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Appunti di MECCANICA DEI FLUIDI Parte 1 di 2

1. CONCETTO DI MASSA VOLUMICA (o DENSITA’)

È definita come il rapporto tra la massa m di una sostanza ed il volume V da esso occupato:

Di seguito è riportata una tabella contenente i valori della massa volumica di alcune sostanze:

Mentre per un solido, e in prima approssimazione, per un liquido (considerato come fluido incomprimibile) il volume occupato è costante rispetto alla pressione, per un aeriforme esso dipende fortemente dalla pressione cui è soggetto. Pertanto quando si fornisce il valore della massa volumica (o densità) di un gas o di un vapore, occorre indicare il valore della pressione cui è soggetto il vapore o il gas stesso. Ovviamente, all’aumentare della pressione di un aeriforme, diminuendo il volume, la densità aumenta.

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2. CONCETTO DI PORTATA

La portata è la quantità di fluido che attraversa una sezione di area A nell'unità di tempo. Data una sezione si può definire una portata ponderale se riferita al peso (massa moltiplicata per l'accelerazione gravitazionale pari, convenzionalmente, a 9,80665 m/s²), di massa (o massica) se riferita alla massa di fluido e una portata volumetrica se riferita al volume.

La portata volumetrica nel S.I. si misura in [m3/s]. La portata volumetrica V di fluido che transita in un tubo ( nel caso in cui il flusso sia perpendicolare alla sezione) la cui sezione abbia area A è pari a:

dove v indica la velocità del fluido, considerata uniforme su tutta la sezione.

La portata di massa (o massica) si misura nel S.I. in [kg/s]. Per passare dalla portata volumetrica alla portata massica, è necessario moltiplicare la portata volumetrica per la densità ρ del fluido (che è espressa nel Sistema Internazionale in kg/m3). La portata massica, o flusso massico, è quindi data dalla formula:

Nel caso di velocità o densità non uniformi sulla sezione, bisogna inserire nell'equazione i loro valori medi. Per calcolarli si può ricorrere al calcolo integrale sulla superficie.La portata ponderale si misura nel S.I. in [N/s] o in daN/s (circa uguale a un kgf/s). Per passare dalla portata volumetrica alla portata ponderale, è necessario moltiplicare la portata volumetrica per il peso volumico (o peso specifico) (pari al prodotto della densità ρ del fluido per l’accelerazione di gravità g):

3. CONCETTO DI PRESSIONE

La pressione è una grandezza fisica scalare, definita come il rapporto tra la forza agente ortogonalmente ed uniformemente su una superficie e l’area della superficie stessa:

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La pressione è una grandezza intensiva e quindi si intende sempre riferita all'unità di superficie.

La unità di misura prevista dal S.I. è il pascal (Pa), pari alla pressione esercitata dalla forza di 1 newton su una superficie di area pari ad 1 metro quadrato:

1 Pa = 1 N/ m2.

Oltre al pascal esistono diverse altre unità ancora in uso:

bar (105 Pa) (sono di larga diffusione anche alcuni dei sottomultipli del bar, in particolare il millibar è molto usato in meteorologia ed il microbar in acustica). Torr , pressione esercitata da una colonna di mercurio alta 1 mm (133,3 Pa) mm di colonna d'acqua, pressione esercitata da una colonna di acqua alta 1 mm (9,81 Pa) atmosfera (atm), approssimativamente pari alla pressione esercitata dall'atmosfera terrestre al livello del mare (101325 Pa) atmosfera tecnica (simbolo: at oppure ata), pari a 1 kgf/cm 2 , di poco inferiore all'atmosfera (0,96784 atm). Spesso distinta in ata, intesa come pressione

assoluta, e ate, come pressione relativa.

Di seguito si riporta una tabella riportante i fattori di conversione tra diverse unità della pressione:

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Unità di pressione e fattori di conversione

  Pascal bar m.c.a. 1 cm H2O at (kgf/cm2 ) atm torr

1 Pa (N/m2) 1 10−5 0,102 × 10−4 9,87 × 10−6 0,0075

1 bar (daN/cm2) 105 1 1,02 0,987 750

1 m.c.a. 1

1 cm H2O 9,81 9,81 × 10−5 1 10−4 0,968 × 10−4 0,0736

1 a.t. (kgf/cm2 ) 98 100 0,981 1 0,968 736

1 atm (760 torr) 101 325 1,013 1,033 1 760

1 torr (mmHg) 133 0,00133 0,00132 0,00132 1

4. PRINCIPIO DI PASCAL

Se applichiamo una forza di intensità F ad un pistone che comprime il liquido contenuto in un recipiente di forma sferica, vedremo che quest'ultimo zampillerà dai fori con getti di lunghezza pressappoco uguale e direzione iniziale perpendicolare a quella della parete sferica. La velocità di fuoriuscita del liquido, inoltre, sarà tanto più elevata quanto maggiore è l'intensità della forza applicata.

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Tale fenomeno si spiega ammettendo che la pressione applicata dal pistone si trasmetta invariata a tutto il liquido e la formalizzazione di ciò va sotto il nome di principio di Pascal: una pressione esercitata in un punto di una massa fluida si trasmette in ogni altro punto e in tutte le direzioni con la stessa intensità (su superfici uguali).

Un’applicazione del Principio di Pascal è il martinetto idraulico: esso è costituito da due cilindri muniti di pistoni a tenuta di diverso diametro, quindi di diversa area (S1 ed S2) messi in comunicazione e all’interno dei quali è presente un liquido (supposto incomprimibile). Se sul primo pistone si applica una forza F 1, all’interno del liquido s’instaura una pressione p=F1/A1 ; per mantenere l’equilibrio sull’altro pistone si deve applicare una forza F2 tale che F2/A2=p. Pertanto vale l’equazione:

Il martinetto si comporta pertanto come un moltiplicatore di forza: sul secondo pistone (quello di area maggiore) sarà applicata una forza F2 maggiore rispetto alla forza F1 di un fattore pari al rapporto tra le aree A2/A1.

5. LEGGE DI STEVINO

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La legge di Stevino (1586) è uno dei principi fondamentali della statica dei fluidi (idrostatica). Afferma che la pressione esercitata da una colonna di fluido di profondità h (distanza dal pelo libero del fluido, ossia la parte in alto nella colonnina aperta, a contatto con l'ambiente esterno) e densità costante ρ è direttamente proporzionale a h:

essendo l'accelerazione di gravità g = 9.8 m/s²; pertanto la pressione esercitata da una colonna di liquido (di altezza h) sulla sua base non dipende dalla sezione, ma dipende solo dalla sua altezza h. tale pressione è detta pressione relativa o effettiva perché non tiene conto della pressione atmosferica

Se la superficie della colonna di liquido è esposta alla pressione atmosferica patm (la pressione atmosferica standard vale 101325 Pa) allora la legge diventa:

tale pressione è detta pressione assoluta.

5.1. APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI STEVINO: I PARADOSSI IDROSTATICI

La legge di Stevino è alla base dei cosiddetti paradossi idrostatici. Un paradosso idrostatico è un paradosso proprio dell'idrostatica. Esso è conseguenza diretta della legge di Stevino, la quale afferma che la pressione causata da una colonna di fluido di altezza h e con densità costante dipende esclusivamente da questi due fattori, secondo una proporzionalità diretta.

Un esempio tipico di paradosso idrostatico è quello della botte di Pascal: si consideri una botte riempita d'acqua, la cui pressione sul fondo sia di poco inferiore a quella limite di sopportazione della botte stessa. Se al di sopra della botte (naturalmente chiusa) si pone un tubo sottile e lo si riempie progressivamente d'acqua, raggiunta una quota limite la pressione del fluido provoca la rottura della botte. Ponendo tubi di diametri sempre maggiori e di svariate forme, si noterà che la botte non arriverà a rompersi se non quando il fluido raggiunge la quota limite precedentemente determinata. Il paradosso consiste nel fatto che, nonostante si immettano quantità d'acqua dal peso sempre maggiore, la quota limite di fluido a cui corrisponde la rottura della botte è sempre la stessa. Coerentemente con la legge di Stevino, cioè, la pressione esercitata dal fluido sul fondo di un recipiente è indipendente dalla quantità di fluido che la sovrasta, e quindi dal peso della stessa, ma dipende esclusivamente dall'affondamento della superficie del fondo dal pelo libero.

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Lo stesso paradosso si può vedere considerando i tre recipienti in figura. Essi hanno forma e dimensioni diversi l’uno dall’altro: pertanto pur, riempiti fino alla stessa altezza h, contengono quantità diverse d’acqua. Eppure la pressione vigente sul fondo di ciascuno dei tre recipienti è la stessa, poiché non dipende dalla quantità d’acqua ma solo dal livello h.

5.2. APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI STEVINO: l’esperienza di Torricelli

Si prenda un tubo lungo circa 80-90 cm e di diametro pari a un cm e sigillato a una estremità' , lo si riempia di mercurio e lo si ponga, con l'apertura verso il basso tenuta chiusa, in una bacinella anch'essa riempita di mercurio. Aprendo l'imboccatura inferiore del tubo, si crea un sistema di vasi comunicanti, per il quale la

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pressione del liquido all'interno del tubo e' uguale alla pressione esercitata dall'atmosfera sul mercurio contenuto nella vaschetta:infatti il mercurio contenuto nel tubo non e' soggetto alla pressione esterna, al contrario di quello nella vaschetta. Fissando il tubo a un apposito sostegno, si potrà' notare che il mercurio contenuto nel tubo scendera' un dato livello, chiamato h, che equivale a 760mm. Al livello della vaschetta agiscono dunque due pressioni, che sono la pressione atmosferica(dall’alto vero il basso ) e la pressione idrostatica della colonnina di mercurio(dal basso verso l’alto)che sono uguali e contrarie e quindi sono in equilibro.

Pertanto la pressione atmosferica sarà pari alla pressione idrostatica generata da una colonna di mercurio alta 760 mm. Tale pressione vale, per la Legge di Stevino:

Sapendo che 1 [atm] e' uguale a 1,013•105 [Pa] possiamo dire che 1 atm = 1,013 bar = 1013 mbar = 1013 hPa = 760 torr

Torricelli usò come liquido il mercurio. La sua scelta non e' casuale, tutt'altro. Questo materiale ha anche allo stato liquido una densita' notevole, tale da poter eguagliare la pressione atmosferica con una colonna alta solo 76 cm, se invece avesse utilizzato come liquido l'acqua, il tubo sarebbe dovuto essere di oltre una decina di metri (10,33 m) per poter eguagliare la pressione atmosferica.

5.3. APPLICAZIONI DELLA LEGGE DI STEVINO: IL MANOMETRO

La pressione relativa di un fluido (gas o liquido) si può misurare con un dispositivo che prende il nome di manometro. Il manometro aperto mostrato nella figura sottostante funziona sulla base della legge di Stivino. Il dislivello h nella colonnina con liquido di densità r è dato da h = (p – p0)/(r g). p è la pressione del gas nella scatola di destra mentre p0 è la pressione atmosferica.

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Equilibrio delle pressioni sulla superficie di separazione A-B:

pA = pB

p0 + gh = pB=p

pertanto, nota la pressione atmosferica p0 e misurato il dislivello h, si può calcolare la pressione incognita p

6. CONCETTO DI VISCOSITA’

La viscosità è una proprietà dei fluidi che indica la resistenza allo scorrimento. Dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura e viene solitamente indicata con la lettera greca μ o più raramente con la lettera η per richiamare il collegamento con il coefficiente di attrito della meccanica classica. Nei liquidi la viscosità decresce all'aumentare della temperatura, nei gas invece cresce. Si definisce inoltre la fluidità come la grandezza reciproca della viscosità.

La viscosità si dintingue in viscosità dinamica e viscosità cinematica.

6.1. Viscosità dinamica

Un fluido con viscosità nulla (η = 0) e densità costante al variare della pressione, cioè non viscoso e incomprimibile, si chiama fluido ideale. Un fluido la cui viscosità è trascurabile può essere definito anche inviscido. Si può inoltre parlare di superfluidità quando la viscosità è pari a 0. La viscosità misura in qualche modo la coesione del fluido: ad esempio il vetro può essere interpretato come un fluido ad altissima viscosità (il vetro non ha un punto di fusione definito, non possedendo una struttura cristallina).

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Da un punto di vista matematico è possibile pensare di misurare la forza che occorrerebbe applicare ad uno “straterello” di fluido per modificarne la velocità rispetto ad un altro “straterello” posto ad una distanza fissa (h):

dove si intende:

F = forza che viene applicata ai piani di misurazione η = coefficiente di viscosità Δv = differenza di velocità tra i due strati Δh = distanza tra i due strati S = superficie dei due strati

L'equazione, attribuita ad Isaac Newton, definisce un comportamento viscoso ideale (fluido newtoniano), caratterizzato da un valore del coefficiente di viscosità indipendente dallo sforzo di taglio F/S e dal gradiente del flusso di scorrimento Δv/Δh. In realtà per molti fluidi il coefficiente di viscosità μ è lungi dall'essere costante. Un fluido caratterizzato da una risposta nel gradiente del flusso di scorrimento non lineare rispetto allo sforzo di taglio si denomina fluido non newtoniano. I fluidi non newtoniani si distinguono in fluidi alla Bingham, pseudoplastici, dilatanti se il loro comportamento viene visto in funzione della velocità di deformazione; i primi sono molto simili a quelli newtoniani infatti, in un diagramma reologico (velocità di deformazione riferito agli sforzi tangenziali) quelli newtoniani sono caratterizzati da una linea che inizia nell'origine e ha un'inclinazione pari all'arcotangente di η, quelli alla Bingham sono traslati sull'asse delle ordinate di un τ0; questo τ0 è lo sforzo che serve loro come "innesco" al movimento (tipico esempio di questi fluidi è il dentifricio). I fluidi pseudoplastici e dilatanti variano il loro comportamento in funzione della velocità di deformazione, i primi presentano notevole deformazione iniziale con bassi sforzi e piccole deformazioni con sforzi elevati; per i dilatanti vale la regola inversa. Un'ultima differenziazione dei fluidi può essere fatta se viene analizzato il loro comportamento dal punto di vista temporale; si distinguono in tixotropici e reopeptici.

L'equazione di Newton rimane comunque alla base della definizione e della misura del coefficiente di viscosità. Poiché però è impossibile applicare (e soprattutto misurare!) una forza applicata ad uno straterello (lamina) di fluido infinitesimale, la misura della viscosità si esegue ponendo il fluido tra due piattelli, posti ad una distanza regolabile. Uno dei due piattelli viene mantenuto fisso mentre viene fatto ruotare il secondo. In questo modo invece di una forza si misura la coppia applicata (momento torcente) e, posto della velocità lineare, la risultante velocità angolare. Il nome di uno siffatto strumento è viscosimetro.

Esistono anche viscosimetri che sfruttano diversamente le caratteristiche dei fluidi per misurare la viscosità. Ad esempio un viscosimetro a coppa (utilizzato per le vernici) è composto da un contenitore graduato con un foro calibrato sul fondo. Più il fluido è viscoso, più tempo impiegherà a fluire attraverso il buco. Misurando il tempo di svuotamento della coppa è possibile (tramite opportune tabelle) risalire alla viscosità del fluido.

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La misura della viscosità è ritenuta dagli addetti ai lavori come molto soggettiva, in quanto lo strumento di misura non riesce ad applicare correttamente la definizione della grandezza (una per tutte: usare un piattello, ad esempio di acciaio, introduce uno strato di fluido in prossimità di esso che non si comporta come fluido libero e questo influenza la misura).

Normalmente, infatti, accanto ad ogni misura di viscosità, occorre indicare in che condizioni e con quale strumento (inclusi marca e modello) è stata realizzata.

In base alla sua definizione matematica, la viscosità è dimensionalmente espressa da una forza su una superficie per un tempo, ovvero da una pressione per un tempo e, in termini di grandezze fondamentali, da [M · L−1 · T−1] (massa diviso lunghezza e tempo).

Pertanto l'unità di misura SI della viscosità è il Pa·s. In pratica si usa il Poise e suoi sottomultipli:1 Po = 1 Poise = 0,1 Pa·s = 1 g·s−1·cm−1 = 1 [kgm-1 s-1]1 cPo = 1 mPa s

6.2. Viscosità cinematica

Un altro tipo di viscosità è quella cinematica (ν), cioè il rapporto tra la viscosità dinamica di un fluido e la sua densità. Da essa dipende la velocità di fluido quando sottoposto a forze.

La viscosità cinematica è una misura della resistenza a scorrere di una corrente fluida sotto l'influenza della gravità. Questa tendenza dipende sia dalla viscosità assoluta o dinamica che dal peso specifico del fluido. Quando due fluidi di uguale volume sono messi in viscosimetri capillari identici e lasciati scorrere per gravità, il fluido avente maggior viscosità cinematica impiega più tempo a scorrere rispetto a quello meno viscoso.

Ad esempio il mercurio risulta avere una viscosità dinamica 1,7 volte maggiore di quella dell' acqua , ma a causa del suo elevato peso specifico, esso percola molto più rapidamente da uno stesso foro a parità di volume. In effetti la viscosità cinematica dell'acqua è circa otto volte maggiore di quella del mercurio a temperatura ambiente !!

Poiché la viscosità cinematica si ricava semplicemente dal rapporto tra viscosità dinamica e densità, dimensionalmente è espressa da [L2/T]. L'unità di misura della viscosità cinematica è lo stokes (St) (da George Gabriel Stokes), ma comunemente viene usato il sottomultiplo centistoke (cSt). Nel SI la viscosità cinematica è espressa al m2/s, che corrisponde a 106 cSt.

7. MOTI DI UNA CORRENTE FLUIDA

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MOTO UNIFORME = la velocità, in un dato istante t, si mantiene identica in intensità e direzione in ciascun punto del fluido: v(x1,y1,z1,t)= v(x2,y2,z2,t)= …= v(xn,yn,zn,t)

MOTO NON UNIFORME = la velocità, in un dato istante t, varia da punto a punto della corrente fluida.

MOTO STAZIONARIO = le grandezze che caratterizzano il moto del fluido (velocità, pressione, …) in ciascun punto della corrente rimangono costanti rispetto al tempo, pur potendo variare da punto a punto: v(x,y,z,t1)= v(x,y,z,t2)= …=v(x,y,z,tn)

MOTO NON STAZIONARIO = le condizioni di moto cambiano al variare del tempo, in un dato punto della corrente.

N.B. il moto STAZIONARIO (o NON STAZIONARIO) e il moto UNIFORME (o NON UNIFORME) possono essere indipendenti l’uno dall’altro: sono quindi possibili quattro combinazioni diverse:

Esempio 1:

moto di un fluido

MOTO STAZIONARIO U

v è costante in ogni punto del condotto e in ogni istante

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a portata costante in un condotto lu

NIFORME

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ngo e diritto di sezione costante

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Esempio 2:

moto di un fluido a portata costan

MOTO STAZIONARIO NON UNIFORME

v è cost in ogni istante in un determinato punto, ma variabile da punto a punto

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te in un condotto a sezione variabil

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e

Esempio 3:

moto di un fluido a portata va

MOTO NON STAZIONARIO e UNIFORM

v è variabile da istante a istante ma v è cost da punto a punto dell’asse

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riabile in un condotto lungo e dirit

E

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to di sezione costante

Esempio 4:

moto di u

MOTO NON

v è variabile da istante a istante e da punto a punto dell’asse

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n fluido a portata variabile in un c

STAZIONARIO e NON UNIFORME

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ondotto a sezione variabile

MOTO UNIDIMENSIONALE = moto di una corrente fluida in cui le principali grandezze (VELOCITA’, PRESSIONE e QUOTA) variano soltanto lungo la

direzione del flusso ( e non da punto a punto di una data sezione trasversale normale al flusso): ciò significa considerare velocità, pressione e quota uniformi lungo

una data sezione.

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7.1. MOTO LAMINARE e TURBOLENTO

Il numero di Reynolds (Re) è un numero adimensionale usato in fluidodinamica, proporzionale al rapporto tra le forze d'inerzia e le forze viscose. Fu il fisico ed ingegnere inglese Osborne Reynolds, nel 1883, ad eseguire per la prima volta in modo sistematico esperimenti sul flusso all'interno di tubi a sezione circolare, osservando che, combinando la velocità media U, il diametro del tubo d, e la viscosità cinematica ν, in un fattore adimensionale (in seguito chiamato appunto numero di Reynolds) definito come

si poteva descrivere la dinamica del flusso. L'esperimento consisteva in un tubo trasparente ad asse rettilineo nel quale circolava un flusso a portata costante, nel quale, per mezzo di un ago, veniva iniettato un colorante.

Esperimento di Reynolds:

- a basse velocità il filamento di colore rimane intatto (l’acqua si muove per linee parallele)

- all’aumentare della velocità il filo di colore inizia ad oscillare e per alti valori di v si rompe (l’acqua si muove in modo disordinato) e si formano vortici;

Al variare del fattore, Reynolds individuò così tre differenti tipologie di flusso:

per valori il flusso si manteneva stazionario e si comportava come se fosse formato da delle lamine sottili che interagivano solo mediante sforzi tangenziali, chiamato per l'appunto flusso laminare. Il colorante cioè si muoveva in una sottile linea che rimaneva parallela alla direzione del tubo.

per valori la linea perdeva la sua stazionarietà formando piccole ondulazioni che dipendevano dal tempo, rimanendo tuttavia sottile. Questo regime è detto di transizione.

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per valori , dopo un piccolo tratto iniziale dove le oscillazioni crescevano, il colorante tendeva a diffondersi nel flusso. Questo regime è detto turbolento, ovvero caratterizzato da un moto disordinato, non stazionario e tridimensionale.

Nel caso più generale il numero di Reynolds è scritto come:

oppure:

dove:

U è la velocità media del fluido, μ è la viscosità dinamica, ν è la viscosità cinematica: ν = μ / ρ, ρ è la densità del fluido, L è la lunghezza caratteristica del corpo (per il moto in condotti equivale al diametro 2r se la sezione del condotto è circolare, altrimenti è pari al cosiddetto

diametro equivalente -o diametro idraulico-)

dove:

S è l'area della sezione P è il perimetro bagnato.

Esso permette di valutare se il flusso di scorrimento di un fluido è in regime laminare o turbolento. Un fluido che scorre in un condotto viene considerato in regime laminare se il valore numerico di Re è inferiore a 2100, turbolento se superiore a 4000.

Nume

< 2100 Moto Laminare

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ro di Reynolds

> 4 000 Moto Turbolento

http://www.diiar.polimi.it/fballio/bancodidattico/pagine/reynolds.HTM

in un fluido reale la velocità passa da zero nella regione immediatamente a contatto con le pareti del condotto ad un valore massimo diverso da zero al centro del condotto secondo un profilo che risulta diverso a seconda delle condizioni di moto del fluido: addolcito nel caso del moto laminare (andamento parabolico) e più rapido nel caso di moto turbolento ( a causa del forte rimescolamento tra gli stati di fluido in prossimità della parete) Schema di Moto Laminare

il fluido sembra venir laminato in strati molto sottili che scorrono l’uno sull’altro; caratteristico di un fluido viscoso; il diagramma delle velocità ha andamento parabolico

Schema di Moto Turbolento

esistono piccole ma continue fluttuazioni nell’intensità e nella direzione della velocità (e corrispondentemente nell’intensità della pressione);

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il diagramma delle velocità risulta più “ripido” vicino alle pareti e più “piatto” nella zona centrale;

Il passaggio da moto laminare a motomturbolento si può vedere anche alla luce di un latro parametro detto velocità critica, ricavabile dalla definizione del numero di Reynolds:

8. CONSERVAZIONE DELLA MASSA

Chiunque abbia usato il pollice per regolare l’acqua uscente all’estremo di una manichetta avrà probabilmente osservato che la velocità dell’acqua aumenta notevolmente quando il pollice riduce l’area della sezione trasversale dell’apertura della manichetta. Questo tipo di comportamento dei fluidi è descritto quantitativamente da una relazione nota come equazione di continuità. L’equazione esprime il concetto che la massa di fluido che entra da un estremo di un tubo deve uscire dall'altro estremo se nel tratto considerato non si verificano entrate o uscite di fluido. Per esempio, se un fluido entra in un tubo con una portata in massa di 5 kg/s, esso deve uscire con la stessa portata, sempre che, fra il punto di entrata e il punto di uscita, non ci siano sorgenti né pozzi che aggiungano o sottraggano fluido.

La figura rappresenta una massa elementare di fluido, in moto lungo un tubo. Nella sezione 2 (a monte), il tubo ha una sezione trasversale di area A 2 e il fluido ha (modulo della) una velocità v2. A valle, nella posizione 1, le grandezze corrispondenti sono A1, v1. Durante un piccolo intervallo di tempo t, il fluido nella sezione 2 percorre uno spazio s2 = v2 *t. Il volume di fluido che è fluito per questo punto è A 2s2 = A2v2t. La massa m di questo elemento di fluido è il prodotto della massa volumica per il volume: m = A2v2t .

Dividendo m per t si ottiene la portata in massa Q (la massa che fluisce riferita all'intervallo di tempo divisa per l'intervallo di tempo durante il quale fluisce). Un ragionamento identico conduce alla portata in massa nella posizione 1. Poiché nessuna quantità di fluido può attraversare le pareti laterali del tubo, le portate in massa nei punti 1 e 2 devono essere uguali.

Riassumendo, l’equazione di continuità dice che la portata in massa ha lo stesso valore in ogni posizione lungo un tubo che ha un unico punto di entrata e un unico punto di uscita della corrente fluida. La portata in massa si ricava dalla seguente formula:

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L’unità di misura della portata in massa nel Sistema Internazionale è il kilogrammo al secondo (kg/s).

Nell’ipotesi di Moto Stazionario, la massa di fluido che si trova tra la sezione di ingresso S e di uscita S’ rimane costante: non ci sono né accumuli né fughe di fluido, ma tutto il fluido che entra è uguale alla quantità di fluido che esce

Applichiamo l’equazione di continuità al seguente schema:

……………………………..

9. Legge di Poiseuille

In fluidodinamica, la legge di Poiseuille dimostra che in un condotto dove scorre un fluido viscoso in regime laminare, a parità degli altri parametri, la portata aumenta con la quarta potenza del raggio della condotta:

dove:

ΔP = variazione di pressione (ovvero perdita di carico)

l = lunghezza del condotto

η = viscosità del fluido considerato

La legge di Poiseuille è largamente usata nel calcolo delle perdite di carico nel moto dei fluidi nelle condotte.

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9.1. Resistenza meccanica di un condotto

Si definisce resistenza idraulica R di un condotto la quantità:

La definizione è del tutto generale e vale sia per un moto laminare che per un moto turbolento.Nel caso di moto turbolento la dissipazione di energia per attrito aumenta e quindi la R. risulta, a parità di portata, superiore. Il moto laminare presenta l’importante caratteristica di essere silenzioso. Le turbolenze invece producono vibrazioni spesso udibili come suoni caratteristici mediante uno stetoscopio (apertura e chiusura delle valvole cardiache). Le turbolenza in generale si manifestano quando· Velocità > Vcritica· Velocità cambia rapidamente direzione

In particolare la resistenza R del moto turbolento è proporzionale alla velocità quindi a Q:

dove K è una costante chiamata fattore di attrito che dipende dalla forma del condotto. Questo significa che mentre in un moto laminare la portata Q cresce linearmente al crescere di Dp , nel moto turbolento la portata cresce più lentamente e precisamente Q¥ Dp . Questo significa che l’aumento di resistenza al flusso di una arteria stenotica, in cui il flusso diventa turbolento, è maggiore di quanto si potrebbe dedurre dalla semplice riduzione del raggio del condotto secondo Poiseille.

10. ENERGIA DI UN FLUIDO IN MOVIMENTO

Prima di esaminare il teorema di Bernoulli facciamo due osservazioni riguardo al modulo della velocità, alla pressione e alla quota di un fluido ideale in moto stazionario (corrente irrotazionale, fluido non-viscoso e incomprimibile).

In primo luogo, quando un fluido che fluisce in un tubo orizzontale incontra una regione in cui la sezione trasversale ha un’area ridotta, la pressione del fluido diminuisce come indica la figura. Il motivo è il seguente. Quando si muove verso valle, dalla regione a monte (sezione 2 in figura) alla regione a valle (sezione 1 in

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figura), il fluido aumenta la propria velocità (accelera), come è richiesto dalla principio di conservazione della massa espresso dall'equazione di continuità. Per la seconda legge di Newton, il fluido che accelera deve essere soggetto a una forza non-equilibrata che può esistere soltanto se la pressione nella reg ione 2 è maggiore della pressione nella regione 1. Perciò, in un tubo orizzontale, la pressione diminuisce quando la velocità del fluido aumenta (minore area della sezione trasversale) e, viceversa, la pressione aumenta quando la velocità del fluido diminuisce (maggiore area della sezione trasversale).

In secondo luogo, se il fluido subisce un aumento della quota, come nella figura, la pressione in basso è maggiore della pressione alla sommità. Questa affermazione si basa sulla legge di Stevino.

Ciò detto, affrontiamo lo studio del teorema di Bernoulli costatando che esso altro non è che il principio di conservazione dell’energia meccanica, applicato ad un fluido in movimento.

Per la validità del teorema di Bernoulli non è necessario che il fluido sia non viscoso puntualmente ma basta che il flusso sia incomprimibile, irrotazionale e stazionario. In queste ipotesi, l’equazione può essere ridotta ad una forma semplificata, che può essere espressa nella forma:

in cui:v = velocità del fluido lungo la linea di flusso, g = accelerazione di gravità, h = quota altimetrica (ovvero l'altezza rispetto ad un riferimento orizzontale, del baricentro di una sezione generica del condotto), p = pressione lungo la linea di flusso, ρ =densità del fluido.

Ene

È energia posseduta dall’elemento di fluido in potenza: diviene cioè attuale soltanto quando si realizza la variazione di quota z

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rgia potenziale

Energia cinetica

È energia di movimento

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Energia di pressione

Rappresenta il lavoro effettuato dalle forze di pressione nello spingere la massa di fluido attraverso una sezione

Energia

ALTEZZA GEODETICA

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potenziale per unità di peso (J/N)

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Energia cinetica per unità di peso (

ALTEZZA CINETICA

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J/N)

Energia di pressione per unità

ALTEZZA DI PRESSIONE

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di peso (J/N)

L’equazione di Bernoulli dichiara la conservazione dell’energia posseduta dal fluido nelle varie sezioni:

H1

(m) = C

H2 (m) = Carico totale del liquido che entra nella sezione 1 (J/N)

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EQUAZIONE DI BERNOULLI - CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA (caso ideale)

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arico totale del liquido che entra n

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ella sezione 1 (J/N)

N.B. tale equazione vale solo nel caso di moto stazionario senza perdite di energia: moto a portata costante di un fluido ideale (privo di viscosità) e di condotto ideale (rigido e privo di rugosità) !!

Linea del carico totale: retta orizzontale distante H (carico totale) dalla linea di riferimento;

Linea piezometrica: linea che unisce le quote piezometriche (z+p/g);

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EQUAZIONE DI BERNOULLI - CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA (caso ideale)

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tubi di ristagno (sez 1 e 3): misurano il carico totale H;

tubi piezometrici: misurano il carico piezometrico (z+p/g);

10.1. Teorema di Bernoulli: applicazioni

È un dispositivo per misurare la velocità di un fluido. Supponiamo, per esempio, che si debba determinare la velocità di un fluido in un tubo orizzontale. Si può ottenere la velocità con un venturimetro sostituito a un tratto del tubo, come è illustrato nella figura. Quando il fluido in moto entra nella parte stretta del venturimetro, la velocità del fluido cresce da v2 a v1, e la pressione del fluido decresce da P2 a P1. In base a una misurazione di queste pressioni e alla conoscenza delle aree delle sezioni trasversali del tubo e del venturimetro, si possono determinare la velocità del fluido, e la portata in volume, per mezzo del teorema di Bernoulli (per i fluidi ideali).

È uno strumento per il calcolo della velocità di un fluido che si basa sulla misura della differenza di pressione che si determina tra le apposite aperture di cui è dotato lo strumento. Mediante l’applicazione del teorema di Bernoulli tra le sezioni corrispondenti alle aperture è possibile calcolare il valore della velocità puntuale del fluido. Ponendo lo strumento nella corrente in modo tale che una apertura sia perpendicolare alla direzione del flusso e una o più altre aperture siano parallele alla direzione del flusso, si determina ai capi di dette aperture una differenza di pressione proporzionale alla velocità di scorrimento del fluido stesso

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