aplicación de la integral para hallar longitud de arco, área bajo la curva y valor medio

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES

PARA HALLAR LA LONGITUD DE

ARCO, TENSIÓN MÁXIMA, EL ÁREA

BAJO LA CURVA Y EL VALOR

MEDIO DEL GASTO ANUAL EN LAS

TORRES ELÉCTRICAS DE ALTA

TENSIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA

Departamento de ciencias

CALCULO II

Autores:

Bobadilla Atao, Leo Eduardo1.

Docente:

Alegre Huertas, Jesús

Lima - 2015

INGENIERÍA AMBIENTAL | Universidad Privada del Norte

APLICACIÓN DE LAS INTEGRALES PARA HALLAR LA LONGITUD DE ARCO, TENSIÓN MÁXIMA, EL ÁREA BAJO LA CURVA Y EL VALOR MEDIO DEL GASTO ANUAL EN LAS TORRES ELÉCTRICAS DE ALTA

TENSIÓN

Índice

pág. 2

DEDICATORIA:

En primer lugar, a nuestros padres por habernos brindado su apoyo en todo momento; por los valores que nos han enseñado que nos han permitido ser personas de bien, por sus consejos, motivación que nos han dado, sobre todo por su amor hacia nosotros. Agradecemos a nuestros maestros por su gran apoyo ofrecido a lo largo de este trabajo y por habernos transmitido sus conocimientos.


Capítulo I: Introducción.........................................................................................................5

1. Realidad problemática..................................................................................................5

2. Formulación del problema............................................................................................5

3. Justificación....................................................................................................................5

4. Objetivos.........................................................................................................................6

4.1. Objetivo general:....................................................................................................6

4.2. Objetivo específico:...............................................................................................6

Capítulo II: Marco teórico......................................................................................................6

5. Antecedentes.................................................................................................................6

6. Bases teóricas................................................................................................................7

6.1. Torre eléctrica:.......................................................................................................7

6.2. Calculo Integral:.....................................................................................................7

6.3. Distrito de Oyón:....................................................................................................7

7. Marco conceptual..........................................................................................................8

7.1. Catenaria:...............................................................................................................8

7.2. Longitud de arco:...................................................................................................8

7.3. Tensión máxima:....................................................................................................9

7.4. Área bajo la curva:.................................................................................................9

7.5. Valor promedio de una función:.........................................................................10

7.6. Torre eléctrica de alta tensión:...........................................................................10

Capítulo III: Métodos y desarrollo del modelo...............................................................11

8. Tipo de investigación...................................................................................................11

9. Actividades en la investigación..................................................................................11

10. Gráfico de problema:...............................................................................................11

10.1. 1° Caso:.............................................................................................................11

10.2. 2° caso:.............................................................................................................12

10.3. 3° Caso:.............................................................................................................12

10.4. 4° Caso:.............................................................................................................13

11. Procesamiento de datos.........................................................................................13

1) Caso 1: Torre de alta tensión, segunda categoría..............................................13

2) Caso 2: Torre de alta tensión, primera categoría................................................14

3) Caso 3: Área de demanda de energía anual.......................................................16

4) Caso 4: Consumo promedio de electricidad........................................................16

Capítulo IV: Discusión de resultados...............................................................................17

pág. 3


Capítulo V: Conclusiones....................................................................................................17

Bibliografía................................................................................................................................18

Web grafía................................................................................................................................18

ANEXO.....................................................................................................................................19

Distancia entre las torres y humanos u objetos.............................................................19

Nivel de contaminación de las torres.............................................................................20

Grado de tensión eléctrica.............................................................................................20

Capítulo I: Introducción

pág. 4


1. Realidad problemática

Hoy en día, el Perú está sufriendo un gran cambio, económico y social, en toda su extensión. Las pequeñas y grandes empresas están surgiendo cada vez más en todas zonas, trayendo consigo desarrollo y bienestar en la población; así también, la sobrepoblación que hay en Lima, por la inminente migración de pobladores de la sierra y selva, han provocado una saturación del lugar, causando que muchas familias invadan diversas zonas, como: cerros, pampas, lomas, entre otros lugares, fundando así nuevas ampliaciones y asentamientos humanos en todos los distritos.

Todo esto contribuye a generar un caos en la organización de la ciudad, pero más que ello, trae a su vez la necesaria acción de las autoridades que deben crear planes de desarrollo en sus respectivos distritos para poder brindarles los servicios básicos a estos ciudadanos para que puedan tener una buena calidad de vida y puedan crecer junto con la ciudad. Es por este motivo, que las autoridades correspondientes tienden a dar en concesión los proyectos de distribución de redes de agua potable y alcantarillado, además, de carreteras y electricidad.

En este caso, estudiaremos uno de los proyectos ganados por la empresa Abengoa Perú SAC en la provincia de Oyón. Esta empresa se dedica a la práctica totalidad de los servicios de administración, operación y transporte de energía eléctrica, que brinda servicios de transmisión de energía eléctrica en alta y muy alta tensión desde los centros de generación hasta los centros de distribución.

2. Formulación del problema

Las compañías concesionarias deben seguir ciertas normas para proyectar y elaborar sus obras, para esto se rigen de normativas o estándares nacionales e internacionales.

Las distancias mínimas que deben guardarse entre líneas eléctricas y elementos físicos existentes a lo largo de su trazado (carreteras, edificios, árboles, etc.), con objeto de evitar contactos accidentales, se contemplan en el Reglamento Electrotécnico para Baja Tensión (Decreto del Ministerio de energía y minas 2413/1973, BOE 9.10.73) y en el "Reglamento Técnico de Líneas Eléctricas Aéreas de Alta Tensión" (Decreto del Ministerio de energía y minas 3151/1968, BOE 27.12.68).

Durante el trabajo de gabinete, previa a la ejecución de la obra, salieron a relucir ciertos problemas e interrogantes, como: ¿Cuál era el costo total del cableado eléctrico?, ¿Cuánta es la tensión que soportará el cable? y ¿Cuánto es el gato promedio de Kv de la población a la que se le distribuirá la electricidad?; es en esta parte en donde entraremos a trabajar, buscaremos dar solución a estas incógnitas para que el proyecto pueda seguir y darse en ejecución para así beneficiar a todas las familias de la provincia.

3. Justificación

Hay casos en donde se deben realizar una serie de calculos físicos y matemáticos para obtener el valor de ciertas variables para la ejecución de una obra. El presente trabajo tiene la finalidad de darle solución a los problemas que se puedan dar durante la planeación, así como en la ejecución, de diferentes obras de construcción; para ello, utilizaremos los conocimientos adquiridos a lo largo de todo este ciclo en el curso de Calculo II, en donde aplicaremos el método de las integrales para hallar la longitud de arco, la tensión máxima que el cable soportara, el área bajo la curva y el punto medio del gato anual de las torres eléctricas de alta tensión. Con la finalidad de despejar las dudas sobre el costo que tendrá la empresa por la compra de cable eléctrico, si se sabe que

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cada m cuesta s/.16.00 soles y cuánta corriente eléctrica deberán suministrar para cubrir con la demanda de la población.

4. Objetivos

4.1. Objetivo general:

Aplicar las integrales para hallar la longitud de arco, tensión máxima, el área bajo la curva y el valor medio del gasto anual en las torres eléctricas de alta tensión

4.2. Objetivo específico:

Hallar la función que describa el gasto mensual en Kv de la población de

Oyón.

Modelar una gráfica que muestre el gasto anual del pueblo.

Encontrar el gasto mensual promedio de poblado de Oyón.

Calcular el costo por la cantidad de cable eléctrico que se usara en la

torres.

Conocer los flujos eléctricos de las torres de alta tensión.

Verificar si las torres de alta tensión generan un impacto negativo.

Diseñar un modelo propicio para la construcción de las torres.

Capítulo II: Marco teórico

5. Antecedentes

Reglamento sobre condiciones eléctricas técnicas y garantías de seguridad en líneas eléctricas de alta tensión. Joan Clos Matheu. Ministerio de trabajo y asuntos sociales & Ministerio de Industria, turismo y comercio, España, 2000. El presente documento nos expresa las reglas que tienen por objetivo establecer las condiciones técnicas y garantías de seguridad a la que han de someterse las líneas eléctricas de alta tensión. Para esto, ambos ministerio desarrollaron un estudio completo sobre la normativa nacional e internacional sobre la disposición de estas en diferentes locaciones a diversas condiciones, con la finalidad de establecer una guía que sirva de referencia para la proyección de las torres en toda la ciudad y país. Usaron diversas metodologías matemáticas y físicas, para desarrollar los cálculos correspondientes y así poder establecer los estándares.

Proyecto tipo de líneas de alta tensión en aéreas de 36Kv. E-on Distribución S.L., noviembre del 2013. Edición 1. Este documento tubo la finalidad de describir, establecer y justificar todos los datos constructivos que llevarán a la ejecución de cualquier obra que corresponda o esté relacionada al tema de la instalación de torres de alta y baja tensión. Se llevó a cabo el estudio de las situaciones, así como las identificaciones, cálculos, configuración metodológica, para cada tipo de torres eléctricas, las cuales comprenden las de primera, segunda y tercera

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categoría respectivamente. Además, dicho documento nos establece unos parámetros que se deben seguir para que estas torres de alta y baja tensión no afecten a los pobladores, como también ha edificaciones, y pueden desarrollar su trabajo sin complicaciones técnicas y operativas.

6. Bases teóricas

6.1. Torre eléctrica:

Una torre eléctrica o apoyo eléctrico (a veces denominada torreta) es una estructura de gran altura, normalmente construida en celosía de acero, cuya función principal es servir de soporte de los conductores eléctricos aéreos de las líneas de transmisión de energía eléctrica. Se utilizan tanto en la distribución eléctrica de alta y baja tensión como en sistemas de corriente continua tales como la tracción ferroviaria.

Pueden tener gran variedad de formas y tamaños en función del uso y del voltaje de la energía transportada. Los rangos normales de altura oscilan desde los 15 m hasta los 55 m, aunque a veces se pueden llegar a sobrepasar los 300 m.1 Además del acero pueden usarse otros materiales como son el hormigón y la madera.

6.2. Calculo Integral:

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

6.2.1. Teoría del cálculo integral:

Dada una función de una variable real y un intervalo de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano limitada entre la gráfica de , el eje , y las líneas verticales y , donde son negativas las áreas por debajo del eje .

6.3. Distrito de Oyón:

El Distrito de Oyón es uno de los seis distritos de la Provincia de Oyón, ubicada en el Departamento de Lima, bajo la administración del Gobierno Regional de Lima-Provincias, Perú. Capital de la Provincia del mismo nombre. Tiene una superficie de 887,61 km² y está ubicado sobre los 2 400 msnm. Su capital es la localidad de Oyón.

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La provincia de Oyón se encuentra al Nor-Este del departamento de Lima, ocupando las partes altas de la cuenca del río Huaura, en la parte de la vertiente de la Cordillera Occidental de los Andes Peruanos. Por el Este con la Provincia de Daniel Alcides Carrión, Región Pasco y la Provincia de Lauricocha, Región Huánuco. Corriendo a lo largo de la Divisoria Continental representada por una cordillera angosta y abrupta que alcanza a una altitud de 5000 y 5300 m.s.n.m.

7. Marco conceptual

7.1. Catenaria:

Es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme.

La condición de equilibrio de un cable sometido a su propio peso vertical lleva a un problema de equilibrio en el plano (la catenaria es siempre una curva plana si se puede despreciar la rigidez flexional del cable). De la condición de equilibrio local de cada punto se desprende la siguiente ecuación diferencial para la pendiente de la catenaria, que relaciona las tensiones en los extremos de un tramo y el peso del mismo.

7.2. Longitud de arco:

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En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Al considerar una curva definida por una función y su

respectiva derivada que son continúas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

7.3. Tensión máxima:

Se denomina tensión de rotura, a la máxima tensión que un material puede soportar al ser fraccionado antes de que se produzca necking, que es cuando la sección transversal del espécimen se comienza a contraer de manera significativa.

La tensión de rotura se obtiene por lo general realizando un ensayo de tracción y registrando la tensión en función de la deformación (o alargamiento); el punto más elevado de la curva tensión-deformación es la tensión de rotura. Es una propiedad intensiva; por lo tanto su valor no depende del tamaño del espécimen de ensayo. Sin embargo, depende de otros factores, tales como la preparación del espécimen, la presencia o no de defectos superficiales, y la temperatura del medioambiente y del material.

7.3.1. Tensión mecánica:

Es la fuerza interna aplicada, que actúa por unidad de superficie o área sobre la que se aplica. También se llama tensión, al efecto de aplicar una fuerza sobre una forma alargada aumentando su elongación.

7.3.2. Tensión eléctrica:

Tensión eléctrica o voltaje, en electricidad, es el salto de potencial eléctrico o la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos de un circuito.

7.4. Área bajo la curva:

El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

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Si hacemos más pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es más grande y mejor la aproximación al valor del área.

7.5. Valor promedio de una función:

En esencia el teorema dice que dada cualquier función f continua en el intervalo [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b) entonces existe al menos algún punto c en el intervalo (a, b) tal que la tangente a la curva en c es paralela a la recta secante que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Es decir:

Este teorema lo formuló Lagrange.

7.6. Torre eléctrica de alta tensión:

Se considera instalación de alta tensión eléctrica aquella que genere, transporte, transforme, distribuya o utilice energía eléctrica con tensiones superiores a los siguientes límites:

Corriente alterna: Superior a 1000 voltios. Corriente continua: Superior a 1500 voltios.

Las líneas de alta tensión son las de mayor tensión en un sistema eléctrico, las de mayor longitud y las que manipulan los mayores bloques de potencia. Enlazan entre sí las diferentes regiones del país. Su función es intercambiar energía entre las regiones que unen, por lo que la transferencia de potencia puede ser en ambos sentidos.

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Capítulo III: Métodos y desarrollo del modelo

8. Tipo de investigación

Investigación explorativa

9. Actividades en la investigación

1) En primer lugar, se procedió a recolectar toda la información posible sobre el tema que desarrollaremos. Para esto, las distancias y medidas de las posiciones de las torres de alta tensión las tomamos como referencia de NTO 73: Distancias a líneas de BT y AT (Centro de investigación y asistencia técnica, Ministerio de trabajo y asuntos sociales, Barcelona, España) y la mejor localización de las mismas se obtuvo del Reglamento de Líneas Aéreas Eléctricas de Alta Tensión (CEI).

2) Seguidamente se procedió a realizar las gráficas de cada punto que se trabajará, en donde se colocaran todos los elementos implicados en el caso.

3) Se procederá a hallar las interrogantes por medio de las integrales y otros conocimientos matemáticos.

4) Finalmente se interpretaran los resultados que se obtendrán y se dará respuesta a las preguntas hechas.

10. Gráfico de problema:

10.1. 1° Caso:

pág. 11

150 m

75 m

30 m

7 m


10.2. 2° caso:

10.3. 3° Caso:

Tabla de demanda mensual (Kv):

MES Kv1 352 403 394 425 436 447 488 459 45

10 4311 4612 51

Gráfico por Excel:

pág. 12

Y

X

60 m

300 m

µ = 13 Kg/m

150 m


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

f(x) = − 0.00155444 x⁶ + 0.07423246 x⁵ − 1.39145977 x⁴ + 12.9801227 x³ − 62.9794175 x² + 150.671115 x − 99.1328671R² = 0.994138018055333

DEMANDA MENSUAL

MES

Kv

10.4. 4° Caso:

Gráfico en Excel:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

10

20

30

40

50

60

3540 39

42 43 4448

45 45 4346

51

DEMANDA MENSUAL

Kv

11. Procesamiento de datos

1) Caso 1: Torre de alta tensión, segunda categoría.

Z=a2(℮

xa+℮

xa)

pág. 13


Dónde: Z = Ordenada

a = Parámetro

x = Abscisa

Ecuación de la catenaria:

Coshx=℮x+℮−x

2

Con los datos obtenidos, obtenemos la siguiente función:

y=30 cosh x30

Reemplazando obtenemos:

y=30 (℮x

30 +℮− x30

2 )y=15 (℮

x30 +℮

−x30 )

Hallaremos la longitud del Cable:

S=∫a

b

√1+[F ( x ) ´ ]2dxRemplazando los datos:

S=∫−75

75 √1+⌈ 15(℮x30+℮

−x30 )´ ⌉

2

dx

S=∫−75

75 √1+⌈ 15(℮x

30 . 130+℮

−x30 .− 1

30 )⌉2

dx

S=2∫0

75 √1+⌈ 18

(℮x30−℮

−x30 )⌉

2

dx

S=176,61m

2) Caso 2: Torre de alta tensión, primera categoría.

d2 yd x2 =

μT o. dsdx

d2 yd x2 =

μT o.√1+( dsdx )

2

ds=dy

pág. 14


d2 yd x2 =

μT o.√1+( dydx )

2

q=dydx

dq√1+q2

= μT odx

∫ dq√1+q2

=∫ μTodx

ln (q+√1+q2 )= μTox+C

dydx

=℮μxTo−℮

−μxTo Senh μx

T o=℮

μxTo−℮

−μxT o

∫ dydx=∫ SenhμxT o

K=−μxTo

⇒K=−1 y=T oμx.(cosh μx

T o+K)

y=T oμx.(cosh μx

T o−1)

Con los datos obtenidos, obtenemos la siguiente función:

60=T o13 (cosh 13 (150)

T o−1)

Resolviendo:

780T o

=cosh 1950T o

−1

780T o

−1=℮1950T o +℮

−1950T o

2

2( 780T o

−1)=℮1950To +℮

−1950T o

T o=2550Kp

Hallamos la tensión máxima:pág. 15


T m=TO+μ .x

Remplazando los datos:

Tm=2550+13 (60)

T m=3330Kp

3) Caso 3: Área de demanda de energía anual.

A=∫a

b

F ( x )dx

Remplazando los datos:

A=∫0

12

(−0,0016 x6+0,0742 x5−1,3915 x4+12,98 x3−62,979 x2+150,67 x−75,133 )dx

A=445,656 Kv

4) Caso 4: Consumo promedio de electricidad.

F (c )= 1b−a

.∫a

b

F ( x )dx

Remplazando lo datos:

F (c )= 112−1

.∫1

12

(−0,0016 x6+0,0742 x5−1,3915 x4+12,98 x3−62,979 x2+150,67 x−75,133 )dx

F (c )=42,12Kv

pág. 16


Capítulo IV: Discusión de resultados

a) La longitud del arco del cableado de las torres de alta tensión es de 176,61 m; sabiendo que cada metro de este cable cuesta s/. 16.00 soles, a la empresa le estaría costando s/. 2825.76 soles el colocar este cable entre las torres.

b) Realizado los calculos físicos y matemáticos, nos arrojó que el cable que está suspendido entre las torres soportan una tensión máxima de 3330 Kp.

c) Con la ayuda de Excel se logró modelar una función que describa el comportamiento de la demanda de electricidad en la zona de Oyón. Con esta función, y viendo que su coeficiente de correlación sea confiable, procedimos a calculos el área bajo la curva, que resultó ser 445.656 Kv.

d) Para terminar, con la misma función se procedió a hallar el consumo medio de los pobladores, el cual es 42,14 Kv.

Capítulo V: Conclusiones

En conclusión, luego de haber realizado los calculos correspondientes para cada caso que se ha presentado, podemos responder las interrogantes que nos hicimos en un principio,

La empresa Abengoa Perú SAC gastará un aproximado de s/. 2825.76 soles en el cableado de las torres de alta tensión. Este mismo, luego de ser colocado respectivamente, tendrá que soportar una tensión máxima de 3330 Kp. La población de Oyón tiene un gasto total de 445,656 Kv anualmente, por lo que la empresa sabiendo esto, tendrá que tomar las medidas correspondientes para abastecer la demanda de electricidad el lugar. A su vez, esta provincia tiene un gasto promedio de 42,14 Kv mensuales.

Este trabajo pudo demostrar lo importante que son los conocimientos de cálculo II, así como de otras materias, y nos dio un claro ejemplo de cómo esta reaccionada a la realidad y a diversas situaciones que se pueden dar en el campo laboral.

pág. 17


Bibliografía

Anonimo. Centro de investigación y formación en educación matemática . Costa Rica: CIFEMAT, 2007.

Anónimo. Tensión de cuerca y cables. Buenos Aires: FísicaLab, 2010.

Bastero, Jesús. Investigación matemática. Revista Matemática Iberoamericana , 1999.

BOE. Reglamento obre condiciones técnicas y garantias de seguridad en lineas eléctricas de alta tensión. Ministerio de trabajo y asuntos sociales, 2008.

Ivorra, Carlos. «La catenaria.» Chile, 2008.

Reglamento de lineas aéreas eléctricas de alta tensión. España: CEI, 2011.

Rodriguez, Rony Robles. Estática en cables de tensión eléctrica. Lima: Universidad Nacional de Trujillo , 2007.

Rovira, Josep Mestre. Distancia a lineas eléctricas BT y AT. Barcelona: CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y ASISTENCIA TÉCNICA, 1983.

Salinas Torres, M, y R Rubio Moreno. «IMPACTO AMBIENTAL DE LAS TORRES DE ALTA TENSIÓN.» Santiago, 2008.

Web grafía

http://es.slideshare.net/robles666/estatica-en-cables-de-alta-tension

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?

qid=20091115151709AAe62Pq

http://es.scribd.com/doc/73519204/CALCULO-DE-CATENARIA#scribd

http://html.rincondelvago.com/reglamento-de-lineas-aereas-electricas-de-alta-

tension.html

http://tutorial.sibuc.uc.cl/citar/apae/n_apae_citas.html

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/publicaciones/geologia/v13_n26/pdf2/

a03v13n26.pdf

pág. 18

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/publicaciones/geologia/v13_n26/pdf2/a03v13n26.pdf

http://sisbib.unmsm.edu.pe/bibvirtual/publicaciones/geologia/v13_n26/pdf2/a03v13n26.pdf

http://tutorial.sibuc.uc.cl/citar/apae/n_apae_citas.html

http://html.rincondelvago.com/reglamento-de-lineas-aereas-electricas-de-alta-tension.html

http://html.rincondelvago.com/reglamento-de-lineas-aereas-electricas-de-alta-tension.html

http://es.scribd.com/doc/73519204/CALCULO-DE-CATENARIA#scribd

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091115151709AAe62Pq

https://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091115151709AAe62Pq

http://es.slideshare.net/robles666/estatica-en-cables-de-alta-tension


ANEXO

Distancia entre las torres y humanos u objetos

pág. 19


Nivel de contaminación de las torres.

Grado de tensión eléctrica

pág. 20

aplicación de la integral para hallar longitud de arco, área bajo la curva y valor medio

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