assegno 1_pianificazione

8/16/2019 Assegno 1_Pianificazione

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Assegno 1:

Dispaccio Ottimo delle Potenze Generate

Guido Coletta

10 aprile 2015

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1 Traccia 1

Quesito: Si hanno a disposizione 3 PU caratterizzate dalle seguenti curve dicosto:

C 1(P 1) = 1.151P

21 + 10.50P 1 + 5 $/h

C 2(P 2) = 9.922P 22 + 45.56P 2 + 9 $/h

C 3(P 3) = 2.254P 23 + 17.78P 3 + 4 $/h

I generatori sono caratterizzati da vincoli di minima e massima generazione:

P 1 = 100 ÷ 500 MW

P 2 = 85 ÷ 450 MW

P 3 = 75 ÷ 400 MW

Si calcoli il set di potenze che minimizza il costo di produzione di una P d=950 MW.

Risoluzione: La formulazione matematica del problema risulta essere:

min[P 1,P 2,P 3] =3

i=1 C i(P i) Funzione obiettivo

P d −3

i=1 P i Vincolo di uguaglianza

100 ≤ P 1 ≤ 500

85 ≤ P 2 ≤ 450

75 ≤ P 3 ≤ 400

Vincoli di disuguaglianza

(1)

Per la risoluzione del problema si utilizza il METODO DI LAGRANGE. L’ap-plicazione di tale metodo consiste nell’esecuzione di 3 passi:

• PASSO 1: Scrivere la funzione Lagrangiana;

• PASSO 2: Risolvere il problema ignorando i vincoli di disuguaglianza;

• PASSO 3: Verificare il soddisfacimento dei vincoli di diseguaglianza. Seessi non sono verificati rispetto al valore massimo o minimo si fissi la

grandezza interessata rispettivamente al valore massimo o minimo e siritorni allo STEP 2.

PASSO 1:

L =3

i=1

C i(P i) + λ(P d −

3i=1

P i) +3

i=1

ρmin(P i,min − P i)

+3

i=1

ρmax(P i − P i,max)

(2)

2


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La soluzione del problema sarà:

δLδP i

= δC δP i

− λ− ρi,min + ρi,max = 0

P d −3

i=1 P i

P i,min ≤ P i ≤ P i,max

ρi,min(P i,min − P i) = 0

ρi,max(P i − P i,max) = 0

ρi,min ≤ 0

ρi,max ≤ 0

Condizioni KKT

(3)

PASSO 2:

δLδP i

= δC δP i


P d −3i=1 P i

(4)

Si risolve il sistema di equazioni che scritto in forma matriciale diventa:

2.302 0 0 −10 19.844 0 −10 0 4.508 −1−1 −1 −1 0

P 1P 2P 3λ

=

−10.5−45.56−17.78−950

(5)

e si ottiene:

P 1

P 2P 3λ

= 586.1

66.2297.7

1359.7

MW

MW MW

$/MW

(6)

PASSO 3:

Si può osservare che i vincoli sui generatori 1 e 2 non sono soddisfatti. Sifissano P 1 = P 1,max = 500MW e P 2 = P 1,min = 85MW .A questo punto sostituendo tali valori nel vincolo di uguaglianza si ottiene perdifferenza P 3 = 365MW

3


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Il risultato dell’ELD è:

P 1P 2P 3

=

50085

365

[MW ] (7)

Per quanto riguarda i costi marginali si osserva dunque che essi saranno diffe-renti per ogni generatore. In particolare si ha:

λ1 = 2.304P 1 + 10.5

λ2 = 19.844P 2 + 45.56

λ3 = 4.508P 3 + 17.78

(8)

da cui si ottiene: λ1λ2λ3

=

1161.51732.3

1663.2

$

MW

(9)

Il costo marginale dell’intero sistema è quello del generatore 3 in quanto un MWin più sarebbe generato proprio da questo generatore.

Si mostra l’interpretazione grafica del problema in Fig.1.

Figura 1: Rappresentazione grafica della soluzione

In allegato si trova il software che implementa in MATLAB Ril problema suposto.

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SW per la risoluzione:

% m a in . T 1

cl c

c l ea r a ll

c l os e a ll

g lo ba l a b c P _d

% % C ur ve d i C os to

a = [ 1 .1 5 1 9 . 92 2 2 . 25 4 ];

b = [ 10 . 5 4 5 .5 6 1 7 .7 8 ];

c = [5 9 4 ];

% % V i nc o li d i g e ne r a zi o n e d e ll e P U

L B = [1 0 0 8 5 7 5 ];H B = [5 0 0 4 50 4 0 0] ;

% % P o we r d e ma n d

P_d=950; % [ M W ]

% % R i s ol u zi o n e d el p r ob l em a

P _0 = [0 0 0 ];

[ P , f v al , e x i t fl a g , o u t pu t , l a m b da ] = . . .

f m i n c o n ( ’ c o s t o _ T 1 ’ , P _ 0 , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , L B , H B , ’ v i n c o l i _ T 1 ’ ) ;

disp(P)

d i s p ( l a m b d a . e q l i n )

d i s p ( l a m b d a . e q n o n l i n )

d i s p ( l a m b d a . l o w e r )

d i s p ( l a m b d a . u p p e r )

f u n c t io n o u t = c o s t o _ T1 ( P )

g lob al a b c

c o s t o = a . * P . ^ 2 + b . * P + c ;

o u t = s u m ( c o s t o ) ;

f u n c t io n [ C , C e q ] = v i n c o l i _T 1 ( P )

g l o b al P _ d

C e q = P _ d - s u m ( P ) ;

C=[];

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2 Traccia 2

Quesito: Con riferimento alla Traccia 1 si calcoli l’ELD sapendo che le perditesono esprimibili come:

P loss = 0.00012P 21 + 0.00007P

22 + 0.00018P

23

si determini l’ELD (mediante implementazione codice SW).

Risoluzione: Il risultato dell’ELD è:

P 1P 2P 3

P loss

=

500109.6415

40059.6415

[MW ] (10)

Per quanto riguarda i costi marginali si osserva dunque che essi saranno diffe-renti per ogni generatore. In particolare si ha:

λ1 = P f 1(2.304P 1 + 10.5)

λ2 = P f 2(19.844P 2 + 45.56)

λ3 = P f 3(4.508P 3 + 17.78)

(11)

da cui si ottiene:

λ1λ2λ3

=

1162.52232.21821.0

$

MW (12)

Il costo marginale dell’intero sistema è quello del generatore 2 in quanto un MWin più sarebbe generato proprio da questo generatore.



In allegato si trova il software che implementa in MATLAB Ril problema.

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% m a in . T 2

cl c

c l ea r a ll

c l os e a ll

g lo ba l a b c P _d p _l os s


a = [ 1 .1 5 1 9 . 92 2 2 . 25 4 ];

b = [ 10 . 5 4 5 .5 6 1 7 .7 8 ];

c = [5 9 4 ];


L B = [1 0 0 8 5 7 5 ];H B = [5 0 0 4 50 4 0 0] ;


P_d=950; % [ M W ]


P _0 = [0 0 0 ];



disp(P)

d i s p ( p _ l o s s )



d i s p ( l a m b d a . l o w e r )d i s p ( l a m b d a . u p p e r )


g lob al a b c

c o s t o = a . * P . ^ 2 + b . * P + c ;

o u t = s u m ( c o s t o ) ;


g l ob a l P _d p _ lo s s

p _ l o ss = 0 . 0 0 0 1 2 * P ( 1 ) ^ 2 + 0 . 0 0 0 0 7* P ( 2 ) ^ 2 + 0 . 00 0 1 8 * P ( 3 ) ^ 2 ; % [ M W ]

C e q = P _ d + p _ l o s s - s u m ( P ) ;C=[];

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3 Traccia 3

Quesito: Sulla base del sistema descritto in Traccia 1 e 2 si calcoli l’ELD (me-diante implementazione codice SW) in modo da minimizzare le perdite.


min[P 1,P 2,P 3] = P loss(P 1, P 2, P 3) Funzione obiettivo

P d + P loss(P 1, P 2, P 3) −3


100 ≤ P 1 ≤ 500

85 ≤ P 2 ≤ 450

75 ≤ P 3 ≤ 400


(13)


P 1P 2P 3P loss

=

320.8591450.0000213.906034.7651

[MW ] (14)

Si può effettuare il calcolo dei coefficienti di Lagrange che questa volta rappre-senteranno l’aumento delle perdite che si avrebbe a fronte dell’incremento di unMW della Power Demand.

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% m a in . T 3

cl c

c l ea r a ll

c l os e a ll


% % C u rv a d e ll a p o te n za d i ss i pa t a

a=0.00012;

b=0.00007;

c=0.00018;


L B = [1 0 0 8 5 7 5 ];H B = [5 0 0 4 50 4 0 0] ;


P_d=950; % [ M W ]


P _0 = [0 0 0 ];



disp(P)






g lob al a b c

c o s t o = a * P ( 1 ) ^ 2 + b * P ( 2 ) ^ 2 + c * P ( 3 ) ^ 2 ;

o u t = c o s t o ;


g l ob a l P _d p _ lo s s

p _ l o ss = 0 . 0 0 0 1 2 * P ( 1 ) ^ 2 + 0 . 0 0 0 0 7* P ( 2 ) ^ 2 + 0 . 00 0 1 8 * P ( 3 ) ^ 2 ; % [ M W ]

C e q = P _ d + p _ l o s s - s u m ( P ) ;

C=[];

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4 Traccia 4

Quesito: Si considerino le 3 PU, descritte nella Traccia 1, caratterizzate dalleseguenti curve di emissione di CO2 in funzione della potenza generata:

E 1(P 1) = 0.0275P

21 + 5.1P 1 + 15 kg/h

E 2(P 2) = 0.0157P 22 + 1.1P 2 + 2 kg/h

E 3(P 3) = 0.0415P 23 + 4.8P 3 + 9 kg/h

1. Si calcoli il set di potenze che minimizzaare l’emissione di CO2 e tale dasoddisfare di una P d=950 MW;

2. Si calcoli il risparmio di CO2 ottenuto rispetto al ELD calcolato in Trac-cia 1.


min[P 1,P 2,P 3] =3

i=1 E i(P i) Funzione obiettivo

P d −3


100 ≤ P 1 ≤ 500

85 ≤ P 2 ≤ 450

75 ≤ P 3 ≤ 400


(15)

Per risolvere il problema si procede analogamente a quanto fatto per la Traccia 1.

PASSO 1:

L =3

i=1

E i(P i) + λ(P d −

3i=1

P i) +3

i=1

ρmin(P i,min − P i)

+3

i=1

ρmax(P i − P i,max)

(16)

La soluzione del problema sarà:

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δL

δP i =

δE

δP i−λ−ρi,min + ρi,max = 0

P d −3

i=1 P i

P i,min ≤ P i ≤ P i,max

ρi,min(P i,min − P i) = 0

ρi,max(P i − P i,max) = 0

ρi,min ≤ 0

ρi,max ≤ 0

Condizioni KKT

(17)

PASSO 2:

δLδP i

= δE δP i


P d −3

i=1 P i

(18)

Si risolve il sistema di equazioni che scritto in forma matriciale diventa:

0.0550 0 0 −10 0.0314 0 −10 0 0.0830 −1−1 −1 −1 0

P 1P 2P 3λ

=

−5.1−1.1−4.8−950

(19)

e si ottiene:

P 1P 2

P 3λ

=

239.8766547.5546

162.568818.2932

MW MW

MW kg/MW

(20)

PASSO 3:

Si può osservare che il vincolo sul generatore 2 non è soddisfatto. Si fissaP 2 = P 1,max = 450MW .A questo punto si deve risolvere:

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0.0550 0 −10 0.0830 −1−1 −1 0

P 1P 3λ

= −5.1−4.8−450

(21)

e si ottiene:

P 1P 3λ

=

298.5507201.4493

21.5203

MW MW MW

kg/MW

(22)


P 1P 2P 3

=

298.5507450

201.4493

[MW ] (23)

Per quanto riguarda le emissioni marginali si osserva dunque che il generatore 2lavorerà ad un valore di emissione marginale diverso dagli altri 2. In particolaresi ha:

λ1 = 0.0550P 1 + 5.1

λ2 = 0.0314P 2 + 1.1λ3 = 0.0830P 3 + 4.8

(24)

da cui si ottiene:

λ1λ2λ3

=

21.520315.2300

21.5203

$

MW

(25)

Il valore di emissione marginale dell’intero sistema è quello dei generatori 1e 3 in quanto un MW in più sarebbe generato proprio da questi generatori.


Infine per rispondere al quesito 2 di questa traccia si calcolano le emissionidi CO2 della configurazione calcolata nella Traccia 1 e si calcola un ∆CO2 .

E (P Traccia1) = 16939kg (26)

E (P Traccia4) = 10325kg (27)

∆CO2% = E (P Traccia1) −E (P Traccia4)

E (P Traccia1) 100 = 39.045% (28)

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Applicando un ottimizzazione sulle emissioni di CO2 in atmosfera si ottiene unariduzione di tali emissioni peri al 39.045 % rispetto al caso dell’ottimizzazzionesul costo di generazione.

In allegato si trova il software che implementa in MATLAB Ril problema suposto.

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% m a in . T 4

cl c

c l ea r a ll

c l os e a ll



a = [ 0 . 0 2 7 5 0 . 0 1 5 7 0 . 0 4 1 5] ;

b = [ 5. 1 1 .1 4 . 8] ;

c = [1 5 2 9 ];


L B = [1 0 0 8 5 7 5 ];H B = [5 0 0 4 50 4 0 0] ;


P_d=950; % [ M W ]


P _0 = [0 0 0 ];



disp(P)






g lob al a b c

c o s t o = a . * P . ^ 2 + b . * P + c ;

o u t = s u m ( c o s t o ) ;


g l o b al P _ d

C e q = P _ d - s u m ( P ) ;

C=[];

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