apuntes finanzas

PontiÞcia Universidad Católica de Chile,Escuela de Administración

Apuntes de ClasesFinanzas II (EAA-321A), Sección 21

Sebastián Cerda N.2

Agosto de 2006

1Este es un borrador preliminar, por lo tanto agradeceré notiÞcar toda clase deerrores.

2e-mail de contacto: [email protected]

Contents

Preface ix

1 Retornos en Finanzas 11.1 DeÞniciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Retornos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Retornos Continuamente Compuestos . . . . . . . . . . . . . . 3

2 La Importancia del Arbitraje en Finanzas 72.1 El Concepto de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje? . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 El Principio de No Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Ejemplos de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal . . . . . . . . . . . 92.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Naturaleza . 10

2.5 Estrategias de Arbitraje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Renta Fija 133.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Tasa Interna de Retorno (TIR) . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.5 Tasas de Interés Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.6 Retornos de Inversión en Bonos . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.7 La Curva de Rendimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.8 La Curva de Tasas Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 21

v

vi CONTENTS

3.10 Duración y Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.10.1 Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.10.2 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.11 Inmunización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre 294.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2.1 Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Premio Por Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Grados de Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4 Preferencias en el Espacio de Media y Varianza . . . . . . . . 36

5 Combinaciones de Activos 415.1 El Caso de 2 Activos Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1 Sin Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 425.1.2 Con Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Extensión a N Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 La Frontera Eficiente 536.1 El Concepto de DiversiÞcación de Activos . . . . . . . . . . . 536.2 Caracterización GráÞca de la Frontera EÞciente . . . . . . . . 556.3 Propiedades de la Frontera EÞciente . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Equilibrio de Mercado 637.1 La DeÞnición de Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 647.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado . . . . . . 657.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 687.4 El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo . . . . . . 69

8 Limitaciones del CAPM 718.1 La Crítica de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2 Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo . 728.3 Los Resultados de Fama y French . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4 El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de

Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768.4.1 Un Ejemplo de APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

CONTENTS vii

9 Eficiencia del Mercado de Capitales 819.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 819.2 EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 829.3 Hipótesis de Formación de Expectativas . . . . . . . . . . . . 83

9.3.1 Retornos Esperados son Positivos . . . . . . . . . . . . 839.3.2 Retornos Esperados son Constantes . . . . . . . . . . . 849.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación Riesgo-

Retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 849.4 Categorías de EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 85

10 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 8710.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8710.2 El PerÞl de Riesgo de un Contrato Forward . . . . . . . . . . 8810.3 El Precio de un Contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . . . 8910.4 El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield")

Para el Activo Subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.5 Contratos Forward de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 9110.6 Contratos Forward como Estrategias Especulativas . . . . . . 9210.7 Contratos Forward como Estrategia de Cobertura . . . . . . . 93

10.7.1 Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

11 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 9511.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.2 El PerÞl de Riesgo de Las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 9511.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras . . . . . 9811.4 Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones . . . . . . 9911.5 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.5.1 Bull Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9911.5.2 Bear Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10011.5.3 Butterßy Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.6 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . 10311.8 La Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10311.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento10411.10Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1

período al vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10511.11Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento . . . 10811.12La Formula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

viii CONTENTS

12 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital 11312.1 La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de

Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11412.1.1 Alguna Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11412.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . 11412.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 11512.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 11612.1.5 La importancia de Modigliani y Miller . . . . . . . . . 116

12.2 Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital . . . . . . . 11712.2.1 BeneÞcio Tributario de la Deuda . . . . . . . . . . . . 117

12.3 Impuestos Personales y Estructura de Capital . . . . . . . . . 11812.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Per-

sonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12112.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor . . . . . . . . 123

12.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros 12412.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a

Elegir Malos Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

13 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 12913.1 La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller 12913.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan

Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13113.3 La Desventaja Tributaria de los Dividendos . . . . . . . . . . 132

13.3.1 El Modelo de Elton y Gruber . . . . . . . . . . . . . . 13213.4 La Existencia de Costos de Transacción . . . . . . . . . . . . . 13313.5 La Teoría de Clientelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13313.6 La Teoría de Información de la Politica de Dividendos . . . . . 13413.7 Existencia de Problemas de Agencia . . . . . . . . . . . . . . . 13413.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Preface

El objetivo de estas notas de clases son exponer conceptos básicos en Þnanzasdesde una perspectiva que sea consistente con el esquema docente deÞnidoen el programa del curso. En estas notas no se pretende ser creativo en lapresentación de los tópicos de estudio. Por el contrario, las demostraciones yejemplos númericos aquí contenidos son estándares para cualquier buen libroen Þnanzas. De esta forma, la idea es que se complementen estas notas deestudios con un buen libro de texto para lograr una mejor comprensión delplan de estudios para este semestre.

ix

Chapter 1

Retornos en Finanzas

Lo relevante en este curso es entender conceptos. No es necesario que memo-rice estas fórmulas. Si no entiende algún concepto durante este curso, siemprepuede inventar su propia notación. Eso no lo pejudicará en terminos de nota.No obstante, por claridad de presentación de estas notas de clases me pareceimportante partir deÞniendo cierta notación que utilizaré durante todo eltranscurso del semestre.El retorno de un activo es un concepto intertemporal en el sentido que

computa la diferencia entre lo invertido y lo recibido en dos períodos distintosde tiempo. Por eso muchas veces es necesario, explícitamente, introducir eltiempo en nuestras deÞniciones. Utilizaré los subíndices para referirme altiempo. Por ejemplo, el precio de un activo al cierre de 2005 es P2005. Elprecio del activo en el período t es Pt, mientras que la tasa de interés en esemismo período es Rt. El período corriente (hoy) será deÞnido por t = 0.

1.1 Definiciones Básicas

Definition 1 El Retorno Bruto de un activo es: Rt+1 =valor en $ recibidost+1

valor en $ pagadost.

En el caso de una acción que paga dividendos, el retorno bruto es, Rt+1 =Pt+1+Dt+1

Pt.

R es un número alrededor de 1 (por ejemplo 1,10).

Definition 2 El Retorno Neto de un activo es: rt+1 = Rt+1 − 1.

Definition 3 El Retorno Porcentual de un activo es: 100× rt+1.

1

2 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS

Definition 4 El Retorno Continuo de un activo es: rt = lnRt.

Por ejemplo, ln (1.10) = 0.09531 = 9.531%.

Definition 5 El Retorno Real de un activo es: Rrealt+1 =

cantidad de bienes recibidost+1

cantidad de bienes pagadost.

Definition 6 El Indice de Precios al Consumidor (IPC) es IPCt ≡ valor en $ de los bienestcantidad de bienest

.

Definition 7 La Tasa de Inflación Bruta es Πt+1 ≡ IPCt+1

IPCt.

De tal forma, es posible deÞnir el retorno real como:

Rrealt+1 =

valor en $ de los bienest+1 · bienes recibidost+1

valor en $ de los bienest+1

valor en $ de los bienest · bienes pagadostvalor en $ de los bienest

(1.1)

Rrealt+1 =

valor en $ de los bienest+1 · 1IPCt+1

valor en $ de los bienest · 1IPCt

(1.2)

Rrealt+1 = Rnominalt+1 · IPCt

IPCt+1(1.3)

Rrealt+1 =

Rnominalt+1

Πt+1(1.4)

En otras palabras, el retorno real bruto es el retorno nominal bruto dividopor la tasa de inßación bruta.En términos de retornos continuos, tenemos que:

ln¡Rrealt+1

¢= ln

¡Rnominalt+1

¢− ln (Πt+1) (1.5)

Para bajas tasas de inßación neta, la siguiente es una buena aproximacióna la tasa de retorno real bruta:

Rnominalt+1

Πt+1=

¡1 + rnominalt+1

¢1 + πt+1

≈ 1 + rnominalt+1 − πt+1 (1.6)

Es posible utilizar exactamente la misma idea para computar los retornosbrutos en pesos de inversiones en otras monedas. DeÞna el retorno bruto endólares (USD) de una inversión como RUSDt+1 = valor bienes en USDt+1

valor bienes en USDt. El tipo

1.2 RETORNOS COMPUESTOS 3

de cambio pesos por dólar se deÞne como e$/USDt = valor bienes en $t

valor bienes en USDt. Por lo

tanto, el retorno en bruto en pesos de tal inversión es

R$t+1 =

valor bienes en $t+1

valor bienes en $t=valor bienes en USDt+1

valor bienes en USDt·

valor bienes en $t+1

valor bienes en USDt+1

valor bienes en $tvalor bienes en USDt

(1.7)

R$t+1 = R

USDt+1 · e

$/USDt+1

e$/USDt

(1.8)

1.2 Retornos Compuestos¿Cuál es el pago total de una inversión de $1 por 10 períodos en un instru-mento que promete pagar 10% por período? La respuesta es más que $2.En la medida que es necesario computar los intereses sobre los intereses yacapitalizados, la respuesta correcta es el retorno compuesto. DeÞna Vt comoel valor de la inversión en el periodo t. Por lo tanto, tenemos que:

V1 = R · V0 = (1 + r)V0 (1.9)

V2 = R2 · V0 (1.10)

VT = RT · V0 (1.11)

RT es lo que tradicionalmente se conoce como el Retorno Compuesto.

1.3 Retornos Continuamente CompuestosHay ciertas propiedades de los retornos continuamente compuestos que hacenagradable trabajar con ellos.

El retorno continuamente compuesto a T períodos plazo es T veces elretorno continuamente compuesto de un período.

lnV1 = lnR+ lnV0 (1.12)

lnVT = T lnR+ lnV0 (1.13)

Si las tasas de retornos no son constantes, entonces el retorno bruto aT períodos plazo es R1R2 . . . RT tal que

ln (R1R2 . . . RT ) = ln (R1) + ln (R2) + . . .+ ln (RT ) (1.14)

4 CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS

Los retornos continuamente compuestos son convenientes también porquepermiten computar de manera más simple retornos reales o retornosconvertidos desde otras monedas:

Rreal =Rnominal

Π⇒ ln

¡Rreal

¢= ln

¡Rnominal

¢− lnΠ (1.15)

En este punto, resulta clariÞcador una ilustración de la intuición detrásde los retornos continuamente compuestos.Suponga la existencia de un bono que paga 10% y capitaliza sus intereses

semestralmente. Cada 6 meses se realiza un pago de interés por 5%. Elretorno bruto anual de tal bono es:

compuesto semestral: (1.05) (1.05) = 1.1025 = 10.25% (1.16)

¿Qué ocurre ahora si la capitalización es trimestral?

compuesto trimestral: (1.025)4 = 1.1038 = 10.38% (1.17)

Es posible generalizar esta idea, tal que

compuesto N veces:³1 +

r

N

´N(1.18)

Incluso es posible llevar este argumento al extremo para un instrumentoque capitaliza intereses inÞnitas veces por período. Esa es la tasa de retornocontinuamente compuesta:

limN→∞

³1 +

r

N

´N= 1 + r +

1

2r2 +

1

2× 3r3 + . . . = er (1.19)

Por lo tanto, si R = er es la tasa de retorno bruta por período, entoncespodemos computar la tasa de retorno continuamente compuesta como:

r = lnR (1.20)

A modo de ejemplo, un retorno de 10% anual continuamente compuestoes exactamente equivalente a una tasa de retorno bruto compuesto anualde e0.10 = 1.1051709. O lo que es lo mismo una tasa de retorno neto com-puesta anual por 10.51709% es equivalente a un retorno anual continuamentecompuesta por 10%.A CADA TASA DE RETORNO COMPUESTA N VECES POR PERI-

ODO LE CORRESPONDE EXACTAMENTE UNA TASA DE RETORNOCONTINUAMENTE COMPUESTA.Un pequeño ejemplo númerico puede llevar a clariÞcar esto un poco más.

1.3 RETORNOS CONTINUAMENTE COMPUESTOS 5

1. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que paga la tasabruta de R compuesta semestralmente?

DeÞniendo r = R− 1, tenemos que el retorno en 3 años es ¡1 + r2

¢2×3.

2. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que promete pagaruna tasa de retorno anual continuamente compuesto por rcc?

Ese retorno es simplemente e3×rcc. Si la tasa de retorno fuera deÞnidacomo semestral continuamente compuesta, entonces la respuesta seríae2×3×rcc.

Chapter 2

La Importancia del Arbitrajeen Finanzas

2.1 El Concepto de Arbitraje

El concepto de arbitraje es un concepto muy vago al cual se hace recurrentereferencia entre aquellos que observan el mercado Þnanciero. No obstante,cuesta encontrar una deÞnición precisa de este concepto. ¿Qué son las opor-tunidades de arbitraje en Þnanzas? Es una idea muy simple, pero muy po-tente. Siempre que el precio de un activo Þnanciero esté mal colocado por elmercado, surge una oportunidad de arbitraje con respecto al activo que tieneel precio errado. Una oportunidad de arbitraje es siempre libre de riesgo.Eso quiere decir que la ganancia se puede hacer por completo en el períodocorriente. Si la estrategia de inversión tiene riesgo, eso ya no es arbitraje essimplemente especulación.

2.2 ¿Por Qué Importa el Arbitraje?

Si usted es un operador de mercado, obviamente toda oportunidad de arbi-traje le interesa porque es una forma de ganar dinero sin riesgo.En nuestro caso, el arbitraje nos interesa por un interés netamente académico.

El asumir que no existen oportunidades de arbitraje en el mercado signiÞcaque todos los activos Þnancieros están valorizados correctamente. Los activosÞnancieros son paquetes de promesas de pago. Una acción promete pagar unßujo de dividendos. Un bono promete pagar un ßujo de intereses y capital.

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8CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS

Los derivados Þnancieros son formas más complejas de armar paquetes deßujos de caja sobre acciones, bonos, tipo de cambio, etc. En cualquier caso,si no existen oportunidades de arbitraje y el costo de armar paquetes de ac-tivos Þnancieros es cero1, entonces el asumir no arbitraje es una manera muysimple de valorizar cualquier activo Þnanciero.

2.3 Los Teoremas Básicos de Arbitraje

Dado que como veremos más adelante, el arbitraje es un concepto tantointertemporal (en el tiempo) como entre distintas realizaciones posibles de losestados de la naturaleza, conviene ser un poco más riguroso en la deÞnicióndel arbitraje. Existen dos teoremas fundamentales en Þnanzas acerca delarbitraje.

2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio

Si dos activos prometen los mismos ßujos de caja (en cada estado de lanaturaleza) deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todoevento y no en valor esperado. Una violación de la ley de un solo precioequivale a la existencia de una oportunidad de arbitraje.¿Por qué razon se podría violar este teorema? Hay variadas razones para

ello, por ejemplo que los inversionistas sean irracionales, esto es que ponganmal los precios de los activos que compran. Una segunda razón que se meviene a la cabeza es que el costo marginal de armar activos Þnancieros seadistinto de cero. Una de las razones que se aduce para explicar la "burbuja"especulativa del Nasdaq en el año 2001 es que, a pesar de que el mercadointuía que esas acciones no valían su precio, no era posible (por razonesregulatorias) armar paquetes de activos que apuntaran a la caída de precio deesas acciones, y que por tanto arbitraran precios claramente sobrevalorados.

2.3.2 El Principio de No Arbitraje

Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor o igual al pago (a todoevento) del activo B (esto es, en todos los períodos y estados posibles de lanaturaleza, el activo A paga lo mismo que B pero en al menos un estado o

1Este no es un mal supuesto. Piense, cual es el costo marginal de producir una unidadÞsica de un bono, una accion? Solo el valor del papel utilizado para tal Þn.

2.4 EJEMPLOS DE ARBITRAJE 9

período paga más), entonces de manera cierta el precio del activo A debe sermayor al precio del activo B.

2.4 Ejemplos de Arbitraje

La noción de arbitraje resulta más didáctica por la vía de un par de ejemplos.Como estándar de notacion, deÞniremos t = 0 . . . T como los períodos futurosen el tiempo y s = 0 . . . S como los posibles estados de la naturaleza. De estaforma, nos referiremos a Xst como el pago prometido por el activo X en elestado s durante el período t.

2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0 . . . 2. El activo X pagaX1 en t = 1, el activo Y paga Y2 en t = 2 y el activo Z paga X1 en t = 1 eY2 en t = 2. p (.) es el precio del activo en t = 0.

Activo t = 0 t = 1 t = 2

X p (X) +X1 0

Y p (Y ) 0 +Y2

Z p (Z) +X1 +Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0

Por ley de un sólo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =p (Z). Ahora bien, ¿qué ocurre si la ley de un sólo precio no se cumple,p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puedeejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia dearbitraje sería comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Correspondela estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

10CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS

2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Natu-raleza

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0, 1 y s = 1, 2. El activoX paga X11 en t = 1 y s = 1, el activo Y paga Y21 en t = 1 y s = 2 y elactivo Z paga X11 en t = 1 y s = 1 y Y21 en t = 1 y s = 2.

Activo t = 0 t = 1

s = 1 s = 2

X p (X) +X1 0

Y p (Y ) 0 +Y2

Z p (Z) +X1 +Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y )− p (Z) > 0 X1 −X1 = 0 0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z)− p (X)− p (Y ) > 0 0 0

Por ley de un solo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X)+p (Y ) =p (Z). Ahora bien, que ocurre si la ley de un solo precio no se cumple,p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puedeejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia dearbitraje seria comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Correspondela estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

2.5 Estrategias de ArbitrajeIndependiente de los ßujos de caja de los activos (o paquetes de activos),las estrategias de arbitraje siempre se construyen iguales: (1) correspondever si se viola la ley de un sólo precio para combinaciones de activos, (2) sise viola la ley de un sólo precio corresponde arbitrarla, (3) la estrategia dearbitraje equivale a, de acuerdo a la ley de un sólo precio, vender el activocaro y comprar el activo barato, (4) la cantidad de activo que se compre ovenda corresponde a la combinación de activos que haga todos los ßujos decaja en t = 1 . . . T y s = 1 . . . S sea igual a cero excepto por el ßujo de cajacorriente (en t = 0) que debe ser siempre positivo.Aquí está la clave para hacerse rico invirtiendo en activos Þnancieros:

COMPRARBARATOYVENDERCARO. Hasta ahora no se ha encontrado

2.5 ESTRATEGIAS DE ARBITRAJE 11

otra forma para ganar sin riesgo. Cualquier otro tipo de estrategia es pura yexclusiva especulación Þnanciera.

Chapter 3

Renta Fija

Por renta Þja nos referiremos al caso de instrumentos Þnancieros que prome-ten el pago de ßujos futuros no aleatorios. Esto no quiere decir que el preciode esos activos no tenga riesgo. Las tasas de descuento de tales ßujos puedenser variables, asi como la probabilidad de pago de los ßujos prometidos. Loestándar es denominar Renta Fija a toda inversión en Bonos.

3.1 Algunas Definiciones de Utilidad

En general, los Bonos se clasiÞcan de acuerdo a su estructura de pagos.Existen 3 grandes categorías de bonos:

1. Bono Cero Cupón. Estos bonos efectuan un único pago a su vencimientoque incluye tanto principal como intereses.

2. Bono "Bullet". Estos bonos pagan cupones periódicos que incluyensolo el pago de intereses. El principal de un bono "bullet" se paga porcompleto al vencimiento del instrumento.

3. Anualidades. Bono con Cupones. Estos bonos pagan cupones periódi-cos por montos iguales que incluyen tanto el pago de intereses como laamortización de parte del principal.

13

14 CHAPTER 3 RENTA FIJA

3.2 Notación

Necesitamos distinguir bonos de distinta madurez. Para esto, utilizaremosla siguiente notación: P (3) es el precio de un bono cero cupón que vence en 3años. Las variables en minúsculas (ejemplo, p(3)) corresponden al logaritmonatural de la variable en mayúscula.

3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente

Comenzaremos este capitulo ignorando cualquier fuente de incertidumbre.De esta forma, asumiremos que tanto los ßujos futuros de caja como lastasas de interés son conocidos ex-ante. Introducir incertidumbre hace elanálisis un poco más complejo pero las conclusiones relevantes no cambiandramáticamente.El truco para valorizar bonos está en entender que cualquier tipo de bono

puede ser generado como una combinación de otros bonos. El resto es trivial:La Ley de un Sólo Precio. Un conjunto de bonos cero cupón, bonos "bullet" ybonos con cupones es lo mismo que una secuencia de tasas de interés futuras.Para encontrar el precio de cualquier categoría de bono basta en saber comoempaquetar ese bono en función de bonos de los cuales usted ya conozca suprecio.Un bono otorga un derecho a recibir una secuencia de ßujos de caja

F1, F2, . . . , FN. Como cualquier activo Þnanciero, un bono debe valorizarsepor valor presente,

P =

NXj=1

FjR1R2R3 · · ·Rj (3.1)

donde R1 es la tasa de interés entre 0 y 1, R2 es la tasa de interés entre 1y 2, etc. Obviamente, entendemos R = 1+r, donde r es la tasa de interés talcomo la observamos normalmente. El problema con valorizar bonos vía valorpresente es donde encontrar las tasas de interés relevantes. Hay 3 opcionespara esto último:

1. Utilizar las tasas de interés de los bancos. El problema es ¿cuál es esatasa?, ¿la de depósitos o de créditos, ¿de qué banco? Esto, en realidad,sólo ocurre en los libros de texto.

3.4 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR) 15

2. Utilizar el precio de mercado de los bonos cero cupón para encontraresas tasas de interés. Suponga, por ejemplo, que usted tiene el preciode bonos cero cupón a 2 períodos plazo. P (1) = 1

R1y P (2) = 1

R1R2.

Basta con conocer P (1) y P (2) para encontrar R1 y R2.

Hay una propiedad interesante acerca de los bonos cero cupón: todobono puede ser valorizado como una combinacion de bonos cero cupón.El precio de un bono cero cupón a N períodos plazo.

P (N) =1

R1R2R3 · · ·RN (3.2)

Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtiene la siguiente expre-sión para el valor de un bono:

P =NXj=1

P (j) · Fj (3.3)

3. Utilizar el precio de mercado de bonos con cupones para encontrar esastasas de interés. Suponga que usted conoce el precio de 2 bonos concupones (P 0 y P 00) con la siguiente estructura de pago: bono 1 F 01, F 02y bono 2 F 001 , F 002 , tal que P 0 = F 01

R1+

F 02R1R2

y P 00 = F 001

R1+

F 002

R1R2. Estas

son 2 ecuaciones y 2 incógnitas que usted puede resolver rápidamentepara encontrar R1 y R2.

3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR)Definition 8 Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés ANUAL,FICTICIA, CONSTANTE Y, CONOCIDA que, dado el precio de mercadodel bono en cuestión, resuelve la ecuacion de valor presente neto (VPN=0).Esta definición asume que el bono se paga a todo evento, i.e. no existe lacesación de pagos.

A partir de esta deÞnición, podemos ver que la TIR de un bono cerocupón es el número Y (N) que satisface

P (N) =1

[Y (N)]N

(3.4)


Por lo tanto,

Y (N) =1

[P (N)]1N

(3.5)

lnY (N) = − 1NlnP (N) (3.6)

y(N) = − 1Np(N) (3.7)

Por su parte, la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisfacela siguiente ecuación:

P =NXj=1

FjY j

(3.8)

En general, dado el precio (P ) y el ßujo de caja (Fj), usted tiene queencontrar el valor de Y que resuelve esta ecuación. En la medida que todoslos ßujos de caja sean positivos, Fj ≥ 0, la solución a este problema esrelativamente simple.Lo importante es que rentenga lo siguiente:

La TIR es sólo una forma muy simple de presentar los precios de dis-tintos bonos.

Al utilizar TIR no hemos ningún tipo de supuestos, tales como que lastasas de interés sean conocidas, constantes o que los ßujos de caja esténlibres de riesgo de no pago.

EXCEPTO PARA EL CASO DE UN BONO CERO CUPON A UNPERIODO PLAZO, LA YIELD DE UN BONO NO ES LA TASA DEINTERES EFECTIVA DE MERCADO.

3.5 Tasas de Interés Forward

Otra particularidad del precio de los bonos cero cupón es que permiten iden-tiÞcar expectativas implícitas de tasas de interes futuras. La deÞnición delprecio de un bono cero cupón a N períodos plazo es

P (N) =1

R1R2R3 · · ·RN (3.9)

3.5 TASAS DE INTERÉS FORWARD 17

De lo cual se deriva la siguiente deÞnición de una tasa de interés forward

RN+1 =P (N)

P (N+1)(3.10)

Definition 9 Tasa de Interés Forward es la tasa de interés a la cual esposible contratar hoy un depósito (crédito) que se hará efectivo a comienzosdel periodo N y será liquidado durante el período N + 1.

La intuición es muy simple. Usted siempre puede sintetizar un contratoforward a partir de la gama completa de bonos cero cupón. Suponga queusted compra una unidad de bono cero cupón a N períodos plazo y si-multáneamente vende una cantidad x de bonos cero cupón a N +1 períodosplazo al vencimiento. La siguiente tabla muestra los ßujos netos de tal op-eración:

Operación t = 0 t = N t = N + 1

Compra 1 unidad de Cero a N −P (N) +1 0

Venta de x unidades de Cero a N + 1 +xP (N+1) 0 −xFlujo de Caja Neto xP (N+1) − P (N) 1 −x

Seleccione un valor x tal que el ßujo de caja en t = 0 sea igual a cero:

x =P (N)

P (N+1)(3.11)

Piense en los resultado de esta operación: los ßujos en t = 0 fueron nulos,en t = N se obtuvieron ßujos positivos por 1, y Þnalmente en t = N + 1 sedebera realizar un egreso de caja por P (N)

P (N+1) . En otras palabras, acabamosde sintetizar un contrato (Þrmado hoy en t = 0) para conseguir un créditoen t = N que se pagará en t = N + 1. Eso es exactamente una operaciónforward, donde la tasa forward en tal contrato entre N y N + 1 es

FN→N+1 =P (N)

P (N+1)(3.12)

lnFN→N+1 = lnP (N) − lnP (N+1) (3.13)

fN→N+1 = p(N) − p(N+1) (3.14)

Algunas aclaraciones importantes sobre las tasas de interés forward:


1. Las tasas de interés forward son importantes porque permiten endeu-darse en el futuro. Si usted tiene un proyecto pero la inversión nola efectuará hasta dentro de varios períodos quizás le interese tomarun contrato forward para endeudarse en el futuro cuando requiere losrecursos para invertir.

2. LAS TASAS DE INTERES FORWARD NO SON LAS TASAS DEINTERES FUTURAS. SON LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LAINFORMACION DISPONIBLE. EN EL FUTURO PUEDEN PASARMUCHAS COSAS (COMO QUE POR EJEMPLO EL BANCO CEN-TRAL SUBA LAS TASAS DE INTERES).

3. Dado lo anterior si usted tiene una visión distinta del mercado acercade la evolución futura de las tasas de interés, entonces usted puedeespecular contra las tasas de interés forward para ganarle al mercado.Pero esta es una apuesta con riesgo, porque en principio no hay ningunarazón para creer que usted sabe más que el mercado.

3.6 Retornos de Inversión en Bonos

En el caso de bonos cero cupón, el retorno de inversión antes de vencimientoes muy simple. Si usted compra un bono cero cupón con N al vencimientoy lo vende en N + 1 cuando a este bono sólo le quedan N − 1 períodos alvencimiento, la rentabilidad es:

1 + rb(N)t+1 =

P (N−1)t+1

P (N)t

(3.15)

rb(N)t+1 ≈ ln

³1 + rb

(N)t+1

´= lnP

(N−1)t+1 − lnP (N)

t (3.16)

Excepto para el caso de los bonos cero cupón con un período al vencimiento,este retorno no es un valor conocido ex-ante. En el caso de los bonos cerocupón a un período plazo, tenemos que estos cumplen una muy interesantepropiedad:

1 + rb(1)t+1 = R0,t = Y

(1)t =

1

P(1)t

(3.17)

3.7 LA CURVA DE RENDIMIENTOS 19

Para el resto de los bonos con cupones, la rentabilidad de la inversión enbonos es un poco más complicada.

1 + rbt+1 = YtPt+1

Pt(3.18)

rbt+1 ≈ ln (1 + rbt+1) = lnYt + lnPt+1 − lnPt (3.19)

rbt+1 ≈ yt + pt+1 − pt (3.20)

3.7 La Curva de Rendimientos

La curva de rendimientos es un gráÞco que vincula la TIR de bonos cerocupón y su plazo N al vencimiento.

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

0 2 4 6 8 10N

TIR

Suponga que usted conoce la evolución futura de las tasas de interés a unperíodo plazo (o de lo que es lo mismo, las TIR de los futuros cero cupón aun período plazo). La fórmula del valor presente para un cero cupón con Nperíodos al vencimiento es

P (N)0 =

µ1

R1

1

R2

· · · 1RN

¶=

Ã1

Y(1)

1

1

Y(1)

2

· · · 1

Y(1)N

!(3.21)

Sustuyendo la deÞnición de TIR para un bono cero cupón, P (N) = 1

[Y (N)]N ,


en la ecuación (3.21) se obtiene

Y (N)0 =

³Y (1)

1 Y (1)2 Y (1)

3 . . . Y (1)N

´ 1N

(3.22)

De acuerdo a (3.22), la TIR de un bono cero cupón con N períodos alvencimiento es el promedio geométrico de todas las futuras tasas de interésa un período plazo desde hoy hasta el período N .Aplicando logaritmos sobre la expresión (3.22), se obtiene que

y(N)0 =

1

N

³y

(1)1 + y

(1)2 + y

(1)3 · · ·+ y(1)

N

´(3.23)

El logaritmo natural de la TIR de un bono cero cupón con N períodosal vencimiento es el promedio aritmético del logaritmo natural de todas lasfuturas tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N .Las relaciones (3.22) y (3.23) son formas alternativas de entender la ley de

un sólo precio. El lado izquierdo y derecho de ambas expresiones presentandos formas distintas de obtener un peso en N períodos mas. El lado izquierdose obtiene de adquirir un bono cero cupón a N períodos, mientras que el ladoderecho viene de invertir en bonos cero cupón de un período plazo durantelos próximos N períodos. La ley de un sólo precio nos indica que para evitarla existencia de oportunidades de arbitraje, ambas alternativas deben costarexactamente lo mismo.

3.8 La Curva de Tasas ForwardLa curva de tasas forward es un gráÞco que vincula las tasas forward y elperíodo N en que se espera esta tasa.Suponga que efectivamente conocieramos la evolución futura de las tasas

de interés. En términos de arbitraje, esto implica que

Tasa de Interés Forward = Tasa de Interés Spot Futura (3.24)

F (N) = RN→N+1 (3.25)

¿Cuál es la intuición de esto? Simple y puro arbitraje. Si la tasa deinterés forward fuera más baja que la tasa de interés spot futura, entonceslos inversionistas se endeudarían hoy a la tasa forward y prestarían en elfuturo a tasa spot, generando una ganancia libre de riesgo.

3.9 NO ARBITRAJE EN RETORNOS DE BONOS 21

Una particularidad relevante de las tasas de interés forward es que estasse encuentran implícitas dentro de la curva de rendimientos. Para entenderesto, es necesario volver a la ecuación (3.25)

F (1) = R1→2 (3.26)

Utilizando la deÞnición de tasas de interés forward en la ecuación (3.12),F (1) = P (1)

P (2) , se obtiene que

P (1)

P (2)= R1→2 (3.27)

Sustituyendo las siguientes deÞniciones, R0→1 =1

P (1) y Y (2) = 1√P (2), en

la ecuación (3.27), se obtiene

£Y (2)

¤2= R0→1R1→2 (3.28)

Y (2) = [R0→1R1→2]12 (3.29)

que es exactamente la expresión para la curva de rendimientos para elcaso de 2 períodos en la ecuación (3.22).Esto no es para nada sorpresivo cuando piensa en lo siguiente. Si usted

necesita llevar dinero desde hoy hasta el período N , existen 3 formas alterna-tivas de realizar esto. Ir renovando tasas spot cada período, contratar tasasforward hasta N o comprar un bono cero cupón con vencimiento en N (lacurva de rendimiento). Como todas las alternativas cumplen con el mismoobjetivo, éstas deben ser equivalentes entre sí.

3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos

Considere dos formas alternativas de transferir dinero desde el actual períodohacia el siguiente: (1) Comprar un bono cero cupón con N períodos alvencimiento y venderlo como un bono con N − 1 períodos al vencimientodurante el próximo período o (2) Comprar un bono cero cupón con un únicoperíodo al vencimiento. De nuevo, por un asunto de arbitraje ambas estrate-


gias deberan rentar lo mismo, tal que

³1 + rb

(2)1

´=³1 + rb

(1)1

´(3.30)

P(1)1

P(2)0

=1

P(1)0

(3.31)hY

(2)0

i2

Y(1)

1

= Y(1)

0 (3.32)

Y(2)

0 =hY

(1)0 Y

(1)1

i 12

(3.33)

Por una nueva vía hemos llegado al mismo resultado: una representaciónde la curva de rendimientos.

3.10 Duración y Convexidad

Recuerde que la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisfacela siguiente ecuación:

P =NXj=1

FjY j

(3.34)

Esta expresión nos indica que existe una relación no lineal entre preciosde bonos y su TIR.

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 23

TIR

Pre

cio

Y0

Nos gustaría conocer cómo cambia P ante cambios en la TIR del bono(Y ), sin embargo ésta es una relación compleja (porque no es lineal). Existeuna relación no lineal entre P e Y , P = P (Y ). Esta relación puede seraproximada por lo que se conoce como la Aproximación de Taylor :

P (Y ) ≈ P (Y0) +PXi=1

1

i!

diP (Y0)

d (Y0)i (Y − Y0)

i (3.35)

donde Y0 es un arbitrario punto de expansión. La expansión de primerorden de Taylor es

P (Y ) ≈ P (Y0) +∂P (Y0)

∂Y0(Y − Y0) (3.36)

P (Y ) ≈ P (Y0)− ∂P (Y0)

∂Y0

Y0| z constante

+∂P (Y0)

∂Y0

Y (3.37)


Diferenciando esta última expresión1, se obtiene

dP ≈ ∂P

∂YdY (3.38)

dP

P≈ ∂P

∂Y

dY

Y

Y

P(3.39)

dP

P≈ −

·−YP

∂P (Y0)

∂Y0

¸| z Duración de un Bono

dY

Y(3.40)

3.10.1 Duración

La duración de un bono es la elasticidad de la relación entre precios y TIRalrededor del punto asociado a la TIR vigente. Por lo tanto, la duración esuna primera aproximación a la sensibilidad del precio ante cambios en la TIRde un bono.

D = −YP

dP

dY= −d lnP

d lnY(3.41)

Esto ultimo implica que, dada la duración, es posible construir una aprox-imación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIRdel bono:

dP

P≈ −D · dY

Y(3.42)

Duración de un Bono Cero Cupón

La deÞnición del precio de un bono cero cupón es

P (N) =1

Y N(3.43)

−YP

dP

dY=Y

PN

1

Y N+1= N (3.44)

Para bonos cero cupón, tenemos que DURACION=MADUREZ DELBONO.

1Obviamente, la primera diferencia de una constante es cero.

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD 25

Duración de Otros Bonos

El precio de bonos con cupones es

P =NXj=1

FjY j

(3.45)

−YP

dP

dY=Y

P

NXj=1

jFjY j+1

=1

P

NXj=1

jFjY j

=NXj=1

jFj/Y

jPNj=1 Fj/Y

j(3.46)

D =Xßujos

duración de cada ßujo× valor del ßujovalor total del bono

(3.47)

Por lo tanto, para el caso de bonos con cupones, la duración es el promedioponderado (por el valor de cada ßujo) de la duración de los ßujos individuales.Una implicancia relevante de lo anterior es que la duración de un bono essiempre menor que su madurez.

Duración de Una Perpetuidad

El precio de una perpetuidad con cupón C es P = CY−1

.Dada la deÞnición de duración en la ecuación (3.46), tenemos que la

duración de una perpetuidad por C es

D =1

P

∞Xj=1

jC

Y j=C

P

∞Xj=1

j1

Y j(3.48)

Reemplazando la propiedad queP∞

j=1 jzj = z

(1−z)2 en la ecuación (3.48),se obtiene la duración de una perpetuidad

D =C

P

(1/Y )

(1− 1/Y )2 (3.49)

D = (Y − 1) Y

(Y − 1)2 =Y

Y − 1 (3.50)

Duración Modificada

Muchas veces resulta más conveniente computar lo que se conoce como laduración modiÞcada. Esto es el cambio porcentual en el precio que se origina


por un cambio absoluto en la TIR del bono (en vez del cambio porcentualen la TIR que suena algo extraño porque es el cambio porcentual sobre algoque ya está en porcentaje).

DM ≡ − 1P

dP

dY=1

Y

µ−YP

dP

dY

¶=1

Y×D (3.51)

Esto último implica que, dada la duración modiÞcada, es posible construiruna aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambiala TIR del bono:

dP

P= −DM · dY (3.52)

3.10.2 Convexidad

En el siguiente gráÞco es posible apreciar dos bonos con igual duración paraun nivel de TIR de Y0. Sin embargo, ambos bonos tienen distinta curvaturaalrededor de ese punto. Eso indica que en la medida que existan cambiosmuy grandes en el nivel de TIR, entonces la duración sera una muy malaaproximación al verdadero cambio en precios ante cambios en TIR.

TIR

Prec

io

Y0

bono 1bono 2

Esto hace necesario tener una mejor aproximación a tal cambio. La formade hacer esto es ocupar la convexidad de cada instrumento (el segundo tér-mino asociado a una expansión de Taylor). La convexidad del bono es el

3.11 INMUNIZACIÓN 27

cuociente entre la segunda derivada del precio del bono con respecto a suTIR y el precio del bono:

∂2P

∂Y 2=

1

Y 2

NXj=1

·FjY j¡j2 + j

¢¸(3.53)

Convexidad =1

P

∂2P

∂Y 2(3.54)

Esto último implica que, dada la duracion modiÞcada y la convexidad,es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio delbono cuando cambia la TIR del bono:

dP

P= −DM · dY + 1

2· Convexidad · (dY )2 (3.55)

3.11 InmunizaciónSabemos que el precio de los bonos cambia cuando cambian las TIR de estosbonos. Si tenemos estos bonos en cartera, nuestra riqueza Þnanciera ßuctuarácon cambios en TIR. Se conoce como inmunización al ejercicio de construirun portafolio de renta Þja que sea inmune a cambios en TIR.Existen dos formas de construir portafolios inmunizados:

1. Portafolios Dedicados: Para cada ßujo de caja de activos o pasivos,se puede comprar o vender el correspondiente bono cero cupón. No im-porta qué ocurra con las TIR, los ßujos de caja estarán completamentecubiertos por bonos cero cupón de madurez equivalente. El valor delportafolio será completamente inmune a cambios en TIR.

2. Calzar la Duración del Portafolio: Compre (o venda) un bono quecuadre exactamente la duración de un pasivo (o activo) de renta Þja.De esta forma, cumplirá con dos condiciones (1) valor presente de losactivos = valor presente de los pasivos y (2) duración de activos =duración de pasivos. La posición neta del portafolio sera insensible alos cambios en TIR.

3.12 Estrategias de Arbitraje con BonosLa conclusión del capitulo pasado (sobre arbitraje) es que en la medida quehaya un precio mal puesto siempre es posible arbitrar tal precio. En esta


oportunidad veremos una pequeña aplicación al caso de renta Þja (bonos).Suponga que existen 3 bonos: (1) el bono A es un cero cupón a 1 períodoplazo con TIR por 4%, (2) el bono B es un cero cupón con madurez de 2períodos y TIR de 5%, y (3) el bono C es un bono con 2 cupones en cadaperíodo por $1 y TIR por 4,25%.Los precios de estos bonos son:

P (1) =1

1.04= 0.96154 (3.56)

P (2) =1

1.052= 0.90703 (3.57)

PC =1

1.045+

1

1.0452= 1.8727 (3.58)

Dado que la suma del pago de los bonos A y B es igual al pago del bonoC, por ley de un sólo precio

PC = P(1) + P (2) (3.59)

Lo cual es falso: 1.8727 > 0.96154 + 0.90703 = 1.8686. Esto implica laexistencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Cuál? Todas las oportunidadesde arbitraje son iguales: hay que vender el activo caro y comprar el activobarato. ¿En qué proporciones? En las que hagan cero todos los ßujos ent = 1 . . . N . En este caso, esto es trivial, basta con comprar 1 unidad delbono A y 1 unidad del bono B y vender 1 unidad del bono C.

Operación t = 0 t = 1 t = 2

Compra 1 unidad de bono A −P (1) 1 0

Compra 1 unidad de bono B −P (2) 0 1

Venta de 1 unidad de bono C +PC -1 -1

Flujo de Caja Neto PC − P (1) − P (2) = 0.0041 0 0

Chapter 4

Decisiones de Inversión BajoIncertidumbre

Hasta ahora nos dedicado a explicar como valorizar activos vía arbitraje.Esto es, basta con conocer el precio de un activo, para valorizar otros activoscuyos ßujos de caja sean combinaciones de activos con precios conocidos. Noobstante, nada hemos dicho acerca de la causa por la cual cierto inversionistapudiera demandar cierto activo Þnanciero. Una característica de los activosÞnancieros es que el valor de sus ßujos depende de la realización de estadosde la naturaleza caracterizados por distribuciones de probabilidades.

En los cursos tradicionales de microeconomía, vimos como las preferenciasde los consumidores sobre un conjunto de bienes, c1, c2 . . . cN, pueden serdescritas por curvas de indiferencias., u (c1, c2 . . . cN ).

29

30CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

C1

C2

Estas funciones de utilidad cumplen con propiedades estándares, utilidadmarginal del consumo es positiva, U 0 (·) > 0 y decreciente U 00 (·) < 0.

C

U(C

)

El tema con los activos Þnancieros es que los pagos ofrecidos no son enbienes sino en realizaciones de estados de la naturaleza. Estos estados de lanaturaleza tienen probabilidades asociadas a ellos, esto quiere decir que laspreferencias asociadas a activos Þnancieros deben ser funciones de realiza-

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 31

ciones de la naturaleza así como de sus respectivas probablidades. Supongaque existenN posibles estados de la naturaleza s1 . . . sN con probabilidadesasociadas p1 . . . pN. Un activo Þnanciero pagará bienes por c1 . . . cN encaso de realización de alguno de los estados de la naturaleza. De esta forma,las preferencias de los agentes pueden ser descritas indistintamente como pref-erencias sobre pago de bienes en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN) ocomo preferencias sobre probabilidades de los estados U (p1 . . . pN). La intu-ición es muy simple. Suponga que a usted le gusta mucho el consumo en elestado 1 (c1), esto es equivalente a decir que le gusta mucho cierta distribu-ción de probabilidad que asigna mucho peso al estado 1. Esto indica queexisten dos enfoques alternativos para representar preferencias sobre pagosinciertos:

Sobre el conjunto de pagos posibles en cada estado de la naturaleza,V (c1 . . . cN).

Sobre el conjunto de distribuciones de probabilidad de los estados,U (p1 . . . pN ).

4.1 El Enfoque de la Utilidad EsperadaEl enfoque de la utilidad esperada viene de suponer que existe independenciade las preferencias sobre distribuciones de probabilidad. Esto es que la prob-abilidad de un estado de la naturaleza no afecta mis preferencias sobre lasprobabilidades del resto de los estados de la naturaleza. Bajo el supuesto deindependencia, las preferencias de los agentes pueden ser representadas por:

V (c1 . . . cN ) = U (p1 . . . pN) =NXi=1

pi·u (ci)⇐⇒ Indice de Utilidad Esperada

(4.1)donde u (·) cumple con todas las propiedades estándares en una funcion

de utilidad.Los primeros en notar el supuesto de independencia como condicion nece-

saria para la existencia de una representacion de utilidad esperada como (4.1)fueron los economistas John Von Neumann y Oscar Morgenstern (1944). Porlo tanto, muchas veces se suele hacer referencia al índice de utilidad esperadacomo la representación de Von Neumann - Morgenstern.


Una importante implicancia del enfoque de la utilidad esperada es que nospermite deÞnir la actitud de los agentes hacia el riesgo (i.e. incertidumbre).Para efectos simpliÞcatorios, suponga que existen sólo 2 posibles estados de lanaturaleza, tal que la utilidad esperada es: E [U ] = p ·u (c1)+(1− p) ·u (c2).Existen 3 casos posibles para deÞnir la actitud hacia el riesgo:

Agente es averso al riesgo:E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) < U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)

(4.2)

Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la aversión al riesgoes una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginaldecreciente, u00 (·) < 0. La intuición es que un agente averso al riesgosiempre preÞere el valor seguro de una apuesta, U [E], al valor esperadode tal apuesta, E [U ].

U(C

)

C1 C2p*C1+(1-p)*C2

E[U]

U[E]

Agente es preferente al riesgo:E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) > U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)

(4.3)

Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la preferencia al riesgoes una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA 33

creciente, u00 (·) > 0. La intuición es que un agente preferente al riesgosiempre preÞere el valor esperado de una apuesta, E [U ], al valor segurode tal apuesta, U [E].

C1 C2p*C1+(1-p)*C2

E[U]

U[E]

Agente es neutral al riesgo:

E [U ] = p · u (c1) + (1− p) · u (c2) = U [E] = u (p · c1 + (1− p) · c2)(4.4)

Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la neutralidad al riesgoes una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginalconstante, u00 (·) = 0. La intuición es que un agente neutral al riesgosiempre está indiferente entre el valor esperado de una apuesta, E [U ]y al valor seguro de tal apuesta, U [E].


C1 C2p*C1+(1-p)*C2

E[U]=U[

EN GENERAL, PRACTICAMENTE TODAS LAS APLICACIONESFINANCIERASASUMENQUE LOSAGENTES SONAVERSOSALRIESGO1.


4.2.1 Equivalente Cierto

Considere 2 posibles inversiones Þnancieras. La primera es una inversiónriesgosa que promete pagar un ßujo riesgoso,fW , La segunda es una inversiónlibre de riesgo que promete pagar un valor Þjo, W , a todo evento.

Definition 10 W es el equivalente cierto de fW , si y sólo si un inversionistaaverso al riesgo está indiferente entre ambos tipos de activos.

U¡W¢= E

hU³fW´i (4.5)

Esto, gráÞcamente, equivale a lo siguiente:

1Salvo que se explícite lo contrario, asumiremos que los agentes son aversos al riesgo.

4.3 GRADOS DE AVERSIÓN AL RIESGO 35U

(W)

W- E[W~]

E[U]=U[E

premio por riesgo

4.2.2 Premio Por Riesgo

Definition 11 El premio por riesgo (π) es el monto que un agente aversoal riesgo estaría dispuesto a pagar para evitar una inversión riesgosa.

U³EhfWi− π´ = E hU ³fW´i (4.6)

Tanto EhfWi como π son valores ciertos, por tanto es trivial notar que el

premio por riesgo se encuentra vinculado al concepto de equivalente cierto.

W = EhfWi− π ⇔ π = E

hfWi−W (4.7)

4.3 Grados de Aversión al Riesgo

La distincion entre aversión, preferencia o neutralidad al riesgo puede resultarmuy restrictiva si lo que, por ejemplo, nos interesa hacer es una comparaciónentre el grado de aversión al riesgo del subconjunto de agentes aversos alriesgo. En otras palabras, requerimos deÞnir una medida más precisa de lacurvatura del índice de utilidad esperada (más curvatura equivale a mayoraversión al riesgo).


Si el índice de utilidad esperada es estrictamente creciente y dos vecescontinuamente diferenciable, entonces es posible deÞnir el siguiente par demedidas de aversión al riesgo.

Definition 12 Grado de Aversión Absoluta al Riesgo es el grado de aversiónde un agente a jugar un monto fijo absoluto en una lotería de precio justo.

AAR (W ) = −u00 (W )u0 (W )

(4.8)

Definition 13 Grado de Aversión Relativa al Riesgo es el grado de aversiónde un agente a jugar una proporción fija de su riqueza en una lotería de preciojusto.

ARR (W ) = −W · u00 (W )u0 (W )

(4.9)

Por deÞnición, tenemos que u00 (·) < 0. De tal forma que

grado de aversión al riesgo =

> 0 si el agente es averso al riesgo

= 0 si el agente es neutral al tiesgo

< 0 si el agente es preferente al riesgo

(4.10)

4.4 Preferencias en el Espacio de Media yVarianza

Como veremos más adelante, en muchas aplicaciones resulta particularmenteútil suponer que la utilidad esperada se puede representar en un espacio demedia y varianza de las distribuciones de probabilidad sobre los estados dela naturaleza. Existen dos formas de llegar a este resultado:

1. Suponer que las distribuciones de probabilidad de los retornos de losactivos Þnancieros pueden ser representados completamente por los 2primeros momentos de su distribución. La única función de distribu-ción (estable) que cumple con tal propiedad es la distribución Normal.Lamentablemente, la distribución efectiva de retornos de activos gen-eralmente tiende a no parecerse mucho a una distribución Normal.

4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA37

2. Una segunda alternativa consiste en no imponer ninguna restricciónsobre la distribución de probabilidades sino que sobre la forma de lafunción de utilidad esperada. Suponga que la función de utilidad escuadrática

u (W ) = αW 2 +W (4.11)

Por deÞnición, tenemos que

E (W ) = µW (4.12)

Mientras que la utilidad esperada es

E (u (W )) =NXi=1

pi ·£Wi + αW

2i

¤= E (W ) + αE

¡W 2¢(4.13)

E (u (W )) = µW + αE¡W 2¢

(4.14)

Por su parte, la deÞnición de la varianza de W es2

V ar (W ) = σ2W =

NXi=1

pi · [Wi − µW ]2 = E¡W 2¢− µ2

W (4.15)

2Parta de la deÞnición de la varianza

V ar (W ) = E [W − µW ]2

= E¡W 2

¢− 2E (W · µW ) + µ2W

La deÞnición de la covarianza de W y µW es

Cov (W,µW ) = E [(W −E (W )) (µW −E (µW ))]

= E (W · µW )− µ2W

Como la covarianza entre una variable aleatoria (W ) y una constante (µW ) es siemprecero

E (W · µW )− µ2W = 0

E (W · µW ) = µ2W

Reemplazando esto último en la deÞnición de la varianza de W

V ar (W ) = E¡W 2

¢− 2µ2W + µ2

W

V ar (W ) = E¡W 2

¢− µ2W


Reemplazando la expresión (4.15) en la deÞnición de la utilidad esper-ada (ecuacion (4.14)), se obtiene que

E (u (W )) = µW + α¡σ2W + µ

2W

¢(4.16)

Las preferencias se encuentran perfectamente especiÞcadas por los primerosdos momentos de una distribución aleatoria (la media y la varianza).

El problema con la función de utilidad cuadrática es que viola el supuestode no saciedad de una función de utilidad, u0 (·) > 0. Cuando α < 0,u (W ) es decreciente para todo el rango de valores W > −1

2α.

La simple intuición nos indica que a un agente averso al riesgo no legustará la varianza de riqueza tal que sus curvas de indiferencia en el espaciode media y varianza tomarán la siguiente forma.

Var(W)

Med

ia d

e W

Por su parte, al agente preferente al riesgo le gustará tener mucha varianzaen su riqueza, tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media yvarianza tomarán la siguiente forma.

4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA39

Var(W)

Med

ia d

e W

Finalmente, aquellos agentes con neutralidad al riesgo verán represen-tadas sus preferencias en el espacio de media y varianza por el siguiente tipode curvas de indiferencia.

Var(W)

Med

ia d

e W

Chapter 5

Combinaciones de Activos

Durante el capítulo previo de este este curso nos dedicamos a demostrar quede acuerdo a un grupo importante de supuestos1 es posible caracterizar laspreferencias de los consumidores en un espacio deÞnido por los dos primerosmomentos de una distribución aleatoria: la media y la varianza. Más aún, conalgún trabajo adicional, es posible demostrar que estas preferencias en mediay varianza son convexas2. Ahora bien, como es cierto en cualquier problemade optimización bajo restricciones (como en que el por ejemplo un agenteintenta maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones), es necesarioidentiÞcar el set de posibilidades de inversión. Esto es lo que se conoce comola Frontera de Posibilidades de Inversión, y cuyas propiedades son lasque, a continuación, se intentará caracterizar en más detalle.

5.1 El Caso de 2 Activos Financieros

DeÞnamos A y B como los dos únicos activos Þnancieros disponibles parainversión. La media y varianza de ambos tipos de activos se expresará comoE (RA), E (RB) y σ2 (RA), σ2 (RB) respectivamente. Ademas, la proporciónde la riqueza invertida en el activo A se denotará α tal que (1− α) es laproporción invertida en el activo B. De esta forma, el retorno esperado y

1Por ejemplo, que los retornos de los activos provengan de una distribución Normalmultivariada o que la función de utilidad de los inversionistas sea cuadrática.

2Por convexidad, nos referimos a que la combinación lineal entre dos canastas de con-sumo indiferentes para el inversionista (A y B), es siempre preferida a A o B. Convexidad:A ∼ B ⇒ αA+ (1− α)B Â A y B

41

42 CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS

la desviacion estándar del portafolio P constituido por la combinación deambos activos puede ser expresado como

E (RP ) = αE (RA) + (1− α)E (RB) (5.1)

σ (RP ) =

qα2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α) cov (RA, RB)(5.2)

Sin embargo, como la covarianza entre RA y RB es por deÞnición:

cov (RA, RB) = σ (RA) σ (RB) ρA,B (5.3)

donde ρA,B es el coeÞciente de correlación entre los retornos de A y B.Por deÞnición, tenemos que −1 < ρA,B < 1, donde ρA,B = −1 implicaque ambos activos están (perfectamente) negativamente correlacionados yρA,B = 1 implica que ambos activos están (perfectamente) positivamentecorrelacionados. Reemplazando (5.3) en (5.2) obtenemos

σ (RP ) =qα2σ2 (RA) + (1− α)2 σ2 (RB) + 2α (1− α)σ (RA)σ (RB) ρA,B

(5.4)

5.1.1 Sin Venta Corta de Activos

Supongamos por ahora que no existe venta corta de activos3 tal que 0 < α < 1y analicemos entonces las propiedades de los portafolios contruídos comocombinación de los activos A y B. En primer lugar, note de la ecuación (5.1)que la media del portafolio es una combinación lineal de la medias de cadaactivo y no depende en ninguna forma de la correlación entre ambas clasesde activos. Por lo tanto, simplemente nos centraremos en lo que ocurre conla desviación estándar del portafolio bajo distintos escenarios de correlaciónde retornos entre activos.

Caso 1: Activos perfectamente (positivamente) correlacionados¡ρA,B = 1

¢Si ρA,B = 1, la ecuación (5.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA) + (1− α) σ (RB)| (5.5)

3Se conoce como venta corta de activos, el caso en el cual un inversionista pide prestadoun activo Þnanciero para venderlo hoy pero tiene la obligación de restituirlo en el futuro.En la practica, la venta corta permite mantener posiciones negativas en alguna clase deactivos, i.e. α < 0.

5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 43

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución delproblema cuadrático tome la raíz positiva del problema4. El gráÞco 1muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones deambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornosde ambos tipos de activos sea uno implica que todos los portafolioscompuestos por ambos activos estén sobre la linea recta que une ambosactivos.

B

A

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

0.0% 1.0% 2.0% 3.0% 4.0% 5.0% 6.0% 7.0%Desviacion Estandar

Med

ia

ρA,B = 1.0

Caso 2: Activos perfectamente (negativamente) correlacionados¡ρA,B = −1

¢Si ρA,B = −1, la ecuacion (5.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA)− (1− α)σ (RB)| (5.6)

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución delproblema cuadrático tome la raíz positiva del problema. El gráÞco 2muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de

4Por deÞnición, la desviación estándar es siempre positiva.


ambos tipos de activos, cuando E (RA) = 3%, σ (RA) = 1%, E (RB) =10%, σ (RA) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos deambos tipos de activos sea -1 implica que existe un portafolio que tienela propiedad de tener una desviación estándar igual a 0. En el gráÞco2, este portafolio es el que corresponde al punto C. Simple algebranos permite determinar que el portafolio C es aquel que cumple con lasiguiente composición

α =σ (RB)

σ (RA) + σ (RB)5 (5.7)

C

B

A

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

ρA,B = −1.0 Ademas, por simple inspección geométrica del gráÞco 2 es posible de-terminar que cuando ρA,B = −1.0, toda la combinación posible deportafolios se reduce a dos segmentos lineales (A − C y C − B). Elsegmento A− C se describe por la siguiente recta

σ (RP ) = ασ (RA)− (1− α)σ (RB) si α > σ (RA)

σ (RA) + σ (RB)(5.8)

5Reemplace σ (R) = 0 en 5.6 y resuelva para α.


Mientras que el segmento C − B es simplemente la recta descrita por

σ (RP ) = (1− α)σ (RB)− ασ (RA) si α < σ (RA)

σ (RA) + σ (RB)(5.9)

Caso 3: Activos imperfectamente correlacionados¡−1 < ρA,B < 1¢

En primer lugar, es importante resaltar el hecho de que independientedel coeÞciente de correlación entre ambos tipos de activos, si se invierteel 100% del riqueza en A (α = 1), tendremos que las ecuaciones (5.1)y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RA) y σ (RP ) = σ (RA). De lamisma forma, si el 100% de la riqueza es invertida en el activo B (α =0), las ecuaciones (5.1) y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RB) yσ (RP ) = σ (RB). En este sentido, independiente de la composición delportafolio su representación gráÞca en el espacio de media y desviaciónestándar debe pasar por los puntos A y B.

Dado que −1 < ρA,B < 1, podemos decir lo siguiente acerca de laecuación (5.2):

σ (RP ) < ασ (RA) + (1− α) σ (RB) si ρA,B < 1 (5.10)

σ (RP ) > ασ (RA)− (1− α) σ (RB) si ρA,B > −1 (5.11)

En términos gráÞcos, esto implica que en el gráÞco 2, el portafolioque combina los activos A y B, debe estar a la izquierda del segmentoA−B (ecuación (5.10)) y a la derecha del segmento A−C−B (ecuacion(5.11)). En el siguiente graÞco, es posible apreciar los portafolios quecombinan A y B cuando −1 < ρA,B < 16.

6El gráÞco está construído con un valor ρA,B = −0.8.


A

B

C

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

ρA,B = −0.8

Ahora bien cabe preguntarse porque la representación gráÞca de losportafolios formados por A y B en el espacio de media y desviacion es-tándar tienen una forma suavemente concava. Para clariÞcar el punto,suponga que tuvieran una forma convexa como la línea punteada en elsiguiente gráÞco.


C

B

A

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

u

v

Como u y v se encuentran sobre la línea roja, estos portafolios debenser una combinacion de A y B. De esta forma, cualquier combinaciónde A y B puede ser expresada como una combinación de los portafoliosu y v. Por lo tanto, aplica lo siguiente para el segmento de portafoliosentre u y v:

σ (RP ) < αuσ (Ru) + (1− αu) σ (Rv) si ρA,B < 1 (5.12)

σ (RP ) > αuσ (Ru)− (1− αu)σ (Rv) si ρA,B > −1 (5.13)

Esto implica que el segmento de portafolios ubicados entre u y v debeestar necesariamente a la izquierda de la línea recta trazada entre u yv, lo cual es contradictorio con una forma convexa para la combinaciónde media y desviación estándar de los portafolios compuestos por A yB.

5.1.2 Con Venta Corta de Activos

La venta corta de activos es una simple operación Þnanciera que consistebásicamente en lo siguiente: pedir prestado un activo Þnanciero, el cual se


devolverá en algún punto en el futuro. En la práctica, esto es como ir asolicitar un crédito en el banco. Siempre se puede ir a un banco y solicitarun crédito a plazo que se devolverá como dinero más un cierto pago deinterés prepactado. La venta corta es lo mismo, se puede acudir al tenedorde un activo, pedírselo prestado, venderlo, recaudar recursos para invertirloso consumirlos, comprarlo nuevamente en algún punto del futuro y devolverloa quien originalemente lo prestó. Suponga como hasta ahora que existen dosactivos Þnancieros: A y B. Usted podría acudir hasta donde un tenedor delactivo A, pedirle prestado su activo, vender A y con ese dinero comprar B.En este sentido, su posición neta en el activo A sería negativa (α < 0) ysu posición neta en B sería mayor al 100%. De esta forma, y tal como seaprecia en el siguiente gráÞco, el alzamiento de la restricción a la venta cortade activos permite desplazar la combinación de alternativas alcanzables demedia y desviación estándar a la derecha de los puntos A y B.

B

A

-8.0%

-6.0%

-4.0%

-2.0%

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

14.0%

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%Desviacion Estandar

Med

ia

Combinación de Activos A y B con Venta Corta de Activos

5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 49

5.2 Extensión a N ActivosEn la medida que un portafolio compuesto por A y B es trivialmente imple-mentable, este portafolio también puede ser combinado con un tercer activoD para obtener nuevos portafolios que son combinación de A, B y D. Por lotanto, todo lo señalado en la sección anterior es trivialmente aplicable a unasituación con una cantidad N > 2 de activos Þnancieros7.Suponga la existencia de un número Þnito N de activos Þnancieros y

deÞna αiP , αjP y σij como la proporción del portafolio P invertida en elactivo i, la proporción del portafolio P invertida en el activo j y la covarianzaentre activos i y j respectivamente. De esta forma, la media y la varianza deun portafolio P puede ser descrita por el siguiente par de ecuaciones:

E (RP ) =NXi=1

αiPE (Ri) (5.14)

σ2 (RP ) =NXi=1

NXj=1

αiPαjPσij (5.15)

Sabemos que la contribución del activo i a la media (retorno) del portafo-lio es simplemente E (Ri), ahora nos gustaría establecer la contribución deese mismo activo a la varianza (riesgo) del portafolio. Para eso, reescribamosla ecuacion (5.15) como

σ2 (RP ) =NXi=1

αiP

ÃNXj=1

αjPσij

!(5.16)

De manera obvia, el términoPN

j=1 αjPσij es la contribución del activo ia la varianza (riesgo) del portafolio P . Es importante notar que este términoes la contribución de i al riesgo de un único portafolio, P . La contribuciónal riesgo de cualquier otro portafolio dependerá de la composición de talportafolio. Analícemos un poco más en detalle la contribución de i al riesgodel portafolio P . Este puede fácilmente ser descompuesto en dos partes.

NXj=1

αjPσij = αiPσ2 (Ri) +

NXj=1j 6=i

αjPσij (5.17)

7Siempre puedo agrupar una cantidad grande de activos en dos portafolios distintos yconstruir combinaciones de dos portafolios.


El primer término a la derecha de la ecuación (5.17) es el porcentaje deP invertido en i multiplicado por la varianza de i. Este término es comple-tamente idiosincrático al activo i debido a que no depende de otro activo j.Ahora bien el segundo término a la derecha de la ecuación (5.17) si dependedel resto de los activos en P . Si la covarianza entre el activo i y el activo j(que tambien forma parte del portafolio P ) es negativa, entonces el términoPN

j=1j 6=iαjPσij es obviamente negativo8. Por lo tanto, a pesar de que la var-

ianza de cualquier activo es, por deÞnición, siempre positiva, no es posibledeterminar a priori si la contribución de un activo al riesgo del portafolioserá positiva (y de qué magnitud) en la medida que es necesario conocer sucovarianza con el resto de activos. Su covarianza con el resto de los compo-nentes del portafolios (los activos j) puede ser negativa y contribuir a reducirel riesgo (varianza del portafolio).

En este punto, ya conocemos la contribución de un activo a la media yla varianza de un portafolio. No obstante, surge la pregunta obvia: ¿a quéportafolio nos referimos? Supongamos de nuevo que se poseen tres alter-nativas de inversión: A, B y D. En el siguiente gráÞco, se muestran trescombinaciones posibles de activos: la combinación de A y B, la combinaciónde B y D y la combinación de A y D.

8Obviamente, asumiendo que αjP > 0, esto es que existe prohibición a la venta cortade activos.

5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 51

B

AD

-4.0%

-2.0%

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

0.0% 2.0% 4.0% 6.0% 8.0% 10.0% 12.0%Desviacion Estandar

Med

ia

Un portafolio como P puede estar en cualquiera de esas combinaciones oen alguna adicional que incluya a los tres activos (esas combinaciones no segraÞcan aquí). En el siguiente capítulo, nos referiremos a las combinacioneseÞcientes entre N activos y que son los únicos portafolios en los cuales uninversionista tipo estará interesado en invertir.

Chapter 6

La Frontera Eficiente

6.1 El Concepto de Diversificación de Activos

En Þnanzas resulta habitual escuchar analistas recomendar estrategias deinversión basadas en la diversiÞcación de activos. En tal contexto, el conceptode diversiÞcación no se reduce más que a una estrategia del tipo de no colocartodos los "huevos" en la misma canasta. No obstante, este concepto es unpoco más profundo que la simple idea de no colocar todos los "huevos" enla misma canasta. De acuerdo a la ecuación (5.17) en el pasado capítulo,es posible cuantiÞcar la contribución de un activo al riesgo (varianza) delportafolio. Como ya se señaló, existe un riesgo idiosincrático a cada activoque es su propia varianza. Pero cada activo se mueve también en algún gradocon el resto de los activos de ese portafolio (la covarianza). Un par de activoscon covarianza negativa, en los cuales se invierte en montos positivos1, tendráuna contribución negativa al riesgo (varianza) del portafolio. No obstante,tal estrategia no implica necesariamente una diversiÞcación eÞciente de losriesgos de mercado.

Suponga el siguiente ejemplo donde existen tres alternativas de inversión(A, B y D) cuyas medias, varianzas y covarianzas se detallan en el siguientecuadro.

1Esto es sin venta corta.

53

54 CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE

Media Varianza-Covarianza A B D

A 3% A 0.25% -0.01% 0.01%

B 10% B 0.36% -0.02%

D 4% D 0.16%

Uno podría decir entonces que, dado que existen pares de covarianzasnegativas entre activos, podriamos formar portafolios que reducen el riesgo(varianza) de los activos individuales. Seleccionemos un portafolio E conproporciones arbitrariamente Þjas en un tercio de la riqueza para cada activo.Aplicando las ecuaciones (5.14) y (5.15), podemos representar este portafolioE en el espacio de media y desviacion estándar (siguiente gráÞco).

B

D

A

EF

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

Este portafolio E tiene la menor desviación estándar al compararlo conlos activos individuales (fruto de covarianzas negativas). No obstante, esposible también construir un portafolio F de igual media y menor desviaciónestándar que E. Este portafolio F se compone de 24% invertido en A, 32%invertido en B y 44% invertido en D, de tal forma que cuesta lo mismo queel portafolio E. Resulta obvio que F domina a E en la medida que ofreceigual retorno (media) con menor riesgo (desviación estándar). Por lo tanto,ningún inversionista racional podría diversiÞcar su portafolio de acuerdo a

6.2 CARACTERIZACIÓN GRÁFICA DE LA FRONTERA EFICIENTE55

E si lo puede hacer mejor diversiÞcando como en F. Esto es la base de unadiversiÞcación eÞciente, tengo que buscar combinaciones eÞcientes que mereduzcan al mínimo la desviación estándar de un portafolio. Cualquier otroportafolio que a pesar de reducir la varianza de los activos individuales noreduzca al máximo el riesgo diversificable no puede ser considerado unportafolio eÞciente.

6.2 Caracterización Gráfica de la Frontera Efi-ciente

Tal como es posible encontrar un portafolio de menor desviación estándarque E pero con igual retorno esperado (media). Este ejercicio es tambiénposible de implementar para todo el espacio de retornos esperados. En elsiguiente gráÞco, la línea punteada muestra los puntos de menor desviaciónestándar para cada nivel de retorno generados como la combinación lineal delos activos individuales A, B y D.

B

DA

EF

0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%


Med

ia

La linea punteada es lo que se conoce como la Frontera Eficiente, ycorresponde a todos los portafolios de mínima desviación estándar para cadanivel de retorno. Todos los activos contenidos en tal frontera son también


conocidos como Portafolios de Mínima Varianza. En la siguiente secciónnos referiremos a las propiedades únicas que comparten todos losPortafoliosde Mínima Varianza.

6.3 Propiedades de la Frontera Eficiente

En la sección previa hemos delineado la base de la diversiÞcación. Estopuede ser formalizado algebraicamente con algo más de cuidado. Supongaque existenN activos disponibles. Lo que buscamos son portafolios eÞcientes,es decir combinaciones deN activos que reduzcan al mínimo la varianza de unportafolio para cada nivel de media (retorno). DeÞnamos la varianza de unportafolio como σ2 (RP ) =

PNi=1

PNj=1 αiPαjPσij, entonces los portafolios de

mínima varianza (MV) son la solucion al siguiente problema de optimización.

minαiP N

σ2 (RP ) (6.1)

sujeto al siguiente par de restricciones

NXi=1

αiPE (Ri) = E (RMV ) (6.2)

NXi=1

αiP = 1 (6.3)

donde E (RMV ) se reÞere al nivel de retorno esperado (media) para elcual se pretende minimizar la varianza del portafolio.Tal como es estándar en cualquier problema de optimización con restric-

ciones, su solución requiere en primer lugar la implementación de un la-grangeano.

L = σ2 (RP ) + 2λMV

"E (RMV )−

NXi=1

αiPE (Ri)

#+ 2φMV

"1−

NXi=1

αiP

#(6.4)

donde 2λMV y 2φMV corresponden a los multiplicadores lagrangeanosde las restricciones (6.2) y (6.3). Ahora bien, la solución al problema de losportafolios de mínima varianza corresponde a N condiciones de primer orden

6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE 57

del siguiente tipo, ∂L∂αiP

= 0,

NXj=1

αjMV σij − λMVE (Ri)− φMV = 0 (6.5)

donde αjMV son las proporciones de cada activo invertidas en el portafoliode mínima varianza (MV) con retorno esperado E (RMV ). Como la ecuación(6.5) se satisface para todo activo i es cierto entonces que se satisface paraun activo k

NXj=1

αjMV σkj − λMVE (Rk)− φMV = 0 (6.6)

Igualando el lado derecho de las ecuaciones (6.5) y (6.6) obtenemos

NXj=1

αjMV σkj − λMVE (Rk) =NXj=1

αjMV σij − λMVE (Ri) (6.7)

Multiplicando ambos lados de la expresion 6.7 por αkMV obtenemos

NXj=1

αkMV αjMV σkj−λMV αkMVE (Rk) =NXj=1

αjMV σijαkMV−λMVE (Ri)αkMV(6.8)

Sumando la expresión previa para todo k, se tiene que

NXk=1

NXj=1

αkMV αjMV σkj−λMVNXk=1

αkMVE (Rk) =NXj=1

αjMV σij

NXk=1

αkMV−λMVE (Ri)NXk=1

αkMV

(6.9)Reordenado términos

σ2 (RMV )− λMVE (RMV ) =NXj=1

αjMV σij − λMVE (Ri) (6.10)

E (Ri)− E (RMV ) = 1

λMV

"NXj=1

αjMV σij − σ2 (RMV )

#(6.11)

La ecuación (6.11) es particularmente relevante porque nos indica quela diferencia de retorno esperado entre cualquier activo i y un portafolio de


mínima varianza es una relación lineal entre la diferencia entre la contribuciónal riesgo del activo i en el portafolio de mínima varianza (

PNj=1 αjMV σij) y

el riesgo total del portafolio de mínima varianza (σ2 (RMV )). Más aún, lapendiente de esa relación lineal es la inversa de un medio del multiplicadorde lagrange de la restricción (6.2).Cuesta interpretar intuitivamente la pendiente de la relación (6.11), ya

que depende de un multiplicador de lagrange que no es observable. Sinembargo, de acuerdo al TEOREMA DE LA ENVOLVENTE, sabemos pordeÞnición que un multiplicador lagrangeano es la tasa de cambio del objetivoya minimizado (σ2 (RMV )) cuando se cambia el valor de la restricción (6.2).

2λMV =dσ2 (RMV )

dE (RMV )⇐⇒ Teorema de la Envolvente (6.12)

DeÞnamos γMV como la pendiente de la frontera eÞciente en cualquierportafolio de mínima varianza, tal que

γMV =dE (RMV )

dσ (RMV )(6.13)

1

γMV=dσ (RMV )

dE (RMV )(6.14)

Podemos aplicar la regla de diferenciación de la cadena sobre la expresiónanterior para obtener lo siguiente

dσ (RMV )

dE (RMV )=

dσ (RMV )

dσ2 (RMV )

dσ2 (RMV )

dE (RMV )(6.15)

dσ (RMV )

dE (RMV )=

1

2σ (RMV )

dσ2 (RMV )

dE (RMV )| z 2λMV , ec. 6.12

(6.16)

dσ (RMV )

dE (RMV )=

λMVσ (RMV )

=1

γMV(6.17)

1

λMV=

γMVσ (RMV )

(6.18)

Por lo tanto, la pendiente de la relación lineal entre retorno esperado ycontribución al riesgo del portafolio de míninima varianza (ecuacion (6.11)) esel cuociente entre la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier portafolio


de mínima varianza y la desviación estándar de ese portafolio de mínimavarianza. Reemplazando la expresión (6.18) en la ecuación (6.11), se obtiene

E (Ri)− E (RMV ) = γMVσ (RMV )

"NXj=1

αjMV σij − σ2 (RMV )

#(6.19)

E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) +γMV

σ (RMV )

NXj=1

αjMV σij| z cov(Ri,RMV )

(6.20)

E (Ri) = E (RMV )− γMV σ (RMV ) + γMVcov (Ri,RMV )

σ (RMV )(6.21)

La pregunta relevante en este punto es, ¿qué cosa es la pendiente de lafrontera eÞciente? El siguiente gráÞco se muestra la pendiente de la fronteraeÞciente para un portafolio de mínima varianza (MV)2. Se detalla también ahíun portafolio (0,MV) que pertenece a la pendiente de la frontera eÞciente enel portafolio MV, pero que corta el eje de las Y en el punto cero de desviaciónestandar. Ese portafolio 0,MV es lo que se conoce como el portafolio de betacero.

2O lo que es lo mismo, sobre la frontera eÞciente.


0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia MV

0,MV

Por construcción geométrica, la pendiente de la frontera eÞciente en elpunto MV es

γMV =E (RMV )− E (R0,MV )

σ (RMV )(6.22)

Reemplazando (6.22) en (6.21), se obtiene la siguiente expresión

E (Ri) = E (RMV )−E (RMV )−E (R0,MV )

σ (RMV )σ (RMV )+

E (RMV )−E (R0,MV )

σ (RMV )

cov (Ri,RMV )

σ (RMV )(6.23)

E (Ri) = E (R0,MV ) + [E (RMV )− E (R0,MV )]cov (Ri,RMV )

σ2 (RMV )| z βi,MV

(6.24)

La ecuación (6.24) nos presenta una simple relación lineal que vinculael retorno esperado (media) de un activo i con su contribución al riesgodel portafolio de mínima varianza MV. βi,MV es la contribución del ac-tivo i al riesgo del portafolio de mínima varianza MV como porcentajedel riesgo (varianza) total del portafolio MV. De esta forma, el término


[E (RMV )− E (R0,MV )] βi,MV puede ser interpretado como el premio porriesgo sobre el retorno de MV en la relación entre el retorno esperado delactivo i y su contribución al riesgo del portafolio MV. Si el activo i, no con-tribuye al riesgo del portafolio MV, tenemos que βi,MV = 0, y por tantoel activo i no tiene riesgo en relación al portafolio MV. En este sentido, laecuacion (6.24) indica que el retorno esperado en cualquier activo i es igualal retorno esperado en un activo que no tiene riesgo en relación al portafolioMV más un premio por riesgo que es la diferencia entre el retorno esperadoen el portafolio MV y el portafolio 0,MV multplicado por βi,MV .

Chapter 7

Equilibrio de Mercado

Al momento de analizar las propiedades de los portafolios de mínima varianza(la frontera eÞciente) no nos hemos referido en ninguna forma a las prefer-encias de los consumidores. En este punto sólo sabemos que ellos tienenpreferencias sobre los dos primeros momentos (media y varianza) de ditribu-ciones aleatorias de retornos. Cabe la pregunta, ¿cuáles son los puntos queseleccionan estos inversionistas? Lo poco que sabemos hasta ahora es queelegirán portafolios sobre el segmento superior de la frontera eÞciente. Estoes relativamente obvio en la medida que ubicarse en el segmento inferior dela frontera siempre permite una estrategia en puntos de mayor retorno parael mismo desvío estandar. Sin embargo, resulta bastante obvio que distintosinversionistas, con distintas preferencias, invertirán en portafolios distintostal cual como, a continuación, se graÞca.

63

64 CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia

0,MV

Dado que conocemos interesantes propiedades de los puntos en la fron-tera1, nos gustaría saber si es que portafolios que si observamos2 se ubicansobre la frontera eÞciente y por lo tanto comparten las propiedades de losportafolios que se ubican sobre la frontera. Esta pregunta es en extremo rel-evante porque envuelve una pregunta aún más importante, existe equilibrioen el mercado tal que los portafolios agregados que observamos son parte dela frontera eÞciente.

7.1 La Definición de Equilibrio de Mercado

¿Por qué nos interesa el equilibrio de mercado? ReÞérase a sus notas declases de Microeconomia I, la existencia de un equilibrio de mercado implicala existencia de un único set de precios que vacía los mercados. Por lo tanto,la existencia de un equilibrio nos asegura que existe un set de precios únicosal cual los inversionistas transan activos.

1Por ejemplo, que existe una relación lineal entre el retorno esperado de cualquier activoy su contribución al riesgo de un portafolio en la frontera.

2Por ejemplo, índices accionarios locales como el IPSA o el IGPA o índices accionariosinternacionales como el S&P-500 o el Dow Jones.

7.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO65

LeónWalras nos ha proveído de una manera formal de deÞnir un equilibrio(el equilibrio competitivo o walrasiano) que aquí utilizaremos para deÞnir unequilibrio en una economia de dotación y con activos Þnancieros.

Definition 14 Un equilibrio competitivo es un set de retornos esperados (R),una matriz de covarianza de retornos (Ω), dotaciones de riquezas por indi-viduo j W jj=1...J y proporciones de esa riqueza invertidas en el activo ipor el individuo j αiji=1...N

j=1...J , tal que:

Dado el vector de retornos esperados y la matriz de covarianza, cadainversionista j resuelve su propio problema de maximización en el es-pacio de media y desviación estándar, tal que

E (Ri) = E (R0,MV j) + [E (RMV j)− E (R0,MV j)]βi,MV j (7.1)

donde MV j se refiere al portafolio de mínima varianza (sobre la fron-tera eficiente) que selecciona el inversionista j. Este portafolio mantieneproporciones αij invertidas en cada activo i.

El mercado de activos financieros se vacía

JXj=1

W jαij = 0, para todo activo i (7.2)

La implicancia de la condición de mercado es simplemente que todo activoÞnanciero emitido por un inversionista debe ser mantenido por algún otroinversionista, tal que su oferta neta es cero.

7.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibriode Mercado

La deÞnición del portafolio de mercado es particularmente obvia, pero tam-bién en extremo relevante. El portafolio de mercado es por construcciónla suma ponderada de todos los activos que mantienen los j inversionistas.De la misma forma, si lo vemos como porcentaje de la riqueza total en laeconomía, el portafolio de mercado es el promedio ponderado de cada unode los portafolios que mantienen los j inversionistas. De la deÞnición del


equilibrio competitivo, sabemos de una característica única de cada uno delos portafolios en manos de los j inversionistas, estos portafolios deben sereÞcientes para resolver el problema de maximización del inversionista. Porlo tanto, estos portafolios deben ubicarse sobre la frontera eÞciente, i.e. sontodos portafolios de mínima varianza (MV).La relevancia de esto último está dada por lo siguiente. Un equilibrio de

mercado requiere que la demanda en cada activo sea igual a la oferta poreste (el vaciado de mercado). Como el portafolio de mercado es el promedioponderado de todos los portafolio de todos los inversionistas j, entonces parademostrar la existencia de un equilibrio competitivo basta con demostrar queel portafolio de mercado es eÞciente (mínima varianza). Para demostrar esto,es necesario introducir el Teorema de F. Black.

Theorem 15 Teorema de Separación de 2 Fondos (Fisher Black). La Fron-tera Eficiente siempre puede ser generada como una combinación lineal dedos puntos cualquiera sobre la Frontera Eficiente.

Proof. Reescribiendo en notación matricial, las N condiciones de primerorden del problema de optimización de portafolio (ecuación (6.5)), se obtieneque

A(N×N)

XMV(N×1)

= λMVE (R)(N×1)

+ φMV [1](N×1)

(7.3)

DeÞniendo D = A−1, la expresión anterior se transforma en

XMV = λMVDE (R) + φMVD [1] (7.4)

αiMV = λMV

"NXj=1

dijE (Rj)

#+ φMV

"NXj=1

dij

#, para i = 1 . . . N (7.5)

Expandiendo la expresión (7.5),

αiMV = λMV

NXi=1

NXj=1

dijE (Rj)

" PNj=1 dijE (Rj)PN

i=1

PNj=1 dijE (Rj)

#+φMV

NXi=1

NXj=1

dij

" PNj=1 dijPN

i=1

PNj=1 dij

#(7.6)

DeÞniendo yMV u = λMVPN

i=1

PNj=1 dijE (Rj), yMV v = φMV

PNi=1

PNj=1 dij,

αiu =!N

j=1 dijE(Rj)!Ni=1

!Nj=1 dijE(Rj)

, αiv =!Nj=1 dij!N

i=1

!Nj=1 dij

, la expresión anterior se convierteen

αiMV = yMV uαiu + yMV vαiv (7.7)

7.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO67

Dado quePN

i=1 αiMV = 1, tenemos que

NXi=1

αiMV = yMV u

NXi=1

αiu| z 1

+ yMV v

NXi=1

αiv| z 1

= 1 (7.8)

yMV u + yMV v = 1 (7.9)

Por lo tanto, de acuerdo a las expresiones (7.7) y (7.9), cualquier portafo-lio de mínima varianza (MV) es un promedio ponderado de los portafolios uy v.Para completar la prueba del Teorema de Black nos falta demostrar que

los portafolios u y v son portafolios de mínima varianza (MV) y se encuentransobre la frontera eÞciente. Las proporciones invertidas en cada activo quedeÞnen los portafolios u y v están dadas por

αiu =

PNj=1 dijE (Rj)PN

i=1

PNj=1 dijE (Rj)

(7.10)

αiv =

PNj=1 dijPN

i=1

PNj=1 dij

(7.11)

Por simple inspección de la expresión (7.6), es posible apreciar que el

portafolio u es de mínima varianza cuando φMV = 0 y λMV =³PN

i=1

PNj=1 dijE (Rj)

´−1

.Por su parte, el portafolio v es de mínima varianza cuando λMV = 0 y

φMV =³PN

i=1

PNj=1 dij

´−1

.

Por lo tanto, todo portafolio de minima varianza (MV) es una combi-nación lineal de dos portafolios u y v sobre la frontera eÞciente. Toda com-binación de portafolios u y v sobre la frontera eÞciente que satisfacen lacondición (7.9) es también un portafolio eÞciente.

Una consecuencia directa del Teorema de Separación de 2 Fondos es queel portafolio de mercado debe ser eÞciente (y de mínima varianza). En lamedida que todos los inversionistas eligen sólo portafolios eÞcientes3, y dadoque el portafolio de mercado es un promedio ponderado de esos portafolioseÞcientes se concluye que el portafolio de mercado (M) debe también sereÞciente, tal como se muestra en el siguiente gráÞco.

3Esto es en el segmento superior de la frontera eÞciente.


0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia M

0,M

7.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado

La implicancia más relevante de la eÞciencia del portafolio de mercado (M)es que este debe compartir todas las propiedades de los portafolio sobre lafrontera eÞciente. En particular, sabemos a partir de la relación (6.24) quetodos los portafolios sobre la frontera eÞciente satisfacen la propiedad de queel exceso de retorno de cualquier activo i sobre el retorno esperado del activoen la frontera se relaciona linealmente con el porcentaje de la contribución alriesgo de ese activo i en el portafolio sobre la frontera. En la medida, que elportafolio de mercado (M) es eÞciente debe satisfacer la siguiente expresión

E (Ri) = E (R0,M) + [E (RM)− E (R0,M)] βi,M (7.12)

La expresión (7.12) es lo que se conoce como el CAPM de Fisher Blacke indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al re-torno esperado de un activo no correlacionado con el portafolio de mercado4

más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado

4Es decir un activo con βiM = 0.

7.4 EL CAPM CUANDO EXISTE UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO69

entre el mercado y el portafolio de beta cero multiplicado por la contribuciónproporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).

7.4 El CAPM cuando Existe un Activo Librede Riesgo

Supongamos ahora que se encuentra disponible un nuevo activo Þnancierolibre de riesgo (Rf) que por deÞnición tiene varianza cero y covarianza cerocon el resto de los activos. Tal como se aprecia en el siguiente gráÞco, laaparición de este nuevo activo al combinarse con el portafolio de la fronteraeÞciente que tangente a la línea que nace en Rf amplía las posibilidades deinversión de todos los inversionistas. De esta forma, cada uno de estos ya noinvertirá en portafolios sobre la frontera eÞciente sino que en combinacionesentre Rf y el portafolio de tangencia (M) sobre la frontera eÞciente.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia M

Rf

Sin embargo, note lo siguiente: el activo libre de riesgoRf tiene covarianzacero con el portafolio en la tangencia (M) y ademas el portafolio M todavíapertenece a la frontera eÞciente, por lo tanto comparte todas sus propiedades(por ejemplo, la relación (6.24)). En ese sentido, si M es el portafolio demercado la relación (7.12) se satisface pero con la única diferencia que el


portafolio de beta cero es el activo libre de riesgo(Rf). Por lo tanto, la nuevaexpresión para el CAPM es directamente

E (Ri) = Rf + [E (RM)− Rf ] βi,M (7.13)

La expresión (7.13) es lo que se conoce como el CAPM de Sharpe y Litnere indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retornodel activo libre de riesgo más un premio por riesgo que es igual a la diferenciade retorno esperado entre el mercado y el activo libre de riesgo multiplicadopor la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio demercado (M).

Chapter 8

Limitaciones del CAPM

En este capítulo, nos referiremos brevemente a las objeciones más habitualesque se le realizan a un modelo de equilibrio de mercado como el CAPM.Estas generalmente, se pueden dividir en dos clases de objeciones: teóricasy empíricas. En la práctica, ambas están fuertemente relacionados porqueen general limitaciones teóricas al CAPM son las que generan sus problemasempíricos.

8.1 La Crítica de Roll

Se conoce como "crítica de Roll" a la siguiente observación sobre el CAPMrealizada por el economista Richard Roll. De acuerdo a Roll, el portafoliode mercado (M) no es observable y por lo tanto, el CAPM es imposible detestear. El punto de Roll es que con algun éxito somos capaces de encontrarbuenos datos para la parte del portafolio de mercado invertido en accioneso bonos. Sin embargo, la mayor parte de la riqueza de las personas estáinvertida en activos con escasos datos de calidad (como los activos inmobil-iarios) o en activos directamente no observables (como el capital humano quecada persona invierte en sí mismo). El CAPM puede todavía ser cierto comomodelo de equilibrio, pero de qué nos sirve si no somos capaces de testearloempíricamente dado que el portafolio de mercado no es observable.

71

72 CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM

8.2 Set de Posibilidades de Inversión No esEstable en el Tiempo

Hasta ahora hemos supuesto que tanto los retornos esperados como la co-varianza de estos retornos es estable en el tiempo. El retorno esperado enel activo i es siempre E (Ri) y la matriz de covarianza es siempre Ω. Eneste esquema, las posibilidades de inversión de un inversionista pueden serespeciÞcadas en un espacio deÞnido por media y varianza de los retornos (i.e.la frontera eÞciente). Sin embargo, piense en lo siguiente: suponga que larentabilidad de los proyectos de inversión es cíclica1. Si los proyectos de in-versión son muy rentables hoy lo más probable es que no sean tan rentablesen el futuro, por lo tanto en períodos de alta rentabilidad de proyectos elretorno esperado futuro puede caer. En términos gráÞcos, esto signiÞca quetoda la frontera de posibilidades de inversión se mueve completa hacia abajocuando la rentabilidad actual de los proyectos es muy alta.

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia

Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es alta

El argumento inverso es cierto cuando la rentabilidad actual de los proyec-tos es baja.

1Por ejemplo, piense en el crecimiento del PIB. El PIB crece con ciclos, hay ciclos dealto crecimiento, seguidos por ciclos de menor crecimiento.

8.2 SET DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN NO ES ESTABLE EN EL TIEMPO73

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%


Med

ia

Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es baja

El desplazamiento de la frontera eÞciente sugiere entonces la necesidadde controlar el CAPM por todos los factores que mueven la frontera de posi-bilidades de inversión (por ejemplo, la rentabilidad de proyectos si creemosen su caracter cíclico). Esto es lo que se conoce como el ICAPM de RobertMerton. Su derivación es en la misma linea de la derivación del CAPM peromucho mas compleja desde un punto de vista algebraico, así que se omitirátodo el desarrollo matemático. La siguiente ecuación muestra la relación deequilibrio que satisface el ICAPM de Merton.

E (Ri) = Rf + [E (RM)−Rf ] βi,M +FXk=1

[E (Rk)− Rf ] βi,k (8.1)

donde Rkk=1...F es el set de retornos de portafolios que se mueven comolos factores que desplazan el set de posibilidades de inversión. El ICAPM nose reÞere en ninguna forma a cuales son esas variables que mueven la fronteraeÞciente. La determinación de cuales son esas variables quedan al absolutoarbitrio del analista2. El ICAPM ha dado espacio a un amplio ámbito de in-vestigación empírica buscando cuales son los factores que debieran utilizarse

2Fama dice que el ICAPM es como una licencia para buscar variables que sean capacesde explicar el retorno de mercado.


en el testeo empírico del ICAPM. Estos son los que se conocen como los mod-elos multifactoriales, cuyo ejemplo más famoso es el modelo de tres factoresde Fama y French.

8.3 Los Resultados de Fama y French

El trabajo de Fama y French surge como la consecuencia de un hecho empíricode suma relevancia: el sonoro rechazo empírico a la hipótesis de equilibriode mercado en el CAPM. El siguiente gráÞco muestra los retornos efectivosversus los retornos predichos por el CAPM para los 25 portafolios de Famay French3.

Frente a este fracaso empírico y basándose en la idea del ICAPM deMerton, Fama y French buscaron determinar variables empíricas que fuerancapaces de explicar el movimiento en el set de posibilidades de inversión. El

3Los 25 portafolios de Fama y French son portafolios creados en base a un Þltro de dosdimensiones que separa todas las acciones que se transan en el NYSE de acuerdo a unranking de tamaño bursátil de las empresas y del ratio valor bolsa sobre valor libro. Estosportafolios se reagrupan en base anual.

8.3 LOS RESULTADOS DE FAMA Y FRENCH 75

modelo de tres factores de Fama y French es el que a continuación se detalla:

E (Ri) = Rf+[E (RM)−Rf ] βi,M+[E (RSMB)− Rf ] βi,SMB+[E (RVMG)− Rf ] βi,V MG(8.2)

donde RSMB es el retorno de un portafolio compuesto por la mitad decompañías con mayor tamaño bursátil menos la mitad con menor tamañobursátil y RVMG es el retorno de un portafolio compuesto por la mitad decompañías con mayor ratio valor bolsa sobre valor libro menos la mitad conmenor ratio valor bolsa sobre valor libro. Por su parte, βi,SMB (βi,V MG) es lacovarianza del retorno del activo i con el portafolio SMB (VMG) sobre la var-ianza del portafolio SMB (VMG). El siguiente gráÞco muestra los resultadosobtenidos por Fama y French para su modelo de tres factores.

Tal como se aprecia en el gráÞco precedente, el modelo de 3 factores deFama y French tiene un poder explicativo ampliamente superior al CAPMoriginal (en version de Black o Sharpe y Litner). Esto ha llevado a una vastagama de académicos en el ámbito de las Þnanzas a tratar de explicar cuálesson los factores económicos subyacentes tras los factores de Fama y French.Las explicaciones van desde la irracionalidad de mercado hasta aversión alriesgo que se mueve de manera inversa con el ciclo económico.


8.4 El APT como Explicación Alternativa alos Resultados de Fama-French

El APT de Ross nace de una característica propia de los retornos accionar-ios: cuando sube una acción, en general suben todas las acciones. En otraspalabaras, existe un fuerte componente común en los movimientos de los re-tornos accionarios. De esta forma, es posible separar los movimientos de losretornos de acciones o portafolios en dos componentes: una parte común atodas los activos y una parte ortogonal idiosincrática a cada activo.La intuición detras del APT es muy sencilla. La parte idiosincrática

del retorno de cada activo no puede ser premiada por mayor retorno enla medida que cualquier inversionista racional podría diversiÞcar ese riesgodiversiÞcable vía la inversión en activos completamente diversiÞcados. Porlo tanto, los retornos esperados en un activo i deben estar relacionados sóloa la covarianza del retorno de i con el componente común a cada activo (i.e.los factores). La idea es que, sí por ejemplo no existiera riesgo idiosincrático,todos los activos se podrían valorizar exclusivamente por arbitraje (en otraspalabras, el APT es una aplicación directa de la ley de un sólo precio). Inclusoresulta atractivo suponer que si los riesgos diversiÞcables son pequeños, elprecio de este riesgo4 debe ser reducido en relación al precio del componentecomún a todos los retornos. Esto es un gran avance en relacion al CAPM oal ICAPM porque no requiere de ninguna justiÞcación teórica.Partamos de una simple descomposición factorial de los retornos de un

activo i:

Ri = ai +MXj=1

βijfj + εi (8.3)

donde ai es una constante especíÞca a cada retorno de activo, βij es lacovarianza del retorno del activo i con el factor fj y dividido por la varianzadel factor fj y εi es el riesgo idiosincrático a cada activo i5. Podemos reescribirla ecuación (8.3) en términos de variables con media cero.

Ri − E (Ri) =MXj=1

βij [fj − E (fj)] + εi (8.4)

4En el margen, ojalá despreciable.5En este sentido, este componente proviene de una distribución aleatoria.

8.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMA-F

Si εi proviene de una distribución Normal, siempre podemos correr regre-siones MICO para identiÞcar los parámetros βij. En ese caso, por construc-ción, el componente εi cumple con las siguientes propiedades: E (εi) = 0 yE (εiij [fj − E (fj)]) = 0.El APT impone las siguientes 2 condiciones de no arbitraje:

1. Si βij = 0, para todo i, j, este portafolio de beta cero renta la tasa librede riesgo, Rf .

2. La parte idiosincrática de cada activo (el riesgo no diversiÞcable) noesté correlacionado entre activos: E (εiεk) = 0.

Bajo estas 2 restricciones podemos deÞnir el APT como:

E (Ri) = Rf +MXj=1

βijE [fj −Rf ] , E (εiεk) = 0⇐⇒ APT (8.5)

La restrición (2) del APT impone también una restricción sobre la matrizde covarianza de los retornos. Suponga que existe un único factor f , entonces

cov (Ri,Rk) = E [(βi [f −Rf ] + εi) (βk [f − Rf ] + εk)] (8.6)

= βiβjσ2 (f) +

½σ2ε si i 6= j0 si i = j

¾(8.7)

Por lo tanto, se entiende que, a partir del APT, la matriz de covarianzasde los retornos es una matriz singular (o una suma de matrices singularescon más de un factor) y una matriz diagonal. Si conocemos los factores apriori (por ejemplo, en el caso de los 3 factores de Fama-French6) podemostrivialmente correr regresiones para identiÞcar las restricciones a la matriz decovarianzas que identiÞcan los movimientos comunes a todos los activos y quepor tanto son premiados por el mercado. Existe otra vertiente del APT queno utiliza factores conocidos ex-ante, sino que trata de identiÞcarlos en basea las propiedades de la matriz de covarianzas. Esto es lo que se conoce comoel análisis factorial. Un ejemplo clásico de esto consiste en descomponer enlos valores propios de la matriz de covarianza y Þjar arbitrariamente en cerotodos los factores con valores propios muy pequeños.

6Es por esto que algunos académicos llaman al modelo de 3 factores de Fama y Frenchcomo una simple aplicación del APT, a pesar de que sus autores señalan basarse en elICAPM de Merton.


La principal crítica al APT de Ross es una crítica a la restricción (2) queimpone. Para que el APT funcione es necesario que tal condición se cumpla,es decir que el riesgo idiosincrático (después de controlar por los factorescomunes) no puede estar en ninguna forma correlacionado entre activos. Estoes cierto sólo para portafolios perfectamente diversiÞcados. Si eso no es cierto,y a pesar de que esta correlación sea pequeña, entonces E (εiεk) 6= 0 y todaslas implicancias del APT ya no son ciertas, quitándole así todo sentido a unmodelo como este que funciona sólo por arbitraje.

8.4.1 Un Ejemplo de APT

Un ejemplo de un modelo APT que NO cumple con la restricción (2) puedellevar a clariÞcar la intuición detrás de este modelo.Suponga que los retornos de activos se comportan de acuerdo a la siguiente

relación de 2 factores f1 y f2:

Ri = Rf + β1,i [f1 − Rf ] + β2,i [f2 − Rf ] + εi (8.8)

El APT respectivo es:

E (Ri) = Rf + β1,iE [f1 − Rf ] + β2,iE [f2 −Rf ] (8.9)

Existen 2 activos riesgosos, A y B representados por las siguientes carac-terísticas:

A B

β1 0.5 1.75

β2 0.33 1

Cov (εA, εB) A B

A 0.3 -0.1

B -0.1 0.2

Por su parte, Rf = 3%, E (f1) = 5%, E (f2) = 7%, σ2f1= V ar (f1) = 12%,

σ2f2= V ar (f2) = 15% y Cov (f1, f2) = 0.¿Cuál es el retorno de un portafolio compuesto a partes iguales por los

8.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMA-F

activos A y B?

RP =1

2RA +

1

2RB (8.10)

RP = Rf +β1,A + β1,B

2[f1 −Rf ] +

β2,A + β2,B

2[f2 − Rf ] + εA + εB

2(8.11)

Aplicando expectativas sobre la ecuación (8.11), se obtiene el retornoesperado del portafolio:

E (RP ) = Rf+β1,A + β1,B

2E [f1 − Rf ]+

β2,A + β2,B

2E [f2 −Rf ]+1

2E [εA + εB]

(8.12)El APT en la ecuación (8.9) nos diría que el retorno esperado del portafo-

lio debiera ser:

E (RP ) = Rf +β1,A + β1,B

2E [f1 − Rf ] +

β2,A + β2,B

2E [f2 −Rf ](8.13)

E (RP ) = 3% +0.5 + 1.75

2× 2% + 0.33 + 1

2× 7% (8.14)

De comparar las expresiones (8.12) y (8.13) resulta obvio que el APT serácierto si y sólo si E [εA + εB] = 0. Chequeemos si eso es cierto,

E [εA + εB] = E [εA]| z =0 por construcción

+ E [εB]| z =0 por construcción

= 0 (8.15)

Por lo tanto, el APT es correcto en términos de retornos esperados,chequeemoslo ahora para las varianzas del portafolio. La varianza del portafo-lio es:

V ar (RP ) =

µβ1,A + β1,B

2

¶2

V ar (f1)+

µβ2,A + β2,B

2

¶2

V ar (f2)+1

4V ar (εA + εB)

(8.16)El APT en la ecuacion (8.9) nos diría que la varianza del retorno esperado

del portafolio debiera ser:

V ar (RP ) =

µβ1,A + β1,B

2

¶2

V ar (f1)+

µβ2,A + β2,B

2

¶2

V ar (f2)+1

4[V ar (εA) + V ar (εB)]

(8.17)


V ar (RP ) =

µ0.5 + 1.75

2

¶2

12% +

µ0.33 + 1

2

¶2

15% +1

4[0.3 + 0.2] (8.18)

De comparar las expresiones (8.16) y (8.17) resulta obvio que el APT serácierto si y sólo si V ar [εA + εB] = V ar (εA) + V ar (εB). Chequeemos si esoes cierto,

V ar [εA + εB] = V ar [εA]+V ar [εB]+2Cov (εA, εB) = 0.3+0.2−0, 2 = 0.3 6= 0.5(8.19)

Por lo tanto, en este caso el APT es falso. La varianza del portafolioes menor que la predicha por el APT. Esto quiere decir que si el mercadoefectivamente valorizara utilizando el APT en la ecuación (8.9), usted lopodría arbitrar vendiendo un portafolio generado por usted con partes igualesde los activosA yB. Ese activo tendría igual retorno esperado que el predichopor el APT, pero menor varianza.¿Cuál es la matriz de covarianza de los retornos?Por deÞnición, la matriz de covarianzas es:

cov (RA,RB) = E [(βi [f −Rf ] + εi) (βk [f − Rf ] + εk)] , para todo i, k = A,B(8.20)

cov (RA,RB) = σ2f1

β21,A β1,Aβ1,B

β1,Aβ1,B β21,B

+σ2f2

β22,A β2,Aβ2,B

β2,Aβ2,B β22,B

+ σ2

εAσεA,εB

σεA,εB σ2εB

(8.21)

cov (RA,RB) = 12%

0.52 0.5× 1.750.5× 1.75 1.752

+15% 0.332 0.33× 10.33× 1 12

+ 0.3 −0.1−0.1 0.2

(8.22)

De nuevo, debido a la existencia de un término de covarianzas distintode cero entre los riesgos idiosincráticos de los activos, podemos decir que elmodelo presentado en este ejemplo NO satisface el APT.

Chapter 9

Eficiencia del Mercado deCapitales

En el capítulo tres introdujimos el concepto de equilibrio del mercado decapitales en una economía de dotación. La existencia de tal equilibrio rela-cionaba, por ejemplo, el retorno esperado en cada activo i con la contribuciónal riesgo del portafolio eÞciente elegido por cada inversionista1. Sin embargo,en la deÞnición de tal equilibrio no hacíamos referencia al proceso por elel cual los inversionistas forman sus expectativas sobre retornos esperadosy contribución al riesgo2. En este capítulo, introduciremos una discusiónformal acerca del proceso de formación de expectativas acerca de retornosesperados.


Definition 16 φt−1 = set de información disponible en el periodo t− 1 rel-evante para los precios de los activos en t− 1.

Definition 17 φmt−1 = set de información utilizada por el mercado para val-orizar activos en t− 1. Por definición φmt−1 es un conjunto contenido dentrode φt−1.

1Aquí asumimos como en el CAPM de Black que no existe un activo libre de riesgo.2En general, asumiremos que la covarianza de activos i es una constante que no varía

con el set de información de los inversionistas. En otras palabras, los betas son constantes.

81

82CHAPTER 9 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES

Definition 18 fm¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢= la distribución de probabilidad

utilizada por el mercado para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0)dado el set de información φmt−1.

Definition 19 f¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢= la verdadera distribución de prob-

abilidad utilizada para valorizar activos en el período t+ τ (τ > 0) si se uti-lizara todo el set de información disponible φt−1.

9.2 Eficiencia de Mercado

La siguiente deÞnición de eÞciencia se debe a Eugene Fama y es la base delo que se conoce como la Hipótesis de Mercados EÞcientes.

Definition 20 La Hipótesis de Mercados Eficientes. Los mercados financierosson eficientes si y sólo si el set de información utilizado por el mercado paravalorizar activos es igual a todo el set de información disponible.

φmt−1 = φt−1 (9.1)

Si los mercados no utilizan toda la información disponible, entonces losmercados no pueden ser eÞcientes.La hipótesis de mercados eÞcientes implica lo siguiente acerca de la dis-

tribución de probabilidades de los precios de activos

fm¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢= f

¡p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φmt−1

¢(9.2)

Para ponerlo en lenguaje sencilllo, la hipótesis de mercados eÞcientesimplica lo siguiente: No existe tal cosa como que los activos financieros(acciones, bonos, tipo de cambio, etc.) estén caros o baratos. Silo anterior es falso, estamos en abierta contradicción con la hipótesis demercados eÞcientes. Si los mercados son eÞcientes, todos los precios sonjustos al momento de valorizar cualquier activo. El decir que la acción de lacompañía A está barata (cara) en relación a la acción de la compañía B esequivalente a decir que los mercados dejaron una oportunidad de arbitrajelibre de riesgo entre A y B.Ahora bien, el párrafo anterior parece tan verdadero como abstracto:

para deÞnir si una activo es barato o caro necesitamos conocer el preciojusto de tal activo, el cual no conocemos a menos de que hagamos algún

9.3 HIPÓTESIS DE FORMACIÓN DE EXPECTATIVAS 83

supuesto sobre el proceso de formación de precios de un activo que paga ßujosaleatorios3. La única forma de testear la hipótesis de mercados eÞcientes esrealizar algún supuesto (esa es entonces una medida concreta de la hipótesisde mercados eÞcientes) sobre el proceso de formación de precios y luegotestearlo con datos. Lo que aquí aceptemos o rechacemos es el supuestoasociado a la hipótesis de mercados eÞcientes y no la noción vaga de mercadoseÞcientes. Por triste que suene, no hay un test único de la hipótesis demercados eÞcientes. Solo existen test sobre procesos de formación de preciosque, a nuestro juicio, nos parezcan consistentes con la hipótesis de mercadoseÞcientes.

9.3 Hipótesis de Formación de Expectativas

Hasta ahora hemos formalizado una deÞnición precisa de que se entiende poreÞciencia de mercado. No obstante, tal deÞnición es un poco vaga en la me-dida que no nos referimos al proceso por el cual la información disponible setransforma en retornos esperados. Esto es lo que detallamos a continuación.

9.3.1 Retornos Esperados son Positivos

DeÞniendo el retorno de un activo como Rjt =pjt−pjt−1

pj,t−1, esto implica que en

términos de retornos esperados la hipótesis de mercados eÞcientes es simple-mente

Em¡Rjt | φmt−1

¢=Em

¡pjt | φmt−1

¢− pjt−1

pj,t−1> 0 (9.3)

Sin embargo, el asumir un proceso de formación de expectativas de taltipo puede tener serias limitaciones. Por ejemplo, piense en un hecho tanobjetivo como que existen empresas que muchos piensan que tienen escasofuturo y por tanto su precio debe caer. Por otro lado, existen operadores Þ-nancieros que operan de acuerdo a reglas (analisis técnico) del siguiente tipo:cuando una acción sube (baja) durante un período prolongado seguirá subi-endo (bajando) durante algún tiempo. Esto implica que acciones con caídageneran expectativas de retorno negativas contradictorias con la hipótesis deretornos esperados siempre positivos.

3Este es un proceso de formación de expectativas porque valoriza ßujos inciertos contasas de descuentos que también son inciertas.

84CHAPTER 9 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES

9.3.2 Retornos Esperados son Constantes

En este caso, la hipótesis de mercados eÞcientes se traduce en retornos es-perados de acuerdo a la siguiente relación:

E¡Rjt | φmt−1

¢= Em (Rjt) (9.4)

Ahora bien, este proceso de formación de expectativas también puedetener serios problemas desde un punto de vista empírico. Piense en lo sigu-iente: si los retornos se encuentran durante un período prolongado por sobresu media histórica, usted rápidamente podría inferir que la hipótesis en laecuación (9.4) es falsa. Bueno, esto es lo que efectivamente tiende a ocurrircon los retornos accionarios. Los períodos de grandes alzas (baja) mues-tran alta persistencia y se alejan de la idea que los retornos esperados sonconstantes. Sin embargo, lo relevante de esto es que a partir de tal hechoempírico no es posible rechazar la hipotesis de mercados eÞcientes sino queel proceso de formación de expectativas supuesto en (9.4).

9.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una RelaciónRiesgo-Retorno

Un par de capítulos atrás nos dedicamos a establecer ciertas relaciones deequilibrios (CAPM e ICAPM) en economías pobladas por inversionistas conpreferencias convexas sobre media y varianza. Establecimos que en talesmodelos existe una relación lineal entre retornos esperados y la contribuciónal riesgo del portafolio de mercado y algunas otras variables de control. Estees una tercera hipótesis de formación de expectativas sobre retornos quetambién es consistente con la hipótesis de mercados eÞcientes.Repasamos los problemas empíricos de un modelo como el CAPM y

del mayor suceso de un modelo alternativo como el de 3 factores de Famay French. Tambien es cierto que tales modelos requieren también ciertossupuestos acerca de los retornos esperados en el portafolio de mercado (porejemplo, si serán positivos, constantes o variables en el tiempo). La discusionacadémica hoy en el mundo de las Þnanzas se concentra en exactamente esepunto. ¿Cuál es el proceso de formación de expectativas de retornos que esconsistente con la hipótesis de mercados eÞcientes?

9.4 CATEGORíAS DE EFICIENCIA DE MERCADO 85

9.4 Categorías de Eficiencia de MercadoEn general, los académicos tienden a clasiÞcar el grado de eÞciencia de mer-cado en alguna de las categorías que, a continuación, pasaré a detallar:

1. Mercados son Eficientes en su Forma Débil: Los mercados uti-lizan información pasada (en particular, los retornos históricos) paravalorizar los activos. En otras palabras, los retornos pasados ayudan apredecir los retornos futuros.

2. Mercados son Eficientes en su Forma Semi Fuerte: Los mercadosutilizan toda la información pública relevante para valorizar los activosÞnancieros.

3. Mercados son Eficientes en su Forma Fuerte: Los mercados uti-lizan toda la información privada relevante para valorizar los activosÞnancieros. Esto quiere decir que el precio de los activos no permitenoportunidades de arbitraje para aquellos que manejan información pri-vada (privilegiada).

Chapter 10

Derivados Financieros (1):Forwards y Futuro

10.1 DefinicionesDefinition 21 Un derivado financiero es un activo financiero cuyo valordepende del valor de otros activos (subyacentes).

Definition 22 Un contrato forward es un acuerdo entre dos partes paratransar un activo financiero en un período (cierto y exacto) en el futuro a unprecio (cierto) pre definido. La parte que se compromete a comprar en el fu-turo se conoce como la posición larga. Su contraparte, el que se comprometea vender, se conoce como la posición corta.

Definition 23 Un contrato a futuro es un acuerdo entre dos partes paratransar un activo financiero en el futuro (a diferencia del contrato forwarden el futuro, la fecha de entrega fisica no es una fecha exacta, sino que unrango de fechas) a un precio (cierto) pre definido.

La gran diferencia entre el contrato forward y el contrato a futuro es queen el caso del segundo existe un mercado.secundario profundo que permitetransar este instrumento a valor presente en cualquier momento antes de suvencimiento.En general (salvo que se especíÞque lo contrario), durante este capítulo

nos referiremos exclusivamente al caso de los contratos forward1.1Si quiere conocer más acerca de la forma de valorizar contratos a futuro sugiero que

tome el curso de Opciones y Futuros.

87

88CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO

10.2 El Perfil de Riesgo de un Contrato For-ward

Dado que el contrato forward no requiere de desembolso de caja en el períodoactual, el único períoodo que nos interesa es el período al vencimiento delcontrato (la fecha especiÞcada para la transacción), t = T . DeÞnamos Fcomo el precio del contrato forward para compra y venta de un activo suby-acente cuyo precio spot (el precio de mercado en cada momento del tiempo)en t = T es ST . El perÞl de riesgo del contrato forward es el ßujo de cajaque genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los ßujospara ambas partes en el contrato.

t = 0 t = T

ST < F ST > F

Compra Forward (posición larga) 0 ST − F < 0 ST − F > 0Venta Forward (posición corta) 0 F − ST > 0 F − ST < 0

El que compra el contrato forward a un precio F se hará del activo S ent = T y lo podrá vender al precio spot en tal fecha tal que su ganancia seráST −F . Note que esta es una operación riesgosa, porque si el precio spot ent = T cae por debajo del precio del contrato, la posición larga tendrá unautilidad negativa.

En el caso de la posición corta (el que se compromete a vender), este tieneque entregar el activo en t = T . Esto quiere decir que tiene que comprarlo aprecio spot y su ingreso será el especiÞcado en el contrato forward.

Esto mismo es fácilmente trasladable a un gráÞco entre la utilidad y elprecio spot al vencimiento del contrato.

10.3 EL PRECIO DE UN CONTRATO FORWARD 89

S(T)

Util

idad

al V

enci

mie

nto

0

F

Posicion Corta:F-S(T)

Posicion Larga:S(T)-F

10.3 El Precio de un Contrato Forward

La determinación del precio de un contrato forward es un excelente ejemplodel principio de valoración por arbitraje. El contrato forward es la promesa deentrega de un activo S a un precio F en t = T . Existe una forma alternativade generar la misma operación:

Endeudarse hoy a la tasa de interés r para comprar el activo al preciospot S0.

Pagar la deuda en t = T .

Esta operación genera un ßujo de caja nulo en t = 0 y entrega una unidadde S en t = T . Esto implica que replica perfectamente los ßujos de caja delcontrato forward. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costarlo mismo.


t = 0 t = T

ST < F ST > F

Compra Forward 0 ST − F ST − FCompra Activo −S0 ST ST

Deuda S0 − (1 + r)T S0 − (1 + r)T S0

Compra Activo con Deuda 0 ST − (1 + r)T S0 ST − (1 + r)T S0

De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:

ST − F = ST − (1 + r)T S0 (10.1)

F = (1 + r)T S0 ⇐⇒ Precio Forward (10.2)

El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot delactivo subyacente.

10.4 El Precio Forward con Costos Alterna-tivos ("Convenience Yield") Para el Ac-tivo Subyacente

Suponga que el activo subyacente es una acción que paga un dividendo porD en el momento previo al vencimiento del contrato forward. Al considerarel dividendo, la tabla anterior se convierte en:

t = 0 t = T

ST < F ST > F

Compra Forward 0 ST − F ST − FCompra Activo −S0 ST +D ST +D

Deuda S0 − (1 + r)T S0 − (1 + r)T S0

Compra Activo con Deuda 0 ST +D − (1 + r)T S0 ST +D − (1 + r)T S0

De tal forma que el precio del contrato forward cuando el activo subya-cente paga dividendo es: F = (1 + r)T S0−D. Obviamente, la forma en queel dividendo afecta el valor del forward depende crucialmente del momento

10.5 CONTRATOS FORWARD DE MONEDAS 91

en que el dividendo es pagado. Generalizando lo anterior tenemos que:

F = (1 + r)T S0 − V F (D) (10.3)

El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot delactivo subyacente menos el valor futuro de todo el ßujo de dividendos pagadodurante la vigencia del contrato. Para simpliÞcar lo anterior, muchas vecesse supone que el "dividend yield" (la tasa de dividendos como % del preciode la acción) que paga una acción es una proporción Þja: d = D

P. Si este es

el caso, la ecuación (10.3) se convierte en:

F =

·1 + r

1 + d

¸TS0 (10.4)

El pago de dividendos es el clásico costo altenativo de una acción. En elcaso de otros activos subyacentes, éstos pueden presentar otro tipo de costosalternativos. En el caso de los "commodities" (e.g. cobre, petróleo, etc.),su costo alternativo es la suma de los costos de transporte de estos bienesmás el uso alternativo en aplicaciones productivas que estos bienes tienen(el cobre sirve para construir cañerías y el petróleo sirve la para combustiónde motores). En general, se asume que los commodities tienen cierto costoalternativo ("convenience yield") que se asume una proporcion Þja (c) delprecio spot, tal que el precio forward de un commodity es, F =

£1+r1+c

¤TS0.

10.5 Contratos Forward de Monedas

Suponga que usted necesita moneda extranjera (por ejemplo, dólares) ent = T . ¿Cuáles son las alternativas a su disposición? (1) Comprar dólares(USD) a futuro vía contrato forward o (2) Comprar USD hoy Þnanciándoloscon deuda en pesos ($) a tasa de interés, r$, y depositándolos en el bancodevengando la tasa de interés en dólares, rUSD. Por ley de un sólo precio,ambas operaciones deben costar lo mismo.


t = 0 t = T

ST < F ST > F

Compra Forward 0 ST − F ST − FCompra y Deposito USD − S0

(1+rUSD)TST ST

Deuda $ F

(1+r$)T−F −F

Flujo Neto F

(1+r$)T− S0

(1+rUSD)TST − F ST − F

De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:

F

(1 + r$)T− S0

(1 + rUSD)T= 0 (10.5)

F =

µ1 + r$

1 + rUSD

¶TS0 (10.6)

El precio de un contrato forward es el precio spot de la moneda extranjerapor el diferencial de tasas de interés entre el país local y el extranjero.

10.6 Contratos Forward como Estrategias Es-peculativas

Una razón por la cual un inversionista quisiera invertir en contratos forward espor simple especulación. Suponga que su expectativa de precio para el activosubyacente al vencimiento del contrato es más alta que el precio forward,entonces su utilidad esperada por comprar forward es positiva, Et [ST ]−F >0. Esta es una utilidad esperada, por tanto nada asegura que esta apuestagenere ganancias. Por el contrario, si usted espera que el precio del activosubyacente al vencimiento del contrato sea más bajo que el precio forward,entonces su utilidad esperada por vender forward es positiva, F−Et [ST ] > 0.El razonamiento anterior me permite hacer un par de consideraciones

importantes acerca de los precios forward:

1. EL PRECIO FORWARD NO ES EL PRECIO FUTURO DEL AC-TIVO SUBYACENTE. ES LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LAINFORMACION DISPONIBLE. POR LO TANTO, INVERTIR ENCONTRATOS FORWARD TIENE RIESGO.

10.7 CONTRATOS FORWARD COMO ESTRATEGIA DE COBERTURA93

2. EL PRECIO FORWARD ES EL PRECIO DE UNA OPERACIONA FUTURO SOBRE UN ACTIVO SUBYACENTE QUE, DADO ELPRECIO SPOTDE ESEACTIVO SUBYACENTE, NOADMITEAR-BITRAJE.

10.7 Contratos Forward como Estrategia deCobertura

Una segunda razón por la cual se quisiera invertir en contratos forward es paracubrir otra posición riesgosa. Suponga que Ud. adquirió el activo subyacenteal precio S0. Su perÞl de riesgo al período t = T , es ST − S0 y puede sercubierto a través de la venta de un contrato forward con vencimiento ent = T .

ST < F ST > F

Activo ST − S0 ST − S0

Venta Forward F − ST F − STFlujo Neto F − S0 F − S0

El ßujo neto de tener una posición larga en el activo y una posición cortaen forward es F − S0 que no depende de ST el precio spot al vencimiento.Por lo tanto, por la vía de vender forwrad se eliminó el riesgo en t = T .GráÞcamente, esto equivale a:


S(T)

Util

idad

al V

enci

mie

nto

0F

Flujo Neto

S0

F-S0

10.7.1 Venta Corta de Activos

Definition 24 La venta corta de activos es una operación financiera en lacual se vende en t = 0 un activo que no pertenece al vendedor y que sedevolvera al dueño de tal activo en el período t = T .

La venta corta de activos es una operación que obliga a comprar un activoen t = T un activo que se adquirió a precio S0 a un precio ST . De esta forma,el perÞl de riesgo de una venta corta es el ßujo de caja al vencimiento porS0 − ST , y puede ser cubierto a través de la compra de un contrato forwardcon vencimiento en t = T .

ST < F ST > F

Venta Corta S0 − ST S0 − STCompra Forward ST − F ST − FFlujo Neto S0 − F S0 − F

Chapter 11

Derivados Financieros (2):Opciones Financieras

11.1 DefinicionesDefinition 25 Una opción de compra ("call") es un contrato que le otorgaal tenedor de ese contrato el derecho a comprar un activo subyacente enuna fecha y precio pre fijados. El contrato de una "call" debe especificar lossiguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio dela opción de compra, K.

Definition 26 Una opción de venta ("put") es un contrato que le otorga altenedor de ese contrato el derecho a vender un activo subyacente en una fechay precio pre fijados. El contrato de una "put" debe especificar los siguientestérminos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opciónde venta, K.

Definition 27 Las Opciones Americanas son aquellas que pueden ejercerseen cualquier momento previo a su vencimiento.

Definition 28 Las Opciones Europeas son aquellas que pueden ejercerse sóloal momento de su vencimiento.

11.2 El Perfil de Riesgo de Las OpcionesEl perÞl de riesgo de una opción es el ßujo de caja que genera al vencimientodel contrato. La tabla siguiente presenta los ßujos para los tenedores de

95

96CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS

opciones de compra ("call") y opciones de venta ("put).

t = 0 t = T

ST < K ST > K

Largo en "Call" −c 0 ST −K > 0

Largo en "Put" −p K − ST > 0 0

Al tenedor de una "call" le convendrá ejercerla si y sólo si ST > K, deotra forma perdería dinero y no la ejercería.

Al tenedor de una "put" le convendrá ejercerla si y sólo si ST < K, deotra forma perdería dinero y no la ejercería.

En resumen, al vencimiento los ßujos de tenedores de opciones son:

Call ⇐⇒ max (ST −K, 0) (11.1)

Put ⇐⇒ max (K − ST , 0) (11.2)

GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Largo en "Call"

11.2 EL PERFIL DE RIESGO DE LAS OPCIONES 97

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Largo en "Put"

En el caso de los vendedores de opciones, tenemos que simplemente:

Call ⇐⇒ −max (ST −K, 0) (11.3)

Put ⇐⇒ −max (K − ST , 0) (11.4)

GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Corto en "Call"


S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K

Corto en "Put"

11.3 Algunas Consideraciones Sobre OpcionesFinancieras

A pesar de que gráÞcamente parezca que estrategias como comprar"calls" y "puts" son ganancias seguras (en el peor de los casos se ganacero), esto no es así. Para acceder a ese perÞl de riesgo es necesariopagar un precio. Las "calls" y "puts" no son gratis.

En algunos libros de texto gustan de restar (o sumar según sea el caso)el precio de las opciones en los gráÞcos de ßujos de caja de las op-ciones. Yo no lo hago, pero hacer eso es absolutamente trivial, consisteen desplazar verticalmente (en el valor de la opción) los gráÞcos aquípresentados.

Las opciones pueden ser utilizadas para coberturas de riesgo. Por ejem-plo, si usted está largo en el activo subyacente, el comprar una "put"sobre el activo subyacente le podría acotar el riesgo de pérdidas en suposición sobre el activo subyacente.

11.4 ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN ESPECULATIVAS CON OPCIONES99

11.4 Estrategias de Inversión Especulativascon Opciones

Estas estrategias de inversión comprenden la transacción de múltiples op-ciones Þnancieras. Aquí haremos un pequeño resumen de las más popularesestrategias especulativas con opciones.

11.5 Spreads

11.5.1 Bull Spread

Definition 29 Una estrategia bull spread consiste en comprar una "call"("put") con precio de ejercicio K1 (con vencimiento en t = T ) y venderuna "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (e igual vencimiento), tal queK2 > K1.

Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son:

t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2

Compra "Call" 0 ST −K1 ST −K1

Venta "Call" 0 0 − (ST −K2)

Flujo Neto 0 ST −K1 K2 −K1

GráÞcamente,


S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K2K1

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bull spread con opcionesde venta.

11.5.2 Bear Spread

Definition 30 Una estrategia bear spread consiste en comprar una "call"("put") con precio de ejercicio K2 (con vencimiento en t = T ) y venderuna "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (e igual vencimiento), tal queK2 > K1.


t = T ST < K1 K1 < ST < K2 ST > K2

Compra "Call" 0 0 ST −K2

Venta "Call" 0 − (ST −K1) − (ST −K1)

Flujo Neto 0 − (ST −K1) K1 −K2

GráÞcamente,

11.5 SPREADS 101

S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K2K1

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opcionesde venta.

11.5.3 Butterfly Spread

Definition 31 Una estrategia butterfly spread consiste en comprar una "call"("put") con precio de ejercicio K1 y una "call" ("put") con precio de ejer-cicio K3 y vender 2 "calls" ("puts") con precio de ejercicio K2, tal queK1 < K2 < K3. Todas las opciones tienen igual fecha de vencimiento.


t = T ST < K1 K1 < ST < K2 K2 < ST < K3 ST > K3

Compra Call 1 0 ST −K1 ST −K1 ST −K1

Compra Call 3 0 0 0 ST −K3

Venta 2 Puts 0 0 −2 (ST −K2) −2 (ST −K2)

Flujo Neto 0 ST −K1 2K2 −K1 − ST| z =K1−ST si K2=0.5(K1+K3)

2K2 −K1 −K3| z =0 si K2=0.5(K1+K3)

GráÞcamente,


S(T)

Fluj

o al

Ven

cim

ient

o

0K2K1 K3

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opcionesde venta.

11.6 Combinaciones

Definition 32 Una estrategia Straddle consiste en comprar una "call" y una"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 33 Una estrategia Strip consiste en comprar una "call" y dos"puts" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 34 Una estrategia Strap consiste en comprar dos "calls" y una"put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 35 Una estrategia Strangle consiste en comprar una "call" conprecio de ejercicio K2 y una "put" con precio de ejercicio K1 e igual plazo alvencimiento, tal que K1 < K2.

11.7 EL CONCEPTO DE ARBITRAJE Y 2 APLICACIONES103

11.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplica-ciones

Las opciones Þnancieras son siempre valorizadas por arbitraje. Esto es par-ticularmente útil porque, en vez de estudiar los fundamentos detrás del valorde las opciones, podemos valorizar estas como una simple combinación delvalor de otros activos que sí observamos.El ßujo de caja de un activo es simplemente el valor de un activo (o una

parte de éste) en algún momento futuro en el tiempo. Este ßujo de caja es(hoy) desconocido y puede tomar distintos valores de acuerdo a los distintosestados de la naturaleza que se maniÞesten. El precio o valor de un activoes cuanto valgan (hoy) los ßujos prometidos.Existen dos conceptos fundamentales de arbitraje en Þnanzas:

1. La Ley de un Sólo Precio: Si dos activos prometen los mismos ßujosde caja deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todoevento y no en valor esperado.

2. El Principio de No Arbitraje: Si el pago (a todo evento) del activo Aes mayor (o igual) al pago (a todo evento) del activo B, entonces demanera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activoB.

11.8 La Paridad Put-CallSuponga que Ud. compra una call y simultáneamente vende una put conmismo precio de ejercicio y mismo plazo al vencimiento. El ßujo de cajaobtenido al vencimiento es exactamente el mismo de mantener el activo sub-yacente y endeudarse a futuro por el precio de ejercicio K1. Aplicando la leyde un sólo precio, podemos determinar que si los ßujos de caja al vencimientoson iguales, los precios también deben serlos.

Flujos: CT − PT = ST −K (11.5)

implica que

Precios : C − P = S − V P (K) (11.6)

Paridad Put-Call : C − P = S − KR

(11.7)

1Recuerde simplemente las tablas y gráÞcos de ßujos al vencimiento vistos en clases.


La paridad put-call es importante por 2 razones:

1. Ilustra el principio fundamental de como se valorizan las opciones antesde su vencimiento.

2. Ilustra como determinar el precio de una put (call) cuando se conoceel precio de una call (put). En otras palabras, para valorizar put (call)basta con conocer como se valoriza una call (put) y luego se aplica laparidad put-call2.

11.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Op-ciones antes del Vencimiento

Ahora bien, ¿qué nos indica el principio de no arbitraje acerca del precio deuna call?

1. C ≥ 0. El precio de un ßujo de caja igual a cero debe ser cero. Comoel ßujo de una call al vencimiento es siempre mayor que cero, su precioes siempre no negativo.

2. C ≤ S. El ßujo de una call al vencimiento es siempre menor al valordel activo subyacente al vencimiento, por lo tanto el precio de una callantes del vencimiento es siempre menor al valor del activo.

3. C ≥ S−V P (D)−V P (K), dondeD = dividendo pagado. El ßujo de lacall al vencimiento es CT = max (ST −K, 0) ≥ ST −K = ST +D−D−K. Como el precio de ST +D es S, si aplicamos el operador de preciossobre la expresión anterior obtenemos que C ≥ S−V P (D)−V P (K).

Estas 3 condiciones pueden ser resumidas en el siguiente gráÞco:

2En realidad esto es sólo cierto para el caso de opciones europeas que no pagan divi-dendos. En cualquier caso, el principio es fácilmente extendible a otros casos.

11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P

S(T)

Prec

io C

all

S-VP(D)-VP(K)

C=S

Precio "Call" debe estar en algun punto de esta area

La última de las desigualdades tiene una importante implicancia. Si lastasas de interés son mayores que cero, no vale la pena ejercer una opciónque no paga dividendos antes de su vencimiento. ¿Por qué? Si no existendividendos, la siguiente desigualdad es cierta

C ≥ S − V P (K) > S −K (11.8)

El extremo derecho de la desigualdad es el valor obtenido por ejercer lacall antes del vencimiento. MORALEJA: compre opciones, nunca las ejerzaantes de que venzan.

11.10 Valoración de Opciones por Método deArboles Binomiales: 1 período al vencimiento

El objetivo de esta sección es ir en detalle a la forma en que se valorizanlas opciones. Por simplicidad, analizaremos el caso de una call europea sindividendos. El valor de tal "call" al vencimiento es:

CT = max (ST −K, 0) (11.9)

Lo que queremos encontrar es el valor de la call 1 período antes delvencimiento.


El precio del activo subyacente es S. Suponga que existen dos estadosde la naturaleza al vencimiento: el precio del activo crece a ST = u · S ocae a ST = d · S. De esta forma, la call puede tomar uno de 2 valores:CT = Cu = max (u · S −K, 0) o CT = Cd = max (d · S −K, 0). El árbol deestados de la naturaleza puede ser representado por el siguiente esquema:

Conocemos u, d, S,K y queremos encontrar C.Considere un portafolio compuesto por valor H de acciones y valor B de

bonos. El pago de este portafolio al vencimiento es H · u · S +B si la acciónsube y H · d · S +B si la acción cae. Siempre es posible encontrar valores deH y B tales que los ßujos de caja de este portafolio sean iguales al ßujo decaja de la call. Esto signiÞca que es necesario encontrar valores de H y Btal que

H · u · S +B = Cu (11.10)

H · d · S +B = Cd (11.11)

2 ecuaciones y 2 incógnitas que tienen las siguientes soluciones:

H =Cu − Cd

u · S − d · S (11.12)

B =u · S · Cd − d · S · Cu

u · S − d · S (11.13)

H es lo que se conoce como la razón de cobertura. Es el número deacciones necesarias para replicar exactamente los ßujos al vencimiento de lacall. Es también el cambio en el valor de la opción ante cambios en el preciodel activo subyacente (si el valor del activo cambia desde d · S hasta u · S, elvalor de la call cambia desde H · d · S hasta H · u · S). Si se graÞca el valorde la opción en función del precio del activo subyacente, la pendiente de talgráÞco debe ser H.Tenemos dos portafolios con exactamente los mismos pagos. Por ley de

un sólo precio, ambos portafolios deben tener el mismo precio.

C = HS +B

R(11.14)

11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P

Reemplazando por los valores de H y B

C =Cu − Cd

u · S − d · SS +uCd−dCuu−dR

(11.15)

C =Cu − Cdu− d +

uCd−dCuu−dR

(11.16)

Esta fórmula no es muy atrayente, así que deÞnamos

p =R − du− d ⇔ 1− p = u− R

u− d (11.17)

En términos de p, la formula de C se transforma en

C =Cuu− d −

Cdu− d +

µuCdu− d

¶/R+

µdCuu− d

¶/R (11.18)

C =

µ1

u− dµ1− d

R

¶¶Cu +

µ1

u− d³ uR− 1´¶Cd (11.19)

C =1

R

·µR − du− d

¶Cu +

µu−Ru− d

¶Cd

¸(11.20)

C =1

R[pCu + (1− p)Cd] (11.21)

donde Cu = max (u · S −K, 0) y Cd = max (d · S −K, 0).Hay 3 hechos interesantes acerca de esta última formula:

1. Las probabilidades de los estados (u, d) no entran en ninguna parte dela fórmula. Todo el argumento de valorización de opciones proviene dela ley de un sólo precio. Si esto no fuera cierto, existe una oportunidadde arbitraje libre de riesgo: compre el portafolio HS +B y vaya cortoen la call (o viceversa). La clave es lo siguiente: toda la informaciónacerca de hacia donde va el precio de la accion ya está incluído en suprecio actual S. Si la probabilidad del estado u crece, el precio S seajusta automáticamente al alza.

2. Aversión al riesgo, premio por riesgo, etc. no juegan ningun rol en lavalorizacion de opciones. El argumento es el mismo que en (1): todoeso ya está incluído en el precio de S.


3. p parece una probabilidad: su valor está entre 0 y 1. p es lo que seconoce como la probabilidad neutral al riesgo. Suponga que los agentesson neutrales al riesgo, tal que la probabilidad asignada a u · S es p.En ese caso, el precio de la opción es simplemente el valor esperadodescontado de los ßujos al vencimiento:

C =1

R[pCu + (1− p)Cd] (11.22)

=1

RE (CT ) (11.23)

Es importante que no confunda probabilidades neutrales al riesgo conprobabilidades efectivas. Las probabilidades efectivas no importan parala valorización de opciones. ¿Por qué? Porque todo lo que se necesitaconocer acerca de los escenarios futuros de ST está capturado en elprecio actual de S. Por tanto, si usted quisiera valorizar una opción sinconocer el precio actual de S, entonces recién sería necesario volver apensar en betas, premio por riesgo, probabilidades efectivas, etc. Si seconoce el precio actual de S, el resto es sólo un argumento de arbitraje.

11.11 Método de Arboles Binomiales: 2 perío-dos al vencimiento

Suponga que el precio del activo subyacente puede subir o bajar (u, d) en cadaperíodo. DeÞna Cu,u, Cu,d y Cd,d como los pagos de la call al vencimiento deacuerdo al siguiente esquema:

11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 109

Igual que en la sección pasada, la opción debe valorizarse desde el vencimientohacia atrás.

Cu =1

R[pCu,u + (1− p)Cu,d] (11.24)

Cd =1

R[pCu,d + (1− p)Cd,d] (11.25)

C =1

R[pCu + (1− p)Cd] (11.26)

Sustituyendo el valor de Cu y Cd en C, obtenemos:

C =1

R2

£p2Cu,u + 2p (1− p)Cu,d + (1− p)2Cdd

¤(11.27)

Hechos interesantes acerca de esta última fórmula:

1. El precio de la opción sólo depende de los siguientes factores: el precioS, el precio de ejercicio K, la volatilidad (u, d) , la tasa de interés R yel número de períodos al vencimiento.

2. Esta es una forma práctica y realista de valorizar opciones. Si las prob-abilidad de u crece en un 1/6 y la de d cae en un 1/6, las probabilidadesal vencimiento subieron 1/8 (Cu,u), no cambiaron (Cu,d) o se redujeronen un 1/8 (Cd,d). Aún más, con muchos más períodos, puede pasarcualquier cosa con el precio.

11.12 La Formula de Black y Scholes

Suponga que se incrementan los períodos al vencimiento en el modelo bi-nomial. Más aún, suponga que estos periodos son muy cortos (en el límiteconvergen a cero). Cuando se toma computa el límite de tal modelo emergeuna famosa fórmula, la de Black y Scholes:

C = SN (d1)−Ke−rTN (d2) (11.28)


donde

d1 ≡ln¡SK

¢+³r + σ2

2

´T

σ√T

(11.29)

d2 ≡ d1 − σ√T (11.30)

N (x) = área debajo de la distribución Normal hasta el punto x

r = tasa de interés continuamente compuesta

σ = desviación estándar de los retornos del activo subyacente

Esta fórmula se determina de igual forma que la fórmula binomial y tieneimportantes implicancias:

1. Si el precio del activo subyacente está muy por encima del precio deejercicio, S À K, N (∞) = 1 tal que C → S −Ke−rT .

2. Si el precio del activo subyacente está muy por debajo del precio deejercicio, S ¿ K, N (−∞) = 0 tal que C → 0.

3. El precio de la opción es una función determinística del precio actualde la acción (S). Los parámetros de esta función son: r, T, σ,K.

4. La volatilidad del activo subyacente (σ) no es observable. Esta es unavolatilidad condicional: la volatilidad que los agentes piensan que elactivo debiera tener (en el modelo binomial, esta volatilidad está dadapor la diferencia entre u y d). De esta forma, la volatilidad implícitaes el σ que satisface la fórmula de Black y Scholes para los precios demercado de la opción. Por esta razón, muchas veces resulta estándar enel mercado referirse al valor de una opción por su volatilidad implícitay no por su precio efectivo.

5. Intuición de Black y Scholes. Por simple inspección, la fórmula de Blacky Scholes se descompone en 2 partes:

SN (d1), el valor presente de la acción multiplicado por la proba-bilidad de que este precio sea igual al precio de ejercicio.

−Ke−rTN (d2), el valor presente del precio de ejercicio multipli-cado por la probabilidad de ejercer la opción. De nuevo, estas

11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES 111

probabilidades son neutrales al riesgo y son distintas a las prob-abilidades efectivas. Por lo tanto, al igual que con la fórmula bi-nomial, Black y Scholes puede ser interpretada como una fórmulaneutral al riesgo.

6. La razon de cobertura H es la pendiente del precio de la opción. Porlo tanto, es la derivada de la formula de Black y Scholes.

H =∂C

∂S= N (d1) (11.31)

Es interesante hacer notar el siguiente hecho, esta pendiente sólo cam-bia con el precio del activo y con el horizonte de tiempo. La razónde cobertura es particularmente importante en el siguiente caso real:suponga que por alguna razón usted debe mantener un gran stock deacciones, la razón de cobertura le dice cuantas opciones debe mantenerpara eliminar el riesgo del activo subyacente (las acciones) a un períodoplazo (no al vencimiento, ya que en ese caso basta con cubrir una accióncon una opción).

Chapter 12

Finanzas Corporativas (1):Estructura de Capital

Por estructura de capital se entiende la composición de pasivos y patrimoniode una empresa (i.e. cuánto capital y cuánta deuda tiene una empresa).¿Por qué nos importa la estructura de capital? Por dos razones, (1) para

entender porque existen personas, empresas y países más endeudados queotros y (2) para descubrir si es que existe valor agregado asociado a unaestructura de capital por sobre otras (en otras palabras, conviene Þnanciarsevía capital o vía deuda).Previo a Modigliani y Miller (1958) se solía pensar la estructura de capital

como la solución al siguiente par de problemas:

1. Un problema de clientelas, algunos inversionistas (preferentes al riesgo)preÞeren acciones y están dispuestos a pagar más por ellos, por lo tantohay que proveer acciones para ellos, por su parte otros inversionistas(aversos al riesgo) preÞeren bonos y están dispuestos a pagar más porellos.

2. Un problema de minimización del costo de capital promedio ponderadode las empresas: CCPP = rD · D

D+P+ rP · P

D+P. El costo de la deuda es

menor al de las acciones, rD < rP , tal que el incrementar DD+P

reduceel CCPP , no obstante en algún punto la deuda empieza a ser riesgosay CCPP comienza a crecer. La estructura de capital óptima sería laque resuelve el problema de minimización de CCPP .

113

114CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT

El teorema de Modigliani y Miller (1958) vino a revolucionar las Þnan-zas corporativas al demostrar la falacia de ambos argumentos. El punto deModigliani y Miller (M&M) es que las Þrmas son tomadoras de precios en elmercado Þnanciero y que el CCPP = E(X)

Ves una función de los ßujos de

caja esperado (X) y del valor de la empresa (V ). rD y rP son funciones deCCPP y de la estructura de capital, por lo tanto el argumento 2 resulta seruna tautología.

12.1 La Irrelevancia de la Estructura de Cap-ital: El Teorema de Modigliani y Miller

12.1.1 Alguna Notación

Di es el valor de mercado de la deuda emitida por la Þrma i. Pi es el valor de mercado del patrimonio emitido por la Þrma i. Vi es el valor total de la Þrma i. Vi = Di + Pi. Xi es el ßujo de caja opereacional (antes de impuestos y pago de in-tereses) asociado a los activos productivos de la Þrma i.

La tasa de retorno exigida a Þrmas en categoria de riesgo k es ρk. Estatasa de retorno es también el costo de capital promedio ponderado.

La deuda no tiene riesgo y paga una tasa de retorno de rD. La tasa deretorno exigida al patrimonio es rP .

12.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller

No existen Impuestos. No existe quiebra ni costos de transaccion. Los ßujos de caja operacionales son ßujos Þjos y exógenos al modelo. Toda la información es simétrica, conocida por todas las partes. No existen oportunidades de arbitraje. Los mercados son completos.

12.1 LA IRRELEVANCIA DE LA ESTRUCTURA DE CAPITAL: EL TEOREMA DE MO

12.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller

Definition 36 PROPOSICION I DE MODIGLIANI-MILLER. Bajo los supuestosde Modigliani y Miller, la estructura de capital es completamente irrelevantey el valor de una empresa se encuentra determinado por el valor descontadode sus flujos operacionales, Vi = Xi

ρk.

Proof. La prueba original de Modigliani y Miller. Asuma que existen dosÞrmas 1 y 2 en la misma categoría de riesgo con mismos ßujos operacionalesX.La Þrma 1 no tiene deuda, mientras que la Þrma 2 sí la tiene.El valor de las Þrmas 1 y 2 es V1 y V2. Asuma que V1 > V2.Considere un inversionista que es dueño de una proporción α del patri-

monio de la Þrma 1.El valor de esa inversión es αV1. Los ßujos de caja de este portafolio son

αX.Usted puede vender esa inversión y comprar un portafolio de αP2

V1

V2ac-

ciones y αD2V1

V2bonos emitidas por la Þrma 2. Los ßujos de caja de este

portafolio son

αV1

V2(X − rDD2) + α

V1

V2rDD2 = αX (12.1)

Ambos portafolios cuestan lo mismo tal que

αV1

V2X = αX (12.2)

Lo cual es cierto si y sólo si V1 = V2.Queda para Ud. la segunda parte de la prueba en la cual forma un

portafolio de acciones de la Þrma 1 y deuda libre de riesgo con una inversiónen acciones de la Þrma 2.La intuición de la proposición I de M&M es muy simple: si los ßujos

de caja están Þjos, la forma en que divida el valor de los activos (deuda ycapital) es absolutamente irrelevante para el valor de los activos.¿Cuán importante son los supuestos de M&M para el resultado Þnal?

Patrimonio Riesgoso Vs. Deuda Libre de Riesgo. NO RELEVANTE.M&Mpuede ser demostrado para cualquier activo que sea función de losßujos operacionales, por ejemplo para deuda riesgosa tal que D (X) =min (V C,X), donde V C es el valor de carátula de la deuda.


La existencia de Þrmas gemelas. NO RELEVANTE. Lo importante esque los mercados sean efectivamente completos, es decir que todos losriesgos relevantes sean transables a un precio correcto en el mercadoÞnanciero.

LO RELEVANTE. El valor X de los ßujos operacionales debe ser in-dependiente del tamaño de la deuda de la empresa.

12.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller

Una consecuencia directa de la proposición I de M&M es que es posible en-contrar una relación lineal entre el retorno exigido al patrimonio y la relacióndeuda sobre capital.

Definition 37 PROPOSICION II DE MODIGLIANI Y MILLER. El re-torno exigido al patrimonio es una función lineal de la estructura de capital:

rP = ρk + (ρk − rD)×DiPi

(12.3)

Proof. El retorno del patrimonio es

rP =Xk − rDDi

Pi(12.4)

De acuerdo a M&M I, tenemos que

Vi =Xkρk

(12.5)

Xk = ρkVi = ρk (Di + Pi) (12.6)

Reemplazando la ecuación (12.6) en la ecuación (12.4) se obtiene larelación (12.3).

12.1.5 La importancia de Modigliani y Miller

La relevancia de M&Mno está en que sea una buena descripción de la realidad(probablemente no lo sea porque muchos de sus supuestos no son ciertos),sino en que nos da gran intuición para entender como funcionan las cosas enla práctica. M&M nos dice que para que la estructura de capital importetiene que pasar alguna de las siguientes cosas:

12.2 IMPUESTOS A LAS EMPRESAS Y ESTRUCTURA DE CAPITAL117

1. Que la estructura de capital afecte el pago de impuestos u otro costode transacción.

2. Que la estructura de capital afecte los ßujos de caja operacionales.

3. Que la estructura de capital afecte la completitud de mercados (i.e. quelas Þrmas no sean tomadoras de precios en los mercados Þnancieros).

Nos concentraremos en 1 y 2.

12.2 Impuestos a las Empresas y Estructurade Capital

La intuición es que la estructura de capital es relevante porque la deuda ylas acciones tienen distinto tratamiento tributario (i.e. distintas tasas deimpuestos).

12.2.1 Beneficio Tributario de la Deuda

A nivel de las empresas, el pago de intereses se deduce de la base tributariasobre la cual se paga el impuesto a las utilidades. Esto no ocurre para el casodel pago de dividendos y utilidades retenidas.DeÞniendo τ e como la tasa de impuestos a las empresas, tenemos que el

valor de la Þrma es

Vi =(1− τ e) (Xk − rDD) + rDD

ρk(12.7)

Vi =(1− τ e)Xk

ρk| z valor Þrma sin deuda

+ τ eD|zbeneÞcio tributario de la deuda

(12.8)

El valor de una Þrma con deuda es igual al valor de una Þrma equivalentesin deuda más el beneÞcio tributario de la deuda que es creciente con el nivelde deuda D. La estructura de capital no es irrelevante, al contrario convienetener mucha deuda para aprovechar el beneÞcio tributario de la deuda.


12.3 Impuestos Personales y Estructura deCapital

Existe un famoso trabajo de Miller (1977) que demuestra que bajo el supuestode tasas progresivas de impuestos personales es posible concebir una multi-tud de estructuras óptimas de capital. El modelo de Miller con impuestospersonales funciona de la siguiente forma:

τ e es la tasa de impuestos a las empresas. τpD es la tasa de impuestos personales a los ingresos por intereses debonos.

τpP es la tasa de impuestos personales a los ingresos por pago de divi-dendos y ganancias de capital accionarias.

Cada período los ßujos de caja después de impuestos para los inver-sionistas son

(1− τpP ) (1− τ e) (X − rDD) + (1− τ pD) rDD (12.9)

Asumiendo que tanto X como rDD son perpetuidades, entonces ten-emos que el valor presente ßujo de caja recibido por los inversion-istas es (ojo: la tasa de descuento para la perpetuidad de la deudaes rD (1− τpD)):

V P (Firma) = V P (Firma sin Deuda) +·1− (1− τ

pP ) (1− τ e)

(1− τ pD)¸

| z T

D

(12.10)

Note que si τ pP = τpD, la ecuacion (12.10) se transforma trivialmente enla ecuación (12.8).

El beneÞcio tributario de la deuda a nivel de las personas puede serincluso negativo.

La estructura de capital óptima a nivel agregada se encuentra determi-nada por el inversionista marginal para el cual en el margen es ciertoque τ pP = τ e. ¿Cuál es la intuición de esto último?

12.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL119

— Si τ pP < τ e, las empresas emitirían deuda hasta el punto en que losinversionistas en el rango alto del impuesto progresivo absorbantodos estos bonos, pagando más impuestos y se igualen ambastasas marginales τpP = τ e.

— Un poco más formalmente asuma que los inversionistas exigen unatasa de retorno sobre los bonos de r0 después de impuestos. Porsimplicidad tambien asumiré que τpP = 0.

— Demanda por Bonos:

∗ Si rD < r0, nadie demanda bonos.∗ Si rD = r0, las personas exentas de impuestos (o en un tramobajo del impuesto progresivo) comenzarán a demandar bonos.

∗ En la medida que se incrementa rD inversionistas de tramosmás altos de impuesto progresivo empiezan a demandar bonos.Un inversionista individual estará dispuesto a demandar bonosen la medida que rD ≥ r0

(1−τpD,i).

— Oferta de Bonos: Las Þrmas toman rD como una tasa de interésdada.

∗ Si rD (1− τ e) > r0, las empresas no emitirían deuda.∗ Si rD (1− τ e) < r0, las empresas no emitirían acciones.∗ Si rD (1− τ e) = r0, las empresas se encuentran indiferentesentre emitir deuda o acciones.

∗ Por lo tanto, la oferta de bonos sería perfectamente elástica ala tasa rD = r0

(1−τe).

— El equilibrio de Miller (1977). Para el inversionista marginal (m),la demanda agregada se iguala con la oferta agregada de bonos:

r0¡1− τ pD,m

¢ = r0

(1− τ e) (12.11)

τpD,m = τ e (12.12)

— Por lo tanto, en el equilibrio de Miller existe una estructura decapital óptima a nivel agregado. Esa estructura de capital es la quehace que el inversionista marginal esté indiferente entre demandaro no más bonos: rD = r0

(1−τpD,m).


Cantidad de Bonos

rd

r0

r0/(1-te)

B*

Aqui demandan bonos aquellos individuos con bajas tasas de impuestos

Aqui empiezan a demandar (ademas) bonos individuos con tasas de impuestos mas altas

Demanda Agregada de Bonos

Oferta Agregada de Bonos

Aqui se acumula demanda hasta el inversionista marginal (m)

— Sin embargo, note lo siguiente en la medida que el equilibrio deMiller se sastisface con τpD,m = τ e, entonces debe ser cierto que

T =

1−

1− lo asumimos cero aunque esto no es relevantez|τ pP

(1− τ e)(1− τ pD)

= 0

(12.13)

A nivel de las empresas individuales, la estructura de capital to-davía sigue siendo irrelevante.

— LACONCLUSIONDELMODELODEMILLERCON IMPUESTOSPERSONALES ES QUE LA EXISTENCIA DE IMPUESTOSPERSONALES PROGRESIVOS HACE RELEVANTE LA ES-TRUCTURA DE CAPITAL A NIVEL AGREGADO, PERO TO-DAVIA CONTINUA SIENDO IRRELEVANTE PARA LAS EM-PRESAS INDIVIDUALES QUE EN EQUILIBRIO NO TIENENBENEFICIOTRIBUTARIOALGUNOPOREMITIRMASDEUDA.

12.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL121

12.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Im-puestos Personales

El modelo de Miller (1977) tiene importantes conclusiones acerca de la es-tructura de capital cuando existe una estructura de impuestos más compleja(y, por lo tanto, más realista). La clave detrás del modelo de Miller (1977)es el asumir una estructura de impuestos personales progresivos para el de-vengo de los bonos y el reparto de utilidades. La existencia de impuestospersonales progresivos puede ser la causa de la existencia de una estructurade capital óptima para cada empresa, industria o país. En esta pequeñanota se pretende ponerle números concretos a esta idea. El supuesto clavees la existencia de impuestos progresivos sobre el pago de la deuda o sobrelas utilidades devengadas. El modelo de Miller (1977) es consistente con laexistencia de impuestos personales progresivos sobre cualquiera sea el caso:pago de deuda, devengo de utilidades o ambos al mismo tiempo. Para efectossimpliÞcatorios, en estas notas veremos cada caso individualmente.

Ejemplo 1: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de la Deuda

Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda(D = 10) y acciones (S = 50) . La tasa de impuestos a las utilidades (τ e) esdel 15%, la tasa de impuestos a las utilidades devengadas (τpP ) es del 20% yla tasa de impuestos al devengo de la deuda es una tasa progresiva (τ pD) de10% si el ingreso de la deuda (rDD) es menor a 1,5 y del 32% si el ingresode la deuda es superior a 1,5. La tasa de interés es rD = 10%.¿Cuál es el beneÞcio tributario de la deuda?

T ·D =·(1− τ pD)− (1− τ e) (1− τ pP )

(1− τ pD)¸D (12.14)

Dado que el ingreso de la deuda es r×D = 10%×10 = 1 < 1, 5, entoncesτ pD = 10%, tal que:

T ·D =

·(1− 10%)− (1− 15%) (1− 20%)

(1− 10%)¸· 10 (12.15)

T ·D = 2, 44 (12.16)

¿Cuánto vale la compañía sin deuda?


VL = VU + T ·D (12.17)

60 = VU + 2, 44⇐⇒ VU = 57, 56 (12.18)

No obstante, el beneÞcio tributario se incrementaría de aumentar la deuda.Dado T = 0, 244, el beneÞcio tributario de la deuda se incrementa hasta 3,66si la deuda sube hasta D = 15.Sin embargo, en ese punto el ingreso de la deuda pasa a ser r × D =

10%× 15 = 1, 5, entonces τ pD = 32%, tal que:

T ·D =

·(1− 32%)− (1− 15%) (1− 20%)

(1− 32%)¸· 15 (12.19)

T ·D = 0 (12.20)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es

D

P=

15

42, 56= 35, 2% (12.21)

Ejemplo 2: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de Utilidades

Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda(D = 10) y acciones (S = 50). La tasa de impuestos a las utilidades (τ e)es del 15%, la tasa de impuestos al devengo de la deuda es (τpD) de 40% yla tasa de impuestos personales a las utilidades devengadas (τpP ) es una tasaprogresiva de 10% si las utilidades devengadas por el accionista son menoresa 1,5 y 29,5% si las utilidades devengadas por el accionista son superiores a1,5. La tasa de interés es rD = 10% y el ßujo de caja operacional es unaperpetuidad de X = 2, 5.¿Cuál es el beneÞcio tributario de la deuda?

T ·D =·(1− τpD)− (1− τ e) (1− τ pP )

(1− τpD)¸D (12.22)

Dado que el ingreso al accionista es (1−τ e)(X−rDD) = 0, 85×(2, 5−1) =1, 275 < 1, 5, entonces τpP = 10%, tal que:

12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR123

T ·D =

·(1− 40%)− (1− 15%) (1− 10%)

(1− 40%)¸· 10 (12.23)

T ·D = −1, 65 (12.24)

¿Cuánto vale la compañía sin deuda?

VL = VU + T ·D (12.25)

60 = VU − 1, 65⇐⇒ VU = 61, 65 (12.26)

No obstante, el beneÞcio tributario se incrementaría de reducir la deuda.Dado T = −0, 165, el beneÞcio tributario (negativo) de la deuda se reduce

hasta -1,21 si la deuda cae hasta D = 7, 35.Sin embargo, en ese punto el ingreso devengado al accionista pasa a ser

(1− τ e)× (X − rDD) = 0, 85× (2, 5− 0, 735) = 1, 5, entonces τpP = 29, 5%,tal que:

T ·D =

·(1− 40%)− (1− 15%) (1− 29, 5%)

(1− 40%)¸· 7, 35 (12.27)

T ·D = 0 (12.28)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es

D

P=7, 35

54, 3= 13, 54% (12.29)

12.4 La Deuda Como Fuente de Destrucciónde Valor

Uno de los supuestos fundamentales de Modigliani y Miller es que la estruc-tura de capital no afecta los ßujos de caja operacionales. Estos son Þjos yexógenos al modelo. Esto, en la práctica, puede ser un supuesto poco realista.¿Por qué? DeÞna quiebra como la circunstancia en la cual una Þrma no escapaz de cubrir los costos Þnancieros de su deuda con sus ßujos operacionales.

X < rDD⇐⇒ quiebra (12.30)


La quiebra es un concepto importante porque: (1) implica costos reales(ejemplo, remunerar al síndico de quiebra) y (2) implica el concepto de re-sponsabilidad limitada de los accionistas: los accionistas no responden conpatrimonio propio si es que la Þrma quiebra. En otras palabras, si los ac-cionistas no son capaces de pagar la deuda Þnanciera, éstos no cubren ladiferencia entre X y rDD sino que entregan la Þrma a los acreedores.Tanto (1) como (2) violan el supuesto de M&M de que la estructura de

capital no afecta los ßujos operacionales. ¿Por qué? Porque la probabilidadde quiebra crece con el tamaño de la deuda. Con mucha deuda es masprobable irse a la quiebra y tener que afrontar costos reales de quiebra otener que entregar la empresa por un valor menor a la deuda comprometida.EjempliÞcaremos tales ideas a traves del siguiente par de ejemplos númeri-

cos.

12.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Fi-nancieros

Suponga que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual sedivide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrircualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza:

Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5. Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5.Si la empresa no es capaz de cumplir con el valor total de la deuda con-

traída, esta deberá declararse en quiebra, para lo cual deberá incurrir en uncosto de quiebra equivalente al 10% del valor de V en caso de quiebra.Asuma por simplicidad que la tasa de interés es cero.¿Cuánto vale esta compañía con esa estructura de capital?En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe

incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100En el estado 2, V < D, de tal forma que existe quiebra y debe incurrirse

en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20− 10%× 20 = 0, 9× 20 = 18De tal forma que el valor económico de esta compañía es:V E = 100× 0, 5 + 18× 0, 5 = 59Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el

cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. El resto de lossupuestos es el mismo que antes.


¿Cuánto vale esta compañía con esa nueva estructura de capital?En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe

incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100En el estado 2, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe

incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20De tal forma que el valor económico de esta compañía es:V E = 100× 0, 5 + 20× 0, 5 = 60Resulta obvio que en este ejemplo en el que existe un costo de quiebra, la

estructura de capital importa. En particular, la probabilidad de que en algúnestado de la naturaleza haya que incurrir en un costo de quiebra destruyeparte del valor de la empresa. En este sentido, la estructura de capital ya noes irrelevante para el valor de una compañía.

12.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incen-tivo a Elegir Malos Proyectos

En economía se entiende un problema de agencia como un problema en el cualdos agentes económicos tienen distintos objetivos para el mismo instrumentoeconómico. En nuestro caso particular, accionistas y acreedores tendrándistintas estructuras de capital óptimas (para la misma Þrma) que maximizanel valor de su riqueza.Asuma como antes que el valor contable de una compañía es hoy V = 60,

el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puedeocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza:

Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5. Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5.

No existen costos de quiebra y la tasa de interés es cero.Asuma también que existe un segundo proyecto con inversión inicial por

10 y que paga 18 en el estado 1 y 0 en el estado 2.El valor presente neto de este proyecto es: V PN = 0, 5 × 18 − 10 =

9− 10 = −1. Por lo tanto, la empresa no debería invertir en tal proyecto yaque destruye valor.Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja.¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en

el proyecto?


Estado 1:V = 100 + 18− 10 = 108, D = 50, S = 58

Estado 2:V = 20 + 0− 10 = 10, D = 10, S = 0A valor presente hoy, esto implica que:

V = 0, 5× 108 + 0, 5× 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujoen 1.

D = 0, 5× 50 + 0, 5× 10 = 30 < 0, 5× 50 + 0, 5× 20 = 35, el valor dela deuda se redujo en 5.

S = 58 × 0, 5 = 29 > 50 × 0, 5 = 25, el valor de las acciones seincrementó en 4.

Lo relevante aquí es que al dueño de las acciones le conviene que la em-presa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque losdueños de la deuda le están haciendo una transferencia de riqueza superioral V PN < 0 del proyecto.Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el

cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. Suponga que laempresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. El resto de los supuestossobre el proyecto son exactamente los mismos que antes.¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en

el proyecto?

Estado 1:V = 100 + 18− 10 = 108, D = 10, S = 98

Estado 2:V = 20 + 0− 10 = 10, D = 10, S = 0A valor presente hoy, esto implica que:

V = 0, 5× 108 + 0, 5× 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujoen 1.

D = 0, 5 × 10 + 0, 5 × 10 = 10, el valor de la deuda no cambia si seinvierte en el proyecto.

S = 98× 0, 5 = 49 < 90× 0, 5 + 10× 0, 5 = 50, el valor de las accionesse redujo en 1.


Lo relevante aquí es que, con una estructura de capital con menos deuda,al dueño de las acciones ya no le conviene que la empresa invierta en unproyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque ya no existe una transferenciade riqueza superior desde la deuda al capital.GRAN CONCLUSIÓN: A MAYOR RELACIÓN DEUDA SOBRE CAP-

ITAL, SE INCREMENTA LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA UNATRANSFERENCIADERIQUEZADESDETENEDORESDEDEUDAHA-CIA LOS ACCIONISTAS. EN EMPRESAS MUY ENDEUDADAS CON-VIENE INVERTIR EN PROYECTOS MÁS RIESGOSOS (AUNQUE DE-STRUYAN VALOR) PARA AUMENTAR LA PROBABILIDAD DE EX-PROPIAR A LOS TENEDORES DE BONOS.

Analogía con las Opciones Financieras

El argumento previo tiene una analogía perfecta con las opciones Þnancieras.El valor de las acciones es como una opción de compra:

S = max(V −D, 0) (12.31)

Mientras que la deuda es como el valor de un activo libre de riesgo más laventa de una opción de venta con precio de ejercicio igual al valor de carátula(V C) de la deuda:

D = V C −max(V C − V, 0) (12.32)

Como ya vimos durante el transcurso de este curso, el valor de una opciónse incrementa con la volatilidad del activo subyacente (en este caso, V ).De esta forma, se concluye que en presencia de deuda el valor de las

acciones se incrementa al invertir en proyectos más riesgosos, mientras queel valor de la deuda cae al invertir en proyectos más riesgosos.

Chapter 13

Finanzas Corporativas (2):Política de Dividendos

13.1 La Irrelevancia de la Política de Divi-dendos: Modigliani-Miller

Supuestos:

No existen impuestos.

No existen costos de transacción.

La información es común a todas las partes.

La política de dividendos es independiente de las decisiones de inver-sión.

No existen problemas de agencia.

El Concepto de M-M:

$100 en el bolsillo izquierdo es lo mismo que $20 en el bolsillo derechoy $80 en el izquierdo.

Ningún inversionista pagará por algo (efectivo vía dividendos) que sepuede crear sin costos (vender acciones).

129

130CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO

El retorno del capital es una función del riesgo operacional y el riesgoÞnanciero (leverage), y ambos son independientes del pago de dividen-dos.

Implicancia Directa: LA POLITICA DE DIVIDENDOS ES COMPLE-TAMENTE IRRELEVANTE.

Incrementar o reducir el pago de dividendos no puede afectar la riquezade los accionistas, en la medida que las deciones de inversión no se venafectadas por la política de dividendos.

La política de dividendos es un "tradeoff" entre retener utilidades parafuturas inversiones (no hay pago de dividendos) versus emitir nuevasacciones para pagar dividendos y todavía tener el dinero necesario parainvertir.

Usos de Fundos = Fuentes de Fondos (13.1)

Dividendos+Gasto Inversión = Flujo Operacional+Financiamiento Externo(13.2)

Si Gasto Inversión=Flujo Operacional, la Þrma no podrá repartir div-idendos sin la ayuda de Þnanciamiento externo (nueva emisión).

En el caso de que la Þrma decidiera emitir nuevas acciones y utilizaresos fondos para pagar dividendos, tanto el valor de la Þrma como lariqueza de los accionistas serían exactamente los mismos que si nuncase hubieran emitido nuevas acciones.

En lo fundamental, nada cambia. Los ßujos y el riesgo operacionalson los mismos, por lo tanto el valor de las acciones no puede habercambiado.

No obstante, todo el análisis anterior se basa en 3 supuestos fundamen-tales:

1. No existen tasas de impuestos personales distintas para los ingre-sos por repartos de dividendos y por las ganancias de capital.

13.2 LOS INVERSIONISTAS TIENEN PREFERENCIA POR FIRMAS QUE PAGAN DIV

2. Si las Þrmas deciden emitir pagar dividendos superiores a sus exce-sos de caja, la emisión de nuevas acciones para cubrir esta necesi-dad de caja no tiene ni costos reales ni tampoco envía señales almercado acerca de las perspectivas de ßujos operacionales futuros.

3. Si las Þrmas deciden emitir para pagar dividendos inferiores a susexcesos de caja, esta caja no será utilizada en Þnanciar proyectoscon VPN<0.

13.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia porFirmas que Pagan Dividendos

De alguna forma, este nuevo supuesto viola el supuesto 3 en la sec-ción pasada. Los inversionistas, al demandar acciones que pagan másdividendos, están dispuestos a sacriÞcar VPN positivo por pago de div-idendos.

La idea es la siguiente:

RS =D1 + P1

P0(13.3)

=D1

Po+ gg (13.4)

Al aumentar el pago de dividendos, se incrementa D1

Po, y de acuerdo

a M-M esto debería ser compensado por una caída equivalente en gg.No obstante, como los inversionistas tienen preferencias por accionescon mayor pago de dividendos, |∆gg| >

¯∆³D1

Po

´¯, tal que el retorno

exigido a las acciones (en neto) se reduce.

La conclusión general es que es bueno pagar dividendos porque reduceel riesgo asociado al pago de dividendos en relación al riesgo de lasganancias de capital.

El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayorpago de dividendo deberían valer más que sus pares con menor pagode dividendos.


13.3 La Desventaja Tributaria de los Divi-dendos

¿Cuál es la idea?

Como la tasa de impuestos personales sobre el pago de dividendos essuperior a la tasa de impuestos personales sobre las ganancias de cap-ital (porque estos impuestos pueden ser diferidos), los inversionistascastigarán a aquellas acciones que pagan muchos dividendos.

El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayorpago de dividendo deberían valer menos que sus pares con menor pagode dividendos, i.e. el reparto de dividendos destruye valor.

13.3.1 El Modelo de Elton y Gruber

La proposición III de M-M implica que la política de dividendos es irrelevantepara el valor de la empresa y para la riqueza del accionista. Una implicanciadirecta de lo anterior es que al momento exacto de repartir dividendos, elprecio de la accion debería caer exactamente en el mismo monto que el repartode dividendo por acción. La evidencia empírica indica que eso, en general,no es así. El modelo de Elton y Gruber (1980) intenta explicar tal hecho enel contexto de economías con impuestos a las personas.DeÞnaPa = precio en el instante antes del anuncio de dividendosPd = precio en el instante posterior al anuncio de dividendosD = dividendo declaradot = tasa de impuesto a la rentatgg = tasa impuesto a las ganancias de capitalLos ßujos de caja por vender la acción antes del anuncio de dividendos

sonPa − (Pa − P ) tgg (13.5)

Mientras que los ßujos de caja por vender la acción después del anunciode dividendos son:

Pd − (Pd − P ) tgg +D (1− t) (13.6)

En la medida que el inversionista marginal debiera estar indiferente entrevender antes o después del anuncio de dividendos, entonces

Pa − (Pa − P ) tgg = Pd − (Pd − P ) tgg +D (1− t) (13.7)

13.4 LA EXISTENCIA DE COSTOS DE TRANSACCIÓN 133

Ordenando, lo anterior se convierte en:

Pa − PdD

=1− t1− tgg (13.8)

Tal que

si t = tgg, entonces Pa − Pd = D si t > tgg, entonces Pa − Pd < D si t < tgg, entonces Pa − Pd > D

13.4 La Existencia de Costos de Transacción

¿Cuál es la idea?

Como acceder al mercado de capitales tiene costos reales de transacción,el recurrir en altos montos al mercado de capitales para pagar altosdividendos tiene altos costos reales que se traducen en menor valorpara la Þrma.

El corolario es que (todo lo demás constante), existe un incentivo aevitar grandes pagos de dividendos ya que si la Þrma no cuenta concaja suÞciente deberá recurrir al mercado de capitales pagando costosreales que destruyen el valor de la Þrma.

13.5 La Teoría de Clientelas

¿Cuál es la idea?

Existen distintos tipos de inversionistas con distinto grado de aversiónal riesgo de liquidez y distintas tasas de impuestos personales.

Los inversionistas con mayor grado de aversión al riesgo de liquidez de-mandarán acciones con mayor pago de dividendos, mientras que aque-llos con menor aversión al riesgo de liquidez demandarán las accionesque pagan menores dividendos.


Los dividendos tienen una desventaja tributaria, por tanto su uso debeestar justiÞcado por alguna clase de beneÞcios reales en su uso (porejemplo, las necesidades de liquidez).

El corolario es que, incluso con grandes diferencias entre inversionistasen materia de aversión al riesgo de liquidez e impuestos personales, lapolítica de dividendos a nivel de la Þrma todavia puede ser irrelevantea pesar de que no lo sea a nivel de los inversionistas individuales.

La clave es que el riesgo de liquidez es intuitivamente un riesgo com-pletamente diversiÞcable.

13.6 La Teoría de Información de la Politicade Dividendos

¿Cuál es la idea?

Para evitar futuras reducciones en el pago de dividendos, las Þrmasseleccionan bajos niveles de "dividend yield"

¡DP

¢y los incrementa si y

sólo si la administración se encuentra convencida que los ßujos opera-cionales futuros serán capaces de pagar dividendos más altos.

La conclusión es que los dividendos son una señal ruidosa de la asimetríade información superior que maneja la administración con respecto alos inversionistas externos.

Caídas en dividendos reducen el valor de la Þrma, mientras que mayoresdividendos incrementan el valor de la empresa.

Lo relevante es que esto no es una implicancia de los dividendos en sí,sino que por el contrario de la señal informativa que genera acerca delas perspectivas futuras de utilidades (que es lo que realmente importaen términos del valor actual de las Þrmas).

13.7 Existencia de Problemas de Agencia Un problema de agencia surge cuando distintos agentes económicostienen distintos objetivos para un mismo instrumento. En este caso,

13.8 CONCLUSIÓN 135

administración y accionistas tienen objetivos distintos para los rema-nentes de caja por sobre el gasto en inversión.

Los costos reales de agencia son una función de la magnitud de losremanentes de caja operacional por sobre el gasto en inversión.

Incrementos en dividendos reducen estos remanentes de caja, tal quereduce los costos de agencia y por tanto incrementa el valor de la Þrma.Por su parte, caídas en dividendos hace crecer los remanentes de cajatal que suben los costos de agencia y se reduce el valor de la Þrma.

Alternativamente, los costos de agencia también se reducen cuando lasÞrmas acuden con mayor frecuencia al mercado de capitales al inducirun monitoreo más exigente sobre la administracion. De esta forma,Þrmas que pagan dividendos más altos deben recurrir al mercado decapitales con nuevas emisiones de capital, tal que empresas con altastasas de pagos de dividendos tendrán menores costos de agencia.

La conclusión de esto último es que los dividendos constituyen un muybuen mecanismo para reducir los costos de agencia y por lo tanto supago tiende a incrementar (todo lo demás constante) el valor de laÞrma.

13.8 Conclusión Para comprender los efectos de la política de dividendos sobre el valorde las Þrmas es necesario entender los costos y beneÞcios asociados alpago de dividendos.

Altos niveles de dividendos implican mayores pagos de impuestos (malo)y visitas muy frecuentes al mercado de capitales que generan mayorescostos de transacción (malo) pero que también reducen los costos deagencia (bueno).

Cambios en dividendos proveen una señal al mercado de la mejor in-formación que maneja la administración acerca de las perspectivas deßujos operacionales futuros, tal que un mayor (menor) reparto de div-idendos incrementa (reduce) el valor de la empresa.

apuntes finanzas

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