apostila unijuí matemática aplicada à administração

1. Universidade regional do noroeste do estado do rio grande do sul uniju vice-reitoria de graduao vrg coordenadoria de educao a distncia CEaD Coleo Educao a Distncia Srie Livro-Texto Iju, Rio Grande do Sul, Brasil 2009 Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges matemtica aplicada administrao

2. 2009, Editora Uniju Rua do Comrcio, 1364 98700-000 - Iju - RS - Brasil Fone: (0__55) 3332-0217 Fax: (0__55) 3332-0216 E-mail: [email protected] Http://www.editoraunijui.com.br Editor: Gilmar Antonio Bedin Editor-adjunto: Joel Corso Capa: Elias Ricardo Schssler Reviso: Vra Fischer Designer Educacional: Liane Dal Molin Wissmann Responsabilidade Editorial, Grfica e Administrativa: Editora Uniju da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Uniju; Iju, RS, Brasil) Catalogao na Publicao: Biblioteca Universitria Mario Osorio Marques Uniju D776m Drews, Sonia Beatriz Teles. Matemtica aplicada administrao / Snia Beatriz Teles Drews, Pedro Augusto Pereira Borges. Iju : Ed. Uniju, 2009. 182 p. (Coleo educao a distncia. Srie livro-texto). ISBN 978-85-7429-784-2 1. Matemtica. 2. Administrao financeira. 3. Matemtica comercial. 4. Matemtica - Conceitos. I. Borges, Pedro Augusto Pereira. II. Ttulo. III. Srie. CDU : 51 51:658 658.15

3. Sumrio Conhecendo os Professores ...........................................................................................5 Unidade I GRANDEZAS: RAZO E PROPORO ..............................................................9 Seo 1.1 Grandezas................................................................................................................9 Seo 1.2 Proporo...............................................................................................................18 Seo 1.3 Regra-de-trs.........................................................................................................29 Seo 1.4 Porcentagem..........................................................................................................34 Seo 1.5 Regra de sociedade................................................................................................39 Unidade 2 FUNES ............................................................................................................43 Seo 2.1 Intervalos e conjuntos numricos.........................................................................44 Seo 2.2 Definio, expresso matemtica e grfico de funes.......................................49 Seo 2.3 Equao da reta.....................................................................................................55 Seo 2.4 Funes quadrticas..............................................................................................70 Seo 2.5 Funes exponenciais e logaritmos......................................................................79 Unidade 3 TAXAS DE VARIAO E DERIVADAS .............................................................99 Seo 3.1 Taxa de variao de uma funo.........................................................................100 Seo 3.2 A derivada de uma funo..................................................................................103 Seo 3.3 Regras de derivao............................................................................................109 Seo 3.4 Anlise do crescimento de funes....................................................................118 Seo 3.5 Pontos crticos e extremos locais de funes......................................................120 Seo 3.6 Aplicaes de derivadas......................................................................................128

4. Unidade 4 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES .............................................................137 Seo 4.1 Noes de matrizes e organizao de dados com matrizes..............................137 Seo 4.2 Tipos de matrizes.................................................................................................141 Seo 4.3 Operaes com matrizes.....................................................................................143 Seo 4.4 Sistemas lineares.................................................................................................148 Anexo 1 GABARITO DAS QUESTES ...............................................................................159 Anexo 2 COMO INSERIR UMA EQUAO ......................................................................179 Referncias ..........................................................................................................................181

5. EaD 5 Matemtica aplicada administrao Conhecendo os Professores SONIA BEATRIZ TELES DREWS Sou natural da cidade de Cruz Alta/RS e desde 1958 resido na cidade de Iju/RS. Cursei o primeiro e segundo grau-normal na cidade onde nasci, possuo Bacharelado e Licenciatura em Pedagogia, ambas cursadas na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul Uniju , que na poca era a Fafi. Durante toda minha carreira profissional sempre busquei ficar atualizada, realizando especializao em Educao e Administrao Escolar, em Matemtica e Estatstica, e tambm Mestrado em Educao nas Cincias com enfoque matemtico na Uniju. Como profissional, a minha trajetria no ensino foi sempre com- prometida com a aprendizagem dos alunos, atuando inicialmente no ensino primrio, secundrio, mdio e nos cursos de pr-vestibular. Concomitantemente, atuei como professora universitria (Uniju) desde 1968, como docente nos cursos de Matemtica, Fsica, Economia, Admi- nistrao, Agronomia, entre outros, desenvolvendo tambm atividades de ensino e extenso nas reas de educao matemtica, formao de professores e programas voltados para o desenvolvimento regional com enfoque no desenvolvimento profissional do professor. Tambm durante minha caminhada profissional assumi cargos administrativos. Fui secretria municipal de Educao/Iju, posterior- mente assumi a Delegacia Regional de Educao 36 DE , e na universidade em que atuo mais de uma vez fui chefe de Departamento (Defem) e coordenadora do curso de Matemtica. Tambm desempe- nhei as funes de chefe de gabinete da Reitoria e tive o privilgio de iniciar a Coordenadoria de Apoio aos Estudantes Universitrios da Uniju.

6. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 6 Pela minha atuao na academia, sou membro do corpo editorial da Educao Matemtica em Revista do RS. Durante esta minha trajetria educacional recebi alguns prmios e ttulos honorficos. Minha maior satisfao estar sempre em contato com os alunos e fazer da sala de aula a razo da minha profisso.

7. EaD 7 Matemtica aplicada administrao PEDRO AUGUSTO PEREIRA BORGES Entre os alunos e colegas sou mais conhecido como Pedro Bor- ges. Nasci em Tenente Portela/RS e moro em Iju/RS desde 1969. Sou casado e tenho duas filhas. Formei-me em Matemtica pela Uniju em 1983. Trabalhei bastante com o ensino de Matemtica elementar desde 1980 nos ensinos Fundamental e Mdio. Desde essa poca o interesse pelas aplicaes da Matemtica orientava minhas aes, tanto na rea da educao quanto no estudo da Matemtica em si. A questo que me preocupava era: Para que serve a Matemtica ensinada nas escolas? Em 1984 ingressei no Mestrado em Educao na Unicamp SP, quando aprendi a importncia de conhecer a histria e os fundamentos da educao matemtica. A partir de 1989 passei a trabalhar somente no ensino superior. As disciplinas de funes, clculo diferencial e integral, clculo numrico e equaes diferenciais ocuparam grande parte do meu tempo, principalmente com relao as suas aplicaes nas Cincias, Engenharia e Economia. A questo que passou a me preocupar era: Qual a funo da Matemtica nos cursos em que ela ensinada como disciplina formadora bsica? Em 1997 conclu o Mestrado em Matemtica na Uniju, em que no s entendi como a Matemtica usada nas Cincias, mas como ela empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemtica). Entusiasmado com o esclarecimento das questes de aplicao, fiz o Doutorado em Engenharia Mecnica/UFRGS (1998-2002), durante o qual tive a oportunidade de conhecer mtodos matemticos, que so a base da cincia moderna.

8. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 8 Trabalho na Uniju desde 1986 e atualmente dedico-me s atividades de ensino na Graduao e no Mestrado em Modelagem Mate- mtica. Neste Mestrado pesquiso aplicaes de equaes diferenciais em problemas de transferncia de calor e massa, tais como: secagem de gros, movimento da gua no solo, irrigao e aquecimento/resfria- mento de slidos. Os problemas de economia e finanas tambm so de meu interesse e este livro um passo nessa direo.

9. EaD 9 Matemtica aplicada administrao GRANDEZAS: RAZO E PROPORO Por meio do estudo dessa Unidade voc ter condies de dominar a aplicao das propriedades algbricas empregadas para resolver situaes-problema da rea de Administrao e que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difcil? No se preocupe, porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo. Para que possamos alcanar esses objetivos, as sees desta Unidade so: Seo 1.1 Grandezas Seo 1.2 Proporo Seo 1.3 Regra de trs Seo 1.4 Porcentagem Seo 1.5 Regra de Sociedade Vamos dar o primeiro passo? Seo 1.1 Grandezas Uma grandeza algo que podemos medir. Medir comparar a quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padro. Quando usamos uma rgua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma Unidade I

10. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 10 unidade de medida padro (metro, centmetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse caso estamos interessados em saber quantos centmetros cabem no comprimento da mesa. Assim, comprimentos, reas e volumes so grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de uma corda, o tempo de uma reunio, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma mercadoria, a produo, o trabalho, a matria-prima, o preo, etc., so exemplos de grandezas. A propriedade de uma grandeza a sua capacidade de ser medida. Grandeza tudo que voc pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro uma grandeza especial: cada pas tem suas prprias unidades). 1.1.1 Razo Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razo de a para b por b a , a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente e o segundo chama-se conseqente. Exemplo 1.1.1: Esto matriculados na EaD da Uniju 30 rapazes e 35 moas. Encon- tre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas (lembre-se que razo diviso). Soluo: 35 30 simplificando temos 7 6 (dividimos por 5 os dois termos da razo) 7 6 (indica que para cada 6 rapazes existem 7 moas). 7 6 (l-se 6 est para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7. Nessa razo, o 6 o antecedente e o 7 o conseqente. Simples, no ?

11. EaD 11 Matemtica aplicada administrao Se a e b so dois nmeros naturais (com b 0), chamamos de frao as expresses do tipo b a , onde o nmero colocado acima do trao chama-se numerador e indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o nmero abaixo do trao chama-se denominador e indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. As fraes representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em partes iguais. Frao 7 6 : l-se 6 stimos e significa 6 partes do total de 7. Propriedades das Fraes Usaremos F1, F2, ..., para numerar as propriedades das fraes: F1 Uma frao no se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo nmero diferente de zero ou mesmo fazendo a diviso desta frao pelo mesmo divisor comum. Exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1: 5 3 = 65 63 = 30 18 Voc deve observar que obtemos 0,6 fazendo a diviso tanto em 5 3 quanto em 30 18 . O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo n- mero: 30 18 = 6:30 6:18 = 5 3 F2 Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma frao por um nmero, a frao multiplicada ou dividida por esse nmero. Exemplo 1.1.3: Seja a frao 3 2 . Multiplicando o numerador por 4, temos: 3 42 = 3 8 (multiplicada por 4). Ou seja, 3 8 quatro vezes maior que 3 2 .

12. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 12 3 2:2 = 3 1 (dividida por 2). Ou seja, 3 1 a metade de 3 2 . F3 Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma frao por um nmero, a frao dividida ou multiplicada por esse nmero. Exemplo 1.1.4: Seja a frao 4 3 . Multiplicando o denominador por 2, temos: 24 3 = 8 3 (a frao ficou dividida por 2). Ou seja, 8 3 a metade de 4 3 . 2:4 3 = 2 3 (a frao ficou multiplicada por 2). Ou seja, 2 3 o dobro de 4 3 . Agora que voc j foi apresentado Razo, conhecer a sua parente, a Razo Inversa. Vamos l? Razo Inversa Duas razes so inversas quando: 1) o antecedente de uma razo for igual ao conseqente da outra e vice-versa; ou 2) o produto de uma razo pela outra for igual a 1. Exemplo 1.1.5: As razes 10 5 e 5 10 so inversas, pois o antecedente da primeira igual ao conseqente da segunda e vice-versa. Tambm podemos ver que so razes inversas por que 10 5 . 5 10 = = 50 50 1. Voc deve estar se perguntando, h algum tempo: Mas... E da? Por que estudar grandezas, a Razo importante? Siga adiante e voc vai compreender.

13. EaD 13 Matemtica aplicada administrao 1.1.2 Aplicaes de razo ESCALA Voc j ouviu falar em escala? Os desenhos de casas e mapas so feitos usando escalas. A escala uma razo entre a medida no desenho e a medida do objeto real. realmedida desenhonomedida Escala = Exemplo 1.1.6: A distncia entre as cidades A e B de aproximadamente 800 km e o mapa que mostra esta distncia corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada? (lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade). Soluo: Usando a definio de escala anterior temos: E= km cm 800 5,2 = cm cm 000.000.80 5,2 Aplicando a propriedade F1 das fraes, dividimos antecedente e conseqente por 2,5 e obtemos: E= cm cm 000.000.32 1 . Escrevendo na forma de razo, temos: E = 1: 32.000.000 (l-se 1 para 32.000.000) Exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifcio foi feita na escala de 1:100. A altura real do edifcio de 10 m. Qual a altura aproximada do edifcio na maquete? Soluo: A razo das grandezas da escala ( 100 1 ) igual razo entre as alturas do edifcio na maquete (D) e na construo real (10 m). Assim,

14. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 14 100 1 = m D 10 Empregando a propriedade F1, multiplicamos o numerador e o denominador da segunda razo por 10 e obtemos duas razes com denominadores iguais. 100 1 = 100 D10 1010 10D = Se os denominadores so iguais, ento os numeradores tambm sero iguais. Por- tanto: 10D = 1 D = 0,10m. Agora que voc conheceu (e entendeu) a primeira aplicao para a razo, vamos passar para outra aplicao: Velocidade. VELOCIDADE A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetria, a razo entre a distncia percorrida e o tempo. (h)tempo (km)distncia V = (Observe que neste caso as unidades das grandezas so diferentes). Exemplo 1.1.8: 150km/2h = 75km/h (as unidades km/h no podem ser simplificadas) TAXA As taxas so razes entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de 100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,... Dois exemplos desse tipo de taxa so a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros.

15. EaD 15 Matemtica aplicada administrao Exemplo 1.1.9: A taxa de variao (crescimento ou decrescimento) da populao de uma cidade, em um certo perodo, uma razo entre a variao do nmero de habitantes (P, delta P), pelo nmero de habitantes que moravam na cidade no incio do perodo considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000 habitantes no fim de 2008. Qual a taxa de crescimento da populao desta cidade, no perodo considerado? Soluo: A variao do nmero de habitantes P=86.000-80.000=6.000. A taxa de crescimento 075,0 80000 6000 P P t == = Isto significa que a populao aumentou 0,075 habitante para cada habitante residen- te em 2007. Esta taxa mais til quando associada populao de 100 habitantes. Multiplicando a taxa por 100, temos: t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porm, no tudo. Se voc percebeu a importncia de entender esse contedo, veja uma outra aplicao... TAXA DE JUROS A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo perodo, uma razo entre a varia- o do capital (C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado? Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda preciso apresentar voc aos ndices! 1.1.3 ndices So obtidos por meio da comparao entre duas grandezas independentes. Ou, em outras palavras: ndices so razes entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:

16. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 16 totalsuperfcie totalpopulao ademogrficDensidade = nonacional/apopulao nonacional/arenda capitaperRenda = Alm dessas aplicaes, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, tambm temos uma outra aplicao muito conhecida, que so os ndices econmicos. NDICES ECONMICOS populao produtodototalvalor capitaperProduo = Onde o valor total do produto o PIB (Produto Interno Bruto). populao pasumdebensdetotalconsumo capitaperConsumo = populao totalreceita capitaperReceita = Percebeu como importante o estudo dos ndices? Ainda precisamos, no entanto, citar os coeficientes. Veja por que na seqncia. COEFICIENTES So razes entre o nmero de ocorrncias e o nmero total. totalpopulao snascimentoden natalidadedeeCoeficient o = totalpopulao bitosden emortalidaddeeCoeficient o =

17. EaD 17 Matemtica aplicada administrao No so poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, no mesmo? A seguir voc ter exemplo comentado de como calcular uma razo, porm o que vimos at aqui servir de subsdio para voc resolver alguns exerccios que propomos no intuito de que tenha segurana de que aprendeu o que acabamos de ver. Exemplo 1.1.10 Determine a razo que igual a 5 3 e cujo antecedente seja igual a 9. Soluo: Das condies do problema podemos afirmar que 5 3 = x 9 . Observe que se multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade das fraes F1, multiplicamos tambm por 3 o conseqente e obtemos x= 15. Ento a nova razo 9/15. Exerccios 1.1. 1. Calcular as razes de: a) 5 e 15 d) 2 7 e 3 14 b) 64 e 4 e) 1,2 e 5 4 c) 3 2 e 6 f) 3,5 m e 0,7 dam 2. Determinar o antecedente e/ou conseqente das seguintes razes, sabendo que: a) o conseqente 10 e a razo 5 3 ; b) o antecedente 3 2 e a razo 14 12

18. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 18 3. A miniatura de um colgio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colgio de 20 m. Qual a altura aproximada da miniatura? 4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de suco foram feitos? Se voc realizou todos os clculos, poder conferir se as respostas esto corretos no final deste livro, mas no engane a si mesmo. S depois de ter se esforado para responder e achar o resultado que voc deve CONFERIR se est correto. Lembre-se: enganar a si mesmo uma grande bobagem e dominar esses contedos bsicos essencial para o seu progresso! Aps esta combinao, passaremos para o estudo da segunda seo desta Unidade: Proporo! Seo 1.2 Proporo Uma proporo a igualdade entre razes b a = d c Os nmeros que formam a proporo chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios. Exemplo: = 4 12 2 6 formam uma proporo. Essa proporo tambm pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e l-se 12 est para 4, assim como 6 est para 2.

19. EaD 19 Matemtica aplicada administrao Assim como as fraes, as propores tambm tm propriedades, as quais apresentaremos para voc e, da mesma forma, tambm utilizaremos PP1, PP2 para numer-las. PROPRIEDADES DAS PROPORES Propriedade fundamental: em toda proporo, o produto dos extremos igual ao produto dos meios. Na proporo d c b a = , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc. PP1) Em toda proporo, a soma ou diferena dos dois primeiros termos est para o primeiro (ou para o segundo), assim como a soma ou diferena dos dois ltimos est para o terceiro (ou quarto). No exemplo anterior: = 4 12 = 2 6 = 12 412 6 26 ou = 4 412 2 26 PP2) Em uma proporo, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) est para a soma do segundo com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro est para o quarto. Seja a proporo d c b a = . Usando a PP2, temos b a d c db ca == + + Deixamos para voc substituir as letras por nmeros e verificar se esta propriedade cor- reta! PP3) Em uma proporo, a troca de posies entre o primeiro e o quarto termos no altera a proporo. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro.

20. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 20 Seja a proporo d c b a = . Usando a PP3, temos d b c a a c b d == ou . Exemplo 1.2.1 Taxa percentual Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um nmero a sobre o nmero b, com b # 0, razo: 100 x tal que 100 x = b a (indica-se 100 x por x%) Voc deve lembrar que o smbolo % l-se por cento e significa centsimos. Qual a taxa percentual de 6 sobre 30? Soluo: Sendo x % a taxa percentual, temos pela definio que: 100 x = 30 6 Usando a propriedade fundamental, temos: x = 30 6100 = 20. Ento, a taxa percentual 20%. Alm de princpio fundamental e dos outros trs apresentados at aqui, tambm temos o princpio de igualdade que, por sua vez, tambm se subdivide em outros dois princpios, o aditivo e o multiplicativo. Princpios de Equivalncia de Igualdade IGUALDADE uma sentena matemtica em que as expresses matemticas esto li- gadas pelo sinal =. A expresso situada esquerda do sinal = denominada 1 membro da igualdade. A expresso situada direita do sinal = denominada 2 membro da igualdade.

21. EaD 21 Matemtica aplicada administrao Assim, vale lembrar que as equaes so igualdades. A soluo de uma equao consiste em obter o valor da incgnita (neste caso nos referimos incgnita da equao, que no sabemos qual ) usando os princpios da igualdade, expostos a seguir. Os princpios da igualdade so: 1) Princpio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo nmero aos dois membros e a igualdade permanece. Exemplo 1.2.2 resolver a equao: x + 10 = 5 Soluo: Aplicando o princpio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da equao, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. x + 10 + (-10) = -5 + (-10) Simplificando a equao equivalente, obtemos x = -15. 2) Princpio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros por um mesmo nmero no nulo, e a igualdade permanece. Exemplo 1.2.3 resolver as equaes: a) 5x = 25 b) -3x = 9 Soluo: a) Ainda usando o princpio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equao dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. 5x . 5 1 = 25 . 5 1

22. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 22 5 5x = 5 25 x = 5. b) Ainda usando o princpio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equao dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo. 3 3 x = 3 9 x = -3 Exemplo 1.2.4 determinar a e b na proporo 6 a = 3 b , sabendo-se que a sua soma 21. Soluo: Aplicando a propriedade PP2 das propores, temos 36 ba + + = 3 b Usando a condio do problema: a + b = 21, temos 9 21= 6 a = 3 b Usando a primeira igualdade, temos 9 21= 6 a Aplicando a propriedade fundamental das propores em cada uma das igualdades, temos: Na primeira igualdade: Na segunda igualdade: 21 6 =9 a 21 x 3 = 9 x b 126 = 9 a 63= 9b

23. EaD 23 Matemtica aplicada administrao 9 126 =a 9 63 = 9b a=14 b = 7 Exemplo 1.2.5 Dadas as razes 2 x = 5 y = 8 z encontre o valor de x, y e z, sabendo- se que x+y+z =150. Soluo: Aplicando a propriedade PP2 das propores, temos: 852 ++ ++ Zyx = 2 x = 5 y = 8 z . Usando a condio do problema, temos 15 150 = 2 x ; 15 150 = 5 y ; 15 150 = 8 z Aplicando a propriedade fundamental das propores: 150.2 = 15.x 150.5 = 15y 150.8 = 15z 300 = 15x 750 = 15y 1200 = 15z 15 300 = x 15 750 = y 15 1200 = z X=20 y= 50 z= 80 Exemplo 1.2.6 Dadas as razes = 2 x = 5 y 8 z calcule o valor de x, y e z sabendo-se que 5x+2y+3z=440. Soluo: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma, isto , 440, usando a propriedade F1 das fraes, multiplicaremos os termos da primeira razo por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos ento: = 10 5x = 10 2y 24 3z

24. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 24 Aplicando a propriedade PP2 das propores: = ++ ++ 241010 325 zyx = 10 5x = 10 2y 24 3z Substituindo o numerador da 1 igualdade, temos = 44 440 2 x = 44 440 5 Y = 44 440 8 Z Usando a propriedade fundamental das propores, nas trs equaes anteriores, obtemos: x = 20 ; y = 50 e z = 80. Chegou a vez de testar os seus conhecimentos! Exerccios 1.2.1 1. Escreva sob a forma de nmero decimal as seguintes porcentagens: a) 12% b) 140% 2. Calcule: a) 30% de 270 b) 0,7% de 4.900 3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% 50%).

25. EaD 25 Matemtica aplicada administrao Considerando que voc j fez todos os exerccios, ainda queremos retomar o tema da seo 1.1 que trata de grandezas e pens-las com base nas propores, tema desta seo 1.2. Grandezas diretamente proporcionais Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra tambm aumenta na mesma proporo, ou diminuindo uma delas, a outra tambm diminui na mesma proporo. Se duas grandezas a e b so diretamente proporcionais, ento os nmeros que expressam essas grandezas variam na mesma razo, isto b a =k , onde k um nmero chamado constante de proporcionalidade. Exemplo 1.2.7 Os nmeros 3, 4 e 6, respectivamente, so diretamente proporcionais a 12,16, 24. Qual a constante de proporcionalidade ? Soluo: Se os nmeros dados so diretamente proporcionais, significa que a razo entre eles a mesma. 12 3 = 16 4 = 24 6 Usando a propriedade F1 das fraes fcil mostrar que podemos reduzir todas essas razes a . Assim, k = 4 1 a constante de proporcionalidade. Exemplo 1.2.8 A soma das idades de Carlos e Jair 36 anos. Sabe-se que elas esto na razo de 2 para 10. Qual a idade de cada um? Soluo: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporo sugerida no problema, temos

26. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 26 J C = 10 2 Observe que J C = 10 2 pode ser escrito 2 C = 10 J aplicando a propriedade PP3 das propores. Usando a propriedade PP2, temos: 102 + + JC = 12 36 = 2 C = 10 J Usando a propriedade fundamental das propores, na segunda igualdade, obtemos C=6. Usando a propriedade fundamental das propores, na proporo entre a segunda e a terceira razo, obtemos J=30. Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos. Ateno: Uma maneira de conferirmos se as respostas esto corretas verificar se o produto dos meios igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na proporo do problema. 30 6 = 10 2 Observe que 6 10 = 30 2. Exemplo 1.2.9 Dividir o nmero 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 6. Soluo: Do problema, podemos concluir que a+b+c=55 e 2 a = 3 b = 6 c . Usando a propriedade PP2 e a equao do problema, temos:

27. EaD 27 Matemtica aplicada administrao 632 ++ ++ cba = 11 55 = 2 a = 3 b = 6 c Da segunda proporo, temos: 11 55 = 2 a e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10. Da igualdade da 2 e 4 razo, temos: 11 55 = 3 b e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15. Da igualdade da 2 e 5 razo, temos: 11 55 = 6 c e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30. Verificao: 2 10 = 3 15 = 6 30 (todos os quocientes so igual a 5 ) Grandezas inversamente proporcionais: Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporo, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporo. Se duas grandezas a e b so inversamente proporcionais, os nmeros que expressam essas grandezas variam na razo inversa, isto , existe uma constante k, tal que a b = k. Exemplo 1.2.10 Os nmeros 2, 4, 5 so inversamente proporcionais a 20, 10 e 8. Qual a constante de proporcionalidade k?

28. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 28 Soluo: voc deve observar que a seqncia de nmeros 2, 4, 5 crescente e a seqncia de nmeros 20, 10 e 8 decrescente. Se os nmeros dados so inversamente proporcionais, ento as razes entre eles so iguais. 20 2 = 10 4 = 8 5 . A constante de proporcionalidade 40. Observe que 2 20 = 40, 4 10 = 40 e 5 8 = 40. Exemplo 1.2.11 Dividir o nmero 174 em partes inversamente proporcionais aos nmeros 3, 5 e 9. Soluo: Sejam x, y e z essas partes, ento x+y+z = 174 e 3/1 x = 5/1 y = 9/1 z Usando a PP2 e a equao do problema, temos: 3/1 x = 5/1 y = 9/1 z = 9/15/13/1 ++ ++ zyx = 45/29 174 (Lembre-se: adio de fraes + 3 1 + 5 1 9 1 = 45 5915 ++ = 45 29 ). A ltima razo pode ser escrita da seguinte forma: 29 45174 = 29 7830 = 270 Construindo propores com a 1 , 2 , 3 e 5 razo e resolvendo-as para x, y e z, obtemos: x= 90 ; y= 54 e z=30.

29. EaD 29 Matemtica aplicada administrao Para que voc possa perceber a aplicao do que estudamos, apresentamos um problema que envolve operaes com propores inversas. Exemplo 1.2.12 Dividir entre trs alunos 31 livros em partes inversamente proporcionais aos erros que tiveram na prova de Matemtica Financeira. O aluno A teve 2 erros, o aluno B , 3 erros e o aluno C, 5 erros. Soluo: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus valores, ou seja : O inverso de 2 , de 3 1/3e de 5 1/5. Considerando a, b e c o nmero de livros recebidos por cada aluno, temos: a + b + c = 31 e 5/1 c 3/1 b 2/1 a == Usando a PP2, temos: 5/1 c 3/1 b 2/1 a 1 30 30/31 31 5/13/12/1 cba ===== ++ ++ Aplicando a propriedade fundamental das propores formadas pelas razes 3 e 4, 3 e 5 e 3 e 6, obtemos, respectivamente: a = 15; b = 10 e c = 6. Note que medida que voc avana no estudo desta unidade, mais voc precisa do que estudou no princpio dela. Dessa forma, no siga adiante se tem dvidas. Leia o material nova- mente, refaa os clculos e, somente depois, siga adiante! Seo 1.3 Regra-de-trs Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente proporcional s demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-trs.

30. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 30 Regra-de-trs simples: A regra-de-trs simples direta ou inversa. direta quando, crescendo os termos principais, seus relativos tambm crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos tambm diminuem. Exemplo 1.3.1 Um operrio levou 18 dias para construir um muro de 126 metros. Quantos dias levar para fazer outro muro igual com 252 metros? Soluo: As quantidades 126 e 252 metros so as principais, 18 o nmero de dias que pretendemos calcular, so os relativos. Se um operrio levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levar mais dias para fazer outro de 252 metros. Trata-se de uma regra-de-trs simples e direta. Metros Dias 126 18 252 x Escrevendo em forma de proporo: = 252 126 x 18 Aplicando a propriedade fundamental das propores: 126 x = 252 18 x = 126 18252 x = 36 dias. A regra-de-trs inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos diminuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem.

31. EaD 31 Matemtica aplicada administrao Exemplo 1.3.2 15 operrios levam 8 dias para realizar um determinado trabalho. Quantos dias levaro 5 operrios para a concluso do mesmo servio? Soluo: Colocando na forma da regra-de-trs, temos: Operrios Dias 15 8 5 x O nmero de operrios, porm, inversamente proporcional ao nmero de dias: diminuindo o nmero de operrios, aumenta o nmero de dias. Para usar a propriedade fundamental das propores, precisamos inverter a segunda razo: = 5 15 8 x Usando a propriedade fundamental, temos 5x = 8 15 x = 5 158 x = 24 dias. Lembre-se: a soluo de um problema de regra-de-trs simples, direta ou inversa, resume-se em calcular o quarto termo de uma proporo. Regra-de-trs composta: aquela que para resoluo de seus problemas envolve trs ou mais grandezas, sendo estas diretas ou inversamente proporcionais. Para resolv-los: a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espcie.

32. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 32 b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais. c) Escreve-se a proporo correspondente e resolve-se. Exemplo 1.3.3 Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros de parede faro 50 pedreiros em 45 dias? Soluo: Disposio dos dados: 30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros. 50 pedreiros em 45 dias fazem x metros. Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede sero feitos. Da mesma forma, quanto mais tempo, mais metros de parede sero feitos. Assim sendo, as duas primeiras grandezas so diretamente proporcionais terceira. Reduzindo o problema a uma regra-de-trs simples, fazemos: x 528 2250 120 4550 4030 == Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-trs simples, temos: x = 990 m. Exemplo 1.3.4 Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros faro a mesma obra, trabalhando 13 horas por dia. Soluo: Disposio dos dados:

33. EaD 33 Matemtica aplicada administrao 12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias. 8 pedreiros a 13 horas gastam x dias. Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS dias sero necessrios. Da mesma forma, quanto MAIS horas por dia trabalharem, MENOS dias sero necessrios. Ento, as duas primeiras grandezas so inversamente proporcionais terceira. Reduzindo o problema a uma regra-de-trs simples, fazemos: x 26 104 144 138 1212 == Invertendo a posio da ltima razo, temos 26 x 104 144 = Usando a propriedade fundamental das propores, temos: x= 104 26144 = 36 dias. Exerccios 1.3. 1) Uma fbrica de roupas produz 100 camisas em 1 hora de trabalho. Quantas camisas a fbrica produzir em 3 horas? 2) Quinze operrios constroem uma casa em 120 dias. Caso a obra fosse construda com mais 5 operrios, qual seria o tempo necessrio? 3) Um certo trabalho feito por 50 homens, trabalhando 14 horas por dia, em 60 dias. Quantos homens seriam necessrios para fazer o mesmo trabalho, em 100 dias, trabalhando 12 horas por dia? 4) Durante 10 dias um automvel percorre 800 km andando 8 horas por dia. Quantos quilme- tros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 10 horas por dia, durante 6 dias?

34. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 34 5) Para construir 25 armazns de soja so necessrios 60 homens, trabalhando 10 horas por dia. Se 14 homens so dispensados, quantos armazns faro trabalhando 12 horas por dia? Concluda a seo 1.3, estamos prontos para iniciar a penltima seo desta Unidade, a seo 1.4. Seo 1.4 Porcentagem Definio : Chama-se percentagem ou taxa percentual de um nmero a razo de a sobre um nmero b, desde que 0b , tal que b a 100 x = Em outras palavras, a porcentagem uma razo cujo conseqente igual a 100. Quando nos referimos a 20% de certo valor, queremos dizer que de cada 100 partes, estamos nos referindo a 20 partes deste valor. Um modo prtico de calcular porcentagens usar a multiplicao pelas razes percentuais. Veja o exemplo. Exemplo 1.4.1 Calcule 10% de 800. Soluo: Multiplicamos o inteiro (800) pela razo porcentual 100 10 . 100 10 800 = 80. Ateno: voc tambm poder se deparar com outros nomes usados para a razo percentual que podem ser: razo centesimal ou percentil.

35. EaD 35 Matemtica aplicada administrao Taxa percentual Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o conseqente 100 for substitudo pelo smbolo %. Exemplo: 10% 100 10 = Porcentagem Seja uma razo n m , chamamos de porcentagem o valor n a todo valor m, desde que este estabelea uma proporo com uma razo centesimal. = n m 100 r = x % Como podemos resolver? 1. Multiplica-se a razo centesimal por n: 100 r nm = 2. Por regra-de-trs: Valores Taxas m r % n 100 % Porcentagem sobre o custo Quando a porcentagem calculada sobre o preo de custo da mercadoria, Com lucro, o custo 100% e a venda representa o custo mais o lucro. V = C + L

36. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 36 Exemplo 1.4.2 Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e quero vender com um lucro de 50%. Qual o valor da venda? Soluo: Usando a equao anterior, temos: V= 100% + 50% Construindo uma regra-de-trs 5.000,00 100% V 150% Venda = 100 15000,000.5 Venda = R$ 7.500,00 Quando a porcentagem calculada sobre o preo de custo da mercadoria, Com prejuzo, o custo 100% e a venda representa o custo menos o prejuzo. V = C P Exemplo 1.4.3 Comprei certa mercadoria por R$ 2.000,00 e depois a vendi com um prejuzo de 10%. Qual o valor da venda? Soluo: Usando a equao anterior, temos: V = 100% 10% . Construindo uma regra-de-trs: 2.000,00 100% V 90% Venda = R$ 1.800,00.

37. EaD 37 Matemtica aplicada administrao Porcentagem sobre o preo de venda Quando a porcentagem calculada sobre o preo de venda da mercadoria, com lucro, a venda 100% e o custo representa a venda menos o lucro. (Como o valor da venda maior, ento a venda representa 100% e o custo menos que 100%) C = V L Exemplo 1.4.4 Comprei certa mercadoria por R$ 3.000,00 e quero vend-Ia com um lucro de 20% sobre preo de venda. Qual o valor da venda? Soluo: Usando a equao anterior, temos: C = 100 20 = 80% 3.000,00 80% V 100% V = $ 3.750,00. Quando a porcentagem calculada sobre o preo de venda da mercadoria, Com prejuzo, a venda 100% e o custo representa a venda mais o prejuzo. (Como o valor da venda menor por ser vendida com prejuzo, ento: a venda representa 100% e o custo mais que 100%) C = V + P Exemplo 1.4.5 Comprei certa mercadoria por R$ 4.000,00 e ela foi vendida com um prejuzo de 20% sobre o preo de venda. Qual o valor da venda?

38. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 38 Soluo: Usando a equao anterior, temos: C = 100 + 20 = 120% 4.000,00 120% V 100% Venda = R$ 3.333,33. Exerccio 1.4 1)Certa mercadoria foi vendida por R$ 5.300,00 com um lucro de 18%. Qual o preo de custo desta mercadoria? 2)Uma pessoa vendeu uma mercadoria que havia custado R$ 1.500,00 com um lucro de 10% sobre o preo de venda. Qual o valor da venda desta mercadoria? 3)Um produto vendido com um lucro bruto de 40%. Sabe-se que sobre o preo vendido, ou seja, sobre o valor da nota, 21% correspondem a despesas. Sendo assim qual o lucro lquido que o comerciante obtm ao vender esta mercadoria? 4)O Sr. Joo Maria comprou uma mercadoria por R$ 650,00; 2 meses aps a compra vendeu esta mesma mercadoria por R$ 505,00. Qual o percentual do prejuzo que o Sr. Joo Maria teve se for tomado por base o preo de venda? 5)O prejuzo na venda de uma mercadoria 15% sobre o preo de custo, se esta mercadoria foi vendida por R$ 320,00. Determine o valor do prejuzo e o preo de custo desta mercadoria. Chegamos ltima seo desta Unidade, e voc ver que como em todas as outras, ela tratar de questes do dia-a-dia, principalmente para aqueles que, como voc, se preparam para integrar uma empresa.

39. EaD 39 Matemtica aplicada administrao Seo 1.5 Regra de sociedade Os problemas de diviso proporcional, numa empresa, que envolvem a diviso dos lucros, prejuzos, gratificaes, participaes de lucros e bonificaes, em geral recebem o nome de regra de sociedade. Regra de sociedade, portanto, uma aplicao da diviso em partes diretamente proporcionais. Podemos destacar trs casos: 1) Tempos iguais e capitais diferentes: divide-se o lucro ou o prejuzo da sociedade proporcionalmente aos capitais dos scios. Exemplo 1.5.1 Trs pessoas constituem uma sociedade com os capitais de R$ 5.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 35.000,00 respectivamente. No fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de R$ 220.000,00. Quanto coube a cada scio? Soluo: Sejam A, B e C as partes que cada scio receber. Sabemos que A+B+C= 220.000,00 e = 000.25 A = 000.50 B 000.35 C Aplicando a propriedade PP2 das propores: = 000.25 A = 000.50 B 000.35 C = 000.35000.50000.25 ++ ++ CBA = = 000.110 000.220 2 Aplicando a propriedade fundamental das propores nas igualdades construdas com a 1 e 6 , 2 e 6 e 3 e 6 razo, respectivamente, obtemos:

40. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 40 A = 25.000 X 2 = 50.000 B = 50.000 X 2 = 100.000 C = 35.000 X 2 = 70.000 Cada scio recebeu, respectivamente, R$ 50.000,00; R$ 100.000,00; R$ 70.000,00. 2) Capitais iguais e tempos diferentes: divide-se o lucro ou o prejuzo da sociedade proporcionalmente aos tempos de permanncia dos scios. Exemplo 1.5.2 Trs pessoas formam uma sociedade, permanecendo o primeiro scio durante 6 meses, o segundo 10 meses e o terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00? Soluo: Sejam A, B e C as partes que cada scio receber. Sabemos que A + B + C = 8.400 e, alm disso, = 6 A = 10 B 12 C . Aplicando a propriedade PP2 das propores: = 6 A = 10 B 12 C = 12106 ++ ++ CBA = = 28 8400 300 Aplicando a propriedade fundamental das propores nas propores construdas com a 1 e 6 , 2 e 6 e 3 e 6 razo, respectivamente, obtemos: A = 6.300 = 1.800 B = 10.300 = 3.000 C = 12.300 = 3.600 Cada scio recebeu, respectivamente, R$ 1.800,00; R$ 3.000,00; R$ 3.600,00.

41. EaD 41 Matemtica aplicada administrao 3) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuzo da sociedade proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada scio. Exemplo 1.5.3 Constituiu-se uma sociedade formada por trs scios, 1, 2 e 3: o 1 entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses, o 2 entrou com um capital de R$ 70.000,00 e nela permaneceu por 40 meses e o 3 entrou com um capital de R$ 50.000,00 e nela permaneceu por 35 meses. Se o resultado (que pode se um lucro ou um prejuzo) da empresa, aps certo perodo posterior, foi de R$ 50.000,00, quanto dever receber (ou pagar) cada scio? Soluo: Sejam A, B e C as partes que cada scio receber, correspondentes ao 1 , 2 e 3 scios, respectivamente. O produto capital por tempo de cada scio : 1 = 60.000 30 = 1.800.000 2 = 70.000 40 = 2.800.000 3 = 50.000 35 = 1.750.000 Sabemos que A + B + C = 50.000 e que = 000.800.1 A = 000.800.2 B 000.750.1 C Aplicando a propriedade PP2 das propores: = 000.800.1 A = 000.800.2 B 000.750.1 C = = ++ 000.350.6 CBA = 000.350.6 000.50 = 635 5 127 1 Aplicando a propriedade fundamental das propores nas propores construdas com a 1 e 7 , 2 e 7 e 3 e 7 razo, respectivamente, obtemos as partes A, B e C. A= 127 1 (1.800.000) = = 127 000.800.1 14.173.228 B= 127 1 (2.800.000) = = 127 000.800.2 22.047.244

42. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 42 C= 127 1 (1.750.000) = = 127 000.750.1 13.779.527 Ateno: Como j comentamos anteriormente, esta Unidade fundamental e d sustentao a vrias outras operaes que voc executar ao longo de todo o curso. Assim sendo, somente siga adiante depois de ter certeza de que domina os conceitos apresentados aqui: grandezas, proporo, regra-de-trs, porcentagem e regra de sociedade!

43. EaD 43 Matemtica aplicada administrao FUNES Nesta segunda Unidade nossos objetivos so: 1. Desenvolver o conceito de funo associado a assuntos simples do cotidiano e a conceitos da economia. 2. Desenvolver a prtica do uso da notao de intervalos e funo. 3. Analisar funes relacionando os parmetros com o significado grfico. 4. Aplicar o conceito e as propriedades das funes para resolver problemas simples de interesse da Economia e Administrao. E, para que possamos alcanar os objetivos a que nos propusemos, faremos o seguinte percurso: Seo 2.1 Intervalos e conjuntos numricos Seo 2.2 Definio, expresso matemtica e grfico de funes Seo 2.3 Equao da reta Seo 2.4 Funes quadrticas Seo 2.5 Funes exponenciais e logaritmos Antes de passar para a primeira seo, salientamos que nesta Unidade vamos estudar as funes matemticas mais utilizadas nas reas da Administrao e Economia. Vamos aprender a expressar matematicamente uma srie de situaes econmicas, como o custo de produtos, valor do montante em investimentos de diferentes tipos, funes de procura e demanda, clculo da prestao de financiamentos, alm de outras situaes. Unidade 2

44. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 44 Seo 2.1 Intervalos e conjuntos numricos As variveis utilizadas em aplicaes da Matemtica na Administrao podem ser discretas ou contnuas. O nmero de funcionrios de uma empresa, de carros, de pizzas, de sapatos, de casas, ..., produzidos ou vendidos, so variveis inteiras, que chamamos discretas. No trabalhamos com meio funcionrio, ou meio carro. O tempo, os valores monetrios, o nmero de toneladas (massa) de arroz, soja, feijo, ... so variveis fracionrias que chamamos contnuas. Trabalhamos com meia hora, com meio dlar, etc. Para entendermos as expresses matemticas dessas variveis com clareza e preciso, precisamos conhecer os smbolos usados e as defini- es dos conjuntos numricos. Eles podem ser nmeros a) naturais, b) inteiros, c) racionais, d) irracionais e e) reais! Conjunto dos Nmeros Naturais (N) Os nmeros naturais esto associados quantificao de objetos simples: 1 lpis, 5 mas, 12 parafusos, etc. So nmeros inteiros, sem sinais. Matematicamente, podemos escrever os nmeros naturais da seguinte forma: N={0,1,2,3,4,5,6,...} Onde N a letra associada ao nome do conjunto dos nmeros naturais. O conjunto dos nmeros naturais infinito e representado uma reta numerada da seguinte forma: Os intervalos no conjunto dos nmeros naturais so escritos usando os smbolos > maior < menor

45. EaD 45 Matemtica aplicada administrao maior ou igual e menor ou igual. Veja os exemplos: 1) A={x N / x > 2} L-se: x pertence aos Naturais, tal que x maior do que 2. Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: A={3,4,5,6,7,...} Mostrando esse conjunto na reta dos nmeros naturais, colocamos bolinhas pretas para os elementos do conjunto A e brancas para os elementos que no pertencem a A. 2) B={x N / 1< x 0.

73. EaD 73 Matemtica aplicada administrao 2) Dois valores iguais de x: x1 = x2 (significa somente um ponto). Isto ocorre quando B2 4AC = 0. 3) Nenhum valor real de x: Isto ocorre quando B2 4AC < 0. Exemplo 2.4.1: Dada a funo y = x2 4x + 3, encontre suas razes e faa um esboo do grfico. Soluo: Fazendo y = 0 na equao dada, temos: 0 = x2 4x + 3. (2.4.5) Usando a Eq (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 3, obtemos: 2 24 12 314)4()4( x 2 2,1 = = x1 = 3 e x2 = 1 . Assim, x1 = 3 e x2 = 1 so as razes da funo dada. Isto significa que essa fun- o passa pelo eixo X, nos pontos (1,0) e (3,0). O leitor pode verificar isto na Figura 2.4.2 . -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 X Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 X Y Figura 2.4.2: Exemplo 2.4.1 Posio das razes Figura 2.4.3: Exemplo 2.4.2 Posio da raiz

74. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 74 Exemplo 2.4.2: Dada a funo y = x2 4x + 4, encontre as razes da funo e faa um esboo do grfico. Soluo: Fazendo y = 0 na equao dada, temos: 0 = x2 4x + 4. (2.4.6) Usando a equao (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 4, obtemos: 2 2 04 12 0)4( 12 414)4()4( x 2 2,1 = = = = x1 = x2 = 2 . Nesse caso, dizemos que temos duas razes iguais x1 = x2 = 2 . Isto significa que essa funo apenas encosta no eixo X, no ponto (2,0). O leitor pode verificar isto na Fig. 2.4.3. Exemplo 2.4.3: Dada a funo y = x2 4x +5, encontre as razes da funo e faa um esboo do grfico. Soluo: Fazendo y = 0 na equao dada, temos: 0 = x2 4x + 5. (2.4.7) Usando a equao (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 5, obtemos: ? 2 ? 12 4)4( 12 514)4()4( x 2 2,1 == = = Nesse caso, temos a raiz de um nmero negativo 4 , que no um nmero real. Por isso, dizemos que a equao (2.4.7) no tem razes reais, e conseqentemente no passa pelo eixo X. O leitor pode verificar isto na Fig. 2.4.5.

75. EaD 75 Matemtica aplicada administrao 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 X Y Figura 2.4.5: Ex.2.4.3 Parbola sem razes reais Vamos exercitar o que aprendemos nesta seo? Exerccios 2.4.1 1. Encontre as razes das funes (se existirem) e faa um esboo do grfico: a) y = x2 2x 3 d) y = x2 x +1 b) y = -x2 -2x + 3 e) y = -x2 +6x 9 c) y = x2 4x 5 f) y = x2 -2x + 3 2. Analise a concavidade das funes do Ex.1. Ateno: no siga adiante se voc no fez os exerccios anteriores. Lembre-se de que cada item estudado pr-requisito para seguir adiante e compreender o contedo.

76. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 76 O vrtice da parbola O vrtice de uma funo quadrtica o ponto onde a funo tem um valor mximo ou mnimo. A deduo das frmulas das coordenadas do vrtice podem ser encontradas na Uni- dade 3. Neste estgio de nosso estudo vamos apenas us-las. Retomando a Eq. (2.4.2), temos y(x) =Ax2 + Bx + C. A coordenada x do vrtice dada pela frmula: A2 B xv = (2.4.8) A coordenada y do vrtice dada pelas frmulas: CBxAxy v 2 vv ++= ou (2.4.9) A4 BAC4 y 2 v = (2.4.10) Exemplo 2.4.4: O custo marginal de um produto a variao do custo de produo, medida que mais uma unidade produzida. Suponhamos que a funo CM(x) = 0,0369 x2 0,83x + 4,87 d o custo marginal da fabricao de um determinado produto at 20 unidades. A Figura 2.4.4 mostra o grfico desta funo. O leitor pode observar que existe um custo marginal mnimo prximo de 10, 11 ou 12 unidades. Para determinar com preciso o vrtice da parbola vamos usar as Eqs. 2.4.8 e 2.4.9. 24,11 0369,02 83,0 xv = = 20,087,424,1183,024,110369,0y 2 v =+= O vrtice exato da parbola V=(11,24, 0,20), no entanto no existem unidades fracionrias do produto. Por isso, procuramos um valor de x mais prximo. Nesse caso, x = 11 unidades. Esses resultados significam que para 11 unidades o custo marginal mnimo e com valor de R$ 0,20 . O leitor pode ver isso na Figura 2.4.4.

77. EaD 77 Matemtica aplicada administrao Figura 2.4.4: Vrtice da parbola Perceba que buscamos trabalhar com exemplos concretos para que voc possa perceber a importncia deste componente curricular para a sua formao e desempenho da atividade que escolheu para si: a de administrador! Exerccios 2.4.2 1. Dadas as funes quadrticas, calcule o vrtice e faa um esboo do grfico. a) y = x2 4x 3 c) y = -3x2 6 x +4 b) y =-2 x2 +2x 5 d) y = 3x2 6x + 5 2. A funo custo marginal de um produto CM(x) = 0,03 x2 x + 10 . a) Essa funo tem razes reais? b) Calcule o custo marginal mnimo.

78. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 78 Funes Polinomiais Existem funes polinomiais de ordem (grau) maiores do que dois. Uma funo polinomial de grau n pode ser escrita na seguinte forma: Pn (x) = an xn + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao . Para os objetivos deste livro, vamos restringir nosso estudo s funes polinomiais de grau menor ou igual a 3. Voc deve ter observado que j estudamos os grficos e razes das funes de 1 e 2 Graus. Vamos analisar agora uma funo importante para a economia, que geralmente um polinmio de 3 Grau. Funo Custo de Produo: O custo para gerar um produto uma funo da quantidade de unidades produzidas. Para pequenas quantidades (como as pizzas da Dona Maria) a dependncia pode ser linear, mas medida que aumentamos o nmero de unidades produzidas a dependncia torna-se no-linear. Geralmente usamos funes polinomiais de 3o Grau para descrever as funes custo: C(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + ao onde C o custo (em unidades monetrias) x o nmero de unidades produzidas e a3 , a2 , a1 e ao so parmetros (nmeros reais). Exemplo 2.4.5:: A funo C(x) = 0,0123 x3 -0,415x2 + 4,8727x uma funo polinomial de 3o Grau e fornece o custo de produo de um determinado produto at 20 unidades. O leitor pode observar no grfico que se trata de uma funo no-linear, ou seja, o custo de produo no diretamente proporcional ao nmero de unidades produzidas. Esse custo aumenta de forma diferente para cada unidade a mais fabricada.

79. EaD 79 Matemtica aplicada administrao 0 5 10 15 20 25 30 35 0 5 10 15 20 X (unidades) Custo($) Figura 2.4.5: Custo de produo polinomial Vamos estudar as tcnicas especficas para analisar estas funes na Unidade 3, que abor- dar o tema Taxas de variao e derivadas. Seo 2.5 Funes Exponenciais e Logaritmos O trabalho de aplicao de funes exponenciais depende do conhecimento das propriedades das potncias. Propriedades das potncias (PP) Nas propriedades a seguir as constantes a e b so nmeros reais positivos diferentes de 1 e as letras m e n so constantes ou variveis reais quaisquer. Em linguagem matemtica escrevemos: a e b R , tal que a > 0, b > 0 e a 1 e b 1; e m e n R

80. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 80 PP1) bm bn = bm+n (produto de potncias de mesma base) PP2) m m b 1 b = (expoente negativo) PP3) bm bn = bm-n (quociente de potncias de mesma base) PP4) nmnm b)b( = (potncia de potncia) PP5) am bm = (ab)m (produto de potncias com expoentes iguais) PP6) m m m b a b a = (quociente de potncias com expoentes iguais) PP7) i/ei e aa = (raiz e expoente fracionrio) PP8) Se am = an ento m = n. OBSERVAES 1. Usaremos as letras PP com referncia s propriedades das potncias. 2. Voc deve lembrar sempre de consultar estas propriedades para operar com potncias. Exemplo 2.5.1 Resolva as potncias usando as propriedades. a) = 1 2 1 b) = 23 216 Soluo: (a) Usando a PP2: .2 2 1 1 2 1 1 1 = = (b) Sabendo que 16 = 24 , temos: .22 23 4 Usando a PP7 e em seguida a PP1, temos; 3/1023/4 222 = .

81. EaD 81 Matemtica aplicada administrao Exerccios 2.5.1 1. Resolva as potncias usando as propriedades. a) 23 22 = f) 43 48 = b) 32 34 35 = g) 41/2 = c) = 4 3 2 2 h) 23 32 )2( )4( = d) = 52 43 33 33 i) = 2 3 3 2 4 2 e) =32 )5( j) 24 216 = 2. Use sua calculadora para resolver: a) 23/2 c) 20.5 e) 31,5 b) 5 d) 3 5 f) 3 25 Funes exponenciais A Funo Exponencial expressa uma srie de fenmenos da cincia (crescimento populacional, reaes qumicas, desintegrao radioativa) e particularmente nas Cincias Econmicas expressa aplicaes ou financiamentos com capitalizao. Inicialmente vamos aprender como o crescimento exponencial, suas caractersticas e a lgebra envolvida, para depois fazer aplicaes em problemas de economia. As funes exponenciais tm a forma y = bax (2.5.1)

82. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 82 onde y a varivel dependente, x a varivel independente, a e b so nmeros reais (constantes), sendo que b > 0 e b 1 . Se a base b o nmero de Euler e = 2,718281828... chamamos a funo de exponencial natural e escrevemos: y = eax (2.5.2) O leitor deve observar a diferena entre as funes polinomiais e as exponenciais. As funes polinomiais tm a varivel na base e o expoente constante: Por exemplo: y = x2 . As funes exponenciais tm a varivel no expoente e a base constante: Por exemplo: y = 2x . Exemplo 2.5.2 Qual das funes a seguir cresce mais? y = x2 ou y = 2x Soluo: Vamos fazer tabelas de valores de x e y para as duas funes, inserir esses valores no grfico e comparar. x x2 2x 0 0 1 1 1 2 2 4 4 3 9 8 4 16 16 5 25 32 6 36 64 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 X Y potncia exponencial O leitor deve observar que as funes so diferentes. Apresentam valores prximos at x = 4, mas para x > 4 a exponencial cresce mais que a polinomial.

83. EaD 83 Matemtica aplicada administrao Exemplo 2.5.3 Vamos fazer uma tabela e um esboo do grfico das funes: y = 2x e y=2-x . Soluo: Observe que estimando valores para x e calculando os valores de y de acordo com as funes dadas, obtemos os dados da tabela e com eles, podemos fazer o grfico. x y=2x y=2-x -4 0,0625 16 -3 0,125 8 -2 0,25 4 -1 0,5 2 0 1 1 1 2 0,5 2 4 0,25 3 8 0,125 4 16 0,0625 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X Y Y=2^(-X) Y=2^X Exerccios 2.5.2 1. Faa uma tabela e um grfico das funes dadas (use o mesmo plano cartesiano) a) y = 4x c) y = 3x e) y = 2-3x b) y = 5x d) y = 6x f) y = 2-2x 2. Compare as funes exponenciais de (a) a (d) do Ex.1. Qual delas cresce mais? 3. Compare as funes exponenciais de (a) a (d) com as funes (e) e (f) do Ex.1. O que voc pode afirmar sobre a influncia do sinal do expoente no comportamento de crescimento/decrescimento das funes exponenciais? Explique sua resposta. 4. Faa os grficos das funes a seguir em uma planilha eletrnica: a) y = 5.2x b) y = 5.ex

84. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 84 Equaes exponenciais As equaes exponenciais so igualdades entre expresses, onde a varivel est no expoente. A soluo destas equaes obtida empregando as propriedades das potncias. Exemplo 2.5.4 Resolver a equao exponencial: 4 2x = 16 Soluo: Para usar a propriedade PP8 precisamos antes igualar as bases dos dois lados da igualdade. Nesse caso, dividindo ambos os lados da equao por 4, obtemos: 2x = 4 2x = 22 . Usando a propriedade PP8, temos: x = 2. Exemplo 2.5.5 A depreciao de um imvel pode ser dada pela funo V = Vo 2-bt , (2.5.3) onde V o valor do imvel, Vo o valor do imvel novo, b um nmero real e t o tempo, em anos. Sendo Vo = R$ 110.000,00 e b = 0,2 : a) Calcule o valor do imvel depois de 10 anos. b) Em quanto tempo o valor do imvel atingir a metade do seu valor inicial Vo ? c) Segundo esse modelo, o preo do imvel pode ser nulo? Soluo (a) Substituindo os dados de Vo = R$ 110.000,00 , b = 0,2, e t=10 anos na Eq. 2.5.3, temos:

85. EaD 85 Matemtica aplicada administrao V = R$ 110.000 2-0,2 10 V = R$ 27.500,00 (b) Usando V = Vo /2 e b = 0,2 na Eq. 2.5.3, temos Vo /2 = Vo 2-0,2 t Dividindo ambos os lados da equao por Vo , temos: = 2-0,2 t Usando a propriedade PP2, temos: 2-1 = 2-0,2 t Como as bases de ambos os lados so iguais, usando a propriedade PP8, temos: -1 = -0,2t t = 5 anos. (c) Se o leitor colocar valores de t cada vez maiores (fazer t tender a infinito) na Eq. 2.5.3 observar que o valor do imvel tender a zero. Assim, s para t= o preo do imvel ser nulo, no entanto. Para efeitos prticos, observe que para t = 50 anos, V = R$ 107,42, o que corresponde a 0,097 do valor inicial. Exerccios 2.5.3 1. Resolva as equaes exponenciais: a) 2x = 8 c) 3x = 1/729 b) 3x+1 = 27 d) 16025 4 x =

86. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 86 2. A depreciao de um carro pode ser dada pela Eq. 2.5.3. a) Elabore uma frmula para calcular o tempo em que o carro ter a metade do seu valor inicial Vo . b) Sabendo que b = 0,23, determine o tempo para o valor do carro atingir Vo . Exemplo 2.5.3 Populao de ratos As populaes de insetos, ratos, microorganismos e tambm de humanos cresce exponencialmente, sob determinadas condies. Analisemos o crescimento de uma populao de ratos. Consideremos a gerao zero, composta apenas pelo rato-pai, portanto 1 indivduo. Considerando que cada indivduo tenha, na sua existncia, apenas 3 filhos, o nmero de ratos-filhos da primeira gerao ser 3. Na segunda gerao ser 3 vezes, 3 que d 9, na terceira 333 = 27, e assim por diante. A coluna 2 da Tabela 2.5.1 mostra as geraes e a populao de ratos para esse caso. Como os ratos s comem e fazem filhos, se no morrer nenhum dos bichinhos, para a gerao n podemos dizer que a populao de ratos 3n ratos. Confira na Tabela 2.5.1. Se cada pai tiver 4 filhos, a populao de ratos cresce muito mais rapidamente do que com 3. Veja a comparao na Tab. 2.5.1 e na Fig. 2.5.1. Se a populao humana cresce exponencialmente, pense um pouco mais antes de fazer 4 filhos ! Tabela 2.5.1: Populao de ratos Gerao Populao 3 filhos por pai 4 filhos por pai 0 1 1 1 3 4 2 9 16 3 27 64 4 81 256 ... ... ... n 3n 4n 0 50 100 150 200 250 300 0 1 2 3 4 Geraes Populao(indivduo) P3 P4 Figura 2.5.1: Populao de ratos

87. EaD 87 Matemtica aplicada administrao Observe que nesse modelo o nmero de ratos da gerao posterior (P(n+1) ) calculado multiplicando por 3 (se trs filhos) ou 4 (se quatro filhos) o nmero de ratos da gerao anterior (P(n) ). Podemos afirmar que a populao da gerao posterior (P(n+1) ) depende da populao da gerao anterior (P(n) ). Assim, podemos expressar a populao de ratos da seguinte forma: P(n) = 3n para 3 filhos por pai e P(n) = 4n para 4 filhos por pai. Genericamente, nq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.4) onde P(n) a populao de ratos na gerao n (indivduos), n a gerao e q o nmero de filhos que cada pai tem em cada gerao (indivduos). Se existirem N ratos na gerao zero, basta multiplicar o lado direito da Eq. 2.5.4 por N: nNq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.5) Exemplo 2.5.5 Juros compostos Uma aplicao financeira do tipo poupana com taxa mensal constante tambm tem crescimento exponencial. A Tab. 2.5.2 mostra uma aplicao de R$ 1.500,00 corrigida ms a ms com uma taxa de 1%. Observe que para obter o Capital do ms posterior (C(n+1) ) multiplicamos o ms anterior (C(n) ) por 1,01. Confira! De forma semelhante ao crescimento da populao dos ratos, podemos encontrar uma funo para calcular o capital. tioC)t(C = para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.6)

88. EaD Sonia Beatriz Teles Drews Pedro Augusto Pereira Borges 88 onde Co o capital inicial (R$), 100 j 1i += , onde j a taxa de rendimento mensal e t o tempo em meses. Tabela 2.5.2: Aplicao com juros compostos Tempo, t (meses) Capital, C(t) (R$) 0 1500,00 1 1515,00 2 1530,15 3 1545,45 4 1560,90 ... ..... 22 1867,07 23 1885,74 24 1904,60 1500 2000 2500 3000 3500 0 4 8 12 16 20 24 Tempo (meses) Capital(R$) j=1,01 j=1,02 j=1,03 Figura 2.5.2: Juros compostos com diferentes taxas A Figura 2.5.2 mostra trs aplicaes com taxas de juros j = 1, 2 e 3 %. Observe que temos curvas (no so retas!), sendo que quanto maior a taxa de juros, mais cresce o capital. Progresses Geomtricas As seqncias mostradas nas Tabs. 2.5.1 e 2.5.2, populao e capital, respectivamente, so Progresses Geomtricas. Escrevemos uma PG da seguinte forma: PG : { ao , a1 , a2 , .... , an } Nestas progresses, o termo posterior (an +1) obtido multiplicando o anterior pela razo r. rna1na =+ (2.5.7)

apostila unijuí matemática aplicada à administração

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