apostila matematica aplicada

5/14/2018 Apostila Matematica Aplicada - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/apostila-matematica-aplicada-55a75952272c6 1/21

MATEMÁTICAAPLICADA

Para o curso de Gestão

UnidadeChácara Santo Antônio

1º. Semestre de 2011

Prof. FelixProf. Gilmar Mendes



CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

1. Representações de Conjuntos2. Par Ordenado e Produto Cartesiano3. Plano Cartesiano4. Relações e Funções5. Elementos de uma Função6. Função Constante7. Função Linear 8. Função Afim9. Aplicações das Funções na Administração10. Função Demanda de Mercado11. Função Oferta de Mercado12. Preço e Quantidade de Equilíbrio13. Receita Total14. Custo Total15. Ponto Crítico (Break Even Point) ou Ponto de

Nivelamento16. Lucro Total

2



1. Representações de Conjuntos

Dado um grupo de objetos, pessoas, letras palavras, números etc., que se relacionam entresi, podemos formar um conjunto.

Há três maneiras de representar um conjunto.

1ª) Diagramas de Venn-Euler AOs elementos são escritos dentro de uma linha fechada. A

O nome do conjunto é uma letra qualquer.

2ª) Escrevendo os elementos entre chaves, colocando-osem uma ordem preestabelecida:A = {0,1,2,3,4}

3ª) Escrevendo, entre chaves, uma propriedade que descreve os elementos do conjunto eapenas estes elementos. Esta propriedade é escrita em linguagem matemática.

A = {x ∈Z / 0 ≤ x ≤ 4}

Para escrever conjuntos desta 3ª maneira, é necessário saber o significado de algunssímbolos matemáticos ...

∈ pertence / tal que∉ não pertence ∀ para todo

⊂ está contido existe⊄ não está contido não existecontém < menor

⊃ não contém ≤ menor ou igual∪ união > maior ∩ intersecção ≥ maior ou igual

... e recordar alguns conjuntos:

Ν = {0, 1, 2, 3, ...} conjunto dos números naturais

Ζ = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} conjunto dos números inteirosR conjunto dos números reais

3

0 12

3 4



2. Par Ordenado e Produto Cartesiano

Par ordenado é um par de números representado por (a,b) onde a pertence a um conjunto eb pertence a outro conjunto. A ordem entre estes números a e b é estabelecidaantecipadamente e não pode ser mudada, isto é, (a,b) e (b,a) são pares ordenados diferentes

e representam “coisas” diferentes. Um par ordenado pode ser representadogeometricamente por um ponto num plano. Neste caso, (a,b) e (b,a) são representados por pontos diferentes.

Produto cartesiano entre dois conjuntos A e B é uma operação entre estes conjuntos,indicada por AxB (lê-se “A cartesiano B) ou BxA (lê-se “B cartesiano A). AxB e BxAtambém são conjuntos diferentes.

AxB é o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) onde a ∈ A e b ∈ B, ou seja,AxB = { (a,b) / a ∈ A e b ∈ B}

BxA é o conjunto de todos os pares ordenados (b,a) onde b ∈ B e a ∈ A, ou seja,BxA = { (b,a) / b ∈ B e a ∈ A}

Por exemplo, dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}, entãoAxB = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

BxA = {(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3)}

O produto cartesiano entre dois conjuntos também pode ser representado em um diagrama,chamado Diagrama de flechas.

Exemplo:

A = {1, 2, 3} e B = {4, 5}

Cada flecha representa um par ordenado.

AxB = {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}

4

1

2

3

4

5



3. Plano Cartesiano

Podemos representar o produto cartesiano entre dois conjuntos numéricos A e Bgeometricamente como um conjunto de pontos num plano. Cada par ordenado serárepresentado por um ponto deste plano, chamado Plano Cartesiano.

O plano cartesiano é construído tomando-se duas retas reais perpendiculares entre si que seencontram em suas origens (ponto associado ao zero).

Estas duas retas reais recebem o nome de Sistema de Coordenadas Cartesianas. Cada eixo(reta real) representa um dos conjuntos do produto cartesiano.

No produto cartesiano AxB, o primeiro conjunto (A) sempre é representado no eixohorizontal e o segundo conjunto (B) sempre é representado no eixo vertical. O par ordenado(a,b) representa um ponto P. Escrevemos P(a,b).

Se tomarmos um ponto em um plano, podemos traçar infinitas retas desse plano que

passam pelo ponto.Assim para localizar pontos em um plano, já não basta simplesmente determinar o númeroreal que está associado ao ponto em uma reta pois, dependendo da reta escolhida, teríamoscoordenadas diferentes, tornando impossível a localização precisa desse ponto.

Para determinar a localização de um ponto no plano, utilizamos o chamado sistemacartesiano ortogonal que é estabelecido por duas retas orientadas, denominadas eixos, perpendiculares entre si no ponto 0.

5

0-1-2 1 2

1

-1

-2



Os eixos são determinados pelas letras x e y. O eixo x é denominado eixo das abscissas e oeixo y é denominado eixo das ordenadas.

Esses eixos perpendiculares entre si dividem o plano em quatro regiões, chamadas

quadrantes.

Qualquer ponto do plano pode ser localizado através desse sistema.

Para localizarmos o ponto P indicado na figura, traçamos uma reta paralela ao eixo y, queirá cortar o eixo x no ponto associado ao número a. Repetimos o procedimento com umareta paralela ao eixo x , que irá cortar o eixo y no ponto associado ao número b.

Então, dizemos que o ponto P tem abscissa a e ordenada b. Os números reais a e b,colocados entre parênteses e separados por vírgula, formam o que denominamos par ordenado e representam as coordenadas do ponto P no plano.

Assim para localizarmos um ponto no plano, precisamos de um par ordenado de númerosreais relacionados a esse ponto e que são as suas coordenadas.

Para não haver dúvidas, convencionou-se que o primeiro elemento do par ordenadocorresponde sempre à abscissa (x) e o segundo elemento à ordenada (y).

6



4. Relações e Funções

Dados dois conjuntos A e B, chamamos Relação de A em B a qualquer subconjunto deAxB. Esta relação pode ser descrita no diagrama de flechas, por pares ordenados ou por uma tabela.

Notação: A relação R de A em B é notada R: A BR ⊂ AxB.

Exemplo: Dados os conjuntos

A = {1, 2, 3, 4} e B = {-2, -1, 0, ½, √2}, a relação R é dada por

R = {(1,-2), (2,-1), (3, ½), (3, √2), (4,0)}

Apresente o diagrama de flechas, os pares ordenados e a tabela.

Também podemos representar a relação R no plano cartesiano. Para isto, basta representar geometricamente os pares ordenados que pertencem a R.

Uma relação f: A B é chamada de FUNÇÃO se

(i) Não há elemento x em A sem correspondente y em B. (Não podem “sobrar elementos de A)

(ii) Qualquer elemento x de A tem um único correspondente y em B (Não pode haver elemento de A “associado” a mais de um elemento de B).

Observação: No entanto, elementos distintos de A podem ser associados a um mesmoelemento de B e podem “sobrar” elementos de B.

No exemplo acima, a relação R não é uma função pois não cumpre a exigência (ii)

EXERCÍCIOS

1) Representar numa tabela, por pares ordenados e pontos no plano cartesiano a relaçãodada no diagrama de flechas. Verifique se a relação é uma função.

A A

2) Sendo f = {(-4,-2), (-2,1), (-1,0), (0,2), (2,3), (3,0), (5,-1)} Represente a relação no plano cartesiano, em um diagrama de flechas e em uma tabela.Verifique se a relação é uma função.

7

-1

0

1

-1

0

1



5. Elementos de uma função

Se f: A B é uma função, dizemos que

• A é o domínio de f (notação: D(f))

• B é o contradomínio de f (notação: CD(f))O domínio de f é o conjunto dos elementos x ∈ A para os quais existe um y ∈ B tal que(x,y) ∈ f.

O subconjunto de B formado pelos elementos de B que são correspondentes de algumelemento de A chama-se imagem de f (notação: Im(f))

Exemplo 1: Forneça o domínio, contradomínio e imagem de f: A B

A B

Sendo x os elementos do domínio e y os elementos da imagem de uma função f, então oconjunto dos pares ordenados (x,y) que representam a função no plano cartesiano é

chamado gráfico de f (G(f))

A imagem de –2 é 3, e representamos por f(-2) = 3 (lê-se f de –2 é igual a 3).A imagem de –1 é 4, e representamos por f(-1) = 4 (lê-se f de –1 é igual a 4).A imagem de 0 é 5, e representamos por f(0) = 5 (lê-se f de 0 é igual a 5).A imagem de 1 é 5, e representamos por f(1) = 5 (lê-se f de 1 é igual a 5).

Para simplificar a linguagem, chamaremos de gráfico à representação geométrica no planocartesiano do conjunto G(f), ou seja, à figura desenhada no plano cartesiano.

Lei de uma função é uma sentença aberta y = f(x) que permite relacionar os elementos dodomínio (x) com os elementos da imagem (y).

Exemplo 2: f: A B, A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A sentença aberta y = x + 2 onde x∈ A e y ∈ B nos permite montar uma tabela devalores x e y e construir um gráfico de f. Forneça também o domínio, contradomínio eimagem.

8

-2-1

01

32

4 7

5



EXERCÍCIOS

3) Sendo A = {1, 3, 5, 7} e B = {3, 5, 8, 9}, escreva sob a forma de conjuntos as relaçõesde A em B, com x ∈ A e y ∈ B, dadas por:

a) x < y d) x = y b) x ≥ y e) y = x + 2c) x é divisor de y

4) Faça o gráfico e o diagrama de flechas de cada relação do exercício anterior.

5) Dê o domínio e o conjunto imagem de cada uma das relações do exercício 3.

6) Dada a função f(x) = 7x – 3, obtenha:

a) f(2) c) f(0) b) f(6) d) f(a+b)

7) Dada a função f(x) = 2x – 3, obtenha:

a) f(3) c) o valor de x tal que f(x) = 49 b) f(-4) d) o valor de x tal que f(x) = -10

8) Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida.

a) Obtenha a função receita R(x) b) Calcule R(40)c) Qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$ 700,00 ?

9



6. Função Constante

É toda a função y = k , em que k é uma constante real. Verifica-se que o gráfico dessafunção é uma reta horizontal, passando pelo ponto de ordenada k.

y

k

x

7. Função Linear

Sendo A e B conjuntos de números reais, e m uma constante real diferente de zero, dizemosque uma função f: A B, com f (x) = m . x é uma função linear.

O gráfico de uma função linear é um conjunto de pontos sobre uma reta que passa pelo ponto (0,0).

10



8. Função Afim (ou Função do 1º Grau)

Esse tipo de função apresenta um grande número de aplicações.

Uma função é chamada de função afim (ou função do 1º grau) se sua sentença for dada por

y = m . x + n, sendo m e n constantes reais com m ≠ 0.

Verifica-se que o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta. Assim, o gráfico pode ser obtido por meio de dois pontos distintos (pois dois pontos distintos determinam uma reta).

Exemplo 1: Vamos esboçar o gráfico da função y = 2x + 1

Exemplo 2: Vamos obter a função cujo gráfico é dado na figura abaixo

(0,2)

(4,0)

11



Observações Importantes

1) A constante n é chamada de coeficiente linear e representa, no gráfico, a ordenada do ponto de intersecção da reta com o eixo y.

2) A constante m é chamada de coeficiente angular e representa a variação de ycorrespondente a um aumento do valor de x igual a 1, aumento esse considerado a partir dequalquer ponto da reta; quando m > 0, o gráfico corresponde a uma função crescente, e,quando m < 0, o gráfico corresponde a uma função decrescente.

B CA m

mn A B

C

Coeficiente linear m > 0 m < 0

Coeficiente angular

Seja x1 a abscissa de um ponto qualquer da reta e seja x2 = x1 + 1.Sejam y1 e y2 as ordenadas dos pontos da reta correspondentes àquelas abscissas. Teremos

y1 = m . x1 + n

y2 = m . x2 + n

Subtraindo membro a membro as duas relações anteriores, e tendo em conta quex2 = x1 + 1, obteremos

y2 - y1 = m . (x2 - x1 ) ⇒ y2 - y1 = mx2 - x1

3) Conhecendo-se dois pontos de uma reta A (x1 , y1 ) e B (x2 , y2 ) , o coeficiente angular m é dado por

m = y2 - y1 = ∆ y

x2 - x1 ∆ x

4) Conhecendo-se um ponto P (x0 , y0 ) de uma reta e seu coeficiente angular m, a funçãocorrespondente é dada por y – y0 = m (x – x0)

12



EXERCÍCIOS

9) Esboce os gráficos das funções:

a) y = 5 b) y = x + 110) Obtenha o coeficiente angular da reta que passa por A e B nos seguintes casos:

a) A(1,2) e B(2,7) b) A(0,3) e B(2,5)

11) Obtenha a equação da reta que passa por P e tem coeficiente angular m nos seguintescasos:

a) P(1,3) e m = 2 b) P(-1,4) e m = 3

12) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos A e B nos seguintes casos:a) A(1,2) e B(2,3) b) A(-1,0) e B(4,2)

13) Obtenha as funções, dados seus gráficos, nos seguintes casos:

a) b)

(0,3)(4,4)

(0,2)(4,0)

9. Aplicações das Funções na Administração

Muitas vezes nos deparamos com situações que envolvem uma relação entre grandezas.Assim, o valor a ser pago na conta de luz de sua casa depende do consumo medido no período; o tempo de uma viagem de automóvel entre duas cidades depende da velocidademédia desenvolvida no trajeto1.

Quando uma indústria lança um produto no mercado, para fixar o preço desse produto elatem que levar em conta os custos para a sua produção e a distribuição, que dependem dediversos fatores, entre eles as despesas com energia, aluguel de prédio, custo das matérias- primas e salários. Como esses custos podem variar, a indústria tem que estar “equacionando” essas variáveis para compor o preço do seu produto2.

1 J. Giovanni, J.R. Bonjorno e J.R. Giovanni Jr. em Matemática Fundamental - Uma Nova Abordagem, p. 78.2 Idem

13



Podemos utilizar a linguagem matemática para representar essas relações de dependênciaentre duas ou mais grandezas3.Há diversas maneiras de representar uma relação entre duas grandezas: tabelas, gráficos efórmulas matemáticas.

Uma função é uma relação que tem duas características: a todos valores da variável independente estão associados valores da variável

dependente para um dado valor da variável independente está associado um único valor da

variável dependente.

Domínio da função é o conjunto de todos os valores dados para a variável independente. Imagem da função é o conjunto de todos os valores correspondentes da variávelindependente.

Dizemos que:⇒ A tarifa postal é dada em função do “peso” da carta.⇒ A taxa de desemprego é dada em função do mês.

Vejamos um exemplo prático:

Exemplo 1: Uma vídeo locadora aluga fitas de vídeo no final de semana, cobrando o preçosegundo a tabela4 :

Número de Fitas Preço (em Reais)

1 4,00

2 7,00

3 10,00

4 12,00

5 ou mais 2,50 cada fita

Veja que o valor a ser pago pelo aluguel das fitas depende do número de fitas alugadas.Dizemos que o preço está em função do número de fitas.O número de fitas alugadas é a variável independente.O preço a ser pago é a variável dependente.Os valores que a variável independente pode assumir, ou seja, 1, 2, 3, 4, 5, ..., até o númeromáximo de fitas disponíveis na locadora, são os elementos do domínio dessa função.

Os preços a serem pagos pelo aluguel são os elementos da imagem dessa função.Com base na tabela, podemos responder a uma série de questões5:a) Qual o valor a ser pago no aluguel de 6 fitas? b) Qual será o preço de cada fita no aluguel de 4 fitas?

3 Idem4 Idem, p. 805 J. Giovanni, J.R. Bonjorno e J.R. Giovanni Jr., op. cit., p. 81.

14



c) Em relação ao preço de cada fita, qual a porcentagem do desconto que terei se levar 3 fitas?

Exemplo 2: Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando afórmula P = 12,00 + 0,65n, onde P é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos

reveladas do filme6

.A fórmula acima nos dá a condição de dependência entre o preço a ser cobrado e onúmero de fotos reveladas. O preço depende do número de fotos reveladas, ou ainda,o preço é dado em função do número de fotos reveladas.O número de fotos reveladas é a variável independente.O preço a ser pago é a variável dependente.O domínio dessa função é o conjunto dos possíveis números de fotos reveladas. Sefor um filme de 24 fotos, o domínio será {0, 1, 2, 3, ..., 24}.A imagem é o conjunto dos preços a serem pagos.

Algumas questões que podem ser resolvidas a partir da fórmula:a) Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme? b) Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?

10. Função Demanda de Mercado7

A demanda (ou procura) de um determinado bem é a quantidade desse bem que osconsumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano e outros).A demanda de um bem é função de várias variáveis: preço por unidade do produto, rendado consumidor, preços de bens substitutos, gostos e outros. Supondo-se que todas asvariáveis mantenham-se constantes, exceto o preço unitário do produto ( p), verifica-se queo preço p relaciona-se com a quantidade demandada ( x).Chama-se função de demanda à relação entre p e x, indicada por p = f(x).Existe a função de demanda para um consumidor individual e para um grupo deconsumidores (nesse caso, x representa a quantidade total demandada pelo grupo, a umnível de preço p). Em geral, quando nos referimos à função de demanda, estaremos nosreferindo a um grupo de consumidores e chamaremos de função de demanda de mercado. Normalmente, o gráfico de p em função de x (que chamaremos de curva de demanda) é ode uma função decrescente, pois quanto maior o preço, menor a quantidade demandada.Cada função de demanda depende dos valores em que ficaram fixadas as outras variáveis(renda, preço de bens substitutos e outros). Assim, se for alterada a configuração dessasoutras variáveis, teremos nova função de demanda.O tipo e os parâmetros da função de demanda são geralmente determinados por métodosestatísticos. Consideraremos neste item funções de demanda do 1º. grau.

Exemplo: O número de sorvetes ( x) demandados por semana numa sorveteria relaciona-secom o preço unitário ( p) de acordo com a função de demanda

6 Idem 7 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab em Cálculo - Funções de uma e várias variáveis, p. 65.

15



p = 10 − 0,002 x.

Algumas questões que podem ser resolvidas a partir deste enunciado:a) Qual a quantidade x demandada por semana se o preço for R$ 4,00? b) Representar graficamente a função.

EXERCÍCIOS8

14) Num estacionamento para automóveis, o preço por dia de estacionamento é R$ 20,00.A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00,estacionarão 75 automóveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha essa função.

15) Uma empresa vende 200 unidades de um produto por mês, se o preço unitário é R$5,00. A empresa acredita que, reduzindo o preço em 20%, o número de unidades vendidasserá 50% maior. Obtenha a função de demanda admitindo-a como função do 1o. grau.

16) Quando o preço de venda de uma calculadora HP-42 é de R$ 120,00 nenhumacalculadora é vendida, porém quando o preço é liberado gratuitamente, 100 são procuradas.Sabendo-se que a representação gráfica é uma reta, determinar:

a) A função demanda b) esboçar o gráficoc) dar a demanda se o preço for R$ 60,00d) qual o preço da calculadora se a demanda é de 75 unidades?

8 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab, op. cit., Exercícios 55 e 56, p. 69.

16



11. Função Oferta de Mercado9

Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem queos vendedores desejam oferecer no mercado. A oferta é dependente de várias variáveis: preço do bem, preço dos insumos10 utilizados na produção, tecnologia utilizada e outros.Mantidas constantes todas as variáveis exceto o preço do próprio bem, chamamos defunção de oferta à relação entre o preço do bem ( p) e a quantidade ofertada ( x) e aindicamos por p = g(x). Normalmente, o gráfico de p em função de x é o de uma função crescente, pois quantomaior preço, maior a quantidade ofertada. Tal gráfico é chamado de curva de oferta.Observemos que termos uma curva de oferta para cada configuração das outras variáveisque afetam a oferta.

Exemplo: Admitamos que, para quantidades que não excedam sua capacidade de produção, a função de oferta da sorveteria do exemplo anterior, seja do 1º. grau.Suponhamos que se o preço por sorvete for R$ 2,10, a quantidade ofertada será 350 por semana e, se o preço for R$ 2,40, a quantidade ofertada será 1.400. Obter a função oferta eesboçar seu gráfico.

EXERCÍCIOS11

17) Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, cinco mil unidades de um produto são ofertadas por mês no mercado; se o preço for R$ 12,00, cinco mil equinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função oferta seja do 1º.grau, obtenha sua equação.

18) Um fabricante de fogões produz 400 unidades por mês quando o preço de venda éR$ 500,00 por unidade, e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é R$

450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º. grau, qual sua equação?19) Quando o preço de uma calculadora eletrônica é de R$ 150,00, cinqüenta

calculadoras estão à venda. Quando o preço é de R$ 200,00, cem calculadoras estãodisponíveis no mercado. Qual a lei da oferta para esse produto, sabendo-se que arepresentação é uma reta?

20) A empresa WP, analisou a venda do produto lanterna de pilha e, verificou que sefizesse investimentos em propaganda desse produto, suas vendas seria 20% maiores acada aumento de R$ 2,00 no preço unitário da lanterna.Quando o preço é de R$ 12,00a empresa vende 500 unidades. Qual a lei da oferta para esse produto?

9 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab, op. cit., p. 66.10 Combinação dos fatores de produção (matérias-primas, horas trabalhadas, energia consumida, taxa deamortização, etc.) que entram na produção de determinada quantidade de bens ou serviço. [Sin., ingl.: input .]11 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab, op. cit., Exercícios 58 e 59, p. 69.

17



12. Preço e Quantidade de Equilíbrio12

Chamamos de ponto de equilíbrio de mercado ao ponto de intersecção entre as curvas dedemanda e oferta. Assim, temos um preço e uma quantidade de equilíbrio.

Exemplo 1: Consideremos a função de demanda por sorvetes p = 10−

0,002 x e a funçãode oferta de sorvetes p = 1 x + 2. Temos a situação esquematizada abaixo:3.500

No ponto de equilíbrio, o preço é o mesmo na curva de demanda e de oferta. Logo:1 x + 2 = 10 −0,002 x

3.500

x + 7.000 = 35.000 −7 x

x + 7 x = 35.000 −7.000

8 x = 28.000

x = 3.500

Substituindo o valor de x encontrado numa das duas curvas, por exemplo, na da demanda,teremos: p = 10 −0,002 x

p = 10 −0,002(3.500)

p = 10 −7

p = 3

Portanto, no ponto de equilíbrio, o preço do sorvete será R$ 3,00, e a quantidade semanalvendida será 3.500 unidades. O ponto de equilíbrio é o ponto P(3.500, 3)O nome ponto de equilíbrio decorre do seguinte fato: se o preço cobrado for maior queR$ 3,00, a quantidade ofertada será maior que a demandada. Os produtores para se livraremdo excedente tenderão a diminuir o preço forçando-o em direção ao ponto de equilíbrio. Por outro lado, se o preço for inferior a R$ 3,00, a demanda será maior que a oferta e esse

excesso de demanda tende a fazer com que o preço suba em direção ao preço de equilíbrio.

Exemplo 2: As funções de demanda e oferta de um produto são dadas por:Demanda: p = 100 −0,5 x Oferta: p = 10 + 0,5 xa) Qual o ponto de equilíbrio de mercado? b) Se o governador cobrar, junto ao produtor, um imposto de R$ 3,00 por unidade

12 Idem, p. 66-67

18



vendida, qual o novo ponto de equilíbrio?EXERCÍCIOS13

21) Das equações abaixo, quais podem representar funções de demanda e quaispodem representar funções de oferta?a) p = 60 −2 x b) p = 10 + x

c) p −3 x + 10 = 0 d) 3 x + 4 p − 1.000 = 0e) 2 x − p − 90 = 022) Determine o preço de equilíbrio de mercado nas seguintes situações:

a) oferta: p = 10 + x b) oferta: p = 3 x + 20demanda: p = 20 − x demanda: p = 50 − x

23) Em certa localidade, a função de oferta anual de um produto agrícola é p = 0,01x −3,em que p é o preço por quilograma e x é a oferta em toneladas.a) Que preço induz uma produção de 500 toneladas? b) Se o preço por quilograma for R$ 3,00, qual a produção anual?c) Qual o ponto de equilíbrio de mercado se a função de demanda anual for

p = 10 −0,01x?

24) Uma doceira produz um tipo de bolo de tal forma que sua função de ofertadiária é p = 10 + 0,2x.a) Qual o preço para que a oferta seja de 20 bolos diários?b) Se o preço unitário for R$ 15,00, qual a oferta diária?c) Se a função da demanda diária por esses bolos for p = 30 −1,8x, qual o preço de

equilíbrio?25) Num certo mercado, as equações de oferta e demanda de um produto são dadas por:

oferta: x = 60 + 5p demanda: x = 500 −13pQual a quantidade transacionada quando o preço estiver em equilíbrio?

26) Em certo mercado, as equações de oferta e demanda de um produto são dadas por:

oferta: p = 0,3x + 6 demanda: p = 15 −0,2xSe o governo tabelar o preço de venda em R$ 9,00 por unidade, em quantas unidades ademanda excederá a oferta?

27) O preço unitário p de um produto relaciona-se com a quantidade mensal demandada xe com a renda mensal R das pessoas de uma cidade, por meio da expressão

p = 50 −2x + R.a) Qual a equação da demanda se R = 10, R = 20 e R = 30? Faça os gráficos.b) O que acontece com o gráfico da função de demanda à medida que R aumenta?

28) A função de oferta de determinado produto é p = 40 + 0,5x, em que p é o preço unitárioe x é a oferta mensal.

a) Qual a nova função de oferta se houver um imposto de R$ 1,00 por unidade vendida,

cobrado junto ao produtor?c) Resolva o item anterior supondo que haja um subsídio de R$ 1,00 por unidadevendida.

29) Considerando a função de oferta: p = 40 + x e a função de demanda: p = 100 −x.a) Qual o preço de equilíbrio?b) Se o governo instituir um imposto igual a R$ 6,00 por unidade vendida, cobrado junto

ao produtor, qual o novo preço de equilíbrio?

13 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab, op. cit., Exercícios 60-72, p. 69-71.

19



13. Receita Total14

Seja x a quantidade vendida de um produto. Chamamos de função receita ao produto de x pelo preço de venda e indicamos por R.

Exemplo: Um produto é vendido a R$ 15,00 a unidade (preço constante). Qual a função

receita? Esboçar seu gráfico.

14. Custo Total15

Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção (ou simplesmentecusto) depende de x, e a relação entre eles chamamos de função custo total (ousimplesmente função custo), e a indicamos por C .Existem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como aluguel, seguros eoutros. A soma desses custos que não dependem da quantidade produzida chamamos decusto fixo e indicamos por C F . A parcela do custo que depende de x chamamos de custovariável, e indicamos por C V .

Assim, podemos escrever: C = CF + CV

Verificamos também que, para x variando dentro de certos limites (normalmente não muitograndes), o custo variável é geralmente igual a uma constante multiplicada pela quantidade x. Essa constante é chamada de custo variável por unidade.

Exemplo: O custo fixo mensal de fabricação de um produto é R$ 5.000,00, e o custovariável por unidade é R$ 10,00. Qual a função custo total? Esboçar seu gráfico.

15. Ponto Crítico (Break Even Point) ou Ponto de Nivelamento16

O ponto de nivelamento é o valor de x tal que R( x) = C( x)Exemplo: Suponhamos que a função custo seja C( x) = 5.000 + 10.x e a função receita sejaR( x) = 15. x. Determinar o ponto crítico.

16. Lucro Total17

A função lucro é definida como a diferença entre a função receita R e a função custo C .Assim, indicando a função lucro por L, teremos:

L(x) = R(x) −C(x)

Margem de Contribuição18: é a diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade.

14 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab, op. cit., p. 59.15 Idem.16 Idem, p. 60.17 Idem, p. 59.18 Idem, p. 61.

20



EXERCÍCIOS19

30) Determine o ponto de nivelamento (ou ponto crítico), e esboce os gráficos da funçãoreceita e custo em cada caso: a) R(x) = 4x e C(x) = 50 + 2x

b) R(x) = 200x e C(x) = 10.000 + 150xc) R(x) = 1 x e C(x) = 20 + 1 x

2 4

31) Obtenha a função lucro em cada caso do exercício anterior, esboce seu gráfico e faça oestudo do sinal.

32) Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo é R$ 10.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento?

33) Em relação ao exercício anterior, quantas unidades a editora deverá vender por mês para ter um lucro mensal de R$ 8.000,00?

34) O custo fixo de fabricação de um produto é R$ 1.000,00 por mês, e o custo variável por unidade é R$ 5,00. Se cada unidade for vendida por R$ 7,00:

a) Qual o ponto crítico?b) Se o produtor conseguir reduzir o custo variável por unidade em 20%, à custa doaumento do custo fixo na mesma porcentagem, qual o novo ponto crítico?

c) Qual o aumento no custo fixo necessário para manter inalterado o ponto crítico (emrelação ao item a) quando o custo variável por unidade é reduzido em 30%?

35) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 30.000,00, o preço unitário de venda é R$8,00 e o custo variável por unidade é R$ 6,00.

a) Obtenha a função lucro mensal?b) Obtenha a função lucro líquido mensal, sabendo-se que o imposto de renda é 30% do

lucro.

36) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 5.000,00, o custo variável por unidade produzida é R$ 30,00, e o preço de venda é R$ 40,00. Qual a quantidade que deve ser vendida por mês para dar um lucro líquido de R$ 2.000,00 por mês, sabendo-se que oimposto de renda é igual a 35% do lucro?

37) Sabendo-se que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda éR$ 10,00 e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha:a) A função receita. b) A função custo total diário.c) O ponto crítico. d) A função lucro diário.e) A quantidade que deverá ser vendida para que haja um lucro de R$ 180,00 por dia.

38) O preço de venda de um produto é R$ 25,00. O custo variável por unidade é dado por:a) Matéria-prima: R$ 6,00 por unidade. b) Mão-de-obra direta: R$ 8,00 por unidade.Sabendo-se que o custo fixo mensal é de R$ 2.500,00:a) Qual a quantidade crítica? b) Qual a margem de contribuição por unidade?c) Qual o lucro se a empresa produzir e vender 1.000 unidades por mês?d) De quanto aumenta percentualmente o lucro, se a produção aumentar de 1.000 para

1.500 unidades por mês?

19 P.A. Morettin, S. Hazzan e W.O. Bussab, op. cit., Exercícios 32-40, p. 62-63.

21

apostila matematica aplicada

Documents