aplicaciones geomÉtricas de lÍmites y derivadas
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Aplicaciones geométricas de límites y derivadas
Por: Liliana Lizbeth Dávila Santa Cruz
Asesor: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 2
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS
1. Sentido de concavidad de una curva
2. Puntos de inflexión
3. Gráficas de y : Teoremas
4. Asíntotas
5. Análisis general de las funciones y sus gráficas
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA
)(xf )(' xf
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 3
INTRODUCCIÓN
La matemática a pesar de su naturaleza abstracta muestra su utilidad en distintas
ramas del saber humano, es decir, que dicha ciencia resulta necesaria en la
resolución de problemas de diversa índole, no sólo matemáticos. Una muestra
muy claro de ello es la contribución del cálculo, tanto diferencial como integral, en
situaciones económicas, administrativas, contables, empresariales, entre otras.
En ese sentido, el cálculo diferencial representado por límites y derivadas, tiene
aplicaciones también dentro del campo mismo de la matemática, principalmente
en la geometría. Ante ello el presente trabajo de investigación destaca diversas
aplicaciones geométricas para determinar la concavidad de una curva, los puntos
de inflexión, hacer gráficas, identificar asíntotas y realizar análisis de funciones de
manera general.
Así mismo, cabe precisar que este estudio se realiza a manera de resumen
teniendo como fuente principal el libro de Claudio Pita denominado: Cálculo de
una variable y se complementa con otros autores como Venero A. y Leithold L.
Desde esta óptica, se espera que este producto investigativo sea incentivo para
que demás estudiantes y profesionales profundicen este tema o temas afines,
reconociendo su trascendencia en la resolución de problemas del contexto
matemático y real.
La autora
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 4
APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LÍMITES Y DERIVADAS
1. Sentido de concavidad de una curva
Sea RRIf : una función derivable en el intervalo abierto I de R :
Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia arriba si su derivada
RRIf :' es una función creciente en I .
Se dice que la gráfica de esta función es cóncava hacia abajo si su derivada
RRIf :' es una función decreciente en I .
Una caracterización geométrica de la concavidad de una curva es la siguiente: una
curva es cóncava hacia arriba si sus rectas tangente se encuentran siempre por
debajo de la curva, y es cóncava hacia abajo si sus rectas tangentes se
encuentran siempre por encima de la curva.
Una curva cóncava hacia arriba tiene sus rectas tangentes por debajo de ella, y
una curva cóncava hacia abajo tiene sus rectas tangentes por encima de ella.
Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 5
Teorema: Sea RRIf : una función dos veces derivable definida en el
intervalo abierto I de R .
a) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava
hacia arriba en I .
b) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava
hacia abajo en I .
Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función
75)( 246 xxxxf .
Solución
En primer lugar, las derivadas de la función son:
101230)(''
1046)('24
35
xxxf
xxxxf
Como 0)('' xf para toda Rx (es una suma de dos términos no negativos con
un positivo) concluimos que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba en
todo R.
Ejemplo: Determine el sentido de concavidad de la gráfica de la función
2)( 3 xxxf en el intervalo R .
Solución
Las derivadas de esta función son:
xxf
xxf
6)(''
13)(' 2
Como para Rx se tiene 0)('' xf , concluimos que la gráfica de la función
2)( 3 xxxf es cóncava hacia abajo en R .
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 6
Criterio de la segunda derivada para determinar extremos locales de una
función:
Sea RRIf : una función definida en el intervalo abierto I de R tal que en
el punto Ix 0 se tiene 0)(' 0 xf . Entonces:
a) Si 0)('' xf la función tiene un mínimo local en 0x .
b) Si 0)('' xf la función tiene un máximo local en 0x .
Ejemplo: Determine los extremos locales de la función xexxf 2)( usando el
criterio de la segunda derivada.
Solución
La derivada de la función es xexxxf )2()(' 2 la cual se anula en 00 x y 21 x
(éstos son los puntos críticos). La segunda derivada de la función es:
xxx exxxeexxxf )24()22()2()('' 22
Evaluando )('' xf en los puntos críticos tenemos 02)0('' f y entonces, por el
criterio de la segunda derivada la función dada tiene un mínimo local en 00 x . En
21 x se tiene 02)284()('' 22 eexf y entonces, por el criterio de la
segunda derivada, la función tiene un máximo local en 21 x .
2. Puntos de inflexión
La gráfica de una función continua RRIf : puede tener intervalos en los que
es cóncava hacia arriba e intervalos en los que es cóncava hacia abajo. Cada uno
de éstos los llamaremos intervalos de concavidad de la gráfica de la función.
Según el teorema anterior (Sea RRIf : una función dos veces derivable: si
0)('' xf es cóncava hacia arriba y si 0)('' xf es cóncava hacia abajo) en cada
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 7
uno de tales intervalos la segunda derivada de la función debe mantener signo
constante.
Por lo tanto, en los puntos en donde hay un cambio de concavidad en la gráfica de
la función la segunda derivada de ésta o es igual a cero o no existe. Estos puntos
son análogos a los puntos críticos, en donde la función cambia su comportamiento
de creciente a decreciente, o viceversa. Tales puntos reciben un nombre especial:
Para determinar los puntos de inflexión de una función debemos considerar los
puntos en donde la segunda derivada de aquella es cero o no existe. Estos puntos
serán los candidatos a puntos de inflexión (es decir, si la función tiene puntos de
esta naturaleza, éstos deben estar en donde la segunda derivada es cero o no
existe). Lo anterior no significa que en todo punto en donde )('' xf es cero o no
existe hay un punto de inflexión: debemos verificar que en estos puntos ocurre
A un punto de la gráfica de una función, en donde la gráfica cambia de
concavidad se le llama punto de inflexión de la gráfica de la función.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 8
efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, pues se ha
definido un punto de inflexión como un punto de la gráfica de la función en donde
ocurre un cambio de concavidad en su gráfica, y no un punto en donde la segunda
derivada es cero o no existe.
Es importante señalar que un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una
función. En los puntos en donde la función no existe (por ejemplo en algunas
discontinuidades de la función) se pueden presentar también cambios en la
concavidad de la gráfica; por lo tanto, al estudiar los intervalos de concavidad de la
función debemos considerar (además de los puntos en donde la segunda derivada
es cero o no existe) que en las discontinuidades puede haber cambios de
concavidad en la gráfica de una función.
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de 11)( 3 xxf
Solución
3
2' )1(
3
1)(
xxf , 3 5
''
)1(
1.
9
2)(
xxf
Posibles puntos de inflexión 0x :
a) Tales que 0)( 0'' xf , no existen en este caso.
b) Tales que )( 0'' xf no existe: En 10 x
Análisis correspondiente:
a) x 1, : 0)('' xf es cóncava hacia arriba
b) x ,1 : 0)('' xf es cóncava hacia abajo
Por lo tanto, el punto )1,1()(, 00 xfx es punto de inflexión de f y es además el
único punto de inflexión.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 9
Ejemplo: Hallar los puntos de inflexión de 3 4)4(2
1 xx .
Solución
32
'
)4(
)2(.
3
2)(
x
xxf ,
35
''
)4(
)8(.
9
2)(
x
xxf
Posibles puntos de inflexión: 8x y 4x
Análisis correspondiente:
x )(' xf )('' xf Conclusiones
2, < 0 > 0 Decreciente y
cóncava hacia arriba.
4,2 > 0 > 0 Creciente y cóncava
hacia arriba.
8,4 > 0 < 0 Creciente y cóncava
hacia abajo.
,8 > 0 > 0 Creciente y cóncava
hacia arriba.
En 2x hay un mínimo 8.323)2( 3 f
Para 4x hay un punto de inflexión.
Para 8x hay otro punto de inflexión.
Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión de la
gráfica de 3 4)( xxxf , donde x R.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 10
Solución
32
'
4
)3(.
3
4)(
x
xxf ,
35
''
4
)6(.
9
4)(
x
xxf
Posibles puntos de inflexión: En aquellos 0x para los que 0)( 0'' xf ó )( 0
'' xf no
exista.
40 x , 60 x lo cual verificaremos analizando el signo de )('' xf en 4, , 6,4
y ,6 .
x )('' xf Concavidad Conclusiones
4, > 0 Hacia arriba ))4(,4( f : es punto
de inflexión.
))6(,6( f : es un
punto de inflexión.
6,4 < 0 Hacia abajo
,6 > 0 Hacia arriba
Ejemplo: Hallar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión
de 35
32
210)( xxxf .
Solución
31
' )2(.
3
5)(
x
xxf
34
'' )1(.10)(
x
xxf
0)('' xf para 1x Esto significa que: Los posibles puntos
de inflexión son: 0x y 1x . )('' xf no existe para 0x
Analizaremos en los puntos en 1, , 0,1 y ,0 :
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 11
x )('' xf Concavidad Conclusiones
1, > 0 Hacia arriba ))1(,1( f : es
punto de inflexión.
))0(,0( f : es un
punto de inflexión.
0,1 < 0 Hacia abajo
,0 < 0 Hacia abajo
3. Gráficas de y : Teoremas
En este punto se resumirán aspectos correspondientes a las funciones crecientes
y decrecientes, extremos locales, gráficas cóncavas hacia arriba y hacia abajo y
puntos de inflexión; así como el contenido geométrico de estos conceptos. Todo
ello para exprimir toda la información que se pueda a cerca de la función (y su
gráfica) y poder interpretarla en términos de derivadas. A continuación se
presentan dos teoremas que serán fundamentales para realizar el análisis de una
función:
Teorema: Sea RRIf : una función derivable en el intervalo abierto I de
R .
b) Si 0)(' xf para toda Ix , entonces la función es creciente en I .
b) Si 0)(' xf para toda Ix , entonces la función es decreciente en I .
Teorema: Sea RRIf : una función definida en el intervalo abierto I de R .
c) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava
hacia arriba en I .
b) Si 0)('' xf para toda Ix , entonces la gráfica de la función es cóncava
hacia abajo en I .
)(xf )(' xf
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 12
Cuando además se supone que la función involucrada es dos veces derivable, los
resultados anteriores toman el aspecto más fuerte:
De esta manera se puede decir que:
Un extremo local de )(xf corresponde a una raíz de )(' xf , es decir, a un punto
en donde )(' xf cruza al eje x. En el caso de máximo local de )(xf , la gráfica
de )(' xf pasa de arriba para abajo del eje x, y en el caso de mínimo local de
)(xf , la gráfica de )(' xf pasa de abajo para arriba del eje x.
Un punto de inflexión de la gráfica de )(xf corresponde a un extremo local de
)(' xf . En caso de que el punto de inflexión separe una parte cóncava hacia
La función
RRIf :
es creciente
La función
RRIf :
es decreciente
0)(' xf Ix
0)(' xf Ix
Gráfica de
RRIf :
cóncava hacia arriba
Gráfica de
RRIf :
cóncava hacia abajo
0)('' xf Ix
0)('' xf Ix
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 13
arriba (en la izquierda) de una parte cóncava hacia abajo (en la derecha), se
tendrá un máximo local en )(' xf y en el caso de que el punto de inflexión
separe una parte cóncava hacia abajo (en la izquierda) de una parte cóncava
hacia arriba (en la derecha) se tendrá un mínimo local en )(' xf .
Ejemplo: Dada la gráfica de )(xf , bosquejar la gráfica de )(' xf .
Solución
Resumiremos en una tabla las observaciones de la gráfica de )(xf dada, y las
conclusiones que se pueden obtener de )(' xf y su gráfica.
Punto o
intervalo
Lo que se puede
decir de )(xf y su
gráfica
)(' xf )('' xf
Conclusión
acerca de )(' xf y
de su gráfica
1xxa Es lineal creciente. + 0 Gráfica por encima
del eje x. Es
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 14
constante.
1x Máximo local. No existe No existe Discontinuidad.
21 xxx
Es decreciente.
Gráfica cóncava
hacia arriba.
- +
Gráfica por debajo
del eje x.
Es creciente.
2x Mínimo local. 0 + Raíz de )(' xf .
Es creciente.
32 xxx
Es creciente.
Gráfica cóncava
hacia arriba.
+ +
Gráfica por encima
del eje x.
Es creciente.
Entonces, un bosquejo de la gráfica de )(' xf sería:
Gráfica de la derivada de )(xf
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 15
Ejemplo: Dada la gráfica de )(xf , bosquejar la gráfica de )(' xf .
Solución
En este ejemplo ocurre una situación
nueva: en el punto 2x , en donde hay un
pico en la gráfica de la función, que indica
la no existencia de la derivada, se observa
que la recta tangente a )(xf tiende a ser
vertical cuando x se aproxima a 2x tanto
por la derecha como por la izquierda. Es
decir, )(' xf tiende a infinito cuando x
tiende a 2x . Sin embargo, se observa que si 2xx , las rectas tangentes
correspondientes son siempre de pendiente positiva (cada vez más verticales) por
lo que
)(lim2
xfxx
.
Otro hecho notorio es lo que ocurre en 3x . En este punto se trata de marcar un
punto de inflexión, el cual corresponderá a un extremo local de )(' xf . Sin
embargo la recta tangente en este punto es horizontal y por tanto 0)(' 3 xf . Así,
el extremo local correspondiente de )(' xf se alcanza en el eje x .
Con estas observaciones se puede concluir que:
Punto o
intervalo
Lo que se puede
decir de )(xf y su
gráfica
)(' xf )('' xf
Conclusión
acerca de )(' xf y
de su gráfica
1xxa Es decreciente.
Gráfica cóncava - +
Gráfica por debajo
del eje x.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 16
hacia arriba. Es creciente.
1x Mínimo local. 0 + Raíz de )(' xf .
Es creciente.
21 xxx
Es creciente.
Gráfica cóncava
hacia arriba.
+ +
Gráfica por encima
del eje x.
Es creciente.
2x Máximo local. No existe No existe Discontinuidad.
32 xxx
Es decreciente.
Gráfica cóncava
hacia arriba.
- +
Gráfica por debajo
del eje x.
Es creciente.
3x
Punto de inflexión.
Recta tangente
horizontal.
0 0 Máximo local
sobre el eje x.
bxx 3
Es decreciente.
Gráfica cóncava
hacia abajo.
- -
Gráfica por debajo
del eje x. Es
decreciente.
Entonces, un bosquejo de la gráfica de )(' xf sería:
Gráfica de la derivada de )(xf
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 17
4. Asíntotas
Para poder hacer un análisis completo de una función y lograr un bosquejo
adecuado de su gráfica, necesitamos considerar la posibilidad de existencia de
asíntotas de la función. De manera intuitiva, una asíntota es una recta “que se
confunde con la gráfica de la función en puntos muy alejados del origen”. Una
manera común en que esto puede ocurrir es que la gráfica de la función “se pegue
cada vez más a tal recta a medida que se aleja del origen”. En ese sentido,
encontramos diversos tipos de asíntotas:
Una asíntota vertical es una recta ax para la cual se tiene:
)(lim xfax
)(lim xfax
Una asíntota horizontal es una recta Ly para la cual se tiene:
Lxfx
)(lim Lxfx
)(lim
Una asíntota oblicua es una recta bmxy ,con 0m para la cual se tiene
que:
0))()((lim
bmxxfx
La idea al determinar este tipo de asíntotas es procurar valores de m y b tal que la
distancia entre )(xf y bmx es cada vez más pequeña a medida que x se hace
muy grande.
Ejemplo: Dada 3
44)(
xxxf , hallar todas las asíntotas de la gráfica.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 18
Solución
a)
)(lim3
xfx
,
)(lim3
xfx
)(lim3
xfx
,
)(lim3
xfx
Entonces: 3x y 3x son asíntotas verticales
b) 1)3(
44)(limlim
xxx
x
x
xfm
xx
43
44)( limlim
xx
xmxxfbxx
Entonces: 4 xy es una asíntota oblicua derecha
c) 13
44)(limlim
xxx
x
x
xfm
xx
43
44)( limlim
xx
xmxxfbxx
Entonces: 4 xy es una asíntota oblicua izquierda
En total existen cuatro asíntotas y ninguna es horizontal. Análogamente, si
suponemos que 0)('' cf también llegaremos a un absurdo. Por lo tanto, como
)('' cf existe, debe ser igual a 0.
Ejemplo: Hallar todas las asíntotas de la gráfica de la función 1
)(2
2
x
xxf ,
,11,x
Solución
a)
1
.2
1
)1)(1()(
2
1
2
11limlimlim x
x
xx
xxf
xxx
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 19
Entonces: Asíntota vertical: 1x también se prueba que 1x es otra asíntota
vertical.
b) 11
1
1
1
)(
2
2 limlimlim
xx
x
x
xfm
xxx
0
11
11
1
1)(
22
2
2
limlimlim
x
x
xx
xmxxfb
xxx
…………. (1)
Entonces: bmxy xy es una asíntota oblicua derecha
c) 111
1
111
)(
222 limlimlimlim
xx
x
x
x
x
x
xfm
xxxx
011
)(2
2
2
2
limlimlim
zz
zx
x
xmxxfb
zxx
Por (1) para
xz
Entonces xy es una asíntota oblicua izquierda
Lo cual tiene sentido pues la gráfica de f es simétrica respecto al eje y, así en total
se tienen cuatro asíntotas.
5. Análisis general de las funciones y sus gráficas
En este último punto se realizarán análisis de funciones que incluirán información
sobre:
Su dominio.
La continuidad (por ejemplo, indicar los puntos donde la función es
discontinua).
Los intervalos de monotonía.
Los extremos locales.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 20
Los intervalos de concavidad.
Los puntos de inflexión.
Las asíntotas.
Ejemplo: Hacer un análisis general de la función )3()( 2 xxxf .
Solución
a) Preliminares: Puesto que la función dada es polinomial está definida y es
continua en todo R.
b) Lo que se puede obtener con la primera derivada: investiguemos los intervalos
de crecimiento y de decrecimiento, así como los extremos locales; se tiene que
236)(' xxxf , de modo que los puntos críticos son las raíces de la ecuación
0)2(3)(' xxxf , es decir, 01 x y 22 x . Para investigar los intervalos de
monotonía dividimos la recta en intervalos ),2(),2,0(),0,( , marcados por los
puntos críticos. En cada uno de ellos tomamos un punto representativo y
evaluamos la derivada. El signo del resultado que obtengamos será el signo que
tenga la derivada en todo el intervalo correspondiente. Por ejemplo, tomamos
)0,(1 , para el cual 09)1(3)1(6)1(' 2 f . Entonces la función es
decreciente en el intervalo )0,( . Tomamos )2,0(1 , para el cual
03)1(3)1(6)1(' 2 f . Entonces la función es creciente en el intervalo )2,0( .
Tomamos ),2(3 , para el cual 09)3(3)3(6)3(' 2 f . Entonces la función
es decreciente en el intervalo ),2( . Si usamos el criterio de la primera derivada
ya podemos concluir que en 0x la función tiene un mínimo local y en 2x tiene
un máximo local.
c) Lo que se puede obtener con la segunda derivada: este aspecto abarca el
estudio de los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. La segunda
derivada de la función es xxf 66)('' . Los posibles puntos de inflexión son las
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 21
raíces de 066)('' xxf es decir 1x . La recta real queda partida por este
punto en los intervalos )1,( y ),1( . Para ver la concavidad de la gráfica de la
función en cada uno de estos intervalos tomamos un punto en cada uno de ello y
evaluamos )('' xf . El signo obtenido es el signo de )('' xf en todo el intervalo.
Tomamos por ejemplo )1,(0 , para el cual 06)0('' f y entonces la gráfica
de la función es cóncava hacia arriba en el intervalo )1,( . Tomamos ahora
),1(2 , para el cual 06)2(66)('' xf y entonces la gráfica de la función
es cóncava hacia abajo en el intervalo ),1( . De aquí vemos también que en
1x hay efectivamente un cambio de concavidad en la gráfica de la función, y que
es, por tanto, un punto de inflexión.
d) Las asíntotas: Es un hecho general que una función polinomial no tiene
asíntotas de ningún tipo.
Finalmente, aquí tenemos la gráfica de la función )3()( 2 xxxf :
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 22
Ejemplo: Hacer un análisis general de la función xxxf arctan5)( .
Solución
a) Preliminares: La función está definida y es continua en todos los reales.
Además es una función impar, pues:
)()5(
arctan5)arctan(5)arctan(5)(
xfarctamxx
xxxxxxxf
De modo que su gráfica deberá ser simétrica respecto al origen.
b) Lo que se puede obtener con la primera derivada: investiguemos los intervalos
de monotonía y los extremos locales de la función. Su derivada es:
1
4
1
51)('
2
2
2
x
x
xxf
De tal manera que los puntos en donde 0)(' xf son las raíces de la ecuación
042 x , es decir, 21 x y 22 x . La recta queda dividida en tres intervalos de
signo constante de )(' xf a saber ),2(),2,2(),2,( . Tomamos el valor
)2,(3 , para el cual 02
1
1)3(
4)3()3('
2
2
f , así 0)(' xf para toda x en el
intervalo )2,( . Tomamos el valor )2,2(0 , para el cual 04)0(' f , así,
0)(' xf para toda x en el intervalo )2,2( . Tomamos el valor ),2(3 , para el
cual 02
1
1)3(
4)3()3('
2
2
f , así 0)(' xf para todo x en el intervalo ),2( .
Concluimos entones que la función es creciente en los intervalos ),2(),2,( y
decreciente en el intervalo )2,2( . De aquí, se concluye también que en 2x la
función tiene un máximo local, con 53574.3)2arctan(52)2( f y que en
2x hay un mínimo local, con .53574.3)2arctan(52)2( f
c) Lo que se puede obtener con la segunda derivada: la segunda derivada de la
función es:
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 23
2222
22
2
2
1
10
1
2421
1
4)(''
x
x
x
xxxx
x
xxf
La única raíz de 0)('' xf es 0x . Resulta claro que para 0x se tiene
0)('' xf y para 0x se tiene que 0)('' xf , de modo que efectivamente 0x es
un punto de inflexión con 0)0( f . La gráfica de la función es cóncava hacia arriba
en R y cóncava hacia abajo en R .
d) Asíntotas: La función xxxf arctan5)( no tiene asíntotas, pues no hay valor
alguno a de x para el cual
)(lim xfax
(por esta razón no hay asíntotas
verticales) y además )(lim xfx
es infinito (por lo cual no hay asíntotas
horizontales).
Finalmente, el gráfico de la función xxxf arctan5)( sería el siguiente:
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 24
CONCLUSIONES
La utilización de teoremas sobre límites y derivadas en la resolución de
problemas geométricos relacionados al estudio de funciones, facilita un análisis
detallado de las mismas (sentido de concavidad, puntos de inflexión, asíntotas)
y una acertada construcción de sus respectivas gráficas.
El estudio del cálculo y sus aplicaciones geométricas constituyen una base
sólida en el quehacer matemático puesto que permite el desarrollo de
capacidades fundamentales, así como las netamente matemáticas:
razonamiento, demostración, comunicación matemática y resolución de
problemas; gracias a la aplicación de fórmulas y métodos eficaces.
Aplicaciones geométricas de límites y derivadas 25
BIBLIOGRAFÍA
Fuente principal:
Pita, C. (1998). Cálculo de una variable. Primera edición. México: Prentice-Hall
Hispanoamericana.
Fuentes complementarias:
Leithold, L. (1998). El Cálculo. Séptima edición. México: Oxford University
Press.
Venero, A. (2002). Análisis matemático I. Primera edición. Perú: ediciones
Gemar.