aplikasi sistem antrian dengan saluran tunggal pada
TRANSCRIPT
APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL
PADA UNIT PELAKSANA TEKNIS (UPT) PERPUSTAKAAN
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
SKRIPSI
Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1
untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains
Oleh
Nama : Diah Puspitasari
NIM : 4150401031
Prodi : Matematika S1
Jurusan : Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2005
ii
ABSTRAK
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering terjadi suatu antrian apabila sedang menunggu giliran. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang dilayani melebihi kapasitas pelayanan. Pada penelitian ini mengambil kasus yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES
Permasalahan dalam penelitian ini bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan berapa jumlah pelayan ideal. Tujuan dilakukan penelitian ini untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES, untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal.
Penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini melalui beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan masalah. Untuk pemecahan masalah dilakukan pengumpulan data selama 3 hari. Dari data yang dipeoleh dilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam analisis data yaitu menentukan distribusi peluang dari data yang diperoleh dengan uji kebaikan suai khi kuadrat, menentukan model antrian, menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, dan menghitung persentase menganggur para pelayan pada loket yang diteliti.
Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. 1. Pada loket peminjaman buku
Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%) Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736 20,88 Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667 14,16 Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617 39,21
2. Pada loket pengembalian buku Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)
Senin, 15 Agustus 2005 4,291 3,480 9,174 7,435 18,96 Selasa, 16 Agustus 2005 0,923 0,443 2,358 1,133 51,96 Kamis, 18 Agustus 2005 1,146 0,612 2,544 1,358 46,62
Waktu menunggu yang diinginkan pengunjung tidak lebih dari 15 menit dan
waktu menganggur pelayan yang diperbolehkan oleh UPT Perpustakaan UNNES adalah 10% maka banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun pada loket pengembalian buku adalah satu orang.
Saran yang dapat diberikan yakni perlu adanya peningkatan kualitas pelayanan pada UPT Perpustakaan UNNES dan pada waktu terjadi antrian yang sangat panjang sebaiknya waktu pelayanan dipercepat sehingga tidak mengakibatkan waktu menunggu yang terlalu lama.
iii
HALAMAN PENGESAHAN
Skripsi dengan judul “Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada
Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang”
ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada
Hari : Rabu
Tanggal : 21 Desember 2005
Panitia Ujian
Ketua, Sekretaris,
Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130781011 NIP. 130815345 Pembimbing Utama Anggota Penguji
Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si NIP. 131876228 NIP. 131763886
Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si NIP. 131876228
Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si NIP. 130815345 NIP. 130815345
iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
MOTTO
Allah tidak membebani seseorang melainkan dengan kesanggupannya (QS.
Al Baqarah : 286)
Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6)
Bertanyalah kamu kepada ahli ilmu jika kamu tidak tahu (QS. An Nahl : 43)
PERSEMBAHAN
Kedua orang tuaku tercinta
Adik-adikku
Mas Agus tersayang
Teman seperjuangan Mat ’01 B
Teman-teman kost Reyna
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan
hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis
UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang” ini dengan baik.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu
dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. H. A.T. Soegito, SH, MM, Rektor UNNES
2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.
3. Bapak Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.
4. Ibu Dra. Nur Karomah, M. Si dan Bapak Drs. Supriyono, M. Si, yang telah
memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis dalam penyusunan
skripsi ini.
5. Bapak Drs. Murgono, SIP, Kepala UPT Perpustakaan UNNES yang telah
memberikan ijin kepada penulis dalam melaksanakan penelitian.
6. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini belum sepenuhnya
sempurna, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan
untuk kesempurnaan skripsi ini.
Semarang, Oktober 2005
Penulis
vi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL...................................................................................... i
ABSTRAK ..................................................................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN........................................................................ iii
MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................................. iv
KATA PENGANTAR ................................................................................... v
DAFTAR ISI.................................................................................................. vi
DAFTAR TABEL.......................................................................................... viii
DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... x
DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................. xi
BAB I PENDAHULUAN .......................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah............................................................ 1
B. Permasalahan ............................................................................ 3
C. Batasan Masalah ....................................................................... 3
D. Tujuan dan Manfaat .................................................................. 4
E. Sistematika Skripsi.................................................................... 4
BAB II LANDASAN TEORI...................................................................... 7
A. Distribusi Poisson dan Eksponensial ........................................ 7
B. Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial .............................. 9
C. Uji Kebaikan Suai ..................................................................... 13
D. Proses Kelahiran-Kematian....................................................... 15
E. Teori Antrian............................................................................. 17
vii
BAB III METODE PENELITIAN................................................................ 36
A. Perumusan Masalah .................................................................. 36
B. Studi Pustaka............................................................................. 36
C. Pemecahan Masalah.................................................................. 36
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN .............................. 39
A. Hasil Penelitian ......................................................................... 39
B. Pembahasan............................................................................... 56
BAB V PENUTUP....................................................................................... 60
A. Simpulan ................................................................................... 60
B. Saran.......................................................................................... 62
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 63
LAMPIRAN-LAMPIRAN............................................................................. 64
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman
Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005......................................... 52
Tabel 4.2 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman
Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005........................................ 53
Tabel 4.3 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman
Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ........................................ 53
Tabel 4.4 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian
Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005.......................................... 53
Tabel 4.5 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian
Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005........................................ 54
Tabel 4.6 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam
Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian
Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ....................................... 54
Tabel 4.7 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari
Senin, 15 Agustus 2005 ........................................................... 55
Tabel 4.8 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari
Selasa, 16 Agustus 2005........................................................... 55
Tabel 4.9 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari
Kamis, 18 Agustus 2005 .......................................................... 55
ix
Tabel 4.10 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari
Senin, 15 Agustus 2005 ........................................................... 56
Tabel 4.11 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari
Selasa, 16 Agustus 2005 ........................................................ 56
Tabel 4.12 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari
Kamis, 18 Agustus 2005 ......................................................... 56
x
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Struktur Dasar Antrian .............................................................. 18
Gambar 2.2 Sistem Antrian Dasar ................................................................ 21
Gambar 2.3 Skema Antrian Satu Saluran Satu Tahap .................................. 21
Gambar 2.4 Skema Antrian Banyak Saluran Satu Tahap ............................. 22
Gambar 2.5 Skema Antrian Satu Saluran Banyak Tahap ............................. 22
Gambar 2.6 Skema Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap ...................... 22
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Data Penelitian Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan
UNNES ..................................................................................... 64
Lampiran 2. Data Penelitian Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan
UNNES ..................................................................................... 70
Lampiran 3. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket
Pemunjaman buku..................................................................... 76
Lampiran 4. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket
Pengembalian buku ................................................................... 77
Lampiran 5. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung
Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES.............. 78
Lampiran 6. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung
Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES........... 80
Lampiran 7. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket
Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES........................ 81
Lampiran 8. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket
Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES ..................... 82
Lampiran 9. Tabel Distribusi Khi Kuadrat .................................................... 83
Lampiran 10 Angket Pengunjung UPT Perpustakaan UNNES ..................... 84
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Dalam kehidupan sehari-hari, setiap manusia pasti dihadapkan pada
sebuah situasi yang mengharuskannya untuk menunggu. Fenomena menunggu
adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi pelayanan. Sangat
menyenangkan jika diberi pelayanan tanpa ada keharusan untuk menunggu.
Akan tetapi suka atau tidak, menunggu merupakan bagian dalam kehidupan
sehari-hari. Menunggu dapat diidentikkan dengan suatu proses antrian yang
tentunya memiliki permasalahan yangt dapat dipecahkan.
Salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah
antrian adalah matematika. Secara garis besar matematika dibagi menjadi dua
yaitu matematika murni (pure mathematics) dan matematika terapan (applied
mathematics). Teori antrian merupakan salah satu cabang dari matematika
terapan yang sering digunakan aplikasinya.
Teori antrian adalah teori yang mencakup studi matematis dari antrian-
antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu
saja merupakan suatu fenomena yang bisa terjadi apabila kebutuhan akan
suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan
pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas
ini harus dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang
membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang
diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu.
2
Pelaku-pelaku utama dalam sebuah situasi antrian adalah pelanggan
(customer) dan pelayan (server). Dalam model antrian, interaksi antara
pelanggan dan pelayan adalah dalam kaitannya dengan periode waktu yang
diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. Jadi, dari sudut
pandang kedatangan pelanggan yang diperhitungkan adalah interval waktu
yang memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga dalam pelayanan,yang
diperhitungkanadalah waktu pelayanan per pelanggan.
Dalam model-model antrian,kedatangan pelanggan dan waktu
pelayanan diringkaskan dalam distribusi probabilitas yang umumnya disebut
sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu
pelayanan (service time distribution).
Teori antrian dengan saluran tunggal merupakan teori tentang
kedatangan pelanggan dari satu barisan yang dilayani oleh seorang pelayan.
Antrian dengan saluran tunggal hanya membutuhkan satu pelayan dengan satu
garis antrian.
Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri
Semarang (UNNES) merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki UNNES.
Sarana pelayanan tersebut bertujuan menyediakan bahan pustaka sesuai
dengan kebutuhan dan mengorganisasi bahan-bahan pustaka tersebut supaya
mudah digunakan. Bahan pustaka tersebut juga dapat mendorong mahasiswa
untuk belajar sesuai dengan kurikulumnya.
UPT Perpustakaan UNNES memiliki dua ruang pelayanan perpustakaan
yaitu pelayanan sirkulasi dan pelayanan referensi. Dari pengamatan di UPT
Perpustakaan UNNES, pada ruang pelayanan sirkulasi ditemukan sejumlah
3
antrian. Antrian tersebut bersumber dari satu saluran. Melalui penelitian ini
akan dikaji sistem antrian di ruang pelayanan sirkulasi yaitu pada loket
peminjaman buku dan loket pengembalian buku.
B. Permasalahan
Permasalahan dalam penelitian ini sebagai berikut.
1. Bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES?
2. Berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada loket
peminjaman dan loket pengembalian buku?
3. Berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian
pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku?
4. Berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada loket
peminjaman dan loket pengembalian buku?
5. Berapa jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket
pengembalian buku?
C. Batasan permasalahan
Batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah
1. Permasalahan dan data yang diambil hanya pada loket peminjaman buku
dan pengembalian buku pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri
Semarang.
2. Penelitian dilakukan selama 3 hari pada pukul 09:00 – 11:00 di UPT
Perpustakaan Universitas Negeri Semarang.
D. Tujuan dan Manfaat
1. Tujuan
Berdasarkan rumusan permasalahan, penelitian ini bertujuan
4
a. Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES.
b. Untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam
sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian
buku.
c. Untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam
sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian
buku.
d. Untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada
loket peminjaman dan loket pengembalian buku.
e. Untuk mengetahui jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan
loket pengembalian buku.
2. Manfaat
Manfaat dari penelitian yang dilakukan adalah
a. Sebagai penerapan teori yang diperoleh selama kegiatan perkuliahan
ke dalam praktik yang sebenarnya, serta sebagai pengalaman dalam
menganalisis suatu masalah secara ilmiah.
b. Sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan keputusan dalam
menentukan jumlah pelayan ideal pada UPT Perpustakaaan
Universitas Negeri Semarang.
E. Sistematika Skripsi
Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi menjadi tiga
bagian yaitu bagian awal skripsi, bagian isi skripsi, dan bagian akhir skripsi.
1. Bagian Awal Skripsi
5
Bagian awal skripsi ini berisi halaman judul skripsi, abstrak,
halaman pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi,
daftar tabel, daftar gambar, dan daftar lampiran.
2. Bagian Inti Skripsi
Bagian inti merupakan bagian pokok dalam skripsi yang terdiri dari
lima bab, yaitu :
BAB I Pendahuluan
Bab ini berisi latar belakang masalah, permasalahan, batasan
masalah, tujuan dan manfaat, dan sistematika skripsi.
BAB II Landasan Teori
Di dalam landasan teori ini akan dibahas tentang distribusi
Poisson dan Eksponensial, peran distribusi Poisson dan
Eksponensial, uji kebaikan-suai, proses kelahiran kematian, dan
teori antrian.
BAB III Metode Penelitian
Di dalam bab ini dikemukakan metode penelitian yang berisi
langkah-langkah yang ditempuh untuk memecahkan masalah
yaitu, perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah.
BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan
Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasan.
BAB V Penutup
Bab ini berisi simpulan dan saran
6
3. Bagian Akhir Skripsi
Bagian ini berisi daftar pustaka yang digunakan sebagai acuan dan
lampiran-lampiran yang melengkapi uraian bagian isi.
7
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Distribusi Poisson dan Eksponensial
1. Distribusi Poisson
Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi
pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai
eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat merupakan menit, hari,
minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat
berarti garis, luas, sisi, maupun sebuah material.(Dimyati, 1999:309)
Sifat suatu eksperimen Poisson (Dimyati, 1999:309) adalah sebagai
berikut.
a. Jumlah sukses yang tejadi pada interval waktu atau daerah yang
tertentu bersifat independen terhadap yang terjadi pada interval waktu
atau daerah tertentu yang lain.
b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah
tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu
ataupun ukuran daerah terjadinya sukses tersebut.
c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval
waktu yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan.
Variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson
dengan parameter λ jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.
8
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
−
lain yang , 0
... 2, 1, 0, , !(x) f
x
xxex λλ
(Djauhari, 1997:163-164)
Parameter λ merupakan rata- rata banyaknya sukses dalam suatu
selang. Parameter λ juga merupakan mean dan variansi dari X.
2. Disribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi
waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat
acak. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak tergantung pada
pada banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang
sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang
menunggu untuk dilayani.
Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan
parameter ( )
∑∑
∑∞
=
∞
=
∞
=
−=
=
1n 0nnn
1nnq
PPn
P 1-nL
, jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.
⎩⎨⎧ >>
=lain yang untuk ; 0
0 ,0untuk ; e )(
-
xx
xfx λλ λ
(Djauhari, 1997:175-176 )
disini, X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali
sukses dengan λ= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan.
B. Peranan Distribusi Poisson dan Eksponensial
Pada situasi antrian dimana kedatangan dan kepergian (kejadian) yang
timbul selama satu interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut ini.
9
Kondisi 1: Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan kepergian) yang
timbul antara t dan t + Δt bergantung hanya pada panjangnya Δt,
yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau
jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t).
Kondisi 2: Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang
sangat kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu.
Kondisi 3: Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu
yang sangat kecil h
Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah
kejadian selama interval waktu yang berturut-turut adalah Ekponensial.
Dengan kasus demikian, dapat dikatakan bahwa kondisi-kondisi tersebut
mewakili proses Poisson.
Definisikan
Pn(t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t
Kemudian, berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang
timbul selama t + h adalah
P0(t + h) = P0(t)P0(h) ( 2.1 )
(Taha, 1999:179)
Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukkan bahwa 0 < P0(h)
< 1. Berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan sebagai
berikut.
P0(t) = e-αt, t ≥ 0 ( 2.2 )
dimana α adalah konstanta positif.
10
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa proses yang dijabarkan dengan
Pn(t), interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah
Eksponensial. Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara
Eksponensial dan Poisson, kemudian dapat disimpulkan bahwa Pn(t) pastilah
poisson.
Anggaplah f(t) merupakan fungsi kepadatan peluang dari interval waktu antar
pemunculan kejadian yang berturut-turut, t ≥ 0
Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir,
maka pernyataan berikut ini berlaku
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛T sebelum
kejadian adaTidak P
T melebihi kejadianantar Waktu
P
Pernyataan ini dapat diterjemahkan menjadi
∫∞
=T
TPdttf )()( 0 ( 2.3 )
Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 dengan persamaan 2.3, maka akan
diperoleh
∫∞ −=
T
Tedttf α)( , T > 0 ( 2.4 )
atau
Tedttf α−−=∫ 1)(T
0, T > 0 ( 2.5 )
dengan mengambil derivatif dari kedua sisi dalam kaitannya denagan T pada
persamaan 2.5, diperoleh
f(t) = αe-αt, t ≥ 0 ( 2.6 )
11
yang merupakan sebuah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial
dengan mean ( )α1t E = unit waktu.
Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi
Eksponensial, teori peluang dapat menjelaskan bahwa Pn(t) adalah fungsi
kepadatan peluang dari distribusi Poisson,yaitu:
,!
)()(n
ettPtn
n
αα −
= n = 0, 1, 2, … ( 2.7 )
Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n | t} = α t
kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian.
Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa jika interval waktu antara
beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial dengan mean α1
unit waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah
Poisson dengan laju pemunculan rata-rata (kejadian per unit waktu) α, dan
sebaliknya.
Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak
(completely random process), karena memiliki sifat bahwa interval waktu
yang tersisa sampai pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak
bergantung pada interval waktu yang telah berlalu. Sifat ini setara dengan
pembuktian pernyataan probabilitas berikut ini.
P (t > T + S | t > S) = P (t > T) ( 2.8 )
Dimana S adalah interval waktu antara pemunculan kejadian terakhir.
Karena t bersifat Eksponensial, maka
12
)St|STt( P >+> = )S(t P
S) t,STt( P>
>+>
= )St(P
)ST(t P>+>
= S
)ST(
α
α
−
+−
ee
= e-αT
= P ( t > T ) ( 2.9 )
Sifat ini disebut sebagai forgetfullness atau lack of memory dari
distribusi eksponensial, yang menjadi dasar untuk menunjukkan bahwa
distribusi poisson sepenuhnya bersifat acak.
Satu ciri unik lainnya dari distribusi poisson adalah bahwa ini adalah
merupakan distribusi dengan mean yang sama dengan varian. Sifat ini kadang-
kadang digunakan sebagai indikator awal dari apakah sebuah sampel data
ditarik dari sebuah distribusi poisson.
(Taha, 1999: 178-180)
C. Uji Kebaikan-Suai
Uji kebaikan-suai (goodness of fit test) adalah uji yang dilakukan untuk
menentukan distribusi probabilitas dari data yang dipereoleh dengan
membandingkan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan (Guttman,
1982:287)
Gagasan untuk membandingkan distribusi empiris dan distribusi
teoritis adalah dasar untuk uji Kolmogorov-Smirnov (K-S). Uji ini hanya
13
dapat diterapkan untuk variabel acak kontinu, memanfaatkan sebuah statistik
untuk menerima atau menolak distribusi yang dihipotesiskan dengan tingkat
signifikansi tertentu. Uji statistik lainnya yang berlaku untuk variabel diskrit
maupuin kontinu adalah uji khi-kuadrat. Uji ini didasari oleh perbandingan
fungsi kepadatan probabilitas, daripada fungsi kepadatan kumulatif seperti
dalam uji K-S (Taha, 1997: 10-11).
1. Uji Kebaikan-Suai Kolmogorov-Smirnov
Nilai K-S hitung dalam pengujian statistik dengan uji K-S diberi
simbol D yang dapat diperoleh dengan menggunakan rumus
D = max | fe - fo | ( 2.10 )
(Siegel, 1994:59)
D adalah deviasi absolut yang tertinggi, berupa selisih tertinggi antara
frekuensi harapan (fe) dengan frekuensi teoritis (fo)
Dalam uji Kolmogorov-Smirnov, H0 diterima apabila nilai D
hitung lebih kecil dari nilai kritis D (D tabel). Nilai kritis D dapat
diketahui melalui tabel Kolmogorov-Smirnov.
2. Uji Kebaikan Suai Khi-Kuadrat
a. Uji Kebaikan-Suai Khi- Kuadrat terhadap peristiwa yang berdistribusi
Poisson.
Misalkan variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk
menghitung frekuensi harapan (fe) digunakan fungsi kepadatan
probabilitas dari distribusi Poisson.
m,..., 2 ,1 ,0x x!e p(x)
-x
==λλ ( 2.11 )
sehingga untuk sejumlah n frekuensi observasi (f0), maka
14
fe = n p(x) ( 2.12 )
Nilai khi-kuadrat hitung (χ2) dihitung dengan rumus sebagai
berikut.
∑=
−=
m
0x e
2e02
f)f(fχ ( 2.13 )
dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam
mengembangkan fungsi kepadatan empiris.
(Agus Setiawan, 2003:16)
b. Uji Kebaikan-Suai Khi-Kuadrat terhadap kejadian yang berdistribusi
Eksponensial
Misalkan variabel acak X berdistribusi Eksponensial. Frekuensi
teoritis (fe) yang berkaitan dengan interval [Ii –1, Ii] dihitung sebagai
m..., 2, 1,i ,dt f(t)nfi
1-ie == ∫ ( 2.14 )
dengan m adalah banyaknya interval yang digunakan. Sedangkan f(t)
adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial dengan
parameter μ.
f(t) = μ e-μt t > 0, μ > 0 ( 2.15 )
Dengan demikian diperoleh
)en(ef )(I-)(I-e
i1-i μμ −= ( 2.16 )
Nilai khi-kuadrat hitung diperoleh dengan menggunakan rumus
berikut.
∑=
−=
m
0x e
2e02
f)f(fχ ( 2.17 )
15
(Taha, 1997:11-12)
Dalam uji kebaikan-suai khi-kuadrat, keputusan diambil
berdasarkan hipotesis penelitian yang telah dirumuskan sebelumnya.
H0 diterima jika harga χ2 tabel dengan derajat kebebasan dk = m - k –
1 dan dengan tingkat signifikansi α, dengan m adalah jumlah baris
yang digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari
data mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi
teoritis yang bersangkutan.
D. Proses Kelahiran-Kematian
1. Proses Kelahiran-Kematian Markov
Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses Markov jika
probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu keadaan ke
keadaan lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada
bagaimana keadaan sekarang dicapai. Secara lebih formal, suatu proses
kelahiran-kematian Markov memenuhi kriteria-kriteria sebagai berikut.
a. Distribusi-distribusi probabilitas yang menentukan jumlah kelahiran
dan kematian dalam suatu selang waktu tertentu hanya bergantung
pada panjang selangnya dan tidak ada titik awalnya.
b. Probabilitas untuk terjadi satu kelahiran saja dalam suatu selang waktu
∆t jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota
adalah λn∆t + 0(∆t), dengan λn adalah suatu konstanta, yang dapat saja
berbeda untuk n yang berbeda.
16
c. Probabilitas untuk terjadi satu kematian saja dalam selang waktu Δt
jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota
adalah μn Δt + 0 (Δt), dengan μn adalah suatu konstanta, yang dapat
saja berbeda untuk n yang berbeda.
d. Probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kelahiran atau kematian
dalam suatu selang waktu adalah 0 (Δt).
Untuk Δt→0 maka kriteria proses kelahiran-kematian Markov
menurunkan persamaan Kolmogorov. Persamaan Kolmogorov untuk
peluang keadaan sebagai berikut.
=dt
(t)P d n -(λn + μn) Pn (t) + μn+1 Pn+1 (t) - (λn-1 + μn-1) Pn-1 (t) ( 2.18 )
(Wospakrik, 1996:297)
b. Proses Kelahiran-Kematian Poisson
Suatu proses kelahiran-kematian Poisson adalah suatu proses
kelahiran-kematian Markov dimana probabilitas dari suatu kematian dan
probabilitas dari suatu kelahiran kedua-duanya dalam sebarang selang
waktu yang kecil tidak bergantung pada ukuran populasinya, yakni λn = λ
dan μn = μ untuk semua n. (Wospakrik, 1996:300)
E. Teori antrian
Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari
antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu
saja merupakan suatu fenomena yang biasa terjadi apabila kebutuhan akan
17
suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan
pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas
ini harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat
suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan
pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk
menyelenggarakan pelayanan itu (Dimyati, 1999:349).
Suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang
berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas
pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika seua
pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah
sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan
yang mengatur kedatangan para pelanggan. (Wospakrik, 1996:302)
Sebuah sistem antrian adalah suatu proses kelahiran-kematian dengan
suatu populasi yang terdiri atas pelanggan yang sedang menunggu
mendapatkan pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi
apabila seorang pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila
pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian.
Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan.
(Wospakrik, 1996:302)
1. Struktur Dasar Model Antrian
Proses yang terjadi pada proses antrian dapat digambarkan sebagai
berikut
18
unit-unit yang unit-unit membutuhkan yang telah pelayanan dilayani
(pelanggan)
sistem antrian
Gambar 2.1 Struktur dasar antrian
Unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan diturunkan dari
suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian.
Dalam waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani.
Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin
pelayanan. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu
mekanisme pelayanan tertentu. Setelah itu unit (langganan) tersebut
meninggalkan sistem antrian.
Suatu karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini ialah
ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan
pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan
potensial. Ini bisa dianggap terbatas atau tidak terbatas. Karena
perhitungannya akan lebih mudah untuk jumlah unit yang tidak terbatas,
asumsi ini sering digunakan.
Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan pelayanan
ini harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa digunakan
adalah unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses Poisson, artinya
sampai suatu waktu tertentu jumlah unit yang diturunkan ini mempunyai
distribusi Poisson. Ini adalah suatu kasus dimana kedatangan pada sistem
Sumber input antrian mekanisme pelayanan
19
antrian terjadi secara random, tetapi dengan tingkat rata-rata tertentu.
Asumsi berikutnya adalah bahwa distribusi kemungkinan dari waktu antar
kedatangan adalah distribusi Eksponensial
Karakteristik suatu antrian ditentukan oleh jumlah unit maksimum
yang boleh ada di dalam sistemnya. Antrian ini dikatakan terbatas atau
tidak terbatas, bergantung pada jumlah unitnya terbatas atau tidak
terbatas.Disiplin pelayanan berkaitan dengan cara memilih anggota antran
yang akan dilayani. Sebagai contoh, disiplin pelayanan ini dapat berupa
first come-first served (yang datang lebih dahulu dilayani lebih dahulu),
atau random, atau dapat pula berdasarkan prosedur prioritas tertentu. Jika
tidak ada keterangan apa-apa maka asumsi yang biasa digunakan adalah
first come first served.
Mekanise pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan
yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih aturan pelayanan paralel.
Jika ada lebih dari satu fasilitas pelayanan maka unit-unit yang
memerlukan pelayanan akan dilayani oleh serangkaian fasilitas pelayanan
ini (saluran pelyanan seri). Pada fasilitas pelayanan seperti ini,unit yang
memerlukan pelayanan memasuki salah satu saluran pelayanan paralel dan
dilayani sepenuhnya oleh pelayan yang bersangkutan. Suatu model antrian
harus menetapkan urutan-urutan fasilitas semacam itu sekaligus dengan
jumlah pelayanan pada masing-masing saluran paralelnya. Kebanyakan
model-model dasar mengasumsikan satu fasilitas pelayanan dengan satu
atau beberapa pelayan.
20
Waktu yang digunakan sejak pelayanan dimulai sampai satu unit
selesai dilayani disebut sebagai waktu pelayanan. Biasanya diasumsikan
bahwa distribusi kemungkinan dari waktu pelayanan ini adalah distribusi
Eksponensial.
(Dimyati, 1999:349-352)
2. Proses Antrian Dasar
Suatu garis penungguan tunggal (yang pada suatu saat bisa juga
kosong) terbentuk di depan suatu fasilitas pelayanan tunggal dimana ada
satu atau beberapa pelayan. Setiap unit (langganan) yang diturunkan oleh
suatu sumber input dilayani oleh salah satu dari pelayan-pelayan yang ada,
mungkin setelah unit itu menunggu dalam antrian (garis penungguan).
Sistem antrian semacam itu dapat digambarkan sebagai berikut.(Dimyati,
1999:352)
Langganan yang telah
dilayani Langganan yang telah
dilayani
Gambar 2.2 Sistem antrian dasar
C
C C C C C C C C
P P
fasilitas P pelayanan P
21
3. Model-model Sistem Antrian
Menurut Mulyono (2002:287), proses antrian pada umumnya
dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas
pelayanan, yaitu:
a. Satu saluran satu tahap
kedatangan pelanggan
sistem antrian Gambar 2.3
Skema antrian satu saluran satu tahap
b. Banyak saluran satu tahap
kedatangan pelanggan
sistem antrian
Gambar 2.4 Skema antrian banyak saluran satu tahap
c. Satu saluran banyak tahap
kedatangan pelanggan
sistem antrian
Gambar 2.5 Skema Antrian satu saluran banyak tahap
antrian pelayan
antrian
pelayan
antrian pelayan
22
d. Banyak saluran banyak tahap
kedatangan pelanggan
sistem antrian
Gambar 2.6 Skema antrian banyak saluran banyak tahap
4. Terminologi dan notasi
Terminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah
sebagai berikut.
Keadaan sistem : jumlah pelanggan pada sistem antrian.
Panjang antrian : jumlah pelanggan yang menunggu pelayanan
En : keadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian.
Pn(t) : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam
sistem antrian pada saat t
s : jumlah pelayan pada sistem antrian.
λ n : laju kedatangan rata-rata (ekspektasi jumlah
kedatangan per satuan waktu) dari pelanggan baru
jika ada n pelanggan dalam sistem.
μ n : laju pelayanan rata-rata (ekspektasi jumlah pelanggan
yang dapat selesai dilayani per satuan waktu) jika ada
n pelanggan dalam sistem.
antrian
pelayan
23
Jika λ n adalah konstan untuk semua n, maka dapat ditulis sebagai λ . Jika
μ n konstan untuk semua n ≥ 1, maka dapat ditulis sebagaiμ . Disini
μ n = sμ jika n ≥ s sehingga seluruh pelayan (sejumlah s) sibuk. Dalam
hal ini λ1 menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan
μ1 menyatakan ekspektasi waktu pelayanan.
μλρs
= adalah faktor penggunaan (utilisasi) untuk fasilitas pelayanan,
yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan.
Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem
(jumlah unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan)
awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem
dikatakan dalam kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan sistem
akan independen terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu
yang dilaluinya. Keadaan sistem seperti ni dikatakan berada dalam kondisi
steady state. Teori antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady
state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis.
Notasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi
steady state:
Pn : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian.
L : rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem
Lq : rata-rata panjang antrian
24
W : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam
sistem
Wq : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam
antrian
W(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih
dari t dalam sistem
Wq(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih
dari t dalam antrian
Berikut ini akan di uraikan hubungan antara L dan W. Asumsikan
bahwa λ n adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis λ . Maka
dalam proses antrian yang steady state didapat
L = λ W ( 2.19 )
Lq = λ Wq ( 2.20)
Kemudian diasumsikan bahwa waktu pelayanan rata-rata adalah konstan
untuk semua n ≥ 1 sehingga cukup ditulis sebagai μ1 , maka
W = Wq + μ1 ( 2.21 )
kalikan dengan λ , didapat:
L = Lq + ρ ( 2.22 )
(Dimyati, 1999:353-355)
5. Notasi Kendall
Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri
dari masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang
diperluas. Notasi tersebut dituliskan dengan
(a / b / c) : (d / e / f)
25
dimana simbol-simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari
model antrian sebagai berikut.
a : distribusi kedatangan
b : distribusi waktu pelayanan
c : jumlah pelayan
d : peraturan pelayanan (misalnya PMPK, TMPK, Prioritas)
e : jumlah pelanggan maksimum (dalam antrian dan sistem)
f : ukuran sumber pemanggilan.
(Mulyono, 2002:293)
Notasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi
kedatangan dan keberangkatan sebagai berikut.
M : kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson (waktu antar
kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusieksponensial).
D : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau
deterministik
Ek : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang
atau Gamma dengan parameter k.
GI : distribusi independen umum dari kedatangan.
G : distribusi umum dari keberangkatan.
(Taha, 1997:186)
Notasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan
adalah umum (GD) dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat PMPK,
TMPK, Prioritas, atau prosedur apapun yang dapat digunakan oleh para
pelayan untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian.
6. Peluang keadaan tunak
Jika sistem antrian telah mencapai kondisi steady state (kedaan
tunak), maka probabilitas {Pn(t)} menjadi konstan dan independen
26
terhadap waktu. Solusi steady state untuk Pn ini bisa didapat dengan
menetapkan 0dt
t)(P d n = .
Asumsikan nntP(t)Plim =
∞→ sehingga
0dt
(t)P dlim n
t=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∞→
Untuk ∞→t maka persamaan di atas menjadi
Untuk n =0 maka diperoleh
0 = – (λ0 + μ0) P0 (t) + μ1 P1 + λ-1 P-1 ( 2.23 )
Karena λ-1 = 0 dan μ0 = 0 maka persamaan di atas menjadi
0 = - λ0 P0 + μ1 P1 ,
⇔ 01
01 PP
μλ
= ( 2.24 )
Untuk n > 0 diperoleh
0 = -(λn + μn) Pn (t) + μn+1 Pn+1 (t) - (λn-1 + μn-1) Pn-1 (t)
⇔ 1
1-n1nn
11n
PPPP+
−
++
−+=
n
nn
n
n
μλμ
μλ ( 2.25 )
Pada persamaan 2.25, perhatikan ruas kanan yang kedua. Jika n > 1 maka:
1-n1n
2-n2-n1-n1-n1-n
n
1n1-n1nn PPPPPP −
−− −⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=− n
nn λ
μλμ
μλμλμ
2-n2-n1-n1-n PP λμ −= ( 2.26 )
Ulangi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh
00111-n1-nnn PPPP λμλμ −=− ( 2.27 )
dari persamaan untuk 2.24 diperoleh
27
Pn = 1-n1 P
n
n
μλ −
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−2-n
1-n
2-n1 Pμλ
μλ
n
n
= …
sehingga diperoleh
011n
02-n1-nn P
... ...Pμμμλλλ
−
=n
( 2.28 )
Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai:
0n
1i
1-n
0ii
n PP∏
∏
=
==λ
untuk n = 1, 2, … ( 2.29 )
Karena 1P0n
n =∑∞
=
maka
∑∏
∏∞
=
=
−
=+
=
1
1
1
0
0
1
1P
nn
ii
n
ii
μ
λ ( 2.30 )
(Dimyati, 1999:361-363)
Ukuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah
mencapai kondisi steady state yang dipergunakan untuk menganalisis
situasi antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu
dalam antrian ( Lq), rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam
antrian (Wq), dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan yang
diperkirakan.
28
Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan
paralel, maka dari definisi Pn diperoleh
∑∞
=
=0
nPn Ln
( 2.31 )
∑∞
=
=0
nq P s)-(nLn
( 2.32 )
Hubungan yang lain adalah sebagai berikut.
LWλ
= ( 2.33 )
λq
q
LW = ( 2.34 )
λ adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang
dimana
∑∞
=
=0
nPn
nλλ ( 2.35 )
(Taha, 1997: 190)
Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan
yang paralel dapat diperoleh sebagai berikut.
Persentase pemanfaatan = 00100 x
μλs
( 2.36 )
(Taha, 1997: 191)
Solusi steady state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameter-
parameter λn dan μn adalah sedemikian sehingga kondisi steady state
dapat tercapai. Asumsi ini terjadi jika 1s
<=μλρ
29
7. Model antrian (M / M / 1)
Sistem antrian ( M / M / 1 ) merupakan model pelayanan
tunggal tanpa batas kapasitas baik dari kapasitas system
tersebut maupun
kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanan bersifat PMPK atau
pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, begitu
seterusnya hingga peminjam terakhir yang datang mendapatkan pelayanan
terakhir.
Sistem model ini dapat digambarkan seperti pada gambar 2.4
sebagai berikut.
kedatangan pelanggan
sistem antrian
Pada sistem ini, diasumsikan bahwa laju kedatangan tidak
bergantung pada jumlah pada sistem tersebut, yaitu λn = λ untuk semua n.
Demikian pula diasumsikan bahwa pelayan tunggal dalam sistem tersebut
menyelesaikan pelayanan dengan kecepatan konstan, yaitu μn = μ untuk
semua n. akibatnya model ini memiliki kedatangan dan keberangkatan
dengan mean λ dan μ
Jika λ = laju kedatangan rata-rata (jumlah pelanggan per satuan waktu)
μ = laju pelayanan pelanggan rata-rata
antrian pelayan
30
maka waktu antar kedatangan yang diharapkan adalah λ1 dan waktu
pelayanan adalah μ1
Keadaan tunak tercapai jika 1<=μλρ
Peluang keadaan tunak dalam sistem ini dapat didefinisikan
)1( ρρρ −= nn
Apabila 1>ρ tidak terdapat keadaan tunak pada sistem tersebut,
karena banyaknya pelanggan yang datang lebh cepat dari kemampuan
pelayanan sehingga terjadi penumpukan pelanggan dalam sistem.
Sedangkan apabila nilai 0=ρ tidak terjadi keadaan tunak, karena tidak
terdapat antrian sama sekali.
Ukuran-ukutan efektif pada keadaan tunak pada sistem antrian
(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞) sebagai berikut.
a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)
( )∑∞
=
=0
n-1nLn
ρρ
( ) ( )∑∞
=
−=0n
n
dd 1 ρρ
ρρ
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑
∞
=0n
n dd 1 ρρ
ρρ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=ρρ
ρρ1
1 dd 1
31
ρρ−
=1
λμλ−
= ( 2.37 )
b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)
( )
∑ ∑
∑∞
=
∞
=
∞
=
−=
=
1n 0nnn
1nnq
PPn
P 1-nL ( 2.38 )
( )
ρ
ρρ
ρ
ρρ
=
−−
=
−=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−=
∑
∑
∑ ∑ ∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
11
)1(
Pn
Pn Pn Pn L-L
1n
n
1nn
0n 0n 1nnnnq
ρρ
ρρ
ρ
ρ
−=
−−
=
=
1
1
-LL
2
q
Jadi ρ
ρ−
=1
L2
q ( 2.39 )
c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W) Menurut rumus Little W L λ=
pada sistem M / M / 1, λλ = maka
32
( )
λμ
μλλ
μλρλ
ρλ
−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
−=
=
1
1
1
LW
Jadi λμ −
=1W ( 2.40 )
d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)
( )
λμρ
ρλρ
λ
λ
−=
=
=⇔
=
-1
LW
WL
2
Jadi λμ
ρ−
=qW ( 2.41 )
8. Model Antrian (M / M / s) : (GD / ∞ / ∞)
Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut input
Poisson dengan parameter λ, dan bahwa waktu pelayanan untuk masing-
masing unit mempunyai distribusi Eksponensial dengan rata-rata μ1 .
(Dimyati, 1999:373)
33
Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah
tingkat rata –rata dimana unityang sudah dilayani meninggalkan sistem.
Tingkat pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk adalah μ, karena itu
tingkat pelayanan keseluruhan adalah μn = nμ jika n ≤ s. Jika n ≥ s, berarti
semua pelayan sibuk sehingga μn = sμ. Jadi model ini adalah kasus khusus
dari proses kelahiran-kematian dengan λn = λ (untuk n = 0, 1, 2, …) dan
⎩⎨⎧
≥≤≤
=sn jika , s
sn0 jika, nμμ
μn
Jika λ < sμ (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari tingkat
pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah
sebagai berikut.
( ) ( )∑ ∑−
=
∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=1
0n
s-n0
ss!n!
1Ps
sn
sn
μλμλμλ
( ) ( )∑= −
+=
1-s
0n
sn
s1
1!n!
n1
μλ
μλλs
dan
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
≤≤=
sn jika , Ps s!
sn0 jika , Pn!P
0s-n
n
0
n
nμλ
μλ
(2.44)
Dengan μλρs
= , maka
34
a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)
( )( )2
0q -1 s!
PLρρμλ s
= (2.45)
b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)
μλ
+= qL L (2.46)
c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)
λq
q
LW = (2.47)
d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W)
μ1WW q += (2.48)
(Dimyati, 1999:374)
35
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa
tahap sebagai berikut.
A. Perumusan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga
mempermudah pembahasan selanjutnya.
B. Studi Pustaka
Studi pustaka adalah menelaah sumber pustaka yang relevan yang
digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian.
Studi pustaka diambil dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat
berupa buku, teks, makalah, dan sebagainya. Setelah sumber pustaka
terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan dari sumber pustaka tersebut. Pada
akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis
permasalahan.
C. Pemecahan Masalah
1. Pengumpulan data
Dalam penelitian ini pengambilan data dilaksanakan pada sistem
antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES yang dilaksanakan
selama 3 hari.
36
Pengumpulan data berkenaan dengan kedatangan dan kepergian
pengunjung dengan menggunakan metode observasi, yaitu:
a. Mengukur waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan.
Pelanggan dalam hal ini adalah pengunjung perpustakaan.
b. Menghitung jumlah kedatangan (kepergian) selama satu unit waktu
yang dipilih. Dalam penelitian ini satuan waktu yang dipilih adalah 5
menit.
Sedangkan untuk mengetahui waktu tunggu yang dikehendaki pengunjung
digunakan metode angket.
2. Analisis Data
a. Langkah-langkah yang digunakan dalam analisis data sebagai berikut.
Dalam penelitian ini kedatangan nasabah diasumsikan
berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi
Eksponensial. Untuk menguji kebenarannya dilakukan Uji Kebaikan-
Suai Khi Kuadrat
Hipotesis tentang kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan
Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.
H0 : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri
Semarang pada masing-masing loket berdistribusi Poisson
Ha : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri
Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi Poisson
Hipotesis tentang waktu pelayanan pengunjung UPT
Perpustakaan Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini
sebagai berikut.
37
H0 : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas
Negeri Semarang pada masing-masing loket berdistribusi
Eksponensial
Ha : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas
Negeri Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi
Eksponensial
b. Menentukan model antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan
Universitas Negeri Semarang
c. Menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem
dan antrian pada masing-masing loket yang diteliti
d. Menghitung rata-rata waktu pengunjung berada dalam sistem dan
antrian pada masing-masing loket yang diteliti
e. Menentukan rata-rata waktu menganggur bagi pelayan pada masing-
masing loket
3. Pengambilan Keputusan
Pengambilan keputusan tentang jumlah pelayan ideal pada masing-
masing loket yang diteliti didasarkan pada waktu menunggu dan
persentase waktu menganggur pelayan
38
BAB IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Hasil Penelitian
Gambaran Umum UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang
UPT Perpustakaan UNNES merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki
oleh UNNES. UPT Perpustakaan UNNES menyediakan bahan pustaka yang
diperlukan bagi mahasiswa sesuai dengan kebutuhannya.
UPT Perpustakaan UNNES terdiri dari dua ruang pelayanan yakni ruang
sirkulasi dan ruang referensi. Pelayanan pada ruang sirkulasi meliputi pelayanan
peminjaman buku, pengembalian buku serta penelusuran bahan pustaka.
Pelayanan pada ruang referensi meliputi skripsi, thesis, serta karya ilmiah yang
dapat di fotocopy dengan ijin petugas perpustakaan.
Sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti
sistem antrian dengan saluran tunggal. Pada sistem antrian dengan saluran
tunggal, pengunjung yang datang untuk meminjam atau mengembalikan buku
membentuk antrian di depan pelayan sampai pada gilirannya dan setelah itu
meninggalkan sistem. Situasi antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan
UNNES dapat digambarkan dengan sistem antrian sebagai berikut.
39
kedatangan
pengunjung
sistem antrian Gambar 4.1
Skema situasi antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES
Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung.
Kedatangan pengunjung pada UPT Perpustakaan UNNES diasumsikan
berdistribusi Poisson. Untuk meyakinkan bahwa kedatangan pengunjung
berdistribusi Poisson, maka dilakukan uji kebaikan suai khi kuadrat
Dari data hasil penelitian, dapat dibuat rekapitulasi kedatangan pengunjung
per interval waktu lima menit (lampiran 3 dan 4 ). Selanjutnya data lampiran 3
dan 4 digunakan untuk melakukan uji kebaikan suai khi kuadrat kedatangan
pengunjung.
a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan
Pengunjung pada Loket Peminjaman
1) Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 5.1 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 3,167 pengunjung setiap lima menit (0,633 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,6. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;5) adalah 15,09. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;5). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
antrian pelayan
40
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Pada tabel 5.2 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 3 pengunjung setiap lima menit (0,600 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 7,782 Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 5.3 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 2,917 pengunjung setiap lima menit (0,583 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,303 Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;6) adalah 16,81. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;6). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan
Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku
1) Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 6.1 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 2,333 pengunjung setiap lima menit (0,466 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,049. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
41
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Pada tabel 6.2 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan
(λ) sebesar 1,958 pengunjung setiap lima menit (0,392 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 5,215. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;3) adalah 11,34. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;3). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 6.3 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)
sebesar 2,25 pengunjung setiap lima menit (0,45 per-menit).
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 7,558. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi
Poisson.
Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan
Dari hasil pengamatan sistem antrian pada UPT Perpustakaan Universitas
Negeri Semarang diperoleh waktu pelayanan t, yaitu waktu yang diperlukan untuk
melayani satu orang pengunjung. Untuk menentukan rata-rata waktu pelayanan
dapat dihitung dengan ∑=
=m
iii fxt
1, dengan i adalah batas-batas interval [I1-I, Ii] dan
xi adalah nilai tengah dari interval ke-i, serta fi adalah frekuensi relatif yaitu
frekuensi observasi (f0) pada interval i dibagi dengan jumlah frekuensi
keseluruhan (n). Laju pelayanan pengunjung (μ) adalah rata-rata jumlah
42
pengunjung yang dapat dilayani per satuan waktu. Dengan demikian harga t1
=μ
.Dari data penelitian pada lampiran 7 dan 8 maka didapatkan data waktu
pelayanan yang akan diuji dengan dengan uji kebaikan suai khi kuadrat.
a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan
Pengunjung pada Loket Peminjaman Buku
1) Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 7.1 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,25 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,8 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 9,08. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
2) Selasa , 16 Agustus 2005
Pada tabel 7.2 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,431 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,699 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 8,43. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 7.3 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,043 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
43
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,959 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 5,954. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan
Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku
1) Senin, 15 Agustus 2005
Pada tabel 8.1 (lampiran 8), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,739 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,575 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 6,706. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
2) Selasa, 16 Agustus 2005
Pada tabel 8.2 (lampiran 8), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,225 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,816 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 2,25. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
44
3) Kamis, 18 Agustus 2005
Pada tabel 8.3 (lampiran 8), terlihat bahwa rata-rata waktu
pelayanan sebesar 1,186 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga
laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,843 pengunjung per-menit.
Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 1,697. Dari tabel khi kuadrat
(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian
χ2hitung < χ2
(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
Menentukan Model Antrian
Dalam penelitian ini, antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES
diasumsikan mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞ / ∞). Pada model ini
kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial,
terdapat satu pelayan dengan peraturan pelayananan yang pertama masuk dilayani
lebih dulu (PMPK), serta dengan kapasitas sistem dan sumber kedatangan tak
terbatas.
Dari hasil penelitian yang dilakukan ternyata pola kedatangan berdistribusi
Poisson sedangkan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Pada UPT
Perpustakaan UNNES pada loket peminjaman maupun loket pengembalian
masing-masing ditempatkan satu orang pelayan dengan peraturan pelayanan yang
pertama kali datang akan dilayani terlebih dahulu. Jumlah pengantri dalam sistem
dan antrian serta sumber kedatangan pengunjung tak terbatas. Jadi sistem antrian
45
pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞
/∞)
Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung Dalam Antrian dan Sistem
Untuk menghitung besar faktor kegunaan untuk mengetahui rata-rata jumlah
pengunjung yang menunggu di dalam antrian dan sistem, maka terlebih dahulu
harus diketahui besar rata-rata laju kedatangan (λ) dan laju pelayanan (μ).
Untuk menghitung faktor kegunaan, digunakan rumus μλρ =
a. Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem
Rata-rata jumlah pengunjung dalam system dapat dihitung dengan
menggunakan rumus ρρ-1
L =
1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket
Peminjaman
a) Senin, 15 Agustus 2005
==μλρ 791,0
8,0633,0
=
ρρ-1
L = = 785,3791,01
791,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 3,785
b) Selasa, 16 Agustus 2005
==μλρ 858,0
699,06,0
=
46
ρρ-1
L = = 042,6858,01
858,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 6,042
c) Kamis, 18 Agustus 2005
==μλρ 608,0
959,0583,0
=
ρρ-1
L = = 551,1608,01
608,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 1,551
2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket
Pengembalian
a) Senin, 15 Agustus 2005
==μλρ 811,0
575,0466,0
=
ρρ-1
L = = 291,4811,01
811,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 4,291
b) Selasa, 16 Agustus 2005
==μλρ 480,0
816,0392,0
=
ρρ-1
L = = 923,0480,01
480,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 0,923
47
c) Kamis, 18 Agustus 2005
==μλρ 534,0
843,0450,0
=
ρρ-1
L = = 146,1534,01
534,0=
−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 1,146
b. Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian
Rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian dapat dihitung dengan
menggunakan rumus ρ
ρ−
=1
L2
q
1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket
Peminjaman
a) Senin, 15 Agustus 2005
ρρ−
=1
L2
q = ( ) 994,2791,01
791,0 2
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 2,994
b) Selasa, 16 Agustus 2005
ρ
ρ −
= 1
L 2
q = ( ) 184,5858,01
858,0 2
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 5,184
c) Kamis, 18 Agustus 2005
ρρ−
=1
L2
q = ( ) 943,0608,01
608,0 2
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 0,943
48
2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket
Pengembalian
a) Senin, 15 Agustus 2005
ρρ−
=1
L2
q = ( ) 480,3811,01
811,0 2
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 3,480
b) Selasa, 16 Agustus 2005
ρρ−
=1
L2
q = ( ) 443,0480,01
480,0 22
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 0,443
c) Kamis, 18 Agustus 2005
ρρ−
=1
L2
q = ( ) 612,0534,01
534,0 2
=−
Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 0,612
Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem dan Antrian
Rata-rata waktu menunggu dalam sistem dapat dihitung dengan menggunakan
rumus λμ -
1W =
Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem
Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket Peminjaman
Senin, 15 Agustus 2005
==λμ -
1W 988,5633,08,0
1=
−
49
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 5,988
menit
Selasa, 16 Agustus 2005
λμ - 1W = 101,10
6,0699,01
=−
=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 10,101
menit
Kamis, 18 Agustus 2005
λμ - 1W = 660,2
583,9590,01
==
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,66 menit
Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket Pengembalian
Senin, 15 Agustus 2005
λμ - 1W = 174,9
466,0575,01
=−
=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 9,174
menit
Selasa, 16 Agustus 2005
λμ - 1W = 358,2
392,0816,01
=−
=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,358 menit
Kamis, 18 Agustus 2005
λμ - 1W = 544,2
450,0843,01
=−
=
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,544 menit
50
Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
Rata-rata waktu menunggu dalam antrian dapat dihitung menggunakan
rumus λμ
ρ-
Wq =
Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket Peminjaman
Senin, 15 Agustus 2005
λμρ-
Wq = = 736,4633,08,0
791,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 4,736 menit
Selasa, 16 Agustus 2005
λμρ-
Wq = = 667,86,0699,0
858,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 8,667 menit
Kamis, 18 Agustus 2005
λμρ-
Wq = = 617,1583,0959,0
608,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 1,617 menit
Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket Pengembalian
Senin, 15 Agustus 2005
λμρ-
Wq = = 435,7466,0575,0
811,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 7,435 menit
Selasa, 16 Agustus 2005
λμρ-
Wq = = 133,1392,0816,0
480,0=
−
51
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 1,133 menit
Kamis, 18 Agustus 2005
λμρ-
Wq = = 358,1450,0843,0
534,0=
−
Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 1,358 menit
Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian Untuk Berbagai Nilai s.
Dengan cara yang sama, rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s adalah sebagai berikut. Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada loket
peminjaman buku
Senin, 15 Agustus 2005
Tabel 4.1 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 284 14
Selasa, 16 Agustus 2005
Tabel 4.2 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 520 19
52
Kamis, 18 Agustus 2005
Tabel 4.3 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 97 6
Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada loket
pengembalian buku
Senin, 15 Agustus 2005
Tabel 4.4 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 446 20
Selasa, 16 Agustus 2005
Tabel 4.5
Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 68 4
53
Kamis, 18 Agustus 2005
Tabel 4.6
Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 81 5
Persentase Waktu Menganggur Pelayan
Faktor kegunaan (ρ) adalah pembanding laju kedatangan dengan laju
pelayanan maksimum dimana terdapat sejumlah s pelayan. Sehingga untuk
menghitung persentase waktu menganggur para pelayan X dalam
penelitian ini menggunakan rumus % 100 s
-1X ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
μλ
Persentase waktu menganggur para pelayan pada loket peminjaman buku
untuk berbagai nilai s adalah sebagai berikut.
Senin, 15 Agustus 2005
Tabel 4.7 Hasil Penghitungan Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
X 20,88 % 60,44 %
54
Selasa, 16 Agustus 2005
Tabel 4.8 Hasil Penghitungan Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
X 14,16 % 57,08 %
Kamis, 18 Agustus 2005
Tabel 4.9 Hasil Penghitungan Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
X 39,21 % 69,60 %
Persentase waktu menganggur para pelayan pada loket pengembalian buku
untuk berbagai nilai s adalah sebagai berikut.
Senin, 15 Agustus 2005
Tabel 4.10 Hasil Penghitungan Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai nilai s Jumlah pelayan (s) 1 2
X 18,96 % 59,48 %
55
Selasa, 16 Agustus 2005
Tabel 4.11 Hasil Penghitungan Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai Nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
X 51,96 % 75,98 %
Kamis, 18 Agustus 2005
Tabel 4.12 Hasil Penghitungan Waktu Menganggur Pelayan
untuk Berbagai nilai s
Jumlah pelayan (s) 1 2
X 46,62 % 73,31 %
Pembahasan
Situasi Antrian yang Terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES
Sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES, laju
kedatangan berdistribusi Poisson dan laju pelayanan berdistribusi Eksponensial,
sesuai dengan teori yang digunakan dalam penulisan skripsi ini.
Pada umumnya situasi antrian memiliki waktu sibuk atau periode sibuk.
Waktu sibuk yang diamati dalam penelitian ini yaitu mulai dari jam 09.00 WIB
sampai dengan jam 11.00 WIB .
Pada hasil pengamatan yang dilakukan selama 3 hari, antrian terpanjang
terjadi pada hari Senin sedangkan pada loket pengembalian antrian terpanjang
juga terjadi pada hari Senin. Hal ini disebabkan karena jumlah pengunjung yang
datang melebihi dari hari lainnya.
56
Menentukan Jumlah Pelayan Ideal
Jumlah pelayan yang terlalu banyak dapat mengurangi penumpukan
pengunjung pada sistem. Selain itu juga dapat mengakibatkan waktu menganggur
lebih dari yang diperkirakan sehingga akan banyak pelayan yang tidak melakukan
pekerjaan atau menganggur. Akibatnya akan menambah pengeluaran biaya untuk
membayar pelayan yang seharusnya tidak terjadi
Dari hasil analisis data yang dilakukan, didapat waktu menunggu rata-rata
seorang pengunjung untuk berbagai nilai s dan persentase menganggur pelayan.
Selain itu pengambilan keputusan berdasarkan waktu menunggu maksimal dalam
antrian yang dikehendaki oleh pengunjung yaitu tidak lebih dari 10 menit. Dalam
tabel di bawah ini terlihat bahwa untuk penambahan s maka waktu menunggu
rata-rata menurun sedangkan persentase waktu menganggur meningkat
Banyaknya pelayan yang ideal pada loket peminjaman
Senin, 15 Agustus 2005
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 284 14
X (%) 20,88 60,44
Selasa, 16 Agustus 2005
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 520 19
X (%) 14,16 57,08
Kamis, 18 Agustus 2005
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 97 6
X (%) 39,21 69,60
57
Dengan keadaan yang terlihat dalam tabel dan juga menurut
waktu menunggu maksimal yang dikehendaki dalam antrian yaitu
tidak lebih dari 15 menit maka sudah tepat apabila UPT Perpustakaan
UNNES menempatkan satu orang pelayan pada loket peminjaman
buku
Banyaknya pelayan yang ideal pada loket pengembalian
Senin, 15 Agustus 2005
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 446 20
X (%) 18,96 59,48
Selasa, 16 Agustus 2005
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 68 4
X (%) 51,96 75,98
Kamis, 18 Agustus 2005
Jumlah pelayan (s) 1 2
Wq (detik) 81 5
X (%) 46,62 73,31
Dengan keadaan yang terlihat dalam tabel dan juga menurut
waktu menunggu maksimal yang dikehendaki dalam antrian yaitu
tidak lebih dari 15 menit maka sudah tepat apabila UPT Perpustakaan
59
BAB V PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan uraian dari hasil penelitian, maka dapat diperoleh simpulan sebagai berikut.
1. Sistem antrian pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti model
(M / M / 1) karena kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson, waktu
pelayanan berdistribusi Eksponensial, jumlah pelayan satu dengan
peraturan pelayanan PMPK serta kapasitas pelayanan dan sumber
kedatangannya tak terbatas.
2. Rata rata jumlah pengunjung dalam sistem dan antrian
a. Pada loket peminjaman
Rata-rata jumlah pengunjung Hari, tanggal
dalam sistem dalam antrian
Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994
Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184
Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943
b. Pada loket pengembalian
Rata-rata jumlah pengunjung Hari, tanggal
dalam sistem dalam antrian
Senin, 15 Agustus 2005 4,291 3,480
Selasa, 16 Agustus 2005 0,923 0,443
Kamis, 18 Agustus 2005 1,146 0,612
3. Rata-rata waktu menunggu dalam sistem dan antrian
a. Pada loket peminjaman
Hari, tanggal Rata-rata waktu menunggu (menit)
60
dalam sistem dalam antrian
Senin, 15 Agustus 2005 5,988 4,376
Selasa, 16 Agustus 2005 10,101 8,667
Kamis, 18 Agustus 2005 2,660 1,617
b. Pada loket pengembalian
Rata-rata waktu menunggu (menit) Hari, tanggal dalam sistem dalam antrian
Senin, 15 Agustus 2005 9,174 7,435 Selasa, 16 Agustus 2005 2,358 1,133 Kamis, 18 Agustus 2005 2,568 1,358
4. Persentase waktu menganggur pelayan
a. Pada loket peminjaman
Hari, tanggal Persentase waktu menganggur Senin, 15 Agustus 2005 20,88 % Selasa, 16 Agustus 2005 14,16 % Kamis, 18 Agustus 2005 39,21 %
b. Pada loket pengembalian
Hari, tanggal Persentase waktu menganggur Senin, 15 Agustus 2005 18,96 % Selasa, 16 Agustus 2005 51,96 % Kamis, 18 Agustus 2005 46,62 %
5. Jumlah pelayan ideal
a. Pada loket peminjaman, banyaknya pelayan ideal adalah satu orang
b. Pada loket pengembalian, banyaknya pelayan ideal adalah satu orang
Saran
1. Penempatan satu orang pelayan pada masing-masing loket di UPT
Perpustakaan UNNES sudah sesuai. Selain menghemat biaya yang
61
dikeluarkan oleh UNNES, penempatan satu orang pelayan sudah sesuai
dengan waktu tunggu maksimal yang dikehendaki oleh pengunjung.
2. Sebaiknya waktu pelayanan dipercepat agar pengunjung tidak menunggu
terlalu lama dalam antrian.
62
DAFTAR PUSTAKA
Djauhari, Maman. 1997. Statistika Matematika. Bandung : Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB.
Guttman, Irwin. 1982. Introductory Engineering Statistics Third Edition. Canada :
John Wiley & Sons, Inc. Taha, Hamdy A. 1997. Riset Operasi Jilid Dua. Jakarta : Binarupa Aksara. Tarliyah, T dan Dimyati, A. 1999. Operation Research Model-model
Pengambilan Keputusan. Bandung : PT Sinar Baru Algesindo. Wospakrik, Hans J.1996. Teori dan Soal-soal Operations Research. Bandung :
Erlangga. Siegel, S. 1994. Statistik Noparametrik untuk Ilmu-ilmu Sosial. Jakarta : PT
Gramedia Pustaka Utama. Setiawan, Agus. 2003. Analisis Antrian Tunggal dengan Saluran Ganda untuk
suatu Pengambilan Keputusan pada sebuah Bank. Semarang : Universitas Negeri Semarang.
Mulyono, S. 2002. Riset Operasi. Jakarta : Lembaga Penerbit Fakultas Ekonomi
Universitas Indonesia.
63
Lampiran 1
Data Penelitian Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang
Hari / tanggal : Senin, 15 Agustus 2005 Nomor antrian
Waktu kedatangan
Mulai dilayani pelayan
Selesai dilayani pelayan
Lama dalam antrian
1 09 : 00 : 05 09 : 00 : 05 09 : 01 : 15 70 2 09 : 00 : 35 09 : 01 : 15 09 : 04 : 19 184 3 09 : 02 : 51 09 : 04 : 19 09 : 06 : 23 124 4 09 : 05 : 01 09 : 06 : 23 09 : 07 : 33 70 5 09 : 08 : 40 09 : 08 : 40 09 : 09 : 15 35 6 09 : 08 : 55 09 : 09 : 15 09 : 10 : 13 58 7 09 : 11 : 20 09 : 11 : 20 09 : 13 : 32 132 8 09 : 11 : 52 09 : 13 : 32 09 : 15 : 01 89 9 09 : 14 : 13 09 : 15 : 01 09 : 15 : 49 48 10 09 : 17 : 04 09 : 17 : 04 09 : 18 : 24 80 11 09 : 17 : 42 09 : 18 : 24 09 : 20 : 32 128 12 09 : 22 : 15 09 : 22 : 15 09 : 23 : 23 68 13 09 : 24 : 09 09 : 24 : 09 09 : 25 : 15 66 14 09 : 25 : 01 09 : 25 : 15 09 : 27 : 17 122 15 09 : 25 : 49 09 : 27 : 17 09 : 28 : 54 97 16 09 : 30 : 02 09 : 30 : 02 09 : 30 : 35 33 17 09 : 30 : 35 09 : 30 : 35 09 : 31 : 35 60 18 09 : 31 : 35 09 : 31 : 35 09 : 32 : 13 38 19 09 : 32 : 03 09 : 32 : 13 09 : 32 : 38 25 20 09 : 32 : 18 09 : 32 : 38 09 : 34 : 05 87 21 09 : 34 : 05 09 : 34 : 05 09 : 34 : 38 33 22 09 : 38 : 49 09 : 38 : 49 09 : 39 : 40 51 23 09 : 39 : 18 09 : 39 : 40 09 : 41 : 03 83 24 09 : 40 : 50 09 : 41 : 03 09 : 42 : 30 87 25 09 : 42 : 15 09 : 42 : 30 09 : 43 : 00 30 26 09 : 42 : 23 09 : 43 : 00 09 : 44 : 01 61 27 09 : 46 : 27 09 : 46 : 27 09 : 47 : 15 48 28 09 : 47 : 27 09 : 47 : 27 09 : 48 : 06 39 29 09 : 51 : 15 09 : 51 : 15 09 : 52 : 30 75 30 09 : 53 : 25 09 : 53 : 25 09 : 54 : 20 55 31 09 : 54 : 14 09 : 54 : 20 09 : 55 : 33 73 32 09 : 54 : 20 09 : 55 : 33 09 : 56 : 20 47 33 09 : 54 : 20 09 : 56 : 20 09 : 57 : 01 41 34 09 : 56 : 16 09 : 57 : 01 09 : 57 : 50 49
64
35 09 : 58 : 40 09 : 58 : 40 09 : 59 : 31 51 36 09 : 58 : 51 09 : 59 : 31 10 : 00 : 17 46 37 10 : 00 : 00 10 : 00 : 17 10 : 01 : 25 68 38 10 : 00 : 45 10 : 01 : 25 10 : 02 : 36 71 39 10 : 03 : 20 10 : 03 : 20 10 : 06 : 04 164 40 10 : 04 : 10 10 : 06 : 04 10 : 06 : 51 47 41 10 : 04 : 25 10 : 06 : 51 10 : 07 : 35 54 42 10 : 04 : 42 10 : 07 : 35 10 : 09 : 00 85 43 10 : 06 : 30 10 : 09 : 00 10 : 09 : 25 25 44 10 : 08 : 07 10 : 12 : 08 10 : 12 : 58 50 45 10 : 12 : 08 10 : 12 : 58 10 : 14 : 23 85 46 10 : 12 : 20 10 : 14 : 23 10 : 14 : 52 29 47 10 : 13 : 01 10 : 14 : 52 10 : 16 : 06 74 48 10 : 13 : 45 10 : 16 : 06 10 : 17 : 15 67 49 10 : 14 : 23 10 : 17 : 15 10 : 18 : 30 75 50 10 : 15 : 53 10 : 18 : 30 10 : 20 : 00 90 51 10 : 17 : 15 10 : 20 : 00 10 : 20 : 56 56 52 10 : 19 : 07 10 : 20 : 56 10 : 21 : 43 47 53 10 : 20 : 48 10 : 21 : 43 10 : 23 : 01 88 54 10 : 21 : 59 10 : 23 : 11 10 : 25 : 13 122 55 10 : 22 : 30 10 : 25 : 13 10 : 27 : 15 122 56 10 : 22 : 45 10 : 27 : 15 10 : 29 : 41 146 57 10 : 27 : 00 10 : 29 : 41 10 : 30 : 35 54 58 10 : 30 : 10 10 : 30 : 10 10 : 30 : 45 35 59 10 : 31 : 25 10 : 31 : 25 10 : 33 : 26 121 60 10 : 33 : 15 10 : 33 : 33 10 : 34 : 59 86 61 10 : 34 : 01 10 : 34 : 59 10 : 38 : 14 195 62 10 : 35 : 51 10 : 38 : 14 10 : 39 : 08 54 63 10 : 38 : 52 10 : 39 : 08 10 : 40 : 05 55 64 10 : 38 : 52 10 : 40 : 05 10 : 40 : 58 53 65 10 : 40 : 03 10 : 40 : 58 10 : 42 : 31 93 66 10 : 40 : 44 10 : 42 : 31 10 : 45 : 24 173 67 10 : 45 : 11 10 : 45 : 24 10 : 47 : 18 116 68 10 : 45 : 36 10 : 47 : 18 10 : 48 : 07 49 69 10 : 46 : 51 10 : 48 : 07 10 : 50 : 17 130 70 10 : 47 : 52 10 : 50 : 17 10 : 51 : 32 75 71 10 : 50 : 15 10 : 51 : 32 10 : 53 : 17 105 72 10 : 50 : 59 10 : 53 : 17 10 : 54 : 11 54 73 10 : 55 : 06 10 : 55 : 06 10 : 56 : 15 69 74 10 : 55 : 31 10 : 56 : 15 10 : 57 : 07 52 75 10 : 55 : 59 10 : 57 : 07 10 : 58 : 02 55 76 10 : 57 : 12 10 : 58 : 02 10 : 59 : 47 105
65
Hari / tanggal : Selasa / 16 agustus 2005 Nomor antrian Waktu
kedatangan Mulai dilayani
pelayan Selesai dilayani pelayan
Lama dalam antrian
1 09 : 00 : 08 09 : 00 : 08 09 : 01 : 15 67 2 09 : 00 : 03 09 : 01 : 15 09 : 03 : 20 125 3 09 : 02 : 11 09 : 03 : 20 09 : 04 : 31 71 4 09 : 02 : 57 09 : 04 : 31 09 : 05 : 43 72 5 09 : 04 : 07 09 : 05 : 43 09 : 06 : 40 57 6 09 : 06 : 11 09 : 06 : 11 09 : 06 : 58 47 7 09 : 06 : 11 09 : 06 : 58 09 : 07 : 51 53 8 09 : 06 : 49 09 : 07 : 51 09 : 09 : 23 92 9 09 : 11 : 12 09 : 11 : 12 09 : 12 : 03 51 10 09 : 11 : 37 09 : 12 : 03 09 : 14 : 42 159 11 09 : 14 : 48 09 : 14 : 48 09 : 15 : 59 71 12 09 : 15 : 02 09 : 15 : 59 09 : 16 : 41 42 13 09 : 15 : 45 09 : 16 : 41 09 : 18 : 03 82 14 09 : 19 : 17 09 : 19 : 17 09 : 21 : 13 116 15 09 : 19 : 52 09 : 21 : 13 09 : 24 : 41 208 16 09 : 21 : 15 09 : 24 : 41 09 : 26 : 51 130 17 09 : 26 : 05 09 : 26 : 51 09 : 27 : 30 39 18 09 : 26 : 15 09 : 27 : 30 09 : 28 : 42 72 19 09 : 26 : 57 09 : 28 : 42 09 : 30 : 03 81 20 09 : 28 : 01 09 : 30 : 03 09 : 30 : 57 54 21 09 : 30 : 15 09 : 30 : 57 09 : 31 : 41 44 22 09 : 30 : 15 09 : 31 : 41 09 : 34 : 04 143 23 09 : 32 : 17 09 : 34 : 04 09 : 36 : 37 153 24 09 : 33 : 51 09 : 36 : 37 09 : 37 : 12 35 25 09 : 34 : 15 09 : 37 : 12 09 : 37 : 52 40 26 09 : 37 : 03 09 : 37 : 52 09 : 38 : 43 51 27 09 : 37 : 18 09 : 38 : 43 09 : 39 : 22 39 28 09 : 40 : 05 09 : 40 : 05 09 : 42 : 17 132 29 09 : 40 : 10 09 : 42 : 17 09 : 43 : 56 99 30 09 : 41 : 15 09 : 43 : 56 09 : 44 : 35 39 31 09 : 43 : 59 09 : 44 : 35 09 : 47 : 02 147 32 09 : 47 : 22 09 : 47 : 22 09 : 51 : 09 227 33 09 : 48 : 51 09 : 51 : 09 09 : 52 : 04 55 34 09 : 52 : 01 09 : 52 : 04 09 : 54 : 10 126 35 09 : 52 : 47 09 : 54 : 10 09 : 55 : 02 52 36 09 : 53 : 29 09 : 55 : 02 09 : 57 : 13 131 37 09 : 56 : 48 09 : 57 : 13 09 : 57 : 43 30 38 09 : 57 : 17 09 : 57 : 43 09 : 59 : 52 129 39 10 : 00 : 24 10 : 00 : 24 10 : 02 : 33 129 40 10 : 02 : 13 10 : 02 : 33 10 : 03 : 17 44 41 10 : 02 : 13 10 : 03 : 17 10 : 04 : 52 95 42 10 : 04 : 08 10 : 04 : 52 10 : 07 : 14 136
66
43 10 : 09 : 31 10 : 09 : 31 10 : 11 : 53 142 44 10 : 09 : 52 10 : 11 : 53 10 : 13 : 12 79 45 10 : 13 : 10 10 : 13 : 12 10 : 15 : 07 115 46 10 : 14 : 52 10 : 15 : 07 10 : 15 : 57 50 47 10 : 17 : 03 10 : 17 : 03 10 : 17 : 59 56 48 10 : 18 : 23 10 : 18 : 23 10 : 19 : 18 55 49 10 : 20 : 18 10 : 20 : 18 10 : 23 : 20 182 50 10 : 20 : 52 10 : 23 : 20 10 : 25 : 32 72 51 10 : 23 : 11 10 : 25 : 32 10 : 26 : 19 47 52 10 : 25 : 07 10 : 26 : 19 10 : 29 : 02 163 53 10 : 28 : 46 10 : 29 : 02 10 : 30 : 46 104 54 10 : 30 : 21 10 : 30 : 21 10 : 31 : 08 47 55 10 : 30 : 49 10 : 31 : 08 10 : 31 : 49 41 56 10 : 30 : 49 10 : 31 : 49 10 : 33 : 19 100 57 10 : 31 : 15 10 : 33 : 19 10 : 34 : 13 54 58 10 : 35 : 07 10 : 35 : 07 10 : 36 : 41 94 59 10 : 35 : 53 10 : 36 : 41 10 : 37 : 25 44 60 10 : 39 : 52 10 : 39 : 52 10 : 41 : 58 126 61 10 : 40 : 03 10 : 41 : 58 10 : 42 : 37 39 62 10 : 42 : 15 10 : 42 : 37 10 : 43 : 15 38 63 10 : 43 : 41 10 : 43 : 41 10 : 45 : 07 86 64 10 : 43 : 49 10 : 45 : 07 10 : 46 : 28 81 65 10 : 45 : 27 10 : 46 : 28 10 : 48 : 23 115 66 10 : 46 : 56 10 : 48 : 23 10 : 49 : 14 51 67 10 : 46 : 59 10 : 49 : 14 10 : 49 : 52 38 68 10 : 49 : 02 10 : 49 : 52 10 : 52 : 59 127 69 10 : 50 : 23 10 : 52 : 59 10 : 54 : 21 82 70 10 : 52 : 27 10 : 54 : 21 10 : 57 : 25 184 71 10 : 56 : 01 10 : 57 : 25 10 : 58 : 52 87 72 10 : 56 : 27 10 : 58 : 52 10 : 59 : 58 66 Hari / Tanggal : Kamis / 18 agustus 2005 Nomor antrian Waktu
kedatangan Mulai dilayani
pelayan Selesai dilayani pelayan
Lama dalam antrian
1 09 : 00 : 32 09 : 00 : 32 09 : 02 : 39 127 2 09 : 00 : 51 09 : 02 : 39 09 : 03 : 52 73 3 09 : 05 : 12 09 : 05 : 12 09 : 06 : 03 51 4 09 : 06 : 00 09 : 06 : 03 09 : 06 : 47 4 5 09 : 06 : 00 09 : 06 : 47 09 : 07 : 31 44 6 09 : 06 : 32 09 : 07 : 31 09 : 08 : 47 76 7 09 : 07 : 07 09 : 08 : 47 09 : 09 : 33 46 8 09 : 07 : 45 09 : 09 : 33 09 : 10 : 17 44 9 09 : 09 : 10 09 : 10 : 17 09 : 11 : 02 35 10 09 : 10 : 12 09 : 11 : 02 09 : 12 : 57 115 11 09 : 13 : 45 09 : 13 : 45 09 : 15 : 23 98
67
12 09 : 15 : 45 09 : 15 : 45 09 : 16 : 17 32 13 09 : 19 : 30 09 : 19 : 30 09 : 20 : 02 32 14 09 : 19 : 37 09 : 20 : 02 09 : 21 : 03 61 15 09 : 21 : 48 09 : 21 : 48 09 : 22 : 12 24 16 09 : 24 : 04 09 : 24 : 04 09 : 24 : 54 50 17 09 : 26 : 00 09 : 26 : 00 09 : 27 : 09 69 18 09 : 32 : 30 09 : 32 : 30 09 : 33 : 45 75 19 09 : 34 : 40 09 : 34 : 40 09 : 35 : 29 49 20 09 : 34 : 56 09 : 35 : 29 09 : 36 : 06 37 21 09 : 37 : 27 09 : 37 : 27 09 : 37 : 50 23 22 09 : 37 : 33 09 : 37 : 50 09 : 39 : 05 75 23 09 : 38 : 05 09 : 39 : 05 09 : 40 : 31 86 24 09 : 40 : 31 09 : 40 : 31 09 : 41 : 15 44 25 09 : 40 : 58 09 : 41 : 15 09 : 42 : 33 78 26 09 : 41 : 30 09 : 42 : 33 09 : 43 : 53 80 27 09 : 42 : 31 09 : 43 : 33 09 : 45 : 41 128 28 09 : 51 : 27 09 : 51 : 27 09 : 52 : 05 38 29 09 : 52 : 05 09 : 52 : 05 09 : 53 : 24 79 30 09 : 53 : 55 09 : 53 : 55 09 : 54 : 57 62 31 09 : 56 : 47 09 : 56 : 47 09 : 58 : 15 88 32 09 : 58 : 47 09 : 58 : 47 09 : 59 : 31 44 33 09 : 59 : 01 09 : 59 : 31 10 : 00 : 23 52 34 10 : 00 : 25 10 : 00 : 25 10 : 01 : 21 56 35 10 : 02 : 52 10 : 02 : 51 10 : 03 : 53 61 36 10 : 04 : 01 10 : 04 : 01 10 : 53 : 06 65 37 10 : 05 : 02 10 : 05 : 02 10 : 06 : 35 93 38 10 : 06 : 30 10 : 06 : 35 10 : 35 : 15 40 39 10 : 06 : 35 10 : 07 : 15 10 : 15 : 30 75 40 10 : 07 : 59 10 : 08 : 30 10 : 13 : 13 43 41 10 : 09 : 15 10 : 09 : 15 10 : 08 : 08 53 42 10 : 11 : 24 10 : 11 : 24 10 : 12 : 27 63 43 10 : 11 : 35 10 : 12 : 27 10 : 13 : 30 63 44 10 : 12 : 10 10 : 13 : 30 10 : 14 : 49 79 45 10 : 13 : 56 10 : 14 : 49 10 : 15 : 37 48 46 10 : 15 : 39 10 : 15 : 39 10 : 16 : 31 52 47 10 : 16 : 48 10 : 16 : 48 10 : 18 : 01 73 48 10 : 16 : 57 10 : 18 : 01 10 : 18 : 25 24 49 10 : 17 : 07 10 : 18 : 25 10 : 18 : 59 24 50 10 : 18 : 47 10 : 18 : 59 10 : 19 : 34 35 51 10 : 19 : 21 10 : 19 : 34 10 : 20 : 21 47 52 10 : 23 : 22 10 : 23 : 22 10 : 23 : 44 22 53 10 : 24 : 15 10 : 24 : 15 10 : 24 : 51 36 54 10 : 24 : 53 10 : 24 : 53 10 : 25 : 52 59 55 10 : 29 : 08 10 : 29 : 08 10 : 29 : 57 39
68
56 10 : 29 : 08 10 : 29 : 57 10 : 30 : 49 52 57 10 : 29 : 25 10 : 30 : 49 10 : 31 : 52 63 58 10 : 29 : 48 10 : 31 : 52 10 : 32 : 49 57 59 10 : 31 : 58 10 : 32 : 49 10 : 33 : 30 41 60 10 : 33 : 02 10 : 33 : 30 10 : 34 : 41 71 61 10 : 33 : 10 10 : 34 : 41 10 : 36 : 21 110 62 10 : 38 : 11 10 : 38 : 11 10 : 41 : 52 221 63 10 : 39 : 52 10 : 41 : 52 10 : 42 : 39 47 64 10 : 44 : 43 10 : 44 : 43 10 : 46 : 51 128 65 10 : 48 : 21 10 : 48 : 21 10 : 49 : 45 84 66 10 : 48 : 56 10 : 49 : 45 10 : 50 : 41 56 67 10 : 53 : 21 10 : 53 : 21 10 : 55 : 31 130 68 10 : 55 : 07 10 : 55 : 31 10 : 56 : 27 56 69 10 : 55 : 49 10 : 56 : 27 10 : 57 : 21 54 70 10 : 55 : 57 10 : 57 : 21 10 : 59 : 45 144 :
69
Lampiran 2
Data Penelitian Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang
Hari / Tanggal : Senin / 15 Agustus 2005 Nomor antrian Waktu
kedatangan Mulai dilayani
pelayan Selesai dilayani pelayan
Lama dalam antrian
1 09 : 00 : 31 09 : 00 : 31 09 : 01 : 41 2 09 : 04 : 13 09 : 04 : 13 09 : 05 : 07 3 09 : 04 : 31 09 : 05 : 07 09 : 05 : 53 4 09 : 05 : 09 09 : 05 : 53 09 : 06 : 42 5 09 : 10 : 15 09 : 10 : 15 09 : 12 : 18 6 09 : 10 : 30 09 : 12 : 18 09 : 13 : 05 7 09 : 11 : 17 09 : 13 : 05 09 : 13 : 54 8 09 : 16 : 20 09 : 16 : 20 09 : 17 : 31 9 09 : 18 : 57 09 : 18 : 57 09 : 20 : 17 10 09 : 20 : 05 09 : 20 : 17 09 : 21 : 13 11 09 : 20 : 45 09 : 21 : 13 09 : 23 : 18 12 09 : 21 : 13 09 : 23 : 18 09 : 24 : 05 13 09 : 28 : 51 09 : 28 : 51 09 : 29 : 15 14 09 : 28 : 57 09 : 29 : 15 09 : 32 : 48 15 09 : 30 : 50 09 : 32 : 48 09 : 33 : 51 16 09 : 33 : 05 09 : 33 : 51 09 : 34 : 14 17 09 : 33 : 51 09 : 34 : 14 09 : 35 : 27 18 09 : 34 : 15 09 : 35 : 27 09 : 37 : 41 19 09 : 36 : 02 09 : 37 : 41 09 : 39 : 21 20 09 : 44 : 27 09 : 44 : 27 09 : 45 : 17 21 09 : 44 : 35 09 : 45 : 17 09 : 46 : 23 22 09 : 49 : 20 09 : 49 : 20 09 : 50 : 10 23 09 : 51 : 12 09 : 51 : 12 09 : 52 : 18 24 09 : 51 : 42 09 : 52 : 18 09 : 53 : 27 25 09 : 51 : 57 09 : 53 : 27 09 : 54 : 20 26 09 : 53 : 11 09 : 54 : 20 09 : 56 : 31 27 09 : 54 : 04 09 : 56 : 31 09 : 57 : 11 28 09 : 58 : 15 09 : 58 : 15 09 : 59 : 07 29 09 : 58 : 45 09 : 59 : 07 09 : 59 : 58 30 09 : 59 : 13 09 : 59 :58 10 : 01 : 43 31 10 : 04 : 49 10 : 04 : 49 10 : 05 : 15 32 10 : 04 : 42 10 : 05 : 15 10 : 06 : 52 33 10 : 05 : 15 10 : 06 : 52 10 : 08 : 17 34 10 : 07 : 21 10 : 08 : 17 10 : 09 : 13 35 10 : 07 : 47 10 : 09 : 13 10 : 11 : 42 36 10 : 14 : 03 10 : 14 : 03 10 : 15 : 27 37 10 : 14 : 15 10 : 15 : 27 10 : 16 : 12
70
38 10 : 14 : 37 10 : 16 : 12 10 : 17 : 07 39 10 : 14 : 49 10 : 17 : 07 10 : 18 : 25 40 10 : 17 : 52 10 : 18 : 25 10 : 19 : 37 41 10 : 18 : 27 10 : 19 : 37 10 : 21 : 43 42 10 : 23 : 17 10 : 23 : 17 10 : 24 : 11 43 10 : 23 : 48 10 : 24 : 11 10 : 25 : 27 44 10 : 25 : 02 10 : 25 : 27 10 : 26 : 15 45 10 : 33 : 51 10 : 33 : 51 10 : 34 : 25 46 10 : 37 : 12 10 : 37 : 12 10 : 37 : 21 47 10 : 37 : 27 10 : 37 : 21 10 : 39 : 31 48 10 : 37 : 58 10 : 39 : 31 10 : 40 : 11 49 10 : 44 : 13 10 : 44 : 13 10 : 45 : 07 50 10 : 47 : 21 10 : 47 : 21 10 : 48 : 32 51 10 : 48 : 10 10 : 48 : 32 10 : 49 : 43 52 10 : 53 : 41 10 : 53 : 41 10 : 54 : 51 53 10 : 54 : 16 10 : 54 : 51 10 : 55 : 03 54 10 : 54 : 39 10 : 55 : 03 10 : 56 : 21 55 10 : 55 : 01 10 : 56 : 21 10 : 59 : 03 56 10 : 58 : 02 10 : 59 : 03 10 : 59 : 51 Hari / Tanggal : Selasa, 16 Agustus 2005 No antrian 1 09 : 02 : 21 09 : 02 : 21 09 : 03 : 52 2 09 : 02 : 42 09 : 03 : 52 09 : 04 : 29 3 09 : 03 : 35 09 : 04 : 29 09 : 05 : 15 4 09 : 04 : 17 09 : 05 : 15 09 : 07 : 31 5 09 : 09 : 07 09 : 09 : 07 09 : 12 : 15 6 09 : 11 : 10 09 : 12 : 15 09 : 13 : 21 7 09 : 11 : 57 09 : 13 : 21 09 : 14 : 15 8 09 : 18 : 16 09 : 18 : 16 09 : 19 : 45 9 09 : 19 : 24 09 : 19 : 45 09 : 21 : 13 10 09 : 20 : 52 09 : 21 : 13 09 : 22 : 08 11 09 : 28 : 03 09 : 28 : 03 09 : 29 : 19 12 09 : 28 : 27 09 : 29 : 19 09 : 31 : 27 13 09 : 29 : 15 09 : 31 : 27 09 : 32 : 15 14 09 : 31 : 17 09 : 32 : 15 09 : 35 : 34 15 09 : 39 : 07 09 : 39 : 07 09 : 40 : 16 16 09 : 43 : 11 09 : 43 : 11 09 : 43 : 57 17 09 : 43 : 51 09 : 43 : 57 09 : 44 : 31 18 09 : 47 : 43 09 : 47 : 43 09 : 48 : 15 19 09 : 48 : 02 09 : 48 : 15 09 : 49 : 37 20 09 : 54 : 15 09 : 54 : 15 09 : 55 : 18 21 09 : 58 : 07 09 : 58 : 07 09 : 58 : 51 22 09 : 58 : 48 09 : 58 : 51 09 : 59 : 45
71
23 09 : 59 : 17 09 : 59 : 45 10 : 01 : 17 24 10 : 00 : 21 10 : 01 : 17 10 : 02 : 11 25 10 : 09 : 05 10 : 09 : 05 10 : 10 : 12 26 10 : 09 : 41 10 : 10 : 12 10 : 13 : 50 27 10 : 13 : 21 10 : 13 : 50 10 : 14 : 56 28 10 : 13 : 39 10 : 14 : 56 10 : 15 : 37 29 10 : 14 : 17 10 : 15 : 37 10 : 16 : 23 30 10 : 14 : 52 10 : 16 : 23 10 : 19 : 15 31 10 : 18 : 51 10 : 19 : 15 10 : 20 : 10 32 10 : 19 : 15 10 : 20 : 10 10 : 21 : 15 33 10 : 20 : 25 10 : 21 : 15 10 : 22 : 11 34 10 : 24 : 39 10 : 24 : 39 10 : 25 : 31 35 10 : 29 : 17 10 : 29 : 17 10 : 30 : 39 36 10 : 30 : 15 10 : 30 : 39 10 : 32 : 49 37 10 : 38 : 12 10 : 38 : 12 10 : 40 : 06 38 10 : 39 : 17 10 : 40 : 06 10 : 40 : 53 39 10 : 43 : 09 10 : 43 : 09 10 : 43 : 58 40 10 : 43 : 27 10 : 43 : 58 10 : 45 : 15 41 10 : 44 : 25 10 : 45 : 15 10 : 46 : 09 42 10 : 45 : 18 10 : 46 : 09 10 : 47 : 02 43 10 : 53 : 12 10 : 53 : 12 10 : 54 : 03 44 10 : 53 : 28 10 : 54 : 03 10 : 55 : 10 45 10 : 54 : 41 10 : 55 : 10 10 : 57 : 19 46 10 : 55 : 15 10 : 57 : 19 10 : 58 : 11 47 10 : 56 : 36 10 : 58 : 11 10 : 59 : 31 :
72
Lampiran 3 Data Penelitian Per interval Waktu lima Menit Loket Peminjaman Buku Lampiran 4 Data Penelitian Per interval Waktu lima Menit Loket Peminjaman Buku Lampiran 5 Tabel Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung pada Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang Senin, 15 agustus 2005
x f0 x f0 fe (f0 – fe)2 χ2 hitung 0 0 0 1,011 1,022 1,011 1 1 1 3,202 4,849 1,514 2 8 16 5,071 8,579 1,692 3 6 18 5,353 0,419 0,078 4 5 20 4,238 0,581 0,137 5 3 15 2,684 0,124 0,046 6 1 6 1,417 0,174 0,123
24 76 4,600 Selasa, 16 agustus 2005
x f0 x f0 fe (f0 – fe)2 χ2 hitung 0 0 0 1,195 1,428 1,195 1 1 1 3,585 6,682 1,864 2 9 18 5,377 13,126 2,441 3 5 15 5,377 0,142 0,026 4 7 28 4,033 8,803 2,183 5 2 10 2,420 0,176 0,073 24 72 7,782
Kamis, 18 agustus 2005
x f0 x f0 fe (f0 – fe)2 χ2 hitung 0 1 0 1,298 0,089 0,069 1 3 3 3,787 0,619 0,163 2 5 10 5,523 0,273 0,049 3 9 27 5,371 13,170 2,452 4 3 12 3,917 0,841 0,215 5 1 5 2,285 1,651 0,722 6 1 6 1,111 0,012 0,011 7 1 7 0,463 0,288 0,622 24 70 4,303
73
DISTRIBUSI WAKTU PELAYANAN Senin,15 agustus 2005
t xi f0 fr xi fr fe (f0 – fe)2 χ2hitung(0 , 1] 0,5 34 0,447 0,2235 41,851 61,638 1,473 (1 , 2] 1,5 29 0,382 0,5760 18,805 103,938 5,527 (2 , 3] 2,5 11 0,145 0,3625 15,344 18,870 1,230 (3 , 4] 3,5 2 0,026 0,0910 3,797 3,229 0,850
76 1,000 1,250 9,080 Selasa, 16 agustus 2005
t xi f0 fr xi fr fe (f0 – fe)2 χ2hitung(0 , 1] 0,5 29 0,403 0,2015 36,210 51,984 1,436 (1 , 2] 1,5 23 0,319 0,4785 17,999 25,010 1,389 (2 , 3] 2,5 16 0,222 0,555 8,947 49,745 5,560 (3 , 4] 3,5 4 0,056 0,196 4,447 0,200 0,045
72 1,000 1,431 8,430 Kamis, 18 Agustus 2005
t xi f0 fr xi fr fe (f0 – fe)2 χ2hitung(0 , 1] 0,5 39 0,557 0,2785 43,171 17,397 (1 , 2] 1,5 25 0,357 0,5355 16,484 72,522 (2 , 3] 2,5 5 0,072 0,1800 6,380 1,904 (3 , 4] 3,5 1 0,014 0,0490 2,445 2,088
70 1,000 1,043