Optică Aplicată

Seminar 2. Componente optice cu suprafeţe plane.

Lama plan paralelă

Lama plan-paralelă reprezintă o grupare de doi dioptrii plani şi paraleli. Poate fi privită ca o lentilă cu razele de curbură infinite şi deci de putere nulă. Acţiunea lamei plan-paralele izotrope constă în modificarea drumului optic şi în deplasarea axială şi transversală a imaginii (figura 2.1). Considerăm lama plan-paralelă scăldată în aer. Fie A punctul obiect şi A punctul imagine conjugat faţă de lama plan-paralelă de grosime d şi indice de refracţie n. Pentru legea refracţiei scrisă în punctul I1 şi în punctul I2

(2.1)

se ţine seama că şi rezultă că

. (2.2)

Cum şi rezultă că

(2.3)

Aşadar, lama plan paralelă nu are nici o acţiune asupra înclinării fasciculelor de raze care o străbat.

Figura 2.1Distanţa dintre direcţiile celor două raze paralele se numeşte deplasarea razei. Mărimea deplasării razei se calculează din triunghiurile I1NI2 şi I2MI1:

1

(2.4)

(2.5)

Înlocuind pe I1I2 se obţine:

(2.6)

Dacă se ţine cont de (2.1) relaţia (2.6) devine:

(2.7)

Cunoscând formula deplasarea se poate calcula deplasarea axială a razei

(2.8)

Deplasarea axială permite calculul deplasării radiale Vr :

(2.9)

Pentru unghiuri mici: Dacă aceste observaţii se introduc în relaţiile (2.7) şi (2.8), se obţine deplasarea razei şi deplasarea axială a razei produsă de lama plan-paralelă, în domeniul paraxial:

(2.10)

2

(2.11)

Dacă se deplasează cu distanţa , adică până în punctul , se obţine o lamă de aer echivalentă pentru care, înălţimile intersecţiilor razei incidente cu feţele acesteia sunt egale cu înălţimile de intersecţie ale razei reale, cu feţele lamei de sticlă. Grosimea lamei de aer este:

(2.12)

Folosind grosimea lamei de aer echivalente, diametrele transversale ale lamei de sticlă se calculează uşor. Relaţiile (2.7) şi (2.8) arată că deplasarea radială şi deplasarea axială depind de unghiul de incidenţă.Dacă lama plan paralelă se fixează in fascicole divergente sau în fascicule convergente unghiul de incidenţă variază cu înălţimea de incidenţă şi lama plan paralelă introduce aberaţii de care trebuie să se ţină cont în proiectare. Mai mult decât atât poziţia obiectului, în domeniul paraxial trebuie modificată, în sensul măririi acesteia, cu faţă de poziţia în care nu ar exista lama plan paralelă. Dacă lama plan paralelă este aşezată în fascicule paralele unghiul de incidenţă este acelaşi pentru toate razele, nu introduce aberaţii şi nici nu trebuie modificată distanţa dintre componente.Relaţia (2.12) este valabilă pentru domeniul paraxial (3..5º). Dacă se roteşte lama plan paralelă într-un fascicolul convergent fix atunci efectul este de translatare a imaginii date de fascicolul convergent proporţional cu unghiul de rotaţie. Această proporţionalitate este practic acceptabilă până la valori de , datorită existenţei profunzimii sistemelor optice.

Prisme

Prismele sau sistemele de prisme se folosesc la abaterea direcţiei axei optice, la redresarea imaginii sau în cazuri particulare, ca elemente dispersive. Prisma este formată dintr-un mediu refringent, limitat prin două suprafeţe plane care se intersectează. Dreapta de intersecţie se numeşte muchia prismei, iar unghiul format de cele două plane, conţinut într-o secţiune normală pe muchia prismei unghiul prismei (unghiul de refringenţă). Practic prisma este limitată de un al treilea plan, paralel cu muchia, numit baza prismei. O secţiune plană într-o prismă, perpendiculară pe muchie, se numeşte secţiune principală.În mod obijnuit o prismă este făcută din sticlă optică de formă prismatică cu baze triunghiulare. Studiul prismei se face prin cercetarea fenomenelor, care se petrec cu o rază de lumină incidentă într-o secţiune principală figura 2.2.

3

Figura 2.2

Fie o radiaţie luminoasă care face cu faţa de intrare a prismei unghiul de incidenţă i1 şi unghiul de refracţie . Radiaţia traversează prisma şi cade pe cea de a doua faţă sub unghiul de incidenţă i2 ieşind din prismă sub unghiul de emergenţă . Aceste patru unghiuri variabile sunt legate între ele prin relaţiile:

(2.13)

Raza incidentă venind din aer pătrunde în interiorul prismei, oricare ar fi unghiul de incidenţă i1. La ieşirea din prismă, dacă unghiul i2 (de incoidenţă interioară) este mai mare ca unghiul limită, raza de lumină nu mai poate ieşi prin faţa respectivă, dând naştere unei reflexii totale.Din figura (2.2) observăm că:

(2.14)Din această relaţie se poate vedea că valorii minime a lui i2 îi corespunde o valoare maximă a lui ; această valoare maximă nu poate fi decât valoarea unghiului limită l. De asemenea, valoarea maximă a lui i2 nu pate fi decât aceia când raza incidentă vine în lungul primei feţe şi care dă tot valoarea unghiului limită. Aceste observaţii pot fi descrise de condiţiile şi rezultând condiţia de emergenţă a prismei:

(2.15)

Deoarece unghiul prismei A este suplimentar unghiurilor se scrie:

(2.16)

Ridicăm această relaţie la pătrat şi înlocuim prin şi ţinem seama că . (2.17)

Pe de altă parte

(2.18)4

În aceste condiţii ecuaţia (2.17) devine

(2.19)

Dacă se ţine cont de relaţiile (2.13) se obţine ecuaţia trigonometrică care leagă unghiul de emergenţă al razei pe faţa a doua a prismei de unghiul de incidenţă pe prima faţă a prismei.

(2.20)

ecuaţie care ia forma finală:

(2.21)

O altă relaţie simplă se găseşte plecând de la (2.14):(2.22)

(2.23)

(2.24)

(2.25)

Astfel relaţia finală între cele două unghiuri este:

(2.26)

O mărime importantă la o prismă o reprezintă unghiul D dintre direcţia razei incidente pe prima faţă a prismei şi direcţia razei emergente feţei a doua a prismei, numit unghi de deviaţie. Deviaţia razei emergente, de la direcţia razei incidente, va fi dată de relaţia:

(2.27)

Această deviaţie, pentru o prismă oarecare, este prezentată în figura 2.3. În această exemplificare s-a trasat dependenţa unghiului de deviaţie D în funcţie de unghiul de incidenţă i1 pentru cele patru radiaţii standard . Se observă că atunci când unghiul de incidenţă creşte, de la valoarea sa cea mai mică până la valoarea maximă de 90º, Deviaţia unghiulară pleacă de la o valoare descreşte după care începe să crească.

5

Figura 2.3

Interesează valoarea unghiului de incidenţă pentru care se obţine minimul. Aşa cum

se procedează de obicei pentru determinarea acestei valori se anulează derivata .

Din ecuaţia (2.27) rezultă că atunci când se obţine Pe de altă

parte, şi derivata se poate obţine cu formula:

(2.28)

Din relaţiile (2.13) se explicitează

(2.29)

Din relaţia (2.14) rezultă(2.30)

Aceste formule permit calculul derivatelor:

6

(2.31)

(2.32)

(2.33)

Cu aceste derivate rezultă :

(2.34)

Deoarece, la minim de deviaţie rezultă:

(2.35)

Înlocuind aici se obţine:

(2.36)sau

(2.37)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

Din această relaţie rezultă, ţinând cont şi de relaţia (2.14) rezultă:

7

(2.43)

În acest caz, conform cu relaţia (2.13) rezultă ci şi Din relaţia (2.27) rezultă valoarea unghiului de incidenţă pentru care deviaţia este minimă

(2.44)

Acest unghi se introduce în ecuaţia (2.13) şi se obţine:

(2.45)

Din această ecuaţie se obţine binecunoscuta formulă spectrometrică care se foloseşte frecvent în determinarea indicilor de refracţie ai prismelor:

(2.46)

Dacă unghiul prismei refractante este mic (A 6º)prisma se numeşte pană optică sau clin optic. In acest caz se poate aproxima:

(2.47)

În această situaţie relaţiile (2.13) şi (2.14) devin:

(2.47)

(2.48)

Penele optice se folosesc în calitate de compensatori pentru reglări sau măsurări, de obicei în incidenţă normală pe prima faţă.

8

Probleme rezolvate

Problema 1Se consideră o lamă planparalelă de grosime O rază optică

face cu normala la prima suprafaţă refractantă unghiul . Să se calculeze deplasarea razei optice, deplasarea axială optice şi lama de aer echivalentă.

Rezolvare: Se apelează la formulele 2.10, 2.11 şi 2.12

(unghiul i trebuie introdus în radiani)

3.333333mm

Problema 2O prismă are în secţiunea principală unghiul prismei . Cu o instalaţie

optico-mecanică de mare precizie a fost determinat unghiul de deviaţie minimă Să calculeze valoarea indicelui de refracţie al sortului de sticlă optică din

care e confecţionată prisma.Rezolvare: Se apelează la formula 2.46

9