2e2t + 2e2t + 4te2t
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣t e2t te2t
1 2e2t e2t(1 + 2t)0 4e2t 4e2t(1 + t)
∣∣∣∣∣∣
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Sigue el ejemplo 10
= e2t e2t
∣∣∣∣∣∣t 1 t1 2 1 + 2t0 4 4 + 4t
∣∣∣∣∣∣ = e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 2 10 4 4
∣∣∣∣∣∣= e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 1 10 0 4
∣∣∣∣∣∣ = 4 e4t
∣∣∣∣t 11 1
∣∣∣∣ = 4 e4t(t − 1).
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Sigue el ejemplo 10
= e2t e2t
∣∣∣∣∣∣t 1 t1 2 1 + 2t0 4 4 + 4t
∣∣∣∣∣∣ = e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 2 10 4 4
∣∣∣∣∣∣= e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 1 10 0 4
∣∣∣∣∣∣ = 4 e4t
∣∣∣∣t 11 1
∣∣∣∣ = 4 e4t(t − 1).
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Sigue el ejemplo 10
= e2t e2t
∣∣∣∣∣∣t 1 t1 2 1 + 2t0 4 4 + 4t
∣∣∣∣∣∣ = e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 2 10 4 4
∣∣∣∣∣∣= e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 1 10 0 4
∣∣∣∣∣∣ = 4 e4t
∣∣∣∣t 11 1
∣∣∣∣ = 4 e4t(t − 1).
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Sigue el ejemplo 10
= e2t e2t
∣∣∣∣∣∣t 1 t1 2 1 + 2t0 4 4 + 4t
∣∣∣∣∣∣ = e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 2 10 4 4
∣∣∣∣∣∣= e4t
∣∣∣∣∣∣t 1 01 1 10 0 4
∣∣∣∣∣∣ = 4 e4t
∣∣∣∣t 11 1
∣∣∣∣ = 4 e4t(t − 1).
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Sigue el ejemplo 11
W [t, e2t , te2t ] = 4 e4t(t − 1) 6= 0, ∀t 6= 1.
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Condicion suficiente de independencia lineal 12
Teorema 1
Sean f1(t), . . . , fn(t) funciones definidas y derivables hasta n − 1veces en un intervalo I . Si existe un t0 ∈ I t.q.
W [f1(t), . . . , fn(t)](t0) 6= 0,
entonces f1(t), . . . , fn(t) son linealmente independientes en I .
Demostracion. Si α1, . . . , αn ∈ R satisfacen
α1f1(t) + · · ·+ αnfn(t) = 0, ∀t ∈ I , (6)
derivando sucesivas veces,
α1f ′1(t) + · · ·+ αnf ′n(t) = 0, ∀t ∈ I ,
...
α1f(n−1)1 (t) + · · ·+ αnf
(n−1)n (t) = 0, ∀t ∈ I ,
⇓
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Condicion suficiente de independencia lineal 12
Teorema 1
Sean f1(t), . . . , fn(t) funciones definidas y derivables hasta n − 1veces en un intervalo I . Si existe un t0 ∈ I t.q.
W [f1(t), . . . , fn(t)](t0) 6= 0,
entonces f1(t), . . . , fn(t) son linealmente independientes en I .
Demostracion. Si α1, . . . , αn ∈ R satisfacen
α1f1(t) + · · ·+ αnfn(t) = 0, ∀t ∈ I , (6)
derivando sucesivas veces,
α1f ′1(t) + · · ·+ αnf ′n(t) = 0, ∀t ∈ I ,
...
α1f(n−1)1 (t) + · · ·+ αnf
(n−1)n (t) = 0, ∀t ∈ I ,
⇓
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Sigue la demostracion 13
α1f1(t0) + · · ·+ αnfn(t0) = 0,
α1f ′1(t0) + · · ·+ αnf ′n(t0) = 0,...
α1f(n−1)1 (t0) + · · ·+ αnf
(n−1)n (t0) = 0,
(7)
Como (7) es un sistema de Cramer en las incognitas α1, . . . , αn, sededuce que
α1 = · · · = αn = 0.
�
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Sigue la demostracion 13
α1f1(t0) + · · ·+ αnfn(t0) = 0,
α1f ′1(t0) + · · ·+ αnf ′n(t0) = 0,...
α1f(n−1)1 (t0) + · · ·+ αnf
(n−1)n (t0) = 0,
(7)
Como (7) es un sistema de Cramer en las incognitas α1, . . . , αn, sededuce que
α1 = · · · = αn = 0.
�
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Derivada de un determinante de funciones 14
Sea
D(t) :=
∣∣∣∣a(t) b(t)c(t) d(t)
∣∣∣∣ , para t ∈ I .
Entonces,
D ′(t) =
∣∣∣∣a′(t) b′(t)c(t) d(t)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣ a(t) b(t)c ′(t) d ′(t)
∣∣∣∣ .Lo cual es facil de probar.
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Formula de Abel-Liouville para el wronskiano 15
Teorema 2 (Abel-Liouville)
Sea la ecuacion diferencial
x ′′ + a1(t)x ′ + a2(t)x = 0 (8)
donde a1(t) y a2(t) son funciones reales continuas en un intervaloI . Sean x1(t), x2(t) dos soluciones de (8) y sea
W (t) = W [x1(t), x2(t)].
Entonces,∀t ∈ I , W (t) = Ce−
∫a1(t) dt .
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Demostracion 16
Como
W (t) =
∣∣∣∣x1(t) x2(t)x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣ ,derivando resulta
W ′(t) =
∣∣∣∣x ′1(t) x ′2(t)x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣+
∣∣∣∣x1(t) x2(t)x ′′1 (t) x ′′2 (t)
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣x1(t) x2(t)x ′′1 (t) x ′′2 (t)
∣∣∣∣
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Sigue la demostracion 17
= x1(t)x ′′2 (t)− x ′′1 (t)x2(t);
pero x ′′i (t) = −a1(t)x ′i (t)− a2(t)xi (t) = 0, i = 1, 2; por tanto,
W ′(t) = x1(t)[−a1(t)x ′2(t)− a2(t)x2(t)
]−[−a1(t)x ′1(t)− a2(t)x1(t)
]x2(t)
= −a1(t)x1(t)x ′2(t)− a2(t)x1(t)x2(t)
+a1(t)x ′1(t)x2(t) + a2(t)x1(t)x2(t)
= −a1(t)[x1(t)x2(t)− x ′1(t)x2(t)
]= −a1(t)
∣∣∣∣x1(t) x2(t)x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣ = −a1(t)W (t).
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Sigue la demostracion 17
= x1(t)x ′′2 (t)− x ′′1 (t)x2(t);
pero x ′′i (t) = −a1(t)x ′i (t)− a2(t)xi (t) = 0, i = 1, 2; por tanto,
W ′(t) = x1(t)[−a1(t)x ′2(t)− a2(t)x2(t)
]−[−a1(t)x ′1(t)− a2(t)x1(t)
]x2(t)
= −a1(t)x1(t)x ′2(t)− a2(t)x1(t)x2(t)
+a1(t)x ′1(t)x2(t) + a2(t)x1(t)x2(t)
= −a1(t)[x1(t)x2(t)− x ′1(t)x2(t)
]= −a1(t)
∣∣∣∣x1(t) x2(t)x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣ = −a1(t)W (t).
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Sigue la demostracion 17
= x1(t)x ′′2 (t)− x ′′1 (t)x2(t);
pero x ′′i (t) = −a1(t)x ′i (t)− a2(t)xi (t) = 0, i = 1, 2; por tanto,
W ′(t) = x1(t)[−a1(t)x ′2(t)− a2(t)x2(t)
]−[−a1(t)x ′1(t)− a2(t)x1(t)
]x2(t)
= −a1(t)x1(t)x ′2(t)− a2(t)x1(t)x2(t)
+a1(t)x ′1(t)x2(t) + a2(t)x1(t)x2(t)
= −a1(t)[x1(t)x2(t)− x ′1(t)x2(t)
]= −a1(t)
∣∣∣∣x1(t) x2(t)x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣ = −a1(t)W (t).
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Sigue la demostracion 18
⇒∀t ∈ I , W ′(t) = −a1(t)W (t); (9)
es decir, que W (t) satisface (9), que es una ecuacion diferenciallineal homogenea de primer orden;⇒ ∃C constante t. q.
W (t) = Ce−∫
a1(t) dt .
�
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Teorema fundamental del calculo infinitesimal 19
Veremos enseguida otra formulacion del Teorema de Abel-Liouville.Para ello necesitamos el teorema siguiente.
Teorema 3 (TFCI)
Sea f (x) una funcion continua en un intervalo I , sea x0 un puntofijo de I , y definamos la funcion
F (x) :=
∫ x
x0
f (t) dt, para cada x ∈ I .
Entonces F (x) es derivable en I y su derivada viene dada por
F ′(x) = f (x).
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Teorema fundamental del calculo infinitesimal 19
Veremos enseguida otra formulacion del Teorema de Abel-Liouville.Para ello necesitamos el teorema siguiente.
Teorema 3 (TFCI)
Sea f (x) una funcion continua en un intervalo I , sea x0 un puntofijo de I , y definamos la funcion
F (x) :=
∫ x
x0
f (t) dt, para cada x ∈ I .
Entonces F (x) es derivable en I y su derivada viene dada por
F ′(x) = f (x).
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Teorema fundamental del calculo infinitesimal 19
Veremos enseguida otra formulacion del Teorema de Abel-Liouville.Para ello necesitamos el teorema siguiente.
Teorema 3 (TFCI)
Sea f (x) una funcion continua en un intervalo I , sea x0 un puntofijo de I , y definamos la funcion
F (x) :=
∫ x
x0
f (t) dt, para cada x ∈ I .
Entonces F (x) es derivable en I y su derivada viene dada por
F ′(x) = f (x).
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Ejemplo 20
Sea
F (x) :=
∫ x
1e−t2
dt.
Entonces por ser e−x2continua en todo R y por el Teorema
fundamental del calculo infinitesimal, ∀x real existe la derivadaF ′(x) y
F ′(x) = e−x2.
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Ejemplo 20
Sea
F (x) :=
∫ x
1e−t2
dt.
Entonces por ser e−x2continua en todo R y por el Teorema
fundamental del calculo infinitesimal, ∀x real existe la derivadaF ′(x) y
F ′(x) = e−x2.
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Otra formula para la solucion de x ′ = a(t)x 21
Tambien necesitamos otra expresion para la solucion del problemade condicion inicial
(P)
{x ′ = a(t)x ,
x(t0) = x0,
donde a(t) es una funcion continua en I , t0 ∈ I , y x0 es un numeroreal cualquiera. La solucion de (P) viene dada por
x(t) = x0e∫ tt0
a(s) ds.
En efecto, por definicion∫ t0t0
a(s) ds := 0. Por tanto,
x(t0) = x0e∫ t0t0
a(s) ds= x0e0 = x0 · 1 = x0;
ası pues, x(t) satisface la condicion inicial. Ademas, por elTeorema fundamental del calculo infinitesimal, ∀t ∈ I ,
x ′(t) = x0a(t)e∫ tt0
a(s) ds= a(t)x(t).
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Otra formula para la solucion de x ′ = a(t)x 21
Tambien necesitamos otra expresion para la solucion del problemade condicion inicial
(P)
{x ′ = a(t)x ,
x(t0) = x0,
donde a(t) es una funcion continua en I , t0 ∈ I , y x0 es un numeroreal cualquiera. La solucion de (P) viene dada por
x(t) = x0e∫ tt0
a(s) ds.
En efecto, por definicion∫ t0t0
a(s) ds := 0. Por tanto,
x(t0) = x0e∫ t0t0
a(s) ds= x0e0 = x0 · 1 = x0;
ası pues, x(t) satisface la condicion inicial. Ademas, por elTeorema fundamental del calculo infinitesimal, ∀t ∈ I ,
x ′(t) = x0a(t)e∫ tt0
a(s) ds= a(t)x(t).
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Sigue: Otra formula para la solucion de x ′ = a(t)x 22
Resumiendo, sin usar x0, cualquier solucion de x ′ = a(t)x vienedada por
x(t) = x(t0)e∫ tt0
a(s) ds.
Como W (t) satisface W ′(t) = −a1(t)W (t), se sigue que paracada t0 ∈ I ,
W (t) = W (t0) e−∫ tt0
a1(s) ds, ∀t ∈ I . (10)
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Sigue: Otra formula para la solucion de x ′ = a(t)x 22
Resumiendo, sin usar x0, cualquier solucion de x ′ = a(t)x vienedada por
x(t) = x(t0)e∫ tt0
a(s) ds.
Como W (t) satisface W ′(t) = −a1(t)W (t), se sigue que paracada t0 ∈ I ,
W (t) = W (t0) e−∫ tt0
a1(s) ds, ∀t ∈ I . (10)
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Wronskiano nulo de funciones lin. indeps. 23
Veamos que para todo t real, W [t3, |t|3] = 0. En efecto, si t ≥ 0,se sigue que |t| = t; por tanto |t|3 = t3, y
W [t3, |t|3] =
∣∣∣∣ t3 t3
3t2 3t2
∣∣∣∣ = 0.
Si t < 0, entonces |t| = −t; de donde, |t|3 = (−t)3 = −(t3); porlo cual,
W [t3, |t|3] =
∣∣∣∣ t3 −t3
3t2 −3t2
∣∣∣∣ = 0
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Wronskiano nulo de funciones lin. indeps. 23
Veamos que para todo t real, W [t3, |t|3] = 0. En efecto, si t ≥ 0,se sigue que |t| = t; por tanto |t|3 = t3, y
W [t3, |t|3] =
∣∣∣∣ t3 t3
3t2 3t2
∣∣∣∣ = 0.
Si t < 0, entonces |t| = −t; de donde, |t|3 = (−t)3 = −(t3); porlo cual,
W [t3, |t|3] =
∣∣∣∣ t3 −t3
3t2 −3t2
∣∣∣∣ = 0
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Sigue ejemplo W [t3, |t|3] = 0 24
En consecuencia ∀t ∈ R, W (t) = 0. Pero, t3 y |t|3 son linealmenteindependientes en R, ya que si α1, α2 son constantes reales t.q.
∀t ∈ R, α1t3 + α2|t|3 = 0,
dando a t los valores particulares t = 1 y t = −1, deducimos
α1 + α2 = 0
−α1 + α2 = 0
Sumando estas ecuaciones, 2α2 = 0; ⇒ α2 = 0, ⇒ α1 = 0.
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Sigue ejemplo W [t3, |t|3] = 0 24
En consecuencia ∀t ∈ R, W (t) = 0. Pero, t3 y |t|3 son linealmenteindependientes en R, ya que si α1, α2 son constantes reales t.q.
∀t ∈ R, α1t3 + α2|t|3 = 0,
dando a t los valores particulares t = 1 y t = −1, deducimos
α1 + α2 = 0
−α1 + α2 = 0
Sumando estas ecuaciones, 2α2 = 0; ⇒ α2 = 0, ⇒ α1 = 0.
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Figura ilustrativa 25
−2 2
−8
00
8
t
x|t|3
t3
Figura: Graficas de t3 y |t|3 en −2 ≤ t ≤ 2.
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Caso mas general 26
Por el Teorema 1 podemos decir que la no anulacion delwronskiano en un punto t0 es condicion suficiente para laindependencia lineal de las funciones f1(t), . . . , fn(t), mas no escondicion necesaria. Esto es, puede haber funciones linealmenteindependientes cuyo wronskiano se anule en todos los puntos delintervalo. Sin embargo, esta cuestion cambia drasticamente sif1(t), . . . , fn(t) son soluciones de una misma ecuacion diferenciallineal homogenea de orden n
x (n) + a1(t)x (n−1) + · · ·+ an−1(t)x ′ + an(t)x = 0,
siendo a1(t), . . . , an(t) continuas en I . Antes de analizar el caso dedos funciones que son soluciones de una ecuacion diferencial linealhomogenea de segundo orden, conviene que enunciemos el teoremade existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.
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Caso mas general 26
Por el Teorema 1 podemos decir que la no anulacion delwronskiano en un punto t0 es condicion suficiente para laindependencia lineal de las funciones f1(t), . . . , fn(t), mas no escondicion necesaria. Esto es, puede haber funciones linealmenteindependientes cuyo wronskiano se anule en todos los puntos delintervalo. Sin embargo, esta cuestion cambia drasticamente sif1(t), . . . , fn(t) son soluciones de una misma ecuacion diferenciallineal homogenea de orden n
x (n) + a1(t)x (n−1) + · · ·+ an−1(t)x ′ + an(t)x = 0,
siendo a1(t), . . . , an(t) continuas en I . Antes de analizar el caso dedos funciones que son soluciones de una ecuacion diferencial linealhomogenea de segundo orden, conviene que enunciemos el teoremade existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.
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Caso mas general 26
Por el Teorema 1 podemos decir que la no anulacion delwronskiano en un punto t0 es condicion suficiente para laindependencia lineal de las funciones f1(t), . . . , fn(t), mas no escondicion necesaria. Esto es, puede haber funciones linealmenteindependientes cuyo wronskiano se anule en todos los puntos delintervalo. Sin embargo, esta cuestion cambia drasticamente sif1(t), . . . , fn(t) son soluciones de una misma ecuacion diferenciallineal homogenea de orden n
x (n) + a1(t)x (n−1) + · · ·+ an−1(t)x ′ + an(t)x = 0,
siendo a1(t), . . . , an(t) continuas en I . Antes de analizar el caso dedos funciones que son soluciones de una ecuacion diferencial linealhomogenea de segundo orden, conviene que enunciemos el teoremade existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.
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Caso mas general 26
Por el Teorema 1 podemos decir que la no anulacion delwronskiano en un punto t0 es condicion suficiente para laindependencia lineal de las funciones f1(t), . . . , fn(t), mas no escondicion necesaria. Esto es, puede haber funciones linealmenteindependientes cuyo wronskiano se anule en todos los puntos delintervalo. Sin embargo, esta cuestion cambia drasticamente sif1(t), . . . , fn(t) son soluciones de una misma ecuacion diferenciallineal homogenea de orden n
x (n) + a1(t)x (n−1) + · · ·+ an−1(t)x ′ + an(t)x = 0,
siendo a1(t), . . . , an(t) continuas en I . Antes de analizar el caso dedos funciones que son soluciones de una ecuacion diferencial linealhomogenea de segundo orden, conviene que enunciemos el teoremade existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones.
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Teorema de existencia y unicidad de soluciones 27
Teorema 4
Supongamos que a1(t) y a2(t) son funciones reales definidas ycontinuas en un mismo intervalo I . Sean t0 ∈ I y c0, c1 numerosreales dados. Entonces el problema de condiciones iniciales{
x ′′ + a1(t)x ′ + a2(t)x = 0,
x(t0) = c0, x′(t0) = c1
tiene una solucion (unica) que esta definida en todo el intervalo I .
La novedad de este teorema radica que en el caso general solo sepuede garantizar que la solucion de{
x ′′ = f (t, x , x ′),
x(t0) = c0, x′(t0) = c1
esta definida en un entorno [t0 − δ, t0 + δ] de t0; en el caso lineal lasolucion lo esta en I , que incluso puede ser no acotado.
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Teorema de existencia y unicidad de soluciones 27
Teorema 4
Supongamos que a1(t) y a2(t) son funciones reales definidas ycontinuas en un mismo intervalo I . Sean t0 ∈ I y c0, c1 numerosreales dados. Entonces el problema de condiciones iniciales{
x ′′ + a1(t)x ′ + a2(t)x = 0,
x(t0) = c0, x′(t0) = c1
tiene una solucion (unica) que esta definida en todo el intervalo I .
La novedad de este teorema radica que en el caso general solo sepuede garantizar que la solucion de{
x ′′ = f (t, x , x ′),
x(t0) = c0, x′(t0) = c1
esta definida en un entorno [t0 − δ, t0 + δ] de t0; en el caso lineal lasolucion lo esta en I , que incluso puede ser no acotado.
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Wronskiano de soluciones 28
Teorema 5
Sean x1(t), x2(t) soluciones de
x ′′ + a1(t)x ′ + a2(t)x = 0. (11)
Entonces x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en el intervalo Isi y solo si existe un t0 ∈ I , t.q. W (t0) = W [x1(t), x2(t)](t0) = 0.
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Demostracion 29
Si x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en I , vamos a ver quepara cualquier t0 ∈ I , W (t0) = 0. En efecto, existen constantesα1, α2, al menos una no nula, t.q. ∀t ∈ I , α1x1(t) + α2x2(t) = 0;derivando esta ecuacion, α1x ′1(t) + α2x ′2(t) = 0. Cualquiera quesea t ∈ I el sistema de ecuaciones lineales en las incognitas β1, β2{
β1x1(t) + β2x2(t) = 0,
β1x ′1(t) + β2x ′2(t) = 0,
admite una solucion (α1, α2) 6= (0, 0). Por lo tanto, este sistemano es de Cramer y su determinante debe ser nulo:∣∣∣∣x1(t) x2(t)
x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣ = 0.
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Demostracion 29
Si x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en I , vamos a ver quepara cualquier t0 ∈ I , W (t0) = 0. En efecto, existen constantesα1, α2, al menos una no nula, t.q. ∀t ∈ I , α1x1(t) + α2x2(t) = 0;derivando esta ecuacion, α1x ′1(t) + α2x ′2(t) = 0. Cualquiera quesea t ∈ I el sistema de ecuaciones lineales en las incognitas β1, β2{
β1x1(t) + β2x2(t) = 0,
β1x ′1(t) + β2x ′2(t) = 0,
admite una solucion (α1, α2) 6= (0, 0). Por lo tanto, este sistemano es de Cramer y su determinante debe ser nulo:∣∣∣∣x1(t) x2(t)
x ′1(t) x ′2(t)
∣∣∣∣ = 0.
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Demostracion de la parte recıproca 30
Recıprocamente, supongamos ahora que existe un t0 ∈ I t.q.W (t0) = 0. Sea (λ1, λ2) 6= (0, 0) una solucion del sistema deecuaciones lineales en las incognitas β1, β2{
β1x1(t0) + β2x2(t0) = 0,
β1x ′1(t0) + β2x ′2(t0) = 0.(12)
Definamos la funcion y(t) := λ1x1(t) + λ2x2(t), t ∈ I . Por sery(t) una combinacion lineal de dos soluciones de (11) se sigue quey(t) es solucion de (11). Ademas, por satisfacer (λ1, λ2) lasecuaciones (12) se deduce que y(t0) = 0, y ′(t0) = 0. Pero, por laparte de unicidad del Teorema 4, esto implica que ∀t ∈ I , y(t) = 0.Ası pues, ∀t ∈ I ,
λ1x1(t) + λ2x2(t) = 0
y x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en I .
�
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Demostracion de la parte recıproca 30
Recıprocamente, supongamos ahora que existe un t0 ∈ I t.q.W (t0) = 0. Sea (λ1, λ2) 6= (0, 0) una solucion del sistema deecuaciones lineales en las incognitas β1, β2{
β1x1(t0) + β2x2(t0) = 0,
β1x ′1(t0) + β2x ′2(t0) = 0.(12)
Definamos la funcion y(t) := λ1x1(t) + λ2x2(t), t ∈ I . Por sery(t) una combinacion lineal de dos soluciones de (11) se sigue quey(t) es solucion de (11). Ademas, por satisfacer (λ1, λ2) lasecuaciones (12) se deduce que y(t0) = 0, y ′(t0) = 0. Pero, por laparte de unicidad del Teorema 4, esto implica que ∀t ∈ I , y(t) = 0.Ası pues, ∀t ∈ I ,
λ1x1(t) + λ2x2(t) = 0
y x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en I .
�
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Demostracion de la parte recıproca 30
Recıprocamente, supongamos ahora que existe un t0 ∈ I t.q.W (t0) = 0. Sea (λ1, λ2) 6= (0, 0) una solucion del sistema deecuaciones lineales en las incognitas β1, β2{
β1x1(t0) + β2x2(t0) = 0,
β1x ′1(t0) + β2x ′2(t0) = 0.(12)
Definamos la funcion y(t) := λ1x1(t) + λ2x2(t), t ∈ I . Por sery(t) una combinacion lineal de dos soluciones de (11) se sigue quey(t) es solucion de (11). Ademas, por satisfacer (λ1, λ2) lasecuaciones (12) se deduce que y(t0) = 0, y ′(t0) = 0. Pero, por laparte de unicidad del Teorema 4, esto implica que ∀t ∈ I , y(t) = 0.Ası pues, ∀t ∈ I ,
λ1x1(t) + λ2x2(t) = 0
y x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en I .
�
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Demostracion de la parte recıproca 30
Recıprocamente, supongamos ahora que existe un t0 ∈ I t.q.W (t0) = 0. Sea (λ1, λ2) 6= (0, 0) una solucion del sistema deecuaciones lineales en las incognitas β1, β2{
β1x1(t0) + β2x2(t0) = 0,
β1x ′1(t0) + β2x ′2(t0) = 0.(12)
Definamos la funcion y(t) := λ1x1(t) + λ2x2(t), t ∈ I . Por sery(t) una combinacion lineal de dos soluciones de (11) se sigue quey(t) es solucion de (11). Ademas, por satisfacer (λ1, λ2) lasecuaciones (12) se deduce que y(t0) = 0, y ′(t0) = 0. Pero, por laparte de unicidad del Teorema 4, esto implica que ∀t ∈ I , y(t) = 0.Ası pues, ∀t ∈ I ,
λ1x1(t) + λ2x2(t) = 0
y x1(t), x2(t) son linealmente dependientes en I .
�
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Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 31
Si x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son n funciones reales de la variable realt, la funcion vectorial
x(t) :=
x1(t)x2(t)
...xn(t)
Por definicion, x(t) es derivable en t si
x1(t), x2(t), . . . , xn(t)
son derivables en t.
x′(t) :=
x ′1(t)x ′2(t)
...x ′n(t)
.
x′(t) es la derivada de x en t.
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Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 31
Si x1(t), x2(t), . . . , xn(t) son n funciones reales de la variable realt, la funcion vectorial
x(t) :=
x1(t)x2(t)
...xn(t)
Por definicion, x(t) es derivable en t si
x1(t), x2(t), . . . , xn(t)
son derivables en t.
x′(t) :=
x ′1(t)x ′2(t)
...x ′n(t)
.
x′(t) es la derivada de x en t.
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Ejemplo 32
Si x1(t) = t2, x2(t) = cos t, x3(t) = exp(t2) entonces
x(t) =
t2
cos texp(t2)
es derivable y
x′(t) =
2 t−sen t
2 t exp(t2)
.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 33
x ′1(t) = a11x1(t) + a12x2(t) + · · ·+ a1nxn(t),x ′2(t) = a21x1(t) + a22x2(t) + · · ·+ a2nxn(t),· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·x ′n(t) = an1x1(t) + an2x2(t) + · · ·+ annxn(t).
(13)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 34
Aquı, aij (i , j = 1, 2, . . . , n) son numeros reales dados yx1(t), x2(t), . . . , xn(t) son las funciones incognitas. DenotandoA := (aij), podemos escribir el sistema (13) ası
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 34
Aquı, aij (i , j = 1, 2, . . . , n) son numeros reales dados yx1(t), x2(t), . . . , xn(t) son las funciones incognitas. DenotandoA := (aij), podemos escribir el sistema (13) ası
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 35
x ′1(t)x ′2(t)
...x ′n(t)
=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
......
an1 an2 · · · ann
x1(t)x2(t)
...xn(t)
.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 36
El sistema se escribe de forma resumida ası:
x′(t) = Ax(t). (14)
Este es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primerorden homogeneo de coeficientes constantes. Si no hay dudas, (14)podemos omitir la t:
x′ = Ax. (15)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 36
El sistema se escribe de forma resumida ası:
x′(t) = Ax(t). (14)
Este es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primerorden homogeneo de coeficientes constantes. Si no hay dudas, (14)podemos omitir la t:
x′ = Ax. (15)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 37
Debe quedar claro que x depende de t, pero A no depende: A esconstante. Resolveremos el sistema (14) bajo ciertasrestricciones, muy generales. En primer lugar, (Euler) tratamosde ver si existen soluciones de la forma
x(t) = eλ0 tc
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 37
Debe quedar claro que x depende de t, pero A no depende: A esconstante. Resolveremos el sistema (14) bajo ciertasrestricciones, muy generales. En primer lugar, (Euler) tratamosde ver si existen soluciones de la forma
x(t) = eλ0 tc
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 38
donde λ0 es un numero y c un vector columna distinto de
0 =
00...0
n ceros.
Suponemos que el vector
c =
c1
c2...
cn
es constante.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 39
Por la definicion de derivada de una funcion vectorial se observaque
x′(t) = λ0 eλ0 tc (16)
Por otro lado,
Ax(t) = Aeλ0 tc = eλ0 tAc (17)
Como x′(t) = Ax(t), de (16) y (17) se sigue que
eλ0 tλ0 c = eλ0 tAc (18)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 39
Por la definicion de derivada de una funcion vectorial se observaque
x′(t) = λ0 eλ0 tc (16)
Por otro lado,
Ax(t) = Aeλ0 tc = eλ0 tAc (17)
Como x′(t) = Ax(t), de (16) y (17) se sigue que
eλ0 tλ0 c = eλ0 tAc (18)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 39
Por la definicion de derivada de una funcion vectorial se observaque
x′(t) = λ0 eλ0 tc (16)
Por otro lado,
Ax(t) = Aeλ0 tc = eλ0 tAc (17)
Como x′(t) = Ax(t), de (16) y (17) se sigue que
eλ0 tλ0 c = eλ0 tAc (18)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 40
Dividiendo ambos miembros de (18) por eλ0 t ,
λ0 c = Ac
o bien
Ac = λ0 c (19)
Ası pues, (19) es una condicion necesaria para que la funcion eλ0 tcsea una solucion de (13). Es facil ver que (19) es tambien unacondicion suficiente.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 40
Dividiendo ambos miembros de (18) por eλ0 t ,
λ0 c = Ac
o bien
Ac = λ0 c (19)
Ası pues, (19) es una condicion necesaria para que la funcion eλ0 tcsea una solucion de (13). Es facil ver que (19) es tambien unacondicion suficiente.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 40
Dividiendo ambos miembros de (18) por eλ0 t ,
λ0 c = Ac
o bien
Ac = λ0 c (19)
Ası pues, (19) es una condicion necesaria para que la funcion eλ0 tcsea una solucion de (13). Es facil ver que (19) es tambien unacondicion suficiente.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 40
Dividiendo ambos miembros de (18) por eλ0 t ,
λ0 c = Ac
o bien
Ac = λ0 c (19)
Ası pues, (19) es una condicion necesaria para que la funcion eλ0 tcsea una solucion de (13). Es facil ver que (19) es tambien unacondicion suficiente.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 41
Resumiendo:
Proposicion 1
La funcion vectorial eλ0 tc es una solucion del sistema diferenciallineal x′ = Ax si y solo si el numero λ0 y el vector columna csatisfacen la ecuacion algebraica
Ac = λ0 c.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 42
Nota.- La funcion nula x(t) ≡
00...0
es solucion de (13), pero
esta solucion no interesa. Por ello, al buscar una solucion de laforma eλ0 tc tratamos de encontrar un vector c 6= 0. Paraencontrar esta solucion debemos buscar un numero λ0 y un vectorcolumna c 6= 0 tales que Ac = λ0 c. Esta ecuacion es equivalente aAc = λ0 Ic, siendo
I =
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · 1
la matriz unidad (o identidad) de orden n.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 42
Nota.- La funcion nula x(t) ≡
00...0
es solucion de (13), pero
esta solucion no interesa. Por ello, al buscar una solucion de laforma eλ0 tc tratamos de encontrar un vector c 6= 0. Paraencontrar esta solucion debemos buscar un numero λ0 y un vectorcolumna c 6= 0 tales que Ac = λ0 c. Esta ecuacion es equivalente aAc = λ0 Ic, siendo
I =
1 0 · · · 00 1 · · · 0...
.... . .
...0 0 · · · 1
la matriz unidad (o identidad) de orden n.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 43
La ecuacionAc = λ0 Ic
es equivalente a(λ0 I− A) c = 0
Si c ha de ser distinto de cero, entonces necesariamente eldeterminante
|λ0 I− A|tiene que ser igual a 0. Una posible manera de hallar el λ0 quebuscamos es construir el polinomio en λ
|λ I− A| (20)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 43
La ecuacionAc = λ0 Ic
es equivalente a(λ0 I− A) c = 0
Si c ha de ser distinto de cero, entonces necesariamente eldeterminante
|λ0 I− A|tiene que ser igual a 0. Una posible manera de hallar el λ0 quebuscamos es construir el polinomio en λ
|λ I− A| (20)
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 44
y resolver la ecuacion en la incognita λ
|λ I− A| = 0. (21)
A continuacion si λ0 es una raız de esta ecuacion, se resuelve elsistema homogeneo indeterminado
(λ0 I− A)
c1
c2...
cn
=
00...0
(22)
en las incognitas c1, c2, . . . , cn.
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Sistema de ecuaciones lineales, en general 44
y resolver la ecuacion en la incognita λ
|λ I− A| = 0. (21)
A continuacion si λ0 es una raız de esta ecuacion, se resuelve elsistema homogeneo indeterminado
(λ0 I− A)
c1
c2...
cn
=
00...0
(22)
en las incognitas c1, c2, . . . , cn.
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45
Una solucion c =
c1
c2...
cn
de (22) con no todas las componentes
c1, c2, . . . , cn nulas, proporciona uno de los vectores buscados.
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Valores y vectores propios 46
Definiciones.- Dada una matriz cuadrada A de orden n se diceque el numero λ0 es un valor propio de A si existe un vectorcolumna n-dimensional c no nulo t.q.
Ac = λ0 c.
El vector c se llama vector propio de A asociado al valor propio λ0.
Otras terminologıas equivalentes
λ0 cvalor propio vector propioautovalor autovectorvalor caracterıstico vector caracterısticoraız latente vector latenteeigenvalor eigenvector
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Valores y vectores propios 46
Definiciones.- Dada una matriz cuadrada A de orden n se diceque el numero λ0 es un valor propio de A si existe un vectorcolumna n-dimensional c no nulo t.q.
Ac = λ0 c.
El vector c se llama vector propio de A asociado al valor propio λ0.
Otras terminologıas equivalentes
λ0 cvalor propio vector propioautovalor autovectorvalor caracterıstico vector caracterısticoraız latente vector latenteeigenvalor eigenvector
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Ejemplo 47
Sea la matriz
A =
1 −1 43 2 −12 1 −1
(23)
Vamos a hallar un valor propio y un vector propio asociado. Espreciso resolver la ecuacion en λ
|λ I− A| =
∣∣∣∣∣∣λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ+ 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0 (24)
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Ejemplo 47
Sea la matriz
A =
1 −1 43 2 −12 1 −1
(23)
Vamos a hallar un valor propio y un vector propio asociado. Espreciso resolver la ecuacion en λ
|λ I− A| =
∣∣∣∣∣∣λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ+ 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0 (24)
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Ejemplo 48
Por la regla de Ruffini encontramos que λ0 = 1 es una raızde (24):
13 − 2 · 12 − 5 · 1 + 6 = 1− 2− 5 + 6 = 0
Para encontrar un vector propio c =
c1
c2
c3
asociado a este
λ0 = 1, resolvemos el sistema homogeneo de ecuaciones lineales
(λ0 I− A) c =
0 1 −4−3 −1 1−2 −1 2
c1
c2
c3
=
000
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Ejemplo 48
Por la regla de Ruffini encontramos que λ0 = 1 es una raızde (24):
13 − 2 · 12 − 5 · 1 + 6 = 1− 2− 5 + 6 = 0
Para encontrar un vector propio c =
c1
c2
c3
asociado a este
λ0 = 1, resolvemos el sistema homogeneo de ecuaciones lineales
(λ0 I− A) c =
0 1 −4−3 −1 1−2 −1 2
c1
c2
c3
=
000
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Ejemplo 49
Escribimos este sistema en la formac2 − 4c3 = 0
−3c1 − c2 + c3 = 0−2c1 − c2 + 2c3 = 0
Como
∣∣∣∣ 0 1−3 −1
∣∣∣∣ 6= 0, tachamos la ultima ecuacion:
{c2 − 4c3 = 0
−3c1 − c2 + c3 = 0.
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Ejemplo 49
Escribimos este sistema en la formac2 − 4c3 = 0
−3c1 − c2 + c3 = 0−2c1 − c2 + 2c3 = 0
Como
∣∣∣∣ 0 1−3 −1
∣∣∣∣ 6= 0, tachamos la ultima ecuacion:
{c2 − 4c3 = 0
−3c1 − c2 + c3 = 0.
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Ejemplo 50
Este sistema es equivalente al anterior. Pasamos c3 al segundomiembro {
c2 = 4c3
−3c1 − c2 = −c3
Damos a c3 un valor arbitrario; por ejemplo, c3 = 1 :{c2 = 4
−3c1 − c2 = −1=⇒ c2 = 4 ;
−3c1 = c2 − 1 = 4− 1 = 3 =⇒ c1 = −1
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Ejemplo 50
Este sistema es equivalente al anterior. Pasamos c3 al segundomiembro {
c2 = 4c3
−3c1 − c2 = −c3
Damos a c3 un valor arbitrario; por ejemplo, c3 = 1 :{c2 = 4
−3c1 − c2 = −1=⇒ c2 = 4 ;
−3c1 = c2 − 1 = 4− 1 = 3 =⇒ c1 = −1
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Ejemplo 51
Ası pues, un vector propio asociado a λ0 = 1 es
c =
−141
Por lo tanto,
x(t) = et
−141
=
−et
4 et
et
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Ejemplo 51
Ası pues, un vector propio asociado a λ0 = 1 es
c =
−141
Por lo tanto,
x(t) = et
−141
=
−et
4 et
et
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Ejemplo 52
es una solucion del sistema diferencial lineal homogeneox ′1(t)x ′2(t)x ′3(t)
=
1 −1 43 2 −12 1 −1
x1(t)x2(t)x3(t)
.
Hemos terminado el ejemplo.
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Problema de condiciones iniciales 53
Sea ahora un x0 un vector columna dado de n componentes:
x0 =
x10
x20...
xn0
.
Consideremos el problema de hallar la solucion x(t) del sistemadiferencial lineal x′(t) = Ax(t) que satisface la condicion inicialx(0) = x0:
(P0)
{x′(t) = Ax(t)x(0) = x0
La solucion de problema (P0) no es necesariamente de la formaeλ0 tc.
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Problema de condiciones iniciales 53
Sea ahora un x0 un vector columna dado de n componentes:
x0 =
x10
x20...
xn0
.
Consideremos el problema de hallar la solucion x(t) del sistemadiferencial lineal x′(t) = Ax(t) que satisface la condicion inicialx(0) = x0:
(P0)
{x′(t) = Ax(t)x(0) = x0
La solucion de problema (P0) no es necesariamente de la formaeλ0 tc.
![Page 116: Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales - … · Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Soluci on del problema de condici on inicial (P 0). Recurrencias lineales](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082214/5b19e6737f8b9a19258d0792/html5/thumbnails/116.jpg)
Problema de condiciones iniciales 53
Sea ahora un x0 un vector columna dado de n componentes:
x0 =
x10
x20...
xn0
.
Consideremos el problema de hallar la solucion x(t) del sistemadiferencial lineal x′(t) = Ax(t) que satisface la condicion inicialx(0) = x0:
(P0)
{x′(t) = Ax(t)x(0) = x0
La solucion de problema (P0) no es necesariamente de la formaeλ0 tc.
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Hipotesis Suplementaria 54
Supondremos desde ahora que la matriz de orden n,A, tiene nvalores propios distintos. Dicho de otro modo, supondremos que laecuacion en λ
|λ I− A| = 0
tiene sus n raıces simples. Con esta hipotesis daremos un metodode resolucion. El problema (P0) tiene una solucion unica. Nodaremos la demostracion de esta afirmacion ultima aquı. Seanλ1, λ2, . . . , λn los valores propios de la matriz A. Estamossuponiendo que son n numeros distintos. Sean c1, c2, . . . , cn
vectores propios de A asociados a λ1, λ2, . . . , λn, respectivamente.
Teorema 6
Si los n valores propios de A son distintos, entonces los vectorespropios c1, c2, . . . , cn son linealmente independientes.
Sin demostracion.
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Hipotesis Suplementaria 54
Supondremos desde ahora que la matriz de orden n,A, tiene nvalores propios distintos. Dicho de otro modo, supondremos que laecuacion en λ
|λ I− A| = 0
tiene sus n raıces simples. Con esta hipotesis daremos un metodode resolucion. El problema (P0) tiene una solucion unica. Nodaremos la demostracion de esta afirmacion ultima aquı. Seanλ1, λ2, . . . , λn los valores propios de la matriz A. Estamossuponiendo que son n numeros distintos. Sean c1, c2, . . . , cn
vectores propios de A asociados a λ1, λ2, . . . , λn, respectivamente.
Teorema 6
Si los n valores propios de A son distintos, entonces los vectorespropios c1, c2, . . . , cn son linealmente independientes.
Sin demostracion.
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Hipotesis Suplementaria 54
Supondremos desde ahora que la matriz de orden n,A, tiene nvalores propios distintos. Dicho de otro modo, supondremos que laecuacion en λ
|λ I− A| = 0
tiene sus n raıces simples. Con esta hipotesis daremos un metodode resolucion. El problema (P0) tiene una solucion unica. Nodaremos la demostracion de esta afirmacion ultima aquı. Seanλ1, λ2, . . . , λn los valores propios de la matriz A. Estamossuponiendo que son n numeros distintos. Sean c1, c2, . . . , cn
vectores propios de A asociados a λ1, λ2, . . . , λn, respectivamente.
Teorema 6
Si los n valores propios de A son distintos, entonces los vectorespropios c1, c2, . . . , cn son linealmente independientes.
Sin demostracion.
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Hipotesis Suplementaria 54
Supondremos desde ahora que la matriz de orden n,A, tiene nvalores propios distintos. Dicho de otro modo, supondremos que laecuacion en λ
|λ I− A| = 0
tiene sus n raıces simples. Con esta hipotesis daremos un metodode resolucion. El problema (P0) tiene una solucion unica. Nodaremos la demostracion de esta afirmacion ultima aquı. Seanλ1, λ2, . . . , λn los valores propios de la matriz A. Estamossuponiendo que son n numeros distintos. Sean c1, c2, . . . , cn
vectores propios de A asociados a λ1, λ2, . . . , λn, respectivamente.
Teorema 6
Si los n valores propios de A son distintos, entonces los vectorespropios c1, c2, . . . , cn son linealmente independientes.
Sin demostracion.
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Hipotesis Suplementaria 54
Supondremos desde ahora que la matriz de orden n,A, tiene nvalores propios distintos. Dicho de otro modo, supondremos que laecuacion en λ
|λ I− A| = 0
tiene sus n raıces simples. Con esta hipotesis daremos un metodode resolucion. El problema (P0) tiene una solucion unica. Nodaremos la demostracion de esta afirmacion ultima aquı. Seanλ1, λ2, . . . , λn los valores propios de la matriz A. Estamossuponiendo que son n numeros distintos. Sean c1, c2, . . . , cn
vectores propios de A asociados a λ1, λ2, . . . , λn, respectivamente.
Teorema 6
Si los n valores propios de A son distintos, entonces los vectorespropios c1, c2, . . . , cn son linealmente independientes.
Sin demostracion.
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Solucion del problema (P0) 55
Expresemos x0 como combinacion lineal de los vectores propiosc1, c2, . . . , cn:
x0 = α1c1 + α2c2 + · · ·+ αncn.
Tal combinacion existe y es unica pues {c1, c2, . . . , cn} es una basedel espacio formado por todos los vectores columna n × 1. Lasolucion de (P0) viene dada por la formula
x(t) = α1eλ1tc1 + α2eλ2tc2 + · · ·+ αneλntcn.
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Solucion del problema (P0) 55
Expresemos x0 como combinacion lineal de los vectores propiosc1, c2, . . . , cn:
x0 = α1c1 + α2c2 + · · ·+ αncn.
Tal combinacion existe y es unica pues {c1, c2, . . . , cn} es una basedel espacio formado por todos los vectores columna n × 1. Lasolucion de (P0) viene dada por la formula
x(t) = α1eλ1tc1 + α2eλ2tc2 + · · ·+ αneλntcn.
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Solucion del problema (P0) 56
Demostracion: Derivemos,
x′(t) = α1eλ1tλ1c1 + α2eλ2tλ2c2 + · · ·+ αneλntλncn;
pero λici = Aci , para i = 1, 2, . . . , n. Por consiguiente,
x′(t) = α1eλ1tAc1 + α2eλ2tAc2 + · · ·+ αneλntAcn
= A(α1eλ1tc1 + α2eλ2tc2 + · · ·+ αneλntcn
)= Ax(t).
Ademas,
x(0) = α1eλ1·0c1 + α2eλ2·0c2 + · · ·+ αneλn·0cn =
α1c1 + α2c2 + · · ·+ αncn = x0.
�
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Solucion del problema (P0) 56
Demostracion: Derivemos,
x′(t) = α1eλ1tλ1c1 + α2eλ2tλ2c2 + · · ·+ αneλntλncn;
pero λici = Aci , para i = 1, 2, . . . , n. Por consiguiente,
x′(t) = α1eλ1tAc1 + α2eλ2tAc2 + · · ·+ αneλntAcn
= A(α1eλ1tc1 + α2eλ2tc2 + · · ·+ αneλntcn
)= Ax(t).
Ademas,
x(0) = α1eλ1·0c1 + α2eλ2·0c2 + · · ·+ αneλn·0cn =
α1c1 + α2c2 + · · ·+ αncn = x0.
�
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Solucion del problema (P0) 56
Demostracion: Derivemos,
x′(t) = α1eλ1tλ1c1 + α2eλ2tλ2c2 + · · ·+ αneλntλncn;
pero λici = Aci , para i = 1, 2, . . . , n. Por consiguiente,
x′(t) = α1eλ1tAc1 + α2eλ2tAc2 + · · ·+ αneλntAcn
= A(α1eλ1tc1 + α2eλ2tc2 + · · ·+ αneλntcn
)= Ax(t).
Ademas,
x(0) = α1eλ1·0c1 + α2eλ2·0c2 + · · ·+ αneλn·0cn =
α1c1 + α2c2 + · · ·+ αncn = x0.
�
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Solucion del problema (P0) 56
Demostracion: Derivemos,
x′(t) = α1eλ1tλ1c1 + α2eλ2tλ2c2 + · · ·+ αneλntλncn;
pero λici = Aci , para i = 1, 2, . . . , n. Por consiguiente,
x′(t) = α1eλ1tAc1 + α2eλ2tAc2 + · · ·+ αneλntAcn
= A(α1eλ1tc1 + α2eλ2tc2 + · · ·+ αneλntcn
)= Ax(t).
Ademas,
x(0) = α1eλ1·0c1 + α2eλ2·0c2 + · · ·+ αneλn·0cn =
α1c1 + α2c2 + · · ·+ αncn = x0.
�
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Ejemplo 57
Resolver el problema de condicion inicialx′(t) = Ax(t)
x(0) =
10−1
con
A :=
1 −1 43 2 −12 1 −1
.
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Solucion 58
La matriz A es la matriz de un ejemplo anterior. Allı calculamosuno de valores propios de A : λ1 = 1. Hallemos los dos que faltanλ2, λ3.Utilizando la regla de Ruffini:
|λ I− A| =
∣∣∣∣∣∣λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ+ 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0
1 -2 -5 63 3 3 -6
1 1 -2 0=⇒ λ2 = 3 es una raız.
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Solucion 58
La matriz A es la matriz de un ejemplo anterior. Allı calculamosuno de valores propios de A : λ1 = 1. Hallemos los dos que faltanλ2, λ3.Utilizando la regla de Ruffini:
|λ I− A| =
∣∣∣∣∣∣λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ+ 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0
1 -2 -5 63 3 3 -6
1 1 -2 0=⇒ λ2 = 3 es una raız.
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Solucion 58
La matriz A es la matriz de un ejemplo anterior. Allı calculamosuno de valores propios de A : λ1 = 1. Hallemos los dos que faltanλ2, λ3.Utilizando la regla de Ruffini:
|λ I− A| =
∣∣∣∣∣∣λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ+ 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0
1 -2 -5 63 3 3 -6
1 1 -2 0=⇒ λ2 = 3 es una raız.
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Solucion 58
La matriz A es la matriz de un ejemplo anterior. Allı calculamosuno de valores propios de A : λ1 = 1. Hallemos los dos que faltanλ2, λ3.Utilizando la regla de Ruffini:
|λ I− A| =
∣∣∣∣∣∣λ− 1 1 −4−3 λ− 2 1−2 −1 λ+ 1
∣∣∣∣∣∣ = λ3 − 2λ2 − 5λ+ 6 = 0
1 -2 -5 63 3 3 -6
1 1 -2 0=⇒ λ2 = 3 es una raız.
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Solucion 59
1 -2 -5 6-2 -2 8 -6
1 -4 3 0=⇒ λ3 = −2 es una raız.
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Solucion 59
1 -2 -5 6-2 -2 8 -6
1 -4 3 0=⇒ λ3 = −2 es una raız.
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Solucion 60
1 -2 -5 61 1 -1 -6
1 -1 -6 0=⇒ λ1 = 1 es una raız.
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Solucion 61
Como las tres raıces del polinomio caracterıstico de A, |λ I− A|,son simples (y A es de orden 3) estamos bajo las condiciones de laHipotesis Suplementaria. Por lo tanto, podemos aplicar el metodode resolucion dado a este sistema diferencial lineal.Calculamos un vector propio c1, c2, c3 asociado a cada uno de losvalores propios λ1, λ2, λ3, respectivamente:
c1 =
−141
, c2 =
121
, c3 =
−111
.
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Solucion 61
Como las tres raıces del polinomio caracterıstico de A, |λ I− A|,son simples (y A es de orden 3) estamos bajo las condiciones de laHipotesis Suplementaria. Por lo tanto, podemos aplicar el metodode resolucion dado a este sistema diferencial lineal.Calculamos un vector propio c1, c2, c3 asociado a cada uno de losvalores propios λ1, λ2, λ3, respectivamente:
c1 =
−141
, c2 =
121
, c3 =
−111
.
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Solucion 62
Ahora busquemos la expresion del vector inicial x0 comocombinacion lineal de c1, c2, c3:
x0 = α1c1 + α2c2 + α3c3,
10−1
= α1
−141
+ α2
121
+ α3
−111
;
esto nos conduce a resolver el sistema de ecuaciones lineales−α1 + α2 − α3 = 1,
4α1 + 2α2 + α3 = 0,
α1 + α2 + α3 = −1,
cuya solucion es (α1, α2, α3) = (1/3, 0,−4/3).
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Solucion 62
Ahora busquemos la expresion del vector inicial x0 comocombinacion lineal de c1, c2, c3:
x0 = α1c1 + α2c2 + α3c3,
10−1
= α1
−141
+ α2
121
+ α3
−111
;
esto nos conduce a resolver el sistema de ecuaciones lineales−α1 + α2 − α3 = 1,
4α1 + 2α2 + α3 = 0,
α1 + α2 + α3 = −1,
cuya solucion es (α1, α2, α3) = (1/3, 0,−4/3).
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Solucion 62
Ahora busquemos la expresion del vector inicial x0 comocombinacion lineal de c1, c2, c3:
x0 = α1c1 + α2c2 + α3c3,
10−1
= α1
−141
+ α2
121
+ α3
−111
;
esto nos conduce a resolver el sistema de ecuaciones lineales−α1 + α2 − α3 = 1,
4α1 + 2α2 + α3 = 0,
α1 + α2 + α3 = −1,
cuya solucion es (α1, α2, α3) = (1/3, 0,−4/3).
![Page 141: Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales - … · Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Soluci on del problema de condici on inicial (P 0). Recurrencias lineales](https://reader036.vdocuments.net/reader036/viewer/2022082214/5b19e6737f8b9a19258d0792/html5/thumbnails/141.jpg)
Solucion 63
En consecuencia, la solucion del problema de condiciones inicialeses
x(t) =
x1(t)x2(t)x3(t)
=1
3et
−141
− 4
3e−2t
−111
=
− et
3 + 4 e−2t
34 et
3 − 4 e−2t
3et
3 − 4 e−2t
3
=1
3
−et + 4 e−2t
4(et − e−2t)et − 4 e−2t
.
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Solucion 63
En consecuencia, la solucion del problema de condiciones inicialeses
x(t) =
x1(t)x2(t)x3(t)
=1
3et
−141
− 4
3e−2t
−111
=
− et
3 + 4 e−2t
34 et
3 − 4 e−2t
3et
3 − 4 e−2t
3
=1
3
−et + 4 e−2t
4(et − e−2t)et − 4 e−2t
.
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Solucion 63
En consecuencia, la solucion del problema de condiciones inicialeses
x(t) =
x1(t)x2(t)x3(t)
=1
3et
−141
− 4
3e−2t
−111
=
− et
3 + 4 e−2t
34 et
3 − 4 e−2t
3et
3 − 4 e−2t
3
=1
3
−et + 4 e−2t
4(et − e−2t)et − 4 e−2t
.
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Ejercicios 64
Ejercicio.- Resolver el problema de condiciones inicialesx′(t) =
(1 123 1
)x(t)
x(0) =
(01
).
Solucion.-
x(t) =
(x1(t)x2(t)
)=
(e7t − e−5t
(e7t + e−5t)/2
).
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Ejercicios 65
Ejercicio.- Hallar la solucion del problema de condiciones iniciales
(x ′1(t)x ′2(t)
)=
(1 −3−2 2
)(x1(t)x2(t)
)(
x1(0)x2(0)
)=
(05
).
Solucion.- (x1(t)x2(t)
)=
(−3e4t + 3e−t
3e4t + 2e−t
).
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Ejercicios 66
Ejercicio.- Hallar la solucion del problema de condiciones iniciales
x ′1(t) = x1(t) − 3x2(t) + 2x3(t)x ′2(t) = − x2(t)x ′3(t) = − x2(t) − 2x3(t)x1(0) = −2x2(0) = 0x3(0) = 3.