ecuaciones diferenciales no lineales
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Introducción de la Ecuaciones Diferenciales No Lineales Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli + 5 ejercicios Resueltos Ecuaciones Diferenciales de Riccatti + 5 Ejercicios ResueltosTRANSCRIPT
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Ecuaciones Diferenciales No Lineales
Lider Eduardo Pilligua Menéndez
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Introducción
Sabemos que son pocas las ecuaciones diferenciales no lineales que pueden ser convertidas en ecuaciones diferenciales lineales, entre las cuales destacan: la
Ecuación Diferencial Bernoulli de y la de Riccatti.
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Es una ecuación de la forma:
Donde y son funciones continuas de (o constantes) y, ; (en el caso contrario resulta una ecuación lineal).
Ecuación Diferencial de Bernoulli
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Paso Nº1: Dividir para
Esta ecuación, llamada de Bernoulli, se reduce a una ecuación lineal mediante la siguiente
transformación:
𝒅𝒚𝒅𝒙
+𝑷 (𝒙 ) 𝒚=𝑸(𝒙 )𝒚𝒏
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Paso Nº2: Cambiar de variable
Además derivando la nueva variable con respecto a
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Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta:
𝒛=𝒚𝟏−𝒏
𝒅𝒚𝒅𝒙
= 𝒚𝒏
(𝟏−𝒏)𝒅𝒛𝒅𝒙
Ecuación Lineal
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Es una ecuación no lineal de la forma:
Para resolver, se debe conocer una solución particular
Después de conocida dicha solución se realiza la siguiente sustitución:
Ecuaciones Diferenciales de Riccatti
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Para resolverla suponemos una solución particular conocida de tal forma que es una solución de la ecuación de Riccatti, con esto reducimos la ecuación de Bernoulli, veámoslo. Si y es una solución entonces.
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Ejercicios ResueltosLos Ejercicios del 1 al 5 son de
Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli y del 6 al 10 son de Ecuaciones Diferenciales de
Riccatti.
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Ejercicio Nº1
A la ecuación diferencial dada expresamos así:
; multiplicamos por
multiplicamos por
Sea
Reemplazamos; ecuación lineal en z Y la solución general es:
Multiplicamos para toda la ecuación
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Reemplazamos
Integramos Reemplazamos 𝒛=𝒚−𝟐
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Ejercicio Nº2
Multiplicamos para
Sustituimos
Multiplicamos para – 1
; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante
Derivamos
Factor Integrante
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Ejercicio Nº3
Resolver Multiplicamos para
Reemplazamos
Multiplicamos
; ED Lineal
Sea
Derivamos
; Factor Integrante
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Multiplicamos por
Reemplazamos
Integramos
ED Lineal
𝑣=𝟑𝟒𝒙 ²
𝑑𝑣𝑑𝑥
=32𝑥
𝒛=𝒚𝟑𝟐
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Ejercicio Nº4
Multiplicamos para
Sustituimos
Multiplicamos para – 1
; ED Lineal Multiplicamos por el Factor Integrante
Sea
Derivamos
Factor Integrante
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Reemplazamos
𝒛=𝒚−𝟏
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Ejercicio Nº5
Dividimos para y²
Reemplazando
Simplificamos y multiplicamos para – 1
Multiplicamos para
Factor Integrante
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Ejercicio Nº6
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Ejercicio Nº7
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Ejercicio Nº8
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Ejercicio Nº9
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Ejercicio Nº10
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Ejercicio Extra
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Ecuación Diferencial de Bernoulli
•Sea la ecuación:
•Lo primero que debemos hacer es revisar si la ecuación cumple con la forma ordinaria
Si la ecuación cumple con la forma básica, ahora debemos sacar los valores siguientes:
NOTA. Todo esto va relacionado con la forma ordinaria de la ecuación
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SoluciónEn este punto sacaremos el valor de w.
Por lo tanto:
Expresamos la ecuación en términos de la diferencial:
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Resolvemos los paréntesis y queda:
Ahora determinamos el factor integrante:
NOTA. Para sacar el factor integrante se considera el valor de p(x) en la expresión diferencial.
Factor integrante
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Ya que tenemos el factor integral aplicamos la siguiente formula:
Donde: u es el factor integrante. q(x) seria igual al valor que tiene f(x)
Evaluamos la ecuación:
Y nos queda:
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Al analizar la ecuación nos damos cuenta que necesitamos hacerla por partes entonces tomamos un valor para u y para dv pero solo de :
Aplicamos la formula de “integrales por partes”
Realizamos las integrales que aun quedan y el resultado es:
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Multiplicamos para quitar los corchetes y paréntesis:
Ya tenemos nuestra ecuación resuelta ahora solo nos queda sustituir w por el valor que teníamos al principio el de w=y-³
La respuesta simplificada es:
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Conclusión
Podemos resumir que para realizar una E.D.B es necesario:Acomodar la ecuación en la forma básica.Sacar los valores de la ecuación.Poner la ecuación en términos de la diferencial.Sacar el factor integrante.Evaluar la ecuación con la formula y resolver los paréntesis.
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Libros:1. Calculo Diferencial e Integral - Tomo II – Piskunov – 3ra Edición –
Mir Moscú – 19772. Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias - Kiseliov -
Krasnov - Makarenko - 4ta Edición – Mir Moscú – 19843. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones - Eduardo Espinoza
Ramos - 5ta Edición - Lima – Perú – 19964. Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover - 5ta Edición -
Pearson Educación - México – 20115. Cálculo Diferencial E Integral - William Anthony Granville - México
- LIMUSA - 2009
Bibliografía
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