árvores: conceitos e binárias

Árvores - Conceitos e binária

Prof: Sergio Souza Costa

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Sérgio Souza CostaProfessor - UFMADoutor em Computação Aplicada (INPE)

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Árvores Conceitos

Árvores

• Estrutura não linear

• Hieráquica

• Recursiva

Árvores

• Nodos interligados de maneira hierárquica

• Nodo superior (raiz / pai), apontando para os seus nodos filhos (folhas / filho).

Analogia no mundo real

• Estrutura organizacional de uma empresa– Departamentos, setores, seções, etc.

• Organização de um livro– Partes, capítulos, seções, parágrafos

Mais exemplosEstrutura de um arquivo HTML

Mais exemplosHierarquia de diretorios e arquivos

Representação

Tipos de nodos (nós)

raiz

folha

nodos interno

Definições

• Raíz: um nodo sem pai

• Nodo: um elemento qualquer

• Folha: um nó que possui grau zero, ou seja, suas subárvores são vázia.

• Sub-árvore: formada por todos os nodos filhos a partir de um nodo qualquer

Definição geral

• Um nodo sem filhos e sem pai é uma árvore vazia.

• Um nodo com qualquer número de subárvores descendentes é uma árvore

Esquema Geral

R

raiz

Subárvores

...

Sub-árvores

Sub-árvore: é aquela que se forma a partir de um determinado nó.

A árvore A possui 2 sub-árvores:

A = {B, C }

Árvore C possui 3 sub-árvores:

C = {D, E, F}

OndeD = {G,H}F = {I}

Exemplo

Exemplos de árvores

Caminho em árvore

Sequencia de nodos ligando dois outros nodos quaisquer.

Caminho em árvore

• Nota: Só existe um caminho desde a raiz até um determinado nó.

Altura de uma árvore

• Altura é o tamanho do maior caminho desde a raiz até uma folha

Altura de uma árvorealtura 3

altura 2

altura 1

altura 0

Altura de uma árvore

• A altura da raiz é 0.

• Por definição, a altura de uma árvore vazia é -1.

Grau de uma árvore

• O grau de uma árvore é dado pela quantidade de descendentes permitido a cada nodo.

Exemplo de árvore de grau 4

Exemplo de árvore de grau 2

+

1 *

6 2

Árvores Binárias

Árvores Binárias • Árvore binária é um caso especial de árvore em que nenhum

nodo tem grau superior a 2, isto é, nenhum nodo tem mais que dois filhos.

– Adicionalmente, para árvores binárias existe um "senso de posição", ou seja, distingue-se entre uma subárvore esquerda e uma direita. Exemplos

a

b

a

b

a

b c

Árvores Binárias• Uma árvore binária é uma árvore que

pode ser nula, ou então tem as seguintes características:– existe um nodo especial denominado raiz;– os demais nodos são particionados em T1, T2

estruturas disjuntas de árvores binárias;– T1 é denominada subárvore esquerda e T2,

subárvore direita da raiz.

Árvores Binárias• Uma árvore binária é uma árvore que

pode ser nula, ou então tem as seguintes características:– existe um nodo especial denominado raiz;– os demais nodos são particionados em T1, T2

estruturas disjuntas de árvores binárias;– T1 é denominada subárvore esquerda e T2,

subárvore direita da raiz.Observem a

recursividade na

sua definição

ExemploChaves de campeonatos

ÁRVORE BINÁRIA - EXEMPLOChaves de campeonatos

Terminologias

Árvore estritamente binária: cada nó tem grau 0 ou 2, ou seja, todo nó tem 0 ou 2 filho

a) b)

a) b)

Terminologias

Árvore estritamente binária: cada nó tem grau 0 ou 2, ou seja, todo nó tem 0 ou 2 filho

TerminologiasÁrvore binária completa é uma árvore

estritamente binária na qual todo nó que apresente alguma sub-árvore vazia está localizado no último ou no penúltimo nível da árvore

a) b)

TerminologiasÁrvore binária cheia quando todos os nós internos

tem grau 2 e todas as folhas estão no mesmo nível

a) b)

Percurso em Árvores

Percurso em árvore binária

• Pré-ordem: visita a raiz, depois a sub-árvore da esquerda e depois direita.

• Em-ordem: visita a sub-árvore esquerda, depois a raiz, e finalmente a sub-árvore direita.

• Pós-ordem: visita a sub-árvore da esquerda, depois da direita e por ultimo imprime a raiz.

Exemplo de percurso pré-ordem

+

1 *

6 2

+1*62

Exemplo de percurso em-ordem

+

1 *

6 2

1+6*2

Exemplo de percurso pós-ordem

+

1 *

6 2

162*+

Exemplo de percurso pós-ordem

+

1 *

6 2

162*+Um algoritmo de

percurso pós-

ordem converte

notação infixa

para posfixa

Arvore Binária: TDA

• Tipo de dados abstrato da árvore binária:

Vazia: () → A// elemento, arvore esquerda direita Nodo: E × SAE × SAD → A




Que árvore é essa ?A = Nodo (5, Vazia,

Nodo (8, Nodo (4, Vazia, Vazia),

Vazia)))




Que árvore é essa ?A = Nodo (5, Vazia,

Nodo (8, Nodo (4, Vazia, Vazia),

Vazia)))

5

8

4

Árvore vazia


• Operações acessoras:

sae:: A → A // retorna a subarvore esquerdasad:: A → A // retorna a subarvore direitaelement :: A → E // retorno o elemento do nó

Exercício

A = Nodo (5, Nil, Nodo (8, Nodo (4, Vazia, Vazia), Vazia)))

B = sae (A) C = sad (A) D = sae(C) X = element (D)Y = element (A)

Exercício



5

8

4

A

Exercício



5

8

4

A

B

Exercício



5

8

4

A

B

C

Exercício



5

8

4

A

B

C

D

Exercício



5

8

4

AA

B

C

D

Exercícios resolvidos

• Ainda sem codificar em C a nossa árvore, faremos os seguintes exercícios.

• Podem fazer no papel ou bloco de notas, não precisem compilar (apenas mentalmente).

• Usando recursividade e apenas as quatro operações vistas anteriormente, vamos fazer os seguintes exercícios.


1. Some os valores dos elementos de uma arvore binária

int soma (ArvBin *a) { if (a == Vazia()) return 0;

}


1. Some os valores dos elementos de uma arvore binária

int soma (ArvBin *a) { if (a == Vazia()) return 0;

return elem(a) + soma (sae(a)) + soma (sad(a));

}


1. Retorne a altura de uma árvore binaria. Onde a Altura é o tamanho do maior caminho desde a raiz até uma folha. Por definição, a altura de uma árvore vazia é -1.

int altura(ArvBin *a) {

}



int altura(ArvBin *a) { if (a == Vazia())

return -1;

}




return -1;return maior(

altura (sae (a)), altura (sad (a))

) + 1;}




return -1;return maior(

altura (sae (a)), altura (sad (a))

) + 1;}

int maior (int v1, int v2) { if (v1 > v2) return v1 ; else return v2; }

Codificação

• A árvore binária é representado pela estrutura abaixo.

typedef struct ArvBin { int elem; struct ArvBin *sae; struct ArvBin *sad;} ArvBin;

Codificação

• Operações construtoras

ArvBin* Vazia () {return NULL;

}

ArvBin* Nodo (int elem, ArvBin* sae, ArvBin* sad ) { ArvBin* a = (ArvBin*)malloc (sizeof (ArvBin)); a->elem = elem; a->sad = sad; a->sae = sae; return a;}

Codificação

• Operações retornar os atributos da árvore.

int elem (ArvBin* b) { return b->elem;}

ArvBin* sae (ArvBin* b) { return b->sae;}

ArvBin* sad (ArvBin* b) { return b->sad;}

Codificação

• Código para visualizar uma árvore binária “deitada”

void mostra (ArvBin *a, int n) { if (a) { int i; mostra (sad(a), n+1); for (i = 0; i < n; i++) printf ("\t"); printf ("%d\n", elem(a)); mostra (sae(a), n+1); }}

Visualização

23

35

28

15

r

Árvore binária - Aplicações

• Uma importante aplicação das árvores binárias é para a realização de buscas.

• O que as árvores abaixo tem em comum?

K

A P

N R

13

10 25

20 31

29

2 12

Árvore Binária De Busca

• Operações básicas– Insere elemento– Busca– Remoção

INSERÇÃO

• Para adicionar um elemento x – Se a árvore estiver vazia, adicione um novo

nó contendo o elemento x– Se a raiz é maior que x então insira x na

subárvore esquerda, caso contrário – insira x na subárvore direita

Inserir

Inserir 23

Inserir

23Inserir 23

Inserir

23Inserir 23

nil nil

Inserir

23Inserir 23Inserir 15

nil nil

Inserir


15

nil nil

Inserir


15

nil nil

nil nil

Inserir


15

nil

nil nil

Inserir

23Inserir 23Inserir 15Inserir 35

15

nil

nil nil

Inserir


15

nil

35

nil nil

Inserir


15

nil

35

nil nilnil nil

Inserir


15 35

nil nilnil nil

Inserir

23Inserir 23Inserir 15Inserir 35Inserir 28

15 35

nil nilnil nil

Inserir


15 35

28

nil nilnil nil

Inserir


15 35

28

nil nil nil nil

nil nil

Inserir


15 35

28

nil nil

nilnil nil

Inserir - Código

ArvBin *insere (ArvBin *r, int x) { if (r == NULL) r = Nodo (x, NULL, NULL); else if (x < elem(r) ) r->sae = insere(sae(r), x ) ; else r->sad = insere(sad(r), x ) ; return r;}

23

15 35

28

nil nil nil

nil nil

arv = insere(arv, 23); arv = insere(arv, 15); arv = insere(arv, 35); arv = insere(arv, 28);

Testando - Inserir

Busca

• Para encontrar um elemento x – Se x é a raiz então x foi encontrado, caso

contrário– Se x é menor que a raiz então procure x na

sub-árvore esquerda, caso contrário– Procure x na sub-árvore direita de– Se a árvore é vazia então a busca falha

Buscar

23Há um 28 armazenado?

15 35

28

nil nil nil

nil nil

Buscar


15 35

28

28 > 23

nil nil nil

nil nil

Buscar


15 35

28

28 < 35

nil nil nil

nil nil

Buscar


15 35

28encontrou

nil nil nil

nil nil

Código - Buscar

ArvBin* busca (ArvBin *r, int x) { if ((!r) || (elem(r) == x)) return r; else { if (elem(r) < x) return busca(sad(r),x); else return busca(sae(r),x); }}

Parada: Achou o elemento ou o elemento não se encontra na arvore.

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