aplicaciones de la integral definida -...

MB0005_M3AA1L1_Aplicaciones Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

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−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Aplicaciones de la integral definida Por: Sandra Elvia Pérez

La integral tiene varias aplicaciones en diferentes áreas del conocimiento. En este curso se analizarán sus funciones desde el punto de vista geométrico. Entre ellas revisarás:

a) El área bajo la curva. b) El área de una región entre dos curvas. c) La longitud de arco.

Área bajo la curva Observa las gráficas que se muestran en las figuras 1 y 2:

Figura 1. Gráfica de la función constante

5)( =xf .

Figura 2. Gráfica de correspondiente a x = 5.


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Ahora calcula el área limitada por la función 5)( =xf , la recta x = 5 y los ejes coordenados. La región solicitada se muestra en la figura 3.

Figura 3. Área formada por las rectas f(x) = 5 y x = 5 y los ejes coordenados.

En este caso observa que la figura geométrica que se forma es un cuadrado, así que podrías determinar su área al multiplicar sus lados. De esta forma: El área bajo la curva 5)( =xf será:

22555 uladoladoÁrea =×=×= Importante: En el ejemplo anterior las funciones a integrar se presentan tal como El cálculo de áreas de figuras geométricas conocidas como triángulos o cuadrados (como el del ejemplo) puede realizarse mediante la aplicación de fórmulas geométricas. La integral definida también puede aplicarse para determinar el área de regiones en el plano mediante el uso del teorema fundamental del cálculo. Observa cómo se resuelve el ejemplo anterior aplicando la integral definida.


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Recuerda que el teorema fundamental del cálculo dice que:

[ ]∫ −==b

a

ba aFbFxFdxxf )()()()(

Para el ejemplo anterior:

El límite inferior está representado por 0=a , debido a que

el primer límite es la recta 0=x

El límite superior está representado por 5=b , debido a que

el segundo límite está definido por la recta 5=x

Figura 4. Gráfica del área formada por las rectas

f(x) = 5 , x = 5, x = 0 y eje de las x.

Sustituyendo la función y los límites en la integral:

∫ =5

05dx

Resolviendo la integral:

∫ =5

055 xdx

Sustituyendo los límites:

[ ] [ ] [ ] 25

0

50 25025)0(5)5(555 uxdx =−=−==∫

Observa que el valor obtenido por el método geométrico y por medio de la integral definida es el mismo. Además, al realizarse la integral con respecto a la variable independiente (x), los límites de la integral (a y b) también deben considerarse con respecto a la dirección horizontal.

Recuerda que las áreas se deben expresar en unidades cuadradas.

¿Para qué utilizas el cálculo integral si con geometría puedes determinar un área bajo una curva? Con las técnicas geométricas es posible determinar el área de muchas figuras como los polígonos, y mediante técnicas de aproximación es factible calcular aproximaciones de áreas bajo curvas, pero el cálculo integral permite determinar áreas bajo curvas con precisión, aplicando el teorema fundamental del cálculo como se mostró en el ejemplo anterior.


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Ejemplo 1 Calcula el área limitada por la función 332)( 23 +−+= xxxxf , las rectas 2−=x y 1=x y el eje de las x. Solución Antes de iniciar el cálculo del área solicitada, es muy recomendable trazar las gráficas en cuestión para tener en claro cuál es la región de la que se desea saber su superficie. Una vez construida la gráfica, se integra la función debajo, ya que ahí se encuentra la superficie solicitada, tomando en cuenta los límites establecidos (en este caso las rectas verticales en azul).

Figura 5. Gráfica del área limitada por la función

332)( 23 +−+= xxxxf , las rectas

2−=x y 1=x y el eje de las x.

Sustituyendo la función y los límites en la integral:

( )∫− =+−+1

2

23 332 dxxxx


( ) xxxxdxxxx 323

32

4332

2341

2

23 +−+=+−+∫−


( )1

2

2341

2

23 323

32

4332

−−

+−+=+−+∫ xxxxdxxxx

21

2

234

463

340

12293

23

32

4uxxxx

=

−−

=

+−+

−

Ejemplo 2 Calcula el área bajo la curva de la siguiente función. En este caso el área está limitada por la gráfica de la función y su intersección con el eje de las x. Sustituyendo la función y los límites en la integral:

( )∫ =−2

0

2 2 dxxx


( ) 232

0

2

32 xxdxxx −=−∫


5



xxxf 2)( 2 −= con el eje de las x.


( )2

0

232

0

2

32

−=−∫ xxdxxx

[ ] 22

0

23

340

34

3uxx −

=−

−=

−

Observa que el resultado que se obtuvo fue negativo. Este signo indica que el área calculada se encuentra debajo del eje de las x, sin embargo debes recordar que no existen áreas negativas y, por lo tanto, el área bajo la curva de

22

342)( uxxxf =−=

Ejemplo 3

Calcula el área bajo la curva de la siguiente función 44

)(2

−=xxf en el intervalo [ ]8,0 .

En este caso el área que está limitada por la gráfica de la función en el intervalo [ ]8,0 se divide en dos áreas, la primera se encuentra por encima del eje de las x y la segunda por abajo del eje de las x, por lo que será necesario calcular las dos áreas por separado.


6



44

)(2

−=xxf en el intervalo [ ]8,0 .

El área A1 se encuentra entre 0 y 4, es decir, en el intervalo [ ]4,0 . Calculando A1:

[ ]3320

3324

124

4

4

0

34

0

2

−=−

−=

−=

−∫ xxdxx

El área A2 se encuentra entre 4 y 8 es decir en el intervalo [ ]8,4 . Calculando A2:

364

332

3324

124

4

8

4

38

4

2

=

−−

=

−=

−∫ xxdxx

Para calcular el área bajo la curva de 44

)(2

−=xxf en el intervalo [ ]8,0 , se sumarán las dos áreas.

21 AAAtotal +=

232396

364

332 uAtotal ==+=

Observa que el resultado de A1 es negativo debido a que el área que está bajo la curva se encuentra debajo del eje de las x , sin embargo, como no existen áreas negativas, al sumarlas se hace positiva.

La integral definida permite encontrar un área formada por la curva gráfica de la función, el eje que se esté tomando como referencia (variable independiente) y los límites en los que se requiera encontrar el área.


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¿Qué representa un área bajo la curva? En el curso de Cálculo Diferencial estudiaste que la velocidad es la variación del desplazamiento con respecto al

tiempo. Así por ejemplo, si tienes una función de posición ttts 3)( 3 +−= en donde la posición está expresada en

metros y el tiempo en segundos, la velocidad se da por la función 33)´()( 2 +−== ttstv en m/s, esto es, la velocidad es la primera derivada de la función de posición.

Si se obtiene el área bajo la curva de 33)( 2 +−= ttv en el intervalo de [ ]1,0 .


33)( 2 +−= ttv en el intervalo de [ ]1,0.

Calculando el área bajo la curva:

( ) [ ] [ ] [ ] 202333 10

31

0

2 =−=+−=+−∫ ttdtt

Observa que al integrar la función obtienes la función de posición del móvil y el área bajo la curva representa la distancia recorrida en metros en el primer segundo. Interesante, ¿no crees?

El área bajo la curva de cualquier función representa la función original evaluada en un intervalo específico.


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Área de una región entre dos curvas En algunas ocasiones es necesario calcular el área entre dos curvas. Observa las gráficas que se muestran en las figuras 9 y 10.

Figura 9. Gráfica del área limitada por la función f(x) en el

intervalo [-2,2]. Figura 10. Gráfica del área limitada por la función g(x)

en el intervalo [-2,2].

¿Cómo podrías obtener el área entre las dos curvas?

Figura 11. Gráfica del área limitada por la función f(x) y g(x) en el intervalo [-2,2].


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Observa que si al área bajo la curva de f(x) le restas el área bajo la curva de la segunda función g(x), obtendrás el área de la región entre las dos curvas.

Figura 12. Gráfica del área limitada por la función f(x) y g(x) en el intervalo [-2,2] (verde). A partir de la consideración de que el área entre las curvas )(xf y )(xg se puede obtener restando las áreas individuales (especificadas y delimitadas adecuadamente), es posible aplicar el teorema fundamental del cálculo para determinar su valor como sigue:

dxxgxfcurvasentreÁreab

a)]()([∫ −=

Para aplicar esta relación, es necesario identificar cuál de las curvas pasa arriba de la otra y a ésta restarle la que se encuentra abajo. En caso de que no se tome esta consideración, el resultado obtenido será un área del mismo valor, pero negativa.

Por lo tanto, para poder calcular el área de una región entre dos curvas, aplica:


a)]()([∫ −=

Donde a y b son los límites de la región.


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Ejemplo 4 Calcula el área de la región que está acotada por las curvas 2)( 2 += xxf y xxg −=)( en el intervalo [ ]2,0 . Recuerda que es recomendable realizar las gráficas para poder determinar la región que se requiere.

Figura 13. Gráfica de parábola

2)( 2 += xxf y la recta xxg −=)( .

Para obtener el área de la región entre las dos curvas utilizas:


a)]()([∫ −=

Sustituyendo las funciones:

( ) ( ) ( )∫∫ ++=−−+2

0

22

0

2 22 dxxxdxxx

Integrando:

( )2

0

2

0

232

22

32∫

++=++xxxdxxx

Sustituyendo valores:

( ) [ ] 22

0

2

0

232

3260

326

22

32 uxxxdxxx =−

=

++=++∫

Por lo tanto, el área de la región acotada por las curvas 2)( 2 += xxf y xxg −=)( en el intervalo

[ ]2,0 es 2

326 ucurvasentreÁrea =

En algunas ocasiones, cuando las curvas se interceptan (cruzan), la región que se requiere determinar es el área limitada por dichas intersecciones. Estos puntos de intersección se pueden determinar algebraicamente o por medios gráficos. La sugerencia es que se tracen las gráficas y si las intersecciones coinciden con valores enteros, se consideren estos límites para la integral definida. En caso de que las intersecciones no coincidan con valores enteros, es necesario que se realice el cálculo algebraico. Ejemplo 5 Encuentra el área de la región que está formada por las curvas 22)( xxf −= y xxg −=)( Observa que en este caso, gráficamente se pueden determinar los puntos de intersección a partir de las gráficas (puntos en azul). Los valores de x de estos puntos de intersección son los límites de la integral definida.


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Figura 14. Gráfica de la parábola 22)( xxf −=

y la recta xxg −=)( puntos de intersección x = -1 y x = 2.

Para obtener el área de la región entre las dos curvas utiliza:


a)]()([∫ −=

Sustituyendo las funciones:

( ) ( ) ( )∫∫ −−+−=−−−

2

1

22

1

2 22 dxxxdxxx

Integrando:

( )2

1

2

1

232

2322

−−∫

+−=+−xxxdxxx


( ) 22

1

2

1

232

29

67

310

2322 uxxxdxxx =

−−

=

+−=+−

−−∫

Por lo tanto, el área de la región que se encuentra formada por las curvas 22)( xxf −= y xxg −=)( , es 2

29 u

Observa que las intersecciones se pueden determinar gráficamente, pero también se pueden determinar de forma algebraica. Esto se realiza igualando las dos ecuaciones 22)( xxf −= y xxg −=)( , y encontrando las soluciones

de la ecuación resultante. Para el ejemplo anterior, tienes:

Igualando las dos ecuaciones: xx −=− 22

Igualando a cero:

022 =−− xx Factorizando:

0)1)(2( =+− xx

12−=

=

xx

Observa que los valores obtenidos algebraicamente corresponden con los valores en x de las intersecciones de las gráficas.


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Longitud de arco La longitud de arco ayuda a determinar la longitud de la función en un intervalo determinado. Para ello utilizas la siguiente fórmula:

[ ] dxxfarcodeLongitudb

a∫ += 2)´(1

Observa la siguiente gráfica

Figura 15. Gráfica de la función xxf =)( en el

intervalo [ ]4,0 .

La longitud que tiene la función xxf =)( en el

intervalo [ ]4,0 de la figura. Puede determinarse aplicando el teorema de Pitágoras, debido a que la longitud de arco pedida corresponde con la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos son iguales a 4.7. Así, aplicando el teorema de Pitágoras:

22

21 cch +=

( ) ( ) uh 243244 22 ==+=


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Comprueba el mismo ejemplo utilizando el cálculo integral con la fórmula de longitud de arco.

Para determinar la longitud que tiene la función

xxf =)( en el intervalo de[ ]4,0 por medio de la fórmula de longitud de arco:

[ ] dxxfarcodeLongitudb

a∫ += 2)´(1

Observa que la fórmula requiere la derivada de la función, por lo tanto: si xxf =)( entonces 1)´( =xf y [ ] ( ) 11)´( 22 ==xf

Figura 16. Gráfica de la longitud de arco de la función

xxf =)( en el intervalo [ ]4,0 . Sustituyendo en la fórmula la derivada y los límites de la integral: [ ] 1)´(,4,0 2 === xfba

dxdxarcodeLongitud ∫∫ =+=4

0

4

0211

Integrando:

[ ]404

022 xdxarcodeLongitud == ∫


( )[ ] ( )[ ] uarcodeLongitud 240242 =⋅−⋅= Observa que aplicando los dos métodos se obtuvieron los valores de la longitud de la gráfica en el intervalo solicitado. ¿Se puede entonces aplicar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de cualquier arco? La respuesta es no, ya que el teorema de Pitágoras sólo es útil cuando se analizan triángulos rectángulos. En cambio, la fórmula de longitud de arco del cálculo integral se puede aplicar para cualquier tipo de curva, como lo muestran los siguientes ejemplos.


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Ejemplo 6

Determina la longitud de arco de 23

2)( xxf = en el intervalo de [ ]2,0

En este caso,

si 23

2)( xxf = , entonces 21

3)´( xxf = y

[ ] xxxf 93)´(2

212 =

=

Figura 17. Gráfica de la función 23

2)( xxf = en el intervalo de [ ]2,0 .

Sustituyendo en la fórmula la derivada y los límites de la integral: [ ] xxfba 9)´(2,0 2 ===

( ) dxxdxxarcodeLongitud ∫∫ +=+=2

0212

09191

Integrando:

( ) ( ) ( ) ( )27912

2391

91991

9191

23

23

2

0212

021 xxdxxdxxarcodeLongitud +

=+

=+=+= ∫∫


( ) ( ) ( )( ) ( )( )=

+−

+=

+=+= ∫ 27

0912272912

2791291

23

232

0

23

2

021 xdxxarcodeLongitud

( ) ( ) [ ] [ ] udxxarcodeLongitud 05.6074.013.6272

2719291

23

2

021

=−=

−

==+= ∫

Observa que con los dos métodos obtuviste los valores de la longitud de la gráfica.


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Recuerda que el cálculo integral permite realizar los cálculos de funciones que no son tan sencillas de determinar utilizando la geometría o trigonometría.

Bibilografía

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6ª. ed.; E. de Oteyza, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T. & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw-Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo (3ª. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: Internacional Thomson Editores.

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