Aplicaciones económicas de la integral definida

Probabilidad como área. La condición probable de un evento puede obtenerse determinando el

área correspondiente situada bajo la gráfica de una cierta función. Véase la figura 6. En el caso de una

variable aleatoria x continua, una función f(x) se llama función densidad de probabilidad o función de

frecuencia de x cuando cumple lo siguiente:

1. f(x)

2.

3. a < b. Si f es continua, P(a < x < b) = P(a x b).

Esto significa que la probabilidad es no negativa, la probabilidad de un evento seguro es igual a

uno y la probabilidad que x esté en el intervalo (a, b) es igual a con

y = f(x), x = a, x = b.

Figura 6. Probabilidad como área bajo una curva

Excedente del consumidor. Una función de demanda representa las cantidades de un bien que

puede comprarse en diversos precios. Sea el precio del mercado po y la cantidad demandado qo.

Aquellos consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un precio mayor que el de mercado se

benefician porque el precio es solamente po. Véase la figura 7.

Figura 7. Excedente del consumidor

La ganancia total del consumidor está dada por el área bajo la curva de demanda y sobre la recta p = p o

lo cual se conoce como excedente del consumidor EC. Su ecuación será , donde

p = f(q) es la función de demanda. Otra manera de expresar este excedente es .

Excedente del productor. La función de oferta representa las cantidades de un artículo que se

ofrecen en el mercado a diversos precios. Si el precio es p0 y la correspondiente cantidad en el mercado

es q0, entonces aquellos productores que estén dispuestos a vender el artículo a un precio menor que el

de mercado, se benefician porque el precio es p0. La ganancia total del productor está representada por

el área sobre la curva de oferta y bajo la recta p = p0. llamándose excedente del productor. Véase la

figura 8.

Figura 8. Excedente del productor

La ecuación del excedente del productor EP será entonces, con p = f(q) la función de oferta

. También puede hallarse así: .

Ingresos frente a costos. La integración se usa para hallar la utilidad total. Se maximiza la utilidad,

en libre competencia si IM = CM. Entonces la utilidad total UT será

.

Ejercicios

1. Un centro de computación está en servicio 12 horas al día, y las reparaciones, excepto los casos

de urgencia, se programan para las siguientes 12 horas. La función densidad de probabilidad

para el número de horas cuando el centro opera realmente, está dada por 0

x 12. Determine la probabilidad de que la instalación opere entre 10 y 12 horas al día, y

calcule la probabilidad de que el centro opere menos de 6 horas al día.

2. Una compañía tiene un número muy grande de automóviles para uso de sus empleados. Los

registros del tiempo cuando cada auto está fuera de servicio por descompostura, sirven como

base para decidir cuando se deberá vender un vehículo. La función densidad de probabilidad

f8x) para el tiempo x (en días) que un auto está fuera de servicio, antes de ser considerada muy

costosa su reparación y tenga que ser vendido, está dada por , 0 x . Halle

la probabilidad de que un auto esté fuera de servicio un total de más de 30 días antes de ser

desechado y determine la probabilidad de que un auto esté fuera de servicio un total de menos

de 5 días antes de ser vendido. (Nota: esta variable siempre toma valores enteros no negativos)

3. Determine si las funciones dadas son densidad de probabilidad:

a) f(x) = x-2, 1 x

b) f(x) = 2e-4x, 0 x

c) f(x) = , 1 x 20

4. Si la función de demanda es y = 39 –x2 evalúe el excedente del consumidor si (a) x0 = 5/2, y (b)

si el artículo es gratuito (es decir, y0 = 0).

5. Si la función de demanda es y = 16 - .y2 y la función de oferta es y = 2x + 1, determine el

excedente del consumidor y el excedente del productor en un mercado de libre competencia.

6. Si la función de oferta es y = y x0 = 7, obtenga el excedente del productor.

7. Si la función de oferta es y = 4ex/3 y x0 = 3, calcule el excedente del productor.

8. Las funciones de demanda y de oferta (en un mercado de libre competencia) son y =

1/4(9 - x)2 y = 1/4(1 + 3x), respectivamente. Si se establece un impuesto adicional de 3 por

unidad de producto, calcule la disminución en el excedente del consumidor.

9. La cantidad vendida y el precio están determinados en un mercado monopolice, por las

funciones de demanda y •= ¼(10 - x)2 y de costo total y = (x3/4) + 5x de tal manera que se

maximice la utilidad. Determine el correspondiente excedente del consumidor.

10. La cantidad vendida y el precio en un mercado monopolice, se determinan por las funciones de

demanda y = 20 - 4x2 y de costo marginal y’= 2x + 6, de manera que se maximice la utilidad.

Determine el correspondiente excedente del consumidor.

11. Si la función de demanda corresponde a la parte de la hipérbola equilátera y = [8/(x + 1)] – 2

situada en el primer cuadrante, y la función de oferta es y =. 1/2(x + 3), calcule el excedente del

consumidor y el excedente del productor en un mercado de libre competencia.

12. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en un mercado de monopolio, están

determinados por la función de demandar = 45 -x2 y el costo marginal y' = 6 + {x2/4) de modo

que se maximice la utilidad. Calcule el excedente del consumidor.

13. Las funciones de demanda y de oferta en un mercado de competencia pura son,

respectivamente, y = 14 - x2 y = 2x2 + 2; determine (a) el excedente del consumidor, y (b) el

excedente del productor.

14. La función de demanda es y = 20 - 3x2 y la función de oferta es y = 2x2; obtenga los excedentes

del consumidor y del productor en un mercado de competencia libre o pura.