apostila de Álgebra linear

APOSTILA DE

ÁLGEBRA LINEAR

PROFESSORA: MONIQUE SEQUEIRA LEHMANN

APOSTILA DE ÁLGEBRA LINEAR

PROFESSORA MONIQUE SEQUEIRA LEHMANN 1

SUMÁRIO

1 – Matrizes 2

1.1 – Introdução 2

1.2 – Tipos de matrizes 3

1.3 – Operações com matrizes 4

2 – Sistemas de equações lineares 7


2.2 – Sistemas e matrizes 9

2.3 – Operações elementares 10

2.4 – Forma escada 11

2.5 – Soluções de um sistema de equações lineares 13

3 – Determinantes e matriz inversa 15

3.1 – A inversa de uma matriz 15

3.2 – Determinantes 18

3.3 – Regra de Cramer 24

4 – Espaços vetoriais 25


4.2 – Subespaços vetoriais 26

4.3 – Combinação linear 27

4.4 – Subespaços gerados 30

4.5 – Dependência e independência linear 30

4.6 – Base de um espaço vetorial 31

5 – Transformações lineares 35

5.1 – Definição 35

5.2 – Transformação lineares e matrizes 38

6 – Autovalores e autovetores 40

6.1 – Definição 40

6.2 – Determinação dos autovalores e autovetores 40



Capítulo 1

Matrizes

1.1 – Introdução:

• Matriz: é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−5831

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

712965301

; [ ]952 ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 675

Seus elementos podem ser números reais ou complexos, funções ou ainda outras matrizes.

• Representação: Utiliza-se letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para

especificar sua ordem, ou seja, o número de linhas e o número de colunas.

Exemplo: Matriz A com m linhas e n colunas ( Amxn).

Para localizar um elemento na matriz, indicamos a linha e a coluna em que ele se encontra, nesta

ordem.

Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

941253

232221

13121132 aaa

aaaA x

a11 = 3 ; a21 = 1

a12 = 5 ; a22 = 4

a13 = 2 ; a23 = 9

• Definição: Dizemos que duas matrizes Amxn e Brxs são iguais se elas tem o mesmo

número de linhas (m = r) e colunas (n = s), e se todos os seus elementos correspondentes

são iguais (aij = bij).

Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

542090sen9

5221log13

2

2 o



1.2 – Tipos de matrizes:

• Matriz quadrada: é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡9145

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

459314

625

• Matriz nula: é aquela em que aij = 0 para qualquer i e j.

Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

• Matriz coluna: é aquela que possui uma única coluna (n = 1).

Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡51

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

452

• Matriz linha: é aquela na qual m = 1, ou seja, possui apenas uma linha.

Exemplo:

[ ]35 ; [ ]489

• Matriz diagonal: é uma matriz quadrada (m = n) onde aij ≠ 0 para i = j, ou seja, apenas os

elementos da diagonal principal são não-nulos.

Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1003

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

700050002

• Matriz identidade: é aquela matriz quadrada na qual:

para i = j

para i ≠ j

⎩⎨⎧

=

=

0

1

ij

ij

aa



Exemplo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

100010001

1.3 – Operações com matrizes:

• Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem, Amxn e Bmxn, é uma matriz cujos

elementos são a soma dos elementos correspondentes de A e B.

Exemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−++−++−+++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

762512771

9)2(51)2(032)5(624254301

952352240

210264531

A subtração de matrizes, é feita da seguinte forma: A – B = A + (– B)

Propriedades:

I. Comutatividade: A + B = B + A

II. Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C

III. A + 0 = A, onde 0 indica a matriz nula

• Multiplicação por escalar: Seja a matriz A = [aij] mxn e um número K , então podemos definir

uma nova matriz dada por:

K . A = [K . aij]mxn

Exemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

2848106

1862

142453931

.2

Propriedades:

I. K.(A + B) = K.A + K.B

II. (K1 + K2).A = K1.A + K2.A

III. 0.A = 0

IV. K1.(K2.A) = (K1.K2).A



• Matriz transposta: Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter uma outra matriz A’ =

[bij]nxm, cujas linhas são as colunas de A Chamamos A’ de matriz transposta de A.

Exemplo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

165132

A ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

153612

'A

Propriedades:

I. Uma matriz é simétrica se, e somente se for igual à sua transposta.

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2331

A ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2331

'A ; A e A’ são simétricas.

II. A transposta da transposta (A’’) é a matriz original.

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3451

A ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3541

'A ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3451

''A

III. A transposta de uma soma é igual à soma das transpostas (A + B)’ = A’ + B’

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1432

A ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

9245

B

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

10767

10677

''

BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

10767

9425

1342

'' BA

IV. (K.A)’ = K.A’, onde K é um escalar.

Exemplo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1532

A e K = 2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

26104

21064

)'.('

AK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

26104

1352

.2'.AK



• Multiplicação de matrizes: Sejam duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxp. Definimos A.B

= [Cuv]mxp:

∑=

=n

kkvukuv baC

1.

Observações importantes:

I. Só podemos efetuar o produto de duas matrizes o número de colunas de A for igual ao

número de linhas de B (m = r).

II. A matriz resultante da multiplicação de Amxn e Brxp será uma matriz Cmxp.

Exemplos:

a)

2322 81

3452

.4011

xx ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ − O número de colunas da primeira é diferente do número de

linhas da segunda (2 ≠ 3), logo, não é possível efetuar a multiplicação.

b)

232322

232319171825

4.6)1.(13.61.14.5)1.(33.51.34.1)1.(23.11.2

4311

.615312

xxx

x⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++−++−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

Propriedades:

I. A.B ≠ B.A

II. A.I = I.A = A, onde I é a matriz identidade.

III. A.(B + C) = A.B + A.C

IV. (A + B).C = A.C + B.C

V. (A.B).C = A.(B.C)

VI. (A.B)’ = B’.A’ Observe a ordem

VII. 0.A = A.0 = 0



Capítulo 2

Sistemas de Equações Lineares


O objetivo deste capítulo é estudar um método para a resolução de sistemas lineares em geral. A

técnica pode não ser a melhor nos casos de sistemas muito simples, mas além de poder ser

empregada em todos os casos, pode ser muito útil em sistemas com grande número de

incógnitas.

Exemplo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=++=++

5234452

134

zyxzyxzyx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− 523144521341

1º PASSO: Eliminar x das linhas 2 e 3.

L2 = -2.L1 + L2

L3 = -L1 + L3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

457022301341

2º PASSO: Tornar y da linha 2 igual a 1.

L2 = (-1/3).L2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

45703/23/210

1341

3º PASSO: Eliminar y das linhas 1 e 3.

L1 = -4.L2 + L1

L3 = 7.L2 + L3



⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

3/23/1003/23/2103/113/101

4º PASSO: Tornar z da linha 3 igual a 1.

L3 = -3.L3

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

21003/23/2103/113/101

5º PASSO: Eliminar z das linhas 1 e 2.

L1 = (-1/3).L3 + L1

L2 = (-2/3).L3 + L2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−21002010

3001

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=++=++

200200

300

zyxzyxzyx

Sendo assim, pode-se obter x, y e z:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−==

22

3

zyx

Cada sistema do exemplo foi obtido a partir do sistema anterior a ele através de operações que

preservam as igualdades. As únicas operações efetuadas no problema foram:

Multiplicar a equação por um número diferente de zero;

Adicionar a equação a outra.

Porém, existe ainda uma outra operação que às vezes será necessária:

Permutar duas equações.



2.2 – Sistemas e matrizes:

Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do

tipo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.........

............

2211

22222121

11212111

com aij, 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n.

Uma solução do sistema acima é uma n-upla de números (x1, x2, ..., xn) que satisfaça

simultaneamente estas m equações.

Podemos escrever o sistema acima na forma matricial:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.......

...............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

Ou seja A.X = B, onde:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

...............

...

...

21

22221

11211

Matriz dos coeficientes

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

X...

2

1

Matriz das incógnitas

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mb

bb

B...

2

1

Matriz dos termos independentes



Uma outra matriz, chamada matriz ampliada do sistema, é representada da seguinte forma:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mmnmm

n

n

b

bb

aaa

aaaaaa

......

..................

2

1

21

22221

11211

2.3 – Operações elementares:

Conforme já explicitado anteriormente, existem três operações elementares que podem ser

efetuadas sobre as linhas de uma matriz:

Permuta da i-ésima e j-ésima linhas (Li ↔ Lj)

Exp: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

153732451

732153451

32 LL

Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li ↔ k.Li)

Exp: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

342174341

342174682

11 21 LL

Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li ↔ Li + k.Lj)

Exp: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−− +−=

243310

201

243514201

212 .4 LLL

Se A e B são matrizes m x n, dizemos que B é linha equivalente a A, se for obtida de A através

de um número finito de operações elementares sobre as linhas de A.

• Teorema:

Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.



2.4 – Forma escada:

Uma matriz m x n é linha reduzida à forma escada (ou escalonada) se:

i. O primeiro elemento não nulo de uma matriz não nula é 1;

ii. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus

outros elementos iguais a zero;

iii. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas (isto é, daquelas que possuem

pelo menos uma elemento não nulo);

iv. Se as linhas 1, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i

ocorre na coluna Ki, então K1 < K2 < ... < Kr. Ou seja, o número de zeros precedendo o

primeiro elemento não nulo de cada linha aumenta a cada linha, até que sobrem somente

linhas nulas, se houver.

• Teorema:

Toda matriz m x n é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida à forma escada.

• Teorema:

Dada uma matriz Amxn, seja Bmxn a matriz linha reduzida à forma escada linha equivalente a A.

O “posto” de A, denotado por “p”, é o número de linhas não nulas de B. A “nulidade”de A,

denotada por “N” é o número n – p, onde “n”é o número de colunas da matriz dos coeficientes.

Exp1: Encontrar o posto e a nulidade da matriz abaixo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

112153010121

A

p = 3 ; n = 3 ; N = 0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

→⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

→⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+=+−=

=

+−=+=

=+=+−=

8111004101087001

811100252105301

11800252105301

104025210

0121

104054200121

112153010121

13312322

3813

12213243

2212212

313

LLLLLL

LL

LLLLLL

LLLLLLLL



Exp2: Encontrar o posto e a nulidade da matriz abaixo:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

8164151241312

A

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+−=+=

−=+−=

+−=+−==

000000911091401

0001909110

241

000190190

241

8164151312241

8164151241312

12413293

2912313

4144212221

LLLLLL

LLLLLLLL

LLLLL

p = 2 ; n = 2 ; N = 0

Repare que a matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

241312

1A tem o mesmo posto e nulidade que a matriz A.

Reinterpretando as matrizes A e A1 como sistema de equações, diremos que o sistema de quatro

equações associado à matriz A inicial é equivalente ao sistema de duas equações:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=−=+=−

8164152432

yxyxyxyx

é equivalente a ⎩⎨⎧

=+=+

9109140

yxyx

.

Este é um sistema com equações redundantes. A 3ª e a 4ª linha podem ser desprezadas. O

sistema inicial é equivalente ao sistema:

⎩⎨⎧

=+=−

2432

yxyx

É importante observar que o posto da matriz ampliada de um sistema representa o número de

equações independentes deste.

Uma linha será dependente de outras (igual a zero no final do processo) se ela puder ser escrita

como a soma de produtos destas outras linhas por constantes.



2.5 – Soluções de um sistema de equações lineares:

Se tivermos um sistema de uma equação e uma incógnita, ax = b, existirão três possibilidades:

a) a ≠ 0 Neste caso a equação tem uma única solução:

abx =

b) a = 0 e b = 0 Temos 0x = 0 e qualquer número real será solução da equação.

c) a = 0 e b ≠ 0 Temos 0x = b, logo, não existe solução para esta equação.

Exemplos:

1 - ⎩⎨⎧

=−=+

6352

yxyx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+=

=+−==

110301

110731

770631

512631

631512

1231

271

2212221

lLL

LLLLLLL

Neste caso, temos: pa = pc = 2 e N = 2 – 2 = 0

E o sistema tem uma única solução: x = 3 e y = - 1.

2 - ⎩⎨⎧

=+=+

153652

yxyx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−==

00025211

153625211

1536512 21621

211 LLLLL

Observamos que pa = pc = 1 e N = 2 – 1 = 1.

A nulidade de um sistema, também chamada de grau de liberdade do sistema, significa o número

de variáveis livres no dado sistema.

Neste caso, observamos que N = 1, logo, o sistema tem 1 variável livre, ou seja, o conjunto

solução será dado atribuindo-se valores a uma das variáveis para chegar à outra. O sistema

inicial é equivalente à:

{ xyyx 2552 −=→=+

Sendo assim, o sistema admite infinitas soluções.



3 - ⎩⎨⎧

=+=+

103652

yxyx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−==

50025211

103625211

1036512 21621

21

1 LLLLL

Neste caso, o sistema inicial é equivalente à:

⎩⎨⎧

−=+=+

50052

yxyx

Não existe nenhum valor de x ou y que satisfaça a 2ª equação. O sistema não tem solução.

Observamos que: pa = 2 e pc = 1.

CASO GERAL:

Considere um sistema de m equações lineares com n incógnitas x1, x2, ..., xn:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++

=+++

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

.........

......

2211

11212111

cujos coeficientes aij e termos independentes bi são números reais ou complexos.

Esse sistema poderá ter:

Uma única solução Possível e determinado;

Infinitas soluções Possível e indeterminado;

Nenhuma solução Impossível.

• Teorema:

- Um sistema de m equações e n incógnitas admite solução se, e somente se, o posto da

matriz ampliada é igual ao posto da matriz dos coeficientes;

- Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p = n, a solução será única;

- Se as duas matrizes têm o mesmo posto e p < n, podemos escolher n – p incógnitas

(Nulidade = n – p), e as outras p incógnitas serão dadas em função destas. Neste caso

existirão infinitas soluções.



Capítulo 3

Determinantes e Matriz Inversa

3.1 – A inversa de uma matriz:

Uma matriz Anxn é dita invertível (ou não-singular) se existe uma matriz Bnxn tal que:

InBAAB ==

A matriz B é chamada de matriz inversa de A. Se não existir uma tal matriz B, dizemos que A é

não-invertível ou singular.

Exp: Sejam ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2232

A e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

11231

B , vamos provar que B é inversa de A.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

23223332

11231

.2232

.BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1001

23223332

2232

.11231

.AB

Logo, como AB = BA = In, B é a inversa de A.

• Teorema:

Se uma matriz tem uma inversa, essa inversa, é única. Vamos denotar a inversa de A, se existir,

por A-1, logo:

nIAAAA == −− .. 11

Exp: Seja ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

A , vamos encontrar A-1:

Vamos chamar a matriz A-1 de: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

dcba

A 1

Exp: Seja ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4321

A , encontrar A-1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→=−

1001

434322

1001

.4321

. 1

dbcadbca

dcba

IAA n



⎩⎨⎧

=+=+

04312

caca

e ⎩⎨⎧

=+=+

14302

dbdb

Resolvendo o sistema: a = –2, b = 1, c = 3/2, d = –1/2.

Logo: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−

2123121A .

Exp: Seja ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4221

A , encontrar A-1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→=−

1001

424222

1001

.4221

. 1

dbcadbca

dcba

IAA n

⎩⎨⎧

=+=+

04212

caca

e ⎩⎨⎧

=+=+

14204

dbdb

Esse sistema não tem solução (Sistema Impossível), logo, A não tem inversa.

• Propriedades da inversa:

- Se A é invertível, então A-1 é invertível e (A-1)-1 = A.

- Se A e B são matrizes invertíveis, então AB é invertível e (A.B)-1 = B-1.A-1.

- Se A é invertível, então (AT)-1 = (A-1)T.

• Um método prático para encontrar A-1:

Se a matriz Anxn é dada, procuramos uma matriz B tal que: InBAAB == .

O método prático para encontrar a inversa da matriz é o seguinte:

- Etapa 1: Forme a matriz [ ]nnxnIA

2 juntando a matriz identidade In à matriz A.

- Etapa 2: Faça a redução em forma escada na matriz A encontrada na etapa 1. É importante

lembrar que qualquer operação feita em uma linha de A deve ser feita também na linha

correspondente de In.

- Etapa 3: Suponha que a etapa 2 produziu a matriz [ ]DC em forma escada reduzida por

linhas:

Se C = In, então D = A-1;

Se C ≠ In, então C tem uma linha nula. Neste caso, não existe A-1.



Exp: Encontrar a inversa da matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

155320111

A .

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

155320111

2nnxnIA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+=

+−

=

−=+−=

=+−=

4104583218158121813

100010001

4104502100211

10023102101

10502100211

40023102101

1050210001

4002310

111

105010001

400320111

100010001

155320111

13211

23232

3413121

22123153

LLL

LLL

LLLLL

LLLLL

Como C = In, concluímos que D = A-1, logo:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=−

4104583218158121813

1A

• Teorema:

Uma matriz n x n é invertível se, e somente se é equivalente por linhas a In.

• Sistemas lineares e inversas:

Se A é uma matriz n x n, então o sistema linear Ax = b é um sistema de n equações e n

incógnitas. Supondo que A é invertível, então, existe A-1 e podemos multiplicar Ax = b por A-1 e

obter:

Sendo assim, bAx .1−= é uma solução do sistema linear.

bAx

bAxIbAxAAbAxAA

n

.

...)..(.)..(

1

1

11

11

−

−

−−

−−

=

=

=

=



Exp: Considere um processo industrial cuja matriz A é⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

155320111

A . Se b é a matriz resposta e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

8248

b . A solução do sistema pode ser dada da seguinte forma:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−=→= −

800

8248

.41045

83218158121813

.1 xxbAx

3.2 – Determinantes:

É possível associar a cada matriz n x n um escalar, det (A), cujo valor vai nos dizer se a

matriz é ou não invertível.

Considerando primeiramente os casos particulares, temos:

• Caso 1: Matrizes 1 x 1:

Se A = (a) é uma matriz 1 x 1, então A tem uma inversa se e somente se a ≠ 0. Logo, se det (A) =

a, a matriz será invertível se e somente se det (a) ≠ 0.


Seja ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2221

1211

aaaa

A . Para encontrar o determinante de A, devemos formar o produto dos

elementos da esquerda para a direita e subtrair deste o produto dos elementos da direita para a

esquerda.

2221

1211)det(aaaa

A = 21122211 .. aaaa −=

A matriz será invertível se e somente se:

0..0)det( 21122211 ≠−→≠ aaaaA


Para encontrar o determinante de matrizes 3 x 3, podemos utilizar a Regra de Sarrus:

“Repita as duas primeiras colunas de A; forme as somas dos produtos dos elementos da esquerda

para a direita e subtrai deste número a soma dos produtos dos elementos da direita para a

esquerda”.



Se ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

332131

232221

131211

aaaaaaaaa

A , então:

( )312213312311332112322113312312332211

3231333231

2221232221

1211131211

3231333231

2221232221

1211131211

............)det(

)det(

aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

aaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

A

++−++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Se det (A) ≠ 0, A é invertível.

OBS: Costuma-se representar o determinante de uma matriz da seguinte forma:

AA =)det(

Exp: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3251

A 3251

representa o determinante de A

• Propriedades dos determinantes:

I. Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais, isto é det(AT) = det (A);

II. Se uma matriz B é obtida de uma matriz A trocando-se duas linhas (ou colunas) de A,

então, det (B) = - det (A);

III. Exp: 72312=

− 7

1223

−=−

IV. Se duas linhas (ou colunas) de A são iguais, então det (A) = 0;

V. Se A tem uma linha (ou coluna) nula, então det (A) =0;

VI. Se B é obtida de A multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um número real C,

então, det (B) = C . det (A);

VII. Exp: 22162

−= 421

124−=

VIII. O determinante de um produto de matrizes é igual ao produto de seus determinantes, isto

é, det (A.B) = det (A) . det (B)



• Importante:

Supondo uma matriz Anxn invertível:

)det(1)det(

1)det().det(

)det()det().det(

)det().det(

.

1

1

1

1

1

AA

AA

IAA

IAA

IAA

n

n

n

=

=

=

=

=

−

−

−

−

−

• Expansão em cofatores:

O método dos cofatores para calcular o determinante de uma matriz Anxn, torna-se

interessante quando trabalhamos com matrizes de grandes ordens, já que ele reduz o problema ao

cálculo de determinantes de matrizes de ordem (n-1)x(n-1) até obter matrizes 2x2.

DEFINIÇÃO: Seja A = [aij] uma matriz nxn. Seja Mij a submatriz (n-1)x(n-1) de A obtida

através da eliminação da iésima linha e a j-ésima coluna de A. O determinante det (Mij) é

chamado de determinante menor de A. O cofator Aij de aij é dado por:

( ) ( )ijji

ij MA det.1 +−=

Exp: Seja ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

217654213

A , vamos encontrar os cofatores da matriz A.

( )

( )

( )

( ) 195413

.1

1010).1(6423

.1

166521

.1

1010).1(1713

.1

3333

2332

1331

3223

=−

−=

−=−=−=

−=−

−=

−=−=−

−=

+

+

+

+

A

A

A

A



( )

( )

( )

( )

( ) 82723

.1

00).1(2121

.1

311754

.1

34)34).(1(2764

.1

42165

.1

2222

1221

3113

2112

1111

−=−=

=−=−

−=

−=−=

=−−=−=

=−=

+

+

+

+

+

A

A

A

A

A

• Teorema:

Seja A uma matriz nxn. Então, para cada 1 ≤ i ≤ n, ininiiii AaAaAaA ......)det( 2211 +++= que é a

expansão do det (A) em relação à i-ésima linha. E também, para cada 1 ≤ j ≤ n,

njnjjjjj AaAaAaA ......)det( 2211 +++= que é a expansão do det (A) em relação à j-ésima coluna.

Exp: Calcular o determinante da matriz A4x4:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

32023003

31244321

A

Como visto, no método da expansão em cofatores para cálculo de determinante, devemos

escolher uma linha ou coluna da matriz para expandir em relação à ela. Para realizar os cálculos,

fazemos um somatório do produto termos pelos seus cofatores da linha ou coluna escolhida.

Notemos que no exemplo acima é melhor expandir em relação à 2ª coluna ou à 3ª linha, já que

elas tem dois zeros. Neste caso, os cofatores destes termos nulos não precisam ser calculados,

uma vez que se aij = 0, teremos aij . Aij = 0.

Vamos expandir em relação à 3ª linha:

( ) ( ) ( )202

124321

3.100320312432

.3.1

32023003

31244321

4313

−−

−−−+++

−

−−=

−−

−−

++



Agora, temos que calcular o determinante das matrizes 3x3. Podemos fazê-lo através da

expansão em cofatores ou pelo método de Sarrus. Vamos fazer através da expansão em cofatores

a fim de exemplificar melhor.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 410.2.18.2.12421

.2.101232

.2.1202

124321

201.2.19.2.103243

.2.13231

.2.1320312432

3313

1211

−=−+=−

−−++−

−=−

−−

=−−+=+−−

−+−

−=−

−

++

++

Sendo assim:

( )( )( ) 484.3.10020.3.1)det( =−−−+++=A

• Matriz Adjunta:

DEFINIÇÃO: Seja A = [aij] uma matriz nxn. A matriz adjunta de A, denotada por adj (A), é a

matriz nxn cujo elemento (i, j) é o cofator Aij de aij, ou seja:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

AAA

AAAAAA

Aadj

...............

...

...

)(

21

22212

12111

É a matriz formada pelos cofatores de A, transposta.

• Teorema:

Se A = [aij] é uma matriz nxn, então, nIAAAadjAadjA ).det()).(())(.( ==

Se det (A) ≠ 0, então:

AInAIAA n =→= −− 11.

[ ]

))(.()det(

1))(.()det(

1

))(.(.)det(

1))(.()det(

1.).det())(.(

1 AadjA

AAIAadj

A

IAadjAA

IAadjA

AIAAadjA

n

nnn

=→=

=→=→=

−



Exp: Vamos calcular a matriz inversa de⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

301265123

A .

1º Passo: Calcular a matriz adjunta de A:

Logo, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

=2826

1101710618

28110210661718

)(

T

Aadj

2º Passo: Calcular o determinante de A:

94)det( −=A

3º Passo: Calcular a inversa de A:

Como ))(.()det(

11 AadjA

A =− :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−

−=

−

−

9428

942

946

941

9410

9417

9410

946

9418

282611017

10618.

941

1

1

A

A

( )

( )

( ) 20123

.1

1031

13.1

630

12.1

3223

2222

1221

−=−

−=

−=−

−=

−=−

−−=

+

+

+

A

A

A( )

( )

( ) 60165

.1

1731

25.1

183026

.1

3113

2112

1111

−=−=

=−

−=

−=−=

+

+

+

A

A

A ( )

( )

( ) 286523

.1

12513

.1

102612

.1

3333

2332

1331

=−

−=

−=−=

−=−

−=

+

+

+

A

A

A



3.3 – Regra de Cramer:

Seja

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

.........

............

2211

22222121

11212111

um sistema linear com n equações e n incógnitas e A =

[aij] a matriz dos coeficientes, de modo que podemos escrever o sistema na forma Ax = b, onde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

bb

b...

2

1

.

Se det (A) ≠ 0, então o sistema tem uma única solução dada por:

)det()det( 1

1 AAx = ;

)det()det( 2

2 AAx = ;

)det()det( 3

3 AAx =

onde Ai é a matriz obtida de A trocando-se sua i-ésima coluna por b.

Exp: Vamos encontrar a solução do sistema linear abaixo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−−=−+=−+−

3242

132

zyxzyx

zyx

2112121132

−=−−

−−−

=A

4113124131

−=−−

−−

=xA 224=

−−

=x

6132141112

−=−−

−−−

=yA 326=

−−

=y

8312

421132

−=−−−

−=zA 4

28=

−−

=z



Capítulo 4 Espaços Vetoriais


Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação

por escalar, isto é:

∀ u, v ∈ V u + v ∈ V

∀ α ∈ ℜ; ∀ u ∈ V α. u ∈ V

onde,

u e v são vetores;

V é espaço vetorial;

α é escalar.

O conjunto V com essas duas operações é chamado Espaço Vetorial se forem verificados os

seguintes axiomas:

A) Em relação à adição:

A1) (u + v) + w = u + (v + w) ; ∀ u, v, w ∈ V

A2) u + v = v + u ; ∀ u, v ∈ V

A3) u + 0 = u ; ∀ u ∈ V

A4) u + (-u) = 0 ; ∀ u ∈ V

M) Em relação à multiplicação por escalar:

M1) (α.β).u = α.(β.u) ; ∀ u ∈ V ; ∀ α, β ∈ ℜ

M2) (α + β).u = α.u + β.u ; ∀ u ∈ V ; ∀ α, β ∈ ℜ

M3) α.(u + v) = α.u + α.v ; ∀ u, v ∈ V ; ∀ α ∈ ℜ

M4) 1.u = u ; ∀ u ∈ V

Observações: Os elementos do espaço vetorial V serão chamados de vetores, independente de

sua natureza. Podemos chamar de vetores:

- Polinômios;

- Matrizes;

- Números, etc.

• Propriedades dos Espaços Vetoriais:

Da definição de Espaços Vetoriais decorrem as seguintes propriedades:

i. Existe um único vetor nulo em V (elemento nulo da adição);



ii. Cada vetor u ∈ V admite apenas um simétrico (-u) ∈ V;

iii. Para quaisquer u, v, w ∈ V, se u + w = v + w, então u = v;

iv. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se: -(-v) = v, isto é, o oposto de (-v) é v;

v. Quaisquer que sejam u, v ∈ V existe um e somente um x ∈ V tal que: u + x = v.

Esse vetor será representado por x = v – u;

vi. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se: 0.v = 0;

vii. Qualquer que seja λ ∈ ℜ, tem-se λ.0 = 0, onde λ é um escalar;

viii. Qualquer que seja v ∈ V, tem-se: (-1).v = -v;

ix. λ.v = 0 implica que λ = 0 ou v = 0;

x. Quaisquer que sejam v ∈ V e λ ∈ ℜ, tem-se: (-λ).v = λ.(-v) = -(λ.v)

4.2 – Subespaços Vetoriais:

Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. o subconjunto S é um

subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por

escalar definidas em V.

• Teorema:

Um subconjunto S, não vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se

estiverem satisfeitas as condições:

I. Para quaisquer u, v ∈ S, tem-se, u + v ∈ S;

II. Para quaisquer α ∈ ℜ, u ∈ S, tem-se, α.u ∈ S.

Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {0}, chamado subespaço

zero ou nulo, e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços triviais de V. Os

demais subespaços são denominados subespaços próprios de V.

Portanto, qualquer subconjunto S, não vazio, que contenha o subespaço {0} e atenda às

condições I e II acima, será um subespaço vetorial.

Exp:Verificar se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais:

a) S = {(x, y) ∈ ℜ2 / x + 3y = 0}

(0, 0) ∈ S, pois 0 + 3.0 = 0

u = (3, -1) ; v = (-9, 3) ; α = -1

u + v = (-6, 2) ∈ S

α.u = (-3, 1) ∈ S

Logo, o subconjunto S é subespaço vetorial do ℜ2.



b) S = {(x, y, z) ∈ ℜ3 / x = 0 e y = ⎢z ⎢}

(0, 0, 0) ∈ S, pois x = 0 e 0 = ⎢0 ⎢

u = (0, 1, -1) ; v = (0, 3, 3) ; α = 2

u + v = (0, 4, 2) ∉ S

Logo, o subconjunto S não é subespaço vetorial do ℜ3.

c) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=+=∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 0,/)2,2( dbacM

dcba

S

S∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡0000

, pois 0 = 0 + 0 e d = 0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0211

u ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

0213

v ; α = -1

Svu ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

0404

Su ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

0211

.α

Logo, o subconjunto S é subespaço vetorial de M(2, 2).

d) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≥+==−=∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= 0,,0,/)3,2( fdaedcbaM

fedcba

S

S∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡000000

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

410231

u ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

120352

v ; α = -1

Svu ∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

530583

Su ∉⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−−

=410231

.α

Logo, o subconjunto S não é subespaço vetorial de M(3, 2).

4.3 – Combinação Linear:

Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espaço vetorial V, e os escalares a1, a2, ..., an. Qualquer vetor v

∈ V da forma:

v = a1 . v1 + a2 . v2 + ... + an . vn

é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vn.



Exp: No espaço vetorial P2 dos polinômios de grau 2, vamos verificar se o polinômio v = 7x2 +

11x – 26 é uma combinação linear dos polinômios v1 = 5x2 – 3x + 2 e v2 = -2x2 + 5x – 8

7x2 + 11x – 26 = a(5x2 – 3x + 2) + b(-2x2 + 5x – 8)

(7, 11, -26) = a(5, -3, 2) + b(-2, 5, -8)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+−=−

26821153725

bababa

5.3.

⎩⎨⎧

=+−=−

55251521615

baba

7619 =b 4=b

725 =− ba 875 +=a 3=a

conferindo: 263262682 −=−→−=− ba

Logo, o polinômio v é combinação linear de v1 e v2: v = 3 v1 + 4 v2

Exp1: Consideremos os seguintes vetores no ℜ3: v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1).

a) Escrever o vetor v = (-4, -18, 7) como CL de v1 e v2:

v = a.v1 + b.v2

(-4, -18, 7) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−−=+

721843

42

baba

ba 3.

⎩⎨⎧

−=+−−=+

18431263

baba

3010 −=b 3−=b

42 −=+ ba 64 +−=a 2=a

conferindo: 2a - b = 7 4 – (-3) = 7

Logo, v = 2v1 – 3 v2

b) Mostrar que o vetor v = (4, 3, -6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2.

v = a.v1 + b.v2

(4, 3, -6) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+−

=+

62343

42

baba

ba 3.

⎩⎨⎧

=+−=+

3431263

baba

1510 =b 1015

=b

42 =+ ba 34−−=a 7−=a

conferindo: 610151462 −≠−−→−=−ba

O sistema é impossível, logo o vetor v não é combinação linear de v1 e v2.



c) Determinar o valor de k para que o vetor v = (-1, k, -7) seja combinação linear de v1 e v2.

v = a.v1 + b.v2

(-1, k, -7) = a(1, -3, 2) + b(2, 4, -1)

⎩⎨⎧

−=→−=→−=−−=+

→⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=+−−=+

3155142412

7243

12aa

baba

bakba

ba

12231212 =→=→+−=→−=+ bbbba

134943 =→+=→=+− kkkba

d) Determinar uma condição para x, y e z de modo que o vetor v = (x, y, z) seja combinação

linear de v1 e v2.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−

+⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

+⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=+−

=+

−+−=

+=

=

+−=

+=

2200

10310

21

25010

31021

2503100

21

124321

243

2

)1,4,2()2,3,1(),,(

3253

21012

3123

2132

zyx

yxx

zx

yxx

zxyx

x

zyx

zbayba

xba

bazyx

LLL

LL

LL

LLL

O sistema só será possível se: 0202

2=++−→=

++− zyxzyx .

A condição é: zyx 2+= . Ou seja, todos os vetores (x, y, z) ∈ ℜ3, que são CL de v1 e v2, têm a

forma (y + 2z, y, z).

Exp2: Mostrar que o vetor v = (3, 4) ∈ ℜ2 pode ser escrito de infinitas maneiras como

combinação linear dos vetores v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) e v3 = (2, -1).

SPIcbca

cba

→⎩⎨⎧

=−=+

−++=

432

)1,2()1,0()0,1()4,3(

Como o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções), o vetor v pode ser escrito de

infinitas maneiras como CL de v1, v2 e v3.



4.4 – Subespaços Gerados:

Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A ={v1, v2, ..., vn} ⊂ V, A ≠ ∅.

O conjunto S de todos os vetores de V que são combinação linear dos vetores de A é um

subespaço vetorial de V. Simbolicamente, o subespaço S é:

{ }nn vavavavVvS ....../ 2211 +++=∈= , onde a1, a2, ..., an ∈ ℜ.

O subespaço S diz-se “gerado” pelos vetores v1, v2, ..., vn, ou gerado pelo conjunto A. É

representado por:

[ ]nvvvS ,...,, 21= ou )(AGS =

Os vetores v1, v2, ..., vn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é o conjunto

gerador de S.

Exp1: Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espaço vetorial ℜ2, pois qualquer (x, y) ∈ ℜ2 é

combinação linear de i e j.

( )( ) ( ) ( )( ) ( )yxyx

yxyxjyixyx

,,1,00,1,

..,

=+=

+=

Exp2: Seja V = ℜ3. Determinar o subespaço gerado pelo vetor v = (1, 2, 3):

( ) ( )

[ ] ( ){ }[ ] ( ) ( ){ }xxxzyxv

xzxyzyxv

xazxay

axazyx

3,2,/,,

3;2/,,

3322

3,2,1,,

31

31

ℜ∈=

==ℜ∈=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====

=

=

4.5 – Dependência e Independência Linear:

Sejam V um espaço vetorial e A = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V.

Consideremos a equação: nn vavava ...... 2211 +++ . Sabemos que essa equação admite apenas

uma solução: a1 = 0, a2 = 0, ..., an = 0, chamada solução trivial.

O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v1, v2, ..., vn são LI, caso a

equação mostrada admita apenas a solução trivial.

Se existirem soluções ai ≠ 0, dizemos que o conjunto A é linearmente dependentes (LD), ou os

vetores v1, v2, ..., vn são LD.



• Teorema:

Um conjunto A = {v1, ..., vn} é LI se, e somente se, nenhum desses vetores for combinação linear

dos outros. Exp: v1 = (1, -2, 3) e v2 = (2, -4, 6) são LD, pois v2 = 2.v1

Exp1: Determinar se no espaço vetorial ℜ3, os vetores v1 = (2, -1, 3), v2 = (-1, 0, -2) e v3 = (2, -3,

1) formam um conjunto LI ou LD.

( ) ( ) ( ) ( )

⎩⎨⎧

−=−=

→→⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−→

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−−=+−

=−+−−+−

+=−=

+−=

+−=

=

−=

cbca

SPI

cbaca

cbacba

LLLLL

LLL

LLL

LL

LL

43

000004100301

082004100301

082004100301

012302120301

012303010212

02303

0220,0,01,3,22,0,13,1,2

322322

3133

2122

12

21

Como existem soluções ai ≠ 0, o conjunto é LD.

Exp2: No espaço vetorial ℜ4, os vetores v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (0, 5, -3, 1) e v3 = (0, 0, 4, -2) são

LI ou LD?

( ) ( ) ( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=+−

=+=

=−+−+

000

0240433

05202

0,0,0,02,4,0,01,3,5,04,3,2,2

cba

cbacba

baa

cbA

O sistema admite apenas a solução trivial, logo, o conjunto é LI.

Já vimos que, em um espaço vetorial V, um conjunto de geradores pode ser linearmente

independente ou linearmente dependente. Se o conjunto de geradores for linearmente

dependente, então existe um vetor no conjunto que é combinação linear de outros elementos do

conjunto. Então este elemento não é necessário na geração do espaço V. Portanto, um conjunto

de geradores linearmente dependente contem vetores que não são necessários para gerar V.

4.6 – Base de um Espaço Vetorial:

Seja V um espaço vetorial, chamamos de base um conjunto de vetores que gere o espaço V e tal

que todos os seus elementos sejam realmente necessários para gerar V.

DEFINIÇÃO: Um conjunto de vetores {v1, v2, ..., vn} ∈ V será uma base de V se:

i. {v1, v2, ..., vn} é LI;

ii. [v1, v2, ..., vn] = V, ou seja, o conjunto gera V.



Importante:

- Uma base contém toda a informação necessária sobre V (ela gera V);

- Uma base não contém informação redundante sobre V (os vetores são independentes).

• Base Padrão do ℜn (Base Canônica)

É uma base que tem como coeficientes da combinação linear os valores dos componentes do

vetor:

ℜ2 ⇒ c1 = (1,0) e c2 = (0,1)

ℜ3 ⇒ c1 = (1,0,0), c2 = (0,1,0) e c3 = (0,0,1)

... ...

ℜn ⇒ c1 = (1,0,0,...,0), c2 = (0,1,0,...,0), ... , ci = (0,0,...,1,0,...,0), cn = (0,0,0,...,1)

• Dimensão:

Diz-se que um espaço vetorial V tem dimensão n (ou que V é n-dimensional) se V tem uma base

consistindo de n vetores. A dimensão de V é denotada por dimV.

• Teorema:

Suponha que V é um espaço vetorial de dimensão n. Então nenhum conjunto com mais de n

vetores em V pode ser linearmente independente e V não pode ser gerado por um conjunto de

vetores com menos de n vetores.

• Mudança de Base

Um mesmo espaço vetorial pode ter várias bases.

Exemplo: Conjunto v1 = (2,3) e v2 = (4,9) é base do ℜ2

É LI:

( ) ( ) ( )

⎩⎨⎧

==

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡→

⎩⎨⎧

=+=+

=+

+−=

=+−==

00

010001

010021

030021

093021

093042

093042

0,09,43,2

1221

231221321

211

ba

bababa

LLL

LLLLLLL

“A dimensão de um espaço vetorial é o número máximo de vetores linearmente independente

em V e também o número mínimo de vetores necessários para gerar V”.



Gera o ℜ2:

( ) ( ) ( )

( )

( )( )( ) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+−=

+−=

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+−

⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

⎯⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡→

⎩⎨⎧

=+=+

=+

+−=

=+−==

623

643

6231064301

62310221

22330221

93221

9342

9342

,9,43,2

1221

231221321

211

yxb

yxa

yxyx

yxx

yxx

yx

yx

ybaxba

yxba

LLL

LLLLLLL

O conjunto v1’ = (0,3) e v2’ = (4,1) também é base do ℜ2, pois é LI e gera o ℜ2.

Pode-se escrever v = (3,1) como uma combinação linear de v1 e v2 e de v1’ e v2’, ou seja:

- Fazendo v como CL de v1 e v2:

( ) ( ) ( )

67;

623Re

193342

9,43,21,3

−==→→

⎩⎨⎧

=+=+

+=

basolvendobaba

ba

- Fazendo v como CL de v1’ e v2’:

( ) ( ) ( )

43;

121Re

1334

1,43,01,3

==→→⎩⎨⎧

=+=

+=

basolvendoba

bba

Assim, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

67,

623 na base v1 e v2 é igual a ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

43,

121 na base v1’ e v2’, e os dois são iguais a (3,1)

na base canônica (1,0) e (0,1).

A pergunta é: como representar o vetor que está em uma base numa outra base?

Dadas duas bases u = {u1, u2, ... , un} e v = {v1, v2, ... , vn}:

w = x1u1 + x2u2 + ... + xnun (I)

w = y1v1 + y2v2 + ... + ynvn (II)

Como u é base de V, pode-se escrever v como uma combinação linear de u:

v1 = a11u1 + a21u2 + ... + an1un

v2 = a12u1 + a22u2 + ... + an2un

… … … …

vn = a1nu1 + a2nu2 + ... + annun



De (II) tem-se:

w = y1(a11u1 + a21u2 + ... + an1un) + y2(a12u1 + a22u2 + ... + an2un) + ... + yn(a1nu1 + a2nu2 + ... +

annun)

Rearrumando tem-se:

w = (a11y1 + a21y2 + ... + an1yn) u1 + (a12y1 + a22y2 + ... + an2yn) u2 + ... + (a1ny1 + a2ny2 + ... +

annyn) un

De (I) vem que:

x1 = a11y1 + a21y2 + ... + an1yn

x2 = a12y1 + a22y2 + ... + an2yn

… … … …

xn = a1ny1 + a2ny2 + ... + annyn

Ou seja, em forma matricial tem-se:

x = Ay, onde

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

nnn2n1

2n2221

1n121111

aaa

aaaaaa

A,

L

MOMM

L

L

MM ey

yy

x

xx

nn

vu[I]A ⇒ é a matriz de mudança da base v para a base u.

Assim, seja [W]u um vetor na base u e [W]v um vetor na base v. Então:

vvuu ]W[]I[]W[ =

Exemplo: Dados u = {(2,-1),(3,4)} e v = {(1,0),(0,1)} bases do ℜ2, quem é vu]I[ ?

v1 = (1,0) = a11 (2,-1) + a21 (3,4)

v2 = (0,1) = a12 (2,-1) + a22 (3,4)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 1

0.

4132

01

.4132

22

12

21

11

aa

eaa

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− 21

34111]I[

11/211/11011/311/401

12/12/11002/12/31

10410132 v

u



Capítulo 5 Transformações Lineares

5.1 – Definição:

Uma transformação linear de ℜn em ℜm é uma função que associa a cada u em ℜn um único L(u)

em ℜm tal que:

i) L(u + v) = L(u) + L(v) ; para ∀ u e v ∈ ℜn

ii) L(r.u) = r.L(u) ; para ∀ u e v ∈ ℜn e todo escalar r

O vetor L(u) é chamado imagem de u sob L, e o conjunto de todas as imagens de vetores em ℜn

é chamada a imagem de L.

Exemplo: Seja L:ℜ3 ℜ2 definida por L(x, y, z) = (x, y), verificar que L é uma TL.

SOLUÇÃO:

Sendo u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2):

L(u + v) = L((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2))

L(u + v) = L(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) Pela definição L(x, y, z) = (x, y),

L(u + v) = (x1 + x2, y1 + y2)

L(u) + L(v) = (x1, y1) + (x2, y2)

L(u) + L(v) = (x1 + x2, y1 + y2) Logo, L(u + v) = L(u) + L(v)

Além disso, se r é um número real, temos:

L(r.u) = L(r.x1, r.y1, r.z1) = (r x1, r.y1) = r.( x1, y1) = r.L(u)

Sendo assim, L é uma transformação linear, chamada de PROJEÇÃO.

Exemplo: Seja L:ℜ2 ℜ2 definida por L(u) = r.u. Neste caso, dizemos que L é um operador

linear, pois é uma função de ℜn em ℜm onde n = m.



Se r > 1 DILATAÇÃO

Se r < 1 CONTRAÇÃO

Exemplo: Seja L:ℜ2 ℜ2 definida por L(x, y) = (x, -y). Então, L é um operador linear e a TL é

uma REFLEXÃO EM RELAÇÃO AO EIXO X. Também temos o caso em que L(x, y) = (-x, y),

chamada de REFLEXÃO EM RELAÇÃO AO EIXO Y.

• Teorema: Seja L:ℜn ℜm uma transformação linear. Então:

Para quaisquer que sejam os vetores u1, u2, ..., uk em ℜn e os escalares a1, a2, ..., ak.

O teorema pode ser útil para calcular a imagem de um vetor u em ℜ2 ou uma transformação

linear do tipo L:ℜ2 ℜ3 uma vez conhecidos L(i) e L(j), onde i = (1, 0) e j (0, 1).

L(a1. u1 + a2. u2 + ...+ ak. uk) = a1. L(u1) + a2. L(u2) + ... + ak. L(uk)



Analogamente podemos calcular L(u) para u em ℜ3 para uma transformação linear do tipo L:ℜ3

ℜ2 uma vez conhecidos L(i), L(j) e L(k), onde i = (1, 0, 0) e j (0, 1, 0) e k = (0, 0, 1).

Exemplo: Seja L:ℜ3 ℜ2 uma TL tal que:

L(1, 0, 0) = (2, -1)

L(0, 1, 0) = (3, 1)

L(0, 0, 1) = (-1, 2)

Encontrar L(-3, 4, 2).

SOLUÇÃO:

(-3, 4, 2) = -3i + 4j + 2 k

L (-3, 4, 2) = L(-3i + 4j + 2 k)

L (-3, 4, 2) = -3L(i) + 4L(j) + 2 L(k)

L (-3, 4, 2) = -3(2, -1) + 4(3, 1) + 2(-1, 2)

L (-3, 4, 2) = (-6, 3) + (12, 4) + (-2, 4)

L (-3, 4, 2) = (4, 11)

Exemplo: Seja L:ℜ2 ℜ3 uma TL definida por:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

yxyx

yx

yx

L .11

1001

a) Verificar se o vetor ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

132

v pertence à imagem de L:

SOLUÇÃO:

A imagem de L é ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

yxyx

yx

L . Se fizermos ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 132

yxyx

, teremos uma igualdade (x = 2,

y = 3 x – y = -1). Logo, o vetor v pertence à imagem de L.

b) a) Verificar se o vetor ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

253

w pertence à imagem de L:



SOLUÇÃO:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 253

yxyx

não é uma igualdade, já que se x = 3, y = 5 x – y = -2. Logo, o vetor w não

pertence à imagem de L.

5.2 – Transformações Lineares e Matrizes:

Anteriormente, estudamos alguns exemplos de TL’s de ℜn em ℜm. Agora vamos considerar TL’s

de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W.

• Definição: Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação linear L de V em W é uma

função que associa um único vetor L(u) em W à cada vetor u em V tal que:

i) L(u + v) = L(u) + L(v) ; para ∀ u e v ∈ V

ii) L(λ.u) = λ.L(u) ; para ∀ u ∈ V e λ ∈ ℜ

OBS: Na definição, o sinal + em u + v, representa adição em V, enquanto que em L(u) + L(v)

refere-se à adição em W. Analogamente, em ii, o produto à esquerda do sinal de igualdade, λ.u,

está em V, e o produto λ.L(u) está em W.

• Representação: Representamos uma função L de V em W, mesmo que não seja uma TL por

L: V W.

No caso em que V = W, a TL será chamada de operador linear.

• Teorema 1: Se L: V W é uma TL, então:

Quaisquer que sejam os vetores v1, v2, ..., vk e os escalares c1, c2, ..., ck.

• Teorema 2: Seja L: V W uma TL e seja S = {v1, v2, ..., vn} uma base para v. Se u é um

vetor qualquer em V, então L(u) fica determinado por {L(v1), L(v2), ..., L(vn)}.

Exemplo: Seja L: ℜ2 ℜ2 uma TL tal que L(1, 1) = (1, -2) e L(-1 ,1) = (2, 3).

a) Qual o valor de L(-1, 5)?

b) Qual o valor de L(x, y)?

L(c1. v1 + c2. v2 + ...+ ck. vk) = c1. L(v1) + c2. L(v2) + ... + ck. L(vk)



SOLUÇÃO:

a) Primeiro, verificamos que {(1, 1), (-1, 1)} é uma base para ℜ2:

- São LI, pois se fizermos 000

)0,0()1,1()1,1( ==→⎩⎨⎧

=+=−

→=−+ bababa

ba .

- Geram ℜ2 pois: 2

;2

),()1,1()1,1( xybyxaybaxba

yxba −=

+=→

⎩⎨⎧

=+=−

→=−+ .

Logo, o conjunto é base para ℜ2.

a) Teremos que fazer o vetor (-1, 5) como CL de {(1, 1), (-1, 1)}:

3;251

)1,1()1,1()5,1(

==→⎩⎨⎧

=+−=−

−+=−

baba

baba

)5,8()5,1()9,6()4,2()5,1(

)3,2.(3)2,1.(2)5,1()1,1(.3)1,1(.2)5,1(

)1,1(3)1,1(2)5,1(

=−+−=−+−=−

−+=−−+=−

LLL

LLL

b) Teremos que fazer o vetor (x, y) como CL de {(1, 1), (-1, 1)}:

2;

2

)1,1()1,1(),(

xybyxaybaxba

bayx

−=

+=→

⎩⎨⎧

=+=−

−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+−−+−

++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

25,

23),(

233

222,

222

2),(

233,

222

222,

2),(

)3,2.(2

)2,1.(2

),(

)1,1(.2

)1,1(.2

),(

)1,1(2

)1,1(2

),(

yxyxyxL

yxyxyxyxyxL

yxyxyxyxyxL

xyyxyxL

LxyLyxyxL

xyyxyxL



Capítulo 6 Autovalores e Autovetores

Seja A uma matriz n x n. Então, a função L: ℜn ℜn definida por L(x) = Ax, para x ∈

ℜn, é uma transformação linear. Uma questão importante em muitos problemas é a determinação

de vetores x, se existirem, tais que x e Ax são paralelos. Tais questões aparecem em aplicações

envolvendo vibrações (aerodinâmica, elasticidade, física nuclear, mecânica, engenharia química,

biologia, equações diferenciais, etc.).

6.1 – Definição:

Seja A uma matriz n x n. O número real λ é um autovalor de A se existe um vetor não nulo x em

ℜn tal que:

Todo vetor não nulo x satisfazendo a equação é chamado autovetor de A associado ao autovalor

λ.

6.2 – Determinação doa autovalores e autovetores:

• Determinação dos autovalores:

Dado um operador linear T: ℜ3 ℜ3, cuja matriz canônica é:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A Dizemos que det(A - λI) = 0

0det

000

0000

det

333231

232221

131211

333231

232221

131211

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

λλ

λ

λλ

λ

aaaaaaaaa

aaaaaaaaa

A

Essa equação det(A - λI) = 0 é chamada equação característica do operador T e suas reízes são os

autovalores do operador.

Ax = λ.x



• Determinação dos autovetores:

A substituição de λ pelos seus valores no sistema (A - λI)v = 0 permite determinar os

autovetores associados.

Exp1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1254

A

Montar a equação característica:

det(A - λI) = 0

( )( )

275

492425065

010440101.4

012

54

2

2

±=

=+=Δ=−−

=−+−−

=−−−

=−

−

λ

λλ

λλλ

λλ

λλ

16

''

'

−=

=

λ

λ São os autovalores

Para determinar os autovetores:

(A - λI)v = 0

Considerando ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yx

v :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−00

.12

54yx

λλ

- Para λ = 6:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−00

.52

52yx

⎩⎨⎧

=−=+−052052

yxyx

SPI xy52

=

Logo, os autovetores associados ao autovalor λ = 6 são do tipo: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xxv

52,

- Para λ = -1:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

.1255

yx

⎩⎨⎧

=+=+

022055

yxyx

SPI xy −=

Logo, os autovetores associados ao autovalor λ = -1 são do tipo: ( )xxv −= ,



Por exemplo o vetor v = (5, 2) é autovetor do operador T: ℜ2 ℜ2 definido por T(x, y) = (4x +

5y, 2x + y) associado ao autovalor λ = 6, pois:

T(v) = T(5, 2) = (4.5 + 5.2, 2.5 + 2) = (30, 12) = 6.(5, 2) = 6v

Exp2:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=4211

A

Montar a equação característica:

det(A - λI) = 0

( )( )

215

12425065

0244024.1

042

11

2

2

±=

=−=Δ=+−

=++−−

=+−−

=−−

−

λ

λλ

λλλ

λλ

λλ

23

''

'

=

=

λ

λ São os autovalores

Para determinar os autovetores:

(A - λI)v = 0

Considerando ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

yx

v :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−00

.42

11yx

λλ

- Para λ = 3:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

00

.1212

yx

⎩⎨⎧

=+−=+−

0202

yxyx

SPI xy 2=

Logo, os autovetores associados ao autovalor λ = 3 são do tipo: ( )xxv 2,=

- Para λ = 2:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

00

.2211

yx

⎩⎨⎧

=+−=+−

0220

yxyx

SPI xy =

Logo, os autovetores associados ao autovalor λ = 2 são do tipo: ( )xxv ,=



Exp3: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

311151

113A

0363611

0363611

0311

151113

23

23

=−+−

=+−+−

=−−−−−

−−

λλλ

λλλ

λλ

λ

ou

As soluções inteiras, caso existam, são divisoras do termo independente (-36). Por tentativa,

constata-se que λ = 2 é uma delas. Dividindo a equação por λ - 2 tem-se, por Briot-Ruffini:

1 -11 36 -36 2 2 -18 36 1 -9 18 0

( )( ) 01892 2 =+−− λλλ

As demais raízes são:

3''6'

239

9728101892

==

±=

=−=Δ=+−

λλ

λ

λλ

Determinação dos autovetores:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

000

.311

151113

zyx

λλ

λ

- Para λ = 2:

0,0

030

000

.111131

111

=−=→⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=−+−

=+−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

yzxzyx

zyxzyx

zyx

( )xxv −= ,0,



- Para λ = 3:

zyxyx

zyxzy

zyx

==→⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−+−

=+−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

002

0

000

.011121

110

( )xxxv ,,=

- Para λ = 6:

xzyzxzyxzyxzyx

zyx

22,03003

000

.311111

113

−=−==→⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−−−=+−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

−−

( )xxxv ,2,−=

apostila de Álgebra linear

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