apuntes_de_teoria_de_estructuras_i.pdf

8/18/2019 Apuntes_de_Teoria_de_Estructuras_I.pdf

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UNIVERSIDAD DE LEÓN

ESCUELA DE INGENIERÍASINDUSTRIAL E INFORMÁTICA

TRABAJO FIN DE CARRERA

“APUNTES DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS”

María Paz González CastroJunio 2009


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Este trabajo de APUNTES DE CÁLCULO DE ESTRUCTURAS ha sido

redactado como Trabajo Fin de Carrera de María Paz González Castro, alumna de la

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de León en la especialidad de

Estructuras e Instalaciones Industriales.

La tutoría para la realización de este trabajo la ha llevado a cabo el profesor D.

Ismael de Castro Patán.

Tutor del proyecto VºBº Oficina técnica

Fdo. Ismael de Castro Patán Fdo. Dr. Manuel Castejón Limas

Autora del proyecto

Fdo. María Paz González Castro


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INTRODUCCIÓN.

El presente Trabajo Fin de Carrera tiene como principal objetivo explicar en que

consiste el Cálculo de Estructuras, así como los métodos utilizados para la resolución de

las mismas y la demostración de como se emplean estos métodos a la hora de resolverlos ejercicios que se puedan encontrar en la asignatura de Cálculo de Estructuras

impartida por D. Ismael Castro Patán en la Escuela de Ingenierías Industrial e

Informática de la Universidad de León.

Dicho trabajo tiene como principal finalidad la de servir al alumno de apoyo para

comprender el comportamiento de las estructuras y ayudarle a entender mejor dicha

asignatura con el fin de poderla superar con éxito.

Cada capitulo contiene una serie de lecciones, las cuales explican de forma clara y

ordenada al alumno los diferentes modos de resolver estructuras y para ello al finalizar

cada lección se muestra al alumno un ejemplo practico para su fácil compresión.

El trabajo está estructurado en capítulos como hemos dicho, y principalmente hemos

dividido los capítulos en tres bloques: el primero relativo a las estructuras articuladas, el

segundo a las estructuras reticuladas y el tercero al cálculo matricial de estructuras.

Dentro de cada bloque se explican los diferentes conceptos para que el alumno pueda

entender y resolver cualquier cuestión o ejercicio que se le presente.

A pesar de que ya existe algún ejemplar de este tipo sobre esta asignatura de años

anteriores, en la presente edición he intentado explicar de forma más detallada todos los

métodos empleados para la resolución manual de los ejercicios. Así como los ejemplos

incluidos, que espero conocer mejor y sirvan para que el alumno que consulte este

trabajo tenga mayor facilidad a la hora de superar la asignatura. Decir también que en

está nueva edición se han modificado algunas de las lecciones por motivo de la entrada

en vigor del Código Técnico de la Edificación (CTE), que afecta al tema de acciones a

considerar en edificación.

Espero que este Trabajo Fin de Carrera sea de ayuda para futuros ingenieros.


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CONCLUSIÓN.

Una vez redactado este Trabajo Fin de Carrera he llegado a la conclusiónde que la explicación de la asignatura es clara y los ejemplos mostrados se

resuelven de forma sistemática y que al alumno le resultarán comprensibles para

llegar a entender el funcionamiento de las estructuras.

Estos apuntes se estructuran de forma que los métodos clásicos de Cálculo

de estructuras ocupan los dos primeros trimestres y los métodos modernos el

ultimo.

Una vez redactados estos apuntes he sacado la conclusión de que los

métodos clásicos enseñan al alumno los conceptos sobre el funcionamiento de las

estructuras y los métodos modernos aportan menos desde el punto de vista

conceptual pero son de gran utilidad en la resolución práctica de estructuras

reales.


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AAPPUUNNTTEESS DDEE CCÁÁLLCCUULLOO DDEE EESSTTRRUUCCTTUURRAASS

1

INDICE GENERAL

Índice 1Índice de figuras 4

Índice de tablas 15

Programa de la asignatura 16

CAPÍTULO I.-INFORMACIÓN Y CONOCIMIENTOS PREVIOS.

Lección 1.- Introducción 23

Lección 2.- El Cálculo de Estructuras 26

Lección 3ª.-Evolución histórica de las estructuras y de los métodos de cálculo 33Lección 4ª.- Hipótesis básicas 37

CAPÍTULO II.- DATOS DE ENTRADA EN EL PROCESO DE CÁLCULO.

Lección 5ª.-Materiales empleados en las estructuras 43

Lección 6ª.- Acciones a considerar en el cálculo de estructuras 46

Lección 7ª.- Acciones a considerar en el cálculo de estructuras de edificación 52

CAPITULO III.- ESTÁTICA GRÁFICA.

Lección 8ª.-Elementos de estática en el plano 58

Lección 9ª.- Elementos de estática en el plano. (Continuación) 61

CAPÍTULO IV.- CÁLCULO DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS.

Lección 10.- Estructuras articuladas planas 68

Lección 11.- Estructuras articuladas planas isostáticas 78

Lección 12ª.- Método de cálculo de celosías simples 88

Lección 13ª.- Métodos para el cálculo de celosías compuestas 97Lección 14ª.- Casos específicos de barras y acciones 108

Lección 15ª.- Deformación de estructuras articuladas planas isostáticas 116

Lección 16ª.- Estructuras articuladas planas estáticamente indeterminadas. Cálculo

de incógnitas hiperestáticas externas 129

Lección 17ª.- Estructuras articuladas planas estáticamente indeterminadas. Cálculo

de incógnitas hiperestáticas internas 140

Lección 18ª.- Deformación de estructuras articuladas planas hiperestáticas 149


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2

Lección 19ª.- Estructuras articuladas planas con barras curvas 157

Lección 20ª.- Estructuras articuladas espaciales 161

CAPITULO V.- ESTRUCTURAS RETICULADAS DE NUDOS RÍGIDOS.

Lección 21ª.- Repaso de vigas hiperestáticas 166

Lección 22ª.- Repaso de vigas hiperestáticas (Continuación) 173

Lección 23ª.- Pórticos simples 181

Lección 24ª.-Método de las fuerzas para pórticos simples traslacionales de primer

grado. 191

Lección 25ª.- Método de Cross.-Conceptos fundamentales 194Lección 26ª.-Repartición de momentos en un nudo 203

Lección 27ª.- Explicación teórica del método de Cross y forma de aplicarlo en

estructuras intraslacionales 209

Lección 28ª.- Simplificaciones al método de Cross 225

Lección 29ª.-Método de la rigidez en estructuras intraslacionales 239

Lección 30ª.- Método de la rigidez en estructuras intraslacionales (Continuación) 241

Lección 31ª.-Casos especiales en el método de Cross. 249

Lección 32ª.- Aplicación de los métodos anteriores a estructuras trasnacionales 252

Lección 33ª.- Aplicación de los métodos anteriores a estructuras trasnacionales

(Continuación). 270

CAPÍTULO VI.- PIEZAS PRISMÁTICAS DE DIRECTRIZ CURVA.

Lección 34ª.- Arcos isostáticos. 273

Lección 35ª.- Arcos hiperestáticos. 277CAPÍTULO VII.- LÍNEAS DE INFLUENCIA.

Lección 36ª.- Líneas de influencia. Conceptos generales 292

Lección 37ª.- Línea de influencia de movimientos y deformaciones en arcos. 301

Lección 38ª.- Líneas de influencia en estructuras articuladas 307

CAPÍTULO VIII.- CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Lección 39ª.- Introducción. 311

Lección 40ª.- Principios Generales. 318


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3

Lección 41ª.- Sistema de coordenadas.- Matrices elementales 324

Lección 42ª.- El método directo de la rigidez 342

Lección 43ª.- Tratamiento de acciones exteriores no aplicadas en los nudos 350

Lección 44ª.- Algunos problemas particulares en el método directo de la rigidez 364

CAPITULO IX.- INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS

FINITOS.

Lección 45ª.- Introducción al cálculo de estructuras por el método de los elementos

finitos. 368

BIBLIOGRAFÍA 376


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4

INDICE DE FIGURAS

CAPÍTULO I.-INFORMACIÓN Y CONOCIMIENTOS PREVIOS.

Fig.1. 1 viga biapoyada. ............................................................................................. 27

Fig.1. 2 viga biapoyada con esfuerzos........................................................................ 28

Fig.1. 3 ley de axil, ejemplo 1 .................................................................................... 30

Fig.1. 4 ley de cortantes, ejemplo 1............................................................................ 30

Fig.1. 5 ley de flectores, ejemplo1 ............................................................................. 30

Fig.1. 6 Arco plano..................................................................................................... 41 Fig.1. 7 Esquema de arco. .......................................................................................... 41

Fig.1. 8. Esquema trigonométrico. ............................................................................. 42


Fig.3. 1 Dos fuerzas concurrentes. ............................................................................. 58

Fig.3. 2 Composición de varias fuerzas...................................................................... 59

Fig.3. 3 Fuerzas con igual línea de acción.................................................................. 59

Fig.3. 4 Equilibrio de fuerzas. .................................................................................... 60

Fig.3. 5 Composición de fuerzas no concurrentes...................................................... 61

Fig.3. 6 Composición de fuerzas de sentido opuesto. ................................................ 61

Fig.3. 7 Composición de tres o más fuerzas............................................................... 62

Fig.3. 8 Tres fuerzas cualquiera. ................................................................................ 62

Fig.3. 9 Polígono sumatorio. ...................................................................................... 63

Fig.3. 10 Polígono funicular....................................................................................... 64 Fig.3. 11 Aplicación de reacciones............................................................................. 65

Fig.3. 12 Arco Biarticulado y las reacciones de este.................................................. 66

Fig.3. 13 Descomposición de P en dos direcciones. .................................................. 67


Fig.4. 1 Ejemplo de estructura isostática e hiperestática............................................ 72

Fig.4. 2 Ejemplos de diferentes estructuras articuladas. ............................................ 72

Fig.4. 3 Celosía simple. .............................................................................................. 73


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5

Fig.4. 4 Celosía compuesta......................................................................................... 73

Fig.4. 5 Celosía compleja. .......................................................................................... 74

Fig.4. 6 Estructura crítica. .......................................................................................... 75

Fig.4. 7 Ejemplo de celosía compuesta. ..................................................................... 76

Fig.4. 8 Ejemplo de estructura crítica......................................................................... 77

Fig.4. 9 Estructura articulada simple. ......................................................................... 80

Fig.4. 10 Esquema de los nudos de la estructura........................................................ 80

Fig.4. 11 Estructura articulada e isostática................................................................. 81

Fig.4. 12 Estructura articulada con las reacciones en los nudos. ............................... 82 Fig.4. 13 Esquema trigonométrico del ejercicio......................................................... 82

Fig.4. 14 Estructura articulada de 7 barras. ................................................................ 88

Fig.4. 15 Esquema del método de Cremona............................................................... 89

Fig.4. 16 Resultado del método de Cremona. ............................................................ 90

Fig.4. 17 Celosía formada por cuadrados iguales. ..................................................... 91

Fig.4. 18 Celosía con corte m-n.................................................................................. 91

Fig.4. 19 Estructura con una sección A-A’. ............................................................... 93

Fig.4. 20 Estructura articulada formada por 5 barras. ................................................ 95

Fig.4. 21 Resolución del método de Cremona. .......................................................... 95

Fig.4. 22 Estructura articulada formada por 7 barras ................................................. 96

Fig.4. 23 Resolución por método gráfico. .................................................................. 96

Fig.4. 24 Celosía compuesta por varios triangulos. ................................................... 97

Fig.4. 25 Celosía formada por 9 barras. ..................................................................... 98 Fig.4. 26 Celosía en la cual se elimina un barra......................................................... 99

Fig.4. 27 Estructura articulada formada por 13 barras. ............................................ 101

Fig.4. 28 Estructura articulada con las reacciones en A y B. .................................. 102

Fig.4. 29 Corte m-n de la estructura del ejercicio. ................................................... 106

Fig.4. 30 Diagrama de flectores. .............................................................................. 107

Fig.4. 31 Diagrama de cortantes............................................................................... 107

Fig.4. 32 Estructura articulada cargada en una barra. .............................................. 108


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6

Fig.4. 33 Estructura articulada con cargas en los nudos. ......................................... 109

Fig.4. 34 Estructura articulada con una barra en forma de arco............................... 109

Fig.4. 35 Descomposición de estructura articulada con una barra en forma de arco.

.................................................................................................................................. 110

Fig.4. 36 Leyes de esfuerzos del arco....................................................................... 111

Fig.4. 37 Estructura articulada con una carga en la barra curva. ............................. 112

Fig.4. 38 Descomposición de estructura articulada con una carga en la barra curva.

.................................................................................................................................. 112

Fig.4. 39 Estructuras articuladas en forma de triangulo........................................... 113 Fig.4. 40 Ejemplo de cómo se moverían los nudos.................................................. 115

Fig.4. 41 Estructura articulada con una fuerza “F” en un extremo. ......................... 120

Fig.4. 42 Descomposición de la estructura articulada con una fuerza “F” en un

extremo. .................................................................................................................... 120

Fig.4. 43 Desplazamientos de los nudos. ................................................................. 122

Fig.4. 44 Ejemplo del método de Williot. ................................................................ 123

Fig.4. 45 Estructura articulada con una fuerza “F” en un extremo. ......................... 124

Fig.4. 46 Estados Isostáticos. ................................................................................... 125

Fig.4. 47 Estado cero. ............................................................................................... 125

Fig.4. 48 Estado “1”. ................................................................................................ 126

Fig.4. 49 Simplificación del estado “1”.................................................................... 127

Fig.4. 50 Viga AB con distintas hipótesis. ............................................................... 130

Fig.4. 51 Estructura Isostática. ................................................................................. 131 Fig.4. 52 Estructura hiperestática interna. ................................................................ 131

Fig.4. 53 Viga con tres apoyos. ................................................................................ 132

Fig.4. 54 Viga Biapoyada con carga “P”.................................................................. 132

Fig.4. 55 Viga con tres apoyos y carga inclinada “P”.............................................. 132

Fig.4. 56 Vigas de diferentes estados Isostáticos. .................................................... 133

Fig.4. 57 Viga hiperestática con una coacción superabundante............................... 133

Fig.4. 58 Viga con carga aplicada en “C”. ............................................................... 134


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7

Fig.4. 59 Estructura hiperestática externa. ............................................................... 135

Fig.4. 60 Estado “0” isostático. ................................................................................ 135

Fig.4. 61 Estado “1” con una fuerza aplicada en el extremo.................................... 136

Fig.4. 62 Estructura hiperestática externa con carga de 50 y 100kN. ...................... 137

Fig.4. 63 Estados en los que se descompone la estructura hiperestática externa. .... 138

Fig.4. 64 Estructura hiperestática interna con una barra más................................... 140

Fig.4. 65 Estructura hiperestática inicial. ................................................................. 141

Fig.4. 66 Estado isostático de la estructura. ............................................................. 141

Fig.4. 67 Estado de la incógnita hiperestática. ......................................................... 141 Fig.4. 68 Estructura hiperestática interna con carga de 50 y 100kN........................ 143

Fig.4. 69 Estado “0” de la estructura hiperestática................................................... 143


Fig.4. 71 Estado “1” con todas sus reacciones. ........................................................ 144

Fig.4. 72 Esquema para obtener L26. ........................................................................ 147

Fig.4. 73 Estructura hiperestática externa e interna. ................................................ 149

Fig.4. 74 Descomposición de los estados de la estructura hiperestática anterior..... 150

Fig.4. 75 Estructura hiperestática de grado tres. ...................................................... 152

Fig.4. 76 Descomposición de la estructura hiperestática de grado tres.................... 152


Fig.4. 78 Estructura hiperestática con barras curvas no cargadas. ........................... 158

Fig.4. 79 Descomposición de estructura hiperestática con barras curvas no cargadas.

.................................................................................................................................. 158 Fig.4. 80 Estructura hiperestática con barras curvas cargadas................................. 159

Fig.4. 81 Esquema de una viga empotrada y los momentos según los ejes X, Y, Z.162

Fig.4. 82 Tetraedro con apoyos y reacciones. .......................................................... 164


Fig.5. 1 Viga Biempotrada con carga uniforme. ...................................................... 167

Fig.5. 2 Descomposición de una viga biempotrada con carga uniforme. ................ 167

Fig.5. 3 Descomposición de una viga articulada...................................................... 167


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8

Fig.5. 4 Vigas conjugadas. ....................................................................................... 168

Fig.5. 5 Descomposición de lo anterior.................................................................... 168

Fig.5. 6 Viga Biempotrada inicial. ........................................................................... 169

Fig.5. 7 Diagrama Flector......................................................................................... 170

Fig.5. 8 Diagrama cortante. ...................................................................................... 170

Fig.5. 9 Viga empotrada-articulada con carga uniforme.......................................... 171

Fig.5. 10 Descomposición de la viga empotrada-articulada. ................................... 171

Fig.5. 11 Vigas conjugadas de la viga anterior. ....................................................... 172

Fig.5. 12 Conceptos de vigas simétricas y antimétricas........................................... 173 Fig.5. 13 Descomposición de estados simétricos y altimétricos. ............................. 175

Fig.5. 14 Viga biempotrada con un descenso diferencial en un apoyo. ................... 176

Fig.5. 15 Viga con articulaciones en lugar de empotramientos. .............................. 176

Fig.5. 16 Viga biarticulada. ...................................................................................... 177

Fig.5. 17 Viga biarticulada con reacciones. ............................................................. 177

Fig.5. 18 Descomposición de viga biarticulada. ...................................................... 178

Fig.5. 19 Vigas conjugadas de la anterior. ............................................................... 178

Fig.5. 20 Viga empotrada-articulada con descenso de un apoyo. ............................ 180

Fig.5. 21 Esquema de una estructura de edificación. ............................................... 181

Fig.5. 22 Estructura trasnacional con momento M aplicado.................................... 182

Fig.5. 23 Pórtico Simple intraslacional. ................................................................... 184

Fig.5. 24 Descomposición del pórtico simple. ......................................................... 184

Fig.5. 25 Estructura reticulada hiperestática. ........................................................... 186 Fig.5. 26 Estructura anterior soltando un empotramiento. ....................................... 186

Fig.5. 27 Pórtico formado por barras biarticuladas.................................................. 188

Fig.5. 28 Pórtico anterior con todas sus reacciones. ................................................ 189

Fig.5. 29 Equilibrio en un nudo................................................................................ 189

Fig.5. 30 Pórtico biarticulada con carga uniforme. .................................................. 190

Fig.5. 31 Pórtico trasnacional y equilibrio en un nudo de este. ............................... 191

Fig.5. 32 Pórtico trasnacional y deformada.............................................................. 192


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9

Fig.5. 33 Descomposición del pórtico en barras con las reacciones. ....................... 193

Fig.5. 34 Viga articulada-empotrada con un momento aplicado en un apoyo......... 195

Fig.5. 35 Viga con rigidez a flexión en el extremo “i”. ........................................... 195

Fig.5. 36 Muelle rígido. ............................................................................................ 196

Fig.5. 37 Viga articulada-empotrada con reacciones en sus extremos..................... 197

Fig.5. 38 Descomposición de la viga articulada-empotrada anterior. ...................... 197

Fig.5. 39 Teorema de la viga conjugada................................................................... 197

Fig.5. 40 Viga empotrada-articulada con un momento aplicado en la articulación. 199

Fig.5. 41 Viga biarticulada con momentos............................................................... 200 Fig.5. 42 Descomposición en estados de la viga anterior. ....................................... 200

Fig.5. 43 Viga articulada-empotrada y su descomposición...................................... 201

Fig.5. 44 Barras concurrentes en un punto............................................................... 203

Fig.5. 45 Barras aisladas con momentos en cada una de ellas. ................................ 204

Fig.5. 46 Pórtico con tres extremos empotrados. ..................................................... 206

Fig.5. 47 Pórtico intraslacional................................................................................. 209

Fig.5. 48 Estructura intraslacional con el nudo 2 sin fijar........................................ 210

Fig.5. 49 Momentos que se transmiten a los extremos. ........................................... 211

Fig.5. 50 Pórtico biempotrado con momentos inaplicados en los nudos. ................ 213

Fig.5. 51 Estructura con los momentos de cada nudo. ............................................. 215

Fig.5. 52 Esquema del nudo “2” con sus momentos aplicados. ............................... 216

Fig.5. 53 Equilibrio en el nudo 3.............................................................................. 217

Fig.5. 54 Diagrama de Flectores de ejercicio 3.1 ..................................................... 218 Fig.5. 55 Diagrama de Cortantes del ejercicio 3.1. .................................................. 219

Fig.5. 56 Diagrama de axiles del ejercicio 3.1. ........................................................ 219

Fig.5. 57 Pórtico biempotrado con momentos aplicados de 50kN·m. ..................... 220

Fig.5. 58 Esquema de las barras que componen la estructura.................................. 221

Fig.5. 59 Diagrama de flectores del ejercicio 3.2..................................................... 223

Fig.5. 60 Diagrama de cortantes del ejercicio 3.2. ................................................... 223

Fig.5. 61 Diagrama de axiles del ejercicio 3.2. ........................................................ 224


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10

Fig.5. 62 Deformada del pórtico............................................................................... 224

Fig.5. 63 Pórtico articulado-empotrado.................................................................... 225

Fig.5. 64 Barras 1-2 aislada. ..................................................................................... 225

Fig.5. 65 Viga conjugada de la anterior. .................................................................. 226

Fig.5. 66 Viga empotrada con momentos aplicados. ............................................... 227

Fig.5. 67 Pórtico con voladizo cargado.................................................................... 228

Fig.5. 68 Viga biarticulada con momentos aplicados. ............................................. 229

Fig.5. 69 Descomposición de viga biarticulada con momentos aplicados............... 229

Fig.5. 70 Viga con coeficientes de transmisión iguales. .......................................... 230 Fig.5. 71 Pórtico con barras de sección constante.................................................... 230

Fig.5. 72 Pórtico con un pilar en el eje.................................................................... 231

Fig.5. 73 Viga con estado de carga antimétrico. ...................................................... 232

Fig.5. 74 Mitad de la viga anterior con una ariculación........................................... 232

Fig.5. 75 Pórtico intrallacional antimétrico. ............................................................. 233

Fig.5. 76 Pórtico anterior dividido en dos. ............................................................... 233

Fig.5. 77 Estructura con cargas uniformes y puntual. .............................................. 234

Fig.5. 78 Empotramientos perfectos de cada una de las barras de la estructura. ..... 235

Fig.5. 79 Estructura articulada-empotrada con carga uniforme. .............................. 236

Fig.5. 80 Viga biarticulada con momentos Mi y M j. ................................................ 239

Fig.5. 81 Viga en la que gira solo el extremo “i”..................................................... 239

Fig.5. 82 Considerando que el extremos “j” de la viga es el que gira...................... 240

Fig.5. 83 Pórtico con momentos M1, M2, M3 y M4 aplicados en los nudos. ............ 242 Fig.5. 84 Pórtico con momentos aplicados en los nudos y en las barras. ................ 243

Fig.5. 85 Representación en el pórtico de los momentos que intervienen en “2”.... 244

Fig.5. 86 Pórtico biempotrado con momentos de 60 y 30kN·m aplicados. ............. 246

Fig.5. 87 Estructura en la cual se produce un asiento en un apoyo.......................... 249

Fig.5. 88 Estados en los que se descompone la estructura anterior.......................... 250

Fig.5. 89 Pórtico trasnacional con cargas puntuales. ............................................... 252

Fig.5. 90 Estructura trasnacional en movimiento..................................................... 252


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11

Fig.5. 91 Viga biempotrada de sección variable. ..................................................... 253

Fig.5. 92 Pórtico trasnacional moviéndose una distancia “d”. ................................. 254

Fig.5. 93 Descomposición del pórtico trasnacional en estados. ............................... 254

Fig.5. 94 Estados paramétricos o intraslacionales.................................................... 255

Fig.5. 95 Pórtico trasnacional dividido en tres estados. ........................................... 255

Fig.5. 96 Pórtico traslacional con las cargas indicadas. ........................................... 256

Fig.5. 97 Estados paramétricos del pórtico inicial. .................................................. 257

Fig.5. 98 Estado paramétrico 0). .............................................................................. 257

Fig.5. 99 Esquema para calcular los esfuerzos del estado “0”. ................................ 260 Fig.5. 100 Estado paramétrico “1”. .......................................................................... 261

Fig.5. 101 Esquema para calcular los esfuerzos del estado “1”. .............................. 263

Fig.5. 102 Estado paramétrico “2”. .......................................................................... 264

Fig.5. 103 Esquema para calcular los esfuerzos del estado “2”. .............................. 266

Fig.5. 104 Diagrama de Flectores............................................................................. 268

Fig.5. 105 Diagrama de cortantes............................................................................. 269

Fig.5. 106 Diagrama de axiles.................................................................................. 269

Fig.5. 107 Descomposición del pórtico en tres estados y equilibrar los cortantes... 270

Fig.5. 108 Pórtico con 6 barras................................................................................. 271

Fig.5. 109 Ejemplo de este tipo de estructuras. ........................................................ 272


Fig.6. 1 Arco en el cual se representa la línea de presiones..................................... 273

Fig.6. 2 Esquema del núcleo central......................................................................... 274 Fig.6. 3 Estructura con una barra curva cargada. ..................................................... 274

Fig.6. 4 Descomposición de la estructura con barra curva cargada. ........................ 275

Fig.6. 5 Arco biapoyado y con una rotula en el medio. ........................................... 276

Fig.6. 6 Arco con una carga uniforme “q”. .............................................................. 277

Fig.6. 7 Ley de cargas del peso propio..................................................................... 278

Fig.6. 8 Estructura con arco y un tirante. ................................................................. 279

Fig.6. 9 Arco con tirante que se desplaza una distancia “d”. ................................... 279


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12

Fig.6. 10 Arco con tirante y con espesor determinado. ............................................ 279

Fig.6. 11 Tirante con fuerza “F”............................................................................... 280

Fig.6. 12 Sección del arco con “F” contraria al tirante. ........................................... 280

Fig.6. 13 Arco biempotrado con directriz curva. ..................................................... 281

Fig.6. 14 Descomposición del arco biempotrado..................................................... 281

Fig.6. 15 Arco biarticulado con carga uniforme d 30kN/ml. ................................... 282

Fig.6. 16 Estructura del caso A) ............................................................................... 282

Fig.6. 17 Arco en el que se considera solo una sección con carga........................... 283

Fig.6. 18 Diagrama de cortantes del caso A). .......................................................... 284 Fig.6. 19 Diagrama de axiles del caso A)................................................................. 285

Fig.6. 20 Diagrama de flectores del caso A). ........................................................... 286

Fig.6. 21 Estructura del caso B). .............................................................................. 286

Fig.6. 22 Diagrama de axiles del caso B)................................................................. 290

Fig.6. 23 Diagrama de flectores del caso B). ........................................................... 290

Fig.6. 24 Diagrama de cortantes del caso B)............................................................ 291

CAPÍTULO VII.- LÍNEAS DE INFLUENCIA.

Fig.7. 1 Arco con carga P. ........................................................................................ 293

Fig.7. 2 Viga con carga puntual a una distancia “x” del extremo A. ....................... 294

Fig.7. 3 Leyes de flectores de la viga anterior.......................................................... 294

Fig.7. 4 Viga con carga P=1. ................................................................................... 295

Fig.7. 5 Esquema del momento flector y la línea de influencia. .............................. 295

Fig.7. 6 Estructura con una carga unidad. ................................................................ 296 Fig.7. 7 Tramo x: (0, l) ............................................................................................ 297

Fig.7. 8 Tramo x: (0, l). ............................................................................................ 297

Fig.7. 9 Estructura en la que desplazamos la carga “1” al centro. ........................... 297

Fig.7. 10 Representación de la línea de influencia de la estructura. ........................ 298

Fig.7. 11 Estructura con tirante. ............................................................................... 299

Fig.7. 12 Estructura con tirante y su reacción respectiva......................................... 299

Fig.7. 13 tramo x (0, l). ............................................................................................. 300


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13

Fig.7. 14 Esquema de la línea de influencia de la estructura inicial. ....................... 300

Fig.7. 15 Viga biarticulada con carga unidad movil. ............................................... 301

Fig.7. 16 Esquema de dos cuerpos en los que se aplica una fuerza. ........................ 302

Fig.7. 17 Resultado de la línea de influencia o flecha.............................................. 302

Fig.7. 18 Pórtico con carga unidad moviéndose horizontalmente. .......................... 303

Fig.7. 19 Pórtico con la carga unidad en el voladizo. .............................................. 303

Fig.7. 20 Simplificación en el voladizo de la carga unidad. .................................... 304

Fig.7. 21 Descomposición del pórtico cuando la carga esta entre (0, 2l)................. 304

Fig.7. 22 Línea de influencia del pórtico inicial....................................................... 306 Fig.7. 23 Estructura articulada isostática con carga unidad móvil. .......................... 307

Fig.7. 24 Estructura isostática con reacciones en los apoyos................................... 307

Fig.7. 25 Barra C-D con la carga unidad.................................................................. 308

Fig.7. 26 Corte en la estructura isostática................................................................. 308

Fig.7. 27 Sección de la estructura para obtener NAB. ............................................... 309

Fig.7. 28 Línea de influencia de la estructura isostática. ......................................... 310

Fig.7. 29 Esquema del teorema de reciprocidad de Maxwell. ................................. 310


Fig.8. 1 Dibujo de un muelle.................................................................................... 315

Fig.8. 2 Barra de un pórtico plano............................................................................ 316

Fig.8. 3 Paralelepípedo infinitesimal........................................................................ 318

Fig.8. 4 Tetraedro con fuerzas en sus caras opuestas............................................... 319

Fig.8. 5 Relaciones: Fuerza-Desplazamiento y tensión-deformación...................... 322 Fig.8. 6 Viga hiperestática con una fuerza puntual en el medio. ............................. 324

Fig.8. 7 Descomposición de la viga anterior en suma de dos. ................................ 324

Fig.8. 8 Estructura hiperestática con una fuerza inclinada “F” aplicada en “A”. .... 325

Fig.8. 9 Sistema con ejes cartesianos. ...................................................................... 326

Fig.8. 10 Sistema con ejes globales.......................................................................... 327

Fig.8. 11 Sistema local en el pórtico dado................................................................ 328

Fig.8. 12 Sistema local ............................................................................................. 328


18/379


14

Fig.8. 13 Pórtico con su sistema de referencia correspondiente. ............................. 329

Fig.8. 14 Viga empotrada con cargas en el extremo B............................................. 329

Fig.8. 15 Descomposición de la viga anterior. ........................................................ 330

Fig.8. 16 Viga empotrada en la que hay un desplazamiento vertical. ...................... 330

Fig.8. 17 Viga empotrada con momentos aplicados en los extremos. ..................... 331

Fig.8. 18 Vigas con diferentes movimientos aplicados............................................ 332

Fig.8. 19 Barra correspondiente a un pórtico plano. ................................................ 333

Fig.8. 20 Estado de carga de la viga a)..................................................................... 333

Fig.8. 21 Estado de carga de la viga b)..................................................................... 334 Fig.8. 22 Estado de carga de la viga c)..................................................................... 335

Fig.8. 23 Transformación de coordenadas planas a coordenadas con ángulo α. ..... 337

Fig.8. 24 Coordenadas en un extremo para un plano empotrado............................. 338

Fig.8. 25 Elemento con 6 coordenadas..................................................................... 339

Fig.8. 26 Sección variable. ....................................................................................... 341

Fig.8. 27 Descomposición del pórtico en diferentes combinaciones de elementos. 342

Fig.8. 28 Barra en coordenadas globales.................................................................. 343

Fig.8. 29 Pórtico biempotrado con cargas y momento aplicados en nudo “2”. ....... 344

Fig.8. 30 Pórtico biempotrado de tres barras............................................................ 347

Fig.8. 31 Pórtico biempotrado con carga uniforme en una de sus barras. ............... 350

Fig.8. 32 Descomposición del pórtico biempotrado con carga uniforme. ............... 351

Fig.8. 33 Barra en la que hay coordenadas globales y locales. ................................ 352

Fig.8. 34 Representación de vectores en las siguientes barras................................. 353 Fig.8. 35 Pórtico en el que desciende un apoyo. ...................................................... 353

Fig.8. 36 Pórtico con un incremento de temperatura en una barra........................... 355

Fig.8. 37 Ejes coordenados con ∆=3cm. .................................................................. 356

Fig.8. 38 Pórtico biempotrado que habrá que calcular............................................. 357

Fig.8. 39 Pórtico con carga uniforme q=20kN/ml.................................................... 361

Fig.8. 40 Descomposición del pórtico con carga uniforme de 20kN/ml.................. 362

Fig.8. 41 Pórtico con sistema de referencia local..................................................... 364


19/379


15

Fig.8. 42 Apoyo elastomérico. ................................................................................. 366

Fig.8. 43 Pórtico con libertades................................................................................ 367

Fig.8. 44 Descomposición de la barra 2-3................................................................ 367

CAPITULO IX.- INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS

FINITOS.

Fig.9. 1 Placa empotrada en los extremos. ............................................................... 370

Fig.9. 2 Túnel de carretera........................................................................................ 370

Fig.9. 3 Esquema de una malla................................................................................. 374

Fig.9. 4 Viga con dos apoyos fijos. .......................................................................... 375

INDICE DE TABLAS.

Tabla 1 del ejercicio. .................................................................................................. 87

Tabla 2. Esfuerzos de las barras. .............................................................................. 105

Tabla 3 Esfuerzos del estado cero. ........................................................................... 126

Tabla 4. Esfuerzos de los estados “0” y “1”............................................................. 138

Tabla 5. Esfuerzos de los diferentes estados del ejercicio. ...................................... 147

Tabla 6. Representa los esfuerzos de los cuatro estados. ......................................... 156

Tabla 7. Representa todos los nudos de la estructura y los diferentes cálculos

realizados.................................................................................................................. 214

Tabla 8. Representa los nudos del ejercicio con todos sus datos. ............................ 221

Tabla 9. Representa los nudos de la viga y datos para aplicar Cross. ...................... 236 Tabla 10. Representa los nudos de la fig.5.78.......................................................... 238

Tabla 11 Representa los nudos del estado 0). .......................................................... 259

Tabla 12 Representa el método de Cross del estado 1 ............................................ 262

Tabla 13 Representa Cross en estado 2 .................................................................... 265

Tabla 14 Momentos de todas las barras. .................................................................. 267

Tabla 15 Esfuerzos axil y cortante de las barras. ..................................................... 268


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16

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA.

CAPITULO I.- INFORMACIÓN Y CONOCIMIENTOS PREVIOS

Lección 1ª.- Introducción.

Organización del curso.- Objetivos generales.-Programa de la asignatura.-

Bibliografía comentada.

Lección 2ª.-El cálculo de estructuras.

Definición de estructuras.- Relación con las asignaturas afines.- Conocimientos

necesarios.-Comentarios al programa.- Diseño y cálculo.

Lección 3ª.-Evolución histórica de las estructuras y de los métodos de cálculo.

Clasificación de las estructuras.-Evolución de las estructuras.-Evolución de los

métodos de cálculo.- Evolución de los métodos de dimensionamiento.-El futuro

de los tipos estructurales.

Lección 4ª.- Hipótesis básicas.

Idealización de las estructuras para el cálculo.- Idealización geométrica del

material, del comportamiento mecánico y de las fuerzas actuantes.-Simplificación de las estructuras.- Predimensionamiento.- Estabilidad y

resistencia.- E. de aplicación.

CAPÍTULO II.- DATOS DE ENTRADA EN EL PROCESO DE

CÁLCULO.

Lección 5ª.-Materiales empleados en las estructuras.

Características, utilización histórica, ventajas e inconvenientes, normativa

aplicable en los siguientes materiales: Materiales pétreos.-Madera.-Acero.-

Hormigón.-Otros materiales resistentes.

Lección 6ª.- Acciones a considerar en el cálculo de estructuras.

Definición y generalidades.-Tipos de acciones.-Normativa a aplicar.-Valores

característicos y ponderados. -Seguridad Industrial.- Hipótesis de carga.


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17

Lección 7ª.- Acciones a considerar en el cálculo de estructuras de edificación.

-Acciones en la edificación, según el Documento Básico SE-AE.

-Acciones permanentes.-Peso propio, pretensazo, acciones del terreno.

-Acciones variables.-Sobrecarga de uso, viento, nieve, acciones térmicas.

-Acciones accidentales.-Sismo, incendio, impacto.


Lección 8ª.-Elementos de estática en el plano.Definiciones generales.- Composición de fuerzas concurrentes.-Composición de

fuerzas de igual línea de acción.- Equilibrio de tres fuerzas.- Ecuaciones de

equilibrio.

Lección 9ª.- Elementos de estática en el plano. (Continuación).

Composición de fuerzas no concurrentes.- Polígonos sumatorio y funicular.-

Propiedades.- Aplicación al cálculo de reacciones.- Ejercicios de aplicación.


Lección 10.- Estructuras articuladas planas.

Sistemas articulados .- Isostáticos, hipostáticos e hiperestáticos.- Teoría general

de los sistemas articulados planos.- Relación entre el número de barras y el

número de nudos.- Tipos principales.- Celosías simples, compuestas ycomplejas.- Estructura crítica.- Ejercicios de aplicación.

Lección 11.- Estructuras articuladas planas isostáticas.

Métodos para el cálculo de celosías simples. Cálculo de reacciones.- Analítico y

gráfico.- Cálculo de esfuerzos en las barras.- Método analítico de los nudos.-

Planteamiento general del problema.- Proceso en ordenador.- Ejercicios de

aplicación.


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18

Lección 12ª.- Método de cálculo de celosías simples.

Método gráfico de los nudos o diagrama de Maxwel o Cremona.- Métodos de las

secciones : método de Culman, método de Ritter.- Ejercicios de aplicación.

Lección 13ª.- Métodos para el cálculo de celosías compuestas.

Celosías compuestas.- Método para el cálculo de celosías complejas.- Método de

Henneberg.- Método general de los desplazamientos virtuales.- Ejercicios de

aplicación.

Lección 14ª.- Casos específicos de barras y acciones.

Barras rectas cargadas. Barras curvas. Acciones térmicas.-Movimientosimpuestos. Ejercicios de aplicación.

Lección 15ª.- Deformación de estructuras articuladas planas isostáticas.

Generalidades. Movimiento de un nudo.- Método Castigliano.- Métodos

gráficos.- Método gráfico de Williot.- Ejercicios de aplicación.

Lección 16ª.- Estructuras articuladas planas estáticamente indeterminadas.

Cálculo de incógnitas hiperestáticas externas.

Estructuras hiperestáticas externas.- Estructuras hiperestáticas internas.-

Hiperestáticas externas o de coacciones superabundantes.- Método de cálculo

por aplicación del teorema de Castigliano.- Ejercicios de aplicación.

Lección 17ª.- Estructuras articuladas planas estáticamente indeterminadas.

Cálculo de incógnitas hiperestáticas internas.

Cálculo de incógnitas hiperestáticas internas.- Aplicación de Castigliano,

suprimiendo barras.- Cálculo de esfuerzos por efecto de variaciones de tª, pordefectos de montaje, movimientos impuestos.- Ejercicios de aplicación.

Lección 18ª.- Deformación de estructuras articuladas planas hiperestáticas.

Obtención de los movimientos en los nudos por el método de Castigliano

aplicado a las estructuras hiperestáticas.- Obtención de los movimientos en los

nudos como suma de estados en que se descompone la estructura hiperestática

para el cálculo de esfuerzos por cualquiera de los métodos citados

anteriormente.- Ejercicios de aplicación.


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19

Lección 19ª.- Estructuras articuladas planas con barras curvas.

Generalidades.- Estructura hiperestática con barras curvas no cargadas.-

Estructura hiperestática con barras curvas cargadas.

Lección 20ª.- Estructuras articuladas espaciales.

Teoría general.- Fuerzas concurrentes en el espacio.- Mecanismo, isostaticidad e

hiperestaticidad.-Análisis del equilibrio en un nudo.- Mallas espaciales.-

Ejercicios de aplicación.


Lección 21ª.- Repaso de vigas hiperestáticas.

Introducción.- Obtención de esfuerzos en vigas biempotradas con cualquier tipo

de carga.- Obtención de esfuerzos de vigas empotradas-articuladas con cualquier

tipo de carga.-Ejercicios de aplicación.

Lección 22ª.- Repaso de vigas hiperestáticas (Continuación)

Concepto de simetría y antimetría.- Obtención de esfuerzos en una viga

biempotrada con descenso diferencial de apoyos.- Obtención de esfuerzos en una

viga empotrada articulada por descenso de apoyos.

Lección 23ª.- Pórticos simples.

Generalidades.- Traslacionalidad e intraslacionalidad.- Grado de

traslacionalidad.- Métodos de las fuerzas para pórticos simples intraslacionales.-

Método de Castigliano.- Método de igualación de ángulos.- Ejercicios deaplicación.

Lección 24ª.-Método de las fuerzas para pórticos simples traslacionales de primer

grado.

Método de Castigliano.- Método de reacciones nulas.- Método de igualación de

cortantes.- Ejercicios de aplicación.

Lección 25ª.- Método de Cross.-Conceptos fundamentales.


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20

Generalidades.-Concepto de rigidez y de factor de transmisión.- Rigidez de una

pieza articulada-empotrada.- Cálculo de la rigidez y del factor de transmisión.-

Ejercicios de aplicación.

Lección 26ª.-Repartición de momentos en un nudo.

Coeficientes de reparto del momento.-Giro del nudo.-Comprobación de igualdad

de giros en las barras.- Ejercicios de aplicación.

Lección 27ª.- Explicación teórica del método de Cross y forma de aplicarlo en

estructuras intraslacionales.

Aplicación práctica del método para el cálculo de esfuerzos a estructurasintraslacionales.-Cálculo de giros de los nudos.- Ejercicios de aplicación.

Lección 28ª.- Simplificaciones al método de Cross.

Barras con un extremo articulado.- Barras rígidamente empotradas en un

extremo.- Voladizo cargado.- Simplificaciones por simetría.- Rigidez de una

pieza simétrica.- Simplificaciones por antimetría .- Rigidez de una pieza

antimétrica.- Ejercicios de aplicación.

Lección 29ª.-Método de la rigidez en estructuras intraslacionales

Relación entre momentos y giros en los extremos de una barra.

Lección 30ª.- Método de la rigidez en estructuras intraslacionales (Continuación)

Ecuación matricial.- Cálculo de giros de los nudos.- Cálculo de momentos en los

extremos de las barras.- Ejercicios de aplicación.

Lección 31ª.-Casos especiales en el método de Cross.

Aplicación a casos especiales de acciones.- Asientos de apoyos.- Efectostérmicos.- Giros.- Ejercicios de aplicación.

Lección 32ª.- Aplicación de los métodos anteriores a estructuras traslacionales.

Grado de traslacionalidad.-Grupo cotraslacional.- Estados paramétricos.-

Métodos de las reacciones nulas. Ejercicios de aplicación.

Lección 33ª.- Aplicación de los métodos anteriores a estructuras traslacionales.

(Continuación).


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21

Método de los cortantes.- Esfuerzos y desplazamientos finales.- Casos especiales

de cargas.- Aplicación de simetrías y antimetrías.- Ejercicios de aplicación.


Lección 34ª.- Arcos isostáticos.

Generalidades.- Esfuerzos en barras curvas.- Elección de la curva directriz.-

Arcos isostáticos.- Arco triarticulado.

Lección 35ª.- Arcos hiperestáticos.Arco biarticulado con directriz circular o parabólica.- Arco biarticulado con

tirante recto.- Arco biempotrado con directriz circular o parabólica.- Ejercicios de

aplicación.

CAPÍTULO VII.- LÍNEAS DE INFLUENCIA.

Lección 36ª.- Líneas de influencia. Conceptos generales

Introducción .- Concepto de línea de influencia.- Definición de línea de

influencia.- Línea de influencia de esfuerzos (axil, cortante, momento flector).

Ejercicio de aplicación.

Lección 37ª.- Línea de influencia de movimientos y deformaciones en arcos.

Teorema de la reciprocidad de Maxwell.-Ejercicios de aplicación.

Lección 38ª.- Líneas de influencia en estructuras articuladas.Líneas de influencia del esfuerzo axil en estructuras articuladas isostáticas. –

Desplazamiento de un nudo en estructuras isostáticas.


Lección 39ª.- Introducción.


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22

Consideraciones generales.- Métodos matriciales.- Discretización.- Elementos y

nodos.- Grados de libertad.- Coordenadas.- Concepto de rigidez y flexibilidad.

Lección 40ª.- Principios Generales.

Leyes y ecuaciones generales.- Equilibrio.- Relación movimiento-deformación.-

Compatibilidad. Ley de comportamiento.- Relación tensión-deformación.-

Trabajo y energía y sus partes complementarias.- Principio de los trabajos

virtuales.

Lección 41ª.- Sistema de coordenadas.- Matrices elementales.

Métodos de cálculo.- Sistema de coordenadas.- Matrices elementales de rigidez yflexibilidad.- Transformación de coordenadas.- Matriz de rigidez de elemento de

sección constante por tramos.

Lección 42ª.- El método directo de la rigidez.

El elemento y la estructura.- Ensamblaje de la Matriz de Rigidez de la

Estructura.- Aplicación de las condiciones de contorno.- Cálculo de reacciones.

Lección 43ª.- Tratamiento de acciones exteriores no aplicadas en los nudos.

Cargas aplicadas sobre los elementos.- Asentamiento de apoyos.- Cargas

térmicas.- Falta de ajuste en los elementos de la estructura.- Ejercicios de

aplicación.

Lección 44ª.- Algunos problemas particulares en el método directo de la rigidez.

Consideraciones previas.- Apoyos no concordantes.- Apoyos elásticos.- Barras

con libertades.

CAPITULO IX.- INTRODUCCIÓN AL MÉTODO DE LOS ELEMENTOSFINITOS.

Lección 45ª.- Introducción al cálculo de estructuras por el método de los

elementos finitos.

Introducción .- Discretización intuitiva de la estructura en elementos finitos.-

Conocimientos previos.- Principio de los trabajos virtuales.- Formulación directa

del principio de los trabajos virtuales.


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CAPÍTULO I. – INFORMACIÓN Y CONOCIMIENTOS PREVIOS

LECCIÓN 1.- INTRODUCCIÓN

1.

Organización del curso.

El curso se va a desarrollar en tres trimestres, los cuales constaran de varios

capítulos, en los que se incluyen varias lecciones.

El primer trimestre incluirá los cuatro primeros capítulos del temario, de loscuales tenemos que destacar el capítulo 4: Cálculo de estructuras articuladas,

por ser uno de los más importantes. Este trimestre se comenzará al principio del

curso y finalizará en diciembre con el correspondiente examen.

El segundo trimestre constará de los capítulos 5, 6 y 7, donde se hará hincapié en

el capítulo sobre estructuras de nudos rígidos. Este trimestre comenzará en enero

y finalizará en abril, también con su correspondiente examen.

El tercer trimestre incluye los dos últimos capítulos que se centran en el cálculo

matricial y una introducción al tema de los elementos finitos. Este trimestre será

de abril a junio.

2. Objetivos Generales.

El objetivo del cálculo de estructuras es saber la respuesta de una estructura a las

acciones que pueden ejercerse sobre ellas, es decir, es el estudio de la estabilidad

y resistencia de las construcciones teniendo en cuenta las acciones que hay que

soportar para lo cual no se podrán sobrepasar los límites establecidos.

Este objetivo se concreta en el cálculo de esfuerzos; que también se llaman

solicitaciones o fuerzas de sección (esfuerzos axiles, esfuerzos cortantes,

momento flector y momento torsor), en cualquier sección de una estructura y el

cálculo de movimientos en cualquier punto de la estructura.


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24

3.

Programa de la asignatura.

El programa está estructurado por capítulos que forman bloques temáticos y cada

capítulo consta de varias lecciones.

El Capítulo I de Información y conocimientos previos, como su nombre propio

indica, pretende realizar una introducción de la asignatura y consta de cuatro

lecciones.

El Capítulo II titulado “Datos de entrada en el proceso de cálculo” se refiere a

los datos que necesitamos antes de comenzar e cálculo, como son lascaracterísticas de los materiales y las acciones que intervienen.

El Capítulo III “Estática Grafica”, es cada vez menos utilizado, por lo que solo

dedicaremos dos lecciones.

El Capítulo IV “Cálculo de Estructuras articuladas” es el comienzo del cálculo

como tal, será el núcleo del primer trimestre.

El Capítulo V: “Estructuras reticuladas de nudos rígidos” hace referencia al

cálculo de estructuras de barras, unidas de tal forma que el nudo es rígido, es

decir, el ángulo entre las barras se mantiene. El método que estudiamos para

resolver estas estructuras es el método de Cross y será el núcleo del segundo

trimestre, en el cual veremos también los dos capítulos siguientes.

El Capítulo VI: “Piezas prismáticas de directriz curva” relativo a arcos

isostáticos e hiperestáticos en que su extensión será función de lo estudiado en

Resistencia de materiales.El Capítulo VII: “Líneas de influencia”. Este capítulo lo estamos limitando cada

vez más, ya que para esta especialidad no lo consideramos muy necesario.

El Capítulo VIII: “Cálculo matricial de estructuras” formará el núcleo del tercer

trimestre y es el capítulo que más importancia ha adquirido con el cálculo de

estructuras por ordenador.

El Capítulo IX: “Introducción al método de los elementos finito”, tiene como

finalidad únicamente iniciar al alumno en este campo.


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25

.

4.

Bibliografía comentada.

• Apuntes de Cálculo de Estructuras.- Disponible en fotocopiadora

de la Escuela.

• Problemas de Cálculo de Estructura. Disponible en fotocopiadora

de la Escuela.

• Problemas de Exámen de Cálculo de Estructuras. Disponible en

fotocopiadora de la Escuela.

• José Ramón González de Cangas y Avelino San Martín Quiroga.-

Cálculo de Estructuras, Colegio de Ingenieros de Caminos, Canales

y Puertos. 1.999.

• París F.- Cálculo Matricial de Estructuras.- Sección de

publicaciones de la ETS de I.I. de Madrid.


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27

3. Conocimientos necesarios.

Para estudiar esta asignatura es necesario tener conocimientos de las asignaturas

mencionadas anteriormente, sobre todo es fundamental tener conocimientos de

Elasticidad y Resistencia de Materiales y más concretamente en lo que se refiere

a Fuerzas ( composición, descomposición, equilibrio ) y a Esfuerzos ( axil,

cortante, momento flector y momento torsor) en cuanto a su concepto y efectos.

Los conocimientos de las asignaturas de apoyo mencionadas son necesarios en

temas concretos, como puede ser integración, derivadas parciales, álgebra

matricial, características del acero, del hormigón y proceso y lenguaje para

ejecutar y realizar un programa.

Repaso de Resistencia de Materiales:

Ejercicio: Dibujar las leyes de esfuerzo. (El ángulo de la carga P es 45º.)

Fig.1. 1 viga biapoyada.

La figura nos va a quedar de la siguiente manera:


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28

Fig.1. 2 viga biapoyada con esfuerzos.

Se trata a primera vista de una estructura hiperestática porque tiene 4 incógnitas y

de las ecuaciones de equilibrio no podremos obtener todas las incógnitas, ya que

solo tenemos 3 ecuaciones:

- ∑ = 0 xF : º45senPV V B A ⋅=+

- ∑ = 0 yF : 0º45cos =+⋅+ B A H P H

- 0=∑ z M : ( ) 04º45 =⋅+⋅⋅− lV lsenP B

Para resolver el sistema de ecuaciones y calcular así las 4 incógnitas,

necesitaremos de una ecuación de compatibilidad de movimientos.

La ecuación de compatibilidad será: 0=∆l , es decir, que la barra ni se alarga ni

se acorta.

De la ecuación:

- 0=∑ z M : 04º45 =⋅+⋅⋅− lV lsenP B

8

2PV B =⇒

Sustituyendo ese valor8

2PV B = en la primera ecuación obtenemos VA:

- ∑ = 0 xF : º45senPV V B A ⋅=+ 823 P

V A⋅

=⇒


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29

Como ya dijimos, la barra ni se alarga, ni se acorta, entonces para calcular las

reacciones horizontales utilizamos la siguiente ecuación: 0=∆l .

Siendo:

AE

l N l

·

·=∆

Entonces:

( ) ( )0

·

4 / 3·

·

4 / ··=+

−

AE

l H

AE

Ll H B A

Con la ecuación anterior y con la segunda ecuación de equilibrio, realizamos un

sistema de ecuaciones donde sacamos los valores de HA y HB:

0º45cos =+⋅+ B A H P H

( ) ( )0

·

4 / 3·

·

4 / ··=+

−

AE

l H

AE

Ll H B A

De este sistema hemos obtenido que:

HA=

8

2·P ; HB=

8

2··3 P

Una vez calculadas las reacciones las leyes de esfuerzos serán:


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30

Fig.1. 3 ley de axil, ejemplo 1

Fig.1. 4 ley de cortantes, ejemplo 1

Fig.1. 5 ley de flectores, ejemplo1

4. Comentarios al programa.

En este apartado se reforzará una vez que los alumnos han podido leer el

programa, lo dicho en la lección 1ª con preguntas sobre el mismo y desarrollo de

las partes que hayan quedado dudosas.


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31

5. Diseño y Cálculo.

“El nacimiento de de un conjunto estructural, resultado de un proceso creador,

fusión de técnica con arte, de ingenio con estudio, de imaginación con

sensibilidad, escapa del puro dominio de la lógica para entrar en las secretas

fronteras de la inspiración” dice Eduardo Torroja.

Esto quiere decir: que el diseño es técnica y arte, la técnica se puede estudiar,

pero el arte es el resultado del ingenio.

El proceso de diseño y construcción en la ingeniería puede dividirse en tres fases:

formulación de los requisitos funcionales, diseño y construcción.

Lo que nos interesa es la fase de diseño de una estructura, el objetivo ultimo de

esta fase es la determinación de su forma, la elección de los materiales y el

dimensionado y detallado de todos sus elementos, de manera que se satisfagan

unos criterios de diseño determinados.

Esta fase de diseño se descompone en varias partes:

1. Establecer el planteamiento general, para determinar los requisitosfuncionales de la estructura.

2. Considerar las diversas soluciones posibles que satisfagan estos requisitos.

3. Diseño estructural preliminar de las diversas soluciones posibles.

4. Elección de la solución más satisfactoria, teniendo en cuenta

consideraciones económicas, funcionales y estéticas.

5. Diseño detallado de la solución más satisfactoria.

A continuación tenemos un esquema de esta fase de diseño.


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32

Diseño previo

Esquema estructural.Idealización de la

estructura

Predimensionamiento(Material y

dimensiones)

Acciones a considerarCTE DB-SE AE

Estabilidad

Estática

Cálculo de esfuerzos yde movimientos

Obtención de tensiones

y deformaciones

SÍ

Aceptables

Diseño final

NO

Redefinición dela estructura

SÍ

NO

Datosde

entrada

Física

Cálculo deEstructuras

Elasticidad yResistencia de

Materiales

EstructurasMetálicas y

de Hormigón


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LECCIÓN 3ª.- EVOLUCIÓN HISTORICA DE LAS ESTRUCTURAS YDE LOS METODOS DE CÁLCULO.

1. Clasificación de las Estructuras.

Las estructuras se pueden clasificar atendiendo a diversos criterios.

Se puede realizar una clasificación según las acciones que vayan a soportar:

• Estáticas, si las acciones son estáticas.

• Dinámicas son las debidas a las aceleraciones, bien de una acción exterior

o bien de la propia estructura. Ejemplo de acciones dinámicas son lasproducidas por una estructura en movimientos como un cigüeñal de un

motor, terremotos, etc.

Teniendo en cuenta las relaciones entre sus dimensiones, las estructuras pueden

clasificarse en dos grupos:

• Estructuras Discretas: son aquellas que consisten en uno o más elementos

con una dimensión mucho más grande que las otras, pudiendo

considerarse que las cargas o los esfuerzos varían sólo a lo largo de la

dimensión mayor. Ejemplos de este tipo de estructuras son las vigas, los

pórticos, estructuras de barras de nudos articulados, etc.

• Estructuras Continuas: son aquellas en las que dos o tres dimensiones de

un elemento son comparables y las cargas y los esfuerzos varían a lo largo

de estas dimensiones. Ejemplo de estas estructuras son las placas, laminas,recipientes a presión y algunos elementos de maquinas.

Una última clasificación de estructuras podría ser de acuerdo con la forma de

unión de unos elementos con otros. Ejemplos: nudos articulados, nudos rígidos.

Según este criterio tambien se pueden clasificar en:

• Monodimensionales: cuando una dimensión predomina sobre las otras

dos.

• Bidimensionales: cuando dos dimensiones predominan sobre otra.


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• Tridimensionales: cuando no hay ninguna dimensión predominante.

2.

Evolución de las Estructuras.

Vamos a echar una ojeada a la evolución de las estructuras a lo largo de la

historia hasta la actualidad.

• En la antigüedad, los egipcios para sus construcciones usaban la piedra

caliza, granito y ladrillos; El sistema constructivo que utilizaban era depilares, columnas y dinteles.

• En la arquitectura griega clásica destacamos las construcciones de

columna y dintel. Los griegos avanzaron más en el arte de construir pero

su contribución a la teoría de las estructuras se limitó a las aportaciones de

filósofos como Arquímedes que fijó las bases de la mecánica estructural al

formular algunos principios fundamentales de la estática.

• Los romanos desarrollaron el arco, la bóveda, la cúpula, las cerchas de

madera y el hormigón. Los romanos eran originalmente constructores y se

hicieron muy competentes al desarrollar y utilizar ciertas formas

estructurales. Pero tuvieron escaso conocimiento del análisis de los

esfuerzos de estas formas, parece ser que no conocían el modo de

determinar la forma apropiada de los arcos y utilizaron arcos

semicirculares de pequeña luz.

• En la época Gótica se utilizaron los arcos apuntados y los aéreos botareles

en las catedrales construidas en Europa durante la Edad Media. En esta

época se aprecia mejor el concepto de estructura resistente y cerramiento.

• Época Moderna, vamos a destacar a una serie de personalidades

importantes como Leonardo Da Vinci quien comprendió ciertos aspectos

del comportamiento de los materiales estructurales y realizó los primeros

estudios sobre los problemas de flexión.


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Galileo Galilei en su última publicación “Dos nuevas ciencias”, fue el

primero en estudiar la resistencia de ciertos elementos estructurales,

incluyendo el fallo de una viga en voladizo.

Hooke en esta época enuncia la ley que lleva su nombre sobre los cuerpos

elásticos.

Investigadores posteriores como Coulomb, Bernoulli, Lagrange, aportaron

notables contribuciones al desarrollo teórico.

Navier estableció que es muy importante conocer el límite hasta el cual se

comportan elásticamente las estructuras, por lo que se concentró en laconsideración de este comportamiento elástico.

Maxwell y Mohr difunden el método de las fuerzas interrumpiendo el sistema

de Navier.

Castigliano establece su teorema que inmediatamente aplica al cálculo de

sistemas reticulares. Podemos mencionar también a Cremona, Culmann,

Engesser, Muller.

Utilización del acero en el siglo XIX.

Por ultimo diremos que en el siglo XX la aparición del hormigón armado da

un nuevo impulso a los estudios, aparecen nuevos materiales: el hormigón

pretensado, las aleaciones ligeras, plásticos reforzados con fibras de vidrio,

etc.

En este siglo Cross da a conocer su método de cálculo sobre estructuras

reticulares hiperestáticas.

3.

Evolución de los métodos de cálculo.

Los métodos que existen son dos:

Método de las fuerzas: se establece el número de fuerzas independientes

desconocidas y se las compara con el número de ecuaciones

independientes del equilibrio estático. Para resolver las fuerzasdesconocidas habrá que resolver el sistema de ecuaciones, formado


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LECCIÓN 4ª.-HIPÓTESIS BÁSICAS.

1. Idealización de las estructuras para el cálculo.

Ya vimos que este es el segundo paso en el proceso de creación de una

estructura. Se trata de hacer una serie de simplificaciones encaminadas a la

adaptación de la estructura para poder aplicar los métodos de cálculo que

conocemos en la forma más sencilla posible.

Por ejemplo, un edificio de viviendas es tridimensional pero podemos calcularlopor rebanadas bidimensionales, estableciendo los pórticos principales que

después uniremos convenientemente.

En una estructura articulada, suponemos que las barras son líneas que se unen

entre si por medio de pivotes.

En el cálculo de tensiones despreciamos las inevitables heterogéneas de los

materiales, especialmente el hormigón, que es uno de los materiales estructurales

más utilizados actualmente.

En definitiva, la idealización significa suponer a las estructuras y a los materiales

unas propiedades que quizá no sean del todo ciertas pero si suficientemente

aproximadas, por lo que intuimos que requiere unos conocimientos de base

sólidos para evitar errores que, en el mejor de los casos pueden ser costosos y en

el peor fatales.

2. Idealización geométrica del material, del comportamiento mecánico y

de las fuerzas actuantes. Simplificación de las estructuras.

Conviene recalcar que la idealización de las estructuras hace que cometamos

errores considerables antes incluso de comenzar el proceso de cálculo. Por esto

es muy importante conocer la naturaleza de estos errores y las posibles


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consecuencias que pueden acarrear para tenerlo en cuenta en el momento de

dimensionar y definir el diseño final.

3. Predimensionamiento.

Consiste en definir las secciones de las piezas que forman la estructura de forma

que soporten los esfuerzos a los que van a estar sometidas. Cada vez que

tengamos que hacerlo necesitaremos un proceso de cálculo, así que lo ideal seria

acertar en el primer intento. Sin embargo no resulta tan fácil ya que solo laexperiencia nos dará la habilidad necesaria para aproximarnos a unos márgenes

de error pequeños.

4. Estabilidad y Resistencia.

Lo primero que vamos a comprobar en una estructura es la estabilidad de esta,

para ello se tiene que cumplir que: la resultante de las fuerzas actuantes tiene que

ser nula, así como la resultante de los momentos también a de ser nula. Es decir

que se tiene que cumplir lo siguiente:

- ∑ = 0F

- 0=∑ M

La resistencia de una estructura es independiente de la estabilidad y consiste en

que los elementos que forman la estructura soporten las tensiones máximas a las

que vaya a estar sometida. Como ejemplo, un muro de contención de tierras en el

que la armadura no interviene en el vuelco y deslizamiento.


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5. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Tenemos que ser capaces de calcular los esfuerzos en cualquier pieza. Para ello,

y a modo de recordatorio, se indican a continuación los distintos tipos de

esfuerzos.

o Esfuerzo axil.

Origina tensiones normales, bien sean de tracción o de compresión.

∫= A

X X dA N ·σ

El trabajo producido por un esfuerzo axil en la deformación es:

∫= dS S E N

W ··

·2

1 2

o Esfuerzo cortante.

El cortante se puede dar en dos direcciones “z” e “y”, y va a originar

tensiones tangenciales:

∫= A

XY Y dAC ·τ

∫= A XZ Z dAC ·τ

Las tensiones tangenciales las podemos expresar mediante la formula

de Zhuravski:

Z XY I B

M C

·

·=τ

El trabajo producido por un esfuerzo constante es:

∫= S dS

S GvW

0

2

··

·21


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o Momento flector.

Las expresiones para calcular el momento flector vienen expresadas

por:

∫= A

X Y dA z x M ··)( σ

∫= A

X Z dA y x M ··)( σ

El flector, además va a originar tensiones normales que se obtienen a

partir de la ley de Navier:

Y I

M f n ·=σ

El trabajo producido por el momento flector es:

∫= dS I E M

W Z

··

·2

1 2

o Momento torsor.

Origina tensiones tangenciales cuya expresión dependerá, en cada

caso, del tipo de sección de que se trate.

∫ −= A

XY XZ X dA z y M )···( τ τ

El trabajo del momento torsor dependerá también de la forma de de la

sección en cuestión y se indica por la siguiente expresión:

∫= S

P

T dS I G

M W

0

2

··

·2

1


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Ejercicio 1. En el arco plano de la figura, calcular los siguientes esfuerzos

para un ángulo α = 45º :

-Esfuerzo axil.

-Esfuerzo cortante.

-Momento flector.

Fig.1. 6 Arco plano.

Se trata de un arco isostático.

Fig.1. 7 Esquema de arco.


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Esfuerzo axil:

42·º45·cos2 PP Nx −=−=

Esfuerzo cortante:

4

2·º45·

2 Psen

PCx −=−=

Esfuerzo flector:

d P M f ·2=

Donde el valor de “d” es:

Fig.1. 8. Esquema trigonométrico.

)2

21·( −= Rd


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CAPITULO II.- DATOS DE ENTRADA EN EL PROCESO DE

CÁLCULO.

LECCIÓN 5ª.- MATERIALES EMPLEADOS EN LAS ESTUCTURAS.

Características, utilización histórica, ventajas e inconvenientes,

normativa aplicable en los siguientes materiales:

1. Materiales Pétreos.

El poder disponer de los materiales apropiados es una de las limitaciones que

encuentra en su trabajo un ingeniero dedicado a las estructuras.

Desde antiguo se han utilizado estos materiales para realizar la misión resistente

en las construcciones. Podemos citar entre los más utilizados de este tipo, la

piedra natural, el ladrillo cocido o no, el tapial o adobe, y se puede citar aquí el

hormigón en masa, aunque dedicaremos un punto aparte a los hormigones.

Como características más importantes de estos materiales citaremos su

incapacidad para soportar tracciones, su elevado peso y la gran abundancia y

economía de la materia prima.

Solo existe normativa sobre su uso para los ladrillos, que es DB-SE F: Fábrica.

La utilización de estos se reducen a pequeñas obras y obras concretas como

puentes-arco y muros de contención.

2.

Madera.

La madera fue el aliado clásico de los materiales pétreos, ya que esta si soporta

tracciones, por tanto, su combinación permitía realizar estructuras de todo tipo.

La madera fue el único material de los utilizados por los primitivos constructores

que posee más o menos igual resistencia a tracción que a compresión. La madera

está caracterizada por su falta de homogeneidad debido a su fibra, nudos y otros


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defectos; otra característica es su elevada deformidad con sus inconvenientes y

sus ventajas en el preaviso de la rotura, su anisotropía y su escasa resistencia al

fuego. Cada tipo de madera requerirá un estudio previo concreto para definir

características como el modulo de elasticidad, grado de humedad, dilatación, etc.

En tiempos modernos, la madera ha sido sustituida como elemento estructural

por mate

apuntes_de_teoria_de_estructuras_i.pdf

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