APLICACIONES DE

LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

ECUACIONES

DIFERENCIALES DE

VARIABLES

SEPARABLES

Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con

una velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire

es proporcional a la velocidad del cuerpo.

Se sabe que la velocidad límite debe ser 40 m/seg.

Encontrar:

a) la expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t,

b) la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y c) la

velocidad después de 8 segundos.

a) La fuerza neta F sobre un cuerpo es F = mg - kv, donde m es la masa

del objeto, g es la fuerza de la gravedad y kv es la fuerza debida a la

resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).

Además, por la segunda ley de Newton, tenemos :

En este problema:

w = 30 kg y como w = mg, entonces mg = 30 kg

v. límite = 40 m/seg, donde v, ; entonces

Sustituyendo estos valores en la ecuación

ecuación lineal, cuya solución es

Con condición inicial: para t = O, v = 8,

b) Para encontrar la posición del cuerpo tomamos o entonces

ecuación de variables separables

con solución:

Para t = O , x = O Y C2 = -148

c) Para t = 8

ECUACIONES

DIFERENCIALES

LINEALES

Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una ínductancía de 1 henrio,

una 1'esíst"encía de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la

corriente en el circuito para cualquier tiempo t.

El circuito más sencillo RL consta de:

Una resistencia R, en ohmios

Una inductancia L, en henrios

Una fuerza electromotriz, fem E, en voltios

La cantidad de corriente 1, en amperios, queda expresada por la ecuación:

Entonces, para E = 5, L = 1 Y R = 80, la ecuación del circuito es:

, ecuación lineal, cuya solución es:

Para t = O, 1 = O; entonces:

La corriente en cualquier tiempo t es:

ECUACIONES

DIFERENCIALES

BERNOULLI

EL PAR DE AMIGOS

Consideremos inmóvil la corriente del río y Liborio llevará su velocidad más

la del río.

Derivando:

ECUACIONES

DIFERENCIALES

HOMOGÉNEAS

Régimen transitorio en corriente alterna.

Al cerrar la llave L la fuente aplica una

tensión v variable en el tiempo de forma

sinusoidal.

Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff

tenemos:

Derivando

reordenado la expresión anterior y dividiendo por L miembro a miembro:

ecuación diferencial de 2º orden, con coeficiente constantes y no

homogénea.

Para resolver esta ecuación diferencia y estudiar el régimen transitorio

respectivo, emplearemos uno de los métodos de resolución explicados en

los apartados anteriores, por ejemplo, el método de los coeficientes

indeterminados

Determinación de la función complementaria yh

Resolvemos

Esto ya lo sabemos hacer, de manera que obtendremos una de las

siguientes soluciones

Determinación de la solución particular yp :

Partes variables

por lo tanto

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_or

den#Ecuaciones_de_variables_separables

Referencias

Libro

ECUACIONES DIFERENCIALES

ISABEL CARMONA JOVER