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Dinâmica Estocástica
Aula 5
Teorema central do limite&
Aplicações
2
)2/exp(2
1)( 22
2
ZZ
N
xxxxZ N
....321
Distribuição de probabilidades associada a Z
22 )( jx0 jx
Nxxxx ...,,,, 321
jx é tal que: e
Então para N
Teorema central do limite
Se é finita
é uma gaussiana de variância .
Temos:
variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição
Seja: v
Nj ...,,2,1v
2
3
Teorema central do limite
A função característica escrita em termos da expansão em cumulantes é dada por:
Nxxxx ...,,,, 321
)(....)()( 21 kgkgkg N )(kg
1
)!
)(exp()(
n
n
n
n
ikkg
As variáveis possuem a mesma distribuição:
)(kg
))(2
exp()( 3
2
2
1 kOk
ikkg
Demonstração do teorema
vExpansão
4
Teorema central do limite
))(2
exp()( 3
2
2
1 kOk
ikkg
Demonstração do teorema
0...211 xx
22
21
2
2 ... xx
cumulante de primeira ordem
cumulante de segunda ordem
)( 3kO termos de ordem superior a 2 em k (a expansão é para k pequeno)
vv
v
v
5
Teorema central do limite
A função característica associada a Z é dada por:
Nxxxx ...,,,, 321
)()(...)()()( 21 kgkgkgkgkG N
N
As variáveis são variáveis aleatórias independentes e, portanto,
)(kG
ikZkG exp)(
NxxxikkG N /)...(exp)( 21
NxxxxZ N /....321
N
kk Seja:
Demonstração do teorema
v
v
v
6
Teorema central do limite
)()(...)()()( 21 kgkgkgkgkG N
N
N
kk
Mas: ))(2
exp()(3
2
2
1 kOk
kikg
))(2
exp()()(3
2
2
kNOk
NkgkGN
Portanto:
01 Como, , temos: ))(
2exp()(
3
2
2
kOk
kg v
v
Demonstração do teorema
7
Teorema central do limite
Nkk /
2
2
2
2
2
2
2
2
222
1
2
k
N
kN
N
kNN
k
Mas, , o que implica que o termo em do lado direito da expressão acima será: 2
k
))(2
exp()(3
2
2
kNONk
kG (1)
(2)
8
Teorema central do limite
))(2
exp()(3
2
2
kNONk
kG
Portanto:
3/ NkNc
0)(3
kNO Nquando
Portanto o termo em vindo de na exponencial (lado direito da equação para )
pode ser avaliado como:
)(kG
Nkk /
...)(33
kNckNO
)(3
kNO
NN
kcN
3
pois,
(3)
3k
Ou,
.constc
N
kc
3
v )( 2/1 NOv
Demonstração do teorema
9
Teorema central do limite
)2
exp()(22k
kG
Portanto
2
2
)2
exp()( 2
2
k
kG
)2
exp(2
1)(
2
2
2
ZZ
A distribuição associada a Z é uma gaussiana!! Como queríamos demonstrar.
Função característica associada a Z
A partir dos resultados (1), (2) e (3) temos:
Mas, e, portanto,
Demonstração do teorema
2222
2 jjj xxx
0 jx
(*) (*)
10
Teorema central do limite
Seja
NxxxxZ N /....321
NxxxxX ....321ZNX
Encontrar distribuição de probabilidades de X no limite em que N>>1
Nxxxx ,....,,, 321 : variáveis aleatórias independentes e coma mesma distribuição
0....321 Nxxxx
223
22
21
2 .... Nxxxx = variância que é finita
1)( NX
11
Teorema central do limite
NxxxxZ N /....321 ZNX
dXXdZZ )()(
1)(1)( dXXdZZ
dZNdX ZNX NZX /)()(
)2
exp(2
1)(
2
2
2
ZZ )
2exp(
2
1)(
2
2
2
N
X
NX
v
v
12
Teorema central do limite
NxxxxZ N /....321
ZNX NZX /)()(
)2
exp(2
1)(
2
2
2
ZZ
)2
exp(2
1)(
2
2
2
N
X
NX
1N
1N
Mas, acabamos de encontrar que pelo teorema central do limite temos:
Portanto:
Aplicação
Caminho aleatório & Teorema central do limite
14
Caminho aleatório em uma dimensão
Qual é a probabilidade dela estar na posição depois de passos, partindo de ? 0n
Uma pessoa caminha sobre uma reta.
Partindo da origem a cada instante de tempo ela dá um passo para a direita ou para a esquerda com igual probabilidade.
( )nP n
15
Variável aleatória , , que assume o valor
com probabilidade ½ e o valor
com probabilidade ½ .
j
2/1)1()1( jj pp
1,2,...,j n
1j 1j
1j passo
j
j
1j
para a esquerda.1j
passo para a direita.
Caminho aleatório em uma dimensão
16
1j
Depois de passos a posição será:
1( ... )nx
n
Como todos os passos são independentes
então a variável é uma soma de variáveis independentesx jn
Caminho aleatório em uma dimensão
17
nx ....21
0 x
)()(1
1 jjj pj
A média de cada uma das variáveis aleatórias é dada por:
2/1)1()1( jj pp
{ 1/ 2 1/ 2} 0j
Como: 0 j
1 2( .... )nx Agora
Caminho aleatório em uma dimensão
18
nx 22
2 2 2
0( ) ( )
n
j jx n n
Variância de x é proporcional ao número de passos.
12 2 2 2
1
1 1( ) ( 1) ( 1) 1
2 2j j jp
As variáveis são independentesj
2x
Caminho aleatório em uma dimensão
19
)(...)()()( 21 kgkgkgkG n
( ) exp( )j jg k ik
Probabilidade de a pessoa estar em depois de n passos.)(nP
Variável aleatória= n )....( 21 nx pois
x
Função característica ( )G k
Como as variáveis são independentesj
Em que, j=1,2,..., n
n
n
n ikPkG
)exp()()(
Caminho aleatório em uma dimensão
20
)(...)()()( 21 kgkgkgkG n )exp()( 11 ikkg
n
ikikkG
)}exp(
2
1)exp(
2
1{)(
n
n
n ikPkG
)exp()()(
)}exp(){exp(2
1)()exp()( 1
1
1 11
1
1
ikikpikkg
Caminho aleatório em uma dimensão
Mas,
21
expansão binomial
n
n ikikkG
)}exp(
2
1)exp(
2
1{)(
0
1)
2
nnm n m
i k i k
m
nG k e e
m
jnjn
j
n yxj
nyx
0
)(
)exp(ikx
)exp( iky
2
(2 )
0 0
1 1)
2 2
n nn nm n
i k i k m n
m m
n nG k e e
m m
Caminho aleatório em uma dimensão
22
2m n 2
nm
2
(2 )
0 0
1 1)
2 2
n nn nm n
i k i k m n
m m
n nG k e e
m m
0m n
m n n
Função característica 1
)2
2
nni k
n
n
G k en
Caminho aleatório em uma dimensão
23
( )( ) ( ) ik
n
n
G k P e
n
n nn
nP
2
1
)!2
()!2
(
!)(
!
( )! ( )!( ) 2
2 2
n n
n nn
1)
22
nni k
n
n
G k en
Comparando as duas equações acima obtemos a distribuição de probabilidades desejada:
Probabilidade de a pessoa estar
em depois de passosx n
Mas,
Caminho aleatório em uma dimensão
24
Limite para
0 j
22 1)( j
nn
Z n
....321
1n
Passeio aleatório & Teorema central do limite
25
Limite para
Utilizando o teorema central do limite
0 j 22 1)( j
nn
Z n
....321
)2/exp(2
1)( 2ZZ
1n
Caminho aleatório & Teorema central do limite
1n
26
Limite para
Utilizando o teorema central do limite
1n
Caminho aleatório & Teorema central do limite
n ....321 Zn
dPdZZ n )()( dZnd nZPn /)()(
)2/exp(2
1)( 2 n
nPn
nn
Z n
....321
Aplicação
Modelo de Ising & Teorema central do limite
28
Aplicação
Modelo de Ising & Teorema central do limite
Energia associada a configuração
1,1 i
)...,,,...,( 1 Ni
ii
é uma variável que assume dois valores:
especifica uma configuração do sistema.
),(
)(ji
jiJE :
em que a soma é sobre pares de .constJ
N
iCada sítio . um átomo magnético com momento
)...,...,,2,1( Ni
,
está ocupado um átomo magnético cujo momento
i
.const
primeiros vizinhos e
Seja uma rede com sítios
Modelo de Ising
e
de dipolo magnético
em que
0J : interações ferromagnética
(para campo externo nulo)
29
Para temperaturas acima da temperatura crítica o sistema se encontra no estado paramagnético (desordenado):
|| m
o parâmetro ordem se anula paracTT (sistema infinito).
cTT 0|| m
Esboço do diagrama de fase do modelo de Ising bidimensional a campo nulo
T0
cT
cT Temperatura crítica.
F P
F
P
Fase ferromagnética.
Fase paramagnética.
T Temperatura
Onde se dá uma transição entre as fasesP e F (transição de fase).
|
Para temperaturas abaixo da temperatura crítica o sistema se encontra no estado ferromagnético (ordenado).
|| m
Parâmetro ordem
para
30
cT T
cT temperatura crítica
estado ordenado
Simulações de Monte Carlo em redes quadradas regulares.
Instantâneos da rede gerados utilizando a prescrição de Metropolispara o modelo de Ising.
cT T cT T
estado desordenadoT muito próximada crítica.
“Spin para baixo”
“Spin para cima”
1i
1i
Modelo de Glauber- Ising
Magnetização versus temperatura (kT/J, J>0) para o modelo de Ising definido em uma rede quadrada de tamanho N=LxL.
é o parâmetro de ordem para essa transição
m
Fase ferromagnéticaordenada
Fase paramagnéticadesordenada
26918,2/ JTkcB
)21ln(2
1/
1
JTk cB
440687,0/1
JTk cB
Landau &Binder (2000)
m
0m 0m
As curvas correspondem à redes quadradas regulares de diferentes tamanhos LxL
Modelo de Ising
32
i uma variável aleatória
Consideremos um dinâmica estocástica associada ao modelo de Ising: modelo de Glauber-Ising.A partir de uma configuração inicial aleatória gera-se outras configurações por meio da dinâmica. Para isto podemos, por exemplo, utilizar a prescrição de Glauber e atualização assíncrona.(vamos ver a prescrição de Glauber e atualização, neste curso, mais adiante!!)
1,1 i
O modelo de Glauber-Ising possui simetria “up-down” (simetria de inversão):
i i )...,...,,2,1( Ni O hamiltoniano e a dinâmica ficam invariantes
Modelo de Glauber-Ising
33
Temperatura T
iAs variáveis aleatórias se tornam estaticamente independentes
Neste caso cada variável tem probabilidade ½ dei
2
1)1( ip
2
1)1( ip
um dos seus dois possíveis valores:
Modelo de Glauber- Ising
assumir qualquer
Consideremos o regime de altas temperaturas
Sistema no estado paramagnético
1i
1i
com
com
c
c
02
1)1(
2
1)1( i c
34
Pois:
1)1(2
1)1(
2
1 221
2
A 1
01 é igual a 1
1122
1... 22
21
22 N
Todas as variáveis têm a mesma variância:i
T
e como:
Consideremos o regime de altas temperaturas:
variância de
cT Tou
cTTemperatura crítica
Modelo de Glauber- Ising
35
2
2 1 2( ..... )NZN
2121 N ...,,, 21 são independentes. Então:
Obtivemos (slide anterior) que:
0....21
2
12 2
1Z NN
1... 222
21
2 N
Portanto, a partir da Eq. (1) e usando (2), (3) e (4), obtemos:
2 2 1Z
2
1 1 2 1 3 1... ...NN
N
(1)
(2)
(3)
(4)
N
Z N
....321Definindo:
Modelo de Glauber- Ising
c
36
(3)1... 22
21
22 N
cT T
Modelo de Glauber- Ising. & Teorema central do limite
N ...,,, 21 variáveis aleatórias independentes.
Levando em conta as condições (1), (2) e (3) e definindo
0....21
Obtivemos (slide anterior) que a variância
de todas as variáveis é igual e finita:
(2)
(1)
2
O teorema central do limite implica que a distribuição de
N
Z N
....321
)2/exp(2
1)( 2ZZ
Distribuição de probabilidades associada a
Z
para N
é uma gaussiana.Z
11
22
N
N
N
NZ
é Variância:
37
NN
N
.....21Μm
)2/mexp(
)2
(
1)m( 2N
N
N
NNN
N
N
1Mm
2
2
122
2
0.....21
Nm N
m
N finito suficientemente grande).(mas
Forma assintótica para
= variância de m.
A distribuição de
(m)N
NN
N
.....m 21Μ
Modelo de Glauber- Ising. & Teorema central do limite
38
(m) ( )N dm Z dZ
mM
N
MZ
N m
Z
N
(m) 1 ( ) 1N dm Z dZ
1(m) ( )N Z
N
221 1
(m) exp( / 2) exp( )22 2
N
NmN Nm
N
(*) Observação
Modelo de Glauber- Ising. & Teorema central do limite
39
)2/exp()2(
1)( 22
2
Nm
N
mN
Nm N
.....21
0
.....21
N
m N
NN
Nm i
2
2
2
2
= variância de m.
À medida em que N cresce a variância de m vai a zero.
Para N tendendo a infinito a distribuição de m
)(mtende a uma delta de Dirac como devemos esperar.
2
N
= desvio quadrático de m.
Modelo de Glauber- Ising. & Teorema central do limite
40
1NN
12 NNN
23 NNN
FIM