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MATEMÁTICA
MÓDULO 13RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS
Professor Renato Madeira
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1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR
PA PB PC PD
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Exemplo: Calcule x na figura a seguir.
PA PB PC PD
2 5 3 3 x
10 1x 3
3 3
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1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.)
Sejam dois segmentos de reta PB e PD de origem comum e os pontos A em PB e C em PD tais que PA · PB = PC · PD então os pontos A, B, C e D são concíclicos.
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1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.)
2PT PA PB
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Exemplo: Calcule x na figura a seguir.
2
2
PC PA PB
x 2 5
x 10
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1. POTÊNCIA DE PONTO EXTERIOR (CONT.)
2 2PA PB d R
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Exemplo: Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e talque 𝐎𝐏 = 𝐑 𝟑. Traça-se por P a secante PAB ao círculo. Se PA = R, entãocalcule AB em função de R.
2 2
2 2
2
PA PB OP R
R R x R 3 R
R R x 2R
x R
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2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR
PA PB PC PD
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Exemplo: Calcule x na figura a seguir.
2
AP BP CP DP
4x 2 2x x 1 4x
4x 8x 0
x 2
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2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR (CONT.)
Sejam dois segmentos de reta AB e CD que se cruzam em um ponto P tal que PA · PB = PC · PD, então os pontos A, B, C e D são concíclicos.
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2. POTÊNCIA DE PONTO INTERIOR (CONT.)
2 2PA PB R d
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Exemplo: Calcule x na figura, onde O é o centro da circunferência.
2 2
2 2
2
PA PB R d
8 3 x 4
x 8
x 2 2
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3. POTÊNCIA DE PONTO
A potência de um ponto P em relação a um círculo de centro O e raio R é dada por
2 2
OPot P d R
O
O
O
P exterior ao círculo d R Pot P 0
P pertence ao círculo d R Pot P 0
P interior aocírculo d R Pot P 0
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Exemplo: Considerando o círculo da figura de centro O, calcule
O O OPot A Pot B Pot C.
2 2 2 2
OPot A OA R 3 5 9 25 16
2 2 2 2
OPot B OB R 5 5 0
2 2 2 2
OPot C OC R 7 5 49 25 24
O O OPot A Pot B Pot C 16 0 24 8
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4. EIXO RADICAL
O eixo radical de dois círculos é o lugar geométrico dos pontos dos quais pode-se traçar tangentes de mesmo comprimento aos dois círculos.
1 2O OP e.r. Pot P Pot P
O lugar geométrico dos pontos cujas potências em relação a dois círculos nãoconcêntricos são iguais é uma reta perpendicular à reta que une os centros dosdois círculos e é chamado eixo radical dos círculos.
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4. EIXO RADICAL (CONT.)
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5. CENTRO RADICAL
O lugar geométrico dos pontos de mesma potência em relação a três círculosnão concêntricos e cujos centros não são colineares é um único ponto,denominado centro radical dos círculos.
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MATEMÁTICA
MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS
Professor Renato Madeira
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(CMRJ 2009) Na figura abaixo, temos um círculo de centro O, em quePA = 3 cm e PB = 2 cm. O valor de PQ é:
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 13 cm
d) 15 cm
e) 20 cm
QUESTÃO 4
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RESOLUÇÃO:
OPÇÃO: B
M AB CD AB CD
AM MB 2,5 MP 0,5
PC PJ PA PB 3 2 6
MPC ~ JPQ A.A.A.
PC MP
PQ PJ
0,5 PQ 6
PQ 12 cm
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MATEMÁTICA
MÓDULO 12RELAÇÕES MÉTRICAS NAS CIRCUNFERÊNCIAS
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(EPCAR 2004) Na figura abaixo, T é ponto de tangência, PQ e PS sãosecantes ao círculo de centro O e MS = 6 cm. Se PN, PM e PT sãorespectivamente proporcionais a 1, 2 e 3, então a área do círculo vale,em cm2 ,
a) 51,84
b) 70,56
c) 92,16
d) 104,04
QUESTÃO 5
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RESOLUÇÃO:
PN kPN PM PT
k PM 2k1 2 3
PT 3k
2
2
PT PM PS PM PM MS
3k 2k 2k 6
12k 0 não convém k
5
2
2
PT PN PQ PN PN NQ
3k k k 2R
12 48R 4k 4
5 5
2248
S 92,16 cm5
OPÇÃO: C
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MATEMÁTICA
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(CN 1996) Na figura, AT é tangente ao círculo, TC e BD são as cordasque se interceptam no ponto E. Sabe-se que existe a relação
22 2 2c d 2ab 4t 4 c d . O valor de x é:c d
a)2
c db)
32c d
c)4
c 2dd)
83c 4d
e)6
QUESTÃO 15
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RESOLUÇÃO:
OPÇÃO: A
2 2AT AB AD t x c d x
TE EC BE ED a b c d
22 2 2
22 2
c d 2ab 4t 4 c d
c d 2cd 4x x c d 4 c d
224x 4 c d x 3 c d 0
3 1x c d ou x c d
2 2
c dx 0 x
2
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(CN 2002) Na figura abaixo, o ponto P do menor arco AB dista 6 cm e10 cm, respectivamente, das tangentes AQ e BQ. A distância, em cm,do ponto P à corda AB é igual a:
a) 30
b) 2 15
c)16
d)18
e) 6 10
QUESTÃO 18
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RESOLUÇÃO:
OPÇÃO: B
ˆ ˆACP AEP 90 90 180 # ACPE é inscritível
ˆ ˆBDP BEP 90 90 180 #BDPE é inscritível
APˆ ˆ ˆ ˆCEP CAP ABP EDP2
BP ˆˆ ˆ ˆDEP DBP BAP ECP2
2
ˆˆ ˆ ˆCEP EDP e ECP DEP CEP ~ EDP
PE PCPE PC PD
PD PE
2
PC 6 cm PD 10 cm
PE 6 10
PE 2 15 cm
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MATEMÁTICA
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20. (CN 2005) Sejam L1 e L2 duas circunferências fixas de raiosdiferentes, que se cortam em A e B. P é um ponto variável exterior àscircunferências (no mesmo plano). De P traçam-se retas tangentes àL1 e L2, cujos pontos de contato são R e S. Se PR = PS, pode-seafirmar que P, A e B
a) estão sempre alinhados.
b) estão alinhados somente em duas posições.
c) estão alinhados somente em três posições.
d) estão alinhados somente em quatro posições.
e) nunca estarão alinhados.
QUESTÃO 20
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RESOLUÇÃO:
Se PR=PS, então o ponto P tem amesma potência em relação àscircunferências L1 e L2. Logo, Ppertence ao eixo radical de L1 e L2, queé uma reta que passa por A e B.
Daí, conclui-se que P, A e B estãosempre alinhados.
OPÇÃO: A
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