arch и garch модели временных рядов · 2014-06-09 · 4 Остановимся...

ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Московский институт электроники и математики Факультет Прикладной математики и кибернетики

Кафедра Высшей математики

Дипломная работа

по специальности 230401.65 «Прикладная математика»

ARCH и GARCH модели временных рядов

Студент группы М95 Молоденов К. В.

Руководитель к. ф.-м. н., профессор

Бежаева З.И.

Зав. кафедрой к. ф.-м. н., доцент

Кузьмина Л.И.

Москва 2014

2

Содержание ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 3 Глава 1. ARCH и GARCH модели. Вычисление куртозисов ............................. 6

§1. Процесс авторегрессии ............................................................................... 6 §2. Описание модели ARCH............................................................................. 7 §3. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(1)......................................... 9 §4. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(2)....................................... 13 §5. Описание модели GARCH........................................................................ 19 §6. Вычисление куртозиса для процесса GARCH(1,1) ................................. 21

Глава 2. Подбор модели для реальных данных ................................................ 25 §1. Проверка данных на модель ARMA ........................................................ 25 §2. Проверка данных на модель ARCH/GARCH. Выбор лучшей модели... 29 §3. Подбор моделей для других данных........................................................ 34

Заключение ......................................................................................................... 41 Список использованных источников ................................................................ 42

3

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование и прогнозирование изменчивости различных

показателей, например акций, курсов валют на финансовых рынках в наше

время является объектом последних исследований и теоретических работ.

Все в мире меняется, цены не исключение, и предсказать их поведение

становится все сложнее.

Такие традиционные модели временных рядов, как ARMA, не всегда

могут справедливо учитывать характеристики, которыми обладают

финансовые временные ряды. Соответственно, требуется расширение таких

моделей.

Одна из особенностей финансовых рынков состоит в том, что

неопределенность, присущая рынку, изменяется во времени. Из этого

наблюдается «кластеризация волатильности». Термин «волатильность»

используется, для неформального обозначения разброса переменной.

Формальной мерой волатильности служит дисперсия. Эффект кластеризации

волатильности отмечен для таких рядов, как изменение цен акций, валютных

курсов.

Изменения в дисперсии имеют весьма важное значение для понимания

финансовых рынков, так как инвесторы требуют более высокую ожидаемую

доходность в качестве компенсации за проведение рискованных (рисковых)

активов.

Официальным названием для изменчивости дисперсии на различных

интервалах наблюдения является гетероскедастичность.

4

Остановимся на рассмотрении ARCH, GARCH моделей

Сама модель применяется для анализа временных рядов, у которых

условная (по прошлым значениям ряда) дисперсия ряда зависит от прошлых

значений дисперсий этого ряда и иных факторов.

Пусть у нас имеется временной ряд X t неких финансовых

показателей (цен, индексов, ставок по кредитам и др.) (см. Рисунок 1).

Рисунок 1. Ряд финансовых показателей.

Тогда, преобразовав ряд X t в ряд

1ln

X tY t

X t

, получим

непосредственно ряд индексов цен.

Графически он выглядит так (см. Рисунок 2):

Рисунок 2. Ряд логарифмических индексов цен.

5

Видим, что графическое отображение процесса очень напоминает белый шум

(Рисунок 3):

Рисунок 3. Гауссовский белый шум.

С тем лишь отличием, что у ARCH процесса через некоторые промежутки

времени наблюдаются всплески. Это и есть та самая «кластеризация

волатильности». Под этим имеется в виду то, что могут чередоваться

периоды, когда финансовый показатель ведет себя непостоянно, и

относительно спокойные периоды.

Впервые ARCH модели были предложены американским экономистом

Робертом Инглом в 1982 году. Уже в 1986 году датский экономист

Боллерслев предложил обобщение этих моделей (GARCH).

6

Глава 1. ARCH и GARCH модели. Вычисление куртозисов

§1. Процесс авторегрессии

Так как в названии рассматриваемых моделей ARCH, GARCH

присутствует слово авторегрессия (autoregressive), то начнем с описания

именно таких процессов.

Процесс авторегрессии порядка p (обозн. AR(p)) наблюдаемой

переменной tx имеет вид

0 1 1 2 2 ...t t t p t p tx a a x a x a x ,

где . . .t i i d 20,N – белый шум:

0tE

2 для для 0t

tE

t

t некоррелированные и независимые случайные величины.

Процесс стационарен в широком смысле тогда и только тогда, когда

все корни уравнения 2

1 21 ... 0ppa z a z a z

лежат за пределами единичного круга.

Будем предполагать, что процесс tx стационарен в широком смысле

слова. Условное математическое ожидание tx относительно информации,

содержащейся в прошлых значениях ряда tx равно

1 2 0 1 1 2 2| , ,... ... .t t t t t p t pE x x x a a x a x a x В то время как условное математическое ожидание tx меняется со

временем в соответствии с уравнением, написанным выше, обычное

математическое ожидание процесса tx не зависит от t и равно

0

1 2

.1 ...t

p

aE xa a a

7

И хотя выше было описано, что, обычная дисперсия t есть постоянная

величина 2 , условная дисперсия t может меняться с течением времени.

§2. Описание модели ARCH

Рассмотрим теперь авторегрессионную модель условной

гетероскедастичности порядка q (обозн. ARCH(q)):

t t th , . . . 0,1t i i d N

2 20 1 1 ...t t q t qh - ARCH(q)

Рассмотрим условное математическое ожидание и условную

дисперсию ряда t относительно информации, содержащейся в прошлых

значениях ряда t :

1 2 1 2

1 2 1 2

| , ,... | , ,... 0,

| , ,... | , ,... ;t t t t t t t

t t t t t t t t

E h E

D h D h

Делаем вывод, что th – условная дисперсия случайной величины t ,

относительно «прошлого» ряда t .

Для гарантирования положительности значений этой условной

дисперсии приходится требовать:

0 10, ,..., 0q .

Для сокращения запишем условие 1 2, ,...t t как 1tF . Поскольку 1| 0t tE F , то

2 2 2 21 1 1 0 1 1| | , | ... .t t t t t t t q t qD F E F E F

Это приводит к представлению квадрата t как процесса авторегрессии

порядка q: 2 2 2 2

0 1 1 2 2 ... .t t t q t q tw

Из этого уравнения получаем, что 2

t t t th h w

или

8

2 1 .t t tw h

Из параграфа 1 мы помним, что ряд 2t стационарен в широком смысле

тогда и только тогда, когда все корни уравнения 0,z

20 1 2 ... q

qz z z z лежат за пределами единичного круга.

Лемма 1. Ряд 2t стационарен в широком смысле тогда и только тогда,

когда 1 2 ... 1q . При этом 0 10, ,..., 0q .

Доказательство:

Рассмотрим уравнение 21 21 ... 0q

qz z z , отсюда следует, что

21 2 ... 1q

qz z z .

Докажем необходимость. Пусть 0z – корень уравнения

21 21 ... 0q

qz z z и 0 1z .

Тогда 20 1 0 2 0 1 21 ... ...q

q qz z z для 1,..., 0q . А это значит,

что 1 2 ... 1q .

Докажем достаточность. Пусть 1 2 ... 1q и пусть 0z – корень

уравнения 21 21 ... 0q

qz z z .

Предположим, что 0 1z . Тогда 20 1 0 2 0 1 2... ... 1q

q qz z z , но

по условию 0z – корень уравнения, значит 20 1 0 2 0... 1qz z z . Получили

противоречие, следовательно 0 1z .

Лемма доказана.

Лемма 2. tw – некоррелируемая последовательность и 0tEw .

Покажем, что 0tEw . Действительно,

2 2 21 11 1 | | 1 0.t t t t t t t t tEw Eh Eh E F Eh E F

Рассмотрим теперь t sEw w .

Пусть s t :

9

2 2 2 21

2 21 1

1 1 1 1 |

1 | 1 | 0.

t s t s t s t s s t t

t s s s t t

Ew w Eh h Eh Eh F

Eh Eh F E F

Здесь 1|t tE F означает, что вычисляется условное математическое

ожидание случайной величины относительно информации, содержащейся в

прошлых значениях ряда.

Для t s аналогично.

Если t s , то получим значение второго момента tw . Обозначим его 2 . Нам

он понадобится для вычисления четвертого момента t .

22 2 2 21t t tEw Eh .

Однако четвертый момент 4tE существует не для всех ARCH моделей.

§3. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(1) Процесс ARCH(1) описывается уравнениями:

20 1 1

,t t t

t t

h

h

или иначе: 2 2

0 1 1t t tw .

Будем вычислять четвертый момент 4tE .

Сперва посчитаем первый и второй моменты 2t , они понадобятся нам в

дальнейшем.

2 20 1 1

21 0

2 0

1

1

;1

t t t

t

t

E E E w

E

E

10

2 2 21 1

2 2 21

22

21

1

.1

t t t

t

t

D D D w

D

D

Итак,

2 224 2 2 022

1 11 1t t tE D E

.

Как мы видим, четвертый момент зависит от ранее введенного . Вычислим

его:

2

22 2 2

22 2 2 2

1

1

1 .

t t t

t t t

t t t

w h

w h

E w E h E

Вычислим 2tE h :

22 2 2 4 2 20 1 1 1 1 0 1 1 0

22 2 2 2 21 1 1 0 1 1 0

22 2 2 22 2 2 2 22 2 0 1 0 1 1 0 10 1 0 11 02 22 2

1 1 11 1

2

2

2 1 121 1 11 1

t t t t

t t t

E h E E

D E E

222 2 2 2 20 1 11 1 0

2 22 21 11 1

1.

1 11 1

Получаем уравнение для :

2 2 2 22 21 022

1 1

11 1 tE

.

Если случайная величина Х имеет стандартное нормальное распределение, то

0 2 1,

21 !!

pp

p nE X

p np

, следовательно

2 22 4 21 2 1 3 2 1 3 2 1 2t t t t tE E E D E .

11

Отсюда

2 2 22 1 0

221 1

21 1

или

2 2 22 1 0

221 1

2 21 1

.

С помощью простых преобразований получаем, что

22 0 1

21 1

2 1.

1 1 3

Это уравнение не имеет действительных решений для при любых 21

13

.

Таким образом, если 1t ARCH и 0,1t N , то второй момент tw (и

четвертый момент t ) существует только при 21

13

, т.е. при 1 0.547 .

Вычислим куртозис процесса t (показатель, отражающий остроту

вершины и толщину хвостов распределения случайной величины t ),

44

,

где 4 – четвертый центральный момент распределения, 4 – квадрат

дисперсии. Для нормального распределения 3 . В нашем же случае

4 4

2 22 2

t t t

tt t

E E E

EE E

, т.к. 0tE .

Из формул для дисперсии и математического ожидания 2t имеем:

2 2 2 224 2 2 0 0 02 2 22 2

1 1 1 1 1

2 2 2 20 1 0 1

2 22 21 1 1 1

21 1 1 1 3 1

3 3 3 1.

1 1 3 1 1 3

t t tE D

12

И

222 02

11tE

.

Отсюда

2 20 1

2 2 21 1 1

2 20 1

21

3 1

1 1 3 3 1.

1 31

3 при 21

13

.

Построим график куртозиса как функции от 1 (Рисунок 4):

Рисунок 4. График куртозиса 1 .

Замечание. Также, наравне с куртозисом, рассматривают коэффициент

эксцесса , являющийся мерой остроты пика распределения случайной

величины, 3 . Для нормального распределения 0 . Для нашей

модели получаем

2 21 12 21 1

3 1 631 3 1 3

.

Очевидно, что 0 . Это означает, что пик распределения около

математического ожидания острый.

Построим график эксцесса (Рисунок 5):

13

Рисунок 5. График эксцесса 1 .

Замечание. По правде говоря, куртозис случайной величины всегда

больше или равен куртозиса величины, образовавшей первую, т.е.:

224 2 4 2 21( ) |t t t t t t t t tE Eh E v D Eh E E F , а т.к.

22 , 0DX EX EX DX , следовательно 22EX EX и

2 2 22 2 21 1| |t t t t t t t tE E F EE F E .

Отсюда получаем, что 24 2t t tE E или 3t t .

§4. Вычисление куртозиса для процесса ARCH(2) Процесс ARCH(2) описывается уравнениями:

2 20 1 1 2 2

,t t t

t t t

h

h

или иначе: 2 2 2

0 1 1 2 2t t t tw .

Здесь, как и раньше 21|t t tE F h , 2 2

1|t t t tw E F и tw –

некоррелированная последовательность с нулевым математическим

ожиданием. Также, 0 1 20, 0, 0 и 1 2 1 . При этих условиях 2t –

стационарная последовательность.

Вычислим ковариационную функцию

14

2 2cov ,K t t .

Определение ковариации:

cov ,X Y E X EX Y EY .

В силу линейности математического ожидания ковариация может быть

записана как

cov ,

.

X Y E XY XEY YEX EXEY E XY EXEY EXEY EXEY

E XY EXEY

Отсюда

2 2 2 2K E t t E t E t .

2 2 0

1 21E t E t

.

Запишем уравнения Юла-Уолкера:

21 2

1 2

1 2

1 2

0 1 2

1 0 1

2 1 0...

1 2

K K K

K K K

K K K

K K K

Это система линейных неоднородных уравнений.

Общее решение системы

K l , 1 21 2l l l .

Решаем квадратное уравнение 2

1 2 0l l ,

1 2,l l – корни этого уравнения.

2 21 1 1 2 2 1 1 2

1 14 ; 42 2

l l .

Отсюда

1 1 2 2K c l c l ,

где 1c и 2c находятся при подстановке в первые два уравнения.

15

Решим систему из двух уравнений с двумя неизвестными 1c и 2c

21 2

1 2

0 1 2

1 0 1 ,

K K K

K K K

где

2 21 1 1 2 2 1 1 2

1 14 42 2

K c c

.

Вычисления проводятся в системе Wolfram Mathematica 7.0. Процедура

вычисления представлена в Приложении 1.

Наши коэффициенты 1c и 2c равны соответственно:

2 21 2 2 1 2

1 22 21 2 2 1 2

2 21 2 2 1 2

2 22 21 2 2 1 2

1 1 4;

2 1 1 4

1 1 4.

2 1 1 4

c

c

Но нас же больше интересуют не сами коэффициенты, а значения

ковариационной функции.

Для дальнейших вычислений нам потребуются значения 0 , 1K K .

Найдем их значения:

22

221 2 2

21

221 2 2

10 ;

1 1

1 .1 1

K

K

2 0tD K по определению.

Видим, что и 0K , и 1K зависят от 2 .

Аналогично со случаем ARCH(1)

16

2

22 2 2

22 2 2 2

1

1

1 .

t t t

t t t

t t t

w h

w h

E w E h E

Вычислим 2tE h :

22 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 20 1 1 2 2 0 1 1 2 2 0 1 1 0 2 2 1 2 1 2

222 2 2 2 2 2 20 1 2 0 1 2 1 2 1 2

2 2 2

0 2 2 1 .2

t t t t t t t t t

t t t t

E h E E

K E E K E E

Находим 2 :

22 1 2 2 0

2 3 21 2 2 2 2 1 2

2 1 11 1 3 3 3 1

.

Видим, что числитель выражения положителен, т.к. 1 2, 0 и 1 2, 1 .

Также т.к. 1 2 1 , выражение 1 21 0 .

Получается, что для существования 2 необходимо, чтобы

2 3 22 2 2 1 21 3 3 3 1 0 .

При условии, что 0 1 20, 0, 0 и 1 2 1 , 2 существует при

2103

и

2 32 2 2

21

1 3 31

03

.

Изобразим условия существования 2 (Рисунок 6):

Рисунок 6. Область определения функции 2

1 2, .

Вычислим куртозис процесса t .

17

4 4

2 22 2

t t t

tt t

E E E

EE E

Четвертый момент 4tE можем расписать как

21 2 2 04 2 2 2 2

2 3 21 2 2 2 2 1 2

3 1 10

1 1 3 3 3 1t t t t tE E K E E

.

Тогда

21 2 2 0

2 3 21 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2

2 2 3 20 2 2 2 1 2

21 2

3 1 11 1 3 3 3 1 3 1 1 1

1 3 3 3 11

.

Покажем, что куртозис как функция от 1 и 2 является возрастающей

функцией. Для этого представим 2 как линейную функцию от 1 ,

2 1m , 0m .

Тогда изменяя m, получим все направления, по которым будем

рассматривать возрастание функции .

В новом представлении куртозис имеет вид

1 1 1 13 2 2 2

1 1 1

3 1 1 1 11 3 1 3 1

m m mm m m m

.

Найдем экстремумы функции 1 :

2 2 2 31 1 1 1

1 23 2 2 21 1 1

12 2'

1 3 1 3 1

m m m

m m m m

.

Упростив выражение в числителе, получаем

22 2 3 2 21 1 1 1 1 1 1 12 1 2 1m m m m m m m m .

При условиях, что 1 110, , 03

m , получаем, что

1' 0 ,

следовательно куртозис является возрастающей функцией.

При 1 0 и 0m значение куртозиса равно 3, следовательно

18

3

на всей своей области определения, т.е. при 2103

и

2 32 2 2

21

1 3 31

03

.

Построим график куртозиса как функции от 1 и 2 (Рисунок 7,8):

Рисунок 7. График куртозиса 1 2, .


Коэффициент эксцесса равен:

19

2 22 2 1 2

2 3 22 2 2 1 2

6 1 11 3 3 3 1

.

Т.к. 3 , то очевидно, что 0 .

График эксцесса (Рисунок 9):

Рисунок 9. График эксцесса 1 2, .

§5. Описание модели GARCH Процесс ARCH(q) был представлен в виде:

t t th , . . . 0,1t i i d N

2 20 1 1 ...t t q t qh .

Более обобщенно, можем записать процесс, для которого условная дисперсия

th зависит от бесконечного числа предыдущих значений 2t ,

20t th L ,

где

1

jj

jL L

,

а L – лаговый оператор, 1t tLX X .

Представим L как отношение двух полиномов конечного порядка:

20

1 21 2

1 21 2

... ,1 1 ...

mm

rr

L L L LLL L L L

и будем считать, что корни уравнения 1 0z лежат за пределами

единичного круга. Тогда, помножив th на 1 L , получим:

201 1 1t tL h L

или * 2 2 20 1 1 2 2 1 1 2 2... ...t t t r t r t t m t mh h h h ,

где *0 1 2 01 ... r .

Это представление th и называется GARCH(r,m), или обобщенная

авторегрессионная модель условной гетероскедастичности (generalized

ARCH).

Теперь мы прибавим к левой и правой части этого уравнения 2t и запишем

уравнение в таком виде:

2 * 2 2 20 1 1 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

...

... ...t t t t t t r t r t r

t t r t r t t m t m t

h h h h

или

2 * 2 2 2

0 1 1 1 2 2 2

1 1 2 2

...

... ,t t t p p t p

t t t r t rw w w w

где 2t t tw h и max ,p m r . Также 0j при j r и 0j при j m .

Если *0 0 и 0, 0j j для 1,2,...,j p , то 2

t представим как процесс

авторегрессии скользящего среднего (ARMA(p,r)). Процесс 2t стационарен в

широком смысле, если tw обладает конечной дисперсией и все корни уравнения

21 1 2 21 ... 0p

p pz z z лежат за пределами единичного круга. Вычислим математическое ожидание 2

t :

2 * 2 2 20 1 1 1 2 2 2

*2 0

1 1 2 2

... ;

.1 ...

t t t p p t p

tp p

E E E E

E

21

Это значит, что 1 1 2 2 ... 1p p .

Из 2t t tw h следует, что

2 1t t tw h ,

tw – некоррелируемая последовательность и 0tEw (доказано в §2).

§6. Вычисление куртозиса для процесса GARCH(1,1) Процесс GARCH(1,1) описывается уравнением:

20 1 1 1 1

,t t t

t t t

h

h h

или иначе:

2 * 20 1 1 1 1 1t t t tw w .

Куртозис

2 44 2

2 2 22 2

3t tt t

tt t t

E hE EhEhE Eh

.

Итак, 20 1 1 1 1t t th h , или

2 20 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1t t t t t th h h h .

Обозначим 21 1 1t как некую последовательность tg ,

21 1 1t tg .

Математическое ожидание

1 1tEg ,

т.к. . . . 0,1t i i d N и 2 1tE .

Т.к. th рекурсивен, то его можно переписать так:

01 1

1m

t t km k

h g

.

Математическое ожидание tEh равно

00 0 1 1

0 01 1 11

mm

t tm mk

Eh Eg

.

Теперь обозначим произведение 1

m

t kk

g как процесс mf :

22

1

m

m t kk

f g

.

Найдем 2mEf :

22 2 2 2 2 4 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 21 1 1 1

2

3 2 .

m m m m

m t k t k t t tk k k k

m

Ef E g Eg E E

Процесс th запишем через mf :

00

t mm

h f

.

Отсюда 2 1

2 2 2 20 0

0 0 1 0

2m

t m m m km m m k

h f f f f

.

Для нахождения неизвестной нам 2tEh осталось найти только m kEf f . Найдем

это математическое ожидание.

m k ,

2 2 21 1 1 1 1 13 2

k m km k k m kEf f Ef Ef

.

Все неизвестные найдены, вычисляем 2tEh . Вычисления проводятся в

системе Wolfram Mathematica 7.0. Процедура вычисления представлена в

Приложении 2.

1

2 2 2 2 2 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0

3 2 2 3 2 ;mm k m k

tm m k

Eh

22 1 1 0

2 21 1 1 1 1 1

11 1 3 2tEh

.

Куртозис

21 1 0

2 221 1 1 1 1 1

2 2

0

1 1

13

1 1 3 23 ;

1

t

t

EhEh

23

1 1 1 12 2

1 1 1 1

3 1 11 3 2

.

Числитель этой дроби отрицателен, следовательно и знаменатель должен

быть отрицательным.

Куртозис существует не для всех значений 1 и 1 , даже при ограничениях

1 1, 0 и 1 1 1 .

0 при 1103

и 21 1 10 1 2 .

Построим график куртозиса (Рисунок 10):


Покажем, что куртозис как функция от 1 и 1 является возрастающей

функцией. Для этого представим 1 как линейную функцию от 1 ,

1 1m , 0m .

Тогда изменяя m, получим все направления, по которым будем

рассматривать возрастание функции .

В новом представлении куртозис имеет вид

1 1 1 12 21

3 1 11 3 2

m mm m

.

Найдем экстремумы функции 1 :

24

11 22 2

1

12'1 3 2m m

.

При условиях, что 1 110, , 03

m , получаем, что

1' 0 ,

следовательно куртозис является возрастающей функцией.

При этом 3 при этих же значениях 1 и 1 , при 1103

и

21 1 10 1 2 .

25

Глава 2. Подбор модели для реальных данных

Перед нами стоит задача подобрать подходящие модели для рядов,

имея в виду возможное наличие у них ARCH-эффекта.

Рассмотрим данные изменения индексов финансовых показателей с

течением времени. Данные были опубликованы в J. of Applied Econometrics,

vol.12 (1997), Issue 1, 49-66 (Fabio Fornari and Antonio Mele). Приведены

данные для нескольких стран, мы рассмотрим и подберем подходящие

модели для Германии, Франции и США, сравним, если представится

возможность, программные оценки куртозиса с куртозисом, вычисленным по

формулам, представленными в главе 1.

§1. Проверка данных на модель ARMA

Рассмотрим данные «Германия».

Изменение финансовых показателей выглядит так (Рисунок 11):

Рисунок 11. Изменение финансовых показателей. Германия.

Изменение фондовых индексов (Рисунок 12):

26

Рисунок 12. Изменение фондовых индексов. Германия.

Перед тем, как подбирать ARCH/GARCH модель, необходимо проверить

остатки модели ARMA на условную гетероскедастичность.

Коррелограмма ряда (Рисунок 13):

Рисунок 13. Коррелограмма ряда «Германия».

Рассмотрим авторегрессию четвертого порядка (оценки см. в Таблице 1) и

коррелограмму остатков, представленную на Рисунке 14:

Таблица 1

Оценки параметров данных при рассмотрении модели AR(4)

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.23E-05 0.000243 0.132638 0.8945

27 Продолжение таблицы 1

G(-1) 0.048590 0.034283 1.417335 0.1566 G(-2) 0.007420 0.035483 0.209129 0.8344 G(-3) 0.058820 0.031614 1.860542 0.0630 G(-4) 0.053122 0.037771 1.406412 0.1598

Рисунок 14. Коррелограмма остатков модели AR(4) для ряда «Германия».

Убеждаемся, что остатки не коррелированны.

Модель AR(4) – гистограмма остатков (Рисунок 15).

Рисунок 15. Гистограмма остатков модели AR(4) для ряда «Германия»

Так как тест Харке-Бера отвергает нулевую гипотезу, и куртозис явно больше

3, делаем вывод, что остатки распределены не нормально.

28

Проверим этот вывод еще и другим способом. Рассмотрим коррелограмму

квадратов остатков (Рисунок 16):

Рисунок 16. Коррелограмма квадратов остатков модели AR(4) для ряда «Германия».

Остатки не коррелированны, но зависимы! Но в случае гауссовских остатков,

мы знаем, что некоррелированность равносильна независимости. Отсюда

следует, что остатки не гауссовские (не белый шум).

Тест остатков на гетероскедастичность (см. Таблицу 2): Таблица 2

Тестирование на ARCH – эффект Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic 32.25223 Prob. F(5,1478) 0.0000

Obs*R-squared 145.9875 Prob. Chi-Square(5) 0.0000

Здесь Prob. Chi-Square отвечает за проверку нулевой гипотезы об отсутствии

в остатках ARCH-эффекта. Как мы видим, гипотеза отвергается,

следовательно ARCH-эффект присутствует.

Начнем подбор лучшей ARCH/GARCH модели для нашего ряда.

29

§2. Проверка данных на модель ARCH/GARCH. Выбор лучшей модели

1. Рассмотрим модель ARCH(1). Данные об оценках параметров указаны в

таблице 3. Таблица 3

Оценивание неизвестных параметров для модели ARCH(1) для ряда «Германия»

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 1.06E-06 0.000232 0.004592 0.9963

G(-1) 0.054990 0.031763 1.731218 0.0834 G(-2) 0.029935 0.032859 0.911021 0.3623 G(-3) 0.060399 0.032326 1.868430 0.0617 G(-4) 0.081846 0.035417 2.310923 0.0208

Variance Equation C 7.50E-05 4.70E-06 15.93754 0.0000

RESID(-1)^2 0.138070 0.049750 2.775242 0.0055 R-squared 0.008094 Mean dependent var 4.14E-05

Adjusted R-squared 0.005420 S.D. dependent var 0.009388 S.E. of regression 0.009363 Akaike info criterion -6.525896 Sum squared resid 0.130086 Schwarz criterion -6.500952 Log likelihood 4865.529 Hannan-Quinn criter. -6.516600 Durbin-Watson stat 2.009849

И посмотрим теперь на коррелограмму квадратов остатков (Рисунок 17):

Рисунок 17. Коррелограмма квадратов остатков модели ARCH(1) для ряда «Германия»

30

Все остатки, кроме первого, зависимы. Значит, модель ARCH(1) нам не

удовлетворяет.

2. Рассмотрим модель ARCH(2). Данные об оценках параметров указаны в

таблице 4. Таблица 4

Оценивание неизвестных параметров для модели ARCH(2) для ряда «Германия» Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.

C 5.13E-05 0.000231 0.221683 0.8246

G(-1) 0.050262 0.026779 1.876937 0.0605 G(-2) 0.023795 0.036938 0.644191 0.5195 G(-3) 0.051272 0.031930 1.605782 0.1083 G(-4) 0.043674 0.034391 1.269919 0.2041


RESID(-1)^2 0.094541 0.039629 2.385675 0.0170 RESID(-2)^2 0.204022 0.053088 3.843071 0.0001

R-squared 0.009136 Mean dependent var 4.14E-05


И обратим внимание на коррелограмму квадратов остатков (Рисунок 18):


31

И модель ARCH(2) нас не удовлетворила.

Продолжая подбирать модели и отвергать неподходящие, приходим к модели

ARCH(7).

3. Рассмотрим модель ARCH(7) (см. Таблицу 5). Таблица 5

Оценивание неизвестных параметров для модели ARCH(7) для ряда «Германия»

Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C 0.000177 0.000204 0.868583 0.3851

G(-1) 0.048605 0.025976 1.871158 0.0613 G(-2) 0.037139 0.027855 1.333303 0.1824 G(-3) 0.033738 0.028210 1.195949 0.2317 G(-4) 0.044643 0.027450 1.626339 0.1039


RESID(-1)^2 0.038493 0.030581 1.258712 0.2081 RESID(-2)^2 0.101453 0.039293 2.581938 0.0098 RESID(-3)^2 0.044551 0.028266 1.576126 0.1150 RESID(-4)^2 0.092798 0.033643 2.758331 0.0058 RESID(-5)^2 0.096861 0.032747 2.957863 0.0031 RESID(-6)^2 0.104631 0.033102 3.160838 0.0016 RESID(-7)^2 0.143837 0.039264 3.663289 0.0002



Коррелограмма квадратов остатков имеет вид (Рисунок 19):


32

Модель удовлетворяет нашим требованиям.

4. Рассмотрим модель GARCH(1,1) (см. Таблицу 6). Таблица 6

Оценивание неизвестных параметров для модели GARCH(1,1) для ряда «Германия»


G(-1) 0.055262 0.030399 1.817891 0.0691 G(-2) 0.056754 0.032105 1.767753 0.0771 G(-3) 0.016361 0.033594 0.487005 0.6263 G(-4) 0.045673 0.033659 1.356934 0.1748


RESID(-1)^2 0.075597 0.014757 5.122709 0.0000 GARCH(-1) 0.880110 0.020343 43.26371 0.0000

R-squared 0.008767 Mean dependent var 0.000172


И коррелограмма остатков имеет вид (Рисунок 20):

Рисунок 20. Коррелограмма квадратов остатков модели GARCH(1,1) для ряда «Германия»

Как видим, и эта модель полностью нас устраивает.

33

Кстати говоря, можем сравнить куртозис, полученный программой для

модели GARCH(1,1), и куртозис, рассчитанный по формуле из §6 первой

главы, где за неизвестные параметры возьмем оценки, выданные

программой.

На рисунке 21 изображена гистограмма ошибок.

Рисунок 21. Гистограмма ошибок модели GARCH(1,1).

3,816753 – программный куртозис.

1 10,075597; 0,88011;

1 1 1 12 2

1 1 1 1

3 1 13,45601

1 3 2

– теоретический куртозис.

Как видим, значения близки, но все же различаются. Этому есть свое

обоснование. В теоретической части мы предполагали 0tE , в то время как

программа оценила ошибки по-другому, и 0,021767tE .

Пришло время сравнить модель ARCH(7) и GARCH(1,1) и выбрать из

них наиболее точную. Для этого воспользуемся информационным критерием

Акаике. Считается, что наилучшей будет модель с наименьшим значением

критерия AIC.

Для модели ARCH(7) AIC = -6.633859.

Для модели GARCH(1,1) AIC = -6.866336.

Из этого мы видим, что модель GARCH(1,1) наиболее точно подходит

для описания данного временного ряда.

34

§3. Подбор моделей для других данных

Подберем модели для данных «Франция» и «США».

Алгоритм нахождения наиболее подходящей модели будет

аналогичным как и для данных «Германия», описанного в §1 и §2 главы 2.

Изменение финансовых показателей и фондовых индексов выглядит

так (Рисунки 22-25):

Рисунок 22. Изменение финансовых показателей. Франция.

Рисунок 23. Изменение фондовых индексов. Франция.

35

Рисунок 24. Изменение финансовых показателей. США.

Рисунок 25 Изменение фондовых индексов. США.

Опустим в этом параграфе некоторые рутинные этапы, ограничившись лишь

конечными выкладками. Еще раз напоминаю, что все делалось по аналогии с

данными «Германия».

1. Удовлетворяющими нас моделями ARMA с положительным тестом

на ARCH-эффект стали модели AR(4) для Франции и AR(6) для

США.

2. Подходящей моделью в классе ARCH для Франции оказалась модель

ARCH(8) (см. Таблицу 7 и рисунок 26), а для США – модель

ARCH(4) (см. Таблицу 8 и рисунок 27).

36

Таблица 7

Оценивание неизвестных параметров для модели ARCH(8) для ряда «Франция»


F(-1) 0.040038 0.027666 1.447183 0.1478 F(-2) 0.018886 0.027574 0.684919 0.4934 F(-3) -0.029501 0.028530 -1.034037 0.3011 F(-4) 0.063106 0.027382 2.304634 0.0212


RESID(-1)^2 0.050893 0.034644 1.469027 0.1418 RESID(-2)^2 0.047919 0.036776 1.302989 0.1926 RESID(-3)^2 0.070464 0.034367 2.050325 0.0403 RESID(-4)^2 0.038867 0.025487 1.524957 0.1273 RESID(-5)^2 0.126412 0.044591 2.834919 0.0046 RESID(-6)^2 -0.006822 0.016006 -0.426196 0.6700 RESID(-7)^2 0.062951 0.031811 1.978920 0.0478 RESID(-8)^2 0.064306 0.032259 1.993417 0.0462



Таблица 8

Оценивание неизвестных параметров для модели ARCH(4) для ряда «США»


US(-1) 0.086313 0.045794 1.884800 0.0595 US(-2) 0.008739 0.048448 0.180388 0.8568 US(-3) -0.082734 0.054464 -1.519063 0.1287 US(-4) 0.017676 0.045677 0.386979 0.6988 US(-5) 0.048800 0.050050 0.975023 0.3295 US(-6) -0.098247 0.045367 -2.165621 0.0303


RESID(-1)^2 0.025898 0.049168 0.526730 0.5984 RESID(-2)^2 0.055580 0.064484 0.861919 0.3887 RESID(-3)^2 0.140033 0.057927 2.417398 0.0156 RESID(-4)^2 0.025300 0.040736 0.621082 0.5345



37

Рисунок 26. Коррелограмма квадратов остатков модели ARCH(8) для ряда «Франция».

Рисунок 27. Коррелограмма квадратов остатков модели ARCH(4) для ряда «США».

38

3. Подходящей моделью в классе GARCH для Франции оказалась

модель GARCH(1,2) (см. Таблицу 9 и рисунок 28), а для США –

модель GARCH(2,1) (см. Таблицу 10 и рисунок 29). Таблица 9

Оценивание неизвестных параметров для модели GARCH(1,2) для ряда «Франция»


F(-1) 0.044516 0.028416 1.566587 0.1172 F(-2) 0.011365 0.027970 0.406318 0.6845 F(-3) -0.036075 0.028787 -1.253195 0.2101 F(-4) 0.074142 0.026633 2.783864 0.0054


RESID(-1)^2 0.075562 0.029353 2.574221 0.0100 GARCH(-1) 0.123677 0.123065 1.004970 0.3149 GARCH(-2) 0.724944 0.130799 5.542442 0.0000



Таблица 10

Оценивание неизвестных параметров для модели GARCH(2,1) для ряда «США»


US(-1) 0.075376 0.046301 1.627960 0.1035 US(-2) 0.000680 0.049905 0.013635 0.9891 US(-3) -0.076741 0.049475 -1.551120 0.1209 US(-4) 0.010474 0.045917 0.228101 0.8196 US(-5) 0.055824 0.050645 1.102255 0.2704 US(-6) -0.092515 0.044858 -2.062387 0.0392


RESID(-1)^2 0.014902 0.050410 0.295609 0.7675 RESID(-2)^2 0.037085 0.054968 0.674660 0.4999 GARCH(-1) 0.858733 0.092799 9.253719 0.0000



39

Рисунок 28. Коррелограмма квадратов остатков модели GARCH(1,2) для ряда «Франция».

Рисунок 29. Коррелограмма квадратов остатков модели GARCH(2,1) для ряда «США».

40

Сравнивая модели ARCH(8) и GARCH(1,2) для ряда «Франция», видим,

что информационный критерий Акаике равен:


Для модели GARCH(1,2) AIC =-6.169433.



Сравнивая модели ARCH(4) и GARCH(2,1) для ряда «США», видим, что

информационный критерий Акаике равен:


Для модели GARCH(2,1) AIC = -6.477988.



По всем трем моделям делаем вывод, что наблюдается превосходство

GARCH модели над ARCH моделью.

41

Заключение

В процессе работы были изучены свойства ARCH и GARCH моделей,

было выполнено сравнение данных моделей на реальных данных. В

теоретической главе было в полной мере, достаточно четко и подробно

описаны основные свойства ARCH, а затем и GARCH моделей, их схожести и

различия. В практической главе для реальных данных был произведен

подбор лучшей модели, а также сравнение моделей ARCH и GARCH.

На основании проделанной работы можно сформулировать некоторые

выводы и наблюдения: Для моделей ARCH(1), ARCH(2) и GARCH(1,1) были

посчитаны куртозисы, и во всех трех случаях они оказались больше, чем

куртозис для модели с нормальным распределением. Это означает острый

пик распределения около математического ожидания.

Касаемо реальных данных, проверка на ARMA модель показала, что

наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к

неэффективности оценок, полученных с помощью метода наименьших

квадратов. Следовательно статистические выводы о качестве полученных

оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на

гетероскедастичность является одной из необходимых процедур при

построении регрессионных моделей. На практике обе модели (ARCH и

GARCH) имеют место быть и могут достаточно точно описывать поведение

данных, но процесс GARCH оказался более точным, чем ARCH.

42

Список использованных источников

Учебники и учебные пособия:

1. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика.

Начальный курс, М., «Дело», 2000.

2. Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А.

Эконометрия: Учебное пособие. – Новосибирск: Издательство

СО РАН, 2005.

3. Носко В.П. Эконометрика. Книга 1, М., «Дело», 2011.

4. Hamilton J.D. Time Series Analysis, Princeton University Press,

Princeton, New Jersey, 1994.

Монографии:

1. Fornari F., Mele A. Sign- and Volatility-Switching and ARCH

Models: Theory and Applications to International Stock Markets.

Journal of Applied Econometrics, Vol. 12, 49-65 (1997).

2. Bollerslev T., Engle R. F., Nelson D. B. ARCH models. Handbook of

Econometrics, Vol. 4, part 10, chapter 49.

Интернет-источники и другие:

1. <http://ru.wikipedia.org>

2. Система помощи статистического пакета EViews 7.0

ПРИЛОЖЕНИЕ 1Исследование свойств куртозиса модели ARCH(2)

In[1]:= Solvel2 a1 l a2 0, l

Out[1]= l 1

2a1 a12 4 a2 , l

1

2a1 a12 4 a2

In[2]:= l1 1

2a1 a12 4 a2 ; l2

1

2a1 a12 4 a2 ;

In[3]:= kt_ : c1 l1t c2 l2t;

In[4]:= Solvek0 a1 k1 a2 k2 la, k1 a1 k0 a2 k1, c1, c2

Out[4]= c1

a1 1

2a1 a12 4 a2

1

2a2 a1 a12 4 a2 la a12 4 a2 a12 a12 4 a2

a2 a12 4 a2 a12 a2 a12 4 a2 a22 a12 4 a2 a23 a12 4 a2 ,

c2 a1

2a1 a2

21

2a12 4 a2

1

2a2 a12 4 a2 la a12 4 a2

a12 a12 4 a2 a2 a12 4 a2 a12 a2 a12 4 a2 a22 a12 4 a2 a23 a12 4 a2

In[5]:= c1 Simplify

a1 1

2a1 a12 4 a2

1

2a2 a1 a12 4 a2 la a12 4 a2 a12 a12 4 a2

a2 a12 4 a2 a12 a2 a12 4 a2 a22 a12 4 a2 a23 a12 4 a2

Out[5]=

a1 1 a2 1 a2 a12 4 a2 la

2 a12 1 a22 1 a2 a12 4 a2

In[6]:= c2 Simplify

a1

2a1 a2

21

2a12 4 a2

1

2a2 a12 4 a2 la a12 4 a2 a12 a12 4 a2

a2 a12 4 a2 a12 a2 a12 4 a2 a22 a12 4 a2 a23 a12 4 a2

Out[6]=

a1 1 a2 1 a2 a12 4 a2 la

2 a12 1 a22 1 a2 a12 4 a2

In[7]:= k0 Simplifyk0

Out[7]=1 a2 la

a12 1 a22 1 a2

In[8]:= k1 Simplifyk1

Out[8]=a1 la

a12 1 a22 1 a2

In[9]:= EU z

1 a1 a2;

In[10]:= Solvela 2 z2 a12 a22 k0 EU2 2 z EU a1 a2 2 a1 a2 k1 EU2 0, la

Out[10]= la

2 z2 4 a1 a2 z2

1a1a22

4 a1a2 z21a1a2

2 a12a22 z2

1a1a22

1 4 a12 a2

a121a22 1a2

2 1a2 a12a22a121a22 1a2

In[11]:= la Simplify2 z2 4 a1 a2 z2

1a1a22

4 a1a2 z21a1a2

2 a12a22 z2

1a1a22

1 4 a12 a2

a121a22 1a2

2 1a2 a12a22a121a22 1a2

Out[11]=2 1 a1 a2 1 a2 z2

1 a1 a2 1 a2 3 a22 3 a23 3 a12 1 a2

In[12]:= Reduce1 a2 3 a22 3 a23 3 a12 1 a2 0, a1 0, a2 0, a1 a2 1, a1

Out[12]= 0 a2 1

3&& 0 a1

1a23 a223 a23

1a2

3

In[13]:= Plot

1a23 a223 a23

1a2

3, 1 a2, a2, 0, 1, AxesLabel a2, a1, Filling Bottom

Out[13]=

In[14]:= E4t Simplifyk0 EU2

Out[14]=3 1 a1 a2 1 a2 z2

1 a1 a2 1 a2 3 a22 3 a23 3 a12 1 a2

In[15]:= kk SimplifyE4t EU2

Out[15]=3 1 a1 a2 1 a2 1 a1 a2

1 a2 3 a22 3 a23 3 a12 1 a2

2 Appendix1.nb

In[16]:= Plot3Dkk, a1, 0,1

3, a2, 0, 1 3 , PlotRange 0, 10, AxesLabel "2", "1", ""

Out[16]=

In[17]:= a2 m a1;

In[18]:= kk Simplifykk

Out[18]=3 1 a1 1 m 1 a1 m 1 a1 a1 m

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m2

In[19]:= Dkk, a1

Out[19]= 3 1 a1 1 m 1 a1 m 1 a1 a1 m m 9 a12 m 1 m2 6 a1 1 m2

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m22

3 1 a1 1 m 1 m 1 a1 m

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m2

3 1 a1 1 m m 1 a1 a1 m

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m2

3 1 m 1 a1 m 1 a1 a1 m

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m2

In[20]:= Simplify

Out[20]=12 a1 1 m2 a12 m2 1 m2 a1 m 2 m3

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m22

In[21]:= k1 12 a1 1 m2 a12 m2 1 m2 a1 m 2 m3

1 a1 m 3 a13 m 1 m2 3 a12 1 m22;

In[22]:= Reducek1 0, a1 0, m 0, a1 1, a1 m a1 1, a1, m

Out[22]= False

In[23]:= Reducek1 0, a1 0, m 0, a1 1, a1 m a1 1, a1, m

Out[23]= False

In[24]:= a1 0; m 0; kk

Out[24]= 3

Appendix1.nb 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 2Исследование свойств куртозиса модели GARCH(1,1)

In[1]:= gt_ : a b v2t

In[2]:= ht z 1 m1

k1

m

gt k

Out[2]= z 1 m1

k1

m

a b v2k t

In[3]:= Eht z Suma b^m, m, 0,

Out[3]=z

1 a b

In[4]:= ht2 ht^2

Out[4]= z2 1 m1

k1

m

a b v2k t2

In[5]:= f0 1;

In[6]:= fm k1

m

gt k

Out[6]= k1

m

a b v2k t

In[7]:= ht2 z2 m0

fm2

;

In[8]:= ht2 z2 m0

f2m 2 m0

k0

m1

fm fk ;

In[9]:= Ee fm2 a2 2 a b 3 b2m;

In[10]:= Efmfk a2 2 a b 3 b2k a bmk

Out[10]= a bkm a2 2 a b 3 b2k

In[11]:= Eht2 Simplifyz2 m0

a2 2 a b 3 b2m 2 z2 m1

k0

m1

a bkm a2 2 a b 3 b2k

Out[11]=1 a b z2

1 a b 1 a2 2 a b 3 b2

In[12]:= Reduce1 a b z2

1 a b 1 a2 2 a b 3 b2 0, a b 1, a 0, b 0

Out[12]= 0 b 1

3&& 0 a b 1 2 b2 && z 0 z 0

In[13]:= k4 SimplifyEht2 Eht2

Out[13]=1 a b 1 a b

1 a2 2 a b 3 b2

In[14]:= Kura_, b_ :3 1 a b 1 a b

1 a2 2 a b 3 b2;

In[15]:= Plot3DKura, b, a, 0, 1, b, 0, 1 3 , AxesLabel a, b, Kur

Out[15]=

In[16]:= ggv_, b_ : Kura, b . a v b

In[17]:= Uv_ : ggv, b

In[18]:= SimplifyDUv, v

Out[18]=12 b4 1 v

1 b2 3 2 v v22

In[19]:= ReduceKura, b 3, a b 1, a 0, b 0

Out[19]= 0 b 1

3&& 0 a b 1 2 b2

2 Appendix2.nb

arch и garch модели временных рядов · 2014-06-09 · 4 Остановимся...

Documents