U. DE CHILEINGENIERIAUniversidaddeChileEscueladeIngenieraDepartamentodeIngenieraMatematicaECUACIONESDIFERENCIALESORDINARIASMA26A7deJuliodel2004ObservacionesCapitulos1,2,3redactadosporelalumnoOscarPeredoapartirdeunapuntedeAxelOsses.Capitulos4,5redactadosporelalumnoAndredeLaireapartirdeunapuntedeAxelOsses.Capitulo6seccion1redactadoporelalumnoRicardoMenaresapartirdeunapuntedelcursodeLeonardoSanchez.Capitulo6seccion2redactadoporelalumnoRicardoMenaresapartirdeunapuntedelcursodeFelipeAlvarez.Indicegeneral1. EcuacionesDiferencialesOrdinariasElementales 91.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. IntegracionDirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3. VariablesSeparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. EDOlinealdeprimerordenhomogenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.5. EDOlinealdeprimerordennohomogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5.1. ExistenciayUnicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6. Ecuacionesreductiblesaloscasoselementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.1. Ecuacioneshomogeneasdealg ungrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2. Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.3. Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.6.4. EDOdesegundoordendondenoaparecelavariabledependiente . . . . . . 231.6.5. EDOdesegundoordendondenoaparecelavariableindependiente . . . . . 241.7. Poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.1. ModelodeMalthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.2. Modelomalthusianomasrealista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7.3. Modelologstico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.7.4. Modelocazador-presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.5. Modeloepidemiologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7.6. Modelodealelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8. EcuacionesExactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322. EcuacionesDiferencialesOrdinariasdeordensuperior 3832.1. EcuacionesLinealesdesegundoorden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.1. SolucionHomogeneaacoecientesconstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2. Solucion Particular a coecientes constantes (Metodo de Lagrange o VariaciondeParametros) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.3. Solucionacoecientesvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.4. IndependenciaLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. EcuacionesLinealesdeordenn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.1. Transformacionaunsistemavectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2.2. ExistenciayUnicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.3. Espacios Sy H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.4. Wronskianodedimensionn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2.5. CoecientesVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.6. CoecientesConstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613. TransformadadeLaplace 693.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2. Elespacio C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3. Funcionesespeciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.1. EscalondeHeaviside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.2. Pulsoentreayb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.3. DeltadeDirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4. Transformadadeunaderivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5. Transformadadeunaintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.6. Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7. Igualdaddetransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.8. ConvergenciaUniformede L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9. Diferenciabilidadeintegrabilidadde L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.9.2. Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.10. Convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.11. FraccionesParciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.12. Antitransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8644. SistemasLinealesdeEDO 924.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2. SistemasLinealesenR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1. Metododesustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.2. MetododeTransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3. ExistenciayUnicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4. SistemasHomogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.5. SolucionesParticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.6. ExponencialdeunaMatriz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.6.1. Casodiagonalizable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.6.2. Casonodiagonalizable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215. EcuacionesDiferencialesNoLineales 1315.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2. ExistenciayUnicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3. SistemasCuasilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4. DiagramasdeFase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.4.1. SistemasLineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.5. EstabilidadconfuncionesdeLiapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676. SeriesdepotenciasyfunciondeBessel 1726.1. Solucionesenformadeseriesdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.1.1. Seriesdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1726.1.2. Elmetododelaseriedepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.1.3. Justicaciondelmetodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.1.4. MetododeFrobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.2. LaecuaciondeBesselenunaaplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1845Indicedeguras1.1. DossolucionesdelaEDOy = 0igualessalvoconstanteencadaintervalo(2). . . . 121.2. CurvaBraquistocronaconx [0,2],y [1, 0],parametrok = 1yconstanteC= 0. 141.3. Comportamientode latemperaturade uncuerpoT(t) frente aunatemperaturaambienteconstanteTA(t) = 0(k = 1, w = 1)yconstanteC= 10. . . . . . . . . . . 181.4. Relacionentresen =kk2+w2ycos =wk2+w2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5. Comportamientode latemperaturade uncuerpoT(t) frente aunatemperaturaambienteoscilanteTA(t) = 0 + 10 sen(t)(k= 1, w = 1)yconstanteC= 10. . . . . . 201.6. Boteconrapidezbcruzandounrocuyacorrientetienerapideza. . . . . . . . . . . 211.7. Poblacionmundialdesde1500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Poblacionmundialytasadecrecimientoentre1950y2050 . . . . . . . . . . . . . . 261.9. PoblacionytasadecrecimientodeChileentre1950y2050 . . . . . . . . . . . . . . 271.10. PoblacionytasadecrecimientodeIndiayZimbabweentre1950y2050. . . . . . . 291.11. Sistemamecanicodeunresorteyunamasa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.12. Sistemamecanicodeunacadenabajoelefectodegconunextremocayendo. . . . . 362.1. Analogaelectromecanica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2. Regimen Sobreamortiguado (arriba), Criticamente Amotiguado (centro) y Subamor-tiguado(abajo),conC1= C2= 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3. Posiblesvaloresde1y2enC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4. DiagramadeBifurcacionde1(b)y2(b)enC,conb 0. . . . . . . . . . . . . . . 432.5. Representaciondelosespacios Hy Sen2dimensionessobre C2(I). . . . . . . . . . 563.1. Gracodelaondacuadrada.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2. Gracodelaondadedientesdesierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.3. RegiondondelasfuncionessondeordenexponencialconC= 100y =15. . . . . . 7363.4. EscalondeHeavisidecona = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.5. Pulsoentrea = 3yb = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.6. Distintasfuncionesfn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.1. Polucionendosestanquesdelejemplo4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Comportamientodelapolucionenestanque2delejemplo4.2.2 . . . . . . . . . . . 974.3. Masasatmosfericasdelejemplo4.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.4. Modelamientodelosamortiguadoresdeunautodelejemplo4.6.1 . . . . . . . . . . 1175.1. Solucionesdeequilibrioparaelmodelodeconejosyovejas . . . . . . . . . . . . . . 1405.2. Solucionesdeequilibriodelpendulonolineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.3. Solucionesdeequilibriodelpendulolinealizadoentornoalorigen . . . . . . . . . . 1425.4. IntersecciondeConicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435.5. Soluciones(5.5)y(5.6)parak> 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.6. SoluciondelsistemaparaunacondicioninicialenelplanodefasesXY . . . . . . . 1465.7. Diagramadefasecompletoparak = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.8. Diagramadefaseparak= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.9. Diagramadefaseparak= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.10. Diagramasdefasede(5.7)paradoscondicionesiniciales . . . . . . . . . . . . . . . 1495.11. Solucionesde(5.7)paradoscondicionesiniciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.12. Unicidaddelatrayectoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505.13. IntersecciondeRecorridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.14. Alaizquierda,elrecorridoorientadode(5.10), yaladerechaelde(5.11). . . . . . 1515.15. Trayectoriasqueconvergenalorigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.16. Puntosilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.17. Diagramadefasedel sistema(5.12). Alaizquierda0, yaladerecha > 0,< 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.18. Diagramadefasedel sistema(5.12). Alaizquierda 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1555.19. Diagrama de fase del sistema(5.12) para = 0. A la izquierda> 0, y ala derecha< 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565.20. Diagramasdefasede(5.13) para2/1> 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585.21. Diagramasdefasede(5.13) para2/1< 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15975.22. Diagramasdefasede(5.13) para2y1< 1designosdistintos. . . . . . . . . . . 1595.23. Diagramasdefasedelmodelodeconejosyovejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1615.24. Diagramasdefasedelpendulosubamortuguado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1635.25. Planotraza/determinante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1658Captulo1EcuacionesDiferencialesOrdinariasElementales1.1. IntroduccionDenicion1.1.1. Unaecuaci ondiferencial ordinaria(EDO)esunaidentidaddelaformaF(x, y(x), y(x), . . . , y(n)(x)) = 0dondexeslavariableindependienteeyeslaincognita(funcion).Sedicequeesordinariasisederivaconrespectoaunavariable.Sisederivaconrespectoavariasvariables,sehabladeecuaciondiferencialparcial.Elordendeunaecuacion diferencial es el gradodederivacion maximo queapareceenlaecuacion.El gradodeunaecuaciondiferencialeselexponentedeladerivaci ondemayororden.UnaEDOeslinealsitienegrado1,ordennyesdelaformaan(x)y(n)+ an1y(n1)+ + a1(x)y + a0y = Q(x),conai(x) R, i {1, . . . , n}(coecientes).SiQ(x) = 0,laecuacionsedicehomogenea.SiQ(x) = 0,laecuacionsedicenohomogenea.Siloscoecientesai(x)nodependendex,sedicequelaEDOesacoecientesconstantes.Delocontrariosedicequeesacoecientesvariables.Sian(x) = 1,laEDOestaenformanormal(normalizada).Ejemplo1.1.1. xy+c sen(x)y= tan(x). EDO lineal, de orden 1, grado 1, a coecientesvariables,nohomogena.Ejemplo 1.1.2.y2y= 0. EDO lineal, de orden 2, grado 1, a coecientes constantes, homogenea.Ejemplo1.1.3. 2gy(1 + (y)2) = 0.EDOnolineal,deorden1,grado2,acoecientesconstantes.9Enestecapituloseestudiaran4tiposdeEDOelementales:1. Integraciondirecta(y = f(x)).2. Variablesseparables(y = f(x)g(y)).3. EDOlinealdeorden1homogenea(y + a0(x)y= 0).4. EDOlinealdeorden1nohomogenea(y + a0(x)y= Q(x)).1.2. IntegracionDirectaParalaEDOy = f(x)seobtienequey=_f(x)dx + CconC Rconstante.Ejemplo1.2.1. y = sen(x):y =_sen(x)dx + C= cos(x) + CEjemplo1.2.2. y = x:y =_xdx + C=x22+ CEjemplo1.2.3. y =1x, x = 0:y =_dxx+ C= ln(|x|) + C= ln(|x|) + ln(k), (k> 0)= ln(k|x|)10Siy = f(x)conx I,intervalorealnovacoyconexo,setieneparax0 I:_xx0y(x)dx =_xx0f(x)dx, x IPorteoremafundamentaldelcalculo(TFC),setienequey(x) =_xx0f(x)dx + y(x0),cony(x0)constante.Ejemplo1.2.4. y =1x, x = 0 : x0= 1, x > 0:_x1y(x)dx =_x1dxxy(x) y(1) = ln(x)x1y(x) = ln(x) ln(1) +y(1)y(x) = ln(x) + y(1)Six0= 1, 1 < x < 0:_x1y(x)dx =_1xdxxy(x) y(1) = ln(|x|)x1y(x) = ln(x) + y(1)1.2.1. UnicidadSisetieneelsiguientesistemaparax I(intervaloconexonovaco):y1(x) = f(x)y2(x) = f(x)Restandoambasecuaciones,seobtiene(y1y2)= 0y1y2= Cy1= y2 + Clas2solucionessonigualessalvounaconstanteC RenunintervaloI.Porlotanto,lasoluciondeunaEDOesunafamiliauniparametricadecurvasenunintervaloI.Enlagura(1.1), seobservaqueencadaintervalo, ambascurvaspresentanlamismaderivada,y = 0,loqueimplicaquesonsolucionesdelaEDOy = 0encadaintervalo[i, i + 1], i N.110 1 2 3 4 510.500.511.520 1 2 3 4 510.500.511.52Figura1.1:DossolucionesdelaEDOy = 0igualessalvoconstanteencadaintervalo(2).1.3. VariablesSeparablesParax I(intervaloconexonovaco),setienelaEDO:y = f(x)g(y)Lasolucionseobtienedelaforma(g(y) = 0):yg(y)= f(x)1g(y)dydx= f(x)_dyg(y)=_f(x)dx + CconC Rconstante.Ejemplo1.3.1. y = xy:f(x) = x, g(y) = y, y = 0_dyy=_xdx + Cln(|y|) =x22+ C|y| = exp_x22+ C_|y| = exp(C) exp_x22_|y| = k exp_x22_, k= exp(C)Por lo tanto la solucion es y= k exp_x22_, con k = 0. Si agregamos la solucion y= 0, se tendra y=k exp_x22_,conk R.12Cuandoseconsiderag(y) =0, seestaneliminandoposiblessolucionesconstantesdelaEDOquenohayquedespreciar.Ejemplo1.3.2. y = cos2(y) :f(x) = 1, g(y) = cos2(y), y =2+ k_dycos2(y)=_dx + C_sec2(y)dy = x + Ctan(y) = x + Cy = arctan(x + C), C RFinalmente,hayqueagregarlassolucionesconstantesy=2+ k.Siseintegraentrex0 Iyx Iaambosladosde(1.1),setieneque_xx0y(x)dxg(y(x))=_xx0f(x)dxconsiderandos = y(x) ds = y(x)dx,_y(x)y(x0)dsg(s)=_xx0f(x)dxSiG(s)esprimitivade1g(s)yF(x)esprimitivadef(x),setienequeG(y(x)) = F(x) F(x0) + G(y(x0))= F(x) + Ccon C= F(x0) +G(y(x0)) constante. Las condiciones para que (1.1) son que1g(y)sea integrable conrespectoayyquef(x)seaintegrableconrespectoax.Ejemplo1.3.3(Braquistocrona). Sedenominaasi alacurvaquedescribeuncuerpoquesedesplazadesdeunpuntoaotrodemenoraltura(noenlamismavertical), bajolaacciondelagravedadterrestre,enelmenortiempoposible.

LaEDOquedescribeelmovimientoes(conk R):y(1 + (y)2) = k2130 0.5 1 1.510.80.60.40.20XYFigura1.2:CurvaBraquistocronaconx [0,2],y [1, 0],parametrok= 1yconstanteC= 0.utilizandoelmetododeseparaciondevariables,setieney=_k2yy_12. .g(y) 1..f(x)_y12dy_k2y=_dx + Chaciendoelcambiodevariabley = k2sen2 dy= 2k2sen cos d,_k sen 2k2sen cos dk cos = x + C2k2_sen2d = x + C2k2_1 cos22d = x + C2k2_2 sen 24_= x + Cx = 2k2_2 sen 24_Cporlotanto,setienequex = x()ey= y():x =k22(2 sen 2) Cy =k22(1 cos 2)14si= 2, R,x =k22( sen ) Cy =k22(1 cos )lasolucionesunafamiliabiparametricadecurvas.1.4. EDOlinealdeprimerordenhomogeneaParax I(intervaloconexonovaco)setienelaEDO:a1(x)y + a0(x)y= 0Normalizandoloscoecientes,esdecir,cona0(x) =a0(x)a1(x), a1(x) = 0:y = a0(x)ySepuedeaplicarelmetododevariablesseparablesconf(x) = a0(x)yg(y) = y:ln(|y|) = _a0(x)dx + C|y| = k exp__a0(x)dx_, k > 0y = k exp__a0(x)dx_, k REjemplo1.4.1. ycos x +1cos xy = 0:x =2+ ky +1cos2xy = 0y + y sec2x = 0y= y sec2x_dyy= _sec2xdx + Cln(|y|) = tanx + Cy = k exp(tanx), k R151.5. EDOlinealdeprimerordennohomogeneaParax I(intervaloconexonovaco),setienelaecuacion:a1(x)y + a0(x)y= Q(x)Normalizando(a0(x) =a0(x)a1(x), Q(x) =Q(x)a1(x), a1(x) = 0):y + a0(x)y= Q(x)Enestaetapaseutilizaelmetododelfactorintegrante,queconsisteenmultiplicaraambosladosdelaecuacionporel factorexp__a0(x)dx_, demaneraqueenel miembroizquierdoaparezcaunaexpresionqueresultadederivary exp__a0(x)dx_conrespectoax:yexp__a0(x)dx_+ ya0(x) exp__a0(x)dx_= Q(x) exp__a0(x)dx__y exp__a0(x)dx__= Q(x) exp__a0(x)dx_y exp__a0(x)dx_=_Q(x) exp__a0(s)ds_dx + CMultiplicandoporexp__a0(x)dx_,lasolucionquedadelaforma:y = C exp__a0(x)dx_. .yh+exp__a0(x)dx__Q(x) exp__a0(s)ds_dx. .ypdonde yhsedice solucionhomogenea(si Q(x) = 0)e ypse dice solucionparticular (si Q(x) =0).1.5.1. ExistenciayUnicidadParademostrar laexistenciayunicidadde lasolucionde unaEDOlineal de primer ordennohomogeneaconcondicionesinicialesdadas, sepuedeverlademostracionrealizadaenlaseccion(2.2.2)paraelcason = 1.16Ejemplo1.5.1(LeydeOsmosis). LaOsmosissedenebasicamentecomoel movimientodeaguadesdeunasolucionconbajaconcentraciondesoluto(solucionA)atravesdeunamembranasemipermeable hastaunasolucionconaltaconcentraciondesoluto(solucionB). Si CA(t) es lacantidad de agua que hay en la solucion A, C0Aes la cantidad inicial de agua en A y C0Bla cantidadinicladeaguaenB,laEDOquemodelaestefenomenoes:CA(t) = _C0A + C0B2CA(t)_, > 0renombrandoC0A + C0B2= M,setieneCA + CA= MCA exp__dt_+ CA exp__dt_= M exp__dt_CAet+ CAet= Met_CAet_= MetCAet=_Metdt + CCA= Cet+ Met_etdtcomo_etdt =1et,setienequeCA(t) = Cet+ MconC R. Elresultadoesunafamiliauniparametricadecurvas(parametroC). Sievaluamosenel tiempoinicial t=0,sepuedeencontrarelvalordelaconstanteC,esdecir, CA(0)=C+ MyCA(0) = C0A,luegoC= C0AM=C0AC0B2.Porlotanto,lasolucionesCA(t) =_C0AC0B2_et+C0A + C0B2Ejemplo1.5.2 (Ley de enfriamientode Newton).Cuando la diferencia de temperaturas entreuncuerpoyel medioambienteespeque na, el calortransferidoenunaunidaddetiempohaciaelcuerpoodesdeel cuerpoesproporcional aladiferenciadetemperaturaentreel cuerpo(T)yelmedioambiente(TA). LaEDOquemodelalavariaciondetemperaturadeuncuerpoenfunciondeltiempoes(suponiendoTAconstante)T(t) = k(TAT(t))17donde kesunaconstantequedependedel area, calor especcoy masadelcuerpo. Si T(0) = T0eslatemperaturainicialdelcuerpo,ysuponindoqueT0> TA,setieneT + kT = kTATekt+ kTekt= kTAekt_Tekt_= kTAektTekt= k_TAektdt + CT = Cekt+ TAevaluandoent = 0,seobtieneC= T0TA,porlotantoT(t) = (T0TA)ekt+ TA0 5 10 15 20 25 3020246810Figura 1.3: Comportamiento de la temperatura de un cuerpo T(t) frente a una temperatura ambienteconstanteTA(t) = 0(k = 1, w = 1)yconstanteC= 10.Si TAestaenfunciondel tiempodelaformaTA(t) =T0A+ Asen(wt)(oscilante) lasolucionseobtienedelaformaT(t) = Cekt+ T0A + kekt_Asen(wt)ektdt (1.1)Desarrollando_Asen(wt)ektdtseobtiene_Asen(wt)ektdt = A_sen(wt)ektdt= A_1k_wcos(wt)ektdt +1k sen(wt)ekt_= A_w2k2_sen(wt)ektdt wk2 cos(wt)ekt+1k sen(wt)ekt_18loqueimplicaque_1 +w2k2__sen(wt)ektdt =ektk_sen(wt) wkcos(wt)_luego,_Asen(wt)ektdt =Akk2+ w2ekt_sen(wt) wkcos(wt)_.Porlotanto(1.1) quedadelaformaT(t) = Cekt+ T0A +Ak2k2+ w2_sen(wt) wkcos(wt)_T(t) = Cekt+ T0A +Akk2+ w2_kk2+ w2sen(wt) wk2+ w2cos(wt)_Siconsideramossen =kk2+ w2ycos =wk2+ w2,setienekwFigura1.4:Relacionentresen =kk2+w2ycos =wk2+w2.T(t) = Cekt+ T0A +Akk2+ w2(sen() sen(wt) cos() cos(wt)). .cos(wt+)Finalmente,T(t) = Cekt. .yh+T0AAkk2+ w2cos(wt + ). .yp1.6. Ecuacionesreductiblesaloscasoselementales1.6.1. Ecuacioneshomogeneasdealg ungradoDiferentesalasEDOlinealeshomogeneas,dondeQ = 0.Sondeltipoy =f(x, y)g(x, y)190 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10086420246810Figura 1.5: Comportamiento de la temperatura de un cuerpo T(t) frente a una temperatura ambienteoscilanteTA(t) = 0 + 10 sen(t)(k= 1, w = 1)yconstanteC= 10.donde f(x, y) = kf(x, y) y g(x, y) = kg(x, y). Se dice que fy g son homogeneas de gradok.Pararesolverlas,seprocededelasiguientemanera:y=f(x, y)g(x, y)=f_x 1, x yx_g_x 1, x yx_=xkf_1, yx_xkg_1, yx_=f_1, yx_g_1, yx_= h_yx_20Haciendoelcambiodevariablez=yx y= xz y = xz + z,setienequexz + z = h(z)xz= h(z) zzh(z) z=1x_dzh(z) z=_dxx+ CEjemplo1.6.1. Sobreunro,enlaposicionP= (c, 0),unbotetratadealcanzarlaorillasituadaenlaposicionO=(0, 0)comosemuestraenlagura.SequierecaracterizarlaposicionenelejeOYconrespectoalaposicionenel ejeOX. Larapidezdelacorrientedel roesaendireccion(0, 1). La rapidez del bote es b en direccion (cos , sen ) apuntando hacia O. Si las coordenadasdelboteenuntiempodadosonB= (x, y),larapidezencadaejeestadadapordxdt= b cos dydt= b sen aFigura1.6:Boteconrapidezbcruzandounrocuyacorrientetienerapideza.Aplicandoregladelacadenaadydx, yrecordandoquecos =x_y2+ x2ysen =y_y2+ x2, se21tienequedydxdxdt=dydtdydx=dydtdxdt=_b cos b sen a_=a + b_y_y2+ x2_b_x_y2+ x2_=a_x2+ y2bybxesta ultimaecuacioneshomogeneadegrado1, porlotanto(recordandoel cambiodevariablez=yx xz + z= y)y=a1 +z2bzbxz + z =ab1 +z2+ zz1 +z2=abx_dz1 +z2=abln x + Cln(z +1 +z2) =abln x +abln k, k > 0ln(z +1 +z2) = ln(kx)abz +1 +z2= (kx)ab1 +z2= (kx)2ab2z(kx)ab+ z2z =12_(kx)ab(kx)ab_yx=12_(kx)ab(kx)ab_y =x2_(kx)ab(kx)ab_laconstanteksepuedecalculardelacondicioninicialy(x = c) = 0 k=1c.221.6.2. BernoulliLaecuaciondeBernoulliesdelaforma(n = 0)y + p(x)y = q(x)yncon p, q funciones de x. Se realiza el cambio de variable z= y1nz= (1n)yny. Multiplicando(1 n)ynaambosladosdelaecuacion,queda(1 n)yny + p(x)(1 n)y1n= (1 n)q(x)z + p(x)(1 n)z = (1 n)q(x)queresultaserunaecuacionlinealnohomogeneadeprimerordennormalizada.Ejemplo 1.6.2 (Modelo Logstico de poblacion).El modelo logstico se explica en la subseccion(1.7.3).1.6.3. RiccatiLaecuaciondeRiccatiesdelaformay = p(x)y2+ q(x)y + r(x) (1.2)con p, q, r funciones de x. Se realiza el cambio de variable y= y1+1z, donde y1 es solucion trivial de(1.2) (y1= p(x)y21 +q(x)y1+r(x)). Derivando con respecto a x se tiene y = y1 zz2y reemplazandoen(1.2),y1zz2= p(x)_y1 +1z_2+ q(x)_y1zz2_+ r(x)y1zz2= p(x)y21 + 2p(x)y1z+p(x)z2+ q(x)y1 +q(x)z+ r(x)y1zz2= [p(x)y21 + q(x)y1 + r(x)] + 2p(x)y1z+p(x)z2+q(x)zz= 2p(x)y1z p(x) q(x)zz + (2p(x)y1 + q(x))z = p(x)queresultaserunaEDOlinealdeprimerordennohomogeneaenlavariablez.1.6.4. EDO de segundo orden donde no aparece la variable dependienteEnlaecuacionG(x, y, y) = 023noaparecelavariableyexplicitamente. Enestoscasosserealizaelcambiodevariablep = y,conlocuallaecuacionsetransformaenG(x, p, p) = 0queesunaEDOdeprimerorden.Porlotanto,latransformaci oneslasiguiente:G(x,y,y)=0UnaEDOdeorden2 _G(x,p,p)=0y=pDosEDOorden11.6.5. EDOdesegundoordendondenoaparecelavariableindependi-enteEnlaecuacionH(y, y, y) = 0no aparece la variable x explicitamente.Se realiza el cambio de variable p = y =dydxed2ydx2=dpdx=dpdydydx=dpdyp,conlocuallaecuacionsetransformaenH_y, p, pdpdy_= 0queesunaEDOdeprimerordenenlavariablepconvariableindependientey. Porlotanto, latransformaciones:H(y,y,y)=0UnaEDOdeorden2 ___H_y, p, pdpdy_= 0y=pDosEDOorden1,devariablesindependientesxey1.7. PoblacionesEl objetivodeestaseccioneshacerunrecorridoporlaresoluciondeecuacionesdiferencialesor-dinariasatravesdeuntemaapasionanteeinterdisciplinariocomoesel temadeladinamicade24poblaciones. Laideaesmostrardiversassituacionesdescritaspormodelosdeecuacionesdiferen-ciales(oecuacionesdediferencias)ymotivarlamodelaci onporpartedelpropioalumno.La mayora de las veces los modelos parten de consideraciones simples e intuitivas de la realidad y, sinembargo, nos llevan a analizar y cuanticar situaciones complejas que estan lejos de la comprensioninmediata,loquenospermitereinterpretarconprofundidadlarealidadquelosorigino.1.7.1. ModelodeMalthusEl siguiente graco muestra el poblamiento de la Tierra en los ultimos 500 a nos. Se espera que paraela no2050,lapoblacionmundialcrezcaamasde9 109sereshumanos.Figura1.7:Poblacionmundialdesde1500El modelomassencilloparalaevolucionPdeunapoblacionesel deunaEDOlineal deprimerordenhomogenea(modelomalthusiano):P= (t)P (1.3)dondelafuncionrepresentalaevoluciondelatasadecrecimientonetadelapoblacionatravesdeltiempo(tasadenacimientomenostasademortalidad).Lasolucion,paraunapoblacioninicialP0ent = t0dadaes:P(t) = P(t0) exp__tt0(s)ds_(1.4)25Lavariaciondelapoblacionmundialenlos ultimos50a nosylatasadecrecimientoobservadasehanextrapoladohastael 2050enel siguientegraco1. Observeunaligerainexionenladecadadelos 90debidoaunadisminucionsostenidadelatasadecrecimiento. LatasadecrecimientoFigura1.8:Poblacionmundialytasadecrecimientoentre1950y2050observadacorrespondeal %decrecimientodelapoblacioncadaaoycalculadacomolarazonentreladerivadanumericadelacurvadepoblacionylapoblacionen %. Latasadecrecimientoobservadasepuedeinterpretarconelparametroqueintrodujimos. DehechoennuestromodeloPP=(t). Si tomamos P(t0=2000) =6 109ysuponemos deunanalisis del gracoquedecreceralinealmenteenelfuturodisminuyendodesdesuvaloractualde1,25 %un0,5 %cada30aos, podemosaventurarnos aestimar lapoblacionmundial parat =2050yparat =2100. Enefecto,seg unnuestrashipotesis(t) = 0,5 %/30(t 2000) + 1,25 %,entoncesde(1.4)P(t) = P(2000) exp_0,5 %30(t 2000)22+ 1,25 %(t 2000)_estoes P(2050) 9,1 109habitantes. Si ahorahacemos el calculoparat =2100obtenemosP(2100) 9,1 109hbts...elmismovalor!Estosedebeaqueal evaluarenlafuncioncuadraticaqueintervieneenP(t)obtenemoslamismaimagen.Entonces, sirazonamosunpoco,estemodelonos permite predecirque habra un maximode poblacion en el a no 2075 con un valor de P(2075) 9,6 109hbts.1U.S.BureauoftheCensus,InternationalDataBasewww.census.gov/ipc/www/worldpop.html261.7.2. ModelomalthusianomasrealistaEnel casoparticulardeunpascomoChile, debemosconsiderarademaslaevoluciondelainmi-gracionneta(inmigracionmenosemigracion)representadaporunafuncionQ. El modeloesunaEDOlinealdeprimerordennohomogenea:P= (t)P+ Q(t). (1.5)Enestecaso,lasolucionesP(t) = P(t0) exp__tt0(s)ds_+_tt0exp__ts(s)ds_Q(s)ds. (1.6)Conestemodelo, analicemos el impactoenel periodo2000 2040quetendraenlapoblacionchilenaunainmigracionquecrecea noaa noenQ0yquecomenzoel a nodigamos2000, estoes,Q(t) = Q0(t 2000).1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 20500.511.52 x 107Poblacion chilena 195020501950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 20500.500.511.522.5Tasa de crecimiento poblacion chilena 19502050Figura1.9:PoblacionytasadecrecimientodeChileentre1950y2050EnestecasoPP=+QPdemodoquesi lainmigraciones despreciable frentealapoblaciontotal (QP 0, y0> 0).Enefecto,lacondiciondeequilibrioesx= 0ey= 0.Six= 0,entoncesx0= (a cy0)/b.Porotrolado,siy= 0,tenemosquex0= k/,dedondedespejando,seobtieney0= a/c(bk)/(c). Si queremos que haya tiburones, esto es y0 > 0 obtenemos la condicion a > bkobiena/b>k/, estoeslapoblacioncrticadepecesquedebesoportarelplanctonesk/paraqueexistantiburones.1.7.5. ModeloepidemiologicoEl siguiente es un modelo epidemiologico introducido por Kermack & McKendrick en 19275. Modelala composicion de una poblacion constante N= x+y+z ante una enfermedad, donde x(t) representaeln umerodepersonassuceptiblesdecontagiarse,y(t)eln umerodeinfectadosyz(t)eln umerodeinmunesalaenfermedadparacadat 0:x= xyy= xy yz= yx(0) = x0> 0, y(0) = y0> 0, z(0) = 0, x0 + y0= N,donde> 0esunparametrodeinfecciony> 0latasadeinmunizacion. Todoestosuponiendoque las soluciones x, y, zexisten, son unicas, no negativas, continuas y con derivada continua parat 0.Sepuedenobservarlossiguienteshechosapartirdelmodelo:4Este modelo es una adaptacion quasi-linearizada de uno descrito enhttp://www.industria.uda.cl/Academicos/emartinez/Dinamica/ARCHIVOS/CAZADOR.HTM5Kermack, W. O. y McKendrick, A. G. A contribution to the theory of epidemics, Proc.Roy.Soc. (A) 115 (1927),700721, 139(1932),558331Laepidemiacreceinicialmenteeneln umerodeinfectadossieln umeroinicialdesuceptiblessuperaelumbral =,estoesx0> y(0) > 0.Suponiendoqueexisteellmitelmt(x, y, z) = (x, y, z)sepuededemostrarquey= 0,x= N zyzesrazdelafuncion:F(z) = N z x0 exp(z).Estopuedeobtenersededividirlaprimeray ultimadelasEDO.Larazanteriorexisteyes unica. Paralaexistenciapuedeusarel Teoremadel Valorinter-medio.1.7.6. ModelodealelosEsteesunmodelodefrecuenciasgenotpicasytienequeverconel llamadoequilibriodeHardy-Weinberg6.Considereelsistemalinealx= qx +p2yy= qx 12y + pzz=q2y pz,dondep, qsonconstantesnonegativasconp +q = 1.Elsistemaanteriormodelalaspoblacionesxdeaa,ydeabyzdebb,dondeaybsondosalelosdeunmismogenqueaparecenconfrecuenciaspyqenunapoblacionT.1.8. EcuacionesExactasConsideremoslafamiliauniparametricadecurvasf(x, y) = C, C RSuponiendoquey= y(x),setienef(x, y(x)) = C, C R6Hardy, G. H, Mendelianproportionsinamixedpopulation. Science28(1908),4950.Weinberg,W.UberdenNachweisderVererbungbeimMenchen.Jahresh. Vereinf. vaterl. Naturk.inWruttemberg64(1908),368382.32derivandoestaexpresionseobtienefxxx+fydydx= 0fx+fyy= 0y= fxfyEstopermiteobtenerunaecuaciondeprimerordenenlavariabley.Denicion1.8.1. Unaecuaciondiferencialesexactasiesdelaformay = MN,dondeMyNsontalesqueexisteunafuncionf(x, y) C2(f ysusderivadasparcialessondeclase C1, es decir, que las derivadas parciales de segundo orden de fexisten y son continuas, al igualquef)tal queM=fxyN=fy.Silaecuacionesexacta,lasolucioneslafamiliaf(x, y) = c.Propiedad1.8.1. Laecuaciony = MNes exactasiysolosiMy=Nx , conM=fxyN=fy.Demostracion. Si y= MNesexacta, existef(x, y)tal queM=fxyN=fy, porlotanto,My=2fyxyNx=2fxy.Comof C2,setieneque2fyx=2fxy.Ejemplo1.8.1. ey+ (xey+ 2y)y = 0:M = eyN = xey+ 2yMy= eyNx= ey33esexacta,sepuedeaplicarelmetodo:f(x, y) =_Mdx + C(y)f(x, y) = xey+ C(y)fy= xey+ C(y)N = xey+ C(y)xey+ 2y = xey+ C(y)C(y) = 2yC(y) = y2Porlotanto,f(x, y) = xey+ y2= C,C Reslafamiliasoluciondelaecuacion.Enalgunoscasos, laecuaciony= MNnonecesariamenteesexacta, sinembargo, puedeexistirunafuncion(x, y) talquey = (x, y)M(x, y)Nsloes.Estosucederasiysolosi(M)y=(N)x.Ejemplo1.8.2. y + (x2y x)y= 0:M = yN = x2y xMy= 1Nx= 2xy 1noesexacta,sinembargo,multiplicandolaecuacionpor(x, y) =1x2,setienequeyx2+x2y xx2y= 0conlocualM =yx2N =x2y xx2(M)y=1x2(N)x=1x234kmyFigura1.11:Sistemamecanicodeunresorteyunamasa.Como(M)y=yM+ Myy(N)x=xN+ Nx ,yademasy= 0,porlotantosetienequeMy=xN+ NxN + _MyNx_= 0=MyNxNln(||) =_1N_MyNx_dx + C(x) = k exp__1N_MyNx_dx_conk R.Analogamente,si = (y), setendra(y) = k exp__1M_MyNx_dy_Ejemplo1.8.3(LeydeHooke). Setieneel sistemaindicadoenlaprimeragura, conk>0constantedeelasticidaddelresorteymlamasadelcuerpo.LaleydeHookedicequemy= kyEsdecir,y +kmy = 035deniendow=_km,setienelaEDOy + w2y=0.Siz=y z=dzdyyyreemplazandoenlaecuacionseobtieneygFigura1.12:Sistemamecanicodeunacadenabajoelefectodegconunextremocayendo.dzdyz + w2y = 0dzdyz = w2y_zdz = w2_ydy + Cz22= w2y22+ C(y)2= w2y2+ 2Cy=_2C w2y2_dy_2C w2y2=_dt + _dy_1 w22Cy2=_2Cdt + arc sen_wy2C_=2Ct + wy2C= sen(2Ct + )y =2Cwsen(2C + )conC, Rconstantes.36Paraelsistemadelasegundagura,ellargodelacadenaesLysudensidades[masa/largo],porlotantolaEDOquelodescribeesLy= gyygLy = 0deniendo=_gLsetienelaEDOy 2y=0. Utilizandoel mismocambiodevariable, seobtienequezdzdy 2y = 0zdzdy= 2yz22= 2y22+ Cz =_2y2+ 2Cy= _y2+ a2cona =2C2_dy_y2+ a2= _dthaciendoelcambiodevariabley = a senh enelladoizquierdo,_a cosh a cosh d = t + = t + porlotanto,y= a senh(t + ),con Rconstante.37Captulo2EcuacionesDiferencialesOrdinariasdeordensuperior2.1. EcuacionesLinealesdesegundoordenDenicion2.1.1. UnaEDOlinealdesegundoordenesdelaformay + a1(x)y + a0(x)y= 0 (H)obieny + a1(x)y + a0(x)y= Q (S)Acoecientesconstantessetienequea1(x) = a1ya0= a0enR.Denicion 2.1.2.Un operador diferencial es un operador lineal denido como funcion del operadorddx.Sedenenlosoperadoresdiferenciales(cona1, . . . , ak Rconstantes,k N)1. D0= I(identidad)2. D = D1=ddx3. Dk=dkdxk(k 0)4. akDk+ ak1Dk1+ + a1D1+ a0D0= akdkdxk+ ak1dk1dxk1+ + a1ddx+ a0Ademas, si AyBsonoperadoresdiferenciales, setienequeA(B(f))=(A B)(f)si ysolosi,paralafunci onf,todoterminodelafuncionB(f)esdiferenciabletantasvecescomorequierael38operadorA. Conesto, Dk=D D. .kvecessi ysolosi lafuncionalacual aplicoDkesal menoskvecesdiferenciable.Luego,lasEDO(H)y(S)acoecientesconstantesquedandelaforma(D2+ a1D + a0)y = 0 (H)(D2+ a1D + a0)y= Q (S)Denicion2.1.3. El polinomiocaractersticodelaEDO(H)o(S)acoecientesconstantesesp() = 2+ a1 + a0cona1, a0 R.Este polinomio tiene 2 raices o valores caractersticos de la ecuacion, 1 y 2 tales que a1= (1+2)ya0= 12.Setienen3casosparalasraices:1. 1y2sonrealesydistintas.2. 1y2sonrealeseiguales.3. 1y2sondelaforma + iwy iw,conw = 0(complejosconjugados).Si sedenep(D)=D2+ a1D + a0, tratemosdedarleunsentidoaestaexpresion. Sesabequep()=( 1)( 2). ComoD2, DeIsonoperadoresdiferenciales, comoydebeseral menos2vecesdiferenciable, entoncessetieneque(D 1) (D 2)=D D D1 2D + 12=D2+ (12)D + 12= p(D).Porlotanto,setieneque(D 1) (D 2)y = QSisedenez= (D 2)y, setienelasecuaciones(D 1)z = Q(D 2)y = zDelaecuacion(1.5)sesabequez = C1 exp(1x) + exp(1x)_exp(1s)Q(s)dsy = C2 exp(2x) + exp(2x)_exp(2s)z(s)dsEsdeciry = C2 exp(2x) + C1 exp(2x)_exp((12)s)ds. .Soluci onHomogeneayh+exp(2x)_exp((12)s)__exp(1t)Q(t)dt_ds. .Soluci onParticularyp392.1.1. SolucionHomogeneaacoecientesconstantesAnalizemosyh.Sesabequelosvaloresdelaintegral_exp((12)x)dxson:1. Para1y2realesydistintas:112exp((12)x)2. Para1y2realeseiguales:x3. Para1y2complejosconjugados:12iw exp(2iwx)Porlotanto,losvaloresdeyhson:1.C1e1x+C2e2x2.C1ex+C2xex,con = 1= 23.C1esen wx +C2ecos wx,con = iwdondeC1,C2sonconstantesdistintasonoaC1, C2enR.Conesto,setieneelsiguienteteorema:Teorema2.1.1. Laecuacion(H)o(S)acoecientesconstantesconvalorescaractersticos1, 2solucionesdep() = 0,tieneporsolucionhomogeneayh:1. 1, 2 R, 1 = 2: yh= C1e1x+ C2e2x2. 1= 2= R : yh= C1ex+ C2xex3. 1,2= iw C\R(w = 0) : yh= C1esen wx + C2ecos wxEjemplo2.1.1(Analogaelectromecanica). Enlagura(2.1),elsistemadelaizquierdarep-resentaun sistemamecanicoen el cual m es la masadel objeto, kes la constantede elasticidad delresorteybeslaconstantedeamortiguamiento.Lafuerzatotaldelsistema, enfunciondeltiempose representa por F(t). El sistema de la derecha representa un circuito electrico RCL, donde L es lainductancia de la bobina, Ces la capacidad del condensador y R es la resistencia. E(t) representa elvoltaje aplicado en funcion del tiempo. La corriente que circula se representa pordqdt. Las ecuacionesquedescribencadasistemasony +bmy +kmy =F(t)mq +RLq +1CLq =E(t)LAmbossitemasestandenidosporunaEDOlinealdeorden2acoecientesconstantes,sisetienequem L, b Ryk 1C(todas constantes positivas), entonces sonanalogos. El polinomiocaracteristico es 2+bm+km= 0, y sus soluciones son = b2m_b24m2 km( =b24m2 km). Hay3situaciones:40mF(t)kbyLCRE(t)q+-Figura2.1:Analogaelectromecanica.1.b24m2> k,entonceslassolucionessonrealesydistintas.2.b24m2= k,lassolucionessonrealeseiguales3.b24m2< k,lassolucionessoncomplejosconjugados.Si al sistemanoseleaplicafuerzaovoltaje, esdecir, F(t) =0oE(t) =0, setendraencadasituacion:1. yh= C1 exp______b2m+_. . 0yI= [x0, x0 +T]paraunx0 Rdado.Seaf C0(I Rm),esdecir,f(x, y)escontinuaconrespectoaxey, dondeyesunvectordemfuncionesadeterminar. Seaademasy(x0) Rmunvectorcualquiera.SifesLipschitzianaconrespectoalasegundavariable,(es decir,L>0tal que x I, |f(x, y) f(x, z)| Ly z, con h=m

i=1h2iparatodoh Rm)entoncesexisteuna unicasoluciony C0(I)mdelproblemadeCauchy.Demostracion. El problemaesdelaformay=f(x, y(x)), x I (formadiferencial), integrandoentrex0yxsetienequey(x) = y(x0) +_xx0f(s, y(s))ds (formaintegral).Sedeneeloperador :C0(I)mC0(I)mde la forma y(x) (y) = y(x0) +_xx0f(s, y(s))ds. Seconsideraran equivalenteslasnotaciones(x, y)con(y).Unpuntojoparaesunafunciony C0(I)mtalque x I, (x, y)=y(x), ysi esunica,haysolucionunica.RecordemosqueenRsecumpleque:1. TodasucesiondeCauchyesconvergente.2. Unafuncionf escontractanteenunapartecerradaC Dom(f)si K (0, 1), x, y C, |f(x) f(y)| K|x y|. Sif: C CescontractanteconCunaparte cerrada,entoncesexisteun unicox0 Ctalquef(x0) = x0.Enestademostracionutilizaremoselsiguienteteorema(sindemostracion):Teorema 2.2.2.En el espacio C0([x0, x0+T])m, con la norma del supremo (f = supx[x0,x0+T]|f(x)|),todaslassucesionesdeCauchysonconvergentes.Corolario2.2.1. SiescontractantedeconstanteK,entoncesexisteun unicopuntojo.50Demostracion. Analogaal casoenR. Tomandolasucesion(fk)quecumpleconfk+1=(fk), setieneque(fk)essucesiondeCauchy.Observemosprimerolassiguientesdesigualdades:f3f2

= (f2) (f1) Kf2f1

f4f3

= (f3) (f3) Kf3f2

K2f2f1

...fk+1fk

= (fk) (fk1) Kk1f2f1

Yporlotantoparam, n N, n m,setieneque:fnfm

fnfn1

+fn1fn2

+ +fm+1fm

Kn2f2f1

+ + Km1f2f1

_n2

i=m1Ki_f2f1

comon2

i=m1Ki=Kn1Km1K 1Km11 K 0cuandom (pues0 c,alamnimacotacselellamaasntotadelatransformada.Veamosalgunosejemplosparafuncionesconocidas:Ejemplo3.1.1. f(t)=1, L[1](s)=_+0est1dt.Veamosparaquevaloresdeslatransformadaexiste:L[1](s) =_+0estdt=___1sest+0s = 0t+0s = 0=___1ss > 0+ s = 0 s < 0porlotanto, L[1](s) =1sexistesis > 0(laasntotadeconvergenciaesc = 0).69Ejemplo3.1.2. f(t) = eatcona R, L[eat](s) =_+0esteatdt:L[eat](s) =_+0esteatdt=_+0e(sa)tdt=___t s = a1s ae(sa)t+0s = a=___1s as > a+ s = a s < aporlotanto, L[eat](s) =1s aexistesis > a(laasntotadeconvergenciaesc = a).Ejemplo 3.1.3.f(t) = cos wt, L[cos wt](s) =_+0estcos wtdt (recordemos que cos wt+i sen wt =eiwtyque (eiwt) = cos wt, (eiwt) = sen wt sonla parte reale imaginariade eiwtrespectivamente):L[cos wt](s) =_+0estcos wtdt= __+0e(s+iw)tdt_= _1s + iwe(s+iw)t+0_= est_cos wt + i sen wts + iw_+0= est_(cos wt + i sen wt)(s iw)s2+ w2_+0=1s2+ w2est(s cos wt + wsen wt)+0=ss2+ w2, s > 0porlotanto, L[cos wt](s) =ss2+ w2existesis > 0.Propiedad3.1.1. L es lineal, es decir, f, gfunciones de [0, +) enR tales que L[f](s) y L[g](s)existeny Rsetieneque:70L[f+ g](s) = L[f](s) +L[g](s).L[f](s) = L[f](s).Demostracion. Como_esunoperadorlinealparalasfuncionesintegrables,setienelalinealidadde L.Ejemplo3.1.4. f(t) = cosh(t).Comoet+ et2= cosh(t),tenemosque:L[cosh(t)](s) = L[et+ et2](s)= L[et2 ](s) +L[et2](2)=12_L[et](s) +L[et](s)_=12_1s 1+1s + 1_=12_2ss21_=ss21como L[et](s)existeparas>1y L[et](s)existeparas> 1, setieneque L[cosh(t)](s)existeparas > 1(asntotadeconvergenciac = 1).3.2. Elespacio CDenicion3.2.1. Unafunci onftieneunadiscontinuidaddesaltoena Dom(f)siloslmiteslateraleslmxa+ f(x)ylmxa f(x)existen(distintosde o )ysondistintos.Denicion3.2.2. Unafunci onf: [0, +) Rsedicecontinuaporpedazossitieneunn umeronitoonumerabledediscontinuidades desaltoen[0, +), perosobrecadasubintervaloacotadode[0, +)tienealomasunn umeronitodediscontinuidadesdesalto.Veamosalgunosejemplos:Ejemplo3.2.1. Lafuncionf(t)=(1)[t]of(t)=_1 0 t t < 11 1 t t < 2conperodo2, llamadaondacuadradaescontinuaporpedazos.71-101f(t)2 4 6 8tFigura3.1:Gracodelaondacuadrada.01f(t)1 2 3 4 5tFigura3.2:Gracodelaondadedientesdesierra.Ejemplo3.2.2. Lafuncionf(t)=t [t] of(t)=t, 0 t ,existe L[f](s)(yconvergeabsolutamente)yademas|L[f(t)](s)| Cs , s > demodoque lms+L[f(t)](s) = 0.Demostracion. Recordemosquesi laintegral convergeabsolutamente,entoncesconverge.Con esto73setieneque:|L[f(t)](s)| =_+0estf(t)dt_0|estf(t)|dt=_0est|f(t)|dt C_0estetdt C_0e(s)tdt C1s + e(s+)t0Cs Ejercicio Propuesto 3.2.1. Demostrar que tk, kN, tiene transformada de Laplace y queL[tk](s) =k!sk+1, s > 0.3.3. Funcionesespeciales3.3.1. EscalondeHeavisideLafunconescalondeHeavisidesedenecomoHa(t) =_0 t < a1 t aComoH0(t)representael escalondeHeavisidecona=0, larepresentaciondeHa(t)cona>1esH0(t a). LatransformadadeLaplacedeHa, cona 0es L[Ha(t)](s)=1seas, paras>0(vericar)(paraa = 1seobtiene L[1](s)).3.3.2. PulsoentreaybSedenecomoPab(t) =___0 t < a1 a t < b0 t b,cona 0.4. lmn_+afn(x)f(x)dx = 0,cona > 0.Denicion3.3.2. La Delta deDirac (t) sedene como_+(t)f(t)dt =lmn_+fn(x)f(x)dxparafuncionesf adecuadas(continuas)o(t)=lmnfn(t). Losvaloresquetomason0entodoRexceptoen0dondeseindene,esdecir(t) =_0 t = 0 t = 0.Observacion:_+(t)dt = 1.Extendiendo ladenicion, se tiene que, dadoa R, (t a) =_0 t = a t = a. De estaforma,_+(t a)f(t)dt = f(a),dondefescontinuaena.Enestrictorigor,elDeltadeDiracnoesunafuncion,puesnoestadenidacuandot = 0.Sedicequeesunadistribucion.Paraentenderlautilidadde(t), bastaconsiderarelejemplodeunmartillazoochispazo,esdecir,que en un brevisimoperodo de tiempo, se le esta aplicandouna fuerzamuy grande a alg un objeto,porestoesllamadatambienimpulsounitario.Si setienendos funciones f yg, congderivableenR, tales quelmxf(x)g(x) =0, lain-tegracionporpartesdef(x)g(x)esunaformadebil ovariacional deidenticarladerivadade76f, a un si fnoes derivable.Denotando por fa laderivadaobtenidadeestaforma(quecoincideconladerivadausualsifesderivable),obtenemos_f(x)g(x)dx = f(x)g(x)_f(x)g(x)dxperocomolmxf(x)g(x) = 0,seobtiene_f(x)g(x)dx = _f(x)g(x)dx.Sitomamosf= Ha,elescalondeHeavisideena,seobtiene_Ha(x)g(x)dx = _Ha(x)g(x)dxpero_Ha(x)g(x)dx=_ag(x)dx, setiene_ag(x)dx=0 g(a). Conesto, el valordelaintegral de laderivada del escalonen a por unafuncion gque cumplecon larestriccionde lmiteequivaleaevaluaraquellafuncionenelvalora,esdecir_Ha(x)g(x)dx = g(a) Como_a(x)g(x)dx = g(a) y_Ha(x)g(x)dx = g(a) se dice que (t)secomportacomoladerivadadelescalondeHeavisidecentradoena,esdecir,Ha(t) = (t a).Cabe destacar que las funciones fn no son las unicas que dan origen a , pues basta con que cumplanlas propiedades enunciadas. Algunos ejemplos de familias de funciones que dan origen a y cumplenconlaspropiedadesson:fn(t) =nen2t2.fn(t) =sen(2nt)t.fn(t) =1nn2t2+ 1.3.4. TransformadadeunaderivadaSeaf Cderivable.CalculemossutransformadadeLaplace:L[f(t)](s) =_+0estf(t)dt, s > = s_0estf(t)dt + estf(t)0= sL[f(t)](s) +lmtestf(t) lmt0+estf(t)77como fes de orden exponencial , se tiene que lmt|estf(t)| lmt|estet| = lmte(s)t=0,puess > .Llamandof(0+) = lmt0+ estf(t).ConestoseobtieneL[f(t)](s) = sL[f(t)](s) f(0+), s > VeamosahoralatransformadadeLaplacedelasegundaderivadadef:L[f(t)](s) = sL[f(t)](s) f(0+), s > = s(sL[f(t)](s) f(0+)) f(0+)= s2L[f(t)](s) sf(0+) f(0+)Repitiendoelproceso,seobtienelaformulaparalatransformadadelan-esimaderivadadef:L[f(n)(t)](s) = snL[f(t)](s) sn1f(0+) sn2f(0+) f(n1)(0+), s > Ejemplo 3.4.1.Un cohete despega con velocidad inicial v0 desde la Tierra en forma vertical. Luegode algunos segundos, se activan los motores de emergencia, por lo que adquiere una aceleracion a > 0duranteunintervalodetiempobreve. Si lagravedaddelaTierraesg, encuentrelaecuaciondemovimientodel cohetesuponiendoquetienemasamyt2 t1esel intervaloenel quefuncionanlosmotoresdeemergencia,cont2> t1.Delasumatoriadefuerzasobtenemosmd2dy2y(t) = mg + ma(Pt1t2(t)),dondey(t)eslaposiciondel coheteconrespectoalaTierra. Lascondicionesinicialesdel cohetesony(0) = 0yy(0) = v0.Eliminandomaambosladosyaplicando LseobtienelaecuacionL[y(t)](s) = aL[Pt1t2(t)](s) gL[1](s)recordandolasexpresionespara L[y(t)](s), L[Pt1t2(t)](s)y L[1](s),laexpresionquedas2L[y](s) sy(0+) y(0+) =as(et1tet2t) gsLosvaloresy(0+)yy(0+)equivalenalascondicionesinicialesdelproblema,esdecir,y(0+) = 0yy(0+) = v0,L[y](s) =v0s2+as3et1tas3et2tgs3Enestepunto,senecesitacomprendercomooperaunantitransformada,porlocual,secontinuaraenelejemplo(3.12.1).783.5. TransformadadeunaintegralSeaf Cintegrable. Seaa R. EncontremoslatransformadadelafuncionF(t)=_taf(u)du(F(t) = f(t)):L[F(t)](s) = L[F(t)](s) F(0+), s > = sL__taf(u)du_(s) _0+aporlotanto,latransformadadeF(t)esL__taf(u)du_(s) =1sL[f(t)](s) 1s_a0f(u)du, s > Sea_ta_taf(u)du la expresion que representa_ta__uaf(v)dv_du. La transformada de esta expre-sionesL__ta_taf(u)du_(s) =1sL__taf(u)du_(s) 1s_a0_taf(u)du, s > =1s_1sL[f(t)](s) 1s_a0f(u)du_1s_a0_taf(u)du=1s2L[f(t)](s) 1s2_a0f(u)du 1s_a0_taf(u)durepitiendoelproceso,seobtienelaformulaparalatransformadadelan-esimaintegral:L___ta. . ._ta. .nvecesf(u)du__(s) =1snL[f(t)](s) 1sn_a0f(u)du 1s_a0_ta. . ._ta. .n 1vecesf(u)du793.6. TraslacionesUnatraslacionenel dominiotemporal t corresponde aunfactor exponencial enel dominiodeLaplaces,esdecir,sif C, a Rsetieneque:L[H(t a)f(t a)](s) =_0estH(t a)f(t a)dt=_aestf(t a)dt=..u=t-a_0es(u+a)f(u)du= esaL[f(t)](s)Demaneraanaloga,unatraslacionenel dominiodeLaplacecorrespondeaunfactorexponencialeneldominiotemporal:L[f(t)](s a) =_0e(sa)tf(t)dt=_aesteaf(t)dt= L[eatf(t)](s)3.7. IgualdaddetransformadasSi f =gconf, g C, setienequef g=0, porlotanto L[(f g)(t)](s)= L[0](s), como Lesunoperadorlineal, L[0](s)=0y L[(f g)(t)](s)= L[f(t)](s) L[g(t)](s)=0, deloquesededuce L[f(t)] = L[g(t)]. Sonembargo, laproposicionreciproca L[f(t)] = L[g(t)] f =gnoimplicaf =g. Paradeterminarcuandosetienelaimplicanciasetieneel siguienteteorema(sindemostracion):Teorema 3.7.1 (Lerch).Si f, g Cy L[f(t)](s) = L[g(t)](s), s > entonces f(t) = g(t), t 0salvoenlauniondelasdiscontinuidadesdefyg.803.8. ConvergenciaUniformede LSean(s)=_0estf(t)dtyn(s)=_n0estf(t)dt, cons I=[0, M], M>0>, f C.Probemosque n

0.Seas I:|n(s) (s)| =_nestf(t)dtCs e(s)tnCs e(s)nporlotantolmnn(s) = (s),esdecir,nconvergepuntualmenteaparatodos I.Veamoslaconvergenciauniforme:sups[0,M]|n(s) (s)| sups>Cs e(s)n=C0e(0)n..n0porlotanto n

0, s 0> .3.9. Diferenciabilidadeintegrabilidadde L3.9.1. DiferenciabilidadSeaf C.ElvalordeladerivadaconrespectoasdelatransformadadeLaplacedefsecalculadelaforma:ddsL[f(t)](s) =dds_0estf(t)dt=..conv.unif._0ddsestdt=_0testf(t)dt= L[tf(t)](s)Repitiendoelproceso,laderivadan-esimadelatranf.deLaplacedefseexpresacomodndsnL[f(t)](s) = (1)nL[tnf(t)](s)813.9.2. IntegrabilidadParaelcasoenquedeseemosintegrarlatransf.deunafunci onf C,seobtiene_s0L[f(t)](u)du =_s0__0eutf(t)dt_du=..conv.unif._0__s0eutf(t)du_dt=_0_1teuts0f(t)_dt= _0f(t)testdt +_0f(t)tdt= L_f(t)t_(s) +_0f(t)tdtsienlaformuladeladerivadadelatransformada,setomag(t)=f(t)t,seobtieneddsL_f(t)t_=L[f(t)](s), por lo tanto lmsL_f(t)t_(s) L_f(t)t_(s) = _sL[f(t)](u)du. Sif(t)t CsetienelmsL_f(t)t_(s) = 0,porlocualL_f(t)t_(s) =_sL[f(t)](u)duLa unica condicion para quef(t)t Ccon f(t) Ces que lmt0+f(t)texista (= ). Entonces,laformulaqueseobtienees_s0L[f(t)](u)du = _sL[f(t)](u)du +_0f(t)tdtqueequivaleaintegrardesde0a ,esdecir,_0L[f(t)](u)du =_0f(t)tdt3.10. ConvolucionDenicion3.10.1(ProductodeConvolucion). Seanf ygfuncionesen C. El productodeconvolucionentrefygdedenecomo(f g)(t) =_t0f(s)g(t s)ds82Propiedades3.10.1. Setienenlassiguienespropiedades:1. esconmutativaen C.2. esasociativaen C.3. distribuyeconrespectoa+en C.Demostracion. Propuesta.Teorema3.10.1. Seanf, g C.EntoncesL[(f g)(t)](s) = L[f(t)](s) L[g(t)](s),esdecir,laconvolucionact uacomolamultiplicacionbajotransformadasdeLaplace.Demostracion. Dadasfygen C,tenemosqueL[(f g)(t)](s) =_0est__t0f(u)g(t u)du_dt=_0_t0estf(u)g(t u)dudtcomo0 max (A).Ejemplo4.2.3(Masasatmosfericas). El siguienteesun modelopara laevolucionde las masasatmosfericasenkilotoneladas[kton]deuncontaminanteenelhemisferionorte(c1)yelhemisferiosur(c2)delaTierra(vergura4.2.3):c1= f1(c1c2) c1(4.7)c2= f2(c2c1) c2. (4.8)Laconstante>0representainversodel tiempodeintercambiointerhemisfericoen[1/a no] ylaconstante> 0(desconocida)elinversodeltiempodevidaqumicadelcontaminanteen[1/a no].Lasemisionesdelcontaminanteencadahemisferiosonconstantesconocidasf1= 30yf2= 10en[kton/a no].Inicialmentec01= 84yc02= 60en[kton].c1c2ecuadorSNFigura4.3:Masasatmosfericasdelejemplo4.2.3Introduzcamoslamasamediaentrelosdoshemisferioscomoc(t)=12(c1(t) + c2(t))ylaemisionmediacomof =12(f1+ f2). Si derivamoslaexpresiondelamasamediaconrespectoal tiempoobtenemos:c(t) =12(c1(t) + c2(t)).Luego,sisumamoslasEDOquetenemosparac1yc2,nosqueda:c1 + c2= 2c= (f1 + f2) (c1c2 + c2c1) (c1 + c2)c= f c98queesunaEDOparac,concondicioninicialdadaporc(0) =12(c1(0) +c2(0)) =12(84 + 60)[kton] = 72[kton].UnmetodosencillopararesolverlaEDOanterioresconsiderarlaecuacionhomogeneaasociadaylasolucionparticular,cpart= cte = f/.Lahomogenea,c + c = 0,tieneasociadoelpolinomiocaracterstico + = 0,dedonde:chom= Aet, Aconstanteadeterminar.Luego,lasolucionnales:c(t) = Aet+f,deaququec(0) = 72 = Ae0+ f/= A+ f/.LuegoA = 72 f/yc(t) = 72et+f(1 et).Si seestimaqueel lmitedec(t)cuandot +esde100[kton], podemosencontrarunaesti-macionpara1,estoes,paralosa nosdevidadelcontaminante:lmtc(t) = 100[kton] =lmt[72et+f(1 et)] =f,perof= 20[kton/a no].Luego,1=100[kton]20[kton/a no]= 5[a nos].Porlotanto,losa nos devidadecadacontaminanteson5a nos.Pararesolverelsistemadadopor(4.7)y(4.8)podemosutilizarel metododelaTransformadadeLaplaceasistemaslineales.SiescribimosmatricialmenteelsistemadelaformaC= AC +B,conA =_ _y B=_f1f2_,entonces,usandoelTeorema4.2.1(sI A)1(LB + X0) =_s + + s + + _1_f1s+ c01f2s+ c02___(f1 + c02 + c01 + c01)1(s) + c012(s) + (f1 + f1 + f2)3(s)(f2 + c01 + c02 + c02)1(s) + c022(s) + (f2 + f2 + f1)3(s)__,99donde1(s) =1(s + )(s + 2 + ), 2(s) =s(s + )(s + 2 + ), 3(s) =1s(s + )(s + 2 + ).Paraterminar,solofaltaencontrarlasantitransformadasdecadacomponentedelvector,loquesereduceaencontrarlasantitransformadasde1,2y3.Paraestousaremosunabuenareceta:si(s) =As a+Bs b+Cs c,cona,bycdistintos,entoncesA = lmsa(s a)(s), B= lmsb(s b)(s), yC= lmsc(s c)(s).Como1(s) =1(s+)(s+2+)=A1s++B1s+2+,hallamosA1:lms1(s)(s + ) = A1=lmss+(s+)(s+2+)=lms1s+2+=12.Delamismamanera,B1= 12,luego,1(s) =12(s + ) 12(s + 2 + ).Para2,2(s) =s(s+)(s+2+)= s[A2s++B2s+2+] =12[ss+ ss+2+].Por ultimo,3(s) =A3s+B3s + +C3s + 2 + ,yutilizandolareceta,A3= lms0ss(s + )(s + 2 + )=1(2 + )B3= lmss + s(s + )(s + 2 + )= 12C3= lms(2+)s + 2 + s(s + )(s + 2 + )=12(2 + ).100Aplicando ahora antitransformada a estas funciones, recordando que L1[1s+a] = eat, y L1[ss+a] =(t) aeat,tenemosqueL1[1(s)] = L1_12(s + ) 12(s + 2 + )_=12L1_1s + _12L1_1s + 2 + _=12et12e(2+)tL1[2(s)] =12(L1_ss + _L1_ss + 2 + _) =12((t) et(t) + (2 + )e(2+)t)=12((2 + )e(2+)tet)L1[3(s)] =1(2 + )L1_1s_12L1_1s + _+12(2 + )L1_1s + 2 + _=1(2 + ) 12et+12(2 + )e(2+)t.Finalmente,agrupandoconstantes,lacantidaddecontaminanteencadahemisferioresulta:c1(t) = p1et+ q1e(2+)t+ r1c2(t) = p2et+ q2e(2+)t+ r2,dondep1, q1, r1, p2, q2, r2,sonconstantesdependientessolodec01, c02, f1, f2, y.Esinteresantenotar quedespuesdeun tiemposucientementelargo, se llegaa unequilibrioenlascantidadesdecontaminacion,queparaelhemisferioNortees:lmtc1= r1=( + )f1 + f2(2 + )yparaelhemisferioSures:lmtc2= r2=f1 + ( + )f2(2 + ).

4.3. ExistenciayUnicidadDadoquelossistemaslinealessepuedenescribirdeformatansimilaralasecuacioneslinealesdeprimer ordenescalares, yademas todavasirvenmetodos comoLaplace(extendidoamatrices),queremos tener otras buenas propiedades, en particular un Teorema de Existencia y Unicidad. Paraellopartamos suponiendoque resolveremosel sistemaen un subintervaloI0cerrado y acotado de Iyt0 I0.Introduzcamosalgunosespacios:101Denicion4.3.1. C(I0, Rn)={f:I Rn| lascomponentesfidef sonfuncionescontinuasenI0, i = 1, . . . , n }.Denicion4.3.2. C(I0, Rnn) ={f: I Rnn|lascomponentesfijdefsonfuncionescontinuasenI0, i, j= 1, . . . , n }.Teorema4.3.1(ExistenciayUnicidad). Si A C(I0, Rnn)yB C(I0, Rn), entoncesdadoX0 Rnyt0 I0,existeuna unicasolucionX C(I0, Rn)del sistemalineal:X(t) = A(t)X(t) + B(t), t I0X(t0) = X0tal queX C(I0, Rn).Para la demostracion de este teoremaprimero escribiremosel sistemadiferencial en forma integral.Luego,usaremosunoperadorqueentregueestaformaintegral yveremosquesuspuntosjossonsolucionesdel sistemaencuestion. Finalmente, demostraremosquelaaplicacionescontractante,utilizandounanormaapropiadayconcluiremosquetieneun unicopuntojo. Enrealidad, estademostracion hace uso del Teoremadel puntojo, que se deducedel hechode que toda sucesion deCauchy es convergente. Esto es cierto en C(I0, Rn) con la norma del supremo u otra similar, siemprequeI0seacerradoyacotado.1. SupongamosporunmomentoqueX(t) C(I0, Rn). Ademas, dadoqueA C(I, Rnn) yB C(I, Rn), tenemoslacontinuidaddeX(t)=A(t)X(t) + B(t). Tomandolacoordenadai-esima,xi(t) =n

j=1aij(t)xj + bi(t).Integrandoentret0yt,cont I0_tt0xi(s)ds =_tt0_n

j=1aij(s)xj(s) + bi(s)_ds.Luego,porTeo.FundamentaldelCalculoxi(t) = x0i+_tt0_n

j=1aij(s)xj(s) + bi(s)_ds.Escribiendomatricialmente,loanteriorsetraduceen:X(t) = X0 +_tt0(A(s)X(s) + B(s))ds,dondelaintegraldeunvectorseentiendecomolaintegraldecadacomponente.1022. ParaX0jo,denamoslaaplicacion: : C(I0, Rn) C(I0, Rn)X (X),donde (X)(t) = X0 +_tt0(A(s)X(s) +B(s))ds, t I0, de estaforma si tiene alg un puntojo, esdecir, si existeunafuncionX C(I0, Rn)tal queX=( X), estaseralasolucion(continua)queestamosbuscando.3. Paraestudiarlaconvergenciaenelespaciovectorial C(I0, Rn),introduciremoslanorma||X()||M= suptI0{e2M|tt0|||X(t)||2},donde ||.||2representalanormaeuclidianade Rn, que de ahoraenadelante denotaremossimplementecomo ||.||. Es sencillovericarque la norma reciendenida efectivamentees unanorma,loquesedejaallector.Tambienes utilintroducirlanormadeFrobeniusparamatricesenMnn(R)AF=_n

i=1n

j=1a2ij.Antesdeseguir,reparemosenalgunaspropiedades.SeaY Rn,supongamossinperdidadegeneralidadqueI0= [t0, t0 + T],paraalg unT> 0,entonces:(a)____tt0Y (s)ds___ _tt0Y (s) ds, t [t0, t0 + T].(b) A(s)Y (s) MY (s),conM R(constante), s [t0, t0 + T].Lapropiedad(a) Es sencillausandolapropiedadde monotonade las integrales reales yCauchy-Schwartz. Paraver(b)notemosque:A(s)Y (s)2=__________

nj=1a1j(s)yj...

nj=1anj(s)yj__________2=n

i=1_n

j=1aij(s)yj_2..CauchySchwartzn

i=1_n

j=1a2ij(s) n

k=1y2k_=_n

i=1n

j=1a2ij(s)__n

k=1y2k_= A(s)2F Y 2.103Pero A(s)F=_n

i=1n

j=1a2ij(s) es unafuncioncontinuade s enunintervalocerradoyacotado, porloquealcanzasumaximo, quellamaremosM, dedondesetienelapropiedad(b).Veamosahoraqueescontractanteparalanuevanorma M, (el Mescogidoal crearlanorma es justamenteel M de la propiedad (b)). Sean Y, Z C(I0, Rn), calculemospara t I0(Y )(t) (Z)(t) =_____tt0(A(s)Y (s) + B(s))ds _tt0(A(s)Z(s) + B(s))ds____=_____tt0A(s)(Y (s) Z(s))ds____..por(a)_tt0A(s)(Y (s) Z(s)) ds..por(b)M_tt0Y (s) Z(s) ds= M_tt0Y (s) Z(s) e2M(st0)e2M(st0)ds MY ZM_tt0e2M(st0)ds= MY ZM _e2M(tt0)2Me2M(t0t0)2M_=e2M(tt0)2Y ZM 12Y ZM. .0e2M(tt0)2Y ZM .Luegotenemos t I0:e2M(tt0)(Y )(t) (Z)(t) 12Y ZM .Tomandosupremoe2M(tt0)(Y )(t) (Z)(t) 12Y ZM/ suptI0(Y ) (Z)M12Y ZM .PorlatantoescontractanteconconstanteL = 1/2.1044. RecordandoelTeo.dePuntojodeBanach:Teorema4.3.2(PuntojodeBanach). SeaunespacioXdotadodeunanormatal quetodasucesiondeCauchyesconvergente,ysea:X Xunacontraccion,entoncesexisteun unicopuntojox X.Tenemos queexisteun unicopuntojodelaaplicacionconstruida, yporendeuna unicasoluciondel sistemalineal estudiado. Notar queaposteriori, lasoluciones continuaydelsistemasededucequesuderivadatambienloes.Observacion. Enelteoremaanteriordemostramosqueexisteuna unicasoluciondelsistemalinealdeprimer orden,suponiendoqueI0eraun intervalocerradoyacotado. Enel casoqueel problemaeste denido en un intervalo Icon un extremo abierto acotado, es decir, de la forma I= [t0, t0+T[,seconstruyeunasolucionXn [t0, t0 + T 1n],yseconsideralasolucion:X(t) =lmnXn(t) t [t0, t0 + T[.Notarqueloanteriordenepuntualmentelasolucion. Paraverqueel lmiteestabiendenido,tomemost I, se tiene entonces que n0:t [t0, t0+T 1n], n n0. Ademas, Xn(t) esconstante, n n0, pues delocontrariose tendranpor lomenos dos soluciones de lamismaecuacion diferencial denidas en un intervalo cerrado y acotado que dieren en t, lo que contradice elTeo. de Existencia y Unicidad demostrado. As, la sucesion Xn(t) tiene garantizada la convergencia.Tambienhayque considerar que lasolucionnotiene que ser necesariamente acotada, ypuedediverger enT, porejemploenel casoenqueAyBseanfunciones noacotadasenel intervaloestudiado.EnelcasoenqueInofueseacotado,porejemploI= [t0, [,seconstruyeunasolucionXn I=[t0, n],yseconsideralasolucionX(t) =lmnXn(t) t [t0, [.Lasmismasnotassobrelacorrectadeniciondeestelmitepuntual anteriormentehechas, siguensiendovalidas.Corolarios4.3.1. (a) Si unsistemalineal homogeneo tieneunacondicion inicial nula,entoncesla unicasoluci ondelsistemaeslafuncionnula.X= AXX(t0) = 0_X(t) = 0,t I(b) Sitenemosunsistemalinealcondostrayectoriasquecoincidenenunpunto,entoncessonlamisma;interpretadodeotraforma,dostrayectoriasX(t)eY (t) Rndistintasnosecruzan(determinismo).X= A(t)X + B(t)Y = A(t)Y+ B(t)X(t0) = Y (t0)___X(t) = Y (t),t I1054.4. SistemasHomogeneosEnecuacionesdiferencialeseshabitual estudiarprimerolassolucionesdelapartehomogeneadelas ecuaciones, porque ellas entreganimportante informacionparaluego deducir las solucionesgenerales.Partamosentoncesestudiandodetenidamentelossistemashomogeneos.Denicion4.4.1.H= {X Rn| X= A(t)X, t I}.Denicion4.4.2.S= {X Rn| X = A(t)X + B(t), t I}.Ademas, del Teo. de Existencia y Unicidad, sabemos que para cualquier condicion inicial, el sistemalineal homogeneotieneuna unicasolucion, enparticularparalabasecanonicadeRn, yentoncespodemosdarlasiguientedenicion:Denicion4.4.3. Llamaremosksolucionfundamental canonicak-esimaasociadaat0 I alasoluciondel sistema:k= A(t)k, t Ik(t0) = ek, k= 1, . . . , n.Alamatrizformadaporlassolucionesfundamentalescanonicasasociadaat0, esdecir, queensucolumnak-esimatieneak,sellamaramatrizcanonicafundamental asociadaat0,ysedeno-taraporTeorema4.4.1. El conjunto {k}nk=1esunabasedeH,yporlotanto,dim(H) = n.AestabaseselellamabasefundamentalcanonicaEjemplo4.4.1(Cadenaconresortes). Setieneunacadenaconextrmosjosformadaporncuentasconectadasporresortesidenticosdeconstanteelasticakylargonatural l0. Cadacuentademasami, i =1 . . . n, tienelibertadparaoscilar horizontalmente, perocadaunapresentaunrozamientolineal conel medio,deconstanteci,i=1 . . . n. Paracadacuentatenemoslaecuaciondemovimiento:mixi= cixik[(xixi1) + (xixi1)], i {1, . . . , n},dondesehadenidox0= xn+1= 0.106Matricialmentetenemos:_______m1m2...mn1mn______________x1x2...xn1xn_______=_______c1c2...cn1cn______________x1x2...xn1xn_______k_______2 11 2 1.........1 2 11 2______________x1x2...xn1xn_______,esdecir,tienelaformaMX + CX + KX= 0,conX Rn.Paratransformarloenunsistemalineal,hacemoselcambiodevariables:Z=_XX_Z=_XX_,peroX = M1KX M1CX.Porlotanto,sepuedeescribirelsistemalineal:Z=_0 IM1K M1C_Z.Paradeterminarel conjuntodesolucionesfundamentales asociadas, porejemplo, al origen, bas-tararesolverelsistemaanteriorconcondicionesinicialesencadavectorcanonicodeR2nZ(0) = ek.(Entotalson2nsistemasconcondicionesinicialesaresolver). Demostraciondel Teorema4.4.1. Partamosprobandoqueefectivamenteesgenerador,esdecir,< {k}nk=1 >= H.SeaXh HlasoluciondelsistemahomogeneoXh= AXh, t IXh(t0) = X0.107DescompongamosX0enlabasecanonicadeRn:X0= x10e1 + + xn0en, x10, . . . , xn0 R.DemostraremosqueXh= x101 + xn0n;paraestodenimos t I:Z(t) = x101 + xn0n, k= k(t) Z(t) = x101 + xn0n, perok= AkZ(t) = A(x101 + xn0n) = AZ(t)Yademas,porladeniciondelosktenemosque:Z(t0) = x10e1 + + xn0en ZessoluciondelmismosistemadeecuacionesdiferencialesqueXh,conlasmismascondicionesiniciales.Luego,porteoremadeexistenciayunicidad,Z(t) = Xh(t) t IObservacion. Notarqueloanteriordemuestratambienquesi setienensolucionesdel sistemaho-mogeneo, entonces cualquier combinacionlineal de ellas tambiensatisface el sistema, salvo lascondicionesiniciales.Ahoraveamosque {k}nk=1sonsolucionesl.i.,P.d.q.n

k=1kk(t) = 0, t k= 0 k= 1, ., nn

k=1kk(t) = 0 _12...... n_. .___1...n___=___0...0___Si pudieramosprobarquedet((t)) =0, t, entoncesla unicasoluciondel sistemaes =0, queeraloquehayquedemostrar. Sedeneel Wronskianodeunafamiliadefunciones vectoriales,justamentecomoeldeterminantedelamatrizquetieneensuscolumnasdichasfunciones,asW(1, 2, .., n) = det()Notamostambienque:W(t0) = det_____1 0 0 00 1 0 0...............0 0 0 1_____= det(In) = 1As el Wronskianoesnonuloenunpunto, loqueimplicaquenoseanulaentodoel intervalo.Enefecto, razonandopor contradiccion, supongamos queexiste t I tal queW(t) =0, como108el Wronskianocorrespondeal determinatedelamatrizfundamental canonica, tenemosqueestamatriztienesuscolumnasl.d.,esdecir, 1, . . . , nconstantesnotodasnulas,talque:11(t) + + nn(t) = 0Perovimos quecualquier combinacionlineal desoluciones fundamentales canonicas, tambienessoluciondelsistemahomogeneo,yclaramentelafuncionnulatambienessolucionconlacondicioninicialimpuestaent.Porlotanto,porTeo.deExistenciayUnicidad,11(t) + + nn(t) = 0 t I,loqueesunacontradiccion, puesent0nosecumple. Luego, concluimoslaindependencialinealbuscada,yportanto,dim(H) = nCorolario4.4.1. Lasoluci ondelsistemahomogeneoXh= AXht IXh(t0) = X0estadadaporXh= x101 + xn0n,oequivalentementeXh= (t)X0.Corolario4.4.2(Propiedadesdelamatrizcanonicafundamental asociadaat0).(a)(t0) = In(b)(t) = A(t)(c)es unica.(d)esinvertible, t IDemostracion. (a)Esdirectadeladenicion.(b)Entendiendoladerivadaenelsentidoquesederivacomponenteacomponente,setieneque:=_12...... n_=_A1A2...... An_= A_12...... n_= A(c)SeconcluyeporTeo. deExistenciayUnicidadaplicadoal sistemaformadopor(b), conlascondicionesinicialesde(a).(d)Seproboenlademostraciondelteoremaanteriorquesi:t0det((t0)) = 0 t I det((t)) = 0Loquepruebalopedido,puesdet((t0)) = 1.109Parageneralizarlosresultadosanteriores, denamosunamatrizfundamental (nonecesariamentecanonica) comolamatrizM(t) =_1| 2|...... |n_, t I, donde sonsoluciones delsistema:k= A(t)k, t, t0 Ik(t0) = vk, k= 1, .., ndonde {i}ni=1esunabase(nonecesariamentecanonica)deRn,yentoncesconcluimoselsiguientecorolario:Corolario4.4.3. SeaunamatrizfundamentalM(t),entonces:(i)Siexistet0tal quedet(M(t0)) = 0,entoncesdet(M(t)) = 0, t I.(ii) Si el sistema X= AXtiene condiciones iniciales X0 no nulas, entonces X(t) = M(t)M1(t0)X0.Demostracion. (i)Consecuenciadirecta.(ii)Delaobservaciondelteoremaanterior,tenemosqueunacombinacionlinealdelosiresuelveelsistema,esdecir:X(t) = c11 + c22 + + cnn= MCdondeelvectorC=___c1...cn___quedadadoporlascondicionesiniciales,entoncesX(t0) = M(t0)C C= M(t0)1X0 X(t) = M(t)M1(t0)X04.5. SolucionesParticularesTeniendobienestudiadaslassolucionesdel sistemahomogeneo,solofaltaencontrarlassolucionesparticulares,graciasaquesetieneelsiguienteteorema.Teorema4.5.1. DadaunasolucionparticularXpdeX= AX + B,todasoluciondel sistemaseescribecomosumadeXpyalgunasoluciondel sistemahomogeneo.XG = Xp + Xh.Demostracion. SeaXGunasoluciongeneraldelsistema,yXpunaparticular,entonces:XG= AXG + BXp= AXp + B,110restandolasecuaciones:(XGXp)= A(XGXp).LuegoXGXpessoluciondelahomogenea,esdecir:Xh= XGXpXG= Xp + Xh.Ahora, buscamos unaformulade variacionde parametros, es decir, buscamos Xp=(t)C(t),ecuacion que podemos reemplazar en Xp= AXp+B, pero falta una formula para derivar productosdematrices,queseestudiaenelsiguientelema:Lema4.5.1. SeanA(t) Mmn(R), B(t) Mmp(R), X(t) Rni)(A(t)X(t))= A(t)X(t) + A(t)X(t)ii)(A(t)B(t))= A(t)B(t) + A(t)B(t)Demostracion. (i)Porcomponentes:_n

j=1aij(t)xj(t)_=n

j=1(aij(t)xj(t))=n

j=1(aij(t)xj(t) + aij(t)xj(t))=n

j=1aij(t)xj(t) +n

j=1aij(t)xj(t)(ii)Analogo.Luego, volviendoal problemadevariaciondeparametros, podemosreemplazarXp=(t)C(t)yderivar:Xp(t) = A(t)Xp(t) + B(t) ((t)C(t))= A(t)(t)C(t) + B(t) (t)C(t) + (t)C(t) = A(t)(t)C(t) + B(t) C(t) = 1(t)B(t) C(t) =_tt01(s)B(s)dsPorlotanto,Xp= (t)_tt01(s)B(s)ds,yseconcluyeelsiguienteteoremaTeorema4.5.2(VariaciondeParametros). Lasoluciondel sistema:X(t) = A(t)X(t) + B(t)X(t0) = X0,111estadadopor:X(t) = (t)X0 + (t)_tt01(s)B(s)ds,dondeeslamatrizfundamentalcanonicaasociadaat0.4.6. ExponencialdeunaMatrizParacalcular(t)resulta utillanociondeexponencialdeunamatriz:Denicion4.6.1(Exponencial deunaMatriz). SeaM(t) Mnn(R). Laexponencial deMsedenecomo:eM=

k=0Mkk!= I + M+M22!+ +Mnn!+ Como estamos tratando en general con series de funciones en cada componente, es util tener presenteelsiguientelema:Lema4.6.1(CriterioMdeWeierstrass). Seanfk:S R R k Nfunciones.Si existeunasucesion(Mk)kNderealespositivostalesque|fk(x)| Mk, n > n0,x S,ylaserie

k=1Mkconverge, entonceslaseriedefunciones

k=1fk(x)convergeuniformementeenS.Demostracion. Como |fk(x)| Mk, n > n0, x S, por criterio de comparacion de series tenemosqueparacadax S,

k=1fk(x)converge(convergenciapuntual).Denamosentoncesg: S Rtalqueg(x) =

k=1fk(x).Seanm > n > n0,hagamosladiferenciam

k=1fk(x) n

k=1fk(x)=m

k=n+1fk(x)m

k=n+1|fk(x)| m

k=n+1Mk=m

k=1Mk n

k=1Mk.Comolaserie

k=1Mkconverge,podemostomarlmitem :g(x) n

k=1fk(x)

k=1Mk n

k=1Mk.PerocomolaseriedelosMkconverge,tenemosque: > 0, N> n0,n N,g(x) n

k=1fk(x) , x S.Recordandoqueg(x) =

k=1fk(x),setienelaconvergenciauniforme.112Teorema4.6.1. Silascomponentes delamatrizM(t)estanuniformementeacotadas enuninter-valoI,entoncescadacomponentedeeM(t)convergeuniformementeenI.Demostracion. P.d.q.(eM(t))ijconvergeuniformementeenI.Tenemospordenicionque(eM(t))ij=

k=0(Mk(t))ijk!.Estoesunaseriedefunciones, porloqueparademostrarlaconvergenciauniformeusaremoselcriterioMdeWeierstrass. Veamosque,comocadacomponenteestauniformementeacotadaenI,setiene: R : i, j|(M(t))ij| , t I.Luego,i, j(M2)ijn

k=1(M)ik(M)kjn

k=1|(M)ik||(M)kj| 2nAs,porinduccion,setiene:k> 0 i, j(Mk)ij knk1, t I.Deestaformaencontramosunacotaparalosterminosdelaserieindependientedetk> 0 i, j(Mk(t))ijk! knk1, t I.Solofaltaverquelaserieseestascotasconverge,enefecto:p

k=1knk1k!=p

k=0knk1k!1n=1np

k=0knkk!1n.Portantoconverge,inclusosabemoscuandovale:

k=1knk1k!=enn1nFinalmente,porcriterioMdeWeierstras,setieneque

k=1(Mk(t))ijk!convergeuniformementeenI,yportantolohacetambien

k=0(Mk(t))ijk!.113Algunaspropiedadesdelaexponencialdeunamatriz,son:Propiedades4.6.1. SeanA, B Mnn(R)matricesconstantes,t, s R,entonces:1. e0t= I2. eA0= I3.ddteAt= AeAt4. eA(t+s)= eAteAs5. eAtesinvertible,y(eAt)1= eAt6. AB= BA BeAt= eAtB7. AB= BA eAteBt= e(A+B)tDemostracion. Laspropiedades1)y2)sondirectasdeladenicion.3)Notamosqueencadaintervalo[b, b], b R,lascomponentesdelamatrizAtestanuniforme-menteacotadas por | max(aij)||b|, luego tenemosla convergenciauniforme de hp(t) =

pk=0(Ak)ijtkk!,esdecir,tenemoslaconvergenciadelaseriedepotenciash(t) =

k=0(Ak)ijtkk!,porloquesabemosquehpconvergeuniformementea h,y la sucesionhp(t) =

pk=1k(Ak)ijtk1k!convergeuniformementeen(b, b)a

pk=1k(Ak)ijtk1k!yprincipalmentequeh(t)esderivableyqueh(t) =

k=1k(Ak)ijtk1k!,t (b, b),pero

k=1k(Ak)ijtk1k!=

k=0(Ak+1)ijtkk!= (Ak)ij

k=0(Ak)ijtkk!.Enconclusion,ddt(eAt)ij= Aij(eAt)ij t (b, b),ydadoqueberaarbitrario,setieneelresultadoparatodot R.4)Paracadasjo,tomamoslafuncion(t) = eA(t+s)eAteAs,deestemodo(0) = 0y(t) = AeA(t+s)AeAteAs= A(t)114LuegoporTeo.deExistenciayUnicidad,t R, (t) = 0t, s ReA(t+s)= eAteAs.5)De4)sabemosqueeAteAt= eA(tt)= I (eAt)1= eAt.6)Porinduccion,esfacilverAB= BA k N{0}, AkB= BAk,puesAkB = BAk/ AAk+1B = ABAkperoAB= BAAk+1B = BAAkAk+1B = BAk+1.Paralaotraimplicanciabastatomark = 1.Ahora:BeAt= B

k=0Aktkk!=

k=0BAktkk!=

k=0Aktkk! B= eAtB.7)Analogamentea4)tomamoslafuncion(t) = eAteBte(A+B)t,quecumplecon(0) = 0,y(t) = AeAteBt+ eAtB. .eBt(A+ B)e(A+B)t=..por6)AeAteBt+ BeAteBt(A+ B)e(A+B)t= (A+ B)(eAteBte(A+B)t) = (A+ B)(t),esdecir,tenemos:(t) = (A + B)(t)(0) = 0.ConcluimosporTeo.deExistenciayUnicidad,quet R(t) = 0.115Laspropiedadesanterioresentreganmuchainformacionsobrelassolucionesdesistemalinealesacoecientesconstantes.De 2) y 3) vemos que eA(tt0)cumple el mismo sistema que la matriz fundamental canonica asociadaat0,entonces,porTeo.deExistenciayUnicidad:(t) = eA(tt0), t ILuego,recordandoqueenunsistemalinealcualquiera,lasolucionestadadapor:X(t) = (t)X0 + (t)_tt01(s)B(s)ds,enterminosdelamatrixexponencialqueda:X(t) = eA(tt0)X0 +_tt0eA(ts)B(s)ds.El problemaahorasereducesoloal calculodelamatrizexponencial, paraestonosayudaranlaspropiedadesanteriores,ylaformadelamatrizA,enelsentidodesiesonodiagonalizable.4.6.1. CasodiagonalizableEnelcasodequeAseadiagonalizable,porejemplo, enloscasosenqueAessimetrica(At=A),antisimetrica(At= A), o normal (AAt= AtA), A se que puede escribirde la forma A = PDP1,conD, matrizdiagonal formadaporlosvalorespropiosdeA, yPunamatrizquetieneensuscolumnaslosvectorespropiosrespectivos. Deestaformatenemos,quesi1, . . . , nsonlosvalorespropiosdeA,yv1, . . . , vnsusrespectivosvectorespropios:D =___1 0.........0 n___P=_v1 | v2 | |vn_,entonceseAt= ePDP1t=

k=0(PDP1)ktkk!= P_

k=0Dktkk!_P1= PeDtP1,dondeeDt=___e1t 0.........0 ent___.116Deestaformalasoluciondelsistemahomogeneosepuedeescribircomo:Xh(t) = eA(tt0)X0= PeDteDt0P1X0= PeDtC,dondeC=___c1...cn___esunvectorconstantequedependedelascondicionesiniciales. Obien,desa-rrollandolasmatrices,tenemos:Xh(t) =_e1tv1 | e2tv2 | |entvn_C= c1e1tv1 + c2e2tv2 + + cnentvn.Paraaplicartodoesto,veamosunEjemplo4.6.1(Confortdeunauto). Un modelo para estudiar el confort de un auto esta dadoporx= (k1 + k2)x + (k1L1k2L2)= (k1L1k2L2)x (k1L21 + k2L22),dondelasconstantesk1,k2,L1yL2sonrespectivamentelasrigidecesylasdistanciasdelosamor-tiguadores traseros y delanteros al centro de masas G del auto. En un instante t > 0, x(t) representalaposicionverticaldeGy(t)elgirodelautoentornoaG.1k2G( x t)kL2L1G(t) Figura4.4:Modelamientodelosamortiguadoresdeunautodelejemplo4.6.1Este sistema de orden 2, lo llevamos a un sistema lineal tomando la variables: x, , x, , resultando:____xx____=____0 0 1 00 0 0 1(k1 + k2) k1L1k2L20 0k1L1k2L2(k1L21 + k2L22) 0 0________xx____.Enloquesiguesupondremosquek2=k1yL1=L2, donde0 0esunparametrodecrecimiento:bn+1= bn + pnpn+1= pn + TnTn+1= Tn,concondicionesinicialesb0,p0,T0constantespositivas.Se quiere saber como evoluciona este sistema en el tiempo, dependiendo del parametro . Para esto,escribamoselsistemaanteriorsepuedeescribircomo:__bn+1pn+1Tn+1__=__ 1 00 10 0 ____bnpnTn__, concondicioninicial__b0p0T0__.Consideremosprimerouncasomasgeneraldesistemasdiscretos:Xn+1= AXn + Bn, n 0,concondicioninicial X0 Rd, dondeA Mdd(R), Bn Rd, n 0. ComoX0eslacondicioninicial,iterandotenemos:X1= AX0 + B0X2= AX1 + B1= A(AX0 + B0) + B1= A2X0 + AB0 + B1X3= AX2 + B2= A3X0 + A2B0 + AB1 + B2...Xn= AnX0 +n

j=1AnjBj1.Probemosporinduccionqueefectivamentelasoluciondelsistemaestadadapor:Xn= AnX0 +n

j=1AnjBj1, n 1Paran = 1,resultaX1= AX0 + B0,que es solucion del sistema. Suponemos ahora que Xn= AnX0+

nj=1AnjBj1 satisface el sistemapropuesto,entonceshayqueprobarqueXn+1 = An+1X0 +n+1

j=1An+1jBj1128tambienlosatisface.Enefecto,Xn+1= An+1X0 +n+1

j=1An+1jBj1= An+1X0 +n

j=1An+1jBj1 + An+1(n+1)B(n+1)1= An+1X0 + An

j=1AnjBj1 + IddBn= A_AnX0 +n

j=1AnjBj1_+ Bn, usandolahipotesisdeinduccion= AXn + Bn.Porlotanto,Xn+1satisfaceelsistema.Estudiemosahoralasoluciondel sistemadiscretohomogeneo, parael casoenqueAseadiagona-lizable,esdecirA = PDP1,conD =___1 0.........0 d___, donde1, . . . dsonlosvalorespropiosdeA.Seg unloanterior,lasoluciondeestesistemasera:Xn= AnX0,peroAn= PDnP1,entonces:Xn= P___n1 0.........0 nd___P1X0.De esta forma si queremos que nuestro problema tenga soluci on, es decir que existalmnXn, debemosimponerque lmnnkexista k= 1, . . . , d,loqueequivaleapedirque |k| < 1, k= 1, . . . , d.Si volvemosal problemaespeccodelasballenas, estamosenel casodeunsistemahomogeneodiscreto,perodondelamatrizAnoesdiagonalizable(tienelaformadeunbloquedeJordan),sinembargo, siguesiendovalidalasolucionXn=AnX0, entoncessolorestacalcularAn. Paraestousaremoslasiguientepropiedad:AB= BA (A+ B)n=n

k=0_nk_AkBnk, n 0,es decir, si la matrices conmutan, se tiene la propiedad del Binomio de Newton, y la demostracion deestoesidenticaaladelBinomiooriginal (porinduccion).Enestecasopodemos usarestaformula,puesclaramenteIdN= N= N = NId.129Luego:An= (Id + N)n=n

k=0_nk_kIkNnk=n

k=0_nk_kNnk,conNunamatriznilpotentedeorden3,peroNnk=0cuandon k 3 n 3 k,luegolasumasinlosterminosnulosqueda:An=n

k=n2_nk_kNnk=_nn 2_n2N2+_nn 1_n1N+_nn_n=n(n 1)2n2N2+ nn1N+ n.EneldesarrollosobrelasformasdeJordan,habamoscalculadotodaslaspotenciasdeunamatriznilpotente,resultaentonces:An=n(n 1)2n2N2+ nn1N+_nn_n=n(n 1)2n2__0 0 10 0 00 0 0__+ nn1__0 1 00 0 10 0 0__+ n=__nnn1n(n1)2n20 nnn10 0 n__.De esta forma vemos que se repite la solucion que tenamos para el caso diagonalizable: independientede lacondiciones iniciales, nuestromodeloindicaque cuandon , si || >1, el sistemadiverge, esdecirlaspoblacionesdeballenasyplanctonseexpandenindenidamente, aligual quelatemperatura, mientrasquesi || 0talqueI0= {t R | |t t0| } I,yexister> 0tal queF(, X)escontinua(ent) |t t0| ,|X X0| r.SiademasexisteunaconstanterealL > 0(constantedeLipshitz)tal que:|F(t, X) F(t, Y )| L|X Y | ,|X X0| r, |Y X0| r, |t t0| .EntoncesexistenM>0y=mn{, r/M}, tal queexisteuna unicasoluciondel (SNL)X():[t0, t0 + ] Rn,queresultasercontinuamentederivableen]t0, t0 + [.Demostracion. Esencialmenteestademostracionesanalogaalarealizadaparaelteoremadeexis-tenciayunicidadparael casodesistemas lineales, por loqueseusaranlas mismas notacionesentoncesdenidas.PuestoqueFesLipshitzenX,setienelacontinuidaddeestafuncionenX, ycomoporhipotesisescontinuaent,setienequeenelcompactoI B(X0, r)(B(X0, r)denotalaboladecentroX0yradiorennormaeuclidiana)alcanzasumaximo:max|tt0||XX0|r|F(t, X)| = M.Comoantes,elsistemaaresolveresequivalentea:X(t) = X0 +_tt0F(s, X(s))ds,porloquenuestroproblemasevuelveaplantearcomoencontrarunpuntojodelaaplicacion: : C([t0, t0 + ], Rn) C([t0, t0 + ], Rn)X (X),donde(X)(t) = X0 +_tt0F(s, X(s))ds, t [t0, t0 + ].Sin embargo, para tener todas las condiciones del teorema del punto jo de Banach, introduciremoslanorma||X||L = sup|tt0|{e2L|tt0||X(t)|}.Consideremoselespacio:B= {X C([t0, t0 + ], Rn) | sup|tt0||X(t) X0| r}.133Veamosque(B) B.Enefecto,seaX B:|(X)(t) X0| _tt0|F(s, X(s))|ds M|t t0| M r,entoncessup|tt0||(X)(t) X0| r,esdecir,(X) B.Ahoraveamosquelaaplicacionrestrictaaesteespacio:B Bescontractante, considerandoelespacioBconlanorma || ||L.Enefecto,seanX1,X2 Be2L|tt0||(X1)(t) (X2)(t)| e2L|tt0|_tt0|F(s, X1(s)) F(s, X2(s))|ds e2L|tt0|L_tt0|X1(s) X2(s)|ds= e2L|tt0|L_tt0|X1(t) X2(t)|e2L|st0|e2L|st0|ds e2L|tt0|L||X1X2||L_tt0e2L|st0|= L||X1X2||Le2L|tt0|e2L|tt0|12L12||X1X2||L.Comoel espacioBconlanorma || ||LesunBanach, concluimos porel teoremadepuntojode Banach, que existe un unicopuntojode laaplicacionestudiada, oequivalente existe una unicasoluciondel problema(SNL)X() C([t0 , t0+], Rn), queresultasercontinuamentediferenciablesobreelintervaloabierto.MuchasvecessetieneunacondicionmasfuertequeladeLipshitz, setienediferenciabilidad, porloqueresultadeutilidadelsiguientecorolario.Corolario5.2.1. Dadoun(SNL), si existe >0tal queI0= {t R | |t t0| } I, yexister>0tal queF(, X)escontinua(ent) |t t0| , |X X0| r.Siademasparacada|t t0| ,lafunci onescontinuamentediferenciableconrespectoalavariableX, |X X0| r.EntoncesexistenM>0y=mn{, r/M}, tal queexisteuna unicasoluciondel (SNL)X():[t0, t0 + ] Rn,queresultasercontinuamentederivableen]t0, t0 + [.Demostracion. Basta notar quepor teoremadel valor medio(o de los incrementosnitos), se tienequesidenimosparacadat:Ft: Rn Rnx F(t, x),134entonces:|Ft(Z) Ft(Y )| sup|XX0|r||JFt(X)|||Z Y |.Perosup|XX0|r||JFt(X)|||Z Y | sup|XX0|r|tt0|||JFt(X)|||Z Y |,y comoademas JFt() es una funcon continuade X, y como Feracontinuaen t, entoncesJFt(X)escontinuaentyXsobreuncompacto,porlotantosealcanzaelmaximo,quedenotamosporL.Porlotanto:|F(t, Z) F(t, Y )| L|Z Y |, |t t0| , |Z X0| r, |Y X0| r.Concluimos que F satisface lacondicionde Lipshtiz, ypor tanto se puede aplicar el teoremaanterior.Observacion. El teoremaanterior asegurasolamentelaexistenciadeunasolucionlocal, enunavecindadcentradadet0,quenodependedelvalordelaconstantedeLipshitz.Ejemplo5.2.1. VeamoslasiguienteecuacionnolinealdenidaentodoR:y = y2y(t0) = y0Claramente cumple todas las hipotesis del teorema en todo subconjunto de RR, pues si tomamoslabolaB(y0, r) R,paraalg unr > 0:| y21 + y22| = |y2y1||y2 + y1| L|y2y1|,conL = 2|y0| + 2r,ymax|yy0|r|y2| = (|y0| + r)2.Luego =r(|y0|+r)2. Es facil ver mediante derivacionque lafuncion(r) =r(|y0|+r)2, alcanzasumaximoenr= |y0|, porloque 14|y0|. Eligiendoel rse nalado, tenemosqueenel mejordeloscasoselteoremadeexistenciayunicidadnosgarantizauna unicasoluciondenidaenelintervalo[t014|y0|, t0+14|y0|]. Sin embargo, por metodos usuales para este tipo de ecuaciones, podemos calcularexplcitamentequelasolucionestadadapor:y(t) =1t t0 +1y0,donde vemos que el intervalo maximal (i.e. el mayor de los intervalos con el orden de la inclusion deconjuntos)dondeesposibledenirlasoluciones(t01y0, ), siy0> 0,y(, t01y0),siy0< 0.Peseaesto,tenemosqueaunqueelproblemaestabiendenidoentodoR R,esimposibleteneruna unicasoluciondenidaentodoR.135Nota. Deaqu enadelantenosrestringiremosaproblemasendosdimensionesyautonomosdelaforma(SNLA):x= F(x, y), x(t0) = x0y= G(x, y), y(t0) = y0,con Fy G funciones continuamentediferenciables,por lo que por teoremade existenciay unicidadsiempretendremosuna unicasolucionlocal.5.3. SistemasCuasilinealesDenicion5.3.1. Sellama puntocrtico(opuntodeequilibrio)deunsistemaal punto( x, y)cuandocumpleque:F( x, y) = 0G( x, y) = 0.El conjuntodepuntoscrticosdel sistemasedenotaporC= {( x, y) R2| F( x, y) = G( x, y) = 0}.Unpuntocrtico( x, y)sediceaisladosiexiste > 0tal noexisteotropuntocrticoenlabola{(x, y) R2| (x x)2+ (y y)2< 2},delocontrariosedicequelospuntoscrticossondensosentornoa( x, y).SihacemosunaexpansiondeTaylorenel(SNLA)entornoaunpuntocrtico( x, y),resulta:F(x, y) = F( x, y) +Fx( x, y)(x x) +Fy ( x, y)(y y) + fF(r)G(x, y) = G( x, y) +Gx( x, y)(x x) +Gy ( x, y)(y y) + hG(r),donder = (x, y) ( x, y),ylmr0hF(r)r= 0lmr0hG(r)r= 0.Comoademas( x, y)esunpuntocrtico, entoncesF( x, y)=G( x, y)=0. Tambienhayquenotarquelasderivadasparcialesestanevaluadasenel puntocrtico, porloquerepresentancontantes,quedenotaremospor:a =Fx( x, y), b =Fy ( x, y), c =Gx( x, y), d =Gy ( x, y).136Ahora,sireemplazamosen(SNLA)queda:(SNLA)_x= a(x x) + b(y y) + hF(r)y = c(x x) + d(y y) + hG(r).Notamosqueenestesistema,_a bc d_=_Fx( x, y)Fy ( x, y)Gx( x, y)Gy ( x, y)_= J( x, y),dondenotacionJvienelamatrizJacobianadelafuncion:R2 R2(x, y) _F(x, y)G(x, y)_evaluadaenel puntocrticoasociado( x, y). Lalinealizaciondel (SNLA)correspondeal sistemalinealizado(SL):(SL)_x= a(x x) + b(y y)y = c(x x) + d(y y)Sirepetimosesteprocedimientoparacadapuntocrticoaislado( xi, yi),i = 1, . . . , m,tenemos:(SL)i_x= ai(x xi) + bi(y yi)y = ci(x xi) + di(y yi),donde:_aibicidi_=_Fx( xi, yi)Fy ( xi, yi)Gx( xi, yi)Gy ( xi, yi)_= J( xi, yi).Denicion5.3.2. Unsistema(SNLA)sediracuasilineal entornoa( x, y)si |J( x, y)|= 0.Propiedades5.3.1. Dadoun(SNLA),y( x, y)unpuntocrticodeestesistema:(i) Si |J( x, y)|= 0,entonces( x, y)esel unicopuntocrticodel (SL),donderesultaseraislado.(ii) Si |J( x, y)| = 0, entonces los puntos crticos del (SL) son densos. Mas a un, su lugar geometricoesunarecta(quecontienea( x, y))sialg uncoecientedelJacobianoesdistintodecero,yestodoelplanoencasodequeel Jacobianotengatodosusterminosnulos.(iii) Si |J( x, y)|= 0,entonces( x, y)esunpuntocrticoaisladodel(SNLA).137Demostracion. (i) Paraencontrarlospuntoscrticosdel(SL)bastaresolver:a(x x) + b(y y) = 0 (5.1)c(x x) + d(y y) = 0, (5.2)dedonde:_a bc d__xy_=_a bc d__ x y_.Portantosi |J( x, y)|= 0, entoncespodemos invertir,y setienequeexisteuna unicasoluciondelsistema(x, y) = ( x, y),yporserla unica,espuntoaislado.(ii) Deloanteriortenemosquelospuntoscrticosestandadospor:ax + by= a x + b ycx + dy = c x + d y.Si |J( x, y)| =0, i.e. ad bc=0, oequivalentementead=bcsiempretendremosinnitassoluciones,bastamultiplicar(5.1)pord,(5.2)porb,yseobtiene:adx + bdy= ad x + bd ybcx + bdy= bc x + bd y,esdecir,sonlamismaecuacion.Luegolasolucionesellugargeometrico:adx + bdy ad x bd y= 0.Enel casoa = 0ob = 0, loanteriornoesmasqueunarectaquecontieneal puntocrticoentornoalcualselinealiza,porloquesiempredejaradeseraislado.Enelcasoa = b = 0,seobtienetodoelplanoR2,dondening unpuntoesaislado.(iii) Porcontradiccion, supongamosqueparatodo>0existeotropuntocrticodel (SNLA)( w, z)talque |( x, y) ( w, z)| < .Luegopordeciniondepuntocriticosetieneque:a( w x) + b( z y) + hF( r) = 0c( w x) + d( z y) + hG( r) = 0,donde r = ( w, z) ( x, y).Equivalentementesetiene:_a bc d__ w x z y_=_hF( r)hG( r)_.Usandoque |J( x, y)|= 0,tenemos:_ w x z y_=_a bc d_1_hF( r)hG( r)_.138Tomandonormayacotando,tenemosque:|| r|| ||J( x, y)1||_hF( r)2+ hF( r)21 ||J( x, y)1||_hF( r) r_2+_hF( r) r_2.Ycomoelladoderechotiendeacerocuando r 0,setieneunacontradiccion.Ejemplo5.3.1(Conejosyovejas). Supongamosunmodeloparalacompetenciadedospobla-cionesdeanimales:conejosxyovejasy, queluchanporelpastoenunhabitadreducido:x= 60x 3x24xyy= 42y 3y22xy.Lospuntoscrticosdeestesistemaseencuentranresolviendo:60x 3x24xy= 0 = x(60 3x 4y) = 042y 3y22xy= y(42 3y 2x) = 0.Luegotenemosvarioscasos.Six = 0entoncesy= 0o42 3y 2x = 0,dedondeobtenemoslospuntos:(0, 0)y(0, 14).Siy = 0entoncesx = 0o60 3x 4y= 0,dedondeobtenemoslospuntos:(0, 0)y(20, 0).Six = 0,y = 0,entoncesresolvemos60 3x 4y= 042 3y 2x = 0,dedondesetiene( x, y) = (12, 6).Portanto, C= {(0, 0), (0, 14), (20, 0), (12, 6)}.El conjunto anterior muestralos casos de equilibriosentre ambas poblaciones. El unico caso en quepuedenexistirambasespecieses( x, y)=(12, 6), enel resto, porlomenosunadelasespeciesseextingue,peroa unastodassonsolucionesdeequilibrio.ElJacobianoenestecasoestadadopor:J( x, y) =_FxFy ( x, y)GxGy ( x, y)_=_60 6x 4y 4x2y 42 6y 2x_.Seeval uaahoraelJacobianoencadapuntocrtico,paratenerelsistemalinealizadorespectivo:139yx(12,6)(0,14)(20,0)(0,0)Figura5.1:Solucionesdeequilibrioparaelmodelodeconejosyovejas(i) J(0, 0) =_60 00 42_queesinvertible:ad bc = 60 42 = 0,y(SL)1_x= 60(x 0) + 0(y 0) = 60xy = 0(x 0) + 42(y 0) = 42y(ii) J(20, 0) =_ 60 800 2_queesinvertible:ad bc = 60 2 = 0,y(SL)2_x= 60(x 20) 80(y 0)y = 0(x 20) + 2(y 0) = 2y(iii) J(0, 14) =_4 028 42_queesinvertible:ad bc = 42 4 = 0,y(SL)3_x= 4xy= 28x 42(y 14)(iv) J(12, 6) =_ 36 4812 18_ que es invertible:ad bc = (36)(42) (12)(48) = 72 = 0, y(SL)4_x= 36(x 12) 48(y 6)y = 12(x 12) 18(y 6)Finalmente concluimos que el modelo de conejos y ovejas es cuasilineal en torno a todos sus puntoscrticos. 140Ejemplo5.3.2. Habamos visto que las ecuaciones de un pendulosin forzamiento estan dadas por:x= yy= cmy gL sin(x),cuyospuntoscrticossatisfacen:0 = y0 = cm y gL sin( x),entonces y= 0, sin( x) = 0 x = k, k Z.As:C= {(k, 0) | k Z}.yx(2,0) (,0) (0,0) (,0) ( 2,0)Figura5.2:SolucionesdeequilibriodelpendulonolinealElJacobianorespectivoes:J(x, y) =_0 1gL cos(x) cm_J( x, y) =_0 1gL(1)kcm_,queesinvertible.Enelcasodelpendulolinealizadoentornoacero:x= yy= cmy gLx,su unicopuntocrticoes(0, 0),esdecirC= {(0, 0)}.

141yx(0,0)Figura5.3:SolucionesdeequilibriodelpendulolinealizadoentornoalorigenEjemplo5.3.3. Consideremoselsistemaautonomodenidoparatodot Rpor:_x= x3y= y3,quetieneelpuntocrticoaislado(0, 0),yJ(x, y) =_3x200 3y2_J(0, 0) =_0 00 0_.Porloquenoestesistemanoescuasilineal entornoal(0, 0).Siintentamoshacerlalinealizacionentornoa(0, 0)queda:_x= 0y = 0,cuyospuntoscrticosson C= R2,comoefectivamenteloaseguralapropiedad(ii)de(5.3.1). Ejemplo5.3.4. Setieneel(SNLA)_x= 3x + x2+ 2y + y2y = 6x x2+ 4y + y2.Claramenteel punto(0, 0)esunpuntocrtico. Paraverqueesel unico(yportantoesaislado),sepuedetratarderesolver explcitamenteel sistema, peroestoresultaunpocoengorroso. Otraformaesbosquejarungraco,dadoquecadaecuacionnoesmasqueunaconica.Sisecompletancuadrados,queda:_x +32_2+ (y + 1)2=134(x 3)2+ (y + 2)2= 5quecorrespondenaunacircunferenciayunahiperbolarespectivamente. ElbosquejodelgracosepuedeverenlaFigura5.4.1424224y4 22 4 6xFigura5.4:IntersecciondeConicasPara ver que en (0, 0) la dos curvas efectivamente son tangentes como lo sugiere el graco, calculemosladerivadaendichopunto3 + 2x + 2y + 2yy= 0y = 3 + 2x2(1 +y) y(0) = 326 2x + 4y + 2yy= 0y = x 32 +y y(0) = 32.Lamatrizjacobianaestadadapor:J(x, y) =_3 + 2x 2 + 2y6 2x 4 + 2y_J(0, 0) =_3 26 4_det(J(0, 0)) = 0,porloquenoescuasilineal,yel(SL)entornoa(0, 0)es:x= 3x + 2yy= 6x + 4y,cuyospuntoscrticosestarandadospor:_3 x + 2 y = 06 x + 4 y = 0.Claramente estas ecuaciones son linealmente dependientes, y la solucion es el conjunto: C= {(x, y) R2|y= 32x},esdecir, unarectaquepasaporel origen, dondeel punto(0, 0)noesaislado, talcomolose nalabatambienlapropiedad(ii)de(5.3.1). 5.4. DiagramasdeFaseParaelestudiodelasecuacionesdiferencialesdedosvariablesx, yresultademuchointeresloqueocurreenelplanoXY ,llamadoplanodefase.143Denicion5.4.1. Dadoel sistema(linealonolineal)autonomo, t I:x(t) = F(x, y)y(t) = G(x, y),dada una condicion inicial (x(t0), y(t0)) = (x0, y0), t0 I, se llama trayectoria que parte de (x0, y0),alafuncion T :T : I0 R2t (x(t), y(t)) ,donde I0 es un intervalo de existencia que contiene al que entrega el teorema de existencia y unicidad.Sellamarecorrido Rdeestatrayectoriaal conjuntoimagenorecorridodelafuncion T ,esdecir:R =_(x(t), y(t)) R2| t I0_.Sedenomina diagramadefases deestesistemaautonomoaunacoleccionderecorridos delastrayectoriasparaunn umerorepresentativodecondicionesiniciales.Se dene comonullclinade xal conjunto {(x, y) | F(x, y) =0}, ynullclinade y al conjunto{(x, y) | G(x, y) = 0}.Denicion5.4.2. El diagramadeujoseconstruyeal gracarenunacolecciondepuntos(x, y)representativosel vector(F(x, y), G(x, y))Conrespectoaldiagramadeujo,notemosqueporregladelacadena:dydt=dydxdxdt,entonces:dydx=yx=G(x, y)F(x, y).Portantoelrecorridodelatrayectoraestangentealujo.Ademas, con respecto a las diferentes naturalezas que pueden tener los puntos crticos, se tienen lassiguientesdeniciones.Denicion5.4.3. Unpuntocrtico( x, y)sediceestablesi( > 0)( > 0) {((x0, y0)) (x0, y0) ( x, y) < (x(t), y(t)) ( x, y) < ,t > t0} .Unpuntocrtico( x, y)sediceasintoticamenteestablesiesestabley(> 0)_(x0, y0)(x0, y0) ( x, y)< lmt(x(t), y(t)) = ( x, y)_.Unpuntocrtico( x, y)quenoesestablesediceinestable.144Laestabilidaddeunpuntocrticoquieredecirquelaevoluciondelsistemasemantienearbitraria-mentecercadelpuntocrtico,silascondicionesinicialessetomansucientementecercadelpunto.Observacion.Un punto astoticamente estable es estable, pero un punto estable no es necesariamenteasintoticamenteestable.Ejemplo5.4.1. Consideremoselsistema:x= x (5.3)y= ky, (5.4)dondekesunaconstantenonula, concondicionesiniciales: x(0)=x0, y(0) =y0,quetienecomosolucion:x(t) = x0et(5.5)y(t) = y0ekt, (5.6)txoxtyoyFigura5.5:Soluciones(5.5)y(5.6)parak > 0Astenemosunasolucion(x(t), y(t))quedependede(x0, y0).Consideramosx0 = 0, y0 = 0,puesenel casoquealgunadelascondicionesinicialesesnula, estoconducealasolucionideticamentenulaenesavariable, porTeo. deExistenciayUnicidad. Paradistintosvaloresdek, estasoluciontienedistintasformas.Sitomamosk= 1,resultanlassoluciones:x(t) = x0ety(t) = yoet145Dividiendolasecuaciones:x(t)y(t)=x0y0y(t) =y0x0x(t),querepresentanrectasdependientey0x0, cuyogracoenel planoXY quedailustradoenlagura5.6,dondelasechasindicanelsentidopositivodeltiempo,esdecir,tenemos:t _x 0y 0.t=2t=0t=1yoyxoxFigura5.6:SoluciondelsistemaparaunacondicioninicialenelplanodefasesXYLaideadeundiagramadefasesesdarunarepresentaciondetrayectoriasdirigidasenel sentidopositivodel tiempo en el plano de fases para distintas condicionesiniciales, que se puede obtener aleliminareltiempodelasecuaciones.Entoncestratemosahoradeconsiderarunrangomasampliodecondicionesiniciales, convalorespositivosynegativosdex0ydey0.Finalmenteresultaeldiagramadefasedelagura5.7,dondeseapreciaclaramentequeel punto(0, 0)tienelaparticularidaddequesinimportarlacondicioninicialquesetome,siempreseterminaenenorigen.Estacaractersticahacequeestepuntoscricoseaasintoticamenteestable.Ahora,sicambiamoselparametroak= 2,resulta:x(t) = x0ety(t) = yoe2t,dividiendolasecuaciones:x(t)y(t)=x0y0et,146yoyxoxFigura5.7:Diagramadefasecompletoparak= 1peroet=x0x(t),reemplazando:y(t) =y0x20x2(t).Ademassemantieneelcomportamientoparatiempospositivos:t _x 0y 0.El gracoenel planoXY quedaseilustraenlagura5.8, dondeseveclaramentequeel origentodavaesasintoticamenteestable.yxFigura5.8:Diagramadefaseparak= 2Siahoraanalizamosparak= 1,tenemos:x(t) = x0ety(t) = yoet.147Almultiplicarambasecuaciones,yluegodespejary:y=x0y0x,que corresponden a ecuaciones de hiperbolas, cuando x0 = 0 e y0 = 0. Ademas notamos que cuandot x 0,yporelcontrario,cuandot y _+ si y0 > 0 si y0 < 0En este caso el origen deja de ser asintticamente estable, puesto que siempre las trayectorias divergenensucomponenteenelejeY ,porloqueahoraesunpuntoinestable. yxFigura5.9:Diagramadefaseparak = 1HayquenotarquepermanentementeestamosusandoelresultadodeExistenciayUnicidadenlosdiagramasdefase:dadounpunto(x0, y0),entonceslasoluciondelsistema:x(t) = F(x, y)y(t) = G(x, y)es unica, bajo las hipotesisdel Teo. de Existenciay Unicidad para Fy G. De esta forma existeuna unica trayectoria(x(t), y(t)) para cada (x0, y0), estoes, existeuna unica funcion para la aplicacion:t (x(t), y(t)).148Paraejemplicar,tomemosnuevamenteelsistema:_x= xy= y,(5.7)enel quesi suponemosdoscondicionesinicialesdistintas(x0, y0)y(x1, y1), queparasimplicartomaremos0 < x0< x1y0 < y0 < y1,resultandolassoluciones:_x(t) = x0ety(t) = y0et(5.8)_x(t) = x1ety(t) = y1et(5.9)Si observamos el plano de fase de (5.7) para estas dos condiciones, aparentemente