1

ÁRAMLÓ FOLYADÉKOK EGYENSÚLYA

Statikus

DinamikusFt

0F 0F

Tehetetlenségi erő :Áramló folyadékelemekre is érvényes NEWTON II. axiómája . Tehetetlenségi erő általános megfogalmazása:

dt

dmv

dt

dvm

dt

vmd

dt

dIF

2

amdt

dvmF

a tehetetlenségi erődm=0ha

Kérdés: ?adtdv

m = 1 = állandó esetben a fajlagos tehetetlenségi erő

fF = a

3

Gyorsulás: -időbeli un. lokális -áramlásos un. konvektív

s=mozgás pályájatriéder

zy

x

x

y

zvx

kl aaadt

dv

Egyszerűsítés: csak egyméretű áramlást vizsgálunk ahol a tömeg:

zyxVm

4

HELYI /LOKÁLIS/ SEBESSÉGVÁLTOZÁS

(gyorsulás)

t

vtg x

l

xx

0Δt

at

v

t

vlim

vx

vx

t

t

5

KONVEKTÍV ún. ÁRAMLÁSOS GYORSULÁS

(az áramlás irányának megváltozásából)

t

va x

0Δtk lim

x

vx

vx

x

6

Útváltozás szerinti differenciál hányados

x

v

x

v

x

vtg xx

0Δx

x lim

Kis x-nél

xx

vv

x

v

x

vx

x

xx

Δt

Δxxv

Δt

Δva

x

0Δt

x

0Δtk limlim

7

x0t

vdt

dx

t

xlim

xx

k vx

va

dt

dvv

x

v

t

vaaa x

xxx

kl

Differenciális tömegtranszport egyenlet (anyagtranszport m=1) (egyszerűsített alak)

8

Tehetetlenségi erő:X irányban:

Vektortérben vx sebesség y,z irányú változásával is foglalkozni kell, így a vx sebesség teljes változása:

zx

yx

xxxx

kxlxx vz

vv

y

vv

x

v

t

v

dt

dvaaa

Matematikai szimbólumokkal felírva:

xxx vgradvt

v

dt

dv

aholk

z

vj

y

vi

x

vvgrad xxx

x

9

vy sebességváltozása

yyy vgradvt

v

dt

dv

komponensekkel

zy

yy

xyyy v

z

vv

y

vv

x

v

t

v

dt

dv

vz sebességváltozása

zzz vgradvt

v

dt

dv

zz

yz

xzzz v

z

vv

y

vv

x

v

t

v

dt

dv

10

Derivált tenzorral kifejezve

Teljes differenciális transzport egyenlet azaz a gyorsulásvektor.

D derivált tenzor mátrixa x,y,z koordináta rendszerben

z

v

y

v

x

vz

v

y

v

x

vz

v

y

v

x

v

vgrad

vgrad

vgrad

D

zzz

yyy

xxx

z

y

x

kz

ky

kx

jz

jy

jx

iz

iy

ix

D

vDt

v

dt

vd

11

zz

yz

xz

z

y

y

y

x

y

zx

yx

xx

z

y

x

vz

vv

y

vv

x

v

vz

vv

y

vv

x

v

vz

vv

y

vv

x

v

v

vgrad

vgrad

vgrad

vD

A konvektív gyorsulás mátrix alakja:

Tehetetlenségi erő:

vDt

vV

dt

vdmF

t

12

ERŐTÉRBŐL SZÁRMAZÓ ERŐ:

Tömegegységre ható térerő x,y,z irányban:

x

UEx

y

UEy

z

UEz

m tömegre ható erő

x

UV

x

UzyxEmF

xEx

13

Vektoriális alak

EVUgradVFE

zEzEm

z

UVF

yEyEm

y

UVF

Térerősség vektor

Ugradm

FE

E

14

Gravitációs erőtérben ha:

z

UEz

gEz

gmEmF zEz z

x

g

gEz

gmEmF zEz g

z

x ha:

15

Nyomáskülönbségből származó erő:

Nyomásváltozás x irányba nő

z yx

x

y

z

16

Kis x esetén igaz, hogy

xx

pp

x

p

x

p

p

x

x

p

x

p

x

plim

0Δx

x

ptg

17

A nyomásból származó erő a nyomásnövekedés irányával ellentétesen hat -munkát kell befektetni a legyőzéséhez.

x

pVx

x

pzypAF

xp

y

pVF

yp

z

pVF

zp

Erővektor pgradVFp

18

Súrlódásból származó erő:(Csak valóságos folyadékoknál)

0

Ismert: A valóságos folyadékok rétegei között az áramlás irányára merőlegesen változó csúsztató feszültség jön létre, mely a rétegek sebessége változásaként jelenik meg.

19

20

z

y

x

x-y sík

z

y

x

vx

21

y

x

yy

+

vx

Csúsztató feszültség változása áramlásra merőlegesen

ytg

yylim0y

Kis y esetén

yy

22

A csúsztató feszültség y irányú változása súrlódó erőt ad

Vy

zxyy

zxAF z,xx

Newton súrlódási törvénye alapján

y

vx

Vy

vV

y

yv

F x

x

x

2

2

zy

x

x-y síkz

yx

vx

23

Általánosítva a vx sebességváltozásából adódó súrlódó erő:

Az y és z irányú sebességek változásából adódó súrlódó erők:

Vz

v

y

v

x

vF xxx

x

2

2

2

2

2

2

Vz

v

y

v

x

vF

2

y2

2

y2

2

y2

y

Vz

v

y

v

x

vF

2z

2

2z

2

2z

2

z

Vektortérben Laplace-operátorral kifejezve:

vVvVFs

24

A Laplace - operátor kifejezhető a nabla vektor saját magával való skaláris szorzatával

jz

jy

ix

Nabla- vagy differenciál- vagy Hamilton-operátor

Laplace - operátor

2

2

2

2

2

2

zyx

25

Erők egyensúlya:0F

stéptFFFF

Vektortérben

vVUgradVpgradVdt

vdV

Komponensekkel kifejezve x irányban

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

vV

x

UV

x

pV

vz

vv

y

vv

x

v

t

vV

xxx

z

x

y

x

x

xx

26

y irányban

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

vV

y

UV

y

pV

vz

vv

y

vv

x

v

t

vV

yyy

z

y

y

y

x

yy

z irányban

2

2

2

2

2

2

z

v

y

v

x

vV

z

UV

z

pV

vz

vv

y

vv

x

v

t

vV

zzz

z

z

y

z

x

zz

27

A továbbiakban az x irányú erőket vizsgáljuk.1m egységtömeg esetén az x irányú

egyensúlyi egyenlet mindkét oldalát osztjuk V -val.

2

2

2

2

2

21

z

v

y

v

x

v

x

U

x

p

vz

vv

y

vv

x

v

t

v

xxx

z

x

y

x

x

xx

Navier-Stokes-egyenlet inkompresszibilis súrlódásos közegekre (x koordináta irányában)

28

y és z irányban :

y…

z…

Megjegyzés: A differenciálegyenlet a súrlódásos tag miatt másodrendű , így analitikai megoldást csak egyszerűbb esetekben kapunk.

Vizsgáljuk meg néhány egyszerűbb esetet.

29

Hidrosztatika(nyugvó folyadékok egyensúlya)

feltétel:

vx=0 ; vy=0 ; vz=0 0t

vx

0

z

vv

y

vv

x

vv x

z

x

y

x

x

0222

z

v

y

v

x

v xxx

30

Eredmény:x irányban

01

x

U

x

p

A tér másik két irányában:

01

y

U

y

p

01

z

U

z

p

0Ex

p

ρ

1x

31

1.Nyugvó folyadékok egyensúlya nehézségi erőtérben.

1.1. irányával ellentétes koordinátarend- szerben

g

gz

UE

z

01

g

z

p

dzgdp

zgp1=p0

1

z1=z1-z2=z

z2=0 2

32

1

2

1

2

p

p

z

z

dzgdp

2121

1

2

1

2

zzgpp

zgp z

z

p

p

2112 zzgpp zgp

p1=p0 z2=0

102 zgpp

zgp1=p0

1

z1=z1-z2=z

z2=0 2

33

z

p

zgp1=p0

1

z1=z1-z2=z

z2=0 2

p0

p2

pzg 1

323

1

1

tg

tg

tg

m

N

s

m

m

kg

g

z

p

z

zgz

zg

34

1.2. irányával azonos koordinátarend- szerben

g

gz

UEz

0gz

p1

dzgdp

2

1

2

1

p

p

z

z

dzgdp

z2-z1=z2= z

p1=p0

1

2

z1=0

z

g

35

zgp p1=p0 z1=0

1212

2

1

2

1

zzgppzgp

z

z

p

p

1212

zzgpp

202zgpp

202zgpp

p1=p01

2

z1=0

z

g

z2-z1=z2= z

36

p

p0

p2

p1=p0

1

2

z1=0

z

z2-z1=z2= z

g

zgpzgpp 0202

pzg 323

2

2

tg

tg

tg

m

N

s

m

m

kg

g

z

p

z

zgz

zg

37

221102103

222223

110102

zgzgppppp

zgpppp

zgpppp

2> 1

gz

ptg

gz

ptg

22

22

11

11

1.3. Nem keveredő eltérő sűrűségű folyadékok esetén.

p1=p0z1=0

z2

z3

1

1

2

3z

z1

z2

2

z

p0 p1 p2

p3

p

1

2

38

1.4. U-csöves manométer

3

p1=p0

1

2

pk

p2=pk z1=0

z2

z3

z

z1

z2

p0 p1 p2

p3

pk p2

z z

p

g

jobb oldali ág bal oldali ág

dzgdpgdz

dp1

gdz

dUE0

z

U

z

p1z

39

Jobb oldali ág:

1203

120

122301303

01

1313

3

1

3

1

3

1

3

1

ppppzzgp

zzzzgpzzgpppp

zzgppzgp

dzgdp

3

p1=p0

1

2

pk

p1=p2=pk z1=0

z2

z3

z

z1

z2

40

Baloldali ág:

23

23

233

2

2323

3

2

3

2

ppp

zgpp

zzgpp

pp

zzgpp

zgp

k

k

k

k

! Tanulság: Elegendő az azonos nyomású (potenciálú) pontoknál az egyensúly vizsgálata.

Összevetve:

1010

2120

zgppppppppp

k

k

3

p1=p0

1

2

pk

p1=p2=pk z1=0

z2

z3

z

z1

z2