aplicaciones de la integral
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Aplicaciones de la Integración
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El valor medio de una función
En muchas situaciones prácticas, se desea encontrar el valor medio de una función continua sobre un intervalo, como el nivel medio de la polución del aire en un periodo de 24 horas, la velocidad media de un camión en un viaje de 3 horas, la productividad media de un trabajador durante un turno de producción o la presión media de la sangre de un paciente durante una operación.
¿Hay algún número, c, en el cual elvalor de f sea exactamente igualal valor promedio de la función;
esto es, f (c) =f prom?
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Teorema del Valor Medio para integrales:Si f es continua en [a,b], existe un número c en [a,b] tal que
∫ −=b
aabcfdxxf ))(()(
Para comprender por qué es válida la fórmula del valor medio, dividamos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales de longitud ∆x y tomemos xj como el comienzo del subintervalo j-ésimo.La media numérica de los correspondientes n valores de la función f(x1), f(x2), f(x3),... , f(xn) es
)(1)(.......)()()(1
321 ∑=
=++++ n
jj
n xfnn
xfxfxfxf
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Cuando n crece sin límite, esta media aritmética se aproxima con precisión al valor medio de f en el intervalo [a,b]. Es decir,
[ ] )(11∑=∞→
=n
jjn
xfn
lim a,b en io de fValor med
Para escribir este límite de una suma como una integral definida, obsérvese que si el intervalo [a,b] se divide en n subintervalos iguales de longitud ∆x entonces ∆x=(b-a)/n. Por consiguiente, 1/n= ∆x/(b-a) y así
xxfab
xfab
xxfn
n
jj
n
jj
n
jj ∆
−=
−∆
= ∑∑∑===
)(1)()(1111
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A partir de la caracterización de la integral definida como el límite de una suma, se concluye que
[ ]
∫
∑
∑
−=
∆−
=
=
=∞→
=∞→
b
a
n
jjn
n
jjn
dxxfab
xxfab
lim
xfn
lim a,b en io de fValor med
)(1
)(1
)(1
1
1
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Ejercicio:Durante varias semanas el departamento de carreteras ha registrado la velocidad del tráfico que fluye por cierta salida del centro de la ciudad. Los datos indican que entre la 1:00 y las 6:00 p.m de un día de trabajo, la velocidad del tráfico en la salida es aproximadamente S(t)=t3 - 10.5t2+30t+20 millas por hora, donde t es el número de horas después del mediodía. Calcular la velocidad media del tráfico entre la 1:00 y las 6:00 pm.
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Interpretación geométrica del valor medio
La fórmula de la integral para el valor medio tiene una interesante interpretación geométrica.
∫ −=b
aabcfdxxf ))(()(
Si f(x) es no negativa, la integral es igual al área situada bajo la gráfica de f desde x=a hasta x=b. El producto f( c) (b-a) es el área de un rectángulo cuya base es b-a y cuya altura es el valor medio de f en el intervalo [a,b]
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Ejercicio:a) Calcule el valor promedio de f en el intervalo dadob) Calcule c tal que fprom=f( c)c) Trace la gráfica de f y un rectángulo cuya área sea igual a la que está bajo la gráfica de f
[ ] [ ][ ] [ ]π,), (xx) f(x) , , x-x) f(x)
,, xx) f(x) ,, -x) f(x)
0sen43042
2013204122
32
==
+−==
Ejercicio: Si f es continua y , demuestre que f alcanza el valor 4, cuando menos una vez, en el intervalo [1,3]
∫ =3
18)( dxxf
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Ejercicio: Demuestre que la velocidad promedio de un automóvil durante un intervalo [t1, t2] es igual al promedio de sus velocidades en ese período.
Ejercicio: La temperatura, en ºF, de cierta ciudad, t horas después de las 9 a.m, se expresa, aproximadamente, mediante la función
.Calcule la temperatura promedio durante el período de las 9 a.m hasta las 9 p.m
12 sen1450)( ttT π
+=
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A continuación, ejemplificaremos algunas de las aplicaciones de la integral definida empleándola para calcular áreas entre curvas, en coordenadas cartesianas, paramétricas y polares. Además calcularemos longitud de arco, área de superficie y volúmenes de sólidos de revolución.
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Areas entre curvas
Hasta ahora hemos definido y calculado áreas de regiones que quedan bajo las gráficas de funciones. En esta sección emplearemos integrales para calcular áreas de regiones más generales.
En el ejercicio siguiente, como la región no está limitada por encima por una sola curva, puede descomponerse en dos regiones que sílo están, y el área de cada una puede calcularse utilizando la fórmula de la integral
Ejercicio: Hallar el área de la región R, en el primer cuadrante, que se encuentra bajo la curva y=1/x y está limitada por esta curva y las rectas y=x, y=0 y x=2
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El área entre dos curvas
En algunos problemas prácticos, quizá sea necesario calcular el área entre dos curvas. Supóngase que f(x) y g(x) son funciones no negativas y que f(x) ≥ g(x) en el intervalo [a,b] como se muestra en la figura.Para hallar el área de la región R se calcula
[ ]∫ ∫∫ −=−=b
a
b
a
b
adxxgxfdxxgdxxfRdeArea )()()()(
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Puede demostrarse que esta fórmula es válida aun si no se supone que las funciones f y g son no negativas
El área entre dos curvasSi f(x) y g(x) son continuas en el intervalo [a,b] para f(x) ≥ g(x ), y si R es la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x=a y x=b, entonces
[ ]∫=b
adx g(x)-f(x)R de Area
Ejercicio:Hallar el área de la región limitada por las curvas y=x2+1 y y=2x-2 entre x=-1 y x=2
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¿Cómo se calcula el área encerrada por las curvas (figura)? Es decir, ¿ cómo se calcula el área entre dos curvas
cuando no se cumple f(x) ≥ g(x) , para todo x en [a,b]?
S1 S2 S3
Cuando se nos pide calcular el área entre las curvas y=f(x) y y=g(x) donde f(x) ≥ g(x) para algunos valores de x y g(x) ≥ f(x) para otros, partimos la región dada S en varias regiones, S1 , S2 , S3 ,...., cuyas áreas son A1, A2, A3, ...A continuación definimos el área de la región total S como la suma de las áreas de las regiones más pequeñas.
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En vista de que
llegamos a la siguiente ecuación para determinar A
⎩⎨⎧
≥−≥−
=−)
)()()()(
f(xndo g(x)f(x) cuag(x)g(x)f(x) cuando xgxf
xgxf
El área entre las curvas y=f(x) y y=g(x) entre x=a y x=b es
∫=b
a dxf(x)-g(x)A
Ejercicio: Calcule el área de la región acotada por las curvas y=senx, y=cosx, x=0, x=π/2
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Ejercicio: Calcule el área de la región acotada por las curvasi) y=x2, y=x3 ii) y=4x, y=x3+3x2
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Ejercicio. Trace la región limitada por las curvas dadas y calcule su área
1 ,2 ,ey ,ey 14) 1 x-1, x,5y ,2 y 13)
243y7x 0,y x3y, x12) 0 x,3xy ,1-xy 11)
4 ,71)(xy , xy 10) 2 x1, x,/1y ,/1y 9) ,34y 8) 2/ x,4/ xsenx,y x,y 7)
6 ,0 ,52 ,2xy 6) 1 ,y )53,4xy 4) 013y- x,1y )3
2/ ,y 2) x y , xy )1
x-xxx
2
22
223
2224
22
22
=−=======
=+=+==−==
−=−+======
−=+−==−===
==+=+=−=−=
+===+−=
====
xx
xxxxxyxxx
xxxyxyxxxyx
xyx
ππ
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Ejercicio: Calcule el área de la región acotada por las curvasx=y2, x-2y=3
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Notemos que el área encerrada por las curvas es la suma de dos áreas si utilizamos la fórmula ∫=
b
a dxf(x)-g(x)A
Hay un método más fácil de resolver elejercicio anterior. En lugar de considerar
a y como una función de x, sea x una función de y
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150
En general, si una región está acotada por curvas cuyas ecuaciones son x=f(y), x=g(y), y=c y y=d, donde f y g son continua y f(y) ≥ g(y) cuando c≤y ≤d, su área será
∫=d
c dyf(y)-g(y)A
Ejercicio; Hallar el área del ejercicio anterior usando la fórmula en términos de y.
Ejercicio: Calcule el área de la regiónacotada por las curvas x=y2, y=x+5, y=2, y= -1
Ejercicio. Trace la región limitada por las curvas dadas y calcule su área
76y x,2)-2(y1 xd)
42xy ,0y4x )
1y x,y-1 xb)
0y x,2 x)
2
2
22
2
=+=+
+==+
−==
=+=+
c
ya
Ejercicio. Emplea cálculo integral para determinar el área del triángulo cuyos vértices se mencionan.a) (0,0) , (1,8), (4,3) b) (-2,5), (0,-3), (5,2)
Ejercicio. Evalúa la integral e intérpretala como el área de una región. Esquematiza la región.
dxxdxxa ∫∫ −π
0
2
0
32
π2-senx b) x )
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Longitud de arco
Para el caso sencillo en que la curva es un segmento finito de línea que une los puntos y su longitud está expresada por la fórmula de la distancia
),(P 111 yx ),(P 222 yx
( ) ( )212
21221 yyxxPP −+−=
Supongamos que la curva C se define mediante la ecuación y=f(x), en donde a≤x ≤b. Obtenemos una aproximación poligonal a C tomando una partición, P, de [a,b], determinada por los puntos xi, con
Si el punto está en C, y el polígono cuyos vértices son es una aproximación a C. La longitud de esa aproximación poligonal es
bxxxxa n =<<<<= .....210
)(yi ixf= ),(Pi ii yx0210 ,......,.PP,P ,P
∑=
−
n
iii PP
11
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152
Po
1-iP
iPnP
1Py=f(x)
1xix
1−ixa b
La cual parece mejorar a medida que IIPII 0
Por lo anterior, definiremos la longitud, L, de la curva C, cuyaecuación es y=f(x), y a≤x ≤b , como igual al límite de la suma de las longitudes de esos polígonos inscritos ( si es que existe el límite) ∑ −=
n
ii PPlimL 1=→ iP 10
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153
La definición de longitud de arco, expresada por la ecuación anterior, no es muy cómoda para fines de cómputo, pero podemos deducir una fórmula integral a fin de calcular L en el caso en que f tenga una derivada continua.
( ) ( )
[ ]
es,esto x)(xyi
);)(x()()(quetal
y xxentre,x,númeroun hay quevemos,,xintervaloelen ,famediovalor delteoremaelaplicar Al
P
,yyi
i*i
'1
*i
'1
i1-i*i1-i
221-i
i
∆=∆
−=−
∆+∆=
−=∆
−−
f
xxfxfxf
x
yxPi
yCon
iiii
i
ii
i-1
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154
Por consiguiente
Entonces
( ) ( )
( ) ( )[ ]( )[ ] xf1
x
P
i
2*'
2*'2i
221-i
∆+=
∆+∆=
∆+∆=
i
ii
ii
x
xxf
yxPi
[ ]∑
∑
=→
=−
→
∆+=
=
n
iii
n
iii
xxf
PP
1
2*'
0P
11
0P
)(1
L
lim
lim
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155
Reconocemos que esta expresión es igual
de acuerdo con la definición de una integral definida. Esta integral existe porque la función es continuaPor consiguientes hemos demostrado el teorema siguiente
[ ]∫ +b
a
dxxf 2' )(1
( )[ ]2´1g(x) xf+=
[ ]∫ +=b
a
dxxfL 2' )(1
Fórmula de la longitud del arco:Si f`es continua en [a,b], la longitud de la curva y=f(x), a≤x ≤b es
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156
Con la notación de Leibniz de derivadas podemos escribir la fórmula de la longitud de arco como
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
b
a
dxdxdyL
2
1
Ejercicio: Calcula la longitud de arco de la
parábola semicubica y2 = x3 , entre los puntos
(1,1) y (4,8).
Si la ecuación de una curva es x= g(y) , c≤ y ≤ d, al intercambiar los papeles de x y y en la fórmula anterior obtendremos la fórmula siguiente, para calcular su longitud:
[ ]∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=
b
a
d
c
dydydxdyygL
22
' 1)(1
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157
Ejercicio: Calcula la longitud de arco de la parábola
y2 = x , de (0,0) a (1,1).
Ejercicio: Calcula la longitud de cada una de estas curvas.
( )
2y0 ,4y )3x1 lnx,y e)
1x0 ,ey d)
4x2 ,4
ln2xy c)
3x1 ,21
6xy b)
2x1 ,231 )
2
x
2
3
2/32
≤≤=
≤≤=
≤≤=
≤≤−=
≤≤+=
≤≤+=
xf
xx
xya
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Area de una superficie de Revolución
Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta
y=x2
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159
Si f es positiva y tiene derivada continua, definimos el área superficial de la superficie obtenida al hacer girar la curva y=f(x), a≤x ≤b en torno del eje x como sigue
Con la notación de Leibniz para las derivadas, esta fórmula se transforma en
( ) ( )[ ] dxxfb
a
2´1xf 2πS += ∫
dxdxdyb
a
2
1y 2πS ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= ∫
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Ejercicio: La curva es un arco del círculoCalcula el área de la superficie generada al rotar
ese arco alrededor del eje x.
1x1- ,4 2 ≤≤−= xy
4y 22 =+x
Ejercicio:Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de la parábola y2=12x entre x=0 y x=3
Si la curva se describe con la ecuación x=g(y), c≤y ≤d, la fórmula se convierte entonces en
dydydxd
c
2
1y 2πS ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ∫
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Ejercicio:Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y2+4x=2 lny entre y=1 e y=3
Las dos fórmulas anteriores, se pueden resumir, de manera simbólica, con la notación de longitud de arco, así
∫= yds 2πS
Cuando la rotación es en torno del eje y, el área de la superficie es
ds∫= x2πS
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En donde podemos utilizar
o bien dxdxdyds
2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= dy
dydxds
2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Estas fórmulas se pueden recordar imaginando que 2πy o 2πx
son la circunferencia de un círculo descrito por el punto (x,y) en la
curva, al girarla en torno del eje xo del eje y, respectivamente
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163
a) Rotación en torno del eje x
∫= πyds2S
b) Rotación en torno del eje y
∫= πxds2S
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164
Ejercicio: El arco de la parábola y=x2 se hace girar en torno del eje y de (0,0) a (3,9). Calcule el área de la superficie resultante
y=x2
(3,9)
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Ejercicio:Hallar el área de la superficie de revolución generada al hacer girar en torno al eje y el arco de x= y3 entre y=0 e y=1
Ejercicio:Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar cada una de la curvas siguientes en torno del eje x
3/0 ,cosy f) 0 senx,y e)
41 2
lnx-4
y d) 20 ,y c)
80 4,4xy b) 9x4 , )2
3
2
ππ ≤≤=≤≤=
≤≤=≤≤=
≤≤+=≤≤=
xxx
xxxx
xxya
Ejercicio:Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar cada una de la curvas siguientes en torno del eje y
10 ,x-1y d) 1/2y0 ,e xc)
1y0 , y-2y xb) 2y1 , )22y
23
≤≤=≤≤=
≤≤=≤≤=
x
xya
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166
Curvas definidas por ecuaciones paramétricas
Supongamos que x y y se definen en forma de funciones continuas de una tercera variable,t, llamadas parámetro, mediante las ecuaciones
x=f(t) y=g(t)que se denominan ecuaciones paramétricas. Cada valor de t determina un punto (x,y), que podemos graficar en un plano de coordenadas. Al variar t, el punto (x,y)=(f(t), g(t)) cambiade posición y describe una curva, C. Si interpretamos a t como el tiempo y (x,y)= (f(t), g(t)) como la posición de una partícula en el momento t, podemos imaginar que la partícula se mueve a lo largo de la curva C.
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167
Ejemplo: ¿Qué curva representan las ecuaciones paramétricas x= cost, y=sent, 0≤ t ≤2 π?
Solución: Podemos suprimir t porque 1sencosx 2222 =+=+ tty
t= π/2
t= 0
Así el punto (x,y) se mueve en el círculo unitario x2+ y2=1. Cuando t aumenta de 0 a 2 π, el punto (x,y)=(cost,sent) recorre una vez el círculo en dirección contraria a la de las manecillas del reloj
Ejercicio: Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas x=t2-2t , y=t+1
Ejercicio: Trace la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x=sent , y=sen2t
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168
AreasSabemos que el área bajo una curva y=F(x), de a a b, es
en donde F(x)≥0. Si las ecuaciones paramétricasx=f(t) y y=g(t), α ≤ t ≤ β describen la curva, podremos adaptar la fórmula anterior aplicando la regla de sustitución para integrales definidas como sigue
∫=b
adxxF )(A
∫ ∫==b
adttftgydx
β
α)`()(A
Ejercicio: Calcule el área bajo uno de los arcos de la cicloide
)cos-r(1y )sen( θθθ =−= rx
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169
Longitud de arco y área de superficie
Sabemos que si F`es continua, entonces
Vamos a suponer que C también se puede describir con las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t), donde dx/dt = f`(t)>0 .Esto quiere decir que C es recorrida una vez, de izquierda a derecha, a medida que t aumenta desde α hasta β y que f(α )=a , f(β )=b Empleando la regla de sustitución tenemos
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
b
a
dxdxdyL
2
1
βtα ≤≤
dtdtdx
dtdxdtdydx
dxdyL
b
a∫ ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
β
α
22
//11
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170
Como dx/dt>0 entonces
dtdtdy
dtdxL ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
β
α
22
Teorema:Si una curva C se describe con las ecuaciones paramétricas x=f(t), y=g(t), donde f` y g` son continuas en [α, β] y C recorrida una y sólo una vez cuando t aumenta desde αhasta β , la longitud de C es
βtα ≤≤
dtdtdy
dtdxL ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
β
α
22
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171
Ejercicio: Calcule la longitud del círculox=cost y=sent 0 ≤ t ≤ 2π
Ejercicio: Calcule la longitud de cada una de estas curvas
20 , t3y , t3 x)0 ,seney ,cose xd)
10 ,4y t,-e xc) 2/0 ,2cosy ,sen32 xb)
40 , ty , t x)
23
tt
2/t
2
23
≤≤=−=
≤≤==
≤≤==
≤≤=−=
≤≤==
ttettt
te
ta
t
π
πθθθ
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172
Coordenadas Polares
En un sistema de coordenadas rectangulares el par ordenado (a,b) denota el punto con abscisa a y ordenada b. Las coordenadas polares son otra forma de representar puntos.Se comienza en un punto fijo O ( el origen o polo) y una semirrecta dirigida (el eje polar) cuyo extremos es O. Luego se considera cualquier punto P del plano diferente de O. Si r=d(O,P) y θ denota la medida del ángulo determinado por el eje polar y OP, entonces r y θ son las coordenadas polares de P y se usan los símbolos (r, θ) o P(r, θ) para denotar a P
P(r, θ)
θOPolo Eje polar
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173
Adoptaremos la convención de que el ángulo es positivo si se mide en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, partiendo del eje polar, y negativo si se toma en la dirección de las manecillas del reloj. Si P=O, entonces r=0 y se dice que (0, θ) representa al polo para cualquier valor de θ.Ampliaremos el significado de las coordenadas polares (r, θ), para abarcar el caso en que r es negativo y convenimos que, los puntos(-r, θ) y (r, θ) están en la misma recta que pasa por O y a la misma distancia, I r I, de O, pero en los lados opuestos de O. Si r>0, el punto (r, θ) está en el mismo cuadrante que θ; si r<0, se encuentra en el cuadrante del lado opuesto al polo. Observarás que (-r, θ) representa al mismo punto que (r, θ+π) (r, θ)
θθ+ π
(-r, θ)
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174
Ejemplo: Grafiquemos los puntos cuyas coordenadas polares se dan a continuacióna) (1,5 π/4) b) (2, 3 π) c) (2,-2 π/3) d) ( -3,3 π/4)
5 π/4
(1,5 π/4)OO (2, 3 π)
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175
(2,-2 π/3)
O-2 π/3
3 π/4O
( -3,3 π/4)
En el sistema de coordenadascartesianas, cada punto sólo posee
una representación; pero en elsistema de coordenadas polares,
tiene muchas
El punto (1,5 π/4) se podría expresar en las formas (1,-3 π/4) , (1,13 π/4) o (-1, π/4)Ejercicio. Grafique los puntos anteriores
OBS: Un ángulo 2 π representa una vuelta completa en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el punto representado por las coordenadas polares (r, θ) también se puede expresar con (r, θ+2n π) y (-r, θ+2(n+1) π) en donde n es cualquier entero.
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176
En la figura se advierte la relación entre las coordenadas polares y las cartesianas, cuando el polo corresponde al origen y el eje polar coincide con el eje de las x positivas.
P(r, θ) =P(x,y)
θ
r y
xSi el punto P tiene coordenadas cartesianas (x,y) y polares (r,θ), entonces, de acuerdo con la figura
rysenθ
rxθ cos ==
Y así
senθr y θ cosr x == (1)
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177
Aunque hemos deducido las ecuaciones (1) mediante la figura, donde aparece el caso en que r>0 y 0< θ < π/2, las ecuaciones son válidas para toda r y θ.Las ecuaciones (1) permiten establecer las coordenadas cartesianas de un punto, conociendo las coordenadas polares. Para determinar r y θ conociendo x , y usaremos las ecuaciones
xy tanθyxr 222 =+= (2)
Ejemplo: Expresar el punto (2, π/3) en coordenadas cartesianas
3232.
3π2senrsenθy
1212.
3π2cosrcosθx
====
====
Por consiguiente, las coordenadas cartesianas del punto son )3,1(
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178
Ejemplo: Representa en coordenadas polares el punto cuyas coordenadas cartesianas son (1,-1)
1xyanθ
21)(1yxr 2222
−==
=−+=+=
t
En vista de que el punto (1,-1) está en el cuarto cuadrante, podemos elegir θ = - π /4, o bien θ= 7 π /4. Así una de las respuestas posibles es . Otra es )4/,2( π− )4/7 ,2( π
Nota: Las ecuaciones (2) no determinan unívocamente a θpara x, y dadas. Así pues al pasar de coordenadas
cartesianas a polares, no basta con calcular r y θ tales que satisfagan las ecuaciones (2). Hay que elegir θ de tal modo que el punto (r, θ ) quede en el cuadrante correcto
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179
Una ecuación polar es una ecuación en r y θ . Una soluciónde una ecuación polar es un par ordenado (a,b) que lleva a una igualdad si se sustituye en la ecuación r por a y θ por b. La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de todos los puntos ( en el plano r θ ) que corresponden a soluciones de la ecuación.
Ejercicio: trazar la gráficas de las ecuaciones polares
0a para asen2θr f) 4cosθ2r e) 2cosθ2 r d) 2cosθ2r c) 4senθr b) 3r a)
>=+=+=+===
Ejercicio: Encontrar una ecuación en x,y que tenga la misma gráfica que la ecuación polar r=4sen θ
Ejercicio: Encontrar una ecuación polar para una recta arbitraria
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180
Areas y longitudes en coordenadas polares
El área de una región acotada por gráficas de ecuaciones polares se puede calcular usando límites de sumas de áreas de sectores circulares. Sea R una región en el plano r θacotada por las rectas que pasan por O con ecuaciones θ =a y θ =b, donde 0≤a<b ≤2π, y por la gráfica de r=f(θ ), donde f es continua y f(θ )≥0 en [a,b]
θ= θ kr=f(θ )
θ= θ k-1k∆θ
θ= b
θ= a
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181
Sea P una partición de [a,b] determinada por
bθ.....θθθa n210 =<<<<=
Y sea para k=1,2,...,n.Las rectas radiales con ecuaciones θ= θ k
dividen R en subregiones en forma de cuña. Si f(uk) es el valor mínimo y f(vk ) es el máximo de f en [θ k , θ k-1] , entonces, como se ilustra en la figura, el área ∆Ak de la k-ésima subregión tiene una valor intermedio entre la de los sectores circulares inscrito y circunscrito, con ángulo central y radios f(uk) y f(vk ) respectivamente.
1-kkk θθ∆θ −=
k∆θ
f(uk)f(vk )
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182
Consideremos el siguiente teorema
Si θ es el valor en radianes de una ángulo central de una circunferencia de radio r, entonces el área A del sector circular determinado por θ es θr
21A 2=
Entonces, por el teorema anterior
[ ] [ ] k∆θ)f(v21∆A ∆θ)f(u
21 2
kkk2
k ≤≤
Sumando desde k=1 hasta k=n y usando el hecho de que la suma de las ∆Ak es el área A de R, se obtiene
[ ] [ ] k
n
k
n
k∆θ)f(v
21A ∆θ)f(u
21 2
k1
k2
k1
∑∑==
≤≤
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183
Cuando la norma IIPII de la subdivisión tiende a cero, los límites de las sumas tienden a la integral ( )[ ]∫
b
a2 dθθf
21
Teorema:Si f es continua y f(θ) ≥ 0 en [a,b], donde 0≤a<b ≤2π, entonces el área A de la región acotada por las gráficas de r=f(θ), θ=a y θ=b es ( )[ ] ∫∫ == b
a rA dθ21dθθf
21 2b
a2
La integral del teorema se puede interpretar como un límite de sumas escribiendo
( )[ ] [ ] θ )f(w 21 dθθf
21
k2
k
n
1k0
b
a2 ∆== ∑∫
=→PlimA
Donde wk es cualquier número en el intervalo [θ k , θ k-1] de [a,b]
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184
Ejercicio: Calcular el área de la región delimitada por el cardiode r=2+2cos θ
Ejercicio: Calcular el área encerrada por uno de los cuatro pétalos e la rosa r=cos2 θ
Ejercicio: Trace la curva representada por cada ecuación y calcule el área encerrada
sen3θr 6) senθ-4r 5) sen2θr 4) 4cos2θr 3)
)cosθ-4(1r 2) 5senθr )122
====
==
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185
Teorema: Sean f y g funciones continuas tales que f(θ) ≥g(θ) ≥0 para todo θ en [a,b], donde 0≤a<b ≤2π. Sea R la región acotada por las gráficas de r= f(θ), r=g(θ) θ=a y θ=b. El área A de R es
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186
Ejercicio: Calcular el área de la región dentro del círculo r=3sen θ y fuera de la cardiode r=1 +senθ
( )[ ] ( )[ ]{ }dθθgθf21 b
a22
∫ −=A
El hecho de que un solo punto tenga muchasrepresentaciones en coordenadas
polares, en ocasiones dificulta hallartodos los puntos de intersección de dos
curvas expresadas en ecuaciones polares
Ejercicio: Calcular el área de la región dentro de la cardiode r=2+2cos y fuera del circulo r=3
Por ejemplo, el círculo y la cardiode tienen tres puntos de intersección; pero al resolver las ecuaciones r=3sen θ y r=1 +senθ encontramos dos de esos puntos (3/2, π/6) y (3/2, 5π/6) . El origen también es un punto de intersección; pero no lo pudimos determinar resolviendo las ecuaciones de las curvas porque el origen no posee una representación única, en coordenadas polares, que satisfaga ambas ecuaciones. Observe que cuando el origen se representa en la forma (0,0) o (0, π), satisface r=3sen θ y por lo tanto, se encuentra en el círculo; cuando se representa con (0, 3π/2) , satisface r=1 +senθ de modo que se halla en la cardiode. Imaginemos dos puntos que se mueven a lo largo de las curvas a medida que el valor del parámetro θ aumenta de 0 a 2 π. En una curva se alcanza el origen cuando θ =0 y θ = π; en la otra, cuando θ =3 π/2. Los puntos no chocan en el origen porque llegan a él en ocasiones distintas, pero de todos modos las curvas se intersectan.
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187
Así, para hallar todos los puntos deintersección de dos curvas,
expresadas en ecuaciones polares, se recomienda trazar las gráficas de las dos
Ejercicio: Determine todos los puntos de intersección de las curvas r=cos2 θ y r=1/2
Ejercicio: Calcule el área de la región que está dentro de la primera curva y fuera de la segunda
3cosθr , cosθ1r 6) cosθ1r , 3cosθr 5) cosθ-2r , 3cosθr 4) 2r , 4senθr 3)
1r, senθ1r 2) 3/2r , cosθ1r )1
=+=+=======−==−=
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188
Longitud de arco
Para calcular la longitud de una curva expresada en la ecuación polar ,consideramos que θ es un parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas de la curva en la forma
Al aplicar la regla del producto y diferenciar con respecto a θ,
( ) bθa , θfr ≤≤=
( ) ( )senθθfrsenθy cosθθfrcosθx ====
θθθθ
θθθθ
cosddy cos rsen
ddrrsen
ddr
ddx
+=−=
Así que usamos , y tenemos1cos 22 =+ θθ sen
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189
θθθθ
θθθθ
222222
cos2cos senrsenddrr
ddr
ddy
ddx
+−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
22
2222
cos cos2
rddr
rsenddrrsen
ddr
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
θ
θθθθ
θθ
Suponemos que f ´ es continua , de tal manera que podemos escribir la longitud del arco como
θθθ∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
b
a
dddy
ddxL
22
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190
Por consiguiente , la longitud de una curva cuya ecuación polar es r = f(θ)=, a ≤ θ ≤ b es
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
b
a
dddrrL θθ
22
Ejercicio:Hallar la longitud de la espiral 2πθ hasta 0θ desde ,2 === θer
Ejercicio:Hallar la longitud de la cardiode )cos1( θ−= ar
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191
Ejercicio: Calcule la longitud de las curvas descritas por estas ecuaciones polares
θπθθ
πθθπθ
πθ
πθθ
θ
θ
cos1 r2 0 , 2 0 , r2 0 , 2 r3 0 ,
43 0 , cos5
2
+=≤≤=
≤≤=≤≤=
≤≤=
≤≤=
−
r
er
r
πθ 20 ≤≤
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192
Aplicaciones de la IntegraciónVolúmenes
Universidad Diego Portales CALCULO II
193
Volumen
Tenemos una idea intuitiva de qué es el volumen, pero debemos
precisarla aplicando el cálculointegral para llegar a una
definición exacta.
En particular, si la base es un círculo con radio r, el cilindro circular tiene volumen V=πr2h.Si la base es un rectángulo de longitud l y anchura w, la caja rectangular de altura h tiene volumen V= lwh
r
lw
h
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194
Sea S cualquier sólido: La intersección de S con un plano es una región plana denominada sección transversal de S. Supongamos que el área de la sección transversal de S en un plano Px, perpendicular al eje x y que pasa por el punto x es A(x), donde a≤x ≤b. El área A(x), varía al mismo tiempo que x aumenta de a a b
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195
Nos fijaremos en una partición P del intervalo [a,b] mediante puntos xi, tal que Los planos partirán a S en “rebanadas” más pequeñas. Si elegimos los números dentro de [xi-1, xi]; , podemos aproximar a la i-ésima rebanada, Si mediante un cilindro cuya base tiene el área y la altura
bxxxxa n =<<<<= .....210
*ix
)( *ixA
1−−=∆ iii xxx
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196
El volumen de este cilindro es , de modo que unaaproximación a nuestro concepto intuitivo del volumen de la iésima rebanada, Si , es
Al sumar los volúmenes de estas rebanadas obtenemos una aproximación al volumen total.
ii xxA ∆)( *
iii xxASV ∆≈ )()( *
∆≈n
xxAV * )(∑=i
ii1
Esta aproximación parece cada vez mejor conforme llPll 0
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197
Definición del Volumen: Sea S un cuerpo entre los planos Pa y Pb . Si el área transversal de S en el plano Px es A(x), donde A es una función integrable, entonces el volumen de S es
(1)∫∑ =∆==→
b
a
n
iiiP
dxxAxxAlimV )()(1
*
0
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198
Ejercicio: Demuestre que el volumen de una esfera de radio r es
La esfera mencionada es un ejemplo de un sólido de revolución, porque se obtiene haciendo girar un circulo en torno de uno de sus diámetros.
En general, sea S el cuerpo obtenido girando la región plana R acotada por y=f(x), y=0, x=a, x=b, en torno al eje x
En vista que S se obtiene por rotación , una sección transversal que pasa por x y es perpendicular al eje x es un cilindro de radio lyl=lf(x)l , de manera que , el área transversal es:
A(x)= π y2 = π[f(x)]2dx
De este modo, al emplear la fórmula básica del volumen V :
∫b
a
dxxA )(
llegamos a la fórmula del volumen de revolución
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199
[ ]∫=b
a
dxxfV 2)(π
(Método del disco):
(2)
Ejercicio: Calcule el volumen del sólido que se obtiene girando la región bajo la curva sobre el eje x, de 0 a 1.xy =
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200
Universidad Diego Portales CALCULO II
201
OBS:La fórmula (2) sólo se aplica cuando el eje de rotación es el eje x. Si la región limitada por las curvas x=g(y),x=0,y=c,y=d se rota sobre el eje y, el volumen correspondiente de revolución es
¿Qué fórmula debemos usarcuando el eje de rotación es el eje y?
[ ] dyygVd
c
2
)(∫= π
Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo generado girando la región limitada por y=x3, y=8, x=0 sobre el eje y
Ejercicio: La región R, acotada por las curvas y=x, y=x2, se gira alrededor del eje x. Calcule el volumen del cuerpo resultante
Universidad Diego Portales CALCULO II
202
En general, sea S el cuerpo generado cuando se rota la región limitada por las curvas y=f(x), y=g(x), x=a, x=b donde f(x)≥g(x) sobre el eje x. Entonces el volumen de S es
[ ] [ ] dx )()( 22 xgxfVd
c−= ∫π
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203
Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo obtenido girando la región encerrada por y=x, y=x2, respecto a la recta y=2
Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo obtenido girando la región encerrada por y=cosx, y=0, x=0, x=π/2 respecto a la recta y=-1
Universidad Diego Portales CALCULO II
204
Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo obtenido al girar la región limitada por las curvas alrededor del eje indicado.
-5 xa respecto;x -41)-(y ,63y2x f)
-1y a respecto; 2/,0,0,cosy )
1y a respecto ;2/,0,0y ,cosy d)
7y a respecto ;14)-(xy ,1y- x)
y eje del respecto ;5 x0,y ,1y b)
xeje del respecto ;1 x,1y ,lny )
2
2
===+
=====
=====
=+==
==−=
===
π
π
xxyxe
xxx
c
x
xa
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205
Método de los cascarones cilíndricos (anillos)Algunos problemas de cálculo de volumen son muy difíciles de manejar con los métodos de la sección anterior. Existe otro método, llamado método de los cascarones cilíndricos, que es más fácil de aplicar en estos casos
La figura muestra un cascarón cilíndrico con radio r1 , radio exterior r2
y altura h. Calculamos su volumen V1
( del cilindro interior), del volumen V2
( del cilindro exterior)
)(2
r 2
))(()r (r
r r
1212
1212
21
22
21
22
12
rrhrhrrrr
h
hh
VVV
−+
=
+−=−=
−=
−=
π
ππ
ππ
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206
)(2
r 2
))(()r (r
r r
1212
1212
21
22
21
22
12
rrhrhrrrr
h
hh
VVV
−+
=
+−=−=
−=
−=
π
ππ
ππ
Sean (el espesor de la pared del cascarón) y ( el radio promedio del cascarón); entonces, esta fórmula para calcular el volumen de un cascarón cilíndrico se transforma en
12 rrr −=∆
rh∆h 2π=V
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207
Universidad Diego Portales CALCULO II
208
La fórmula anterior se puede recordarcomo V= (perímetro del círculo) ( altura) ( espesor)
Ahora , sea S el cuerpo obtenido haciendo girar, en torno del eje y, la región acotada por y=f(x), y=0, x=a y x=b donde b>a ≥0. Sea P una partición de [a,b] mediante puntos, xi, con a=x0<x1<x2<..... <... xn=b y sea el punto medio de [xi-1, xi]; esto es
)(21
1*
iii xxx += −
*ix
Si se gira el rectángulo con base [xi-1, xi] y altura en torno del eje y, el resultado es un cascarón cilíndrico con radio promedio , altura y espesorcon volumen
*ix )( *
ixf
)( *ixf
−=∆ ii xxx
ii xV ∆= )f(x x2π *i
*i
i 1−
Así pues, una aproximación al volumen V de S estáexpresada por la suma de los volúmenes de esos cascarones:
ii
n
ii
n
ii xxfxVV ∆== ∑∑
==)(2 *
1
*
1π
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209
Según la definición de una integral, sabemos que el volumen del cuerpo analizado es
ba0 donde )(2 <≤= ∫ dxxxfV b
a π
Ejercicio: Aplique el método de los cascarones cilíndricos para calcular el volumen generado al girar la región acotada por las curvas dadas en torno al eje y.
π====
−+=+−=
==
====
====
xxye
xx
xc
a
,0 ,0 ),sen(xy )
66-xy ,106xy d)
2y x,y )
10 x1, x0,y ,1/xy b)
2x1,x0,y ,xy )
2
22
2
2
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210
En general si f(x)≥g(x) y 0≤a<b, el volumen del cuerpo generado al girar en torno del eje y la región limitada por las curvas y=f(x) , y g(x) de a a b es
[ ] )()(2 dxxgxfxV b
a −= ∫ π
El método de cascarones cilíndricos también nos permite calcular volúmenes de revolución en torno del eje x.
)(2 dyyygV d
c∫= π
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211
Ejercicio: Considere cascarones cilíndricos para calcular el volumen del cuerpo generado al girar la región bajo la curva en torno del eje x, de 0 a 1
xy =
Ejercicio: Calcule el volumen del cuerpo generado al hacer girar la región limitada por y=x-x2, y=o, en torno de la recta x=2
Universidad Diego Portales CALCULO II
212
Ejercicio: Determine una integral para calcular el volumen del cuerpo generado al girar la región limitada por las curvas dadas en torno del eje especificado
5y de en torno; 28,4 xf)
-1 xde en torno; )2/sen(,y )
xeje del en torno ;2y ,107xy d)
xeje del en torno ;4/,0,0 x,cos x)
y eje del en torno ;3 x0, x0,y ),x1/(1y b)
y eje del en torno ; 3 x,2 x0,y ,seny )
22
4
2
2
=−=−=
===
−=−+−=
====
===+=
====
yxy
xyxe
xx
yyyc
xa
π
π
π
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213
Ejercicio: Cada una de la integrales siguientes representa al volumen de un cuerpo; descríbelo.
( ) xdxdxx
dydxxxa
∫∫
∫∫
−π
π
ππ
ππ
0
41
0
23
9
0
3/22/
0
x)sen-(4 2 d) x 2 c)
y 2 b) cos 2 )
Ejercicio: Emplea una gráfica para estimar las abscisas de los puntos de intersección de las curvas dadas. A continuación, con los resultados obtenidos estima el volumen del cuerpo generado al girar la región encerrada por esas curvas alrededor del eje y
3442 3 ,xy b) xxy 0,y ) xxyxa −==−+==
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214