applied scientific research volume 7 issue 1 1957 [doi 10.1007/bf02282003] l. c. woods -- some...

7/28/2019 Applied Scientific Research Volume 7 Issue 1 1957 [Doi 10.1007/Bf02282003] L. C. Woods -- Some Generalizations of the Schwarz-Christoffel Mapping For

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A p p l . s c i . R e s . S ec t io n JB, VoI~r

S O M E G E N E R A L I Z A T I O N S O F T H ES C H W A R Z - C H R I S T O F F E L M A P P I N G F O R M U L A *)~

b y L . C . W O O D SDe par tm ent of Mechanica l Engineer ing , N.S.W. Un ivers i ty of Technology,S y d n e y , A u s t r a l i a

Summar yT h e S c h w a r z -C h r i st o ff e l f o r m u l a f o r t h e m a p p i n g o f a p o i ~ r g o n i n t h e z -

p l a n e o n a n u p p e r h a l f - p l a n e ( t h e w - p l a n e ) i s ek~cen'r t o d e a l ' w i t h s i n g I y -c o n n e c t e d d o m a i n s o f q u i t e g e n e r a l sh ap e.~ T h e m a p p i r f g p ~ o b l em i n t h eg e n e r a l c a s e i s s h o w n t o d e p e n d o n ~. th e : s o lu t io n o f, a n a w k w a r d ia t eg r o :-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d a n i t e r a t i v e m e t h o d o f f i n d i n g th i s s o l u t i o n i si n d i c a te d . T w o f u r t h e r g e n e r a l i z a t io n s Are m a d ~ t o t h e f o r m h l a ; t h e s e a r e(i) th e b o u n d a I 3 r o f t h e s i n g l y - ~ o n n e c t e d d o m a i n i n t h e z - p l a n e i s m a p p e do n t o a f i n i t e i n t e r v a l o f t h e r e a l a x i s o f t h e w-plane n s t e a d o f t h e w h o l e o f i t ,a n d (ii) t h e f o r m u l a i s e x t e n d e d t o d e a l w i t h . d o u b l y - c o n n e c t e d . d o m a in s .

w 1 . I n t r o d u c t i o n . T h e w e D - k no w n f o r m u l a f or t h e m a p p i n g o f apo lygon i l l t he z -p lane ( z = x + i y ) on to the ,Uppe r ha l f o f thew - p la ne (@ = 9 + i v ) c a n b e w r K t e n i n t h e f 0 h nd z N- - - = K I I (w - - 9 n ) - ~ = ' (1 )d w ~ = 1

w h e r e 9 -- L 2 , 3 . . . . . . N , a r e i h e e x t e r n a l . n g ie s oJ" t h epo lyg on ( see f ig . ! ) : a t th e ve r t i ce s~zn , and ~ n a re th e pc'Ja rs o nth e rea l ax is in theY'd-plane on to which , the se ve r t ic es z**a re m a p p e d

b y (1 ). I n o rd e r t 9 d e a l w i t h c u r v e d r a t h e r th a n . p o !y g o n a s h ap e ~i t i s n a tu ra l to seek a gen era l iz a t ion of ( l') in w hic h th e a rrg!es a.nten d to ze ro with_ th e in te rva l s z * * ~ l - z n , and 9n~1.77 ~n, : I t isq u i t e e a s y t o d e r i v e t h i s g e n e ra l i z a ti o n b y a f 6 rm a I : d a lc u la : ti o nb a s e d ~on (1).

*) Pa per , r ead at the f i rs t a nnu al general m eet ing o'~ the AuStralian~Matheiha~~alSocie ty a t Sy dney , Augu s t , 1957. ~-- - 8 9 - -

A p p l . sci. Res. B 7


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90 L.C . WOODSL e t On d e n o t e t h e . s lo p e o f t h e s id e Z n + l - z n, t h e n ~ n =

= O n - - 0 n - l , a n d t h e l o g a r i t h m o f ( 1 ) c a n b e w r i t t e n] Nin -- dz __-- n K - - ~ ~ l n ( w - - 9n)(0n - - 0n- l ) .

I n t h e l i m i t ~ n -+ 0 th i s b e c o m e soo

~ - (w ) = I n ~ = I n K - - ~ i n ( w - - 9 ) d 0 0 ( ~ 0 ), ( 2 )- -OO

w h e r e t h e i n t e g r a l is a R i e m a n n - S t i e l t j e s in t e g r al .T o m a k e t h i s d e r i v a t i o n o f ( 2 ) r i g o r o u s w e w o u l d f i r s t h a v e t o

r e c a s t t h e u s u a l p r o o f o f (1) i n t o a f o r m w h i c h p e r i n i t s t h e l i m i t i n gp r o c e s s j u s t u s e d , a n d t h i s w o u l d b e d i f f ic u l t i f n o t i m p o s s ib l e .W e s h a l l t h e r e f o r e g iv e . a p r o o f o f (2) n o t d e p e n d i n g o n (1), b u t i nf a c t c o n t a i n i n g a n a l t e m a t - i v e p r o o f o f (1) a s a s p e c i a l c as e .

o B C O ~ 'z - p l a n e w - p la n e

Fig . 1 . Mapp ing a po lygon on to . an upper -ha l f p lane .T h e p o i n t P , s a y , i n th e z - p la n e, w h i c h i s m a p p e d o n to w = c o

b y (2), m u s t c l e a r ly l ie o n t h e c o n t o u r F . A n o b v i o u s f u r t h e rg e n e r a ] i z a t i o n o f (2) is to t a k e P t o b e s o m e p o i n t l y i n g w i t h i n F ,a n d t h i s n e c e ss a r il y m e a n s tl~ at F m u s t m a p o n to a / i n i t e i n t e r v a lo f ~ = 0 , i n s t e a d o f t h e w h o l e o f ~ v = 0. T h i s g e n e r a l i z a t i o n ,w h i c h is m o r e u s e f u l t h a n (2) i n s o m e p r a c t i c a l a p p l ic a t io n s , i sg i v e n i n w4.

T h e n e x t s t e p in g e n e r a l i z i n g t h e m a p p i n g f o r m u l a is to d e a l w i t ht h e d o u b l y - c o n n e c t e d re g i o n l y i n g b e t w e e n t w o n o n - i n t e r s e c t i n gc o n t o u r s F a n d F '; t h i s t h e o r y i s g i v e n in w 5.

I n t h i s l a s t g e n e r a l i z a t i o n l e t F' l i e w i t h i n F . T h e n t o r e t u r n


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THE SCHW AI~-CH1ZISTOFFI~L ~I.~PPII~G FOI~M,ULA ~.1.t o t h e $ c h w a r z - C h r i s t o ff e l , ( S - , . C ) m a p p i n g .f o r m u l a , W e ~ m ustf i r s t l e t P ' s h r i n k t o a s i n g ie p o i n t ' P - - t h i s g iv e s, o , ~ :serg e n e r a l i z a ti b n - - t h e n le t.- P t e n d t o a p o i n t o n F , g i v i n g , o u T : , ~ s tg e n e r a l iz a t io n , a n d f i n a l ly w e o b t a i n ( 1 ) b y l e t t i n g 0 o ( 9 ) b e a s t e p -f u n c t i o n .

A l t h o u g h t h e g e n e r a l i z a t i o n s of t h e S - - C f o r m u l a g iv e n, i n t h isp a p e r a r e o b v i ou s , t h e y d o n o t s e e m t o: h a v e a p p e a r e d ~ . t h el i t e ra t u r e (cf. B e c k e n b a c h X ) ) o f t h e s u b je c t. H o w e v e r , t h e r ei s s u c h a v o l u m e o f p u b l is h e d p a p e r s o n c o n f o r m a l m a p p i n g , t h a to n e c a n n o t b e s u r e o n t h i s p o i n t. T h e r e is s o m e R u s s i a n w o r k . b yG o l u z i n (s ee p . 2 72 o f B e c k e n b a c h 1)) o n t h e d o u b l y - c o l m e c t e dr e g i o n b e t w e e n p o l y g o n s , o f w h i c h t h e w o r k i n w5 b e l o w i s ag e n e r a l i z a t i o n , a n d t h e r e i s a ls o t h e w e l l - k n o w n w o r k o f L e a t h e m 8)w h i c h i n t r o d u c e s " c u r v e - f a c t o r s " in t o t h e S '- -C f o r m u l a .

j oz - p la n e w - p l a n e

Fig.-2 . Mapping a curved f igure onto an upperhalf-plane.

w 2. P ro o/ O / the f irst generalizat ion. W e s h a l l m a p t h e s i n g l y -c o n n e c t e d r e g io n b o u n d e d b y t h e c o n t o u r P = P A B C D ~ E o o F Ps h o w n i n f i g .j 2 q n t o t h e u p p e r h a l f o f t h e w - p l a n e i n s u c h a w a yt h a t t h e p o i f i t P m a p s o n t o t h e p o i n t a t i n f i n i t y i n t h e w -1)lane.

9T h e c o n t o u r F is ~ u m e d t o h a v e a c o n t i n u o u s l y t u r n i n g t a n g e n ts a v e f o r a f i n it e n u m b e r , o f e x c e p t i o n a l p oi n ts , w h e r e s im p l e d i s-c o n t i n u i t i e s i n t h e s l o p e 00 o f f m a y e x i s t ( e~ g . p o i n t s B a n d C i nf ig . 2). A l s o a f i n i t e n u m b e r o f p o i n t s o f ~ a r e a s s u m e d t o b e g a ti n f i n i t y ( e.g . p o i n t s D oo a n d E o o) . T h e p o i n t P w h i c h w i ll b e m o v e dt o i n f i n i t y b y t h e t r a n s f o r m a t i o n m a y b e a n o r d i n a r y p o i n t o f F o ro n e o f . th e e x c e p t i o n a l p o i n t s ( e.g . B , C , D oo o r E ~ ) j u s t d e s c r i b e d .I n t h e .f ig u re P i s s h o w n t o b e a t a p o i n t w h e r e t h e t a n g e n t j~um pst h r o u g h a n a n g le t ; a n o r d i n a ~ p o i n t i s o b t a i n e d ff :fi = 0 , w h i l eP i s a po in t a t i n f in i ty i f fl = ~ ( e .g . a s a ,t D ~ ) : o r i~ ~ < f l g7 2~


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9 2 L . c . W O O DS( as a t E ~ ) . T h e . p a r t i c u l a r c a s e s f l = 0 , ~r a n d 2 ~ a r e . e s p e c i a l l yi m p o r t a n t i n p r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s o f t h e t h e o r y .

T h e c o n t o u r i s i n d e n t e d a b o u t P b y a c u r v e 7 = F G A o f s u c ha s h a p e t h a t , i t m a p s i n t 6 t h e l a rg e s e m i - c i r c l e w = R e* ~ i n t h ew - p l a n e . W e s h a l l . ne e d t h e r e l a t i o n b e t w e e n w a n d z o n t h i s in -d e n t a t i o n . T h e r e a r e t h r e e d i s t i n c t c a s e s t o c o n s i d e r .

F i r S t ' l e t P b e i n t h e f i n i t e p a r t o f t h e p l a n e , a t z = a , s a y . T h e nt h e c o r n e r a t P w i l l b e s t r a i g h t e n e d b y a t r a n s f o r m a t i o n o f t h et y p e z i ~ ( z - - a ) n , w h e r e n = I /( 1 - - / 3 /z r ), ( - - z ~ / ~ < ~ r), a n d t h e nt r a n s f o r m e d t o i n f i n i ty b y t h e i n v e r s i o n w ~ 1 /z l. A p a r t f r o m t h e s es i n g u l a r i t i e s t h e r e l a t i o n b e tw e e n '~ w a n d z w i l l b e r e g u l a r n e a rz = a . T h u s i n t h is n e i g h b o u r h o o d , w e c a n w r i t e

Aw - - - - .-k, a o + a l ( z - - a ) + a g . ( z - - a ) ~ + . . . . . ( - - z ~ _ < 8 < z ~ ) , ( 3 )( z -w h e r e A , a o, a l . . . . ar.e c o n s t a n t s . I n v e r t i n g t h i s s e r i e s a n d d i f f e r-e n t i a t i n g t h e r e s u l t w e f if id t h a t

dwdZ _ B w _ , l _ l / n , { l + O ( _ _ ~ ) }

i . e . 9 ~ i n ( ~ w ) = - - ( 2 - - - ~ ) an w + C + 0 ( 1 ) , " ( - - ~ r < / 3 < ~ r ) , (4)w h e r e B a n d C a r e n e w c o n s t a n t s , a n d n h a s b e e n e l i m i n a t e d i nf a v o u r o f /L

S e c o n d l y s u p p o s e P i s a t in f i n i t y , a n d t h a t t h e a n g l e 8 d o e s n o te q u a l ~r ( i .e . w e e x c l u d e t h e c a s e n = o o , w h i c h a p p l i e s a t p o i n t sl ik e D o . i n f ig . 2 ). I n t h i s c a s e t h e " c o r n e r " a t i n f i n i t y i s r e m o v e db y t h e t r a n s f o r m a t i o n w ~ z - n , a n d i n s t e a d o f (3) w e h a v e

w = A z - n + a o + - -a l + . ~ _ + (~r < 3 < 2~r ). (5 )Z g~I t i s e a s i l y v e r i f i e d f r o m (5 ) t h a t (4 ) a l s o h o l d s f o r ~r < / 3 < 2 ~r.F i n a l l y l e t 8 = ~r. I f :(4 ) is s t i l l ~ # a l i d f o r t h i s v a l u e o f 8 , t h e n

d z /d w . = A / w . . . . i . e .w = A + a 0 + . . . . ( 8 = ( 6 )

w h e r e A ~ b a n d a0 a r e c o n s t a n t s . T h a t t h i s is t h e c o r r e c t f o r m f o rw i s m o s t e a s i l y v e r i f i e d b y l e t t i n g la l t e n d t o z e r o i n (3 ). T h e a c u t ea n g l e ~r - - / ~ t e n d s t o z e r o w i t h la l - x , i . e . n = ~ r/(~ r - - 8 ) t e n d s t O


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T H E S C I- Y vV A R Z -C I~ II ~I :S T O 'F ~ Z M ~ P P F N " G F O R I ~ U L A , ~ .'~ t - ,

i n f i n i t y w i t h l a b s o w e c a n w r i t e , a : = . n ~ f b , , . w h e r e , b : r ~ e m a i n , - s ~ t ei n t h e l im i t ~r --> o o. M o c f i fy in g , t h e - c o n s t a n t s i n (3 ) a n d u s in g t h er e s u l t l i r a (1 ~ - z b / n ) ~ n = .e -~ * ', w e t h e n a r r i v e a t ( 6 ) a s t~ he l i m i t i n gf o r m o f (3 ).

W e h a v e n o w e s t a b l i s h e d t h a t ( 4) , s v a l i d f o r all v a l u e s , ol-,fli n t h e r a n g e ( - - n , 2 n ) , i.e . f o r a ll c h o ic e s o f t h e p o i n t P t h a t i st o b e m a p p e d o n t o w = o o. F r o m (4) i t fo l lo w s t h a t

d rt i m - - - o . ( 7 )* o ~ ~ ,, d w

N o w l e t I d z /d w I = l / q , a n d a r g (d x./d w ) = 0 , t h e n 0 i s t h e ~ n g l eb e t w e e n t h e x - a x i s a n d t h e c u r v e s W = c o n s t a n t , f o r i f d~v = 0 ,

O = a r g ~ + d g /w h i c h i s c l e a r l y t h e s lo p e o f . t h e c u r v e s d~o = O , o r ~0 = . c o n s t a n t .T h e c o n t o u r P is t h e c u r v e ~0 = 0 , a n d , w e s h a ll d e n o t e t h e s lo p eo f t h i s c u r v e b y 0 0 .

r - - - - l n ~ = I n e ~0 = ~ + i 0 , (8)\ q /w h e r e

t h e n1s = I n - - , (9)q

d~- ~ 80d---w -- 8-~ + i aq0 (10 )

is a n a n a l y t i c f f u n c t i o n i n t h e w - p la n e w h o s e i m a g i n a r y p a r t t a k e st h e v a l u e

d O o = 0 , o ( 9 ) ' ( t l )d 9o n ~v = 0 , a n d w h i c h v a n i s h e s a t i n f i n i t y ( se e . (7 )).

B y C a u c h y ' s i n t e g r a l a p p l ie d t o t h e s e m i - c i r cu l a r c o n t o u r s h o w nin f ig . 2 R ~rd . _ 1 + 1 [ R e ' x d x

. . . . . .w 2 ~ i 9 - - w 2 ~ 3 d (Re ~x ) RO x - - w- - R 0

w h e r e w i s a p o i n t w i t h i n t h e c o n t o u r .


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9 4 L . C . W O O D SE q u a t i o n (7)" a n d t h e l i m i t R - + oo y ie l d s

d w 2 ~ i a 9 - - WS i m i l a r l y

o o

1 f d r ( 9 )--oo

( 1 2 )

a s ~ l i e s ou t s ide t h e s e m i - c i r c u l a r c o n t o u r . S u b t r a c t i n g t h e c o n -j u g a t e o f t h i s e q u a t i o n f r o m (1 2), a n d u s i n g (1 0) w e f i n d

o od T 1 d 0 0 ( 9 )d w - - ! ( 1 1 3 )

F i n a l l y i n t e g r a t i o n w i t h r e s p e c t t o w g i v e s

~ - = l n - - d z = l n K - - 1 - - f l n ( w - - ~ ) d 0 o ( ~ ) , (14)dw ~ d

w h e r e i n K i s t h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n . T h e p r o o f o f (2) i s n o wa l m o s t c o m p l e t e .

T h e o n l y g a p in t h i s p r o o f is t h a t w e h a v e n o t j u s t i f ie d w r i t i n gt h e i n t e g r a l i n ( 1 4 ) a s a St id t jes i n t e g r a l , i . e . p e r m i t t i n g 0 o ( 9 ) t ob e a d e l t a f u n c t i o n a t a f in i te n u m b e r o f p o i n t s i n t h e r a n g e o fi n t e g r a t io n . T h e v a l i d i t y o f t h i s is r e a d i l y e s t a b l i s h e d b y t h e u s u a lm e t h o d o f i n d e n t i n g t h e c o n t o u r i n th e w - p l an e b y s m a l l se m i -c ir cl es a b o u t t h e s i n g u l a r p o i n t s o n t h e r e a l a x is , a n d t h e n l e t t i n gt h e r a d i i o f t h e s e in d e n t a t i o n s t e n d t o z e ro . A l t e r n a t i v e l y w e c a nt a k e t h e c o n t o u r i n (4 ) t o b e ~o = e i n s t e a d o f ~v = 0 , t h e n l e t

- + 0 a f t e r e v a l u a t i n g t h e i n te g r a l . W e f i n d i n t h i s a p p r o a c ht h a t a t a d i s c o n t i n u i t y o f a m o u n t a in 00 a t t h e p o i n t 9 ~- a t h ec o r r e c t m e a n i n g t o g i v e 0 o ( 9 ) d 9 is

d0o(~0) = 0 o ( 9 ) d g = ~ --- l im d / t a n - l ( 9 - - a ~ / = a - - - d U ( 9 - - a )7~ r ( \ S l J Y~

= - - 8 ( ~ 0 - - a ) d 9 ( 15)$g


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T H E S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L M A P P I N G F O R M U L A 9 5

w h e r e U ( 9 - - a ) i s t h e u n i t f u n c t i o n a n d 8 ( 9 - - a ) i s i t s d e r i v a t i v e ,t h e d e l t a f u n c t i o n .

I f 0 o ( 9 ) i s a s t e p - f u n c t i o n w i t h d i s c o n t i n u i t i e s i n m a g n i t u d e o f~ n a t 9 n , n = l , 2 . . . . N , t h e n t h e S t i e l t j e s i n t e g r a l i n (1 4) d e -g e n e r a t e s t o t h e s u m - - 1 /~ ~ ~ n i n ( w - 9 n ) , a n d w e o b t a i n (1)a s a s p e c i a l c a s e . O u r p r o o f o f (2 ) i s n o w c o m p l e t e .

F r o m f ig . 2 i t i s a p p a r e n t t h a t 0 ( 9 ) c a n n o t b e c h o s e n a r b i t r a r i l y ,b u t m u s t s a t i s f y

O O

f d0 0(9 ) = 2z~ - - f t. (16 )- - O OW h e r e 00 i s c o n t i n u o u s w e w r i t e d 0 0 = 0 0 ( 9 ) d 9 i n ( 14 ). a n d t h er e q u i r e d m a p p i n g f u n c t i o n f o l l o w s f r o m a k n o w l e d g e o f 0 0 = 0 o ( 9 )a n d t w o i n t e g r a t i o n s . I n p r a c t i c a l p r o b l e m s h o w e v e r i.t w i l l b e t h es h a p e o f _P t h a t i s k n o w n , a n d n o t t h e r e l a t i o n 0 0 ( 9 ) . T h i s c a s ei s s o m e w h a t m o r e d i f f ic u l t a n d i s c o n s i d e r e d i n w 3 . '

F r o m (1 4) i t f o l lo w s t h a tW O o

z=z dO o(9) I d , , (17)O0 --0o

w h e r e z ~ i s t h e v a l u e o f z a t t h e p o i n t P . T h e v a l u e o f t h e f a c t o r Kd e p e n d s o n th e s c a le o f t h e m a p p i n g a n d t h e o r i e n t a t i o n o f t h ec o n t o u r F i n t h e z - p l a n e . I t s v a l u e w i ll b e f i x e d if t w o o t h e r c o r re -s p o n d i n g p o i n t s , s a y z0 a n d w 0 a r e a s s ig n e d . T h u s f o r t h e u n i q u ed e f i n i t i o n o f t h e m a p p i n g w e h a v e t o a s s i g n t h e t w o c o r r e s p o n d e n c e sZ~ -+ oo, ,alld zo -+ WO.

A n a l t e r n a t i v e m e t h o d o f d e t e r m i n i n g t h e m o d u l u s o f K i sf r e q u e n t l y u s e f u l . F o r s i m p h c i t y c o n s i d e r t h e c a s e i n w h i c h n op o i n t s o f P a r e a t i n f i n i t y - - t h e g e n e r a l c a s e c a n b e t r e a t e d b ya s i m i l a r m e t h o d . I f s i s t h e d i s t a n c e m e a s u r e d a r o u n d F i n a na n t i - c lo c k w i s e d i r e c t i o n f r o m P , i . e . f r o m 9 = - o o , w e f i n df r o m ( 17 ) a n d (1 8) t h a t

s ( 9 ) ---- I g l 3 e x p [ - n 1 9 " - d g , ( 1 8 )a n d

l = ] K I x p - - I n 1 9 " - - 9 1 d 0 0 ( 9 * ) d g ,- - O O - - O O

( 1 9 )


8/13

96 L.C . WOODSw h e r e l is t h e l e n g t h o f / ' . T h u s , f o r a g i v e n d i s t r i b u t io n Oo(~) , [K [i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o l .

w3. T h e b g s i c in t e g ra l 'e q u a t io n o / m a p p i n g t h e o r y . K n o w l e d g eo f t h e s h a p e o f F e n a b l e s u s t o c o m p u t e i t s i n t r i n s i c e q u a t i o ns = ~ 0 ) , a n d h e n c e it s r a d i u s o f c u r v a t u r e R = s ' (O) . O n ~ = c o n -s t a n t "

\ d g / \ d g / J 's o o n V ---- 0

1 d s d s d 00- - = - - - - = R O ' o ( q , . ( 2 0 )q d ~ d 0o d ~

O n F a t w ---- 9


9/13

T H E S C HW AI ~Z -C I- gR IS TO FF ET . M A P P I N G F O R M U L A 9."7~"

P r o b a B l y t h e b e s t m e t h o d o f s o l v i n g !(2 2) .is a s ~ e l l e w s . F i r s t ri s a p p r o x i m a t e d t o b y a f i g u r e c o m p r i s e d o f s ec t i o ns : o v e r e a c ho f w h i c h 0 0 '( 9 0 ) h as a c o n s t a n t v a l u e , i . e . 00,(90) i s a s t e p f , n c t i o n ,W h e n t h e c o n s t a n t v a l u e i s z e r o t h e s e c t i o n ~ i l l b e a s t r a i g h t lin e,.o t h e r w i s e i t w i l l b e c u r v e d h a v i n g a s l o w l y v a r y i n g c u r v a t u r e .C o n v e r g e n c e o f t h e i n t e g r a l i n ( 2 2 ) r e q u i r e s t h a t w e c h o o s e 0 0,(90),t o v a n i s h i n t h e i n t e r v a l s b o u n d e d b y 9 0 . = - - o o a n d .90 o o , I r tp r a c t i c e w e c a n s t a r t w i t h a n a p p r o x i m a t i n g p o l y g o n , t h e n r o u n do ff t h o s e c o r n e r s n o t c o r r e s p o n d i n g t o c o m e r s o n F b y g i v i n g0 o ( 9 0 a n o n - z e r o v a l u e , o v e r i n t e r v a l s c o n t a i n k n , t h e s e c o r n e r s ,I f 0o (9 0 = k i n t h e i n t e r v a l 90o - - 8 9 K 90 _ < q 00 + { a c o n t a i n i n ga c o m e r o f t h e p o l y g o n c o r r e s p o n d i n g t o a d i s c o n t i n u i t y irt, 0,o f ~ i n t h i s i n t e r v a l , t h e n a a n d k m u s t b e c h o s e n t s a t i s f y T = a k .O t h e r c h o i c e s o f 0 o( 90 a r e o f c o u r s e p o s s i b l e ( s e e w a n d w i t he x p e r i e n c e i t i s n o t d i f fi c u lt t o s e l e c t ,0o(90 s o a s t o o b t a i n a f a i ra p p r o x i m a s t o F .

F i g . 3 . A p p r o x i m a t i o n t o a c u r v e d c o n t o u r .F ,- - . approxim a'~e polygon,.................... ro u n d in g o ff .D e n o t e t h e a p p r o x i m a t i n g c u r v e b y F 1 , a n d l e t 01(9) b e t h e

k n o w n d i s t r i b i i t - i o n o f 0 o r i F 1 . A l s o l e t { h e l e n g t h o f F 1 b e e q u a l :t o l , t h e l e n g t h o f .th ~ g i v e n c u r v e F . T h e n t h e s u b s t i t u t io i a o f t h ef u n c t i o n 0~(90) i n ( i8 ) :'~ a n d (1 9) g i v e s t h e c o r r e s p o n d i n g ~ f i i h c f i 6 ns1(90). T h e n e x t s t e p - i s t o m a k e t h e a p p r o x i m a t i o n s ( 9 0 ) = s1(90)( w e h a v e a l r e a d y s e t s ( o o ) - = l = s r (~ o ) ) .. -T h e n f r o m t h e., t m o w ~ ,.r e l a t i o n s R ( s ) , O ( s ) o n F w e f i n d t h e a p p r o x i m a t e : f u n c t i o n s .RS,{q0~)j0 ~ ( 9 0 ) : a n d 0 '~ ,(9 0 ) ,u s i n g o u r a p p r o x i m a t e :s(9 0) r e l a t i o n ' . W i t h R9.~(.9):.a n d O 's(9) i n t h e l e f t h a n d s i d e o f ( 2 2 ) w e 0btz:i.n , a . n e w ~ a p p m ~ t i ~ r ~ ~fo r 00(90 , s a y 03(90)., f r o m th e le f t h a n d s ic~ of" (22 )_. ~his ., .. i6 now,: -i n s e r t e d i n (1 8 ) a n d (1 9 ) t o y i e l d . t h e c o r r e s p o n d i n g ~fam;w e t h e n . s e t s(9 0) = s3 (9 0), a n d s o. o n , u n , tf l ~ th e p r o c e s s h a s : c o r l ~ e r ~ e d : .


10/13

9 8 L.C . W O O D SF r o m t h e a u t h o r ' s e x p e r i e n c e i t s e e m s t h a t c o n v e r g e n c e is

a l w a y s q u i t e r a p i d , h n d ~ f F 1 is r e a s o n a b l y c lo s e t o F , t h e c o n t o u rr e s u l t i n g f r o m t h e d i s t r i b u t i o n 0 ~(9) w i ll b e u n d i s t i n g u i s h a b l ef r o m F f o r p r a c t i c a l p u r p o s e s .

A : # im i l a r m e t h o d c a n b e a p p l ie d t o th e c a s e w h e n F h a s s o m ep o i n t s , a t i n f i n i t y . I n t h i s c a s e a s e p a r a t e S l ( 9 ) f u n c t i o n h a s t ob e d e r i v e d f o r e a c h s e c t io n o f F , a n d o f c o u r s e s h a s t o b e m e a s u r e df r o m s o m e p o i n t o n F c l o se t o , b u t n o t a t i n f in i t y .

I n a l l b u t t h e s i m p l e s t c a s e s t h e i n t e g r a l s i n ( 18 ), ( 19 ) a n d (2 1)h a v e t o b e e v a l u a t e d n u m e r i ca l l y , b u t o n c e a n u m e r i c a l s c h e m eh a s b e e n w o r k e d o u t f o r o n e e x a m p l e s u b s e q u e n t p r o b l e m s c a n b eh a n d l e d q u i t e q u i c k l y .

w 4 . M a p p i n g p o i n t s w i t h i n F o n to i n / i n i t y . I f a p o i n t P w i t h i n Fis t o b e m a p p e d o n to t h e p o i n t a t i n f i n i t y in t h e w - p l a n e t h e n Fm u s t m a p o n t o a f in i t e s e c t i o n o f t h e r e a l a x is o f t h e w - p l a n e .L e t t h is b e - - - a _ < fo_< a , t h e n t h e li ne s 9 ~ - 4 - a c o r r e s p o n dt o o p p o s i t e s i d e s o f s o m e c u r v e A P , w h e r e A l i e s o n F ( se e f ig . 4) .

o ~ I D '

- , I I t ' r aA o A'w-pl~eFig. 4. Mapping a singly-connected domain onto a semi-infinite strip.

C u r v e s ~v = c o n s t a n t m u s t e n c l o s e P , w h i c h i s t h e " c u r v e " ~v = o o .T h u s t h e d o m a i n w i t h i n F m a p s o n t o t h e s e m i - in f in i te s t r i pO < ~p


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T H E S C H W A R Z - C H R I S T O F F E L M A P P I N G F O R M U L A 9 9

v a l u e 0 0(9 ) is p e r i o d i c o v e r - - c o < 9 ' < c o , i .e . s a t i s f i e s 0o (9 ) =-----0o(9 + 2a ) . U s i ng th i s co nd i t io n in (13) we g e t * )

a

g f d00 (9)r 1 l imd w z~ .v -~ oo ~ = g 9 + 2 h a - - w

U s i n g a w e l l- k n o w n r e s u l t fo r t h e h m i t o f t h e s u m i n th i s e q u a t i o nw e a r r i v e a t

a

d r 1 [ c o t ~zd-w - - 2--a J 2--a- (9 - - w) d00 (~). (23)- - a

I n t e g r a t i o n n o w g i v e s1 r . z~r = in K - - --z~J In sm ~ ( w - - 9 ) d O o ( 9 ) ; (24)

- - 5

w h i c h i s t h e r e q u i r e d g e n e r a l i z a t i o n o f e q u a t i o n (2). ' T h e s p e c i a lf o r m t a k e n b y t h i s e q u a t i o n w h e n F is a p o l y go n , a n d t h e i n te g r a ld e g e n e r a te s t o a s u m is d u e t o B i c k l e y 2).

T h i s e q u a t i o n is p a r t i c u l a r l y u s e f u l f o r t h e m a p p i n g o f n e a r l yc i rc u l a r d o m a i n s , w h i c h o c c u r f r e q u e n t l y in p r a c t i c a l p r o b le m s .F i r s t c o n s i d e r a c i r c le o f r a d i u s R , c e n t r e z = z0. I f z0 i s m a p p e do n to w = c o , t h e n b y s y m m e t r y 0 '( 9) w il l b e c o n s t a n t , a n d c l e a r l ye q u a l t o 2zc / 2a = z~ /a . S u b s t i t u t i n g t h i s v a l u e i n (24) a n d e v a l u a t i n gt h e c o n s t , a n t s w e a r r i v e a t r ~ i n ( i z ~ R / a ) + i n - w / a , so

z = Zo + R e i ~la . ( 2 5 )W i t h n e a r l y ' c i r c u l a r d o m a i n s w e c a n se t s / l = 9 / 2 a i n o r d e r t oc o m m e n c e t h e i t e r a t i v e p r o c e s s d e s c r i b e d in w 3 , a n d f u r t h e r m o r ew e c a n t a k e a d v a n t a g e o f t h e f a c t t h a t 0 ' ( 9 ) - - ~ / a w i l l b e s m a l lo v e r m o s t o f t h e r a n g e - - a __% 9 ~ a .

I t i s s o m e t i m e s u s e f u l t o m a p t h e s e d o m a i n s o n t o u n i t c ir clei n t h e ~ - pl an e b y ~ e i~to/a, (c f. (2 5 )) , b u t i n m o s t a p p l i c a t i o n st h e s e m i - i n fi n i te s t r i p i n t h e w - p l a n e i s m o r e c o n v e n ie n t .'

T h e ~ v a l u e o f z~ , i .e . th e p o s i t i o n o f t h e p o i n t P w h i c h i s m a p p e d* ) N o t e f r o m t h e e q u a t i o n p r e c e d i n g (1 2) t h a t t h e m e a n i n g t o b e g i v e n t o

7 Ri s l i r a f , i .e . t h e C a u c h y P r i n c i p a l V a l u e a t i n f i n i t y .- o o R ~ o o - / ~


12/13

1 0 0 L . c . . WOODSo n t o w = o% c a n b e f o u n d f r o m a1z ~ - , = ~ a J z ( 9 ) d g , ( 2 6 )

- - o o

a f t e r t h e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i m p l i c i t i n ( 2 4 ) ( d e r i v e da s i n ' X w ) i s s o l v e d . E q u a t i o n ( 2 6 ) f o l l o w s b y t a k i n g t h e l i m i tw - -> o o i n

z ( w ) - l jt b2 a i z ( 9 ) c o t - ~ a ( 9 - - w ) d 9- -a

w h i c h f o l lo w s f r o m C a u c h y ' s i n t e g r a l f o r z(w ) i n t h e u p p e r h a l fp l a n e , a n d t h e p e r i o d i c n a t u r e o f z ( 9 ) ( cf. (2 3 )).

w 5. Do ubly-connected regions . I n o r d e r to m a p t h e r e g io n b e t w e e nt w o c u r v e s F a n d F ' , s u c h a s s h o w n i n f ig . 5, i n t o a s u i t a b l e c a n o n i c a ld o m a i n , w e f ir s t m a k e i t s in g l y - c o n n e c t e d b y i n s e rt in g a b a r r ie r A B ,

z-plane

B ]~ , a "- - A 0 A ' ~'

W - planeFig. 5. Mapping a d oub ly-con nec ted region onto a rectangle.

t h e n m a r t h e r e s u lt in g r eg i o n o n t o t h e r e c ta n g l e - - a < 9 --< a ,0 _< W < h . I n t h i s r e c t a n g l e , i s '~ an a n a l y t i c f u n c t i o n o f g i v e ni m a g i n a r y p a r t s 00 o n ~v = 0 a n d S ~ o n ~v = h. a n d p e r i o d i c i n t h e9 - d i r e c t i o n , h a v i n g a p e r i o d o~f 2 a .

T h e .s ol ut i on t o t h is p r o b l e m c a n b e d e r i v e d b y t h e s a m e t e c h -n i q u e a s e m p l o y e d i n w2 a n d w 4 , b u t w e s h a l l o m i t t h e d e t a i ls ,a n d r e fe r t h e r e a d e r t o a re c e n t p a p e r ( W o o d s ~ )), w h i c h c o n t a i n st h e r e q u i r e d s o l u t i o n i n a s li g h t l y d i f fe r e n t f o rm . C o n v e r t i n g


13/13

T I -I E S C I - IW A R Z - C ~ R I S T 0 i v - IE E L I~IAPPZNG F O R M U L ~ : I t Q ~ l

e q u a t i o n ( 65 ) o f t h e a u t h o r ' s e a rl ie r p a ~ e r f o t h e p r e s e n t p r o b l e mw e h a v e

Q

r ---- In K -- in # i ~ (~ -- w) d0o(~)- - aa

( 2 7 )- - a

w h e r e t h e n o t a t i o n e m p l o y e d fo r th e t h e t a f u n ct io n s is t h e s a m ea s i n W h i t t a k e r a n d W a t s o n ' s te xt.C ). E q u a t i o n (.27) c o n t ai n st h e S - - C m a p p i n g f o rm u l a , a n d o u r e a r li e r g e n e r a li z a ti o n s of t h isfo rmula , a s spec i a l ca ses .W h e n t h e e x p o n e n t i a l Of ( 2 7 ) is i n t e g ra - t e d t o g i v e a f o r t n u l afo r z ( w ) t h e r e w i l l b e f o u r u n k n o w n c o n s t a n t s a p p e a r i n g i n t h ee q u a t i o n , n a m e l y k , ,a, h a n d o n e a d d i t i o n a l c 0 n s t a n t o f i n te g r a t i 0 n .In gen era l th i s wi l l , r eq ui re th a t , four CorresPond ing l~6~ia,ts in th ez - a n d w - p l a n e s m u s t b e s p ec if ie 'd f o r a u n i q u e m a p p i n g ,B y a c a l c u l a ti o n s im i l a r t o t h a t g i v e n .in w w e c a n d e r iv e ap a i r o f s i m u l t a n e o u s i n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f r o m ( 2 7 ) _ f o r00(~) and O ' , ( q ~ ) , a n d t h e se c a n b e so lv ed b y t h e s a m e t y p e . o fi t e r a t i ve p roces s a s t h a t 0u t li n 'ed fo r t he s imple r " case .R ece i ved 18 t h -Sep t em ber , 1957 .

R E F E R E N C E S1) B e c k e n b a c h , E . F . , C o n s t r u c ti o n a n d A p p l i c a ti o n s b f ' C o n f o r m a l ' M a ps , l ~ a ti o n a l

Bu reau of S tandar ds . Ap pl i ed M aths Se r i es " I'8 'UiS . Gov . Pr in t in g Off i ce , V~asl~ag~on25, D.C., 1952.2 ) B i c l ~ l e y , W . G ., Ph il . T rans . A 2 2 8 (1929) 235.3 )" L ea t h e rn , I . G . , Ph i l . T rans . A ~ -15 { 1915) 439.4 ) w h i t t a . k e r , E . T . a n d G . N . W a t s S n , M o de rx i A n ~ y s i s , .C am b fid ge ~ U n i v e r s i t yPress, 19"52.

5 ) W o o d s , L . C . , P r o c . R o y . S o c. A 2 2 9 ( 19 5 5) 63 .

applied scientific research volume 7 issue 1 1957 [doi 10.1007/bf02282003] l. c. woods -- some...

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