Sugerencias a tener en cuenta en la fase de bsqueda de estrategias para la realizacin del juego (v

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Pubilicado no Boletim GEPEM n. 38, pp. 95-110, fev/2001.Movendo discos, construindo torres e matematizando com futuros professores Agradeo as contribuioes e colocaoes do amigo Arthur Powell (Rutgers University, USA)

Marcelo Almeida Bairral Professor do Instituto de Educaao da UFRuralRJ, e-mail: mbairral@ufrrj.br Introduao

A formaao de professores, tanto a inicial como a continuada, constitui desafio permanente das instituioes formadoras e a cada vez mais estao em evidncia os processos de formaao docente. O processo de matematizaao Reflexao propiciada com Powell (1996) tem sido o meu foco com licenciandos em matemtica da Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro BR 465 km 7 CEP. 28970-000 Seropdica-RJ http://www.ufrrj.br. Considero matematizar como um processo construtivo, fortalecido pela interaao pessoa/grupo no qual as idias matemticas constituem e sao constitudas de significaoes, a partir do que falam (gesticulam, desenham ou qualquer outra maneira de representar e comunicar suas ideias) meus alunos. Nesta perspectiva, complementa (Powell, 1996) matematizar um processo natural, inerente ao ser humano e que deve ser propiciado desde a infncia e depende da capacidade que todos os seres humanos tm, de tomar conscincia de um evento ou acontecimento. Assim, o que pretendo aqui contribui com esta reflexao relatando uma experincia como professor da disciplina de Prtica de Ensino de Matemtica. A disciplina, com carga horria terico-prtica de 60 horas, tem como objetivos, dentre outros, propor diferentes jogos como detonadores do processo de matematizaao e refletir sobre a prtica avaliativa em matemtica. Integrando jogo, processo ensino-aprendizagem de matemtica e avaliaao, enfatizando a utilizaao de dirios de campo (individuais e coletivos) como instrumentos avaliativos potencializadores, segue minha reflexao.

O jogo e a prtica em sala de aula

Por ser o jogo uma atividade inata s crianas, o professor deve aproveitar o seu carter ldico para fazer com que o processo ensino-aprendizagem, em especial o de matemtica, seja mais motivador e divertido, sem que essa prtica pedaggica seja confundida com falta de proposta educativa. Segundo Gimnez e Rosich (1998) um jogo possui as caractersticas de vertente ldica, fator de azar, tempo limitado e contedo curricular implcito. Como componente ldico, o jogo proporciona um valor motivacional de atitudes e de predisposies ao livro didtico. No mais, fomenta o processo de socializao, uma vez que tem um componente social indubitvel por estabelecer efetivas reaes de aceitao, cumprimento de regras, etc. O azar um dos elementos sociais principais que tem o jogo, por desenvolver no aluno o hbito ganhar/perder como inerente ao processo. O tempo e o nmero limitado de movimentos de um jogo faz com que seja possvel utiliz-lo tambm como base de situaes didticas e o contedo curricular (conceitos, procedimentos e atitudes) do jogo no pode ficar em segundo plano. Utilizo jogo com futuros professores de matemtica com o objetivo de que eles reconheam-no como um recurso manipulativo importante, porm com a caractersticas diferentes de outros materiais didticos e que o licenciando perceba tambm a importncia de incorpor-lo como instrumento srio em sua sala de aula, para uma busca e desenvolvimento de idias matemticas. Alm de promover a socializaao e despertar o esprito investigativo, importantes no processo de matematizar, provocar mudanas de atitude frente ao erro. Ou seja, professor e aluno passarao a reconhecer o erro como potencial no processo de matematizaao. Nesta perspectiva, um dos jogos que utilizo na disciplina a Torre de Hanoi, bastante conhecido pelos professores. Este jogo baseado num mito indiano. O mito (Ferrero, 1991; Machado, 1992) do templo de Benars, no qual Deus no momento da criaao, colocou 64 discos de ouro puro, todos de tamanhos diferentes, colocados em uma das trs agulhas de diamante que haviam fixadas numa placa de cobre. O maior disco seria a base da torre e o menor seu topo: era a Torre de Brahma. A tarefa dos sacerdotes do templo seria transportar a torre para outra agulha de diamante, movendo um disco de cada vez, e nunca colocando um disco maior sobre outro menor. Ainda, segundo o mito, quando a tarefa fosse cumprida o mundo desapareceria.Assim considerando o carter motivador intrnseco ao jogo Torre de Hanoi, seu aspecto investigativo e que se adapta a diferentes sries, suas regras sao: mover um disco de cada vez e nunca um maior pode ficar sobre o menor e, o desafio descobrir o nmero mnimo de movimentos que podem ser realizados para mover determinada quantidade de discos de uma torre a outra. O jogo encontrado facilmente em lojas de materiais pedaggicos, mas tambm pode construdo pelo prprio professor utilizando madeira, cartolina, papelao ou at mesmo moedas. Veja a seguir a ilustraao de uma torre com 5 discos.

Como tambm tenho includo na temtica de minhas aulas a divulgaao e busca de sites em matemtica, uma aluna encontrou este, que vale a pena acessar para conhecer e jog-lo, virtualmente: http://www.fortalnet.com.br/jogos/hanoi/hanoi.htm A utilizaao das torres de Hanoi em sala de aula, j foi muito bem apresentada por Grando (1997), porm o que pretendo aqui aprofundar a reflexao sobre a sua utilizaao com futuros professores de matemtica e enriquec-la no tocante prtica avaliativa em matemtica.

A prtica avaliativa em matemtica com os dirios de campo

Pensar em avaliaao, implica mudanas nos objetivos para o processo ensino-aprendizagem, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretao e na abordagem dos contedos matemticos, num trabalho docente que deve incluir uma variedade de situaes de aprendizagem (PCN, 1998). Despertado e influenciado por Powell e Lpez (1995) sobre a importncia da escrita no ensino-aprendizagem de matemtica comecei a utilizar em minhas aulas o instrumento de avaliaao que o dirio de campo Prefiro utilizar este termo, pois normalmente existem alunos que, ao iniciarem o processo de escrita dos dirios, descrevem, superficialmente, o que aconteceu. Por exemplo, em uma aula com o jogo Torre de Hanoi comum o aluno escrever conhecemos a Torre de Hanoi entao, o que enfatizo que o meu interesse saber o que ele aprendeu, ou nao, no trabalho com a torre. Assim, prefiro nao utilizar o termo relatorio, pois para mim um texto mais que descritivo. A idia de dirio de campo vem da pesquisa qualitativa.. A seguir, o roteiro (Bairral e Gimnez, 2000; D`Ambrsio, 1996) que sugiro aos licenciandos para a elaborao dos dirios. DataCarga horriaTema principal da aulaPalavras-chaveQual(is) foi(ram) o(s) objetivo(s) da(s) aula(s)?O que voc aprendeu? O que precisa de esclarecimento?Descreva brevemente um momento especialmente significativo no desenvolvimento da aula.Identifique algo que te surpreendeu, que te fez refletir, levantar perguntas, etc.Procure explicar algo que te deixou confuso, alguma dificuldade encontrada, uma dvida ou pergunta no esclarecida.Sugestes e outros comentrios que considere importantes.Bibliografia (utilizada, sugerida, ...)

Valore de 1 a 10:A aula como um todo:O professor:O seu grupo:Os demais grupos:Voc:

As idias de D`Ambrsio (1996) tambm foram orientadoras para adaptaao do instrumento dinmica da disciplina e, como critrios de avaliaao utilizo: PrincipaisPrazo de entrega.Compreenso e explicitao dos temas abordados: perceber o que importante destacar dentro do estudado.Utilizaao do roteiro.Resposta s colocaes feitas pelo professor.OutrosReporte ao trabalho coletivo.Associao de idias com a prtica, apresentando exemplos.Capacidade de anlise e sntese.Evoluo no processo de elaborao de escrita e idias.Dvidas levantadas e esclarecimentos solicitados.Crticas e sugestoes feitas.Organizao e apresentao.Vocabulrio e coerncia na escrita.Referncia bibliogrfica.

A seguir, apresento parte dos relatos dos grupos. Os licenciandos trabalharam em grupo de, no mximo, 4 alunos e cada grupo tinha pelo menos uma torre. Normalmente nao interfiro na formaao dos grupos, mas considero importante o professor intervir nesta formaao, principalmente em turmas com nmero grande de alunos, o que nao foi o meu caso. As turmas de Prtica de Ensino tem tido em mdia dezoito alunos por semestre. Ao todo foram utilizadas 5 (cinco) aulas e os alunos deveram relat-las em grupo (dirio do grupo) e individualmente (dirio individual).

Grupo 1

N de discosN de movimentos

11

23(3-1=2)37(7-3=4)415(15-7=8)531(31-15=16)663(63-31=32)7127(127-63=64)Tabela 1

Para descobrir a quantidade de movimentos a serem feitos (MT) para um determinado nmero de discos, basta somar a quantidade de movimentos anteriores (MA) com a quantidade de discos que queremos mover (MD): MT = MA + MD.Frmula para o movimento da torre com n discos (observe tabela 1). Sejam an o nmero mnimo de movimentos com n discos. De acordo com a tabela vemos que:an = 2a n-1 + 1an - an-1 = 2 n-1Resolvendo o sistema para an chegamos a frmula que determina o nmero mnimo de movimentos: an = 2 n - 1Estratgias para conseguir um nmero mnimo de movimentos. ConsidereT1T3T2

Se quisermos mover a pilha de T1 para T2 (sentido horrio) entao:(1)se o nmero de discos for par, o primeiro disco deve ser colocado em T3 (sentido anti-horrio)(2)se o nmero de discos for mpar, o primeiro disco deve ser colocado em T2 (sentido horrio).Obs.: Esta estratgia serve para o movimento das torres intermedirias tambm.

Grupo 2

... Para cada disco a mais que colocamos, o nmero de movimentos dobrava e aumentava em 1, como mostra o esquema abaixo:N de discosMovimentos numricos necessrios11 (x2 + 1=3)23 (x2 + 1=7)37 (x2 + 1=15)415 (x2 + 1=31)531 (x2 + 1= ... )......NX2 + 1

Notemos que ao aumentarmos o nmero de discos, em 1 unidade, o nmero de movimentos dos discos, aumenta segundo uma PG de razao 2. Logo podemos determinar o nmero de movimentos para qualquer nmero de discos.

Grupo 3

... Variando o nmero de discos e tentando identificar qual o nmero que expressa o mnimo de movimentos necessrios [...] passamos tarefa de generalizar para um nmero n de discos. Veja os passos utilizados nesses raciocnios:1 passo:n de discosn min. de mov.1123374155316637?

2 passo:a1 = 1a2 = 2 a1 + 1a3 = 2 a2 + 1a4 = 2 a3 + 1a5 = 2 a4 + 1a6 = 2 a5 + 1

3 passo:a7 = 2 a6 + 1a7 = 2 . 63 + 1 = 127

4 passo:an = 2 (an-1 + 1)n = n de discosa = n min. de mov.

5 passo:a7 = 2 a6 + 1a7 = 2 (2 a5 + 1) + 1a7 = 4 a5 + 3a7 = 4 ( 2 a4 + 1) + 3a7 = 8 a4 + 7a7 = 8 (2 a3 + 1) + 7a7 = 16 a3 + 15a7 = 16 (2 a2 + 1) + 15a7 = 32 a2 + 31a7 = 32 (2 a1 + 1) + 31a7 = 64 a1 + 32 + 31a7 = 64 + 32 + 31a7 = 27-1 + 27-2 + 27-2 1a7 = 27-1 + 2 (27-2) 1a7 = 27-1 + 27-1 1a7 = 2 (27-1) 1a7 = 27 16 passo: an = 2n 1

Grupo 4

Quantidade de discos das torres(n)Quant. de movimentos das peas nas torresTotal de movimentos

P 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7

11000000122100000334210000748421000155168421003163216842106376432168421127

-A quantidade mnima de movimentos das torres com n discos igual a soma de uma P.G. finita de razao 2, 1 termo igual a 1 e com n de termos igual ao n de discos da torre.-Ao movimentarmos o nmero de discos, a quantidade de movimentos de cada pea cresce em P.G. de razao 2, com 1 termo igual a 1.-O n de movimentos de uma torre com n discos igual ao dobro de movimentos da torre com (n-1) discos acrescido de 1 movimento.-Condioes para os movimentos das peas para obtermos o mnimo possvel. Consideramos as peas/discos numerados de 1 a 7. Dividimos a torre de Hanoi conforme o esquema abaixo:1

321,2 e 3 sao os pinos da torreP parI - mpar

II

PP

P

I

as peas mpares se movimentam seguindo a ordem crescente dos pinos partindo do n 1as peas pares se movimentam seguindo a ordem decrescente dos pinos partindo do n 1

-A tabela apresentada anteriormente forma uma matriz triangular inferior, com a diagonal principal contendo todos os termos igual a 1, apresentando 7 divisores do n 64-O nmero de divisores de 64 contido na matriz igual ao nmero de discos da torre de Hanoi.-A matriz quadrada e de ordem 7.

1000000210000042100008421000168421003216842106432168421

interessante observarmos nos dirios o objeto matemtico priorizado por cada grupo e como os alunos vao desenvolvendo suas idias e construindo o seu texto matemtico Ver Lins e Gimnez (1997) . Neste processo, ressalto a importncia do desafio prprio do jogo e no trabalho em grupo, pois as discussoes e as diferentes colocaoes de cada aluno enriquecem esta dinmica e os diferentes estilos, o que nao poderia deixar de ser: diferentes alunos, diferentes discussoes, diferentes registros e diferentes contedos contextualizados.Sem o objetivo de uma anlise mais aprofundada destacarei algumas observaoes que considero relevantes. A escrita bem organizada e detalhada do grupo 3 mostra que os licenciandos conseguiram generalizar atravs de uma investigao apoiada na recursividade. O texto do grupo 4 me chama ateno por sua anlise considerando tambm a quantidade de movimentos de cada pea e como isso contribui para determinar o nmero total de movimentos. Ao observarem sobre o movimento de cada pea e disporem estas observaoes em forma de tabela, os licenciandos passam a centrar sua atenao na matriz que fica formada e fazem mais destaques sobre esta disposiao. Alm de construir um sistema de equaoes a partir do que observa na tabela o grupo 3, como o grupo 4, tambm construiu a estratgia para o nmero mnimo de movimentos a partir do sentido horrio/anti-horrio. Interessante tambm notar que o grupo 2 se deu como convencido para determinar o nmero de movimentos apoiados no termo anterior, sem perceber a necessidade do termo geral. Alm de existirem licenciandos com dificuldade para determinar o nmero mnimo de movimentos, tambm existem aqueles que sao mais imediatos e se dao por convencidos a partir de 5 movimentos, por exemplo: N de discosN de movimentos11 = 2l - 123 = 22 - 137 = 23 - 1415 = 24 - 1531 = 25 - 1......n2n - 1

importante verificar o matematizar de cada licenciando e discutir com eles esse processo. Uma preocupaao dos licenciandos fazer comparaoes do tipo melhor ou pior e, entao, enfatizo para eles o tempo todo que nao meu objetivo estabeler comparaoes do tipo saber mais/menos, mas que eles percebam, analisem e respeitem o matematizar do seu companheiro e contribuam com a continuidade desse processo, pois ensino-aprendizagem um processo contnuo de aprender a aprender e aprender a ser, fortalecido pelas relaoes interpessoais e nao mera acumulaao acrtica de conhecimentos. Aps o trabalho em pequenos grupos, no qual vou esclarecendo dvidas, analisando processos de raciocnio utilizados pelos licenciandos e propondo questoes, passamos a analisar os dirios de cada grupo, ou seja, cada grupo analisa o texto do outro e, ao final, fechamos a discussao com toda a turma. Por exemplo, veja a observaao do grupo 3 sobre o dirio do grupo 1.

A princpio discordamos com o tipo de referencial, horrio e anti-horrio, que o grupo usou. S partimos para a prtica (testamos na torre) e verificamos que funciona para n movimentos e n nmero de peas. Este fato nao ocorreu em nehum dos membros do nosso grupo, o que obervamos que facilita em fazer o menor nmero de movimentos

Podemos observar na escrita do grupo que alm de compreenderem, inicialmente discordando do texto do outro o grupo, os licenciandos foram verificar se realmente aconteceriam os observaoes feitas. Alguns sentem necessidade de voltar ao jogo enquanto outros o fazem direto no papel. Alm de se darem por satisfeitos, reconhecem a importncia do referencial (sentido horrio ou anti-horrio) para determinar o nmero mnimo de movimentos. O que considero importante aqui que do professor fazer este tipo de observaao, o licenciando tem o oportunidade de verificar como pensaram os seus colegas. Estes diferentes momentos escrita-reflexao-nova escrita favorecem a matematizaao do futuro professor. Vale destacar que os licenciandos encontram dificuldade na escrita, seja de um dirio com idias mais matemticas ou nao. Assim, a dinmica de ler criticamente, recebendo e colocando questoes, seja do prprio dirio ou do(s) colega(s), imprescindvel, pois enriquece e propicia melhora no seu processo de escrita, na medida em que l outro tipo de texto, fazendo crticas com argumentos e discutindo-os com toda a turma. Neste momento ele assume o papel de professor na medida em busca compreender o que escreveu o seu amigo (aluno!) e coloca questoes e, at mesmo, busca reconhecer suas dificuldades ou facilidades. Considero importante colocar o licenciando neste papel professor-aluno, constantemente.

A aula seguinte: um dirio coletivo Utilizei aqui a idia das amigas Rosana de Oliveira e Roza Mazo Reis, desenvolvida com professores do curso CAPES-FAPERJ da USU.

Alm dos dirios construdos coletivamente em algumas aulas, cada aluno possui o seu caderno de dirio de campo que dever ser entregue em data acordada desde o incio da disciplina. Neste caderno o licenciando relata cada aula. Recolho todos os dirios na data marcada, fao a leitura de cada um e as devidas colocaoes (perguntas, elogios, pede esclarecimentos, ...). Em seguida, monto o dirio coletivo colocando as idias dos licenciandos em relativa seqncia. Na aula seguinte, distribuo aos alunos para uma leitura conjunta com destaque, na qual o licenciando pede esclarecimentos, discorda, concorda e sugere alteraao. Este momento muito importante pois alm do licenciando ficar interessado em se localizar no texto, fica motivado e `a vontade para a discussao. Um ponto importante do dirio coletivo que o licenciando pode identificar as idias de seus colegas, ao passo que no caderno individual as colocaoes ficam apenas entre licenciando e professor. Os erros gramaticais nao interferem na avaliaao, porm sao feitas as devidas correoes.A seguir, uma parte do dirio que organizei a partir dos textos individuais dos licenciandos. Como pode ser visto, alm das idias mais matemticas, destacadas nos relatos anteriores, eles tambm acrescentam reflexoes sobre o processo ensino-aprendizagem de matemtica , fruto de leituras e discussoes propiciadas pela disciplina. A fala de cada licenciando colocada em um tipo de letra e neste exemplo foi colocada apenas uma fala de cada licencicando.

... A Educao poltica, portanto trabalha valores e ideologias de quem planeja. Sobre o processo educativo, foi falado da relao entre ensino-aprendizagem-avaliao e para que se tenha efeito positivo nas inovaes necessrio que o professor mude sua forma de ensinar. A educao tradicional enfatiza o formalismo, o rigor e respostas certas atravs de testes e provas escritas. Essa avaliao, segundo o grupo, serve para avaliar a capacidade de reproduo dos procedimentos em sala de aula. Ser que eu tenho sido uma autoridade do saber ou uma das autoridades do saber em sala de aula, ser que eu tenho dado condies a que os alunos raciocinem ou eu como professor tenho raciocinado por ele? Preciso melhorar! Uma aula inovadora, alm do professor existe outras fontes de informao, como instrumentos didticos, jogos, um ambiente mais descontrado, dinmico e atrativo por parte dos alunos. O aluno cria e o professor aprimora junto com o aluno. Nesse processo de construo o conhecimento do professor quase sempre deve funcionar como observador. Cabe ao professor facilitar ao mximo as idias que surgem com a apresentao dos problemas e verificar se estas idias esto coerentes. O contedo curricular formado de atitudes, conceitos e procedimentos. O seminrio, tinha como finalidade apresentar diferentes formas de avaliao em matemtica e grupo falou e mostrou alguns exemplos como: relatrio e ensaios; produtos gerados pelos alunos; teste em duas fases; pequenas tarefas orais e outras. ... os alunos puderam concluir que as formas e instrumentos de avaliao eram vlidos e que caberia a cada professor saber como us-los. O professor apresentou o jogo Torre de Hanoi e deixou que os alunos tentassem resolver o jogo, assim terminou a aula. Foi proposto que teramos que analisar o nmero mnimo de movimentos para transferirmos todos os discos de uma torre para outra, de forma que o disco maior sempre fique embaixo do menor. Observando os 5 primeiros casos, fizemos influncia, atravs de um processo indutivo que com n discos dispomos de um nmero mnimo de movimentos igual a 2n 1. O nmero mnimo de movimentos sempre mpar, no importando o nmero de discos. O intervalo entre os nmeros mnimos de disco d uma P.G. de razo 2. Outras observaes que tiramos da tarefa so: utilizando as torres em forma triangular, vimos que para um nmero n de discos, temos que o nmero de movimentos do disco menor igual a 2n 1, onde o mesmo gira num sentido nico (horrio ou anti-horrio); fixando uma das torres e um sentido de orientao para o disco menor teremos que, para um nmero par de discos o resultado final se dar numa torre diferente do que para um nmero mpar de discos. Enfim o material utilizado em aula desperta nos alunos o interesse em descobrir novos conceitos ou comparar a experincia com conceitos j vistos em aula. Este tipo de material muito importante, pois te possibilita trabalhar vrios conceitos (contedos) distintos.

Alunos que falaram neste dirio: Alexandre, Fernanda, Jecson, Josias, Leonardo Henrique, Leonardo Vieira, Marciel, Mariano, Odilon, Ricardo, Robson, Ronaldo Gregrio, Ronaldo RaimundoRelator: Marcelo Bairral, em 15 de setembro de 2000

Como ressalta Santos (1997), cada instrumento de avaliaao, antes de ser utilizado pelo professor, deve ser vivenciado pelos alunos. Os licenciandos j conheciam este instrumento, pois foi proposto na disciplina anterior (Didtica da Matemtica), porm com uma dinmica um pouco diferente, ou seja, realizaram em grupo e para um determinado conjunto de aulas. Assim, como a avaliaao em matemtica tambm constitui uma das temticas especficas da disciplina Prtica de Ensino, utilizo o dirio de campo como instrumento para 80% da avaliaao na disciplina, para que os licenciandos vivenciem na prtica os mesmos e verifiquem, como alunos, a sua importncia.

Discussoes finais

Quanto aos resultados expressos pelos instrumentos de avaliao, sejam eles provas, trabalhos, observaao de postura em sala de aula, constituem indcios de competncias e como tal devem ser considerados. A tarefa do professor constitui um permanente exerccio de interpretao de sinais, de indcios, a partir dos quais manifesta juzos de valor que lhe permitem reorganizar a sua prtica. Ao levantar indcios sobre o desempenho dos alunos, o professor deve ter claro o que pretende obter e que uso far desses indcios. Nesse sentido, a anlise do erro pode ser uma pista interessante e eficaz. A elaboraao dos dirios nao tarefa fcil, pois incialmente grande parte dos alunos inicia um processo de escrita meramente descritivo ao dizerem o que foi a aula, ou seja, trabalhamos com a torre de Hanoi, o professor falou sobre avaliaao e o grupo apresentou o mapa conceitual. Tenho classificado os dirios em 3 tipos: relato (sem reflexao conceitual), misto (com parte descritiva maior que conceitual) e dirio mais esperado (texto descritivo menor que a parte conceitual, ou seja, o licenciando fala sobre o que aprendeu, o que significava para ele e o novo significado construdo, ...). Neste sentido, enfatiza Powell (1995) a escrita uma ferramenta potencial para foar essa reflexo conceitual. Nao se trata de um trabalho fcil tanto para os licenciandos como para mim, pois alm de ter que romper com a mentalidade da avaliaao como medida e reproduao, com a qual fui formado e eles ainda vem sendo, infelizmente, a leitura e a colocaao de questoes em cada dirio, necessita tempo e reflexao, mas muito gratificante ver o crescimento dos alunos, sua melhora na escrita, na articulaao de idias e na construao de argumentos. claro que existem alunos com maior dificuldade que outros.Sobre o jogo com recurso em matemtica penso tambm que nao adianta ressaltar a importncia de sua utilizaao (PCN: 1997, 1998) se nao for propiciada aos professores a oportunidade de vivenciar experiencias de ensino-aprendizagem com os mesmos, de maneira que possam verificar sua real importncia como recurso didtico, passando assim, a nao encar-lo apenas como recurso ldico de utilizaao em aula para passar o tempo associado `a falta de proposta educativa concreta. Sem regras pr-fixadas, o jogo Torre de Hanoi acessvel aos alunos dos primeiros ciclos. A prpria utilizao pelo aluno de um tipo de registro para mostrar uma seqncia de movimentos j se constitui numa tarefa importante. Em sries mais avanadas, este jogo pode ser utilizado para o desenvolvimento de noes relacionadas ao Princpio da Induo Finita, seqncias e relaoes numricas, como vimos um pouco nos dirios dos licenciandos. O nmero de discos utilizado determinada a maior ou menor complexidade do jogo. No tocante matematizaao na formaao inicial dos professores tenho buscado estabelecer a relaao teoria-prtica numa aao contnua de despertar no licenciando conscincia sobre o que matemtica, o que significa saber e aprender matemtica e qual a funao social do planejamento em matemtica. Assim, fico feliz em v-los refletir e explicitar, por exemplo:

Ser que eu tenho sido uma autoridade do saber ou uma das autoridades do saber em sala de aula, ser que eu tenho dado condies a que os alunos raciocinem ou eu como professor tenho raciocinado por ele? Preciso melhorar!

O aluno cria e o professor aprimora junto com o aluno. Nesse processo de construo o conhecimento do professor quase sempre deve funcionar como observador.

O processo de matematizaao acontecer quando o professor reconhecer sua sala de aula como um espao de dilogo e confiana, um quebra-cabea complexo do qual ele uma das pea e, assim, diferente e imprescindvel - mas nao suficiente - que se (des)constri com muito respeito e fora de vontade, para romper dificuldades prprias, ajudar o outro e contribuir com o crescimento coletivo. Como desdobramento do trabalho com a Torre de Hanoi, analisamos jogos em livros didticos, os licenciandos que atuam como professores utilizam o jogo em sua turma e depois relatam e analisam o que aconteceu e, com aqueles que ainda nao atuam como professores, temos realizado oficinas para demais graduandos da UFRuralRJ, para normalistas e professores da regiao. Assim, alm de se envolverem em atividade de ensino, eles refletem sobre as especificidades e dificuldades de cada situaao e sobre sua prtica em cada uma delas. Concluindo fica uma reflexao e umas inquietaoes, principalmente para os que se dedicam formaao de professores, sobre o comentrio de um dos licenciandos afirmando que este tipo de aula uma aula laboratrio, criticando um tipo de discussao e relaao nao propiciadas em disciplinas de contedo especfico ao longo de sua formaao inicial, ou seja, o antigo esquema 3 (formaao especfica) + 1 (formaao pedaggica), infelizmente ainda vigente no currculo de muitas instituioes formadoras. Da, me pergunto: que professores estao sendo formados para enfrentar os desfios de um novo milnio? Os professores formadores tem esta conscincia? O que um curso de licenciatura em matemtica deve priorizar? Como fica a questao da identidade profissional docente do futuro professor de matemtica?

Referncias Bibliogrficas

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FERRERO, L. El juego y la matemtica. Madrid: La Muralla, 1991.

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GRANDO, R. C. A construo do conceito matemtico no jogo. Revista de Educao Matemtica da SBEM-SP. So Paulo, 1997, n. 3, p. 13-17

LINS, R. C. E GIMNEZ, J. Perspectivas em Aritmtica e lgebra para o Sculo XXI. Campinas: Papirus, 1997

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SANTOS, V.M.P. (Coord.) Avaliao de Aprendizagem e Raciocnio em Matemtica: Mtodos Alternativos. Rio de Janeiro: IM/UFRJ, 1997.

Para os que gostam de passear pela Internet, outros sites interessantes ...

http://www.cut-the-knot.com/recurrence/hanoi.htmlhttp://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/algo.htmlhttp://www.pangea.ca/kolar/javascript/Hanoi/HTonWebE.htmlhttp://obelix.ee.duth.gr/~apostolo/TowersOfHanoi/